Estudio mediante elementos finitos de los coeficientes de rozamientos mínimos para el arrastre en laminación en frío

Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Máster Ingeniería Aeronáutica Estudio mediante elementos finitos de los coeficientes de rozamientos mínimos para el arrastre en laminación en frío. Autor: Ángel Caballero Bazán Tutor: Luis Valentín Bohórquez Jiménez Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 iii Proyecto Fin de Carrera Máster en Ingeniería Aeronáutica Estudio mediante elementos finitos de los coeficientes de rozamientos mínimos para el arrastre en laminación en frío Autor: Ángel Caballero Bazán Tutor: Luis Valentin Bohórquez Jiménez Profesor Contratado Doctor Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 v Proyecto Fin de Carrera: Estudio mediante elementos finitos de los coeficientes de rozamientos mínimos para el arrastre en laminación en frío Autor: Ángel Caballero Bazán Tutor: Luis Valentín Bohórquez Jiménez El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2016 El Secretario del Tribunal vii A mi familia A mi Cloti ix Agradecimientos En primer lugar agradecerle a mi familia el apoyo dado durante todos estos años, y su dedicación e implicación ya que sin ellos no podría haberlo conseguido. Y una especial mención a Claudia, mi novia, puesto que es la persona que más me apoya y me anima incluso cuando no puede hacerlo consigo misma. Sin ella nada habría sido posible. Ángel Caballero Bazán Sevilla, 2016 Índice Agradecimientos ix Resumen xi Abstract xiii Objetivos xv Índice xvi Índice de Tablas xviii Índice de Figuras xix Notación xxii 1 TEORÍA DE LAMINACIÓN 23 1.1. Análisis simple Del laminado Plano. 23 1.2. Condiciones de Arrastre. 25 1.2.1. Arrastre natural. 25 1.2.2. Arrastre forzado 28 2 INTRODUCCIÓN AL ENTORNO DE ABAQUS. 30 2.1. Entorno de Abaqus 30 2.1.1 Generación de archivo de entrada mediante el interfaz gráfico. 30 3 INTRODUCCION AL ENTORNO DE PYTHON. 33 3.1. Herramientas necesarias para la realización Del proyecto. 33 3.1.1 Python Como calculadora. 33 3.1.2 Operaciones con vectores. 36 3.1.3 Inicios a la programación. 36 4 DEFINICIÓN DEL MODELO EN ABAQUS y DEL PROBLEMA. 39 4.1. Materiales 39 4.2. Parámetros 40 4.3. Modelo. 41 4.3.1. Arrastre natural. 42 4.3.2. Mallado del modelo. 45 4.3.3. Modelo de arrastre forzado. Diferencias principales. 48 5. MODELO EN PYTHON. 50 5.1. Crear un Model Database (mdb) 50 5.2. Crear un Output Database (odb). 57 6 RESULTADOS. 59 6.1 Arrastre Natural 60 6.1.1 Aluminio. 61 6.1.2 Acero 69 6.2 Arrastre Forzado 72 6.2.1 Aluminio. 72 6.2.2 Acero. 79 6.3. Conclusiones. 80 xvii 6.3.1. Posibles soluciones de mejora. 80 ANEXO A. Modelo paso a paso.. 83 A.1 Arrastre natural 83 A.1.1. Modelo y Geometría. 83 A.1.2. Material y Sección. 85 A.1.3. Assembly. 87 A.1.4. Superficies y Sets. 89 A.1.5. Step. 90 A.1.6. Contact. 92 A.1.7. Condiciones de contorno. 94 A.1.8. Mallado. 96 A.1.9. Análisis. 98 A.1.10. Visualización. 98 A.2. Arrastre forzado. 98 A.2.1 Geometría. 99 A.2.2. Sets and Surfaces: 100 A.2.3. Assembly 101 A.2.4. Resto del modelo. 102 ANEXO B. Análisis explícito Vs Implícito. 103 B.1. Metodo de Resolución. 103 B.1.1. Integración directa implícita 103 B.1.2. Integración directa explícita. 103 B.1.3. Aplicación al modelo realizado. 104 ANEXO C.Malla adaptativa, Mass Scaling 105 C.1. Malla adaptativa. 105 C.2. Mass Scaling. 106 ANEXO D.Leyes de comportamiento de los materiales. 107 D.1. Tipos de relaciones esfuerzo-deformación. 108 D.2. Esfuerzo de fluencia. 109 ANEXO E. Visualización de algunos de los casos estudiados. 111 E.1 Arrastre Natural. Aluminio, 𝑹=𝟎.𝟐 𝐦,𝒉𝟎=𝟎.𝟎𝟒 𝐦,𝒉𝒇=𝟎.𝟔𝟐𝟓∗𝐡𝟎 𝒎. 111 E.2. Arrastre Natural. Acero, 𝑹=𝟎.𝟓 𝐦,𝒉𝟎=𝟎.𝟎𝟏 𝐦.𝒉𝒇=𝟎.𝟓∗𝐡𝟎 𝒎. 112 E.3. Arrastre Forzado. Aluminio, 𝑹=𝟎.𝟓 𝐦 ,𝒉𝟎=𝟎.𝟎𝟖 𝐦 .𝒉𝒇=𝟎.𝟑𝟕𝟓∗𝐡𝟎 𝒎. 113 E.4 Arrastre Forzado. Acero, 𝑹=𝟎.𝟐 𝐦,𝒉𝟎=𝟎.𝟎𝟏 𝐦,𝒉𝒇=𝟎.𝟏𝟐𝟓∗𝐡𝟎 𝒎. 114 ANEXO F. Cálculo de fuerzas y momentos de laminación. Teoría. 115 ANEXO G. Cálculo de fuerzas y momentos de laminación. Un ejemplo con Abaqus. 117 ANEXO H. Criterios de convergencia. 119 Referencias 120 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Estudio Paramétrico a realizar. 41 Tabla 2. Condiciones de contorno. 43 Tabla 3. Resultados Arrastre Natural para R=0.2 m 63 Tabla 4. Resultados Arrastre Natural para R=0.5 m. 64 Tabla 5. Propiedades Plásticas del Aluminio 7075 86 Tabla 6. Condiciones de Contorno. 94 xix ÍNDICE DE FIGURAS Ilustración 1. Preformas 23 Ilustración 2. Proceso de Laminación. 24 Ilustración 3. Laminación de una Placa. 25 Ilustración 4. Equilibrio de Fuerzas. 26 Ilustración 5. Parámetros y relaciones geométricas. 27 Ilustración 6. Arrastre forzado. 28 Ilustración 7. Entorno de Abaqus. 31 Ilustración 8. Esquema del procesado de datos de Abaqus. 32 Ilustración 9. Modelo completo con dos rodillos. 42 Ilustración 10. Modelo con simetría. 43 Ilustración 11. Modelo con simetría y un solo arco de 90º. 44 Ilustración 12. Algoritmo de la evolución del modelo. 44 Ilustración 13. Modelo definitivo con Datum Point 45 Ilustración 14. Hipótesis deformación plana en Abaqus. 46 Ilustración 15. Mallado del modelo. 47 Ilustración 16. Diagrama de flujo del método utilizado para la obtención del rozamiento. 48 Ilustración 17. Modelo de Arrastre Forzado. 49 Ilustración 18. Creación de un sistema de coordenadas. 59 Ilustración 19. Arrastre. 60 Ilustración 20. No se produce arrastre. 60 Ilustración 21. ANAl -1-: 𝜇 frente a Δℎ 61 Ilustración 22. ANAl -2-: 𝜇 frente a Δℎ 61 Ilustración 23. AN - Al -3-: 𝜇 frente a Δℎ 62 Ilustración 24. ANAl -4-: 𝜇 frente a Δℎ 64 Ilustración 25. AN - Al -5-: 𝜇 frente a Δℎ 65 Ilustración 26. AN - Al -6-: 𝜇 frente a Δℎ 65 Ilustración 27. AN - Al -7-: 𝜇 frente a 𝐿/ℎ𝑚𝑒𝑑 66 Ilustración 28. AN - Al -8-: 𝜇 frente a 𝐿/ℎ𝑚𝑒𝑑 66 Ilustración 29. AN - Al -9-: 𝜇 frente a 𝐿/ℎ𝑚𝑒𝑑 67 Ilustración 30. AN - Al -10-: 𝜇 frente a 𝜃 68 Ilustración 31. AN - Al -11-: Efecto del Mallado Adaptativo. 68 Ilustración 32. AN - AC -1-: 𝜇 frente a Δℎ 69 Ilustración 33. AN - AC -2-: 𝜇 frente a Δℎ 69 Ilustración 34. AN - AC -3-: 𝜇 frente a Δℎ 70 Ilustración 35. AN - AC -4-: 𝜇 frente a Δℎ 70 Ilustración 36. AN - AC -5-: 𝜇 frente a Δℎ 71 Ilustración 37. AN - AC -6-: 𝜇 frente a Δℎ 71 Ilustración 38. AF - AL -1-: 𝜇 frente a Δℎ 72 Ilustración 39. AF - AL -2-: 𝜇 frente a Δℎ 73 Ilustración 40. AF - AL -3-: 𝜇 frente a Δℎ 73 Ilustración 41. AF - AL -4-: Comparación con y sin Malla Adaptativa. 74 Ilustración 42. Modelo “Real 2” con dos Steps y dos rozamientos. 75 Ilustración 43. AF - AL -5-: 𝜇 frente a Δℎ 75 Ilustración 44. AF - AL -6-: 𝜇 frente a Δℎ 76 Ilustración 45. AF - AL -7-: 𝜇 frente a Δℎ 76 Ilustración 46. AF - AL -8-: 𝜇 frente a Δℎ 77 Ilustración 47. AF - AL -9-: 𝜇 frente a Δℎ 77 Ilustración 48. AF - AL -10-: 𝜇 frente a Δℎ 78 Ilustración 49. AF - AC -1-: 𝜇 frente a Δℎ 79 Ilustración 50. Parámetros de remallado. 81 Ilustración 51. Parámetros de la técnica ALE de Abaqus. 81 Ilustración 52. Interfaz de Abaqus. 84 Ilustración 53. Creación de la geometría de partida. 85 Ilustración 54. Creación del arco que conforma el rodillo. 85 Ilustración 55. Definición de las propiedades del material en Abaqus. 87 Ilustración 56. Datum Point. 88 Ilustración 57. Ensamblado del modelo. 89 Ilustración 58. Creación de los Sets. 89 Ilustración 59.History Output. 91 Ilustración 60. Definición de la malla adaptativa. 92 Ilustración 61. Introducción del valor del rozamiento. 93 Ilustración 62. Contacto entre rodillo y placa. 94 Ilustración 63. Condiciones de contorno. 95 Ilustración 64. Velocidad angular de los rodillos. 96 Ilustración 65. Tipo de elemento escogido. 97 Ilustración 66. Estructura de la malla. 97 Ilustración 67. Superficie Top en Arrastre forzado. 101 Ilustración 68. Superficie Top en Arrastre Natural. 101 Ilustración 69. Ensamblado del model de Arrastre Forzado. 101 Ilustración 70. Curva esfuerzo-deformación. 107 Ilustración 71. Zona plástica de la curva esfuerzo-deformación 108 Ilustración 72. Material perfectamente plástico. 108 Ilustración 73. Material elástico y perfectamente plástico. 109 xxi Ilustración 74. Material elástico y con endurecimiento por deformación 109 Ilustración 75. Curva de fluencia. 110 Ilustración 76. Representación gráfica proceso laminación-1 111 Ilustración 77. Representación gráfica proceso laminación-2 112 Ilustración 78. Representación gráfica proceso laminación-3 113 Ilustración 79. Representación gráfica proceso laminación-4 114 Ilustración 80. Tensión de un elemento. 117 Ilustración 81. Deformación de un elemento. 118 Ilustración 82. Reacción en el eje del rodillo. 118 Notación ℎ0 Altura/Espesor inicial de la placa ℎ𝑓 Altura/Espesor final de la placa Δℎ Incremento de altura/espesor de la placa ℎ Valor medio de la suma de alturas inicial y final. 𝑙0 Longitud inicial de la placa 𝑤0 Ancho inicial de la placa 𝑤𝑓 Ancho final de la placa 𝑣0 Velocidad a la entrada de los rodillos 𝑣𝑓 Velocidad a la salida de los rodillos L Longitud de contacto 𝜎𝑦𝑠     Tensión de fluencia media del proceso 𝜎𝑜 Tensión de tracción a la entrada del proceso 𝜎𝑓 Tensión de tracción a la salida del proceso F Fuerza de laminación cos Función coseno tg Función tangente arctg Función arco tangente sen Función seno : Tal que < Menor o igual > Mayor o igual ≅ Aproximadamente igual que m Metro mm Milímetro. 1 TEORÍA DE LAMINACIÓN l proceso de laminación es un proceso de conformado en el cual se obliga a un material a pasar entre la abertura formada por dos rodillos, la cual se mantiene constante, teniendo el material una sección distinta a dicha abertura y pasando entre estos debido al arrastre producido por el giro de los rodillos. Una vez se produce el arrastre, la sección del material adquiere la forma de la abertura de los rodillos. Es decir, la laminación se puede resumir en que es un proceso de conformado plástico en el cual se reduce el espesor de una chapa mediante fuerzas de compresión aplicadas por rodillos que giran a velocidad angular constante. Se puede pensar que en el proceso de laminación solo se obtienen laminas, sin embargo, según la preforma usada, la forma de los rodillos, así como la configuración de los mismos, se pueden obtener diversas geometrías: Ilustración 1. Preformas Donde todas presentan la misma característica común que como ya se explicó consiste en que tienen una sección constante, que es la de la abertura entre rodillos, a lo largo de una dirección (la dirección de laminación), y la preforma de origen presenta una dimensión mucho mayor que las otras dos. Aun así, en este proyecto se va a tratar el tema de laminación de placas, y todo el razonamiento teórico a seguir se va a basar en dicha geometría. 1.1. Análisis simple Del laminado Plano. Supongamos que se quiere laminar una placa de dimensiones ℎ𝑜 𝑥 𝑤𝑜 𝑥 𝑙𝑜, haciéndola pasar por unos rodillos: E TEORÍA DE LAMINACIÓN 24 24 Ilustración 2. Proceso de Laminación. Por conservación de volumen y caudal se obtiene que siempre debe cumplirse la siguiente relación: ℎ𝑜 𝑤𝑜 𝑣𝑜=ℎ𝑓 𝑤𝑓 𝑣𝑓 (𝟏−𝟏) En el laminado de chapas y láminas es habitual que el ancho de las mismas (𝑤𝑜) sea mucho mayor que el espesor de las mismas. Ello da lugar a que para que se produzca la deformación del material entre los rodillos según el eje de los mismos, es decir, para que se produzca un aumento en el ancho de las placas, tendrían que rozar a lo largo de todo su ancho. Sin embargo en el sentido de la laminación la longitud de contacto es mucho menor, por lo que la resistencia que ofrece el material a pasar entre los rodillos es inferior, produciéndose la laminación en dicho sentido. Este fenómeno da lugar a un estado de deformación plana, que da lugar a que la anchura de la lámina se mantenga constante, produciéndose por lo tanto una variación de altura y de longitud de las mismas. Por lo que se obtiene la siguiente igualdad: 𝑠𝑖 ℎ𝑜≪𝑤𝑜 → 𝐿≪𝑤𝑜 → 𝑤𝑜≅𝑤𝑓 → ℎ𝑜 𝑣𝑜=ℎ𝑓 𝑣𝑓 (𝟏−𝟐) Por lo que hasta ahora queda claro que el cambio de forma de las preformas se obtiene obligando al material a fluir por compresión entre los rodillos, y puesto que no se produce variación en el ancho de las placas, y se acorta el espesor, dicho incremento de altura lleva asociado un aumento de longitud de las placas. Se podría por lo tanto pensar que es posible obtener el mismo resultado traccionando las placas longitudinalmente. Sin embargo, ello no es posible ya que la tracción conlleva fenómenos de inestabilidad muy elevados, y se produciría la estricción y posterior rotura de las láminas. Lo que si sería posible es añadir una tracción horizontal a la compresión que experimenta la lámina por parte de los rodillos para facilitar la fluencia del material. Este fenómeno se puede observar en la expresión obtenida para la fuerza de los rodillos (ANEXO F), que es: 𝐹=(𝜎𝑦𝑠     −𝜎𝑓+𝜎𝑜 2)𝐿 𝑤 (𝟏−𝟑) Donde: - 𝜎𝑦𝑠     : Tensión media de fluencia en el proceso. - 𝜎𝑜: Tensión de tracción a la entrada del proceso - 𝜎𝑓: Tensión de tracción a la salida del proceso. - 𝐿: Longitud de contacto - 𝑤: Anchura de la chapa. Donde la expresión de la longitud de contacto se obtendrá posteriormente Cabe destacar que en el término de tensión media de fluencia queda reflejado lo explicado anteriormente en lo que respecta a que la laminación se da gracias a esfuerzos de compresión, los cuales pueden verse aliviados con 25 fuerzas de tracción longitudinal. Por lo que una vez explicado los fenómenos que intervienen en la laminación, el último aspecto a comentar es que mecanismo hace posible la transmisión de esfuerzos entre rodillos y placa para que se produzca la laminación, y dicho mecanismo no es otro que el rozamiento. De manera que para el objetivo de este proyecto es interesante conocer las condiciones que tienen lugar para que se produzca la entrada de la preforma entre los rodillos: Las condiciones de arrastre. 1.2. Condiciones de Arrastre. Como se ha explicado la laminación se basa en las fuerzas de fricción ejercida por rodillos sobre la preforma que se desea laminar. Estas fuerzas, que son de compresión (aunque pueden verse ayudadas por fuerzas de tracción como se explicó anteriormente), introducen la pieza entre los rodillos, lo que provoca una reducción de espesor de la misma. Además el mecanismo de transmisión se esfuerzos entre rodillo y placa es el rozamiento, y es el que permite que se produzca la laminación, ya que sin la existencia de este los rodillos patinarían sobre la chapa y sería imposible laminarla. Por lo tanto, es interesante estimar el mínimo rozamiento necesario para llevar a cabo una determinada reducción de espesor Δℎ, con unos rodillos de radio R, o bien formulando el problema de otra forma, la máxima reducción de espesor que se puede obtener para un radio y un rozamiento determinado. Dicho valor mínimo de rozamiento es conocido como condición de arrastre, y existen dos tipos: Arrastre Natural y Arrastre Forzado. Para analizar las condiciones de arrastre se va a partir de una configuración de deformación plana, dada por una placa de altura inicial ℎ0 que se introduce a una velocidad 𝑣0 entre unos rodillos de radio R, para obtener una placa de altura final ℎ𝑓 y velocidad de salida 𝑣𝑓(la cual según la expresión [1-2] es mayor que la velocidad de entrada). Ilustración 3. Laminación de una Placa. 1.2.1. Arrastre natural. La condición de arrastre natural se obtiene del equilibrio de fuerzas en el primer punto de contacto entre la placa y el rodillo, como se puede observar en la siguiente figura: INTRODUCCIÓN AL ENTORNO DE ABAQUS. 32 32 - Step. - Interaction. - Load. - Mesh. - Optimitation. - Job De manera que una vez se introduzcan los datos de interés en cada uno de dichos módulos, se generará un archivo de entrada que Abaqus leerá, y si no hay ninguna incidencia, se puede proceder al análisis. Ilustración 8. Esquema del procesado de datos de Abaqus. 33 3 INTRODUCCION AL ENTORNO DE PYTHON. ython es un lenguaje de programación sencillo de aprender y potente. Presenta eficaces estructuras de datos de alto nivel y una solución de programación orientada a objetos simple pero eficaz, lo cual facilita mucho su aprendizaje. Además usa una sintaxis muy sencilla y elegante, goza de una gestión de tipos dinámica y su naturaleza interpretada hace de él un lenguaje ideal para guiones (scripts) y desarrollo rápido de aplicaciones, en muchas áreas y en la mayoría de las plataformas. Es por eso que cuando se inicio el proyecto y se vio la posibilidad de usar dicho lenguaje de programación debido a su compatibilidad con Abaqus, se decidió utilizar dicha potente herramienta para desarrollar el proyecto de una manera más eficiente. Cabe destacar que el intérprete de Python y la extensa biblioteca estándar están disponible libremente y al alcance de todos, por lo que esto hace más sencillo su aprendizaje. Además se puede ampliar el intérprete de Python con nuevas funciones y tipos de datos implementados en C y C++, por lo que para el lector usuario habitual de dichos lenguajes, esta breve introducción puede ser ofrecer una gran posibilidad para iniciarse en el mundo de la programación en PYTHON así como al desarrollo de aplicaciones. Además PYTHON presente una ventaja muy clara respecto a otros lenguajes de programación como pueden ser C o C++, y es que sus códigos son muy compactos y legibles. Ello se debe principalmente a varios motivos: - Los tipos de datos de alto nivel permiten expresar operaciones complejas en una sola sentencia. - El agrupamiento de sentencias se realiza mediante sangrado (identación) en lugar de begin/end o llaves. - No es necesario declarar los argumentos ni las variables. Por lo que se obtiene aquí una razón más para iniciarse en el mundo de la programación en PYTHON. 3.1. Herramientas necesarias para la realización Del proyecto. Puesto que el entorno de PYTHON es muy extenso y sus aplicaciones son demasiado amplias para tratarlas o introducirlas todas, se va a explicar a continuación las herramientas generales que han sido necesarias para la realización del proyecto, y posteriormente, se explicarán las herramientas particulares de Python en el entorno de Abaqus que se han utilizado. Por ello se van a explicar principalmente el funcionamiento de Abaqus como calculadora, y la forma de programar algunas sentencias sencillas como son los bucles for y while o el condicional if. 3.1.1 Python Como calculadora. En primer lugar cabe destacar que para obtener toda la funcionalidad de Python en el script que se desarrollará posteriormente para Abaqus, es conveniente importar todas las herramientas matemáticas que posee dicho lenguaje. Para ello se utiliza la siguiente línea de código: Import math Una vez a nuestra disposición dichas herramientas, se va a explicar cómo realizar operaciones sencillas con Python como son la asignación de variables, suma, resta, multiplicación, logaritmos, exponenciales, trigonometría etc. P INTRODUCCION AL ENTORNO DE PYTHON. 34 34 3.1.1.1 Asignación de variables. Al igual que en otros lenguajes de programación como C, la igualdad se utiliza para asignar un valor a una variable: >>> Ah=0.005 >>>R=0.2 Y además se puede asignar un valor simultáneamente a varias variables: >>> x1=x2=x3=0 O asignación múltiple de las mismas: >>> a,b=1,2 ### Es igual que asignar por separado el valor a cada variable a=1;a=2. Donde “#” se utiliza para introducir comentarios, es decir, cuando el programa lee el símbolo de almohadilla pasa a la siguiente línea. 3.1.1.2 Aritmética. Para sumar, restar, multiplicar y dividir se utilizan los mismos operadores que en otros lenguajes: ” +,-,*,/”. De igual forma se utilizan paréntesis para agrupar las operaciones: >>> 2+2 4 >>>(Ah*R-2)/4 0.49975 Además cabe destacar que para rescatar el último resultado impreso en pantalla, y utilizarlo para un cálculo posterior, se utiliza la variable ” _”, que en modo interactivo es donde Python almacena el valor. >>>2+2 4 >>>_+3 7 Finalmente, hay que destacar que el operando usado por Python para el cálculo de las exponenciales difiere de otros lenguajes de programación, en los que se usa el operador “^”. En el entorno de Python se utiliza el operando “**” >>>2**3 8 >>>3**3 27 Por lo que para calcular raíces, solo hay que recordar que estas se pueden poner de forma exponencial. Por ejemplo para calcular la raíz de 4 35 >>4**1/2 2 3.1.1.3 Trigonometría. A continuación se va a explicar cómo utilizar las funciones trigonométricas en Python dado que van a ser de gran utilidad en el desarrollo del proyecto. Como se ha descrito al principio del texto lo primero que hay que hacer para importar todas las funciones matemáticas de Python en un script es escribir la línea de código “Import Math” Import Math Las funciones seno, coseno, y tangente se declaran directamente como sin, cos y tan: >>>sin (0.0) 0 >>>cos(0.0) 1 O bien desde un script como math.cos(0.0) 1 Cabe destacar que Python espera que introduzcamos el valor de los ángulos en radianes, por lo que es de utilidad saber que se dispone de la constante pi >>>math.pi 3.141592653589793 >>> math.sin(math.pi/3) 0.8660254037844386 Por otro lado, las funciones inversas se obtienen respectivamente como asin(), acos() y atan(): >>>math.acos(1) 0.0 También cabe destacar que, se puede pasar de radianes a grados de la siguiente forma: >>>math.atan(1) 0.7853981633974483 >>>math.degrees(0.7853981633974483) 45.0 Y la operación inversa, es decir, pasar de grados a radianes con la función radians() >>>Math.radians(90) 1.5707963267948966 Finalmente se acaba explicando cómo obtener la hipotenusa de un triángulo rectángulo, lo cual nos puede resultar de gran utilidad en el proyecto: INTRODUCCION AL ENTORNO DE PYTHON. 36 36 >>>Math.hypot(3,5) 5.0 3.1.2 Operaciones con vectores. Las operaciones con vectores están englobadas dentro de un tipo de datos compuestos conocido como “listas”. Dicho tipo es el más versátil puesto que permite agrupar elementos de distinto tipo (números y letras). La forma de definir una lista es mediante corchetes, con sus elementos separados con comas. Así que si se quiere crear un vector: >>> a=[1,3,5,8] Donde se puede acceder a sus componentes, así como cambiar alguno de ellos de la siguiente forma: >>> a[0] 1 >>> a[3] 8 >>>a[1]=3 >>> print(a) a=[3,3,5,8] Finalmente se muestra como definir listas con diferentes tipos de elementos, así como el acceso y modificación de los mismos en este caso: >>> b=[“Proyecto”,10,”TFM”,”Angel”,[10,9,8]] >>>b[0] Proyecto ### Para acceder a un elemento del vector [10,9,8] se utiliza: >>>b[[4][0]] 10 >>>b[[4][2]] 8 ## y para modificar algún elemento análogamente al caso anterior >>>b[0]=”Rolling” >>>Print (b) b=[“Rolling”,10,”TFM”,”Angel”,[10,9,8]] 3.1.3 Inicios a la programación. 3.1.3.1 Funciones. Se van a introducir finalmente como definir funciones sencillas en Python, así como las principales y más conocidas herramientas de control de flujo. Para definir funciones simples basta con usar las siguientes líneas de código: 37 Def FUNCION: Return RESULTADO DE LA FUNCIÓN Con el siguiente ejemplo se ilustra de mejor manera: Import math Def sen (grados): Return math.sin(math.radians(grados)) >> sen (30) 0.499999999999994 Donde se ha creado una función para el seno que admita como argumento de entrada el valor del ángulo en grados. En lo que respecta a las herramientas de control de flujo, se van a explicar con ejemplos las principales y más conocidas, que son las estructuras while, for e if. 3.1.3.2 While. La estructura del bucle while es la que se muestra acontinuación: >>>b=1 While b<10 Print b b=b+1 Al igual que en otros lenguajes de programación, es necesario definir una variable contador, que es la que se va incrementando en cada bucle y la que nos indica cuando se sale del mismo. En este caso el bucle “while” se ejecuta mientras la condición sea cierta. Los operadores de comparación estándar se escriben de la misma forma que en otros lenguajes de programación como C: < (menor que), > (mayor que), == (igual a), <= (menor o igual que), >= (mayor o igual que), y != (diferente de). 3.1.3.3 For La estrucutura del bucle for se puede resumir en: For variable in elemento iterable (lista, cadena, range, etc.): Cuerpo del bucle La construcción for es un poco diferente a lo acostumbrado en otros lenguajes de programación como C, MAtlab, etc. Ello se debe a que en lugar de recorrer una progresión aritmética o dejar libertad de inicialización, salto de paso, comprobación, etc, el for de Python recorre los elementos de una secuencia (como por ejemplo una lista) en el orden que aparecen en la secuencia. Por lo demás la estructura es la misma, donde bloque de instrucciones que se repite se suele llamar cuerpo del bucle y cada repetición iteración. Otra cosa a destacar es que, a diferencia de otros lenguajes, no es necesario definir la variable de control del bucle o inicializarla antes de definir este. A continuación se muestran algunos ejemplos para entender mejor el INTRODUCCION AL ENTORNO DE PYTHON. 38 38 funcionamiento: >>>For i in [0,1,2]: Print (“Hola”,end=””) Print () Hola Hola Hola >>> For i in [3,4,5] a=i b=i**2 print(a,b) 3,9 4,16 5,25 3.1.3.4 if La estructura del condicional if se va a ilustrar con el siguiente ejemplo: >> > x=int(raw_input(“introduce un numero:”)) If x<0 X=0 Printf ‘Negativo cambiado a cero’ Elif x==0; Print ‘cero’ Elif x==1: Print ‘uno’ Else print ´Más´ Cabe destacar que puede haber ninguna, o más partes elif, que es una abreviatura de else if usado en otros lenguajes de programación. Además la sentencia else (si no) es opcional. 39 4 DEFINICIÓN DEL MODELO EN ABAQUS Y DEL PROBLEMA. l objetivo de este capítulo es que una vez introducida la teoría necesaria referente al proceso de laminación, conocidos los parámetros del mismo que se quieren hallar, y habiéndonos familiarizado con el entorno de ABAQUS y PYTHON, definir el estudio paramétrico que se va a llevar a cabo, definiendo los distintos parámetros a barrer así como la evolución del modelo. Se van a realizar dos modelos diferentes: uno de ellos para estimar el coeficiente de arrastre natural, y otro para el de arrastre forzado. Sin embargo los modelos son muy similares por lo que se explicará en primer lugar el correspondiente con la estimación del coeficiente de arrastre natural, y posteriormente se ilustrarán las principales diferencias que presenta con el de arrastre forzado. En cuanto a los parámetros que se van a estudiar, van a ser aquellos que influyan en los coeficientes de rozamientos que determinan el arrastre natural y arrastre forzado: - Arrastre natural: 𝜇=𝑡𝑎𝑛𝜃=√Δℎ 𝑅=√ℎ0−ℎ𝑓 𝑅 (𝟒−𝟏) - Arrastre forzado: 𝜇=tan(𝜃 2) =tan(tan−1(√Δℎ 𝑅) /2) (𝟒−𝟐) Por lo que como se puede observar, los parámetros implicados son ℎ0,ℎ𝑓,𝑦 𝑅. Por otro lado, también se cree conveniente estudiar el problema para distintos tipos de material y observar si se producen variaciones en los resultados o no para los mismos tipos de geometría. Los materiales que se van a estudiar son Aluminio 70-75 y Acero al carbono dulce, de cuyas propiedades nos interesa principalmente densidad, las propiedades elásticas (Modulo de elasticidad, coeficiente de Poisson, y límite elástico), y plásticas (Ley de comportamiento plástica). 4.1. Materiales Cabe destacar que para ambos materiales se va a definir una ley de comportamiento plástica parabólica, que tiene la siguiente forma: 𝜎𝑝=𝜎𝑒+𝐾ϵp n (𝟒−𝟑) Donde: - K= Coeficiente de resistencia. - n= Coeficiente de endurecimiento. - 𝜎𝑝= Tensión plástica. - 𝜎𝑒=Límite elástico. - ϵp=Deformación plástica. Finalmente destacar que para obtener las tensiones plásticas es necesario introducir unos valores de deformaciones plásticas, los cual se va a hacer a incrementos de un 5% hasta llegar a una deformación plástica ϵ=1 (equivalente a una deformación del 100%). A continuación se definen los valores utilizados para cada material. E DEFINICIÓN DEL MODELO EN ABAQUS y DEL PROBLEMA. 40 40  Aluminio 70-75. - 𝜌= 2810 𝑘𝑔/𝑚3 - E=72 Gpa - 𝜈=0.33 - K= 318.96 Mpa - n= 0.227 - 𝜎𝑒=418.11 Mpa - ϵp=[0:0.05:1] - 𝜎𝑝=418.11+318.96∗𝜖𝑝0.227 Mpa  Acero al carbono - 𝜌=7850 𝑘𝑔/𝑚3 - E=210 Gpa - 𝜈=0.3 - K= 600 Mpa - n= 0.21 - 𝜎𝑒= 400 Mpa - ϵp=[0:0.05:1] - 𝜎𝑝=400+600∗𝜖𝑝0.21 Mpa 4.2. Parámetros Los parámetros que se van a variar son altura inicial de la placa, altura final, y radio del rodillo para cada unos de los materiales descritos. El procedimiento a seguir va a consistir en fijar radio de rodillo y altura inicial, y variar la altura final a incrementos de 12.5 % de 0 a 100 de manera que se obtengan configuraciones de deformación homogénea y no homogénea. Dicho procedimiento se va a llevar a cabo para los distintos radios y alturas iniciales que se van a analizar. En cuanto a los rodillos se van a modelar de la manera más realista posible, por lo que se considerarán radios de 0.2 y 0.5 metros. Finalmente se van a laminar placas de tres alturas iniciales de 1, 4, y 8 centímetros. Por lo que el estudio parámétrico que se va a realizar queda de la siguiente manera: 41 Material Radio [m] h0 [m] Hf [m] 0.01 0.2 0.04 Aluminio 70-75 0.08 [0.125:0.125:0.875] ∗ℎ0 0.01 0.5 0.04 0.08 0.01 0.2 0.04 Acero al carbono 0.08 [0.125:0.125:0.875] ∗ℎ0 0.01 0.5 0.04 0.08 Tabla 1. Estudio Paramétrico a realizar. Es decir, para cada combinación de material, Radio, y ℎ0, se obtendrá el coeficiente de rozamiento que da lugar al arrastre natural y forzado para los siguientes valores de ℎ𝑓: - 0.125∗ℎ0 - 0.25∗ℎ0 - 0.375∗ℎ0 - 0.5∗ℎ0 - 0.625∗ℎ0 - 0.75∗ℎ0 - 0.875∗ℎ0 De manera que se van a realizar un total de 168 análisis (la mitad para estimar el coeficiente de arrastre natural y la otra mitad para el forzado). Dicho esto se puede observar la importancia que tiene simplificar el modelo lo máximo posible ya que cada análisis con la malla definitiva tarda una media de 1-2 horas como se mostrará más adelante. 4.3. Modelo. Se va explicar a continuación como se ha llevado a cabo el desarrollo del modelo numérico en el programa de elementos finitos ABAQUS\CAE. Puesto que los fenómenos que se van a estudiar (arrastre natural y arrastre forzado) difieren únicamente en la geometría y posición inicial de la placa de material que se va a extruir, se va a mostrar cómo se ha llevado a cabo el modelo de arrastre natural, y posteriormente se mostrarán las diferencias que presente respecto a este el de arrastre forzado. DEFINICIÓN DEL MODELO EN ABAQUS y DEL PROBLEMA. 48 48 Ilustración 16. Diagrama de flujo del método utilizado para la obtención del rozamiento. 4.3.3. Modelo de arrastre forzado. Diferencias principales. En lo que respecta al modelo realizado para simular las condiciones de arrastre forzado, la única diferencia respecto al modelo anterior es la geometría inicial. Ello se debe a que la condición de arrastre forzado se da cuando la placa se ha introducido entre los rodillos ya sea aplicando una fuerza inicial que la obligue a ello, debido a mordida de las placas., etc. 49 Ilustración 17. Modelo de Arrastre Forzado. Por lo que la principal diferencia es la geometría de partida, que como se puede observar en esta ocasión no es un rectángulo, sino que en este caso tenemos en la cara superior un arco de circunferencia que se corresponde con el rodillo, y el cual viene definido por las longitudes características del proceso de laminación L y Δℎ/2. Por otro lado debido a dicho cambio en la geometría, cambia la definición de la superficie “top” que se definirá porteriormente, ya que en ese caso está formada por el arco y el segmento horizontal que unido a el conforman la cara superior (En lugar de estar formado por la cara superior y la lateral derecha como en el caso del arrastre natural). Finalmente destacar que en el ANEXO A se mostrará en más detalle dicho modelo. MODELO EN PYTHON. 50 50 5. MODELO EN PYTHON. na vez explicado todo lo referente al proceso de fabricación que se va a estudiar, y a los modelos y casos de estudio que se van a llevar a cabo con ABAQUS, es hora de introducir el código en PYTHON que se ha usado para realizar el estudio paramétrico que se pretende realizar con el presente proyecto. En primer lugar destacar que la idea de usar PYTHON viene dada por el hecho de que se van a variar 4 parámetros característicos del proceso de laminación, dando lugar a un total de 168 casos de estudio. El proceso llevado a cabo para modelar el problema directamente con ABAQUS, así como su refinamiento y optimización ha sido costoso y duradero, ya que no se tenían nociones acerca del uso de dicho programa anteriormente. Es cierto que una vez realizado este modelo por primera vez, se puede repetir en cuestión de algo más de media hora, por lo que parece un tiempo asumible. Sin embargo se vio la oportunidad de estudiar una nueva herramienta que permitiera realizarlo de manera automática solo introduciendo algunos parámetros de entrada, y por eso se decidió volver a realizar los modelos desarrollados, pero esta vez usando el lenguaje de programación PYTHON. La programación con PYTHON es una herramienta muy poderosa, ya que no solo nos permite resolver problemas del tipo que se está tratando, en la que todos los parámetros están relacionados por lo que permiten una parametrización no muy compleja, sino que además permiten combinar la gran funcionalidad del entorno gráfico de ABAQUS con la gran potencia que posee el lenguaje de programación PYTHON. A continuación se va a explicar de manera general y también aplicada a nuestro modelo, los siguientes aspectos: - Crear un Model Database (mdb) - Crear un Output Database (odb). Además se van a explicar paso por paso en el mismo orden en el que se han llevado a cabo los modelos usando el interfaz gráfico de ABAQUS (Se puede observar en el ANEXO 1). 5.1. Crear un Model Database (mdb) Puesto que el entorno de PYTHON no contiene por defecto toda la funcionalidad de la que goza ABAQUS, lo primero que se debe hacer es importar todas las herramientas y módulos de abaqus que se vayan a usar mediante las siguientes líneas de código: from part import * from material import * from section import * from optimization import * from assembly import * from step import * from interaction import * from load import * from mesh import * from job import * from sketch import * from visualization import * from connectorBehavior import * U 51 import math Donde la última secuencia de caracteres sirve para activar todas las operaciones matemáticas que PYTHON permite realizar y que serán de gran utilidad a la hora definir algunas características del modelo. A continuación se va seguir paso por paso el procedimiento seguido en el anexo 1 para la realización del modelo: 1. Crear un Part: 2D plano, deformable, tipo Shell, y de tamaño aproximado 0.5 m. Crear un Sketch rectangular a través de punto incial y punto final. mdb.models['Model-1'].ConstrainedSketch(name='__profile__', sheetSize=4.0) mdb.models['Model-1'].sketches['__profile__'].rectangle(point1=(x0, y0), point2=(x6, y6)) mdb.models['Model-1'].Part(dimensionality=TWO_D_PLANAR, name='plate', type= DEFORMABLE_BODY) mdb.models['Model-1'].parts['plate'].BaseShell(sketch= mdb.models['Model-1'].sketches['__profile__']) del mdb.models['Model-1'].sketches['__profile__'] Como se puede observar la estructura de las líneas de código de Python dentro del entorno de Abaqus son siempre iguales: Mdb.models[‘Nombre del modelo’].Módulo o entidad a la que pertenece la operación a realizar [‘nombre asociado a la entidad’].Operación(argumentos de entrada necesarios). En el caso en que sea una operación directa o independiente de un módulo u objeto en cuestión se usa: Mdb.models[‘Nombre del modelo’].Operación(Argumentos de entrada). Destacar que entre los argumentos de entrada es típico encontrarse el argumento “Type”, e cual te permite escoger entre las distintas opciones que se escoge manualmente en el interaz gráfico de Abaqus. 2. Crear un Part: 2D plano, analítico rígido, Tipo Shell, y de tamaño aproximado 0.5 m. Crear un Sketch: Arco a través de punto central, inicial y final. mdb.models['Model-1'].ConstrainedSketch(name='__profile__', sheetSize=4.0) mdb.models['Model1'].sketches['__profile__'].ArcByCenterEnds(center=(0.0, 0.0) , direction=CLOCKWISE, point1=(0.0, -R), point2=(-R, 0)) mdb.models['Model-1'].Part(dimensionality=TWO_D_PLANAR, name='roller1', type= ANALYTIC_RIGID_SURFACE) mdb.models['Model-1'].parts['roller1'].AnalyticRigidSurf2DPlanar(sketch= MODELO EN PYTHON. 52 52 mdb.models['Model-1'].sketches['__profile__']) del mdb.models['Model-1'].sketches['__profile__'] 3. Crear Material. Lineal elásto-plástico. Al igual que se hizo con el preprocesador gráfico, hay que crear el material definiendo la densidad, propiedades elásticas, y propiedades plásticas. mdb.models['Model-1'].Material(name='steal') mdb.models['Model-1'].materials['steal'].Density(table=((rho, ), )) mdb.models['Model-1'].materials['steal'].Elastic(table=((E, nu), )) mdb.models['Model-1'].materials['steal'].Plastic(table=((o1, e1), ( o2,e2), (o3, e3), (o4,e4), (o5, e5), (o6, e6), (o7, e7), (o8, e8), ( o9, e9), (o10,e10), (o11, e11),(o12,e12), (o13, e13), (o14,e14), (o15, e15), (o16, e16), (o17, e17), (o18, e18), ( o19, e19), (o20,e20), (o21, e21))) 4. Crear Sección. Solida, homogénea. Para crear una sección y asociarla a la geometría se procede de la siguiente manera: mdb.models['Model-1'].HomogeneousSolidSection(material='steal', name= 'Section-1', thickness=None) mdb.models['Model-1'].parts['plate'].Set(faces= mdb.models['Model-1'].parts['plate'].faces.getSequenceFromMask(('[#1 ]', ), ), name='Set-1') mdb.models['Model-1'].parts['plate'].SectionAssignment(offset=0.0, offsetField= '', offsetType=MIDDLE_SURFACE, region= mdb.models['Model-1'].parts['plate'].sets['Set-1'], sectionName='Section1' , thicknessAssignment=FROM_SECTION) Donde se puede observer que la asociación se hace indicando a que Part (plate) se le quiere otorgar dicha sección. 53 5. Crear Sets y superficies En primer lugar se van a crear distinto Sets, herramienta que consiste asociar un nombre a distintas partes de la geometría de manera que se facilite la asociación de condiciones de contornos u otras opciones a dichas partes. mdb.models['Model-1'].parts['plate'].Set(edges= mdb.models['Model-1'].parts['plate'].edges.getSequenceFromMask(('[#1 ]', ), ), name='top') mdb.models['Model-1'].parts['plate'].Set(edges= mdb.models['Model-1'].parts['plate'].edges.getSequenceFromMask(('[#4 ]', ), ), name='bottom') mdb.models['Model-1'].parts['plate'].Set(edges= mdb.models['Model-1'].parts['plate'].edges.getSequenceFromMask(('[#2 ]', ), ), name='left') mdb.models['Model-1'].parts['roller1'].ReferencePoint(point= mdb.models['Model-1'].parts['roller1'].InterestingPoint( mdb.models['Model-1'].parts['roller1'].edges[0], CENTER)) mdb.models['Model-1'].parts['roller1'].Set(name='refpt1', referencePoints=( mdb.models['Model-1'].parts['roller1'].referencePoints[2], )) Se puede observer en las últimas líneas de comando que se ha creado un referent Point, que servirá de base para aplicar las condiciones de contorno del modelo, y al cual se le ha asociado un Set. A continuación ahora se crean las superficies: #mdb.models['Model-1'].parts['plate'].Surface(name='top', #side1Edges= #mdb.models['Model-1'].parts['plate'].edges.getSequenceFromMask((#'[#1 ]', ), #)) mdb.models['Model-1'].parts['roller'].Surface(name='roller', side1Edges= mdb.models['Model-1'].parts['roller'].edges.getSequenceFromMask(('[#9 ]', ), )) En este punto cabe destacar que existe una forma alternativa a la hora de seleccionar la geometría a la cual se quiere asignar una superficie o un set, y dicha alternativa viene dada por el comando .Findat: mdb.models['Model-1'].parts['plate'].Surface(name='top', side1Edges= mdb.models['Model-1'].parts['plate'].edges.findAt(((x,y,0.0),))) Como se puede observar la principal diferencia radica en que el comando getSequenceFromMask identifica el MODELO EN PYTHON. 54 54 eje al que se quiere asignar una superficie o Set mediante un sistema numérico asignado por abaqus (Por ejemplo, para un cuadrado, cada lado tendrá un número del 1 al 4,y el cuadrado al completo el número 5), y el comando FindAt busca el eje en el punto que se introduce como argumento. 6. Assembly. En primer lugar se crea el Datum Point que servirá para definir el contacto entre rodillo y placa, donde como se puede observer se piden como argumentos el eje en el que se quiere crear y el valor parametrizado que nos da su posición. mdb.models['Model-1'].rootAssembly.DatumPointByEdgeParam(edge= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['roller1-1'].edges[0], parameter=datumpoint) Por lo que ya se puede crear el conjunto, introduciendo los dos Parts implicados, cuyo posicionamiento y contacto en el Datum Point se hará de forma manual. mdb.models['Model-1'] .rootAssembly.DatumCsysByDefault(CARTESIAN) mdb.models['Model-1'].rootAssembly.Instance(dependent=ON, name='plate-1', part= mdb.models['Model-1'].parts['plate']) mdb.models['Model-1'].rootAssembly.Instance(dependent=ON, name='roller11', part=mdb.models['Model-1'].parts['roller1']) 7. Step. Con las siguientes líneas de código se crea el Step dinámico explícito, así como las variables que se quieren obtener del mismo, donde como se puede observer se puede escoger facilmente a que parte del modelo van a ir asociados (Sets), el numero de puntos en los que se quieren representar, etc. Cabe destacar que se han creado dos tipos de historiales de resultados: Field Output y History Output. mdb.models['Model-1'].ExplicitDynamicsStep(name='Step-1', previous='Initial', timePeriod=0.1) mdb.models['Model-1'].fieldOutputRequests['F-Output1'].setValues(numIntervals= 100) mdb.models['Model-1'].historyOutputRequests['H-Output-1'].setValues( numIntervals=100, rebar=EXCLUDE, region= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['roller1-1'].sets['refpt1'], sectionPoints=DEFAULT, variables=('RF1', 'RF2', 'RF3', 'RM1', 'RM2', 'RM3', 55 'RT', 'RM', 'RWM', 'CF1', 'CF2', 'CF3', 'CM1', 'CM2', 'CM3', 'SF1', 'SF2', 'SF3', 'SM1', 'SM2', 'SM3', 'NFORC', 'NFORCSO', 'RBFOR', 'ALLAE', 'ALLCD', 'ALLDMD', 'ALLFD', 'ALLIE', 'ALLKE', 'ALLPD', 'ALLSE', 'ALLVD', 'ALLWK', 'ETOTAL')) 8. Contacto e interacciones. Este es el apartado más importante del modelo desarrollado en Python puesto que e donde se define la propiedad asociada al rozamiento, que es en definitiva, el parámetro que se quiere obtener con el proyeto. Los argumentos principales de entrada para crear dicha propiedad son el tipo de contacto, la formulación que se va a escoger para definirlo, y según sea esta, el valor del rozamiento que se va a introducir en el modelo. mdb.models['Model-1'].ContactProperty('IntProp-1') mdb.models['Model-1'].interactionProperties['IntProp1'].TangentialBehavior( dependencies=0, directionality=ISOTROPIC, elasticSlipStiffness=None, formulation=PENALTY, fraction=0.005, maximumElasticSlip=FRACTION, pressureDependency=OFF, shearStressLimit=None, slipRateDependency=OFF, table=((mu, ), ), temperatureDependency=OFF) En lo que respecta a las interacciones, los argumentos son el step en el que se va a crear, la propiedad que se quiere asociar a dicha interacción, así como las superficies implicadas. mdb.models['Model-1'].SurfaceToSurfaceContactExp(clearanceRegion=None, createStepName='Step-1', datumAxis=None, initialClearance=OMIT, interactionProperty='IntProp-1', master= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.surfaces['roller1'], mechanicalConstraint=KINEMATIC, name='Int-1', slave= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.surfaces['top'], sliding=FINITE) 10. Condiciones de contorno. Las condiciones de contorno que se van a aplicar son en desplazamientos, y velocidad principalmente, y la forma de programarlas es muy sencilla e intuitiva: - Fijar desplazamiento. mdb.models['Model-1'].DisplacementBC(amplitude=UNSET, createStepName='Initial', distributionType=UNIFORM, fieldName='', localCsys=None, name='fixroll1', region= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['roller1-1'].sets['refpt1'], u1=SET, u2=SET, ur3=UNSET) MODELO EN PYTHON. 56 56 - Velocidades. mdb.models['Model-1'].VelocityBC(amplitude=UNSET, createStepName='Step1', distributionType=UNIFORM, fieldName='', localCsys=None, name='vroll1', region= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['roller1-1'].sets['refpt1'], v1=UNSET, v2=UNSET, vr3=6.28) - Simetría. ####symetry mdb.models['Model-1'].YsymmBC(createStepName='Step-1', localCsys=None, name= 'symertry', region= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['plate1'].sets['bottom']) - Velocidad inicial. mdb.models['Model-1'].Velocity(distributionType=MAGNITUDE, field='', name= 'Predefined Field-1', omega=0.0, region= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['plate-1'].sets['Set4'], velocity1=1.25, velocity2=0.0) 11. Mallado. En lo que respecta al mallado, este se va a realizar una parte mediante el código de Python, y otra parte manualmente (Por comodidad debido al elevado número de casos de estudio que se tiene). Lo primero que hay que hacer es hacer ambas partes del conjunto placa-rodillo independientes, debido a que solo se va a mallar la placa (puesto que el rodillo es una superficie analítica y no se puede mallar). mdb.models['Model-1'].rootAssembly.makeIndependent(instances=( mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['plate-1'], )) mdb.models['Model-1'].rootAssembly.makeIndependent(instances=( mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['roller1-1'], )) Y finalmente se escoge el tipo de elemento y la forma en la que se va a estrucutar la malla, dejando la semilla de mallado y el mallado definitivo en manos del usuario, el cual deberá realizarlo de manera manual para usando 57 el preprocesador gráfico de Abaqus: mdb.models['Model-1'].rootAssembly.setMeshControls(elemShape=TRI, regions= mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['plate1'].faces.getSequenceFromMask( ('[#1 ]', ), )) mdb.models['Model-1'].rootAssembly.setElementType(elemTypes=(ElemType( elemCode=CPE3, elemLibrary=EXPLICIT, secondOrderAccuracy=OFF, hourglassControl=DEFAULT, distortionControl=DEFAULT), ElemType( elemCode=CPE3, elemLibrary=EXPLICIT)), regions=( mdb.models['Model-1'].rootAssembly.instances['plate1'].faces.getSequenceFromMask( ('[#1 ]', ), ), )) Donde se puede observer que se puede escoger facilmente la forma del elemento, el tipo, estructura de la malla (en este caso al no poner nada se esta dejando una malla libre), etc. 12. Job. En el proyecto que se está realizando la definición del trabajo así como el acceso a los resultados se ha realizado de manera manual. Ello se debe a que debido al gran número de modelo que se han elaborado, se necesitaba gozar de un control y una gestión de los trabajos o Jobs, y de los resultados, el cual se lleva mejor a cabo de manera manual. Aun así se incluye como sería la sentencia a escribir en Python para hacerlo de manera automática (se va a hacer para un caso general puesto que como se ha dicho no se ha hecho a lo largo del proyecto). Mdb.job(contactPrint=OFF,description=’’,echoPrint=OFF, explicitPrecision=SINGLE,historyPrint=OFF,memory=90, memoryUnits=PERCENTAJE,model=’Model1’,modelPrint=OFF,multiprocessingmodel=DEFAULT,name=’EjemploJob’,nodalOutputPrecision=SINGLE,numCpus=1,numDomains=1,paralletizatio nMethodExplicit=DOMAIN,scratch=’’,type=ANALYSYS,userSubroutine=’’) Mdb.jobs[‘Ejemplo-Job’]submit(ConsistencyChecking=OFF) Dicha sentencia crea el job y hace que comience el análisis. Se pueden observar algunos argumentos de entrada que deben ser conocidos para un usuario habitual de Abaqus como son el tipo de precisión (Single, Double, etc), el uso o no uso de varios procesadores, el porcentaje de memoria Ram asociado, el uso o no de paralelización, etc. 5.2. Crear un Output Database (odb). Una vez creado el modelo en Python, el siguiente paso es acceder a los resultados. Puesto que dicha opción se ha realizado a mano a lo largo del Proyecto, no se va a entrar en mayor profundidad, aunque cabe destacar que es de gran utilidad si se está trabajando con varios Scripts a la vez o con varios ordenadores, ya que puede suponer un ahorro de tiempo considerable. De forma general, para acceder a los resultados lo primero que habría que hacer es guardar el archivo generado en la sección anterior, con el formato “.py. Y posteriormente incluir las siguientes líneas de código que abre algunos módulos, carga la ventana de resultados y abre el odb. RESULTADOS. 64 64 0,75*h0 10 1.22 0.1414 0.134 70 -5 0,875*h0 5 0.84 0.1 0.094 50 -6 0,125*h0 70 4.15 0.3742 0.366 187.1 -2 0,25*h0 60 3.46 0.3464 0.339 173.2 -2 0,375*h0 50 2.87 0.3162 0.309 158.1 -2 0,5 0,5*h0 40 2.35 0.2828 0.274 141.4 -3 0,625*h0 30 1.88 0.2449 0.237 122.5 -3 0,75*h0 20 1.42 0.2 0.192 100 -4 0,08 0,875*h0 10 0.94 0.1414 0.132 70 -6 Tabla 4. Resultados Arrastre Natural para R=0.5 m. Donde como se puede comprobar, a medida que la reducción de espesor es mayor, aumenta la longitud característica, y el valor del rozamiento se va incrementando. Sin embargo puesto que las longitudes de contacto son mayores que en el caso anterior, los errores positivos deberían ser mayores también, y a pesar de que va aumentando, en algunos casos no llegan ni a superar el valor teórico. Esto nos hace pensar que la longitud de contacto entre rodillo y placa no es el parámetro que nos ayude a comprobar por que se producen dichos errores. A continuación se muestran gráficamente los resultados obtenidos para R=0.5:  Aluminio. R=0.5 m; ℎ0=0.01 m. Ilustración 24. ANAl -4-: 𝜇 frente a Δℎ [mm] [m] 65  Aluminio. R=0.5 m; ℎ0=0.04 m. Ilustración 25. AN - Al -5-: 𝜇 frente a Δℎ  Aluminio.R=0.5 m; ℎ0=0.08 m. Ilustración 26. AN - Al -6-: 𝜇 frente a Δℎ Donde como se puede observar que independientemente de los errores encontrados respecto a teoría, los rozamientos obtenidos respetan la evolución que sigue la misma ya que se obtienen las mismas tendencias que para R=0.2 m, aunque con valores inferiores a estos casos puesto que el radio es mayor. Con el fin de encontrar una tendencia para la evolución de los errores encontrados, se decide comprobar la [mm] [mm] [m] [m] RESULTADOS. 66 66 evolución respecto la homogeneidad en la deformación, y los resultados obtenidos son los siguientes: Ilustración 27. AN - Al -7-: 𝜇 frente a 𝐿/ℎ𝑚𝑒𝑑 Ilustración 28. AN - Al -8-: 𝜇 frente a 𝐿/ℎ𝑚𝑒𝑑 R=0.2 m R=0.5 m [m] [m] 67 Ilustración 29. AN - Al -9-: 𝜇 frente a 𝐿/ℎ𝑚𝑒𝑑 Se puede comprobar que no existe un rango perfectamente definido en el que podamos decir que el error encontrado sea el mínimo. Si que se puede afirmar que a medida que aumenta 𝐿/ℎ, va aumentando el error respecto a la teoría de manera progresiva. Finalmente se opta por definir entre que ángulos el error es el mínimo e intentar constrastarlo con resultados experimentales para ver si el modelo computacional desarrollado los cumple: [m] RESULTADOS. 68 68 Ilustración 30. AN - Al -10-: 𝜇 frente a 𝜃 Donde se puede aproximar que los mejores resultados se obtienen para ángulos entre los 10-22 grados, que se corresponde con coeficientes de rozamiento de 0.1763-0.3639. Esto no parece muy descabellado puesto que los ángulos típicos para los cuales se realiza la laminación en frío no superan dichos valores (Aunque debido a la dificultad en la medición experimental de rozamientos la bibliografía para consultar dichos valores es excasa). Finalmente se va a representar el efecto que tiene el mallado adaptativo a la hora de simular las condiciones de arrastre natural: Ilustración 31. AN - Al -11-: Efecto del Mallado Adaptativo. Donde se observa claramente que el valor del rozamiento obtenido para el modelo de estimación del coeficiente de arrastre natural es independiente del uso o no de dicho tipo de malla, ya que los resultados para la malla adaptativa y la no adaptativa aparecen superpuestos. Esto quiere decir que los resultados obtenidos tienen un alto grado de fiabilidad y exactitud, puesto que son independientes del tipo de mallado escogido. [m] 69 6.1.2 Acero A continuación se van a mostrar los valores obtenidos para el Acero, donde a priori se deben obtener los mismos valores obtenidos anteriormente, o al menos, con un error muy pequeño respecto a estos.  Acero. R=0.2 m; ℎ0=0.01 m. Ilustración 32. AN - AC -1-: 𝜇 frente a Δℎ Los máximos errores encontrados entre los coeficientes de rozamiento entre el caso del aluminio y del acero son de un 1%, por lo que se demuestra que es independiente del tipo de material. Lo mismo sucede para el resto de casos, que no necesitan de mayor explicación.  Acero. R=0.2 m; ℎ0=0.04 m. Ilustración 33. AN - AC -2-: 𝜇 frente a Δℎ [mm] [mm] [m] [m] RESULTADOS. 70 70  Acero. R=0.2 m; ℎ0=0.08 m. Ilustración 34. AN - AC -3-: 𝜇 frente a Δℎ  Acero. R=0.5m; ℎ0=0.01 m. Ilustración 35. AN - AC -4-: 𝜇 frente a Δℎ [mm] [mm] [m] [m] 71  Acero. R=0.5 m; ℎ0=0.04 m. Ilustración 36. AN - AC -5-: 𝜇 frente a Δℎ  Acero. R=0.5 m; ℎ0=0.08 m. Ilustración 37. AN - AC -6-: 𝜇 frente a Δℎ [mm] [mm] [m] [m] RESULTADOS. 72 72 6.2 ARRASTRE FORZADO A continuación se procede a realizar el mismo estudio anterior pero para la estimación del coeficiente de arrastre forzado, según el cual el arrastre de la placa se producía para valores del rozamiento: 𝜇≥tan(𝜃2) (𝟔−𝟏) Al igual que antes primero se estudiará para el Alumino 7075 y posteriormente para el Acero al carbono dulce, destacando que puesto que los errores obtenidos son mayores y existe una mayor dispersión en los resultados que para el caso de arrastre natural, se va a partir como primer “disparo” del valor teórico, y variando a incrementos de un 3% a partir de este. 6.2.1 Aluminio. Se va a realizar el mismo estudio paramétrico que se realizó para el modelo de arrastre natural:  Aluminio. R=0.2 m. ℎ0=0.01 m. Ilustración 38. AF - AL -1-: 𝜇 frente a Δℎ Donde se observa que la tendencia es igual que la observada para el caso de arrastre natural: A medida que la reducción de espesor aumenta, se incrementa el valor del coeficiente de rozamiento. Dicha tendencia se va a dar de igual manera con la longitud característica de contacto, el ángulo, y 𝐿/ℎ𝑚𝑒𝑑, con lo cual se obtienen gráficas con la misma tendencia que para el caso del arrastre natural pero con valores inferiores. Esto es razonable ya que: 𝜇=tan(0.5∗𝑎𝑡𝑎𝑛(√𝛥ℎ 𝑅)) (𝟔−𝟐) Por lo que se observa claramente que la evolución a seguir con los parámetros va a ser la misma que para el caso de arrastre natural. [m] 73  Aluminio. R=0.2 m. ℎ0=0.04 m. Ilustración 39. AF - AL -2-: 𝜇 frente a Δℎ  Aluminio. R=0.2 m. ℎ0=0.08 m. Ilustración 40. AF - AL -3-: 𝜇 frente a Δℎ [m] [m] RESULTADOS. 80 80 6.3. Conclusiones. Se han estimado los valores del coeficiente de rozamiento mínimo de arrastre natural y forzado para varias configuraciones de chapa y rodillos mediante el método de los elementos finitos y comparados con los valores que arrojan las expresiones para los mismos recogidas en la bibliografía. Del estudio sacamos las siguientes conclusiones:  Para Arrastre Natural: - El mallado adaptativo no influye en los resultados. - Con el modelo de elementos finitos realizado para la estimación del coeficiente de arrastre natural se obtienen valores similares a los obtenidos según la teoría, con discrepancias a un 7%. - Los errores más elevados se producen para valores de 𝜇𝑟𝑒𝑎𝑙<𝜇𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜. - También se ha observado que para pequeñas reducciones de espesor, 𝜇𝑟𝑒𝑎𝑙<𝜇𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜, y para grandes reducciones, 𝜇𝑟𝑒𝑎𝑙>𝜇𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜, encontrándose un rango entre 𝜇=[0.17,0.37] dónde 𝜇𝑟𝑒𝑎𝑙=𝜇𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜. - Independencia del material a la hora de estimación del coeficiente de arrastre natural, ya que se obtienen prácticamente los mismos resultados para Aluminio y Acero.  Para el modelo de Arrastre Forzado: - La malla adaptativa afecta significativamente a los resultados, reduciendo discrepancias en casi un 50%. - Las discrepancias con los valores teóricos son del orden del 25%, pudiéndose deber a problemas de contacto en el inicio de la laminación. - Debido a ello, se propuso un segundo modelo con el que eliminar dicho posible error de contacto, y los errores se redujeron considerablemente, obteniendose errores muy bajos (menores al 10%) excepto para grandes reducciones de espesor, donde los resulados son similares a los del punto anterior (Errores en torno al 20-30 %). - Dichos errores pueden deberse a las grandes deformaciones y cambios de geometría que sufre el modelo, los cuales podrían ser tratados y reducidos con el uso más intensivo y específico de la malla adaptativa. - Independencia del material a la hora de la estimación del coeficiente de arrastre forzado. 6.3.1. Posibles soluciones de mejora. Como se ha observado a lo largo del estudio del modelo de estimación del coeficiente de arrastre forzado, se han encontrado errores elevados cuya naturaleza se podia deber a varias razones: - Teoría mal postulada. - Errores computacionales: principalmente en el contacto de las superficies implicadas. - Limitación computacional: En lo que respecta al número de elementos de la malla. Por ello se plantean dos líneas de investigación futuras: 6.3.1.1. Mejora del mallado adaptativo. Se comprobó que forzando la fluencia del material entre los rodillos (en un porcentaje muy pequeño) de manera previa al estudio de las condiciones de arrastre forzado se mejoraron los resultados considerablemente (salvo para Δℎ elevados), aunque habría que estudiar en mayor profundidad los efectos que tiene sobre el modelo y si introduce desviaciones importantes respecto a lo impuesto por el desarrolo teórico. 81 Es por ello que se plantean como lineas de investigación futuras observar el efecto que tiene el mallado adaptativo en el modelo de arrastre forzado en cuestión, puesto que variando los parámetros que definen dicho tipo de mallado se cree que se pueden mejorar considerablemente los resultados obtenidos. De hecho los errores encontrados para reducciones de espesor elevadas se deben a que en dichos casos predomina la deformación no homogenea, que lleva asociada un cambio muy grande en la geometría de la preforma. Por lo tanto el mallado adaptativo es muy necesario en estos casos ya que se necesita de un remallado continuo de la geometría para que este se adapte a la geometría deformada para cada intervalo de tiempo que se crea necesario. Por lo que se plantea que en futuros estudios se realice un remallado mas exhaustivo de la geometría, a intervalos de tiempo mas pequeños: Ilustración 50. Parámetros de remallado. Para lo cua habría que ir jugando con la frecuencia y los remallados por incremento. Por otro lado se podría estudiar para cada caso los parámetros propios de la técnica ALE proporcionada por Abaqus: Ilustración 51. Parámetros de la técnica ALE de Abaqus. Puesto que según el caso de estudio, pueden interesar más unos valores u otros. Finalmente podría combinarse dicho estudio sobre los parámetros influyentes en la malla adaptativa con el studio en profundidad de los parámetros influyentes en la condición de contacto, overclosure controls, puesto que dichos parámetros permiten restringir los errores iniciales que pueden darse cuando se impone el contacto entre geometrías de cierta complejidad, evitando la penetración de unos Parts en otros así como “falsos contactos iniciales”. RESULTADOS. 82 82 6.3.1.2. Estudio de casos extremos. Por otro lado, con el fin de demostrar la veracidad de la teoría, se plantea el cálculo del coeficiente de arrastre forzado para casos extremos de poco interés práctico, pero que pueden dislumbrar si la teoría postulada es correcta o si no lo es, posibilitar la búsqueda de una teoría alternativa. Dicho caso extremo consiste en el cumplimiento de las dos hipótesis planteadas para la obtención del coeficiente de arrastre forzado: - Considerar el material perfectamente elástico, lo cual encajaría cómo se vio en el capítulo 1 con la hipótesis de presión constante sobre la placa a lo largo del proceso de laminación. - Ángulos de contacto pequeños. 83 ANEXO A. MODELO PASO A PASO n el presente Anexo se van a modelar con ABAQUS los dos problemas que se quieren resolver con el proyecto: Se van a simular las condiciones de arrastre natural y arrastre forzado para la comprobación del cumplimiento o no de los valores dados por la teoría. Antes de entrar en profundidad en cada modelo, cabe destacar algunos aspectos comunes que presentarán. Como es sabido el proceso de laminación es una sencilla técnica de fabricación que se utiliza para transformar placas prefabricadas por otros procesos en otras con formas o dimensiones más adecuadas para posteriores procesos de fabricación. Dicho proceso es principalmente quasi-estático, ya que la laminación se produce normalmente a velocidades bajas, del orden de 1 m/s, por lo que los efectos de inercia no son muy importantes. Esto a priori nos indicaría que realizar y resolver el modelo como un problema estático no debería suponer un problema, y los resultados no deberían diferir mucho de la realidad. Sin embargo, debido al comportamiento del material y los fenómenos no lineales que tienen lugar en el proceso (contacto y fricción), se va a utilizar un modelo dinámico, y por lo tanto se utiliza el solver explícito del que dispone abaqus para dicho tipo de problemas. A continuación se proceden a explicar los modelos realizados para una placa genérica de x mm de altura incial y con reducción de altura del y% m donde la hipótesis principal a tener en cuenta es que se va a considerar plane strain, debido a que como ya se comento en el capítulo 1, se puede formular el problema asumiendo que existen un estado de deformación plana. A.1 Arrastre natural Se va a explicar que modelo se ha llevado a cabo para simular las condiciones de arrastre natural. Cabe destacar que en primer lugar se realizó el modelo el modelo con el interfaz gráfico de abaqus, hasta que se consiguió un modelo con el que se obtenían resultados aceptables y que serviría de base para realizar el posterior estudio paramétrico en PYTHON. Se van a explicar a continuación todos los pasos seguidos para la obtención del modelo así como los detalles que se consideren de interés. A.1.1. Modelo y Geometría. Se va a modelar solo la mitad del problema debido a la simetría de geometría y de cargas que este presenta. En cuanto a la geometría, esta consistirá en un rectángulo con las dimensiones adecuadas, que es el material que se quiere laminar, y un rodillo, que es el encargado de realizar dicho proceso de laminación. Antes de comenzar a explicar cómo se ha desarrollado el modelo cabe destacar que lo más importante del problema es determinar el punto de contacto exacto entre el cilindro y la placa de material, ya que dicho punto de contacto viene dado por la teoría de la laminación y debe ser el adecuado para que se de la condición de arrastre natural. Se ha procedido de dos formas para asegurar que el contacto entre cilindro y material se produzca en dicho punto, y aquí es donde interviene la geometría del rodillo:  Dividir el arco de 90º en dos arcos: El primero de ello empieza en el punto final de contacto entre rodillo y placa, y acaba en el punto de contacto a ángulo 𝜃 respecto el primero (punto de contacto para que se de arrastre natural). El segundo arco comenzaría en el segundo punto mencionado anteriormente, y acabaría a 90 grados.  Arco de 90º y Datum Point en el punto de contacto deseado. E ANEXO A. Modelo paso a paso 84 84 Se va a explicar en primer lugar el segundo de los casos mencionados, dejando el otro para el módelo de simulación de condición de arrastre forzado. Los pasos llevados a cabo son los que siguen: 1. Iniciar sesión en ABAQUS/CAE. Se creará un modelo automáticamente (model-1). Podemos cambiar el nombre de dicho modelo aunque en este caso se dejará el que viene por defecto. 2. Crear un part. Como se explicó anteriormente ABAQUS permite trabajar desde el árbol, la barra de herramientas, y con los iconos que aparecen en la ventana de trabajo. De aquí en adelante se va a trabajar indiferentemente de estas tres formas. Ilustración 52. Interfaz de Abaqus. Por lo tanto o bien se hace doble clic en Model  Part, se usa el icono correspondiente Part Manager, o se abre el manager desde la barra de herramientas Part  Part Manager. Se crea un nuevo Part llamado Plate, y se escoge la opción de 2D planar puesto que por ahora solo se va a trabajar en dos dimensiones. El tipo será Deformable y basado en Shell (placa). En cuanto a las dimensiones del sketch se escoge en función del tamaño de la geometría que se va crear, y en nuestro caso se escoge un Sketch Area de 0.1. 3. Se selecciona Create lines: Rectangle (4 Lines), y se introducen las coordenadas del material de partida, teniendo en cuenta que se está usando la simetría del problema para simplificar el modelo, por lo que las dimensiones serán la mitad de las de el material de partida. Por lo tanto se introducen las coordenadas (0,0) y (- 1.2L, -h0/2)= (-0.05,-0.005), donde se supone que la longitud de la placa es un 20% superior a la longitud característica de contacto, lo cual no afectará al problema y simplificará su resolución. 85 Ilustración 53. Creación de la geometría de partida. 4. En el árbol del modelo, se hace doble clic en Part, y se escoge la opción de modelado espacial 2D Planar, tipo Analytical rigid. En cuanto a la dimensión del sketch, se escoge Sketch Area de 0.5. 5. Finalmente se crea un arco con Create Arc, centrado en el punto (0,0), y que va desde (0,-R), a (-R, 0). 6. A continuación es necesario crear un punto de referencia que servirá a posteriori para definir algunos aspectos del step, y será el punto en torno al que se centran las condiciones de contorno y el análisis en general. Para ello, desde la barra de herramientas, se hace clic en Tools  Reference Point, y se escoge como punto de referencia el centro del arco. Ilustración 54. Creación del arco que conforma el rodillo. A.1.2. Material y Sección. Como se describió en el capítulo 4, se va a realizar un estudio para distintos materiales. En este primer caso se va a realizar para el aluminio utilizado en la industria aeronáutica, AL-7075. ANEXO A. Modelo paso a paso 86 86 Cabe destacar que se va a considerar un comportamiento elástico-plástico, por lo que habrá que introducir diferentes propiedades tanto elásticas como plásticas (Vease ANEXO D). Para definir el material y la sección se procede de la siguiente manera: 1. Doble clic en el árbol de modelo en Materials. Se crea un nuevo material denominado Alumino-7075, y se introducen las siguientes propiedades: - Densidad: 2810 𝑘𝑔/𝑚3 - Modulo de elasticidad: 7.2 E10 𝑁/𝑚2 - Coeficiente de Poisson: 0.33 - Deformaciones plásticas y tensiones asociadas: En este caso se han tenido en cuenta 20 puntos de deformaciones, lo cual se considera suficiente para reflejar con claridad el comportamiento plástico del material. Además se ha variado el número de puntos comprobándose que no se producen alteraciones en los resultados (con 10, 20, y 40 puntos). Yield Stress (Pa) Plastic Strain 418110000 579695510 607229461 625462338 639455160 650955905 660794895 669437301 677172075 684191979 690632530 696592913 702148072 707356128 712263132 716906240 721315901 725517400 729531987 733377701 737070000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 Tabla 5. Propiedades Plásticas del Aluminio 7075 87 2. Para crear una sección, se hace doble clic en Sections y se crea una sección solida homogénea con espesor Default thickness de 1.0. 3. Finalmente, se asocia la sección a la geometría del material de partida mediante Section Assigments, ya sea como se mencionó antes usando el árbol o los iconos de ayuda del programa. Ilustración 55. Definición de las propiedades del material en Abaqus. A.1.3. Assembly. Una vez definida la geometría y el modelo con los que se va a trabajar, se procede a montar el modelo de manera que refleje de la manera más fiable posible lo que sucede en la realidad en el proceso de laminación. Puesto que el modelo que se está explicando es el que consta de un solo rodillo, es necesario definir el punto del ANEXO A. Modelo paso a paso 88 88 rodillo en el que debe producirse el primer contacto entre rodillo y material para que se den las condiciones de arrastre natural. Para ello se va a usar una herramienta de abaqus llamada Datum point, que permite introducir un punto que sirva como referencia, pero el cual no forma parte de la geometría del modelo, es decir, no es un punto físico del rodillo o material de partida, por lo cual no requiere que se apliquen restricciones ni condiciones de contorno. Para ello, se hace clic en Tools  Datum en la barra de herramientas y aparece la ventana que se muestra a continuación: Ilustración 56. Datum Point. Como se puede observar ABAQUS permite introducir un punto, eje, plano, o sistema de referencia, existiendo diferentes métodos para introducir el objeto de interés. Para el caso del punto, se puede añadir directamente por coordenadas, mediante la distancia a un punto, como punto intermedio entre dos puntos, mediante proyección en una cara o plano, o introduciendo un parámetro de interés. Dicha opción es la que más nos interesa en nuestro caso ya que a pesar de que se conocen las coordenadas exactas del punto de contacto, debido a pequeños errores numéricos puede que el punto que se defina no forme parte del rodillo, y aunque el error que presente sea del orden de la micra, no se produciría la laminación puesto que las partes de interés de nuestro problema (rodillo y plato) no estarían inicialmente en contacto. Por ello se va a usar la opción Enter parameter, ya que permite seleccionar una eje de la geometría existente, y mediante la definición de un parámetro “t”, definir en qué posición dentro de dicho eje se encuentra el punto que se quiere definir. En el caso del problema que se está tratando de resolver, el razonamiento a seguir es el siguiente:  Es conocido el ángulo que forma la vertical que pasa por el centro del arco, y el punto de contacto deseado para que se produzca el arrastre natural: tan𝜃=√Δℎ 𝑅→𝜃=tan−1(√Δℎ 𝑅) (𝑨−𝟏)  Por lo que si el parámetro t está definido por defecto de 0 a 1 en sentido de las agujas del reloj, el punto inicial se corresponderá con un valor de t=0 y el punto final correspondiente con un ángulo recorrido total de 𝝅 /2 se corresponde con un valor de t=1.  De manera que para obtener el punto de contacto exacto y por ende el valor del parámetro t a introducir, haciendo una sencilla regla de tres se obtiene: 89 𝑡=𝜃𝜋2 (𝑨−𝟐) Una vez conocido el punto de contacto, se hace clic en el icono de Translate instance, se selecciona el part a trasladar, que en este caso es el plato, se selecciona como punto inicial el vértice superior derecho puesto que es el primer punto que entrará en contacto con el rodillo, y como punto final el Datum Point creado previamente: Ilustración 57. Ensamblado del modelo. A.1.4. Superficies y Sets. Antes de proceder con la definición del caso de estudio y de las interacciones que tienen lugar entre los componentes del modelo es conveniente definir diferentes Sets o Subpartes del módelo que facilitarán en gran medida la aplicación de condiciones de contorno y de cargas o interacciones en determinadas zonas. 1. Se despliega el contenido de Assembly en el árbol del modelo, y se hace doble clic en Sets para crear las ayudas geométricas correspondientes: - Bottom: El eje inferior del plato. - Plate: El plato entero. - RefPnt= Punto de referencia del rodillo creado anteriormente. 2. A continuación se van a crear algunas superficies de interés que nos serán de gran ayuda a la hora de definir las interacciones de contacto entre ambas partes que conforman el modelo: - Top: El eje superior y el eje derecho del plato. Es muy importante escoger ambos ejes, ya que si solo se elige el eje superior, no se tendrá en cuenta que cuando la placa se deforme a causa de la presión ejercida por el rodillo, el material situado en el eje derecho pasará a entrar en contacto con el rodillo, por lo que si no se define de esta manera, el resultado no será real, y además pueden aparecer diversos errores en el análisis. - Roller: Todo el eje del rodillo. Ilustración 58. Creación de los Sets. ANEXO A. Modelo paso a paso 96 96 Ilustración 64. Velocidad angular de los rodillos. 3. Finalmente se va explicar cómo introducir una condición inicial en velocidad a la placa de material que va a ser laminado. Cabe destacar que dicha condición de contorno es opcional y que no influirá en el resultado del problema, aunque si hará que el análisis vaya más rápido puesto que elimina la discontinuidad en el campo de velocidades que sufre la placa, ya que parte de una velocidad nula a adquirir una velocidad de salida en cuanto entra en contacto con el rodillo. Para ello, en el árbol del modelo se hace doble clic en Fields, y en la ventana de diálogo que aparece, se selecciona el Step inicial, Mechanical category  Velocity type. Se escoge la región a la que se quiere dar dicha velocidad incial, que es la placa de material, y se introduce la velocidad deseada. Cabe destacar que la discontinuidad en el campo de velocidades se produce en el momento en que se inicia el proceso de laminación en el punto de contacto entre rodillo y placa, donde la velocidad es igual a la velocidad tangencial asociada a la velocidad angular del rodillo. Por lo que un valor adecuado para dicha velocidad inicial, es por lo tanto, el valor de la velocidad tangencial en el punto de contacto: 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=𝜔∗𝑅=2𝜋∗0.2~1.25 (𝑨−𝟓) A.1.8. Mallado. Este es el último apartado en lo que se refiere a definición del modelo, ya que posteriormente se procede a definir el análisis y la visualización de resultados. Como se introdujo en capítulos y apartados anteriores se va a utilizar un mallado adaptativo, para un caso de deformación plana. 1. Para introducir dicha característica a nuestro mallado, es necesario definir qué tipo de elemento se va a utilizar. Para ello, en la barra de herramientas principal del programa, se selecciona Mesh  Element type, se indica que se está realizando un análisis dinamico de tipo explícito, y se selecciona la hipótesis de Plane Strain. El elemento asociado a las características impuestas es el elemento CPE4R o CPE3 (según se usen elementos cuadrados o triangulares). 97 Ilustración 65. Tipo de elemento escogido. 2. A continuación también se puede imponer que el mallado sea estructurado o no, lo cual es opcional ya que para la geometría de partida un mallado libre o menos estructurado también dar buenos resultados y no induce a error. Lo que si hay que tener en cuenta es que para que el mallado adaptativo sea efectivo es necesario trabajar con mallas libres de elementos triangulares o dominantemente cuadrados. Estas opciones se escogen en la barra de herramientas haciendo clic en Mesh  Mesh controls. Ilustración 66. Estructura de la malla. ANEXO A. Modelo paso a paso 98 98 3. Finalmente se hace una semilla de mallado para observar cómo va a ser el mallado que se va a realizar y se malla. Para ello se seleciona en la barra de herramientas Mesh  Part y se selecciona el tamaño del elemento a mallar. Como se explicó en capítulos anteriores el mallado va a tener entre 25005000 elementos por lo que hay que calcular el tamaño del elemento. Finalmente, se selecciona Mesh  Part y se malla la placa. A.1.9. Análisis. Una vez creado y modelado el proceso de laminación que se va a llevar a cabo, hay que crear un caso de trabajo para posteriormente observar los resultados obtenidos en el postprocesador de ABAQUS: 1. Se crea un nuevo job de estudio haciendo doble clic en el árbol del modelo en Job. Puesto que el objetivo del trabajo es realizar un estudio paramétrico y se realizarán numerosos modelos, conviene identificar cada modelo con un nombre que resulte fácil de identificar. Por lo que le damos al caso de estudio el nombre de 02_004_05AN, el cual se corresponde con Radio rodillo_ℎ0_%reducción_Arrastre natural o forzado. Finalmente se hace clic en submit para cargar el trabajo e iniciar el análisis, y una vez obtenido los resultados, se procederá a la visualización de los mismos. A.1.10. Visualización. Una vez se complete en análisis de manera correcta nos disponemos a observar los resultados obtenidos. Para ello se hace clic en el módulo Results. Cabe destacar que no se va a explicar en este anexo como acceder a ciertos resultados, ya que ya se hico en el capítulo 6. Lo que si se va a hacer es mostrar algunas indicaciones para que la visualización de los mismos sea más dinámica y realista: 1. En primer lugar lo que se va a hacer es dar profundidad a la visualización, es decir, visualizar el problema como un problema en tres dimensiones. Para ello se hace clic en View  ODB Display Options  Sweep and Extrude, y seleccionamos la dimensión de la extrusión que se quiere dar tanto a la placa (Deformable body), como al rodillo (Analitycal rigid). Se asigna una extrusión igual a un metro a cada uno de ellos. 2. También se va a representar el problema completo, es decir, se va a hacer gráficamente la simetría que ya se hico computacionalmente en el modelo mediante las condiciones de contorno. Para ello se debe crear un sistema coordenado respecto al que realizar la simetría, el cual se va a hacer en la base del modelo (que es donde se aplicó la misma). Para ello se hace clic en el icono de Create Coordinate System  Fixed System  Rectangular. Se disponen los ejes de manera análoga a los dados por abaqus como referencia, solo teniendo en cuenta que el eje x debe coincidir con la base del modelo. Para hacer visible la simetría finalmente se hace clic en View  ODB Display Options  Mirror and Pattern, se escoge el sistema de referencia creado, y como plano de simetría el plano XZ. A.2. Arrastre forzado. En el proyecto de investigación que se está realizando se tenía como objetivo demostrar el alcance de la teoría de laminación en frío en lo que se refiere a la estimación de los coeficientes de rozamiento necesarios para que se diera el arrastre natural y el arrastre forzado de las placas de material. Una vez explicado el modelo realizado en ABAQUS para simular las condiciones de arrastre natural se procede por lo tanto a hacer lo mismo con las condiciones de arrastre forzado. Cabe destacar que los modelos realizados para simular ambas condiciones son prácticamente idénticos, salvo por la geometría de partida de la placa de material, que se encuentra introducida entre los rodillos como se explico en el primer capítulo del presente texto. 99 Otra diferencia plausible es que como se explicó al inicio de este Anexo, se ha trabajado con dos modelos tanto para arrastre natural como para arrastre forzado: Uno de ellos usando un datum point para determinar el punto de contacto, y otro usando dos arcos para modelar el cilindro, donde el paso de un arco al otro se produce en dicho punto de contacto. Por lo que a continuación se van a explicar dichas modificaciones, prestando principal atención en la geometría, y explicando a modo resumen como se realizaría el modelo usando la configuración B explicada en el párrafo superior. A.2.1 Geometría. En este caso se van a crear tres parts, uno de ellos deformable (placa de material), y otros dos que se corresponden con superficies rígidas (analytical Surfaces).  Plate. En este caso la geometría de partida es más compleja que en el caso de arrastre natural ya que el material se ha introducido previamente entre los rodillos, de manera que nuestra geometría de inicio ya está realmente deformada. Por lo tanto habrá que realizar una placa de material con un arco en su esquina superior derecha, simulando dicha entrada entre los rodillos. Para ello hay que tener en cuenta los parámetros característicos del proceso de laminación, que son básicamente la longitud de contacto L, y el incremento de altura Δh. 𝐿~√𝑅Δℎ (𝑨−𝟔) Δℎ=ℎ𝑜−ℎ𝑓 (𝑨−𝟕) Para realizar el arco, se usa la herramienta Create arc: Center and 2 Endpoints, es decir, un arco por tres puntos. Por lo tanto se introducirán las coordenas de los tres puntos de la siguiente forma: ( 𝑥0,𝑦0)=(0,0); (𝑥1,𝑦1)=(0,−𝑅)=(0,−0.2); (𝑥2,𝑦2)=(−𝐿,−𝑅+Δℎ 2) (𝑨−𝟖) Cabe destacar que existen pequeños errores matemáticos, y que ABAQUS ajusta el arco que se ha introducido a la circunferencia posible más cercana. De todas formas los errores detectados son del orden de 1E-5, por lo que no son representativos. Finalmente, a partir de dichos puntos es sencillo completar la geometría de la siguiente forma:  Rodillos. Como se explicó anteriormente, para algunos casos del modelo de arrastre forzado se ha utilizado la segunda de las formas explicadas para determinar el punto de contacto: usar dos rodillos. ANEXO A. Modelo paso a paso 100 100 El procedimiento seguido para crear las dos superficies rígidas analíticas es el siguiente: 1. En un par de nombre roller1, usar la herramienta Create arc: Center and 2 Endpoints, es decir, un arco por tres puntos. Se introducirán las coordenas de los tres puntos (son los mismos que se definió para la placa) de la siguiente forma: ( 𝑥0,𝑦0)=(0,0); (𝑥1,𝑦1)=(0,−𝑅)=(0,−0.2); (𝑥2,𝑦2)=(−𝐿,−𝑅+Δℎ 2) (𝑨−𝟗) 2. En un part de nombre roller 2, completar la circunferencia hasta alcanzar 90 grados, es decir, crear un arco con mismo centro, punto inicial el punto final del roller 1, y punto final (-R,0): 3. Finalmente se crean dos Referent Point, uno para cada arco. A.2.2. Sets and Surfaces: En lo que respecta a los Sets y las superficies, solo existe una diferencia palpable entre el modelo realizado para simular la condición de arrastre natural, y su análogo para el arrastre forzado, que es la definición de la superficie Top del modelo como se muestran en las siguientes fotografías: 101 Ilustración 67. Superficie Top en Arrastre forzado. Ilustración 68. Superficie Top en Arrastre Natural. A.2.3. Assembly En lo que respecta al ensamblaje del conjunto, la forma de proceder es análoga al de AN obteniéndose el siguiente resultado: Ilustración 69. Ensamblado del model de Arrastre Forzado. ANEXO A. Modelo paso a paso 102 102 A.2.4. Resto del modelo. Finalmente el resto del modelo no sufrirá ninguna modificación si se define el punto de contacto entre placa y rodillo mediante un Datum Point, y en el caso de utilizar la opción con dos arcos para obtener dicho punto de contacto, la principal diferencia respecto al modelo de arrastre natural radica en que hay que crear el doble de interacciones de contacto, y el doble de condiciones de contorno, pero todas igual a las definidas en el modelo anterior. También destacar que puesto que el caso de arrastre forzado es más complejo como se verá en capítulos posteriores, para dicho caso se ha usado un mallado con tipo de elementos triangulares, cuyo código de identificación en Abaqus es CPE3. 103 ANEXO B. ANÁLISIS EXPLÍCITO VS IMPLÍCITO. l software utilizado para la realización del proyecto, Abaqus, permite resolver problemas de naturaleza estática o dinámica. Puesto que el problema que se pretende resolver con este proyecto es de carácter dinámico, se optó por crear un caso de estudio dinámico. Dentro de dicho problema dinámico, Abaqus ofrece dos métodos de resolución donde cada cual será más o menos conveniente en función del problema: - Integración directa implícita. - Integración directa explícita. A la hora de seleccionar uno de dichos métodos hay que tener en cuenta que tipo de problema se quiere resolver, las condiciones del mismo, y evaluar cual de los dos será capaz de obtener solución al problema, y en caso de ser válidas ambas opciones, escoger la más eficiente desde el punto de vista computacional. A continuación se explican brevemente ambos métodos, y cuál de ellos ha sido el elegido para la realización del proyecto. B.1. Metodo de Resolución. B.1.1. Integración directa implícita El método de integración directa implícita que posee Abaqus se basa en el operador implícito de Hilber-HughesTaylor. La principal característica de dicho método es que requiere el cálculo de la matriz de rigidez para cada uno de los incrementos de tiempo, y su posterior inversión para la resolución de las ecuaciones dinámicas. Esto da lugar a un gran costo computacional, sobre todo para modelos de cierta envergadura. Además hay que unir a dicha desventaja el hecho de que este método plantea más problemas que el método explícito en problemas fuertemente no lineales. Sin embargo, algunas de las ventajas que presenta el método de integración directa implícita es que el valor del incremento de tiempo no tiene un límite prefijado, ya que este operador es incondicionalmente estable, lo cual lo hace apropiado para modelos en el que el tiempo de ejecución sea elevado. Dicho tiempo de ejecución, para nuestro caso, es equiparable al tiempo que tarda toda la placa en ser laminada. Además dicho método presenta una potente ventaja: ofrece una mayor variedad de elementos para el mismo, lo cual permite adaptarse mejor a una mayor variedad de problemas. B.1.2. Integración directa explícita. El método de integración directa explícita emplea el operador de la diferencia-central, el cual calcula una solución del sistema en un instante a partir de su situación en el instante t(n-1)=t(n)-h, donde f es el incremento de tiempo definido para el problema dinámico. La principal ventaja de dicho método es que desde el punto de vista de la convergencia, este método garantiza la convergencia con la única condición de que el tiempo de cada incremento sea el adecuado. Esto supone una gran ventaja para el estudio de problemas fuertemente no lineales, como es el caso de la laminación. Además otra gran ventaja es que no integra la matriz de rigidez en cada uno de los incrementes establecidos para el problema, por lo que computacionalmente es más eficiente que el método implícito. E ANEXO B. Análisis explícito Vs Implícito. 104 104 El principal problema que presenta el método es que es condicionalmente estable, guardando dicha estabilidad relación con el tiempo que tarda una onda en atravesar el elemento más pequeño del modelo y con el incremento de tiempo prefijado. Dicha onda es conocida como dilatation wave. Por lo tanto, el modelo será más estable si el incremento de tiempo prefijado es menor que el tiempo que tarda la onda en atravesar el elemento más pequeño (tiempo crítico), y menos estable si es mayor. Por lo tanto la eficiencia del problema depende de la relación existente entre el tiempo de ejecución (tiempo de laminación) y el incremento de tiempo máximo que podemos imponer. Por lo tanto el principal problema de dicho método es que si no escogemos adecuadamente el tiempo de ejecución del problema así como los incrementos de tiempo asociados, el coste computacional del problema (tiempo de análisis) se puede incrementar mucho. B.1.3. Aplicación al modelo realizado. Teniendo en cuenta que el problema que se va a estudiar está caracterizado por grandes deformaciones y fuerte efectos no lineales (fricción), parece que en lo que respecta a la convergencia, es más conveniente escoger el método de integración directa implícito. Además puesto que el tiempo de ejecución no es elevado, y se puede aproximar fácilmente, dicho método encaja mucho mejor con el tipo de problema a analizar. Finalmente cabe destacar que el método de integración directa explícito de Abaqus ofrece una herramienta para solventar los problemas relacionados con la eficiencia asociada a la dilatation wave mencionada anteriormente. Dicha herramienta se conoce como Mass Scaling y se explicará en el Anexo número 3. 105 ANEXO C.MALLA ADAPTATIVA, MASS SCALING e van a explicar dos herramientas muy importantes en lo que respecta a la convergencia del modelo y la obtención de unos resutados reales, y a la eficiencia computacional del modelo. Dichas herramientas son el uso del mallado adaptativo o de la herramienta Mass Scaling. C.1. Malla adaptativa. Cuando se realizan análisis con el método de los elementos finitos se discretiza la geometría en elementos unidos entre si mediante nodos. En los análisis de conformado de metales e impactos de alta velocidad, un cuerpo puede experimentar una deformación plástica elevada, por lo que un único punto de integración de los elementos, que generalmente son robustos para largas deformaciones, puede dar imprecisión en los resultados incluso inestabilidad en el análisis. Es por eso que en los programas de elementos finitos se comenzó a desarrollar herramientas para aumentar la fiabilidad de los resultados para aquellos fenómenos en los que tengan lugar deformaciones elevadas y es necesarios que el material fluya. El mallado que tiene en cuenta todos estos aspectos recibe el nombre de “mallado adaptativo”, y es el que se va a usar para llevar acabo los análisis en este proyecto. El mallado adaptativo permite obtener una malla de alta calidad a lo largo del cálculo, incluso cuando se producen grandes deformaciones. Ello se debe a que permite que el material fluya independientemente de la malla en aquellos puntos en los que sea necesario. Cabe destacar que esta herramienta no crea una malla nueva ni modifica la tipología o disposición de la malla inicial, sino que reposiciona los nodos cuando los elementos se han visto muy deformados y permite por lo tanto que el material fluya a través de la malla, es decir, permite el remallado automático de la geometría durante el análisis para mejorar su integridad. Además dicha herramienta viene de la mano de otra que permite aumentar el control de la malla para evitar una gran distorsión de los elementos de la misma. Dicha herramienta es la técnica ALE proporcionada por Abaqus, la cual aúna los dos enfoques existentes en una malla de elementos finitos en relación con el comportamiento cinemático de la misma y del material: - Enfoque lagrangiano. Este primer enfoque consiste en que la malla siempre está ligada al material de forma que se deforma tal y como lo hace este ultimo. Dicho enfoque es utilizado para problemas estructurales en los que predominan las pequeñas deformaciones. Sin embargo en aquellos problemas en los que se producen grandes deformaciones, pueden surgir problemas de convergencia o incluso inestabilidad como ya se comunicó anteriormente, imposibilitando la obtención de una solución. - Enfoque euleriano. Un segundo enfoque, que es el utilizado por el mallado adaptativo, es aquel que permite que el material fluya a través de la malla, de modo que permanezca invariable en el espacio mientras el material fluye a través de ella. Debido a esto, se va a utilizar el análisis tipo ALE el cual permite combinar ambos enfoques en el mismo problema. S ANEXO E. Visualización de algunos de los casos estudiados. 112 112 E.2. Arrastre Natural. Acero, 𝑹=𝟎.𝟓 𝐦,𝒉𝟎=𝟎.𝟎𝟏 𝐦.𝒉𝒇=𝟎.𝟓∗𝐡𝟎 𝒎. Ilustración 77. Representación gráfica proceso laminación-2 113 E.3. Arrastre Forzado. Aluminio, 𝑹=𝟎.𝟓 𝐦 ,𝒉𝟎=𝟎.𝟎𝟖 𝐦 .𝒉𝒇=𝟎.𝟑𝟕𝟓∗𝐡𝟎 𝒎. Ilustración 78. Representación gráfica proceso laminación-3 ANEXO E. Visualización de algunos de los casos estudiados. 114 114 E.4 Arrastre Forzado. Acero, 𝑹=𝟎.𝟐 𝐦,𝒉𝟎=𝟎.𝟎𝟏 𝐦,𝒉𝒇=𝟎.𝟏𝟐𝟓∗𝐡𝟎 𝒎. Ilustración 79. Representación gráfica proceso laminación-4 115 ANEXO F. CÁLCULO DE FUERZAS Y MOMENTOS DE LAMINACIÓN. TEORÍA. n la introducción a la teoría de laminación quedo claro que ésta se producía principalmente por la fuerza de compresión ejercida por los rodillos sobre la placa de material, y que dicho proceso se podía agilizar incluyendo una fuerza de tracción en el sentido de laminación para facilitar la fluencia del material a través de los rodillos. Esto se ilustra fácilmente en el criterio de Tresca. El material fluye cuando la tensión tangencial máxima alcanza el límite de fluencia tangencial, que viene dado por: 𝜏𝑦𝑠=𝜎𝑦𝑠 2 (𝑭−𝟏) Por lo tanto cualquier par de tensiones principales que provoquen la fluencia deberán estar en los extremos de un círculo se Mohr cuyo diámetro es 𝜎𝑦𝑠. Si en la dirección x aparece una tensión de tracción, la tensión según la dirección y tendrá que disminuir en una magnitud igual al valor absoluto de la anterior, siendo la tensión necesaria para hacer fluir el material 𝜎𝑦𝑠−𝜎𝑥 , suponiéndose ambas tensiones positivas. Planteando el equilibrio entre la fuerza F sobre los rodillos con las tensiones verticales en el material en la zona de deformación se obtiene: 𝐹 𝑊=∫ 𝜎𝑦(𝑥)𝑑𝑥≅∫(𝜎𝑦𝑠(𝑥)−𝜎𝑥(𝑥))𝑑𝑥≅ 𝐿 0 𝐿 0∫𝜎𝑦𝑠(𝑥)𝑑𝑥−∫𝜎𝑥(𝑥)𝑑𝑥 (𝑭−𝟐) 𝐿 0 𝐿 0 Y suponiendo una evolución lineal de tensiones 𝜎𝑥 en la zona de contacto se tiene: ∫𝜎𝑥(𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0=∫ (𝜎0+ (𝜎𝑓−𝜎0) 𝐿𝑥)𝑑𝑥=(𝜎0+𝜎𝑓) 2 𝐿 0𝐿 (𝑭−𝟑) Además el primer sumando de la ecuación (1) se puede aproximar usando el concepto de tensión de fluencia estudiado en el Anexo anterior, por lo que: ∫𝜎𝑦𝑠(𝑥)𝑑𝑥≅𝐿 Δϵ 𝐿 0∫ 𝜎𝑦𝑠(𝜖)𝑑𝜖=𝜎𝑦𝑠     ∗𝐿 𝜖𝑓 𝜖𝑜 (𝑭−𝟒) Por lo que la ecuación de la fuerza en os rodillos queda de la forma: 𝐹=(𝜎𝑦𝑠     −𝜎𝑓+𝜎0 2)∗𝐿∗𝑤≅(𝜎𝑦𝑠     −𝜎𝑓+𝜎0 2)∗√𝑅Δℎ∗𝑤 (𝑭−𝟓) Con - 𝜎𝑦𝑠     =Tensión media de fluencia en el proceso. - 𝜎0=Tensión de tracción a la entrada del proceso. - 𝜎𝑓=Tensión de tracción a la salida del proceso. - 𝐿=Longitud de la zona de contacto. - 𝑤=Anchura de la chapa. - Δℎ=Decremento de espesor de la chapa. - R=Radio de los rodillos. Y donde la tensión media de fluencia se calcula a partir de la curva de comportamiento 𝜎−𝜖 donde las deformaciones son según el espesor de la chapa: E ANEXO F. Cálculo de fuerzas y momentos de laminación. Teoría. 116 116 𝜎𝑦𝑠     =∫𝜎𝑑𝜖 𝜖𝑓 𝜖0 𝜖𝑓−𝜖0= { ∫𝜎𝑦𝑠𝑑𝜖 𝜖𝑓 𝜖0 𝜖𝑓−𝜖0=𝜎𝑦𝑠(𝜖)󰇗=𝐶𝜖󰇗𝑚→ 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∫𝐾𝜖𝑛𝑑𝜖 𝜖𝑓 𝜖0 𝜖𝑓−𝜖0=𝐾 𝑛+1𝜖𝑓𝑛+1−𝜖0𝑛+1 𝜖𝑓−𝜖0→ 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑟í𝑜 (𝑭−𝟔) Donde la deformación a la entrada vendrá dada de un proceso anterior y la deformación a la salida se puede estimar como: 𝜖𝑓=𝜖0+ln(ℎ0 ℎ𝑓) (𝑭−𝟕) 117 ANEXO G. CÁLCULO DE FUERZAS Y MOMENTOS DE LAMINACIÓN. UN EJEMPLO CON ABAQUS. n líneas futuras de investigación sería una buena idea calcular la fuerza necesaria para que se de la laminación mediante los resultados obtenidos con Abaqus. Para ello, según lo visto en el Anexo G, sería necesario calcular las tensiones de fluencia, tensión a la entrada y a la salida del proceso para posteriormente aplicar: 𝐹=(𝜎𝑦𝑠     −𝜎𝑓+𝜎0 2)∗𝐿∗𝑤≅(𝜎𝑦𝑠     −𝜎𝑓+𝜎0 2)∗√𝑅Δℎ∗𝑤 (𝑬−𝟏) Para obtener dichos valores con Abaqus es necesario activar las salidas correspondientes en Field Output, y History Output, activando las pestañas correspondiente con las deformaciones plásticas y las tensiones en el primero, y la pestaña Forces and Reaction en el segundo, habiendo definido como lugar o Set de estudio el punto de referencia del rodillo previamente. Una vez definidos los resultados de salida que se quieren calcular, es hora de crear las gráficas correspondientes. Para el cálculo de la fuerza de laminación se puede observar que es necesario conocer la tensión de fluencia media, la de entrada en el proceso, y la de salida. Todas estás tensiones se pueden obtener representando la tensión frente al tiempo para los elementos de nuestro modelo. También sería conveniente representar las deformaciones frente al tiempo con el objetivo de comprobar que error existe entre la tensión de fluencia media calculada según las gráficas, y la obtenida según la ecuación (F-6). Ambas gráficas se muestran a continación para el modelo de arrastre natural con radio=0.2 m, ℎ0=0.04 𝑚,ℎ𝑓=0.375∗ℎ0 𝑚 : Ilustración 80. Tensión de un elemento. E ANEXO G. Cálculo de fuerzas y momentos de laminación. Un ejemplo con Abaqus. 118 118 Ilustración 81. Deformación de un elemento. Cabe destacar que las deformaciones y tensiones mostradas han sido calculadas para un solo elemento, por lo que habría que calcularlas para la placa en su conjunto, por lo que habría que integrar a lo largo de todos los elementos que componen la placa. Ello supone un proceso tedioso ya que los valores que determinan las tensiones de fluencia, entrada y salida se observan fácilmente gráficamente, pero debido al gran número de elementos existente resulta muy complejo y laborioso integrar para todos los elementos de la placa dichos valores. Habría que que recorrer los vectores (X,Y) que exporta Abaqus tras el análisis y mediante un algoritmo seleccionar los valores de interés. Por ello, a nivel ilustrativo y muy simplificado, se propone una forma de estimar el orden de magnitud de la fuerza de laminación: 1. Representar la reacción RM3, es decir, el momento en el eje del cilindro frente al tiempo. Ilustración 82. Reacción en el eje del rodillo. 2. Aproximar su valor a un valor medio debido a la gran dispersión y suponer que es el Par debido exclusivamente a la componente horizontal de la fuerza de fricción en el instante en que la placa comienta a entrar entre los rodillos(ya que la gráfica muestra la evolución del momento a lo largo del tiempo, por lo que dica fuerza también varía). 3. Dividiendo entre el radio se obtendría: 𝑇 𝑅= 𝐹∗𝑐𝑜𝑠𝜃 4. Finalmente la fuerza de fricción es 𝐹=𝜇𝑁=𝑇 𝑅∗𝑐𝑜𝑠𝜃. Por lo que para el ejemplo que se está estudiando se obtiene 2 (0.2∗0.94279)=165 𝑀𝑁. 119 ANEXO H. CRITERIOS DE CONVERGENCIA. os criterios de convergencia que hay que tener en cuenta a la hora de realizar un análisis explícito en Abaqus atienden a criterios energéticos, usando una ecuación de balance para evaluar si la respuesta cuasiestática del modelo es la adecuada. En Abaqus dicha ecuación es la siguiente: 𝐸𝐼+𝐸𝑉+𝐸𝐹𝐷+𝐸𝐾𝐸−𝐸𝑊=𝐸𝑇𝑂𝑇=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑯−𝟏) Donde: - 𝐸𝐼= Es la energía interna (Energía de deformación plástica y elástica así como la energá asociada con hourglass control). - 𝐸𝑉= Es la energía disipada por mecanismos viscosos. - 𝐸𝐹𝐷=Es la energía de disipación por fricción. - 𝐸𝐾𝐹= Energía cinétic. - 𝐸𝑊=Trabajo externo de las fuerzas. - 𝐸𝑇𝑂𝑇= Energía total del sistema. Ademas la energía cinética del material de deformación no debe exceder de una pequeña fracción de sus energía interna a lo largo de la mayr parte del proceso de formción, siendo dicha pequeña fracción del orden de 1-5%, lo cual es un requisito extra difícil de conseguir. A lo largo del proyecto se han realizado algunas comprobaciones de convergencia, cumplíendose de manera aproximada dicha ecuación. Lo que si que se ha comprobado para todos los casos es que la energía total permanezca constante cuando el análisis ha finalizado. L Referencias 120 120 REFERENCIAS [1] Groover, M.P., “Fundamentals of Modern Manufacturing: Materials, Processes, and Systems”. ISBN:9780470467008, Mc-Graw-Hill, 2010. [2] Schey, J.A. and Cárdenas, J.L., “Procesos de manufactura”. ISBN:978970103733, Mc-Graw-Hill, 2002. [3] Carpoforo, Luis Valentín Bohorquez Jiménez, “Tema 6, Laminación”, Apuntes de la asignatura de Procesos de Fabricación”,Sevilla, 2010. [4] Adarsh Dhingra, Geeta Agnihotri and K.K.Pathak, “A three dimensional finite element simulation of cold Rolling of a Steel plate and prediction of influence parameters”, Revista, International journal of manufacturing technology and industrial engineering (IJMTIE), Vol. 1, No. 1, January-June 2011, pp. 13-17. [5] Abaqus 6.12, “Abaqus/CAE User`s Manual”. [6] Abaqus 6.12, “Example Problems Manual”, Volume I: Statics and Dynamics Analyses. [7] Abaqus 6.12, “Example Problems Manual”, Volume II: Other Applications and Analyses, [8] Guido van Rossum, “Guía de aprendizaje de Python”, Rev 2.0, Editor: Fred L.Drake, Jr, 16 de Octubre de 2000. [9] Shailendra Dwivedi, Dr. Geeta Agnihotri, Dr. K.K. Pathak, “Parametric Study of the Hot Rolling Process using FEM”, International Journal of Engineering Research and Applications (IJERA), Vol. 2, Issue 5, Septembrer-October 2012, pp. 1517-1522. [10] Alfonso Ynigo Rivera, Rachid Cheriguene, “Modelos de Fricción para mecanizado de alta velocidad”, Proyecto Fin de Carrera, Universidad Carlos III, Madrid, 2015. [11] Ricardo Durnes Delgado, Alejandro Quesada González, “Empleo de Mallado Adaptativo en Simulaciones de Procesos de Conformado de Chapa por el Método de los Elementos Finitos”, Proyeto Fin de Carrera, Universidad Carlos III, Madrid, Diciembre de 2010. [12] Francisco Javier Foncubierta Boj, Luis Valentín Bohórquez Jiménez, “Análisis de la fuerza y momento de laminación en frío mediante el uso de elementos finitos”, Proyecto Fin de Carrera, Escuela Técnica Superior de Igeniería, Univeridad de Sevilla, Sevilla, Mayo de 2015. [13] Abaqus, “Quasi-Estatic Analyses”, Abaqus/Explicit Advanced Topics, Lecture 5. 121 [14] Abaqus, “Single Pass Rolling of a Thick Plate”, Abaqus Workshop 5. [15] Jose Luis Enríquez Berciano, Enrique Tremps Guerra, Susana de Elío de Bengy, Daniel Fernández Segovia, “Laminación”, Monorafías sobre tecnología del Acero, Parte IV.