Diseño estructural óptimo - Una reseña

Revista internacional de métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería, Vol. 1,1,3-20 (1985) DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO - UNA RESEÑA R. H. GALLAGHER Worcester Polytechnic Institute Worcester. MA 01 609 USA RESUMEN Se presenta en este artículo una panorámica de las bases fundamentales del diseño estructural óptimo. Así, tras una breve reseña histórica de los diferentes procedimientos desarrollados para abordar el problema, acompañada de la bibliografía correspondiente, se describen los términos fundamentales que intervienen en un problema de diseño óptimo, juntamente con algunos de los métodos más populares para su resolución por ordenador. SUMMARY In this paper a survey of the fundamental basis of the optimum structural design is presented. In the first part of the paper the different existing procedures to solve the problems together with the corresponding literature are cronologically presented. Finally, the fundamental terminology used in an optimum structural design problem. is defined and some of the most popular methods to solve the problem by computer are described. INTRODUCCION Al hablar de diseño estructural óptimo nos referimos a un proceso que, a través de la mayor parte de la historia de su desarrollo, ha sido en su totalidad de carácter analítico. El objetivo a satisfacer por el diseño -minimizar el costo o minimizar el pesoestá establecido en forma explícita. Los métodos modernos de diseño óptimo son suficientemente generales como para acomodar cualquier cantidad de hipótesis de carga y modalidades de colapso. El uso de gráficos generados por computador ha contribuido en este proceso, pero sólo en forma limitada. En vista de la popularidad del "Computer Aided Design" (CAD), es útil reflexionar sobre su relación con el diseño estructural óptimo. El término "Computer aided design" o "Diseño asistido por computador" se refiere a un proceso en el que el analista trabaja en forma interactiva con el computador, explotando al máximo las unidades gráficas periféricas del mismo, para crear una configuración que satisfaga los requerimientos operacionales, estructurales y estéticos del diseño. Aún cuando puede existir el objetivo de obtener un diseño con peso mínimo, aquel no aparece expresado en forma explícita. Además, sólo tenemos a nuestra disposición procedimientos empíricos para tratar casos en que se especif ca más de un estado de carga. _ Para muchos, el tema de diseño estructural óptimo representa un terreno poco familiar. Nuestro objetivo, es por lo tanto, proveer información básica acerca del mismo. Empezaremos con una breve historia de su desarrollo, ilustraremos su uso por medio de un ejemplo y terminaremos con algunos comentarios acerca de la relación futura entre diseño ayudado por computador y diseño óptimo. Recibido: Septiembre 1984 3 RESEÑA HISTORICA I En contraste con la tecnología de análisis estructural, como se presenta en análisis por elementos finitos a gran escala, o en diseño ayudado por computador, el diseño estructural óptimo, en general, no ha gozado hasta hoy de aceptación, aún cuando los conceptos y procedimientos modernos datan de 25 años atrás o más. Los motivos expresados a este respecto son numerosos. Uno de ellos es que al ingeniero práctico se le ha presentado una cantidad desorbitada de posibles técnicas. Muchas de ellas están basadas en conceptos matemáticos que al ingeniero no le son familiares. Los costos de cálculo son mucho más elevados que para un análisis corriente, y los programas disponibles y confiables son escasos. De hecho, el uso generalizado de programas de análisis por elementos finitos y de prey post-procesadores para CAD ha estimulado el uso de estas técnicas, No obstante, a pesar de lo mucho que se ha progresado, no hay un nivel de programas comparable para diseño estructural óptimo. I Se pueden identificar cuatro áreas principales independientes (y hasta cierto punto, etapas cronológicas), en el desarrollo del diseño estructural óptimo. Las caracterizaremos de la siguiente manera: - Teoría de distribución - Modalidades de colapso simultáneo - Métodos de criterio de optimalidad - Métodos de programación matemática. La teoría de distribución busca la disposición de miembros estructurales uniaxiales que produce una estructura de volumen mínimo para un conjunto específico de cargas y de materiales. Los teoremas básicos en este método los estableció Maxwelll en 1854, pero el que amplió las ideas pertinentes y les dio la primera aplicación significativa fue ~ichell~ en 1904. Estos teoremas, como se aplican sin limitaciones que den sentido a la forma geométrica de la estructura, no dan soluciones prácticas. Consideran una hipótesis de carga solamente y la estructura resultante puede ser inestable bajo otros tipos de cargas. Sin embargo, la teoría de distribución ha sido estudiada más recientemente por cox3 y Hemp4 y algunos investigadores trabajan actualmente en desarrollar aún más estos conceptos. El método de modalidades de colapso simultáneo (SMF), supone que se logra optimalidad si cada elemento componente de la estructura está en su límite de resistencia cuando la estructura completa está al borde del colapso, Para la clase de estructuras diseñadas por éste método los límites de resistencia generalmente están dados por condiciones de estabilidad elástica, en vez de los de resistencia del material. El término "simultáneo" también implica una sola hipótesis de carga, y esta condición es común a casi todo el trabajo que floreció durante los años 1940-1950. Estos esfuerzos, en los albores de la era del computador digital, se restringieron a formas estructurales simples y dependen de las ideas clásicas de minimización de funciones. Cox3, Shamley5, Gerald6 fueron los investigadores más avanzados en esta área. Si el concepto de modalidades de colapso simultáneo se extiende para admitir más de una hipótesis de carga, pero al mismo tiempo se restringe a limitaciones en resistencia basadas exclusivamente en esfuerzos, se obtiene el método de diseco de carga completa (fully stressed design) (FSD). En general, éste método consiste en aplicar análisis sucesivos bajo distintas hipótesis de carga, conduciendo a un diseño en el que a cada miembro se le somete al límite de carga en por lo menos una de las hipótesis de carga definidas. FSD produce lo que los diseñadores llaman tradicionalmente 4 - - DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO una estructura óptima. El autor ha proporcionado una recopilación de los conceptos, alcance y limitaciones de FSD en la ~ferencia~ . Los métodos de criterio de optimalidad aparecieron a fines de los años 1960 e incluyen el diseño de carga completa como caso especial. En su forma más general utilizan los procedimientos clásicos para determinar los valores extremos de una función de varias variables sujeta a condiciones restrictivas. El trabajo inicial en métodos de criterio de optimalidad se limitó a formas estructurales e hipótesis de carga simples. Sin embargo, en años más recientes ha sido generalizado, y ahora se usa junto con análisis por elementos finitos e hipótesis de carga múltiples. Una buena información sobre este tema puede encontrarse en las referencia^^,^ Finalmente llegamos a procedimientos caracterizados como formulaciones de programación matemática. Para definirlos en forma concisa, podemos decir que buscan el mínimo o máximo de una función de varias variables sujeta a limitaciones (restricciones) expresadas por igualdades o desigualdades. La representación de restricciones por desigualdades es de gran importancia, ya que permite identificar el diseño como aquél en el cual no todos los elementos están sujetos a condiciones límites bajo un sistema de cargas, evitando así una limitación inherente en algunos de los métodos anteriores. La orientación de las formulaciones de programación matemática es fácil de combinar con el uso de formulaciones de elementos finitos que contienen gran cantidad de incógnitas. Debemos enfatizar que, en general, los procedimientos de programación matemática no están restringidos a ningún método de análisis en particular. La programación matemática fue aplicada por primera vez en optimización estructural a fines de los años 1950, Entre las contribuciones iniciales destacan las de Livesley1° y Pearsonll que trataron el diseño límite como un problema de programación lineal, y Schmidt12 quien describió el diseño elástico como un problema más general de programación no lineal. Existen otros enfoques modernos de la optimización estructural que no se pueden clasificar dentro de las categorías mencionadas. Algunos de éstos se engloban en la teoría de control13, mientras otros14 tienen carácter especial y no se pueden clasificar en una disciplina matemática particular. LITERATURA BASICA Panorámicas sobre diseño estructural óptimo han sido escritas por Wasiutynski y. ~randt'~ (en 1963), Prager y Sheu16 (en 1968), Niordson y Pederson17 (en 1973) y Schmidtl8 (en 1981 ). Recopilaciones más restringidas, con diferentes puntos de vista, han sido preparadas por Barnetlg , Rozvany y Mroz20, vanderplaats2', ~shle~~~, y Haftka y rasad^^. Pope y S~hmidt~~ editaron una exposición básica sobre técnicas de diseño estructural óptimo. El libro editado por Monis2= tiene un propósito similar. Un valioso compendio de información acerca de diseño estructural óptimo ha sido publicado por la ASCE26 Haug y ~rora~~ escribieron un texto que enfasiza, tanto la programación matemática, como el punto de vista de control óptimo en diseño estructural óptimo. Los libros de R~o~~, Majid2' y Kirsch30 desarrollan el diseño estructural óptimo desde el punto de vista de procedimientos de programación matemática. Hay una cantidad de publicaciones de conferencias y congresos en que teóricos y diseñadores estructurales han compilado estudios de optimización estructural. R. H. GALLAGHER Dos congresos AGARD sobre optimización estructural han sido publicados (Referencia~~',~'). LOS trabajos de un congreso realizado en Swansea en enero de 1972, fueron editados por el autor y Zienkiewicz y publicados en forma de libro36. Este congreso consistió en una serie de lecciones impartidas por profesores invitados que detallaron y resumieron, en forma de texto, diferentes procedimientos de diseño estructural óptimo. Los trabajos presentados, y los resúmenes de las lecciones de un congreso posterior que tuvo lugar en 198.1 han sido recogidos en la referencia3*. Un libro, también el resultado de este último congreso33, contiene las lecciones principales completas y versiones expandidas de una selección de los trabajos contribuidos. DEFINICION DE TERMINOS La optimización estructural busca seleccionar variables de diseño para alcanzar, dentro de los límites (restricciones) requeridos al comportamiento estructural, geometría y otros factores, el fin de la optimalidad definida por la función objetivo para las cargas o condiciones generales especificadas. Los tres aspectos básicos -variables de diseño, función objetivo y restricciones - se combinan para formar el problema de diseño en la geometría delespacio de diseño. A continuación discutiremos por partes, cada uno de estos aspectos del problema. Variables de Diseño Las variables de diseño en un problema de diseño estructural óptimo, pueden consistir en : - Tamaño de los elementos - Parámetros de configuración - Parámetros de propiedades físicas o mecánicas - Otros aspectos cuantificables del diseño. La topología, que no se incluye en esta lista, es difícil de tener en cuenta, aunque se la considera en forma limitada cuando el algoritmo utilizado permite que los elementos adquieran tamaño cero. La transición de un tipo de comportamiento a otro (por ejemplo, de una barra (axial) a viga (flexión)) no es posible en el contexto de un proceso contínuo de diseño. Existe una jerarquía, o un orden de complejidad, entre las distintas clases de variables de diseño. El tamaño de cada elemento es la variable de diseño más simple. Puede representar el área de la sección de una barra, el momento de inercia de un elemento en flexión, o el grosor de una placa. La mayoría de los trabajos publicados en diseño estructural óptimo se refieren exclusivamente a la determinación del tamaño de los elementos, dada la relativa simplicidad del problema, y porque muchas estructuras en la práctica tienen propiedades fijas de geometría y materiales. La selección de materiales presenta un problema especial, ya que los materiales convencionales tienen propiedades discretas (los materiales compuestos presentan una excepción). Este problema también existe en la selección de los elementos estructurales, pero normalmente existe un rango considerable de secciones y tipos de donde elegir. Los métodos para la selección de variables discretas en diseño óptimo están aún en las primeras etapas de desarrollo. La mayoría de los algoritmos para diseño suponen que contamos con un rango contínuo de variables de diseño. La i-ésima variable de diseño se designara por xi(i=l, 2...n). El conjunto completo de variables para una estructura dada se lista en el vector x. Quizás el concepto más importante asociado con esta notación es el de espacio de diseño, descrito por ejes que representan las distintas variables de diseño. Para el sistema de tres barras de la Figura 2, la Figura ](a) muestra un espacio de diseño de tres variables, la) Espacio de diseño X3 b) Superficie-función de coste X3 (c) Típicas restricciones 3 laterales y de comportamiento íd) Superficie de restricciones comDuesta Figura 1 .- Espacio de diseño de tres variables. y por lo tanto tri-dimensional. Por supuesto las variables de diseño son muchas mas de tres en situaciones prácticas, y, por lo tanto, generalmente no pueden representarse en el espacio del diseño. Al espacio ndimensional se le llama hiperespacio. Un punto k en diseño, es un diseño con variables xk . R. H. GALLAGHER Figura 2.- Estructura de tres barras. Muchos algoritmos de diseño emplean la estrategia de una búsqueda directa, en la que se dirige una serie de cambios en el diseño (movimientos) entre dos puntos sucesivos en el espacio de diseño. Un movimiento típico entre el punto k y el punto k+ 1 está dada por la ecuación El vector dk (véase la Figura 1 (a)) define la dirección del movimiento y ak la amplitud. El proceso de diseño óptimo puede verse como el de escoger distintos valores para a y d de manera que un punto de diseño final se puede obtener en forma eficiente desde el punto de vista de cálculo. Función Objetivo La función objetivo, llamada también función de coste o función de mérito, es la función que buscamos minimizar (o maximizar) en un proceso de optimización, y constituye la base para seleccionar uno de entre los muchos diseños aceptables. La función objetivo es una función escalar de las variables de diseño, y la designaremos por W(x). Representa la propiedad más importante de un diseño, como el coste o el peso, pero también es posible representar la función objetivo como una función de varias de las propiedades deseables. Esta última línea, llamada "diseño de funciones objetivo de criterio múltiple" es el objeto de intenso trabajo de investigación en la actualidad. Existe también una gran cantidad de formulaciones alternativas, algunas han sido discutidas en las referencias31 y 35. El peso es la propiedad que se emplea en forma más frecuente como función objetivo (de ahí el símbolo W). Sin embargo, los procedimientos que describiremos a continuación no dependen del tipo concreto de la función objetivo. El peso es la medida significativa más fácil de cuantificar, y aunque el costo es de mayor importancia práctica, normalmente es difícil obtener suficientes datos para poder construir una función objetivo de costo. DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO La estructura de tres barras (Figura 2) proporciona un ejemplo simple de la función de peso. Denotando por pi la densidad por unidad de volumen de la barra i, tenemos y para una estructura con n barras Como mencionamos antes, el tamaño de los elementos es generalmente la variable de diseño, y las densidades y la longitud son constantes prescritas. Por lo tanto, es conveniente escribir la ecuación (3) en la forma W=LA=Cx (4 1 donde L es la matriz [pLl, . . ., pL,] y A es el vector columna que contiene las variables Al, A2 , . ..A,, C = [C1, C2, . . .C,] c-ontiene las propiedades geométricas y de materiales, que son constantes. Se ve claramente que la ecuación (4) es una función lineal de las variables de diseño xi o Ai. Es útil ilustrar la función objetivo lineal en el espacio de diseño (Figura I(b)). Una función lineal en el espacio tri-dimensional es un plano, representado aquí como el lugar geométrico de aquellos puntos de diseño con un mismo valor Wj. En el espacio n-dimensional, la superficie que se define es un hiperplano. Cuando la función objetivo tiene variables de diseño no-lineales, en el espacio de diseño encontramos una hipersuperficie. En el proceso de optimización del tamaño de los elementos se ha hecho cada vez más popular el uso del inverso del tamaño del elemento como la variable de diseño. Así pues, para una barra con sección de área Ai, el tamaño del elemento y la variable de diseño satisfacen la relación xi = 1 /Ai. La función objetivo toma la forma donde C se define en la ecuación (4). Un concepto importante, que se emplea continuamente en procesos de optimización, es el del gradiente de la función objetivo V W. El gradiente es un vector con componentes de las derivadas de W con respecto a cada una de las variables de diseño 'P Así, para la función objetivo lineal dada en la ecuación (4) tenemos Cuando la función es no-lineal, se puede derivar con respecto al vector x y calcular cada una de las derivadas en el punto en que se desea obtener el gradiente. El gradiente representa un vector perpendicular a la función en cuestión en el punto en que se considera. La función lineal de peso (ecuación (4)) describe un plano, de manera que el gradiente de la función objetivo define la dirección de cambio en el diseño, o de avance, que es la dirección en que la función objetivo cambia más rápidamente para un valor dado de cx. Así, para reducir la función objetivo tomamos la dirección opuesta al vector gradiente, dk = -V Wk y procediendo como en la ecuación (1 ) obtenemos la siguiente expresión para la búsqueda Esta es la base del método de descenso máximo. Restricciones Una restricción, en cualquier clase de problema, es una limitación que debe satisfacerse para que el diseño sea aceptable. hede tomar la forma de una limitación impuesta directamente en una variable o grupo de variables (restricción explícita), o puede representar una limitación sobre cantidades cuya dependencia con las variables de diseño no se puede establecer directamente (restricción implícita). Una restricción de igualdad, que puede ser explícita o implícita, se designará por para e restricciones de igualdad. En teoría, cada restricción de igualdad provee una oportunidad para eliminar del proceso de optimización una de las variables de diseño, y así reducir el número de dimensiones del problema. Sin embargo el proceso de eliminación puede ser difícil y de álgebra complicada, por lo que no siempre se hace. Una restricción de desigualdad es de la forma cuando hay un total de s restricciones de desigualdad. La idea de una restricción de desigualdad es de gran importancia en diseño estructural óptimo. Para alcanzar optimalidad es esencial permitir diseños en que no todas las restricciones se satisfacen directamente. Una división importante de las restricciones es la de restricciones laterales y restricciones en comportamiento. Una restricción lateral es una limitación específica (máximo o mínimo) en una variable de diseño, o una relación que fija el valor relativo de un grupo de variables de diseño. Generalmente son restricciones explícitas. Las deficiencias de muchos métodos clásicos de optimización estructural se deben a su incapacidad para tratar piezas de dimensiones mínimas. Las restricciones en comportamiento en análisis estructural son generalmente limitaciones en los esfuerzos o en los desplazamientos, pero también pueden tomar la forma de restricciones en frecuencias de vibración o resistencia al colapso. En la práctica, encontramos restricciones implícitas y explícitas. Típicamente, las restricciones en comportamiento explícitas se dan por fórmulas provenientes de especificaciones del diseño. Sin embargo las restricciones en comportamiento generalmente son implícitas. DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO Cada condición que representa una restricción aparece en el espacio de diseño como una superficie, representando el lugar geométrico de los puntos de diseño para los que la restricción se satisface como igualdad. Para variables contínuas de diseño la superficie es en general contínua, y es curva para el diseño estructural clásico de una estructura indeterminada. La Figura 1 .c muestra una restricción de comportamiento típica, en el espacio de diseño. Formulación Matemática del Problema de Diseño Estructural Optimo En términos algebráicos, el problema de diseño con peso mínimo representado en el espacio de diseño en la Figura 1 .d es el siguiente: Minimizar W(x), que es una función objetivo de n variables de diseño sujeta a las restricciones T x = [x,, ...,x , 1 , gj (x) < O, j = 1, ... s. que representan e restricciones de igualdad y s restricciones de desigualdad en las variables de diseño. Si la función objetivo debe maximizarse, el problema es idéntico a si se busca minimizar -W(x). La representación geométrica del problema de diseño se muestra en la Figura 3 . x0 , , I l Límite superior especificado para x2 (restricción lateral) o x2 Figura 3.- Espacio de diseño de dos variables. en términos de sólo dos variables de diseño para mayor simplicidad. Se pueden especificar límites superiores e inferiores para la amplitud de cada esfuerzo o desplazamiento y para cada condición de carga, de manera que tenemos presente una gran cantidad R. H. GALLAGHER 17. F. 1. Niordson y P. Pedersen, "A Review of Optimal Structural Design" en Proc. of the Thirteenth Int. Congress of Theor. and Applied Mech., Moscow, 1972. Publ. by Springer-Verlag, Berlín, (1 973). 18. L. A. Schmit , "Structural Optimization, Some Key Ideas and Insights" en New Directions in Optimum Structural Design, E. Atrek, et al., Eds. J. Wiley Book Co., London, (1984). 19, R. Barnett, "Survey of Optimum Structural Design", Experimental Mechanics, 6, No. 12, Diciembre, (1 966). 20. G . 1. N. Rozvany y Z. Mroz, "Analytical Methods in Structural Optimization", Applied Mechanics Reviews, V. 30,No. 11, pp. 1461-1470,Nov. (1977). 2 1. G . N. Vanderplaats, "Structural Optimization, Past , Present and Future" AIAA J., V. 20, No. 7, pp. 992-1000, Julio (1982). 22. H. 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