Iniciación de grietas por fretting fatiga en contacto esférico

107 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA, Vol. 18, (2001) INICIACIÓN DE GRIETAS POR FRETTING FATIGA EN CONTACTO ESFÉRICO C. Na a o, F. J. Ga cía-Lomas, J. Domínguez Uni e sidad de Se illa Depa amen o de Ingenie ía Mecánica y de los Ma e iales Escuela Supe io de Ingenie os. c/ Camino de los Descub imien os s/n, 41092 Se illa Resumen. En es e a ículo se p opone un mé odo pa a calcula la ida a a iga po e ing. Dicho mé odo combina la iniciación con la p opagación de g ie as, ob eniendo, además de la ida o al, un núme o de ciclos de iniciación y de p opagación. El modelo se aplica a una se ie de ensayos de e ing a iga en los cuales la p obe a no llegó a ompe se, pe o sí se inicia on g ie as. Es os ensayos se ealiza on sob e una aleación de aluminio (Al 7075-T6) y el ipo de con ac o usado e a es é ico. Las p obe as ensayadas ue on analizadas, ealizando o og a ías de las g ie as que se habían iniciado. Di e en es leyes de c ecimien o han sido u ilizadas pa a modela el compo amien o de las g ie as. Abs ac . This pape p oposes a me hod o es ima ing he o al a igue li e in e ing a igue. I compa es he a igue li e o some specimens ob ained in a se ies o e ing a igue es s wi h he es ima es o o al a igue li e using a model ha sepa a ely akes in o accoun he ini ia ion and p opaga ion o he c ack. These a igue es s we e conduc ed on an aluminum alloy (Al 7075-T6) and he con ac pads used we e sphe ical. In hese es s, he c acks ini ia e and hen s op a a ce ain poin . The specimens we e la e analyzed o make pho og aphs o he ini ia ed c acks. Di e en laws o c ack g ow h ha e been used o model he beha iou o c acks. 1. INTRODUCCIÓN. La a iga po e ing es un enómeno que puede ocu i en mul i ud de componen es de máquinas y es uc u as como uniones a o nilladas y oblonadas, acoplamien os con ajus e a p esión, cadenas, e c. [1]. En es os casos se p oducen pequeños desplazamien os en e dis in os pun os de dos piezas en con ac o bajo p esión gene ando unas ensiones angenciales asociadas a las no males en las supe icie. Es as ensiones locales se supe ponen a las ensiones globales de odo el componen e, p oduciendo un e ec o simila al de los concen ado es de ensión. Debido a es as ensiones apa ecen g ie as en la zona de con ac o mucho an es que si no hubie a con ac o en e las pa es, g ie as que pueden desa olla se pos e io men e has a la ac u a inal. Un aspec o impo an e en el diseño de componen es mecánicos some idos a a iga po e ing es la p edicción de la ida a a iga y muchos ecu sos se dedican ac ualmen e pa a consegui es e obje i o [2,3]. Se acep a en gene al que el p oceso de a iga po e ing debe se es udiado conside ando dos ases: la iniciación de las g ie as y la p opagación de és as has a el allo. Algunos mé odos pa a es ima la ida a a iga es án basados en el mecanismo de iniciación y usan los esul ados ob enidos en algunos ensayos con p obe as y ca ga simé ica, jun o con c i e ios de a iga mul iaxial. Es os mé odos se usan más cuando la ase de iniciación es p edominan e. O o p ocedimien o consis e en u iliza la mecánica de la ac u a elás ica-lineal, que se á an o más aplicable cuan o más pequeña sea la ida de iniciación compa ada con la de p opagación o cuando haya g ie as ya iniciadas [4]. También se puede combina la iniciación con la p opagación de iniendo un alo ijo pa a la longi ud de g ie a de iniciación. Es a longi ud es una o ma de de ini has a dónde llega la iniciación y desde dónde se puede conside a que se p oduce la p opagación. La ida o al se ía la suma del núme o de ciclos necesa io pa a inicia una g ie a más los ciclos que a da en p opaga se la g ie a desde esa longi ud de inida has a la o u a [5]. Siguiendo es e camino, un paso más hacia delan e es combina la iniciación con la p opagación, al igual que en el caso an e io , pe o en luga de de ini p e iamen e una longi ud ija pa a la iniciación, és a se ob iene del p opio p oceso de cálculo. Exis en di e en es mé odos de lle a a cabo es a combinación desa ollados po dis in os au o es [6,7,8] pa a componen es con en allas, 108 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA, Vol. 18, (2001) aunque no han sido aplicados has a aho a al caso de a iga po e ing. En es e a ículo se p esen a un modelo simila al p opues o po Socie [8], donde se combina la iniciación con la p opagación, ob eniendo una longi ud de g ie a de iniciación que no es a bi a ia. El modelo se aplica pa a es ima la ida en una se ie de ensayos de e ing a iga. 2. MODELO DE INICIACIÓN-PROPAGACIÓN. El mé odo aquí u ilizado es una modi icación del p opues o po Socie, Mo ow y Chen [8] pa a el análisis a a iga de componen es con en alla. Dichos au o es calcula on dos cu as en unción de la p o undidad de la g ie a; una elocidad de c ecimien o de g ie a debido a mecanismos de iniciación en a iga a bajo núme o de ciclos y la elocidad de c ecimien o de g ie a du an e la ase de p opagación usando la mecánica de la ac u a elás ica lineal. La p ime a se de e mina hallando, pa a cada p o undidad de la g ie a, el núme o de ciclos necesa io pa a la iniciación de la misma en ese pun o y luego calculando la pendien e. De es a o ma se ob iene una especie de elocidad de c ecimien o de g ie a po iniciación. Es a cu a es dec ecien e y pa a los pun os más ce canos a la supe icie es mayo que la elocidad de c ecimien o de g ie as po p opagación, que es c ecien e. Luego una g ie a hipo é ica, ce ca de la supe icie, c ece ía más ápidamen e po iniciación que po p opagación. A una p o undidad de e minada las dos cu as se co an y a pa i de ahí la g ie a c ece más ápidamen e po p opagación que po iniciación. Según p oponían los au o es, es e pun o de e mina la longi ud de g ie a de iniciación, la ida de iniciación se ía la co espondien e a ese pun o y la de p opagación se ía la in eg al de la cu a da/dN-K desde dicho pun o has a llega a la o u a. En ez de calcula de es a o ma las idas de iniciación y p opagación (Ni y Np), en es e a ículo se emplea un mé odo numé icamen e equi alen e [9]. A lo la go del hipo é ico camino que segui ía la g ie a, se calcula pa a cada pun o el núme o de ciclos pa a iniciación, Ni, es deci , el núme o de ciclos que se necesi a ían pa a inicia una g ie a en ese pun o con las ensiones que es á sopo ando. Simul áneamen e se calcula el núme o de ciclos que se equie en pa a p opaga una g ie a desde cada pun o a lo la go de dicho camino has a la o u a, Np, u ilizando la mecánica de la ac u a elás ica lineal. La suma de Ni y Np p opo ciona pa a cada pun o el núme o de ciclos que a da ía en inicia se en él una g ie a y p opaga se has a la o u a. Po lo an o el mínimo de esa cu a es la ida a a iga del componen e. És as cu as se mues an en la igu a 1. El pun o donde se p oduce el mínimo ambién de ine la longi ud de iniciación de g ie a que coincide exac amen e con el calculado en el p ocedimien o explicado en el pá a o an e io [8]. 0 10203040506070 0.0 5.0x105 1.0x106 1.5x106 2.0x106 2.5x106 3.0x106 Mínimo P opagación Iniciación To al Nº de ciclos P o undidad (µm) Fig. 1. Iniciación, p opagación y ida o al. 3. APLICACIÓN A LA FATIGA POR FRETTING CON CONTACTO ESFÉRICO. La modi icación del mé odo an e io men e explicado consis e en aplica lo a la a iga po e ing con con ac o es é ico. En es e caso se iene una dis ibución mul iaxial de ensiones. És as se calculan analí icamen e usando las exp esiones explíci as ob enidas po Hamil on [10]. Además, la excen icidad de la zona no deslizan e debido a la ensión global de la p obe a es enida en cuen a como se mues a en [11]. El p ime paso pa a aplica es e mé odo es localiza el pun o de iniciación de la g ie a. Expe imen almen e se ha comp obado que las g ie as se inician en las p oximidades del bo de del con ac o [5]. Es e hecho concue da con los esul ados analí icos. Si se aplican di e en es c i e ios de a iga mul iaxial, (Von Mises, McDia mid, Sim h-Wa son-Toppe ) sob e la supe icie y a lo la go del eje de sime ía de la zona de con ac o, se ob iene como pun o más a o able a la iniciación de g ie as el lími e de la zona de con ac o. Aplicando es os c i e ios a poca p o undidad, se ob ienen pun os ce canos al lími e de la zona de con ac o. Las g ie as comienzan a c ece o mando un ángulo pequeño con la supe icie pa a luego gi a a una p o undidad, que en es os ensayos es ap oximadamen e de 20 µm, y o ma un ángulo de unos 70º-80º. Dado que el ángulo en la segunda ase no di ie e mucho de los 90º, en los cálculos que se an a ealiza se supond á que la g ie a c ece pe pendicula men e a la supe icie. Compa ando las idas ob enidas al aplica es e mé odo a g ie as que se inician en el lími e de la zona de con ac o y pun os p óximos a él, c eciendo pe pendicula men e a la supe icie, se obse a que la ida es algo in e io cuando se supone que la g ie a se inicia en el bo de de la zona de con ac o. Es o implica que eniendo en cuen a la iniciación jun o con la p opagación a la ho a de busca el pun o más c í ico pa a la iniciación de las g ie as, la posición más c í ica es el bo de de la zona de con ac o y 109 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA, Vol. 18, (2001) en consecuencia es el que se ha escogido pa a odos los cálculos. De los dis in os c i e ios de a iga mul iaxial exis en es, en es e abajo se ha u ilizado el c i e io de McDia mid [12] eq TS σσ σ τ =+ ∆ max max 22 (1) donde ∆τmax es el máximo inc emen o de las ensiones angenciales, σmax es la ensión no mal máxima en la di ección pe pendicula al plano donde ∆τ es máxima, es el lími e de a iga a o sión y σTS es la ensión de o u a. Jun o con la cu a de o mación-núme o de ciclos c i b i NN E )2()2( 2 ε σ ε ′ + ′ = ∆ (2) donde ∆ε es la de o mación no mal ob enida en ensayos con p obe as sin en alla y ciclo simé ico, E es el módulo de Young, Ni es el núme o de ciclos pa a iniciación y el es o son cons an es que dependen del ma e ial. Los alo es pa a es as cons an es se han ob enido de [9], σ’ = 1917 MPa, b = -0.176, ε’ = 0.8, c = -0.839, pa a el ma e ial Al 7075-T6. Con obje o de combina ambas ecuaciones se aplica el c i e io de McDia mid al caso de una p obe a sin en alla a la que se le aplican ciclos de acción-comp esión de alo ±σ. En es e caso el plano donde se p oducen las mayo es ensiones angenciales máximas es el que o ma 45º con la di ección de aplicación de la ca ga. En dicho plano la ampli ud de las ensiones angenciales es σ/2 y la máxima ensión no mal en la di ección pe pendicula a dicho plano es σ/2, con lo que la ensión equi alen e de McDia mid en es e caso es TS eq ⋅=+= σ σ σ σ σ 222 (3) donde ÷ ÷ ø ö ç ç è æ+= TS σ 2 1 2 1 (4) Po o o lado, la cu a de o mación-núme o de ciclos en unción de la ensión aplicada es c i b i NN E E )2()2( ε σ σ ′ + ′ = (5) Si aho a se mul iplica la ecuación (5) po el ac o de la ecuación (4) ob enemos ÷ ÷ ø ö ç ç è æ′ + ′ ⋅= c i b i eq NN E E)2()2( ε σσ (6) Po lo an o, cuando se calcula el núme o de ciclos pa a iniciación de un pun o cualquie a, se calcula á p ime o la ensión equi alen e de McDia mid con la ecuación (1). Compa ando las ecuaciones (2) y (6) se ob iene la siguien e elación E eq σ ε 1 2= ∆ (7) Igualando las ecuaciones (7) y (2) se ob iene una elación en e la ensión equi alen e de McDia mid y el núme o de ciclos pa a iniciación. Como ya se dijo an e io men e, las g ie as se inician con un ángulo pequeño y ápidamen e gi an o mando un ángulo de 70º-80º. Sin emba go, con obje o de calcula el ac o de in ensidad de ensiones se supond á que la g ie a c ece pe pendicula men e a la supe icie po debajo de ese pun o. El hecho de que el ángulo de la p ime a pa e de la g ie a (a en la igu a 2) sea muy di e en e de 90º no a ec a á al cálculo del ac o de in ensidad de ensiones en la segunda pa e (b en la igu a 3) incluso pa a alo es al os de a/b (a/b ~ 10) [13]. Fig. 2. G ie a queb ada. Solamen e se a a calcula la con ibución del modo I en el c ecimien o de la g ie a ya que es casi pe pendicula a la supe icie y en es a si uación el ac o de in ensidad de ensiones del modo II es pequeño compa ado con el del modo I [4]. És e se calcula usando una unción de peso calculada pa a una g ie a en un p oblema plano p opues a po Bueckne [14]. )1( 1 )( 2 21 ÷ ø ö ç è æ ⋅+⋅+= a m a m w (8) donde a, y W se mues an en la igu a 3 y m1 y m2 son unciones que dependen del cocien e a/W. Con es a unción de peso el ac o de in ensidad de ensiones se puede ob ene de la exp esión: 110 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA, Vol. 18, (2001) d wK x a I)()( 2 0 σ π ⋅= ò (9) donde σx es la ensión no mal en la di ección pe pendicula al plano de la g ie a. Es e ac o de in ensidad de ensiones iene que se co egido pa a ene en cuen a que la g ie a es idimensional y ambién su elación de aspec o. La elación de aspec o de la g ie a es ap oximadamen e 0.5 y es o lle a a un ac o de co ección de 0.78, [15]. Fig. 3. Sección de la p obe a. Dis in as leyes de c ecimien o de la g ie a han sido conside adas. Los da os expe imen ales de c ecimien o de g ie a se han omado del p og ama NASA/FLAGRO [16] pa a el Al 7075-T6. Es os da os coinciden con o as uen es pa a g ie as la gas [17,18] pe o no pa a g ie as co as, donde como se sabe puede habe c ecimien o po debajo del umb al de c ecimien o de g ie as la gas. La unción usada en el p og ama NASA/FLAGRO, ecuación (10), incluye el e ec o del coe icien e de asime ía de la ca ga, R, el alo c í ico del ac o de in ensidad de ensiones, Kc, y el umb al de c ecimien o, ∆K h. En es e caso el umb al de c ecimien o es un alo cons an e que no depende de la longi ud de g ie a. Es e umb al puede se co egido po el e ec o de la zona plás ica en la pun a de la g ie a mul iplicándolo po un ac o que depende de la longi ud de g ie a y de p opiedades del ma e ial, ecuaciones (11) y (12), [19]. 5.0 5.0836.284.2 ))1(( ))1(()1(3465.5 KKR KRKKR dN da c h ∆−− ∆−−∆∆− = − (10) da a KK h h + ⋅∆=∆ ∞ (11) 2 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ∆ ∆ =∞ h K d σπ (12) donde a es la longi ud de g ie a, ∆K h∞ es el umb al de c ecimien o de g ie a pa a g ie as la gas con R = 0 y ∆σ es el lími e de a iga. La igu a 4 mues a la elocidad de c ecimien o en unción del ango del ac o de in ensidad de ensiones pa a es modelos dis in os de c ecimien o. El p ime o es la ley de Pa is, ecuación (13), pa a R = -1 y con los da os de [16], el segundo es el ob enido de NASA/FLAGRO, ecuación (10), y el e ce o es NASA/FLAGRO modi icado con el ac o explicado an e io men e, ecuaciones (10), (11) y (12). 517.312 102151.4 K d N da ∆⋅= − (13) 12345678910 1E-12 1E-11 1E-10 1E-9 1E-8 Pa is G ie a la ga G ie a la ga modi icada da/dN (m/ciclo) ∆K (MPa m1/2) Fig. 4. Leyes de c ecimien o [16]. 4. DATOS EXPERIMENTALES. Los ensayos con los que se a a compa a el modelo aquí p esen ado ue on ealizados po Wi kowsky e al. [20], de los que se han escogido algunos en donde se pa ó el ensayo sin que llega a a ompe se la p obe a pe o donde sí apa ecie on g ie as. El ma e ial usado e a Al 7075-T6 y sus p incipales p opiedades mecánicas se mues an en la abla 1. El amaño de g ano pe pendicula a la supe icie medido según la no ma ASTM E 112-88, [21], e a ap oximadamen e de 35 µm. Tabla 1. P opiedades mecánicas del Al 7075-T6. UTS (MPa) σ σσ σy0.2 (MPa) ν νν ν 572 503 0.33 E (GPa) ∆ ∆∆ ∆K h (R = 0) MPa m-1/2 72 2.2 Las ca gas aplicadas en cada ensayo se mues an en la abla 2, donde Q es la ca ga angencial a iable, σ es la ca ga axial a iable y N es la ca ga no mal cons an e. El análisis de es os ensayos ha sido ealizado pos e io men e. También se mues a en la abla el núme o de ciclos, N , a los que se pa ó el ensayo y la W a 111 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA, Vol. 18, (2001) máxima p o undidad de g ie a que se encon ó una ez analizadas las p obe as. Tabla 2. Ca gas en los ensayos de e ing. Tes N (N) Q (N) σ σσ σ (MPa) N (ciclos) P o . (µ µµ µm) T1 13 ±7 ±83 107 40 T2 20 ±16 ±62.5 2.19 106 65 T3 20 ±15 ±56 1.54 106 150 T4 20 ±15 ±63 2.94 106 110 T5 20 ±15 ±59 1.78 106 150 En la igu a 5 se mues a un esquema del mon aje del ensayo con las ca gas que se aplican. Es e mon aje se explica más de alladamen e en [22]. Fig. 5. Esquema del puen e de e ing. 5. RESULTADOS. Las p obe as co espondien es a los cinco ensayos mencionados ue on analizadas con obje o de de e mina las dimensiones de las g ie as en el caso de que hubie an apa ecido. Así, las p obe as ue on co adas y empas illadas, luego se iban puliendo y cada cie a dis ancia (~30 µm) se a acaban químicamen e y se o og a iaban. De es a o ma se puede ob ene la o ma y dimensiones de la g ie a y el luga donde se inicia. En las igu as 6 y 7 se mues an a ias o og a ías de las g ie as esul an es de los ensayos T1 y T4. En es as o og a ías se pueden ap ecia los lími es de g ano así como las g ie as que apa ecie on en es os ensayos. Los ensayos T1 y T2 se pa a on con una longi ud de g ie a de en e 40 y 60 µm, mien as que los o os es es án en e 110 y 150 µm. También se puede obse a en es as o og a ías que las g ie as se han pa ado al ededo de un lími e de g ano. En el ensayo T1, po ejemplo, en el p ime lími e de g ano y en el T4 en el segundo. En algunos pun os se sob epasa lige amen e el lími e de g ano y en o os se pa a an es, de o ma que en su conjun o la g ie a se pa a p óxima a un lími e de g ano. En es as o og a ías ambién se puede comp oba el hecho de que la g ie a se inicia o mando un ángulo pequeño espec o a la supe icie y luego gi a pa a o ma un ángulo de 70º-80º. El gi o de la g ie a se p oduce siemp e den o del p ime g ano. También se puede e que hay una g ie a p incipal y a ias al ededo más pequeñas, las cuales no llegan a las 10 µm de p o undidad. Todas ellas se encuen an den o de la zona de con ac o, lo que quie e deci que la g ie a p incipal no nace exac amen e en el lími e de es a zona aunque sí p óxima a él. Fig. 6. G ie a en el ensayo T1. 112 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA, Vol. 18, (2001) Fig. 7. G ie a en el ensayo T4. En la igu a 8 se mues a la huella dejada sob e la p obe a en el ensayo T4 y donde se ha ma cado el camino que ha seguido la g ie a. En la huella hay una zona ci cula ex e io que es la zona de con ac o y o a zona ci cula in e io excén ica que delimi a la zona no deslizan e. Los pun os blancos ma can los luga es donde se ha o og a iado y medido la g ie a. Se puede comp oba una ez más que la g ie a apa ece ce ca del lími e de la zona de con ac o. U ilizando el mé odo de cálculo expues o en el apa ado 2, se calculó pa a cada uno de los cinco ensayos an es mos ados el núme o de ciclos necesa io pa a inicia una g ie a y p opaga la has a la p o undidad indicada en la abla 2. En la igu a 9 se mues an es os esul ados u ilizando como ley de c ecimien o la de Pa is mos ada en la igu a 5. Fig. 8. Huella en el ensayo T4. Obsé ese que odas las idas calculadas son in e io es a la eal, a di e encia de lo que pasa con o os ensayos donde la p obe a sí llegó a ompe se y las idas es imadas son mayo es que las eales [23]. En es os o os ensayos los ni eles de ensiones e an mayo es que los aquí analizados. 105106107108 105 106 107 108 T3 T5 T2 T4 T1 Nº de ciclos es imado Nº de ciclos eales Fig. 9. Núme o de ciclos es imado. U ilizando cualquie a de las o as dos leyes de c ecimien o mos adas en la igu a 4 se llega a un núme o de ciclos in ini o. Pa a la ley ob enida del p og ama NASA/FLAGRO los alo es del ac o de in ensidad de ensiones ni siquie a llegan a alcanza el umb al de c ecimien o de g ie a como se puede 113 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA, Vol. 18, (2001) comp oba de las igu as 5 y 10. En es a úl ima se ep esen an los alo es del ango del ac o de in ensidad de ensiones calculado en cada ensayo según las ecuaciones (8) y (9). 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 T1 T2 T3 T4 T5 ∆ K (MPa m 0.5 ) P o undidad (mic as) Fig. 10. Fac o de in ensidad de ensiones. El o igen de es a disco dancia con los esul ados expe imen ales es que pa a g ie as co as exis e c ecimien o po debajo del umb al de c ecimien o de g ie as la gas. Es po es a azón po la que la ley de c ecimien o ob enida pa a g ie as la gas mos ada en la igu a 4, que no e leja es e aspec o, da ida in ini a pa a es os ensayos. Las o as dos leyes, sin emba go, (Pa is y la de g ie as la gas modi icada) dan c ecimien o po debajo de dicho umb al. El esul ado usando la ley de Pa is ya se ha mos ado en la igu a 9. El que odas las idas es imadas has a alcanza la longi ud inal medida sean meno es de las eales, quie e deci que o bien el mecanismo po el que la g ie a se pa a no es á aquí ecogida o además de es o la ley de Pa is sob ees ima la elocidad de c ecimien o en es os ensayos. La cu a pa a g ie as la gas que se ha modi icado pa a ene en cuen a la zona plás ica pa ece que ecoge es e compo amien o de g ie a pequeña. Pe o aplicando el modelo con es a ley de compo amien o el esul ado que se ob iene es que no hay ase de p opagación. La g ie a, según el modelo, c ece ía po mecanismos de iniciación. Es o implica que usando cualquie a de las dos cu as p esen adas con umb al de c ecimien o, el esul ado es el mismo pues o que no hay p opagación. Pa a cada uno de los cinco ensayos se calculó, usando an sólo la cu a iniciación, qué longi ud de g ie a debe ía encon a se en el momen o de pa a el ensayo. Es os esul ados se mues an en la abla 3. Se obse a que las longi udes es imadas son del mismo o den que las eales, aunque no p esen an la misma endencia. Es o úl imo puede se debido a que la cu a de iniciación no ecoge la in e acción de la g ie a con los lími es de g ano. Tabla 3. Longi udes de g ie a eal y es imada. Ensayo a eal (µm) aes (µm) T1 40 90 T2 65 76 T3 150 60 T4 110 77 T5 150 64 6. CONCLUSIONES. Se ha empleado un mé odo pa a calcula la ida a a iga po e ing combinando la iniciación con la p opagación de las g ie as, sin de ini a p io i has a dónde se conside a iniciación y has a dónde p opagación. Se ha aplicado en una se ie de ensayos en los que se habían iniciado g ie as pe o és as se pa a on y la p obe a no llegó a ompe se. En la ase de p opagación se han es udiado dis in as leyes de c ecimien o de g ie a. Con la ley de Pa is se puede es ima el núme o de ciclos necesa ios pa a que la g ie a c ezca has a la longi ud medida expe imen almen e. El núme o de ciclos ob enido es siemp e meno que el que se ob iene en los ensayos po que en la ealidad la g ie a se pa a an es de que se pa e el ensayo y es a ley no e leja la pa ada de las g ie as. U ilizando leyes de p opagación pa a g ie as la gas, con y sin inclui el e ec o de la plas icidad en la pun a de la g ie a, esul a que no hay ase de p opagación, solamen e iniciación. Calculando las longi udes de g ie a que debe ían encon a se pa a el núme o de ciclos ensayado, se ob ienen unas longi udes del mismo o den que las eales, pe o ampoco e lejan la pa ada de las g ie as. Se ha comp obado que pa a mejo a el modelo empleado cuando se aplica a ensayos con al o núme o de ciclos es necesa io inclui un c i e io pa a p edeci cuándo y dónde se pa a una g ie a. 7. REFERENCIAS. 1. Wa e house, R. B. and Lindley, T. C. (1994) ESIS Publica ion 18. MEP, London. 2. Ha ish G. y Fa is T.N., “Shell Modeling o F e ing in Ri e ed Lap Join s”, AIAA Jou nal, 36, 1087-1093, (1998). 3. 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