Algunas soluciones aproximadas para diseños split-plot con matrices de covarianza arbitrarias

Q¨ UESTII ´ O,vol. 22, 3, p. 443-468, 1998 ALGUNAS SOLUCIONES APROXIMADAS PARA DISE˜ NOS SPLIT-PLOT CON MATRICES DE COVARIANZA ARBITRARIAS G. VALLEJO SECO J.R. ESCUDERO GARC´ IA Universidad de Oviedo  El presente trabajo revisa con cierto detalle diversos tipos de an´ alisis para dise˜ nos split-plot que carecen del mismo n´ umero de unidades experimentales dentro de cada grupo y en los que se incumple con el supuesto de esfericidad multimuestral. Espec´ ıficamente, adaptando el enfoque multivariado de aproximar los grados de libertad desarrollado por Johansen (1980) y el procedimiento de la aproximaci´ on general mejorada corregida basado en Huynh (1980) se muestra c´ omo obtener an´ alisis robustos y poderosos a la hora de probar los efectos principales y la interacci´ on, as´ ı comohip´ otesisde comparacionesm´ ultiples relacionadascon estos efectos, tanto si se cuenta con una simple variable dependiente asociada con cada una de las medidas repetidas como si se cuenta con m´ as de una. Some approximate solutions for split-plot designs with arbitrary covariance matrices. Palabras clave: Dise˜nos multivariados de medidas repetidas, esfericidad multimuestral, medias ponderadas y noponderadas, procedimientos robustos y poderosos. Clasificaci´ on AMS: 62K10, 62J1 *Departamento de Psicolog´ıa. Universidad de Oviedo. Plaza Feijoo, s/n. 33003 Oviedo. e-mail:gvallej[email protected].uniovi.es. –Recibido en diciembre de 1996. –Aceptado en mayo de 1998. 443 1. INTRODUCCI ´ ON En las Ciencias del Comportamiento y campos metodol´ogicos afines destaca el impulso que a lo largo de los ´ultimos a˜nos ha recibido el empleo de los dise˜nos de medidas repetidas y, sobremanera, los dise˜nos split-plot o dise˜nos que implican anidar las unidades experimentales respecto a los niveles de una o m´as variables y cruzarlos respecto a los niveles de otra u otras. Bajo el cumplimiento de los supuestos de normalidad conjunta multivariada, homogeneidad de las matrices de dispersi´on e igualdad de las varianzas correspondientes a las diferencias entre las diferentes medidas repetidas, dichos dise˜nos han sido analizados tradicionalmente por medio del modelo mixto univariado de Scheff´e (1956). A su vez, cuando se incumple alguno de los dos ´ultimos supuestos, e inclusive ambos a la vez, lo usual es hacer uso, tanto del enfoque univariado con los grados de libertad corregidos como del enfoque multivariado; sobre todo, teniendo en cuenta que si el dise˜no est´a equilibrado, ambos enfoques son relativamente robustos a la violaci´on de los supuestos referidos (Huynh, 1978; Keselman y Keselman, 1990; Keselman, Lix y Keselman, 1993; Rogan, Keselman y Mendoza, 1978). En estos casos, la elecci´on entre el enfoque univariado con los grados de libertad ajustados o el enfoque multivariado descansa, am´en de otras cuestiones, en consideraciones de potencia (Davidson, 1972). Por ejemplo, asumiendo que disponemos de moderados tama˜nos de muestra, ligeras desviaciones en el patr´on de esfericidad conllevan una mayor potencia del enfoque univariado que del multivariado correspondiente; por el contrario, la situaci´on se va invirtiendo paulatinamente a medida que nos desviamos del patr´on de esfericidad requerido. Sin embargo, como ha sido puesto de relieve en diversos trabajos de simulaci´on, ambos enfoques anal´ıticos dejan de ser robustos cuando el dise˜no carece del equilibrio adecuado y las matrices de varianzas y covarianzas poblacionales no son combinables por ser heterog´eneas. En concreto, Keselman (1993) encuentra que el procedimiento de ajustar los grados de libertad por el valor de la desviaci´on del patr´on de esfericidad produce un sesgo considerable a la hora de verificar las hip´otesis correspondientes a los efectos principales de la parte intra del dise˜no. Por su parte, Timm (1975) nos dice que otro tanto ocurre con la significaci´on de dichos efectos cuando se contrastan mediante el enfoque multivariado. Finalmente, tampoco conviene pasar por alto que diversos autores (Belli, 1988; Huynh y Feldt, 1976; Keselman et al., 1993) han descubierto que las tasas de error de Tipo I concernientes a la interacci´on tambi´en se encuentran seriamente distorsionadas bajo ambos enfoques. As´ı pues, cuando el dise˜no de medidas parcialmente repetidas no est´e adecuadamente balanceado y el supuesto de homogeneidad de las matrices de dispersi´on se incumpla, conviene ser muy cuidadosos tanto con las inferencias realizadas en relaci´on con la igualdad de las respuestas dadas a lo largo del tiempo, como con las inferencias referidas a la hip´otesis que especifica que las diferencias entre los grupos no dependen de las condiciones de observaci´on consideradas; ya que como se ha resaltado, ´estas descansan, en buena 444 medida, en el cumplimiento del susodicho supuesto. Como destaca Wilcox (1987), las pruebas param´etricas convencionales basadas en las distribuciones t o F pueden resultar seriamente afectadas cuando la homogeneidad de las varianzas no se satisface, sobre todo, cuando el n´umero de unidades experimentales difiere de un grupo a otro. En estos casos, las pruebas estad´ısticas cl´asicas se pueden convertir, bien en excesivamente conservadoras, o bien en excesivamente liberales, con tasas de error de Tipo I por debajo del 0.01 ´o por encima del 0.70 para un nivel de significaci´on nominal del 0.05 (Keselman y Keselman, 1988; Milligan, Wong y Thompson, 1987; Wilcox, Charlin y Thompson, 1986). Para abordar el problema especificado se han intentado varios remedios, no obstante, la soluci´on m´as habitual consiste en hacer uso del arreglo Behrens-Fisher y en aproximar los grados de libertad mediante el procedimiento de Welch (1938, 1947, 1951). Dicha soluci´on fue aplicada inicialmente por Welch a los dise˜nos de dos o m´as grupos al azar, y muchos a˜nos despu´es, Algina y Olejnik (1994) la han extendido a los dise˜nos factoriales, mientras que Keselman, Carriere y Lix (1993, 1995) lo han implementado en el ´ambito de los dise˜nos de medidas repetidas y en el ´ambito de los dise˜nos factoriales no ortogonales; todo ello al amparo de la versi´on generalizada que del procedimiento de Welch y de la posterior mejora de James (1951,1954) realiz´o Johansen en 1980. En el contexto de los dise˜nos de medidas repetidas otro de los remedios disponibles, y a juicio de Algina (1994) y Algina y Oshima (1994, 1995) muy recomendable, es el enfoque de la aproximaci´on general de Huynh (1978), as´ı como subsiguientes modificaciones efectuadas en el mismo. 2. EL ENFOQUE DE WELCH-JAMES Por lo que se refiere a la primera soluci´on o enfoque de la aproximaci´on multivariada de los grados de libertad desarrollado por Johansen (1980), en adelante enfoque de Welch-James, resaltar que los descubrimientos emp´ıricos encontrados a lo largo de los ´ultimos a˜nos en el contexto de los dise˜nos univariados ponen de relieve la robustez de este enfoque a la hora de probar si existen diferencias entre las medias de dos o m´as poblaciones cuando las varianzas son heterog´eneas y el n´umero de unidades experimentales difiere de un grupo a otro. M´as a´un, la potencia de este enfoque resulta comparable a la potencia encontrada tras aplicar las pruebas cl´asicas de toFcuando el supuesto de homogeneidad de las varianzas es satisfecho (Roth, 1983; Brown y Forsythe, 1974; Hsiung y Olejnik, 1994b, Wilcox et al., 1986) y, por supuesto, mucho m´as poderoso que ´estas cuando, tanto el tama˜no de los grupos como el tama˜no de las varianzas difiere sustancialmente. No obstante, conviene matizar que el enfoque Welch-James no mantiene inalterable su robustez a lo largo de todas las situaciones. En concreto, cuando existe una correlaci´on negativa entre el tama˜no de los grupos y el tama˜no de las varianzas (la varianza m´as 445 grande acontece en el grupo de menor tama˜no, o viceversa) y los datos presentan un sesgo apreciable, el enfoque bajo consideraci´on no controla la tasa de error de Tipo I al nivel nominal a. Cuando se registra m´as de una variable dependiente o a las unidades experimentales se las mide en m´as de una ocasi´on, la tasa de error de Tipo I tambi´en puede llegar a ser considerable si la raz´on entre el tama˜no de los grupos y el n´umero de variables dependientes o bien el n´umero de medidas repetidas es peque˜na, las matrices de varianzas y covarianzas son heterog´eneas y los datos no se acomodan a una distribuci´on normal multivariada. En las dem´as situaciones el enfoque de Welch-James proporciona un adecuado grado de control de la tasa de error de Tipo I; posteriormente efectuaremos alg´un comentario adicional sobre esta cuesti´on. Con todo, no conviene dejar sin aclarar que el resto de las t´ecnicas, tanto si son de naturaleza param´etrica como de naturaleza no param´etrica, participan de las mismas debilidades y ofrecen un grado de generalizaci´on mucho m´as restringido que el enfoque bajo consideraci´on. Seguidamente, se expone la modelizaci´on del enfoque Welch-James en el ´ambito de los dise˜nos split-plot. Para ello, inicialmente, nos ce˜niremos al caso en que las q ( k ; : : : ; q ) respuestas recogidas a partir de las n ( i ; : : : ; n ) unidades muestrales independientes est´en agrupadas de acuerdo con los p ( j ; : : : ; p ) niveles de una variable de clasificaci´on. Para una situaci´on como la descrita, el modelo lineal general con N unidades experimentales puede escribirse como sigue: Y = XB + E donde Yes una matriz de respuestas de orden N  q,Xes la matriz de dise˜no de rango pleno de orden N  p,Bes una matriz de par´ametros no aleatorios de orden p  qyEes una matriz de errores aleatorios de orden N  q. Si denotamos por ε 0 i ( εij1 ; : : : ; εijk ) el vector de errores aleatorios correspondiente a la unidad ith, se asume que cada subvector de errores es Nq ( 0 ; Σ Σ Σj ) . El hecho de que la forma de Σ Σ Σjdependa de jindica que todos los vectores de errores aleatorios no tienen la misma matriz de varianzas y covarianzas, Σ Σ Σ, lo que implica que las matrices no son combinables. En t´erminos sustantivos las hip´otesis de inter´es del dise˜no split-plot o dise˜no de medidas parcialmente repetidas son las siguientes: 1. ¿Existe interacci´on entre las variables entre e intra del dise˜no? 2. ¿Difieren entre s´ı los diferentes grupos de tratamiento? 3. ¿Tienen todas las respuestas el mismo efecto? Para contrastar dichas hip´otesis haremos dos cosas: Por un lado, utilizaremos la prueba estad´ıstica de Welch-James, la cual, de acuerdo con Johansen (1980), puede expresarse como sigue: TW ? J = ( Ry ) 0 ( RPR 0 ) ? 1 ( Ry ) 446 donde yes un vector de orden pq  1 obtenido tras concatenar verticalmente las medias de yj,R ( R = C 0  A 0 ) es una matriz de contrastes cuyo orden depende de la hip´otesis que estemos probando y Pes una matriz diagonal de bloques de orden pq  pq con el jth bloque igual a ˆ Σj  nj ( ˆ Σ1  n1 ; : : : ; ˆ Σp  np ) . Seg´un Johansen (1980, p.86), el estad´ıstico TW ? Jdividido por una constante, c, se distribuye aproximadamente como el estad´ıstico Fcon grados de libertad ν1(rango de la matriz R) y ν2 = ν1 ( ν1 + 2 )  3A. Las constantes cyAvalen, respectivamente c = ν1 + 2A ? ( 6A ) ( ν1 + 2 ) y A = 1 2 p ∑ j = 1  tr h PR 0 ( RPR 0 ) ? 1RQj i 2 + h tr ( PR 0 ( RPR 0 ) ? 1RQj i 2  . ( nj ? 1 ) donde tr denota el operador traza y Qjes una matriz diagonal de bloques de orden pq  pq con el jth bloque igual a una matriz de identidad de orden q  qy el resto ceros. Por otro lado, expresaremos todas las hip´otesis expuestas anteriormente mediante una adecuada elecci´on de la matriz de contrastes Ry tambi´en en t´erminos de los par´ametros de la matriz Bque sigue: B = 0 B @ µ11 µ12 ::: µ1q µ21 µ22 ::: µ2q µp1µp2 ::: µpq 1 C A Concretando a´un m´as, la hip´otesis nula que afirma que las diferencias entre los niveles de la variable de tratamiento no dependen de los niveles de la variable intra considerados, viene dada por H01: 0 B @ µ11 ? µ12    µ1 ; q ? 1 ? µ1q 1 C A =  = 0 B @ µp1 ? µp2  µp ; q1 ? µpq 1 C A o, bien H01:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  A 0 es una matriz de orden ( p ? 1 ) ( q ? 1 )  pq,C 0 es una matriz de coeficientes de orden ( p ? 1 )  pque determina los elementos de µa incluir en la hip´otesis nula, Aes una matriz de orden q  ( q ? 1 ) propia de las situaciones multivariadas que permite generar hip´otesis entre los diferentes par´ametros de respuesta, µ 447 es un vector de par´ametros de orden pq  1 y 0es un vector nulo de cuyo orden es pq  1. Las matrices C 0 yAadoptan la forma que sigue: C 0 = 0 B B B B @ 1 0 ::: 0 ? 1 0 1 ::: 0 ? 1 ::::::::::::::: 0 0 ::: 1 ? 1 1 C C C C A ;A = 0 B B B B B B @ 1 0 ::: 0 0 1 ::: 0 :::::::::::::::: 0 0 ::: 1 ? 1 ? 1 ::: ? 1 1 C C C C C C A La H01se rechaza al nivel αsi TW ? J  c > Fα;ν1 ; ν2 ( ν1 = p ? 1  q ? 1 ) donde TW ? J  c  F ( ν1 ; ν2 ) . De resultar la interacci´on significativa la hip´otesis nula de ausencia de diferencias entre los grupos viene dada por H02: 0 B B B B @ µ11 µ12 . . . µ1q 1 C C C C A = 0 B B B B @ µ21 µ22 . . . µ2q 1 C C C C A =  = 0 B B B B @ µp1 µp2 . . . µpq 1 C C C C A o, simplemente H02:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  A 0 es una matriz de orden ( p ? 1 ) q  pq,C 0 tiene la misma forma que en el caso anterior y Aes una matriz de identidad de orden q  q. En ausencia de interacci´on la hip´otesis nula de igualdad de los grupos se reduce a: H  02:q ∑ k = 1 µ1k = q = q ∑ k = 1 µ2k = q =  = q ∑ k = 1 µpq = q o, bien H  02:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  a 0 es una matriz de orden ( p ? 1 )  pq,C 0 mantiene la forma aludida yaes un vector de unos de orden q  1. En ambos casos la hip´otesis nula referida a los niveles de la variable entre se rechaza al nivel αsi TW ? J  c > Fα;ν1 ; ν2 448 Finalmente, la hip´otesis nula de igualdad de las respuestas u ocasiones de observaci´on tambi´en puede abordarse teniendo en cuenta la significaci´on o no de la interacci´on. En el primer caso, dicha hip´otesis puede expresarse como: H03: 0 B B B B @ µ11 µ21 . . . µp1 1 C C C C A = 0 B B B B @ µ12 µ22 . . . µp2 1 C C C C A =  0 B B B B @ µ1q µ2q . . . µpq 1 C C C C A o, simplemente H0:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  A 0 es una matriz de orden p ( q ? 1 )  pq,C 0 es una matriz de identidad de orden p  pyAes una matriz de contrastes de orden q  ( q ? 1 ) . En el segundo caso, esto es, de no existir interacci´on la hip´otesis de igualdad de las respuestas viene dada por H  03:p ∑ j = 1µj1 = p = p ∑ j = 1µj2 = p =  = p ∑ j = 1µjq = p o, bien H  03:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  A 0 es una matriz de orden ( q ? 1 )  pq,c 0 es un vector de unos de orden 1  pyAes una matriz de contrastes de orden q  ( q ? 1 ) . Bajo cualquiera de las dos situaciones especificadas, la hip´otesis nula referida a la igualdad de los niveles de la variable intra se rechaza al nivel αsi TW ? J = c > Fα;ν1 ; ν2 donde TW ? J = c  F ( ν1 ; ν2 ) . Antes de concluir con este apartado conviene advertir que el enfoque descrito s´olo permite probar la hip´otesis nula de igualdad de las respuestas concerniente a medias no ponderadas. El investigador interesado en probar la hip´otesis nula referida a medias ponderadas puede utilizar la soluci´on multivariada que del problema Behrens-Fisher nos ofrecen Nel y van der Merwe (1986). 3. EXTENSI ´ ON DEL ENFOQUE WELCH-JAMES A SITUACIONES MULTIVARIADAS Con las modificaciones oportunas de las matrices C 0 yApuede manejarse cualquier tipo de dise˜no que implique medidas repetidas y que utilice una sola variable depen449 diente. Sin embargo, a nadie se le escapa que existen bastantes situaciones que si bien se acomodan a un dise˜no de medidas repetidas, ´estas son esencialmente de naturaleza multivariada. Consid´erese el dise˜no multivariado de medidas parcialmente repetidas esquematizado en la figura 1 tomada de Vallejo y Men´endez (1997), en el cual hay un factor de agrupamiento p ( j = 1 ; : : : ; p ) , un factor de observaciones repetidas q ( k = 1 ; : : : ; q ) y las respuestas dadas por el ith sujeto a lo largo de qmedidas repetidas bajo cada una de las rvariables de medida. De este modo, bajo esta disposici´on las qprimeras columnas corresponden a la primera variable dependiente, las qsegundas a la segunda variable dependiente y las q ? ´esimas la rth variable dependiente. Trat. Suj. VD1VD2VDr AjSiy 0 ij1 = h y ( 1 ) ij1y ( 2 ) ij1 : : : y ( q ) ij1 i y 0 ij2 = h y ( 1 ) ij2y ( 2 ) ij2 ::: y ( q ) ij2 i ::: y 0 ijr = h y ( 1 ) ijr y ( 2 ) ijr ::: y ( q ) ijr i Figura 1. Disposici´on de los datos del dise˜no multivariado de medidas parcialmente repetidas. Para un dise˜no como el esquematizado el modelo lineal multivariado con N unidades experimentales puede ser escrito como sigue: Y = XB + E donde Y = N  qr es la matriz de respuestas, B = p  qr es la matriz de par´ametros, X = N  pes la matriz de dise˜no de rango pleno y E = N  qr es la matriz de errores aleatorios. Si denotamos por ε 0 i = 1  qr el vector de errores aleatorios correspondiente al sujeto ith, es asumido que: ε ε ε 0 i  N ( 0 ; Σ Σ Σj ) donde la matriz de covarianzas Σj = qr  qr es una matriz definida positiva. El hecho de que la forma Σdependa de la poblaci´on de la que se hayan extra´ıdo las njunidades, supone que no todos los vectores de errores aleatorios εtienen la misma matriz Σy, por ende, son matrices heterosced´asticas. Bajo esta nueva situaci´on, la construcci´on de la matriz Rpara probar las hip´otesis del modelo es algo m´as complicada; no obstante, tal cometido se puede manejar relativamente bien si se prosigue con una notaci´on similar a la utilizada en el caso univariado. Para ilustrar lo dicho se comienza probando la hip´otesis nula que especifica que las diferencias entre los grupos no dependen de las condiciones de observaci´on consideradas en el conjunto de las rvariables dependientes examinadas simult´aneamente, 450 esto es H01: 0 B B B B B B B B @ µ ( 1 ) 11 ? µ ( 1 ) 12 . . . µ ( 2 ) 1q ? 1 ? µ ( 2 ) 1q . . . µ ( r ) 1q ? 1 ? µ ( r ) 1q 1 C C C C C C C C A = 0 B B B B B B B B @ µ ( 1 ) 21 ? µ ( 1 ) 22 . . . µ ( 2 ) 2q ? 1 ? µ ( 2 ) 2q . . . µ ( r ) 2q ? 1 ? µ ( r ) 2q 1 C C C C C C C C A =  = 0 B B B B B B B B @ µ ( 1 ) p1 ? µ ( 1 ) p2 . . . µ ( 2 ) pq ? 1 ? µ ( 2 ) pq . . . µ ( r ) pq ? 1 ? µ ( r ) pq 1 C C C C C C C C A o, bien H01:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  ( Aq  Ir ) 0 es una matriz de orden ( p ? 1 )( q ? 1 ) r  pqr,C 0 es una matriz de coeficientes de orden ( p ? 1 )  pque determina los elementos de µa incluir en la hip´otesis nula, Aes una matriz de coeficientes de orden q  ( q ? 1 ) que nos permite generar hip´otesis entre los diferentes niveles de la variable intra, Ires una matriz de identidad de orden r  ryµes un vector de par´ametros de orden pqr  1. La H01se rechaza al nivel αsi TW ? J = c > Fα;ν1 ; ν2 [ ν1 = ( p ? 1 )( q ? 1 ) r ] donde TW ? J = c  F ( ν1 ; ν2 ) . El c´alculo de los grados de libertad correspondientes al error se efect´ua igual que en el caso univariado descrito con anterioridad. La ausencia de diferencias entre los grupos puede ser abordada desde un doble punto de vista en funci´on de que la interacci´on sea o no sea significaci´on. En el primer caso, H02: 0 B B B B B B B B B B @ µ ( 1 ) 11 µ ( 1 ) 12 . . . µ ( 1 ) 1q . . . µ ( r ) 1q 1 C C C C C C C C C C A = 0 B B B B B B B B B B @ µ ( 1 ) 21 µ ( 1 ) 22 . . . µ ( 1 ) 2q . . . µ ( r ) 2q 1 C C C C C C C C C C A =  = 0 B B B B B B B B B B @ µ ( 1 ) p1 µ ( 1 ) p2 . . . µ ( 1 ) pq . . . µ ( r ) pq 1 C C C C C C C C C C A o, alternativamente H02:Rµ µ µ = 0 donde R = C 0  ( Aq  Ir ) es una matriz de orden ( p ? 1 ) qr  pqr,C 0 tiene la misma forma que en el caso anterior, AqeIrson matrices de identidad de orden q  qy r  r, respectivamente. 451 donde c 0 jj 0 ya 0 kk 0 son vectores de coeficientes que contrastan los niveles de las variables entre e intra, respectivamente. A partir de aqu´ı, al investigador s´olo le resta utilizar alguno de los numerosos procedimientos que existen para efectuar comparaciones de medias, y que le permita mantener la tasa de error de Tipo I controlada al nivel nominal para todas las comparaciones que componen la familia de contrastes de la interacci´on. Pues bien, sendos trabajos de simulaci´on llevados a cabo por Keselman y Lix (1996) y Lix y Keselman (1996), ponen de relieve que tanto el procedimiento secuencial de arriba-abajo de Holm (1979) y modificado por Shaffer (1986), como el procedimiento de abajo-arriba de Hochberg (1988) controlan adecuadamente la tasa de error de Tipo I para los contrastes de la interacci´on en dise˜nos con caracter´ısticas similares a las aqu´ı aludidas; esto es, dise˜nos de medidas parcialmente repetidas con matrices de varianzas y covarianzas heterog´eneas y desigual n´umero de unidades experimentales dentro de cada grupo. A su vez, para contrastar las hip´otesis referidas a las comparaciones m´ultiples efectuadas entre los niveles de la variable intra sujeto cuando el dise˜no, adem´as de tener un n´umero arbitrario de sujetos dentro de cada grupo, no satisface el supuesto de esfericidad multimuestral, tambi´en conviene utilizar alg´un estad´ıstico que permita calcular el error est´andar a partir de los datos implicados en el contraste de inter´es. Una forma de alcanzar dicho objetivo consiste en utilizar el estad´ıstico t 0 convenientemente adaptado a esta situaci´on como sigue: t 0 Ψ = ? Y :: k ? Y :: k 0  s c 0 ˆ Σ Σ Σjc nj + c 0 ˆ Σ Σ Σj 0 c nj 0  tα 2 ; ν 0 donde ˆ Σ Σ Σjdenota la matriz de varianzas-covarianzas para el jth nivel de la variable entre y c 0 es un vector de coeficientes de orden 1  qreferido a los niveles kth y k 0 th de la variable intra. Como en el caso de la interacci´on, el estad´ıstico t 0 no se distribuye exactamente como tde Student, pero puede aproximarse a dicha distribuci´on muestral calculando los grados de libertad ν 0 mediante el procedimiento de Satterthwaite all´ı descrito. Alternativamente, una forma m´as f´acil de obtener pruebas robustas y tambi´en poderosas de las comparaciones m´ultiples para los niveles de la variable intra, consiste en utilizar el manido procedimiento de Welch-James; pues como el lector habr´a reparado, la ´unica modificaci´on a lo ya dicho afecta tan s´olo a la construcci´on del vector de contrastes r. Para este caso concreto, r = c 0 j  a 0 kk 0 , donde cjes un vector de unos de dimensi´on p  1 y akk 0 es un vector de contrastes referido a las diferentes comparaciones entre los niveles de la variable intra cuya dimensi´on es q  1. 458 Se˜nalar, por ´ultimo, que para la hip´otesis de igualdad de las medidas repetidas, los resultados emp´ıricos de Keselman y Lix (1996) ponen de relieve que el procedimiento protegido de Shaffer (1986) proporciona un adecuado control de la tasa de error de Tipo I, al tiempo que se manifiesta ligeramente m´as poderoso que el resto de los procedimientos testados. Seguidamente, vamos a efectuar una breve descripci´on de los procedimientos de Holm-Shaffer y Hochberg que acabamos de rese˜nar a lo largo de este apartado. 5.1. El procedimiento de Holm-Shaffer Shaffer (1986) ha propuesto una versi´on m´as poderosa del procedimiento de rechazo secuencial desarrollado por Holm (1979). Bajo la modificaci´on desarrollada por esta investigadora uno comienza ordenando por rangos los valores ρasociados con el estad´ıstico de la prueba, ρ ( 1 ) 6 ρ ( 2 ) 6  6 ρ ( c ) . A continuaci´on, el valor ρ m´as peque˜no es comparado con el valor cr´ıtico de Dunn, esto es, α = c, donde c = q ( q ? 1 ) = 2 y αdenota la tasa de error a controlar; si ρ ( 1 ) 6 α = cla hip´otesis nula H ( 1 ) es rechazada, de lo contrario, detenemos el proceso y declaramos nulas todas las hip´otesis, H ( 1 ) ; H ( 2 ) ; : : : ; H ( c ) . Si H ( 1 ) es rechazada, procedemos a comparar el siguiente valor ρm´as largo, ρ ( 2 ) , aqu´ı a diferencia del procedimiento de Holm, en vez de dividir αpor el n´umero de pares de comparaciones restantes, c ? 1, Shaffer propone dividirlo por el n´umero de pares de comparaciones que podr´ıan ser iguales, condicionados al rechazo de la hip´otesis previa, c  2; si ρ ( 2 ) 6 α = c  2, la hip´otesis H ( 2 ) es rechazada, en caso contrario, detenemos el proceso. El procedimiento contin´ua del modo expuesto rechazando Hk(k = 1 ; 2 ; : : : ; c ) si ρ ( k ) 6 α = c  k, dados k ? 1 rechazos previos. Por ejemplo, cuando k = 4 la diferencia entre pares de medias m´as larga es probada frente a un determinado valor cr´ıtico ( t ; F ; q ; : : : ) basada en α = 6, pues c = 4 ( 4 ? 1 ) = 2 = 6. En esta primera fase, tanto el procedimiento de Holm como el de Shaffer son plenamente coincidentes; no obstante, en la segunda etapa el procedimiento de Holm probar´ıa el siguiente par de medias m´as largo basado en α = 5, mientras que el procedimiento de Shaffer verificar´ıa dicha diferencia usando α = 3, pues el rechazo de la primera hip´otesis (por ejemplo, µ1 6 = µ4) implica que al menos tres de los restantes pares de medias podr´ıan a´un seguir siendo iguales (por ejemplo, µ1 = µ2,µ1 = µ3yµ2 = µ3´o µ2 = µ4,µ3 = µ4yµ2 = µ3). Para la tercera y cuarta comparaciones m´as largas, el procedimiento de Holm utilizar´ıa α = 4 y α = 3, respectivamente; sin embargo, el procedimiento de Shaffer emplear´ıa α = 3 en ambos casos, ya que el rechazo de la segunda hip´otesis (por ejemplo, µ1 6 = µ3) implica que un conjunto de tres hip´otesis puede seguir siendo verdadero (por ejemplo, µ2 = µ4, µ3 = µ4yµ2 = µ3), a su vez, el rechazo de la tercera hip´otesis (por ejemplo, µ2 6 = µ4) a´un permitir´ıa que un conjunto de tres hip´otesis podr´ıa seguir siendo verdadero (por ejemplo, µ1 = µ2,µ3 = µ3yµ3 = µ4). Finalmente, para las dos ´ultimas comparaciones, ambos procedimientos usar´ıan de nuevo el mismo α 0 ; esto es, α = 2 y α = 1. En la tabla 459 1 tomada de Shaffer (1986), se muestra la secuencia de divisores (c  k) para k= 3, 4, 5, 6 y 7. Tabla 1. N´umero de posibles pares de medias que pueden permanecer iguales entre k medias con r rechazos. (r) n´umero de hip´otesis rechazadas k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 3 1 1 4633321 5 10 6 6 6 6 4 4 3 2 1 6 15 10 10 10 10 10 7 7 7 6 4 4 3 2 1 7 21 15 15 15 15 15 15 11 11 11 11 10 9 7 7 6 5 4 3 2 1 Shaffer ha tabulado el valor de c  kpara k = 3 ; : : : ; 10. En el mismo trabajo de 1986, Shaffer propuso otra modificaci´on del procedimiento de Holm. La ´unica diferencia entre el procedimiento que acabamos de describir y la segunda modificaci´on propuesta por Shaffer, radica tan s´olo en el empleo de una prueba de igualdad de medias global. Es decir, que con esta versi´on protegida de Shaffer se procede a efectuar el contraste de medias una vez verificado que la hip´otesis nula global es falsa. Tras el rechazo de la hip´otesis nula global, lo cual implica que al menos una comparaci´on es distinta de cero, sin que necesariamente tenga que ocurrir la diferencia entre un simple par de medias, se procede como en el caso descrito pero asumiendo el rechazo de la hip´otesis m´as larga; de este modo, para el ejemplo especificado, si la hip´otesis nula global es rechazada, la diferencia m´as larga ser´ıa verificada utilizando α = 3, en vez de α = 6, para las hip´otesis restantes proceder´ıamos de un modo similar a lo dicho para la versi´on no protegida. Por consiguiente, si la hip´otesis nula global es rechazada, entonces la versi´on protegida de Shaffer ofrece una mayor potencia del test estad´ıstico asociado con el par de medias que difieren m´as entre s´ı. Si bien la autora a la que nos venimos refiriendo, ha tabulado el valor de c  kpara distintos niveles de la variable (k = 3 ; : : : ; 10 ) , para efectuar el an´alisis de los contrastes de la interacci´on recomienda utilizar la rutina que sigue: Si H ( 1 ) es rechazada utilizando el criterio de Dunn, α = c, probamos H ( 2 ) empleando como divisor c  2, donde c  2 = c ? ( p ? 1 )( q ? 1 ) ; esto es, α = c  2. A su vez, si H ( 2 ) es rechazada, se fija c  k = c  2para todo 2 6 k 6 c ? c  2 ? 1 y asignamos un valor de c ? k + 1 para todo k > c ? c  2 + 1. Por ejemplo, si tenemos un dise˜no factorial A  Bcon p = 2 y q = 4, el n´umero total de contrastes para la interacci´on, c, es igual a p   q  ( p  = p ( p ? 1 ) = 2 yq  = q ( q ? 1 ) = 2 ) . As´ı pues, de acuerdo con la primera versi´on del procedimiento de Shaffer, para c = 1 ; : : : ; 6, tenemos los siguientes valores de α 0 : 460 α 0 1 = α c  1 = α 6 α 0 2 = α c  2 = α 3donde c  2 = 6 ? ( 2 ? 1 )  ( 4 ? 1 ) α 0 3 = α c  3 = α 3pues 2 6 3 6 6 ? 3 + 1 α 0 4 = α c  4 = α 3pues 2 6 4 6 6 ? 3 + 1 α 0 5 = α c  5 = α 2ya que 2 6 5 6 6 ? 3 + 1 es falso. Por tanto c  5 = 6 ? 5 + 1 α 0 6 = α c  6 = α 1ya que 2 6 6 6 6 ? 3 + 1 es falso. Por tanto c  6 = 6 ? 6 + 1 Para la versi´on protegida proceder´ıamos del mismo modo, excepto para la primera diferencia, donde utilizar´ıamos α = 3, en vez de α = 6. 5.2. El procedimiento de Hochberg (1988) El procedimiento paso a paso de Hochberg (1988) es una de las t´ecnicas secuenciales m´as simples de cuantas existen. Para implementar este m´etodo lo primero que hay que hacer es ordenar por rangos los diferentes valores ρasociados con el estad´ıstico utilizado para probar las hip´otesis correspondientes a los diferentes contrastes; esto es, ρ ( 1 ) 6 ρ2 ) 6  6 ρ ( c ) . Bajo este enfoque se parte de la hip´otesis que tiene la mayor probabilidad de ser retenida a la que tiene la menor, para ello se comienza testando la hip´otesis asociada con el valor ρm´as largo. Si ρ ( c ) 6 α, rechazamos todas las hip´otesis y detenemos el proceso; por el contrario, si ρ ( c ) > α, retenemos H ( c ) y procedemos a probar H ( c ? 1 ) . Si ρ ( c ? 1 ) 6 α = 2, adem´as de la hip´otesis implicada rechazamos todas las dem´as; en caso contrario, H ( c ? 1 ) es retenida. A continuaci´on, ρ ( c ? 2 ) es comparado con α = 3, y as´ı se contin´ua el proceso hasta que alguna hip´otesis resulte rechazada. De ser retenidas todas las hip´otesis el proceso se finaliza comparando ρ ( 1 ) con α = c. 6. A MODO DE CONCLUSI ´ ON En el presente trabajo se ponen de relieve algunos de los problemas m´as importantes a los que tienen que enfrentarse los investigadores que usan los dise˜nos de medidas repetidas, en especial, cuando no se satisface el supuesto de esfericidad multimuestral y el n´umero de unidades experimentales var´ıa a lo largo de los diferentes grupos de 461 los que consta la variable de tratamiento. A su vez, a lo largo del mismo se describen con cierto grado de detalle varias pruebas que se hallan disponibles actualmente, y cuya utilizaci´on permitir´ıa a los investigadores solventar muchos de los problemas a los que irremediablemente les conducen los estad´ısticos utilizados tradicionalmente en estas circunstancias. Espec´ıficamente, mostramos c´omo aplicar el enfoque WelchJames para probar hip´otesis relacionadas con los efectos de los dise˜nos univariados y multivariados de medidas repetidas. Para lograr este cometido se hace un ´enfasis especial en la posibilidad de que la interacci´on resulte significativa, aspecto ´este que a pesar de resultar de capital importancia, pasa desapercibido para la mayor´ıa de los investigadores; as´ı como, en la forma de llevar a cabo inferencias para determinar los contrastes responsables de las diferencias obtenidas en los efectos del dise˜no. Con todo, y a pesar de ofrecer un amplio abanico de posibilidades de aplicaci´on, el enfoque Welch-James no es la panacea. En concreto, para datos distribuidos normalmente su robustez se va deteriorando a medida que la raz´on entre el tama˜no del grupo m´as peque˜no y el n´umero de medidas repetidas menos uno es inferior a 1.7 ´o 2, cuando se prueban hip´otesis referidas a los efectos principales y a 3 ´o 4, para el caso referido a la interacci´on. Obviamente, cuando los datos se apartan de la normalidad el deterioro de la robustez de este enfoque se deja sentir para razones inferiores a 3 ´o 4, en el caso de los efectos principales y para razones inferiores a 5 ´o 6, para el caso de la interacci´on. Finalmente, concluimos rese˜nando que cuando un investigador se encuentre inmerso en alguna situaci´on en las que se incumpla el supuesto de esfericidad multimuestral, los datos est´en muestreados desde distribuciones probablemente sesgadas y el tama˜no de los grupos sea reducido, lo mejor que puede hacer es reducir su nivel de significaci´on, o bien utilizar alguno de los otros enfoques descrito en este art´ıculo. Sobre manera, si se tiene en cuenta que en estas circustancias los estudios de simulaci´on llevados a cabo por Algina y Oshima (1995) ponen de relieve que tanto el procedimiento IGA, como CIGA, proporcionan un mejor control de la probabilidad de cometer un error de Tipo I para los efectos principales, que el enfoque Welch-James. En lo que a la interacci´on se refiere, los trabajos de Algina y Oshima (1994) y de Keselman et al. (1993), sugieren la necesidad de seguir desarrollando pruebas alternativas. Por ejemplo, una candidata potencial podr´ıa ser la versi´on generalizada de la prueba de Brown y Forsythe (1974). 7. AGRADECIMIENTOS El autor desea dejar constancia p´ublica de su agradecimiento al evaluador an´onimo, pues la nueva versi´on del trabajo se beneficia, tanto de sus enjundiosos comentarios como de sus acertadas sugerencias. 462 REFERENCIAS [1] Algina, J. (1994). «Some alternative approximate tests for a split-plot design». Multivariate Behavioral Research,29, 315-384. 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ESCUDERO GARC´ IA Universidad de Oviedo  This paper describes in some detail alternative types of analyses for unbalanced split-plot designs when the assumption of multisample sphericity is violated. Specifically, by adapting a multivariate approximate degrees of freedom approach developed by Johansen (1980) and a revised improved general approximation procedure based on Huynh (1978) it is shown how to obtain robust and powerful analysis to test within-subjects main effect and the between x within interaction, as well as multiple comparisonhypotheses related to these effects, so much if is counted with a single dependent variable associated with each repeated measurement as if is counted with multiple dependent variables. Keywords: Multivariate repeated measures designs, multisample sphericity, weighted and unweighted means, robust and powerful procedures. AMS Classification: 62K10, 62J1 *Departamento de Psicolog´ıa. Universidad de Oviedo. Plaza Feijoo, s/n. 33003 Oviedo. e-mail:gvallej[email protected].uniovi.es. –Received December 1996. –Accepted May 1998. 466 The design of repeated measures is frequently used in the investigations carried out in social, behavioral and health sciences. If the following assumptions are met: multivariate normality, homogeneity of dispersion matrices, equality of the variances corresponding to the differences between repeated measures (circularity or sphericity assumption) and independence among the observations, these designs have been traditionally analyzed by means of Scheff´e’s (1956) univariate mixed model. In this model, subjects (blocks) are random and treatments are fixed. If the sphericity assumption is not met, which happens in most psychological data, the investigator has two options to analyze. On one hand, you can use an univariate mixed model with the degrees of freedom adjusted by means of some of the numerous existent Box type correctors (Lecoutre, 1991) and, on the other hand, a multivariate model. This last approach has the advantage of allowing that the variance-covariance matrix adopt any structure., Although it requires, in addition the accomplishment of the assumptions of multivariate normality and homogeneity of covariance, that the number of experimental units be bigger, or at least the same as the one of repeated measures. If the exposed conditions are satisfied, potency is used for the election of the univariate approach with the corrected degrees of freedom or the multivariate approach. For example, Davidson (1972) demonstrates that with moderate sample sizes and the covariance matrix lightly deviated of the required sphericity pattern, the univariate mixed model is always more powerful than the corresponding multivariate approach. The situation is gradually inverted as the dispersion matrix deviates of the required sphericity pattern. When the multisample sphericity assumption is violated and group sizes is unequal, several investigators (Belli, 1988; Huynh and Feldt, 1976, Keselman, Carriere and Lix, 1993) wonder if both procedures are robust, mainly, if the number of experimental units differs from a group to another of the design. To deal with the specified problem, along the present work different procedures are described. Specifically, we show how to apply the Welch-James approach to prove hypothesis related with within-subjects main effect and the between xwithin interaction, so much for split-plot designs containing a single dependent variable as for split-plot designs containing multiples dependent variables. To achieve this, a special emphasis is made in the two following aspects: a) In the hypothesis testing depending on the model (additive or interactive). Although in presence of interaction analytic strategy should be different from that when it is not present, most of investigators do not realize this question and in fact almost all of them testing their hypotheses according to the postulates of an additive model. b) In the form to accomplish inferences to determine the contrasts responsible for the differences obtained between the levels and combinations of levels of the unbalanced partially repeated measures designs involving heterogeneous covariance 467