Anàlisi matemàtica 3. Problemes

EST AM3 Albert Avinyó José Antonio lubary Departament de Matematica Apiicada 2 UNIVERSITAT POLffECNICA DE CATALUNYA- B1bl1oteca 1111111111111/III IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIII IIII 1400458540 UNIVERSITAT POUTÉCNICA DE CATALUNYA - 1 Topologia a I' espai n-dimensional l. Dibuixeu els subconjunts de ffi.2 següents: a)A={(x,y)Effi.2: lx-31<2, l-y+11:::;s}; b)B={(x,y)Effi.2: Jx2+4x+ll=-x2-4x-1, Jy-21<10}; c)C = {(x,y) E ffi.2: l(x,y)[:::; 1, x <y}. 2. Calculeu la distancia entre els punts (1, 3, 1) i (O, 2, 1). 3. Trobeu l'interior, l'adherencia i la frontera dels conjunts següents: a)A= {(x,y) E ffi.2: ll(x,y)II < 1}; b) B = {(x,y) E ffi.2: x > O, y> O, xy:::; 1}; c)C = {x E ffi.: x E Q}. 4. Demostreu que Fr A= 0 si, i només si, A és obert i tancat. 5. a) Proveu que int(A n B) = int A n int B. b) Poseu un exemple on la intersecció d'infinits conjunts oberts no sigui un conjunt obert. 6. Proveu que Fr A = el A n el Ac i que Fr A= el A\ int A. 7. Estudieu la compacitat dels conjunts següents: a)A={(x,y)Effi.2: 1:Sx+y:::;2}. b)B={(x,y)Effi.2: l<x+y:S:2,3:::;x:::;4}. 8. Demostreu que qualsevol entorn d'un punt d'acumulació d'un conjunt A conté infinits punts d'aquest conjunt. 9. Demostreu que un conjunt és tancat si, i només si, conté els seus punts d'acumulació; i que el conjunt derivat de qualsevol conjunt és un conjunt tancat. 1 2 Funcions de diverses variables: Límits i continu'itat 2.1 Dominis i corbes de nivell l. Trobeu el domini de les funcions següents: 3 a)f(x,y)= 2 2 2 ; r -x -y b) f(x,y,z)=JR2-x2-y2-z2+ 1 , J x2 + y2 + z2 _ r2 on R > r. 2. Determineu el domini i el recorregut de la funció f(x, y) =2 6 2. 9x -y 3. Trobeu i representeu el domini de les funcions següents: a) f(x,y) = ✓1 - x2 -y2; e) f(x, y) = arcsin �; X 1 1 e) f(x, y)= --1 + -; xy g) f(x,y) = sin 2 1 2; X +y . lxl + IYI i) f(x,y) = ln lxl + IYI - 1; b) f(x, y)= ln(x + y); d) f (x, y) = Jy sin x; h) f(x,y) = ln(l + xy); x2 j) f (x, y)= arctg 2 2. X +y 4. Per a cada una de les funcions següents, dibuixeu les corbes de nivell corresponents a z= -2,-1,0,1,2: a) z(x, y) = x2y;b)z( x, y) = x2 + y2 -1; 5. Dibuixeu les corbes de nivell de z(x, y) = cos(2x + y) corresponents a z= O, ±1, ±1/2. 3 6. Dibuixeu les corbes o superfícies de nivell de les funcions següents: e) f(x, y) = 1 - !xi -IYI; g) f(x, y, z) = z2 -x2 -y2; 2.2 Límits b) f(x, y)= x2 + y2; d) f(x, y)= /xfj; 2x f)J(x,y)= 2 2· X +y x2 +y2 h) f(x, y, z) = -- z 7. Sigui f la funció definida per f (x, y) = ✓2x2 + y2 sin _!___ xy a) Trobeu els seus línúts direccionals en (O, O). b) Demostreu que existeix el lími t de f en (O, O). e) Comproveu que no existeixen els límits iterats en (O, O). 8. Trobeu, si existeix, el línút de les funcions següents en (O, O): 1 a)f (x, y)= (x2 + y2) sin-; xy e)f ( x, y) = sin xy; X X e) f(x,y) = -+; X y )!( )=ln(l+x). g x,y . ' eY -1 x sin xy ti:.·. U' - ---· -., . -_y2 .J... y2 . x2y2 b) f(x,y) = 2 + 2; X y xy d)f(x,y)= 2+ 2; X y x-y f) j(x,y) = -+; X y ln(l + sin2 x)tany h)j(x,y)=( ) . 2; 1 - cosy arcsmx 1 + x2 + y2 j) j(x,y) = ----sin y; y (x+y)2 l)j(x,y)= 2 2; X +y 9. Estudieu el límit en (O, O) de 19' funció f definida per: r x2 + y2, f(x, y) =o, si x o y són irracionals, si x i y són racionals. 10. Siguin pi q dos reals positius, D = { (x, y) E JR2 : x > O, y > O} i f : D - lR definida per xPyq f(x, y) =2 + 2 X y -xy Estudieu !'existencia de límit en (O, O) segons els valors de p i q. ll.Troheu el límit en (O, O) de la fundó definida pe, f (x, y) � { El -lxl/Y2 2e y si y =J. O; si y= O. 4 4 12. Calculeu tots els límits direccionals a !'origen de la funció ( t y 2)3. Té límit en (O, O)? X +y 13 e 1 1 . . t . 1· x6y6 O . · a cu eu, s1 exrs erx, 1m 4 4, on a > . (x,y)---,(0,0) X + ay 2.3 Continu'itat 14. Trobeu els punts de discontínuitat de les funcions següents: 1 b)f(x,y)=l 2 2' -x -y 1 c) f (x, y) = ( )2 , x-y 15. Demostreu que la funció f(x,y) -{ 2xy x2 + y2' o, 1 d) f(x, y)= cos - . xy si x2 + y2 =J. O; si x2 + y2 = O. és contínua en relació a les variables x i y per separat, pero no és contínua en el punt (O, O). 16. Trobeu els punts de discontinu'itat de les funcions següents: f x.y) � { x2y2+(xy)2' o, si (x, y) =J. (O, O); si (x,y) = (0,0). 5 5 g(x,y) = • 2 • 2 · sm 1rx + sm 1ry 17.Esbrineu si la funció següent és contínua en el punt (O, O): { --;.=x;:::y=:::;;:sin-,.::;;=1=:::;;:, J(x, y)= Jx2 + y2 Jx2 + y2 si (x,y) # (0,0); o, altrament. 18. Considereu la funció J: !R2 \ { (x, y) E IR2 : y= O} --. IR definida per ( ) (1 -cos ,/XJJ) J x,y = ---�-. y És possible definir f per a y = O de manera que sigui contínua a tot IR2? 19. Sigui f la funció definida per f( )=ln(l�x2-y2) x,y 2 + 2 X y a) Estudieu la compacitat i la connexió del domini de f. b)Estudieu la continui:tat de f i perllongueu-la per continui:tat, si és possible, a la frontera del domini. 20. Tro beu i representeu el do mini de la funció J(x, y) = { IYI x2 -y2 x2 + y2' o, Estudieu també la continui:tat en el domini. 21. Estudieu la continui:tat de les funcions: f el/x + el/y ' J(x, y) = o, xy el/x +el/y' o, :-_:. : definida per :: 6 si x2 + y2 # O; si x2 + y2 = O. si x # O i y# O; altrament; si X -:p Ü i altrament. si IY :S lxl; si y > lxl. y =f O; .. - - 23. Sigui z : IR2 ----+ IR definida per {f(x), zx = g(y), ( 'y) ( sin2 x sin2 y\ (x+y) --+-- x y si y= O; si x = O; si x # 0 í y# 0. Determineu f i g per tal que la fundó z sigui contínua a tot IR2. 24. Siguin K = { (x, y) E IR2 : x2 + y2 :::::; 2x, y:::; x } i f : IR2--+ IR2 definida per f( ) 2 2,sm(x+y) si (x,y)-:/-(0,0); { ( x2y . \ X,Y =X +y (O, O), si (x, y)= (O, O). a) Proveu que K és compacte. b) Estudieu la continui:tat de f. e) Estudieu la compacitat de f(K). 25. Sigui f : IR2 ----+ IR definida per a) Estudieu la continui:tat de f. si (x, y) -:/-(O, O); si (x, y) = (O, O). b) Proveu que el conjunt de punts on f és contínua és un obert del pla. e) Proveu que la funció f té un mrocim sobre la circumferencia { (x, y) E IR2 : x2 + y2 = 1} i que el valor de f sobre aquest punt és menor o igual que l. 7 - - 3 Funcions de diverses variables: Diferenciabilitat 3.1 Derivades direccionals i diferenciabilitat l. Trobeu les funcions derivades parcials de primer ordre de les fundons següents: . x-y b)f(x,y) = -+; X y e)J(x,y) = arctan(y/x); e)J(x, y, z)= xy + z; f)f(x,y,z) =sin(xy)+cosz; h)f(x, y, z) = zxY_ g)f(x, y) = (xy)2; 2. Donada la fundó f(x, y, z) = cos x +y, trobeu el valor de l'expressió x �f + y �f + z �f. 2z uX uy uz 3. Calculeu les derivades parcials de primer ordre de la fundó f (x, y) = (sin x)siny_ 4. a) Que pot dir-se d'una funció f: JR2 - lR tal que :� (x, y)= O a qualsevol punt de JR2? aj 2x2 +4y2 b) Determineu la funció diferenciable f tal que ax ( x, y) = Sx i f ( 1, y) = sin y + tan y. 5. Trobeu el gradient de les funcions següents en els punts indicats: a) f(x, y, z) = ln(z + sin(y2 -x)) en el punt (1,-1,1); b) f(x,y,z) = e3x+!isin(5z) en el punt (0,0,1/6). 6. Calculeu el gradient de la funció lxy+z2 sin t f x.y.z) = -dt, :,; t 7. Calculeu la matriu jacobiana en els casos següents: a)f(x, y) = (x + y, x2 y), e) f ( x, y) = ( sin x, cos xy) , e)f (x, y, z) = (xz, xy, yz), b) f(x,y) = (exY,lnx), d)f(x,y,z) = (xyz,x2z), f)f(x,y,z) = (sinxyz,xz). 8. Estudieu la continui'tat, l'existencia de derivades parcials i la diferenciabilitat en (O, O) de la funció: 9. Estudieu la continui:tat, l'existencia de derivades parcials i la diferenciabilitat en (O, O) de les funcions següents: xy2 a)f(x,y)= 2+4, s1 (x,y)f(O,O) i f(0,0)=0; X y b) f(x,y)=xs in 2 1 2, si (x,y)f(O,O) i f(0,0)=0; X +y e) d) e) f) x2y f(x,y)= 2+ 2' X y x2 f(x,y)= 2+ 2' X y x2 + y2 f (X' y) = x2 + y ' f(x, y)= ex+y_ si (x, y) I (O, O) f (O, O)= O; si (x, y) I (O, O) f(O, O)= O; si (x, y) I (O, O) f(O, O)= O; 10. Donada la funció f: JR2 \ {(O, O)} -t lR definida per xlyl f(x,y) = J 2 2' X +y proveu que presenta una discontinu1tat evitable en (O, O). Definiu adequadament f(O, O) i estudieu les derivad.es direccionals i la diferenciabilitat de f en (O, O). 11. Sigui g : ?..2 --+ ?.. una funció definida per g(x, y) = xy/(x + y) si x + y I O i g(x, y) = O si � -= Proveu que g admet derivad.es direccionals en qualsevol direcció en el punt (O, O), pero =-és . .:-.�:: iable en aquest punt. 10 - - - ,.. 51. Suposeu que l'equació F(x, y, z) = O, on F és funció z =g(x,y) a l'entorn d'un punt (a,b,c). ( ag ag \ 'vF(a,b,c) i ax(a,b), ay(a,b),(3 . de classe C1, defineix implícitament una Calculeu (3 per tal que siguin paral ·lels 52. Determineu els punts on les equacions següents defineixen implícitament y en funció de x. En aquests punts calculeu y' i y". x2 y2 a) a2 + b2 = 1, b) ln (x2 + y2)= arctany/x. 53. Considereu l'equació x2 +y2 +z2 = 'lj)(ax +by+ cz), a, b, e E IR, e=/= O on 'ljJ : IR --+ IR és C2(1R) i satisfa '1/J(O) = O i '1/J' (O) = l. a) Proveu que l'equació defineix z com a funció implícita diferenciable de x i y en un entorn de (O, O, O). b) Si z = f (x, y) és aquesta funció, proveu que a l'entorn on esta definida coma funció implícita satisfa af af (cy -bz) ax (x, y)+ (az -ex) ay (x, y)= bx -ay . . ·, 54. Pera cada una de les funcions F següents, demostreu que F(x, y, z) = O defineix z implícitament coma funció de xi de y, z =f (x, y) en un entorn del punt donat ( a, b, e) i trobeu :� (a, b) i :: (a, b): a) F(x,y,z)=x+y+z+cosxyz a (0,0,-1); b) F(x, y, z) = z3 -z - xysin z .. a (O, O, O); c) F(x, y.z) = x3 + y3 + z3 -3xyz -4 a (1, 1, 2); d)F(x, y, z) = x +y+ z - exyz a (O, 1/2, 1/2). 55. Sigui F(x,y,z) = x3 -2y2 + z2. Demostreu que F(x,y,z) = O defineix una funció implícita ag . ag x= g(y, z) en el punt (1, 1, 1). Trobeu oy (1, 1) 1 oz (1, 1). 56. Proveu que el sistema d'equacions( x2 + y2 + z2 = 26 z=¿Y. ...... ---..,. --........ en un entorn del punt (O. 5, 1). Calculeu també 57.Proveu que les equacions x2y + x3t = O i y3t -xy + 2 = O defineixen x, y implícitament com a funcions diferencia bles de t en un entorn de ( t, x, y) = ( -1, 1, 1). Calculeu x" ( -1) i y" ( -1). 58. Proveu que el sistema { Xi 2 + XiX4 -2x5 = Ü xi -xix3x4 = O X23 -X3X4 = Ü defineix xi, X2, x3 implícitament com a funcions de x4, xs en un entorn del punt (1, 1, 1, 1, 1). Calculeu totes les derivades segones de xi en el punt (x4, x5) = (1, 1). La mateixa questió per a x2, x3 com a variables dependents. 59. Donat el sistema ( X+ y+ Z +U= a2 x2 + y2 + z2 +u2 = b2, demostreu que aquestes relacions defineixen z i u corn a funcions implícites de x i y. Trobeu V z i '\lu. 60.Donada l'equació 2x2 + 2y2 + z2 -8xz -z + 8 = O, proveu que en un entorn del punt (2, O, 1) defi.neix implícitament z en funció de x i de y. Trobeu el pla tangent a la superficie donada per l'equació anterior a (2, O, 1). 61.Donada la funció F(x, y, z) = x2 -2yz + y3 -4, vegeu si es poden trobar funcions x = x(y, z), oy= y(x, z), o bé z = z(x, y), en un entorn del punt (2, O, O), donades irnplícitament per l'equació F(x, y, z) = O. A més: a)Trobeu el pla tangent a la superficie F(x,y, z) = O en el punt (1, -1, 2). b) Cornproveu que aquesta superfície és ortogonal a qualsevol superficie de la familia x2 + l= (2 -4a)y2 + az2 en el punt (1, -1, 2). 62. Donades les equacions: x -u -v = O, y -u2 -v2 = O i z -u3 -v3 = O, determineu un punt P(xo, Yo, zo, uo, va) E R5 tal que: a)En un entorn de P el sistema d'equacions defineixi implícitament tres funcions diferenciables: z = h x.y).u = h(x,y) i v = h(x,y). b La derivada direccional de Ji en el punt (xo, yo) sigui maxirna en la direcció del vector (1, O) • - --..;_; --. r 3 18 - - - - - - 3.5 Teorema de la fundó inversa 63. Sigui f(u, v) = (eu + ev, e11 -ev). Proveu que f és localment invertible en un entorn de cada punt de JR2. En aquest cas, mostreu que la funció f també és globalment invertible, calculant la seva inversa. Comproveu que les matrius jacobianes de f i ¡-1 en punts corresponents són inverses l'una de l'altra. 64. Sigui f : JR3 ---t JR3, definida per f(x,y,z) = (2x + 3y2,xyz,x2 -yz). Calculeu J(f-1) al punt f(O, 1, -1). 65. Proveu que la funció f: 1R2--+ 1R2, definida per f(x,y) = (excosy,exsiny), és localment invertible en un entorn de cada punt, pero no ho és globalment. 66. Sigui F: JR2--+ JR2 l'aplicació definida per F(r,0) = (rcos0,rsin0). Ttobeu la matriu jacobiana i el determinant jacobia d'aquesta aplicació. Determineu tots els punts on és localment invertible. Ro és globalment? 67. Sigui F: JR3--+ JR3 l'aplicació definida per F(r,0,rp) = (rsinrpcos0,rsinrpsin0,rcosrp). Ttobeu la matriu jacobiana i el determinant jacobia d'aquesta aplicació. En quins punts és localment inversible? Ho és globalment? 68. Sigui f: JR3--+ JR3 definida per j(x, y, z) = (e'\ sin(x + y), ez). a) Proveu que f és localment invertible en (O, O, O). b) Calculeu el jacobia de la funció inversa en el punt f(O, O, O)= (1, O, 1). c) Proveu que existeixen punts a JR3 on no es compleixen les hipotesis del teorema de la funció inversa. 69. a) Proveu que el sistema ( yz2 + x2u3 = 1 2xy3 + uz2 = O defineix x i y com a funcions implícites de z i u en un entorn del punt ( x, y, z, u) = (O, 1, 1, O). b) Siguin x = h(z, u) i y = g(z, u) les funcions implícites considerades en l'apartat anterior. Demostreu que la funció F(z,u) = (h(z,u),g(z,u)) admet funció inversa en un entorn del punt (1.0). Calculeu J (F-1) (O, 1). 70. Es consideren les funcions f : IR2 --t IR2 i g : IR2 --t IR definides per f ( x, y) = ( x + sin y, eY) g(t, u) = t + u. a) Proveu que f i g són diferenciables. b) Trobeu la matriu jacobiana de la funció F = g o f en el punt (O, O). e) Calculeu la derivada de F en el punt (O, O) segons la direcció del vector (2, -1). d) Calculeu el valor maxim de la derivada direccional de F en el punt (O, O). e) Trobeu la recta tangent a la carba definida implícitament per F(x,y) = 1 en el punt (0,0). f) Demostreu que F(x, y) = 1 defineix y com a funció implícita de x en un entorn del punt (O, O). g) Demostreu que aquesta funció implícita és localment invertible en el punt O. 20 - 4 Fórmula de Taylor i extrems 4.1 Polinomi de Taylor l. Calculeu el polinomi de Taylor d'ordre 2 de les funcions següents al voltant del punt que s'indica: a) f(x, y)= xy2 + sinxy a (1, K/2); b) f(x, y)= arctany/x a (1, 1); c) f(x, y)= cosxy a (O, O); d) f(x, y) = ex+y a (O, O); e) f(x,y) =x siny+ysinx a (0,0); f) f (x, y) = ln(l + xy) a (O, O); g) f(x,y)=sinx2+y2 a (fi,ft); h) f (x, y) = xY a (1, 2); 2. Desenvolupeu la funció f(x,y) = ex+y segons la fórmula de Taylor en el punt (1,-1) fins al tercer ordre. 3. Desenvolupeu segons la fórmula de Taylor a l'origen les funcions següents: a) f (x, y) = cos x cos y fins als termes de quart ordre. b) f ( x, y) = e2x cos y ti.ns als termes de tercer ordre. 4. Desenvolupeu f(x, y) = x3 + xy + y3 segons potencies de x -1 i y -1 fins als termes de segon grau. 5. Quin és el terme de grau 7 de la fórmula de Taylor en el punt (O, O) per a la funció _� -. y = x3 -2xy4 + (x -1)2 y10? :: :..,, la funció f(x, y)= ln(l + 2x + 3y): ::-- · . ..:;. el polinomi de Taylor de f en el punt (O, O) d'ordre 2. -=-=· polinomi, calculeu un valor aproximat per a f (1/10, 1/10) i fiteu l'error. 21 7. Aplicant la fórmula de Taylor fins al segon ordre, calculeu aproximadament: a) ✓1.03 + 2.98, b) -{1/0.98 x 1.02. e) 0.952·01. 8. Sigui f : IR2 ---+ IR2 definida per f(x, y) = (y+ cos x, x + eY) i g : IR2 ---+ IR una funció de classe C2 que satisfa: 8g 8g g(l,1)=2, -8 (x,y)=-8 (x,y)=a, V(x,y)EIR2• . X y a) Calculeu el polinomi de Taylor de grau 1 centrat a l'origen de la funció composta F = g o f. b) Per a quins valors del parametre a E IR, podern assegurar que l'equació F(x,y) = 2 defineix y com a funció implícita de x de classe C1 en un entorn de (O, O)? En aquest cas, calculeu y'(x). 9. Sigui f : IR3 -, IR una funció infinitament diferenciable que compleixi les condicions f (O, O, 1) = O, v7 f(O, O, 1) = (1, 1, 2) i IIf(O,O, !) -G � D a) Demostreu que l'equació f(x, y, z) = O defineix z com a funció implícita de x, y en un entorn de (O, O, 1). b) Sigui z = g(x, y) la funció implícita de l'apartat anterior. Calculeu el polinomi de Taylor de segon ordre de la funció g en (O, O). c) Estudieu si la funció F(x, y) = (g(x, y), y) té inversa diferenciable en un entorn de (O, O). 4.2 Extrems 10. Trobeu els extrems locals de les funcions següents i deterrnineu la seva natura. a) f(x,y) = x3 + y3 -9xy + 27; b) f(x, y) = x2 -2xy2 + y4 - y5; e) f x. y = x4 + y4 + 4xy -2x2 -2y2; ci f : . !, = 9x2 -6xy + y2 + 12x + 4y; -1 x4-y41: --- -- ... 1. 22 - - - - - h) f(x, y)= x2y2 (1 -x - y); i) f(x,y)=x3-x2y+3y2; j) f(x,y) =sinx siny; k) f ( x, y) = ( a cos x + b cos y) 2 + ( a sin x + b sin y) 2; 1) f(x, y) = (x2 - 2x + 4y2 -8y)2; m) f(x, y) = xy2 (3 -x -y); n) f(x,y)=y2+x2y+x4; o) f(x,y) =x2+y2+x+y+xy; p) f(x,y) = (x -1)4 + (x -y)4; q) f(x, y) = y2 -x3; r) f(x, y) = (y -x2)(y -2x2); s) f(x, y) = x3 + 3xy2 -15x -12y; t) f(x, y)= sinx + sin y+ cos(x + y). 11. Donada la funció f(x, y)= Jx2 + y2 -xy, a) Trobeu els extrems relatius de f a JR2 \ { (O, O)}. b) Analitzant l'expressió de f, esbrineu si (O, O) és extrem relatiu. 12. Sigui f(x, y) = e>-x+y2 + µ,sin(x2 + y2) amb >-,µ,E R Determineu els valors dels parametres A i µ, sabent que f té en (O, O) un extrem relatiu i que el polinomi de Taylor de segon grau de f a l'origen pren el valor 6 al punt (1, 2). Amb els resultats obtinguts abans, quin tipus d'extrem és el punt (O, O) per a f? 13. Determineu els extrems locals de les funcions de següents: a)f(x, y, z) = x2 + y2 -xy + xz - z2 + 2z; b) f(x, y, z) = x2 + y2 - 3z2 + 9z; e) f(x,y,z) = (x -y-z)2 + (x +y+ z)2; =;: _ -xz· 2+ 2+ 2 g)f(x,y,z) = e-x Y z; 2+ 2+ 2 h)J(x,y,z) = ex Y z; i) f(x,y,z)=x2+y2+z2-xy+x-2z; y2 z2 2 j) J(x, y, z) = x + -+ -+ - 4x y z 14.Determineu els extrems condicionats de les funciom; següents: a)f ( x, y) = xy, Sl x + y = 1; b) J(x,y) = x + 2y, s1 x2 + y2 = 5; e) f(x,y)=x2+y2 , s1 x/2+y/3=1; d)f(x, y, z) = x -2y + 2z, si x2 + y2 + z2 = 9; e)J(x,y,z)=x+y+z, s1 x2+2y2+3z2 =1; f) J(x,y,z)=x-y+2z, si x2 +y2 +2z2 =2; g) f(x,y,z)=3x2+3y2+z2, si x+y+z=l; h) f(x,y,z) = x2 +y2 +z2,{x2 +y2=1 Sl x+y+z=l i)f(x,y,z) =lnx+lny+3lnz,{x2 + y2 +z2 = 5r2 si x,y,z > O j) f(x, y, z) = y2 + 4z2 -4yz -2xz -2xy, si 2x2 + 3y2 + 6z2 = l; k) J(x, y, z) = xyz, x2 y2 2 si -+ -+ z= l. 4 9 15. Trobeu els valors maxim i mínim de la funció f(x, y) = x2 + y2 -2x + 4y + 3, en el domini tancat definit per 2x2 + 2y2 -8x + lly -5 ::::; O. 16. Trobeu el maxim i el mínim de f(x,y) = x2 + y2 -2x -4y + 8 en el recinte {(x,y) E JR2: x2 + y2 ::::; 9}. 17. Trobeu el maxim i el mínim de f(x, y) = x2 + y2 -6x -8y + 25 en el recinte {(x, y) E JR2 : .-::: -:/ ::::; 100}. 18. C,�-:,i.:eu el� extrems absoluts de la funció f(x, y) = x2 + y2 -12x -8y + 50 sobre el domini :>ir.:� pe:-la inequació x2 + y2 -4x -2y ::::; 20.24 • l. c. t. t - 19. Trobeu els extrems absoluts de la funció f(x, y) = 4x2 + y2 -4x -3y en el domini definit per les inequacions y 2: O, 4x2 + y2 :S 4. 20. Determineu els extrerns absoluts de la funció f(x, y)= x2y + y2 sobre el conjunt x2 + y2 :S 9_. 21. Calculeu els extrems absoluts de la funció f (x, y) = x3 + 3x -6xy + 3y2 sobre el conjunt definit per les inequacions: O :S x :S 2, O :S y :S 2. 22. Trobeu els extrems absoluts de la funció f(x, y) = x3 -3x2 + 3y2 en el domini tancat definit per la inequació x2 + y2 :S 25. 23. Determineu els punts on la funció f ( x, y) = x2 + y2 -xy + x + y pren els valors maxim i mínim absoluts en el compacte K = { (x, y) E JR2 : x :SO, y :SO, x + y 2: -3}. 24. Trobeu els extrems locals i absoluts de la funció f(x, y) = e-x-2y -e-2x-y en el quadrant x 2: O , y 2: o. 25. Trobeu els extrems relatius de la funció f (x, y, z) = (x + z2)eX(Y2+z2+1). Estudieu si f té ca p maxim absolut. 26. a) Sigui a un nombre real. Calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció 1 1 f(x,y) = -+axy+-. X y b) Sigui a = 2. Calculeu els extrems absoluts que pren f en el compacte de JR.2 definit per les inequacions: x 2: 1/2, y 2: 1/2, x + y :S 2. 27. Calculeu els extrems absoluts de la funció f(x, y, z) = 2x + 3y + 5z en el recinte definit per { ( x, y, z) E lR 3 1 x2 + y2 :S 1, x2 + y2 + z2 :S 4}. 28. Siguin a> b > O. Demostreu que la funció f: JR.2-+ lR definida per f(x, y) = (ax2 + by2) e-(xz+yz) té extrems absoluts. Calculeu-los. 29. Sigui K un subconjunt compacte de lRn i ao, a1, ... , an E IR amb a1 i= O. Considerem la funció -_--=-:--:..:-----:- 1 x1 ..... ,xn)==ll{)+a1x1+···+anXn, +s"assoleixen a la frontera de K. b) Si n = 2 i K és un polígon de p costats (p > 2), proveu els extrems de f é'855clei.wn en vertexs de K. e) Calculeu els extrems de la funció f(x, y)= ax+ by+ e, a-/:- O, sobre el compacte 30. 'Irobeu el maxim i el mínim de la funció f(x, y) desigualtat (x -1)2 + y2 :S 4. 31. Trobeu els punts de la corba intersecció de les dues superfícies x2 -xy +y2 - z2 = 1 i x2 � �� = 1 que són més a prop de l'origen de coordenades. 32. a) Trnbeu el maxim de la funció f (x1, xz, ... , Xn) = (x1x2 ... Xn)2 amb la condició ¿ x¡ = l. i=l b) Utilitzeu aquest resultat per demostrar que si a; 2: O per a i = 1, • • • , n, llavors es compleix 33. Siguin a, b, e i k nombres positius i x, y, z nombres no negatius. a) Trobeu el valor maxim de xª yb zc sotmes a la condició xk + yk + zk = l. b) A partir d'aquest resultat, proveu que per a qualsevol conjunt de sis nombres positius a, b, e, u, v, w es té: ( � \ ª ( � \ b ( W \ e < ( U + V + w \ a+b+c a b e a+b+c 34. Amb un fil de longitud L volem construir un quadrat i un cercle. 'Irobeu-ne les dimensions per tal que l'area total sigui maxima, o bé sigui mínima. 35. Calculeu les dimensions del paraHelepípede rectangular de volum maxim i d'area total 25. 36. I-:- t Y':' e; paraJlelepípedes rectangulars tals que la suma de les seves arestes és 12a, trobeu el .: ::.. ·.· - - ............. .:::-,-: ........ . 26 a) foªla� ✓a2 -x2 -y2 dydx, b) foªla�(x2 + y2) dxdy, c)la2a la✓2ax-x2dy dx. 26. Fent ús de les coordenades polars, trobeu la integral de ex2+Y2 sobre la regió dels punts (x, y) E JP1.2 tals que x2 + y2 � l. 27. Trobeu l'area de la regió interior a la corba r = a(l + cos 0) i exterior al cercle r = a. 28. Trobeu l'area de la regió limitada per la corba r= 2a21 cos 20¡. 29. Trobeu l'area de la regió compresa entre la primera i la segona espira de l'espiral d'Arquimedes r= a0, a> O. 30. Trobeu la integral de la funció fa(x, y)= l/(x2 + y2 + a)312 sobre el disc Da de radi a centrat a l'origen. Fent que a tendeixi a l'infinit, demostreu que lim ( fa(x, y) dx dy = O. a-->oo} Da 31. Trobeu la integral de la funció f (x, y) = l/(x2 + y2)3 sobre la regió compresa entre dos cercles de radis 2 i 3 centrats a l'origen. 32. Representeu graficament la regió definida per x 2: O, x2 + y2 � 2 i x2 + y2 2: l. Determinen les integrals de les funcions següents sobre aquesta regió: f ( x, y)= x2, f ( x, y)= x i f ( x, y) = y. 33. Considerem S = S1 U S2, on S1 és el recinte limitat perles rectes y= O, y= x, x = l i x = 2, mentre que S2 és el recinte limitat per les rectes .:y= x i y= 3x i les circumferencies x2 + y2 = 2 i x2 + y2 = 8. Aleshores trobeu 34. Calculeu, passant a coordenades polars, l'area de la figura limitada per les circumferencies x2 + y2 = 2x i x2 + y2 = 4x i les rectes y = x i y = O. 34 35. Mitjanant el canvi a coordenades polars, calculeu la integral 11 ¡� y2 dx ---;:::::;:==:::;: dy. ov'3x ✓x2+y2 36. Si D= { (x, y) E JR2: x2 + y2 < 1}, calculeu { dxdy jD ✓x2+y2+ ( 2 2 37. Si D és el recinte limitat per l'eHipse d'equació :2 + �2 = 1, a, b > O, calculeu: a) L'area del recinte D. b) l x2 dxdy. e) l ydydx. 38. Sigui R el rectangle de vertexs (1, 2), (1, 5), (3, 2) i (3, 5) i G= ( !1 ! \ la matriu associada a una certa aplicació lineal. Trobeu l'area de G(R). 39. Sigui (x,y) = G(u,v) =(u2 -v2,2uv) i A la regió definida per u2 + v2:::; 1, u 2: O, v 2 O. a) Trobeu l'area de G(A). b) Trobeu la integral de f(x, y)= x sobre G(A). 40. Sigui (x, y) = G(u, v) = (u+ v, u2 -v) i A la regió del primer quadrant limitada pels eixos coordenats i per la recta u+ v = 2. Trobeu la integral de la funció f (x, y)= 1/(1 + 4x + 4y) sobre G(A). 41. Considerem el canvi de coordenades x= u2 -v2, y= 2uv. a) Calculeu el jacobia d'aquest canvi. b) Si R és el rectangle del pla UV de vertexs (1,1),(2,1),(2,3) i (1,3), trobeu i dibuixeu la imatge Sde R en el pla XY. e Calculeu l xydxdy. 5 ::; 42. Transformeu la integralle · ¡{3x dx f(x, y) dy, O < a < {3, e> O, O ax introduint les noves variables u= x + y i y= uv. 43. Si D= ( (x,y) E ffi.2: 1 � xy � 8, � � :2�11, calculeu L xydxdy. 44. Feu el canvi de variables que calgui per tal de calcular la integral Le� dxdy, on D és el triangle de vertexs (O, O), (O, 1) i (1, O). 45. Sigui D la regió plana del primer quadrant limitada per les corbes d'equació: y = 3/x, y= x, y= 4x, y= 1/x. Justifiqueu que la funció f(x, y) =y/x és integrable sobre D i calculeu Lf(x,y)dxdy. 46. Sigui Del triangle de vertexs (O, O), (1, 2) i (2, 1). Justifiqueu que la funció és integrable sobre D i calculeu x-y J(x, y)= x+y Lf(x,y)dxdy. 47. Sigui Del recinte del pla limitat per les corbes d'equacions: y= x2, y= 2x2, x= y2, x= 2y2. a) Calculeu l'area de D. b) Justifiqueu si és o no integrable sobre D la funció f(x, y) = x: 12� l . En cas que ho sigui, y y calculeu la integral de f sobre D. 48. Calculeu j I sin(2x+y) cos(x-y)I dxdy sobre el recinte igual al paral-lelogram de vertexs (O, O), (27r/3, 27r/3), (27r/3, -471"/3), (47r/3, -27!"/3). 36 - - - - - - 49.Sigui A el subconjunt del primer quadrant limitat per les corbes xy = 1, xy = 3, x = y y2 -x2 = l. Calculeu i (y2 -x2y;Y(x2 + y2) dxdy. Indicació: feu el canvi u = y2 -x2, v = xy. 50.Calculeu JM I x2 -2y + 1 1 dxdy on M = {(x, y) E JR2 : x2 + y2 S 2, y?.: O}. 51.Donats el domini del pla D = ( (x, y) E JR2: 1 S xy S 3, 1 Sy2 S 31 i la funció f: D -+ lR X definida per lyx2 -y2 I f(x,y) = X a) Calculeu l'area del domini D. b) És f una funció integrable en D? En cas afirmatiu calculeu l f. e) És f una funció integrable en oD? En cas afirmatiu calculeu { f. JaD 5.3 Integrals impropies 52.Proveu que la funció f(x, y) = yex /x és integrable sobre el conjunt A definit perles inequacións O S y S 1 i y2 S x S y. Calculeu i f. 53. Proveu que la funció f ( x, y) = -1 / J 1 -x2 -y2 és integrable en el seu do mini i calculeu el valor de la integral. 54.Sigui f la funció f(x,y) = 1/x, R = [-1,1] x [0,1] i a E R Demostreu que es pot construir una successió creixent Rn de conjunts sobre els que f esta fi.tada i és integrable i tals que Pot ser f integrable sobre R? { lim area( Rn) = n-oo lim r f = a. n--+oo} Rn 37 area(R), 55 S. . f( ) (1 - yf o . 1gm x, y = ( ) , on < e < x-yc 1, Estudieu en funció de e la integrabilitat de f en el domini limitat per y= O, x = y, x = l. 56. Donada la funció f(x, y)= 1/(x2 + y2 -lt, on a> O: a) Estudieu, en funció de a la integrabilitat de f a la corona 1 :S: x2 + y2 :S: 2. b) Feu el mateix per a les regions determinades per les desigualtats x2 + y2 2 2 i x2 + y2 2 l. 57. a) Demostreu que e-x -y dxdy = 7f. 1 2 2 JR2 b) DedlÜu de l'apartat anterior que 1-: e-x2 dx = '/'Íf. e) Dedu1u de b que la fundó 1 -1 ('!!.:::.E.)2 f (x) =,r;c eT " v2m; (funció de densitat de la distribució normal N(µ,c,)), compleix 1-: f = l. d) Dedufo de b que I'(l/2) = .,fir, on r(x) = Jt° e-ttx-l dt (funció Gamma). 58. Calculeu la integral de la funció f (x, y) = 1/(x +y+ 1 )3 en el conjunt definit per les inequacions X 2 Ü i y 2 Ü. 59. Siguin a, b, e E IR, a, b, e> O. Calculeu la integral de f (x, y)= ec-ax-by sobre el primer quadrant de !R2. 38 - ,,,,..... - - - - - - - - - 6 Equacions diferencials ordinaries 6.1 Conceptes basics i tipus l. Comproveu que y= kex, k E IR, són solucions de l'equació diferencial y' = y. 2. Comproveu que y = x2, y = -8x2 i y = 25x2 són solucions de xy' -2y = O. 3. Resoleu les equacions diferencials següents: a) (1 + e2x)y' -ex = O; 4. Resoleu les equacions diferencials següents: e)(x2 -3y2) dx + 2xy dy = O; 5. Resoleu les equacions diferencials següents: a) y'(x + y -1) = -x + y -l; b) xy' = ✓ x2 -y2 + y; d) (x -y)y -x2y' = O. e)(x -y+ 1)2dx = (x2 + 2xy + y2)dy; 2 2 2 d) y' = x -xy + y (x +y+ 2)2 6. Resoleu les equacions diferencials següents: a) y' -ytgx = cosx; e)y' -y= 2xex+x2 ; 6.2 Aplicacions b) xy' =y+ x2 sinx; d) y' + 2y = x2 + 2x. __ :as.si'.""· �unt O. -2) de forma que el pendent de la tangent en qualsevol -_ -- · :=. . -ada en tres unitats. 8. Demostreu que la corba per la qual el pendent de la tangent en qualsevol punt és proporcional a l'abscisa del punt de contacte és una parabola. 9. Trobeu la corba que passa pel punt (2,1) tal que, en qualsevol dels seus punts, el triangle determinat per la tangent, l'eix d'abcises i el segment que uneix l'origen amb el punt de tangencia té area constant igual a l. 10. Trobeu la funció y= y(x) perla qual l'area Q limitada per la corba y= y(x), l'eix OX i les ordenades X= O i X= x, és essent a un nombre real positiu fixat. 11. El radi es desintegra amb una velocitat proporcional a la quantitat present. Si en 1600 anys desapareix la meitat de la quantitat inicial, calculeu la quantitat perduda en un segle. 12. Un cos de massa m cau verticalment, partint del repos, des d'una certa al<;ada. La resistencia a l'aire és proporcional al quadrat de la velocitat. Trobeu la llei del moviment del cos. 13. La variació amb el temps de la temperatura T d'un cos que s'introdueix en un recinte a temperatura a és proporcional a T-a. Introdwm, a les 12:00 hores, en una habitació a temperatura 15ºC un objecte que té temperatura 420ºC. A les 12:30 hores cornprovem que la seva temperatura és 150°G. A quina hora arribara a 30ºC? 14. En certs problemes d'evolució de poblacions se suposa que dP = aPbP2 dt on P és la població, t és el temps i, a, b són constants lligades, respectivament a les taxes de natalitat i mortalitat. Estudieu el comportament de la població segons els valors de a i b i el seu valor inicial Po. 40 - - - -