Càlcul II : Problemes 4

; MAT C2 p R o B L E M E s 000 000 000 LLICENCIATURA DE MATEMÁTIQUES ' CALCUL 11 (PROBLEMES 4) Oriol Serra Caries Victoria CURS 93-94 EXCLOS PRESTEC UPC FACULTAT DE MATEMÁTIQUES 1 ESTADÍSTICA UNIVERSITAT POLITE CN I CA DE CATALUNYA Biblioteca l l llll l lllll lllll ll lll llll l ll ll l lllll lllll ll lll lllll llll llll 1400185435 20 4 Teoremes sobre funcions diferenciables Teorema del valor mitja i fórmula de Taylor 4.1 Sigui f: R-+ R2 definida com f(t) = (t2, t3 ). Existeix algun valor to E (O, 1) tal que /(1)-/(0) = Df(to)? Contradiu aixo el teorema del valor mitja? 4.2 Sigui f : u e R n -+ R m de classe e 1 (U) i X' y E u tals que el segment que els uneix esta contingut a l 'obert U. Proveu les següents versions del Teorema del valor mitja: (a) Existeixen m punts c1, ... Cm en el segment de recta que uneix x i y tals que fj(x) - fj(y) = Dfj(cj)(x -y), j = 1, ... , m. (b) llf(x) -f(y)ll $ llx - Yll sup llDJ(x +>.(y -x)ll· .l.E[O,!J (c) Si totes les derivades parcials de f estan acotarles en valor absolut per una certa constant M a U, I ª ~~~) 1 $ M "lx E U, i E { 1, ... , n}, j E { 1, ... , m} aleshores 11/(x) - /(y)ll $Mm nllx -yll. 4.3 Fent servir el teorema del valor mitja, proveu que si f: U e Rn-+ R és diferenciable, Df(x) = O "lx E U i U és un obert convex, aleshores f és una funció constant. Esteneu el mateix argument si U és un obert en el que dos punts qualssevol es poden unir per una poligonal. 4.4 Sigui f: U e Rn-+ Runa funció de classe cr+ 1(U). Proveu que existeix un únic polinomi P(x) . . f(a+h)-P(h) den variables i grau r tal que l~ llhW =O. /ndicació: Per la unicitat, proveu que si hi ha dos polinomis P, Q amb aquesta propietat, aleshores P(h) -Q(h) = o(llhl¡r)(h-+ O). 4.5 (a) Calculeu el Polinomi de Taylor de segon grau de f(x,y) = ex+11 en (0,0). (b) Calculeu el Polinomi de Taylor de segon grau de f(t) = e1 a t =O i poseu t = x +y. S'obté el mateix resultat que a (a)? (c) Fent servir el Polinomi de Taylor de sin t, calculeu el Polinomi de Taylor de grau 9 de f(x, y)= sin(x2 y) en (O, O). Justifiqueu el resultat. Serveix la mateixa tecnica per a calcular el Polinomi de Taylor de g(x,y) = sin(yxy)? _... Problemes de CB.lcul 11 Tema 4. Teoremes sobre funcions diferenciables 21 4.6 Doneu el Polinomi de Taylor de grau 3 de f(x, y) = ex cosy en (O, O). Es pot obtenir aquest polinomi a partir deis polinomis de Taylor de g(x) =ex i h(y) = ca>y? 4.7 Doneu el polinomi de Taylor de grau 3 de f(x, y, z) = x3 + 4x 2(y + 1) -2(y -2)2z + ln(l + xyz) en (O, O, O). Proveu que si PTk(f, a) indica el Polinomi de Taylor de grau k de Ja fundó f en a, aleshores PTk(f + g, a) = PTk(f, a)+ PTk(g, a), on f, g són fun~ions de classe Ck+ 1 a un entorn obert d'a E Rn i prenen valors en R. Es pot enunciar un resultat similar per al producte de funcions? . . 1 a4¡ . a1 f 4.8 S1gu1 f(x,y) = 2 2 . Calculeu a 28 2(0,0) 1 a 48 3(0,0) l+x +y X y X y /ndicació: /ntenteu obtenir primer el Polinomi de Taylor de f a (O, O). ( a )p ( a )q ap+q J 4.9 Sigui f: R2 - Runa fundó de classe C 00 • Definim ax ay f(a, b) = axPayq (a, b). Proveu que els termes de grau n del Polinomi de Taylor de fa (a, b) es poden obtenir de~! ( (x -a) :x +(y - b) ~) n f(a, b). 4.10 Fent servir el polinomi de Taylor de grau 2 de f(x, y)= ex+e11 en (0,0), doneu un valor aproximat de f(0.2, -0.1). Doneu també una cota superior de l'error que es comet. 4.11 Fent servir el polinomi de Taylor, doneu una expressió de P(x, y, z) = xy+3yz 2 +x 2z en potencies de (x -1), (y - 2) i (z + 3). Si P(x 1, ... , Xn) es un Polinomi den variables i grau r, hi ha algun punt a e Rn en el qual el polinomi de Taylor de grau s > r de P sigui diferent del de grau r? És cert que el polinomi de Taylor de grau s > r de P centrat en a és igual a P? 4.12 Fent servir Polinomis de Taylor proveu que (a) lim sin(x2y) = 1 (b) lim sin(xy) =O (x,11)-+(0,0) x2y (x,11)-+(0,0) X . ex11_1 (c) hm =0. (x,11)-+(0,0) X Teoremes de la funció inversa i de la funció implícita 4.13 (Teorema del punt fix) Sigui f: D - Duna fundó que satisfa llf(x)-f(y)ll :$ .>.!lx-yl!, Yx,y E D pera un cert >.e (O, 1) (es diu que f és una fundó contractiva), on De Rn és tancat. Proveu, a) f és contínua. b) Per a qualsevol x E Rn Ja successió x, f(x), f2(x), ... , fk(x), ... , on fk(x) = f(fk1 (x)), k > 1, és convergent. Jndiroció:lntenteu veure que és de Cauchy acotant primer ¡¡¡r+1 (x) -¡r(x)ll i fent servir després la desigualtat triangular i el Jet que O < >. < I) c) u= lim r(x) satisfa f(u) =u i és l'únic punt que satisfa aquesta propietat (és l'únic punt fix). n-+OO Problemes de CAlcul 11 Tema 4. Teoremes sobre funcions diferenciables 22 d) Segueix essent cert el resultat si D no és tancat? 4.14 Sigui f(x,y) = (e"'cosy,e"'siny). Determineu els punts (x,y) E R2 on f és Jocalment inversible. Calculeu Ja diferencial de Ja inversa local de f en /(O, O). Existeix una funció inversa global de /? Si f: R - R és diferenciable i f'(x) ::/:O 'tlx E R, existeix una inversa global de/? (Inversa global vol dir aquí una única funció inversa definida a I mf) 4.15 Sigui f: (O,oo) x RR2, f(r,B) = (rcosB,rsinB) (canvi de coordenades polars a coordenades cartesianes). Proveu que f és Jocalment inversible en un entorn de qualsevol punt diferent de (0,0) i doneu l'expressió general de la matriu jacobiana de cada transformació inversa local. Considere u Ja mateixa questió per a les funcions f : (O, oo) x R 2 -R 3, f(r, B, </>) = (rcosBcos</>, rsinBcos</>, rsin </>) (canvi de coordena.des esfüriques a cartesianes) i f: (O, oo) x R2 -R3 , f(r,B,z) = (rcosB,rsinB,z) (can vi de coordena.des cilíndriques a cartesianes). 4.16 (a) Sigui f : R2 - Runa fundó de classe C1. Proveu que f no pot ser injectiva a cap domini obert.lndicació: Si :~ (xo, yo) ::/:O considereu l'aplicació g : R2 -R2, g(x, y) = (f(x, y), y). (b) Generalitzeu el resultat anterior alcas d'una fundó f: Rn -Rm amb n > m. 4.17 Sigui f: U e Rn - Rn, una fundó injectiva i de classe C1(U) tal que detD/(x) ::/:O 't/x E U. (a) Proveu que f és una funció oberta. (b) Proveu que, si U és obert, ¡- 1 : f(U)-+ Rn és diferenciable. 4.18 Proveu que la condició det D f(a) ::/: O no es necessaria per a )'existencia d'una inversa local al voltant de a (considereu la funció y= x3 al voltant de )'origen). Proveu en canvi que si f és inversible al voltant d'un punta on detDf(a) =O, aleshores la inversa no pot ser diferenciable en f(a). 4.19 Sigui f: R2 -R2, f(x,y) = (x 2 y,xy2). (a) Proveu que f és localment inversible al voltant de (x, y) si x ::/:O i y::/: O. (b) Calculeu la diferencial de Ja inversa local de f en /(2, 1). (c) Suposant que Ja inversa local de l'apartat anterior esta definida en un entorn que conté el punt (4.1, 1.9), feu servir Ja diferencial de Ja inversa pera obtenir un valor aproximat de ¡- 1(4.1, 1.9). (d) Proveu que f és injectiva en (O,oo) x (O,oo). Comproveu que g(u,v) = (u(uv)- 113 ,v(uv)- 113) és Ja inversa de f en aquest domini (intenteu obtenir aquesta inversa). Calculeu g( 4.1, 1.9) i compareu el resultat amb l'aproximació de l'apartat anterior. (e) Obteniu una expressió de g'(u, v) a través del teorema de Ja funció inversa. Obteniu també aquesta matriu jacobiana directament. -' Problemes de Cillcul 11 Tema 4. Teoremes sobre funcions diferenciables 23 4.20 Considereu Ja funció 9(x, y, z) = (x +y+ z2, x - y+ z, 2x +y - z) (a) Proveu que 9 admet una inversa local diferenciable al voltant del punt (1, -1, 2) i calculeu D91(4, 4, -1). (b) Trobeu explícitament 91 (u,v,w) i calculeu directament D91(4,4, -1). 4.21 Considereu el sistema x-2y-z=0} x+yt =0 del que P = (xo, yo, zo, to)= (1, 1, -1, -1) és solució. (a) Vegeu si el sistema defineix implícitament funcions z = 91 (x,y) i t = 92 (x,y) al voltant del punt P. 891 891 892 . 892 . . . . . (b) Calculeu ax (1, 1), By (1, 1) 8x (1, 1) 1 8y (1, 1) fent servir der1vac1ó 1mplíc1ta. (c) Calculeu explícitament 91 i 92 i comproveu directament els resultats de (b). (d) Trobeu el Polinomi de Taylor de segon grau de 9 centrat en (1, 1). 4.22 Sigui f: R3 - Runa funció de classe C2 (R 3) tal que les seves derivarles parcials no s'anul-len a cap punt. Si f(xo, yo, zo) = O, (a) proveu que la equació f(x, y, z) =O defineix implícitament tres funcions diferenciables x=9¡(y,z), y=92(x,z), iz=93(x,y) al voltant del punt (xo, yo, zo). (b) Proveu que 891 892 893 a,;-(Yo, zo) 8x (xo, zo)ay-(xo, Yo)= -l. (c) Calculeu les derivarles parcials de segon ordre de 91, 92 i 93. 4.23 Considereu l 'equació x2 + y2 + z2 = 1/J(ax +by+ cz), a, b, e E R, e -:f. O on 1/J : R - R és C2 (R) i satisfa. 1/J(O) =O, i 1/J'(O) -:f. O. (a) Proveu que l'equació defineix z coma funció implícita diferenciable de xi y a un entorn de (0,0,0). 8 f 8 f 82 f . 82 f (b) Calculeu 8x (O, O), 8y (O, O), 8x2 (O, O) 1 8y2 (O, O) 4.24 Proveu que el sistema xz 3 + y2u3 = 1 } 2xy3 + u2z =O permet definir x i y com a funcions implícites diferenciables de z i u a un entorn de (xo, yo, zo, uo) = {O, 1,0, 1). Si x = h(z, u) i y = 9(z, u) són les funcions implícites esmentades, proveu que la funció F(z, u) = (h(z,u),9(z,u)) té inversa local diferenciable al voltant del punt {O, 1). Problemes de CB.Jcul II 4.25 Considereu el sistema d'equacions Tema 4. Teoremes sobre funcions diferenciables 24 x-u-v=O} y -u2 -v 2 =O z-u 3 -v 3 =O Trobeu un punt P = (xo, yo, zo, uo, vo) E R5 que compleixi les dues condicions següents, (a) el sistema defineix tres funcions implícites diferenciables z = f1(x, y) u= h(x, y) v = f3(x, y) al voltant de P. (b) la derivada direccional de Ji en (xo, yo) és m8.xima en la direcció del vector (1,0), i el valor d'aquesta derivada és 3. 4.26 Sigui f(x, y, z) = x2y + e:r + z. (a) Proveu que l'equació f(x, y, z) =O defineix implícitament x coma funció de y i z al voltant del punt (O, 1, -1). (b) Si x = g(y, z) és aquesta funció implícita, doneu el seu Polinomi de Taylor de grau 2 centrat en (1, -1).