Cohomologie évanescente p-adique: calculs locaux

Cohomologie évanescente p-adique: calculs locaux. MICHEL GROS (*) - LUIS NARVÁEZ-MACARRO (**) 0. Introduction. Considérons les deux situations suivantes: (I) f : X -~ Spec (V) le morphisme structural d’un schéma X à réduction semi-stable sur V l’anneau des entiers d’une extension finie K de 4 de corps résiduel 1~ : la fibre spéciale Y est donc un diviseur à croisements normaux réduit de X et la fibre générique XK est lisse sur K (II) f : X~C une application holomorphe lisse en dehors de 0 telle que Y : = f -1 ( 0 ) soit un diviseur à croisements normaux réduit d’une variété analytique complexe (lisse et connexe) X (situation un peu moins générale que celle étudiée dans [20]). Dans la lignée des analogies entre les diverses théories cohomologiques dont on dispose dans chacune des situations (I) et (II), Hyodo et Kato (via l’utilisation de la géométrie logarithmique), s’inspirant des constructions de [20] afférentes à la situation (II) ont résolu [9] la conjecture de Fontaine-Jannsen suivante: dans la situation (I), si X/Tl est propre, chacun des groupes HDi R (XKIK), i ~ 0 peut être muni d’(au moins) une « (Ko , ç, N)-structure» Dü via un isomorphisme Di 0Ko K Si 2 (resp. désigne la log-structure canonique (resp. (*) Indirizzo dell’A.: IRMAR, UMR CNRS 6625, Université de Rennes I, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France. E-mail: [email protected] Membre du programme TMR de la CEE, réseau Arithmetic Algebraic Geometr~y. (**) Indirizzo dell’A: Departamento de Algebra, Facultad de Matemàticas, Universidad de Sevilla, Ap. 1160, 41012 Sevilla, Espagne. E-mail: [email protected] Supported by PB97-0723. 72 la log-structure associée à la pré-log-structure définie par N - W; 1 -0) sur la fibre spéciale Y de X (resp. sur W avec W l’anneau des vecteurs de Witt sur l~ ), le groupe Di s’identifie au i-ième groupe de cohomologie cristalline logarithmique H1ris«Y, 2)/(W, W(O» du log-schéma ( Y, 2) relativement à (W, tensorisé par Ko : = Frac ( W). Pour étudier ce groupe Di : = H~s ( ( Y, ~) /(W , Q9wKo, de nombreuses raisons suggèrent de décomposer le morphisme ( Y, ~) ~ ( W, ’~( o ) ) en ( Y, 2) -~ ( Y, W( 0 ) ) - (W, W( 0 ) ) (la log-structure W(0) sur Y désigne l’image inverse (par le morphisme structural) sur Y de W(0 )) et d’étudier la cohomologie relative (en un sens convenable) du premier morphisme, c’est cette cohomologie que nous appelons cohomologie évanescente p-adique. Elle admet une description semblable à celle des faisceaux (constructibles) de cycles évanescents i ; 0 de la théorie 1adique (1 # p) (cf. [10] pour un rapport sur la théorie) mais, bien que de nature «cristalline», la cohomologie évanescente p-adique ne rentre en fait pas (1) dans le cadre usuel des cristaux (2)@ (fussent-ils logarithmiques), il devient alors naturel de se demander si, comme la correspondance de Riemann-Hilbert permet de le réaliser (cf. [13], [11], [19], [15]) dans la situation (II), il n’existerait pas une manière de voir la cohomologie évanescente p-adique comme étant la cohomologie de De Rham d’un D+-module cohérent (3) convenable [16]. Ou encore, question proche, comment les HiDR(XK/K) s’interprêtent-ils dans le langage des les [16], [3]? L’objet de ce travail est d’amorcer l’examen de ces questions. Le résultat principal concernant la situation (I) est la conjonction de 1.3.1 (justifiant l’appellation cohomologie évanescente) et de 2.4.1, 2.4.2 présentant un petit calcul illustrant sur un exemple les liens qui devraient exister entre cette cohomologie évanescente et certains Qt-Modules, dont on espère une construction analogue à ceux relevants de la situation (II). Concernant cette dernière, nous montrons comment obtenir une présentation explicite (cf. 2.3.4) du DX-Module calculant les cycles évanescents nous servant de guide dans l’étude de la situation (I). Dans le premier chapitre, nous définissons, dans une situation «loca- (1) C’est la contrepartie du fait que les faisceaux ne sont pas lisses en général mais seulement constructibles. (2) Objet correspondant approximativement dans le contexte cristallin aux faisceaux t-adiques lisses. (3) Confirmant l’idée qu’une catégorie de ceux-ci est l’analogue cherché de la catégorie des faisceaux t-adiques constructibles. 73 le» très générale, un objet OYeZ analogue au de la théorie 1adique et décrivons la structure des faisceaux de cohomologie. Dans le second chapitre, nous faisons quelques remarques et conjectures sur la réinterprétation possible de cet objet comme complexe de De Rham d’un (Démodule pour 6D~ un anneau d’opérateurs différentiels d’ordre infini convenable [16] et étudions le premier cas non trivial le plus simple, après avoir explicité certains résultats concernant la situation (II). Remerciements. Les auteurs remercient l’IAS (Princeton) dont l’hospitalité a rendu possible leur collaboration. Notations. Pour Z un schéma défini sur l’anneau des entiers d’une extension finie de 4, on notera Z le schéma formel obtenu par complétion le long de la fibre spéciale de Z. Plan I. Cohomologie évanescente p-adique 1. Structures logarithmiques 2. Définition et description 3. Description des fibres II. Lien avec les D+-Modules 1. Rappels de la théories complexe 2. La situation p-adique: conjectures 3. La situation complexe: le cas «standard» 4. La situation p-adique: un exemple en dimension 1. 1. Cohomologie évanescente p-adique. Les résultats de ce chapitre sont une variante d’idées présentées dans [7]. 1.1. Str2cctures logarithmiques. Comme cela a déjà été le cas dans l’introduction, nous utiliserons librement le langage et les techniques de la géométrie logarithmique pour lesquels nous renvoyons à [12]. Une convention usuelle que nous utiliserons est de donner une log-structure (fine) par la donnée de la pré-logstructure dont elle est la log-structure associée, à savoir une flèche de monoïdes a : ~ ~ OX définie par l’image de générateurs de C. Le com- 74 plexe de De Rham relatif d’un morphisme de log-schémas f : (X, ( Y, N) sera noté DR (X/Y)(log 1.2. Définition et description. B On se place donc dans la situation (I) de l’introduction et l’on veut définir une cohomologie «relative» p-adique locale pour la flèche ( Y, 2) - ( Y, ’W(O)); comme pour les cohomologies p-adiques d’un k-schéma (au sens usuel, et de type fini pour simplifier) Y, il y a a priori trois définitions possibles (4) ayant chacune leur intérêt qui, modulo des hypothèses restrictives sur Y, fournissent des théories satisfaisantes et compatibles entre elles. Pour des raisons techniques et pour être explicite, on va s’intéresser à une théorie du type «cohomologie rigide» dans laquelle figure des conditions de surconvergence. Supposons que la fibre spéciale Y de X soit somme de d diviseurs Yj , 1 ~ j ~ d lisses sur k se coupant transversalement: Y : _ É I§ et même, 1 j d plus précisément, qu’il existe un morphisme étale X - Spec ... , avec une uniformisante locale. On se donne également une immersion fermée de Y dans un W-schéma (5) lisse Z muni d’un relèvement de frobenius F (6) ainsi que des sections £.«T(Z, Oz), d telles que la réduction modulo p de f définisse Yj ( 1 ~ j ~ d). De plus, si l’on munit Y de la log-structure (7) et Z de la log-structure ’~( o ), on a une immersion fermée exacte ( Y, ~(0))2013>(~, On va maintenant construire un Z-schéma log-lisse Z ’ et une immersion fermée exacte ( Y, ~) -~ (Z ’ , ~’ ) compatible (via les projections naturelles) avec la précédente. On prend pour cela Z’ : = Z sd ]/(s1... sd ) ) et l’immersion fermée s’obtient par la propriété universelle du produit cartésien à partir de l’immersion fermée (4) A savoir, la cohomologie cristalline, la cohomologie convergente ou naïve (éventuellement construite à l’aide des sites cristallins de niveau m ~ 0), la cohomologie rigide; cf. [2]. (5) On pourrait, tant que l’on ignore les questions de relèvement du frobenius, envisager de plonger dans un OK,-schéma lisse avec OK’ l’anneau des entiers d’une extension K’ de Ko contenu dans K. (6) L’introduction de F n’est mentionné que pour qui souhaiterait préciser l’action de celui-ci sur ci-dessous; ce que nous omettrons dans ce travail. (7) Par analogie avec les notations de l’introduction, nous notons ici la structure logarithimique associée à la structure pré-logarithmique N-k; 1 ~0. 75 de Y dans Z et de la flèche YW[s1, ... , sd]/(s1 ... sd) définie en envoyant Sj sur l’image de fj dans Oy (1 j d). On peut étendre le relèvement de frobenius F de Z à ce schéma en posant Fsj : = sjl. La log-structure £’ sur Z’ est obtenue par image inverse de la log-structure canonique C sur définie par la flèche qui envoie ( o , ... , 0 , 1, 0 , ... , 0 ) (avec 1 à la place j) sur s; . De manière équivalente, (Z ’ , if’) : = (Z, B~(0)) (Spec ... , sd ] /( sl ... C) avec pour morphisme structural (Spec (Wtsl, ... , sd ] /( s1... sd )), e) - ( W , le morphisme naturel et la flèche induite par le plongement diagonal de N dans Finalement, on dispose d’un diagramme commutatif entre log-schémas avec f log-lisse. REMARQUES 1.2.1. (i) On pourrait faire des constructions similaires en prenant la structure triviale au lieu de la structure x( o ), cela conduirait au (2) ci-dessous à considérer des différentielles logarithmiques absolues au lieu de différentielles logarithmiques relatives. (ii) N’importe quel schéma (Z’, 2’) log-lisse au-dessus de (Z, réalisant un diagramme commutatif comme en (1) conduirait en fait à un résultat analogue dans le calcul concernant ci-dessous. On s’intéresse (cf. [1] et [2] pour le formalisme général) alors au tube (cf. [2], 1.1) ] Y[2 (resp. ] Y[Z , ) de Y dans Z (resp. Z ’ ). C’est un ouvert de l’espace analytique 2" (resp. Z’an ) associé (par Raynaud) à Z (resp. Z’ ) qui lui même est un ouvert de l’espace analytique (resp. associé à la fibre générique Zxo (resp. ZK.) du schéma Z (resp. Z ’ ). On a la notion de voisinage strict (cf. [2], 1.2) ~ (resp. Vi) de 1 Y[,2 (resp. ] Y[Z , ) dans Zx (resp. ZT) et de système fondamental (V;’);’eA (resp. (Vi);’eA) de tels voisinages. Par le procédé usuel de passage à la limite inductive du faisceau des fonctions sur de tels voisinages, cela permet de définir le faisceau (resp. Ofez’) des fonctions surconvergentes sur ] Y[z (resp. ] Y[Z , ). De plus, le diagramme commutatif (1) induit un morphisme naturel ] ~’[z ~ 1 ~ ] Y[z et l’on peut s’arranger pour que le morphisme qu’induit f (et 76 que nous continuerons de noter f ) sur les espaces analytiques associés envoie le système ( V~, )~, E ~ sur le système Si maintenant l’on veut tenir compte des structures logarithmiques, on voit que la log-structure W(0) sur Z (resp. £’ sur Z ’ ) induit, en un sens évident, une logstructure (g) notée de manière similaire sur le système ( V~, )~, E ~ (resp. Finalement, on peut considérer le complexe de De Rham logarithmique DR. W( 0» (resp. DR ~’ ) ), ce qui permet de former le complexe de De Rham relatif de la façon usuelle Comme on va le justifier dans un instant, il est commode d’utiliser la notation (inspirée par le formalisme l-adique) avec sp : le morphisme de spécialisation (Zo la fibre spéciale de Z). C’est un objet dans la catégorie dérivée des faisceaux de Z-modules qui est supporté par Y. 1.3. Description des fibres. Pour décrire la cohomologie de on va supposer que l’on est dans la situation où l’on dispose d’un diagramme commutatif dont les flèches verticales sont étales. Dans la suite, on notera encore Y un ouvert de Y (que l’on supposera toujours contenir le lieu y ou chacune des images des ti s’annule: Y a «d branches»). Pour i ~ 0, on pose la limite inductive étant prise - suivant les voisinages ouverts de Y comme ci-dessus. (8) La définition d’un tel objet est la même que sur un schéma. On ne prétend pas ici savoir développer une théorie de log-structures et de leurs propriétés pour des espaces analytiques arbitraires aussi générale que celle dont on dispose pour les schémas. 77 PROPOSITION 1.3.1. On a des isomorphismes canoniques le plongement diagonal ou encore, plus explicitement, s’identifie au engendré par les dsllsl, ... , dsd /sd soumis à la relation ds1 /sl + ... + dsd /sd = 0 (iii) pour i ~ 1 (le produit extérieur est pris sur L’analogie avec la description des fibres justifie ainsi la notation et le titre de l’article. DÉMONSTRATION. Examinons tout d’abord la structure des différents espaces analytiques intervenant dans la définition de R1jJ rig OYeZ. Soient f E T(Z, Oz) (par exemple l’image de un élément dont la réduction modulo p sera notée j’; définit Yj. Le tube ] Y[z est (cf. [2], prop. 1.1.1 ) l’ouvert de Z an défini 1 11 (avec z : _ (2:1, ... , zn ) des coordonnées, par exemple zj l’image de Le est l’ouvert de Z ’ an défini par ] Y[Z , _ ~ ( z , sl , ... , sd ) E Pour comprendre la géométrie du induit par f, on remarque que l’on peut recouvrir ]Y[Z par les avec F(~ pour la réunion disjointe des sous-schémas sur lesquels s’annulent 1 des j’j (1 ~ i ~ d) dans Oy et où les (d - 1) restants sont inversibles (par exemple correspond au sous-schéma fermé de Y sur lequel chacun des fi, 1 ~ i ~ d s’annule). Oubliant un instant que l’on doit prendre une réunion disjointe (le tube de la réunion disjointe sera la réunion disjointe des tubes), on s’intéresse à la composante de définie par l’annulation de chacun des f 1, - - - , f (la géométrie au-dessus des autres composantes est la même). En d’autres termes, on s’intéresse au sous-schéma de Y défini par 0 > (l~~d). Le cas le plus simple à décrire est le cas 1 = d, on a D’autre part, on a nécessairement 1 SI 1 ~ 1, ... , ~ 1 d 1 ~ 1 (puisque l’on s’intéresse à un sous-espace de Z’an ) et, dans f -1 (~ l’on ne peut avoir aucune des égalités 1 SI 1 78 = 1, ... , ~ 1 Sd = 1 car cela contredirait (~) au moins une des inégalités / SI 1 1, ..., 1 Sd - fd (Z) 1 1}. Ainsi, on a chacune des inégalités 1 Si 1 i , ... , ~ 1 1: l’espace (] Y(d) [z ) est intersection de d disques ouverts de rayon 1 se coupant transversalement. -- Le cas 1 d se traite de façon analogue. On a ] Y~L~ [Z = { z e te que f -1 (] Y~l> [z ) est le produit de 1 disques ouverts de rayon 1 se coupant transversalement (c’est ce que l’on déduit du même argument que précédemment) et d’un produit de (d - 1) couronnes (chacune d’épaisseur nulle) définie par |sj 1 = 1 pour j = 1 + 1, ... , d (en effet, si l’on avait 1 Sj 1 1, on aurait Sj 1 = 1, ce qui est impossible Les voisinages stricts de ces tubes dans ZKo (resp. Z’xo) induisent (dans les fibres de f ) des voisinages stricts du produit de 1 disques par (d - 1) couronnes que l’on vient de rencontrer. L’examen des structures logarithmiques sur ces voisinages stricts fournit: pour les couronnes, la log structure triviale et pour une intersection transverse 1 de 1 disques, on trouve que la log structure associée est donnée par N~2013~,N~(0, ... , 0, 1, 0, ... , 0 ) -~ 0 . On peut dès à présent remarquer que la cohomologie (de De Rham de la limite inductive d’un système de tels voisinages stricts) d’un disque ouvert de rayon 1 avec singularité à l’origine est la même que celle du groupe multiplicatif · On peut maintenant (voyant toute la situation géométrique comme étant plongée dans Z’xo munie des coordonnées ci-dessus z : _ (zi, ... , zn ) et s : (sol, ... , sd ) ) écrire un élément de T( Y, sp* f* comme une série - i eN ) avec E F( Y, pour tout i . De plus, pour z fixé appartenant à un voisinage strict suffisamment petit de ] Y[Z, la série surconverge dans la fibre de f que l’on vient de décrire (disques et couronnes). Ceci permet aussi de décrire un peu plus explicitement un élément de T(Y, sp*f*DR8(YcZ’/YcZ)(log 2’/W(0»t). Une forme de degré m est le produit extérieur de m formes de degré 1, . Celle-ci s’écrit ~ (les différentielles ... , dsd/sd étant soumises à la relation ds1/s1 + ... + une série comme ci-dessus. Finalement, la différentielle de ce complexe est T(Y, (9) Rappelons que 1 x 1 |y| 1 implique 1 x - yi = 1 yi. . 79 aire et l’on est ramené à l’étude du complexe de Koszul de (SP* )y avec comme opérateurs si 8/8si - sz 8/8sz (i = 2, ... , d) et la proposition se déduit de l’étude géométrique de f faite ci-dessus (fibration en disques et couronnes). REMARQUES 1.3.2. (i) L’objet Reig OYeZ vérifie donc une propriété du type «perversité» comme R1pQl. (ii) Le lecteur est invité à remplacer partout ( W, par la log structure canonique ( V, W) (avec log structure canonique sur ~ et à utiliser, à la place de (Z, ’~( o )), le ( V, log lisse (Z X X Spec ( W~ Spec ( T~, V». Il constatera alors (après avoir trouvé le Z" 1 Z log lisse approprié permettant de construire l’analogue du diagramme (1)) que l’on obtient mutatis mutandis la même proposition: c’est une des raisons essentielles «expliquant», de ce point de vue, l’isomorphisme Di0KoK = HbR(XKIK). (iii) Lorsque l’on fait la même construction que précédemment en oubliant les conditions de surconvergence, on obtient, à la place (1°) de l’objet un objet (qui contrairement à ce qui est affirmé dans [7] (non publié) n’a pas de description locale comme ci-dessus). Quitte à introduire des «structures de niveau m» dans la théorie logcristalline et à utiliser des schémas logarithmiques simpliciaux comme dans [9], on peut (en passant à la limite suivant rn) définir R’l/JconvOYeZ purement en terme d’image directe supérieure cristalline convergente de manière plus générale que ci-dessus. Le formalisme général des topos fournit alors une suite spectrale des «cycles évanescents» (11) (c’est la suite spectrale de Leray pour le composé (Y, £) - (Y, W(0)) - (W, que l’on pourrait aussi considérer en cohomologie logcristalline) Même pour Y/k propre, hormis lorsque i = 0, auquel cas on peut vérifier que on ne dispose pas pour l’instant de résultat indiquant comment calculer («à la De Rham»?) les E2’,j: ce pro- (10) C’est le même type de différence qu’il existe entre cohomologie rigide et cohomologie convergente. (11) Lorsque est projective, cette suite spectrale devrait dégénérer en E3, comme son analogue sur C et la filtration aboutissement s’identifier à la filtration par les noyaux des itérés de N. 86 On remarque de plus que M est «auto-dual» car le transposé de ô est égal à - 3 . Rappelons pour terminer que dans cette situation géométrique, on a R 0 Y (le faisceau constant C porté par Y) et que R yC est concentré en 0 E Y et de fibre C en ce point, les autres (i ~ 0, 1 ) sont nuls. 2.4. La situation p-adique: un en dimension 1. Les faisceaux de cohomologie locale p-adique vus comme D+-Modules sont de présentation finie et ont, mutatis mutandis, la «même» présentation que dans le cas complexe (cf. [3], 4.2, 4.3, [16], 4.5, 4.5.1, 4.5.2); on peut donc espérer que, dans le cadre (I) de l’introduction, une fois :J1Z construit (pour attaquer les conjectures ci-dessus), ce D+-Module ait une présentation explicite formellement analogue à celle donnée dans la proposition 2.3.4. Nous allons discuter sur l’exemple X := Spec (A) avec supposé plongé de manière évidente dans Z : _ A% := Spec (B) avec B : := l’existence d’un analogue de 2.3.5. Soit D t l’anneau d’opérateurs différentiels considéré dans [16]. On peut décrire cet anneau comme étant Dut un multi-indice, les dérivations à puissances divisées usuelles de EGA 4, ie. avec bien sûr ki ! . =3~; i =1, 2 ). On s’intéresse donc à la suite avec M défini (15) comme le conoyau de la flèche a (et comme ci-dessus a(P) : = P( - 3 , f ) et fl(Pi , P2 ) : = Pif + P2 ô ). On remarquera que si l’on inverse f, la flèche fi est trivialement surjective: en ce sens, M est à support dans Y. PROPOSITION 2.4.1. La suite (17) est exacte. e5) Nous laissons de côté dans cet article la question de savoir si l’on peut développer une construction directe de 3K (= via une théorie de la V-filtration dans le cadre des D+Z+Q-Modules) dont la suite exacte (17) serait une présentation. 87 DÉMONSTRATION. Seule l’égalité = Im (a) pose problème. L’argument invoqué pour prouver la proposition 2.3.4 ne s’adapte pas tel quel (car il fait intervenir la filtration par l’ordre d’un opérateur différentiel dont on ne dispose évidemment pas dans le cas présent). on peut encore formellement écrire 1 et l’inégalité montre que cette réécriture préserve la propriété de surconvergence des coefficients (16). Grâce à cette écriture de P, il devient alors clair que l’on peut diviser formellement celui-ci · de telle sorte que, dans l’écriture de j tous les monômes apparraissant avec un coefficient non nul vérifient m1 = 0 ou m2 = 0. De plus, la condition de surconvergence des coefficients est encore valide pour Q et R . On a donc R = R ’ + R " avec Soit (Pl, P2 ) E Ker (B); on a bien sûr (P/, P’2) := (Pl , P2 ) - - Q( - 0, Ker et l’on aura terminé si l’on prouve que (P1, P’2) = =(0, 0). On a donc 0 = P1 f + Pi 0 = (R ’ + R ") ô . Dans le développement de cette dernière expression, intéressons-nous d’abord aux «monômes» dans lesquels x2 n’apparait pas: il est clair, compte tenu de la forme e6) Plus généralement, on peut montrer le caractère intrinsèque de ce type d’anneaux (complétions faibles d’anneaux non commutatifs): l’ordre des variables («différentielles» ou «fonctions») est indifférent, cf. [18]. 88 de R ’ et de R ", qu’ils proviennent tous de R ’ xl al . On a et ceci doit nécessairement être égal à 0. La présence simultanée de 1 et de xi 1 (resp. de L1 ’!! + (1, 0) et de L1 ’!!) dans cette expression implique immédiatement que l’on a b!!,(o, 0) ~ 0 pour tout n (resp. b(o, n2), (ml, 0) = 0 pour tout n2 ). Utilisant ensuite que on voit de proche en proche que tous les sont nuls: d’où R’ = 0. Considérant maintenant les monômes ne contenant pas les mêmes arguments s’appliquent et conduisent à R " = 0 . Reste donc finalement Pi’f = 0 et facilement, par suite P1 = 0 . D’où la proposition. Plus généralement, l’analogue p-adique de la proposition 2.3.4 en toute dimension devrait être vraie. On remarquera ici aussi «l’autodualité» de M si bien que l’on peut substituer raisonnablement à l’étude de DR (M) l’étude du complexe Sol (M) des solutions de M. Si l’on pose B¿ = Wfxl, © K (K = Ko ici), on peut le calculer grâce à la présentation ci-dessus et l’on obtient le complexe avec dO(a) = (fa, et a2) _ - ô(al) + fa2. Dans [9], les groupes HDR (Xx/K) apparaissent comme groupes de cohomologie cristalline logarithmique (au moins pour K «peu» ramifié) de ( Y, 2) relativement à (OK, can ) et, pour des calculs locaux plus complets, il serait profitable d’en définir une variante «locale» en introduisant des conditions de surconvergence appropriées. Toutefois, comme on est dans un cadre très favorable, on va vérifier la conjecture 2.2.2 en les termes en lesquels elle a été formulée. COROLLAIRE 2.4.2. On a ( i ) HDR (XKIK) = 0 pour i ~ 0 , 1 (ii) Les groupes HDR (XKIK) et H ° (,Sol (M) ) : = Coker d 1 s’identi- 89 fient tous les deux K; les groupes HDR (XK/K) et = Ker d’/Im d ° s’identifient tous les deux K. DÉMONSTRATION. Comme XK s’identifie au groupe multiplicatif, on a immédiatement Notons au passage que HDR (Xx/K) (resp. HDR(XKIK» apparait comme 0-ième groupe de cohomologie du module (resp. à connexion triviale, en accord avec ce que donnerait une suite spectrale des cycles évanescents comme en (5) dans le cadre surconvergent. Passons au calcul de la cohomologie du complexe Sol (M). Elle est bien nulle en degré # 0, 1, car clairement d ° ( a ) = 0 entraîne a = 0. Pour Coker on remarque que tout peut s’écrire 0 ) E K, i = 1, 2 . Compte tenu de la surjectivité de ai sur on voit que la classe de x2 ) modulo l’image de d ~ 1 est égale à 0 ) E K; d’où H0(Sol(M)) = K. Si maintenant (al’ a,2 ) e Ker dl , il est immédiat que a2 = 0 car à annule les termes en x’x’ et que l’on doit donc avoir Comme a1 s’écrit alors i > 0 on a donc bien :=Ker ~ ~ " Il existe bien un D t -module cohérent «supporté par Y» dont le complexe des solutions a même cohomologie que la fibre générique XK. REMARQUE 2.4.3. Nous reviendrons ultérieurement, dans une situation plus générale, sur la construction de la flèche (variante de [13], (4.3.2)) reliant HDR(XKIK) et la cohomologie de De Rham (ou du complexe des solutions) de 3ll. RÉFÉRENCES [1] P. BERTHELOT, Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique p, dans «Introduction aux cohomologies p-adiques», Bull. Soc. Math. Fr., Mémoire n. 23 (1986). 90 [2] P. BERTHELOT, Cohomologie rigide et cohomologie rigide à support propre (Première Partie), Prépublication IRMAR 96-03 (1996). [3] P. BERTHELOT, Cohomologie rigide et théorie des D~-Modules, Lecture Notes in Maths., 1454 (1990), pp. 80-124. [4] P. 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