Problemas tipo en teoría de la decisión

Q¨ UESTII ´ O,vol. 21, 1 i 2, p. 321-357, 1997 PROBLEMAS TIPO EN TEOR´ IA DE LA DECISI ´ ON RAM ´ ON ALONSO SANZ  Universidad Polit´ecnica de Madrid El objetivo de este art´ ıculo es ilustrar las t´ ecnicas y los conceptos b´ asicos de la Teor´ ıa de la Decisi´ on. Para lograr este objetivo se ha adoptado el problema tipo quiz´ a m´ as sencillo: el problema de la inversi´ on. ´ Este queda caracterizado por dos decisiones alternativas (invertir o no invertir ) y dos estados de la naturaleza (apreciaci´ on y depreciaci´ on). La informaci´ on adicional adopta la forma de opini´ on de un experto. El problema se ha resuelto en forma extensa y normal. Las consecuencias se suponen expresadas en su forma primaria, como costes de oportunidad y como p´ erdidas. El ´ arbol de decisi´ on y la soluci´ on minimax tambi´ en son considerados. Type problems in Decision Theory Keywords: Decision theory, problems. Clasificaci´ on AMS: 62C05 *Ram´on Alonso Sanz. ETSI Agr´onomos. Unidad de Estad´ıstica. Universidad Polit´ecnica de Madrid. C. Universitaria. 28040 Madrid. e-mail: [email protected] –Article rebut el febrer de 1995. –Acceptat el desembre de 1996. 321 1. INTRODUCCI ´ ON Los ejercicios de este art´ıculo son casos particulares del planteado por la disyuntiva: invertir ( d1 ) o no invertir ( d2 ) una cierta cantidad x, en un proceso en el que se puede ganar ( θ1 ) o perder ( θ2 ) la cantidad y, con probabilidades p ( θ1 )  p,p ( θ2 )  1 ? p.1 θ1θ2 d1x + y x ? y d2x x La confianza del decisor en el experto al que se puede consultar se cuantifica mediante las verosilimitudes de acierto: p ( z1 = θ1 ) = p ( z2 = θ2 ) = π, siendo Zla variable aleatoria que designa la opini´on de experto. En los problemas 1 :  se fija πa un valor que supone considerar al experto como tal: π = 0 ; 75, siendo pun par´ametro. Por el contrario, en los problemas 2 :  ; p = 0 ; 5 ; valor que hace equivalentes ambas decisiones, siendo πel par´ametro. En los problemas 3 :  , tanto las probabilidades a priori como las verosimilitudes de acierto son par´ametros. En el problema 4 se considera un contexto de incertidumbre total. ´ Indice de problemas π = 1 = 2p = 3 = 4 1.1.A 2.1.A forma extensa conconsecuencias primarias 1.1.B 2.1.B « « « costes de oportunidad 1.2.A 2.2.A forma normal «consecuencias primarias 1.2.B 2.2.B « « « costes de oportunidad 1.2.C 2.2.C « « « p´erdidas pyπpar´ametros 3.1 forma normal concostes de oportunidad 3.2 « « « p´erdidas 3.3 ´arbol de decisi´on con consecuencias primarias 3.4 « « « costes de oportunidad πpar´ametro 4 incertidumbre total 322 2. FUNDAMENTOS TE ´ ORICOS Sea el problema de decisi´on ( D ; Θ ; X ) : un decisor ha de elegir una de entre mdecisiones posibles (D); el resultado final (X) depende de su elecci´on y de un conjunto de factores que ´el no controla, denominados gen´ericamente Naturaleza ( Θ ) . Supondremos que ´esta se puede presentar en nformas o estados. DECISIONES ESTADOS DE LA NATURALEZA θ1    θj  θn d1 . . . dixij . . . dm Si se decide diy la naturaleza se presenta en el estado θj, la consecuencia es xij; en su forma primaria consideraremos que es una ganancia. 2.1. Decisi´ on en ambiente de incertidumbre parcial o riesgo Las probabilidades asociadas a los estados de la naturaleza, p ( θj ) , miden el grado de creencia en su verificaci´on. Supondremos que el criterio de decisi´on es el de la maximizaci´on del valor medio. An´ alisis en forma extensa d  Decisi´on de Bayes = di = ( max i Vi = n ∑ j = 1 xij p ( θj ) !) = VsinI Valor medio sin Informaci´on  Decisi´ on con informaci´ on adicional Supongamos que, antes de tomar la decisi´on el decisor pide informaci´ on (opini´ on) a un experto. Sea Zla variable aleatoria que describe la opini´on del experto y sea Z = f z1 ;::: ; zk ; : : : ; zn g su dominio, donde zkindica que el experto opina que se dar´a θk. 323 Ante la opini´on del experto, el decisor modifica las probabilidades iniciales, a priori; los valores a posteriori se obtienen aplicando el teorema de Bayes: p ( θj = zk ) = p ( zk = θj ) p ( θj ) p ( zk ) a posteriori a priori Verosimilitudes: miden el grado de confianza del decisor en el experto El criterio de elecci´on seguir´a siendo el de maximizaci´on del valor medio, pero utilizando ahora las probabilidades a posteriori. Es decir, supuesto Z = zk: d  i = di = max i 8 > > > > < > > > > : Vi = n ∑ j = 1xij p ( zk = θj ) p ( θj ) p ( zk ) | {z } p ( θj = zk ) 9 > > > > = > > > > ;  Valor medio del proceso de decisi´ on con informaci´ on VconI = n ∑ k = 1 max i " n ∑ j = 1xij p ( zk = θj ) p ( θj ) p ( zk )   #! p ( zk )   = n ∑ k = 1 max i " n ∑ j = 1xij p ( zk = θj ) p ( θj ) #! Valor de la informaci´ on: VdeI = VconI ? VsinI Propiedad: VdeI > 0.  Informaci´ on Perfecta: Ser´ıa la que aportar´ıa un «experto perfecto». Aqu´el que verificase (siempre en opini´on del decisor): p ( zk = θk ) = 1➪p ( θk = zk ) = 1 : Se cumple2VconIP = n ∑ j = 1  max ixij  p ( θj ) : Ver Problema 1.1.A. En el extremo opuesto, restringiendo el problema a n = 2 ; el decisor puede creer que el «experto»siempre falla, y asignar las verosimilitudes: p ( z2 = θ1 ) = p ( z1 = θ2 ) = 324 1➪p ( θ2 = z1 ) = p ( θ1 = z2 ) = 1. En este caso, la regla de decisi´on es, naturalmente, hacer lo contrario de lo que opina el «experto».  Informaci´ on irrelevante Si todas las verosimilitudes son iguales, VconI = VsinI3➪VdeI = 0. Costes de oportunidad yij =  max ixij  ? xij Un mecanismo alternativo de resolver un problema de decisi´on, generalmente m´as c´omodo, se basa en la minimizaci´ on del coste de oportunidad medio4 d  = di = min i ( C ( di ) = n ∑ j = 1yijpj )! = CsinI Se cumple (ver nota): CsinI = VconIP ? VsinI = VdeIP(1) Con opini´on del experto, (2) CconI = VconIP ? VconI5 De la diferencia [ 1 ] ? [ 2 ] :VdeI = CsinI ? CconI  P´ erdidas (valores opuestos a las ganancias) ` ij = ? xij d  = di = min i ( L ( di ) = n ∑ j = 1 ` ij pj ) |{z } LsinI = min i ( ? n ∑ j = 1 xij pj ) |{z } ? VsinI  max i f Vi g (3) An´alogamente: LconI = ? VconI : (4) De la diferencia [ 3 ] ? [ 4 ] resulta: VdeI = lsinI ? LconI. 325 En los problemas resueltos con la matriz de consecuencias en forma de p´erdidas, se ha supuesto que a todos los elementos de dicha matriz en su forma primaria se les ha restado la cantidad x. De forma general, si se efect´ua una traslaci´on en kunidades: x 0 ij = xij ? k ; resulta: d  = di = max i n ∑ j = 1 x 0 ijp ( θj ) !! = VsinI 0 = VsinI ? k : An´alogamente: VconI 0 = VconI ? k; de la diferencia de igualdades VdeI = VconI 0 ? VsinI 0 : An´ alisis en forma normal Se basa en la evaluaci´on de las estrategias oreglas de decisi´ on: D = f σ ( z ) = δ:ZD g δ  = δ = max δ V ( δ ) = n ∑ j = 1 V ( δ = θj ) p ( θj ) ! V ( δ = θj ) = n ∑ k = 1 V ( δ = θj ; zk ) p ( zk = θj ) En los problemas planteados con costes de oportunidad o p´erdidas, la operaci´on de minimizaci´ on ha de sustituir a la de maximizaci´ on. 2.2. Decisi´ on en ambiente de incertidumbre total El decisor no tiene ninguna apreciaci´on de la probabilidad de los estados de la naturaleza. Supondremos planteado el problema con las consecuencias como p´erdidas ` ij (problema ( D ; Θ ; L )) yque el criterio de decisi´on es el minimax, en virtud del cual, la decisi´ on no aleatorizada minimax es: d  = di = min i ( max j ` ij ) 326 Decisiones aleatorizadas Una distribuci´on de probabilidad sobre Ddefine una decisi´on aleatorizada. As´ı, ∆ =  d1d2 ::: dm π1π2 ::: πm  . Identificaremos ∆yΠ. La p´ erdida media asociada a la decisi´ on aleatorizada ∆supuesto θjes Lj ( ∆ ) = L ( ∆ = θj ) = ∑ iπi ` ij ∆  es una decisi´on minimax si: ∆  = ∆ = min ∆  max jL ( ∆ = θj )  |{z } v = max jL ( ∆  = θj ) = V(valor minimax ) M´ etodos de obtenci´ on de ∆ ∆ ∆    ➀Programaci´ on Lineal πij = v V = min Vmin vmin m ∑ i = 1π 0 i L ( ∆ = θj ) = m ∑ i = 1πi ` ij 6 vm ∑ i = 1π 0 i ` ij 6 1m ∑ i = 1π 0 i ` ij 6 1 j = 1 ; 2 ;::: ; n j = 1 ; 2 ;::: ; n j = 1 ; 2 ;::: ; n πi > 0 8 i1 0 π = 1m ∑ i = 1π 0 i = 1 vπ 0 i > 0 8 i (supuesto vpositivo) ➁M´ etodo gr´ afico (supuesto n = 2 ) . El conjunto de p´ erdidas asociado a ∆es L ( ∆ ) = ( L1 ( ∆ ) ; L2 ( ∆ )) . Los conjuntos de p´erdidas del conjunto de decisiones aleatorizadas forman la regi´ on de p´ erdidas. Si se aceptan ´unicamente decisiones puras, la regi´on de p´erdidas ( G ) est´a formada por los puntos (  ) :L ( di ) = ( ` i1 ; ` i2 ) . Pero si se considera la posibilidad de aleatorizar las decisiones, problema extendido ( D ; Θ ; Λ ) , la regi´ on de p´ erdidas (G) est´a formada 327 por la envolvente convexa de G. Son equivalentes los puntos de la regi´on de p´erdidas que comparten el mismo valor m´aximo de la p´erdida media: v; as´ı son equivalentes (al valor de su mayor coordenada, v ) , los puntos de la frontera de todo conjunto de puntos de la forma f ( x ; y ) = x  v ; y  v g . Designando por N ( v ) a dicho conjunto frontera, el punto minimax se encuentra en la «´ultima»intersecci´on de N ( v ) yG: V = minv = N ( v ) \ G 6 = / 0 : Gr´aficamente: 3. PROBLEMAS RESUELTOS Enunciado com´ un: Sea el problema de decisi´on con matriz de consecuencias: θ1θ2 d1x + y x ? y d2x x y > 0p  p ( θ1 ) El decisor pide opini´on a un experto, que le merece una confianza cuantificada por las verosimilitudes de acierto: p ( z1 = θ1 ) = p ( z2 = θ2 ) = π : 328 Problema 1.1.A Sea π = 3 4en el enunciado com´un. Obtener, aplicando el m´etodo de an´alisis en forma extensa: 1) a) la regla de decisi´on y el valor medio del proceso de decisi´on sin informaci´on [ VsinI ] , b) el valor medio del proceso de decisi´on con informaci´on perfecta [ VconIP ] , y c) el valor medio de la informaci´on perfecta [ VdeIP ] . Representar gr´aficamente VsinI ( p ) ,VconIP ( p ) yVdeIP ( p ) . 2) La regla de decisi´on y el valor medio del proceso de decisi´on contando con la informaci´on (opini´on) del experto [ VconI ] . 3) El valor medio de la informaci´on del experto [ VdeI ] . 4) Representar gr´aficamente, en un cuadro conjunto, las expresiones de VsinI ( p ) y VconI ( p ) . Destacar en dicho cuadro la expresi´on de VdeI ( p ) . Soluci´ on: 1) a) Sin informaci´ on: d  = di = ( max i Vi = 2 ∑ j = 1 xij p ( θj ) !) = VsinI V1 = ( x + y ) p + ( x ? y )( 1 ? p ) = 2yp + x ? y V2 = xp + x ( 1 ? p ) = x ) V1 = V2➪pe = 1 2 ; Ve = x d  = 8 > > > > > > > < > > > > > > > : d2 d1 pVsinI  0 ; 1 2  x  1 2 ; 1  2yp + x ? y 329 V ( δ = θ1 ) = V ( δ = θ1 ; z1 ) p ( z1 = θ1 ) + V ( δ = θ1 ; z2 ) p ( z2 = θ1 ) = V ( δ = θ1 ; z1 ) 3 4 + V ( δ = θ1 ; z2 ) 1 4 V ( δ = θ2 ) = V ( δ = θ2 ; z1 ) p ( z1 = θ2 ) + V ( δ = θ2 ; z2 ) p ( z2 = θ2 ) = V ( δ = θ2 ; z1 ) 1 4 + V ( δ = θ2 ; z2 ) 3 4 V ( δ12 = θj ; zk ) = xkj V ( δ21 = θj ; z1 ) = x2jV ( δ21 = θj ; z2 ) = x1j V ( δ11 = θj ; zk ) = xij V ( δ22 = θj ; zk ) = x2j V ( δ12 ) = 7yp + x ? y 4V ( δ21 ) = 8yp + x ? 3y 4 = V ( δ12 ) ? y 2➪δ21 dominada V ( δ11 ) = 92yp + x ? yV ( δ22 ) = x Resulta: 336 Problema 1.2.B Resolver 1.2.A con costes de oportunidad. Soluci´ on: δ  = δ = min δ f C ( δ ) = C ( δ = θ1 ) p + C ( δ = θ2 )( 1 ? p ) = VconIP | {z } x + yp ? V ( δ ) g C ( δ12 ) = 10 y 4pC ( δ21 ) = 11 3 4y = C ( δ12 ) + y 2➪δ21 dominada C ( δ11 ) = 12 y ? yp C ( δ22 ) = 13 yp Problema 1.2.C Resolver 1.2.A con p´ erdidas. Soluci´ on: La matriz de p´erdidas, efectuada la traslaci´on de magnitud x, resulta: θ1θ2 d1 ? y y d20 0 337 1) Sin informaci´ on: d  = di = min i ( L ( di ) = 2 ∑ j = 1 ` ij p ( θj ) )! = LsinI L1 = ? yp + y ( 1 ? p ) = y ? 2yp L2 = 0p + 0 ( 1 ? p ) = 0 9 = ; L1 = L2➪pe = 1 2 Le = 0 d  = 8 > > > < > > > : d2 d1 pLsinIp  0 ; 1 2  0  1 2 ; 1  y ? 2yp 2) d  = δ = min δ f L ( δ ) = L ( δ = θ1 ) p + L ( δ = θ2 )( 1 ? p ) g L ( δ12 ) = 14 ? yp + y = 4L ( δ21 ) = 15 ? yp + 3y = 4 = L ( δ12 ) + y 2➪δ21 dominada L ( δ11 ) = 16 ? 2yp + yL ( δ22 ) = 0 = ? V ( δ22 ) ? x 338 Problema 2.1.A Sea p = 1 2en el enunciado com´un. Obtener, aplicando el m´etodo de an´alisis en forma extensa: 1) Obtener la regla de decisi´on y el valor medio del proceso de decisi´on sin contar con la informaci´on del experto [ VsinI ] , el valor medio del proceso contando con informaci´on perfecta [ VconIP ] y el valor medio de la informaci´on perfecta [ VdeIP ] . 2) La regla de decisi´on y el valor medio del proceso de decisi´on contando con la informaci´on (opini´on) del experto [ VconI ( π )] 3) El valor medio de la informaci´on del experto [ VdeI ( π )] . 4) Representar gr´aficamente, en un cuadro conjunto, las expresiones de VsinI ( π ) y VconI ( π ) . Destacar en dicho cuadro la expresi´on de VdeI ( π ) . Soluci´ on: 1) Sin informaci´ on: V1 = ( x + y ) 1 2 + ( x ? y ) 1 2 = x V2 = x1 2 + x1 2 = x 9 > = > ; ) ( VsinI = x d1yd2equivalentes Con informaci´ on perfecta: VconIP = ( x + y ) 1 2 + x1 2 = x + y 2 ; VdeiP = VconIP ? VsinI = x + y 2 ? x = y 2 2) Con informaci´ on parcial:     Z = z1 V1 = ( x + y ) π1 2 p ( z1 ) + ( x ? y ) ( 1 ? π ) 1 2 p ( z1 ) = 1 p ( z1 ) 1 2 ( 2yπ + x ? y ) V2 = xπ1 2 p ( z1 ) + x ( 1 ? π ) 1 2 p ( z1 ) = 1 p ( z1 ) 1 2x 9 > > > > > > = > > > > > > ; d  = 8 > > < > > : d2 d1 π  0 ; 1 2   1 2 ; 1  339 V1 = V2➪πe = 1 2Ve = 1 p ( z1 ) 1 2x     Z = z2 V1 = ( x + y ) ( 1 ? π ) 1 2 p ( z2 ) + ( x ? y ) π1 2 p ( z2 ) = 1 p ( z2 ) 1 2 ( ? 2yπ + x + y ) V2 = x ( 1 ? π ) 1 2 p ( z2 ) + xπ1 2 p ( z2 ) = 1 p ( z2 ) 1 2x 9 > > > > > > = > > > > > > ; d  = 8 > > < > > : d1 d2 π  0 ; 1 2   1 2 ; 1  V1 = V2➪πe = 1 2Ve = 1 p ( z2 ) 1 2x Resulta: d  = 8 > > > > > > < > > > > > > : δ21 δ12 p VconIp  0 ; 1 2  ? yπ + x + y 2 = 1 2 ( x + ( ? 2yπ + x + y )) 1 2x  1 2 ; 1  yπ + x ? y 2 = 1 2 (( 2yπ + x ? y ) + x ) VconI ( π = 1 ) = VconIP = y  1 + x ? y 2 = x + y 2 : 3) VdeI = 8 > > > > > > < > > > > > > : ? yπ + x + y 2 x yπ + x + y 2 9 > > > > > > = > > > > > > ; ? 8 > > > > > < > > > > > : x x x 9 > > > > > = > > > > > ; = 8 > > > > > > < > > > > > > : ? yπ + y 2 0 yπ ? y 2 p  0 ; 1 2  1 = 2  1 2 ; 1  4) Ver figura del problema 2.2.A. Problema 2.1.B Resolver 2.1.A utilizando costes de oportunidad. 340 Soluci´ on: 1) Sin informaci´ on: C1 = 01 2 + y1 2 = y 2 C2 = y1 2 + 01 2 = y 2 9 > = > ; ) 8 < : CsinI = y 2 d1yd2equivalentes 2) Con informaci´ on:     Z = z1 C1 = 0π1 2 p ( z1 ) + y ( 1 ? π ) 1 2 p ( z1 ) = 1 p ( z1 ) 1 2 ( y ? yπ ) C2 = yπ1 2 p ( z1 ) + 0 ( 1 ? π ) 1 2 p ( z1 ) = 1 p ( z1 ) 1 2yπ 9 > > > > > > = > > > > > > ; d  = 8 > > < > > : d2 d1 π  0 ; 1 2   1 2 ; 1  C1 = C2➪πe = 1 2Ce = 1 p ( z1 ) 1 2 y 2     Z = z2 C1 = 0 ( 1 ? π ) 1 2 p ( z2 ) + yπ1 2 p ( z2 ) = 1 p ( z2 ) 1 2yπ C2 = y ( 1 ? π ) 1 2 p ( z2 ) + 0π1 2 p ( z2 ) = 1 p ( z2 ) 1 2 ( y ? yπ ) 9 > > > > > > = > > > > > > ; d  = 8 > > < > > : d1 d2 π  0 ; 1 2   1 2 ; 1  C1 = C2➪πe = 1 2Ce = 1 p ( z2 ) 1 2 y 2 Resulta: d  = 8 > > > > > > < > > > > > > : δ21 δ12 p CconIp  0 ; 1 2  yπ = 1 2 ( yπ + yπ ) 1 2 y 2  1 2 ; 0  y ? yπ = 1 2 (( y ? yπ ) + ( y ? yπ )) 4) Ver figura del problema 2.2.B. 341 Problema 2.2.A Resolver 2.1.A aplicando el m´etodo de an´alisis en forma normal. Soluci´ on: δ  = δ = max δ  V ( δ ) = V ( δ = θ1 ) p ( θ1 ) + V ( δ = θ2 ) p ( θ2 ) = 1 2 ( V ( δ = θ1 ) + V ( δ = θ2 ))  V ( δ = θ1 ) = V ( δ = θ1 ; z1 ) p ( z1 = θ1 ) + V ( δ = θ1 ; z2 ) p ( z2 = θ1 ) = V ( δ = θ1 ; z1 ) π + V ( δ = θ1 ; z2 )( 1 ? π ) V ( δ = θ2 ) = V ( δ = θ2 ; z1 ) p ( z1 = θ2 ) + V ( δ = θ2 ; z2 ) p ( z2 = θ2 ) = V ( δ = θ2 ; z1 )( 1 ? π ) + V ( δ = θ2 ; z2 ) V ( δ12 ) = 17 yπ + x ? y 2V ( δ21 ) = 18 ? yπ + x + y 2V ( δ11 ) = 19 x = V ( δ22 ) Problema 2.2.B Resolver 2.2.A con costes de oportunidad. Soluci´ on: C ( δ ) = C ( δ = θ1 ) p ( θ1 ) + C ( δ12 = θ2 ) p ( θ2 ) = 1 2 ( C ( δ = θ1 ) + C ( δ = θ2 )) = VconIP ? V ( δ ) C ( δ12 ) = 20 y ? yπC ( δ21 ) = 21 yπC ( δ11 ) = 22 C ( δ22 ) = 23 y = 2 342 Las figuras precedentes resumen los resultados del tipo de problemas 2. Se observa en ellas una perfecta simetr´ıa en el valor de la informaci´on ( VdeI ) . Para los casos extremos: π = 1 (experto) y π = 0 («antiexperto»), la informaci´on alcanza su m´aximo valor, ya que ambos son perfectamente ´utiles al decisor. El valor de la informaci´on es nulo para el «aexperto»:π = 1 = 2 : Excepto en este caso, en el que se podr´ıa afirmar que «el experto est´a como el decisor»:p = π = 1 = 2, la opini´on del experto, real o supuesto, tiene valor, bien para hacer lo que induce, bien para tomar la decisi´on contraria. Problema 2.2.C Resolver 2.2.B con p´ erdidas. Soluci´ on: L ( δ ) = 1 2 ( L ( δ = θ1 ) + L ( δ = θ2 )) = ? V ( δ ) ? x L ( δ12 ) = 24 y 2 ? yπL ( δ21 ) = 25 yπ ? y 2L ( δ11 ) = 26 0 = L ( δ22 ) 343 Problema 3.1 Consid´erese el problema planteado en su enunciado com´un. Determinar las expresiones de los costes de oportunidad medios de las posibles estrategias y las funci´ones CconI ( p ; π ) yVdeI ( p ; π ) . Soluci´ on: C ( δ ) = C ( δ = θ1 ) p + C ( δ = θ2 )( 1 ? p ) C ( δ = θ1 ) = C ( δ = θ1 ; z1 ) p ( z1 = θ1 ) + C ( δ = θ1 ; z2 ) p ( z2 = θ1 ) = C ( δ = θ1 ; z1 ) π + C ( δ = θ1 ; z2 )( 1 ? π ) C ( δ = θ2 ) = C ( δ = θ2 ; z1 ) p ( z1 = θ2 ) + C ( δ = θ2 ; z2 ) p ( z2 = θ2 ) = C ( δ = θ2 ; z1 )( 1 ? π ) + C ( δ = θ2 ; z2 ) π Tomando del Problema 2.2.B las expresiones de C ( δ = θ ; z ) , resulta: C ( δ12 ) = 27 y ( 1 ? π ) C ( δ21 ) = 28 yπ C ( δ11 ) = 29 y ( 1 ? p ) C ( δ22 ) = 30 yp De 1.1.B: d  = 8 > > > < > > > : d2 d1 pCsinIp  0 ; 1 2  yp  1 2 ; 1  y ? yp VdeI = CsinI ? CconI 344 La superficie CconI ( p ; π ) es una pir´amide de base en el plano C = 0 y de altura y = 2 en p = π = 1 = 2 : Su proyecci´on sobre el plano p ? πgenera las cuatro regiones destacadas en la figura siguiente. La forma de la funci´on VdeI queda caracterizada por las secciones visualizadas en los problemas 1.1.A y2.2.A: es nula en las dos regiones en las que no influye el experto ( δ11 yδ22 ) y sim´etrica respecto a la vertical p = 0 ; 5 en el resto. Sobre esta l´ınea se producen los m´aximos valores de VdeI fijado π:y ( π ? 1 = 2 ) en δ12 e y ( ? π + 1 = 2 ) en δ21. El m´aximo absoluto aparece cuando π = 1 en el primer caso y π = 0 en el segundo, es decir: max ( VdeI ( p ; π )) = VdeI ( 1 = 2 ; 1 )) = VdeI ( 1 = 2 ; 0 )) = y = 2 : Resultado ya obtenido en el problema 2.2.A; corresponde con una situaci´on de m´axima incertidumbre del decisor ( p = 1 = 2 ) y m´axima seguridad de acierto/desacierto en el experto. Problema 3.2 Resolver 3.1 con p´ erdidas. 345 07. V ( δ12 ) =  x + 3 4y  p +  x ? 1 4y  ( 1 ? p ) = yp + x ? y 4 V ( δ12 = θ1 ) = ( x11 = x + y ) 3 4 + ( x21 = x ) 1 4 = x + 3 4y V ( δ12 = θ2 ) = ( x12 = x ? y ) 1 4 + ( x22 = x ) 3 4 = x + 1 4y 08. V ( δ21 ) =  x + 3 4y  p +  x + 3 4y  ( 1 ? p ) = yp + x ? 3y 4 V ( δ21 = θ1 ) = ( x21 = x ) 3 4 + ( x11 = x + y ) 1 4 = x + 1 4y V ( δ21 = θ2 ) = ( x22 = x ) 1 4 + ( x12 = x ? y ) 3 4 = x ? 3 4y 09. V ( δ11 ) = ( x + y ) p + ( x ? y )( 1 ? p ) = 2yp + x ? y V ( δ11 = θ1 ) = ( x11 = x + y ) 3 4 + ( x11 = x + y ) 1 4 = x + y V ( δ11 = θ2 ) = ( x12 = x ? y ) 1 4 + ( x12 = x ? y ) 3 4 = x ? y 10. C ( δ12 ) =  y 4  p +  y 4  ( 1 ? p ) = y 4p = x + yp ?  yp + x ? y 4  C ( δ12 = θ1 ) = ( y11 = 0 ) 3 4 + ( y21 = y ) 1 4 = 1 4y = C ( δ12 = θ2 ) = ( y12 = y ) 1 4 + ( y22 = 0 ) 3 4 11. C ( δ21 ) =  3 4y  p +  3 4y  ( 1 ? p ) = 3 4y = x + yp ?  yp + x ? y 4  C ( δ21 = θ1 ) = ( y21 = y ) 3 4 + ( y11 = 0 ) 1 4 = 3 4y = = C ( δ21 = θ2 ) = ( y22 = 0 ) 1 4 + ( y12 = y ) 3 4 12. C ( δ11 ) = 0 ( p ) + ( y )( 1 ? p ) = y ? yp = x + yp ? ( 2yp + x ? y ) C ( δ11 = θ1 ) = ( y11 = 0 ) π + ( y11 = 0 )( 1 ? π ) = 0 C ( δ11 = θ2 ) = ( y21 = y )( 1 ? π ) + ( y21 = y ) π = y 13. C ( δ22 ) = y ( p ) + ( 0 )( 1 ? p ) = yp = x + yp ? x C ( δ22 = θ1 ) = ( y21 = y ) π + ( y21 = y )( 1 ? π ) = y C ( δ22 = θ2 ) = ( y22 = 0 )( 1 ? π ) + ( y21 = 0 ) π = 0 352 14. L ( δ12 ) =  ? 3 4y  p +  1 4y  ( 1 ? p ) = ? yp + y = 4 = ? V ( δ12 ) ? x L ( δ12 = θ1 ) = ( ` 11 = ? y ) 3 4 + ( ` 21 = 0 ) 1 4 = ? 3 4y L ( δ12 = θ2 ) = ( ` 12 = y ) 1 4 + ( ` 22 = 0 ) 3 4 = 1 4y 15. L ( δ21 ) =  ? 1 4y  p +  3 4y  ( 1 ? p ) = ? yp + 3 4y = ? VM ( δ21 ) ? x L ( δ21 = θ1 ) = ( ` 21 = 0 ) 3 4 + ( ` 11 = ? y ) 1 4 = ? 1 4y L ( δ21 = θ2 ) = ( ` 22 = 0 ) 1 4 + ( ` 12 = y ) 3 4 = ? 3 4y 16. L ( δ11 ) = ( ? y ) p + ( y )( 1 ? p ) = ? 2yp + y = ? VM ( δ11 ) ? x L ( δ11 = θ1 ) = ( ` 11 = ? y ) π + ( ` 11 = ? y )( 1 ? π ) = ? y L ( δ11 = θ2 ) = ( ` 21 = y )( 1 ? π ) + ( ` 21 = y ) π = y 17. V ( δ12 ) = 1 2  2 ( yπ + x ? 1 2  = yπ + x ? 1 2 V ( δ12 = θ1 ) = ( x11 = x + y ) π + ( x21 = x )( 1 ? π ) = V ( δ12 = θ2 ) = ( x12 = x ? y )( 1 ? π ) + ( x22 = x ) π = yp + x ? 1 2 18. V ( δ21 ) = 1 2  2  ? yπ + x + 1 2  = ? yπ + x + y 2 V ( δ21 = θ1 ) = ( x21 = y ) π + ( x11 = x + y )( 1 ? π ) = V ( δ21 = θ2 ) = ( x22 = x )( 1 ? π ) + ( x12 = x ? y ) π = ? yp + x ? 1 2 19. V ( δ11 ) = 1 2 (( x + y ) + ( x ? y )) = x V ( δ11 = θ1 ) = ( x11 = x + y ) π + ( x11 = x + y )( 1 ? π ) V ( δ11 = θ2 ) = ( x12 = x ? y )( 1 ? π ) + ( x12 = x ? y ) π 20. C ( δ12 ) = 1 2 ( 2 ( y ( 1 ? π ))) = y ? yπ = x + y 2 ?  yπ + x ? y 2  VconIP V ( δ12 ) C ( δ12 = θ1 ) = ( y11 = 0 ) π + ( y21 = y )( 1 ? π ) = C ( δ12 = θ2 ) = ( y12 = y )( 1 ? π ) + ( y22 = 0 ) π = y ( 1 ? π ) 21. C ( δ21 ) = 1 2 ( 2 ( yπ )) = yπ = x + y 2 ?  ? yπ + x + y 2  C ( δ21 = θ1 ) = ( y21 = y ) π + ( y11 = 0 )( 1 ? π ) = yπ = C ( δ21 = θ2 ) = ( y22 = 0 )( 1 ? π ) + ( y12 = y ) π 22. C ( δ11 ) = 1 2 ( 0 + y ) = y 2 = x + y 2 ? x C ( δ11 = θ1 ) = ( y11 = 0 ) π + ( y11 = 0 )( 1 ? π ) = 0C ( δ11 = θ2 ) = ( y21 = y )( 1 ? π ) + ( y21 = y ) π = y 353 23. C ( δ22 ) = 1 2 ( y + 0 ) = y 2 = x + y 2 ? x C ( δ22 = θ1 ) = ( y11 = y ) π + ( y11 = y )( 1 ? π ) = y C ( δ22 = θ2 ) = ( y21 = 0 )( 1 ? π ) + ( y21 = 0 ) π = 0 24. L ( δ12 ) = 1 2 (( ? yπ ) + ( y ( 1 ? π ))) = y 2 ? yπ L ( δ12 = θ1 ) = ( ` 11 = ? y ) π + ( ` 21 = 0 )( 1 ? π ) = ? yπL ( δ12 = θ2 ) = ( ` 12 = y )( 1 ? π ) + ( ` 22 = 0 ) = y ( 1 ? π ) 25. L ( δ21 ) = 1 2 (( ? y + yπ ) + ( yπ )) = yπ ? y 2 L ( δ21 = θ1 ) = ( ` 21 = 0 ) π + ( ` 11 = ? y )( 1 ? π ) = ? y ( 1 ? π ) L ( δ21 = θ2 ) = ( ` 22 = 0 )( 1 ? π ) + ( ` 12 = y ) = yπ 26. L ( δ11 ) = 1 2 (( ? y ) + ( y )) = 0 L ( δ11 = θ1 ) = ( ` 11 = ? y ) π + ( ` 11 = ? y )( 1 ? π ) = ? yπL ( δ11 = θ2 ) = ( ` 21 = y )( 1 ? π ) + ( ` 21 = y ) π = yπ 27. C ( δ12 ) = C ( δ12 = θ1 ) p + C ( δ12 = θ2 )( 1 ? p ) = y ( 1 ? π ) p + y ( 1 ? π )( 1 ? p ) = y ( 1 ? π ) 28. C ( δ21 ) = C ( δ21 = θ1 ) p + C ( δ21 = θ2 )( 1 ? p ) = yπp + yπ ( 1 ? p ) = yπ 29. C ( δ11 ) = C ( δ11 = θ1 ) p + C ( δ11 = θ2 )( 1 ? p ) = 0p + y ( 1 ? p ) = y ( 1 ? p ) 30. C ( δ22 ) = C ( δ22 = θ1 ) p + C ( δ22 = θ2 )( 1 ? p ) = yp + 0 ( 1 ? p ) = yp 31. L ( δ12 ) = L ( δ12 = θ1 ) p + L ( δ12 = θ2 )( 1 ? p ) = ? yπp + y ( 1 ? π ) = y ( 1 ? ( p + π )) 32. L ( δ21 ) = L ( δ21 = θ1 ) p + L ( δ21 = θ2 )( 1 ? p ) = ? y ( 1 ? π ) p + yπ ( 1 ? p ) = y ( π ? p ) 33. L ( δ11 ) = L ( δ11 = θ1 ) p + L ( δ11 = θ2 )( 1 ? p ) = ? yp + y ( 1 ? p ) = y ( 1 ? 2p ) 34. p ( z1 ) = p ( z1 = θ1 ) p ( θ1 ) + p ( z1 = θ2 ) p ( θ2 ) = pπ + ( 1 ? π )( 1 ? p ) = pπ + 1 ? π ? p + pπ 35. V ( δ21 ) ? V ( d2 ) = ( p ? π ) y > 0 ) d2sin experto descartada V ( δ21 ) ? V ( d1 ) = ( 1 ? ( p + π )) y > 0 ) d1sin experto descartada 36. V ( δ12 ) ? V ( d1 ) = ( π ? p ) y > 0 ) d1sin experto descartada V ( δ12 ) ? V ( d2 ) = ( p + π ? 1 ) y > 0 ) d2sin experto descartada 37. V ( δ22 ) ? V ( d1 ) = ( 1 ? 2p ) y > ( 1 ? ( p + π )) y > 0 ) d1sin experto descartada 38. V ( δ11 ) ? V ( d2 ) = ( 2p ? 1 ) y > (( p + π ) ? 1 ) y > 0 ) d2sin experto descartada 354 ENGLISH SUMMARY TYPE PROBLEMS IN DECISION THEORY RAM ´ ON ALONSO SANZ  Universidad Polit´ecnica de Madrid This paper aims to illustrate the basic concepts and techniques underlying Decision Theory. To accomplish that, the somewhat simplest example is considered: the investment example. This problem is featured by a) two alternative decisions: to invest ( d1 ) or not to invest ( d2 ) the amount x, and b) two uncertain events: appreciation ( θ1 ) measured by the gain y, and depreciation ( θ2 ) t supposed also of extent y. Additional information has in the example the form of an expert opinion (Z). The problem is solved in the extensive and normal forms. Its decision tree is also specified. Consequencesare supposed to be given in its primary form ( x + y ; x ? y ; y ) , as regrets, and as losses. Decision tree and minimax solution are also obtained. Keywords: Decision theory, problems. AMS Classification: 62C05 *Ram´on Alonso Sanz. ETSI Agr´onomos. Unidad de Estad´ıstica. Universidad Polit´ecnica de Madrid. C. Universitaria. 28040 Madrid. e-mail: [email protected] –Received february 1995. –Accepted december 1996. 355 Extensive form  Without additional Information d  Bayes decision = di = ( Vi = max i n ∑ j = 1 xij p ( θj ) !) = VsinI Expected Value without Inf.  With additional Information (expert opinion Z) Z = zk➪d  i = di = max i 8 > > > > < > > > > : Vi = n ∑ j = 1 xij p ( zk = θj ) p ( θj ) p ( zk ) |{z } p ( θj = zk ) 9 > > > > = > > > > ; Expected Value with Information VconI = n ∑ k = 1 max i " n ∑ j = 1 xij p ( zk = θj ) p ( θj ) #! Expected Value of Information VdeI = VconI ? VsinI Perfect information ( p ( zk = θk )) : Expected Value with Perfect Information: VconIP = n ∑ j = 1  max ixij  p ( θj ) Regrets: yij =  max ixij  ? xij d  = di = min i ( C ( di ) = n ∑ j = 1yij pj )! = CsinI = VconIP ? VsinI = VdeIP Similarly: CconI = VconIP ? VconI ➪VdeI = CsinI ? CconI Losses: ` ij = ? xij d  = di =  min i  L ( di ) = n ∑ ` ij pj  = LsinI = ? VsinI 356 Similarly, LconI = ? VconI ➪VdeI = LsinI ? LconI Normal form Strategies (decision rules): D = f δ ( z ) = δ:XD g δ  = δ = max δ V ( δ ) = n ∑ j = 1V ( δ = θj ) p ( θj ) ! V ( δ = θj ) = n ∑ k = 1 V ( δ = θj ) ; zk ) p ( zk = θj ) Dealing with regrets or losses, minimization must substitute the above maximization. Minimax solution Pure decisions: d  = di = min i  max jellij  Random decisions: ∆ = d1d2 ::: dm π1π2 ::: πm ! : minimax decision: ∆  = ∆ = min ∆  max jL ( ∆ = θj )  L ( ∆ = θj ) = ∑ iπi ` ij Random strategies: ∆ = δ1δ2 ::: δk ::: δmn π1π2 ::: πk ::: πmn ! minimax strategy: ∆  = ∆ = min ∆  max jL ( ∆ = θj )  L ( ∆ = θj ) = ∑ k πkL ( δk = θj ) The graphic method based on the plotting of the ( L ( δk = θ1 ) ; L ( δk = θ2 )) region and the analytic based on linear programming, have been used to obtain ∆  . 357