Controlabilidad de E.D.P. parabólicas

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no19 (2001), 13–44. Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas Manuel Gonz´ alez Burgos Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y An´ alisis Num´ erico Universidad de Sevilla e-mail: [email protected] 1 Introducci´on En este trabajo presentaremos algunos resultados recientes de controlabilidad de problemas parab´olicos. En concreto, presentaremos resultados de controlabilidad aproximada y exacta a cero para versiones lineales y no lineales de la ecuaci´on del calor, as´ı como para las ecuaciones de Stokes y de NavierStokes. De manera general, un problema de controlabilidad puede ser formulado de la siguiente forma: Supongamos fijado un intervalo temporal de observaci´on (0, T) y consideremos dado un sistema evolutivo gobernado por cierta ecuaci´on o sistema de ecuaciones (diferenciales o en derivadas parciales) junto con determinadas condiciones iniciales y/o de contorno (sistema o problema de estado). Supongamos que podemos actuar sobre este sistema (a trav´es de alguna condici´on de contorno, del segundo miembro de la ecuaci´on, ...) mediante una funci´on v(el control) que se toma en un cierto conjunto Uad (conjunto de controles admisibles). Fijado v∈ Uad, llamaremos estado asociado al control va la correspondiente soluci´on yv=yv(t) del sistema de estado. Dados dos valores y0eyden un determinado espacio de Banach H(de norma |·|H) donde la ecuaci´on de estado tenga soluci´on, diremos que el sistema de estado es exactamente controlable en Hen el instante Tsi podemos encontrar un control v∈ Uad de tal forma que la correspondiente soluci´on yvcon dato inicial y0 verifique yv(T) = yd. Esta condici´on puede ser relajada de varias formas, obteniendo otras nociones de controlabilidad. En este sentido, diremos que el sistema de estado es aproximadamente controlable en Hen el instante Tsi, en las condiciones 13 M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 14 anteriores, para cada ε > 0, existe un control v∈ Uad tal que el correspondiente estado yvverifica la condici´on ||yv(T)−yd||H≤ε. Especialmente significativo resultar´a la controlabilidad exacta cuando yd≡0 (controlabilidad nula o exacta a cero), puesto que, en general, el estado 0 ser´a un equilibrio del sistema y, desde el punto de vista f´ısico, si somos capaces de conducir el sistema a cero en t=T, la soluci´on sigue siendo nula para t≥T con tal de que tomemos como control v≡0 para t≥T. Como pondremos de manifiesto m´as adelante, la irreversibilidad en tiempo de los problemas considerados hace que no se verifique la propiedad de controlabilidad exacta en ninguno de los casos. Veremos tambi´en que, al menos en las versiones lineales de estos problemas, s´ı se van a tener las propiedades de controlabilidad aproximada y exacta a cero (o nula) para cualquier instante de tiempo T > 0. Hay que destacar la gran diferencia que existe entre este tipo de sistemas y sistemas reversibles como la ecuaci´on de ondas (prototipo de sistema reversible), ecuaci´on para la que se dan las tres propiedades de controlabilidad mencionadas cuando el tiempo Tes mayor que ciertos tiempos cr´ıticos que dependen del abierto Ω donde se plantea la ecuaci´on y de la zona donde se ejerce el control (un subconjunto abierto de Ω o un trozo de la frontera de Ω) (cf. [18]). En el trabajo nos centraremos b´asicamente en la descripci´on de los resultados de controlabilidad nula en cada uno de los casos pues, como hemos mencionado, no se va a verificar la propiedad de controlabilidad exacta y por otro lado, los correspondientes resultados de controlabilidad aproximada, como veremos, pueden ser obtenidos como consecuencia de los de controlabilidad nula. Es bien conocido que la controlabilidad exacta a cero de un problema de evoluci´on lineal equivale a la llamada desigualdad de observabilidad para el problema adjunto. La t´ecnica que trataremos de describir pasa por demostrar esta desigualdad de observabilidad como consecuencia de una desigualdad global de tipo Carleman para el problema adjunto. Este tipo de desigualdades fueron probadas y utilizadas en [12] y [15] para obtener la controlabilidad nula de la ecuaci´on del calor, aunque en el an´alisis que llevaremos a cabo, es de vital importancia la dependencia respecto de los datos de las constantes que aparecen en la desigualdad global de Carleman, dependencia que fue explicitada en [10]. Por comodidad y claridad del trabajo, estudiaremos el problema de la controlabilidad cuando el control se ejerce a trav´es del segundo miembro de la ecuaci´on considerada: control distribuido. T´ecnicamente, el estudio de la controlabilidad cuando el control se ejerce a trav´es de la condici´on de Dirichlet M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 15 sobre una parte de la frontera es algo m´as complejo y ser´a omitido en este trabajo. Organizaremos el resto del trabajo del siguiente modo: dedicamos las Secciones 2 y 3 al estudio de los resultados de controlabilidad relativos a la ecuaci´on del calor lineal y, en especial, probaremos la equivalencia que existe entre los conceptos de controlabilidad y ciertas propiedades del llamado sistema adjunto. En la cuarta Secci´on probaremos la denominada desigualdad de observabilidad para el problema adjunto y, como consecuencia, la controlabilidad nula de la ecuaci´on del calor. De los resultados precedentes, en la Secci´on 5 obtendremos dos importantes consecuencias: por un lado, obtendremos de nuevo la propiedad de controlabilidad aproximada de la ecuaci´on del calor utilizando un argumento cuantitativo y, por otro, una estimaci´on del coste de la controlabilidad (nula y aproximada) de dicha ecuaci´on. Acabaremos este trabajo introductorio presentando de forma somera algunos resultados de controlabilidad para versiones no lineales de la ecuaci´on del calor y para el sistema incompresible de Stokes y Navier-Stokes. 2 La ecuaci´on del calor. Controlabilidad Aproximada En esta Secci´on y en lo que sigue, supondremos que Ω es un dominio acotado de IRN, con N≥1, de frontera Γ = ∂Ω suficientemente regular. Sean Oun subconjunto abierto no vac´ıo de Ω y T > 0; denotemos Q= Ω ×(0, T) y Σ = ∂Ω×(0, T). En el cilindro Qconsideramos el problema:    ∂ty−∆y+B·∇y+ay =v1Oen Q, y= 0 sobre Σ, y(x, 0) = y0(x) en Ω, (2.1) donde 1Oes la funci´on caracter´ıstica del conjunto O,v∈L2(Q) es el control (siguiendo la terminolog´ıa expuesta en la Secci´on anterior, Uad =L2(Q) es el conjunto de controles admisibles) e y0,ayBest´an dados y0∈L2(Ω), a ∈L∞(Q) y B∈L∞(Q)N. Hay que hacer notar que, debido a la presencia de la funci´on caracter´ıstica 1O, la acci´on del control sobre el sistema s´olo se ejerce en el “peque˜no” abierto Oa trav´es del segundo miembro de la EDP (control distribuido). Es bien conocido que, bajo las condiciones anteriores, el problema (2.1) admite una ´unica soluci´on d´ebil yv∈C([0, T]; L2(Ω)) ∩L2(0, T;H1 0(Ω)), M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 16 soluci´on que depende de forma continua de vey0. De esta forma podemos denotar R(T;y0) al subconjunto de L2(Ω) dado por: R(T;y0) = {yv(T) : yvsoluci´on de (2.1) con v∈L2(Q)}, llamado conjunto de controles finales o alcanzables. Con esta notaci´on podemos definir los distintos conceptos de controlabilidad: Definici´on 1 1. Se dice que el sistema (2.1) es exactamente controlable en L2(Ω) en el instante de tiempo Tsi para cada y0∈L2(Ω) R(T;y0)≡L2(Ω), es decir, si para cada y0,yden L2(Ω), existe un control v∈L2(Q)tal que la soluci´on de (2.1) verifica yv(T) = yd. 2. Se dice que el sistema (2.1) es aproximadamente controlable en L2(Ω) en el instante de tiempo Tsi R(T;y0)es denso en L2(Ω) para cada y0∈L2(Ω). Dicho de otro modo, si para cualesquiera y0,yd∈L2(Ω) y cada ε > 0, existe un control v∈L2(Q)tal que la soluci´on de (2.1) verifica ||yv(T)−yd||L2(Ω) ≤ε . (2.2) 3. Por ´ultimo, se dice que (2.1) es controlable a cero en el instante de tiempo Tsi para cualquier y0∈L2(Ω) se tiene 0∈R(T;y0), es decir, si para cada y0∈L2(Ω) existe un control v∈L2(Q)tal que la soluci´on de (2.1) verifica yv(T) = 0. Observaci´on 2 1. Debido al efecto regularizante del operador del calor, no es dif´ıcil concluir que la controlabilidad exacta en L2(Ω) de (2.1) no es cierta, salvo posiblemente en el caso O= Ω. En efecto, es conocido (cf. [16]) que el operador del calor ∂t−∆ tiene la siguiente propiedad de regularidad: Si y∈ D0(V ×(0, T)) (con V ⊂ IRNun abierto) verifica ∂ty−∆y= 0 en V ×(0, T), entonces, fijado t∈(0, T ], la aplicaci´on y(t) : x∈ V 7→ y(x, t)∈IR es anal´ıtica en V. Sin m´as que aplicar el resultado al abierto V= Ω \O deducimos que sea cual sea la regularidad del dato inicial y0y para M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 17 cualquier control v∈L2(Q), la soluci´on yvde (2.1) (con ayBnulas) verifica yv(T) es anal´ıtica en V= Ω \ O. Esta propiedad, junto con la linealidad del sistema (2.1), imposibilita la controlabilidad exacta de ´este en L2(Ω). operador del 2. La controlabilidad exacta a cero de (2.1) implica la controlabilidad exacta a trayectorias de (2.1). De modo m´as preciso, sea y?∈C([0, T]; L2(Ω)) soluci´on de    ∂ty?−∆y?+B·∇y?+ay?= 0 en Q, y?= 0 sobre Σ, y?(x, 0) = y? 0(x) en Ω, con y? 0∈L2(Ω). Entonces, existe un control v∈L2(Q) tal que la soluci´on de (2.1) verifica yv(x, T) = y?(x, T),∀x∈Ω.(2.3) Para comprobar este hecho, basta elegir v∈L2(Q) tal que la soluci´on Y de (2.1) para los datos vey0−y? 0verifique Y(·, T) = 0 en Ω. Tomando v como control y utilizando la linealidad del problema, es f´acil deducir que la soluci´on yvde (2.1) (correspondiente a vey0) verifica yv=y?+Y, de donde obtenemos (2.3). Antes de centrarnos en el problema de la controlabilidad nula de (2.1), recordemos algunos resultados sobre la controlabilidad aproximada de este sistema. Como consecuencia del Teorema de la Proyecci´on se tiene que la controlabilidad aproximada de (2.1) en L2(Ω) en el instante Tequivale a probar la propiedad: “Sea ϕ0∈L2(Ω) y sea ϕla soluci´on de (problema adjunto)    −∂tϕ−∆ϕ−∇·(Bϕ) + aϕ = 0 en Q, ϕ= 0 sobre Σ, ϕ(x, T) = ϕ0(x)en Ω. (2.4) Si ϕ≡0en O×(0, T), entonces ϕ0≡0(y, as´ı, ϕ≡0en Q).” Se trata, por tanto, de probar una propiedad denominada de continuaci´on ´unica para el problema adjunto (2.4). Para la ecuaci´on que nos ocupa, esta propiedad se deduce de resultados de continuaci´on ´unica para problemas de quasi-Stokes probados en [6]. Es interesante hacer notar que la propiedad de continuaci´on ´unica para el sistema (2.4) (y en consecuencia la controlabilidad aproximada de (2.1)) es v´alida para cualquier abierto Oy para cualquier instante de tiempo T. Es posible dar un procedimiento constructivo para calcular un control que conduzca el sistema (2.1) desde y0∈L2(Ω), en el instante inicial, hasta un M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 18 estado deseado yd∈L2(Ω), en el instante final T, con un error menor que ε. Se trata del m´etodo variacional desarrollado en [19]: Consideramos el funcional Jε definido en L2(Ω) dado por Jε(ϕ0) = 1 2ZZO×(0,T )|ϕ(x, t)|2dx dt +ε||ϕ0||L2(Ω) −(ϕ0, yd−ey(T))L2(Ω) (2.5) donde ϕes la soluci´on de (2.4) asociada a ϕ0,eyes la soluci´on de (2.1) asociada al control v≡0 y donde mediante (·,·)L2(Ω) estamos denotando el producto en L2(Ω). El funcional Jεes un funcional convexo, continuo y, como consecuencia de la propiedad de continuaci´on ´unica para (2.4), coercitivo en L2(Ω). De hecho verifica (cf. [8]) lim inf ||ϕ0||L2(Ω)→∞ Jε(ϕ0) ||ϕ0||L2(Ω) ≥ε. Estas propiedades garantizan que el funcional Jεalcance el m´ınimo en un ´unico bϕε 0∈L2(Ω). Tomando en (2.1) el control vε=bϕε1O, con bϕεla soluci´on de (2.4) asociada a bϕε 0, el estado byε—soluci´on de (2.1) asociada a vε—verifica ([19, 8]) ||byε(T)−yd||L2(Ω) ≤ε. Tenemos as´ı descrito un procedimiento que construye, a partir de los datos y0, ydyε, un control que resuelve el problema de la controlabilidad aproximada de (2.1) en el instante T. De hecho, el control construido vεes el de norma L2(Ω) m´ınima entre los controles que verifican (2.2) (cf. [19]). Este procedimiento, combinado con un m´etodo de punto fijo, proporciona la demostraci´on de la controlabilidad aproximada en L2(Ω) de versiones no lineales de la ecuaci´on del calor bajo condiciones de crecimiento sublineal de los t´erminos no lineales de la ecuaci´on (cf. [8, 22]) exacta 3 La ecuaci´on del calor. Controlabilidad Nula o Exacta a cero Pasemos a continuaci´on al estudio de la controlabilidad nula de la ecuaci´on (2.1) y para ello, supongamos dado y0∈L2(Ω). Para llegar a nuestro objetivo razonaremos del siguiente modo: Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, para cada ε > 0, tomaremos vε=ϕε1Ocon ϕεla soluci´on de (2.4) asociada a ϕε 0∈L2(Ω) y ϕε 0el m´ınimo en L2(Ω) del funcional Jεdado por (2.5) con yd≡0 (eyes la soluci´on de (2.1) asociada a y0yv= 0). Sabemos que la correspondiente soluci´on de (2.1) asociada al control vε—yε—verifica ||yε(T)||L2(Ω) ≤ε. (3.6) M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 19 De las ecuaciones verificadas por eyyϕdeducimos (ϕ0,ey(T))L2(Ω) = (ϕ(0), y0)L2(Ω) y, as´ı, el funcional Jεes: Jε(ϕ0) = 1 2ZZO×(0,T )|ϕ(x, t)|2dx dt +ε||ϕ0||L2(Ω) +ZΩ ϕ(x, 0)y0(x)dx. En el m´ınimo ϕε 0, se verifica la igualdad ZZO×(0,T )|ϕε(x, t)|2dx dt +ZΩ ϕε(x, 0)y0(x)dx +ε||ϕε 0||L2(Ω) = 0.(3.7) Supongamos que existe una constante C > 0, independiente de ϕ0, tal que se tenga ||ϕ(0)||2 L2(Ω) ≤CZZO×(0,T )|ϕ(x, t)|2dx dt, (3.8) con ϕsoluci´on de (2.4) asociada a ϕ0. Entonces, de (3.7) obtenemos (para cada η > 0) ZZO×(0,T )|ϕε(x, t)|2dx dt +ε||ϕε 0||L2(Ω) =−ZΩ ϕε(x, 0)y0(x)dx ≤ 1 2η2||ϕε(0)||2 L2(Ω) +1 2η2||y0||2 L2(Ω) ≤Cη2 2ZZO×(0,T )|ϕε(x, t)|2dx dt +1 2η2||y0||2 L2(Ω). Elegimos η2= 1/C y, teniendo en cuenta que vε=ϕε1O, deducimos 1 2||vε||2 L2(Q)+ε||ϕε 0||L2(Ω) ≤C 2||y0||2 L2(Ω), y, de aqu´ı, una estimaci´on (independiente de ε) de la norma en L2(Q) del control: ||vε||2 L2(Q)≤C||y0||2 L2(Ω). Esta acotaci´on uniforme respecto de εpermite extraer una subsucesi´on {vεn} (con εn↓0) d´ebilmente convergente hacia ˆv∈L2(Q). Para esta subsucesi´on se tiene: yvεn→yˆven L2(Q) e yvεn(T)→yˆv(T) en L2(Ω), con yvεneyˆvlas correspondientes soluciones de (2.1) asociadas a vεny ˆv, respectivamente. Sin m´as que recordar (3.6), al tomar l´ımites, obtenemos que yˆv(T) = 0 en Ω. Tenemos as´ı: M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 20 Teorema 3 Sea y0∈L2(Ω). Supongamos que existe C > 0(independiente de ϕ0) tal que se verifica (3.8). Entonces, existe un control ˆvde L2(Q)tal que la correspondiente soluci´on de (2.1) verifica yˆv(T)=0en L2(Ω). Adem´as, el control ˆvpuede ser elegido tal que ||ˆv||2 L2(Q)≤C||y0||2 L2(Ω).(3.9) Observaci´on 4 Es interesante hacer notar que el argumento utilizado para demostrar la controlabilidad nula de (2.1) es un argumento cuantitativo. En particular, proporciona una estimaci´on de la norma L2(Q) del control que da la controlabilidad nula, respecto de la norma L2(Ω) del dato inicial y0. Basta, por tanto, con estimar la constante Cque aparece en la desigualdad (3.8) para estimar el coste de la controlabilidad nula del sistema (2.1). La desigualdad (3.8) del sistema adjunto (2.4) recibe el nombre de desigualdad de observabilidad. Adem´as de ser una condici´on suficiente para que se tenga la controlabilidad nula del sistema (2.1), tambi´en es una condici´on necesaria. De hecho, se tiene: Teorema 5 Supongamos que para cada y0∈L2(Ω) existe un control ˆv∈L2(Q) verificando (3.9) (Cindependiente de y0) y tal que la correspondiente soluci´on yˆvde (2.1) satisface yˆv(·, T) = 0 en Ω. Entonces, se tiene la desigualdad de observabilidad (3.8) para el problema adjunto (2.4) con la misma constante C. Demostraci´on: Sea y0∈L2(Ω) y consideremos un control ˆv∈L2(Q) que verifique (3.9) y tal que yˆv, la soluci´on de (2.1) asociada a ˆvey0, cumpla yˆv(T) = 0 en Ω. Sea ϕ0∈L2(Ω) y ϕla soluci´on de (2.4) asociada a ϕ0. Es f´acil comprobar: ZΩ ϕ(x, 0)y0(x)dx =−ZZO×(0,T ) ˆv(x, t)ϕ(x, t)dx dt ≤ ||ϕ1O||L2(Q)||ˆv||L2(Q)≤√C||ϕ1O||L2(Q)||y0||L2(Ω),∀y0∈L2(Ω). As´ı, ||ϕ(0)||2 L2(Ω) ≤CZZO×(0,T )|ϕ(x, t)|2dx dt. M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 21 Aunque la norma que aparece a la izquierda de la desigualdad de observabilidad (3.8) es muy d´ebil, a causa de la irreversibilidad del sistema (2.4), esta desigualdad no es f´acil de probar. Varias han sido las t´ecnicas utilizadas en la demostraci´on de esta desigualdad, aunque la mayor´ıa de las veces ´esta ha sido demostrada como consecuencia del correspondiente resultado de controlabilidad nula. Mencionemos los trabajos de [32] y [17], donde se estudia la controlabilidad nula de la ecuaci´on del calor (a≡0, B≡0). En el primero de ellos se prueba que la controlabilidad exacta de la ecuaci´on de ondas implica la controlabilidad nula de la ecuaci´on del calor. Mediante este razonamiento se tendr´a la desigualdad (3.8) si imponemos al abierto Oy al tiempo Tcondiciones geom´etricas an´alogas a las que se imponen para la controlabilidad exacta de la ecuaci´on de ondas (cf. [18, 2]). El segundo de los trabajos utiliza desarrollos en series de Fourier de las soluciones de la ecuaci´on del calor y propiedades ´optimas de las autofunciones del Laplaciano. El resultado obtenido por estos autores prueba la controlabilidad nula (y, en consecuencia, la desigualdad de observabilidad para la ecuaci´on del calor retr´ograda) para cualesquiera abierto Oy tiempo T. Sin embargo, esta t´ecnica no puede generalizarse al caso de ecuaciones donde aparezcan coeficientes dependientes del tiempo. En el presente trabajo trataremos de describir una tercera t´ecnica que demuestra la desigualdad de observabilidad para cualesquiera OyTcuando en la ecuaci´on del sistema adjunto aparecen coeficientes en L∞(Q) que dependen de la variable temporal. Demostraremos la desigualdad (3.8), veremos c´omo depende la constante Crespecto de los datos T,||a||∞y||B||∞y, en consecuencia, daremos una estimaci´on de la norma L2(Q) del control de norma m´ınima que da la controlabilidad nula. Volveremos sobre este punto m´as adelante. Como se puso de manifiesto, demostraremos la desigualdad (3.8) combinando desigualdades globales de tipo Carleman y estimaciones de energ´ıa para el problema adjunto. 4 Desigualdad global de Carleman. Desigualdad de Observabilidad Dedicamos este apartado a demostrar la desigualdad de observabilidad (3.8) para el problema adjunto (2.4). Comenzaremos presentando una desigualdad de Carleman global para las soluciones de la ecuaci´on del calor retr´ograda cuando el segundo miembro de la ecuaci´on est´a en H−1(Ω). M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 28 5.1 Controlabilidad Aproximada Supongamos dados y0, yd∈L2(Ω) y ε > 0. Nuestro objetivo es construir un control v∈L2(Q) tal que la soluci´on de (2.1) asociada a v,y, verifique (2.2). Seg´un pusimos de manifiesto en la Observaci´on 2, la controlabilidad exacta a cero de (2.1) implica la controlabilidad exacta a cualquier trayectoria de este sistema. Teniendo en cuenta esta idea, vamos a dar un procedimiento que construye un control que da la controlabilidad aproximada de nuestro sistema a partir de los datos y0,ydyε. Nuestra argumentaci´on es como sigue: •Dado ε, existe δ∈(0, T), que s´olo depende de Ω, yd,ε,ayB, tal que la soluci´on wde    ∂tw−∆w+B·∇w+aw = 0 en Ω ×(T−δ, T), w= 0 sobre ∂Ω×(T−δ, T), w(x, T −δ) = yd(x) en Ω, (5.22) verifica ||w(T)−yd||L2(Ω) ≤ε. Fijamos de este modo wyδ. •En el intervalo [0, T −δ] dejamos que el sistema (2.1) evolucione libremente (v≡0). Sea y1∈C([0, T −δ]; L2(Ω)) la correspondiente soluci´on, es decir, la soluci´on de    ∂ty1−∆y1+B·∇y1+ay1= 0 en Ω ×(0, T −δ), y1= 0 sobre ∂Ω×(0, T −δ), y1(x, 0) = y0(x) en Ω. (En particular, y1(T−δ)∈L2(Ω)). •Finalmente, en el intervalo [T−δ, T], basta conducir el sistema de forma exacta desde y1(T−δ) hasta la trayectoria w(T). En efecto, en vista de la Observaci´on 2, sabemos que existe v2∈L2(Ω ×(T−δ, T)) tal que el sistema    ∂ty2−∆y2+B·∇y2+ay2=v21Oen Ω ×(T−δ, T), y2= 0 sobre ∂Ω×(T−δ, T), y2(x, T −δ) = y1(x, T −δ) en Ω, (5.23) posee una ´unica soluci´on y2∈C([T−δ, T]; L2(Ω)) que verifica y2(x, T) = w(x, T) p.c.t. x∈Ω. M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 29 Razonando as´ı y tomando como control v=½0 en [0, T −δ], v2en [T−δ, T], el correpondiente estado asociado soluci´on de (2.1) es y=½y1en [0, T −δ], y2en [T−δ, T], que, evidentemente, verifica (2.2). Obtenemos de esta forma un nuevo procedimiento constructivo de demostraci´on de la controlabilidad aproximada de (2.1) en el instante T. 5.2 Coste de la Controlabilidad Expondremos brevemente c´omo los procedimientos que prueban la controlabilidad nula y aproximada de (2.1) proporcionan una acotaci´on superior del coste de la controlabilidad. El caso en el que el coeficiente Bde la EDP de (2.1) es id´enticamente nulo est´a estudiado en profundidad en [10]. Veamos someramente qu´e ocurre en el caso en el que aparecen ambos coeficientes ayB. Dados y0, yd∈L2(Ω) y ε > 0, denotemos Uad(y0, yd;ε) al conjunto (no vac´ıo) Uad(y0, yd;ε) = {v∈L2(Q) : yvsoluci´on de (2.1) satisface (2.2)}. Siguiendo [10], la cantidad C(y0, yd;ε) = inf v∈Uad(y0,yd;ε)||v||L2(Q) mide el coste de la controlabilidad aproximada de (2.1) en el instante T. Acotaremos superiormente este coste en el caso particular y0≡0. Esto no supone ninguna restricci´on pues, de la linealidad de (2.1), se tiene C(y0, yd;ε)≡ C(0, zd;ε) con zd=yd−y1(T) e y1soluci´on de (2.1) para v= 0. Por otro lado, sea Uad(y0,0) = {v∈L2(Q) : yvsoluci´on de (2.1) satisface yv(T) = 0} que como sabemos, es un conjunto no vac´ıo. El coste de la controlabilidad nula de (2.1) viene dado mediante la cantidad C(y0,0) = inf v∈Uad(y0,0) ||v||L2(Q). M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 30 Observaci´on 14 Hay que resaltar que la estimaci´on de C(0, yd;ε) s´olo es interesante cuando ||yd||L2(Ω) > ε. En efecto, si ||yd||L2(Ω) ≤ε, es f´acil comprobar que v≡0 est´a en Uad(0, yd;ε) y que, por tanto, C(0, yd;ε)≡0. Con esta notaci´on, se tiene: Teorema 15 Supongamos dados a∈L∞(Q),B∈L∞(Q)NyT > 0. Entonces: 1. Dado y0∈L2(Ω), se tiene: C(y0,0) ≤exp [C M(T, ||a||∞,||B||∞)]||y0||L2(Ω) donde M(T, ||a||∞,||B||∞)viene dada por (4.14). 2. Dado ε > 0, se tiene: C(0, yd;ε)≤exp [C(M(T, ||a||∞,||B||∞) + N(ε, ||a||∞,||B||∞, yd))]||yd||L2(Ω) (5.24) para cualquier yd∈H2(Ω) ∩H1 0(Ω), donde N(ε, ||a||∞,||B||∞, yd)viene dada por: N(ε, ||a||∞,||B||∞, yd) = ||∆yd||L2(Ω) +||B||∞(1 + ||B||∞)||∇yd||L2(Ω) ε +¡||a||∞+||B||2 ∞¢||yd||L2(Ω) ε. Demostraci´on: Nos centraremos en la segunda parte del resultado pues el primer apartado ha sido demostrado anteriormente. Demostraremos esta segunda parte bajo la hip´otesis ||yd||L2(Ω) > ε. Observando la Secci´on 5.1, est´a claro que, dados ydyε, podemos acotar el coste C(0, yd;ε)≤ ||v2||L2(Ω×(T−δ,T )) donde v2es el control que conduce de forma exacta el sistema (2.1) desde 0 (y0≡0), en el instante T−δ, hasta w(T) en el instante T. No hay que olvidar que δ > 0 era tal que ||w(T)−yd||L2(Ω) ≤ε siendo, a su vez, wla soluci´on de (5.22). Utilizamos de nuevo la linealidad de los sistemas considerados para afirmar que el control v2es el control que conduce de forma exacta el sistema desde −yd, en T−δ, hasta 0 en T. As´ı, ||v2||L2(Q)≤exp [C M(δ, ||a||∞,||B||∞)]||yd||L2(Ω) (5.25) M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 31 donde Mest´a dada por (4.14) y Ces, como siempre, una constante que s´olo depende de Ω y O. Basta, para finalizar, acotar δen funci´on de los datos a, B,ydyε. La soluci´on w∈C([T−δ, T]; L2(Ω)) de (5.22) viene dada por la igualdad: w(T−δ+t) = S(t)yd−Zt 0 S(t−s)[a(T−δ+s)w(T−δ+s)+B(T−δ+s)·∇w(T−δ+s)] ds (5.26) donde S(·) es el semigrupo generado por la ecuaci´on del calor en Ω con condiciones de Dirichlet sobre la frontera, es decir, si u(t) = S(t)u0,ues la soluci´on de    ∂tu−∆u= 0 en Ω ×(0,∞), u= 0 sobre ∂Ω×(0,∞), u(x, 0) = u0(x) en Ω. Es f´acil comprobar que si u0∈H2(Ω) ∩H1 0(Ω), entonces ||∂tu(t)||2 L2(Ω) =||∆u(t)||2 L2(Ω) ≤ ||∆u0||2 L2(Ω),∀t∈[0,∞) y ||S(t)u0−u0||L2(Ω) ≤t||∆u0||L2(Ω),∀t∈[0,∞).(5.27) Volviendo a (5.26), w(T) = S(δ)yd−Zδ 0 S(δ−s)[a(T−δ+s)w(T−δ+s)+B(T−δ+s)·∇w(T−δ+s)] ds y as´ı, ||w(T)−yd||L2(Ω) ≤ ||S(δ)yd−yd||L2(Ω) +||Zδ 0 S(δ−s)[a(T−δ+s)w(T−δ+s) + B(T−δ+s)·∇w(T−δ+s)] ds||L2(Ω). Si utilizamos que S(·) es un semigrupo de contracciones en L2(Ω), obtenemos ||w(T)−yd||L2(Ω)||L2(Ω) ≤ ||S(δ)yd−yd||L2(Ω) +||a||∞Zδ 0||w(T−δ+s)||L2(Ω) ds +||B||∞Zδ 0||∇w(T−δ+s)||L2(Ω) ds. (5.28) Acotaremos las integrales que aparecen en esta ´ultima desigualdad utilizando propiedades de w. De la desigualdad de la energ´ıa verificada por w d dt||w(t)||2 L2(Ω) +||∇w(t)||2 L2(Ω) ≤¡2||a||∞+||B||2 ∞¢||w(t)||2 L2(Ω) M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 32 deducimos ||w(T−δ+s)||2 L2(Ω) ≤ ||yd||2 L2(Ω)e(2||a||∞+||B||2 ∞)s,∀s∈(0, δ).(5.29) Gracias a la regularidad del dato inicial (yd∈H1 0(Ω)), tambi´en podemos obtener d dt||∇w(t)||2 L2(Ω) ≤ ||B||2 ∞||∇w(t)||2 L2(Ω) +||a||2 ∞||w(t)||2 L2(Ω) y de aqu´ı, d dt n||∇w(t)||2 L2(Ω)e||B||2 ∞(T−δ−t)o≤ ||a||2 ∞||w(t)||2 L2(Ω)e||B||2 ∞(T−δ−t), para t∈(T−δ, T). Integrando respecto de ten [T−δ, T −δ+s] y utilizando (5.29), llegamos a          ||∇w(T−δ+s)||2 L2(Ω) ≤ ||∇yd||2 L2(Ω)e||B||2 ∞s+1 2||a||∞||yd||2 L2(Ω)e(2||a||∞+||B||2 ∞)s ≤·||∇yd||L2(Ω)e1 2||B||2 ∞s+1 √2||a||1/2 ∞||yd||L2(Ω)e(||a||∞+1 2||B||2 ∞)s¸2 . (5.30) Llevando (5.27), (5.29) y (5.30) a (5.28), obtenemos ||w(T)−yd||L2(Ω) ≤δ||∆yd||L2(Ω) +√2||yd||L2(Ω) he(||a||∞+1 2||B||2 ∞)δ−1i +2 ||B||∞||∇yd||L2(Ω) he1 2||B||2 ∞δ−1i. Acotamos cada sumando por ε/3 y as´ı, elegimos δ δ= min ÃT, ε 3||∆yd||L2(Ω) ,1 ||a||∞+1 2||B||2 ∞ log Ã1 + ε 3√2||yd||L2(Ω) !, 2 ||B||2 ∞ log µ1 + ||B||2 ∞ 6||∇yd||L2(Ω)嶶. (5.31) Bajo la hip´otesis ||yd||L2(Ω) > ε, tambi´en se verifica 0<ε ||∆yd||L2(Ω) ≤1 λ1 ε ||yd||L2(Ω) <1 λ1 y 0 <ε ||∇yd||L2(Ω) ≤1 λ1 ε ||yd||L2(Ω) <1 λ1 siendo λ1el primer valor propio de −∆ en H1 0(Ω). As´ı, si δviene dado por (5.31), un simple c´alculo proporciona 1 δ≤CÃ1 T+||∆yd||L2(Ω) +¡||a||∞+||B||2 ∞¢||yd||L2(Ω) +||B||∞(1 + ||B||2 ∞)||∇yd||L2(Ω) ε! donde Ces una nueva constante positiva que s´olo depende de Ω. Volviendo a (5.25), ahora es f´acil obtener (5.24) y la prueba del Teorema. M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 33 Observaci´on 16 1. En el caso del coste de la controlabilidad aproximada, la hip´otesis yd∈H2(Ω) ∩H1 0(Ω) no supone ninguna restricci´on. Dado yd∈L2(Ω) y ε > 0, podemos considerar yε d∈H2(Ω) ∩H1 0(Ω) tal que ||yε d−yd||L2(Ω) ≤ε/2. De esta manera, el coste se puede acotar por: C(0, yd;ε)≤ C(0, yε d;ε/2). Basta, por ´ultimo, estimar las normas ||∆yε d||L2(Ω) y||∇yε d||L2(Ω) en funci´on de εy||yd||L2(Ω). 2. Razonando de manera ligeramente distinta a como hemos hecho, es posible suponer que yd∈ D((−∆)α/2) con α∈[1,2] para obtener una acotaci´on distinta a (5.24): C(0, yd;ε)≤exp [C(M(T, ||a||∞,||B||∞) + Nα(ε, ||a||∞,||B||∞, yd))]||yd||L2(Ω) (5.32) con Nα(ε, ||a||∞,||B||∞, yd) = Ã||(−∆)α/2yd||L2(Ω) ε!2/α +||B||∞(1 + ||B||∞)||∇yd||L2(Ω) +¡||a||∞+||B||2 ∞¢||yd||L2(Ω) ε. Para la demostraci´on en el caso en que el coeficiente Bes nulo, v´ease [10]. 3. Observando (5.32), es claro que la mejor potencia, respecto de ε, se obtiene cuando yd∈H2(Ω) ∩H1 0(Ω) y, as´ı, la estimaci´on del coste de la controlabilidad aproximada es del orden de exp(K/ε), con Kuna constante positiva que depende de Ω, O,Teyd. En [10] se demuestra que, en el caso de la ecuaci´on del calor con coeficientes constantes, la estimaci´on del coste de la controlabilidad aproximada es del orden de exp(K/√ε). En este ´ultimo caso, adem´as se prueba que, en alg´un sentido, la estimaci´on obtenida es ´optima. 4. La cota superior (5.24) dada para el coste de la controlabilidad aproximada no puede ser ´optima respecto de yd. Sabemos que si ydes una trayectoria del sistema (2.1), es decir, si yd=y?(T) siendo y?la soluci´on de    ∂ty?−∆y?+B·∇y?+ay?= 0 en Q, y?= 0 sobre Σ, y?(x, 0) = y? 0(x) en Ω, M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 34 con y? 0∈L2(Ω), el sistema (2.1) es exactamente controlable a yden el instante T. En consecuencia, el coste asociado C(0, yd;ε) debe permanecer acotado respecto de ε, cuando ε→0. 5. Cuando B≡0, en [10] se obtiene tambi´en una estimaci´on del coste de la controlabilidad finito-aproximada de (2.1). Dado un subespacio de dimensi´on finita Ede L2(Ω), se dice que (2.1) es finito-aproximadamente controlable en el instante Tsi, para cada y0, yd∈L2(Ω) y ε > 0, existe un control v∈L2(Q) tal que la soluci´on yvde (2.1) verifica ||yv(T)−yd||L2(Ω) ≤ε, ΠE(yv(T)) = ΠE(yd), siendo ΠEel operador de proyecci´on ortogonal de L2(Ω) en E. Este resultado de controlabilidad se demuestra cambiando ligeramente el funcional Jεdado por (2.5) (cf. [21]). La estimaci´on del coste de la controlabilidad finito-aproximada dada en [10] se basa, de nuevo, en la desigualdad de observabilidad para el problema adjunto (2.4) (B≡0). 6 Controlabilidad de otros problemas parab´olicos Acabaremos el trabajo presentado algunos resultados recientes de controlabilidad para otros problemas parab´olicos. En concreto, nos centraremos en versiones no lineales de la ecuaci´on del calor y en las ecuaciones de Stokes y de Navier-Stokes. En [4] (y en las referencias que all´ı aparecen) pueden encontrarse otros interesantes resultados de controlabilidad para otros problemas no lineales (ecuaci´on del calor con t´erminos no lineales discontinuos, con condiciones de contorno no lineales, ...). 6.1 Ecuaci´on del calor casilineal Con la misma notaci´on de la Secci´on 2, consideramos el problema parab´olico no lineal    ∂ty−∆y+f(y, ∇y) = v1Oin Q, y= 0 on Σ, y(x, 0) = y0(x) in Ω (6.33) donde y0yvest´an dados y f: IR ×IRN→IR es una funci´on localmente lipschitziana. Bajo estas hip´otesis, podemos escribir f(s, p) = f(0,0) + g(s, p)s+G(s, p)·p∀(s, p)∈IR ×IRN, para ciertas funciones gyGde L∞ loc. M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 35 La controlabilidad de (6.33) ha sido analizada en varios art´ıculos recientes. Destacamos los trabajos [12], [9], [15], [11], [1] y [5] en lo referente a la controlabilidad nula y [8], [22], [11] y [5] en lo que se refiere a la controlabilidad aproximada. Para no extendernos excesivamente, nos centraremos en la descripci´on de los resultados de controlabilidad y no controlabilidad m´as generales demostrados. ´ Estos son los resultados probados en [11] y [5], donde se permite que la no linealidad ftenga un crecimiento superlineal en el infinito y donde no se imponen condiciones de buen signo a f. En concreto, en [11] se trata el caso de la ecuaci´on del calor semilineal, es decir, el caso f=f(s), mientras que en [5] se analiza el caso m´as general f=f(s, p). En [5] se prueba: Teorema 17 Supongamos que y0∈W1,∞(Ω) ∩H1 0(Ω) y que fes una funci´on localmente lipschitziana verificando f(0,0) = 0 y lim |(s,p)|→∞ |g(s, p)| log3/2(1 + |s|+|p|)= 0,lim |(s,p)|→∞ |G(s, p)| log1/2(1 + |s|+|p|)= 0.(6.34) Entonces, existe un control v∈L∞(Q)tal que el problema (6.33) admite una soluci´on y∈C([0, T ]; L2(Ω)) que verifica y(x, T) = 0 ∀x∈Ω. Observaci´on 18 1. En particular, el Teorema 17 afirma que, bajo la hip´otesis (6.34), para cada y0∈W1,∞(Ω) ∩H1 0(Ω) existe un control vtal que (6.33) admite una soluci´on global definida en [0, T]. Hay que destacar que esto no es cierto para cualquier segundo miembro y cualquier dato inicial pues estamos en el rango de no linealidades para las que se dan fen´omenos de explosi´on en tiempo finito para (6.33). 2. En la prueba del Teorema 17 se construye un control regular que hace que (6.33) admita soluci´on en el espacio C([0, T]; W1,∞(Ω)), espacio donde se puede asegurar la unicidad de soluci´on. La versi´on mejorada de la desigualdad de observabilidad para (2.4), (4.20), juega un papel crucial en la demostraci´on del Teorema 17. Usando (4.20) se prueba un resultado de controlabilidad nula para una versi´on linealizada de (6.33) con controles en L∞y en un adecuado intervalo temporal (intervalo que depende inversamente del tama˜no de los potenciales gyGpuestos en la funci´on M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 36 alrededor de la cual se linealiza). Aplicamos posteriormente un argumento de punto fijo para obtener el resultado deseado. El mismo m´etodo de demostraci´on del Teorema 17 permite probar para (6.33) un resultado de controlabilidad nula local para cualquier no linealidad considerada: Teorema 19 Sea funa funci´on localmente lipschitziana en IR×IRN. Entonces, existe ε0>0(ε0=ε0(Ω,O, T, f)) tal que si y0∈W2,p(Ω) ∩H1 0(Ω), con p > N, verifica ||y0||W2,p(Ω) ≤ε0, existe un control v∈L∞(Q)tal que el problema (6.33) admite una soluci´on global y∈C([0, T]; L2(Ω)) que verifica y(x, T) = 0 ∀x∈Ω. Una consecuencia del Teorema 17 es la controlabilidad aproximada de (6.33). Para ello supondremos una hip´otesis ligeramente distinta a (6.34). Tambi´en supondremos que, para ciertos y? 0∈W1,∞(Ω)∩H1 0(Ω) y v?∈L∞(Q), el sistema (6.33) admite una soluci´on global y?∈C([0, T]; W1,∞(Ω)). Se tiene ([5]): Teorema 20 Supongamos que y0∈W1,∞(Ω) ∩H1 0(Ω) y que fes una funci´on localmente lipschitziana que verifica lim |(s,p)|→∞ 1 log3/2(1 + |s|+|p|)¯¯¯¯Z1 0 ∂f ∂s (s0+λs, p0+λp)dλ¯¯¯¯= 0, lim |(s,p)|→∞ 1 log1/2(1 + |s|+|p|)¯¯¯¯Z1 0 ∂f ∂pi (s0+λs, p0+λp)dλ¯¯¯¯= 0, (6.35) uniformemente en (s0, p0)∈K, para cualquier compacto K⊂IR ×IRN(con f(0,0) no necesariamente nulo). Supongamos tambi´en que (6.33) admite al menos una souci´on global y∗∈C0([0, T]; W1,∞(Ω)), correspondiente a los datos y∗ 0∈W1,∞(Ω)∩H1 0(Ω) yv∗∈L∞(O×(0, T)). Entonces, para cada yd∈L2(Ω) yε > 0, existe v∈L∞(Q)tal que (6.33) admite una soluci´on que verifica (2.2). Observaci´on 21 1. La hip´otesis de existencia de al menos una soluci´on global impuesta al sistema (6.33) es, evidentemente, una condici´on necesaria para que haya controlabilidad aproximada. Esta condici´on se tiene inmediatamente cuando f(0,0) = 0, si tomamos y?≡0, soluci´on de (6.33) asociada a los datos y? 0= 0 y v?= 0. M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 37 2. La condici´on (6.35) se puede escribir de forma m´as simple cuando fs´olo depende de s(caso semilineal). En este caso, en la expresi´on (6.35) no aparece la variable py se puede demostrar (cf. [11]) que equivale a lim |s|→∞ f(s) |s|log3/2(1 + |s|)= 0 y que ´esta, a su vez, equivale a lim |s|→∞ g(s) log3/2(1 + |s|)= 0. En el caso m´as simple f=f(s) se pueden establecer resultados de no controlabilidad de (6.33). En [11] se demuestra: Teorema 22 Existen funciones localmente Lipschitz f=f(s)tales que f(0) = 0, satisfaciendo |f(s)| ∼ |s|logp(1 + |s|)con |s| → ∞ (6.36) con p > 2, para las cuales, para cualquier T, el sistema (6.33) no es exactamente controlable a cero en el instante T. Se llega a un resultado an´alogo para la controlabilidad aproximada de (6.33): Teorema 23 Existe una funci´on localmente Lipschitz que verifica (6.36), con p > 2, para la que el sistema (6.33) no es aproximadamente controlable en ning´un tiempo T > 0. Observaci´on 24 1. La demostraci´on de los Teoremas 22 y 23 est´a basada en la elecci´on de no linealidades fpara las que se dan, por un lado, fen´omenos de explosi´on en tiempos arbitrariamente peque˜nos (lo que impide la controlabilidad nula de (6.33)) y, por otro, no linealidades para las que se dan fen´omenos de obstrucci´on (lo que imposibilita la controlabilidad aproximada). En concreto, en el Teorema 22 se utiliza la funci´on f(s) = Z|s| 0 logp(1 + |σ|)dσ ∀s∈IR, (con p > 2) y se prueba que el control no puede compensar el fen´omeno de explosi´on que se produce en Ω \O. En el caso del Teorema 23 se elige, para p > 2, f(s) = Zs 0 logp(1 + |σ|)dσ ∀s∈IR, M. Gonz´ alez Burgos Controlabilidad de E.D.P. Parab´olicas 44 [18] J.L. Lions, Exact controllability, stabilizability and perturbations for distributed systems, SIAM Rev. 30, (1988), 1–68. [19] J.L. Lions, Remarks on approximate controllability, J. Analyse Math. 59, (1992), 103–116. [20] D. L. 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