Alternativas para a medida do erro na representação do carregamento no método da superposição de vetores de Lanczos

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 11,4, 601-613(1995) ALTERNATIVAS PARA A MEDIDA DO ERRO NA REPRESENTACÁO DO CARREGAMENTO NO MÉTODO DA SUPERPOSICÁO DE VETORES DE LANCZOS JOSÉ ANTONIO O. DO NASCIMENTO * e ADEMAR GILBERTO GROEHS ** *Departamento de Estruturas Universidade Estadual de Londrina Caixa Postal 6001, CEP 86051-970 Londrina-PR, Brasil **Curso de Pós-Graduacüo em Engenharia Civil, UFRGS Caixa Postal 303, CEP 90001-970 Porto Alegre - RS, Brasil SUMARIO O desenvolvimento de um método de reducáo de coordenadas, que utiliza uma base constituída por vetores de Lanczos gerados a partir da distribuicáo espacial do carregamento, suposta fixa, é apresentado. O erro relativo na representas50 do carregamento, quando se utiliza a base reduzida, como um critério de interrupqáo na geras5o dos vetores da base, é abordado, mostrando-se que a proposta de Wilson, Yuan e Dickens náo é apropriada. Propóe-se, entiio, duas alternativas para a medida do referido erro relativo, ambas baseadas em normas niioEuclidianas. Mostra-se que a primeira, por envolver a soluc5o de um sistema de equacóes cuja matriz é a matriz de massa do modelo estrutural, implica em custos computacionais adicionais altos, caso seja utilizada a formulacáo de matriz de massa consistente. Já a segunda alternativa leva a uma medida para o erro relativo facilmente calculável, pois envolve, apenas, produtos internos entre vetores. Exemplos numéricos sáo apresentados e sugere-se a utilizas50 da segunda alternativa. SUMMARY A coordinate reduction method is described, using a basis formed by Lanczos vectors generated from the spatial distribution of the loading, assumed fixed. The relative error in the load representation, using the reduced basis, is treated as a stopping criterium in the generation of the vector basis, showing that the proposal of Wilson, Yuan and Dickens is not Recibido: Enero 1995 OUniversitat Politkcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 J.A.O. DO NASCIMENTO E A.G. GROEHS appropriate. Two alternative measure of the mentioned relative error are proposed, both based on non-Eucledian norms. It is shown that the first, which includes the solution of a system of equations with the structural mass matrix, incurs in high additional computational costs, if a consistent mass matrix is used. For the second alternative an error measure can be casily computed, involving only vector dot products. Numerical examples are presented and the second alternative is recomended. Na análise diniimica linear de estruturas, através de um método de discretizaciio espacial como o MEF-Método dos Elementos Finitos, a técnica de reducáo de coordenadas tem sido intensamente utilizada. Classicamente usa-se uma base de reducáo de coordenadas constituída por um conjunto de autovetores do problema de autovalor associado As vibracoes livres da estrutura. Essa base, denominada base moda1 (incompleta), nao leva em consideraciio as características específicas do carregamento atuante. Para uma classe de problemas onde o carregamento tem uma distribuiciis espacial fixa, Wilson et al.' propuseram que os vetores da base fossem gerados a partir da distribuiciio espacial do carregamento, através de um algoritmo específico, que foi mostrado, depois, ser o Algoritmo de Lanczos7. Vários trabalhos mostraram a efetividade da utilizaciio da base assim gerada, entre eles Arnold et al.' e Coutinho et al.'. Uma das questoes relevantes, relacionadas ao uso de técnicas de reducáo, é o número de vetores que devem constituir a base, de forma que o esforco computacional seja reduzido e que se obtenha uma resposta diniimica precisa. Assim, vários critérios a priori foram estabelecidos na literatura, para estimar o número de vetores na base. Um dos primeiros, e amplamente utilizado até hoje, foi proposto por Wilson et al.', e utiliza uma medida para o erro relativo na representaciio do carregamento. O presente trabalho mostra que a medida do erro relativo proposta por Wilson et al.' náo está definida apropriadamente, podendo fornecer resultados inadequados. O propósito deste trabalho é buscar uma nova medida do erro na representaciio do carregamento que possa ser utilizada no estabelecimento de um critério de interrupcáo na geracáo dos vetores da base. Para um sistema estrutural discretizado através do MEF, as equacoes diferenciais lineares de equilíbrio diniimico podem ser escritas onde M, C e K siio, respectivamente, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, f = f(t) é o vetor de forcas nodais externas atuantes e u = u(t), u = u(t) e ü = ü(t) sáo os vetores de deslocamentos, velocidades e aceleracoes nodais, respectivamente. As matrizes siio de ordem n e os vetores sáo n-dimensionais, onde n é o número de graus de A MEDIDA DO ERRO NA REPRESENTAC~O DO CARREG. NO MÉT. DE LANCZOS 603 liberdade do modelo estrutural. Admite-se, neste trabalho, que o amortecimento é de Rayleigh, isto é, que a matriz de amortecimento possa ser obtida por uma combihaciio linear das matrixes de massa e rigidez (C = aoM + alK, onde a0 e al siio constantes). Dependendo da complexidade da estrutura e do nível de detalhe desejado na descriciio da resposta dinamica, o modelo estrutural pode ter uma quantidade muito grande de graus de liberdade. A menos que o carregamento seja de curta duraqiio, é comum aplicar-se um método de reduciio de coordenadas, que consiste em transformar o sistema original (1) num sistema de equacoes de tamanho bastante menor. O Método de Rayleigh-Ritz tem sido amplamente utilizado para reduzir a dimensiio das equacoes de movimento. O passo essencial no método é a escolha de um conjunto de m vetores linearmente independentes Q, = [ql , qz, .. ., q,] , denominados vetores teste, para descrever, aproximadamente, a resposta dinamica. Ou seja, busca-se uma soluciio aproximada u, = u,(t) que esteja contida no subespaco gerado pelos vetores qj, l<j<m onde vj(t), 1 5 j 5 m, siio as coordenadas generalizadas. Sem perda de generalidade pode-se assumir que o conjunto de vetores Q, é um conjunto M-ortonormal, ou seja, onde 1, é a matriz de identidade de ordem m. Uma forma equivalente de definir um conjunto M-ortonormal é a partir da definiqiio de produto interno M-ponderado entre os vetores x e y, também denominado produto interno inercial'. Assim, o conjunto de vetores qj, 1 < j 5 m, é M-ortonormal se Cabe observar aqui que, da definicao de produto interno M-ponderado, dada por (4), decorre a definiciio de norma-M, ou norma inercial A aplicaciio do Método de Rayleigh-Ritz As equacoes (1) leva ao seguinte sistema reduzido (ordem m) de equacoes diferenciais M,+, (t> + Cmvm(t) + Kmvm(t) = fm(t) (7) J.A.O. DO NASCIMENTO E A.G. GROEHS no qual M,, Cm, Km siio, respectivamente, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez nas coordenadas generalizadas, dadas por e fm é o vetor de forcas generalizadas dado por O vetor de deslocamentos generalizados vm(t) é obtido resolvendo-se o sistema reduzido de equacóes diferenciais (7). O vetor de deslocamentos um(t) é, entiio, calculado por intermédio da redugiio de coordenadas (2). O uso de técnicas de reduciio na análise de modelos estruturais com número elevado de graus de liberdade é altamente atrativa quando os vetores Qm selecionados siio capazes de fornecer, com m « n, uma resposta dinamica precisa, pois, nesse caso, as equacóes de movimento reduzidas (7) tem um número de incógnitas muitíssimo menor que o sistema de equaqóes (1). Classicamente Qm tem sido composto com os m primeiros autovetores do problema de autovalor correspondente As vibracóes livres da estrutura e essa escolha corresponde ao Método da Superposiciio Modal, com a base truncada em m vetores. Nesse caso, o sistema reduzido de equacóes (7) torna-se desacoplado, em face das propriedades de K e M-ortogonalidade dos modos de vibraciio. VETORES DE LANCZOS Para a classe de problemas nos quais o carregamento tem uma distribuiciio espacial fixa, ou seja, que pode ser escrito na forma onde fo é a distribuiciio espacial do carregamento (invariável no tempo) e g(t) é uma funcáo escalar que descreve a variaciio do carregamento ao longo do tempo, Wilson et al.' propuseram gerar a base de vetores Qm a partir de fo, utilizando como primeiro vetor (ql) a resposta estática (normalizada em relaciio matriz de massa) ao vetor de cargas fo. Os vetores da base, do segundo em diante, siio gerados a partir do vetor imediatamente anterior, através de um esquema tipo iteraciio inversa e Mortonormalizados, por um processo de ortogonalizaciio de Gram-Schmidt, em relaciio aos vetores anteriores já gerados. Nour-Omid e Clough7 mostraram que o algoritmo proposto por Wilson et al.' reduz-se, em aritmética exata, ao Algoritmo de Lanczos (Quadro 1). Quadro 1 - Algoritmo de Lanczos Assim, o esforco computacional para gerar os vetores qj, 1 5 j < m, fica reduzido, visto que simplifica-se o processo de ortogonalizac5.0 de cada vetor, bastando que ele seja ortogonalizado em relaciio aos dois vetores anteriores da seqüencia. É importante salientar, no entanto, que em aplicacoes computacionais, ou seja, quando se utiliza aritmética de precisiio finita, é necessário tomar algumas precaucoes com o conhecido fenomeno da perda de ortogonalidade entre os vetores de Lanczos, complementando o referido algoritmo com alguma técnica de reortogonaliza~5.0~~~~~. Um passo do algoritmo de Lanczos pode, também, ser escrito como e essas igualdades podem ser condensadas em forma matricial como onde e?) é a m-ésima coluna da matriz identidade Im de ordem m, e Tm é uma matriz tridiagonal de ordem m, cujos elementos s5.o 606 J.A.O. DO NASCIMENTO E A.G. GROEHS Se a expressao (13) é pré-multiplicada por Q~M obtém-se, em decorrencia da propriedade de M-ortonormalidade dos vetores de Lanczos, a seguinte propriedade: O vetor erro na representacao do carregamento, decorrente da utilizacao de uma base reduzida Q,, pode ser definido como segue. A igualdade (9), que fornece o vetor reduzido de forcas f,(t), pode ser escrita, tendo em vista a igualdade (3) Se a base fosse constituída por n vetores (ou seja m = n), Q, seria uma matriz quadrada de ordem n, regular (nao-singular), e a igualdade (16) implicaria em Para m < n , o vetor MQmfm(t) é uma apenas uma aproximaciio para o vetor f(t) e o vetor diferenqa entre eles é denominado erro na representacao do carregamento: 6f(m)(t) = f (t) - ~~,f,(t) (18) Se a igualdade (9) é substituída na expressao (18) esta torna-se 6f(,)(t) = (1 - MQ,Q:)~(~) (19) Para um carregamento f(t) que tem uma distribuiciio espacial fixa (11) pode-se escrever 6f(m) (t) = 6fArnlg(t) (20) onde A MEDIDA DE ERRO PROPOSTA POR WILSON, YUAN E DICKENS Com o intuito de estabelecer um critério de interrupcao na geraqao dos vetores qj, 1 5 j < m, Wilson et al.' propuseram uma medida para o erro na representaqao do carregamento (21), dada por que, segundo os autores, varia de 1 (quando m = O) até O (quando m = n). A MEDIDA DO ERRO NA REPRESENTACÁO DO CARREG. NO MÉT. DE LANCZOS 607 Embora tenha havido uma ampla utilizaciio da medida do erro proposta por Wilson et al.' até a presente datal~~l~~ é fácil mostrar que essa medida pode fornecer resultados totalmente inadequados. Através da observaciio da igualdade (22) ve-se que, se os vetores 6fim) e fo forem ortogonais, a medida resultante é zero, indicando, equivocadamente, que nao há erro na representaciio do carregamento. Na verdade, a igualdade (22) deve ser interpretada mais como um teste de ortogonalidade entre os vetores 6fim) e fo do que uma medida do erro relativo3. Para identificar o que essa fórmula realmente mede, deve-se observar a expressiio que fornece o cosseno do angulo entre os vetores 6fim) e fo: onde 11.112 indica norma Euclidiana. É fácil mostrar que a medida do erro dada por (22), em virtude da igualdade acima, pode ser expressa como onde Demonstra-se, dessa forma, que a medida do erro proposta por Wilson et al.' é o produto de uma medida que poderia ser considerada apropriada para o erro, dada por ( (25), multiplicada pelo cosseno do angulo entre os vetores 6fOm) e fo. PRIMEIRA PROPOSTA PARA A MEDIDA DO ERRO Uma alternativa seria adotar, entiio, a medida do erro dada pela expressao (25). No entanto, em problemas onde co-existem graus de liberdade translacionais e rotacionais, os vetores forea tem componentes com diferentes unidades e a utilizaciio da norma Euclidiana apresentaria a inconsistencia de adicionar-se quantidades que niio siio dimensionalmente equivalentes. Cabe observar, aqui, que a medida do erro (22) apresenta, também, tal inconsistencia, sendo esse um argumento adicional para ser descartada. Léger e Wilson5 e Jacob e Ebecken3 propuseram utilizar a expressiio (25) para cada uma das diresoes geométricas existentes no problema, procedimento que contorna a citada dificuldade. Com o intuito de buscar uma proposta alternativa, que solucione diferentemente a questiio acima exposta, observa-se, através da igualdade (17), que o vetor forca é uma combinaciio linear dos vetores Mqj. Em seguida verifica-se que os vetores Mqj siio M-l-ortonormais, pois 608 J.A.O. DO NASCIMENTO E A.G. GROEHS Assim, parece natural que, para calcular normas de vetores forqas, utilize-se a norma-M-', ou seja, aquela que deriva do produto interno M-'-ponderado 1 112 IlfIM-l = ((f, f)M-l)112 = (fTMf) É fácil verificar que, para a norma proposta, o problema decorrente do vetor forca ter componentes com diferentes unidades deixa de existir. Assim, a proposta para a medida do erro é dada pela expressáo (25), onde a norma Euclidiana é substituída pela norma-M-' : O cálculo da norma-M-' do vetor 6fim) é efetuado a seguir, usando a expressáo (21): = f:[M-lQmQm - &m&: + Q~(Q~MQ~)Q~]~O Como os vetores Q, sáo M-ortonormais, vale a igualdade (3), podendo-se escrever Dessa forma a medida do erro relativo (28) pode ser escrita como Cabe observar que, computacionalmente, o denominador de (31) é calculado por T IIfoIiM-i = fo xo onde xo é obtido resolvendo-se o sistema de equaqoes A MEDIDA DO ERRO NA REPRESENTACÁO DO CARREG. NO MÉT. DE LANCZOS 609 Deve ser observado que, na obtencáo da expressáo (31), náo foi lancado máo do fato que os vetores q, sáo vetores de Lanczos. Assim, tal expressáo pode ser usada para qualquer conjunto de vetores q,, 1 5 j 5 m, M-ortonormais. Se a matriz de massa M é diagonal, o esforqo computacional é mínimo para avaliar, por (31), a medida do erro. Nos casos em que a massa associada a alguns graus de liberdade é nula (p.ex., casos de graus de liberdade rotacionais) resulta uma matriz de massa singular e o sistema de equacóes (33) só é solucionável se as correspondentes componentes do vetor fo forem também nulas. A solucáo, nesses casos, náo é única, pois as componentes do vetor xo correspondentes As linhas (colunas) nulas de matriz M sáo arbitrárias. No entanto, esses valores arbitrários para tais componentes do vetor xo sáo irrelevantes, pois o que importa para a medida do erro é o produto interno fFxo e ele náo depende dos valores arbitrados em xo em virtude de que as correspondentes componentes de fo sáo nulas. Caso o carregamento seja tal que alguma componente de fo correspondente a uma linha (coluna) nula da matriz M seja náo-nula, a obtencáo de xo é impossível, ou seja, nao existe xo que satisfaca (33), ficando comprometida a medida do erro. Esse comprometimento retrata a impossibilidade, para a situacáo descrita, do vetor fo ser representado por uma combinaciio linear dos vetores Mqj, como preve a expressáo (17)4110. SEGUNDA PROPOSTA PARA A MEDIDA DO ERRO Uma das dificuldades inerentes A utilizacáo da fórmula (31) ocorre nos casos em que a matriz de massa é consistente, devido ao esforco computacional necessário para resolver o sistema de equacóes (33). Seria desejável, portanto, obter uma outra medida para o erro que náo requeresse esse esforco adicional. A utilizacáo da norma-M-' induz, como alternativa, utilizar a norma-K-', oriunda do produto interno K-'-ponderado: pois, da mesma maneira que na norma-M-', as parcelas intervenientes no desenvolvimento da expressáo (34) sáo dimensionalmente equivalentes (sendo f um vetor forca). A medida do erro relativo seria dada, entáo, por O denominador da igualdade (35) é facilmente obtido, pois