Tomografía de microondas: algoritmos en coordenadas cilíndricas

• r 1 1 1 l 1 l TÓMOGRAFIA DE MICROONDAS : ALGORITMOS EN COORDENADAS CILINDRICAS J.M. Rius, M. Baquero, J. Romeu, M. Ferrando, L. Jofre, E. de los Reyes, A. Elias Dpto. de Electrofísica, E.T.S.I. Telecomunicaci6n Apartado 30002 - 08080 Barcelona ABSTRACT This paper presents a new and efficient algorithm in cvlindrical coordinates for microwave diffraction tomography. In comparision with algorithms in cártesian coordinates, it does not need mechanical rotation of the object and provides higher quality reconstruction with similar processing time. INTRODUCCION Para aplicaciones biomédicas, la tomografía de microondas presenta sobre la de rayos X la ventaja de no ser una radiaci6n ionizante. En cuanto a algoritmos, también hay importantes diferencias entre la tomografía de microondas y la de rayos X: Los algoritmos de reconstrucción para rayos X se basan en el teorema de proyección: La trans formada de Fourier de una proyección en una di-- recci6n dada es igual a un corte en la misma dirección de la transformada de Fourier bidimensio nal del objeto proyectado. Como los rayos X no se difractan, viajan en linea recta, ·y por tanto los campos medidos en una linea recta paralela a un frente de onda plano incidente después de atrav~ sar el objeto son proporcionales a la proyecci6n del mismo en una direcci6n perpendicular a la de propagaci6n. Repitiendo el proceso para distintas direcciones obtenemos valores de la transformada de Fourier bidimensional del objeto. Con una interpolaci6n podemos hacer la transformada inversa y obtener el objeto . [1·j • En tomografía de microondas se produce difracci6n, de forma que para un frente de onda plano incidente, la transformada de Fourier de los campos medidos sobre una linea recta paralela al frente de onda es igual a un cortecircular de la transformada de Fourier bidimensional del objeto. Repitiendo el proceso para distintas direcciones obtenemos un muestreo no uniforme de la transformada de Fourier bidimensional del objeto en un circulo de radio /2·Ko 111. Sin embargo, para aplicaciones biomédicas una geometría cilíndrica presenta la. ventaja de ser envolvente y por tanto no precisar una rotaci6n mecánica del objeto. El incoveniente de los algoritmos en coordenadas cilíndricas es la aparición de .funciones de Bessel y transformadas de Hankel, que no pueden calcularse numéricamentede forma tan eficiente como las transformadas de Fourier. Sin embargo, puede reducirse el problema fácilmente al caso cartesiano, obteniendo muestras de la transformada de Fourier bidimensional del objeto equiespaciadas sobre cortes circulares y pudiendo aplicar la FFT bidimensional para reconstruir el objeto. Como ahora conocemos el espectro en un círculo de radio 2 Ko, mayor que en el caso cartesiano, la resoluci6n, y por tanto la calidad, de la imagen obtenida se rá mejor. 1 - v' URSI'86 227 FUNDAMENTOS TEORICOS Sea un objeto de constante dieléctrica E1 (~) y magnética ~=~o inmerso en un medio de constante dieléctrica Eo. Definimos: o(r)=1-El (r)/Eo (1) También definimos "amplitud de onda difractada por el objeto"l11,121: + + -J'K sr f(~;~1l=Kij!Jo(r)ljJ(r;~o)e 0 d2r (2) donde ljJ(r;§o) es el campo total sobre el objeto (incidente+difractado) cuando incide una onda plana en direcci6n ~o, y Ko es el número de onda en el medio que rodea al objeto. Según la aproximaci6n de B~rn, el campo total es igual al incidente si o(r) << 1 (objeto poco difractante), es decir, 1/J (r)=l/J (i (rl =e-jKo§or (3> En este caso: f(§;§o)=Kijjjo(r)e-jKo(§+~o>r con O(,)=TF-2D(o(r)) (S) Por -tanto, en estas condiciones f(~;~~) es un corte circular de radio Ko centrado en k=§o de la transformada de Fourier bidimensional del objeto (figura 1). Para calcular f(~;~ 0 ) utilizamos el teorema de reciprocidad: f ++ f ++ v JaEb dva = v JbEa dvb a b (6) !!~neo ~fiel~~d~~~~i~~;~se~is;~~;:se~nv~iu~~~uvb' yajb las corrientes en avb que inducen campos Eb sobre va. Si tenemos una antena emisora-receptora alrededor del Qbjeto (fig. 2) tomamos va=antena(r) y vb =objeto (r~) • Entonces, para campos y corrientes perpendiculares al plano de la antena: + J = b corrientes equivalentes sobre el(objeto inducidas por el campo incidente 1/J 1 (r~,§ 0 ) y qu1sp~oducen el campo difractado Eb=l/J (r). corrientes que si existieran sobre la antena receptora actuando como transmisora producirían sobre el objeto una onda plana en direcci6n ~ ! 'K o+- i =e-J o~r (7) a Las el campo corrientes equivalentes inducidas por incidente sobre el objeto son 131: 1 -.--Kijo(r-)1/J(r·;~o> (8) JW~o Así, para antena circular y objeto bidimensional en el plano de la antena tenemos: f + (s + antena Ia(r)ljJ (r) ~l = ... ~ ff -. 1 - K 2 o(r-)l/J(r··~ )e-JKo§r d2r (9) JW~ 0 O 1 O III Symposium Nacional del Comité Español de la URSI De (3) y (9); con la geometría de la fig.2: J2 7f I ( cr) 1/1 ~S ( cr; §o ) R dcr= . w 1, f ( §; §o ) ( 1 0) o a J ~o I (cr) debe ser tal que produzca una onda plana sSbre el objeto eñ dirección s = 1¿x 131: 'K g+, + + e-J 0 r = -jw]l 0 g7f Ia(crlHF(Kolr-r'J) R dcr (11) Desarrollando ambos miembros en serie de Fourier I' .-nJ (K r')ejn(cr'-xl -ooJ n ° 1 oo -jn(cr'-cr) -jWllof~7f .Ia (cr) 4j ~oo H~ (KoR) Jn (Kor') e Rdcr Invirtiendo el orden de integral y sumatorio: .-ne-jnx= -jw11ó H2 (K R)R/~7f I (cr)e-jncr dcr J 4j n ° a _ 4j ~ i-n ejn(cr-x) (12) Ia(cr)- -jw]lo27fR-oo H~(KoR) .-n · d f' · F ( ) 1 ~ J ejny_ F (-y) (13) s~ e ~n~mos r Y= 27f ~ooH¿(KoR) - r n 4' tenemos: Ia(cr) . J R Fr(x-crl (14) -JWllo corrientes que producen una onda plana en dirección § = 1¿x • De (10) y (14): f(~;~ol = -4jn7f 1/l~s(cr;§o)Fr(x-crl dcr (15) siendo 1/J~s(cr;s 0 ) el campo difractado cuando incide una onda plana en dirección so = 1¿Xó" Pero en nuestro caso no incide una onda plana sino una onda cilíndrica generada por una fuente puntual en R¿ 00 • Teniendo en cuenta que el campo difractado cuando incide una onda plana es la suma de los campos difractados debidos a una serie de ondas cilíndricas cuya suma es la onda plana, y que estas ondas cilíndricas son las generadas por las corrientes Ia: 1/l~s(cr;§ 0 ) = J~7f 1/J~s(cr;cr 0 )Ia(Xo-cro)R dcr (16) con 1/l~s(cr;cr 0 ) igual al campo difractado medido en cr cuando incide una onda cilíndrica generada por una fuente puntual unitaria situada en R¿cro y I (x0-cro) las corrientes en cro que producen unaaonda plana en dirección so = 1¿x 0• De (14), (15) y (16) tenemos: f(A·s l= ~J 2 7fJ 2 1f 1/J~s(cr;cr 0 )Fr(x-cr)Fr(xo-crol S, O jW]l O O o ALGORITMO En lugar de una antena cilíndrica tenemos un array circular de N antenas omnidireccionales emisoras-receptoras. con cada una de ellas consecutivamente hiendo co el ·resto obtenemos la matriz que son muestras de 1/l~s(cr;cro). dcrdcro(17) / continúa, puntuales Emitiendo y reci-· 1/1 (n;no), Así, en el dominio volución periódica: discreto tenemos la con 00 . _J.!i.L: (21f)2 00 f(m,mo)- . --;:;r-N foo JWllo ~oo 1/1( )F (m-n)Fr(mon;no r -no) (18) Esta·convolución se implementa .eficientemente haciendo el producto de series de Fourier discretas de las secuencias periódicas 1/l(n;nol y F (y;y 0) utilizando la FFT bidimensional. Como rla serie de Fourier de Fr(y;yo) es .- (n+no) (27f) 2 H~(KoR)Hn~KoR) podemos tenerla tabulada,y obtener f(m;mo) con 2 FFT bidimensionales. A partir de f(m;m 0 ), obtenemos O(u,v) interpolando según las fórmulas: Xo a + ~ - ARCSEN ~~l (19) X X o7f + 2ARCSEN lEJ (20) 2Ko 228 ,.. con k = k¿a = (u,v) (21) La interpolación es bilineal, y al ser un filtrado paso-bajo del espectr~ del objeto, empeora la reconstrucción para Jrl grandes. El r~ sultado se mejora aumentando la densidad de muestras de f(s;s 0) a base de añadir ceros a la serie de Fourier bidimensional de f(s;so), cons¡~uiendose reconstrucciones independientes de Jr¡. Con geometría cilíndrica, obtenemos muestras de f(s;s 0) en un círculo de radio 2Ko, mien tras que en el caso cartesiano de onda plana in:: cidente y antena lineal el radio es 2Ko. De esta forma, la resolución de la imagen obtenida mejora en un factor 12. RESULTADOS El ordenador utilizado es un HP-9000 serie 500 de 32 bits y 4Mbytes de memoria interna. Los resultados se han obtenido con N = 64 antenas, y radio del array circular 10cm = 7.14A aumentando la densidad de muestras de f(m;mo) a 128 x 128 y con una reconstrucción final de 64x 64 muestras. La frecuencia utilizada es de 2.45 GHZ. a) Respuesta impulsional: Reconstrucción de una delta en el origen o(x,y) = o(x,y), para un medio sin pérdidas (fig. 3) y con pérdidas (fig. 4). El medio con pérdidas es agua a 35°C y 2.45 GHz, e0 = 74-j7. b) Resolución: Reconstrucción con "Zoom" de 2 deltas separadas 0.5A para medio sin pérdidas (fig. 5). e) Uniformidad,·t.de la imagen: Recdmstrucción de una serie de deltas separadas A/4 situadas en el eje x positivo, para un medio sin pérdidas (Fig. 6). Para r> 5A empeora la calidad de la reconstrucción debido a un muestreo insuficiente de los campos difractados con 64 antenas. Esta reconstrucción se ha obtenido con 256 x 256 muestras de f(m;mol. d) Modelo de cuerpo biológico: Con el siguiente modelo de brazo: Hueso r<2.5cm e = 5.5 - j0.8 o=0.92 Músculo 2.5cm<r<4.2cm e=50-j17.1 o=0.27 Grasa r>5cm e=4.92-j1.49 o=0.93 Se han obtenido las siguientes reconstrucciones: Fig. 7: Fig. 8: Fig. 9: Con los campos difractados calculados suponiendo que la aproximación de Born es exacta, en medio sin pérdidas Igual que la anterior con pérdidas. Con los campos difractados calculados exactamente (la aproximación de Born no se cumple) • CONCLUSIONES Hemos visto como los algoritmos de reconstrucción en coordenadas cilíndricas pueden implementarse de forma eficiente evitando las transformadas de Hankel a base de reducir el prQ blema al caso cartesiano. De esta forma, la geometría cilíndrica nos permite evitar la rotación mecánica del objeto manteniendo la velocidad de cálculo del caso car tesiano y mejorando la resolución, pudiendose d}; ferenciar claramente objetos separados 0.5A. Con 64 antenas la reconstrucción es uniforme hasta un radio de 5A. También hemos visto que en el'caso de objetos biológicos, la aproximación de Born no es exacta, pero no impide distinguir tej~dos de e muy diferente. Para los resultados de las fig. 4 a 9 el tiemp9 de cálculo ·e·s de unos 20 seg. con la versión actua+ del progr?lffia, ~o óptirr,i:i;ada en velocidad.· En el futuro se espera r.eálizar la reconstrucci,6n en ·trempo real. G ~if REFERENCIAS 1 - S.X. Pan and A.C. Kak, "A Computational Study of Reconstruction Algorithms for Diff~action Tomography: Interpolation versus Filtered Backpropagation". IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. ASSP-31, No.S, pp. 12621275, October 1983. 2 - A.J. Devaney and G. Beylin, "Diffraction TomograP,hY Using Arbitrary Transmitter and Receiver Surfaces". Ultrasonic Imaging, vol. 6, pp. 181-193, 1984. 3 - R.F. Harrington, "Time Harmonic Electromagnetic fields". McGraw-Hill, 1961. db al,-----------------r---------------~ -5 -la -15 -2a db a A -5 -la -15 -21 -25 ~ ~ -38 -35 AA \AA - -<18 fig. 4 -e 7 -s -s--<~ -3 -2 -1 a db Sir---------------------------------~ 8 -18 -15 -a.s a a.5 db a -s -11!1 -15 -21!1 -25 -3a -35 db . Sir-----------------------------------, 1!1 -5 -11!1 -15 db 5·~----------------------------------; 1!1 -18 -15 db sr-----------------------------------, a J--t -11!1 -15 229