Dissenys combinatoris. Problemes

EST DC DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA DISSENYS COMBINATORIS Marta Pérez Casany f):tCLÓS DE PRÉSíEC UNIVERSIT AT P0LITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca l 1111111111111111111! 111� 111111111 111111�11 !�111111 1400210419 FACULTAT DE DE MATEMATIQUES I ESTADÍSTICA Títol Autors Diposit Legal lmpres per : Dissenys Combinatoris : Marta Pérez Casany : B.41660-1995 : REPRO BARNA, S.L. C/. Entern;a 16-18. 08015 Barcelona ::: --� ... � Facuttat de Matemat!ques 1 ES1adfS11ca • Rlhllntpr.A COMPARACIONS SIMPLES 1.-La resistencia d'una fibra a trencar-se ha de ser de com a mínim 150 psi. L'experiencia passada ens permet suposar que la desviació estandard de la resistencia a trencar-se es de u= 3 psi. Una mostra aleatoria que ha estat obtinguda al fer una prova amb quatre troi;os de fibra, ha donat com a resultat una mitjana aritmetica de 148 psi. L'hem d'acceptar com a bona, o s'ha de rebutjar com a defectuosa a un nivell de significació de a= 0.05?. Construiu un interval de confiani;a al 95% per la resistencia de la fibra. 2.-Ens interessa estudiar la duració d'una beguda carbonica. S'han escollit aleatoriament 10 ampolles i de cadascuna d'elles se n'ha estudiat la duració, obtenint: Dies 108 138 124 163 124 159 106 134 115 139 suposem que la hipotesi alternativa és que la duració de la beguda és superior a 125 dies. És possible rebutjar la hipotesi nul·la H0 : µ = 125?. Construiu un interval de confiani;a al 95% pel veritable valor de la duració de la beguda. 3.-Es fan servir dues maquines per a omplir ampolles de platic d'un volum net de 16.0 unitats de volum. Se suposa que el volum de la ampolla que és omplert es distribueix segons una normal. Les diviacions típiques respectives a cadascuna de les maquines són u1 = 0.015 i u 2 = 0.018. El departament de qualitat de !'empresa creu que ambdues maquines omplen el mateix volum net, sigui o no sigui de 16.0 unitats de volum. Una mostra aleatoria obtinguda de cadascuna de les maquines és: 1 Maquina 1 16.03 16.01 16.04 16.05 16.05 16.02 15.96 15.98 16.02 15.99 Creus que el departament de qualitat té la raó? Maquina 2 16.02 16.03 15.97 15.96 16.01 15.99 16.04 16.02 16.01 16.00 4.-Les dades següents són el temps que han trigat a consumir-se dos tipus diferents de bengales. Els que les fan estan interessats en la mitjana i la varian<;a de la variable "temps en consumir-se" . Tipos 1 Tipos 2 65 82 64 56 81 67 71 69 57 59 83 74 66 75 59 82 82 70 65 79 a) Feu un test per a comparar les dues variances per a o:= 0.05. b) Fent servir els resultats de l'apartat anterior, feu un test per a comparar si les dues mitjanes son iguals. 5.-Un nou aparell de filtrat s'ha instal-lat en una unitat química. Abans de la seva intal•lació, una mostra aleatoria de mida vuit donava els següents resultats relatius al percentatge d'impuresa: Y1 = 12.5, S? = 101.17. Després de la seva intal-lació, una mostra aleatoria de mida nou dona.va lloc als següents estadístics: y2 = 10.2, Si = 94. 73. És possible concloure que les dues variances son iguals?. L'aparell de filtrat ha redu'it de forma significativa el grau d'impuresa?. 6.-Un article aparegut en el Journal of Strain Analysis (vol. 18, no.2, 1983) compara diverses maneres per a predir la duresa de planxes d'acer. S'han agafat nou planxes i se n'ha estudiat la duresa utilitzat els metodes de Karlsruhe i de Lehigh. Els resultats obtinguts són: 2 Planxa Metode de Karlsruhe Metode de Lehigh 1 1.186 1.061 2 1.151 0.992 3 1.322 1.063 4 1.339 1.062 5 1.200 1.065 6 1.402 1.178 7 1.365 1.037 8 1.537 1.086 9 1.559 1.052 Hi ha alguna diferencia entre aquests dos metodes?. 7,-Dos medicaments molt coneguts pel dolor volen comparar-se en base a la seva velocitat d'absorció pel cos. En concret es creu que el medicament 1 s'absorveix a una velocitat que és el doble de la del medicament 2. Suposa.nt variances conegudes dese_ _,,upeu un test estadístic per a comparar les hipotesis: Ho: 2µ1 =µ2 H1: 2µ1 # µ2. 3 COMPARACIONS MULTIPLES: UN FACTOR AMH DIVER SOS NIVELLS DISSENYS COMPLETAMENT ALEATORIS 8.-Suposeu que Yii i = 1 · · · a, j = 1 · · · n són les observacions corresponents a un disseny completament aleatori. L'índex i correspon al nivell del factor i l'índex j correspon a l'observació. Per a contrastar l'efecte dels diferents nivells del factor, s'ha de portar a terme l'analisi de la variam;a. Mireu com canvien les sumes de quadrats i l'estadístic Fo en els dos casos següents: a) S'aplica una traslació a les dades, es adir, es suma una constant a cadascun dels valors observab, (la mateixa constant per a tos els valors). b) S'aplic ..,,m homotecia a les dades, es adir, es mulul-'""ª cadascun dels valors per una constant (la mateixa constant per a tots els valors). c) Podeu treure'n alguna cosa profitosa dels resultats anteriors? 9,-Considereu el test de igualtat de mitjanes en dues poblacions normals, suposant va riances iguals i desconegudes. Demostreu que el test t-Student és equivalent a l'analisi de varian<;a d'un factor amb dos nivells. 10.-Un fabricant de televisions esta interessat en comparar l'efecte de quatre vernissos que s'apliquen als tubs de la televisió. En concret vol saber si hi ha o no diferencies en quant a la conductivitat dels tubs. Els resultats observats han estat els següents: Tipus de Vernís Cond uctivitat 1 143 141 150 146 2 152 149 137 143 3 134 136 132 127 4 129 127 132 129 a) Existeix alguna diferencia en la conductivitat deguda al tipus de vernís amb un o = 0.05? b) Estimeu la mitjana general i l'efecte dels tractaments. 4 c) Trobeu un interval de confiarn;a al 95% per a la mitjana del vernís 4. Trobeu un interval de confian¡;a al 99% per a la diferencia de les mitjanes dels vernissos 1 i 4. d) Apliqueu el test de Duncan per a comparar tates les parelles possíbles de vernissos amb o= 0.05. e) Actualment }'empresa utilitza el vernís 4, que li recomanarieu després d'haver fet aquest estudi si el que es vol es minimitzar la conductivitat?. 11.-Es vol estudiar de quina manera quatre temperatures d'ebullició determinades efecten la densitat d'un tipus concret de rajola. L'experiment portat a terme ha donat lloc a les següents observacions: Temperatura Densitat 100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 21.9 21.8 21.8 21.6 21.5 1 175 21.9 21.7 21.8 21.4 a) Efecte realment la temperatura d'ebullició la densitat de la rajola? b) Compareu les mitjanes utilitzant el test de Duncan. e) Analitzeu els residus. Creieu que les hipotesis de l'analisi de la varian¡;a es satisfan?. 12.-Donats tres tipus de circuits se n'ha estudiat el temps de resposta en milisegons. Els resultats han estat: Tipos Temps de resposta 1 9 12 10 8 15 2 20 21 23 17 30 3 6 5 8 16 7 a) Feu un test per a comparar si els tres circuits tenen el mateix temps de resposta amb un nivell de significació de o = 0.01. b) Feu servir el test de Tukey per a comparar les parelles de tractaments. e) Construiu un conjunt de con trastos ortogonals, en el cas de sos pitar que el temps resposta del circuit dos difereix dels altres dos. d) Quin circuit escolliries si volguessis minimitzar el temps de resposta?. 5 13.-Es volen comparar quatre dissenys diferents d'un circuit digital d'un computador. Se n'ha estudiat la quantitat de soroll present i els resultats obtingut han estat: Tipus Soroll observat 1 19 20 19 30 8 2 80 61 73 56 80 3 47 26 25 35 50 4 95 46 83 78 97 a) La quantitat de soroll present és la mateixa pels quatre tipus diferents de disseny? b) Estimeu les components del model. Estimeu també totes les possibles diferencies entre parells de tracta.ments. Són estimables de forma única? Perque?. c) Quin disseny escollirieu tenint en compte que el soroll ha de ser el mínim possible? 14.-Un empresari creu que les partides de material que li suministren difereixen conside rablement en el seu contingut ue calci. Per aixo ha anat al magatzem i ha ::;eieccionat de forma aleatoria cinc partides de material. Dins de cada partida ha fet un total de cinc mesures. Els resultats obtinguts han estat: Partida 1 Partida 2 Partida 3 Partida 4 Partida 5 23.46 23.59 23.51 23.28 23.29 23.48 23.46 23.64 23.40 23.46 23.56 23.42 �;;.45 23.37 23.37 23.39 23.49 23.52 23.46 23.32 23.40 23.50 23.49 23.39 23.38 a) Existeix alguna diferencia significativa entre els continguts de calci de les diferents partides? b) Estimeu les components de la varianc;a. O'� c) Trobeu un interval de confianc;a al 95% per a -=i-b +. cr, cr d) Analitzeu els residus per a saber si es satisfan les hipotesis de l'analisi de la varianc;a. 15.-S'han escollit quatre químics per a que determinin el percentatge de metil-alcohol es un cert producte químic. Cada químic ha fet tres observacions, i els resultats han estat els següents: 6 Tractament 1 2 3 4 5 Bloc 1 5.2 7.3 6.8 10.0 Bloc 2 8.5 9.2 12.7 10.6 11.6 Bloc 3 4.1 6.3 9.3 7.1 9.8 Bloc 4 6.4 8.9 11.2 5.7 11.3 a) Feu l'analisi de la variall(;a exacte i estimeu els parametres. b) Estimeu el valor faltant i construiu la taula aproximada de l'analisi de la variall(;a. 31.-Considereu un disseny de bloc aleatoris amb submostreig. En concret, suposeu que a = 3 tractament, b = 4 blocs, i n = 2 observacions per unitat experimental. a) Doneu l'expresió del model lineal associat a aquestes dades. b) Especifiqueu la taula de l'analisi de la variani;a. 'S , . ::::ie_ del SAS per a portar a terme aquesta analisi DISSENYS DE QUADRATS LLATINS I GRECOLLATINS 32.-Es vol estudiar l'efecte de cinc ingredients diferents (A, B, C, D, E) en el temps de reacció d 'un procés químic. Cada remesa de nou material només permet fer un total de cinc observacions. A més, cada observació requereix un temps d'una hora i mitja, i en con seqüencia, només és possible fer cinc observacions cada dia. Així dones, l'esperimentador decideix portar a terme un disseny de quadrats llatins, a fi de controlar les dues fonts de variabilitat ( dies i remeses de material). Analitzeu els resultats següents i treieu-ne conclusions: Dies Remesa 1 2 3 4 5 1 A=8 B=7 D=l C=7 E=3 2 C=ll E=2 A=7 0=3 B=8 3 B=4 A=9 C=lO E=l D=5 4 D=6 C=8 E=6 B=6 A=lO 5 E=4 D=2 B=3 A=8 C=8 Suposeu ara que us falta l'observació corresponent a la remesa tres i al dia quatre. Estimeu la i efectueu l'estudi de l'anhlisi de la variam;a. 13 33.-Un enginyer industrial vol estudiar quatre metodes d'assemblatge (A, B, C, D) pel temps d'assemblatge d'unes components de televisió en color. L'experimentador sap que, sigui quin sigui el metode emprat, té lloc l'efecte anomenat "fatiga". L'efecte fatiga es tradueix en el fet que el temps emprat per a fer el primer assemblatge és més petit que l'emprat en l'últim. Per a portar a terme l'experiment s'han escollit quatre operadors, i s'ha portat a terme el següent disseny de quadrats llatins: Operador Ordre d'assemblatge 1 2 3 4 1 C=lO D=14 A=7 B=8 2 B=7 C=18 D=ll A=8 3 A=5 B=lO C=ll D=9 4 D=lO A=lO B=12 C=14 Analitzeu les dades i treieu-ne conclusions. 34.-Un quadrat llatí pxp conté únicament p observacions de cadascún dels tractaments. Per a obtenir més repliques l'experimentador ha de fer servir més quadrats llatins, per exemple n. No és necessari que els n quadrats llatins siguin el mateix. El model que descriu aquesta situació és Yijkh = µ + Ph + Oj(h) + Tj + f3k(h) + (rp);h + e;jkh, on i, j, k van de 1 fins a p i h va de 1 fins a n. Yijkh designa l'observació del tractament j essim de la fila i-essima, columna k-essima i n-essim quadrat llatí. ºi(h) i f3k(h) corresponen respectivament a l'efecte de la i-essima fila i la j-essima columna en l'n-essim quadrat llatí. Ph és l'efecte de l'h-essim quadrat llatí i, per acabar, (rp);h és la interacció entre tractaments i quadrats llatins. a) Escriviu les equacions normals del model i resoleu-les a fi d'obtindre les estimacions dels parametres del model. Quines són les restriccions apropiades en aquest cas?. b) Con seria la taula de l'analisi de la varianc;a per aquest model?. 35.-La producció d'un procés químic ha estat mesurada utilitzant cinc peces de material, cinc concentracions d'acid diferents, cinc temps de duració diferents ( A, B, C, D, E), i cinc concentracions catalitzadores (o, {3, 1, ó, €) també diferents. Analitzeu les dades del quadrat llatí resultant: 14 Concentració d'acid Pe�a 1 2 3 4 5 1 A a=26 B /3=16 e ,=19 D ó=l6 E 1:=13 2 B ,=18 e &=21 D 1:=18 E a=ll A /3=21 3 e 1:=21 D a=12 E /3=16 A ,=25 B ó=l3 4 D /3=15 E ,=15 A <5=22 B 1:=14 C a=17 5 E ó=lO A 1:=24 B a=l7 e fJ=17 D "'f=l4 36.-Construiu un hiperquadrat 5x5 útil per a estudiar els efectes d'un factor sotmes a quatre restriccions. Feu la taula de l'analisi de la variarn;a per aquest disseny. 37.-Suposeu que en el problema 26 es sospita que els llocs a on s'han portat a terme les operacions són una nova font de variabilitat. Per aixo, s'inclou un nou factor i es fixen qu<-e llocs (a, (J, ,, <5). i �, porta a terme de nou ''estudi, utilitzant ar?,, quadrat grecollatí. Analitzeu les dades següents: Operador Ordre d'assemblatge 1 2 3 4 1 C /J=ll B ,=10 D ó=l4 A a=8 2 B a=8 e &=12 A ")'=10 D /3=12 3 A <5=9 D a=ll B /3=1 e ")'=15 4 D ")'=9 A /3=8 C a=18 B ó=6 38.-Demostreu que si tenim un disseny de quadrats llatins amb un valor faltant, la manera d'estimar-lo és mitjarn;ant la fórmula: , PYi .. + PY,j. + PY .. k -2y .. , y= (p -l)(p -2) 39.-Hem planejat un estudi per a investigar: (a) quan quatre tipus d'aditius per la betzina difereixen respecte a la reducció d'oxit de nitrogen i (b) si aquestes diferencies realment existeixen, quan depenen de les marques dels cotxes utilitzades al fer l'estudi. L'investigador ha seleccionat 3 marques de cotxe (Ford, Honda i Porsche). Es disposen de quatre cotxes de cada model, i es disposen també de quatre conductors diferents. Es creu 15 que cada model dóna lloc a unes diferencies sistema.tiques i que aquestes diferencies també són presents en els conductors. En el plantejament de l'estudi es volen eliminar aquestes diferencies entre models de cotxe i entre conductors. S'utilitzaran els mateixos quatre conductors per a tot l'experiment. a) Doneu el nom del disseny apropiat. b) Especifiqueu l'assignació del aditius a les combinacions cotxe-conductor. c) Especifiqueu el model lineal i la taula de l'analisi de la varian<;a, d) Especifiqueu les sentencies del SAS. e) Com utilitzarieu la taula de l'analisi de la varian<;a per a contestar les dues preguntes especificades al cornern;arnent?. DISSENYS DE BLOCS INCOMPLETS 40.-Justifiqueu que no existeix cap disseny balancejat de blocs incomplets amb els para metres: a = r = 8, k = 4 i b = 16. 41.-Es volen comparar quatre tractaments en blocs que permeten fer només dues obser vac1ons. Trobeu un disseny balancejat de blocs incornplets en el que s'utilitzin només sis blocs. 42.-Es volen comparar vuit tractaments en blocs que permeten fer un total de quatre observacions. Trobeu un disseny de blocs incomplets en el que intervinguin un total de 14 blocs i .>. = 3. 43.-Es volen comparar cinc aditius de la betzina. Per aixo, es prenen els diferents cotxes com a diferents nivells d'un factor bloc. A causa del factor temps, nornés és possible efectuar quatre proves amb cadascun dels cotxes. En aquesta situació s'obté el següent disseny de blocs incomplets: 16 Cotxes Aditiu 1 2 3 4 5 1 17 14 13 12 2 14 14 13 10 3 12 13 12 9 4 13 11 11 12 5 11 12 10 8 a) Analitzeu les dades anteriors i treieu-ne conclusions. b) Construiu una familia de contrastos ortogonals per a les dades anteriors i estudieu-los. 44.-Considereu el següent disseny parcialment balancejat, i feu-ne l'estudi de l'analisi de la varianc;a: Bloc Tractament 1 2 3 4 5 6 1 14 10 16 2 10 12 15 3 20 24 19 4 16 11 10 5 13 17 12 6 9 10 8 45.-Donada la següent matriu: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 justifiqueu que les files i les columnes formen un disseny de blocs incomplets parcialment balancejat per a 16 tractaments i 8 blocs. Comproveu també que es tracta de dues de les repliques d'un "Latice". 46.-Analitzeu el següent quadrat de Youden: 17 Posició Blocs 1 2 3 4 1 A=2 B=9 C=O D=14 2 B=6 A=5 E=5 C=3 3 C=l D=9 A=O E=7 4 D=8 E=8 B=lO A=4 5 E=7 C=6 D=ll B=lO 18 DISSENYS MULTIFACTORIALS DISSENYS ANIUATS 47.-Es vol estudiar la variabilitat en les dimensions d'un determinat objecte que es fabrica en tres maquines. Cada maquina té dues vies de sortida. S'ha decidit escollir a l'atzar quatre objectes de cadascuna de les vies de sortida, per a cadascuna de les maquines. Entenent que els efectes produits per les maquines i les vies de sortida són fixos, analitzeu les següents dades: Maquina Maquina Maquina 1 2 3 Sortida 1 2 1 2 1 2 12 8 14 12 14 16 9 9 15 10 10 15 11 10 13 11 12 15 12 8 14 13 11 14 48.-Trobeu les esperances dels quadrats mitjos per a un disseny balancejat aniuat de tres etapes. suposeu que el factor A és d'efectes fixos i els factors B i C són d'efectes aleatoris. Quines són les fórmules que permeten estimar les components de la varian<;a?. 49.-Amb la finalitat de simplificar el programa de producció, es vol estudiar la possibilitat d'assignar un temps estandar a cada una de les fases per les que ha de passar el producte. Per a veure si és o no possible aquesta simplificació, s'han escollit sis d'aquestes fases de forma aleatoria. Cadascuna de les fases que han estat escollides, s 'ha assignat a tres operaris diferents. Cada operari porta a terme dues observacions de la fase que li ha tocar. Creieu que és possible assignar un temps estandar a totes les fases de producció?. Si la resposta és afirmativa, quin creieu que hauria de ser aquest temps? 19 Fase Operador Operador Operador 1 158.3 159.4 159.2 159.6 158.9 157.8 2 154.6 154.9 157.7 156.8 154.8 156.3 3 162.5 162.6 161.0 158.9 160.5 159.5 4 160.0 159.7 157.5 158.9 161.l 158.5 5 156.3 158.1 158.3 156.9 157.7 156.9 6 163.7 161.0 162.3 160.3 162.6 161.8 50.-Suposeu que teniu un disseny aniuat de dues etapes no balancejat. Aixo vol dir que per a cada i nivell del factor A teniu b; nivells del factor B ( el nombre de nivells de B no és constant si no que varia en funció del nivell de A). A més, per a cada combinació de nivells no té per a que haver-hi el mateix nombre d'observacions, aixo vol dir que designarem per n;; les obse1 vacions del nivell i-essim del factor A i nivell i-essim del factor B. a) Comenceu escrivint les equacions normals per a aquesta situació. b) Construiu la taula de l'analisi de la varian,;a. c) A partir de l'apartat anterior, analitzeu la taula següent: Factor A 1 2 Factor B 1 2 1 2 3 6 -3 5 2 1 4 1 7 4 o 9 9 3 -3 6 51.-Es vol estudiar el rendiment d'un producte en fundó de la maquina que l'ha elaborat. L'empresa té un total de tres maquines, i cadascuna d'elles pot funcionar a dúes potencies diferents. A més, cada maquina té tres posicions en les que pot ser format el producte. Entenent que els tres factors que intervenen en el resultat tenen efectes fixos, analitzeu la següent taula: 20 Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Posició 1 2 3 1 2 3 1 2 3 34.1 33.7 36.2 32.1 33.1 32.8 32.9 33.8 33.6 Potencia 1 30.3 34.9 36.8 33.5 34.7 35.1 33.0 33.4 32.8 31.6 35.0 37.1 34.0 33.9 34.3 33.1 32.8 31.7 24.3 28.1 25.7 24.1 24.1 26.0 24.2 23.2 24.7 Potencia 2 26.3 29.3 26.1 25.0 25.1 27.1 26.1 27.4 22.0 27.1 28.6 24.9 26.3 27.9 23.9 25.3 28.0 24.8 21 DISSENYS MULTIFACTORIALS AMB RESTRICCIONS 52.-S'estudia la producció d'un determinat procés químic. Els dos factors que han de ser estudiats són la temperatura i la presió. S'escullen tres nivells per a cada factor. Només es poden portar a terme nou observacions per dia. L'experimentador desenvolupa una replica comleta del disseny cada dia. Les dades obtingudes estan en la taula següent. Analitzeu les dades entenent que els dies són blocs. Dia 1 Presió Dia 2 Presió Temperatura 250 260 270 250 260 270 Baixa 86.3 84.0 85.8 86.1 85.2 87.3 Mitjana 88.5 87.3 89.0 89.4 89.9 90.3 Alta 89.1 90.2 91.3 91.7 93.2 97.3 53.-Considereu un disseny Split-Plot amb a nivells pel factor total, b nivells pel factor split-plot, r repliques i submostreig, és adir, n observacions per a cada split-plot. a) Doneu un model apropiat per ajustar les u0servacions. b) Doneu la corresponent taula de l'analisi de la carian�a. c) lndiqueu com testarieu les hipotesis corresponents als factor A, al factor B i a la inter acció AxB. d) Especifiqueu les corresponents comandes del SAS útils per a realitzar aquest estudi. 54.-Es vol dissenyar un experiment per estudiar la dispersió dels pigmenta en la pintura. S'estudien quatre barreges d'un particular pigment. La forma de procedir és la següent: s'agafa una determinada barreja is s'aplica a una pared de tres formes diferents (amb pinzell, amb rotlle i amb esprai). La resposta mesurada és el percentatge de reflecta.ncia del pigment. Per a fer l'experiment s'han necessitat tres dies. La taula següent conté els resultats obtinguts. Analitzau-los suposant que les barreges i els metodes d'aplicació són fixos. 22