La fisuración discreta: una alternativa a los modelos análisis no-lineal de estructuras de hormigón

Revista Internacionai de Métodos Numéricos para Cáiculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 5, S, 379-394( 1989) LA FISURACION DISCRETA: UNA ALTERNATIVA A LOS MODELOS DE ANALISIS NO-LINEAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON MIGUEL ANGEL FERNANDEZ PRADA Y PEDRO MIGUEL SOSA E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos Dpto. de Ingenierzá de la Construcción Universidad Politécnica de Valencia Camino de Vera s/n 46071 Valencia RESUMEN En este trabajo se presenta un modelo de elementos finitos con fisuración discreta para el análisis no lineal de estructuras planas de hormigón cargadas en su plano. Mediante la utilización de cinco tipos de elementos finitos diferentes se incluyen en el análisis, no sólo el comportamiento no lineal del acero y el hormigón, sino también los efectos de la adherencia, encajamiento de áridos y pasador de las armaduras que cruzan una fisura. Se ha desarrollado un algoritmo que resuelve de manera automática los problemas derivados de la regeneración de la mda propios de la técnica de la fisuración discreta. Por último, algunos de los resultados obtenidos con el modelo son comparados con los obtenidos experimentalmente en vigas con roturas por cortante y flexión. SUMMARY This paper presents a discrete-crack finite element model for the nonlinear analysis of concrete structures under plane-stress conditions. The model incorporates five types of finite elements in order to take into account the different mechanisms of stress transmission in concrete structures: concrete and steel finite elements, and special finite elements for the modelling of bond, aggregate interlock and dowel-action. The modifications of the finite element mesh, typical of the discret-crack approach, are carried out using a fully automatic strategy. Finally, the model is applied to the analysis of beams failing in flexure and in shear and the analytical predictions compared with the experimental data. INTRODUCCION La aplicación del método de los elementos finitos al cálculo de estructuras, Y en concreto a las estructuras de hormigón, ha dado lugar a la aparición de numerosos modelos que, incidiendo en unos u otros aspectos, han sido desarrollados a lo largo de la Última mitad de siglo por numerosos investigadores. Recibido: Octubre 1988 OUniversitat Politkcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-131 6 380 M.A. FERNANDEZ PRADA Y P. MIGUEL SOSA Desde hace algunos años en el Grupo de Investigación de Hormigón del Departamento de Ingeniería de la Construcción de la Universidad Politécnica de Valencia se viene desarrollando una línea de investigación de análisis de estructuras de hormigón mediante la utilización del método de los elementos finitos. Como primer resultado de la línea de investigación se incluye el programa MEFFD' (Modelo de Elementos Finitos con Fisuración Discreta) que se presenta en este artículo. El ámbito de aplicación del modelo es el de las estructuras planas cargadas en su plano (vigas, vigas de gran canto ...) incluyendo en el análisis mecanismos de transmisión de esfuerzos que, siendo bien conocidos, son habitualmente despreciados. Estos son: la adherencia entre el hormigón y las armaduras, no considerada perfecta sino con la posibilidad de producirse desplazamientos relativos entre ambos materiales; y, sobre todo, los efectos pasador de las armaduras y de encajamiento de áridos. El modelo emplea además la técnica denominada de fisuración discreta para representar la fisuración en el hormigón. La técnica de la fisuración discreta consiste en representar la fisuración mediante la incorporación de discontinuidades en la malla de elementos finitos allí donde las fisuras aparecen. Estas discontinuidades se obtienen duplicando los nodos conforme la fisuración va progresando. El resultado de la introducción de las fisuras de esta manera es que, conforme la fisuración va progresando, la malla que representa la estructura fisurada dista de parecerse a la original en mayor o menor medida, dependiendo de la complejidad de la red de fisuración, debido a la aparición de los nuevos nodos y elementos que van conformando dicha estructura fisurada. Este hecho plantea uno de los principales inconvenientes derivados del uso de la técnica de la fisuración discreta, puesto que es preciso redefinir la malla con la aparición de cada nuevo tramo de fisura, al mismo tiempo que se hace necesario llevar a cabo una puesta al día de las variables de estado de cada uno de los elementos ya existentes y de los que se van generando al producirse las fisuras. Históricamente se han adoptado diferentes soluciones para resolver este problema, desde la más simple de predefinir las fisuras, las cuales no se modifican durante todo el proceso de análisisa, hasta soluciones con mayor o menor grado de automatismo en la regeneración de la malla3*'. En este trabajo se ha puesto especial énfasis en diseñar un proceso absolutamente automático en el proceso de decisión de la propagación o iniciación de las fisuras y en la posterior readaptación de la malla a las nuevas condiciones estructurales resultantes de la aparición de las fisuras. DESCRIPCION DE LOS ELEMENTOS FINITOS Y ECUACIONES CONSTITUTIVAS Para representar los diferentes mecanismos y efectos a través de los cuales se transmiten los esfuerzos en una estructura de hormigón fisurada (Figura 1) (hormigón, acero, adherencia, encajarniento y efecto pasador) se han utilizado cinco tipos de elementos finitos que brevemente se describen a continuación, junto con las ecuaciones constitutivas empleadas. Xg, Yg ejes de coordenadas globales xl, yi ejes de coordenadas locales Figura 1. Elementos finitos utilizados en el modelo. (a) Disposición general. (b) E.F. de hormigón. (c) E.F. de acero. (d) E.F. de adherencia. (e) E.F. de encajamiento. (f) E.F. de efecto pasador. Hormigón Para representar el hormigón se utiliza el elemento finito triangular de deformación constante, ampliamente conocido y utilizado, cuyas funciones de forma pueden encontrarse en cualquier texto general de elementos finitos5. La ecuación constitutiva que define la relación entre las tensiones y las deformaciones es la propuesta por Kostovos6~' para comportamiento triaxial. En MEFFD se impone la condición de tensión o deformación plana, según el caso. Esta formulación presenta la ventaja de que para su total definición, tanto en lo que se refiere 382 M.A. FERNANDEZ PRADA Y P. MIGUEL SOSA a la relación tensión-deformación propiamente dicha, como a la determinación de la rotura del material, únicamente es preciso conocer la resistencia en probeta cilíndrica del hormigón empleado. Acero Para representar la armadura se utiliza el elemento hito lineal de deformación constante, cuyo grado de interpolación es del mismo orden que el del elemento finito utilizado para representar al hormigón. La ecuación constitutiva utilizada es, la también ampliamente difundida, ecuación bilineal. Cualquier relación tensión-deformación de otro tipo puede ser utilizada sin dificultad. Adherencia Para representar la dherencia entre la armadura y el hormigón que le rodea se utiliza un elemento finito de cuatro nodos, dos correspondientes al acero y dos d hormigón, cuya función de forma interpola Linealmente el deslizamiento relativo entre los nodos del acero (ul, y u2,) y los dos nodos del hormigón (ul, y u2,) en la dirección del elemento (Figura 2.a): S = (1 - x/L) (211, - ul,) + x/L (u2, - 212,) do.nde L es la longitud del elemento. La ecuación constitutiva (Figura 2.b) relaciona dicho deslizamiento relativo con la tensión tangencial T que se desarrolla entre el acero y el hormigón mediante la expresión: T p-K-p2 -- - S < S, lt(k-2)ep T =7b, S, 5 S < su T =O S 2 su donde p = S/S, y K = Ko.S,/%. Esta ecuación constitutiva queda dehida con la pendiente inicial (Ko), el deslizamiento correspondiente a la máxima tensión tangencial (S,), el deslizamiento Último (S,) y el diámetro de la armadura (4). La máxima tensión tangencial (%) puede obtenerse en función del diámetro de la armadura a partir de las expresiones: 7b, =115 4<8 % =130 - 1.9 4 854532 7b, =69 32 < 4 con 4 en milímetros y 7b, en ~~/cm~. LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON 383 (B) Figura 2. (a) Interpolación de los deslizamientos. (b) Ecuación constitutiva. Encajamiento El efecto del encajamiento de áridos entre caras de fisura se introduce mediante la consideración de un elemento finito lineal de cuatro nodos (dos a cada lado de la fisura) con interpolación lineal de los movimientos relativos entre caras de fisura (abertura y deslizamiento) de forma que conocidos los movimientos (ui, vi) y (uk, vk) de los dos nodos de un labio de fisura y los movimientos (uj, vj) y (ul, vl) de los dos nodos del otro lado de la fisura, la abertura w y el deslizamiento S entre caras de fisura viene dado por (Figura 3.a): w =(lx/L) (vk - vi) + x/L. (VI - vj) = (1 - xIL) Av1 + x/L. Av2 S =(lx/L) - (UK - U;) + x/L (u1 - uj) = (1 - z/L) Aul + x/L Au2 La ecuación constitutiva empleada es la propuesta por Walravene (Figura 3.b) que relaciona las tensiones tangencial y normal entre caras de fisura con los movimientos relativos de las mismas y para cuya definición se utiliza únicamente la resistencia del hormigón. Este elemento permite la inclusión de efectos derivados de los conceptos de mecánica de fractura, de acuerdo con el modelo de la fisura ficticia desarrollado por Hillerborgs. Y 14 X O 1, k J. 1 U L 1 1 h.2 l av I I t X J(x) J - (A) (B) Figura 3. Elemento finito de encajamiento: (a) Interpolación de los movimientos entre caras de fisura. (b) Ecuación constitutiva. Efecto pasador El efecto pasador de las armaduras que atraviesan una fisura se tiene en cuenta mediante la inclusión de un elemento finito adimensional que une los nodos que quedan a uno y otro lado de la fisura comunes con el hormigón. A este elemento se le dota de rigidez en la dirección normal a las armaduras. La diferencia de los movimientos entre dichos dos nodos en la dirección normal a la armadura permite conocer el deslizamiento relativo a partir del cual se puede obtener el esfuerzo de pasador desarrollado por las armaduras. La ecuación que relaciona el esfuerzo de pasador con el deslizamiento relativo entre caras de fisuras ha sido tomada del trabajo de Millard y Jonhsonl'. CRITERIO DE FISURACION El criterio establecido para la determinación del nodo fisurado, es decir, del nodo donde comienza una nueva fisura o a partir del cual se propaga una fisura ya existente, se basa en criterios tensionales. El proceso general de elección del nodo fisurado (Figura 4) comienza con la obtención del equilibrio de la estructura para el nivel de carga dado, para lo que se emplea un método iterativo de Newton-Raphson. Una vez obtenida una situación de equilibrio, para el nivel de carga dado, se obtiene el estado tensional existente en todos los nodos de la estructura de acuerdo con los criterios de interpolación de Loov". Cuando las tensiones alcanzadas son tales que superan la envolvente de rotura adoptada7, se considera que dicho nodo es potencialmente fisurable, sin embargo, la decisión final acerca del nodo a fisurar no se establece antes de chequear todos los nodos, ya que es posible que tal condición se supere en más de un nodo para un LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON 385 T;;M~% / ESCALON DE CARGA / Figura 4. Esquema general del proceso. determinado nivel de carga. En este caso se adopta como nodo fisurado aquel cuya tracción sea mayor de entre todos los que superan el criterio de rotura. A1 mismo tiempo, la dirección normal a la dirección de la máxima tracción del nodo fisurado determina el ángulo de avance de la fisura que se generará a partir de ese nodo. Una vez deñnido el nodo fisurado y el ángulo de avance de la fisura, se pasa a redeñnir la malla y a comprobar el equilibrio en la nueva situación resultante, sin aumentar el nivel de carga. REORGANIZACION DE LA MALLA Para lograr el objetivo planteado de obtener un proceso absolutamente automático durante la regeneración de la malla se opera con una sistemática que permite contemplar la gran variedad de casos posibles que pueden presentarse. Esta sistemática consta de una serie de pasos que se describen a continuación. Partiendo del conocimiento del nodo fisurado y la dirección de avance de la fisura, el primer problema que se plantea es la elección del elemento a través del cual la fisura va a propagarse, ya que, en general, existen dos elementos atravesados por la recta que define la dirección del avance. El criterio seguido es el de escoger como elemento fisurado aquel que, atravesado por la dirección de la fisura, genera un nuevo tramo de fisura que forma con el tramo ya existente un ángulo mayor que ~/2, esto es, se desecha el elemento a través del cual la fisura "avanzaría hacia atrás" (Figura 5). Si el nodo fisurado no es cabeza de fisura de ninguna fisura anterior (p.e. un nodo de borde o un nodo interior) resulta irrelevante la decisión acerca de la elección del elemento fisurado. Una vez definido el elemento fisurado se considera que el nuevo tramo de fisura se propaga hasta encontrarse con el lado opuesto al nodo fisurado, dividiendo al elemento en dos. Sin embargo, esto plantea una nueva dificultad, ya que en muchas ocasiones el nuevo tramo de fisura se separa muy poco de algunos de los lados del triángulo y, al desdoblarse éste en dos, uno de ellos resulta excesivamente alargado, proporcionando M.A. FERNANDEZ PRADA Y P. MIGUEL SOSA direccih de fisura elemento fisura revia desechado Figura 5. Elección del elemento fisurado. una malla muy descompensada e introduciendo un factor de imprecisión en el posterior análisis. La solución más simple consiste en definir un ángulo máximo que medido a partir del lado del triángulo, permita definir si el nuevo tramo de fisura se separa más o menos que él a partir de dicho lado. Si el nuevo tramo de fisura forma con el lado del triángulo un ángulo mayos que el ángulo máximo se procede a definir el nuevo tramo a través del elemento (Figura 6a), en caso contrario se hace coincidir el nuevo tramo con el lado del triángulo (Figura 6c). Esta solución entra en conflicto con la idea de permitir la máxima flexibilidad en la dirección de avance de la fisura, por lo cual, caso de producirse la segunda de las posibilidades citadas anteriormente, se ha optado por incluir una tercera alternativa consistente en modificar la posición del lado del triángulo para hacerlo coincidir con el tramo de fisura (Figura 6b). Siempre que sea posible (cuando la fisura se aparte poco del lado del triángulo) el modelo escoge esta posibilidad, reservando la alternativa de desplazar el tramo de fisura para hacerlo coincidir con el lado para las ocasiones en que sea estrictamente preciso, las cuales se producen cuando el nodo se deñne como no-desplazable, tal es el caso de de nodos de borde o de aquellos por donde pasa una armadura. Durante los procesos descritos hasta este momento todavía no se ha llegado a efectuar ninguna modificación en la malla, tan solo se ha determinado el lugar en el que el nuevo tramo de fisura se va a incluir dentro de la malla de elementos finitos existente. El paso siguiente, que se ha denominado proceso de generación de nodo, consiste en reconocer el entorno del elemento fisurado para identificar los elementos afectados por la aparición de la nueva fisura. En la Figura 7 se representan las posibilidades que pueden darse dependiendo del tipo de elementos afectados. En esencia, durante este proceso se generan los nodos y se duplican y generan los elementos necesarios para que la configuración final de la malla se componga del mismo tipo de elementos ya definidos (triángulos o elementos lineales). Como ejemplo en la Figura 8 se indican LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON 387 o nodo fisurado ;' direccion de la fisum // fisura (elemento encapmiento) Figura 6. (a) Caso general con generación de un nodo. (b) Caso de nodo desplazable: se modifica la posición del nodo. (c) Caso de nodo no-desplazable: se modifica la dirección de la fisura. los cambios que tienen lugar durante este proceso en uno de los casos citados en la Figura 7 (concretamente el caso (e) de esa figura). En dicha Figura 8 se muestra ien sean como se reasignan los nodos asociados a cada elemento (variable NODE), b' antiguos, bien generados, e igualmente como se modifican las variables que almacenan la información de los elementos que llegan a cada nodo (variable NENOD), información que consiste en indicar el número y tipo del elemento (1 hormigón, 2 acero, 3 adherencia, 4 encajamiento y 5 pasador). La reorganización topológica de la malla ñnaliza con el proceso de duplicación de nodo consistente en la inclusión de un elemento encajamiento, junto con la posterior duplicación de uno, los dos, o ninguno de los nodos que delimitan el nuevo tramo de fisura (Figura 9), dependiendo de la situación del nodo: Situación del nodo antes ;Se duplica? Situación del nodo después Interior No Cabeza de fisura Cabeza de fisura Si Labio de fisura Labio de fisura Si Labio de fisura Exterior Si Exterior y labio de fisura además de la inclusión de un elemento pasador si ello fuera necesario. La Última operación del proceso de duplicación de nodo consiste en resignar a cada uno de los nodos, tanto antiguo, como duplicado, los elementos que antes llegaban al nodo antiguo. 394 M.A. FERNANDEZ PRADA Y P. MIGUEL SOSA principalmente, cuando la rotura sobreviene por la aparición de una fisura diagonal debida al cortante. La influencia del tipo de malla es mínimamente relevante tanto en lo que se refiere a las redes de fisuración obtenidas como a las curvas carga-flecha. REFERENCIAS 1. M.A. Fernández Prada, "Un modelo por el método de los elementos finitos para el análisis no-lineal de estructuras de hormigón en tensión plana con representación real de la fisuran, Tesis Doctoral, Publicación UPV/ic.88.2, Dpto. de Ing. de la Construcción (UPV), Valencia, (1988). 2. D. Ngo y A.C. Scordelis "Finite element analysis of reinforced concrete beamsn, ACI JOUT~U~, Vol. 64, No. 3, pp. 152-163, (1967). 3. D. Ngo, "A network topological approach to the finite element analysis of progressive crack growth in concrete members", Tesis Doctoral, Universidad de California, Berkeley, (1975). 4. V.E. Sauoma y A.R. Ingraffea, "Fracture mechanics of discrete cracking", IABSE Colloquium, Advanced Mechanics of reinforced Concrete, pp. 413-436, Delft, (1981). 5. O.C. Zienkiewic, "El método de los elementos finitos", Ed. 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