Estabilidad estructural topologica sobre espacios proyectados

SELECCIONES MATEM ´ ATICAS Universidad Nacional de Trujillo http://revistas.unitru.edu.pe/index.php/SSMM Vol. 03(01): 43-46 (2016) ISSN: 2411-1783 (versi´on electr´onica ) ESTABILIDAD ESTRUCTURAL TOPOL ´ OGICA SOBRE ESPACIOS PROYECTADOS TOPOLOGICAL STRUCTURAL STABILITY ON PROJECTED SPACES RODIAK FIGUEROA∗, GERMAN LOZADA∗∗ , JOS´ E LANGA ∗∗∗ ,AND EDER ARAG˜ AO∗∗∗∗ Received, Jan. 15, 2016 Accepted, Apr. 20, 2016. Resumen En este trabajo estudiamos la estabilidad estructural topol´ogica para una familia de semigrupos no lineales Th(·)sobre espacios de Banach Xhdependiendo de un par´ametro h. Palabras clave. Estabilidad, espacios proyectados, espacios de Banach. Abstract In this work we study the topological structural stability for a family of nonlinear semigroups Th(·) on Banach spaces Xhwhich dependent on a parameter h. Keywords. Stability projected spaces, Banach spaces. ——————————————————————— 1. Introducci´on . En la teor´ıa de sistemas din´amicos, un sistema es topol´ogicamente estructuralmente estable si las propiedades topol´ogicas del sistema din´amico permanecen iguales despu´es de una perturbaci´on peque˜na de la transformaci´on que define la din´amica, es decir, el comportamiento cualitativo de las trayectorias no es afectado por perturbaciones peque˜nas. Por ejemplo, los puntos fijos y ´orbitas peri´odicas (pero no sus periodos). En el ´ambito de un semigrupo din´amicamente gradiente no lineal dentro de un espacio de Banach fijo, que posee un atractor global, si existe un n´umero finito de puntos de equilibrio hiperb´olico dentro del atractor global, entonces todas las soluciones globales dentro del atractor tienden a un punto de equilibrio cuando el tiempo tiende a +∞o−∞, este hecho tambi´en previene la existencia de estructuras homoclinas entre estos puntos de equilibrio ( [6, Teorema 1.5]). De manera general, esto tambi´en ocurre cuando cambiamos los puntos de equilibrio por conjuntos invariantes aislados ( [6, Teorema 2.13]). Si estas propiedades permanecen inalteradas bajo perturbaciones, decimos que son topol´ogicamente estructuralmente estables. Esto significa que la din´amica dentro del atractor global es robusta debido a las propiedades del semigrupo definido sobre el espacio de Banach fijo. Una de estas propiedades, es la colectividad asint´otica compacta, la cual nos dice que la sucesi´on de semigrupos que aparece debido a la perturbaci´on del semigrupo inicial tiene una subsucesi´on convergente a un elemento en el espacio de Banach fijo cuando el tiempo tiende a +∞ para elementos acotados del espacio. Este comportamiento de la estabilidad estructural topol´ogica fue extendido para los semigrupos gradientes, gracias al [1, Teorema 1.1]. En dicho art´ıculo, prueban que los semigrupos gradientes y din´amicamente gradientes son equivalentes en un espacio de Banach fijo. En este trabajo, vamos a probar que la estabilidad estructural topol´ogica de los semigrupos gradientes, T0(t) : X0→X0, con respecto a una colecci´on finita S0={Ξ1,0, . . . , Ξp,0}de conjuntos invariantes aislados sobre un espacio de Banach X0( [7, Teorema 5.26]), tambi´en es v´alido para el espacio de Banach Xh(de dimensi´on finita o infinita), para h∈(0,1]. Note que el semigrupo no lineal Th(t) : Xh→Xhy el espacio de Banach Xhest´an variando con respecto a cada h∈(0,1]. ∗IBILCE-UNESP ([email protected]). ∗∗ IBILCE-UNESP ([email protected]). ∗∗∗ EDAN-US ([email protected]). ∗∗∗∗ ICMC-USP, S˜ao Carlos ([email protected]). 43 44 Figueroa, Lozada, Langa and Arag˜ao.- Selecciones Matem´aticas. 03(01): 43-46 (2016) 2. Preliminares. Sea Xun espacio m´etrico con distancia d:X×X→R. Definici´ on 1. Decimos que una familia {T(t) : t≥0}de aplicaciones continuas del espacio Xen s´ı mismo es un semigrupo no lineal en X, o simplemente semigrupo si no hay riesgo de confusi´on, cuando se cumplen las tres propiedades siguientes: (i) T(0) = Ila aplicaci´on identidad del espacio X. (ii) T(t+s) = T(t)T(s),cualquiera que sea la pareja de n´umeros reales no negativos tys (propiedad de semigrupo). (iii) La aplicaci´on [0,∞)×X∋(t, x)→T(t)x∈Xes continua. Definici´ on 2. Decimos que un subconjunto A⊂Xes invariante respecto del semigrupo {T(t) : t≥0},o simplemente invariante, cuando para todo t≥0se tiene T(t)A=A. Proposici´ on 1. Un subconjunto A⊂Xes invariante por T(·)si y s´olo si Aes una uni´on de ´orbitas globales de T(·). Definici´ on 3. Dados AyB, subconjuntos no vac´ıos de X, se define la semidistancia de Hausdorff desde Ahasta Bcomo dist(A, B) := sup a∈A ´ınf b∈Bd(a, b) = sup a∈A d(a, B), donde d(a, B) := ´ınf b∈Bd(a, b)es la distancia usual entre un punto y un conjunto, mientras que la distancia sim´etrica de Hausdorff entre AyBes definida por dH(A, B) := dist(A, B) + dist(B, A). Definici´ on 4. Se dice que un subconjunto Ade Xatrae a un subconjunto Bde X, o que el subconjunto Bes atra´ıdo por el subconjunto A, por medio del semigrupo T(·)cuando l´ım t→∞ dist(T(t)B, A) = 0. Definici´ on 5. Decimos que un subconjunto Ade Xes un atractor global para el semigrupo {T(t) : t⩾0}, si es un conjunto compacto, invariante por T(·)y atrae a todos los subconjuntos acotados de Xpor la acci´on de T(·). Definici´ on 6. Sea {T(t) : t⩾0}un semigrupo no lineal en un espacio m´etrico XyS:= {Ξ1,Ξ2,· · · ,Ξn}una familia finita de conjuntos invariantes aislados. Diremos que {T(t) : t⩾0}es un semigrupo gradiente generalizado respecto de la familia S, cuando existe una funci´on V:X→Rsatisfaciendo las cuatro propiedades siguientes: (i) V:X→Res una funci´on continua. (ii) V:X→Res no creciente a lo largo de soluciones, es decir, para todo x∈Xla funci´on real [0,∞)∋t→V(T(t)x)∈Res no creciente. (iii) Si para alg´un x∈Xse tiene que V(T(t)x) = V(x)para todo t⩾0, entonces x∈Ξpara alg´un Ξ∈S. (iv) V:X→Res constante sobre cada subconjunto invariante aislado perteneciente a S,o sea, para cada Ξ∈Sexiste un n´umero real L=L(Ξ) tal que V(x) = Lcualquiera que sea x∈Ξ. Una funci´on V:X→Rque cumple estas cuatro propiedades se llama una funci´on de Lyapunov generalizada para T(·)asociada a la familia S. En el caso especial en que S=E:= {z∗ 1, z∗ 2,· · · , z∗ n}, el conjunto de puntos estacionarios de T(·), se dice simplemente que T(·)es un semigrupo gradiente y la funci´on V:X→Rasociada, una funci´on de Lyapunov. Definici´ on 7. Sean {T(t) : t⩾0}un semigrupo no lineal en un espacio m´etrico XyΞun conjunto invariante por ´el. Se define: (a) El conjunto inestable de Ξcomo Wu(Ξ) := {x∈X:existe ξ:R→Xsoluci´on global con ξ(0) = x tal que l´ım t→−∞ dist(ξ(t),Ξ) = 0}. (b) El conjunto estable de Ξcomo Ws(Ξ) := {x∈X: l´ım t→∞ dist(T(t)x, Ξ) = 0}. Figueroa, Lozada, Langa and Arag˜ao.- Selecciones Matem´aticas. 03(01): 43-46 (2016) 45 Denotemos por N′,N′′ subconjuntos infinitos de N={1,2,3,· · · }. Sean {Xh}h∈[0,1] una familia de espacios de Banach y {Ph}h∈(0,1] una sucesi´on de operadores lineales acotados Ph:X0→Xh, Ph∈L(X0, Xh), h∈(0,1], con la siguiente propiedad: (2.1) ∥Phu0∥Xh h→0 −→ ∥u0∥X0,∀u0∈X0. Usualmente, en las aplicaciones las Xhson de dimensi´on finita; pero en la teor´ıa formal esta hip´otesis no es necesaria. Definici´ on 8. Decimos que una sucesi´on {uh}h∈(0,1], con uh∈Xhpara todo h∈(0,1] es P−convergente hacia u0∈X0si ∥uh−Phu0∥Xh h→0 −→ 0. Denotemos uh P −→ u0para decir que la sucesi´on {uh}h∈(0,1] P−converge para u0cuando h→0. De manera similar la P−convergencia de sucesiones es definida: Una sucesi´on {uhn}n∈Nde uhn∈Xhncom hn n→∞ −→ 0,P−converge a u0∈X0si ∥uhn−Phnu0∥Xhn n→∞ −→ 0. Definici´ on 9. Se dice que una sucesi´on {Ah}h∈(0,1] de operadores Ah:Xh→YhPQ−convergente hacia el operador A0:X0→Y0cuando h→0, si Ahuh Q −→ A0u0siempre que uh P −→ u0. Escribimos Ah PQ −→ A0cuando h→0para denotar que AhPQ−convergente hacia A0. Definici´ on 10. Sea {Th(t) : t⩾0}h∈[0,1] una familia de semigrupos no lineares en Xh, para h∈(0,1]. Se dice que Th(·)PP −→ T0(·)uniformemente en compactos de R+×X0si para cada τ > 0 y para todo subconjunto compacto D0de X0se tiene que l´ım h→0sup t∈[0,τ] sup u0∈D0 ∥Th(t)uh−PhT0(t)u0∥Xh= 0 siempre que l´ım h→0sup u0∈D0 ∥uh−Phu0∥Xh= 0. Definici´ on 11. Una familia de semigrupos {Th(t) : t⩾0}h∈[0,1] en el espacio de Banach Xh, para todo h∈[0,1], es P−Colectivamente Asint´oticamente Compacta si, para cada sucesi´on {hk}k∈Nen (0,1] con hk k→∞ −→ 0, cada sucesi´on acotada {xk}k∈Nen Xhky cada sucesi´on {tk}k∈N de n´umeros reales positivos con tk k→∞ −→ ∞, la sucesi´on {Thk(tk)xk}k∈Ntiene una subsucesi´on P−convergente hacia un elemento en X0. 3. Resultado Principal. En esta secci´on presentamos el resultado principal de este trabajo. Teorema 1. Sea {Th(t) : t⩾0}h∈[0,1] una familia P−colectivamente asint´oticamente compacta de semigrupos no lineales en un espacio de Banach Xh, para todo h∈[0,1] yTh(t)PP −→ T0(t), para todo t∈K, con Ksubconjunto compacto de R. Supongamos que, se verifican las siguientes hip´otesis: (a) Para cada h∈[0,1], el semigrupo {Th(t) : t⩾0}posee atractor global Ahcon suph∈[0,1] supxh∈Ah∥xh∥Xh< ∞. (b) Existe un natural ptal que para cada h∈[0,1], el semigrupo {Th(t) : t⩾0}posee una familia disjunta de conjuntos invariantes aislados Sh:= {Ξ1,h,Ξ2,h, . . . , Ξp,h} ⊂ Ah que se comportan P−continuamente en h= 0,es decir, que para cada i= 1,2, . . . , pse tiene distXh(Ξi,h, PhΞi,0) + distXh(PhΞi,0,Ξi,h)→0cuando h→0; (c) El semigrupo {T0(t) : t⩾0}es de tipo gradiente generalizado respecto de la familia S0={Ξ1,0,Ξ2,0, . . . , Ξp,0}. (d) La familia de variedades inestables locales de Ξi,h se comporta P−continuamente en h= 0, es decir, existe ρtal que distXh(Wu ρ(Ξi,h), PhWu ρ(Ξi,0)) + distXh(PhWu ρ(Ξi,0), Wu ρ(Ξi,h)) h→0 −→ 0. 46 Figueroa, Lozada, Langa and Arag˜ao.- Selecciones Matem´aticas. 03(01): 43-46 (2016) (e) Existe un δ0>0tal que, para todo h∈[0,1] yj= 1,··· , p;Ξj,h es el invariante maximal para el semigrupo Th(·)dentro de Oδ0(PhΞj,0). Adem´as, δ0es tal que los δ0-entorno de PhΞj,0son disjuntos. Entonces, 1. la familia de atractores {Ah}h∈(0,1] es P−semicontinua superior en h= 0 siempre que (a)sea v´alido; 2. la familia de atractores {Ah}h∈(0,1] es P−semicontinua inferior en h= 0 siempre que (a),(b),(c)y(d)sean v´alidos; y 3. existe un h0∈(0,1] tal que para todo h∈[0, h0]el semigrupo {Th(t) : t⩾0}contenido en Xhes de tipo gradiente generalizado respecto de la familia Sh={Ξ1,h,Ξ2,h,...,Ξp,h} siempre que (a),(b),(c)y(e)sean v´alidos. Consecuentemente, Ah= p ∪ i=1 Wu(Ξi,h),∀h∈[0, h0]. La demostraci´on de este resultado con todos sus detalles se encuentra en [2] ( Teorema 8). Referencias [1] Arag˜ao-Costa, E.R.; Caraballo, T.; Carvalho, A.N.; Langa, J.A. Stability of gradient semigroups under perturbations. Nonlinearity, v. 24, n. 7, p. 2099–2117, 2011. [2] Arag˜ao-Costa, E.R.; Figueroa-L´opez, R.N.; Langa, J.A.; Lozada-Cruz, G. Topological structural stability of partial differential equations on projected spaces. Journal of Dynamics and Differential Equations, accepted 2016. 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