Analogové kmitočtové filtry

ANALOGOVÉ KMITOČTOVÉ FILTRY Technika analogových obvodů prof. Ing. Kamil Vrba, CSc. prof. Ing. Jaroslav Koton, Ph.D. Brno 2023 2 Autoři: prof. Ing. Kamil Vrba, CSc., prof. Ing. Jaroslav Koton, PhD. Název: Analogové kmitočtové filtry Vydání: 1. vydání Druh: e-publikace Rok a měsíc vydání: 2023/06 Počet stran: 91 Náklad: e-publikace pod veřejnou licencí CC BY 4.0 Vědní obor: Elektrotechnika, elektronika, audioinženýrství, automatizační technika, telekomunikace, radioelektronika, sdělovací technika Vydavatel: Vysoké učení technické v Brně, Nakladatelství VUTIUM ISBN: 978-80-214-6168-0 DOI: 10.13164/book.analog.filters ANOTACE: Elektronická publikace uvádí poznatky z oblasti analogových kmitočtových filtrů. Jsou vysvětleny obecné postupy pro návrh pasivních a aktivních dolních a horních kmitočtových propustí, pásmových kmitočtových propustí či zádrží a fázovacích článků. Konkrétně jsou pak presentovány návrhy kmitočtových charakteristik filtrů s aproximací přenosové funkce dle Butterwortha, Bessela a Čebyševa. Jsou také uvedeny speciální nekaskádní struktury stejnosměrně přesných filtrů vyššího řádu vhodných pro aplikace v nepřímých D/A převodnících. Klíčová slova: Aktivní filtr, ARC filtr, kmitočtový filtr, analogový filtr, filtry s operačními zesilovači, pasivní filtr, filtr RC, filtr RCL, kaskádní filtr, nekaskádní filtr, filtry vyššího řádu, aproximace přenosové funkce, Butterworth, Bessel, Čebyšev, dolní propust, horní propust, pásmová propust, pásmová zádrž, fázovací článek, všepropustný filtr, stejnosměrně přesný filtr, filtr pro nepřímý D/A převodník, filtr s jednoduchou smyčkou zpětné vazby, filtr s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby, filtr se zesilovačem s konečným zesílením, KHN filtr. 3 Úvod 1 TYPY KMITOČTOVÝCH FILTRŮ .............................................................................. 5 2 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI A ZAPOJENÍ FILTRŮ ................................................... 8 2.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI FILTRŮ ....................................................................................... 8 2.2 PASIVNÍ FILTRY................................................................................................................ 9 2.3 AKTIVNÍ FILTRY ............................................................................................................. 10 2.3.1 Aktivní filtr s jednoduchou smyčkou zpětné vazby ..................................... 10 2.3.2 Aktivní filtr s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby ...................................... 13 2.3.3 Aktivní filtry se zesilovači s konečným zesílením ....................................... 13 2.3.4 Aktivní filtry s několika zesilovači ............................................................. 14 2.4 AKTIVNÍ FILTRY VYŠŠÍHO ŘÁDU .................................................................................... 15 2.4.1 Kaskádní aktivní filtry vyššího řádu .......................................................... 15 2.4.2 Nekaskádní aktivní filtry vyššího řádu ....................................................... 17 3 DOLNÍ PROPUSTI ......................................................................................................... 19 3.1 PASIVNÍ DOLNÍ PROPUSTI ............................................................................................... 19 3.1.1 Pasivní dolní propust RC 1. řádu .............................................................. 19 3.1.2 Pasivní dolní propust RLC 2. řádu ............................................................ 23 3.2 APROXIMACE PŘENOSOVÉ FUNKCE DOLNÍ PROPUSTI ...................................................... 26 3.2.1 Aproximace přenosové funkce dle Butterwortha ....................................... 28 3.2.2 Aproximace přenosové funkce dle Bessela ................................................ 32 3.2.3 Aproximace přenosové funkce dle Čebyševa ............................................. 34 3.2.4 Další typy aproximací přenosové funkce ................................................... 39 3.3 AKTIVNÍ DOLNÍ PROPUSTI .............................................................................................. 39 3.3.1 Dolní propusti 1. řádu ............................................................................... 39 3.3.2 Dolní propusti 2. řádu ............................................................................... 41 3.3.3 Kaskádní realizace dolních propustí vyšších řádů .................................... 46 3.3.4 Nekaskádní realizace dolních propustí vyšších řádů ................................. 48 4 HORNÍ PROPUSTI ........................................................................................................ 56 4.1 PASIVNÍ HORNÍ PROPUSTI ............................................................................................... 56 4.2 TRANSFORMACE DOLNÍ PROPUSTI NA HORNÍ PROPUST ................................................... 60 4.3 AKTIVNÍ HORNÍ PROPUSTI .............................................................................................. 61 4.3.1 Horní propusti 1. řádu ............................................................................... 61 4.3.2 Horní propusti 2. řádu ............................................................................... 62 5 PÁSMOVÉ PROPUSTI .................................................................................................. 64 5.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI PÁSMOVÝCH PROPUSTÍ ............................................................. 64 5.2 PASIVNÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI .......................................................................................... 66 5.3 AKTIVNÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI ......................................................................................... 69 6 PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ..................................................................................................... 71 6.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI PÁSMOVÝCH ZÁDRŽÍ ................................................................ 71 6.2 PASIVNÍ PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ............................................................................................ 72 6.3 AKTIVNÍ PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ........................................................................................... 74 7 FÁZOVACÍ ČLÁNKY ................................................................................................... 77 7.1 PŘENOSOVÁ FUNKCE FÁZOVACÍHO ČLÁNKU .................................................................. 77 4 7.2 AKTIVNÍ FÁZOVACÍ ČLÁNKY ......................................................................................... 80 8 ZÁVĚR.............................................................................................................................. 83 9 LITERATURA ................................................................................................................. 84 5 Úvod Velká většina informací je zpracovávána v digitální podobě, ale reálný svět, který nás obklopuje, je analogový, a proto je nutné spojité signály před vlastním převodem do digitální formy nejprve vhodně upravit (např. zesílit, nebo kmitočtově omezit). Také pro potřeby zpětné reprodukce se digitální signály musí převádět zpět do analogové podoby a v případě nutnosti je také následně upravit využitím vhodných analogových obvodů. Pro před-zpracování (Pre-Processing) nebo po-zpracování (Post-Processing) analogových signálů se využívají především kmitočtové filtry. Jejich úkolem je výběr určitého kmitočtového pásma zpracovávaného signálu. Např. dolní propust se používá k omezení kmitočtového spektra při digitalizaci analogového signálu pro zajištění podmínky vzorkování a opět při zpětném převodu k obnovení původního signálu. Stejnosměrně přesné dolní propusti se pak užívají jako konstrukční bloky nepřímých číslicově analogových převodníků, nebo jako antialiasigové filtry. Pásmové propusti se používají v přijímačích pro výběr kmitočtového pásma požadovaného vysílače. Pásmové zádrže se pak využívají např. pro potlačení rušivého síťového kmitočtu. Kmitočtové filtry patří do skupiny lineárních obvodů, které požadovaným způsobem mění kmitočtové spektrum procházejícího signálu. Některé kmitočtové složky signálu jsou propuštěny bez či s minimálním útlumem (propustné pásmo filtru) a jiné kmitočtové složky jsou potlačeny (pásmo potlačení, pásmo útlumu či nepropustné pásmo filtru). Zvláštním případem kmitočtového filtru je tzv. fázovací článek, který je charakteristický tím, že modul přenosové charakteristiky je konstantní, kdy tedy nedochází ke změně amplitudy jednotlivých harmonických složek zpracovávaného signálu, ale dochází jen k natočení jejich fáze, resp. k časovému zpoždění signálu. 1 Typy kmitočtových filtrů Rozdělení kmitočtových filtrů lze provést dle různých hledisek, přičemž primárně se dělí dle způsobu zpracování kmitočtového spektra: • dolní propust (DP, LP – Low-pass) – propouští nižší kmitočty než mezní fm, vyšší potlačuje (Obr. 1.1a), • horní propust (HP, HP – High-pass) – propouští vyšší kmitočty než mezní fm, nižší potlačuje (Obr. 1.1b), • pásmová propust (PP, BP – Band-pass) – propouští vybranou část spektra mezi dolním mezím fm1 a horním mezním kmitočtem fm2, zbývající potlačuje (Obr. 1.1c), • pásmová zádrž (PZ, BS – Band-stop) – potlačuje vybranou část spektra mezi dolním mezním fm1 a horním mezním kmitočtem fm2, zbývající propouští (Obr. 1.1d), • fázovací článek (FC, AP – All-pass) – modulová přenosová charakteristika je v celém kmitočtovém pásmu konstantní, ale fázová je kmitočtově závislá. Zvláštním typem jsou korekční filtry, které slouží pro úpravu kmitočtové charakteristiky zpracovávaného signálu tak, aby celkový přenos soustavy byl konstantní, nebo naopak, aby se zvýraznily či potlačily některé složky kmitočtu. Kmitočtové filtry lze také dělit dle způsobu jejich realizace do dvou základních skupin: 6 • analogové filtry, které se dále člení na: ▪ pasivní filtry RC a RLC ▪ aktivní filtry RC, resp. filtry RC s aktivními prvky, ▪ aktivní filtry SC, resp. se spínanými kapacitory, • digitální filtry. a K 0ffm K K(f) c 0ffm1 fm2 B K(f) b K 0ffm K K(f) d 0ffm1 fm2 B K(f) Obr. 1.1: Ideální (modré) a skutečné (červené) modulové charakteristiky základních typů kmitočtových filtrů: (a) dolní propust (DP), (b) horní propust (HP), (c) pásmová propust (PP), (d) pásmová zádrž (PZ) Využití číslicových filtrů má svůj význam v okamžiku, kdy použijeme číslicové zpracování signálů a použitý digitální signálový proces disponuje dostatečným výpočetním výkonem. V případě nutnosti předzpracování signálu před vlastní digitalizací či pro zpracování vysokofrekvenčních signálů, kdy rychlost zpracování v číslicové části by nebyla dostatečná, či pro zpracování slabých a zašuměných signálů je nutné přistoupit k využití analogových filtrů. V této oblasti je možné využít propracovaná a ověřená řešení v podobě integrovaných filtrů či v případě specifických požadavků je nutné navrhnout vlastní řešení. Podle požadovaných vlastností kladených na takový analogový filtr je pak možné filtry rozdělit do několika skupin, podle použitých stavebních prvků: • Pasivní filtry RC – vyznačují se vhodným propojením rezistorů (R) a kapacitorů (C), vynikají svou jednoduchostí a nízkou cenou. Praktické využití mají jen jednoduché struktury filtrů 1. a 2. řádů s nízkým činitelem jakosti Q, který je vždy nižší než 0,5. • Pasivní filtry RLC – využívají rezistorů, kapacitorů a induktorů (L) a pomocí nich je možné realizovat obecně jakýkoliv typ kmitočtového filtru. Jsou spíše vhodné pro zpracování signálů na vyšších kmitočtech, protože realizace induktorů na nízkých kmitočtech je dosti neefektivní, protože takové induktory jsou příliš rozměrné, nákladné a ztrátové s malým činitelem jakosti. Přesto se lze s nimi setkat, např. v audiotechnice při realizaci pasivních výhybek určených pro reproduktorové soustavy. • Aktivní filtry ARC – umožňují realizovat jakýkoliv typ filtru stejně jako filtry RLC s využitím vhodného aktivního prvku, rezistorů a kapacitorů a to bez nutnosti použít 7 induktory, viz např [1] až [5], popř. [22] a [24]. Vzhledem k omezeným kmitočtovým vlastnostem aktivních prvků se nasazení takto realizovaných kmitočtových filtrů nejčastěji omezuje na kmitočtové pásmo mHz až stovky kHz, ale vývojem v oblasti mikroelektroniky a návrhem nových typů aktivních prvků se horní hranice použitelnosti těchto kmitočtových filtrů posunula i na desítky až stovky MHz. • Aktivní filtry ASC – jsou obvody využívající principu tzv. spínaných kapacitorů. Jde o modifikaci ARC filtrů, kdy klasické rezistory jsou nahrazeny přepínanými kapacitory, viz např. [24], [26], [20], [30]. Hlavní výhodou je možnost poměrně snadného přeladění filtrů změnou přepínací frekvence taktovacích pulsů a poměrně snadné monolitické integrace. Spínací kmitočet musí být 50x až 100x vyšší než mezní kmitočet filtru, což do určité míry minimalizuje možný aliasingový efekt způsobený periodizací spektra zpracovávaného signálu. Na druhou stranu tato okolnost omezuje šířku pásma zpracovávaných signálů. Velkou výhodou ARC filtrů je skutečnost, že se u těchto obvodů dá dosáhnout menší citlivosti na změnu parametrů použitých kapacitorů. • Elektromechanické filtry – vycházejí z principu převodu elektrického signálu na mechanický. Podle typu mechanického rezonátoru lze tyto filtry dělit na různé skupiny, kdy nejpoužívanější jsou piezokeramické filtry. Zvláštním typem je krystalový filtr, který lze modelovat složeným rezonančním obvodem s vysokým činitelem jakosti a s vysokou stabilitou rezonančního kmitočtu. Nejčastěji se využívá ve vysoce stabilních oscilátorech, v oblasti realizace kmitočtových filtrů se používají pro návrh úzkopásmových propustí. • Filtry s povrchovou akustickou vlnou (PAV) – jsou založeny na principu vyzařování, šíření a fázového, kmitočtově nezávislého skládání povrchových akustických vln. V porovnání s elektromechanickými filtry mohou realizovat širokopásmovější obvody. • Mikrovlnné filtry – jsou ve své podstatě pasivní RLC filtry, kdy však pro používanou kmitočtovou oblast (nad 300 MHz) nelze uvažovat pasivní prvky se soustředěnými parametry, ale je nutné pracovat prvky s rozprostřenými parametry. Možnost nasazení výše zmíněných typů analogových kmitočtových filtrů s ohledem na kmitočtové pásmo použitelnosti je naznačeno přehledně na Obr. 1.2. viz [8]. f [Hz] 10-1 1001011021031041051061071081091010 Filtry: RC RLC ARC ASC PAV Mikrovlnné Obr. 1.2: Kmitočtová pásma použitelnosti různých typů analogových kmitočtových filtrů V této publikaci se omezíme jen na základní informace o pasivních filtrech RC a RLC a o aktivních filtrech RC s operačními zesilovači. Při zpracování publikace jsme využívali zejména literaturu [1] až [38]. 8 Problematiku filtrů jsme v této publikaci záměrně omezili na základní uspořádání pasivních filtrů RC a RLC a na zapojení aktivních filtrů RC s operačními zesilovači. Použité aproximace přenosové funkce jsou taktéž omezeny na tři základní aproximace, a to dle Bessela, Butterwortha a Čebyševa. Podle našich zkušeností se v drtivé většině aplikací vystačí s těmito poznatky. Uvedené základní znalosti problematiky návrhu kmitočtových filtrů musí mít každý, kdo chce navrhovat aktivní filtry s netradičními aktivními prvky jako jsou OTA zesilovače, transimpedanční zesilovače, proudové konvejory nebo napěťové konvejory. Použití těchto aktivních prvků rozšiřuje kmitočtovou použitelnost aktivních filtrů až do 100 MHz. Zájemce o tuto speciální problematiku odkazujeme na naše publikace [39] až [149]. 2 Základní vlastnosti a zapojení filtrů 2.1 Základní vlastnosti filtrů Kmitočtový filtr lze chápat jako lineární dvojbran (Obr. 2.1), který z kmitočtového spektra vstupního signálu vyčlení požadovanou část spektra. Obecně je přenos filtru definován jako poměr spektrálních funkcí výstupního a vstupního signálu získaných Fourierovou transformací. Protože jde o lineární obvod, můžeme pro potřeby zjednodušeného popisu uvažovat na vstupu pouze harmonický signál ( ) 1 m1 1 ( ) cos .u t U t=+  (2-1) kmitočtový filtr u2 u1 Obr. 2.1: Kmitočtový filtr jako dvojbran Na výstupu filtru pak bude výstupní napětí ( ) 2 m2 2 ( ) cos .u t U t=+  (2-2) Je zřejmé, že vstupní harmonický signál vyvolá na výstupu filtru opět harmonický signál se stejným úhlovým kmitočtem ω, ale s jinou amplitudou Um2. V důsledku časového zpoždění signálu procházejícího filtrem dojde navíc k posunu fáze signálu a výstupní signál proto bude mít jinou počáteční fázi φ2. Při řešení filtrů se obvykle místo časových průběhů pracuje s komplexními veličinami ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 jj 1 1 2 2 e , e .U U U U==         (2-3) Přenosové vlastnosti kmitočtového filtru jsou pak charakterizovány komplexní přenosovou funkcí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j 2 1 Re jIm e . U K K K K U = = + =        (2-4) Kmitočtové vlastnosti filtrů se obvykle popisují pomocí modulové kmitočtové charakteristiky 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 mod Re ImK K K K= = +     (2-5) a argumentové (fázové) kmitočtové charakteristiky ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 Im arg arctg . Re K KK = − = =          (2-6) Modul přenosu K(ω) je obecně bezrozměrné číslo. Častěji se však vyjadřuje jako zisk v decibelech ( ) ( ) 20log .zK=  (2-7) Modulová charakteristika K(ω), resp. z(ω) společně s fázovou charakteristikou φ(ω) se označují jako Bodeho diagram. Protože pro úhlový kmitočet platí 2πf=  , můžeme se setkat také se zápisem přenosové funkce v závislosti na kmitočtu ()Kf , nebo na komplexní proměnné ()Kp , kde Laplaceův operátor jp=+  (přičemž pro případ kmitočtových filtrů 0  = ). Obecně lze přenosovou funkci filtru vyjádřit jako racionálně lomenou funkci komplexní proměnné (podíl dvou polynomů). Pro zápis přenosové funkce filtru se obvykle užívá zápis ( ) ( ) ( ) 2 212 2 1 1 2 1 ... , 1 ... + + + + == + + + + m mn n Up d p d p d p Kp U p c p c p c p (2-8) kde řád polynomu čitatele m je menší nebo roven řádu jmenovatele n, tj. m ≤ n. Nejvyšší exponent n komplexní proměnné p v polynomu jmenovatele udává řád filtru. V případě dolní propusti s jednotkovým přenosem bude polynom v čitateli roven jedné. 2.2 Pasivní filtry Základním obvodem řady elementárních filtrů 1. a 2. řádu je většinou impedanční dělič napětí (viz Obr. 2.2a), u kterého je alespoň jedna z impedancí kmitočtově závislá. Přenosová funkce takovéhoto nezatíženého impedančního děliče ( ) ( ) ( ) 22 1 1 2 , Up Z Kp U p Z Z == + (2-9) kde ( ) ( ) 12 a U p U p jsou Laplaceovy obrazy vstupního napětí u1(t) a výstupního napětí u2(t). Připomeňme, že impedance rezistoru R ZR= , impedance kapacitoru C1/ 1/ jZ pC C==  a impedance induktoru LjZ pL L==  . 16 pasivních obvodových prvků jsou nižší. Dílčí aktivní filtry se dají obvykle s výhodou navrhnout tak, aby se dílčí filtry navzájem téměř neovlivňovaly. Nastavení dílčích filtrů je pak možné provést zcela samostatně a nezávisle a celý filtr po sestavení z předem seřízených dílčích filtrů není třeba dostavovat. Výsledná přenosová funkce kaskádně řazených dílčích filtrů bude mít přenos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 , I Ii i K p K p K p K p K p = =    =  (2-16) kde ( ) i Kp jsou dílčí přenosové funkce nejvýše 2. řádu (výjimečně 3. řádu). Aby se sousedící dílčí filtry neovlivňovaly, obvykle dostačuje, aby vstupní impedance následujícího filtru byla alespoň 100 - krát větší než výstupní impedance filtru předchozího. Pokud se použijí zapojení dílčích aktivních filtrů presentovaná v předchozí kapitole, bude tento požadavek vždy splněn, protože uvedená zapojení se díky použité záporné zpětné vazbě chovají téměř jako ideální zdroj napětí a připojení dalšího dílčího filtru jejich přenosovou funkci neovlivní. Tento požadavek se při kaskádním řazení pasivních filtrů dá splnit jen obtížně, dílčí filtry se navzájem ovlivňují, a proto návrh pasivního filtru vyššího řádu je obvykle náročnější. u2 u1 ( ) 1 Kp ( ) 2 Kp u2 ( ) I Kp . . . . . . Obr. 2.7: Kaskádní řazení filtrů Příklad řešení aktivní dolní propusti 6. řádu je uveden na Obr. 2.8. Dolní propust je tvořena kaskádním řazením tří dolních propustí druhého řádu a její celková přenosová funkce je dána součinem dílčích přenosových funkcí ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 ,=  K p K p K p K p (2-17) kde příkladně přenosová funkce první dolní propusti 2. řádu ( ) ( ) 12 1 2 2 1 2 1 2 1 1 KR R C R R CC =+ + + ppp . (2-18) u2 OZ1 R1R2 u1 + − C1 C2 OZ2 R3R4+ − C3 C4 OZ3 R5R6+ − C5 C6 Obr. 2.8: Příklad kaskádního řešení aktivní dolní propusti 6. řádu Sallen Key 17 Problematika syntézy filtrů je velice obsáhlá, a kdybychom ji měli probrat v plné šíři a ze všech hledisek, potřebovali bychom na to samostatnou (nepříliš tenkou) knihu. V rámci těchto skript se proto zaměříme jen na několik hlavních zásad, kterými se musíme řídit při návrhu filtrů a při jejich realizaci. 2.4.2 Nekaskádní aktivní filtry vyššího řádu Pro většinu aplikací kaskádní syntéza aktivních filtrů vyhovuje a umožňuje dosáhnout poměrně jednoduchými prostředky nízké citlivosti přenosové funkce na změny parametrů obvodových prvků. Pokud však potřebujeme zařadit takto navrženou dolní propust na vstup přesného analogově číslicového převodníku nebo na výstup nepřímého číslicově analogového převodníku s vysokou rozlišovací schopností, budou zpravidla na závadu vstupní zbytková napětí (ofset) použitých operačních zesilovačů, a zejména pak teplotní a časová nestabilita těchto zbytkových napětí (drift). Nevýhody kaskádního řešení filtrů budeme ilustrovat na dolní propusti 6. řádu na Obr. 2.8. Na výstupu každého operačního zesilovače bude ss chybové napětí způsobené ofsetem zesilovače. Tato chybová napětí se dostanou na výstup celého filtru, protože zesilovače jsou stejnosměrně provázány. Použití takového filtru pro měřicí účely není proto vhodné. Problém dolní propusti s přesným přenosem stejnosměrné složky je samozřejmě řešitelný pasivní obvodovou strukturou, která však přináší všeobecně známé problémy s realizací induktorů pro nízké kmitočty. Kaskádní řazení pasivních RC článků pak neposkytuje dostatečné možnosti pro vhodné rozložení pólů přenosové funkce v komplexní rovině, čímž jsou ovšem omezeny možnosti volby standardních aproximací přenosové funkce, resp. požadovaného průběhu přechodové charakteristiky. Při návrhu aktivní dolní propusti pro měřicí účely je proto někdy výhodné využít nekaskádní uspořádání filtru, kdy jsou výstupy operačních zesilovačů stejnosměrně odděleny od cesty přenášeného signálu. Nekaskádní struktury vykazují samozřejmě celou řadu nevýhod. Vykazují značnou citlivost přenosové funkce na toleranci pasivních obvodových prvků. Nevýhodou také je jejich složité uvádění do chodu či seřizování, protože nekaskádní filtr nelze rozdělit na dílčí filtry, jak je tomu u kaskádního řešení. V některých případech však výhody nekaskádního řešení převáží nad jeho nevýhodami. Používají se zejména jako ss přesné dolní propusti v nepřímých číslicově analogových převodnících s rozlišením více než 20 bitů pro číslicově řízené kalibrační napěťové normály nebo jako ss přesné antialiasingové filtry na vstupech spektrálních analyzátorů. V dalším se proto omezíme pouze na nekaskádní struktury ss přesných dolních propustí. Obecné uspořádání nekaskádní struktury ss přesné dolní propusti n-tého řádu je uvedeno na Obr.2.9 [31], [32]. Zakončení struktury se liší podle toho, zda je filtr sudého řádu (Obr.2.9a) nebo lichého řádu (Obr.2.9b). Komplexní přenosová funkce filtru je popsána vztahem ( ) 12 0 1 0 2 0 0 1, 1 ... ... =+ + + + + + in in Kp R W p R W p R W p R W p (2-19) kde členy , 1,2,...., ,= i W i n přenosové funkce určené parametry použitých pasivních obvodových prvků lze pro filtry prvního až desátého řádu přehledně vyhledat v Tab.2.4. 18 Je zapotřebí upozornit, že zátěž filtru může ovlivnit jeho přenosové vlastnosti. Proto je při praktické realizaci za filtr zařazen oddělovací zesilovač s vysokým vstupním odporem anebo je zátěž výhradně odporová a je započtena do výsledné přenosové funkce. Velkou výhodou této nekaskádní struktury je, že operační zesilovače jsou od ss signálu odděleny kapacitory a jejich ofset či drift se na výstupním filtru z principu nemůže uplatnit. Další výhodou ve srovnání s kaskádními strukturami filtrů je, že šum použitých zesilovačů se uplatňuje tím méně, čím je operační zesilovač více vzdálen od cesty ss signálu. OZn/2 − + Rn−1 a Cn−1CnOZ(n−1)/2 − + Rn−2 b n sudé n liché Rn−1 Cn Cn−2Cn−1 . . . . . . OZ2 − + R3R4 u1 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 . . . . . . OZ2 − + R3R4 u1 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 u2 uZ 0  u2 uZ 0  Obr. 2.9: Nekaskádní struktura aktivní dolní propust n-tého řádu: a) sudého řádu, b) lichého řádu 19 Tab. 2.4: Členy přenosové funkce W1, W2, . . . Wn pro dolní propusti řádu n = 2 až 10 i pro i < n pro i = n 1 ( ) 12 +CC − 2 ( ) 1 2 1 2 +CC R R 1 2 1 C C R 3 ( ) 1 2 3 4 1 2 +CC C C R R 1 2 3 1 2 CC C R R 4 ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 +CC C C R R R R 1 2 3 4 1 2 3 CC C C R R R 5 ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 +CC C C C C R R R R 1 2 3 4 5 1 2 3 4 CC C C C R R R R 6 ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 +CC C C C C R R R R R R 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 CC C C C C R R R R R 7 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 +CC C C C C C C R R R R R R 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 CC C C C C C R R R R R R 8 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 CC C C C C C C R R R R R R R R+ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 CC C C C C C C R R R R R R R 9 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 CC C C C C C C C C R R R R R R R R+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 CC C C C C C C C R R R R R R R R 10 − 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CC C C C C C C C C R R R R R R R R R 3 Dolní propusti 3.1 Pasivní dolní propusti 3.1.1 Pasivní dolní propust RC 1. řádu Jak již bylo uvedeno, dolní propust je charakteristická tím, že kmitočtové složky nižší, než mezní kmitočet jsou filtrem propouštěny s minimálním útlumem a vyšší kmitočtové složky jsou potlačeny. Nejjednodušší dolní propust je možné realizovat strukturou 1. řádu, kdy se filtr skládá z rezistoru R a jednoho akumulačního prvku (L nebo C). Častěji se používá kapacitor, protože jeho výroba je jednodušší a méně cenově náročná. Zkráceně takové filtry pak označujeme jako RC filtry. Na Obr. 3.1a je uvedeno zapojení dolní propusti RC 1. řádu, jejíž napěťový přenos lze s přihlédnutím k rov. (2-9) vyjádřit vztahy ( ) ( ) ( ) 2C 1 R C 1/ 1 , 1/ 1 Up ZpC Kp U p Z Z R pC pRC = = = = + + + (3-1) resp. ( ) ( ) ( ) 2 1 1/ j 1 . 1/ j 1 j UC KU R C RC = = = ++     (3-2) 20 b c 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -45 -90 φ [deg] φ(Ω) 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] -20 dB/dek 3 dB z(Ω) a C R u1 u2 Obr. 3.1: a) Pasivní dolní propust RC 1. řádu a její b) modulová a c) argumentová charakteristika Komplexní přenosovou funkci (3-2) rozložíme na reálnou a imaginární část ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 j 1 j 1 j 1 j 1 1 RC RC KRC RC R C R C − = = − + − + +      (3-3) a odtud již snadno určíme reálnou a imaginární složku přenosové funkce ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 Re , Im . 11 RC KK R C R C = = − ++    (3-4) Modulová charakteristika dolní propusti 1. řádu pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1 mod Re Im 1 K K K K RC = = + = +      (3-5) a argumentová charakteristika ( ) ( ) ( ) ( ) Re arg arctan arctan . Im K K RC K = = = −       (3-6) Pro grafické znázornění v tzv. Bodeově diagramu se modul přenosové funkce vyjadřuje jako zisk dle (2-7), tzn. 21 ( ) ( ) 2 2 2 1 20log 20log . 1 zK RC == +   (3-7) Ze vztahu (3-7) vyplývá, že na velmi nízkých kmitočtech se modul přenosové funkce asymptoticky blíží hodnotě 0 dB. Naopak na velmi vysokých kmitočtech se modul řídí podle vztahu ( ) ( ) 20log 1/z RC  a je tedy nepřímo úměrný kmitočtu. Platí tedy, že zvětšením kmitočtu desetkrát se hodnota modulu sníží o 20 dB. Modul přenosové funkce klesá na vysokých kmitočtech (v nepropustném pásmu) o 20 dB s každou dekádou kmitočtu. Mezní kmitočet filtru ωm je definován jako kmitočet, při kterém se modul přenosové funkce sníží na hodnotu 1/ 2 , tj. o 3 dB. Tento mezní kmitočet můžeme určit s využitím vztahu (3-5) 2 2 2 m 11 . 2 1RC  = + (3-8) Řešením této rovnice lze určit mezní kmitočet ωm dolní propusti 1. řádu m m m 11 2π , resp. . 2π ff RC RC = = =  (3-9) Fázové natočení výstupního signálu u2(t) vůči vstupnímu signálu u1(t) je při tomto kmitočtu podle rovnice (3-6) právě – 45°. Z hlediska obecnějšího přístupu k návrhu filtrů je vhodné komplexní proměnnou p v rov. (3-1) dále normovat vzhledem k meznímu kmitočtu ωm, tj.: m , p s=  (3-10) kde s se označuje jako normovaná komplexní proměnná, kterou lze také vyjádřit jako mm jjj, f sf   = = = (3-11) Protože mezní kmitočet ωm dolní propusti RC z Obr. 3.1a je určen vztahem (3-9), bude s pRC= a přenosová funkce dolní propusti RC 1. řádu vyjádřená na v závislosti normované komplexní proměnné s bude mít tvar ( ) ( ) 11 , resp. j . 1 1 j K s K s  == ++ (3-12) Normovaná modulová a argumentová charakteristika bude popsána vztahy ( ) ( ) 2 1, arctg . 1 K      = = − + (3-13) Závislost modulu a argumentu přenosové funkce kmitočtového filtru 1. řádu na normovaném kmitočtu jsou uvedeny na Obr. 3.1b,c. Z Obr. 3.1b je vidět, že při jednotkové hodnotě normovaného úhlového kmitočtu Ω dochází k poklesu modulu o 3 dB z hodnoty v pásmu propustnosti (v tomto případě 0 dB). Stejně tak z Obr. 3.1c je vidět, že při hodnotě 22 normovaného úhlového kmitočtu Ω = 1, tedy při kmitočtu vstupního signálu odpovídajícího meznímu kmitočtu ωm dochází k fázovému posunu právě – 45°. a U 0t u1 u1(t) U 0t u2 u2(t) τ = RC b U 0t u1(t) U 0t u2(t) τ = RC u1 u2 Obr. 3.2: Odezva dolní propusti na jednotkový skok (přechodová charakteristika) Prozkoumáme ještě chování dolní propusti 1. řádu v časové oblasti. Přivedeme-li na vstup skok napětí z nuly na napětí U (Obr. 3.2a) nebo naopak z napětí U na nulu (Obr. 3.2b), bude se v prvém případě kapacitor nabíjet a výstupní napětí se bude měnit podle vztahu ( ) ( ) / 21e t RC u t U − =− . V druhém případě se kapacitor bude exponenciálně vybíjet podle vztahu ( ) / 2et RC u t U − = . Vlastnosti dolní propusti v časové oblasti charakterizuje časová konstanta τ = RC, která udává dobu, za kterou odezva na jednotkový skok dosáhne hodnoty odlišující se od ustáleného stavu o 1/e 1/ 2,718 0,37== , tj. o 37 %. Dobu ustálení výstupního napětí pro požadovanou přesnost lze přibližně odhadnout z Tab. 3.1. Tab. 3.1: Doba ustálení výstupního napětí dolní propusti RC 1. řádu Přesnost ustálení 37 % 10 % 1 % 0,1 % Doba ustálení τ 2,3τ 4,6τ 6,9τ V předchozí části bylo ukázáno, že napětí na výstupu dolní propusti při buzení jednotkovým skokem narůstá z počátku přibližně lineárně v čase a je tedy integrálem vstupního napětí v čase. Dolní propust pracuje pak jako tzv. pasivní integrační článek ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 0 d , t u t u u t t RC =+  (3-14) kde integrační konstanta u2(0) představuje nabití kapacitoru v čase t = 0. Jak již bylo naznačeno v předešlé části, v případě požadavku na rychlejší pokles modulové charakteristiky z propustného do nepropustného pásma, je možné zapojit n dolních propustí RC 1. řádu dle Obr. 3.1a do kaskády. Přenosovou funkci takovéto soustavy je pak možné zapsat v obecném tvaru ( ) ( )( ) ( ) ( ) 12 1 11 , 1 1 1 1 n ni i Ks d s d s d s ds = == + + + +  (3-15) 23 kde ( ) 1, 2, i d i n= jsou kladné reálné koeficienty. Z tohoto vztahu plyne, že pro Ω >> 1 bude ( ) 1/ n K   . Přenosová funkce se proto bude asymptoticky blížit k přímce, která klesá se sklonem 20dB/dekn . Soustava vytvořená kaskádním řazením pasivních dolních propustí s týmž mezním kmitočtem bude mít kritické tlumení (název se týká vlastností přechodové charakteristiky, tj. časového průběhu odezvy na jednotkový skok) a koeficienty di budou pro všechna i shodné 2 1. n i dd= = − (3-16) Jednotlivé dílčí dolní propusti, z nichž je řetězec sestaven, budou mít (1/d) krát vyšší mezní kmitočet, než má celý filtr. Označení „filtr s kritickým tlumením“ se týká vlastností filtru z pohledu analýzy jeho přechodové charakteristiky, tj. jeho odezvy na jednotkový skok, kdy nedochází k překmitu výstupního napětí. Nedostatkem filtru s kritickým tlumením, resp. pasivních RC filtrů je skutečnost, že přechod z propustného do nepropustného pásma není dostatečně ostrý. Z tohoto důvodu jsou pro realizaci výhodnější struktury druhého řádu realizované prostřednictvím RLC prvků. 3.1.2 Pasivní dolní propust RLC 2. řádu Jako příklad pasivní dolní propusti 2. řádu lze uvést zapojení na Obr. 3.2a, např. 19. Také toto zapojení lze obecně považovat za napěťový dělič a přenosovou funkci lze psát ve tvaru ( ) C2 L R C 1/ 1 . 1/ 1 ZpC Kp Z Z Z pL R pC RC p LC p = = = + + + + + + (3-17) Odpovídající modulová a argumentová charakteristika dolní propusti 2. řádu je uvedena na Obr. 3.3b,c. 24 b c 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -45 -180 φ [deg] -90 -135 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] -40 dB/dek a C R u1 u2 L φ(Ω) z(Ω) Obr. 3.3: a) Pasivní dolní propust RLC 2. řádu a její b) modulová a c) argumentová charakteristika (Q = 0,707) Využitím normované komplexní proměnné m /sp=  lze (rov. (3-17)) vyjádřit vztahem ( ) 22 mm 1. 1 Ks RC s LC s =++  (3-18) Zavedením rezonančního kmitočtu 01/ LC=  známého z teorie rezonančních obvodů jako Thomsonův vztah a činitele jakosti rezonančního RLC obvodu 0/ / /Q L R L C R  == lze výraz (3-18) upravit do tvaru ( ) 22 mm 2 00 1. 1 Ks ss Q = ++   (3-19) Přenosovou funkci dolní propusti 2. řádu (3-18) lze obecně zapsat ve tvaru ( ) 2 11 1, 1 Ks a s b s =++ (3-20) přičemž koeficienty přenosové funkce 25 2 mm 11 2 00 ,.ab Q ==   (3-21) Z koeficientů a1, b1 přenosové funkce lze naopak vyjádřit vztah mezi rezonančním kmitočtem ɷ0 a mezním kmitočtem ɷm filtru, resp. vztah pro činitel jakosti 1 mm 0 0 1 1 1 ,. b Qaa b   = = = (3-22) Tvar modulové i argumentové charakteristiky je silně ovlivněn hodnotou činitele jakosti Q, jak je to zřejmé z Obr. 3.4. S rostoucí hodnotou jakosti dochází ke strmějšímu přechodu modulové charakteristiky při přechodu z propustného do nepropustného pásma. Na druhé straně vyšší jakost filtru způsobuje zvýšení zisku před mezním kmitočtem. Je-li hodnota 1/ 2 0,707Q== tak, jako je tomu v případě Obr. 3.3b, pak je modulová charakteristika v pásmu propustnosti maximálně plochá. 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 20 10 -10 -20 -30 -50 -60 -70 -80 z[dB] -40 dB/dek z(Ω) 0 -40 Q=0,5 Q=1 Q=5 Obr. 3.4: Modulová charakteristika dolní propusti 2. řádu pro různé činitele jakosti Q normovaná vzhledem k meznímu kmitočtu Pro výpočet hodnot R a L můžeme porovnáním (3-18) a (3-20) získat vztahy 11 22 mm ,. 2π 4π ab RL f C f C == (3-23) Dolní propust 2. řádu s aproximací přenosové funkce dle Butterworta (viz dále) bude mít koeficienty a1 = 1,414 a b1 =1,000. Pro mezní kmitočet fm = 10 Hz a kapacitu kapacitoru C = 10 μF dostaneme podle uvedených rovnic R = 2,25 kΩ a L = 25,3 H. Takový filtr by byl prakticky nerealizovatelný z důvodu velké indukčnosti induktoru L. Daleko snadněji lze takovýto filtr realizovat pomocí aktivního filtru s operačním zesilovačem a RC prvky. 32 3.2.2 Aproximace přenosové funkce dle Bessela Jak již bylo uvedeno, kmitočtové filtry aproximované dle Butterwortha či Čebyševa vykazují v případě přechodové charakteristiky významný překmit (Obr. 3.5b). Ideální odezva na obdélníkový signál je dosažena u filtrů, které mají kmitočtově nezávislé skupinové zpoždění, tj. lineárně natáčejí fázi v závislosti na kmitočtu. Takové chování vykazují filtry navržené dle Besselovy aproximace, někdy také označované jako Thomsonovy filtry. Parametry filtru musí být v tomto případě stanoveny tak, aby skupinové zpoždění bylo pro Ω < 1 přibližně konstantní a na kmitočtu Ω pokud možno nezávislé. Jak bylo již uvedeno v (3-24) lze dolní propust 2. řádu popsat vztahem ( ) 02 11 , 1 K Ks a s b s =++ (3-33) resp. po dosazení js  = ( ) 02 11 1j K Kab  =+− (3-34) Z reálné a imaginární složky ( ) K  pak můžeme určit argumentovou charakteristiku ( ) ( ) ( ) 12 1 Im arctg arctg Re 1 Ka Kb    = = − − (3-35) a z ní pak skupinové zpoždění ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 4 1 1 1 d1. d12 b a b b     + = − = + − + (3-36) Pro Ω << 1 lze člen s nejvyšší mocninou zanedbat a pak přibližně ( ) ( ) 2 1 22 11 1. 12 b ab    + =+− (3-37) Tento vztah nebude záviset na kmitočtu, pokud bude splněna podmínka 2 1 1 1 2b a b=− , tj. 2 11 /3ba= . Výpočet koeficientů ai a bi pro dolní propusti vyšších řádů je samozřejmě složitější. Hodnoty koeficientů Besselovy aproximace ai a bi pro kaskádně realizované dolní propusti vyšších řádů jsou uvedeny v Tab. 3.4. Koeficienty ci Besselovy aproximace pro nekaskádně realizované dolní propusti jsou pak uvedeny v Tab.3.5. Normované modulové charakteristiky dolních propustí 1. až 10. řádu ( ) ( ) ( ) 0 20log /z K K  = aproximované dle Bessela jsou pak nakresleny na Obr. 3.7. Tento typ aproximace se užívá zejména u filtrů určených pro zpracování pravoúhlých signálů nebo signálů vykazujících rychlé změny okamžitých hodnot. 33 Tab. 3.4: Koeficienty ai a bi přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Bessela n i ai bi fmi / fm Qi 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 2 1 1,3617 0,6180 1,000 0,58 3 1 2 0,7560 0,9996 0,0000 0,4772 1,323 1,414 - 0,69 4 1 2 1,3397 0,7743 0,4889 0,3890 0,978 1,797 0,52 0,81 5 1 2 3 0,6656 1,1402 0,6216 0,0000 0,4128 0,3245 1,502 1,184 2,138 - 0,56 0,92 6 1 2 3 1,2217 0,9686 0,5131 0,3887 0,3505 0,2756 1,063 1,431 2,447 0,51 0,61 1,02 7 1 2 3 4 0,5937 1,0944 0,8304 0,4332 0,0000 0,3395 0,3011 0,2381 1,684 1,207 1,695 2,731 - 0,53 0,66 1,13 8 1 2 3 4 1,1112 0,9754 0,7202 0,3728 0,3162 0,2979 0,2621 0,2087 1,164 1,381 1,963 2,992 0,51 0,56 0,71 1,23 9 1 2 3 4 5 0,5386 1,0244 0,8710 0,6320 0,3257 0,0000 0,2834 0,2636 0,2311 0,1854 1,857 1,277 1,574 2,226 3,237 - 0,52 0,59 0,76 1,32 10 1 2 3 4 5 1,0215 0,9393 0,7815 0,5604 0,2883 0,2650 0,2549 0,2351 0,2059 0,1665 1,264 1,412 1,780 2,479 3,466 0,50 0,54 0,62 0,81 1,42 34 Tab. 3.5: Koeficienty ci přenosové funkce dolní propusti n-tého řádu aproximované dle Bessela pro nekaskádní syntézu n c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 1 1,0000 - - - - - - - - - 2 1,3617 0,6180 - - - - - - - - 3 1,7556 1,2329 0,3608 - - - - - - - 4 2,1360 1,9323 0,9083 0,1902 - - - - - - 5 2,4274 2,6187 1,5891 0,5510 0,0892 - - - - - 6 2,7034 3,3220 2,3948 1,0790 0,2917 0,0376 - - - - 7 2,9517 4,0213 3,2972 1,7696 0,6268 0,1371 0,0145 - - - 8 3,1796 4,7179 4,2859 2,6206 1,1110 0,3211 0,0583 0,0052 - - 9 3,3917 5,4135 5,3553 3,6328 1,7602 0,6123 0,1484 0,0229 0,0017 - 10 3,5910 6,1082 6,4990 4,8047 2,5880 1,0326 0,3027 0,0627 0,0083 0,0005 10-1 100101102 Ω [-] 10 -10 -20 -30 -50 -60 -70 z[dB] z(Ω) 0 -40 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 Obr. 3.7: Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Bessela 3.2.3 Aproximace přenosové funkce dle Čebyševa Filtr s přenosovou funkcí aproximovanou dle Čebyševa je charakteristický tím, že pro velmi nízké kmitočty f << fm je přenos K0 konstantní. V okamžiku, kdy se kmitočet filtrovaného signálu blíží k meznímu kmitočtu f < fm, resp. Ω < 1, má modulová charakteristika zvlněný charakter. Maximální hodnota zvlnění je dána parametry filtru a je možné ji tak nastavit na požadovanou úroveň. Platí, že zmenšování povoleného zvlnění modulové charakteristiky vede na zmenšení rychlosti přechodu modulové charakteristiky do nepropustného pásma. Přesto v případě Čebyševovy aproximace je rychlost přechodu do nepropustného pásma nejvyšší v porovnání s aproximací dle Butterwortha či Bessela. Odvození koeficientů ai a bi pro požadovanou hodnotu zvlnění přenosové charakteristiky Δz je dosti náročné, a proto je zde neuvádíme. Hodnoty koeficientů přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa jsou pro zvlnění Δz o hodnotách 0,5 dB, 1 dB, 2 dB a 3 dB uvedeny v Tab. 3.6 a Tab. 3.7. Současně jsou uvedeny i odpovídající parametry dílčích filtrů, tj. mezní kmitočty dílčích filtrů vztažené k meznímu kmitočtu fm 35 celého filtru, tj. fmi / fm a činitele jakosti Qi. Koeficienty ci pro nekaskádní syntézu nejsou uvedeny, protože nekaskádní filtry s aproximací přenosové funkce dle Čebyševa se neužívají. Tab. 3.6: Koeficienty ai a bi přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa se zvlněním 0,5 dB a 1 dB zvlnění 0,5 dB zvlnění 1 dB n i ai bi fmi / fm Qi n i ai bi fmi / fm Qi 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 2 1 1,3614 1,3827 1,000 0,86 2 1 1,3022 1,5515 1,000 0,96 3 1 2 1,8636 0,6402 0,0000 1,1931 0,537 1,335 - 1,71 3 1 2 2,2156 0,5442 0,0000 1,2057 0,451 1,353 - 2,02 4 1 2 2,6282 0,3648 3,4341 1,1509 0,538 1,419 0,71 2,94 4 1 2 2,5904 0,3039 4,1301 1,1697 0,540 1,417 0,78 3,56 5 1 2 3 2,9235 1,3025 0,2290 0,0000 2,3534 1,0833 0,342 0,881 1,480 - 1,18 4,54 5 1 2 3 3,5711 1,1280 0,1872 0,0000 2,4896 1,0814 0,280 0,894 1,486 - 1,40 5,56 6 1 2 3 3,8645 0,7528 0,1589 6,9797 1,8573 1,0711 0,366 1,078 1,495 0,68 1,81 6,51 6 1 2 3 3,8437 0,6292 0,1296 8,5529 1,9124 1,0766 0,366 1,082 1,493 0,76 2,20 8,00 7 1 2 3 4 4,0211 1,8729 0,4861 0,1156 0,0000 4,1795 1,5676 1,0443 0,249 0,645 1,208 1,517 - 1,09 2,58 8,84 7 1 2 3 4 4,9520 1,6338 0,3987 0,0937 0,0000 4,4899 1,5834 1,0423 0,202 0,655 1,213 1,520 - 1,30 3,16 10,9 8 1 2 3 4 5,1117 1,0639 0,3439 0,0885 11,961 2,9365 1,4206 1,0407 0,276 0,844 1,284 1,521 0,68 1,61 3,47 11,5 8 1 2 3 4 5,1019 0,8916 0,2806 0,0717 14,761 3,0426 1,4334 1,0432 0,276 0,849 1,285 1,520 0,75 1,96 4,27 14,2 9 1 2 3 4 5 5,1318 2,4283 0,6839 0,2559 0,0695 0,0000 6,6307 2,2908 1,3133 1,0272 0,195 0,506 0,989 1,344 1,532 - 1,06 2,21 4,48 14,6 9 1 2 3 4 5 6,3415 2,1252 0,5624 0,2076 0,0562 0,0000 7,1711 2,3278 1,3166 1,0258 0,158 0,514 0,994 1,346 1,533 - 1,26 2,71 5,53 18,0 10 1 2 3 4 5 6,3648 1,3582 0,4822 0,1994 0,0563 18,369 4,3453 1,9440 1,2520 1,0263 0,222 0,689 1,091 1,381 1,533 0,67 1,53 2,89 5,61 18,0 10 1 2 3 4 5 6,3634 1,1399 0,3939 0,1616 0,0455 22,747 4,5167 1,9665 1,2569 1,0277 0,221 0,694 1,093 1,381 1,532 0,75 1,86 3,56 6,94 22,3 36 Tab. 3.7: Koeficienty ai a bi přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa se zvlněním 2 dB a 3 dB zvlnění 2 dB zvlnění 3 dB n i ai bi fmi / fm Qi n i ai bi fmi / fm Qi 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 2 1 1,1813 1,7775 1,000 1,13 2 1 1,0650 1,9305 1,000 1,30 3 1 2 2,7994 0,4300 0,0000 1,2036 0,357 1,378 - 2,55 3 1 2 3,3496 0,3559 0,0000 1,1923 0,299 1,396 - 3,07 4 1 2 2,4025 0,2374 4,9862 1,1896 0,550 1,413 0,93 4,59 4 1 2 2,1853 0,1964 5,5339 1,2009 0,557 1,410 1,08 5,58 5 1 2 3 4,6345 0,9090 0,1434 0,0000 2,6036 1,0750 0,216 0,908 1,493 - 1,78 7,23 5 1 2 3 5,6334 0,7620 0,1172 0,0000 2,6530 1,0686 0,178 0,917 1,500 - 2,14 8,82 6 1 2 3 3,5880 0,4925 0,0995 10,465 1,9622 1,0826 0,373 1,085 1,491 0,90 2,84 10,5 6 1 2 3 3,2721 0,4077 0,0815 11,677 1,9873 1,0861 0,379 1,086 1,489 1,04 3,46 12,8 7 1 2 3 4 6,4760 1,3258 0,3067 0,0714 0,0000 4,7649 1,5927 1,0384 0,154 0,665 1,218 1,523 - 1,65 4,12 14,3 7 1 2 3 4 7,9064 1,1159 0,2515 0,0582 0,0000 4,8963 1,5944 1,0348 0,126 0,670 1,222 1,523 - 1,98 5,02 17,5 8 1 2 3 4 4,7743 0,6991 0,2153 0,0547 18,151 3,1353 1,4449 1,0461 0,282 0,853 1,285 1,518 0,89 2,53 5,58 18,7 8 1 2 3 4 4,3583 0,5791 0,1765 0,0448 20,295 3,1808 1,4507 1,0478 0,286 0,855 1,285 1,517 1,03 3,08 6,83 22,9 9 1 2 3 4 5 8,3198 1,7299 0,4337 0,1583 0,0427 0,0000 7,6580 2,3549 1,3174 1,0232 0,120 0,522 0,998 1,349 1,536 - 1,60 3,54 7,25 23,7 9 1 2 3 4 5 10,176 1,4585 0,3561 0,1294 0,0348 0,0000 7,8971 2,3651 1,3165 1,0210 0,098 0,526 1,001 1,351 1,537 - 1,93 4,32 8,87 29,0 10 1 2 3 4 5 5,9618 0,8947 0,3023 0,1233 0,0347 28,038 4,6644 1,9858 1,2614 1,0294 0,226 0,697 1,094 1,380 1,531 0,89 2,41 4,66 9,11 29,3 10 1 2 3 4 5 5,4449 0,7414 0,2479 0,1008 0,0283 31,379 4,7363 1,9952 1,2638 1,0304 0,230 0,699 1,094 1,380 1,530 1,03 2,94 5,70 11,2 35,9 37 Průběhy modulové charakteristiky se zvlněním v propustném pásmu Δz = 2 dB jsou uvedeny na Obr. 3.8 a Obr. 3.9. Pro přehlednost jsou na Obr. 3.8a uvedeny jen modulové charakteristiky filtrů lichého řádu, kdy na Obr. 3.8b je uveden detail modulové charakteristiky v pásmu propustnosti. Podobně na Obr. 3.9a jsou uvedeny jen moduly přenosové charakteristiky dolní propusti sudého řádu. Na Obr. 3.9b je pak opět detail průběhu modulové charakteristiky v propustném pásmu. Na Obr. 3.10 jsou pak pro porovnání uvedeny modulové charakteristiky dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé velikosti zvlnění. Je vidět, že pro nižší hodnoty zvlnění v propustném pásmu je také rychlost změny modulu z propustného do nepropustného pásma menší. Pro porovnání je v Obr. 3.10 uvedena také modulová charakteristika aproximovaná dle Butterwortha, kdy je vidět, že i pro nejnižší uvažovanou hodnotu zvlnění (tj. Δz = 0,5 dB) u Čebyševovy aproximace je rychlost přechodu modulové charakteristiky do nepropustné části stále vyšší, než je tomu u Butterworthovy aproximace. Pro zvlnění Δz = 0 dB Čebyševova aproximace přejde v aproximaci dle Butterwortha. a b 10-2 100101102 Ω [-] 10 -10 -20 -30 -50 -60 -70 z[dB] 0 -40 n=1 n=3 n=5 n=7 n=9 10-1 10-2 100 Ω [-] 3 1 0 -2 -3 z[dB] 2 -1 n=1 n=3 n=5 n=7 n=9 10-1 z(Ω) z(Ω) Obr. 3.8: Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Čebyševa se zvlněním Δz = 2 dB pro filtry lichého řádu 38 a b 10-2 100101102 Ω [-] 10 -10 -20 -30 -50 -60 -70 z[dB] 0 -40 n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 10-1 10-2 100 Ω [-] 3 1 0 -2 -3 z[dB] 2 -1 10-1 z(Ω) z(Ω) n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 Obr. 3.9: Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Čebyševa se zvlněním Δz = 2 dB pro filtry sudého řádu 10-2 10-1 100101 Ω [-] 10 5 0 -5 -10 -15 -20 z[dB] z(Ω) Čebyšev 2 dB Čebyšev 3 dB Čebyšev 1 dB Butterworth Čebyšev 0,5 dB Obr. 3.10: Modulové charakteristiky dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé hodnoty zvlnění Δz v propustném pásmu Z Obr. 3.11 je pak vidět vliv velikosti zvlnění v pásmu propustnosti na skupinové zpoždění, které se s rostoucí hodnotou zvlnění také výrazně mění a zásadně ovlivňuje odezvu filtru na jednotkový skok. 39 10-2 τ/Tm [-] 2,5 2 1,5 1 0,5 010-1 100101102 Ω [-] z(Ω) Čebyšev 2 dB Čebyšev 3 dB Čebyšev 1 dB Butterworth Čebyšev 0,5 dB Obr. 3.11: Charakteristiky skupinového zpoždění dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé hodnoty zvlnění Δz v propustném pásmu 3.2.4 Další typy aproximací přenosové funkce V případě nutnosti lze přechod přenosové funkce z propustného do nepropustného pásma udělat ještě strmější, kdy ale přenosová funkce vykazuje omezený a zvlněný průběh v oblasti kmitočtů nad mezním kmitočtem filtru. Pro návrh takových filtrů je vhodné využít tzv. Cauerovu aproximaci. Aproximace je charakteristická zvlněním pak v propustném (podobně jako je tomu u Čebyševovy aproximace) tak i nepropustném pásmu. Takto navržené filtry jsou pak označovány jako Cauerovy či eliptické filtry. Mezi další typy aproximací patří např. inverzní Čebyševova aproximace, která má plochou modulovou charakteristiku v propustném pásmu a zvlněnou v pásmu nepropustném. Tato aproximace vykazuje lepší fázové vlastnosti a přechodnou charakteristiku, která je blízká filtrům navrženým dle Butterworthovy aproximace, ovšem za cenu vyšší složitosti realizace. Další aproximací, se kterou je možné se setkat, je tzv. Gaussova aproximace, která je definována s ohledem na ideální průběh časové odezvy, podobně jako je tomu u Besselovy aproximace. Modulová přenosová charakteristika má tvar Gaussovy křivky a argumentová charakteristika je zcela lineární. Dále lze zmínit tzv. Legendrovu aproximaci, kdy modulová charakteristika dle této aproximace klesá strměji než v případě Butterworthovy aproximace za cenu ne zcela hladkého průběhu v propustném pásmu. Dalšími aproximacemi jsou pak tranzitivní Besselova-Butterworthova aproximace, či Kasteleinova aproximace. Koeficienty přenosových funkcí pro některé další typy aproximací lze nalézt např. v lit. [29]. 3.3 Aktivní dolní propusti 3.3.1 Dolní propusti 1. řádu Neinvertující dolní propust 1. řádu naznačená na Obr. 3.12a tvoří pasivní dolní propust RC z Obr. 3.1a, za kterou je zařazen neinvertující zesilovač, který jednak odděluje pasivní filtr od zátěže a jednak realizuje potřebné zesílení pro ss. signály. Ze vztahu (3-24) je zřejmé, že přenosová funkce dolní propusti 1. řádu může být obecně zapsána ve tvaru 40 ( ) 0 1 . 1 K Ks as =+ (3-38) a b + − u1 u2 OZ R2 R1 C Rz[dB] 0 dB fT OZ log f [Hz] min 40 dB DP fm Obr. 3.12: a) Dolní propust 1. řádu využívající pasivní článek RC, b) požadavky na kmitočtovou charakteristiku operačního zesilovače Z tabulek koeficientů aproximačních funkcí Tab. 3.2, Tab. 3.4, Tab. 3.6 a Tab. 3.7 je vidět, že koeficienty filtrů 1. řádu (n = 1) jsou u všech typů shodné a hodnota koeficientu a1 je vždy rovna jedné. Poznámka: při realizaci filtrů vyšších řádů kaskádním řazením dílčích filtrů se vyskytují dílčí filtry 1. řádu, u kterých a1 ≠ 1, to znamená, že tyto články filtru mají mezní kmitočet odlišný od mezního kmitočtu celého filtru tak, že fm1 = fm /a1. Přenosové vlastnosti dolní propusti 1. řádu podle Obr. 3.12 tedy budou popsány vztahem ( ) 0, 1 K Ks s =+ (3-39) přičemž komplexní proměnná s je zde normována podle mezního kmitočtu dolní propusti m1/RC=  , resp. m1/ 2πf RC= . Pro ss. signály (kdy C vykazuje velkou impedanci) je přenos filtru 0 2 1 1/K R R=+ . Při návrhu postupujeme tak, že zvolíme kapacitu C kapacitoru a pak podle požadavku na mezní kmitočet určíme m 1/ 2πR f C= . Podle požadavku na přenos K0 v pásmu propustnosti pak určíme odpory zpětnovazebních rezistorů OZ. Zvolíme-li např. odpor R2, bude ( ) 1 2 0 /1R R K=− . Pokud se týká volby vlastního operačního zesilovače, je zapotřebí, aby použitý zesilovač byl dostatečně širokopásmový a neomezil vlastnosti dolní propusti (viz Obr. 3.12b). Invertující dolní propust 1. řádu někdy také označovaná jako ztrátový integrátor je nakreslena na Obr. 3.13. Využívá obecného principu aktivního filtru s jednoduchou smyčkou zpětné vazby naznačeného na Obr. 2.3. Abychom přenosovou funkci získali v normovaném tvaru, budeme pracovat s normovanou komplexní proměnnou m /sp=  , resp. m ps=  . 41 − + u1 u2 OZ R2 C R1 Obr. 3.13: Invertující dolní propust 1. řádu Protože podle Tab. 2.1 jsou přenosové vodivosti použitých dvojbranů 21A 1 1/yR=− a 12B 2 2 m 1/ 1/y R C p R C s= − − = − −  , bude ( ) 21A 1 2 1 12B 2 m m 2 1/ / . 1/ 1 y R R R Ks y R C s R C s = − = − = − ++  (3-40) Z porovnání s rov. (3-39) je zřejmé, že daným obvodem můžeme realizovat přenos pro ss signály pouze záporný, 0 2 1 /K R R=− a dále, že musí být splněna podmínka m2 1RC=  . Proto při zvolené kapacitě C kapacitoru bude 2m 1/ 2πR f C= a 1 2 0 /R R K=− . 3.3.2 Dolní propusti 2. řádu Aktivní dolní propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby je naznačena na Obr. 3.14. Jde o aktivní filtr, jehož uspořádání bylo obecně neznačeno na Obr. 2.4. V daném případě admitance 1 1 2 2 3 1 4 3 5 2 1/ , 1/ , , 1/ ,Y R Y R Y pC Y R Y pC= = = = = a přenos můžeme podle rov. (2-10) určit ve tvaru ( ) 13 21 2 3 1 2 3 21 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1/ 1 1 1 1 /. 1 1 1 1 RR Kp pC pC R R R R R RR C R R p C C R R p R R R = − =  + + + +   =−  + + + +   (3-41) OZ R1− + R3 u1 u2 C2 R2 C1 Obr. 3.14: Aktivní dolní propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby 48 pořadí by mohlo způsobit přebuzení zesilovače vstupní sekce v oblasti překmitu její modulové charakteristiky. Příčina je v tom, že filtry s vyšším mezním kmitočtem obvykle mají vysoký činitel jakosti, a proto jejich modulová charakteristika vykazuje v blízkosti mezního kmitočtu značný překmit. Tuto skutečnost můžeme ilustrovat na modulových charakteristikách pěti článků navrhovaného filtru s přenosovou funkcí aproximovanou dle Čebyševa, nakreslených na Obr. 3.18. Jiný pohled na pořadí dílčích filtrů je spojen s požadavkem na minimální úroveň šumu na výstupu. V tom případě musí být sled filtrů právě opačný, protože zařazení filtru s nejnižším kmitočtem na konci kaskády způsobí zeslabení šumů všech předchozích článků kaskády. 3.3.4 Nekaskádní realizace dolních propustí vyšších řádů Jak bylo již řečeno, u některých typů nepřímých číslicově analogových převodníků, které umožňují dosahovat více než dvacetibitovou rozlišovací schopnost při vynikající linearitě a zaručené monotónnosti převodu, je u filtru vyžadován přesný přenos stejnosměrné složky signálu, a proto zde klasické kaskádní řešení aktivní dolní propusti nevyhovuje. V některých případech je tento požadavek kladen i na antialiasingový filtr. Při návrhu aktivní dolní propusti pro měřicí účely je proto někdy výhodné využít nekaskádní uspořádání filtru, v němž jsou operační zesilovače stejnosměrně odděleny od ss cesty signálu. Přenosovou funkci dolní propusti n-tého řádu můžeme zapsat ve tvaru (3-26), kdy funkce závisí na komplexní proměnné /  =m sp . Připomeňme, že normování komplexní proměnné j  =+p vzhledem k meznímu kmitočtu ωm = 2π fm (odpovídajícímu zmenšení modulu přenosové funkce na hodnotu 1/ 2 resp. poklesu zisku o 3 dB) zobecňuje přístup k návrhu filtru. Pro σ = 0 totiž dostaneme mm j / j / js f f    = = = ; přitom jsme zavedli stejné jako dříve normovaný úhlový kmitočet Ω = ω/ωm. Koeficienty c1, c2, …, cn ve vztahu (3-67) určují svou velikostí rozmístění pólů přenosové funkce v komplexní rovině. Počtem a rozmístěním pólů přenosové funkce v komplexní rovině jsou pak určeny základní vlastnosti filtrů v kmitočtové i časové oblasti. Při konkrétním návrhu filtru volíme rozmístění pólů podle některé ze známých standardních aproximací ideální přenosové funkce. Nejčastěji se pro případ antialiasingového filtru užívá aproximace podle Butterwortha, pro nepřímé převodníky D/A se pak z důvodu rychlého ustalování po změně vstupních dat užívá aproximace dle Bessela. Koeficienty ci pro tyto aproximace jsou uvedeny v Tab. 3.3 a Tab. 3.5. Zdůrazněme, že koeficienty přenosové funkce jsou v obou případech normovány k meznímu kmitočtu ωm = 2π fm. Základní uspořádání ss přesné dolní propusti 2. řádu je uvedeno na Obr. 3.19a, rozšíření zapojení na 3. řád je pak naznačeno na Obr. 3.19b. Výhodou tohoto řešení je ss oddělení operačního zesilovače kapacitory C1 a C2 od hlavní cesty zpracování signálu. Nevýhodou je ale skutečnost, že filtr nesmí být zatěžován (iz ≈ 0) a za filtr je nutno proto při realizaci zařadit pro oddělení zátěže zesilovač s vysokým vstupním odporem. Přenosová funkce dolní propusti 2. řádu z Obr. 3.19a je popsána vztahem (viz rov. 2-19) ( ) 2 0 1 0 2 1, 1 =++ Kp R W p R W p (3-67) přičemž členy W1 a W2 se určí z Tab. 2.4 pro dolní propust 2. řádu, tj. 1 1 2 =+W C C a 2 1 2 1 =W CC R . Přenosové funkce pak 49 ( ) ( ) 2 1 2 0 1 2 0 1 1. 1 =+ + + Kp C C R p CC R R p (3-68) Aby bylo možno použít koeficienty ci normované přenosové funkce, provedeme normování komplexní proměnné p vzhledem k m  . Normovaná přenosová funkce má pak tvar ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 m 1 2 0 1 m 1 2 11 . 11  == + + + + + Ks C C R s CC R R s c s c s (3-69) Např. pro aproximaci dle Bessela budou podle Tab. 3.5 koeficienty mít hodnotu 11,367=c a 20,6180=c . OZ − + u2 R1 a u1 iz ≈ 0 C1C2 R0 OZ − + u2 R1 b u1 iz ≈ 0 C1C2 R0 DP 2. řádu DP 3. řádu R2 C3 Obr. 3.19: Stejnosměrně přesná dolní propust: a) 2. řádu, b) 3. řádu. Porovnáme-li koeficienty u stejných mocnin normované komplexní proměnné s , dostaneme pro výpočet parametrů prvků dolní propusti soustavu rovnic ( ) 1 1 2 0 m  =+c C C R , (3-70) 2 2 1 2 0 1 m  =c CC R R . (3-71) Řešením této soustavy rovnic stanovíme pro zvolené kapacity C1 a C2 odpory R0 a R1 pro danou aproximaci určenou tabulkovými koeficienty c1, c2 a pro zadaný mezní úhlový kmitočet ωm. Jelikož počet dosud neurčených parametrů obvodových prvků je dvojnásobkem počtu rovnic soustavy (3-70) a (3-71), může být polovina z těchto parametrů zvolena libovolně. Pro zjednodušení praktické realizace filtrů je vhodné řešit dolní propust buď se shodnými kapacitami kapacitorů, nebo se shodnými odpory rezistorů. Jestliže budeme řešit soustavu (3-70) a (3-71) pro shodné kapacity C na pozicích C1 a C2 (viz Obr. 3.19a), pak dostaneme bez potíží pro odpory R0 a R1 vztahy ( ) 0 1 m /2  =R c C , (3-72) ( ) 1 2 21 m 2/  =R c c C . (3-73) Pokud se pokusíme soustavu rovnic (3-70) a (3-71) vyřešit pro shodný odpor R rezistorů na pozicích R0 a R1 , musíme řešit soustavu ( ) 1 1 2 m  =+c C C R , (3-74) 50 22 2 1 2 m  =c CC R . (3-75) Nejprve vyčíslíme z rovnice (3-75) proměnnou C2 a dosadíme ji do rovnice (3-74) a po úpravě dostaneme kvadratickou rovnici 2 2 2 m 1 1 m 1 2 0  − + =R C c R C c . (3-76) Jejímž řešením lze určit kapacitu C1. Řešení soustavy (3-74) a (3-75) však můžeme začít také vyčíslením proměnné C1 z rov. (3-75) a jejím dosazením do rov. (3-74). Tak získáme podobnou kvadratickou rovnici pro určení kapacity C2 2 2 2 m 2 21 m 2 2 0  − + =R C c R C c . (3-77) Jelikož kapacity C1 a C2 se v soustavě rovnic (3-74) a (3-75) vyskytují v součtu a v součinu, jsou oba kapacitory C1 a C2 ve svých pozicích ve schématu na Obr. 3.19a zaměnitelné. Výpočtem kterékoliv z kvadratických rovnic (3-76), (3-77) získáme dvě rovnocenná a navzájem zaměnitelná řešení. Z toho důvodu můžeme pro výpočet C1 a C2 psát pouze jednu společnou kvadratickou rovnici 2 2 2 m 1,2 21 m 1,2 2 0  − + =R C c R C c , (3-78) kde C1,2 zahrnuje v sobě obě vzájemně zaměnitelná řešení této kvadratické rovnice. Rovnice (3-78) má však řešení v oboru reálných čísel pouze v případech, kdy je splněna podmínka jejího nezáporného diskriminantu 2 2 2 2 2 1 m2 2 m2 40  −c R c R , (3-79) kterou lze upravit do tvaru 2 21 4 / 1cc . (3-80) Podmínka nezáporného diskriminantu nám umožňuje jednoduše stanovit, zda je dolní propust druhého řádu realizovatelná pro danou aproximaci se shodnými odpory rezistorů. Vyčíslením podmínky (3-80) pro koeficienty uvedené v Tab. 3.3, případně v Tab. 3.5 pro dané typy aproximací 2. řádu můžeme zjistit, že je v obou případech větší než jedna. To znamená, že dolní propust 2. řádu uvažované struktury nelze se shodnými odpory rezistorů pro uvedené aproximace realizovat a musí se použít struktura se shodnými kapacitami kapacitorů. Rozšiřováním základních struktur na Obr. 3.19 můžeme získat dolní propusti vyšších řádů. Na Obr. 3.20 jsou naznačena zapojení takto nekaskádně koncipovaných ss přesných dolních propustí 4. a 5. řádu. Na Obr. 3.21 je pak uvedena nekaskádní realizační struktura zobecněná pro vyšší řády přenosových funkcí, a to zvlášť pro liché a zvlášť pro sudé řády přenosové funkce. Aby filtr nebyl zatěžován je na Obr. 3.21 pro oddělení zátěže užit zesilovač s vysokým vstupním odporem s OZ0. Pokud je takováto dolní propust užita na výstupu nepřímého převodníku D/A může oddělovací zesilovač současně sloužit pro přepínání výstupních rozsahů převodníku. Na této pozici však musí být použit velmi kvalitní operační zesilovač, protože jeho napěťová nesymetrie a šum určuje výsledné vlastnosti celého převodníku. Na rozdíl od kaskádní struktury filtru (např. na Obr. 2.8), kdy všechny použité operační zesilovače by musely být nízkošumové, u nekaskádní struktury stačí, aby nízkošumové byly pouze operační zesilovače blízko hlavní cesty signálu (tzn. OZ0 a OZ1), protože čím dál je operační zesilovač od hlavní cesty signálu, tím se jeho šum uplatňuje méně. Zájemce o podrobnější informace odkazujeme na naše publikace [31] až [37]. 51 OZ2 − + u2 R3 a u1 iz ≈ 0 C3C4 R0 OZ2 − + R3 b DP 4. řádu DP 5. řádu R4 C5 C1C2 OZ1 − + R1R2 u2 u1 iz ≈ 0 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 Obr. 3.20: Stejnosměrně přesná dolní propust: a) 4. řádu, b) 5. řádu. OZn/2 − + Rn−1 a Cn−1CnOZ(n−1)/2 − + Rn−2 b n sudé n liché Rn−1 Cn Cn−2Cn−1 . . . . . . OZ2 − + R3R4 u2 u1 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 OZ0 + − . . . . . . OZ2 − + R3R4 u2 u1 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 OZ0 + − Obr. 3.21: Realizační struktury nekaskádních aktivních ss přesných dolních propustí n-tého řádu: a) sudého řádu, b) lichého řádu. 52 Konkrétní vyjádření jednotlivých koeficientů ci přenosové funkce pomocí parametrů obvodové struktury z Obr. 3.21 uvádí Tab. 3.8. Přitom jsme využili pro vyčíslení členů Wi přenosové funkce (2-10) údaje z Tab. 2.4. V tabulce 3.8 jsou uspořádány všechny koeficienty přenosových funkcí od prvního do desátého řádu včetně. Při určení přenosové funkce dolní propusti n-tého řádu pomocí Tab. 3.8 postupujeme tak, že odečteme postupně koeficienty z druhého sloupce až po i = n – 1 a poslední koeficient i = n odečteme ze sloupce třetího. Např. normovaná přenosová funkce dolní propusti 3. řádu naznačená na Obr. 3.19b bude mít tvar ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 0 m 1 2 0 1 2 m 1 2 3 0 1 2 m 1 1    =+ + + + + Ks C C R s C C R R R s C C C R R R s . (3-81) Kde C1 až C3 jsou kapacity příslušných kapacitorů a R0 až R2 odpory odpovídajících rezistorů realizační struktury. Pro zjednodušení návrhu dolní propusti se obvykle volí struktura se shodnými odpory rezistorů nebo se shodnými kapacitami kapacitorů. Tím ovšem vznikají některá omezení, která zužují použití filtru n-tého řádu pro určitý typ aproximace přenosové funkce podobně jako tomu bylo pro dolní propust 2. řádu (viz podmínka (3-80)). Možnost realizovat kmitočtový filtr daného řádu a dané aproximace v případě shodnosti odporů rezistorů R0 = R1 = … = Rn – 1 nebo shodnosti kapacit kapacitorů C1 = C2 = … = Cn je shrnuta v Tab. 3.9. Tab. 3.8: Koeficienty přenosových funkcí cni příslušející i-té mocnině normované komplexní proměnné s pro n = 2 až 10 i pro i < n pro i = n 1 ( ) 1 2 0 m C C R  + − 2 ( ) 2 1 2 0 1 2 m CC R R R  + 2 1 2 0 1 m CC R R  3 ( ) 3 1 2 3 4 0 1 2 m CC C C R R R  + 3 1 2 3 0 1 2 m CC C R RR  4 ( ) 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4 m CC C C R R R R R  + 4 1 2 3 4 0 1 2 3 m CC C C R RR R  5 ( ) 5 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 m CC C C C C R R R R R  + 5 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 m CC C C C R RR R R  6 ( ) 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 m CC C C C C R R R R R R R  + 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 m CC C C C C R RR R R R  7 ( ) 7 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 m CC C C C C C C R R R R R R R  + 7 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 m CC C C C C C R RR R R R R  8 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m C C C C C C C C R R R R R R R R R   + 1 2 3 4 5 6 7 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 m C C C C C C C C R R R R R R R R    9 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m C C C C C C C C C C R R R R R R R R R  +  1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m C C C C C C C C C R R R R R R R R R    10 − 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m C C C C C C C C C C R R R R R R R R R R    53 Tab. 3.9: Realizovatelnost dolní propusti dle Obr. 3.21 a) shodné odpory rezistorů n Bessel Butterworth 2 ne ne 3 ano ano 4 ano ano 5 ano ano 6 ano ano 7 ano ano 8 ano ano 9 ano ano 10 ano ano b) shodné kapacity kapacitorů n Bessel Butterworth 2 ano ano 3 ano ano 4 ano ano 5 ano ano 6 ano ano 7 ano ano 8 ano ano 9 ano ano 10 ano ano Pro usnadnění návrhu stejnosměrně přesné dolní propusti jsou v Tab. 3.10 a Tab. 3.11 uvedeny výpočetní vztahy pro parametry jednotlivých pasivních obvodových prvků až do 10. řádu včetně. Protože výpočet parametrů filtrů vyššího řádu se liší jen pro prvky s nejvyššími pořadovými čísly, které nekaskádní strukturu na spodním konci uzavírají (viz Obr. 3.21), jsou tyto společné výpočetní vztahy uvedeny v Tab. 3.10 včetně podmínek platnosti, které musí být splněny. Výpočetní vztahy pro zakončovací prvky struktury jsou pak uvedeny v Tab.3.11. Tab. 3.10: Výpočtové vztahy parametrů obvodových prvků filtru n-tého řádu z Obr. 3.21 podmínka platnosti filtr se shodnými kapacitami kapacitorů podmínka platnosti filtr se shodnými odpory rezistorů n ≥ 2 1 0 m 2 n c RC  = n ≥ 3 2 1 1 2 1,2 m 2 2 n n n c c c CR  − = n ≥ 4 2 2 2 1 3 1,2 1m n n n n n c c c c RcC  − = n ≥ 5 2 3 3 2 4 3,4 2m n n n n n c c c c CcR  − = n ≥ 6 2 4 4 3 5 3,4 3m n n n n n c c c c RcC  − = n ≥ 7 2 5 5 4 6 5,6 4m n n n n n c c c c CcR  − = n ≥ 8 2 6 6 5 7 5,6 5m n n n n n c c c c RcC  − = n ≥ 9 2 7 7 6 8 7,8 6m n n n n n c c c c CcR  − = n ≥ 10 2 8 8 7 9 7,8 7m n n n n n c c c c RcC  − = − − 54 Např. při výpočtu parametrů dolní propusti 6. řádu se shodnými kapacitami kapacitorů C1 = C2 = … = C6 = C určíme R0, R1,2 a R3,4 z Tab. 3.10 a zbývající parametr R5 pak z Tab. 3.11. Vlastnosti dolní propusti vyhodnotíme ještě z hlediska předpokládaného užití v nepřímém převodníku D/A s rozlišením 20 až 22 bitů. Protože použitá dolní propust určuje v převážné míře celkové vlastnosti převodníku, je nutno jejímu chování jak v kmitočtové, tak i v časové oblasti věnovat patřičnou pozornost. Z obvodového řešení dolní propusti (Obr. 3.21) je zřejmé, že pokud použijeme oddělovací zesilovač s jednotkovým přenosem, je celkový přenos stejnosměrného signálu jednotkový. Tolerance parametrů pasivních obvodových prvků (R1, R2, …, Rn – 1 a C1, C2, …, Cn) nemůže žádným způsobem přenos stejnosměrného signálu ovlivnit. Na vyšších kmitočtech však mohou být přenosové vlastnosti ovlivněny značně. To pak ve svém důsledku vede ke značnému prodloužení přechodového děje. Při použití filtru v nepřímém převodníku D/A může tato okolnost nepříznivě ovlivnit dobu ustálení převodníku po změně vstupních dat. Z tohoto důvodu je zapotřebí použít rezistory a kapacitory s tolerancí parametru lepší než ±1 %. Přechodný děj pak není o mnoho delší než přechodný děj dolní propusti osazené ideálními prvky. Pro nepřímé převodníky D/A se užívá aproximace dle Bessela. Použité operační zesilovače musí mít tranzitní kmitočet podstatně vyšší, než je mezní kmitočet samotné dolní propusti. Jak bylo již řečeno, pouze zesilovače, které jsou nejblíže ke stejnosměrné cestě signálu, musí být vybrány nízkošumové. Velmi výhodné také je, že operační zesilovače vlastního filtru jsou stejnosměrně odděleny (kapacitory) od cesty stejnosměrného signálu, a proto se vliv jejich vstupních zbytkových napětí ani jejich ujíždění v čase neuplatní. Vysoké nároky jsou ale kladeny na výběr operačního zesilovače oddělovacího stupně, který může vlastnosti dolní propusti znehodnotit. Tento operační zesilovač musí vykazovat vysoký diferenční vstupní odpor, dále musí mít zanedbatelnou časovou i teplotní nestabilitu zbytkového napětí, musí vykazovat zanedbatelný šum, a navíc musí mít extrémně vysoký činitel potlačení souhlasného napětí. 55 Tab. 3.11: Výpočtové vztahy parametrů zakončovacích obvodových prvků filtru z Obr. 3.21 pro n ≤ 10 n filtr se shodnými kapacitami kapacitorů filtr se shodnými odpory rezistorů 2 22 1 21 m 2c RcC  = 2 21 21 22 1,2 m 4 2 c c c CR  − = 3 2 32 32 31 33 1,2 31 m 2c c c c RcC  − = 33 3 32 m c CcR  = 4 44 3 43 m 2c RcC  = 2 43 43 42 44 3,4 42 m 2c c c c CcR  − = 5 2 54 54 53 55 3,4 53 m 2c c c c RcC  − = 55 5 54 m c CcR  = 6 66 5 65 m 2c RcC  = 2 65 65 64 66 5,6 64 m 2c c c c CcR  − = 7 2 76 76 75 77 5,6 75 m 2c c c c RcC  − = 77 7 76 m c CcR  = 8 88 7 87 m 2c RcC  = 2 87 87 86 88 7,8 86 m 2c c c c CcR  − = 9 2 98 98 97 99 7,8 97 m 2c c c c RcC  − = 99 9 98 m c CcR  = 10 1010 9 109 m 2c RcC  = 2 109 109 108 1010 9,10 108 m 2c c c c CcR  − = V náročných aplikacích může být nedokonalé potlačení souhlasného napětí operačního zesilovače OZ0 na závadu. Jestliže je totiž činitel potlačení souhlasného signálu konečný, vzniká vlivem souhlasného vstupního napětí na výstupu oddělovacího stupně chybové napětí, které je navíc značně nelineárně závislé právě na velikosti vstupního souhlasného napětí. Jak je ale známo, potlačení souhlasného napětí nečiní problémy u operačního zesilovače užitého v invertujícím zapojení. Z těchto důvodů byla navržena modifikace, u které bylo k oddělení zátěže využito invertující uspořádání operačního zesilovače. Principiální uspořádání takové dolní propusti je uvedeno na Obr. 3.22. 56 OZn/2 − + Rn−1 a Cn−1CnOZ(n−1)/2 − + Rn−2 b n sudé n liché Rn−1 Cn Cn−2Cn−1 . . . . . . OZ2 − + R3R4 u2 u1 C3C4 R01 C1C2 OZ1 − + R1R2 OZ0 − + . . . . . . OZ2 + R3R4 R02 RZ Obr. 3.22: Nekaskádní řešení dolní propusti, u které se neuplatní vliv souhlasného napětí oddělovacího zesilovače: a) pro sudý řád, b) zakončení filtru pro lichý řád filtru. Přenosová funkce filtru je pospána rovnicí (3-26), přičemž zesílení pro stejnosměrné napětí K0 = – RZ/ (R01 + R02). Pokud zvolíme R01 = R02 = 2R0 jsou koeficienty přenosové funkce cni pro n-tý řád filtru opět určeny Tab. 2.4. Výpočtové vztahy uvedené v Tab. 3.10 a Tab. 3.11 zůstávají při zvoleném R01 = R02 = 2R0 taktéž v platnosti. 4 Horní propusti 4.1 Pasivní horní propusti Pasivní horní propust RC 1. řádu. Zapojení pasivní horní propusti 1. řádu je uvedeno na Obr. 4.1a. Podobně, jako při analýze dolní propusti 1. řádu, lze přenos zapojení určit jako poměr komplexních napětí ( ) ( ) ( ) 2R 1 R C 1. 1/ 1 1/ = = = = + + + Up ZR Kp U p Z Z R pC pRC (4-1) Mezní kmitočet definovaný jako pokles modulu přenosové charakteristiky o 3 dB vůči hodnotě modulu přenosu na vysokých kmitočtech je shodný s mezním kmitočtem dolní propusti 1. řádu, tj. m1/RC=  . Využitím normované komplexní proměnné m /sp=  , přechází přenosová funkce (4-1) do tvaru 57 ( ) 1 1 1/ Ks s =+ (4-2) Jestliže přejdeme z komplexní proměnné s na normovaný úhlový kmitočet m j / js    == , bude přenosová funkce, popř. její modul a argument (fáze) určeny vztahy ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 , , arctg . 1 1/ j 1 1/       = = = ++ KK (4-3) Na Obr. 4.1b,c je uveden Bodeův diagram horní propusti 1. řádu, tj. závislost zisku ( ) ( ) 20logzK  = a argumentu ( )  na normovaném kmitočtu Ω. Porovnáním přenosové funkce horní propusti 1. řádu (4-2) a přenosové funkce dolní propusti 1. řádu (3-12) je vidět, že přenosovou funkci horní propusti získáme z dolní propusti jednoduchou transformací 1/ss→ . Tato transformace je patrná i z logaritmického vyjádření modulové charakteristiky, kdy z dolní propusti (Obr. 3.1b) lze získat modulovou charakteristiku horní propusti (Obr. 4.1b) jejím zrcadlením kolem mezního kmitočtu m  , resp. 1  = , čemuž odpovídá transformace 1/  → (resp. 1/ss→ ). Formálně pak i přenos K0 v pásmu propustnosti dolní propusti přechází na přenos K∞ v pásmu propustnosti horní propusti. V praxi se však pro označení přenosu v pásmu propustnosti horní propusti, resp. i v pásmu propustnosti ostatních typů kmitočtových filtrů, využívá označení K0. b c 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 90 45 0 φ [deg] φ(Ω) 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] 20 dB/dek 3 dB z(Ω) a C R u1 u2 Obr. 4.1: a) Pasivní horní propust RC 1. řádu a jeho b) modulová a c) argumentová charakteristika 64 ( ) 0 11 2 2 2 2 m 2 m 1 2 1. 2 1 1 1 1 1 11 K Ks ab R C s R R C s s s  == + + + + (4-14) Odtud 22 0 1 m 2 1 m 1 2 1, 2/ , 1/K a R C b RR C= = =  . Zvolíme-li 12 C C C== , bude 1 1 m 1 /4πR a f Cb= a 2 m 1 1/πR f Ca= . Horní propust 2. řádu se třemi zesilovači lze realizovat obvodem uvedeným na Obr. 2.6, využijeme-li výstup zesilovače OZ1. Zvolíme-li 12 C C C== a R3 = R4 = R5 = R6 = R, bude mít přenos (2-13) pro komplexní normovanou proměnnou m /sp=  tvar ( ) 0 11 2 2 2 2 m 1 m 1 2 1. 1 1 1 1 1 1 11 K Ks ab RC s R R C s s s == + + + +  (4-15) Z porovnání s obecnou přenosovou funkcí je zřejmé, že 0 1 m 1 1, 1/ ,K a RC  == 22 1 m 1 2 1/b R R C  = . Odtud pak 1 m 1 1/ 2πR f Ca= , 2 1 m 1 /2πR a f Cb= . 5 Pásmové propusti 5.1 Základní vlastnosti pásmových propustí Spojíme-li kaskádně za sebou horní a dolní propust 1.řádu získáme pásmovou propust. Pásmová propust je proto definována až přenosovou funkcí druhého řádu a dále pak pro vyšší řády vždy přenosovou funkcí sudého řádu, tj. 2, 4, 6 atd. Pásmové propusti se většinou charakterizují parametry kmitavého okruhu, tj. činitelem přenosu K0 na rezonančním (středním) kmitočtu f0 a činitelem jakosti Q. Obvykle se pro návrh užívá normovaný tvar přenosové funkce, kdy normovaná komplexní proměnná s je vztažena vzhledem k rezonančnímu kmitočtu 0 0 0 2π , tj. /f s p  == . Přenosová funkce pásmové propusti 2. řádu pak bude mít obecně tvar ( ) ( ) ( ) 0 2 /. 1 1/ K Q s Ks Q s s =++ (5-1) Tento způsob vyjádření umožňuje stanovit základní parametry pásmové propusti přímo z přenosové funkce. Substitucí jsΩ= , kde normovaný úhlový kmitočet 00 / / ,ff    == lze pak stanovit modulovou a argumentovou charakteristiku filtru ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 22 2 1 /, arctan . 1/ Q KQ KQ        − == −+ (5-2) Příklad průběhu modulové charakteristiky ( ) ( ) ( ) 0 20log /z K K  = pásmových propustí s činitelem jakosti Q = 1, Q = 10 a Q = 20 je uveden na Obr.5.1. Je zřejmé, že u pásmových propustí 2. řádu je průběh modulové charakteristiky tím ostřejší, čím vyšší je činitel jakosti Q. Modulová charakteristika filtru na nízkých i vysokých kmitočtech klesá se 65 sklonem ±20 dB/dek. Na rezonančním kmitočtu má přenos reálnou hodnotu a fázové natočení je na tomto kmitočtu nulové. Činitel jakosti pásmové propusti určíme podle analogie s kmitavým okruhem jako poměr rezonančního kmitočtu k šířce kmitočtového pásma B, tj. 00 h d h d 11 , ff QB f f = = = = − −     (5-3) kde fd značí dolní a fh horní kmitočet, kdy dojde k poklesu modulu přenosové funkce pásmové propusti o 3 dB, resp. d d 0 /ff  = značí dolní a n n 0 /ff  = horní normovaný úhlový kmitočet pro pokles o 3 dB a ∆  značí normovanou šířku pásma hd     = − . Protože kmitočty d  a h  jsou zrcadlově rozloženy kolem osy =1  , platí pro ně dn 1/  = . Horní a dolní mezní kmitočet pásmové propusti můžeme určit řešením rovnic Ωd = 1/Ωh a hd     = − . Odtud normovaný dolní mezní kmitočet ( ) 2 d 4 2   − +  + = (5-4) a normovaný horní mezní kmitočet ( ) 2 h 4. 2    +  + = (5-5) 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 10 5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] z(Ω) -5 0 Q=1 Q=10 Q=1 Q=10 Q=20 Obr. 5.1: Modulové charakteristiky pásmových propustí 2. řádu U pásmových propustí 2. řádu je průběh modulové charakteristik tím ostřejší, čím vyšší je jejich činitel jakosti. Existují však případy, kdy v okolí středního kmitočtu požadujeme pokud možno plochý průběh charakteristiky s ostrým poklesem za pásmem propustnosti. Takovouto úlohu lze řešit kaskádním řazením dolní a horní propusti s přenosovou funkcí aproximovanou některým z dříve uvedených způsobů. Kromě šířky pásma ΔΩ určené mezními kmitočty dolní a horní propusti je tedy možno zadat i požadovaný průběh modulové charakteristiky. Na Obr.5.2 jsou uvedeny modulové charakteristiky pásmových propustí 4. řádu získané kaskádním řazením dolní a horní propusti 2. řádu aproximovaných dle Butterwortha a dle Čebyševa se zvlněním Δz = 2 dB. Pro srovnání je v obrázku čárkovaně naznačena modulová charakteristika pásmové propusti 2. řádu realizovaná kaskádním řazením dolní a horní propusti 1. řádu, [15], [16]. 66 a Dolní propust u1 Horní propust u2 b 10-2 10-1 100102 Ω [-] 10 0 -10 -20 -30 -45 -50 z[dB] z(Ω) PP 2. řádu – Butterworth PP 4. řádu – Butterworth PP 4. řádu – Čebyšev (2 dB) 101 ΩdΩh 3 dB ΔΩ Obr. 5.2: a) Realizace pásmové propusti kaskádním řazením dolní a horní propusti, b) modulové charakteristiky pásmové propusti 4. řádu aproximované dle Butterwortha a Čebyševa se zvlněním 2 dB (čárkovaně naznačena pásmová propust 2. řádu) 5.2 Pasivní pásmové propusti Pasivní pásmová propust RC 2. řádu Jedna z možných realizací pásmové propusti, která vznikla kaskádním spojením pasivní horní a dolní propusti, je uvedena na Obr.5.3a. Zapojení se obvykle uvádí pod označením Wienův článek. Nejvyšší činitel jakosti dosahuje propust při shodných kapacitách obou kapacitorů a při shodných odporech obou rezistorů. Přenosová funkce takovéhoto kmitočtově závislého nezatíženého impedančního děliče b c 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,01 0,1 1 10 100 -90 -60 -30 0 30 60 90 0,01 0,1 1 10 100 Ω [-] φ [deg] φ(Ω) K[-] a C R u1 u2 R C K(Ω) Ω [-] Obr. 5.3: a) Pasivní pásmová propust RC (Wienův článek) a jeho b) modulová a c) fázová charakteristika 67 ( ) R C R C R C R C RC RC 1 || , 1 || Z Z Y Y Kp Z Z Z Z ZZYY + == ++ +++ (5-6) kde RR 1/Z Y R== a CC 1/ 1/Z Y pC== a tedy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1/ . 111 1/ R pC pRC Kp pRC pRC RpC R pC + == ++ ++ + (5-7) Pokud přenosovou funkci normujeme vzhledem k rezonančnímu kmitočtu 01/RC=  , tj. zavedeme normovanou komplexní proměnnou 0 /sp  = , resp. provedeme substituci 0/p s s RC  == , dostaneme přenosovou funkci ve tvaru ( ) ( ) 2 1 s Ks ss = ++ (5-8) Pokud chceme vyjádřit závislost přenosové funkce na normovaném úhlovém kmitočtu, provedeme substituci js  = a pak ( ) ( ) 2 j1 . 1 1 j j 3j K     ==  ++ +−   (5-9) Odtud určíme modulovou charakteristiku ( ) 2 1, 1 9 K    =  +−   (5-10) a fázovou charakteristiku ( ) 2 1 arctg . 3    − = (5-11) Výstupní napětí je maximální při Ω = 1, resp. při kmitočtu 00 /2π 1/ 2πf RC==  , kdy bude přenos K0 = 1/3 a fázové natočení je nulové (viz Obr.5.3b,c). Selektivní vlastnosti pásmové propusti, jak bylo již řečeno, se definují činitelem jakosti Q = f0/B, kde B je kmitočtové pásmo, na jehož okrajích poklesne modul přenosové funkce na hodnotu 0/2K vůči hodnotě při rezonančním kmitočtu, resp. zisk poklesne o 3 dB. V případě, že odpory rezistorů a kapacity kapacitorů jsou shodné, pak hodnota činitele jakosti je pouze Q = 1/3, což ale zároveň představuje i maximální dosažitelnou hodnotu parametru Q této pásmové propusti. 68 Pasivní pásmové propusti RLC 2. řádu Lepších vlastností lze dosáhnout použitím RLC prvků. V prvém případě (Obr.5.4a) je pásmová propust realizována s využitím sériového rezonančního obvodu LC. Přenosová funkce je dána vztahem ( ) R2 LCR . 1 ZRC p Kp Z Z Z RC p LC p == + + + + (5-12) Rezonanční kmitočet 0  je dán Thomsonovým vztahem 01/ LC=  a činitel jakosti //Q L C R= . c d 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 80 40 φ [deg] 0 -40 φ(Ω) Q=1 Q=10 60 20 -20 -80 -60 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 10 5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] z(Ω) -5 0 Q=1 Q=10 a C R u1 u2 L b C R u1 u2 L Obr. 5.4: Pasivní RLC pásmová propust 2. řádu: a) se sériovým rezonančním obvodem, b) s paralelním rezonančním obvodem a jejich c) modulová a d) argumentová charakteristika (Q = 1, Q = 10) V druhém případě (Obr.5.4b) pásmová propust využívá paralelního rezonančního obvodu LC a její přenos ( ) ( ) CL 2 R C L || , || 1 / ZZ RC p Kp Z Z Z L R p LC p == + + + (5-13) Rezonanční kmitočet je i v tomto případě 01/ LC=  a činitel jakosti /Q R C L= . 69 Při návrhu pasivní pásmové propusti dostačuje definovat rezonanční kmitočet ( ) 00 resp. f  a požadovaný činitel jakosti Q. Příklad průběhů modulové a argumentové charakteristiky pásmové propusti 2. řádu pro činitel jakosti Q = 1 a Q = 10 je uveden na Obr.5.5c,d. 5.3 Aktivní pásmové propusti Pásmová propust se složitou zápornou zpětnou vazbou je uspořádána podle Obr.5.5a. Přenosovou funkci určíme podle rov. (2-11) platící pro obecný obvod na Obr. 2.4. Protože 1 1 2 1 3 2 4 2 5 3 1/ , , 1/ , , 1/Y R Y pC Y R Y pC Y R= = = = = , bude ( ) ( ) 2 1 21 2 1 2 3 1 2 2 3 2 12 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 pC R Kp p C C pC pC R R R R R C p RR R R C C R R R C C pp R R R R = − =  + + + +   −+ = + ++ ++ (5-14) a b OZ R1 − + R2 u1 u2 C1R3 C2 z[dB] 0 dB f0 OZ log f [Hz] B min 40 dB PP Obr. 5.5: a) Pásmová propust se složitou zápornou zpětnou vazbou, b) požadavky na kmitočtovou charakteristiku operačního zesilovače Zavedeme-li normovanou komplexní proměnnou nyní normovanou vzhledem k rezonančnímu kmitočtu 00 2πf=  , tj. 0 /sp=  a zvolíme-li 12 C C C== , dostaneme ( ) ( ) ( ) 23 00 12 22 22 1 2 3 12 00 1 2 1 2 /. 21 1/ 1 R R C sK Q s RR Ks R R R C R R C Q s s ss R R R R   −+ == ++ ++ ++ (5-15) Srovnáme-li výsledek s obecnou přenosovou funkcí pásmové propusti, vidíme, že člen před 2 s musí být roven jedné. Z této podmínky můžeme stanovit rezonanční kmitočet 70 12 00 1 2 3 1 2π. RR fC R R R + ==  (5-16) Dále je zřejmé, že ( ) 1 2 1 2 0 1 2 3 1 2 122 R R R R C Q R R R R R  == ++ (5-17) a tedy ( ) 3 1 2 12 3 0 3 0 3 1 2 1 2 3 1 1 1 π 2 2 2 R R R RR Q R R C f R C R R R R R  ++ = = = = (5-18) a také, že 0 3 1 /2K R R=− . Je vidět, že rezonanční kmitočet, činitel jakosti a činitel přenosu při rezonanci se mohou volit libovolně, nezávisle na sobě. Vztah pro šířku pásma můžeme stanovit z rov. (5-3), tj. B = f0/Q, kdy po dosazení z rov. (5-18) dostaneme 3 1/πB R C= . Protože veličina B nezávisí na R1 a R2 a dále, protože K0 nezávisí na R2, je možno rezonanční kmitočet f0 měnit změnou odporu rezistoru R2, aniž se změní šířka propustného pásma B či přenos při rezonanci K0. Při návrhu postupujeme tak, že zvolíme 12 C C C== a pro požadovanou šířku pásma B = f0/Q vyčíslíme 30 1/π / πR BC Q f C== . Dále určíme 1 3 0 /2R R K=− pro zvolený (záporný) přenos K0. Z rov. (5-16) pak vyčíslíme odpor ( ) 22 2 1 0 1 3 /4π1R R f CR R=− . Probíraná pásmová propust má tu výhodu, že nemá sklon k oscilacím na rezonančním kmitočtu při ne zcela přesně vybraných hodnotách jednotlivých prvků. Samozřejmě se předpokládá, že operační zesilovač má provedenu standardní korekci kmitočtové charakteristiky, jinak mohou vzniknout vysokofrekvenční kmity. Další samozřejmostí pak je, že operační zesilovač má dostatečnou rezervu zesílení při rezonančním kmitočtu (viz Obr.5.5b), jinak dojde ke zkreslení kmitočtové charakteristiky filtru. Zapojení propusti na Obr.5.5a bude funkční i pro R2 = ∞. V tom případě 31 / /2Q R R= a 2 02KQ=− . Obvod však v tomto případě klade zvýšené nároky na výběr operačního zesilovače, protože ten při rezonančním kmitočtu f0, musí mít zesílení s rezervou větší než 2Q2. Např. pro Q = 100, musí mít operační zesilovač při kmitočtu f0 zesílení větší než 20 000. Pásmová propust se zesilovačem s konečným zesílením. Příklad využití slabé kladné zpětné vazby pro řešení pásmové propusti ilustruje zapojení na Obr.5.6. Principiálně se jedná o zapojení obecného filtru z Obr. 2.5 a můžeme tedy pro stanovení přenosu využít rov. (2-12). Zesílení neinvertujícího zesilovače je dáno děličem zařazeným do záporné zpětné vazby OZ, tj. U 5 4 1/A R R=+ . Aby se řešení zjednodušilo, je možno předpokládat R1 = R2 = R, R3 = 2R, 12 C C C== a tedy admitance z rov. (2-12) budou 1 2 3 4 1/ , ,Y Y R Y Y pC= = = = 51/2YR= . Pak přenosová funkce ( ) ( ) U2 2 2 U 13 A RC p Kp A RC p R C p =+ − + (5-19) a po zavedení komplexní proměnné 0 /sp  = bude přenos pásmové propusti 71 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 U0 2 2 2 2 2 U 0 0 /. 1 3 1 1/ K Q s A RC s Ks A RC s R C s Q s s == + − + + +   (5-20) R4 R3 R2− + u1 u2 C1 C2 OZ R5 R1 Obr. 5.6: Aktivní pásmová propust se zesilovačem s konečným zesílením Ze srovnání s obecným vztahem pro přenosovou funkci pásmové propusti můžeme stanovit parametry filtru. Protože člen před 2 s se musí rovnat jedné, bude 01/RC=  , resp. rezonanční kmitočet 01/ 2πf RC= . Dále pro filtr platí ( ) U 1/ 3QA=− a ( ) 0 U U /3K A A=− . Je zřejmé, že nevýhodou filtru je vzájemná závislost veličin K0 a Q. Částečnou výhodou je, že změnou zesílení AU lze měnit činitel jakosti, aniž dojde ke změně rezonančního kmitočtu, protože ten na AU nezávisí. Při návrhu je dále zapotřebí počítat s tím, že pro AU = 3 je činitel přenosu nekonečně velký a obvod se rozkmitá. Čím více se AU blíží k hodnotě 3, tím pečlivěji musí být nastavena jeho hodnota. Pásmová propust se třemi zesilovači je uvedena na Obr. 2.6, přičemž se v tomto případě využije výstup OZ2. Obvykle se volí R3 = R4 = R5 = R6 = R a 12 C C C== a pak rov. (2-14) bude mít pro komplexní proměnnou 0 /sp=  tvar ( ) ( ) ( ) 0 20 2 2 2 2 2 0 1 2 0 /. 1 1 1/ K Q s R C s Ks R C s R R C s Q s s   − == + + + + (5-21) Porovnáním s obecnou přenosovou funkcí pro pásmovou propust pak dostaneme 0 0 1 2 2π 1/f C RR==  , 2 0 0 1/ , 1  = = −Q R C K . Rezonanční kmitočet f0 lze dostavit pomocí odporu R1, aniž se změní činitel jakosti Q, nebo přenos při rezonanci K0. Další zapojení pásmových propustí lze např. dohledat v lit. [13], [14], [17]. 6 Pásmové zádrže 6.1 Základní vlastnosti pásmových zádrží Další ze základních filtračních funkcí realizuje pásmová zádrž. Podobně jako pásmová propust je definována až přenosovou funkcí 2. řádu, a dále pak pro vyšší řády přenosovou funkcí sudého řádu. Praktické využití pásmové zádrže spočívá v odfiltrování rušivé složky v užitečném signálu, kdy obecně na rezonančním kmitočtu filtru je jeho přenos nulový a pro 72 nízké a vysoké kmitočty má konstantní hodnotu K0. Stejně jako tomu je u pásmových propustí, tak i u pásmových zádrží lze hovořit o míře jejich selektivity, kdy se zavádí termín činitel jakosti potlačení signálu Q = f0/B, kde B definuje kmitočtové pásmo zadržení, na jehož okrajích poklesne modul přenosové funkce na hodnotu 0/2K , resp. zisk poklesne o 3 dB. Stejně jako u pásmové propusti pak také platí, že čím větší je činitel jakosti, tím strměji se mění modul přenosu při přechodu z propustného do nepropustného pásma. Pokud zavedeme normování komplexní proměnné vzhledem ke kmitočtu potlačení 00 2πf  = , tzn. 0 /sp  = , bude přenosová funkce pásmové zádrže ( ) ( ) 2 0 2 1 1/ Ks Ks s Q s + =++ (6-1) Odtud po dosazení za js  = snadno vyčíslíme vztahy pro modulovou a argumentovou charakteristiku filtru ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 24 2 1, arctg . 1 1 12 K KQ Q       − == −  + − +   (6-2) Průběh modulové kmitočtové charakteristiky pásmové zádrže ( ) ( ) ( ) 0 20log /z K K  = je pro Q = 1, Q = 3 a Q = 10 uveden na Obr.6.1. 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 10 5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] z(Ω) -5 0 Q=1 Q=3 Q=10 Obr. 6.1: Modulové charakteristiky pásmových zádrží 2. řádu 6.2 Pasivní pásmové zádrže Pasivní pásmové zádrže RC 2. řádu Dva příklady pasivní zádrže RC 2. řádu jsou uvedeny na Obr.6.2a,b. Budou-li odpory rezistorů a kapacity kapacitorů shodné, bude přenosová funkce v obou případech 73 c d 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,01 0,1 1 10 100 Ω [-] K[-] K(Ω) -10 -5 0 5 10 0,01 0,1 1 10 100 Ω [-] φ [deg] φ(Ω) b C R u1 u2 R C a R u1 u2 R C C Obr. 6.2: a), b) Pasivní pásmové zádrže RC 2. řádu a jejich c) modulová a d) fázová charakteristika ( ) 2 2 2 2 2 2 21 . 31 p R C pRC Kp p R C pRC ++ =++ (6-3) Pro obě varianty také bude shodný kmitočet potlačení 01/RC=  i činitel jakosti potlačení Q = 1/3, což je maximální hodnota činitele potlačení, kterou lze těmito zapojeními dosáhnout. Výstupní napětí je minimální při Ω = 1, resp. při kmitočtu 00 /2π 1/ 2πf RC==  a na nízkých a na vysokých kmitočtech se bude přenos blížit jedné K0 = 1. Průběh modulové a fázové charakteristiky je nakreslen na Obr.6.2c,d. Pasivní pásmové zádrže RLC 2. řádu Lepší potlačení signálu v okolí kmitočtu f0 lze samozřejmě dosáhnout pasivními pásmovými zádržemi RLC uvedenými na Obr.6.3a,b. Zapojení zádrže z Obr.6.3a využívá ve své struktuře paralelní rezonanční obvod, zapojení z Obr.6.3b pak sériový rezonanční obvod. V případě zapojení z Obr.6.3a lze napěťovou přenosovou funkci vyjádřit ve tvaru ( ) 2 R2 L C R 1 || / 1 Zp LC Kp Z Z Z p LC pL R + == + + + (6-4) a u zapojení z Obr.6.3b je přenosová funkce určena výrazem ( ) 2 LC 2 R L C 1. 1 ZZ p LC Kp Z Z Z p LC pCR ++ == + + + + (6-5) V případě zapojení z Obr.6.3 se tedy jedná již o pásmové zádrže v pravém slova smyslu, kdy činitel jakosti může teoreticky nabývat libovolných hodnot a přenos filtru je na kmitočtu f0 nulový. 80 ( ) ( ) zm 1 1 0 0 . π I i i T f a = ==   (7-12) Hodnoty normovaného skupinového zpoždění fázovacích článků n-tého řádu je tedy možné určit pouze z koeficientů ai, které jsou uvedeny v Tab. 7.1. V Tab. 7.1 jsou kromě koeficientů ai a bi a normovaného skupinového zpoždění Tz (0) uvedeny i hodnoty poměrů kmitočtů fi/fm, kde fi odpovídá kmitočtu, při kterém natočení fáze dílčího filtru je -90° v případě dílčího fázovacího článku 1. řádu, resp. -180° pro fázovací článek 2. řádu. Znát hodnotu kmitočtu fi je výhodné především v případě praktické realizace, neboť daný kmitočet lze změřit mnohem snadněji než mezní kmitočet skupinového zpoždění fm. Na Obr.7.1 jsou uvedeny normované kmitočtové charakteristiky skupinového zpoždění fázovacích článků 1. až 10. řádu. 0,01 0,03 0,1 0,3 Ω [-] 2,5 2,0 1,0 Tz[-] 3,0 3,5 1,5 0,5 01 3 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 n=1 Tz(Ω) Obr. 7.1: Skupinové zpoždění fázovacích článků 1. až 10. řádu v závislosti na kmitočtu Princip návrhu fázovacího článku ukážeme na příkladu. Předpokládejme, že máme realizovat zpoždění vstupního signálu s kmitočtovým spektrem od 0 do 1 kHz o čas ( ) 0 2 ms=  . Aby bylo časové zpoždění všech spektrálních složek signálu konstantní, musí být mezní kmitočet fázovacího článku vyšší nebo roven 1 kHz. Protože ( ) ( ) ( ) z m m /T T f      == , musí platit že ( ) z0 1kHz 2 ms 2,0T  = . Z Tab. 7.1 je vidět, že pro uvedený případ je nutné použít fázovací článek 7. řádu, pro který ( ) z0 2,1737T= . Mezní kmitočet fm, při kterém skupinové zpoždění poklesne na 1/ 2 vůči hodnotě Tz(0), tedy bude ( ) ( ) mz 0 / 0 2,1737/ 2 ms 1,087 kHzfT= = =  . 7.2 Aktivní fázovací články Fázovací článek 1. řádu Fázovací článek prvního řádu naznačený na Obr.7.2a [16] vykazuje pro nízké kmitočty (kdy kapacitor C vykazuje téměř nekonečnou impedanci) přenos +1 a pro vysoké kmitočty (kdy kapacitor C vykazuje téměř nulovou impedanci) přenos -1, přičemž předpokládáme R1 = R2 = R0. Argument přenosové funkce se proto mění v závislosti na kmitočtu od 0 do -180°. Obvod bude pracovat jako fázovací článek, jestliže i při středních kmitočtech je modul činitele přenosu roven jedné. 81 a b OZ R1 − + R2 u1 u2 C R R1 = R2 = R0OZ R1 − + R2 u1 u2 C R R1 = R2 = R0 Obr. 7.2: Fázovací články 1. řádu Přenosovou funkci článku z Obr.7.2a lze stanovit ve tvaru ( ) ( ) 1 1 j , resp. j . 1 1 j pRC RC K p K pRC RC −− == ++   (7-13) Podobně jako v případě přenosové funkce (7-1) můžeme stanovit odtud modulovou charakteristiku ( ) 1K=  a fázovou charakteristiku ( ) 2arctg .RC=−    (7-14) Skupinové zpoždění potom ( ) ( ) 2 2 2 d2. d1 RC RC = − = +    (7-15) Na nízkých kmitočtech bude hodnota skupinového zpoždění ( ) 02RC=  . Zavedeme-li normované přenosové funkce vzhledem ke kmitočtu mm 2πf=  , kdy skupinové zpoždění fázovacího článku poklesne na 1/ 2 vůči hodnotě na nízkých kmitočtech, tzn. Zavedeme substituci m sp=  bude ( ) m m 1 1 RCs Ks RCs − = +   Ze srovnání s obecnou přenosovou funkcí (viz rov. (7-1)) je zřejmé, že 1m .a RC=  Normované skupinové zpoždění fázovacího článku 1.řádu je pak na nízkých kmitočtech podle rov. (7-12) dáno vztahem ( ) 1m zm 0 2 . ππ a RC T f RC= = =  (7-16) Fázovací článek prvního řádu, jehož schéma je naznačeno na Obr.7.2a, může být tedy s úspěchem použit jako širokopásmový posouvač fáze. Měníme-li odpor R, je možno nastavit požadovanou velikost posunutí fáze v rozmezí od 0 do -180°, resp. nastavit skupinové zpoždění, přičemž amplituda výstupního signálu zůstává beze změny. Fázovací článek na Obr.7.2b, [10] vykazuje pro nízké kmitočty (kdy kapacitor vykazuje téměř nekonečnou impedanci) přenos -1, přičemž předpokládáme R1 = R2 = R0. Pro vysoké kmitočty (kdy kapacitor C vykazuje téměř nulovou impedanci) bude přenos +1. Obvod tedy natáčí fázi signálu od -180° (na nízkých kmitočtech) do 0° (na vysokých kmitočtech), přičemž 82 amplituda výstupního signálu se nezmění. Skupinové zpoždění lze i zde dostavit změnou odporu R. Fázovací článek 2. řádu. Příklad řešení aktivního fázovacího článku 2. řádu je nakreslen na Obr.7.3. Bude-li pro zjednodušení řešení pro pasivní prvky platit C1 = C2 = C, R4 = R5 = R, R3 = RR2/4R1 bude přenos článku ( ) 22 1 1 2 22 1 1 2 12 . 12 RC p R R C p Kp RC p R R C p −+ =− ++ (7-17) R4 − + R5 u2 OZ1 R1− + R2 u1 C1 C2 OZ2 R3 Obr. 7.3: Aktivní fázovací článek 2. řádu realizovaný pomocí pásmové propusti a sumačního zesilovače Zavedeme-li normovanou komplexní proměnnou m /sp=  , kde m  je kmitočet, při kterém skupinové zpoždění článku poklesne na hodnotu 1/ 2 vůči hodnotě na nízkých kmitočtech, bude ( ) 2 2 2 2 1 m 1 2 m 1 1 2 2 2 2 1 m 1 2 m 1 1 1 2 1 1 2 1 RC s R R C s a s b s Ks RC s R R C s a s b s − + − + = − = − + + + +   (7-18) Z porovnání vyplývá 1 1 m 2a RC=  resp. 1 1 m 1 m / 2 / 4πR a C a f C==  a dále 22 1 1 2 m b R R C=  , resp. 2 1 1 m 1 m 1 2 / / πR b a C b f aC==  . Je také zřejmé, že díky zápornému znaménku v rov. (7-18) bude základní fázové natočení na nízkých kmitočtech -180° a se zvyšujícím se kmitočtem se bude toto fázové natočení zvyšovat podle vztahu (7-6), tj. výsledné natočení fáze bude ( ) 12 1 180 2arctg . 1 a b    = − − − (7-19) 83 8 Závěr Problematiku filtrů jsme v této publikaci záměrně omezili na základní uspořádání pasivních filtrů RC a RLC a na zapojení aktivních filtrů RC s operačními zesilovači. Při zpracování publikace jsme využívali zejména literaturu [1] až [38]. Použité aproximace přenosové funkce jsou v této publikaci omezeny na tři základní aproximace, a to dle Bessela, Butterwortha a Čebyševa. Podle našich zkušeností se v drtivé většině aplikací vystačí s těmito poznatky. Jde o základní znalosti problematiky návrhu kmitočtových filtrů, které musí mít každý, kdo chce navrhovat aktivní filtry RC s netradičními aktivními prvky jako jsou OTA zesilovače, transimpedanční zesilovače, proudové konvejory nebo napěťové konvejory. Použití těchto aktivních prvků rozšiřuje kmitočtovou použitelnost aktivních filtrů až do 100 MHz. Zájemce o tuto speciální problematiku odkazujeme na naše publikace [39] až [149]. V publikaci jsou také prezentovány návrhové postupy pro konstrukci stejnosměrně přesných filtrů, které se používají pro konstrukci nepřímých D/A převodníků, které pracují s rozlišením až 23 bitů. Další podrobnosti k těmto speciálním filtrům lze dohledat v našich publikacích [31] až [37]. 84 9 Literatura [1] TIETZE, U., Ch SCHENK a E. GAMM. Electronic circuits: handbook for design and application. 2nd ed. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008. ISBN 978-3-540-00429-5. [2] TIETZE, Ulrich a Christoph SCHENK. Electronic circuits: design and applications. Berlin: SpringerVerlag, 1991. ISBN 354050608x. [3] TIETZE, Ulrich a Christoph SCHENK. Halbleiter-Schaltungstechnik. 5. Aufl. Berlin: Springer, 1980. ISBN 3540098488. [4] TIETZE, U. a Ch SCHENK. Halbleiter-Schaltungstechnik. 2., neu bearb. und wesentlich erw. Aufl. New York: Springer-Verlag, 1971. ISBN 3540052852. [5] HUELSMAN, Lawrence P. Active and passive analog filter design: an introduction. New York: McGraw-Hill, c1993. ISBN 0070308608. [6] SU, Kendall L. Analog filters. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1996. ISBN 0412638401. [7] KULARATNA, Nihal. Electronic circuit design: from concept to implementation. Boca Raton, FL: CRC Press, c2008. ISBN 9780849376177. [8] HÁJEK, Karel a Jiří SEDLÁČEK. Kmitočtové filtry. Praha: BEN - technická literatura, 2002. ISBN 8073000237. [9] GRAEME, Jerald G. Designing with operational amplifiers: applications alternatives. New York: McGraw-Hill, c1977. ISBN 007023891x. [10] GRAEME, Jerald G. Applications of operational amplifiers: third-generation techniques. New York: McGraw-Hill, [1973]. ISBN 0070238901. [11] GRAEME, Jerald G., TOBEY, Gene E. and HUELSMAN, Lawrence P. Operational amplifiers: Design and Applications. New York: McGraw-Hill, c1971. ISBN 070649170. [12] HUIJSING, Johan H. Operational amplifiers: theory and design. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, c2001. ISBN 0792372840. [13] STOUT, David a Milton KAUFAMN. Handbook of amplifier circuit design. New York: McGraw-Hill Book Company, 1976. ISBN 007061797x. [14] CLAYTON, G. B. Operational amplifiers. London: Butterworths, 1971. ISBN 0408702028. [15] DOSTÁL, Jiří. Operational amplifiers. New York: distribution for the USA, Elsevier/North-Holland, 1981. ISBN 0444417133. [16] DOSTÁL, Jiří. Operační zesilovače. Praha: BEN - technická literatura, 2005. ISBN 8073000490. [17] DOSTÁL, Jiří. Analogové a hybridní počítače. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1971. [18] DOSTÁL, Jiří. Operační zesilovače. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1981. [19] VEDRAL, Josef a Jan FISCHER. Elektronické obvody pro měřicí techniku. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 8001019500. [20] NEUMANN, Přemek a Jan UHLÍŘ. Elektronické obvody a funkční bloky 1. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 8001019810. [21] NEUMANN, Přemek a Jan UHLÍŘ. Elektronické obvody a funkční bloky 2. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2001. ISBN 800102394x. [22] VRBA, K. Analogová technika. Brno: Vysoké učení technické v Brně, 2012. s. 1-202. ISBN: 978-80214-4458-4. [23] VRBA, K. Analogová technika - numerická cvičení. Brno: Vysoké učení technické v Brně, 2013. s. 182. ISBN: 978-80-214-4727-1. [24] DOSTÁL, T., FILKA, M., SKLENÁŘ, J., VRBA, K., VRBA, R. Diplomní semináře - telekomunikace. Brno: Vysoké učení technické, 1989. [25] PUNČOCHÁŘ, Josef. Operační zesilovače v elektronice. 2. vyd. Praha: BEN - technická literatura, 1996. ISBN 8090198430. [26] JOHNS, David a Kenneth W MARTIN. Analog integrated circuit design. New York: John Wiley, c1997. ISBN 0471144487. [27] CHEN, Wai-Kai. The circuits and filters handbook. 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, c2003. ISBN 0849309123. [28] FRANCO, Sergio. Design with operational amplifiers and analog integrated circuits. 3rd ed. New York: McGraw-Hill, c2002. ISBN 0072320842. 85 [29] HERPY, Miklós a Jean-Claude BERKA. Aktive RC-Filter: Ein Lehrbuch, aktive Filterschaltungen zu entwerfen. München: Franzis, 1984. ISBN 377237011x. [30] RAUT, Rabindranath a M.N.S SWAMI. Modern analog filter analysis and design: a practical approach. Weinheim: Wiley-VCH, 2010. ISBN 9783527407668. [31] TOBOLA, P., VRBA, K. Nekaskádní syntéza aktivní dolní propusti. Slaboproudý obzor, 50, 1989. [32] TOBOLA, P., VRBA, K. Návrh aktivní dolní propusti pro měřicí účely. Sdělovací technika, 37, 1989. [33] VRBA, K. Vstupní obvody číslicových spektrálních analyzátorů a měřičů činitele přenosu. Brno: VUT, 1991. Knižnice odborných a vědeckých spisů Vysokého učení technického v Brně. ISBN 8021404922. [34] VRBA K., VRBA R. Antialiasing Lowpass Filter with a Transimpedance Opamp for ECG Signal Processing. In Biosignal 1994. Brno: 1994. p. 150 ( p.) [35] VRBA K., VRBA R. Low-Noise Bandpass Filter for ECG Analyzer. In International conference Biosignal. Brno: 1992. p. 89 ( p.) [36] VRBA K., VRBA R. Syntetic circuit elements of higher order in a low-noise highpass filter design. In SYS 1994. Lyon: 1994. p. 303 ( p.) [37] VRBA K., VRBA R. DC precision LP filter employing transimpedance operational amplifier. In SYS 1995. Brno: 1995. p. 64 ( p.) [38] HERPY, Miklós. Analoge integrierte Schaltungen: (ein Lehrbuch Schaltungen mit Operationsverstrken und analogen Multiplizierern zu entwerfen). 2. Aufl. Budapest: Akadémiai Kiadó, 1979. ISBN 9630518317. [39] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Pseudo-Differential Electronically Controllable Second-Order Band-Pass Filter Using Modified Current Differencing/Summing Units. In Proceedings of the 40th International Conference on Telecommunications and Signal Processing (TSP 2017). 2017. p. 320-324. ISBN: 978-1-5090-3981-4. [40] KOTON, J.; KUBÁNEK, D.; SLÁDOK, O.; VRBA, K.; SHADRIN, A.; USHAKOV, P. FractionalOrder Lowand High-Pass Filters Using UVCs. JOURNAL OF CIRCUITS SYSTEMS AND COMPUTERS, 2017, vol. 26, no. 12, p. 1-22. ISSN: 0218-1266. [41] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; POLÁK, J.; VRBA, K.; DOSTÁL, T. Reconnection-Less Electronically Reconfigurable Filter with Adjustable Gain Using Voltage Differencing Current Conveyor. Elektronika Ir Elektrotechnika, 2016, vol. 22, no. 6, p. 39-45. ISSN: 1392-1215. [42] JEŘÁBEK, J.; DVOŘÁK, J.; ŠOTNER, R.; METIN, B.; VRBA, K. Multifunctional current-mode filter with dual-parameter control of the pole frequency. ADV ELECTR COMPUT EN, 2016, vol. 16, no. 3, p. 31-36. ISSN: 1582-7445. [43] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. Z-copy Voltage Controlled Current Follower Differential Input Transconductance Amplifier in Controllable Biquadratic Band-Pass Filter. Elektronika Ir Elektrotechnika, 2016, vol. 22, no. 4, p. 32-36. ISSN: 1392-1215. [44] HERENCSÁR, N.; LAHIRI, A.; KOTON, J.; VRBA, K. First-Order Multifunction Filter Design Using Current Amplifiers. In Proceedings of 2016 39th International Conference on Telecommunications and Signal Processing (TSP). Vienna, Austria: 2016. p. 279-282. ISBN: 978-1-5090-1287-9. [45] KOTON, J.; KUBÁNEK, D.; VRBA, K.; SHADRIN, A.; USHAKOV, P. Universal Voltage Conveyors in Fractional-Order Filter Design. In Proc. 39t Int. Conf. Telecommunications and Signal Processing - TSP 2016. 2016. p. 1-5. ISBN: 978-1-5090-1288-6. [46] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; HERENCSÁR, N.; PROKOP, R.; LAHIRI, A.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. First-order transfer sections with reconnection-less electronically reconfigurable high-pass, all-pass and direct transfer character. Journal of Electrical Engineering, 2016, vol. 67, no. 1, p. 12-20. ISSN: 13353632. [47] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; HAVLÍKOVÁ, R.; VRBA, K.; VENCLOVSKÝ, M. Voltage-Mode CFTA-C Fifth-Order Low-Pass Filter Design and Optimization. In Proc. 9th Int. Conf. Electrical and Electronics Engineering. Bursa, Turecko: EMO YAYIN, 2015. p. 936-939. ISBN: 978-605-01-0737-1. [48] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. C. Voltage-Mode All-Pass Filter Passive Scheme Based on Floating Negative Resistor and Grounded Capacitor. In Proceedings of the 2015 22nd European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD2015). 2015. p. 400403. ISBN: 978-1-4799-9876-0. [49] HERENCSÁR, N.; JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. C. Pole Frequency and Pass-Band Gain Tunable Novel Fully-Differential Current-Mode All-Pass Filter. In Proceedings of the IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS). Lisbon, Portugal: 2015. p. 2668-2671. ISBN: 978-1-4799-8391-9. [50] ŠOTNER, R.; PETRŽELA, J.; JEŘÁBEK, J.; VRBA, K.; DOSTÁL, T. Solutions of Reconnection-less OTA-based Biquads with Electronical Transfer Response Reconfiguration. In Proceedings of 25th 86 International Conference RADIOELEKTRONIKA 2015. Pardubice: University of Pardubice, Faculty of Electrical Engineering and Informatics, 2015. p. 40-45. ISBN: 978-1-4799-8117-5. [51] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; HORNG, J.-W.; VRBA, K.; VENCLOVSKÝ, M. Voltage-Mode CFTA-C Third-Order Elliptic Low-Pass Filter Design and Optimization Using Signal Flow Graph Approach. Elektronika Ir Elektrotechnika, 2015, vol. 21, no. 2, p. 24-29. ISSN: 1392-1215. [52] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. A Modified CFTA (MCFTA) and Its Application to SITOType Current-Mode Universal Active-C Filter. Journal of Active and Passive Electronic Devices, 2015, vol. x, no. x, p. 1-9. ISSN: 1555-0281. [53] KOTON, J.; VRBA, K. Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO. VUT v Brně. 2014. s. 1-147. ISBN: 978-80-214-5067-7. [54] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. Low-Voltage Fully Cascadable Resistorless Transadmittance-Mode All-Pass Filter. In Proceedings of the 2014 IEEE 57th International Midwest Symposium on Circuits and Systems (MWSCAS 2014). College Station, Texas, USA: 2014. p. 185-188. ISBN: 978-1-4799-4132-2. [55] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. New Low-Voltage Low-Power VM All-Pass Filter Using Current Follower with Non-Unity Gain. In Proceedings of the 2014 IEEE 57th International Midwest Symposium on Circuits and Systems (MWSCAS 2014). College Station, Texas, USA: 2014. p. 571-574. ISBN: 978-1-4799-4132-2. [56] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Electronically Adjustable Triple-Input Single-Output Filter with Voltage Differencing Transconductance Amplifier. Revue Roumaine des Sciences Techniques - Serie Électrotechnique et Énergétique, 2014, vol. 59, no. 2, p. 163-172. ISSN: 0035-4066. [57] HERENCSÁR, N.; MINAEI, S.; KOTON, J.; VRBA, K. Voltage-Mode All-Pass Filter Design Using Simple CMOS Transconductor: Non-Ideal Case Study. In Proceedings of the 2015 38th International Conference on Telecommunications and Signal Processing (TSP). Berlin, Germany: 2014. p. 677681. ISBN: 978-1-4799-8497-8. [58] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; METIN, B. Voltage-mode multifunction filter with mutually independent Q and w0 control feature using VDDDAs. ANALOG INTEGRATED CIRCUITS AND SIGNAL PROCESSING, 2014, vol. 2014, no. 1, p. 1-8. ISSN: 0925-1030. [59] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; METIN, B. The VDDDA in Multifunction Filter With Mutually Independent Q and w0 Control Feature. In Proc. 8th Int. Conf. Electrical and Electronics Engineering - ELECO 2013. Turecko: 2013. p. 53-56. ISBN: 978-605-01-0504-9. [60] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. New Current-Mode All-Pass Filter With Grounded Capacitor Based on Gain-Variable CCIII. In Proceedings of the IEEE Region 8 AFRICON 2013. Pointe Aux Piments, Mauritius: IEEE, 2013. p. 559-562. ISBN: 978-1-4673-5943-6. [61] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. General Current-Mode Filtering Structure with Controllable Current Active Elements. In Proceedings of the 36th International Conference on Telecommunications and Signal Processing (TSP 2013). 2013. p. 402-406. ISBN: 978-1-4799-0403-7. [62] HERENCSÁR, N.; MINAEI, S.; KOTON, J.; YUCE, E.; VRBA, K. New Resistorless and Electronically Tunable Realization of Dual-Output VM All-Pass Filter Using VDIBA. ANALOG INTEGRATED CIRCUITS AND SIGNAL PROCESSING, 2013, vol. 74, no. 1, p. 141-154. ISSN: 09251030. [63] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Adjustable band-pass filter with current active elements: two fully-differential and single-ended solutions. ANALOG INTEGRATED CIRCUITS AND SIGNAL PROCESSING, 2013, vol. 74, no. 1, p. 129-139. ISSN: 0925-1030. [64] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; LAHIRI, A.; METIN, B.; VRBA, K. A Voltage Gain-Controlled Modified CFOA And Its Application in Electronically Tunable Four-Mode All-Pass Filter Design. International Journal of Advances in Telecommunications, Electrotechnics, Signals and Systems, 2012, vol. 1, no. 1, p. 20-25. ISSN: 1805-5443. [65] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; METIN, B. Fully Cascadable Dual-Mode All-Pass Filter Based on Single DBTA. In Proceedings of the 2012 35th International Conference on Telecommunications and Signal Processing (TSP). Prague, Czech Republic: 2012. p. 374-377. ISBN: 978-1-4673-1118-2. [66] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Comparison of the SITO Current-Mode Universal Filters Using Multiple-Output Current Followers. In Proceedings of the 35th International Conference on Telecommunications and Signal Processing (TSP 2012). 2012. p. 406-410. ISBN: 978-1-4673-1118-2. [67] METIN, B.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. A CMOS DCCII with a Grounded Capacitor Based Cascadable All-Pass Filter Application. Radioengineering, 2012, vol. 21, no. 2, p. 718-724. ISSN: 1210-2512. [68] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A.; METIN, B. Novel Dual-Mode Electronically Tunable All-Pass Filter Using Voltage Gain-Controlled MCFOA. In Proceeding of the 13th 87 International Conference on Optimization of Electrical and Electronic Equipment (OPTIM 2012). Brasov: 2012. p. 1199-1202. ISBN: 978-1-4673-1653-8. [69] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A.; METIN, B. Novel Dual-Mode Electronically Tunable All-Pass Filter Using Voltage Gain-Controlled MCFOA. Book of Abstracts of the 13th International Conference on Optimization of Electrical and Electronic Equipment (OPTIM 2012). Brasov: 2012. p. 219-219. ISBN: 1842-0133. [70] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; METIN, B.; CICEKOGLU, O. Low-Voltage Two NMOS IVB-Based Voltage-Mode First-Order All-Pass Filter With Tuning. In Proceedings of the 11th International Conference on Development and Application Systems (DAS 2012). Suceava: 2012. p. 119121. ISBN: 978-606-571-815-9. [71] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J. A Novel Current-Mode KHN-Equivalent Biquad Using Three CFTAs. Journal of Active and Passive Electronic Devices, 2012, vol. 7, no. 3, p. 201-208. ISSN: 1555-0281. [72] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Comparison of the Fully-Differential and Single-Ended Solutions of the Frequency Filter with Current Followers and Adjustable Current Amplifier. In ICN 2012 : The Eleventh International Conference on Networks. Reunion, France: IARIA, 2012. p. 50-54. ISBN: 978-1-61208183-0. [73] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A. Single GCFDITA and Grounded Passive Elements Based General Topology for Analog Signal Processing Applications. In Proceedings of the Eleventh International Conference on Networks - ICN 2012. 2012. p. 59-62. ISBN: 978-1-61208-183-0. [74] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I. Voltage-Controlled Current-Mode Multifunction Filter Employing CFTAs and PCAs. Journal of Active and Passive Electronic Devices, 2012, vol. 7, no. 1-2, p. 61-69. ISSN: 1555-0281. [75] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Tunable universal filter with current follower and transconductance amplifiers and study of parasitic influences. Journal of Electrical Engineering, 2011, vol. 62, no. 6, p. 317-326. ISSN: 1335-3632. [76] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Comparison of Fully-Differential and SingleEnded Current-Mode Band-Pass Filters with Current Active Elements. In Proceedings of 7th International Conference on Electrical and Electronics Engineering - ELECO 2011, Volume 2. Bursa, Turkey: EMO, 2011. p. 100-104. ISBN: 978-605-01-0208-6. [77] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. PWL Function Approximation Circuit with Diodes and Current Input and Output. In Proceedings of the 10th WSEAS International Conference on System Science and Simulation in Engineering (ICOSSSE 11). Penang, Malaysia: WSEAS Press, 2011. p. 235-239. ISBN: 978-161804-042-8. [78] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; ŠEVČÍK, B.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. Novel Solution of Notch/All-pass Filter with Special Electronic Adjusting of Attenuation in the Stop Band. Elektronika Ir Elektrotechnika, 2011, vol. 17 (2011), no. 7 (113), p. 37-42. ISSN: 1392-1215. [79] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K.; JELÍNEK, M. Universal Fully-Differential Adjustable Filter with Current Conveyors and Current Amplifier in Comparison with Single-Ended Solution. In 2011 International Conference on Applied Electronics. Plzeň: University of West Bohemia, 2011. p. 189-192. ISBN: 97880-7043-987-6. [80] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Design of Fully-Differential Filters with nth-order Synthetic Elements and Comparison with Single-Ended Solution. In Proceedings of the 2011 IEEE 3rd International Conference on Communication Software and Networks (ICCSN 2011). Xi'an, China: IEEE, 2011. p. 437-441. ISBN: 978-1-61284-485-5. [81] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S. Electronically Tunable MOSFET-C VoltageMode All-Pass Filter Based on Universal Voltage Conveyor. In Proceedings of 2011 International Conference on Computer and Communication Devices (ICCCD 2011). Bali Island, Indonesia: IEEE, 2011. p. 53-56. ISBN: 978-1-4244-9831-4. [82] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; LATTENBERG, I.; VRBA, K. Current-Mode Multifunction Filter Using Single Multi-Output Current Amplifier. Journal of Active and Passive Electronic Devices, 2011, vol. 6, No. 3-4, p. 209-215. ISSN: 1555-0281. [83] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. KHN-equivalent voltage-mode filters using universal voltage conveyors. AEU - International Journal of Electronics and Communications, 2011, vol. 2011, no. 2, p. 154-160. ISSN: 1434-8411. [84] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Current-mode tunable and adjustable filter with digitally adjustable current amplifier and transconductance amplifiers. In Proceedings of the European Conference of Circuits Technology and Devices (ECCTD'10). NAUN, 2010. p. 101-104. ISBN: 978-960-474-250-9. 88 [85] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. Realization of Current-Mode KHN-Equivalent Biquad Using Current Follower Transconductance Amplifiers (CFTAs). IEICE TRANSACTIONS ON FUNDAMENTALS OF ELECTRONICS COMMUNICATIONS AND COMPUTER SCIENCES, 2010, vol. 93, no. 10, p. 1816-1819. ISSN: 0916-8508. [86] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A. Novel mixed-mode KHN-equivalent filter using z-copy CFTAs and grounded capacitors. In In Proceedings of the 4th International Conference on Circuits, Systems and Signals (CSS'10). WSEAS, 2010. p. 87-90. ISBN: 978-960-474-208-0. [87] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Fully-Differential Universal Filter with Current Active Elements. In In Proceedings of the 4th International Conference on Circuits, Systems and Signals (CSS'10). WSEAS, 2010. p. 83-86. ISBN: 978-960-474-208-0. [88] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. Multifunctional adjustable CM biquads based on distributed feedback VM prototype with OTA-s. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2010, vol. 97, no. 7, p. 797-809. ISSN: 0020-7217. [89] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Single-input three-output variable Q and w0 filters using universal voltage conveyors. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2010, vol. 97, No. 5, p. 531-538. ISSN: 0020-7217. [90] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. SIMO type low-input and high-output impedance current-mode universal filter employing three universal current conveyors. AEU - International Journal of Electronics and Communications, 2010, vol. 64, no. 6, p. 588-593. ISSN: 1434-8411. [91] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I. New voltage-mode universal filter and sinusoidal oscillator using only single DBTA. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2010, vol. 97, no. 4, p. 365-379. ISSN: 0020-7217. [92] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Single-Input Three-Output Current-Mode Filter Using Dual-Output Current Conveyors. In Int. Conference on Electrical and Electronics Engineering - ELECO 2009. Vol. 2. Turkey: EMO Yayinlari, 2009. p. 263-266. ISBN: 978-9944-89-820-1. [93] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Second-Order Multifunction Filter with Fully Differential Current Follower. In Proceedings of the 6th International Conference on Electrical and Electronics Engineering. 2. Bursa, Turkey: UCTEA, 2009. p. 252-255. ISBN: 978-9944-89-820-1. [94] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Electronically Tunable Current-Mode Low-Pass Filter. In Int. Conference on Electrical and Electronics Engineering - ELECO 2009. Vol. 2. Turkey: EMO Yayinlari, 2009. p. 260-262. ISBN: 978-9944-89-820-1. [95] (http://www.elektrorevue.cz), 2009, vol. 2009, no. 45, p. 1-4. ISSN: 1213-1539. [96] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J. A new electronically tunable voltage-mode active-C phase shifter using UVC and OTA. IEICE Electronics Express, 2009, vol. 6, no. 17, p. 1212-1218. ISSN: 1349-2543. [97] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. Single UCC-N1B 0520 Device as a Modified CFOA and Its Application to Voltageand Current-Mode Universal Filters. In Proceedings of the International Conference Applied Electronics 2009. Pilsen: ZČU v Plzni, 2009. p. 127-130. ISBN: 978-80-7043-781-0. [98] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. Single CCTA-Based Voltageand Current-Mode Universal Biquadratic Filters Employing Minimum Components. International Journal of Computer and Electrical Engineering, 2009, vol. 1, no. 3, p. 316-319. ISSN: 1793-8163. [99] KOTON, J.; VRBA, K.; HERENCSÁR, N. Tuneable filter using voltage conveyors and current active elements. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2009, vol. 96, no. 8, p. 787-794. ISSN: 0020-7217. [100] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J.; LATTENBERG, I. The conception of differential-input buffered and transconductance amplifier (DBTA) and its application. IEICE Electronics Express, 2009, vol. 6, no. 6, p. 329-334. ISSN: 1349-2543. [101] KOTON, J.; VRBA, K.; HERENCSÁR, N. Variable Q and w0 Multifunction Filter Using Universal Voltage Conveyors. In Proceedings of the 2009 RISP International Workshop on Nonlinear Circuits and Signal Processing. 2009. p. 597-600. ISBN: 978-4-9902856-1-6. [102] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Filter with Differential Input/Output Current Followers Based on Passive RLC Prototype. In Proceedings of the 2009 RISP International Workshop on Nonlinear Circuits and Signal Processing. Japonsko: RISP, 2009. p. 1-4. ISBN: 978-4-9902856-1-6. [103] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Tunable Universal Filter Using Multiple-Output Current Followers. In Proceedings of the 2009 RISP International Workshop on Nonlinear Circuits and Signal Processing. Japonsko: Research Institute of Signal Processing Japan, 2009. p. 601-604. ISBN: 978-4-9902856-1-6. [104] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MIŠUREC, J. A Novel Current-Mode SIMO Type Universal Filter Using CFTAs. Contemporary Engineering Sciences, 2009, vol. 2, no. 2, p. 5966. ISSN: 1313-6569. 89 [105] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J.; LATTENBERG, I. Six-Input One-Output Current-Mode Universal Filter Using CMIs and CFTAs. International Transaction on Computer Science and Engineering, 2008, vol. 50, no. 1, p. 55-62. ISSN: 1738-6438. [106] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I.; MIŠUREC, J. Generalized Design Method for Voltage-Controlled Current-Mode Multifunction Filters. In Proceedings of the 16th Telecommunications Forum TELFOR 2008. Belgrade, Serbia: 2008. p. 400-403. ISBN: 978-86-7466337-0. [107] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Frequency Filters Synthesis Based on the Signal-Flow Graphs. In Proceedings of the 16th Telecommunications Forum TELFOR 2008. Belgrade, Serbia: 2008. p. 404-407. ISBN: 978-86-7466-337-0. [108] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; VRBA, K. Generalized Design Method of Multifunctional Frequency Filters. International Transaction on Computer Science and Engineering, 2008, vol. 49, no. 1, p. 8592. ISSN: 1738-6438. [109] MINARČÍK, M.; VRBA, K. Voltage Conveyors and Its Applications. International Transactions on Communication and Signal Processing, 2008, vol. 19, no. 10, p. 1-9. ISSN: 1738-9682. [110] KOTON, J.; VRBA, K. Designing Pure Current-Mode Frequency Filter Using the MCMI. International Transaction on Computer Science and Engineering, 2008, vol. 49, no. 1, p. 197-203. ISSN: 1738-6438. [111] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. State-Variable Higher-Order Filters with Differential Input/Output Current Followers. International Transaction on Computer Science and Engineering, 2008, vol. 49, no. 1, p. 186-196. ISSN: 1738-6438. [112] MINARČÍK, M.; VRBA, K. Single-Input Six-Output Voltage-Mode Filter Using Universal Voltage Conveyors - IF 0,287. IEICE TRANSACTIONS ON FUNDAMENTALS OF ELECTRONICS COMMUNICATIONS AND COMPUTER SCIENCES, 2008, vol. E91-A, no. 8, p. 2035-2037. ISSN: 0916-8508. [113] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Tunable Current-Mode Multifunction Filter Using Universal Current Conveyors. In Proceedings of the Third International Conference on Systems, ICONS 2008. Cancun, Mexico: IEEE Computer Society, 2008. p. 1-6. ISBN: 978-0-7695-3105-2. [114] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Novel Universal Filter Using Only Two Current Active Elements. In Proceedings of the Third International Conference on Systems, ICONS 2008. Cancun, Mexico: IEEE Computer Society, 2008. p. 285-289. ISBN: 978-0-7695-3105-2. [115] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Second-Order State-Variable Filter with Current Operational Amplifiers. In International Conference on Systems ICONS 2008. Cancun, Mexico: IEEE, Computer Society, 2008. p. 1-5. ISBN: 978-0-7695-3105-2. [116] LATTENBERG, I.; VRBA, K. Filters eliminating input impedance of input current terminal for highspeed analog signal processing. In Proc. of The Seventh International Conference on Networking (ICN 2008). Cancun, Mexico: IEEE Computer society, 2008. p. 567-571. ISBN: 978-0-7695-3106-9. [117] KOTON, J.; VRBA, K. Electronically Tunable Frequency Filters Based on Transformation Cells. In The Third International Conference on Systems. Cancun: 2008. p. 260-264. ISBN: 978-0-7695-3105-2. [118] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Current conveyors-based circuits using novel transformation method. IEICE Electronics Express, 2007, vol. 4, no. 21, p. 650-656. ISSN: 1349-2543. [119] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Circuit Transformation Method from BOTA Circuits into UCC-based Circuits. International Transaction on Computer Science and Engineering, 2007, vol. 43, no. 1, p. 916. ISSN: 1738-6438. [120] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Influence of the Amplifier Non-Idealities on the Current-Mode MFB LowPass Filter. International Transactions on Communication and Signal Processing, 2007, vol. 10, no. 8, p. 114-121. ISSN: 1738-9682. [121] KOTON, J.; VRBA, K. Multifunctional Frequency Filter Using Four Current Conveyors CCII. In Proceedings of the 12th IFIP International Conference, Prague. 2007. p. 1-9. ISBN: 978-0-387-741581. [122] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Multifunction Filters. In Proceedings of the 12th IFIP International Conference on Personal Wireless Communications. 2007. p. 1-12. ISBN: 978-0-387-74158-1. [123] KOTON, J.; VRBA, K. New Multifunctional Frequency Filter Working in Current-mode. Mobile and Wireless Communication Networks, 2007, vol. 2007, no. 245, p. 569-577. ISSN: 1571-5736. [124] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. RF Pure Current-Mode Filters using Current Mirrors and Inverters. Mobile and Wireless Communication Networks, 2007, vol. 2007, no. 9, p. 545-556. ISSN: 1571-5736. [125] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Multifunction RF Filters Using OTA. Mobile and Wireless Communication Networks, 2007, vol. 245, no. 1, p. 557-568. ISSN: 1571-5736.