Memoria sobre las ecuaciones superiores ó método general de resolverlas

MEMORIA SOBRE LAS EQUACIONES SUPERIORES r O MÉTODO GENERAL DE RESOLVERLAS. POR D. MIGUEL DE ALFEAR Coronel db Ineanteria. CIUDAD DE S. FERNANDO: En la Imprenta del Real Cuerpo de Artillería de Marina. Año de 1814. £51 i>í o-Hx; íi o b -ÍZ7.":0 ^~\jT^ ¡i :t'r>' r' '.(T .'ó. ii k: ju :yú 3.a ¿ic^a:.LoJ INTRODUCCION T JLiA resolución de las equaciones superiores ha excitado en todos tiempos la atención de los mas célebres Analistas, sin que ála hora esta ninguno haya podido hallar un método general de resolverlas :el que proponemos en esta pequeña memoria dista mucho de llenar esta idea; pero nos lisongeamos meresca la aceptación de los inteligentes ,así por su sencillez como por su generalidad ;yios Maestros ,que para instrucción de sus Alumnos en esta parte del análisis, prefieran este método aqualquiera otro, ahorraran tiempo ytrabajo. Así lo acreditó la experiencia en el curso de Matemáticas ,que enseñamos en la Academia de Guardias Marinas de Cádiz, en el año de 1^92; pues habiéndolo preferido al que trae Bezout en su curso para el uso de la Marina, felizmente correspondió el éxito ánuestras esperanzas. Los conocimientos preliminares ynecesarios para este método son ;saber pasar áun solo miembro todos los términos de la equacion ihacer desaparecer los denominadores, transformando la equacion en otra que no los tenga ,sin que por ello se le dé coeficiente al primer término: hacer homogénea la equacion :esto es ,que el número de dimensiones sea el mismo en cada termino :yfinalmente saber resolver las equacíones de los grados inferiores. 5 MEMORIA SOBRE LAS EQUACIONES SUPERIORES O MÉTODO GEXERAL DE RESOLVERIAS 1. JtLL método de resolver las equacíones por qualesquiera factoreS es general, yabraza los divisores racionales ylos que no lo son jy aunque se practica tambien| tanteando como lo hace Bezout en su curso de matemáticas para la Marina ,es sinembargo preferible nuestro método tanto por su generalidad ,como por que no conduce áuna equacion de un grado mas elevado que el de la primitiva. Hagamos la aplicación álos grados 4.° 5^y6.° yse verá quanto es general. QUARTO GRADO. Sea la equacion canonica..x*-4-px®-í-qx®-í-rx-t-s=ro. pídese reducirla ádos factores racionales del a.“ grado. 6 Sean estos dos Fractores ..x*-4-mx-4-nrr:o ..p. y.x^-4-Mx-í-N=o ..Q. en quienes in, Nson cantidades que se han de determinar en el progreso dei caiccuío. Multipliqúense estos dos factores entri sí ,yresultará la equacion -4nx.*-4-Maix-+-Nnn=o ..R. —+-Mx®-+-mMx'“-i-mNx -4-Nx* que debe ser la misma que la propuesta. Iguálense, pues, los coeficientes de cada termino, y resultarán tantas equaciones como indeterminadas, yde consiguiente podran determinarse. Serán pues .... m-t-Mmp ...i.* i r'n—Hm^f—•— q ... 2. ^ Mi»^mN=r ... 3.^ j * Nn=s ... 4-* 1 Ahora no hai sino hacer lo que previene el citado Bezout tomo III. nura. 223. que se reduce áhallar los valores de m, yn, (coeficientes del factor P)tomándolos de dos de las quatro equaciones en E, ysubstituirlos en las otras dos: re-, sultarán dos equaciones que no contendrán otras indeterminadas que MyN. Eliminese una de ellas (por exemplo M)por el método del mismo Autor tomo III. num. i6y. úotro equivalente ,yquedará una equacion en N. Busquense los divisores comensurables de esta equacion, yse tendrá el valor de N, el que substituido en una ' de las equaciones en MyN, se tendrá el valor de M, yde consiguiente el factor del 2.“ 7 do x*-í'Mx-i-N=o. Ycomo con estos valores de M, yN, poniéndolos en las equaciones en E, se hallan los de m, yn, se tendrá el otro factor x’H-nix-f-n=o ,que es lo que se pide. Pero este método es siempre prolixo yse abrevia del modo siguiente. 3. Atendiendo álas mismas equaciones en E, respecto áque Nn:=s, será n, un factor de s. Supóngase conocido ,ypropongámonos determinar el factor P, pues que teniendo este ,si se divide por él la equacion propuesta ha de resultar el otro Q. Para esto solo falta determinar m. Tomo ,pues ,dos qualesquiera de las equaciones en E, las mas cómodas, (dexando la ultima ), por exemplo i.* y3,* Elimino en ellas M, yN5 quedará una equacion en m, yn, que, supuesto n conocido, dará el valor de m. Como Nse elimina fácilmente poniendo en su lugar ,para n. eliminar M, con las dichas equaciones yg.* hago en la i.*. ..M~p—m, yen la 3.* M — rn—sm ttj j—Igualando estos dos valores se tiene n que dá finalmente m— °s—n* equacion, que servirá de formula para hallar en las equaciones del 4.“ grado el coeficiente mdel factor P,tomando por nuno de los factores racionales de s,último termino de la equacion, y substituyéndolo en dicha formula. 8 Hallada de este moda la equacloti subsidia, ria P, divido por ella la propuesta. Si la di. visión sale, he hallado loque busco ,yel qmj. ciente será el otro factor Q. Si la división no puede hacerse, pruebo otro divisor de s, ponién. dolo en lugar de nen la formula para tener m, probando estos divisores con .4ycon —hasta que, si ninguno satisface, se concluya que la equacion no es reductible ,álo menos por este método. Exemplo. "Sea_^ la equacion ix^-f-iox-f-5=o será pz^5q=ii5 r=J055=5. Eos divisores de 5son =t::i ,=^5/ Pruebo el w-i ,y pongo n=ri en la formula^ ytendré m=i ,'y la subsidiaria íerá P^x^'^X’4lí=o. Parto por esta la equacion dada ,yresultará Q.,.x®-t-5x-4-5. Estos dos factores multiplicados uno por otro restituyen la equacion ,yresueltos dán las quatros ralees de la equacion, dos imaginarias x=: ylas otras dos reales éínco- .8 • mensurables xrr -H? - 2 2." Exemplo ;Sea dada ía equacion 7 ^—8z®-i-92’‘-f-3 8z—4®—® Comparada ála canónica será p=—85q=9 5r=:38 ,s=:-4o. Divisores de 40, con 9 3*4* I.” 2.OS OS 3 2* 0 »^ 2, .10. .8 ••••20* »* 4^0* Pruebo los positivos yempiezo por -f-2. Pongo, pues, en la formula n=2 ,yserá .Pero como este es un valor fraccionario ,puesto en la equacion Ren la qual debe servir á restituir la equacion dada ,resultarían los coeficientes en que se halla m, fraccionarios ,to que es contra la hipótesis: luego no sirve :pruebo, pues, el divisor -4-4, ypongo en lá formula n—4 ,yserá m=—5:luego el factor Pserá z’—5z-f-4r=o 5ypartiendo la equacion por este factor, viene al quociente z*-4-3z—io=:o :luego estos dos factores satisfacen ,desuerte que multiplicados entre sí dán la propuesta ,yresueltos se tienen las quatro raides de la equacion —2, -f-1,-4-4, -t-s todos reales, yracionales; notándose de paso que este método podrá servir muchas veces para resolver la equacion del 4*grado ,yhallar sus raíces sin necesidad de quitarle el 2° término. 3. Yno solo podrá servir quando tiene la equacion el 2.’ término ,sino quando viene sin él ,poniendo en la formula p~o ,ydexándola reducida ám=: .. Demos él mismo s— n exemplo que pone Bezout núm. 210, 2* APLICACION ÁLAS EguACIONES DEL 5.^ grado. ir. Pídese un factor comensurable del 2“ grado x*-+-mx-4-n=:o, que multiplicado por uno del 3.* x®-4-Mx*-hNx-+-R—o, produzcan la equa* cion x*-4-px'^-f-qx®-i-rx''-+-sx-4-tz=o, canónica del 5.“ grado. Nótese que dividimos la equacion en dos factores uno del 2.® grado, yotro del 3.® que sabemos resolver, porque suponemos que la equacion no se ha hallado divisible por un factor del i.“ grado 5pues si lo fuera, quedaría reducida al 4.° yse procedería como se ha dicho. Hecha jpues, la multiplicación, ycomparados los coeficientes término átérmino ,resultan; pzirm-H-M. .. q=zN-i-mM-í-n. 2,* r:=^R-4-mN-f-Mn. 3.^ s—mR-i-nN. .4.* tninR. ... 5.^ Por ser nun factor de t, que se supone conocido ,para hallar él de m, tomaré él de Rde la equacion 5.* R=:-^5 él de Mde la haciendo Mrrp — jTVT s—mR doN= m5yel de Nde la 4.^ hacien- ^óbien ,poniendo por Rsu van lor, N=——Ahora , substituyendo los de nn M, yNen la 2.^ tendré una equacion en m, y% qae dará el valor de m,puesto en ella por n el divisor con quien he de tantear: será ,pues, la equacion _L—(p—m)-f-n— q 5la qual nn’ ordenada, yresuelta dará dos valeres de m,á saber: ^ue servirán de formula. Para hallar ,pues ,en el caso particular el factor auxiliar del 2.* grado, tomo por nun divisor de tde dos dimensiones, ysubstituido en la forniila con los valores de p, q, s, t, tendré dos Valores de m. Con cada uno de ellos formo la equacion x'-*-mx-t-n=o, yparto por ella la propuesta. Si ninguno de los dos satisface, tentáre otro divisor óvalor de n,hasta hallar el factor que busco. Exemplo i.° Equacion. x‘—4cx*-^óc’x*—8c*x*-t-5c*x—c*:=io. Será pzrz —4c; q=6c^ 5r~—Sc*^ s::ir5C*; i=—c* Los divisores de tde dos dimensiones son ==±=0 .Pruebo —t—c*. Substituidos estos valores en la formula 5será m= — ic=i=V(|c)*: luego los dos valores de mson m~o 5m=—3c. Formo con el primero el factor del 2.“ grado x*-t-c’~o; ypor que la división no tiene lugar lo excluyo, ycon el 2.* valor m~—3c firmo la equacion X*—3CXH-c*;=o ,por quien partiendo la pro3* i8 puesta hallo el quoclente ófactor del 3.® parado X®—cx*-4-2c’x—c®r=o, que és el que se pide, y que multiplicados entre sí restituyen la equacion, yresueltos dán sus raices. Exemplo 2.'’. Equacion x®-4-3x'^-i-2x®-í-8x*—36X-+-2 1=0.' Como esta equacion no se halla reductible por un factor del primer grado ,se pide reducirla si es posible por dos, uno del 2°grado, yotro del 3." Será p—35 q=2 js——3<>5 t=2r. Los divisores de 21 son =^35 =±=7, supuestos de dos dimensiones. Pruebo -1-3, yhallo m— " y—11que evidentemente no sirve. Pruebo —3.yencuentro m=:|2=i:=|- Con este 2.° valor de n= —3, ym—3, formo la auxiliar x*-43x—3—0, por quien partiendo la del 5.® grado, resulta x^-i-^x—?—o, que multiplicados entre sí la restituyen ,yresueltos dán sus ralees. 12. Para asegurarse que el divisor que se ha tomado es el conveniente para hallar el valor de m,se puede tomar otro camino que el de la división ,que hemos seguido hasta aqui. Con el valor hallado de m,yel que se le ha supuesto a n,hállense nuevos valores de M, yN5ycon el de R=_L sustituyanse en la equacion 3.“ de n que no se ha hecho uso :si la verifican, yla hacen idéntica, los valores de m,y nson los convenientes. Vease en el exemplo J.’ dendo 3C5 n=c''^ R=:—c*, será M=—N=2C : luego la equacion tercera r=R-í-niN-+-Mn se ig convierte en —gc®=-—c*—6c®—c*, que es idéntica. Fundándose esto, en que si los valores de m,ynverifican la equacion de que no se había hecho uso ,satisfacen álas condiciones del problema :luego son los convenientes. 13. También puede por este método hallarse el otro factor óequacion subsidiaria bien sea del 2.® grado, óbien del 3.° Porque hallado el valor de m,con este yél del divisor puesto por n, se hallan los de M, yNen las equaciones 1.* y2.* (por exemplo), ycon él de Rque se tiene en la 5.* se logran los tres coeficientes que son menester. Vease en el exemplo numérico antecedente, siendo m=3 5n=:—35Rr=: ^,será Mr=p_m=o5 yN=35yel factor del\ercer grado x®-t-5x—7~o, como antes. APLICACION AHALLAR LOS FACTORES qua/esquiera sean comensurables óincomemurabies. 14. Hasta aquí hemos usado de los divisores racionales para hallar las dos equaciones auxiliares, ófactores, que resueltos dán las raíces de la equacion que se propone 5ydichos factores han sido también racionales. Pero extendamos el método hasta donde alcanza. Sea la equacion x^-f-abx’-i-b’x’ 3®b=o. Busquemos un factor del 2.° grado, ybusquémolo siD depender de la formula. Comparándola ála. 20 canónica del 4.* grado, hallaremos las mismaf equaciones E(núm j.’’). Substituyo en ellas les valores de p, q, &c. sacados de la propuesta yten¿o las vCu ttro siguientes, m-t-M —2b, n-^mM-4-N=b*. Mn-f^mN=ro. nNz=—a*b. Saco dé la !.* M:rr2b—m. Yde la 4.*. . n Estos valores puestos en la 3.*dán m= K ab-4— n Para dar valor án, exámino los divisores racionales del último término a*b que sean de dos dimensiones ,ylos pruebo con Si ninguno de ellos satisface, exámino los divisores irracionales, tomándolos también de dos dimensiones, ylos pruebo con son, pues, todos ios divisores de dos dimensiones, racionales, éirracionales del último término a*b ,los siguientes, =±=3^5 zrtrabj z=t=a\^ab. Pruebo -4-a% ypongo n=:a“ en la equacion K,tendré —.Deberá, pues, ser la equaa-i-b cion ófactor auxiliar x*-faab xx-4-a*=o. Par* hallar el ,.M=3b— otro aab a-+-b a-i-b factor ,la eqüacíon ime dar* .La 4í* me dará N—-ab, a-^b qae son los dos coeficientes, yel a.® facior 2Í^*X será x*-+- L—ab=o. Pero estos dos mu'tia—t— b pilcados uno por otro deben restituir la propuesta Ñola dan: luego son inútiles. Ylo mismo se vé ,(como hemos dicho núm. 12.) ponitn.lo en la equacion 2.* de que no hemos hecho uso ,ios valores hallados de m, M, n, N, pues como no la hacen idéntica .no satisfacen. Del mismo modo se hallarán inútiles todos lot demas divisores comensurables. Pruebo, pues, el divisor irracional -r-aVab, haciendo n—aVab. Este valor puesto en Kdá mrz=b. Yeste substituido en la i.* resulta M=:b: yfinalmente en Ia'TVT a*b a’b , la 4. sera N——==—aVab, naVab Estos quatro valores puestos en la 2.* equacion de que no se ha usado, la hacen idéntica: luego dan la solución^ ylos factores del 2.° grado en que se resuelve la propuesta son x*-ibx-r-aVab=:o^ x’-t-bx —aVab=o ,que multiplicados entre sí la restituyen. El mismo resu.tadose halla haciendo n=—aVab. Sea otro exemplo la equacion literal del 5.* grado. *-^b)x*-i-(2ab-í-i Vab) x*-4-abV—a*b=o. Comparada ála canónica del «;.* grado, hallaremos las mismas equaciones (núm. 1j)ysubstituyendo en ellas los valores de p, q, r, &c. sacados de la propuesta ,tendrtmos las cinco siguientes. 93 m-t-Mzza-f-b n-+-mM-+-N=33 b—4—ai/ab R—+~mN-+-A1n-=:-ab* tiiR-^nN=o nR——a'^b. Saco de la M=aH-b—m. yde la 5.* R=::iñ!^ n Pongo en esta por n, aVab.. que es uo divisor irracional de dos dimensiones del último término a^b. Yse tendrá R=—aVab. Substituyanse en la 4.“ por R, yn, sus valores. Yse tendrá Nii;ma. Finalmente ,pongase en la 3.* por R, N, My sus valores. yse tendrá tn*—raVabrrib’ bVab TVab ^,Vab LíUego m=: — 22 De consiguiente mrrrb. Y, ,m=:—b-i-Vab. Luego el factor dei 2.“ grado en que se resuel-' ve la propuesta es x^-t-bx-HaVabzno. ypartiendo la propuesta por este factor, se tiene al quociente el otro factor del tercer grado x®-f-3x*-t-abx —a^Vabrzo ,que es el que se pide, yque multiplicados entre sí restituyen la equacion ,yresueltos dán sus raíces. Obsérvese también, que si los valores de n, m, M, yNse substituyen en la 2.^ equacion 23 de que no se ha hecho uso la hacen idéntica, y de consiguiente deben dar Ja solución. 6.® GRADO. 15. La equacion del 6.® grado se reduce por tres del 2.' ópor dos una del 2.' yotra del 4ópor dos del 3.® Pero si se puede resolver en^ tres del 2.® se podrá también en dos una del 2. yotra del 4.®. Tentaremos, pues, la reducción por dos del 2,® y4.® ydespués por dos del 3’ 1/ Reducción por dos factores del 2.® y4.® Sea x"— 13ax*-^-45a"x^—yja^x^-i-sya^x"— 16a‘x -^-2a~o. Las auxiliares son x*-f-Mx®-4-Nx’H-Px-i-Q=o. x“-+-mx-4-n=:o. Multiplicados ycomparados los coeficiente* con los de la propuesta resultan las equaciones M-t-mrz J3a ..i.* JVH-mM-Hni:r45a“ ..2. P-4-mN-t-nMr=—yia* 3. Qn-mP-í-Nn^rsya'^ .4. nQ-t-nP=—i6a* ..c. Qn=2a® •.... 6. De la 1.* saco Mr=—13a—m. E. yde la 6.* ...F. el valor de Mpuesto fa la 2.*dá N=45;i’_j_,3am-t-m*-n...G. lómese ahora Ja 5/ yponiendo en eíla 24 ti valor de Q, resultará P=— ^ nn* Substituyendo ahora en la 4/ los valores de ISi, P, yQ, tendré la equacion en m,ynj esaa* /-16a* 2a®m» ,s —rti^—— to es n —{—m*—n)r=5jra*, que reducida yordenada ea la forma mas cómoda es -1 6 a® Tia-4- <3an*m-t-2a^n-57a'^n^-t-4ga*n^-n* fn 'n*- -2a zo. Pero la equacion 6.* nos dice que nes un divisor de 2a", ydebiendo ser de dos dimensiones ,busco primero todos los divisores simples, que' son 2a, a, a, a, a, a, yde ellos formo los binarios =-=2a% =±=aV2. Pongo en Ja equacion n=rrt=a\ El i.’ la convierte en m^-agam-f-ria*=:o, yel negativo la muda en m — am^35a"=o: una yotra equacion dán por m valores imaginarios, como es manifiesto, luego estos divisores no sirven. , Pon^o n=2a% yla equacion se hace m-+- 22am—1—20a*—o. Resuelta, dá dos valores eui, esto es ,mr:r^—10a ^m=—2a. Si tomamos ei. hallaremos N=i3a*iPp—Sf • tituidos estos valores en la equacion^ 3- * no se ha usado, el resultado es 139^ • es absurdo ;luego el divisor es inútil mando el valor 2.“ m^--2a. se halla xiaj P=-ra^ ,yfinalmente se ha lia C=a% yestos son los coefcientcs del factor del 4.* grado que se buscan ^pues si ponemos en la equacion 3/ los valores hallados de M, N, yP, el resultado es una equacion idéntica: queda, pues, la propuesta resuelta en dos factores uno del 4.* grado x'^ —1iax*-t-2ia*x*—ya*x-i-a* rro, yotro del 2.* x*—2ax-f;-2a*=io, que es lo que se pide. 16. Nótese de paso ,que si después de hallados los valores de M, N, P, Q, como se ven en E, G, H, F, en lugar de substituirlos en la equacion 4* como hicimos ,se hubieran substituido en la 3/ ,hubiera venido una equacion en mdel 3.* gradoj á saber, 3am’-4-45a*m-iJL-í-y la*- 1 3 an=ro. -nm 2a*m Que poniendo nrr2a* como antes, se convierte en esta 2m -4-26am -H-85a*mH-y4a*:zio, que es de mas difícil solución que la del 2." grado que antes hallamos. Sin embargo ,por esta encontraríamos lo mismo. Porque esta equacion tiene una raíz comensurable —2a ,la qual dará como antes los valores de M, N, P, Q, ysubstituidos los convenientes en Ja equacion 4.* de que en esta hipótesis no se hubiera hecho u^o ,la hacen idéntica Como es fácil de ver. Infiérese, pues, que la elección de las equaciones dará mas ómenos facilidad en el calculo. 4*