Ondas gravitacionales

Universidad de Sevilla DOBLE GRADO EN F´ ISICA Y MATEM ´ ATICAS ONDAS GRAVITACIONALES Autor: Alejandro Rosendo Pato Tutor: ´ Alvaro Dom´ ınguez ´ Alvarez 9 de julio de 2025 I Resumen En el presente trabajo estudiaremos una breve introducci ´ on a la teor ´ ıa general de la relatividad, formulada originalmente por Albert Einstein en la segunda d ´ ecada del siglo XX. Para ello, precisaremos de conceptos de espacios curvos sobre variedades riemannianas e introduciremos el efecto gravitatorio que se produce sobre el espacio-tiempo a trav ´ es de las ecuaciones de campo de Einstein. Una vez establecido el marco de trabajo, particularizaremos la teor ´ ıa para describir las ondas gravitacionales, perturbaciones en el espacio-tiempo de reciente detecci´ on en centros como LIGO o Virgo. II Abstract In the present article we shall study a brief introduction to the general theory of relativity, originally formulated by Albert Einstein during the early years of the XX century. To do so, we will require some knowledge about riemannian manifolds. We will then make the connection between gravity and the concept of curvature of the manifold, through the Einstein field equations. Once we stablish our framework, we will study the particular case of gravitational waves, perturbations in space-time, that have been recently measured in facilities such as LIGO and VIRGO. ´ Indice general 1. Introducci´ on 1 2. Teor´ ıa especial de la relatividad 3 2.1. Efectos b´ asicos de la relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1. Coordenadas espaciales perpendiculares al movimiento . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2. Dilataci´ ontemporal................................. 4 2.1.3. Contracci´ on de longitud paralela al movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.4. P´ erdidadesimultaneidad.............................. 6 2.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3. Sistemanaturaldeunidades................................. 9 2.4. EspaciodeMinkowski ................................... 10 2.4.1. Invariancia del intervalo ∆s2............................ 10 2.4.2. Vectores....................................... 11 2.4.3. Transformaci´ oninversa............................... 12 2.4.4. Producto escalar y norma en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5. Cuadrivelocidad y cuadrimomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6. Intuici´ on sobre la relatividad general. Principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . 15 3. ´ Algebra tensorial en espacios curvos 19 3.1. Tensores........................................... 19 3.1.1. Covectores ..................................... 19 3.1.2. Tensores M N.................................... 21 3.1.3. Gradiente como covector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2. Variedadesriemannianas .................................. 23 3.2.1. S´ ımbolos de Christoffel y derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.2. Transporte paralelo y geod´ esicas.......................... 28 3.2.3. Tensor de curvatura. Desviaci´ on geod´ esica .................... 29 3.2.4. Identidades de Bianchi, tensor de Ricci y tensor de Einstein . . . . . . . . . . . 34 4. Ecuaciones de Einstein. Ondas gravitacionales 36 4.1. Ecuaciones de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 III ´ INDICE GENERAL IV 4.2. Ecuaciones de Einstein para campo d´ ebil.......................... 38 4.2.1. Transformaciones de Lorentz de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.2. Transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.3. Ecuaciones de campo d´ ebil............................. 40 4.2.4. L´ ımitenewtoniano ................................. 41 4.3. Ondasgravitacionales.................................... 42 4.3.1. Efecto de las ondas gravitacionales sobre part´ ıculas libres . . . . . . . . . . . . 44 4.3.2. Polarizaci´ on de ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3.3. Detecci´ on de ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5. Conclusi´ on 49 Bibliograf´ ıa 50 Ap´ endices 51 A.1. Demostraci´ on de la invarianza del intervalo espacio-temporal . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.2. Demostraci´ on del teorema de planitud local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.3. Demostraci´ on de la relaci´ on entre los s´ ımbolos de Christoffel y el tensor m´ etrico . . . . 52 A.4. Par´ ametros independientes del tensor curvatura de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.5.Modelodepolvo ...................................... 55 Cap´ ıtulo 1 Introducci´ on En mec ´ anica cl ´ asica, las ecuaciones de movimiento y de gravitaci ´ on desarrolladas por Isaac Newton son consistentes con unas transformaciones descritas por Galileo en 1638, dando resultado al principio de relatividad de Galileo. Estas transformaciones describen el cambio de coordenadas de un suceso f ´ ısico observado desde dos sistemas inerciales, siendo una de las suposiciones de Galileo asumir que intervalos de tiempo entre dos sucesos medidos por distintos observadores inerciales deben ser iguales en concordancia con la experiencia cotidiana. No obstante, tras el descubrimiento de la teor ´ ıa del electromagnetismo, resumido en las ecuaciones desarrolladas por James Clerk Maxwell en 1864, surge una discordancia con este principio: las ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo transformaciones de Galileo. En consecuencia, a principios del siglo XX, se busca una soluci ´ on para casar el electromagnetismo con las teor ´ ıas cl ´ asicas. Tras el rechazo a la teor ´ ıa del ´ eter como medio de propagaci ´ on de ondas electromagn ´ eticas y diversos experimentos (como el de Micherson-Morley), se llega a unas transformaciones que manten ´ ıan invariante la estructura de las ecuaciones de Maxwell, pero que sugieren un cambio en las ideas de la mec´ anica cl´ asica. Estas son las transformaciones de Lorentz. En paralelo, Einstein desarrolla una teor´ ıa bas´ andose en dos simples postulados: 1. Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes. 2. La velocidad de la luz en vac´ ıo, c, es constante en todo sistema de referencia inercial. Partiendo de estas dos ideas b ´ asicas, podemos llegar a las transformaciones de Lorentz, dot ´ andolas de un significado f ´ ısico, surgiendo as ´ ı la idea de un espacio cuadridimensional (las tres coordenadas espaciales y la coordenada temporal) caracterizado por dichas transformaciones: el espacio de Minkowski. Posteriormente, Einstein expande su teor ´ ıa consiguiendo abarcar la descripci ´ on de la gravedad mediante una idea simple: el principio de equivalencia. De acuerdo con este principio, es imposible distinguir localmente la gravedad y la aceleraci ´ on mediante experimentos f ´ ısicos. Una consecuencia del principio es el efecto gravitatorio sobre la luz, previamente desconocido al considerar que la luz es una onda electromagn ´ etica que no posee masa. Este efecto ha sido comprobado, por ejemplo, mediante los experimentos de Rebka y Pound al medir el corrimiento al rojo sufrido por fotones al ascender una torre, o midiendo la curvatura de un rayo de luz al pasar cerca del Sol. 1 CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON 2 El objetivo de este trabajo ser ´ a formular las ecuaciones de Einstein que caracterizan la teor ´ ıa general de la relatividad. Esta teor ´ ıa, a pesar de reducirse al caso newtoniano en los l ´ ımites adecuados, abre una serie de nuevos campos de estudio como el de las ondas gravitacionales. Obtendremos dichas ondas como soluciones de las ecuaciones de Einstein y deduciremos sus propiedades. Las fuentes empleadas en el trabajo vienen recogidas en el correspondiente apartado de bibliograf ´ ıa: [ 1 ], [ 2 ] y [ 3 ]. Para evitar la repetici ´ on de estas a lo largo del texto, no haremos menci ´ on en cada ocasi ´ on a todas ellas. Cap´ ıtulo 2 Teor´ ıa especial de la relatividad Vamos a realizar una breve descripci ´ on de la teor ´ ıa especial de la relatividad bas ´ andonos en los dos principios de Einstein. Esta teor ´ ıa, sin embargo, no es capaz de explicar las din ´ amicas de cuerpos sometidos a la interacci ´ on gravitatoria pero los resultados que obtendremos servir ´ an de base para poder introducirnos en la teor´ ıa general, que goza de un mayor alcance predictivo. 2.1. Efectos b´ asicos de la relatividad especial Para nuestro prop ´ osito, un sistema de referencia inercial ser ´ a un sistema de cuatro coordenadas (t, x, y, z) para el cual la distancia entre puntos es independiente del tiempo y el ritmo de paso del tiempo es independiente del punto. En este sentido, podemos entender un sistema inercial como un observador dotado de regla y reloj, capaz de asignar unas coordenadas espacio-temporales a cada suceso. La diferencia entre la relatividad de Galileo y la de Einstein radica en las transformaciones entre coordenadas de sucesos para distintos sistemas, esto es, aunque cada observador porte el mismo tipo de reglas y relojes, desde el punto de vista de otros observadores estas pueden aparecer alteradas. Otra diferencia clave es la separaci ´ on galileana de los conceptos de tiempo y espacio, a diferencia de la relatividad de Einstein en el que ambos se afectan mutuamente de forma natural a partir de sus postulados. Consideraremos ahora dos sistemas de referencia inerciales, S y ¯ S , que se mueven con velocidad relativa v y tomamos, sin p ´ erdida de generalidad, al eje espacial x apuntando en direcci ´ on de dicha velocidad. Vamos a ver c ´ omo se relacionan las coordenadas (¯ t, ¯x, ¯y, ¯z) medidas por ¯ S con respecto a las coordenadas (t, x, y, z)medidas por Sa trav´ es de cuatro efectos b´ asicos. 2.1.1. Coordenadas espaciales perpendiculares al movimiento Definiremos primero la longitud propia de un cuerpo como aquella medida por el sistema de referencia que ve dicho cuerpo en reposo. Consideremos dos barras de igual longitud propia y perpendiculares a la direcci´ on xy en cuyos extremos hemos colocado unos rotuladores. Las barras se mueven con velocidad relativa v , y sean S y ¯ S los sistemas de referencia que ven cada barra en reposo (v ´ ease fig. 2.1). Pongamos el caso en que ambas barras se aproximan mutuamente. Fij ´ andonos en el sistema S , observar ´ ıamos la 3 CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 4 Figura 2.1: Izquierda: el sistema S observa a la barra del sistema ¯ S acercarse con velocidad v con su longitud disminuida. Derecha: igual para ¯ S al observar a la barra del sistema S . De forma an ´ aloga podr ´ ıa verse si las longitudes se viesen aumentadas. barra del sistema ¯ S aproximarse con velocidad −v en direcci ´ on x . Si desde el sistema S las distancias entre puntos perpendiculares a la direcci ´ on del movimiento se viesen alteradas, una de las barras dejar ´ ıa una marca en la otra a una altura dependiente de si las distancias se viesen aumentadas o disminuidas. Aplicando el primer postulado, la situaci ´ on es equivalente a ¯ S estando en reposo y S movi ´ endose en sentido positivo del eje x , por lo que el efecto ser ´ ıa el mismo que antes. Al finalizar el experimento, ambos observadores deben poder ponerse de acuerdo sobre c ´ ual de las barras ha sido marcada por la otra, por tanto, las marcas dejadas por las barras s ´ olo pueden ser explicadas si estas longitudes no se ven alteradas para ambos observadores. 2.1.2. Dilataci´ on temporal El segundo postulado permite emplear la velocidad de la luz c como un invariante en todos los sistemas, justificando as ´ ı el uso de rayos de luz para obtener las relaciones entre coordenadas en S y ¯ S que estamos buscando. Sea S el sistema de referencia en reposo de un tren, que tiene sobre ´ el un espejo a altura h y un emisor de luz en el suelo (v ´ ease fig. 2.2). El rayo de luz saldr ´ a del emisor, se reflejar ´ a y volver ´ a al suelo llev ´ andole un tiempo t= 2h/c . Podemos definir, de forma an ´ aloga a la longitud propia, el concepto de tiempo propio como el tiempo medido por el sistema de referencia que observa un reloj en reposo. Si ahora consideramos el sistema ¯ S de una persona fuera del tren, el emisor y el reloj se mueven respecto a ´ el con velocidad v hacia la derecha. Por el apartado anterior ya podemos decir que la altura del espejo ser ´ a la misma para ambos sistemas al tratarse de una longitud perpendicular al movimiento del tren. La luz seguir´ a ahora una trayectoria en la que recorrer´ a una distancia mayor que podemos obtener aplicando el CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 11 2.4.2. Vectores Definimos un vector del espacio de Minkowski (tambi ´ en llamado tetravector o cuadrivector) como una colecci ´ on de cuatro componentes que se transforman de acuerdo a las transformaciones de Lorentz al realizar un cambio de sistema de referencia inercial. Tenemos as ´ ı el vector desplazamiento ∆x = (∆t, ∆x, ∆y, ∆z) ; en notaci ´ on de ´ ındices ponemos ∆x := {∆xα} , donde α= 0,1,2,3 . En la situaci ´ on est´ andar entre dos sistemas de referencia Sy¯ Sse cumple                ∆x¯ 0=γ(v∆x1+ ∆x0), ∆x¯ 1=γ(∆x1+v∆x0), ∆x¯ 2= ∆x2, ∆x¯ 3= ∆x3, (2.24) donde hemos usado la notaci ´ on ∆x¯α para referirnos a las coordenadas respecto a ¯ S . Entre dos sistemas de referencia movi ´ endose relativamente entre s ´ ı de forma m ´ as general, tendremos que la transformaci ´ on de Lorentz entre ambos ser ´ a una cierta combinaci ´ on lineal de sus componentes de forma que siempre se deba cumplir (2.23). Podemos expresar la transformaci´ on de vectores como ∆x¯α= 3 X β=0 Λ¯αβ∆xβ:= Λ¯αβ∆xβ,(2.25) donde {Λ¯αβ} es la matriz 4×4 representante de la transformaci ´ on, y hemos hecho uso tambi ´ en de la notaci ´ on de suma de Einstein ( ´ ındices repetidos se contraen mediante suma), que usaremos en el resto del trabajo. Recalcamos aqu ´ ı que la notaci ´ on ¯α no quiere decir que el valor del ´ ındice haya cambiado, esto es, sigue tomando los valores ¯α= 0,1,2,3 , la barra por tanto solo hace referencia a que estamos ahora en el sistema ¯ S . Otras notaciones aplican la distinci ´ on al propio vector ∆¯xα , no obstante, en este texto nos hemos decantado por la primera para poder expresar de forma intuitiva la transformaci´ on entre sistemas Λ¯αβ, recalcando que se est´ a transformando del sistema S(βsin barra) al sistema ¯ S(¯αcon barra). En virtud de la linealidad de las transformaciones de Lorentz, el conjunto de vectores as ´ ı definidos posee, efectivamente, estructura de espacio vectorial. Podemos entonces definir una base de vectores en el sistema S, e0= (1,0,0,0), e1= (0,1,0,0), e2= (0,0,1,0), e3= (0,0,0,1),(2.26) de forma que, para todo vector  A, tenemos  A=A0e0+A1e1+A2e2+A3e3=Aαeα.(2.27) Los coeficientes Aα se llaman componentes del vector respecto de la base {eα} . De la misma forma CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 12 debemos tener, respecto al sistema ¯ S,  A=A¯ 0e¯ 0+A¯ 1e¯ 1+A¯ 2e¯ 2+A¯ 3e¯ 3=A¯αe¯α.(2.28) Cabe ahora recalcar que el vector  A no depende del sistema de referencia considerado, mientras que sus componentes y la base considerada s ´ ı variar ´ a entre sistemas. Esto es, ambas expresiones deben ser iguales: A¯αe¯α=Aαeα.(2.29) Sabiendo que las componentes de S se transforman como las coordenadas espacio-temporales (2.25), se tiene A¯α= Λ¯αβAβ.(2.30) Aplicamos esta transformaci´ on a (2.29) para obtener A¯αe¯α= Λ¯αβAβe¯α=Aαeα.(2.31) Podemos emplear ahora que el orden de las sumas de la expresi ´ on izquierda es irrelevante para conmutar los n ´ umeros Λ¯αβ y Aβ . Tambi ´ en podemos notar que los ´ ındices contra ´ ıdos mediante suma son mudos, es decir, podemos cambiar la letra de los ´ ındices mientras que mantengamos las sumas implicadas, lo que nos permite deducir AαΛ¯ βαe¯ β=Aαeα=⇒AαΛ¯ βαe¯ β−eα= 0.(2.32) Concluimos entonces con la transformaci´ on entre vectores base de dos sistemas de referencia, eα= Λ¯ βαe¯ β.(2.33) Notemos que la expresi´ on difiere de la obtenida para componentes, ec. (2.30). Debido a la forma de las transformaciones de Lorentz, las bases de vectores para distintos sistemas inerciales no son necesariamente ortogonales (v´ ease la figura 2.5). 2.4.3. Transformaci´ on inversa Como dedujimos en el apartado (2.1), la transformaci ´ on de Lorentz entre dos sistemas inerciales s ´ olo depende de la velocidad relativa entre ellos. Sea Λ¯ βα(−v) la matriz que representa la transformaci ´ on de Lorentz del sistema S al sistema ¯ S que se mueve con velocidad −v respecto a S . Por el primer principio todos los sistemas son equivalentes, por lo que es v ´ alido considerar al sistema ¯ S en reposo mientras que S se mueve con respecto a ´ el con velocidad +v . La transformaci ´ on de Lorentz del sistema ¯ S al sistema S ser ´ a entonces Λν¯ β(v) . Se tiene que cumplir trivialmente que, al aplicar las dos transformaciones consecutivamente, hayamos vuelto al sistema de partida, es decir, ir de las coordenadas de S a las de ¯ S y CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 13 Figura 2.5: Transformaci ´ on de Lorentz como cambio de ejes de coordenadas en un ejemplo en dos dimensiones y representaci´ on de un vector arbitrario en ambas bases. despu´ es de las de ¯ Sa las de S. De forma matem´ atica esto es Λν¯ β(−v)Λ¯ βα(v) = δνα=   0,si α=ν, 1,si α=ν, (2.34) donde δνα es la delta de Kronecker, es decir, la matriz inversa de Λ¯ βα(v) se obtiene cambiando v por −v , y en lo sucesivo omitiremos la dependencia expl´ ıcita con v. 2.4.4. Producto escalar y norma en el espacio de Minkowski La forma del intervalo ∆s2sugiere definir la norma de cualquier vector  Acomo | A|2:= −(A0)2+ (A1)2+ (A2)2+ (A3)2.(2.35) A diferencia de un espacio eucl ´ ıdeo, esta norma no es definida positiva, esto es, hay vectores para los cuales | A|2<0 , llamados vectores temporales (por ejemplo, el intervalo entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto espacial para un sistema de referencia); por lo tanto se trata en realidad de una pseudo-norma. Como las componentes Aα se transforman igual que las coordenadas ∆xα , el resultado (2.23) obtenido para la invariancia del intervalo ∆s2 tambi ´ en aplica en este caso a la norma de los vectores, dando como resultado que | A|2 es invariante Lorentz. Podemos definir el producto escalar asociado a la norma de la siguiente forma:  A· B:= −A0B0+A1B1+A2B2+A3B3.(2.36) La invariancia de este producto escalar se sigue trivialmente a partir de la invariancia de la norma, pues 2 A· B=| A+ B|2−| A|2−| B|2.(2.37) CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 14 Este producto escalar es sim´ etrico por definici´ on. Si aplicamos estas definiciones a los vectores de la base introducida en (2.26), se encuentra          e0·e0=−1, ei·ei= 1, i = 1,2,3, eα·eβ= 0,si α=β. (2.38) Podemos definir una matriz que resuma estas relaciones: ηαβ := eα·eβ=       −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       .(2.39) Se trata del tensor m ´ etrico en el espacio de Minkowski, pues permite expresar el producto escalar de dos vectores de la siguiente forma:  A· B=AαBβηαβ.(2.40) La invariancia del producto escalar bajo transformaciones de Lorentz, combinado con la ec. (2.30) de transformaciones de las componentes de vectores, permite concluir η¯α¯ β= Λµ¯αΛν¯ βηαβ,(2.41) es decir, el tensor m´ etrico de Minkowski es invariante bajo transformaciones de Lorentz. 2.5. Cuadrivelocidad y cuadrimomento Consideremos una part ´ ıcula de masa en reposo m , es decir, la masa medida por un observador que ve a la part ´ ıcula en reposo. En cada instante de tiempo podemos definir un sistema de referencia inercial que se mueve con la velocidad instant ´ anea de la part ´ ıcula en ese instante, llamado sistema de referencia propio. Si parametrizamos la trayectoria unidimensional x(τ) de la part ´ ıcula con el tiempo propio τ , se define la cuadrivelocidad  Ucomo  U:= dx dτ ,(2.42) que por construcci ´ on es un vector tangente a la trayectoria. De aqu ´ ı podemos definir tambi ´ en el cuadrimomento por su an´ alogo cl´ asico, p := m U. (2.43) N ´ otese que en el sistema de referencia propio la part ´ ıcula est ´ a en reposo instant ´ aneamente, x = (τ, 0,0,0) , de forma que la cuadrivelocidad es  U= (1,0,0,0) = e0 en ese sistema. En un sistema arbitrario CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 15 tendremos entonces, aplicando una transformaci´ on de Lorentz, Uα= Λα¯ β(e¯ 0)¯ β= Λα¯ 0.(2.44) Y como la norma es invariante Lorentz, se concluye | U|=−1 (fij ´ emonos en ec. (2.35)) en cualquier sistema de referencia. En la configuraci´ on est´ andar nos queda pues U0=γ= (1 −v2)−1/2, U1=vγ =v(1 −v2)−1/2, U2= 0, U3= 0.(2.45) En el l ´ ımite no relativista (v≪1) , las componentes espaciales de  U se aproximan a (v, 0,0) , justificando que la llamemos velocidad. En cuanto a la componente temporal, su sentido f ´ ısico est ´ a relacionado con la energ´ ıa de la part´ ıcula pues, en el l´ ımite no relativista de nuevo, p0=mU0=γm ≈m+1 2mv2,(2.46) es decir, la energ´ ıa cin´ etica m´ as un t´ ermino constante, llamado energ´ ıa de masa en reposo. 2.6. Intuici ´ on sobre la relatividad general. Principio de equivalencia Hasta aqu ´ ı tenemos los conceptos generales de la especial teor ´ ıa de la relatividad. Vamos a ver ahora los requisitos de los que precisamos para poder incorporar la gravitaci´ on a esta teor´ ıa. Al estudiar la gravitaci ´ on cl ´ asica de Newton, surgen dos conceptos a primera vista independientes: la masa inercial y la masa gravitatoria. La primera hace referencia a la resistencia impuesta por un objeto al cambio en su velocidad, y viene dada por la segunda ley de Newton,  F=minerciala, (2.47) donde  F es la fuerza ejercida sobre el cuerpo y a la aceleraci ´ on que experimenta el mismo. La segunda hace referencia a la cantidad de materia del objeto en s ´ ı y que cuantifica c ´ omo la fuerza de la gravedad act´ ua sobre ´ el,  Fg=mgravitatoria−→ g , (2.48) donde  Fg es la fuerza gravitatoria y g es la aceleraci ´ on gravitatoria, que s ´ olo depende de la fuente de gravedad considerada. Experimentalmente, todo objeto sometido ´ unicamente a fuerzas gravitatorias experimenta el mismo valor de aceleraci ´ on g . Se constata que esto puede explicarse si, igualando ambas expresiones anteriores, consideramos que la masa inercial y gravitatoria son proporcionales y, con la elecci ´ on apropiada de unidades, iguales: a =minercial mgravitatoria g. (2.49) Este hecho ha sido provado con gran precisi ´ on y se puede comprobar, por ejemplo, en c ´ amaras de vac ´ ıo CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 16 Figura 2.6: Formulaciones equivalentes del principio de equivalencia. Izquierda: equivalencia entre ca ´ ıda libre y reposo inercial. Derecha: equivalencia entre campo gravitatorio y aceleraci´ on uniforme. estudiando el tiempo que tardan objetos de distinta masa en caer una cierta altura. Esta propiedad es exclusiva de la gravedad, por ejemplo, el electromagnetismo afecta de forma diferente a cargas positivas o negativas y la aceleraci ´ on que resulta s ´ ı depende de la carga de la part ´ ıcula en cuesti ´ on. Este hecho llev ´ o a Einstein a formular el principio de equivalencia, seg ´ un el cual un sistema de referencia en ca ´ ıda libre bajo un campo gravitatorio es localmente inercial (v ´ ease la figura 2.6). Para entender esto, consideremos un observador y un objeto en este sistema de referencia. Al estar sometido al mismo campo gravitatorio, acelerar ´ an con la misma magnitud y, por tanto, el observador ver ´ a al objeto en reposo. Este principio proporciona entonces una equivalencia entre observadores en reposo en espacio libre de gravedad y observadores en ca ´ ıda libre dentro de un campo gravitatorio. Una formulaci ´ on equivalente del principio establece que son indistinguibles un sistema en reposo en un campo gravitatorio y otro acelerado uniformemente, situaci ´ on inversa a la anterior. Consideremos una persona encerrada en una caja cerrada acelerada uniformemente en una direcci ´ on. Inicialmente, la persona flotar ´ a dentro de la caja hasta que esta toque a la persona, ejerciendo sobr ´ e ´ el una fuerza. La persona pasar ´ a a estar de pie teniendo que ejercer una fuerza para mantenerse en equilibrio de la misma forma a como se tiene que ejercer una fuerza para estar de pie en presencia de la gravedad de la Tierra. A su vez, todo objeto que esta persona lance dentro de la caja caer ´ a de manera similar a c ´ omo lo har ´ ıa en la Tierra, aunque desde fuera es realmente la caja la que est ´ a acelerando y finalmente consigue tocar a los objetos para arrastrarlos en la direcci ´ on de su aceleraci´ on, sin embargo, desde dentro, no podr´ ıamos saber en cu´ al de las situaciones nos encontramos. CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 17 Figura 2.7: Trayectoria de un rayo de luz seg ´ un un observador acelerado respecto a un observador inercial en reposo. Una de las consecuencias m ´ as notables de este principio es el efecto gravitatorio sobre la luz. Consideremos de nuevo la caja acelerada uniformemente en la que hemos colocado en un lado de la misma un orificio por el que entra luz (v ´ ease la figura 2.7). Esta llegar ´ a al otro lado de la caja decribiendo una trayectoria curva para el observador dentro de la caja aunque seguir ´ a una l ´ ınea recta para un observador inercial fuera. Seg ´ un el principio de equivalencia, esta situaci ´ on es indistinguible de un observador en reposo en un campo gravitatorio: por tanto, la luz deber ´ a curvarse en presencia de gravedad. Esto fue comprobado experimentalmente en 1919 al medir la desviaci ´ on de la luz proveniente de una estrella al pasar cerca del Sol durante un eclipse solar. Figura 2.8: En rojo las fuerzas de marea causadas por la diferencia de gravedad entre dos cuerpos cercanos sometidos al mismo campo gravitatorio. El problema que surge ahora es que, dentro de un campo gravitatorio, el sistema de referencia en ca ´ ıda libre no es el mismo en todos los puntos del espacio debido a la falta de uniformidad del campo: cuerpos en ca ´ ıda libre en diferentes puntos del campo lo hacen con distintas aceleraciones. Adem ´ as, a medida que caen, experimentan una aceleraci ´ on gravitatoria variable en el tiempo, en contra de nuestra suposici ´ on inicial de un campo constante en el tiempo. Esta falta de uniformidad en el campo conduce a las llamadas fuerzas de marea (causantes de las mareas debido a la diferencia de gravedad ejercida por la Luna y el Sol a lo largo del di ´ ametro terrestre, v ´ ease figura 2.8). Esto lleva a la conclusi ´ on que CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 18 Figura 2.9: Representaci ´ on simplificada en dos dimensiones de las no uniformidades del campo gravitatorio: en un entorno peque˜ no de un punto el espacio es aproximadamente plano. dichos sistemas s ´ olo pueden ser inerciales de forma local en el espacio-tiempo. En este contexto cobra importancia el concepto de curvatura (ve ´ ase figura 2.9). El espacio de Minkowski es plano en el sentido eucl ´ ıdeo de paralelismo: trayectorias inicialmente paralelas permanecer ´ an as ´ ı si ninguna fuerza act ´ ua sobre los cuerpos. Sin embargo, el espacio que queremos describir con la teor ´ ıa general de la relatividad es intr ´ ınsecamente curvo: las trayectorias de objetos bajo un campo gravitatorio no preservan el paralelismo debido a estas fuerzas de marea. En conclusi ´ on, para comprender la descripci ´ on relativista de la gravedad precisamos estudiar las bases matem´ aticas de las variedades de Riemann. Cap´ ıtulo 3 ´ Algebra tensorial en espacios curvos Para desarrollar la teor ´ ıa general de la relatividad, requerimos de herramientas matem ´ aticas capaces de describir la intuici ´ on de Einstein sobre la gravedad y c ´ omo esta afecta al espacio-tiempo. Estudiaremos la definici ´ on matem ´ atica de tensor y llegaremos a la expresi ´ on del tensor de Riemann que describe la curvatura del espacio-tiempo. 3.1. Tensores Gracias a la simplicidad del espacio de Minkowski, vamos por el momento a realizar las definiciones y construcciones del ´ algebra tensorial para este caso concreto, y entenderemos posteriormente los an ´ alogos correspondientes a la variedad curva que nos describir ´ a el espacio-tiempo. Esto ser ´ a posible gracias a las hip´ otesis de regularidad impuestas a dicha variedad. 3.1.1. Covectores Matem ´ aticamente, un covector (1-forma o vector covariante) ep es una funci ´ on lineal que asocia a cada vector (o vectores contravariantes)  V un n ´ umero real ep V . As ´ ı definidos, los covectores cumplen con los axiomas de espacio vectorial por la linealidad impuesta: si ep , eq son covectores y α es un n ´ umero real, entonces   ep V+eq V= (ep+eq) V, eqα V= (αeq) V. (3.1) El espacio vectorial compuesto por los covectores se llama espacio dual. Consideremos una base de vectores {eα}α=0,1,2,3 . Llamamos componentes del covector ep al valor que toma aplic´ andolo a los vectores de la base: pα:= ep(eα).(3.2) N ´ otese que hemos usado sub ´ ındices para las componentes del covector, por oposici ´ on al super ´ ındice para las componentes de vectores. Esto es as ´ ı para ser consistentes con la notaci ´ on de suma, pues tenemos que 19 CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 20 para cualquier vector  Aes ep( A) = ep(Aαeα) = Aαep(eα) = Aαpα=pαAα.(3.3) Veamos c ´ omo se comportan las componentes de un covector ante una transformaci ´ on de Lorentz. Si {e¯ β} es la base de vectores medida desde el sistema ¯ S sabemos c ´ omo se transforman gracias a la ecuaci ´ on (2.33). As´ ı, p¯ β=ep(e¯ β) = ep(Λα¯ βeα) = Λα¯ βep(eα) = Λα¯ βpα.(3.4) Comparando el resultado con la ecuaci ´ on (2.33), vemos que las componentes de un covector se transforman de la misma forma que los vectores de una base, lo cual implica que el n ´ umero real ep( A) = pαAα es invariante Lorentz: pαAα= Λ¯ βαp¯ βΛα¯νA¯ν= Λ¯ βαΛα¯νp¯ βA¯ν=δ¯ β¯νp¯ βA¯ν=p¯ βA¯ β,(3.5) donde hemos tenido en cuenta las transformaciones (2.30), (3.4) y la identidad (2.34). Como el espacio dual tambi ´ en es un espacio vectorial, podemos considerar una base concreta {ewα} del mismo , de forma que ep=pαewα.(3.6) Tenemos as´ ı, para todo vector  A, ep( A) = pαewα( A) = pαewα(Aβeβ) = pαAβewα(eβ).(3.7) Comparando esta expresi´ on con (3.3), llegamos a ewα(eβ) = δαβ.(3.8) De forma an ´ aloga a la deducci ´ on de la ecuaci ´ on (2.33) para una base de vectores, podemos obtener que los elementos de la base de covectores se transforman igual que los componentes de vectores, es decir, ew¯α= Λ¯αβewβ.(3.9) Dado el producto escalar (2.40) en el espacio de Minkowski, definimos la aplicaci´ on g( A,  B) :=  A· B=AαBβηαβ,(3.10) que asocia dos vectores con su producto escalar. Esta aplicaci ´ on nos permite construir, para todo vector  V, un covector asociado al mismo de la forma e V(·) := g( V , ·),(3.11) esto es, la aplicaci ´ on que toma cualquier vector y lo env ´ ıa a su producto escalar por  V . Por la linealidad del CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 27 Por ejemplo, para el tensor (3.24) se obtiene la derivada covariante Rαβ;γ=Rαβ,γ +RµαΓαµγ −RαµΓµβγ.(3.46) Estas definiciones son v ´ alidas en un sistema de coordenadas arbitrario. Sin embargo el teorema de planitud local, que nos asegura que la variedad tiene localmente la geometr ´ ıa de Minkowski hasta segundo orden, implica que en un sistema de Lorentz local del punto P , los s ´ ımbolos de Christoffel se anulan. Es decir, los elementos de la base no var´ ıan a primer orden y se verifica Vα;β=Vα,β en P, (3.47) para vectores, pero tambi ´ en para tensores de rango arbitrario. En particular, para el tensor m ´ etrico se tiene gαβ;γ=gαβ,γ = 0 en P, (3.48) donde la ´ ultima igualdad proviene del teorema de planitud local, ec. (3.35). Como se trata de una igualdad tensorial v´ alida en un sistema de coordenadas, debe serlo tambi´ en en cualquier otro y se concluye gαβ;γ= 0,(3.49) es el tensor nulo en la variedad. Estos resultados nos permiten expresar los s ´ ımbolos de Christoffel en funci ´ on de las componentes del tensor m ´ etrico. Primero necesitamos comprobar que los s ´ ımbolos de Christoffel son sim ´ etricos en sus dos ´ ultimas componentes. Consideremos un campo escalar ϕ . Ya sabemos que su primera derivada covariante es el covector ∇ϕ de componentes ϕ;α=ϕ,α . Su derivada segunda es un tensor de rango 0 2 de componentes ϕ,α;β. Por la planitud local, ϕ,α;β=ϕ,α,β =ϕ,β,α =ϕ,β;α,(3.50) gracias a que las derivadas cruzadas conmutan (asegurado por la diferenciabilidad del espacio). Este resultado es una igualdad tensorial, debe darse por tanto en todo sistema de coordenadas. Empleando la definici´ on (3.44) de derivada covariante para covectores, tenemos ϕ,β,α −ϕ,µΓµβα =ϕ,α,β −ϕ,µΓµαβ,(3.51) y deducimos que Γµβα = Γµαβ.(3.52) Por otra parte, la derivada covariante del tensor m ´ etrico se escribe como en la ec. (3.46). Aplicando la identidad (3.49), la simetr ´ ıa de los s ´ ımbolos de Christoffel y renombrando ´ ıncides mudos cuando sea CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 28 conveniente, podemos llegar a la expresi´ on gαβ,µ +gαµ,β −gβµ,α = 2gανΓνβµ.(3.53) Para una demostraci ´ on m ´ as detallada ve ´ ase el ap ´ endice A.3. Aplicando (3.32) a (3.53), llegamos finalmente a la expresi´ on que busc´ abamos: Γγβµ =1 2gαγ(gαβ,µ +gαµ,β −gβµ,α).(3.54) 3.2.2. Transporte paralelo y geod´ esicas Hasta ahora hemos tratado de extender resultados obtenidos para espacios planos. Vamos entonces a estudiar un proceso cuyo resultado difiere seg ´ un la geometr ´ ıa ´ ıntrinseca del espacio que estemos tratando: el transporte paralelo. Imaginemos una persona caminando por la superficie esf ´ erica de la Tierra. Realiza una trayectoria cerrada caminando desde el ecuador a uno de los polos, girando hasta volver al ecuador en otro punto, y finalmente retornando al punto de partida (ve ´ ase la figura (3.2)). Si dicha persona intenta mantener un vector paralelo entre puntos consecutivos de su trayectoria, el vector al completar el recorrido no ser´ a paralelo al vector original de partida. Figura 3.2: Transporte paralelo a lo largo de una esfera: el vector que se transporta acaba con una orientaci´ on diferente a la de partida. Este fen ´ omeno no sucede para superficies planas y es una caracter ´ ıstica de la propia curvatura de la esfera. El proceso reci ´ en descrito se conoce como transporte paralelo. Matem ´ aticamente, si tenemos una curva con vector tangente  U y queremos realizar el transporte paralelo del campo vectorial  V , debemos mantener este vector constante al desplazarnos a lo largo de la curva, es decir, el gradiente covariante de  Va lo largo de  Udebe anularse, 0 = Uβ∇β V=UβVα;βeα.(3.55) Esta es una igualdad tensorial que debe darse en cualquier sistema coordenadas. En un espacio plano, las l ´ ıneas rectas se pueden definir como aquellas que transportan paralelamente su propio vector tangente. En nuestro caso podemos definir las geod ´ esicas como aquellas curvas que CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 29 realizan transporte paralelo de su propio vector tangente. Es decir, ∇ U U= 0 =⇒UβUα,β + ΓαµβUµUβ= 0 =⇒d dλ dxα dλ + Γαµβ dxµ dλ dxβ dλ = 0,(3.56) donde λ es el par ´ ametro de la curva geod ´ esica x(λ) y  U:= dx/dλ . Se trata de una ecuaci ´ on diferencial de segundo orden, que tiene soluci ´ on ´ unica para unas condiciones iniciales de xα y Uα . Este tipo de curvas son de gran importancia porque la trayectoria de un cuerpo en ca ´ ıda libre es, como veremos en el pr´ oximo cap´ ıtulo, una geod´ esica del espacio-tiempo. 3.2.3. Tensor de curvatura. Desviaci´ on geod´ esica Vamos a obtener la expresi ´ on para el tensor de curvatura de Riemann que caracteriza el transporte paralelo de un vector a lo largo de trayectorias infinitesimales. Primero veremos por sencillez un caso muy concreto que generalizaremos posteriormente. Sea la curva cerrada compuesta por cuatro trayectorias de coordenadas constantes: x2=b , x1=a+δa , x2=b+δb y, finalmente, x1=a (v ´ ease la figura 3.3). Sean los puntos de intersecci ´ on entre dichas trayectorias P= (a, b) , Q= (a+δa, b) , S= (a+δa, b+δb) y T= (a, b+δb) . Estudiemos el transporte paralelo de un vector cualquiera  V , empezando en el punto P . La ley (3.55) de transporte paralelo implica ∇e1 V= 0 =⇒∂V α ∂x1=−Γαµ1Vµ,(3.57) a lo largo del camino de PaQ. Por tanto, Vα(Q)−Vα(Pinicial) = ZQ P ∂V α ∂x1dx1=−ZQ P Γαµ1Vµdx1,(3.58) donde Vα(Pinicial) se refiere al vector inicial en el punto P (esta distinci ´ on es relevante pues, al regresar de nuevo al punto P , el vector ser ´ a diferente). Tenemos resultados similiares para el transporte entre Q y S , S y T y, por ´ ultimo, entre T y P de regreso. Para los transportes entre S y T y entre T y P debemos tener en cuenta que se realizan en direcci ´ on negativa de sus respectivas coordenadas, implicando un cambio de signo. As´ ı,                            Vα(S)−Vα(Q) = −ZS Q Γαµ2Vµdx2, Vα(T)−Vα(S) = ZT S Γαµ1Vµdx1, Vα(Pfinal)−Vα(T) = ZP T Γαµ2Vµdx2, (3.59) donde ahora Vα(Pfinal) se refiere al vector final en el punto P . Sumando todas las ecuaciones obtenemos el cambio producido en el vector  V al transportarlo paralelamente a lo largo del circuito cerrado PQSTP : CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 30 Figura 3.3: Ejemplo de camino cerrado infinitesimal de l ´ ıneas coordenadas involucrando las coordenadas x1yx2. δV α:= Vα(Pfinal)−Vα(Pinicial) =−Zx2=b Γαµ1Vµdx1−Zx1=a+δa Γαµ2Vµdx2+Zx2=b+δb Γαµ1Vµdx1+Zx1=a Γαµ2Vµdx2 =Za+δa a (Γαµ1Vµ|x2=b+δb −Γαµ1Vµ|x2=b)dx1−Zb+δb b (Γαµ2Vµ|x1=a+δa −Γαµ2Vµ|x1=a)dx2. (3.60) Realizando ahora una aproximaci´ on de primer orden en los integrandos, Γαµ2Vµ|x1=a+δa ≈Γαµ2Vµ|x1=a+δa ·∂ ∂x1(Γαµ2Vµ)|x1=a,(3.61) se encuentra δV α≈δb Za+δa a ∂ ∂x2(Γαµ1Vµ)|x2=bdx1−δa Zb+δb b ∂ ∂x1(Γαµ2Vµ)|x1=adx2.(3.62) Realizamos otra aproximaci ´ on de primer orden considerando los integrandos aproximadamente constantes en los cambios infinitesimales δa yδb: δV α≈δaδb ∂ ∂x2(Γαµ1Vµ)−∂ ∂x1(Γαµ2Vµ).(3.63) Empleamos ahora la regla de la cadena y la ecuaci ´ on (3.57) para eliminar las derivadas del vector. As ´ ı tenemos finalmente δV α=δaδb(Γαµ1,2−Γαµ1,2+ Γαν2Γνµ1−Γαν1Γνµ2)Vµ.(3.64) Notemos que el hecho de intercambiar los ´ ındices 1 y 2 lleva a un cambio de signo, es decir, el efecto ser´ ıa inverso al recorrer la trayectoria cerrada en sentido inverso, como cabr´ ıa esperar. CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 31 Este resultado sugiere definir el tensor R que, al hacerlo actuar sobre los argumentos ewα ,  V , eµδa y eνδb , proporciona la componente δV α asociada al cambio en el vector  V tras el transporte paralelo alrededor de un camino cerrado infinitesimal dado por eµδa y eνδb . A la vista de la ecuaci ´ on (3.64), las componentes de dicho tensor son Rαβµν = Γαβν,µ −Γαβµ,ν + ΓασµΓσβν −ΓασνΓσβν,(3.65) que se denomina tensor curvatura de Riemann, y es de rango 1 3. Vamos ahora a obtener una expresi ´ on del tensor de curvatura en el sistema de referencia de Lorentz local en funci ´ on del tensor m ´ etrico. Para ello, se deriva la ecuaci ´ on (3.54) y se emplea ec. (3.35) para obtener la ecuaci´ on Γαµν,σ =1 2gαβ(gβµ,ν,σ +gβν,µ,σ −gµν,β,σ).(3.66) Usando tambi ´ en que, localmente, Γαµν = 0 , y que las derivadas cruzadas conmutan, gβµ,ν,σ =gβµ,σ,ν , llegamos a la expresi´ on buscada en el sistema de Lorentz local de un punto: Rαβµν =1 2gασ(gσν,β,µ −gσµ,β,ν +gβµ,σ,ν −gβν,σ,µ).(3.67) Bajando ahora el primer ´ ındice usando la identidad (3.32) tenemos Rαβµν =gαλRλβµν =1 2(gαν,β,µ −gαµ,β,ν +gβµ,α,ν −gβν,α,µ),(3.68) v ´ alida en el sistema de referencia local de Lorentz. Una expresi ´ on m ´ as compleja se puede obtener para el tensor de curvatura en funci ´ on del tensor m ´ etrico y sus derivadas de primer y segundo orden para un sistema de referencia arbitrario; no obstante, a la hora de emplear la expresi ´ on directa del tensor de Riemann, nos bastar´ a con la ecuaci´ on (3.68). De la simetr ´ ıa del tensor m ´ etrico se deducen las siguientes simetr ´ ıas del tensor de Riemann en el sistema de referencia local: Rαβµν =−Rβαµν =−Rαβνµ =Rµνβα,(3.69) Rαβµν +Rανβµ +Rαµνβ = 0.(3.70) A diferencia de (3.68), que incluye derivadas ordinarias, estas relaciones s ´ ı son identidades tensoriales, por lo que deben ser v ´ alidas en todo sistema de referencia. Se puede probar (v ´ ease el ap ´ endice A.4 para mayor detalle) que todas estas restricciones reducen el n ´ umero de par ´ ametros independientes en Rαβµν desde las 4×4×4×4 = 256 componentes, a solo 20, el mismo n ´ umero de par ´ ametros que no podemos anular en gαβ,µ,ν (ver ap ´ endice A.2), indicando que el tensor de Riemann caracteriza la curvatura de forma tensorial. En el caso concreto de un espacio plano, el transporte paralelo de cualquier vector en una curva CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 32 Figura 3.4: Ejemplo de la desviaci ´ on de geod ´ esicas en la superficie de una esfera: dos vectores paralelos en el ecuador definen dos geod´ esicas pr´ oximas que acaban cort´ andose en los polos. arbitraria lo mantiene invariante. Por tanto Rαβµν = 0 si y s´ olo si el espacio es plano.(3.71) El tensor de Riemann tambi ´ en proporciona una forma de obtener la desviaci ´ on entre geod ´ esicas, esto es, ya sabemos que en el espacio plano las l ´ ıneas paralelas mantienen su separaci ´ on si se extienden a todo el espacio, pero en uno curvo este no es el caso: por ejemplo las geod ´ esicas de una superficie esf ´ erica (las circunferencias maximales) se cortan en dos puntos aun siendo paralelas en el ecuador (v ´ ease la figura (3.4)). Consideremos dos geod ´ esicas de un espacio gen ´ erico con vectores tangentes  V y  V′ , respectivamente, que empiezan paralelas y pr ´ oximas entre s ´ ı en los puntos A y A′ . Podemos emplear el mismo par ´ ametro λ para parametrizar ambas curvas y denotar las geod ´ esicas xα(λ) y xα′(λ) , respectivamente. Definimos para cada valor del par ´ ametro el vector  ξ(λ) que conecta los puntos correspondientes en ambas curvas en el sentido de Ahacia A′, es decir ξα(λ) = xα′(λ)−xα(λ),(3.72) ve ´ ase la figura 3.5. Fijemos unas coordenadas locales de Lorentz en el punto inicial A tomando la coordenada x0 en direcci ´ on de la geod ´ esica, es decir, Vα=δα0 y V′α=δα0 , por ser paralelas inicialmente. La ecuaci´ on geod´ esica (3.56) particularizada para estos dos casos conduce a: d2xα dλ2A = 0,d2xα′ dλ2A′ + Γα00(A′) = 0,(3.73) puesto que los s ´ ımbolos de Christoffel se anulan en A (origen del sistema de coordenadas de Lorentz local), pero no necesariamente en A′ . Realizando ahora un desarrollo en serie de Γα00(A′) en torno al punto A, tenemos Γα00(A′)=Γα00(A)+Γα00,β(A)ξβ+O(ξ)2= Γα00,β(A)ξβ+O(ξ)2.(3.74) CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 33 Figura 3.5: Representaci ´ on gr ´ afica de la desviaci ´ on de geod ´ esicas: dos de ellas que comienzan paralelas entre s´ ı acaban desvi´ andose, lo que viene cuantificado en el vector  ξ. Usando entonces las ecuaciones (3.72) y (3.73), resulta d2ξα dλ2A =d2xα′ dλ2A′−d2xα dλ2A≈ −Γα00,β(A)ξβ(A).(3.75) Para transformar esta ecuaci ´ on en una expresi ´ on tensorial v ´ alida en cualquier sistema coordenado, calculamos el gradiente covariante de  ξa lo largo de  V: ∇ Vξα=Vβξα;β=Vβ(ξα,β +ξµΓαµβ) = d dλξα+VβξµΓαµβ.(3.76) En el punto inicial, Vµ=δµ0, por lo que nos queda ∇ Vξα=d dλξα+ξµΓαµ0.(3.77) Ya que ∇ Vξαes a su vez un vector, podemos tambi´ en aplicarle (3.77), ∇ V∇ Vξα=∇ V(∇ Vξα) = d dλ(∇ Vξα)+(∇ Vξµ)Γαµ0.(3.78) Aunque podemos afirmar que los s ´ ımbolos de Christoffel se anulan en el punto A , al ser el origen del sistema de Lorentz local, no podemos decir lo mismo de sus derivadas, por lo que nos queda, al sustituir la ec. (3.77) en (3.78), ∇ V∇ Vξα=d dλ d dλξα+ Γαµ0ξµ=d2 dλ2ξα+ Γαµ0,0ξµ,(3.79) donde hemos usado la condici ´ on inicial de paralelismo de las geod ´ esicas ξα,0(A) = 0 . Aplicando el resultado (3.75) a (3.79), llegamos finalmente a la expresi´ on ∇ V∇ Vξα= (Γαβ0,0−Γα00,β)ξβ=Rα00βξβ,(3.80) donde hemos empleado (3.67). El resultado an ´ alogo se tiene en general para un vector  V cualquiera CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 34 respresentando a dos geod´ esicas arbitrarias, es decir, ∇ V∇ Vξα=RαµνβVµVνξβ.(3.81) Esta expresi ´ on se conoce como la ecuaci ´ on de desviaci ´ on geod ´ esica. Muestra c ´ omo, en un espacio plano con Rαµνβ = 0 , las geod ´ esicas mantienen su separaci ´ on. En un espacio curvo gen ´ erico, esta expresi ´ on matem ´ atica muestra que, si asumimos que las part ´ ıculas viajan siguiendo trayectorias geod ´ esicas en el espacio-tiempo, la curvatura del mismo hace que part ´ ıculas pr ´ oximas puedan divergir. Se trata de las llamadas fuerzas de marea del campo gravitatorio, causadas por la desviaci ´ on de la m ´ etrica del espacio tiempo respecto a aquella de uno plano. 3.2.4. Identidades de Bianchi, tensor de Ricci y tensor de Einstein Vamos, a partir del tensor de curvatura, a definir una serie de tensores que ser ´ an de gran importancia en el pr´ oximo cap´ ıtulo. Derivamos primero la ecuaci´ on (3.68) para llegar a la expresi´ on, Rαβµν,λ =1 2(gαν,β,µ,λ −gαµ,β,ν,λ +gβµ,α,ν,λ −gβν,α,µ,λ).(3.82) Gracias a la propiedad conmutativa de las derivadas cruzadas, renombrando ´ ındices, llegamos a las identidades de Bianchi en el sistema local Lorentz, Rαβµν,λ +Rαβλµ,ν +Rαβνλ,µ = 0.(3.83) Como los s ´ ımbolos de Christoffel se anulan en el sistema de referencia de Lorentz, tenemos las identidades de Bianchi como igualdades tensoriales al reemplazar la derivada ordinaria por la covariante, Rαβµν;λ+Rαβλµ;ν+Rαβνλ;µ= 0.(3.84) Definimos ahora el tensor de Ricci como la contracci ´ on del tensor de Riemann entre su primer y tercer ´ ındice: Rαβ := Rµαµβ =Rβα.(3.85) Se trata de un tensor de rango 2 0 sim ´ etrico debido a las simetr ´ ıas deducidas del tensor de Riemann (3.69) y (3.70). Definimos tambi ´ en el escalar de Ricci como la contracci ´ on del tensor de Ricci con el tensor m´ etrico R:= gµνRµν =gµνgαβRαµβν.(3.86) Como la derivada covariante del tensor m ´ etrico es nula (ec. (3.49)), la acci ´ on de subir y bajar ´ ındices conmuta con la derivada covariante, lo que nos permite escribir a partir de la ecuaci´ on (3.84) la relaci´ on gαν(Rαβµν;λ+Rαβλµ;ν+Rαβνλ;µ) = Rβν;λ−Rβλ;ν+Rµβνλ;µ= 0,(3.87) CAP´ ITULO 3. ´ ALGEBRA TENSORIAL EN ESPACIOS CURVOS 35 en t ´ erminos del tensor de Ricci y empleando las relaciones de simetr ´ ıa convenientes. Podemos contraer esta expresi´ on nuevamente con el tensor m´ etrico: gβν(Rβν;λ−Rβλ;ν+Rµβνλ;µ) = 0 =⇒R;λ−Rµλ;µ+(Rµλ;µ) = 0 =⇒(2Rµλ−δµ λR);µ= 0.(3.88) Estas ecuaciones se conocen como identidades de Bianchi. Si definimos ahora el tensor sim ´ etrico de Einstein Gαβ := Rαβ −1 2gαβR=Gβα,(3.89) entonces bajando uno de los ´ ındices, las ecuaciones de Bianchi (3.88) llevan a la identidad Gαβ ;β= 0.(3.90) En las ecuaciones que caracterizan a la teor ´ ıa general de la relatividad que veremos en el siguiente cap ´ ıtulo, la influencia de la m ´ etrica y la curvatura en la f ´ ısica vienen representados por el tensor de Einstein. Veremos as ´ ı c ´ omo las identidades de Bianchi llevan a la conservaci ´ on de la energ ´ ıa y momento. Cap´ ıtulo 4 Ecuaciones de Einstein. Ondas gravitacionales Con la nueva descripci ´ on del espacio-tiempo como una variedad (pseudo-)riemanniana, estamos ya en disposici ´ on de formular las ecuaciones que describen el movimiento de los cuerpos en el mismo. Para ello primero hay que relacionar la idea f ´ ısica del principio de equivalencia visto en la secci ´ on 2.6 con una interpretaci ´ on matem ´ atica en nuestro paradigma: seg ´ un dicho principio, todo cuerpo siente la misma aceleraci ´ on en presencia de un campo gravitatorio, es decir, en el sistema de referencia de Lorentz local ning ´ un cuerpo tendr ´ a aceleraci ´ on si no se ve afectado por otras fuerzas. Con esto podemos entender entonces que las trayectorias de los cuerpos en ca ´ ıda libre son localmente rectas, idea equivalente al concepto de geod ´ esica visto en el apartado anterior. Por tanto el postulado de Einstein consiste en suponer que los cuerpos en ca ´ ıda libre siguen trayectorias que son geod ´ esicas dentro de la variedad que representa al espacio-tiempo. Una consecuencia de estas ideas, explotada en repetidas ocasiones en el cap ´ ıtulo anterior, consiste en que, gracias a que la variedad sea localmente plana, podemos reemplazar localmente las derivadas ordinarias con la derivada covariente correspondiente, convirtiendo as ´ ı una expresi ´ on tensorial minkowskiana en una v ´ alida sobre toda la variedad (pseudo-)riemanniana. Esta idea ser ´ a clave posteriormente para obtener las ecuaciones de campo de Einstein. 4.1. Ecuaciones de campo de Einstein Einstein elabor ´ o sus ecuaciones de la teor ´ ıa general de la relatividad imponiendo que estas se redujeran a las de Newton en los l ´ ımites correspondientes. La ecuaci ´ on de Newton para un potencial gravitatorio ϕ es ∇2ϕ= 4πρ, (4.1) donde ρ es la densidad de masa y hemos empleado las unidades naturales ( G= 1 ). Un problema que surge entonces es que, dada la equivalencia entre masa y energ ´ ıa, las nuevas ecuaciones deben incorporar a cualquier tipo de aporte energ ´ etico, no solo aquel de la masa en reposo. Adem ´ as debe ser una ecuaci ´ on tensorial que no dependa de un sistema de coordenadas espec ´ ıfico. Pues la energ ´ ıa por s ´ ı sola es un escalar que var ´ ıa respecto al sistema considerado. Por ello, Einstein emple ´ o el tensor de energ ´ ıa-esfuerzo (o 36 CAP´ ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 43 que suficientemente lejos se pueden describir en la aproximaci´ on de campo d´ ebil, ec. (4.31), □¯ hαβ =¯ hαβ,µ ,µ =−∂2 ∂t2+∇2¯ hαβ = 0,(4.39) donde Tµν = 0 en el vac ´ ıo lejos de la fuente. Esta es la ecuaci ´ on de onda tridimensional, que posee soluciones de onda plana ¯ hαβ =Aαβeikµxµ=Aαβeikµxµ,(4.40) donde {kα} son las componentes de un covector y la amplitud {Aαβ} las de un tensor sim ´ etrico de rango 2 0 . La soluci ´ on general se podr ´ a expresar como superposici ´ on de estas ondas planas. Existen, sin emabrgo, restricciones adicionales sobre los par ´ ametros kµ y Aαβ . Sustituyendo la soluci ´ on (4.40) en la ecuaci´ on (4.39), se encuentra ikµ¯ hαβ,µ =−kµkµ¯ hαβ = 0.(4.41) Como ¯ hαβ no es la soluci´ on trivial, esto implica la restricci´ on kµkµ= 0.(4.42) Escribiendo k0:= ω , la frecuencia de la onda, queda  k= (ω, k) y la ecuaci ´ on (4.42) conduce a la relaci ´ on de dispersi´ on ω2=|k|2,(4.43) es decir, la onda plana (4.40) se propaga a la velocidad de la luz. El gauge de Lorentz a ˜ nade las cuatro restricciones adicionales (4.25), por lo que nuestra soluci´ on general debe cumplir Aαβkβ= 0,(4.44) es decir, Aαβ es ortogonal a kβ. Recordemos que el gauge de Lorentz est ´ a definido excepto por un vector arbitrario ψα que verifica (4.29), y que tomamos como ψα=Bαeikµxµ,(4.45) donde kµ es el mismo covector elegido anteriormente. Entonces, la transformaci ´ on (4.26) de la perturbaci´ on ¯ hαβ conduce a una amplitud transformada Aαβ =AO αβ −iBαkβ−iBβkα+iηαβBµkµ,(4.46) donde AO αβ denota la amplitud previa a la transformaci ´ on (esto es, ψα= 0 ). La libertad en la elecci ´ on de Bα permite imponer dos tipos de restricciones que conforman el conocido como gauge transversal y sin traza: Aαα= 0,(4.47) AαβUβ= 0,(4.48) CAP´ ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 44 donde Uβ es un vector constante que elegimos arbitrariamente. Este conjunto de ecuaciones determina de forma ´ unica el vector Bαy, por ende ψα. La restricci´ on sobre la traza del tensor implica la igualdad hTT αβ =¯ hTT αβ ,(4.49) donde el super ´ ındice TT hace referencia al gauge en que nos encontramos (sin traza y transversal). Por la condici´ on (4.48) elijamos Uβ=δβ0,(4.50) que implica Aα0= 0 para todo α . Orientemos ahora nuestro sistema de coordenadas de forma que la direcci ´ on de propagaci ´ on sea el sentido positivo del eje z , es decir,  k= (ω, 0,0, ω) de acuerdo con la relaci ´ on de dispersi ´ on (4.43). As ´ ı, ambas restricciones (4.47) y (4.44) implican que Aαz = 0 , es decir, el tensor Aαβ es transversal a la direcci ´ on de propagaci ´ on y de ah ´ ı la denominaci ´ on “transversal”del gauge. Con estas dos condiciones, s ´ olo Axx , Ayy y Axy =Ayx (por la simetr ´ ıa de ¯ hαβ ) son no nulos. La restricci ´ on (4.47) sobre la traza implica Axx =−Ayy . En definitiva, hemos deducido que existen realmente solo dos componentes independientes del tensor, ATT xx y ATT xy . Habiendo agotado la libertad del gauge, estas componentes deben poseer alg ´ un significado f ´ ısico. Es ilustrativo escribir la m ´ etrica (o el intervalo) en este gauge: ds2=−dt2+dz2+ (1 + hxx)dx2+ (1 −hxx)dy2+ 2hxydxdy. (4.51) 4.3.1. Efecto de las ondas gravitacionales sobre part´ ıculas libres Consideremos ahora una part ´ ıcula en el campo de una onda gravitacional. La part ´ ıcula libre describir ´ a una trayectoria geod´ esica y su cuadrivelocidad Uαvendr´ a dada por la ec. (3.56): d dτ Uα+ ΓαµνUµUν= 0,(4.52) donde τ es el tiempo propio de la part ´ ıcula. Para resolver esta ecuaci ´ on tomamos como condici ´ on inicial la ec. (4.50) que ya se emple ´ o para fijar el gauge, es decir, la part ´ ıcula est ´ a inicialmente en reposo en el sistema de referencia del observador. Pero entonces se puede comprobar que esta cuadrivelocidad es soluci´ on de la ecuaci´ on (4.52) porque se reduce a d dτ Uα=−Γα00 =−1 2ηβα(hT T β0,0+hTT 0β,0−hTT 00,β) = 0.(4.53) La ´ ultima identidad se sigue de que hTT β0= 0 , pues en este gauge las ´ unicas componentes no nulas del tensor hαβ corresponden a hTT xx y hTT xy . En conclusi ´ on, es posible encontrar un sistema coordenado en el que la part ´ ıcula aparece en reposo siempre a pesar de la distorsi ´ on espacio-temporal debida a la onda gravitacional. Para poder observar el efecto de la onda, tomamos dos part ´ ıculas cuya coordenada x inicial difiere en una cantidad ϵ infinitesimal, v ´ ease figura 4.1. La distancia f ´ ısica ℓ(t) entre las part ´ ıculas se obtiene a CAP´ ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 45 Figura 4.1: Representaci´ on de la separaci´ on variable en el tiempo entre part´ ıculas a lo largo del eje x. partir del intervalo dado por la ec. (4.51): ℓ(t) = Z|ds2|1/2=Z|gαβdxαdxβ|1/2=Zϵ 0|gxx|1/2dx ≈ |gxx(x= 0, t)|1/2ϵ≈1 + 1 2hTT xx (x= 0, t)ϵ. (4.54) Por tanto, el significado f ´ ısico de hTT xx es que proporciona la distancia entre part ´ ıculas, la cual cambia con el tiempo seg ´ un la ecuaci ´ on de la onda gravitacional. Notemos que esta distancia propia involucra dos cantidades peque˜ nas, ϵyhTT xx , por lo que el efecto es peque˜ no y dif´ ıcil de medir. Otra forma de medir esta separaci ´ on es mediante el propio an ´ alisis de desviaci ´ on geod ´ esica que realizamos en la secci ´ on 3.2.3. Vamos a abandonar moment ´ aneamente el sistema de coordenadas TT para trabajar en el sistema propio de la primera part ´ ıcula. Aqu ´ ı el vector ξα s ´ ı contiene informaci ´ on de la distancia propia entre las part ´ ıculas y permite emplear entonces la ecuaci ´ on (3.81) de la desviaci ´ on geod ´ esica de forma simplificada. Esto es as ´ ı pues la segunda derivada covariante pasa a ser una segunda derivada respecto al tiempo propio τ al anularse los s ´ ımbolos de Christoffel localmente en el punto. En conclusi´ on: d2 dτ2ξα=RαµνβUµUνξβ,(4.55) donde hemos usado como vectores tangentes las cuadrivelocidades de las part ´ ıculas. En este sistema la primera part ´ ıcula est ´ a en reposo, por tanto  U= (1,0,0,0) e inicialmente  ξ= (0, ϵ, 0,0) es la separaci ´ on espacial de ambas part ´ ıculas en nuestro ejemplo. En el sistema propio el tiempo propio es directamente la coordenada temporal, llevando la ec. (4.55) a ∂2 ∂t2ξα=ϵRα00x=−ϵRα0x0,(4.56) donde hemos empleado las simetr ´ ıas del tensor de Riemann (3.69). Con esto vemos que podemos obtener de forma indirecta las componentes del tensor de Riemann simplemente observando la variaci ´ on en la distancia propia entre part ´ ıculas cercanas. Como el tensor de Riemann es invariante gauge, la parte izquierda de la ecuaci ´ on anterior debe serlo tambi ´ en, permiti ´ endonos decir que la interpretaci ´ on f ´ ısica de ξαcomo distancias propias entre las part´ ıculas es, por tanto, independiente del gauge. Usando (4.20), tenemos, ya en el Gauge TT , la expresi ´ on obtenida en t ´ erminos de las componentes independientes del tensor hαβ de la siguiente forma: Rx0x0=−1 2hTT xx,0,0, Ry0x0=−1 2hTT xy,0,0, Ry0y0=−1 2hTT yy,0,0=1 2hTT xx,0,0=−Rx0x0.(4.57) CAP´ ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 46 Por tanto, para nuestro caso de dos part ´ ıculas separadas originalmente en la direcci ´ on x , las longitudes propias del vector de separaci´ on  ξsatisfacen las ecuaciones diferenciales ∂2 ∂t2ξx=1 2ϵ∂2 ∂t2hT T xx ,∂2 ∂t2ξy=1 2ϵ∂2 ∂t2hT T xy .(4.58) Esto es consistente con lo obtenido en (4.54), sin embargo ahora hemos obtenido una ecuaci ´ on diferencial que podemos emplear en diversas situaciones m ´ as generales. Esta ecuaci ´ on diferencial implica que la aceleraci ´ on producida sobre la segunda part ´ ıcula desde el punto de vista de la primera es semejante a la producida por una fuerza cl ´ asica actuando sobre dicha part ´ ıcula. Esta es, finalmente, la fuerza de marea que hab ´ ıamos descrito en la secci ´ on 2.6. Esta descripci ´ on como fuerza permite describir un problema con fuerzas adicionales, resolviendo simplemente la segunda ley de Newton con esta fuerza de marea a ˜ nadida. Por ejemplo es ´ util preguntarnos c ´ omo se ve afectado un objeto s ´ olido, sometido a fuerzas de ligadura internas, al paso de una onda gravitatoria. Esto es, habr ´ ıa que resolver la ecuaci ´ on para la aceleraci ´ on espacial de la separaci´ on  ξentre puntos del s´ olido, ∂2 ∂t2ξi=−Ri0j0ξj+ai B,(4.59) donde ai B es la aceleraci ´ on debida a las fuerzas el ´ asticas en el s ´ olido. De manera usual, las fuerzas de marea son despreciables comparadas con otras aportaciones, por lo que un objeto s ´ olido (como una regla) se mantendr ´ a as ´ ı ante el paso de una onda gravitatoria permiti ´ endonos, en teor ´ ıa, medir con una regla s ´ olida el desplazamiento provocado por una de dichas ondas entre dos part ´ ıculas sin que la propia regla se viese afectada por la misma. Este efecto de desplazamiento entre part ´ ıculas vecinas se asocia con la idea de que las ondas gravitacionales producen una dilataci´ on del espacio. Vamos brevemente a comentar lo que cabe esperar del estudio de la propagaci ´ on de ondas gravitacionales dejando de lado el caso de espacio vac ´ ıo. Si consideramos unas ciertas fuentes de gravedad arbitrarias, estas generar ´ an un tensor m ´ etrico del espacio que, en general, no ser ´ a plano, gαβ =ηαβ . Podemos seguir estudiando las ondas gravitacionales como perturbaciones del tensor m ´ etrico correspondiente de la forma gαβ +hαβ . El resultado es, por tanto, similar a una onda viajando a trav ´ es de medios. De esta forma fotones y ondas gravitacionales de baja longitud de onda que parten de puntos cercanos seguir ´ an viajando pr ´ oximas siempre que lo hagan en vac ´ ıo. Si las geod ´ esicas por las que viajan convergen, se produce un efecto de enfoque conocido como lentes gravitacionales. La diferencia aqu ´ ı con el electromagnetismo radica en que las ondas gravitacionales interact ´ uan d ´ ebilmente con la materia, como ilustra la ecuaci ´ on (4.54). Por tanto, seguir ´ an geod ´ esicas correspondientes a las de la luz en vac ´ ıo, incluso en presencia de materia (a diferencia de los fotones que se dispersan o absorben al paso por la materia). Las ondas gravitacionales, por tanto, llevan informaci ´ on de las zonas m ´ as alejadas del universo, siendo muy ´ utiles para estudiar procesos en los que nuestra herramienta usual, la luz, pierde mucha informaci ´ on por el camino. Entre estos procesos de inter ´ es se encuentran la posibilidad de observar en el centro de una supernova o el estudio del Big Bang. CAP´ ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 47 4.3.2. Polarizaci´ on de ondas gravitacionales De forma an ´ aloga a lo realizado en (4.58), podemos hacerlo para dos part ´ ıculas inicialmente separadas en direcci´ on y. Tenemos as´ ı las ecuaciones ∂2 ∂t2ξy=−1 2ϵ∂2 ∂t2hT T xx ,∂2 ∂t2ξx=1 2ϵ∂2 ∂t2hT T xy .(4.60) Las ecuaciones (4.58) y (4.60) conforman los fundamentos de la polarizaci ´ on de ondas gravitacionales. Una de estas onda viajando en la direcci ´ on z distorsionar ´ a de forma peri ´ odica las distancias propias entre part ´ ıculas en un mismo plano perpendicular a esta direcci ´ on (plano XY ). Tenemos as ´ ı dos modos de polarizaci ´ on dados por las dos componentes independientes hTT xx y hTT xy , las cuales respresentan, por tanto, dos estados de polarizaci ´ on lineal distintos. En la figura 4.2 se representa c ´ omo evolucionan las distancias en un plano perpendicular a la direcci ´ on de propagaci ´ on de la onda para los casos en los que hTT xx = 0 , hTT xy = 0 y para hTT xx = 0 , hTT xy = 0 , respectivamente. Notemos que ambos situaciones difieren en una simple rotaci ´ on de 45 grados a diferencia de las ondas electromagn ´ eticas, cuyas polarizaciones difieren en 90 grados. Esto se debe a que la naturaleza de la onda gravitacional viene descrita por un tensor de segundo rango, mientras que la onda electromagn´ etica est´ a descrita por vectores. Figura 4.2: Izquierda: situaci ´ on inicial de part ´ ıculas en reposo con distancias propias conformando una circunferencia. Centro: paso de una onda gravitacional con s ´ olo componente en hTT xx , que provoca una variaci ´ on en el tiempo de las distancias en las direcciones x e y para dos instantes de tiempo t1 (arriba) y t2 (abajo) cuyas fases relativas est ´ an a 180 grados. Derecha: de la misma forma para una onda con polarizaci´ on en hTT xy . 4.3.3. Detecci´ on de ondas gravitacionales Una vez conocido el fundamento y el inter ´ es que presentan las ondas gravitacionales, vamos a comentar de forma breve los m ´ etodos de detecci ´ on de las mismas. La dificultad de la deteccion de estas ondas CAP´ ITULO 4. ECUACIONES DE EINSTEIN. ONDAS GRAVITACIONALES 48 radica en, como se coment ´ o con anterioridad en este cap ´ ıtulo, el min ´ usculo orden de magnitud que presentan las amplitudes de la perturbaci ´ on hµν , haciendo que sean necesarios m ´ etodos muy precisos para poder medirlas. De forma adicional, al igual que las ondas electromagn ´ eticas, las ondas gravitatorias tambi ´ en presentan un espectro de longitudes de onda, cada una llevando un tipo de informaci ´ on diferente y precisando de m ´ etodos de detecci ´ on diversos. Algunos tipos de detectores empleados son los siguientes: Detectores de masa resonante. Basan su principio de acci ´ on en la vibraci ´ on producida en una barra s ´ olida ante el paso de una onda gravitacional (como estudiamos en la secci ´ on 4.3.1). De forma intuitiva en nuestro an ´ alisis anterior, vimos que el efecto de las ondas en masas s ´ olidas sujetas a fuerzas internas es de un orden de magnitud muy bajo. Detectores con p ´ ulsares. Un p ´ ulsar es una estrella de neutrones que rota velozmente expulsando haces dirigidos de ondas de radio. La detecci ´ on de los pulsos, sujeta a la rotaci ´ on de la estrella, conforma un reloj muy preciso. Estudiando desviaciones en el per ´ ıodo de detecci ´ on de los pulsos se puede inferir el paso de una onda gravitacional interfiriendo en la se˜ nal de radio. Interfer ´ ometros l ´ aser. Se basan en el uso de rayos de luz para la medici ´ on de peque ˜ nas perturbaciones en las distancias propias entre masas. Se trata de los detectores m ´ as sensibles en la actualidad, contando con centros como LIGO en Estados Unidos o VIRGO en Italia. En el a ˜ no 2015 los dos detectores del LIGO detectaron el paso de la primera onda gravitacional medida en la historia, correspondiente a la fusi ´ on de un sistema binario de agujeros negros que dio lugar a otro de menor masa. La diferencia en energ ´ ıas fue radiada en forma de ondas gravitacionales. Esta detecci ´ on prueba la eficacia predictiva de la teor ´ ıa general de la relatividad de Einstein y da pie a la justificaci ´ on de su estudio [4]. Cap´ ıtulo 5 Conclusi´ on Hemos conseguido, de forma satisfactoria, realizar una descripci ´ on sobre el espacio-tiempo que se ajusta de forma m ´ as precisa a las ideas de la f ´ ısica actual. Con esta nueva teor ´ ıa, hemos entrado en un paradigma que predice nuevos fen ´ omenos inimaginables en los a ˜ nos de la f ´ ısica cl ´ asica de Newton. De esta forma hemos podido analizar los fundamentos de las ondas gravitacionales y justificar la elaboraci ´ on de instalaciones con tecnolog ´ ıa puntera para realizar medidas de las mismas. Un mayor trabajo ser ´ a necesario en el futuro para impulsar m ´ as los l ´ ımites de las teor ´ ıas de Einstein y, en nuestro caso, para obtener mayor precisi ´ on a la hora de detectar ondas gravitacionales que aporten datos de inter ´ es sobre nuestro entendimiento del universo. 49 Bibliograf´ ıa [1] Gerald Holton. Introducci´ on a los conceptos y teor´ ıas de las ciencias f´ ısicas. 2.ª ed. Revert´ e, 2009. [2] David Morin. Special Relativity For the Enthusiastic Beginner. Self-published, 2017. [3] Bernard Schutz. A First Course in General Relativity. 2.ª ed. Cambridge University Press, 2009. [4] B. P. Abbott et al., “Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger”, Phys. Rev. Lett. 116, 061102. 50 Ap´ endices A.1. Demostraci ´ on de la invarianza del intervalo espacio-temporal Sin p ´ erdida de generalidad, vamos a realizar la demostraci ´ on para la consiguraci ´ on est ´ andar de dos sistemas movi ´ endose relativamente entre s ´ ı con velocidad en el eje x . Esto es as ´ ı pues mediante una rotaci ´ on de ejes podemos transformar cualquier sistema en este otro. Para esta configuraci ´ on ya conocemos la transformaci ´ on de Lorentz correspondiente dada por (2.19). Por tanto la transformaci ´ on del intervalo (2.22) es ∆¯s2=−(∆¯ t)2+ (∆¯x)2+ (∆¯y)2+ (∆¯z)2 =−γ2(v∆x+ ∆t)2+γ2(∆x+v∆t)2+ (∆y)2+ (∆z)2 =−γ2v2(∆x)2−γ2(∆t)2+ 2γ2v∆x∆t+γ2(∆x)2+γ2v2(∆t)2+ 2γ2v∆x∆t+ (∆y)2+ (∆z)2 =−γ2(1 −v2)(∆t)2+γ2(1 −v2)(∆x)2+ (∆y)2+ (∆z)2.(A.1) De la definici´ on de γ(2.3) se sigue el resultado que buscamos, ∆¯s2=−(∆t)2+ (∆x)2+ (∆y)2+ (∆z)2= ∆s2.(A.2) A.2. Demostraci´ on del teorema de planitud local Sea {xα} un sistema de coordenadas y {x¯α} el sistema inercial local de Lorentz del punto P . Debemos tener una relaci ´ on entre ambos sistemas dadas por la matriz de transformaci ´ on (3.37). Sin p ´ erdida de generalidad, podemos tomar x¯α= 0 para las coordenadas del punto P en el sistema inercial local. Entonces al expandir en serie de Taylor los coeficientes de la transformaci ´ on en un entorno de dicho punto: Λα¯µ(x) = Λα¯µ(P) + x¯γ∂Λα¯µ ∂x¯γ(P) + 1 2x¯γx¯ λ∂2Λα¯µ ∂x¯ λ∂x¯γ(P) + O(x)3 = Λα¯µ(P) + x¯γ∂2xα ∂x¯µ∂x¯γ(P) + 1 2x¯γx¯ λ∂3xα ∂x¯ λ∂x¯γ∂x¯µ(P) + O(x)3,(A.3) 51 AP ´ ENDICES 52 al emplear la definici ´ on (3.37) de la matriz de transformaci ´ on. Realizando un tratamiento similar para gαβ tenemos gαβ(x) = gαβ(P) + x¯γ∂gαβ ∂x¯γ(P) + 1 2x¯γx¯ λ∂2gαβ ∂x¯ λ∂x¯γ(P) + O(x)3.(A.4) La transformaci ´ on del tensor m ´ etrico debe cumplir la relaci ´ on de transformaci ´ on (3.38), en la que podemos sustituir las aproximaciones de Taylor, con lo que deducimos finalmente g¯µ¯ν(x) = Λα¯µ(P)Λβ¯ν(P)gαβ(P) + x¯γΛα¯µ(P)Λβ¯ν(P)gαβ,¯γ(P) (A.5) +Λα¯µ(P)gαβ(P)∂2xβ ∂x¯γ∂x¯ν(P)+Λβ¯ν(P)gαβ(P)∂2xα ∂x¯γ∂x¯µ(P)+O(x)2.(A.6) Vamos a realizar ahora un recuento de grados de libertad en estas ecuaciones para ver si podemos escoger la transformaci´ on de forma que cumpla los requisitos del teorema: Λα¯µ(P)tiene 16 componentes independientes. Por simetr ´ ıa en el orden de las derivadas parciales, ∂2xα/∂x¯µ∂x¯γ(P) tiene 4×10 = 40 componentes independientes. De manera similar, ∂3xα/∂x¯ λ∂x¯γ∂x¯µ(P)tiene 4×20 = 80 componentes independientes. Primero, ¿tenemos libertad para suponer g¯µ¯ν(P) = η¯µ¯ν= Λα¯µ(P)Λβ¯ν(P)gαβ(P) ? Por simetr ´ ıa tenemos 10 ecuaciones que podemos satisfacer con los 16 grados de libertad de Λα¯µ(P) y, adem ´ as, deja 6 grados de libertad para especificar el tipo de transformaci ´ on. Este es el caso del espacio de Minkowski con 3 grados de libertad para especificar la velocidad entre sistemas y otros 3 para especificar la posici ´ on angular relativa entre ambos. ¿Podemos suponer tambi ´ en que g¯α¯ β,¯µ(P) = 0 ? El n ´ umero de ecuaciones, por simetr ´ ıa, es de 10 ×4 = 40 . Tenemos exactamente 40 grados de libertad en la elecci ´ on de ∂2xα/∂x¯µ∂x¯γ(P) = ∂Λα¯µ/∂x¯γ(P) . Por tanto, podemos encontrar una ´ unica transformaci´ on que cumpla con nuestros requisitos. Esta idea nos permite tambi ´ en ver porqu ´ e, en general, no podemos suponer que g¯α¯ β,¯µ,¯ λ(P) = 0 . Estas son 10 ×10 = 100 restricciones y s ´ olo disponemos de 80 grados de libertad en ∂3xα/∂x¯ λ∂x¯γ∂x¯µ(P) = ∂2Λα¯µ/∂x¯ λ∂x¯γ(P). Tenemos as´ ı20 componentes en las segundas derivadas que no podemos anular. A.3. Demostraci ´ on de la relaci ´ on entre los s ´ ımbolos de Christoffel y el tensor m´ etrico De forma similar a la ecuaci ´ on (3.46), podemos llegar a la siguiente expresi ´ on para la derivada covariante del tensor m´ etrico: gµν;β=gµν,β −gανΓαµβ −gµαΓανβ.(A.7)