Matematika: Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Učební texty vysokých škol MATEMATIKA Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová © Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D., RNDr. Milana Faltusová, 2024 Tato publikace podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora — Neužívejte dílo komerčně — Nezpracovávejte 4.0 Mezinárodní ISBN 978-80-214-6293-9 Obsah Předmluva ........................................................................................................................ 9 1 Základy matematické logiky a teorie množin .......................................................... 11 1.1 Výroky a operace s nimi ............................................................................................ 11 1.2 Množiny a operace s nimi ......................................................................................... 13 1.3 Zobrazení .................................................................................................................. 17 1.4 Základní množiny bodů ............................................................................................. 19 1.5 Matematické axiomy, definice, věty a důkazy .......................................................... 21 2 Základní poznatky o číselných oborech ................................................................... 24 2.1 Přirozená čísla ........................................................................................................... 24 2.2 Celá čísla ................................................................................................................... 27 2.3 Racionální čísla ......................................................................................................... 29 2.4 Reálná čísla ............................................................................................................... 32 2.5 Komplexní čísla ......................................................................................................... 39 3 Algebraické výrazy ..................................................................................................... 41 3.1 Mnohočleny ............................................................................................................... 41 3.2 Racionální lomené výrazy ......................................................................................... 47 3 .3 Iracionální výrazy ...................................................................................................... 50 4 Algebraické rovnice a nerovnice ............................................................................... 52 4.1 Základní pojmy ......................................................................................................... 52 4.2 Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou ..................................................... 54 4.3 Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ................................................................ 62 4.4 Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ............................................ 64 4.5 Soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými .................................................. 66 4.6 Kvadratické rovnice a nerovnice ............................................................................... 68 4.7 Iracionální rovnice a nerovnice ................................................................................. 72 4.8 Rovnice s parametry .................................................................................................. 75 4.9 Vyjadřování neznámé z technických vzorců ............................................................. 78 5 Funkce ......................................................................................................................... 80 5 .1 Základní poj my ......................................................................................................... 80 5.2 Vlastnosti funkcí ....................................................................................................... 82 5.3 Elementární funkce ................................................................................................... 83 5 .4 Funkce prostá a inverzní ........................................................................................... 85 5.5 Funkce exponenciální a logaritmická ........................................................................ 88 5.6 Exponenciální a logaritmické rovnice ...................................................................... 91 5.7 Oblouková míra, orientovaný úhel ............................................................................ 95 5.8 Goniometrické funkce ............................................................................................... 96 5.9 Goniometrické rovnice ............................................................................................ 103 5 .1 O Goniometrický tvar komplexních čísel ................................................................. 106 5 .11 Konstrukce grafů funkcí ........................................................................................ 109 5.12 Posloupnosti .......................................................................................................... 114 7 6 Planimetrie ................................................................................................................ 119 6.1 Úhel ......................................................................................................................... 119 6.2 Trojúhelník .............................................................................................................. 120 6.3 Kružnice a kruh ....................................................................................................... 122 6.4 n-úhelníky ............................................................................................................... 126 6.5 Pravoúhlý trojúhelník .............................................................................................. 127 6.6 Obecný trojúhelník .................................................................................................. 132 6.7 Obvody a obsahy geometrických obrazců .............................................................. 136 6.8 Zobrazení v rovině .................................................................................................. 139 7 Analytická geometrie v rovině ................................................................................ 147 7.1 Úsečka ................. .. ................................. ... ....... .. ..................................................... 147 7.2 Vektory v rovině . ... .... ... ..................................... .... .................. .. ........... .. ................. 147 7.3 Přímka v rovině ....................................................................................................... 153 7.4 Dvě přímky v rovině ................. .. ....... ... .................... .. ····:······································· 159 7.5 Kuželosečky ............................................................................................................ 161 8 Stereometrie ........... .. ....................... .. .......................... .. .... ........................................ 167 8.1 Polohové vlastnosti v prostoru ................................................................................ 167 8.2 Metrické vlastnosti v prostoru ................................................................................. 168 8.3 Geometrická tělesa .................................................................................................. 171 8.4 Objemy a povrchy těles ........................................................................................... 174 9. Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika .................. 180 9.1 Kombinatorika .......................................... ... ............................. ... ............................ 180 9.2 Binomická věta ........................................................................................................ 187 9.3 Základy teorie pravděpodobnosti .......................................... .. .................. .. ... ......... 188 9.4 Úvod do statistiky .................................................................................................... 195 Ukázka přijímacího testu z matematiky .. ... .............................................................. 203 Použitá literatura ................................................. .. .... .. ................................................ 205 8 Předmluva Vážení uchazeči o studium, jedním z nejdůležitějších předmětů na Fakultě strojního inženýrství v Brně v prvních dvou ročnících studia je matematika. Tento předmět dělá mnohým studentům potíže. Kamenem úrazu je především první semestr, který mnozí studenti_ nezvládnou. Příčinou nezdaru však nebývá obtížnost vysokoškolské matematiky, ale hrubé nedostatky v matematice středoškolské. K úspěšnému absolvování FSI VUT jsou nutné znalosti vybraných partií středoškolské matematiky v rozsahu, který"]e uveden v tomto textu. Jsme si vědomi toho, že na naši fakultu se hlásí absolventi různých typů škol, kteří studovali matematiku v různém rozsahu a mnohé požadované znalosti nemají. Naše škola i těmto uchazečům dává možnost studium zahájit a případné nedostatky ve středoškolské matematice postupně odstranit. Přijímací zkoušky z matematiky jsou totiž nastaveny tak, že lze uspět i s určitými mezerami a se znalostmi podstatně povrchnějšími, než které jsou ke studiu skutečně potřeba (ukázku přijímacího testu nejdete v závěru tohoto textu). Student, který se při zahájení studia spoléhá jen na svůj úspěch u přijímacích zkoušek, se ovšem vystavuje značnému riziku. Mezery ve středoškolské látce jsou většinou odhaleny velmi brzy. Vysokoškolské studium je náročné na čas, doplňování středoškolské látky během semestru bývá často obtížné, a proto mnoho studentů končí se studiem hned u první zkoušky z matematiky. Tento text může posloužit nejen těm, kteří se k přijímacím zkouškám připravují, ale i těm, kteří již zkoušky úspěšně zvládli, ale obávají se podobných neúspěchů při přechodu na vysokou školu. Prostudování tohoto textu a propočítání řešených i neřešených příkladů podstatně sníží riziko podobných potíží. Přejeme Vám hodně úspěchů ve studiu. Autoři Text je součástí řešení výzkumného záměru CEZ: 122/98231100009 „Netradiční metody studia komplexních a neurčitých systémů". 9 1 Základy matematické logiky a teorie množin Není jisté, zda žil Homér. Bezpečně víme jen to, že byl slepý .... (ze školních lavtc) 1.1 Výroky a operace s nimi Vyjadřovací prostředky matematiky, s nimiž se setkáváme v učebnicích a dalších matematických textech, se skládají z běžného spisovného jazyka a z jazyka speciálního. Do tohoto speciálního jazyka je třeba zahrnout matematickou terminologii a symboliku a dále grafy, schémata, diagramy a tabulky. Symboly (znaky) umožňují . matematice stručné vyjadřování. Uvažovaným objektům přiřadíme název Gméno) a symbol, který bude daný objekt zastupovat: čtyři (4), Ludolfovo číslo (1t), funkce (/) apod. Konstanty -jsou objekty, které mohou nabývat jediné hodnoty. Označujeme je buď přímo touto hodnotou (číslem) nebo písmenem zpravidla z počátku abecedy ( a, b, c, ... ), popř. speciálními symboly (1t). Proměnné -jsou objekty, které mohou nabývat více hodnot. Označujeme je zpravidla písmeny z konce abecedy ( ... , x, y, z). Výrok - je sdělení Gazykový výraz), o kterém má smysl rozhodovat, zda se jedná o sdělení pravdivé či nepravdivé, přičemž může nastat právě jedna z těchto dvou možností. Gramaticky má výrok vždy formu oznamovací věty. Věta „úhlopříčky v rovnoběžníku se půlí" je výrok, a to výrok pravdivý. Věta „každé prvočíslo je liché" je výrok, a to výrok nepravdivý. Věta „existují mimozemské civilizace" je výrok. Má smysl se ptát, zda je to pravda nebo ne, o pravdivosti či nepravdivosti však prozatím nedovedeme rozhodnout. Takové výroky se nazývají hypotézy. Věta „Kolik je hodin?" není výrok (nemá smysl se ptát zda je věta pravdivá či nikoli). Operace s výroky: Z daných výroků lze tvořit výroky nové pomocí následujících operací: Název operace Význam Negace p p neplatí paq Označení Kdy ie výrok pravdivý? -,p Je-li p pravdivý, je -,p nepravdivý, je-li p nepravdivý, je -,p pravdivý. p I\ q Oba výroky p, q musí být pravdivé. Konjunkce p, q Disjunkce p, q Implikace p,q p nebo q pvq Alespoňjedenzvýroků p,q musí být pravdivý. Jestliže p, pak q p ⇒ q Jsou-li oba výroky pravdivé, nebo p nepravdivý. U složitějších konstrukcí lze pravdivost zjišťovat pomocí tzv. tabulky pravdivostních hodnot: 1. Příklad: Uvažujme dva výroky: Výrok p: ,,odpoledne budu doma", výrok q: ,,Budu se dívat na televizi". Tyto výroky spojme spojkou „a": p Aq: ,,odpoledne budu doma a budu se dívat na televizi". Pravdivost tohoto výroku bude záviset na pravdivosti nebo nepravdivosti výchozích výroků p;q. Musíme uvažovat čtyři různé situace tak,jakje zachycují první dva sloupce následující tabulky Gedriička znamená: výrok je pravdivý, nula: výrok je nepravdivý). 11 p q pAq pvq p ⇒ q ,(pAq) -,p -,q (-,p)v (,q) (-,p)vq (,q) ⇒ (-,p) 1 1 1 D 1 o o o o 1 1 1 o o 1 o 1 o 1 1 o o o 1 o 1 D 1 1 o 1 1 1 o o o o 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 První řádek tedy znamená, že skutečně sedím doma (p je pravdivý) a opravdu se dívám na televizi ( q je rovněž pravdivý). Druhý řádek -jsem doma (p je pravdivý), ale na televizi se nedívám ( q je nepravdivý). Třetí -nejsem doma, dívám se na televizi (např. u spolužáka) a konečně čtvrtýnejsem doma, nedívám se na televizi (např. venku hraji fotbal). Výrok p I\ q: ,,odpoledne budu doma a budu se dívat na televizi" bude pravdivý pouze v prvním případě (viz sloupec 3). Spojku nebo jsme běžně zvyklí používat spíše ve vylučovacím smyslu (buď -anebo) - v tom případě by musela být v prvním řádku čtvrtého sloupce nula. V matematice je třeba tuto spojku chápat ve smyslu „nevylučovacím" -výrok p v q je nepravdivý jedině tehdy, jsou-li nepravdivé oba výchozí výroky (viz sloupec 4). Pravdivostní hodnota implikace dělá studentům největší potíže. Třetí řádek pátého sloupce se často interpretuje jako „z nepravdy plyne pravda" a zdá se zcela nepochopitelné, že by toto jako celek mohl být pravdivý výrok. Vraťme se však k našemu příkladu. Výrok p ⇒ q pak zní: ,,Jestliže budu doma, pak se budu dívat na televizi" a je třeba vycházet z „presumce neviny": Říkám, co budu dělat v případě, že budu doma. O tom, co budu dělat, když doma nebudu, neříkám vůbec nic. Mimo domov si mohu dělat, co chci a nemohu lhát -musím mít tudíž pravdu -viz třetí a čtvrtý řádek pátého sloupce. Při podrobnějším studiu matematické logiky bychom se skutečně přesvědčili, že z nepravdivého předpokladu lze matematickými prostředky odvodit naprosto cokoli -nepravdu i pravdu. Náš příklad má pouze ilustrační charakter. Matematikům je samozřejmě zcela jedno, kdo se kde a s kým dívá na televizi. Tento aparát se používá při dokazování matematických tvrzení. Většina z těchto tvrzení (matematických vět) má podobu implikace, např. ,,Jestliže je číslo dělitelné šesti, pak je dělitelné dvěma". Někdy je výhodnější nedokazovat výrok p ⇒ q, ale např. výrok ( ,q) ⇒ (-,p) (,,Jestliže číslo není dělitelné dvěma pak není dělitelné šesti"), který „tvrdí totéž" - je ekvivalentní, jak je zřejmé z pátého a jedenáctého sloupce naší tabulky. Ekvivalentní je dokonce i výrok ( ,q) v p (,,Číslo není dělitelné dvěma nebo je dělitelné šesti), což už na první pohled vůbec není zřejmé (viz sloupec 10). Výrokové formy - jsou výrazy, které obsahují jednu nebo více proměnných a které se po dosazení hodnot za proměnnou stanou výroky. Například výraz x2 = 1 je výrokovou formou, která se po dosazení + 1 nebo -1 za proměnnou x změní v pravdivý výrok. Dosazením libovolné jiné hodnoty se stane výrokem nepravdivým. Kvantifikované výroky: dosazení konstant za proměnné není jediný způsob, jak z výrokové formy vytvořit výrok. Druhou možností je doplnění údaje o počtu hodnot, pro které daná výroková forma platí. Např. věta „existují tři čísla x, pro která platí x < 5" je výrok, a to výrok pravdivý. Čisla, pro která tato nerovnost platí, jsou např. 2,3,4 a není to samozřejmě jediná možnost. Věta „Existují dvě různá čísla x, pro která platí lxl::::: O" je výrok nepravdivý, 12 neboť tato nerovnost platí jedině pro nulu. Takové výroky se nazývají kvantifikované. Zcela zásadní význam mají v matematice tři typy kvantifikovaných výroků: Název výroku Význam Zá�is Příklad obecný Pro každé x platí, .... Vx: I výroková forma I Vx:x2 � O existenční Existuje alespoň jedno x, pro které platí. ... :lx : I výroková forma I :lx: x2 ::; 1 oexistenci Existuje právě jedno x, :l ! x : I výroková forma I :l!x: x2::; O aj ednoznačnosti pro které platí.. .. Tvoření negací: Negace tvrdí opak. Negaci každého výroku můžeme vytvořit zcela mechanicky použitím obratu „není pravda, že ... " a zopakovat původní výrok. Např. negací výroku „číslo dvě je liché" je výrok „není pravda, že číslo dvě je liché". Takto utvořené negace jsou však značně těžkopádné a negace se většinou tvoří jinými prostředky v závislosti na charakteru tvrzení (v tomto případě je negací výrok „číslo dvě je sudé"). Negace obecného a existenčního výroku: Uvažujme výrok Vx: x2 � O, tj. výrok „pro každé x platí, že jeho druhá mocnina je větší nebo rovna nule" (stručněji „druhá mocnina každého čísla je nezáporná"). Negací tohoto výroku je výrok „Existuje alespoň jedno x, jehož druhá mocnina je záporná". Negací obecného výroku Vx: x2 � O je tedy existenční výrok :lx: x2 <O. Tedy -, (vx: x2 �O) je totéž, jako :lx:-,( x2 �O) neboli :lx: x2 <O. Podobně negací existenčního výroku je výrok obecný, např.: .(:lx: lxl < o) je totéž, jako Vx : -, (lxl < O), tedy Vx : lxl � O. Platí tedy: Negaci kvantifikovaného výroku utvoříme záměnou kvantifikátoru a negací výrokové formy. 1.2 Množiny a operace s nimi Množina je matematickým označením pro skupinu, souhrn či soubor objektů, přičemž tento souhrn či soubor v dané situaci chápeme jako celek. Množinu pokládáme za určenou, je-li možno o libovolném objektu jednoznačně rozhodnout, zda do této množiny patří, či nikoliv. Patří-li objekt (prvek) a do množiny A, píšeme a E A, jestliže prvek b nepatří do množiny A, píšeme b �A. K označení množin se obecně používají velká písmena, jejich prvky se označují malými písmeny. Velmi často se však dodržuje značení obvyklé v jednotlivých matematických disciplinách, které se od tohoto obecného pravidla liší. Např. v geometrii značíme body velkými písmeny a množiny bodů (např. přímky, křivky apod.). písmeny malými nebo i jinak. Zápis PE p zřejmě znamená „bod P leží na přímce p ", zápis T E MBC pak „bod T je bodem trojúhelníka. ABC". Pojem „množina" nemusí také zcela odpovídat tomu, co si běžně představujeme pod pojmem „souhrn" či „soubor" -totiž skupiny skládající se z „velkého počtu" objektů. V matematice často pracujeme na jedné straně s množinami nekonečnými, na straně druhé s množinami, které obsahují „velmi málo prvků" - třeba jen jeden nebo dokonce žádný. Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina. Určení množiny: množinu lze určit (zadat) v podstatě dvojím způsobem: 13 a) výčtem prvků, tj. výpisem všech prvků, které do dané množiny patří, např. A = {I-2· 3· 4} , , , (takový zápis je ovšem možný pouze pro množiny s „malým počtem" prvků). V některých případech je možno úplný výčet prvků pouze „naznačit", např. množina B = {O; l; 2;3; ... ; 100} je zřejmě množinou všech přirozených čísel od nuly do sta. Každý prvek množiny uvádíme většinou jen jednou, na pořadí prvků nezáleží. Zápisy {l; l; 2}; {l; 2}; {2; l} určují tutéž množinu. Prázdnou množinu značíme {} nebo častěji 0. b) charakteristickou vlastností, tj. vlastností, kterou se vyznačují všechny prvky dané množiny a žádné jiné. Zjišťování uvažované vlastnosti se provádí v tzv. základní (univerzální) množině .Q, tj. v množině, která obsahuje všechny prvky, které v dané situaci přicházejí v úvahu. Např: k= { A E .Q I d(S, A) = r} je množina všech takových prvků A jisté univerzální množiny O, které mají od daného prvku S vzdálenost r. Je zřejmé, že A,S jsou body. Lze tedy předpokládat, že univerzální množinou .Q je množina všech bodů v rovině (pak se jedná orovinný útvar -kružnici se středem v bodě S a poloměrem r) Pracujeme-li v prostoru (univerzální množinou je množina všech bodů v prostoru), je množinou k popsána kulová plocha. Množinové vztahy a operace (A;B značí libovolné množiny): Název Záuis S;ymbolická definice Slovní (!O(!is Inkluze A�B <=> (Vx E .Q: x E A⇒ x E B) A je podmnožinou B právě tehdy, když každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B . Rovnost A =B <=> AcBABcA Množiny A, B jsou si navzájem rovny (Vx E .Q: x E A<=> x E B) právě tehdy, když obsahují tytéž prvky Ostrá A cB <=> A�BAA-:/=B A je vlastní podmnožinou B právě tehdy, inkluze když A je podmnožinou B a není této množině rovna. Sjednocení A u B = {xEO I xEAvxEB} Sjednocení množin A, B je množina všech prvků, které patří alespoň do jedné z množin A , B . Průnik AnB = {xEO I xEAAxEB} Průnik množin A , B je množina všech prvků, které patří do obou množin A , B . Rozdíl AB = {xEO I XEÁAxťB} Rozdíl množin A, B je množina všech prvků, které patří do A a nepatří do B . Rozdíl A - B se někdy nazývá doplněk množiny B v množině A a značí se B� . Rozdíl .Q-B se nazývá doplněk množiny B a místo B� se značí obvykle jen B'. 1. Příklady: Nechť A={xEO I x2 =4}; B={-2;2;4;6}; C={xEZ I lxl<3} (Z zde značí množinu všech celých čísel -viz dále); D = {-2; 2}. Potom je A c B; A c C; D c C; A� DA D � A , tj. A= D. Dále je např. BuC={-2;-1;0;1;2;4;6} a BnC={-2;2}=D. 14 k (v případě potřeby odlišujeme indexem). Kružnici nejčastěji zadáváme jejím středem a poloměrem. Je-li kružnice k takto zadána (určena), zapisujeme k= (S,r). Kruhový oblouk: Dva body kružnice A E k; B E k rozdělí tuto kružnici na dva kruhové ------ oblouky (kruhový oblouk značíme AB ). V závěru kpt. 1.3 jsme uvedli, že vzájemně jednoznačné (bijektivní) zobrazení mezi dvěma množinami umožňuje rozhodnout, zda tyto množiny mají stejný počet prvků, aniž bychom jednotlivé prvky „počítali" (viz př. 2). V mnoha případech lze jít ještě dál. 1. Příklad: Uvažujme obdélník ABCD a zobrazeníF: AB ➔CD, jehož konstrukce je zřejmá z připojeného obrázku. I zde se jedná o vzájemně jednoznačné zobrazení úsečky AB na úsečku CD. I zde bychom tedy mohli prohlásit, že úsečky AB a CD mají „stejný počet" prvků -bodů, tedy dokonce v situaci, kdy tento „počet" bodů nejsme schopni zjistit. Tento příklad ukázal, že pokud mají úsečky stejnou délku, existuje mezi nimi vzájemně jednoznačné zobrazení a tyto úsečky mají v jistém smyslu „stejný počet" bodů. Vzájemně jednoznačné zobrazení však existuje dokonce mezi libovolnými úsečkami. 2. Příklad: Mějme dvě úsečky AB , CD, které nemají stejnou délku, nejsou na sebe kolmé a body A,B,C,D neleží na téže přímce. Konstrukce D C vzájemně jednoznačného F: AB ➔ CD je opět zřejmá z připojeného obrázku. Toto zobrazení je možné sestrojit dokonce i v případě, že CD c AB (viz poslední obrázek). Úsečku CD je totiž možno přenést mimo úsečku AB a celou konstrukci zopakovat. V tomto případě se nám podařilo jistou množinu bijektivně zobrazit na její vlastní podmnožinu. Tato A konstrukce však funguje pouze u množin s jistou speciální vlastností: Nekonečná mnozma je množina, kt�rou lze jednoznačně zobrazit na její vlastní podmnožinu. Množinu, která není nekonečná, nazývámei množinou konečnou. Existuje-li mezi dvěma �onečnými množinami A, B vzájemně jednoznačné zobrazení, říkáme, že tyto množiny mají stejný počet Prvků. Nekonečnou množinou bodů je např. libovolná úsečka, libovolný „běžný" rovinný útvar (čtverec, trojúhelník, A kruh.) i libovolný „běžný" prostorový Útvél\f (krychle, válec, koule ... ). Nekonečnými množinami jsou i samotná přímka, rovina a prostor. A B D C F C B B Pro neřešené úlohy z této oblasti nemáme dostatek zopakovaného učiva, proto zde neřešené příklady vynecháme. Zde uvedené pojmy budou procvičeny dále (především v kpt. 5. a 6.). 1.5 Matematické axiomy, definice, věty a důkazy Definice „elementárních" matematických pojmů nelze sestavit v podobě „bod je .... ", ,,rovina je ... ". Takové definice totiž používají k popisu pojmů další pojmy, které musí být opět definovány. Takový proces by tedy zřejmě nemohl nikde začít. Základním rysem současné 21 -I • I - matematiky je její tzv. axiomatická výstavba. Jejím základem je několik výchozích výroků, onichž se předpokládá, že jsou pravdivé a nedokazují se. Jedná se o tzv. axiomy (postuláty). Ty nemohou být voleny zcela libovolně. Na soustavu axiomů klade matematika řadu přísných požadavků a striktně rovněž vymezuje pravidla, jak s těmito axiomy zacházet. Tyto otázky sice nejsou ve své obecnosti předmětem středoškolské matematiky, nicméně následující základní středoškolské poznatky z této oblasti jsou pro další studium matematiky nezbytné. Axiomy uvádějí základní (primitivní) pojmy a jejich vlastnosti. Další pojmy zavádí matematika pomocí těchto pojmů základních, a to pomocí definic. Vlastnosti neuvedené v axiomech jsou uváděny v matematických větách, které je třeba matematicky dokázat. Většina matematických vět má podobu obecného nebo existenčního výroku. Obecná věta: \ix E Q: V(x)- každé x z uvažované základní množiny Q má vlastnost V(x). Existenční věta: ::lx E Q: V(x)- existuje alespoň jedno x ze základní množiny Q , které má vlastnost V(x). Vlastnost V(x) má velmi často podobu implikace A(x) ⇒ B(x), kde A(x) jsou předpoklady, B(x) závěr. Věta o existenci a jednoznačnosti: 3!x E Q: V(x)- existuje právě jedno x ze základní množiny Q , které má vlastnost V(x) Individuální věta: přisuzuje nějakou vlastnost jednomu konkrétnímu objektu (např. číslu) 1. Příklad -obecná věta ve tvaru implikace: Pro každé přirozené číslo platí: jestliže je dělitelné šesti, pak je dělitelné dvěma. „Obecná část" věty se často vynechává nebo je skryta v předpokladech: ,,Je-li přirozené číslo dělitelné šesti, je dělitelné dvěma". Věta s podmínkou nutnou a věta s podmínkou postačující: 2. Příklad: a) Každé číslo dělitelné šesti je (automaticky) dělitelné dvěma. b) Číslo dělitelné dvěma může (ale nemusí) být dělitelné šesti. Množina všech čísel dělitelných šesti je podmnožinou množiny všech čísel dělitelných dvěma. Větu a) lze tedy vyslovit také takto: Dělitelnost šesti je postačující podmínkou pro dělitelnost dvěma. Dělitelnost dvěma je nutnou podmínkou pro dělitelnost šesti. Věta b) říká, že existují čísla, která jsou dělitelná dvěma, ale nejsou dělitelná šesti: Dělitelnost šesti není podmínkou nutnou pro dělitelnost dvěma. Dělitelnost dvěma není postačující podmínkou pro dělitelnost šesti. Věta s podmínkou nutnou a zároveň postačující: 3. Příklad: Je-li číslo dělitelné třemi, pak jeho ciferný součet je dělitelný třemi. Zde je dělitelnost třemi postačující podmínkou pro dělitelnost ciferného součtu. Zároveň však je i podmínkou nutnou, neboť neexistuje žádné číslo, jehož ciferný součet by byl dělitelný třemi a číslo samo by dělitelné třemi nebylo -množina všech čísel, kterou vymezují předpoklady, je rovna množině čísel, určené závěrem. Shrnuto: věta a) z příkladu 1 je věta s podmínkou postačující, věta b) z příkladu 2 je věta s podmínkou nutnou, věta z př. 3. je větou s podmínkou nutnou i postačující. 22 pa li L a w a sec CEE U LUC LULCE ZE u F a Obecnou větu ve tvaru implikace je možné obměnit a v některých případech obrátit. Obměnit větu Vx E Q: A(x) ⇒ B(x) znamená nahradit ji větou Vx E Q: -,B(x) ⇒ -A(x) (větu „Je-li číslo dělitelné šesti, pak je dělitelné dvěma" nahradíme větou „Není-li číslo dělitelné dvěma, není dělitelné ani šesti") -tyto věty jsou ekvivalentní (tvrdí totéž) -viz tabulku pravdivostních hodnot v kpt. 1.1., sloupec 5 a 11. Obrátit větu Vx E Q: A(x) ⇒ B(x) znamená v implikaci zaměnit předpoklad a závěr, tj. nahradit ji větou Vx E Q: B(x) ⇒ A(x) (větu „Je-li číslo dělitelné šesti, pak je dělitelné dvěma" nahradíme větou „Je-li číslo dělitelné dvěma, pak je dělitelné šesti") -tyto věty však nejsou ekvivalentní (netvrdí totéž) - v tomto případě je původní věta pravdivá, obrácená věta nepravdivá. Obrátit větu lze pouze v případě, že se jedná o větu s podmínkou nutnou a zároveň s podmínkou postačující. Takovou větu lze pak zapsat ve tvaru tzv. ekvivalence VE Q: A(x) <=> B(x) -čteme: pro každé x platí A(x) právě tehdy, když platí B(x). 4. Příklad: Původní věta: Je-li číslo dělitelné třemi, pak jeho ciferný součet je dělitelný třemi. (platí) Obrácená věta: Je-li ciferný součet čísla dělitelný třemi, pak je číslo dělitelné třemi. (platí) Ekvivalence: Číslo je dělitelné třemi právě tehdy, když je třemi dělitelný jeho ciferný součet (platí). Důkaz v matematice: je proces, kterým ověřujeme pravdivost výroku (tvrzení, matematické věty) za předpokladu, že platí výroky jiné (axiomy či dříve dokázané věty). Základními typy důkazů jsou: a) Přímý důkaz implikace Vx E Q: A(x) ⇒ B(x) spočívá v sestavení řetězce pravdivých implikací A(x) ⇒ Ai(x), A1 (x) ⇒ Ai(x) , ... , An(x) ⇒ B(x), z něhož plyne platnost původní implikace. b) Nepřímý důkaz implikace Vx E Q: A(x) ⇒ B(x) spočívá v přímém důkazu obměny věty, tj. věty Vx E Q: -,B(x) ⇒ -A(x) , která Qak víme) je s původní větou ekvivalentní. c) Důkaz sporem: Větu V(x) dokážeme tak, že dokážeme neplatnost její negace -,V(x). Většinou z předpokladu -,V(x) opět vyvozujeme řetězec implikací -,V(x) ⇒ A1 (x), A (x) ⇒ A2 ( x) , ... , An ( x) ⇒ B , kde výrok B je nepravdivý (říkáme, že jsme dospěli ke sporu). Věta -,V(x) tedy nemůže platit, a proto musí platit věta V(x). Poznámka: Často se setkáváme s názorem, že nepřímý důkaz a důkaz sporem je jedno a totéž. To však není pravda: Při nepřímém důkazu dokazujeme platnost věty ekvivalentní, kdežto při důkazu sporem dokazujeme neplatnost negace. d) Důkaz matematickou indukcí: Je speciální technika důkazu věty Vn E N: V(x), kde N je množina všech přirozených čísel. e) Vyvracení hypotéz: Hypotézy (dosud nedokázané věty) mohou mít formu obecného výroku Vx E Q: V(x). Tuto hypotézu lze dokázat některým z výše uvedených způsobů nebo ji lze také vyvrátit tím, že dokážeme její negaci, tj. větu 3x E Q: -,V(x). K tomu stačí uvést jedno jediné x, pro které platí -,V(x). Říkáme že jsme nalezli protipříklad vyvracející obecnou hypotézu. Také zde by byly další příklady poněkud samoúčelné. Jednotlivé typy důkazů předvedeme postupně na několika důležitých větách v následujícím textu. 23 pe:ca±, e 00 s s 2 cwm as:s V!!Ai#WXAZ u s J 2 Základní poznatky o číselných oborech Mnozí lidé jsou nevědomí jen proto, že vychá zejí z pojmů, které jsou podle matematických měřítek nepřesné (Sokrates) 2.1 Přirozená čísla Přirozená čísla označují počet prvků konečných množin. Každé přirozené číslo je tak jakousi abstrakcí společné ':'lastnosti všech konečných množin, mezi kterými existuje vzájemně jednoznačné zobrazení. Množinu všech přirozených čísel značíme N. Poznámka: Číslo nula lze považovat za „počet prvků" prázdné množiny, nula je tedy v tomto pojetí přirozeným číslem. V některých konstrukcích nula do množiny všech přirozených čísel nepatří. Pro naše potřeby však bude výhodnější nulu za přirozené číslo považovat. Používání čísel vyžaduje zavedení početních operací, jimiž ke dvěma číslům přiřazujeme předepsaným způsobem číslo třetí jako výsledek. Základními a všeobecně známými operacemi jsou sčítání a násobení. Sečítáním přiřazujeme dvěma sčítancům součet (píšeme a+ b = c ), násobením pak dvěma činitelům součin (píšeme a• b = d ). Přirozená čísla lze sčítat a násobit neomezeně, tj. ke každým dvěma přirozeným číslům existuje součet i součin - a jsou to opět přirozená čísla. Říkáme, že množina N je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení. Pro každá tři přirozená čísla a, b, c platí: a+b=b+a, a:(b•c)=(a•b)•c=a•b•c , a-b=b·a a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c (komutativní zákon) (asociativní zákon) a-(b+c) = (b +c) •a= a-b +a• c ( distributivní zákon) Opakované násobení týmž číslem většinou zapisujeme ve tvaru mocniny, např. a• a• a• a= a4, kde číslo a nazýváme základ a číslo 4 mocnitel ( exponent). Je zřejmě a1 =a. a dále pro a> O definujeme a0 = 1. Přirozené číslo a, pro které je a E {0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9}, nazýváme cifrou (číslicí). Běžný číslicový (ciferný) zápis čísla v desítkové soustavě je úsporný zápis součtu, např.: ciferný zápis 27 03 5 = 2 • 10 4 + 7 • 10 3 + 0-102 + 3 • 1 O+ 5 rozvinutý zápis. Zápis přirozeného čísla v desítkové soustavě: jsou-li an;an_1; ••. ;a2;Cli;a0 cifry, píšeme K součtu a součinu se zavádějí operace inverzní -odčítání a dělení. Odčítáním přiřazujeme menšenci a menšiteli rozdíl: Rozdílem čísel a,b (v tomto pořadí) je číslo x, pro které platí b + x = a . Zapisujeme x = a -b . Dělením přiřazujeme dělenci a děliteli podíl: Podílem čísel a,b (v tomto pořadí) je číslo x, pro které platí b • x =a. Zapisujeme x =a: b, popř. x =a. b Odčítání a dělení nelze v množině všech přirozených provádět neomezeně (tj. rozdíl, resp. podíl dvou přirozených čísel nemusí být vždy přirozené číslo). Pro rozdíl platí a-b E N <=>a:?: b, pro podíl jsou pravidla složitější. 24 Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslob je dělitelem čísla a) právě tehdy, když existuje přirozené číslo k takové, že a= k-b. Skutečnost, že b je dělitelem čísla a vyjadřujeme slovy „a je dělitelné b „ nebo „b dělí a,,, zapisujeme b/a (např. 5/35). Každé přirozené číslo je dělitelné jedničkou a sebou samým, tyto dva dělitele se nazývají samozřejmí dělitelé. Přirozená čísla, která mají pouze samozřejmé dělitele, se nazývají prvočísla, ostatní přirozená čísla jsou čísla složená. Nulu a jedničku nepovažujeme ani za prvočísla ani za čísla složená. Při určování dělitelů používáme tzv. znaky dělitelností: Číslo a E N je dělitelné dvěma <=> končí na O, 2, 4, 6, 8 třemi <=> jeho ciferný součet je dělitelný třemi čtyřmi <=> jeho poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi pěti <=> končí na O, 5 . osmi <=> jeho poslední trojčíslí je dělitelné osmi devíti <=> jeho ciferný součet je dělitelný devíti. Rozklad čísel na prvočinitele: Každé přirozené číslo lze rozložit na součin prvočísel, a to (až na pořadí činitelů) jediným způsobem. 1. Příklad: rozložme na součin prvočísel číslo 415 800 . Řešení: 1415 800 I 207 900 103 950 51 975 17 325 5 775 1 925 385 77 11 J =/ J =/ J =/ J =/ J =/ J =/ J =?J =/J=? 2 2 2 3 3 3 5 5 7 11 tedy 2. Příklad -ukázka přímého důkazu: Dokažme větu: Pro každé přirozené číslo n platí: je-li n sudé (tj. dělitelné dvěma), pak n2 je také sudé. Důkaz: provedeme přímo (viz předchozí kapitolu): n je sudé ⇒ 3k E N: n = 2k ⇒ n2 = 2-2k2 ⇒ n2 je sudé. 3. Příklad -ukázka nepřímého důkazu: Dokažme větu: Pro každé přirozené číslo n platí: je-li n2 sudé, pak n je také sudé. Důkaz: provedeme nepřímo, podle předchozí kapitoly tedy musíme dokázat větu „není-li n sudé, pak není sudé ani n2 ": n je liché ⇒ 3k E N: n = 2k + l ⇒ n2 = (2k + 1)2 ⇒ n2 = 2(2k2 +k)+ 1 ⇒ n2 je liché -zde j sme si dovolili „předběhnout" vzoreček (A+ B)2 , který naj tlete na str. 41. Poznámka: Věty z příkladů 2 a 3 jsou obecné věty tvaru implikace, přitom věta z příkladu 3 je větou obrácenou k větě z příkladu 2. Obě věty tak můžeme vyslovit jako jedinou obecnou větu ve tvaru ekvivalence: Pro každé přirozené číslo n platí: číslo n je sudé právě tehdy, když je sudé číslo n2• Věty tvaru _ekvivalence, tj. A(x) <=> B(x), je třeba dokazovat „oběma směry", tj. je třeba dokázat jak A(x) ⇒ B(x), tak B(x) ⇒ A(x). 25 415 800 = 23 • 33 • 52 • 7 · 11 Společný dělitel: společným dělitelem dvou přirozených čísel ½; n2 je číslo, které dělí obě čísla ½; n2. Největší společný dělitele čísel ½; n2 značíme NSD ( ½; n2). Společným násobkem dvou přirozených čísel ½; n2 je číslo, které je dělitelné oběma čísly n1.; n2 . Nejmenší společný násobek čísel n1;n2 značíme nsn(n1;ni). Přirozená čísla nazýváme nesoudělná, je-li jejich společným dělitelem pouze číslo jedna. V opačném případě je nazýváme soudělná. Určování největšího společného dělitele: Největší společný dělitel NSD(½;ni) dvou přirozených čísel ½; n2 má ve svém rozkladu všechny společné prvočinitele rozkladů čísel ½;n2 umocněné na nejmenší exponent, který se v těchto rozkladech vyskytuje, např.: 5 940 = 22 • 33 • 5. 7° · 11 } 4 2 0 2 0 ⇒NSD(5 940; 7 056) = 22• 32 = 36 . 7 056 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 Určování nejmenšího společného násobku: Nejmenší společný násobek nsn(½;n2) dvou přirozených čísel ½; n2 má ve svém rozkladu všechny prvočinitele, kteří se vyskytují alespoň v jednom z rozkladů čísel ½; n2 umocněné na nejvyšší exponent, který se v těchto rozkladech vyskytuje, např.: 5 940 = 22 • 33 • 5. 7° · 11 }⇒nsn(5 940 · 7 056) = 24 • 33 • 5-72 • 11 = 1 164 240. 7 056 = 24• 32• 5°. 72• 11° ' Pro každá dvě přirozená čísla n1; n2 platí: n1 • n2 =NSD ( ½; n2) · nsn ( n1; n2) , např.: 5 940-7 056 = 36-1 164 240 = 41912640. Příklady: 4. Náměstí tvaru obdélníka o rozměrech 36 m, 48 m má být po obvodu osazeno stejně vzdálenými pouličními lampami. Kolik lamp nejméně bude potřeba, když ve všech rozích náměstí již lampy jsou? Řešení: Obě strany obdélníka musí být dělitelné hledanou vzdáleností lamp, vzdálenost tedy najdeme jako největšího společného dělitele daných rozměrů. Protože 36 =22 • 32; 48 = 24 • 3, je NSD(36, 48) =22 • 3= 12. Vzdálenost mezi lampami bude tedy 12 m . Na kratší straně náměstí budou tedy potřeba celkem 36: 12+ 1 = 4 lampy, z nich dvě jsou již instalovány, je tedy potřeba instalovat a= 2 lampy. Podobně na delší straně je třeba instalovat b= 48: 12+1-2 = 3 lampy. Na celé náměstí pak o= 2-(a+b) = 2· (2+3) = 10 lamp. 5. Autobus A jezdí po 20 minutách, autobus B po 24 minutách, autobus C po 36 minutách. V 7.00 hod. vyjely autobusy ze zastávky společně. Kdy nastane nejbližší další společný odjezd? Řešení: Interval mezi společnými odjezdy je nejmenším společným násobkem intervalů jednotlivých linek. Protože 20 = 22 • 5; 24 = 23 • 3; 36 = 22 • 32, je nsn(20, 24, 36) = 23 · 32 • 5 = 360 . Nejbližší společný odjezd bude tedy za šest hodin, tj. ve 13.00 hod. 26 Neřešené úlohy: 1)Rozložte na součin prvočísel: a) 26 460 b) 30 800 c) 54 450 d) 128 700 2) Určete největší společný dělitel a nejmenší společný násobek čísel a) 540; 504 b) 825; 3 630c) 6 600; 29 106 3) Místnost tvaru obdélníka o stranách a= 252 cm; b = 396 cm má být vydlážděna čtvercovými dlaždicemi. Určete největší rozměry dlaždic tak, aby žádnou nebylo třeba řezat. (šířku spáry zanedbejte). 4) Soukolí se skládá ze dvou ozubených kol o počtu zubů a= 300, b = 315 . Na každém kole je jeden vadný zub. Jestliže se tyto zuby setkají, soukolí se zasekne. Kolik otáček nejvýše mohou obě kola udělat? 5) Na čtvercovém záhoně o straně a = 720 cm bylo vysázeno 90 stromků rybízu do sponu 90 cm x 80 cm. Poté bylo rozhodnuto, že spon musí být 120 cm x 120 cm a) Kolik stromků můžeme ponechat na původním místě? b) Kolik stromků je třeba na tomto záhoně znovu zasadit? c) Kolik stromků je třeba přesadit na jiný záhon? Výsledky: 1)a) 22 • 33 • 5 • 72 b) 24• 52 • 7 • 11 c) 2-32 • 52 • 112 d) 22• 32 • 52 • 11 · 13 2) a) 36; 7 560 b) 165; 18 150 c) 66; 2 910 600 3) 36 cm 4) Kolo a 21 otáček, kolo b 20 otáček 5) a) 12 b) 3 7 c) 41 2. 2 Celá čísla Celá čísla jsou čísla, která lze zapsat ve tvaru rozdílu dvou přirozených čísel. Množinu všech celých čísel značíme Z, platí tedy: Z= { x E n I (x = a-b) /\ (a; b E N)}. Rozdíl přirozených čísel 0-b značíme -b. Pro každé celé číslo existuje nekonečně mnoho uspořádaných dvojic [menšenec, menšitel] přirozených čísel, jejichž rozdílem je toto číslo, např.: -3EZ: -3=0-3=1-4=3-6= .... 5E Z: 5 =0-5 =1-6= 3-8= .... Množina všech přirozených čísel je vlastní podmnožinou množiny všech celých čísel ( N c Z). Celé číslo a E Z, pro které je zároveň a E N, a :;t: O značíme někdy podrobněji +a. Tato čísla nazýváme kladná. Čísla, která nejsou kladná a jsou různá od nuly, nazýváme záporná. Číslo nula není ani kladné ani záporné. Přirozená čísla nazýváme někdy celá nezáporná, záporná čísla včetně nuly pak celá nekladná. Na množině všech celých čísel lze neomezeně sečítat a násobit (viz str. 22), ale i odčítat (množina Z je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení a odčítání). Pro sečítání a násobení celých čísel platí komutativní, asociativní a distributivní zákon (viz přirozená čísla). Navíc platí: (+a)+ (+b) =a+ b (-a)+ ( +b) = -a+ b = b -a (+a) + ( -b) = (+a) -( +b) = a -b = -b + a (-a) +(-b) = (-a)-(+b) = -ab (-a)-(-b) = -a +b = ba 27 (+a) • ( +b) = (-a)• (-b) = a• b (-a)• (+b) = (+a)• (-b) = -a-b (+a): (+b) =(-a): (-b) =a: b (-a): (+b) =(+a): (-b) =-a: b Příklady: 1) (-35)+(-7)=(-35)- (+7)=-357=-42 4) (-8)·4=8·(-4)=-8·4=-32 2) (-35)-(-7) = (-35) + ( + 7) = -35 + 7 = -28 5) (-3) · (-5) = 3 · 5 = 15 3) (-24): 6 = 24: (-6) = -24: 6 = -4 6) (-35): (-7) = 35: 7 = 5 7) (-2) · (-1) · (-3) · (-2) · (-1) · (-2) · (-1) = [(-2) · (-1)] · [(-3) · (-2)] · [(-1) · (-2)] · (-1) = = 2 · 6 · 2 · (-1) = 24 · (-1) = -24 Celá čísla c, d E '1L nazýváme navzájem opačná právě tehdy, když c + d = O. Jsou-li c, d E '1L čísla navzájem opačná, pak platí c = -d, d = -c, Absolutní hodnota lal čísla kladného je a, čísla záporného je -a, absolutní hodnota nuly je nula. Uspořádání množiny všech celých čísel je dáno těmito pravidly: -libovolné nezáporné číslo je větší než libovolné záporné -libovolné nekladné číslo je menší než libovolné kladné -ze dvou kladných čísel je větší to, které má větší absolutní hodnotu -ze dvou záporných čísel je větší to, které má menší absolutní hodnotu. Číselná osa celých čísel: Vznikne zobrazením (celé) množiny '1L do množiny všech -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 bodů libovolné přímky p Geometrický význam absolutní hodnoty: Absolutní hodnota celého čísla Je rovna vzdálenosti jeho obrazu od obrazu čísla nula na číselné ose. Ze dvou celých čísel a -:t-b je pak větší to, jehož obraz leží na číselné ose vpravo. Vlastnosti absolutní hodnoty: Pro každá dvě čísla a, b E '1L platí: lal � O; lal = O � a = O la -bl = lb -al I-al = lal lal + lbi � la± bl � lal-lbi Neřešené úlohy: Vypočtěte: 1) (-3)· 4· 10 2) (-4)·8•(-1) 3) (-1)·(-5)·(-1) 4) ( -2) · O · (-4) 5)2•(-3)·(-1)·11 6) (-1) · 2 · (-1) · (-1) · 1 · (-2) Výsledky 7) 18-15-2 8) 15-32:2 9) 44: 4-16: 8 10) 6 · (-9)- 32: 4 11) 5-{-3·[2·62+(38-2)]}-9-5 12) {8-[3 + 6-4- (-20) · 2]- 4- (-3)} · 4 + 7 1)-120 2) 32 3) -5 4) O 5) 66 6) 4 7) -22 8) -1 9) 3 10)-62 11) -97 12) -233 28 2.3 Racionální čísla Racionální čísla jsou čísla, která lze zapsat ve tvaru podílu dvou celých čísel. Množinu všech racionálních čísel značíme Q, platí tedy: Q = {x E Q I (x =a: b) I\ (a;b E Z) A (b -:t:-O)}. Podíl celých čísel a: b; b -:t:-O značíme a. Tento zápis nazýváme zlomkem, číslo a je b čitatel, číslo b je jmenovatel zlomku. Pro každé racionální číslo existuje nekonečně mnoho uspořádaných dvojic celých čísel [dělenec, dělitel], jejichž podílem je dané racionální číslo, resp. nekonečně mnoho zlomků [čitatel, jmenovatel], které vyjadřují totéž racionální číslo, např.: 2 4 6 20 [2;5]EQ,protože 2:5=4:10=6:15=20:50= ..... ,resp. -=-=-=-= 5 10 15 50 Mezi těmito zlomky vždy existuje jediný, jehož čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná čísla - říkáme, že tento zlomek je v základním tvaru. Množina všech celých čísel je vlastní podmnožinou množiny všech racionálních čísel ( Z c Q ). Na množině všech racionálních čísel lze neomezeně sečítat, násobit, odčítat a dělit (s jedinou výjimkou -nelze dělit nulou). Zápisy racionálních čísel ve tvaru zlomku: Nechť a;b;k jsou libovolná celá čísla, b,k -:t:-O. Pak platí a= k-a (tuto úpravu nazýváme rozšiřování zlomku). Nechť a,b jsou libovolná b k-b soudělná celá čísla, k jejich společný dělitel. Pak platí: a = a: k (tuto úpravu nazýváme b b:k krácení zlomku). Mezi všemi zlomky, které vyjadřují totéž racionální číslo, existuje právě jeden, jehož čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná čísla. Říkáme, že zlomek je zapsán v zákl�dním tvaru. Zápis racionálních čísel ve tvaru desetinného čísla: Nechť a0 E Z libovolné celé číslo, a1;a2; ... ;an_2;an_1;an cifry (tj. a;E{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}; i=1;2; .. ;n) a aEQ je libovolné racionální číslo, pro které platí: al a2 an-1 an a= ao + 101 + l 02 + .... + l on-i + 1 on (rozvinutý ukončený desetinný zápis). (ukončený desetinný rozvoj). Převod zlomku na desetinné číslo provedeme „naznačeným" dělením, např: i= 3: 8 = O, 375. Existují však racionální čísla, která nelze zapsat ukončeným desetinným 8 zápisem, např: .!. = 0.33333 ..... ; � = 0.378378378 ...... V těchto případech je desetinný zápis 3 37 nekonečný, avšak vždy v něm existuje skupina číslic, která se pravidelně opakuje (tzv. perioda). Před touto periodou se může vyskytovat jiná skupina číslic (předperioda). Např. v zápisu čísla 2-= 0.41666666 ..... je před perioda 41, perioda 6 . Periodu obvykle píšeme jen 12 1 - 14 - 5 - , . jednou a označujeme ji pruhem, tj. zapisujeme -= O .3 ; -= O, 3 78 ; -= O, 416 . Tyto zap1sy 3 37 12 nazýváme periodické desetinné rozvoje. 29 Každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru ukončeného nebo periodického rozvoje. Přitom délka periody je vždy menší, než jmenovatel původního zlomku. Je to dáno tím, že při dělení jmenovatelem b E N můžeme obdržet nejvýše b různých zbytků: O, 1, 2, ... , b -1 . Obdržíme-li nulu, dělení a tím i rozvoj čísla končí. Při nekonečném dělení se tedy mohou vystřídat nejvýše zbytky 1,2, ... ,b-1 a pak se zbytky a tudíž i cifry v rozvoji nutně musí opakovat. Například při vyjádření zlomku .!. dostaneme všech šest možných zbytků v pořadí 7 1 3,2,6,4,5,1 a -= 0,142857 7 Zápis racionálního čísla ve tvaru zlomku: V případě ukončeného desetinného rozvoje najdeme zlomek vhodným „rozšířením", např. 0,437 = 0,437 _ lOOO = 437 . Postup v případě 1000 1000 periodického rozvoje ilustruje následující příklad: 1. Příklad: Převeďme na zlomek racionální číslo a= O, 1234567. Číslo má trojcifernou předperiodu a čtyřcifernou periodu. ,,Zbavíme" se jich následujícím obratem: Vynásobíme dané rovnosti čísly 103+4 = 107 a 104 . Takto získané dvě rovnosti od sebe odečteme: Dostáváme tedy 10 000 000 a = -1 000 a = 9 999 000a = 1 234 567,4567 4567 ... . -123,4567 4567 ... . 1234 444,0000 0000 .... 1 234 444 308 611 a=----=---- 9 999 000 2 499 750 Absolutní hodnota racionálního čísla, opačná čísla, číselná osa a uspořádání množiny všech racionálních čísel je definováno analogicky jako pro čísla celá. Sečítání a násobení racionálních čísel má stejné vlastnosti jako sečítání a násobení přirozených resp. celých čísel, navíc platí: ; <; � a-d <b•c ::: =1:1 (;J = ;: -a a -= - -b b a -a -= - -b ba = -- b a c ad±bc -+-=--- b-d bd a c a c-a C·-=-·-=- b 1 b b a c a-c -·-=-- b d b-d a a -�=12._= a. d = a-d b · d c b c b-c d Pozor! Zřejmě pod dojmem vzorce a-�= a-c studenti někdy občas používají i „vzorce": b d b-d časté chyby: '-------..__ a--c..______ a+ b -+--'--· b d -c'+cz:._,._____ � a:+---b...._ a c --==--s::..+- c + d b '-ci.....__ a c ad +bc Při sečítání a odčítání často nemusíme použít vzorec -+-= --- ale tzv. prevod na b d bd nejmenší společný jmenovatel, což je nejmenší společný násobek jmenovatelů, kteří se v součtu resp. v rozdílu vyskytují. Tedy např. 30 --.. 0 ...__, c-a. C•- ....:..'¼::::: .__ , ' b c • v --.____ Shrnutí vzorců pro počítání s mocninami a odmocninami: Pro všechny přípustné hodnoty platí: Pozor! Časté chyby: Studenti často používají také tyto „vzorce" Vyvraťme první z těchto „vzorců": Vyjdeme z distributivního zákona a-(b+c)=a•b+a•c. Je-li a= x+ y, dostaneme dosazením (x+ y)• (b+c) = (x+ y)·b+(x+ y)•c a na pravou stranu použijeme opět distributivní zákon: (x+ y)· (b+c) = (x+ y)-b+(x+ y)•c = xb+ yb +xc+ yc Závorky (dvojčleny) musíme tedy roznásobovat tak, že násobíme každý člen první závorky s každým členem závorky druhé. Pro (a±b)2 tedy např. dostáváme: Podobně (a± b)3 = (a±b)2 • (a±b) = (a2 ±2ab +b2)· (a±b) = ... = a3 ±3a2b+3ab2 ± b3 atd. Pozor! Vzoreček (a-b)2 =a2 -2ab+b2 (tzv. druhá mocnina dvojčlenu) je třeba rozlišovat od podobně vypadajícího rozdílu čtverců: a2 -b2 = (a+b)(a-b) ( o správnosti tohoto vztahu se můžeme přesvědčit zpětným roznásobením závorek na pravé straně). 37 m n am m-n a :a =-=a an Chybné vzorce můžeme samozřejmě vyvracet jako obecné hypotézy nalezením protipříkladu (viz závěr kpt. 1.5. odst. e): Např „vzorec" !://a±b = � ±efb nemůže platit, protože např. pro a = 9; b = 16 ; m = 2 dostáváme !://a+ b = .J9 + 16 = ✓'25 = 5 , zatímco � + efh = ✓9 + ./16 = 3 + 4 = 7 Neřešené úlohy: 1) (a2b)(ab2) 2)(2ab)3 3)(3x2yz3)3 4) (5ambn)2 5) (x3yPzt Částečně odmocněte: 6)(2x3y)2(xy2z3)5 7) (a2bc5)4(3ab2c3)2 8) (u2mvn)2(uvm)3 9) (ax+yb2x)z(azbx)y 10) (a3b-3): (a-3b3) 16)✓12 11> Fo 18) m19) ✓240 Vypočtěte: 11) (x2y3z-2): (x-3y-2z) 12)(u'v-2'w-1): (u'v3'w-2) 13) (a2x+lb-x-2): (axbl-3x) 14) (2xa+ll-3zabt-1 15) [(-xr2n : (-xr2n-lr2 20) .Jm 21) J¾ 22) !f 23) a 24) ef/3 25) efiE 26) �€7 27) �v 28) €ovw Upravte: 2 3 29)b3 -b4 1 1 1 --- 30) x3 • x9 • x12 Výsledky: 31) a03 · a-34 1 32)m -2 -m-1 -m-05 1 5 -- -- 33)a 5: a3 34) ko2s : k-3s 1) a3b3 2) 8a3b3 3) 27x6y3z9 4) 25a2mb2n 5) x3qypqzq 6) 4x11y12 z15 7) 9a1°b8c26 8) u4m+3v3m+2n 9) axz+2yzb2xz+xy 10) a6b-6 11) x5y5z-3 12) v-5rw 13) ax+lb2x-3 14) 2a-l xa2 -1y<a-lXb-3)zab(a-l) 15) x-2 16) 2✓3 17) 5✓2 18) 6✓2, 19) 4-✓15 20) 3✓35 's 9 17 19 21) _v:J 22) - 23) efi. 24) ifj 25) ifj 26) efj 27) ¼ 28) 10 29) b12 30) x36 3 ✓ 7 22 31) a-31 32) m-2 33) a15 34) k3·75 38 2.5 Komplexní čísla V oboru reálných čísel jsme zavedli odmocňování jako „opačný" početní výkon k umocňování. Jakákoli sudá odmocnina je však v oboru reálných čísel proveditelná pouze pro nezáporná čísla. Například � v oboru reálných čísel neexistuje, neboť žádné reálné číslo umocněno na druhou není rovno mínus čtyřem. Proto nejsou v oboru reálných čísel řešitelné mnohé (i velmi jednoduché) rovnice. To je jeden (i když ne jediný) důvod proto, abychom obor reálných čísel rozšířili na obor čísel komplexních. Jeden z důvodů konstrukce čísel reálných byl „vyplnit" celou číselnou osu. Na této ose již není pro další čísla místo. Množina všech komplexních čísel je sestrojena jako číselná množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit nikoli na přímku, ale na rovinu. lm Množina <C všech komplexních čísel je tak sestrojena jako množina všech uspořádaných z= a+bi dvojic reálných čísel, tj. čísel z tvaru b +------------+- z= [a;b], kde a;bE� jsou reálná čísla. Je zřejmé, že čísla a;b můžeme chápat jako uspořádanou dvojici souřadnic bodu v rovině (tzv. Gaussova rovina), a to v pravoúhlé souřadné soustavě, čímž je dáno vzájemně jednoznačné zobrazení mezi rovinou a množinou <C . IZI o a Re Uspořádané dvojice [a;b]E<C lze chápat také jako dvojčleny a+b·i (tzv. algebraický tvar komplexního čísla) a s těmito dvojčleny zacházet podle dosud známých pravidel. Základní aritmetické operace na množině <C lze pak vysvětlit následujícím způsobem: Pro součet a rozdíl komplexních čísel tak dostaneme např.: (3 + 2i) + (23i) = 3 + 2 + (23)i = 5 -i (3 + 2i)-(23i) = 3 - 2 + (-2 + 3)i = 1 + i Pro násobení a dělení musíme kromě toho přijmout pravidlo, které navíc řeší existenci odmocnin ze záporných čísel: Číslo i nazýváme imaginární jednotkou. Pro násobení tak dostáváme např.: ( 3 + 2i) · ( 2 - 3i) = 3 · 2 + 2 · 2i - 3 · 3i - 2 · 3i2 = 6 + 4i -9i - 6 · ( -1) = 12 - Si Číslo z* = a -b • i nazýváme číslo komplexně sdružené k číslu z =a+ b • i .Vynásobením dvou čísel komplexně sdružených dostaneme číslo reálné (použijeme vzorec pro rozdíl čtverců): z· z* =(a+ b ·i)· (a -b ·i)= a2-(b • i)2 = a2-b2• i2 = a2-b2• (-1) = a2 + b2 Právě této vlastnosti používáme při dělení komplexních čísel. Dělení přepíšeme do tvaru zlomku, který rozšíříme číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli, tj. např.: 39 3 + 2i (3 + 2i) · (2 + 3i) 6 + 4i + 9i + 6i2 6 + 13i + 6 · (-1) 6 + 13i-6 13i . --=-'---"'-----'-=-----=-----=---=-=l 2-3i (2-3i)·(2+3i) 22+32 13 13 13 Mocniny komplexních čísel: pro n E N definujeme stejně jako v jiných číselných oborech n Q . O 1 -n 1 z =�; pro zt:- Je z = a z =7· nx Příklady: 1)(1 + 2i)3 = (1 + 2i)3 = (1 + 2i)2 · (1 + 2i) = (1 + 4i + 4i2) · (1 + 2i) = (-3 + 4i) · (1 + 2i) = = -3 + 4i -6i + 8i2 = -11 -2i 2) i4 = i2. i2 = (-1) · (-1) = 1; ;8 = i4. i4 = 1 · 1 = 1; i2003 = ;2000. i3 = (i4)500. i3 = 1500 . ;3 = i3 Absolutní hodnota komplexního čísla z je reálné číslo lzl = ✓z7. 3) Určeme absolutní hodnotu čísla z = 3 + 4i : Geometrický význam absolutní hodnoty komplexního čísla -je analogický jako u absolutní hodnoty čísla reálného: absolutní hodnota komplexního čísla z je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla v Gaussově rovině od obrazu čísla nula. Absolutní hodnotu komplexního čísla je tedy zřejmě možné určit i takto: lzl = la+ bil = .J a2 + b2 Neřešené úlohy: 1)(3 -2i)(2 + 3i) + (1-4i)(2 -i) 2) [(1 + 2i) -( 4 + 3i)] · (-i)-( 4 + 3i) 3) (-2-4i){-½+ :)+(1-2i) 4) 2 +�+(i -2)( 4-i) 3-1 Výsledky: 5)1 + i i --+ l-2i 1 + i 6)2+3i 3-4i ----- 3 +4i 2-3i 7)(1-�)2 -(1+�)2 l+1 l-1 8)(-1 + i✓3 )3 -6i -: 2-31 1) 7-2i 2) -5 3) 3+2i 4) -�+�i 2 2 9) 1 10) 00 V29 11) 5 12) /3 Vw 40 9 1-2-3il ) 3-2i 10)11-3i.1 5 +21 ll)l56-33il 5 +12i 12)11 + 2i _ 2 -5_i I 3-l r ;- 5) 2_ + .!.!.i 6) 684 + ~i 7) O 8) 10 10 10 325 325 3 Algebraické výrazy V knize přírody může číst jen ten, kdo zná jazyk, ve kterém je napsána. Jejím jazykem je matematika a jejím písmem jsou matematické vzorce. (Galileo Galilei) Algebraickým výrazem rozumíme zápis, ve kterém se vyskytují konstanty, které nemění svou hodnotu a které jsou vyjádřeny čísly, dále proměnné a operace sečítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování prováděné s konstantami a proměnnými. Proměnnou rozumíme znak, který označuje libovolné číslo z určité množiny, kterou nazýváme obor proměnné nebo definiční obor výrazu. Pokud není obor proměnné výslovně určen, považujeme za obor proměnné množinu všech čísel, která lze do výrazu dosadit, aniž ztratí smysl některá z uvedených operací (nedochází např. k dělení nulou, odmocňování záporného čísla v reálném výrazu apod.). Říkáme, že pro hodnoty z definičního oboru má výraz smysl. Dosadíme-li za proměnné do výrazu libovolná čísla, pro která má daný výraz smysl, a provedeme všechny předepsané operace, dostaneme jako výsledek číslo -hodnotu výrazu. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny -jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) n-tého stupně jedné proměnné je výraz tvaru kde an;an_1; ... ;a1;a0 jsou konstanty (koeficienty) mnohočlenu, x je proměnná. Výrazy akxk; k = O, 1; .. ; n jsou členy mnohočlenu. Mnohočlen 1. stupně nazýváme lineární, mnohočlen 2. stupně kvadratický (popř. kvadratický trojčlen), mnohočlen 3. stupně pak kubický. Pojem mnohočlenu lze zobecnit na případ více proměnných, kde místo mocnin xn jedné proměnné vystupují součiny mocnin několika proměnných. Obecný zápis takového mnohočlenu by byl komplikovaný, uveďme tedy jen několik příkladů: 2x3y-5xy2 + y+l; x2 -3y2 +..Ji; x3 +x2y+.xy2 + y3 jsou mnohočleny dvou proměnných x; y ; x1 -y+z2; xyz-5; .xy+ yz+xz jsou mnohočleny tří proměnných x; y; z. Zvláštním případem mnohočlenu je jednočlen -výraz neobsahující sečítání a odčítání (např. -2a2bc3). Mnohočlen lze pak chápat jako součet či rozdíl několika jednočlenů. Sečítání a odčítání: Sečítat a odčítat můžeme jen ty členy mnohočlenu, které se liší pouze konstantou: (x3 +3x2y+ 2xy2 + y3)+(x+ 2x2y-3.xy2) = x3 + x+ 3x2y+ 2x2y+ 2.xy2 -3.xy2 + y3 = '-v------''--v-----' 41 = x3 +x+5x 2 y-xy 2 + y3 Násobení: Při násobení jednočlenů se řídíme pravidly pro násobení mocnin: 1. Příklad: (-2a2bc3)(3ab3c2) = (-2 · 3) · (a2a) · (bb3) • (c3c2) = -6 a3b4c5 Při násobení mnohočlenů je třeba každý člen jednoho mnohočlenu násobit každým členem druhého mnohočlenu. 2. Příklad: (2x-3)(3x2 + 5x-6) = 2x-3x2 -3-3x2 + 5x-2x+ 5x-(-3)- 6-2x6-(-3) = = 6x3 -9x2 + l0x2 -l5x-l2x + 18 = 6x3 + x2 -27x + 18 Dělení: Při dělení jednočlenů se řídíme pravidly pro dělení mocnin, např: 3. Příklad: (-6a2bc3): (3ab3c2) = (-6: 3)-( a2 : a)-(b: b3)· (c3 : c2) = -2 ab-2c Při dělení mnohočlenu jednočlenem je třeba každý člen mnohočlenu dělit jednočlenem: 4. Příklad: (I5a3x5 -l0a4x4 -25a5x3): 5a3x3 = l5a3x5 : 5a3x3 -l0a4x4: 5a3x3 -25a5x3: 5a3x3 = 3x2 -2ax-5a2 Dělení mnohočlenu mnohočlenem se řídí stejnými principy jako dělení přirozených čísel v desítkové soustavě: 5. Příklad: Vydělme čísla 10 667: 45 a mnohočleny (x4 -5x2 +5x-2): (x2 -2x+2). Písemné dělení dvou čísel: obvyklý zápis: podrobný zápis 1 o 667 : 45 = 237 zb. 2 (1·104 +O· 103 + 6 · 102 + 6 · 101 + 7): ( 4 · 101 + 5) = 2 -102 + 3 -101 + 7 1 66 317 2 -9-103 1-103 + 6-102 + 6-101 -(l-103 + 3-102 + 5-101) 3 . 102 + 1 . 101 + 7 -(3 · 102 + 1-101 + 5) 2 Pomocí podrobného zápisu dělení dvou čísel lépe pochopíme dělení mnohočlenů: (x4 +0x3 -5x2 +5x-2): (x2 -2x+ 2) = x2 + 2x-3 zb. -5x+4 -(x4 -2x3 + 2x2) 2x3 -7x2 +5x -(2x3 -4x2 + 4x ) -3x2+ x-2 -(-3x2 +6x-6) -5x+4 42 V případě dělení čísel jsme dostali zbytek 2, v případě dělení mnohočlenů pak zbytek -5x + 4. Výsledek dělení čísel lze zapsat ve tvaru podobně dělení mnohočlenů ve tvaru 2 10 667: 45 = 237 +-, 45 2 2 -5x+4 (x4+0x3-5x2+5x-2):(x -2x+2)=x +2x-3+- 2 --- x -2x+2 V případě dělení mnohočlenů více proměnných je postup analogický: (a5 -2a4b-4a3b2 -5a2b3 -23ab4 -1b5): (a3 + 3ab2 +b3) = a2 -2ab-1b2 -(a5 +3a3b2 + a2b3) -2a4b-1a3b2 -6a2b3 -23ab4 -(2a4b -6a2b3 -2ab4) -7a3b2-2Iab4-1b5 -(-7a3b2-2Iab4-7b5) o Často bývá výhodné jednotlivé členy mnohočlenu označit jedním písmenem, např. v mnohočlenu x2 y4 -x6 y2 položíme A = xy2; B = x3 y, dostaneme x2 y4 -x6 y2 = A2 -B2, popř. C = x2 y4 ; D = x6 y2, pak obdržíme x2 y4 -x6 y2 = C -D . Při násobení popř. umocňování mnohočlenů lze s výhodou použít následujících vzorců: (A+ B)2 = A2 + 2AB + B2 (druhá mocnina dvojčlenu) (A-B)2 =A2 -2AB+B2 (A +B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB+2BC +2AC (druhá mocnina trojčlenu) (A+ B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 (třetí mocnina dvojčlenu) (A-B)3 =A3-3A2B+3AB2-B3 6. Příklad: Roznásobme (4x2y-3xy3)2: a) roznásobení: ( 4x2 y -3xy3 )2 = = ( 4x2 y -3xy3) • ( 4x2 y -3xy3) = 4x2 y • 4x2 y -3xy3 • 4x2 y -4x2 y · 3xy3 + 3xy3 · 3xy3 = = I6x4y2-I2x3y4 -I2x3y4 +9x2y6 = I6x4y2 -24x3y4 +9x2y6 b) úprava podle vzorce: (4x2y-3xy3 )2 = = I6x4y2 -24x3y4 +9x2y6 (A -B )2 = I A = 4x2 y; B = 3xy3 I= A2 -2AB + B2 7. Příklad: Roznásobme (x-3y + 2z)2 = x2 + (-3y)2 + (2z)2 + 2x(-3y) + 2(-3y)(2z) + 2x(2z) (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2A B +2 B C +2AC = x2 +9y2 +4z2 -6xy-I2yz+4xz 43 Rozklad mnohočlenů na součin: Jedná se o vyjádření mnohočlenu ve tvaru součinu několika mnohočlenů. Provádí se nejčastěji pomocí tzv. vytýkání nebo použitím vhodných vzorců. Vytýkání: Je založeno na distributivním zákonu A· C + B • C = C ·(A+ B). V konkrétních případech bývá největším problémem poznat společného dělitele jednotlivých členů. 8. Příklad: Použití vzorců: Při rozkladu na součin lze často použít výše uvedených vzorců pro druhé resp. třetí mocniny dvojčlenu, např: 9. Příklad: x 3 -9x 2y+ 27xy2-27y3 = ....................... =(x-3y)3 A 3 -3A2B+ 3AB2 -B3 = IA = x;B =3yl = (AB)3 Lze použít i další vzorce: A2 -B2 = (A -B)(A + B) (rozdíl čtverců) A3 -B3 = (AB)(A2 + AB + B2) (rozdíl třetích mocnin) A3 + B3 =(A+ B)(A2 -AB + B2) (součet třetích mocnin) Pozor: studenti se často pokoušejí „vymyslet" i vzoreček pro součet čtverců, tj. pro rozklad dvojčlenu A2 +B2• Tento dvojčlen lze rozložit pouze jeho převodem na rozdíl čtverců, k čemuž ovšem potřebujeme imaginární jednotku: Součet čverců lze tedy rozložit na součin pouze v komplexním oboru a my tento rozklad potřebovat nebudeme. Často vede k cíli i „postupné vytýkání", přičemž nemusíme vytýkat jen jednočleny, např.: r 3 -7r2 -rs2 + 7 s2 = r3 -7r2 -rs2 + 7 s2 = r2 (r -7)-s2 (r -7) = '---.r----' � = (r-7)(r2 -s2) = (r-7)(r-s)(r + s) Rozklad kvadratického trojčlenu -je důležitou a často se vyskytující úlohou. Kvadratický trojčlen lze často rozložit pomocí tzv. kořenových činitelů -je to jednoduchý trik, který vysvětlíme na následujícím příkladu: Vynásobme (x-3)• (x-2) = x2 -3x-2x+ 2· 3 = x2 + (-3-2)x+ 2· 3 ( X -X1 ) • ( X -X2) = (zde jsme záměrně některé operace neprovedli). Tento postup musí fungovat i obráceně -,,zprava doleva". Máme-li za úkol rozložit trojčlen x 2 + px+q na součin (x-x 1)•(x-x 2), hledáme dvě čísla x1; x 2 (kořeny kvadratického trojčlenu), jejichž součin je roven číslu q a součet s opačným znaménkem číslu p. 10. Příklad: Rozložme trojčlen x2 + 7x+ 10. 44 A2 +B 2 = A2 +(-i2)-B 2 = A2 -B 2i2 = (A-Bi)(A+Bi) x2 + p x+ q Řešení: Hledaný rozklad bude tvaru ( x -.x;) · ( x - x 2), kde v našem případě platí -.x; -x 2 = 7 a .x; • x2 = 1 O. Je zřejmé, že těmto podmínkám vyhovují čísla .x; = -2; x2 = -5; hledaný rozklad je tedy (x-xi)-(x-xz) = (x+2)• (x+5). Rozklad doplněním na čtverec: Provádíme tak, že „přinutíme fungovat" druhou mocninu dvojčlenu a následně rozdíl čtverců: 11. Příklad: Rozložme na součin x2 -6x + 5 = x2 -6x + ?? + 5 = x2 -6x + 9 - 9 + 5 = (x -3)2 -4 = ( x -3)2 - 4 = � '--v---' A2 -2AB+B2A2 -2AB+B2A2 -B2 = [(x-3)- 2] · [(x-3) + 2] = (x-5)(x-1) (ověřte i postup z předchozího příkladu!) 12. Příklad: Rozložme na součin kvadratický trojčlen x2 + 2x+ 10. Pokusy o rozklad na kořenové činitele zřejmě k úspěchu nepovedou, pokusme se tedy doplnit na úplný čtverec: x2 +2x+ 10 = x2 +2x+l-1+ 10 = (x+l)2 +9 = (x+l)2 +32 Dospěli jsme nikoli k rozdílu, ale k součtu čverců, o kterém již víme, že je v oboru reálných čísel nerozložitelný. Daný mnohočlen v oboru reálných čísel nelze rozložit na součin. Obecně platí: Každý mnohočlen stupně většího než dva lze v oboru reálných čísel rozložit na součin (tento rozklad však může být velmi komplikovaný). Kvadratický trojčlen může ale nemusí být rozložitelný. Stanovení hodnoty výrazu: Jsou-li známy hodnoty proměnných, můžeme stanovit hodnotu výrazu. 13. Příklad: Stanovte hodnotu výrazu (p-3n)(3p2 +2pn-7n2)-[13n(3n2 -p2)-17pn2] pro p=-3; n=-2. Řešení: (p-3n)(3p2 +2pn-7n2)-[13n(3n2 -p2)-17pn2]= = [(-3)-3 · (-2)][ 3 · (-3)2 + 2 · (-3) · (-2)- 7 · (-2)2]-{13 · (-2) · [3 · (-2)2 -(-3)2 ]-17 · (-3) · (-2)2} = = (-3 + 6)(3 · 9 + 2 · 6-7 · 4)-[-26 · (3 · 4-9) + 51 · 4] = = 3 · (27 + 12 - 28)- (-26 · 3 + 204) = 3 · 11 -(204 - 78) = 33 -126 = -93 Neřešené úlohy: 1) a2b+5-2c +3a2b+ 7c + 5 + 7c 2)5mn - 4m2n2 -8mn2 + 3mn -mn2 -4m2n2 23 3 1 2 3l 2 3 3) -1-xy +2x y-4-x y-xy --x y-x y 3 2 2 4) (10a-6b+ 5c-4d) + (9a-2b-4c + 2d) 5)(x 2 + 2x)-(y2 + 2y) +(x+ 2xy+ y)- (2x2 -3y2 + 7) 6)(3an+I +lOan -7a)+(a-9an+I -lOan) 7) 1.7r2 -10s2 -{ r2 -3s2 -[4.3r2 -(2r2 -7s2)] } 8) a2 -b2 -{3ab-2b2 -[a2 +2ab-(b2 -ab)]} 9) 2m(10m-3n)-5{n(5m+3n)-[3n2 -m(4m-6n)]} 45 10)ab(a+b)-a{b(3b-2a)-[a2 -b(3a-2b)]} 11) (3x-5)(2x+l) 12) (5a-2)(4a+3) 13) (2x3 -5x2 + 3x-2)(2x + 3) 14) (2u2 -5v2 -3uv)(uv2 + 3v3 -2u2v) 15) 20m4n3: 5m2n3 16) -6a3b2c: (-2a2bc) 17) (18p4q3 -27 p3q2): 9 p2q 18) (18a4x3 + 24a3x4 + 6a2x5): 6a2x3 19) (xy-7x+2y-l4):(x+2) 20) (m4 -m3n+m2n2 -mn3): (m2 +n2) 21) (12z6 -7 z4 + 32z3 -13z2 -24z): (8z3 + 4z2 -12z) 22) (13x2y3 +9x5 -2lxy4 +6y5 -l5x4y-8x3y2): (2x2y+3y3 +3x3) 23) (5a2-3b)(5a2+3b) 26) (100m4-64n6):(8n3-10m2) 24) ( 4m2 + 6n)( 4m2 -6n)27) (12lc2 -169d2): (13d + llc) 25) (49-x2y2): (7-xy)28) (100m2 -64n2): (10m-8n) Roznásobte: 29) (x+10)232) (7x4y3 +3x2y)2 30) (5ab-c)233) (a+b+l)2 31) (x3 -1)2 34) (u2 + 2u -3)2 Zapište jako druhou mocninu dvojčlenu 38) x2 +2x+l 39) 25x2 +20.xy+4y2 Doplňte na čtverec 41) m2 -2mn 42) 25x2 + 49b2 Upravte: 44) (x+4)2 +4(x+1)2 45) (a-1)2 -4(a+l)2-6(a+l)(a-1) 46) [(m2 +2m)2 +(2m2 -m)2]•5m 47) (3x+2)3 -(2x+3)3 -(3x-2)3 +(2x-3)3 -(6x-5)2 Rozložte na součin 35) (a2 -1)3 36) (7 p3 +9q4)3 37)(an -a2n )3 34) m2 -6mn + 9n2 43) 1 +25b2 48) 4x3 y3 -8x2 y253) (x-y)2 -x2y2 49) 9a3 -6a2b 54) (2x+3)2-(x-1)2 50) l0a4b3 -I5a4b2 +20a3b455) 49(2m-3n)2 -9(m+n)2 51) -8x4y3 -12x2y4 -16x5y2 56) m3 -27 52) 8l a2b2 -1 57) 27x3 -8y3 58) Stanovte hodnoty výrazů: 3 a)(p-4q)(3p2+2pq-5q2)-(l2pq2·-lOp2q-2q2);pro p=2; q=-5; b) (3k-2n)(3n2 + 2kn+ 7k2)-k[5(n3 + 4k2) +k3]; pro k= -2.5; n = -2; 46 a odmocňování). Algebraické rovnice (nerovnice) dělíme na iracionální (neznámá pod odmocninou popř. s racionálním mocnitelem) a racionální (neznámá není pod odmocnimou) Transcendentní rovnice (nerovnice) jsou rovnice (nerovnice), v nichž alespoň jedna operace s neznámou není algebraická (např. rovnice sin 2x = cosx) V této kapitole se budeme věnovat rovnicím algebraickým. Některým transcendentním rovnicím se budeme věnovat později. S pojmem řešení rovnice se setkáváme v několika významech: 1) řešení rovnice = jeden kořen rovnice 2) řešení rovnice = množina všech kořenů rovnice 3) řešení rovnice = proces nalezení kořenů rovnice. Konkrétní význam tohoto termínu bývá zřejmý ze souvislostí. Ekvivalentní rovnice -jsou dvě rovnice, Jejichž množiny všech kořenů jsou si rovny. Ekvivalentní úprava -je taková úprava rovnice, která ji převádí na rovnici ekvivalentní. Jde o přičtení, popř. odečtení téhož čísla nebo výrazu k oběma stranám rovnice násobení, popř. dělení obou stran rovnice týmž číslem nebo výrazem různým od nuly. Zkouška -dosazení všech zjištěných kořenů do původní rovnice a ověření rovnosti levé a pravé strany. Jestliže při řešení rovnice použijeme jen ekvivalentní úpravy, zkouška není „povinná" (není součástí řešení). Slouží pouze pro kontrolu, zda jsme se při řešení nedopustili nějaké chyby (např. špatně nevynásobili dvě čísla). 2. Příklad: X+ 3 + X+ 2 = 3 /. 6 2 3 3(x + 3) + 2(x + 2) = 3-6 3x + 9 + 2x + 4 = 18 5x = 5 I: 5 x=l Při řešení této rovnice jsme použili jen ekvivalentní úpravy, zkouška není součástí řešení. Množina všech řešení je tedy K = {l} . .J X + l 6 = X + 4 /2 x + l 6 = x2 + 8x + 16 O= x2 +7x 0=x(x+7) x, = o X2 =-7 V tomto řešení jsme se nedopustili žádné numerické chyby, všechny operace s danou rovnicí jsou správné. Hned ta první (umocňování) je však úpravou neekvivalentní. To má za 53 následek, že jsme mohli nalézt i kořeny, které původní rovmc1 nevyhovují. Při použití neekvivalentních úprav zkoušku udělat musíme v každém případě (zkouška je součástí řešení): Zkouška: provádí se dosazením nalezených kořenů do levé ( L ) a pravé ( P) strany původní rovnice. Je-li L = P, dosazované číslo je kořenem; je-li L -:t-P, dosazované číslo kořenem není. V našem případě je XI =0: L=.../o+I6 =4; P=0+4=4; L=P x2 = -7 : L = ✓- 7 + 16 = ✓9 = 3 ; P = -7 + 4 = -3 ; L -:f. P Kořenem dané rovnice je tedy pouze číslo Xi = O, tj. K= {O} Pozor: častá chyba: ( x + 1 )( x -3) = x + 1 / : ( x + 1) x-3=1 x=4 Číslo x = 4 je skutečně kořenem rovnice. Kořenem je ale také číslo x = -1 , které jsme však tímto nesprávným postupem nenašli. Hned v první úpravě je totiž skryto dělení nulou, které je častou příčinou „poztrácení" kořenů. Správný postup: (x+l)(x-3)=x+l (x+l)(x-3)-(x+l) =0 (x -l)(x-3 -1) = O (x-l)(x-4) = O Xi = 1 X2 = 4 K= {1;4} 4.2 Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou Lineární rovnice s neznámou x: je každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar ax + b = O , kde a, b E R, a -:t-O . 1. Příklad: Řešme rovnici 7x+l3=3x+5 v množině R. Řešení: 7x+l3=3x+5 7x-3x= 5-13 4x=-8 x=-- X=-2 K= {-2} 54 2. Příklad: Řešme rovnici 5( 2-x) = -5x - 7 v množině R . Řešení: 5(2-x)=-5x-7 10-5x = -5x-7 0=-7-10 0=-1 7 Rovnice nemá řešení, tj. K = 0 . 8 4 3. Příklad: Řešme rovnici ..!... ( 3x-..!.. ) -_!__ (4x- .!.)= ..!... (6x-5 )- � v množině IR. 2 2 3 3 4 3 Řešení: ..!... ( 3x_!_) _ _!_ • (4x- .!.) = _!_ • (6x-5)-� 2 2 3 3 4 3 3 14 16 52 -x----x+-=-x---- 2 43 9 4 43 3 4 3 52 11 -x--x--x=----+--- 23243 49 4 -4 5-24+9-4 --x=------ 336 4 -64 --x=-- 3 36 64-3 X=-- 36·4 4 x=-· 3, P"'kl d R v v .. 6 + 25x ( l) 2x 7 v• v 1Tb 4. n a : esme rovmc1 --- -x -= - +- v mnozme .IN.. • 15 3 5 Řešení: 6+25x -(x-l)= 2x +2 1_15 15 3 5 6 + 25x-l5(x-l)= lOx + 21 6 + 25x-l5x + 15 = lOx+ 21 0-x=O Řešením je každé x E IR, tj. K= IR Gedná se o identickou rovnici). Lineární nerovnice s neznámou x: je každá nerovnice, kterou lze převést na jeden z tvarů ax + b > O; ax + b � O; ax + b < O; ax + b ::s: O, kde a, b E IR, a -:t:-O. Při řešení nerovnic používáme tytéž úpravy jako při řešení rovnic s jedinou (ale velmi podstatnou) výjimkou, která je zřejmá z následujícího příkladu: 2 B 3 1-c-2) -4 E:] -6 Z tohoto jednoduchého faktu vyplývají dvě důležité zásady: a) Při násobení, resp. dělení nerovnice záporným číslem otáčíme znaménko nerovnosti. b) Umocňovat nerovnici lze pouze tehdy, mají-li obě její strany stejná znaménka: Jsou-li obě strany kladné, násobíme kladným číslem, znaménko nerovnosti neměníme. Jsou-li obě strany záporné, násobíme záporným číslem a znaménko nerovnosti je třeba otočit. Nerovnici, jejíž strany mají různá znaménka, nelze umocňovat. 55 5. Příklad: Řešme nerovnici 3x -7 � 5x -13 v množině IR . Řešení: 3x-7 � 5x-13 3x-5x � -13 + 7 -2x � -6/ 1-(-2)1 x�3 Řešením jsou právě všechna čísla x, pro která platí x E (3; oo) ; K = (3; oo). Grafické znázornění: 0 3 X 6. Příklad: Řešme nerovnici x -7 < 8-x v množině N . Řešení: x-7<8-x 2x < 15 15 x<- 2 Vzhledem k tomu, že nerovnici řešíme v množině N, jsou řešením právě všechna x, pro která platí x E {O; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} , tj. K = {O; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} (připomeňme úmluvu z kapitoly 2.1: OE N ). Grafické znázornění: • • • • • • • • 01234567 Soustavy lineárních nerovnic s neznámou x : Při řešení soustavy lineárních nerovnic s jednou neznámou hledáme neznámá čísla, která vyhovují zároveň několika nerovnicím. Množina všech řešení je pak průnikem množin všech řešení jednotlivých rovnic. 7. Příklad: Řešme soustavu nerovnic 2x-7 �O; 3x + 1 > O v množině IR. Řešení: 2x-7 � O 7 x�- 2 3x+ 1>O1 x>-- 3 Hledaná čísla musí vyhovovat oběma nerovnicím současně: 1. nerovnice 7... i-l ____ 1 _2 -3 2. nerovnice 17 --<x�- 32 M v• , , • v v , K ( 7) K ( 1 ) nozmovy zap1s resem: 1 = -oo;-2 ; · 2 = -3;00 K =K nK =(-oo·-7...)n(-.!.·oo)=(-.!..2) I 2 ' 2 3' 3'2 8) Řešme soustavu nerovnic 2x -7 < O ; 3x + 1 � O v množině IR . Řešení: 2x-7 > O 7 x>- 2 3x+ 1 � O 1 x�-- 3 56 1 3 7 2 Rovnice v součinovém tvaruje rovnice tvaru L(x) = O, kde levá strana je součinem několika činitelů. Tento součin je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. 9. Příklad: Řešme rovnici (x -2)(2x + 3) = O v množině JR. Řešení: Hledané číslo je řešením rovnice právě tehdy, když x -2 = O nebo 2x + 3 = O 3 tj. x = 2 nebo x = -- 2 Množina všech řešení dané rovnice je tedy K= {2;-�}. Nerovnice v součinovém tvaru: Je nerovnice v některém z tvarů L(x) <O; L(x) >O; L(x) �O; L(x) �O, kde levá strana je součinem několika činitelů. Tento typ nerovnic lze s výhodou řešit pomocí tzv. nulových bodů dle následujícího příkladu: 10. Příklad: Řešme nerovnici (4-7x)(x+ l)(IOx-7)(3-x) � Ov množině JR. Řešení: Nejdříve určíme body, ve kterých jsou jednotlivé závorky rovny nule (nulové body): 4 -7 x = O ⇒ x; = 4 ; podobně x2 = -1 ; x3 = }_ ; X4 = 3 . 7 10 Tyto čtyři body rozdělí číselnou osu na pět intervalů. V těchto intervalech zjistíme znaménka jednotlivých závorek. Podle toho pak lze určit znaménko součinu. Vše je výhodné zapsat formou tabulky: X (-oo;-1) (-1;�)(;; 1:) ( 7 ·3) 10' (3; 00) 4-7x ++ - - - x+l -+ + ++ lOx-7 -- - ++ 3-x ++ + + - L(x) +-+-+ Má-li tedy být L( x) � O, musí být x E (-1; ; ) u c: ; 3) ( v nerovnici je připuštěna rovnost, řešením jsou tedy i všechny nulové body). Rovnice v podílovém tvaru: je rovnice, kterou lze převést na tvar M(x) =O, kde na levé N(x) straně je racionální lomený výraz. Převod uskutečníme převedením všech výrazů na levou stanu rovnice a převodem na společného jmenovatele. Lomený výraz je pak roven nule právě tehdy, je-li roven nule jeho čitatel: 11. Příklad: Řešme rovnici x-l x+3 v• v lT1) -- = -- v mnozme .IN,. • x-3 x-6 57 Řešení: x-1 x+3 ----- x-3 x-6 x-l_x+3=0 x-3 x-6 (x-l)(x-6)-(x+3)(x-3) =O (x-3)(x-6) (x-l)(x-6)- (x + 3)(x-3) = O x2 -7x+6-x2 +9 = O -7x=-15 15 X=- Při řešení těchto rovnic je třeba pečlivě kontrolovat podmínky, za kterých má daná rovnice smysl (definiční obor řešení): 12. Příklad: V množině � řešme rovnici x+3 7x-15 x-3 Řešení: --+---=-- x-3 9-x2 x+3 x+3 7x-15 x-3 --+---=-- x-3 9-x2 x+3 x+3 7x-15 x-3 --+-------=0 X-3 (3 -X )(3 + X) X + 3 -(x+3)2 +7x-15+(x-3)2 =O (3-x)(3 +x) -x2 -6x-9+ 7x-15 +x2 -6x+9= O -5x = 15 X=-3 Tento výsledek svádí k závěru, že K= {-3}. Tento závěr je však chybný, neboť pro x = -3 zadaná rovnice není definována a tato hodnota nepatří do definičního oboru rovnice - D = � -{-3}. Je tedy K= 0 - zadaná rovnice nemá řešení. Nerovnice v podílovém tvaru: je nerovnice, kterou lze převést na jeden z tvarů M(x) >O; N(x) M(x) <O; M(x) :s; O; M(x) �O, kde na levé straně je racionální lomený výraz. Převod N(x) N(x) N(x) uskutečníme opět převedením všech výrazů na levou stranu rovnice a převodem na společný jmenovatel. Dále řešíme pomocí nulových bodů. 13. Příklad: Řešme nerovnici X+ 1 4 -X v• v j[J) -- :s; -- v mnozme i& . x+2 1-x 58 7 Řešení: X -2x-7 x+2 1-x L(x) x+l 4-x --<- x+2-l-x x+l _ 4-x $;O x+2 1-x (x + 1)(1-x)-( 4-x)(x + 2) :$; 0 (x+ 2)(1-x) -2x-7 -----:$;0 (x+2)(1-x) (-oo;-;) 7 (-; ;-2) -2 -- 2 +o-- - - -o ++ + + -o+nedefinováno (-2;1) 1(1; 00) -- - ++ + + o - -nedefinováno + Ve slovních úlohách, které vedou na lineární rovnice či nerovnice, se často vyskytují „slovní popisy" matematických výrazů. 14. Příklad: Skutečnost, že kladné číslo a je a) o tři menší než číslo x, zapíšeme a= x-3 ; b) třikrát menší než číslo x, zapíšeme a= x ; . 3 ) v kr' v, v d'l v, 1 7 b ,v 7 5 c pet at mens1, nez po 1 c1se ; , zap1seme a= b: ; d) o r menší, než druhá mocnina čísla p , zapíšeme a= p2 -r; 3 e) r-krát menší, než třetí mocnina čísla p, zapíšeme a= L; f)ckrát větší, než než podíl čísel 3; y , zapíšeme a = c • i ; y g) čtyřikrát menší než číslo q zmenšené o 4, zapíšeme a= q-4 ; 4 15. Příklad: Které kladné číslo je třikrát větší, než jeho pětina zvětšená o šest? Řešení: Neznámé (hledané) číslo x Pětina hledaného čísla Pětina čísla x zvětšená o šest Trojnásobek tohoto čísla 59 X 5 r Rovnice Kořen Hledané číslo je číslo 45 . 3{;+6)=x X=45 U slovních úloh je třeba vždy provést „korekci realitou", tj. přesvědčit se o tom, že nalezené řešení má smysl v situaci, která je slovně popsána v zadání úlohy. 16. Příklad: Otec je o 24 roky starší než jeho šestnáctiletý syn. Za kolik let bude otec třikrát starší než syn? Řešení: Neznámá (hledaný počet let) Synovo stáří po x letech Otcovo stáří po x letech Má tedy platit: X l6+x 16+24+x tj. 40+x 3-(l6+x) = 40+x Tato rovnice má řešení x = -4. Otec tedy „bude" třikrát starší než syn za -4 roky, tj. tato situace již nastala, a to před čtyřmi lety. 17. Příklad: Otci je 46 let, synům 14, 20 a 24 let. Za kolik let buce otec třikrát starší, než všichni synové dohromady? Řešení: Neznámá (hledaný počet let) Stáří 1. syna po x letech Stáří 2: syna po x letech Stáří 3. syna po x letech Stáří všech synů dohromady Má tedy platitOtcovo stáří nyní Otcovo stáří po x letech X l4+x 20+x 24+x (l4+x)+(20+x)+(24+x), tj. 58+3x 46 46+x 46+x=3·(58+3x) Tato rovnice má řešení x = -16. Podle této rovnice tedy úloze vyhovuje situace před šestnácti lety. To však není možné, protože před šestnácti lety nejmladší syn nebyl ještě na světě. Úloha tedy nemá řešení. 18. Příklad: Studenti pracovali na brigádě v úkolu. Za sklizeň čtyř hektarů lnu měli dostat 4 800, -Kč. Do jejich skupiny však byli přiřazeni další tři studenti, a tak dostal každý o 80,- Kč méně, než by mu připadlo podle původní dohody. Kolik studentů bylo ve skupině? Řešení: Neznámá (původní počet studentů) x Má tedy platit Původní odměna skupiny 4 800 Původní odměna jednoho studenta Zvýšený počet studentů Nová odměna jednoho studenta 4 800 X x+3 4 800 x+3 4 800 _ 80 = 4 800 X x+3 Tato rovnice má kořeny x1 = 12; x2 = -15 . Druhý z nich úloze nevyhovuje, protože počet studentů nemůže být záporný. Ve skupině tedy bylo původně dvanáct studentů. 19. Příklad: Nádrž se naplní třemi kohouty za 6 min 40s. Prvním kohoutem by se naplnila za 15min, druhým za 20min. Jak dlouho by se plnila třetím kohoutem? 60 Řešení: Neznámá (počet minut plnění 3. kohoutem) x 1.kohoutem za minutu _!_ nádrže 15 2.kohoutem za minutu 3.kohoutem za minutu Všemi kohouty za minutu Má tedy platit 1 'd v -na rze 20 1 'd v -na rze X 1 1 3 'd v -=-=- na rze 63. 20 20 3 3 1 1 1 3 -+-+-=- 15 20 X 20 Tato rovnice má řešení x = 30, třetím kohoutem by se tedy nádrž naplnila za 30 minut. Neřešené úlohy: Řešte v JR a proveďte zkoušku: 1)8(3x-5)-5(2x-8) = 20+ 4x 2)(8-3x)2+(5-4x)2-6=(9-5x)2+20x-4 3)(x -1)3 +(x-2)3 +(x-3)3 = 3(x-l)(x-2)(x-3) 4) _!_(3x-_!_)-!(4x-_!_) = _!_(6x-5)-3_ 2 2 3 3 4 3 5)3(\+l) (x;l +l)= 5\+l _(3x2 -l _3) 6)6+25x _ ( x _ 1) = 2x + 7_ 15 3 5 7)12 = l-3x + 1+3x 1-9x2 1 + 3x 3x -1 Řešte rovnice v daných množinách: lo) 5X -11 5X + 3 50 -22X v• v fuT ------=--- vmnozme 1� . 2 5 10 S) x + l + _2 __ 1 = 6x X -1 X + 2 X2 + X -2 9)_1 ___ 1_=_5_ x-3 x-2 x2 +6 11) (x-3)(x+2)=(x-2)(x-1) v intervalu (-2;4). 12) Cyklista vyjel v 15 hod. rychlostí 15 km/h. O dvě hodiny později z téhož místa vyjel za ním motocyklista rychlostí 60 km/h. V kolik hodin ho dostihne? 13) Jeden řemeslník vykoná svěřenou práci za deset dní, druhý tutéž práci za patnáct dní. Za jak dlouho vykonají tuto práci oba řemeslníci společně? Řešte nerovnice 14) 2x+7<3x-4 2x+ 1 2x-l 15) --<-- 16) (x-3)2 +(x+l)2 <2x2 -6x+l3 3 5 61 Řešte nerovnice v daných množinách: 2x-3 x 1 17) --+-< · XEN 4 2 ' 19)8x+3� .!.-x;xEA={xEZlx>-5} 2 Výsledky: 1) 2 2) .!_ 3 10) 3 11) 4 16) (-oo ;¾J 3) 24) 4 3 5) � 6) � 7) -1 8) rovnice nemá řešení 3 12) 17 h 40 min 13) šest dní 14) (11; oo) 15) (-oo; -2) 17)1 18) {1;2; ... ;10} 19) {-4;-3;-2;-1} 4.3 Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 9) -12 Tyto rovnice a nerovnice řešíme pomocí nulových bodů výrazů v absolutních hodnotách. 1. Příklad: Řešme rovnici lx-51 = 2. Řešení: Pro x E (-oo; 5) je x -5 <O; pro x E (5; oo) je x -5 >O. Je tedy: X E (-oo;5) X E (5;oo) x-5 -+ lx-51 -x+5 x-5 -x+5 = 2 x-5=2 x=3 x=7 Prox E (-oo;5) je tedy x = 3; pro x E (5;oo) pak x = 7. Množina všech řešení je K= {3;7}. 2.Příklad: Řešme rovnici lx -21 + l2x -81 = 5 . Řešení: X E (-oo;2) XE (2;4) XE (4;oo) x-2 -+ + 2x-8 - - + lx-21 -x+2 x-2 x-2 l2x-sl 8-2x 8-2x 2x-8 2-x+8-2x= 5x-2+8-2x= 5x-2+2x-8= 5 5 x=- x=l x=5 Pro x E (-oo;2) jsme nalezli hodnotu x =�;pro x E (2;4) hodnotu x = 1 a pro x E (4;oo) pak 3 hodnotu x = 5. Podmínka v záhlaví tabulky a odpovídající nalezený výsledek musí platit současně. Hodnotu x = � jsme našli za podmínky, že x E (-oo; 2). Tyto podmínky současně 3 62 1 Poznámky: ad b) Dvojnásobný kořen rovnice lze chápat jako dvojím způsobem: Je-li D =O, pak množina K všech řešení je jednoprvková. V tomto smyslu je to kořen jediný. Dvojnásobný kořen lze však chápat také jako dva kořeny, které splynuly, ad c) Pozor! Je-li D < O, pak -D >O. 1.Příklad: Řešme rovnice a) 2x2 -x-6 = O b) 4x2 + 12x + 9 = O c) x2 -4x + 13 = O Řešení: a),;,,= 1±� =!f =(-2�; tJ·. r =2; x2 =-i,tedy K={2-,-i} •7 2 2 -12±✓144-144 -12±0 3 b)Xi,2 = 8 = 8 = -2 ; tj. 4±✓16-52 4±.J-36 c) X12 =----=--- , 2 2 tedy K={-�} Tato rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel. V oboru komplexních čísel je _ 4 ± H6 _ 4 ± -./36; _ 4 ± 6i _ / 2 + 3i . . _ 2 3 . . _ 2 3. X1.2 -2 -2 --2--\2-3i ' tJ. Xj -+ l, X2 --l. 2.Příklad: Jedna ze dvou firem může vyrobit zboží na zakázku o čtyři dny dříve, než druhá. Kdyby firmy vyráběly společně, vyrobily by za 24 dny pětkrát více zboží než požaduje zakázka. Za jakou dobu by splnila zakázku každá firma zvlášť? Řešení: Neznámé (doba práce první, resp. druhé firmy) část zakázky splněná první, resp. druhou firmou za jeden den část zakázky splněná za 24 dny oběma firmami Tato „zakázka" má být pětkrát větší, tj. má platit (první rovnice) První firma má splnit o čtyři dny dříve, než druhá (druhá rovnice) 24·(>: )=5 x=y-4 Dosadíme-li ze druhé rovnice do první, dostaneme: 24 · (-1-+_!_) = 5 y-4 y 24(y+ y-4) = 5y(y-4) 48y-96= 5y2-20y 5y2 -68y+96= O. 69 x· ' Y, 1 1 X y 24{> ;} 24{> ;)=5 x=y-4. Pomocí výše uvedeného vzorce najdeme kořeny y1 = 12 ; Yi = l, 6 . Dosazením do druhé rovnice soustavy obdržíme X1 =y1 -4=12-4=8; X2 = Y2 -4 = 1,6-4 =-2,4 Zadaná soustava má tedy dvě řešení: [x1;YJ]=[12;8]; [x2;y2]=[1.6;-2.4], druhé znich však nevyhovuje zadání úlohy (firma nemůže splnit zakázku v záporné době). Jedna firma by tedy sama splnila zakázku za dvanáct dní, druhá sama za osm dní. Uvažujme rovnici tvaru (x -x1) • (x-x2) =O. Dosadíme-li za x některé z čísel x1;x2, je rovnice zřejmě splněna . Čísla x1; x2 jsou tedy kořeny této rovnice. Roznásobme závorky: (x-x1)·(x-xJ=0 X2 -X1 · X -X2 · X + X1 · X2 = 0 . X2 -( X1 + X2) · X + X1 · X2 = 0 Máme-li nyní kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = O; a :t= O, lze ji zapsat v tzv. normovaném 2 b C o 2 o kd b C p ' 1· v k tvaru x + -x + -= , resp. x + px + q = , e p = -; q = -. orovname1 vsa tento a a a a normovaný tvar s výše uvedeným zápisem dostaneme X2 -( X1 + X2) • X + X1 · X2 = 0 b C x2 +- ·X +- = 0 a x2 + p a ·X +q =0 Je-li x1 kořen kvadratické rovnice, výraz x -x1 se nazývá kořenový činitel a rozklad kvadratického trojčlenu ax2 + bx + c = a(x -x1 )(x -xJ, resp. x2 + px + q = (x -x1 )(x -x2) se nazývá rozkladem na součin kořenových činitelů. 3. Příklad: Určeme kořeny rovnice rozkladem kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů: a) x2+3x+2=0 b) x2-x-6=0 c) x2-9x+20=0. Řešení: a) Hledáme dvě čísla x1; x2, jejichž součinem je dvojka a součtem mínus trojka. Těmto podmínkám vyhovují čísla x1 = -1; x2 = -2, tato čísla jsou tedy kořeny naší rovnice. Pozor! Rozklad na součin kořenových činitelů je (x -x1) • (x -xJ, tedy v našem případě [x -(-1)] · [x -(-2)] = (x EB 1) · (x EB 2) b)Tentokrát musí být x1 ·X2 =-6 ; x1 +x2 =1,je tedy x1 =3;x2 =-2. C) Konečně XI . X2 = 20; XI + X2 = 9 ; tj. XI = 5; X2 = 4 . 70 b X1 + X2 == -p == -a C X1 • X2 == q == a Kvadratická nerovnice je nerovnice v některém z tvarů L(x) <O; L(x) >O; L(x) :s; O; L(x) �O, kde L(x) je kvadratický trojčlen. Tuto nerovnici řešíme rozkladem kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů a dále pak metodou nulových bodů (viz kpt. 4.2. př. 10.). 4. Příklad: Řešme kvadratickou nerovnici x2 + l lx+ 24 < O Řešení: Nulové body kvadratického trojčlenu zjistíme buď vzorcem pro řešení kvadratické rovnice nebo pomocí vlastnosti kořenových činitelů: zde má být x1 + x2 = -11; x1 • x2 = 24. Je tedy x1 = -8; x2 = -3. Daná nerovnice je tedy ekvivalentní s nerovnicí (x + 8)(x + 3) <O. Pro x < -8 jsou obě závorky záporné, pro x > -3 pak obě kladné, jejich součin je tedy kladný. Pro x E (-8;-3) mají závorky různá znaménka, jejich součin je tedy záporný a tento interval je řešením dané nerovnice, tj. K= (-8;-3) 5. Příklad: Řešme kvadratickou nerovnici -x2 + 4x -4 <O. Řešení: Vynásobme nerovnici minus jedničkou: x2 -4x + 4�0 (pozor -je nutné změnit znaménko nerovnosti). Kvadratický trojčlen je druhou mocninou dvojčlenu: (x-2)2 >O. Tato mocnina má jediný nulový bod x = 2, pro x -:1; 2 je vždy kladná. Množina všech řešení nerovnice tedy je K= lll-{2}. 6.Příklad: Řešme kvadratickou nerovnici x2 + 6x + 10 <O. Řešení: Diskriminant kvadratického trojčlenu L(x) = x2 + 6x + 10 Je roven D = 36-4 -10 = -4, tento trojčlen tedy nemá nulové body, dosazením např. že L(0) = 02 + 6 •O+ 10 = 10 >O, a nerovnice tedy nemá řešení (K= 0 ). x = O zjistíme, Neřešené úlohy: Řešte v lll: 1) x2 -6x-2l6 = O 2) 3x2 -8x + 4= O 3)llx2 + 13x-138= O 4) 4x + 5 _ � = 1 X X-2 Rozložte kvadratické trojčleny: 7) x2 -9x-22 8)2x2 -5x+2 Řešte v lll: 13) x2 -5x + 6 < O 14) x2 -7x-8 < O 15) x2 +8x :s; O 16) 6x-5 <0 4x+l 17) 5x-6 < 1 x+6 9) x2-7x+l2 10) x2 -x-132 18)�<2 3x-2 19) x(x2-7x+l0)>0 20) x6 -9x3 +8 > O 21) x4+x3-x-l>0 I 1 1 22) --->--1 2x 3x 4x 71 5) 2x + 1 x -l _ x + 3 4 + x X+ 3 -X2 -9 -3 -X -3 + X 6) 18 y + 7 = � _ 13 y3 -1 y2 -1 y2 + y + l 11) x2 -l0x+24 12) x2 + 27x + 126 I 7 6 23)-+--<- x+l x+2 x-1 24) l-2x _ l+x �I l+x 1 +2x 25) 2_ x-3 � x-2 x-2 x-l 26) x2 + 2x -3 < O x2 +1 27)(x-l)(x+2)2 <0 -x-l 4 3 3 2 2 28) X � X+ X>0 X -x-30 29) Do stanice vzdálené 130 km vyjede osobní vlak, za dvě hodiny po něm rychlík. Ten ujede za hodinu o 30km delší dráhu, takže dojede k cíli o 10 minut dříve, než osobní vlak. Jaká je průměrná rychlost vlaků? 30)Propast je hluboká 150 m. Za jak dlouho dopadne kámen, který do ní volně pustíme? 31) Vodní nádrž se naplní prvním přívodem o čtyři, druhým o devět hodin později, než by se naplnila oběma současně. Za jakou dobu se naplní každým přívodem zvlášť? Výsledky: 1) 18;-122) 2;� 7)(x + 2)(x-ll) 11) (x-4)(x -6) 3). 3·-46 ' 11 8) 2(x -0.5)(x-2) 12) (x+2l)(x+6) 2 4) 5;-35) 0.1 6) 9;-4 9)(x-3)(x-4)10)(x+ll)(x-12) 13)(2;3) 14) JR.-(-1;8) 15) (-¾;o) 16)(-!;!) 17)(-6;3) 18) JR.-(!;1)19)(0;2)u(5;oo)20)(1;2)u(2;3) 21) JR.-(-1;1) 22) JR.-( O; 1�) 23) (-oo;-2)u(-! ;-l)u(l;5) 24) (-1;-�) 25)( I; �)u(2;oo) 26) (-3; I) 27)(-oo;-2) u(-2;-l)u(l; oo) 28) (-oo;-5)u(1;2)u(6;oo) 29) 30 kmh-1; 60 kmh-1 30) JJos 31) 1. přívod: 10 hod., 2. přívod: 15 hod. 4. 7 Iracionální rovnice a nerovnice Iracionální rovnice je r�)Vnice s neznámou pod odmocninou nebo s neznámou umocněnou na racionální exponent. Při jejím řešení celou rovnici umocňujeme, což není ekvivalentní úprava, ale úprava transcendentní (viz kpt. 4.1 př. 2.). Součástí řešení, které tyto úpravy používá, musí být zkouška. 1. Příklad: Řešme rovnici .J2x + 4 = 3 v množině JR. . Řešení: .J2x+4 =3/( )2 2x+4=9 5 x=- 2 Zkouška: Lm=F � +4 =✓ 9=3 p(�) = 3 L=P Číslo x = 2.tedy je řešením rovnice. 2 2. Příklad: Řešme rovnici ✓2x + 7= x-5 v množině JR.. 72 Řešení: Zkouška: .Jx+7 =x-5/( )2 x+7 =x2 -10x+25 x2 -llx + 18= O L(2)= ✓2 + 7 = 3 P(2)= 2-5= -3 L(2)-:1; P(2) L(9)= .Jg + 7 =4 P(9)= 9 -5 = 4 L(9)= P(9) Xi = 2;x2 = 9 Číslo x = 2 tedy nevyhovuje a jediným řešením rovnice je x = 9. 3. Příklad: Řešme rovnici ✓5-5y = -J3y-11 v množině IR. Řešení: ,J5-5y =✓3y-lll( )2 5-5y=3y-ll y=2 L(2)= ✓-5-5-2 =HS Pro číslo y = 2 není definována odmocnina na levé straně (ani na pravé -ale to již zjišťovat nemusíme). Toto číslo tedy nemůže být řešením. Rovnice nemá řešení. V případě, že rovnice obsahuje součet popř. rozdíl odmocnin, musíme umocňovat dvakrát: 4. Příklad: Řešme rovnici .Jx + 9 + 3✓x = 7 v množině IR. Řešení: .Jx+9 +3✓x = 7 /( )2 x+9+6✓x✓x+9 +9x = 49 6✓x.Jx+9 = 40-lOx 3✓x.Jx+9 =20-5x/( )2 9x(x+9) = 400-200x+25x2 16x2 -281x+400 = O _ 281±✓2812 -4-16-400 _ 281±231 _ (16 Xi,2 -32 -32 -25 16 Zk vk .. , v k v . v, l 25 ous ou zJ1st1me, ze orenemJe pouze c1s o x = -. 16 4. Příklad: Řešme rovnici 2.J x2 -x + �= 1 -2x v množině IR . Řešení: 2.J x2 -x + �= 1 -2x /()2 4 ( x2 -x + �) = 1-4x + 4x2 4x2 -4x + 1= 4x2 -4x + 1 73 Poslední rovnice je splněna pro každé x E JR, současně však výraz pod odmocninou v první rovnici musí být nezáporný. Stejně tak musí být nezáporná i pravá strana první rovnice. Musí tedy být x2 -x + _!_ :2:: O⇒ (x -2-)2 :2:: O, což je splněno vždy, ale také 1-2x :2:: O⇒ x � _!_. 4 2 2 Množina všech řešením dané rovnice je tedy K = (-oo ; �) . Při řešení iracionálních nerovnic je třeba si uvědomovat, že pro každá dvě nezáporná čísla a; b platí: a < b <=> a2 < b2 a pro libovolná dvě nekladná čísla c; d platí c < d <=> c2 > d2 . 5. Příklad: Řešme nerovnici .J x2 + 2x + 5 > x -7 v množině JR . Řešení: Řešením nerovnice x2 + 2x + 5 > O se přesvědčíme, že kvadratický trojčlen pod odmocninou je kladný pro každé x E JR, a tedy i daná nerovnice je definována pro každé x E JR . Zároveň je levá strana nerovnice vždy kladná. Pro pravou stranu mohou nastat dva případy: a) x -7 <O⇒ x < 7. Pro tato x je levá strana kladná, pravá záporná a interval (-oo; 7) je tedy řešením nerovnice. b)Je-li x-7 :2:: O⇒ x 2: 7, můžeme zadanou nerovnici umocnit: ..Jx2 +2x+5 > x-7 /( )2 x2 + 2x+ 5 > x2 -14x+49 11 X>- Protože ( x > 141) /\ ( x :c:: 7) ⇒ x :c:: 7, je množina všech řešení K = (-oo; 7) u ( 7; oo) = JR . 6. Příklad: Řešme nerovnici 9✓9 y -y2 -8 :2:: 7 y v množině JR . ·Řešení: Kvadratický trojčlen pod odmocninou je nezáporný pro y E (1; 8), pro tato y je pravá strana kladná, nerovnici tedy můžeme umocnit: 9..J9y-y2 -8 :2:: 7y/( )2 81 · (9 y -y2 -8) :2:: 49 y2 130y2 -729y + 648 � o72 9 Y1 = 65 ;Yi =2 Nalezli jsme nulové body, je tedy (y -�!) • (y -�)�O. Tento součin je záporný nebo roven nule (tj. nekladný) pro y E (72 )�-) (zde je první závorka kladná, druhá záporná). 65 2 Mn v. v h v v , • d K ( 8) ( 72 9) ( 72 9) ozma vsec resemJe te y = 1; n -;- = -;- . 65 2 65 2 74 4 Neřešené úlohy: Řešte rovnice v množině IR : 1).Jx+3 +✓x+I = O 2)✓x+2, + �= -J�2x_+_3 3) .J1 + x✓2x2 + 8= x + l 4).Jx+l _.Jx-l =� x-l x+l 2 Výsledky Řešte nerovnice v množině IR : 5) .../x2+ x-12 < 6-x 6) X -3,✓x -4 � 0 7) 3x -2✓x-1 � O 8).Jx-2 +x> 4 l)nemářešení 2)� 3){0;2} 4)% 5)(-oo;;�) 6) (16;+oo) 7)(0;1) 8)(3;+oo) 4.8 Rovnice s parametry V rovnicích se často kromě neznámých vyskytují čísla, která mohou nabývat více hodnot - parametry. Taková čísla rovněž značíme písmeny. V zadání rovnice je pak řečeno, které písmeno značí neznámou a která písmena jsou parametry. Rovnici pak řešíme vzhledem k těmto parametrům a provádíme diskusi řešení. Řešíme tak současně celou množinu rovnic, protože pro různé hodnoty parametru dostáváme různé rovnice. 1.Příklad: V množině IR řešme rovnici p(2-p)x= 4p s neznámou x a parametrem p. Řešení: Rovnice je definována pro každé p E IR, hledáme tedy řešení pro každé reálné p. Je-li p(2-p) * O, dostáváme: p(2-p)x= 4p/: p(2-p) 4 X=-- 2-p Diskuse řešení: Pro p = O (viz první úpravu) dostáváme rovnost O= O a řešením je každé reálné číslo. Je-li p = 2, dostáváme rovnici O· x = 8, která nemá řešení. Závěr: Je-li p= O, pak řešením je každé reálné číslo, tj. x E IR . Je-li p = 2, pak rovnice nemá řešení. 4 Je-li p � {0;2}, pak x= -- 2p 2.Příklad: V množině IR řešme rovnici x + p= px -l s neznámou x a parametrem p . p Řešení: Rovnice není definována pro p= O, hledáme tedy řešení pro p * O" x+p=px-l p x+ p= p2x-p (1-p2)x = -2pl: (1-p2);p * ±1 p2 -1 x=-- 2p 75 1 Diskuse řešení: Pro p = O není daná rovnice definována. Úprava v předposledním řádku je proveditelná pouze pro p -:t:-±1. V případě, že p = ±l, je O• x = ±2 a rovnice nemá řešení. Závěr: Je-li p = O, pak rovnice není definována. Je-li p = ±l, pak rovnice nemá řešení. 2 -1 Je-li p-:t:-0Ap-:t:-±1, pak x=-P __ _ 2p 3 Pv'kl d Rv v . . 2 + ax 2 , v• v lT1l lT1l . ri a : esme rovmc1 -- = a s neznamou x v mnozme .IN,. a parametrem a E .IN,. • a+x Řešení: Rovnice není definována pro x = -a , hledáme tedy řešení v množině IR?. -{-a} : 2+ax = 2a a+x 2 + ax = 2a(a + x) 2 + ax = 2a2 + 2ax 2 - 2a 2 = ax I a; a -:t:-O 2(1a 2) X=----'--__;_ a Diskuse řešení: Poslední úprava je možná jen tehdy, je-li a -:t:-O. Pro a= O dostáváme rovnici 2 =O· x, která nemá řešení. Nalezená hodnota neznámé je řešením dané rovnice , v hd kd v 2(1-a2) lT1l { } • prave te y, yz ---E .IN,.- -a , tJ. a 2(1-a2) ----:t:--a a 22a 2 -:t:--a2 2-:t:-a2 a-:t:-±✓2 Závěr: Je-li a E {O; ✓2; -✓2}, pak rovnice nemá řešení. Je-li a É {O; ✓2;-✓2}, pak x =2(l-a2) • a 4. Příklad: Řešme rovnici tx2 + t2x + t = O s neznámou x v množině IR?. a parametrem t. Řešení: Rovnice je definována pro každé t E IR?., hledáme tedy řešení na celé množině IR?.: tx2 + t2 X+ f = Q / : t; f -j:. Q x2 +tx+ 1 = O -t±� Xi,2 =2 Diskuse řešení: Pro t = O (viz první úpravu) dostáváme rovnost O= O a řešením je každé reálné číslo. Je-li t2 -4 < O, tj. ltl < 2, rovnice nemá řešení v IR?. . Je-li ltl = 2, má rovnice dvojnásobný reálný kořen, a sice pro t = -2 je Xj = x2 = 1 a pro t = 2 pak Xj = x2 = -1. Pro ltl > 2 dostáváme dva reálné různé kořeny dané výše uvedeným vzorcem. Závěr: Je-li t =O, pak x E IR?.. Je-li ltl < 2, pak rovnice nemá řešení. 76 Je-li Je-li t = 2 , pak .x; = x2 = 1. t = -2 , pak .x; = X2 = -1. Je-li -t± ✓t2 -4 ltl> 2, pak x12 =----. ' 2 5 Pv,kl d Rv v •• az2 + (a -l)z -1 O , v• v lT1) . ri a : esme rovmc1 ---"-----'--- = s neznamou z v mnozme IN,.. a-3 Řešení: Rovnice není definována pro a = 3, hledáme tedy řešení pro parametr a E IR -{3}. az2 + (a -l)z -1 = 0 /.(a_ 3) a-3 az2 +(a-l)z-1 = 0/(a -:;t:. O) Z12 = -(a -1) ± ✓(a -1)2 + 4a · 2a zl 2 = -(a-l)±.J(a 2 +2a+l · 2a z =-(a -1) ±✓(a+ 1)2 i,2 2a z, 2= -(a-1) ±(a+ 1) = \ ! · 2a -1 Diskuse řešení: Pro a= O dostáváme lineární rovnici -z -1 =O, která má kořen z= -1. Diskriminant kvadratické rovnice D=(a+ 1)2 je vždy nezáporný, pro a� {O, -3} má rovnice nalezené řešení. Pro a= -1 je D = O a rovnice má dvojnásobný kořen z1 = z2 = -1. Závěr: Je-li a= 3, pak rovnice není definována. Je-li a E {-1; O}, pak : z1 = z 2 = -1. Je-li a�{0;3;-1}, pak z1 =-1 ; z2 =2.. a Neřešené úlohy: Řešte rovnice s neznámou x, resp. y a parametrem p, resp. a: l)p2x2+px-l =O 2) 2a(y -1) = 5 y+ l Výsledky: 3)y+a 2 _y-a -------- 2 y+a 2 4) ax2 + 2ax + a - l = O ) , v v , 0 -1 ± Js 2) {o s} , v v , 1 p =O: nema resem;p -:;t:.: x12 =--- a E ;- : nema resem; · 2p 2 2a+5 y=-- 2a5 3)a =O: nemá -a± ✓a a>O:x12=---. . a 77 v v , 0 2 -a2 4) 0 , v v , resem; a -:;t:.: y = -- a � : nemaresem; a 4.9 Vyjadřování neznámé z technických vzorců 1.Příklad: Při namáhání válcové tyče kroucením se její podstava pootočí o úhel rp , pro který platí 2/M rp=- G 4, Jr r kde I je délka tyče, r její poloměr, M moment krouticích sil a G je modul torze materiálu. Vyjádřeme z tohoto vzorce poloměr r. Řešení: Vzorec je z matematického hlediska rovnicí s neznámou r, všechna ostatní písmena představují parametry. Je tedy: 2/M rp = trGr4 rp1rGr4 = 2/M 4 2/M r =-- rptrG r = �2/M rptrG Diskusi řešení v těchto případech většinou není třeba provádět, neboť podmínky jsou většinou dány technickou povahou problému -zde mají všechny parametry i neznámá kladnou hodnotu. 2.Příklad: Pro středový ráz pružných koulí, z nichž jedna je před rázem v klidu platí ' -V1 (m1 -m2) v 1 - ' m1 +m2 kde m1; m2 jsou hmotnosti koulí a v1; v\ je rychlost pohybující se koule před resp. po nárazu. Vyjádřete hmotnost m2 koule, která je před nárazem v klidu. Řešení: Neřešené úlohy: v1 (m1 -m2) v\=----- m1 +m2 v\ ( m1 + m2 ) = v1 ( m1 -m2) v\ m1 +v\ m2 = v1m1 -v1m2 VI m2 + V\ m2 = VI ml -V\ ml ( VI + V 'i ) m2 = ( VI -V\ ) ml (v1 -v\)m1 m2 = (v1 +v\) 1) Celková kapacita C seriově řazených kondenzátorů o kapacitách C1;C2;C3 je určena vzorcem C = _1 1_1 _1 . Z tohoto vzorce vyjádřete kapacitu C2. Cl +C2 +C3 78 3. Příklad: Chceme získat 150 g pětiprocentího roztoku soli ve vodě. Kolik vody a kolik soli potřebujeme? Řešení: Určíme např. množství vody, množství soli pak snadno dopočítáme. Pětiprocentní roztok obsahuje 95% vody a 5% soli: Pro vodu tedy máme: i 100 % .................................. 150 g i 95 % .................................. X g �=� ⇒x= 95-150 =142 5 150 100 100 ' K získání předepsaného roztoku budeme potřebovat 142,5 g vody a 7,5 g soli. 4. Příklad: V kolika gramech vody je třeba rozpustit 18 g soli, máme-li získat devítiprocentní roztok? Řešení: 18 g soli tvoří 9% roztoku, hledané množství vody pak zbylých 91%: i 9% .................................. 18g i 91 % .................................. xg �=2.!. ⇒x= 91·18 =182 18 9 9 K získání předepsaného roztoku budeme potřebovat 182 g vody. 5.4 Funkce prostá a inverzní V kpt. 1 jsme hovořili o prostém zobrazení. Pojmem funkce označujeme speciální zobrazení, kde definičním oborem i oborem hodnot jsou číselné množiny. Tedy: Zobrazení F (funkce ·1 -1 -2 -3 85 / ) je prosté (prostá) právě tehdy, když každý prvek y jeho Gejího) oboru hodnot H(F) [ H (/) ] je obrazem právě jednoho prvku x jeho Gejího) definičního oboru D(F) [D(f)]. U funkcí používáne většinou následující ekvivalentní (rovnocennou) definici: Funkce / je prostá právě tehdy, když pro každé x1; x2 E D(/) ; Xi-:/:- x2 platí /(x1)-:/:- f(x2). Funkce prostá a monotonní: Často se setkáváme s názorem, že funkce monotonní a prostá je jedno a totéž. To ovšem není pravda, jak se přesvědčíme následujícím příkladem: o 2 1. Příklad: Sestrojme graf funkce definované takto: l:y= 4 -3 prox <0 X x3 -prox�O 4 Tato funkce je prostá, neboť každá dvě různá x1; x2 mají skutečně dvě různé funkční hodnoty l(x;); l(xi). Není však monotonní, neboť na intervalu (-oo;0) klesá, kdežto na intervalu (O; oo) roste (viz graf na předchozí straně). Každá monotonní funkce je prostá, ale tuto větu nelze obrátit -ne každá prostá funkce je monotonní. Monotonnost funkce je podmínka dostačující k tomu, aby funkce byla prostá, ale není to podmínka nutná. Inverzní funkce: Mějme funkci I: y = l(x) s definičním oborem D(I) a oborem hodnot H(I). Tato funkce přiřazuje každému vzoru x E D(I) právě jeden obraz y E H(I), pro který je y = l(x). Sestrojme předpis (označme ho 1-1 ), který naopak každému obrazu y E H(I) přiřadí vzor x E D(I) tak, že x = 1-1(y). Jestliže je původní funkce I prostá, pak předpis 1-1 je opět funkcí, tj. každému y E H(I) přiřazuje právě jedno x E D(I). Tuto funkci pak nazýváme funkcí inverzní k funkci I. Mějme v kartézské soustavě (O,x,y) sestrojen graf prosté funkce y = l(x). Uvažujme kartézskou souřadnou soustavu (O,y',x') týmž počátkem, kde kladná poloosa x' splyne s kladnou poloosou y a kladná poloosa y' splyne s kladnou poloosou x. Pak graf funkce y = l(x) v soustavě (O, x,y) splyne s grafem funkce x = 1-1(y) v soustavě (O,y',x'). Většinou však sestrojujeme graf funkce 1-1 v původní soustavě (O,x,y), což odpovídá vzájemné záměně proměnných x;y. Funkčtú předpis x = 1-1 (y) pak přejde na tvar y = 1-1 (x). Pro funkci 1-1 inverzní k funkci I pak platí: Definiční obor funkce I se rovná oboru hodnot funkce 1-1, tj. D(I) = H (l-1). Obor hodnot funkce I se rovná definičnímu oboru funkce 1-1, tj. H (I) = D(l-1) . Pro každé x E D(I) = H(l-1) a každé y E H(I) = D(l-1) je y = l(x) <=> 1-1 : x = 1-1 (y). Grafy funkcí I; 1-1 sestrojené v téže kartézské souřadné soustavě jsou souměrně sdružené podle přímky y = x (osy I. a III. kvadrantu). 2. Příklad: Sestrojme funkci inverzní k funkci z předchozího příkladu. Řešení: Protože funkce I je prostá, můžeme inverzní funkci sestrojit. Funkce je definovaná na množině D(l)=(-oo;0)u(0;oo)=�. Pro xE(-oo;0) je 4x-3 E(-oo;0), pro XE(0;oo) 3 je �E(O;oo). Oborem hodnot funkce I je množina H(l)=(-oo;0)u(0;oo)=�-Pro 4 inverzní funkci 1-1 tak máme: D(l-1) = H (I) = �, H (l-1) = D(I) = � . Funkční předpis funkce 1-1 získáme záměnou proměnných ve funkčním předpisu funkce I. Pro x E (-oo; O) tedy máme 86 ·2 ., 1-1 :x=� ⇒ y3 =� ⇒ y= J4 y3 X v� pro x E (O;oo) je 3 1-1 : x = L ⇒ y3= 4x ⇒ y = if4; 4 Graf funkce 1-1 je souměrný s gra fem funkce 1 podle přímky y = x (na obrázku vlevo je graf funkce 1 sestrojen světlejší barvou). Zřejmě pod dojmem představy, že u inverzní funkce je „všechno naopak", studenti často tvrdí, že pokud funkce 1 klesá, funkce 1-1 roste a naopak. Ovšem tak tomu není. Jak je patrné už z pohledu na připojený obrázek, na intervalu (-oo; O) obě funkce současně klesají a na ( O; oo) obě současně rostou. Platí věty: Funkce 1-1 klesá právě tehdy, když klesá funkce 1. Funkce 1-1 roste právě tehdy, když roste funkce 1. 3. Příklad: Sestrojme inverzní funkci k funkci 1 : y = x2 . Řešení: Daná funkce je definována na celé množině JR, na celém definičním oboru však není prostá, neboť např. 1 (-2) = 1(2) = 4. Pokud tedy chceme inverzní funkci sestrojit, je třeba definiční obor zúžit tak, aby na tomto zúženém oboru funkce byla prostá. Funkce 1: y = x2 na intervalu (-oo; O) klesá, na (O; oo) roste, na těchto intervalech je tedy prostá. Lze tedy sestrojit inverzní funkci ke dvěma různým funkcím, a to k funkci Ji: y = x2;D(J;) = (-oo;O) a k funkci 12: y = x2;D(./2) = (O;oo) . f -2 ·2 ·2 87 3 2 / -2 / Pro funkci J; : y = x2; D(f;) = (-oo; O) máme H (J;) = ( O; oo) . Funkční předpis funkce k ní inverzní je J;-1 : x = y2 a je třeba vyjádřit y. Pro číslo y řešíme tedy kvadratickou rovnici s parametrem x, která má obecně dva různé reálné kořeny y = ±✓x . Musíme si ovšem uvědomit, že xED(ft)=H(J;)=(0;oo), tj. číslo x je nezáporné); yEH(J;-1)=D(J;)= = (-oo; O) -číslo y je ovšem záporné (rovnici y2 = x řešíme na intervalu y E (-oo; O)). V tom případě ovšem vyhovuje pouze jedno řešení, a to y = -✓x. Je tedy J;-1 : y = -✓x. Pro funkci J;: y = x2;D(f2) = (0;oo) je opět H(j2) = (0;oo). Funkční předpis funkce J;-1 opět vychází z předpisu .f/ : x = y2, tentokrát ovšem je x E D(J;-1) = H (J;) = (O; oo) ( x je opět kladné), ale y E H(J;-1) = D(f2) = (O; oo) (y je tentokrát kladné), je tedy J;-1 : y = ✓x. 5.5 Funkce exponenciální a logaritmická Exponenciální funkce: Je funkce určená rovnicí .f : y = ax; kde a> O; a -:t:-I. Podmínka a > O je nutná k tomu, aby mocnina byla definována pro každé reálné x, tj. D(f) = IR. . Pro a = I �y sej ednalo o konstantní funkci f : y = I . Oborem hodnot je H (f) = ( O; oo) . 1.Příklad: Sestrojme grafy funkcí J; : y = 2x; J; : y = ( �J J; : Y = 2x: I ; I Z-'-:� I � I -! I : I �] I 20 : I I : I : I : I Í2 :y=(�J X y Exponenciální funkci o základu a = I O , tj. y = I Ox, nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Zvláště důležitá je exponenciální funkce y = ex [y = exp(x) ], jejímž základem je číslo a=e=2.718 281... (Eulerovo číslo). Logaritmická funkce: Exponenciální funkce y = ax je monotonní na celém svém definičním oboru, a to pro a E ( O; 1) klesající, pro a E (l;oo) rostoucí. Je tedy možno k ní sestrojit funkci inverzní: .f-1 :x=aY; kde a>O; a-:t:-l. Protože D(.f)=IR.; H(.f)=(0;oo), je D(f-1) = H (f) = ( O; oo) ; H (f-1) = D(f) = IR. . Tato funkce přiřazuje každému x E ( O; oo) číslo y E IR., na které je třeba umocnit daný základ a, abychom obdrželi hodnotu nezávisle 88 y=GY -4 -3 -2 -1 y=(½J -4 -3 4 -3 ·J y= log2 x proměnné x . Tato funkce se nazývá logaritmická funkce se základem a, značíme ji loga. Místo 1-1 : x = aY tedy píšeme 1-1 : y = loga x. Pro a = 1 O píšeme místo log10 x většinou jen log x ( dekadický logaritmus), pro a= e = 2, 718 281... píšeme místo loge x většinou ln x nebo lg x (přirozený logaritmus). Vlastnosti logaritmické funkce: je monotonní, tudíž prostá, tj. pro každé x 1 -:t:-x 2 Je loga x1 -:t:-loga x 2; pro a E (O; 1) je klesající, pro a E (1; oo) je rostoucí . 89 o 2 3 Platí např. log5 5 = 1, neboť 51 = 5; log .!. = -1 neboť 5-1 = .!. · log5 25 = 2 neboť 52 = 25; 5 5 ' 5 ' log -1 = -2 neboť 5-2 =-1 · 5 25 25 ' loglO=l, neboť 101 =10; logl00=2 1 1 b' I 1 1 I og-=-1, ne ot 10-=-; og-=-2 10 10 100 neboť 102 = 100; neboť 10-2 = -1-· 100' log¼ 5=-1, neboť Gr =5;log¼ 25=-2 neboť Gr =25; 1 ( 1 )1 1 I ( 1 )2 1 log1 -=l, neboť - =-; log1 -=2 neboť - = 5 5 5 5 5 25 5 25 ' log, I= log!= log: I= O, neboť 5° = 10° = G)" = I. Pro každé X E JR a každé A E (O; 1) u {I; oo) je Je-li tedy např. X= a10&aX; y = a10&aY ' pak X· y = a108•x. a10&aY S mocmnam1 Je X· y = a1080x+log.y. Položíme-li však loga x + loga y = Y, je podle předchozího rámečku: Podobně bychom odvodili další vlastnosti: a podle pravidel o počítání nyní x · y = X; a = A ; Nechť a> O; a -:1:-l a x;y > O jsou libovolná kladná reálná čísla. Pak Je-li r = 2_; kde n E N -{O}, pak z posledního vzorce dostáváme loga�=.!. -loga x. n n Příklady: Pro přípustné hodnoty upravme pomocí výše uvedených pravidel: 1) log2 2x(xl) = log2 2 + log2 x + log2 (x1) = 1 + log2 x + log2 (x-1) 27x5 2) log3 3 = log3 27 + 5 log3 x -3 log3 (x + 5) = 3 + 5 log3 x -3 log3 (x +5) (x+5) (x + 1ix-1) 3) ln---= (x -l)ln(x + 1)-ln x X 90 I; ! _, r. . , : 1 - _, ' I ' :- - I f • I ; -t - I -1 : l _, ť . • I -: • • I - I I i• • I -' I • I :- I I I I l x= A'ogAx I. I . 1- - , __ '. ' Naopak: x2l6x2 5) 2 + 2log4 x-log4(x + 2) = log416+ log4 --= log4-- x+ 2 x+2 aa(a2 -1) 6)alna+ln(a2 -1)-ln(a+l)-6lna=ln 6 =ln[aa-6(a-l)J a (a+ I) (3r2)2 (4r3)3 (6r)4 7)2log3r2 +3log4r3 -4log2r2 +4log6r =log· · = (2r2)4 32 43 64 4 9 4 32 26 34 24 17 1 · · · r · r · r 1 · · · · r 1 (26 36 9) 1 66 9 = og-------= og------= og · •r = og r 24. rs 24. rs 8)logc + logd +}__logE-logS-}__logp = log c. d t = log(cd fEJ 2 2 s. p s VP Neřešené úlohy: xx2 �y V I 1)log(2x4y3) 2) log-1-2 3) log -4) log·3 x.Jx+ y 5) -(log18-O.5log3) x x4 z2 2 3 4 I 6)log3+loga+-(2logb+logc) 7) log21r+O.5(log/-log2-logg) 3 Výsledky I I 1)log2 + 4logx + 3logy 2) logXi + 2logx2 -logx, -4logx4 3) -logx +-logy-log z 4) 2 2 ½ log x + ! log(x + y) 5) log J!!i 6) log(3a<Í2k) 7) log( 27' �] 5.6 Exponenciální a logaritmické rovnice Exponenciální rovnice je každá rovnice, ve které je neznámá x E � v exponentu nějaké mocniny. Nejjednodušší exponenciální rovnice jsou rovnice tvaru afCx) = a8Cx), kde a> O; a -:t:-I. Rovnají-li se základy mocnin, musí se rovnat i jeji�h exponenty, tato rovnice je tedy ekvivalentní s rovnicí /(x) = g(x)- viz př. 1. Dále jsou to rovnice nejrůznějších tvarů, které však lze úpravami využívajícími vlastnosti mocnin převést na předchozí případ (viz př. 2 -5). 1.Příklad: 2.Příklad: 3x2+10x+10 = 3x2+4x-2 2x2-6x-2,5 = 16✓2 x2 + I Ox+ IO= x2 + 4x-2 2x2-6x-2,s = 24.s 6x=-12 x2-6x-2 5=4 5 , , 91 3.Příklad: 33 . 272x-3 = 8 l3x-5 33 , 33(2x-3) = 34(3x-5) 3 + 3(2x -3) = 4(3x -5) 7 X=- 3 X=-2 4. Příklad: 2x+l =-3(3-x) x-l 2 X =4· X =- I , 2 3 5. Příklad: ---= 67-x. gx-1 3 2x+3 3x+2 . = 32(x-2)-l 21-x . 31-x . 23(x-l). icx+3}--(1-x)-3(x-l). 3(x+2)-(7-x) = 32x -5 i-x-1 . 32x-5 = 20. 32x-5 /: 32x-5 2-x-l = 20 -x-l = O X=-l Dále jsou to rovnice tvaru afCx) = bg(x), a"# b. V některých případech je možno tuto rovnici upravit na tvar ar(x) = as(x) a řešit předchozím způsobem (viz př. 6). Pokud ne, je třeba řešit logaritmováním (viz. př. 7). Následují opět rovnice nejrůznějších tvarů, které lze na tvar af(x) = bg(x) převést a řešit logaritmováním (viz př. 8). Pozor! Logaritmování rovnice nepatří k ekvivalentním úpravám. Součástí tohoto řešení je tedy zkouška. Některé exponenciální rovnice lze substitucí převést na rovnice algebraické (viz př. 9). 6. Příklad: 7. Příklad Zkouška: 51-x = 7x-l /. i-x 51-X • i-X = 70 (5 · 7y-x = 1 35I-x = 35° lx= O X= l 8. Příklad: 33x-2 = 5x log3 33x-2 = log3 5x (3x-2)log3 3 = xlog3 5 (3x -2) · 1 = x log3 5 3x -x 1og3 5 = 2 x(3 -log3 5) = 2 2 x=--- 3 -log3 5 9. Příklad: 4x + 3x+4 = 4x+3 _ 3x+2 92x -l2· 9x + 27 = O subst. 9x = y y2-12y+27 = O (y-3)(y-9) = O 3x+4 + 3x+2 = 4x+3 _ 4x 3x(34 +32) = 4x(43 -1) 90-Y = 63· 4x 6 log3 L = 3x-2 =----2 3-log3 5 1 L6-6+2log35 og3 = 3-log3 5 1 L 2log3 5 og3 = 3 -log3 5 log3 P = xlog3 5 2 log3 P = ---· log3 5 3-log3 5 log3 L = log3 P ⇒ L = P (!J = :� (!J = 170 Y1 = 3;yz =9 x(log3-log4) = log 7 -log 10 log 7-1 X=---- 1og3 -log4 1 zesubst. 9.xi =y1 ⇒94 =3⇒x1 =- 2 ze subst. 9x2 = Yz ⇒ 9x2 = 9 ⇒ Xz = 1 92 (chybějící zkoušky zde ponecháme čtenáři jako cvičení). Logaritmické rovnice: jsou rovnice, v nichž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou x E JR. Nejjednodušší logaritmickou rovnicí je rovnice loga x= b, a> O, a :;t: 1, b E JR, .která má řešení x = ab. Další rovnice řešíme obvykle úpravou na tvar loga f (x) = loga g(x), a pak řešíme tzv. delogaritmováním, tj. úpravou na tvar /(x) = g(x). Často lze vhodnou substitucí převést logaritmickou rovnici na rovnici algebraickou. Pozor! Ani delogaritmování rovnice není ekvivalentní úpravou. Součástí tohoto řešení je tedy zkouška. Příklad 11: 2log(x -2) = log(14-x) log(x-2)2= log(14-x) (x-2)2 = 14-X x2 -4x+4 = 14-x x2 -3x-l0 = O X1 =5 X2 =-2 Příklad 12: log(x108x) = 1 log xlog x= l log2 x= l logx = ±1 x=10· x=10-1 I , 2 Příklad 13: (log x)1°8x = 1 log x -log(log x) = log 1 logxlog(logx) = O logx1=0⇒x;=l log(log x2)= O logx2= 1 X2 = 10 Zkouška L(5) = 2log(5-2) = 2log3 = log32= log9 P(5) = log(14-5) = log9 L(5) =P(5) L(-2) = 2log(-2-2) = 2log(-4) L(-2) není definována x2 = -2 není kořenem množina řešení IK = {5}1 Zkouška L(IO) = log(l010810 ) = loglO = 1 P(lO) = 1 L(l O)= P(l O) L (10-1) = log [ (10-1 )1°810-1]= log (10-1 r1= log IO= 1 P(10-1) = 1 L(l 0-1) = P(l 0-1) množina řešení I K = {l O; -1 O} I Zkouška L(l)=(logl)1°g1 =0° L(l) není definována x; = 1 není kořenem L(IO) = (logl0)1°810 = 11 = 1 P(l) = 1 L(l O)= P(l O) množina řešení IK = {lO}I 93 Příklad 14: Zkouška Xlogx +} 0X-logx =}} /. Xlogx x2logx + 1 0xo = l lxlogx x2logx -1 lxlogx + 10 = o subst xlogx = y y2-lly+l0=0 Y1 = l;Yi = 10 su bst .x; log x, = I log .x; -log .x; = log 1 log.x; = O .x; = 1 subst X2 logx2 = 1 o log x2 -log x2 = log 1 O log2 x2 = 1 logx2 = ±1 x = I0;x = 10-1 Neřešené úlohy: Vypočtěte: 1)log2 16 2) log5125 3)log21024 Řešte rovnice: 17)25x = 6252 18) 8 ·22-x = 16-3 19)9x-l • 32x-l = 27 6)log16 162 7)log256 162 1 8) log1 - -3 3 20) fr-✓12x-2 = � 21) 2x-:fi29 = 2x+Jsí2 2 3 22)( l -¾)3-2x = (: )x-5 23) 4-..Íx+l = 64 · 2-..Íx+l L(l) = 11ogl + 10-r1ogl = 1° + 10· 1° = 11 P(l) = 11 L(l) =P(l) L(lO) = 1010g!O + 10-10-log!O = 101 + 10-10-I = 11 P(I0) = 11 L(l O) = P(l O) L(10-1) = oo-1yagw-' + 10-(lo-lrlog!O-l L (10-1) = 10(-l)·(-l) + 1 o .10(-l)-(+I) = 10 + 1 = 11 P(10-1) = 11 L(10-1) = P(10-1) množina řešení I K = {I; 1O;10-1 } I 1 9)log1 - -8 8 1 10) log1 - -16 4 1 11) log1 - -16 2 1 12) logv"s5 29)log2 x = -2 30) logx 16 = 4 31) log2 x2 = 2 32)logx x2 = 2 33) 2 log x = 3 -log 5 1 13) log116 1 14) log_2 8 1 15)loglog10 16)log(-log1�) X 34) 2log5 x = 4-1og5 - 25 35)log(3x2 + 1)-log(3 + x) = 1og(3x + 2) 94 4) (sinb+cosb)2 +(sinb-cosb)2 = = sin2 b + 2sinbcosb + cos2b + sin2 b-2sinbcosb + cos2 b = 2sin2 b + 2cos2 b = 2, S) sin d + sin d = sin d (I + cos d) + sin d (I -cos d) = 1-cosd 1 + cosd (1-cosd)(l + cosd) sind(l+cosd+l-cosd) 2sind 2 =--�-----�=--= 1-cos2 d sin 2 d sin d 6) sin 2v = 2 sin v cos v= 2 sin v cos v = _si_n_v = tg v l+cos2v sin2v+cos2v+cos2v-sin2v 2cos2v cosv sin z + 2 sin z cos zsin z(l + 2 cos z) = = ?) sin z + sin 2z = I+ cos z+ cos2z sin2 z+ cos2 z+ cos z+ cos2 z-sin2 z cos z+ 2cos2 z sin z(l + 2 cos z) sin z = ------'-----= --= tgz . a a srn-cos2 2 8)----= 2 a . 2 a cos --srn 2 2 cosz(l + 2cos z) cos z Fcooa l+cosa ✓1-cos'a ,Ji-oos'a '\J� 2 _ 4 _ 2 I sin a l ...,;._ ___ .,;...____ __....,cc_ __ = ---= -tga 1 + cos a 1-cos a 2cosa cos a 2 cos a 2 2 lépe: 2 2 a srn x cos x I sin 2x I 2 I subst -=x: = --=-tg x=-tga 2 cos2 x -sin 2 x 2 cos 2x 2 2 9)cos(a + /J) + cos(a -/J) = cos a cos /J-sin a sin /J + cos a cos /J + sin a sin /J = cos( a+ /J) -cos( a -/J) cos a cos /J -sin a sin /J -cos a cos /J -sin a sin /J 2cosacos /J = . . = -cotgacotg/J -2srnasrn/J cos(a + /J) + cos(a -/J) cos x + cos y Nebo: subst. a+ /J = x; a - /J = y : --------= ----= cos(a + /J)-cos(a -/J) cos x -cos y x+y x-y 2 cos--cos-- 2 2 cosacos/J = -----='------==---= . . = -cotgacotg/J 2 . x+ y . x-y -srnasrn/J -s1n--s1n-- 2 2 ) sin x + sin3x + sin 5x + sin 7x (sin 7x + sin x) + (sin 5x + sin3x) 10 ---------=----------= cosx + cos3x + cos5x+ cos 7x (cos 7x+ cosx) + (cos5x + cos3x) Zsin(7x; x )cos( 7x; x) + Z sin( 5x; 3x )cos( 5x; 3x) =----�------,-----,----,-------,---,----:-= Z cos( 7x; x )cos( 7x; x) + Z cos( 5x ;3x )cos( 5x; 3x) = sin4xcos3x+sin4xcosx = sin4x(cos3x+cosx) =tg4x cos4xcos3x + cos4xcosx cos4x(cos3x + cosx) Bez výpočtu t určeme hodnoty zbývajících goniometrických funkcí, víme-li, že t E ( 1r; 3;) 101 11)sint = -2 ⇒ 3 cosi= -,/J-sin' I=-✓!+ �J =-✓!-: =-✓% =-� sint -3 2 2✓ 5 tgt = cos t = ✓ 5 = ✓ 5 = -53 1 ✓ 5 cotgt=-=- tgt 2 12)tgt = O, 8: Je zřejmě 1 1 5 pv• v v ( 3Jr) cotgt = -= -= -. npomenme, ze tE Jr;- . tgt 0,8 4 2 Dále je tedy: tgt = 0,8 sint = 0 8 cost sint = 0 8 ✓I-sin2 t ' • 2 Slil t = 0 64 1-sin2 t ' sin2 t = O, 64-0, 64sin2 t 1,64sin2 t = O, 64 • 2 0,64 Slil t=-- 1,64 • 2 16 Slil t=- 41 cost = -✓1-sin2t cost = -✓1-16 41 cost=-Ncost=-{25' V41 5 cost = --- sinl=-!&=-�=-4 � ✓41 5✓41 cost=--- 41 Neřešené úlohy: Upravte: 1)cos(-u)cosu -sin u sin(-u) • 2 2)Slil p 1 + cosp 1 1 3)--+--- 1 +tg2 x I +cotg2 x 4)sina-sinacos2 a 5)1 + 1 I-sine l+sinc 6) sin2 f -sin2 g cos2f -cos2 g 102 ?) . cos2u srnu+ cos u S)1 +cos2t 1-sin2t a cos2 9) ----=-- .a a sm-+cos4 4 (návod: subst. a = 2x) 2 2 - l - l cos 1r+z sm-+cos -+z smlO) sin(a + P) + sin(a-P) sin(a + P)-sin(a -P) ll) sin 2x + sin 4x + sin 6x + sin 8x cos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x ( ) . 31r (37r ) . 1r 12) 2 2 2 . ( 31r ) . 31r . ( ) sm 2-z cos1r-sm2sm 1r+z 13)Bez výpočtu r určete hodnoty zbývajících goniometrických funkcí, víte-li, že r E (31r ;21r) : a) sinr = -0.4 b) cosr = 0.25 c) tgr = -1.2 d) cotgr = -� 2 15 Výsledky: 1) 1 2) 1-cos p 3) 1 4) sin3 a 5) -;-6) -1 7) cos u -sin u 8) cotg2t 9) COS C sin a+ cos a 10) tgacotgfi 11) tg5x 12) 1 4 4 ..fii 2..fii 13) a) cosr = --· tg r = ---· 5 ' 21 ' ..fii . ✓15 cotg r =--- b) smr = ---; 2 4 ✓15 . 6✓6]. tg r = -✓15 ; cotg r = -15 c) sm r = -61 ; 5✓6]. 5 . 15 8 15 cosr=-61; cotgr=-6 d) smr=-17; cosr=17; tgr=-8 5.9. Goniometrické rovnice Goniometrická rovnice je každá rovnice, v níž se neznámá vyskytuje v goniometrických výrazech. Nejjednodušší jsou rovnice tvaru sin x = a ; cos x = a ; tg x = a ; cotg x = a . Perioda sinu a kosinu je 21r. Určíme tedy nejdříve všechna řešení na intervalu (0;21r) a ke každému řešení připojíme periodu 2k1r;k E Z. Perioda funkcí tangens a kotangens je 1r. U těchto funkcí určíme všechna řešení na intervalu ( O; 1r) a ke každému řešení připojíme periodu k1r;k E Z. 1.Příklad: Řešme goniometrickou rovnici sin x = .I. 2 Řešení: Určíme kořeny v intervalu ( O; 21r), a to buď pomocí jednotkové kružnice (viz připojený obrázek) nebo pomocí grafu funkce sinus. Funkce smus Je kladná v I. a II. kvadrantu, tj. 1r 51r K bv v v , . v b x2 = 1r -x, =1r --= -. o ema resemm Je tre a 6 6 připojit periodu, tj.7C x; = -+ 2k1r; k E Z, 6 51r X2 = -+ 2k1r; k E z . 6 2.Příklad: Řešme goniometrickou rovnici cos x =_.I.. 2 y 1 II. I. -1 1 X III. IV. -1 Řešení: Opět určíme nejprve kořeny v intervalu ( O; 21r) . Hodnota funkce kosinus má být záporná. V tom případě je výhodné vyjít z řešení rovnice 103 - l které 1Jr cosa=- ⇒a=- 2 3 ' zakreslíme buď do jednotkové kružnice nebo do grafu kosinu. Funkce kosinus je záporná ve II. a III. kvadrantu, tj. a Jr 21r x, =1r-a =Jr--=- 33 Jr 41r X2 =1r+a=1r+-=- 3 3 (11. kvadrant) (III. kvadrant). K oběma řešením opět připojíme periodu, tj. 21r X1 = -+ 2k1r; k E 'li, ' 3 41r X2 =-+2k1r; kEZ. 3 11 -1 I x=-2 Ill y 1 . Jr -1 1 X I x=2 IV. Pozor! V přijímacích testech se občas objevují rovnice typu smx = -, resp. cosx = -,r 2 apod. Tyto rovnice studenti často zaměňují s rovnicemi sin"= x, resp. cos(-,r) = x 2 a uvádějí řešení x= 1, resp. x = -1 ( popř. x = 1r + 2ktr , resp. x = -Jr+ 2ktr ). Obor hodnot 2 1í funkce sinus i kosinus je H (f) = (-1; 1) a 2 ť (-1; 1) ; -Jr ť (-1; 1) . Rovnice cos x= -,r proto nemají řešení. . 1í smx=-· 2' V rovnicích typu sinf(x) =a; cosf(x) =a; tgf(x) =a; cotgf(x) = a zavádíme substituci f(x) =z, čímž tyto rovnice převedeme na předchozí případ. 3. Příklad: Řešme rovnici tg ( 4x -; ) = -✓ 3. Řešení: Zavedeme substituci 4x-1r= z a řešíme nejdříve rovnici tg z= -✓ 3. Je-li 5 tg a = ✓ 3, pak v I. kvadrantu je a = " . Funkce tangens má periodu 1r a je záporná ve 3 druhém kvadrantu. ,,Převodem" hodnoty a = " do II. kvadrantu po vzoru předchozích 3 příkladů a připojením periody je z= 2" + ktr. V použité substituci tedy je 3 1í2Jr 4x--=-+k1r 5 3 2,r Jr 4x=-+-+ktr 3 5 13,r 4x=-+ktr 15 13,r k1r X=--+-. 30 4 104 1 Složitější rovnice lze často vhodnou substitucí převést na rovnice algebraické. Pokud se v rovnici vyskytuje více goniometrických funkcí, převádíme je na funkci jedinou. 4.Příklad: Řešme rovnici sin 2 x-cos2 x + sin x = O Řešení: sin2 x-cos2 x + sin x = O sin2 x -1 + sin2 x + sin x = O 2 sin2 x + sin x -l = O subst. sin x = y 2y2+y-1=0 Návratem k použité substituci se řešení rozpadne na dva případy: . 3Jr k srn lí = -1 ⇒ x1 = -+ 2 Jr, 2 . 1 Jr k SinX2 =-⇒ X2 =-+2 Jr 2 6 5Jr X3 =-+2kJr . 6 Neřešené úlohy: Řešte rovnice: ✓3 1) cosx=-- 2 2) tgx = -✓3 ✓3 3) cotgx=- 3 4) sin ( 2x -; ) = 1 5). . Jr smx=sm6 6) cos ( 2x -.!!_) = cos 2.7r 3 15 5 Výsledky: 5 P"'kl d R v v .. 4sin2 X cos2x . r1 a : esme rovmc1 ---+ 2 = 2 Řešení: sin2x cos x 4sin2 x + cos2x = 2 sin2x cos2 x 4sin2 x cos2 x-sin2 x 2 ----+-----= 2sinxcosx cos2 x 2 sin 2 x + cos2 x _ sin 2 x = 2 sin xcosx cos2 x cos2 x 2sin2 xcosx-sin3 x = 1 sin xcos2 x 2sin2 xcosx-sin3 x = sinxcos2 x 2sinxcosx-sin2 x = cos2 x sin 2x = cos2 x + sin2 x sin2x = 1 Jr 2x=-+2kJr 2 Jr X=-+kJr. 7) 5 + sinx = 3 1-sin x 8) tg x + l = 2 + ✓3 tgx-1 9)1-cosx = ..!_ 1 + cosx 3 10) 4cos2 x+4cosx-3 = O 11) 2sin2x+sinx-1=0 12) cotg2 x+4cos2 x-3 = O 13) sin x + sin 2x = tg x 14) 2sin2 x +2sin x- ✓3 sin x = ✓3 5Jr 7Jr2Jr Jr 5Jr 1) lí =-+2kJr; x2 =-+2k.7r 2) x=-+kJr 3) x=-+kJr 4) x=-+kJr 6 6 3312 Jr 5Jr 3Jr Jr 7 Jr 5)y_ = -+ 2kJr ·,X2 = -+ 2k.7r 6)y_ = -+ 3kJr · X = -+ 3kJr 7) y_ = -+ 2kJr · .. 1 6 6 '"1 1 O '2 2 '"1 6 ' l lJr Jr 1 5Jr Jr x2 = -+ 2k.7r 8) X = -+ kJr 9) X = -+ 2k.7r ·x2 = -+ 2k.7r 10) x1 = -+ 2k.7r ,· 6 3 13 ' 3 -3 105 1 Y1 =-l;y 2 = 2· -- 4 s� ff 3ff ff b ff x2 =-+2kff 11) x1 =-+2kff;x2 =-+2kff 12) x=-+- 13) x =-+2kff• 36 2 4 2 I 3 ' 5ff ff 2ff 3ff x2 =-+2kff; x 3 =kff 14) x, =-+2kff; x2 =-+2kff; x3 =-+2kff 3332 5.10 Goniometrický tvar komplexních čísel V kpt. 2.5 jsme komplexní čísla zapisovali v tzv. lm algebraickém tvaru, tj. ve tvaru z= a+ bi. Označme nyní (fJ orientovaný úhel v Gaussově z __ a+bt' a= IZ lcosq;, rovině, jehož počáteční rameno tvoří kladná b +------------ poloosa Re, koncové rameno pak spojnice obrazu čísla s počátkem. Pak je a= lzl cos rp; b = lzl sin rp a číslo z můžeme psát ve tvaru IZIb= I z [sin q;, z= a+ bi = lzlcos(f) + ilzlsin(f), tj. lz = lzl(cosrp + isin(f))I. o q;, a Re Tomuto zápisu říkáme goniometrický tvar komplexního čísla. Argument rp nazýváme amplitudou komplexního čísla z . 1.Příklad: Převeďme na goniometrický tvar: a) z= ✓3+ i b) z= ✓3-i c) z= 1d) z= -i a) z= ✓3 +i: b) z=✓3 -i: a= lzlcos(f) ⇒ cosrp = � = ✓31 ( ) z 2 ff ff . . ff I I ⇒ rp = -⇒ z = 2 cos-+ 1 sm - . . b 1 6 6 6 b = lzlsmrp ⇒ sm(f) = Q = 2 a ✓ 31 COS(f) = -= - llff llff .. llff lzl=.J(✓3)2+12 =2; lzl 2 ⇒(f)=-⇒z=2(cos-+zsm-) . b 1 6 6 6 c) z = 1 : lzl = 1; Slil(/J =-=-- lzl 2 a I COS(/J = -= 1 lzl .. ⇒ (fJ = O ⇒ z = cos O + 1 sm O . b O Sin(/J = -= lzl a I COS(/J =-= 0 .lzl 3ff 3ff . . 3ff d) z=-1: lzl=l· ⇒rp=-⇒z=cos-+zsm- , . b 2 2 2 Slil(/J =-=-1 lzl 2. Příklad: Převeďme na algebraický tvar: a) z= 2✓2( cos 7: + i sin 7:) b) z= 3-(cos210° + isin210°) 106 1 a) z=2✓2(cos7: +isin 1:)=2✓2( � -i�)=2-2i b) z=3-(cos210°+isin210°)=3•(-✓3 +i_!_)=-3✓3 +ii 2 2 2 2 Součin dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru: lz1 I ( cos q,1 + i sin q,1) • lz2 I ( cos <Pz + i sin q,z) = lz1 I· lz2 I• ( cos q,1 + i sin q,1) • ( cos q,2 + i sin q,2) = = lz1 I· lz2 I· ( cos q,1 cos q,2 + i sin q,1 cos q,2 + i cos q,1 sin q,2 + i2 sin q,1 sin q,2) = = lz1 I · I zJ [ ( cos q,1 cos q,2 -sin q,1 sin q,2 ) + i ( sin q,1 cos q,2 + cos q,1 sin q,2)] = = I lz1 I · lz2 I• [ cos( q,1 + q,2) + i sin( q,1 + q,2)] I . Podíl dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru: lz1l(cosq,1 +isinq,1) lz1I (cosq,1 +isinq,1)-(cosq,2 -isinq,2) lz2 I ( cos q,2 + i sin q,2) = lz21 · ( cos q,2 + i sin q,2) · ( cos q,2 -i sin q,2) = lz1 I cos q,1 cos q,2 + i sin q,1 cos q,2 -i cos q,1 sin q,2 -;2sin q,1 sin q,2 = lz21 · cos2 q,2 -;2 sin2 q,2= _ lz1I (cosq,1 cosq,2 +sinq,1 sinq,2)+i(sinq,1 cosq,2 -cosq,1 sinq,2) _ -lz2I. cos2 'P2 +sin2 'P2Speciálním případem součinu dvou komplexních čísel je druhá mocnina komplexního čísla: z2 = {lzl ( cos q, + i sin q,) }2 = lzl2 ( cos 2q, + i sin 2q,) . Součin dvou komplexních čísel je možno zobecnit na součin n činitelů, podobně druhou mocninu lze zobecnit na mocninu ntou. Dostaneme tak tzv. Moiverovu větu: zn={lzl(cosq,+isinq,)r = lzr (cosnq,+isinnq,). n-tá komplexní odmocnina: n -tou odmocninu z komplexního čísla aE C budeme značit ( ef;)c, abychom ji odlišili od odmocniny z čísla reálného. Pro každé a EC, a=lal(cosa+isina); nEN je z=(ef;)c,kde z=lzl(cosq,+isinq,), právě tehdy, když zn =a, tedy: lzln (cosnq, + i sin nq,) = lal(cosa + i sin a)= lal[cos(a + 2k:c) + isin(a + 2k:c)] Tato dvě komplexní čísla jsou si rovna právě tehdy, rovnají-li se jejich absolutní hodnoty a amplitudy, tj.: ( "r) a+ 2k:c a 2k:c lzln =lal⇒lzl= ❖a c; nq,=a+2k:c⇒q,=--=-+-; kEZ; přičemž pro k2 = k1 + n je n n n . (a 2k21e) . (a 2(k1 +n):c) . (a 2k1:c 2 ) . (a 2k11e) sm -+-- =sm -+---- =sm -+--+ :c =sm -+-- n n n n n n n n (totéž pro kosinus). Pro k> n -l tedy dostáváme tatáž čísla, proto stačí uvažovat k=O,l, ... ,n-l. 107 Tedy: ( �lal(cosa + i sin a) )c = vrar[ cos(�+�)+ isin(�+� )J k= O,I, .. ,n-I n -tá komplexní odmocnina má tedy n hodnot. Absolutní hodnoty komplexních odmocnin z téhož komplexního čísla jsou si tedy rovny a amplitudy se postupně liší o 2,r . Je-li n = 2, n jsou komplexnímui odmocninami dvě opačná komplexní čísla, pro n > 2 tvoří obrazy odmocnin v Gauusově rovině vrcholy pravidelného n -úhelníka vepsaného do kružnice opoloměru vfaf . 3. Příklad: Řešme rovnici x4 = -1 v množině <C. Řešení: x=(�,Cil =(�l-{cos1r+isin1r)) ⇒x=cos(;r + 2k1r)+isin(1r + 2k;r); k=O,I,2,3, C 4 4 4 4 tedy: Jr . . Jr ✓2 ✓2. x1 = cos-+ zsmX =-+-l lm 4 4 I 2 2 , ✓2 ✓2.✓2 ✓2. X, =--+-I ✓2 ✓2. 3,r . . 3,r x2 =cos-+zsmX =-+-I I 2 2 4 4 5,r . . 5,r x3 =cos-+zsm4 4 7,r .. 7,r x4 =cos-+zsm4 4 Neřešené úlohy: X =--+-z 2 2 2 ' ✓ 2 ✓2. X =----l 3 2 2 ' ✓ 2✓2. X =---l. 4 2 2 Převeďte na goni_ometrický tvar: 1) a) i b) 1-ic) -0,5·{l+i✓3) Převeďte na algebraický tvar: -2 2 -1 ✓2 ✓2. X=----/ 3 2 2 2)a) }i(cos 7: +isin 7:) b) 3·(cos13 6°+isin136°) c) 4(cos1� +isin1�} V oboru <C řešte rovnice 3) x2 = i 4) x3 = -1 Výsledky 5) x2 = 7-24i 6)x6 = 64. lRe 1) ) 1r · · 1r b) �2 ( S;r · . S;r) ) ll;r . . l l;r 2) ) O 5 O 5. a cos-+zsm- "L cos-+zsmc cos-+1sma . - . z 2 2 4 4 6 6 b)-2.157+2.085i c) ✓ 6+✓ 2+i (✓ 6-✓2) 3) X1 =✓2+ ✓2i; Xz =-✓2_ ✓2i 2 2 2 2 4) X1 = -1 ; X2 = .!_ + ✓) i ; X3 = .!_ _ ✓) i 5) X1 2 = ±{ 4 -3i) 2 2 2 2 . ' 6) x1,2,3,4•5•6 = 2[ cos(;+ k;)+ i cos(;+ k;) l k= 0,1,2,3,4,5. 108 5.11 Konstrukce grafů funkcí Znalost práce s grafem funkce patří k základní výbavě budoucího strojního inženýra. Uvažujme obecně funkci y = f(x), jejíž graf je sestrojen na připojeném obrázku (konkrétní funkční předpis v tuto chvíli není důležitý). V technických aplikacích je třeba funkční předpis často modifikovat několika málo úpravami a sestrojovat grafy takto modifikovaných funkcí. .) a) změna znaménka K nejčastějším úpravám patří: a) změna znaménka b) aplikace absolutní hodnoty c) přičtení konstanty d) násobení konstantou , , Všechny tyto modifikace lze aplikovat a.) na funkci 13) na argument funkce a.) u funkce y = f(x) ➔ y = -f(x): má za následek záměnu kladné a záporné poloosy y -graf funkce -f(x) je souměrný s grafem funkce f(x) podle osy x, 13) u argumentu funkce y = f(x) ➔ y = f(-x): má za následek záměnu kladné a záporné poloosy x -graf funkce f(-x) je souměrný s grafem funkce f(x) podle osy y, • j y =-f(x) Y = f(-x) b) aplikace absolutní hodnoty a.) na funkci y = f(x) ➔ y = IJ(x)I: má za následek změnu znaménka záporných funkčních hodnot - v záporných hodnotách se graf funkce překlápí kolem osy x 13) na argument funkce y = f(x) ➔ y = j(lxl): má za následek „ztrátu" informace o hodnotách původní funkce v záporné poloose xgraf je souměrný podle osy y, -i .".> -1 ,/ \"-__ /z_Y = f(x) -2 109 y= f(lxlJ' \ / \,_j"-y = f(x) 2 ·6 I \ .3 \ .' '~\Y =f(x) -2 c) přičtení konstanty (posouvání grafu) a) k funkci f(x) ➔ f(x) + c: posouvá graf po ose y „souhlasně" -pro c > O nahoru (ve směru kladných hodnot), pro c < O dolů (ve směru záporných hodnot), 13) k argumentu f ( x) ➔ f ( x + c) : posouvá graf po ose x „nesouhlasně" -pro c < O doprava (ve směru kladných hodnot), pro c > O doleva (ve směru záporných hodnot), 1\\\\\\\ '·-...__../' / l I/ ť/' J/ _ ... -·t' ' ....... -...,--...., ·"-'-, '-..._ ------ ,,.,,,/I; //1 '\\\'.\\ \__ , • i,1 / / / �"· •· •. '' ...._ ,. ___ _,/. /I/' ,\1\\\ ----✓/; i/' /.,,.. ', , " ... "- I I \\,'-//////// '-.. ,'.\.,,\.,,, -.......__...- /// \' \ '---- /1" I, I ' ',' ' '·· / / ' \\ ''-.__...,...- ; / ť/-' ... '\..._ '--, '�----.,,/ I \\. ,·11/f � -...__/,, ./r '\ '\..__./ r l I I , ,/ ., . I '- -......_ ______ ...,. ,.. y = j(.Y)+c c>O J' =f(.Y)+c \ I , = j(.Y+c) c<O lll--�•► <�::2;.t;?�:::�;2< d) násobení nenulovou konstantou (prodlužování, resp. zkracování grafu) a) funkce f(x) ➔ cf(x), c >O: po ose y „souhlasně" -pro c > 1 prodlužuje, pro c < 1 zkracuje, 13) argumentu f(x) ➔ f(c• x), c >O: po ose x „nesouhlasně"-pro c > 1 zkracuje, pro c < 1 prodlužuje. ., .5 .., A�:;� //;//:::;�>-,\ lt::�:-\ �:-, ½�--:=;: ... í-:<0 (f:-=::: ,%· . .:�, 1 y = cf(-Y) c> 1 .., l IC ·;( ,l ��� -1/-h >-� .. y = cf(.Y) c</ • c<l 110 / ~: -_:~~p__,,---::,< .. .,..:::;::. /~_,/:,,--;/;/ c>l / ,'/,/,, '.-'-:,,__,,..,'tc,' tc.'"'. 'I -~,--~- -+--~- ~ J' = /(<.'..'\) ) I ~~-;·- ~ :~ Je vidět, že součet prvního a posledního členu posloupnosti je roven součtu druhého a předposledního členu atd. Je-li celkový počet členů n, těchto součtů je n. Je tedy 2 3. Příklad: První člen aritmetické posloupnosti je a.1 = 6 , součet deseti členů pak s10 = 195 . Určeme desátý člen a10 a diferenci d. Řešení: 10 SIO =-(al +a10 ) 2 SJO = 5al + 5al0 _ S10 -5a1 _ 19 5 -5 · 6 _ 3 3 alO -�-� ⇒alO ----- 5 5 a -a 33-6 a10 = a1 + 9d ⇒ d = io i = --= 3 9 9 4. Příklad: Spodní vrstva dvanácti vrstev srovnaných trubek obsahuje 120 kusů trubek. Kolik trubek je celkem na hromadě, obsahuje-li každá následující vrstva o jednu trubku méně? Řešení: Jedná se o součet dvanácti členů aritmetické posloupnosti, kdea1 = 120; d = -1. Je tedy n( n -1) 12 • 11 13 2 s12 =na1 +_.;..._...;...d = 12·120+--•(-1) = 1440--= 1440-66= 1374 2 2 2 Pro součet n členů geometrické posloupnosti máme: Sn = al + a2 + a3 + ..... + an-1 + an 2 n-2 n-1 Sn =al +a1 q+a1 q + ..... +al q +al q (1 2 n-2 n-1) Sn =a1 +q+q + ..... +q +q (1 · 2 n-2 n-1) 1-q Sn =a1 +q+q + ..... +q +q ·-- l-q (1 +q+ q2 + ..... + qn-2 + qn-1)(1-q) ¾=a1 l-q Roznásobením se můžeme přesvědčit o tom, že výraz v čitateli posledního zlomku je roven l-n l-qn,jetedy Sn =a1, __ q_ l-q8 5. Příklad: Určeme první člen a kvocient geometrické posloupnosti, jestliže a4 = -3; 32 a6 =--. 3 117 Řešení: Protože a6 = q2a4, je q= f=ft= ✓4 =2; a, =a,q' ⇒a,=::= } =-½ 6. Příklad: Na konci roku připisuje spořitelna 5% z částky na účtu, na který pravidelně ročně ukládáme 1000,-Kč. Jaká částka bude na účtu po uplynutí pátého roku? Řešení: K tisícikoruně vložené v roce výběru připíše spořitelna 5%, tj. 50,- Kč. Z této tisícikoruny tedy dostaneme 1000 • 1, 05 Kč. Z tisícikoruny vložené rok předtím obdržíme 1000 · 1, 052 atd. Částky získané z vkladů v jednotlivých letech tedy tvoří geometrickou posloupnost, kde a, = 1 000 • q = l 000 • 1, 05 = 1 050; q = l, 05 . Celkovou částku dostaneme jako součet pěti členů této posloupnosti, tj. s5 = a, l -q5 = l 050 · l -l, 055 � 5 802Kč. 1-q 1-1, 05 Neřešené úlohy: 1) Určete a,; n v aritmetické posloupnosti, jestliže an = 80; d = 8; sn = 416. 2)U v • k, I . . 1. 70 28 rcete a, ; q v geometnc e pos oupnostI, Je1 a, + a4 = -; a, -a2 + a3 = -. 9 9 3) Určete teplotu v dole 1 O 15 m pod povrchem, víte-li, že v hloubce 25 m je teplota 9°C a každých 33 m teplota stoupne o 1 °C. 4) Po průchodu skleněnou deskou ztrácí světelný paprsek pětinu své energie. Kolik procent původní energie mu zůstane po průchodu pěti takovými deskami? 5) Předpokládejme, že již ve středověku existovala banka, která přijímala současnou měnu a která funguje dodnes. Při založení Karlovy univerzity v r. 1348 jí její zakladatel Karel IV. věnoval 1,--Kč, kterou uložil na tříprocentní úrok. Jakou částku by univerzita inkasovala v r. 2 000? 6) Podle staroperské legendy si vynálezce šachové hry řekl o odměnu ve formě pšeničných zrn, a to tak, že za první políčko šachovnice chtěl jedno zrnko, za druhé dvě, za každé následující pak vždy dvojnásobek. Tehdejší perský král Balhir udiven jeho skromností přikázal zrna spočítat a pytlík pšenice přinést. Kolik zrn by musel tento „pytlík" obsahovat? Výsledky: 1) a, =-l6;n= l3 2) a, =�;q=I 3)39°C 4)asi33% 5) '1.032000-1348 =23 43 52995Kč 9 2 6) s64 = l · l-264 -18 446 744 073 709 551 615 zrn (několik desítek plně naložených 1-2 nákladních vlaků pšenice) 118 6 Planimetrie Opravdovým matematikem může být pouze ten, kdo se omatematiku zajímá zcela nezištně (Euklides) 6.1 Úhel V kapitole 1.4 jsme zopakovali některé základní množiny bodů -geometrické útvary: bod, přímka rovina, polopřímka, polorovina, úhel a jeho velikost, trojúhelník, kružnice a kruhový oblouk. V kapitole 5.7 jsme tyto poznatky doplnili o obloukovou míru úhlů. Výsledky těchto předběžných úvah využijeme nyní k soustavnějšímu zopakování geometrických poznatků. V této kapitole se budeme zabývat geometrií v rovině -planimetrií, v kapitole následující pak geometrií v prostoru -stereometrií. Zopakujme, že úhlem rozumíme buď průnik dvou polorovin s různoběžnými hraničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel). Dále budeme potřebovat následující pojmy: Vrcholové úhly: Dvě různoběžky p, q se společným bodem V rozdělí rovinu na čtyři úhly - dvě dvojice úhlů jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Takové úhly nazýváme úhly vrcholové. Vrcholové úhly jsou shodné. Úhly souhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p li q; m x p. Souhlasnými úhly rozumíme úhly ležící v téže polorovině s hraniční přímkou m, přičemž oba jsou zároveň ostré nebo tupé. Střídavými úhly rozumíme úhly ležící v opačných polorovinách s hraniční přímkou m , přičemž jsou oba zároveň ostré nebo oba zároveň tupé. Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou shodné. q vrcholové úhl/ q p souhlasné úhly m q střídavé úhly p Souhlasné a střídavé úhly lze definovat obecně i mezi přímkami, které rovnoběžné nejsou. Definice je formálně poněkud složitější, proto ji jen naznačíme: souhlasnými úhly rozumíme úhly, které leží na „stejné straně přímky m" (tj. současně vlevo nebo současně vpravo) a na „stejných stranách přímek p,q" (tj. současně nahoře nebo dole). Přímky p,q pak nemusí být rovnoběžné a souhlasné úhly nemusí být shodné (podobně pro úhly střídavé). Výše uvedené věty bychom pak mohli formulovat ve tvaru implikace, např:: Jestliže jsou přímky p, q rovnoběžné, pak souhlasné (střídavé) úhly jsou shodné. Pro takto definované souhlasné a střídavé úhly platí i věta obrácená: Jestliže jsou souhlasné (střídavé) úhly shodné, pak jsou přímky p, q rovnoběžné. Větu tedy můžeme vyslovit ve tvaru ekvivalence: Souhlasné (střídavé) úhly jsou shodné'právě tehdy, kyž jsou přímky p, q rovnoběžné. 119 7 / 6. 2 Trojúhelník Trojúhelníkem ABC (označíme MBC) rozumíme průnik polorovin b C B MBC = ABC n ACB n CBA, kde A;B;C jsou navzájem různé body, které neleží na jedné přímce. Nazýváme je vrcholy trojúhelníka. Spojnice vrcholů nazýváme strany trojúhelníka a znac1me malými písmeny (AB=c; BC=a; AC=b). Malá písmena lze tak chápat v podstatě trojím způsobem: a) jako označení přímky, na které leží dva vrcholy, b) jako označení strany trojúhelníka (tj. označení úsečky), c) jako velikost příslušné strany. Konkrétní význam bývá vždy zřejmý ze souvislostí. Sjednocení stran trojúhelníka nazýváme obvodem trojúhelníka. Konvexní úhly a= �BAC ; fJ =�BC ; r = �CB jsou vnitřní úhly trojúhelníka, úhly k nim doplňkové jsou pak vnější úhly trojúhelníka. tj,: Součet vnitřních úhlů trojúhelníka: V MBC veďme např. vrcholem C rovnoběžku se stranou c a označme a'; fJ' úhly dle připojeného obrázku. Je a'+ /J'+ r = 180°. Protože však a'= a; /J' = fJ (střídavé úhly), je a + fJ + r = 180° . Součet vnějších úhlů trojúhelníka: V MBC označme a';[J';r' vnější úhly. Je tedy a' = 180° -a ; fJ' = 180° -/J ; r' = 180° -r ' a'+ /J'+ r' = (180° -a)+ (180° -/J) + (180° -r) a'+ fJ '+ r' = 540° -( a + fJ + r) a'+ /J'+ r' = 540° -180° a'+ /J'+ r' = 360°. Trojúhelníky dělíme: podle délek stran na -různostranné -rovnoramenné -rovnostranné, podle velikosti vnitřních úhlů na -tupoúhlé -pravoúhlé -ostroúhlé. Trojúhelníková nerovnost: Součet délek libovolných dvou stran trojúhelníka je vždy větší než délka třetí strany. Rozdíl délek libovolných dvou stran trojúhelníka je vždy menší než délka třetí strany. Proti větší straně trojúhelníka leží větší vnitřní úhel. 120 --- A C B Proti menší straně trojúhelníka leží menší vnitřní úhel. Proti shodným stranám trojúhelníka leží shodné vnitřní úhly. Shodnost trojúhelníků: Trojúhelníky stejně jako jiné útvary jsou shodné právě tehdy, lze-li jeden na druhý přemístit tak, že splynou. V případě trojúhelníků to znamená, že musí mít shodné všechny strany a všechny úhly. Zapisujeme MEC= M.'B'C'. Vrcholy trojúhelníka v tomto zápisu je třeba chápat jako uspořádané trojice. Tento zápis totiž znamená, že shodné jsou právě strany AB:::A'B'; AC:::A'C'; BC:::B'C'.a úhly a=a'; /3=/3'; r=r'.Při zjišťování shodnosti trojúhelníků však není nutné dokazovat shodnost všech tří stran a zároveň všech tří úhlů. Stačí dokázat, že je splněna některá z postačujících podmínek shodnosti trojúhelníků. Ty jsou formulovány v tzv. větách o shodnosti trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují: věta sss: ve všech třech stranách; věta sus: ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich; věta usu: v jedné straně a úhlech k ní přilehlých. Podobnost trojúhelníků: Dva trojúhelníky M.BC; M. 'B 'C' se nazývají podobné (značíme M.BC - M. 'B'C') právě tehdy, když existuje kladné reálné číslo k (koeficient podobnosti) takové, že IABI = k-lA'B'I; IACI = k-lA'C'I; IBCI = k-lB'C'I. Stejně jako v zápisu shodnosti i v zápisu podobnosti je třeba chápat vrcholy jako uspořádané trojice. Zápis nás tedy informuje nejen o podobnosti samotné, ale rovněž o tom, které vrcholy, strany a úhly si v této podobnosti „odpovídají". Ani podobnost trojúhelníků nemusíme ověřovat vždy přímo z definice, i zde existují věty opodobnosti analogické větám o shodnosti: Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, když: věta uu: se shodují ve dvou úhlech; věta sus: se shodují v poměru dvou stran a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shodují v poměru dvou stran a úhlu proti větší z nich. Příčky v trojúhelníku jsou spojnice významných bodů. Jejich názvy se používají opět v podstatě ve třech významech: a) jako označení přímky, na které leží dva významné body; b) jako označení úsečky, kde významné body jsou zároveň body krajními; c) jako velikost úsečky z bodu b ). Většinou se chápou ve významu b ), případný jiný význam je většinou patrný z kontextu (např. ,,trojúhelník má výšku 5 cm"). Střední příčka -spojnice středů dvou stran. Trojúhelníky M.BC a flSBSAC se shodují v poměru velikostí dvou stran IACI = 2 · ISBcj; IBCI = 2 · ISAcj a úhlu jimi sevřeném (úhel r mají společný). Podle věty sus jsou tedy podobné. Znamená to, že i IABI = 2. 1s bsa I, a <r.BAC = <r.SaSb C. Tyto úhly jsou však 121 souhlasné úhly mezi úsečkami AB; sbsa. Tyto úsečky musí být tedy rovnoběžné (viz poslední větu předchozí kapitoly). Totéž platí i pro zbývající příčky: Každá střední příčka je rovnoběžná se stranou, kterou neprochází, a má poloviční délku. Al-��-_j Se Výška -kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Všechny výšky se protínají v jednom bodě (tzv. ortocentrum). V případě tupoúhlého trojúhelníka se tento bod nachází mimo trojúhelník. MC� -MCPi, (věta uu -oba A střední příčky C vvškv � B pravoúhlé, <r.ACB společný). Tedy: 1 a b a vb a Va 1 1 -=-⇒-=-⇒-=-⇒a:b=-:-. vb Va b Va b 1 Va vb Vb 1 1 1 Shrnuto: a : b : c = - : - : - Va Vb Ve Těžnice -spojnice vrcholu a středu protější strany. Všechny těžnice se protínají v jednom bodě (tzv. těžiště). MTC -11SJSc (věta uu - scsa li AC). IACI = 2. 1scsa I⇒ IATI = 2. ITSa I (analogicky na zbývajících těžnicích). B Težiště dělí každou těžnici v poměru 2:1. 6.3 Kružnice a kruh Kružnice: je množina bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu (středu) stejnou vzdálenost (tzv. poloměr kružnice). Poloměrem kružnice nazýváme zároveň každou úsečku s jedním krajním bodem ve středu kružnice a druhým na kružnici. Kružnici značíme nejčastěji k (v případě potřeby odlišujeme indexem). Kružnici nejčastěji zadáváme jejím středem a poloměrem. Je-li kružnice k určena středem S a poloměrem r, zapisujeme k= (S,r) . Kruhový oblouk: Dva body kružnice A E k; B E k rozdělí tuto kružnici na dva kruhové oblouky (kruhový oblouk značíme AB ). Tětiva kružnice k= (S,r) je libovolná úsečka AB, kde A,B E k. Prochází-li středem kružnice, nazýváme ji průměrem kružnice. Průměr je tedy nejdelší tětiva kužnice. Podobně 122 B těžnice 1 1 Podobně b : c = ;: : ;; . I _I 1j tečny z bodu ke kružnici středový a obvodový úhel \ A k velikosti středového a obvodového úhlu jako u poloměru používáme i termín průměr také ve smyslu „velikost nejdelší tětivy". Značíme d a platí d = 2r. Kružnice a přímka: mají a) dva společné body (takovou přímku nazýváme sečnou), b) jeden společný bod (přímku nazýváme tečnou, společný bod je bod dotyku, říkáme také, že kružnice se dotýká přímky), c) žádný společný bod (hovoříme o vnější přímce). Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy). Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje střed s bodem dotyku. Bodem M ležícím vně kružnice k procházejí právě dvě tečny této kružnice. Délka úsečky MF se nazývá délka tečny. Úhel ev = <r.ASB, jehož vrcholem je střed kružnice a ramena procházejí krajními body oblouku AB, nazýváme středový úhel příslušný tomuto oblouku. Každý úhel a = <t.A VB , kde body A, V,B leží na kružnici, nazýváme obvodovým úhlem příslušným k oblouku AB , který v tomto úhlu leží. Uvažujme případ, že S E <r.AVB (viz připojený obrázek). Rozdělme středový i obvodový úhel přímkou spojující body V, S , druhý průsečík s kružnicí označme W . Dále označme <r.A VS= a,; <t.BVS = a2; <r.ASW =ev,; <t.BSW = ev 2• Protože IVSI = IASI(= r), je <t.VAS =a,. Ze známého součtu úhlů v � VAS máme l<r.ASVI = 180° -2a1 • Úhel <r.ASV je však také vedlejší k ev, , je tedy I <r.ASVI = 180° -ev1 • Znamená to, že l<r.ASVI = 180° -ev, = 180° -2a1 ⇒ ev, = 2a, . Stejně lze ukázat, že ev 2 = 2a2• Je tedy ev, + ev 2 = 2a 1 + 2a2 ⇒ ev, + ev 2 = 2(a1 + a2). Avšak ev, +ev2 =ev; a, +a2 =a, tj. lev=2al. V případě, že S ť <r.A VB je postup analogický a výsledek stejný. Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti úhlu obvodového příslušného k témuž oblouku. Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné. Speciálním případem je: Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý (neboli všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé). 123 Konvexní úhel <r.ABX , kde body AB leží na kružnici a X na tečně k této kružnici v bodě A (popř. B) se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB , který v tomto oblouku leží. Úsekový úhel je shodný se všemi obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku. Al""=-------'-c>"-+-----'----""'IB Mocnost bodu ke kružnici: Je dána kružnice k= (S,r) A Thaletova věta s A X úsekový úhel ,___�T a libovolný bod M. Tímto bodem veďme sečnu (event. tečnu) p ke kružnici k a označme A, B průsečíky této přímky s kružnicí, tj. A,BEknp (event. pro tečnu je A=B=T). Pro každou takto sestrojenou přímku procházející pevným bodem M je Je-li bod M vně kružnice k, nazýváme tento součin mocností bodu ke kružnici, je-li uvnitř kružnice, je mocností číslo -I.MAI· IMBI. Mocnost bodů ležících na kružnici, je rovna nule. M Kružnice a trojúhelník: Kružnice trojúhelníku opsaná: je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os stran, poloměr značíme obvykle r . Kružnice trojúhelníku vepsaná: je ·kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os vnitřních úhlů, její poloměr značíme obvyklep. mocnost bodu ke kružnici C kružnice trojúhelníku vepsaná Kruh: je množina bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu (středu) vzdálenost menší nebo rovnu danému kladnému číslu (tzv. poloměr kruhu). Poloměrem kruhu nazýváme zároveň každou úsečku s jedním krajním bodem ve středu kružnice a druhým na kružnici. 124 ) JJMAJ · JMBI = konst = JMTJ 2 J. kruhová výseč úseč mezikruží výseč mezikruží SJ Kruh značíme nejčastěji K (v případě potřeby odlišujeme indexem). Kruh nejčastěji zadáváme jeho středem a poloměrem. Je-li kruh takto určen, zapisujeme K= (S,r). Množinu bodů, jejichž vzdálenost je rovna poloměru, nazýváme hranicí kruhu (popř. hraniční kružnicí), množina bodů, jejichž vzdálenost je menší, tvoří vnitřní oblast (vnitřek) kruhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je větší, tvoří vnější oblast (vnějšek) kruhu. Dva poloměry SA, SB rozdělí kruh na dvě kruhové výseče, tětiva AB na dvě kruhové úseče. Je-li AB průměr kruhu, nazýváme úseč půlkruhem. Dvě kružnice: Dvě kružnice o různých poloměrech mohou mít nejvýše dva společné body. Mají-li dvě kružnice společný střed, nazýváme je soustředné. Soustředné kružnice buď nemají žádný společný bod nebo mají všechny body společné (splynou). Dvě soustředné kružnice k1 = (S; l'j); k2 = (S; r2); r2 > l'j určují tzv. mezikruží. Je to množina bodů, které mají od bodu S vzdálenost r E ('i; r2 ) • Číslo r2 -l'j nazýváme šířkou mezikruží. Průnik středového úhlu a mezikruží se nazývá výseč mezikruží. Kružnice, které nemají společný střed, se nazývají nesoustředné. Dvě nesoustředné kružnice k1 = (S; l'j); k2 = (S; r2); r2 > l'j mohou mít právě jednu z poloh znázorněných na připojeném obrázku. 6) 125 G A G sedmiúhelník E A B 6.4 n -úhelníky n -úhelníkem rozumíme množinu bodů, kterou lze zapsat jako sjednocení n - 2 trojúhelníků, z nichž vždy právě dva mají právě jednu společnou stranu (tzv. tvořicích trojúhelníků). n -úhelník nazýváme konvexní právě tehdy, když platí: leží-li body A;B v mnohoúhelníku, pak v mnohoúhelníku leží celá úsečka AB . Úhlopříčka je spojnice dvou vrcholů, které spolu nesousedí. Součet vnitřních úhlů je součtem vnitřních úhlů všech tvořicích trojúhelníků, tj. (n -2) -180°. Pravidelný n -úhelník je n -úhelník, který lze zapsat jako sjednocení n rovnoramenných trojúhelníků, které mají společný hlavní vrchol a vždy právě dva mají právě jedno společné rameno. Speciálně místo pravidelný trojúhelník pouz1vame název rovnostranný trojúhelník a místo pravidelný čtyřúh�lník používáme název čtverec. Speciální čtyřúhelníky: C Lichoběžník: je čtyřúhelník, který má právě jednu dvojici rovnoběžných stran. Strany, které rovnoběžné nejsou, nazýváme ramena. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, se nazývá rovnoramenný. pravideln;'.1 sedmiúhelník Rovnoběžník: je čtyřúhelník, který má právě dvě dvojice rovnoběžných stran. Na připojeném obrázku je MCD = !iCAB podle věty usu (strana AC je společná, úhly k ní přilehlé jsou střídavé mezi rovnoběžkami). Znamená, to, že AB = CD ; BC = DA . Dále tedy MBS = !iCDS ( opět věta usu, neboť AB = CD a přilehlé úhly jsou opět střídavé úhly mezi rovnoběžkami). To znamená, že AS = SC ; ES = SD . Shrnuto: rovnoběžník C kosočtverec Protější strany v rovnoběžníku jsou shodné. Úhlopříčky rovnoběžníka se půlí. Obě tyto vlastnosti jsou podmínkami postačujícími, tj. platí věty: Jestliže jsou protější strany čtyřúhelníka shodné, pak jde orovnoběžník. Jestliže se úhlopříčky čtyřúhelníka půlí, pak jde rovněž orovnoběžník. Kosočtverec: je rovnoběžník, který má shodné i sousední strany. V tom případě je MDS = !iCDS (usu), a proto <r.ASD = <í.CSD. Tyto úhly jsou ale úhly vedlejší, proto musejí být pravé: Úhlopříčky v kosočtverci jsou na sebe kolmé. 126 b) CY = 180° -p-r = 180° -49° 25'-108° 40' = 21° 55' _t_=_s_⇒t= ssinr = 722-sin108° 40' ::::::1 832 57 sinr sinCY sinCY sin21° 55' ' _r_=_s_⇒r= ssinp= 722-sin49° 25' ::::::l 469 04 sinp sinCY sinCY sin21° 55' ' ✓-✓✓ y C a,// / / ,./ Vb b Kosinová věta: Uvažujme obecný trojúhelník ABC, v němž jsou známy strany a;b a úhel r, který tyto strany svírají (viz připojený obrázek). Naším úkolem je zjistit velikost strany c. Sestrojme výšku v6, která rozdělí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky a její pata rozdělí stranu b na úseky b1; b2 • Platí: siny= vb ⇒ vb = a siny, a b cos r = _.l. ⇒ bl = a cos r. a Podle Pythagorovy věty je: Dosazením za vb a b1 z výše uvedených vztahů je: Tedy: c2 = a2 (sin2 r + cos2 r) + b2 -2abcosr = a2 + b2 -2abcosr. I Poslední uvedený vztah vyjadřuje tzv. kosinovou větu pro stranuc. Při výpočtu strany a resp. b bychom dostali analogické vztahy. Shrnuto: c2 = a2 + b2 -2ab cos r a2 = c2 + b2 -2bc cos a b2 = a2 + c2 -2ac cos /J Opět je důležité uvědomit si tyto vztahy i pro trojúhelník označený jinak: m2 = n2 + r2 -2nrcos µ, n2 = m2 + r2 -2mr cos v, r2 = m2 + n2 -2mn cos p. Kosinová věta je zobecněním věty Pythagorovy, neboť např. je-li v trojúhelníku ABC úhel r = 90° = 1r , pak je 2 c2 = a2 + b2 -2ab cos r ⇒ c2 = a2 + b2 -2ab cos ,r ⇒ c2 = a2 + b2 -2ab · O ⇒ c2 = a2 + b2 • 2 133 B \ \C \ 2. Příklad: Vypočtěme zbývající strany a úhly v trojúhelníku, je-li dáno: a) MEC: a= 7; b=4; r=38° b) MIM: 1=32; m=40; K=l00°2l'. Řešení: a) c = ,Ja2 + b2 -2abcosr = ✓72 + 42 -2 • 7 · 4 · cos38° i:::: 4.57, _b_ = _c_ ⇒ sin/3 = bsinr = 4-sin38° � 0_5389⇒/3 i:::: 32036, sin /3 siny C 4.57 a= 180° -/3-r = 180° -32°36'-38° = 109°24 I, b) k= .J12 +m2 -2/mcOSK = ✓322 +402 -2-32 · 40· cosl00°2l' i:::: 55.53' _k_=....!!!:_⇒ sinµ= m sin K = 40 · sin 100°21' i:::: O. 7086 ⇒µi:::: 45007,, sin K sinµ k 55.53 A= 180° -K -µ = 180° -100°21 '-45°07' = 34°32 I. Větu sinovou používáme, je-li trojúhelník dán ' a) dvěma úhly a jednou stranou (tj. podle věty usu); b) dvěma stranami a úhlem proti jedné z nich. Je-li dán úhel proti větší straně, je trojúhelník zadán jednoznačně podle věty Ssu a úloha má právě jedno řešení. Není-li tomu tak, má úloha dvě řešení. Větu kosinovou používáme, je-li trojúhelník dán a) dvěma stranami a úhlem jimi sevřeným (tj. podle věty sus); b) třemi stranami (tj. podle věty sss). 3. Příklad: Vypočtěme zbývající prvky (strany a úhly) v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a=12,4; /3=32°40'; r=72°30'. Řešení: Trojúhelník je zadán podle věty usu -použijeme sinovou větu. Především dopočítáme zbývající úhel: Dále je: Je tedy: a= 180°-(/3 +r) = 180°-(32°40'+ 72° 30') = 74°50'. _a_=_c_⇒c=-a-•sinr= 12, 4-sin 72° 30' :::::l2 75 sin a sin r sin a sin 74°50' ' ' _a_=_b_⇒ b =-a- -sin/3= 12, 4-sin32°40' :::::6 93. sin a sin /3 sin a sin 74°50' ' a= 74°50'; b i:::: 6, 93; c i:::: 12, 3. 4. Příklad: Vypočtěme zbývající prvky (strany a úhly) v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a= 28, 7; b = 19, 5; a= 53°20'. Řešení: Trojúhelník je opět zadán podle věty usu -použijeme sinovou větu. a b . /3 b . 19,5-sin53°20' 0 545 /3 330 --=--⇒sm =-·sma=-----::::: ⇒ i:::: sin a sin /3a 28, 7 ' r � 180° -(a+ /3) = 180° -(53°20'+ 33°) = 93°40' _a_ =-c-⇒ c =-a __ sin r = 28, 7-sin 93°40' � 35 70. sin a sin rsin a sin 53°20' ' 134 5. Příklad: Vypočtěme zbývající prvky (strany a úhly) v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 34, 8; b = 56, 3 ; y = 60° . Řešení: Trojúhelník je zadán podle věty sus -použijeme kosinovou větu: c2 = a2 +b2 -2abcosy ⇒ c = ✓a2 +b2 -2abcosy = ✓34,82 + 56,32 -2-34,8-56,3·cos60° � 49,2 Dále již lze použít větu sinovou: a c . a . 34,8-sin 60° 0 6126 37050, --=-- ⇒sma=-·smy=----::::: , ⇒a::::: . sina siny c 49,2 Konečně /3 = 180°-(a + /3)::::: 180°-(37°50'+ 60°) = 82°10'. 6. Příklad: Vypočtěme vnitřní úhly trojúhelníka ABC, jsou-li dány všechny jeho strany - a=32,4; b=56,3 ; c=72,8. Řešení: a2 = c2 +b2 -2cbcosa ⇒ cos a= b2 +c2 -a2 = 56,32 + 72,82 -32,42 ::::: 0,9051 ⇒a::::: 25010•. 2bc 2-56,3-72,8 Úhel /J můžeme počítat stejným způsobem, lze již také použít sinovou větu: f3 = 47°37'. Úhel y pak již lze jen dopočítat y = 180° -(a + /3) = 107°13'. 7. Příklad: Těleso o hmotnosti m = 2 000 kg je zavěšeno dvěma lany různé délky na vodorovné traverze. Lana svírají s traverzou úhly a= 38°26'; f3 = 49°54'. Určeme namáhání lan v tahu (počítejme s gravitačním zrachlením g = 10 ms-1 ). Neřešené úlohy: Řešení: G = mg = 2 000 · 10 = 20 000 N y = 180° -a-/3 = 180° -38°26'-49°54 I= 91 °40' Řešíme trojúhelník zadaný podle věty usu -použijeme sinovou větu: ___Si_= _!i_⇒ F. = G sin a = 20 000 · sin 38°26' ::::: 12 437 N siny sin a I sin y sin 91 ° 40' ___Si_=�⇒ F2 = Gsin/J = 20 OOO-sin 49°54'::::: 15 305 N siny sin/J siny sin 91°40' 1) V MBC je a) a= l6;b = 25;c = 36 b) a= 5;b = 6;c = 7. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů. 2) V MBC je a) a= 165;/J = 40°50';y = 69°20' b) b = 722;a = 49°25';y = 108°48'. Vypočtěte zbývající strany a úhly. 3) Na vrcholu kopce stojí rozhledna vysoká 35 m. Z údolí vidíme patu rozhledny pod úhlem 28° a vrchol rozhledny pod úhlem 31 ° . Jak vysoko je vrchol kopce nad údolím? 135 4) Obce A, B jsou spojeny s obcí C přímými cestami, které svírají úhel 63°20' a jsou dlouhé 2 003 m, resp. 1 593 m. Jak dlouhá je přímá cesta z A do B? 5) Dvě nepřístupná místa P,Q jsou pozorována z míst A,B, jejichž vzdálenost je IABI = 2 000 m. Byly změřeny úhly l.:rQABI = 52°40'; l<rPBAI = 42°01'; l<rPABI = 86°40'; l.:rQBAI = 81°15'. Určete vzdálenost jPQI (předpokládáme, že všechny body leží ve stejné rovině). 6) Z bodu A je vyslán světelný paprsek, který má po odrazu od rovinného zrcadla dospět do bodu B. Vzdálenost bodů A,B je IABI = 360 cm , vzdálenost bodu A, resp. bodu B od zrcadla je a = 70 cm resp. b = 180 cm . Určete úhel dopadu paprsku na zrcadlo. 7) Světelný paprsek dopadá na skleněnou tabuli pod úhlem 59°17' . Určete tloušťku tabule, jestliže se po průchodu tabulí paprsek posunul o 20,9 mm (index lomu skla jen= 1,53). 8) Síly o velikostech F; = 42N; F; = 35N působí na stejný bod a svírají úhel 77°12'. Jaká je velikost výsledné síly? 9) Letadlo letí ve výšce 3 500 m k pozorovatelně. Při dvou měřeních bylo z pozorovatelny vidět pod úhly 25°, resp. 48°. Jakou vzdálenost urazilo letadlo mezi oběma měřeními? 10) Po rampě se sklonem 18°40' je třeba vytáhnout těleso tíhy 280 N. Jak velká síla je k tomu potřeba a jak velká bude tlaková síla na rampu (tření zanedbejte)? Výsledky: 1) a) a� 22°20';/J � 36°25';r � 121°15' b) a� 44°25';/J � 57°07';y � 78°28' 2)a) a�69°50';b�ll4,9;c�l64,5 b) p�21°55';a�l 469;c�l 833 3)269 m 4) 2 122 m 5) 1 633 m 6) 53°54' 7) 20,8 mm 8) F � 62,35N 9) asi 4 354 m 10) 89,62 N; 265,27 N 6. 7 Obvody a obsahy geometrických obrazců Geometrickým obrazcem (dále jen obrazcem) rozumíme množinu bodů v rovině ohraničenou uzavřenou křivkou (hranicí obrazce), která do této množiny rovněž patří. Hranicí obrazce může být např. sjednocení n úseček (u n -úhelníka), kružnice (u kruhu), sjednocení kruhového oblouku a úsečky (kruhová úseč), sjednocení kruhového oblouku a dvou úsečkek (kruhová výseč) apod. Hranici obrazce může tvořit i více křivek -např. sjednocení dvou kružnic u mezikruží. Obvodem obrazce (značíme o) rozumíme délku jeho hranice. Obsahem obrazce (značíme S) je nezáporné reálné číslo, které má následující vlastnosti: 1) Obsahy shodných obrazců jsou si rovny. 2) Je-li obrazec O sjednocením obrazců 01; 02, jejichž průnikem je nejvýše jejich hranice, je obsah obrazce O roven součtu obsahů obrazců 01; 02. 3) Obsah čtverce o straně a= l (m, cm, ... ) je S= 1 (m2, cm2, ... ). 136 Přehled vzorců pro výpočet obvodů a obsahů nejdůležitějších obrazců: trojúhelník o=a+b+c 1 S=-·a·v 2a 1 =-·b·v 2 b 1 =-·C·V 2C obdélník o=2(a+b) S=a·b čtverec o=4a 1 S= a2 =-e2 2 kosodélník o= 2(a+b) s = a. Va = b. vb � C C bl a 0a a iil:/ a kosočtverec o=4a 1 S=a·v=-e·f 2 lichoběžník o=a+b+c+d 1 S=-(a+c)·v 2 kruh d=2r o= 21rr = 1rd 1 S= 1rr2 = -1rd2 4 mezikruží d1 = 2r,.;d2 = 2r2 o= 21r(r.. + r2) = 1r(d1 + d2) S= 1r(r2 2 -1{) = _!_1r(d; -d1 2) 4 pravidelný n -úhelník o=n·a 1 1 S=-·n·a·p=-·o·p 2 2 t&;la a C Ylv \b a G @ � a 1. Příklad: Obdélníková zahrada má obvod 130 m a obsah 1000 m2. Vypočtěme její rozměry. Řešení: Úloha vede na řešení soustavy dvou rovnic 2(a+b)=130 ab = 1000 Z ' . . l30-2b D ' d d h' . bd �- prvm rovmce Je a = --- . osazemm o ru e rovmce o rz1me: 2 l30-2b · b = 1000 2 2b2 -130b + 2000 = O b = 130±.Jl302 -4·2·2000 = 130±✓ 900 = 130±30 =(40 1•2 2 · 2 4 4 25 Dosazením do kterékoli rovnice dostaneme [ a1; b1] = [25; 40]; [ a2; b2] = [ 40; 25] . Zahrada má tedy rozměry 25x40 m. 2. Příklad: Jak se změní obsah obdélníka o rozměrech a; b; jestliže a)zvětšíme stranu a dvakrát a stranu b třikrát? b)zmenšíme-li oba rozměry o 5%? 137 Řešení: a) Obsah původního obdélníka je S0 = a· b ; obsah zvětšeného S = 2a · 3b = 6 ·a· b = 6 · S0, tj. obsah se zvětší šestkrát. b) Obsah původního obdélníka je S0 = a• b ; obsah zmenšeného S= 0.95a • 0.95b = 0,9025 •a• b i"::, 0.9 • S0, tj. obsah obdélníka se zmenší asi o 10%. 3. Příklad: Strany trojúhelníka jsou v poměru 3:5:7, jeho obvod je 45 cm. Určeme délky stran. Řešení: Jestliže jsou strany trojúhelníka v daném poměru, znamená to, že existuje číslo k takové, že a=3k; b=5k; c=7k. Je-li O=a+b+c=3k+5k+7k=l5k=45, pak k=3,atedy a=3k=9cm; b=5k=l5cm; c=7k=2lcm. 4. Příklad: Cestovatel vykonal po rovníku cestu kolem světa. Nad jeho hlavou tutéž cestu Geden oblet) absolvoval satelit ve výšce 500 km. O kolik kilometrů byla jeho cesta delší? Řešme pro Zemi a (hypoteticky) pro Měsíc, předpokládejme kruhové dráhy. Řešení: Pro Zemi: poloměr Země je R 2 = 6 378 km, dráha cestovatele je tedy d 1 = 21C R 2 = 2 · 6 3 78 · 1C i"::, 40 07 4 km , poloměr dráhy satelitu je R= R 2 + 500 = 6 878 km, dráha satelitu je tedy d 2 = 21CR = 2 · 6 878 · ff i"::, 43 216 km, rozdíl činí lid= d 2 -d 1 = 43 216 -40 074 = 3 142 km . Pro Měsíc: poloměr Měsíce je R M = l 738 km, dráha cestovatele je tedy d l =21CR M =2•1 738•1Ci":::,10 920km, poloměr dráhy satelitu je R= R M + 500 = 2 238 km, dráha satelitu je tedy d 2 = 21CR M = 2·2 238·1C i"::, 14 062 km, rozdíl činí lid= d2 -d1 = 14 062 -10 920 = 3 142 km, (tedy přesně tolik, kolik pro Zemi). Vysvětlení tohoto zdánlivého paradoxu není nijak složité -řešme úlohu obecně: Nechť poloměr planety je R, výška dráhy satelitu h. Délka rovníku je pak d 1 = 21CR, délka dráhy satelitu d 2 = 21C(R + h) a rozdíl lid= d2 -d 1 = 21C(R + h)-21CR = 21CR + 21Ch -21CR = 21Ch vůbec nezávisí na poloměru planety, ale pouze na výšce satelitu nad ní. Neřešené úlohy 1) Vypočtěte obvod a obsah čtverce, jehož úhlopříčka má délku 10 cm. 2) Vypočtěte obsah rovnostranného trojúhelníka, jehož obvod je 72 cm. 3) Kolo těžní věže má průměr 1,5 m. O kolik metrů se spustí klec výtahu, otočí-li se kolo pětadvacetkrát? 4. Příčný průřez náspu železniční trati má tvar rovnoramenného lichoběžníka se základnami IABI = 15 m; ICDI = 1 O, 5 m a rameny IBcj = IADI = 5 m . Vypočtěme obsah průřezu. 138 5) Kruhový stůl o poloměru 80 cm vysoký rovněž 80 cm je pokryt čtvercovým ubrusem odélce strany 1,2 m tak, že střed stolu se kryje se středem ubrusu. Jak vysoko nad zemí jsou rohy ubrusu? 6) Délky základen lichoběžníku jsou v poměru 3 :2, délka střední příčky je 5 m. Určete délky základen. 7) Běžec proběhl třikrát kruhovou dráhu a uběhl dva kilometry. Jaký je poloměr dráhy? 8) Antický matematik a filosof Erathostenes z Kireny si všiml, že v den jarní rovnodennosti dopadá Slunce v Asuánu v poledne do hlubokých studní až na hladinu vody. O rok později v tentýž den v Alexandrii zjistil, že se sluneční paprsky do studní nedostanou, protože se odchylují od kolmice o 7°. Cesta z Asuánu do Alexandrie byla dlouhá 700 km a vedla prakticky stále na sever. Z těchto skutečností usoudil, že Země je kulatá a dokonce vypočítal přibližnou délku zemského poledníku. Dokážete to také? Výsledky: 1) o= 20✓2,cm ; S= 50cm2 ; 2) S= 288✓ 3 cm2 3) � 118m 4) � 57.4m2 5) 39.15cm. 6) 6m; 4m 7) 106.16m 8) Cesta představuje kruhový oblouk příslušný středovému úhlu 7°. Pro délku d celého poledníku je tedy d : 700 = 360: 7 ⇒ d = (700 · 360) I 7 = 36 000 km. 6.8 Zobrazení v rovině V kapitole 1.3 jsme shrnuli nejrůznější typy zobrazení množin. Zopakujme, že zobrazení z množiny S do množiny Z je jistá množina F uspořádaných dvojic [x;y], kde x ES; y E Z, přičemž každému prvku x ES je tímto způsobem přiřazen nejvýše jeden prvek y E Z. Zobrazení množin zapisujeme F: S➔ Z, zobrazení jednotlivých prvků zapisujeme většinou rovněž F: x ➔ y (místo [x;y] E F). Je možné rovněž hovořit o zobrazení v množině, a sice v případě, že S= Z. V tom případě hovoříme o zobrazení v množině S, zapisujeme F: S➔ S. Tímto zobrazením se nyní budeme zabývat s tím, že množina S bude množina všech bodů roviny. Hovoříme pak o zobrazení v rovině, které budeme většinou zadávat „postupem konstrukce", který každému bodu roviny přiřadí bod ležící opět v této rovině. Většinou se bude jednat o zobrazení Gedné a téže) roviny a na (tutéž) rovinu a. Abychom v zápisech rozlišili body od zobrazení, budeme zobrazení zapisovat psacími písmeny. Zápis 2: X➔ X' tedy znamená, že zobrazení 2 zobrazuje bod X do bodu X'. Bod X se nazývá vzor, X' obraz. Obraz útvaru U : Obrazem útvaru U v zobrazení 2 rozumíme množinu U' všech obrazů bodů útvaru U . Samodružný bod zobrazení 2 je každý bod X, který v zobrazení 2 splyne se svým obrazem, tj. X= X'. Samodružný útvar zobrazení 2 je každý útvar U, který v zobrazení 2 splyne se svým obrazem, tj. U= U'. Identita je zobrazení, v němž je každý bod samodružný. Orientovanou úsečkou v rovině rozumíme úsečku, kde jeden krajní bod je označen jako počáteční a druhý jako koncový. Orientovanou úsečku AB značíme AB. 139 Toto označení se používá i pro polopřímku AB. Z kontextu bude však vždy zřejmé, který útvar máme na mysli a nebude proto hrozit nedorozumění. A B E F I�I C D H G souhlasně a nesouhlasně orientované úsečky Rovnoběžné orientované úsečky AB 11 CD mohou být orientovány buď souhlasně nebo nesouhlasně. Leží-li všechny body na téže přímce, jsou úsečky AB;CD orientovány souhlasně právě tehdy, když polopřímka -- AB je podmnožinou polopřímky CD nebo naopak CD je podmnožinou AB. Neleží-li všechny body na téže přímce, pak jsou úsečky AB; CD orientovány souhlasně právě tehdy, když úsečky AC;BD nemají společný bod. Souhlasně či nesouhlasně orientované úsečky nazýváme též úsečkami souhlasně či nesouhlasně rovnoběžnými. Shodné zobrazení (shodnost): je zobrazení, v němž obrazem každé úsečky AB je úsečka A' B' shodná s úsečkou AB . V každém shodném zobrazení platí: -obrazem přímky AB je přímka A' B', obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky; obrazem polopřímky AB je polopřímka A' B', obrazem opačných polopřímek jsou opačné polopřímky; obrazem poloroviny pA je polorovina p 'A', obrazem opačných polorovin jsou opačné poloroviny; obrazem úhlu <X.A VB je úhel <X.A 'V' B' shodný s úhlem <r.A VB ; -obrazem útvaru U je útvar U' shodný s útvarem U. Osová souměrnost: Je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je zobrazení r!J(o), které přiřazuje: a) každému bodu X ť o bod X' tak, že .XX' .lo a střed úsečky .IT' leží na o. b) každému bodu Y e o bod Y' = Y. Přímku o nazýváme osa souměrnosti, o bodech X,X" říkáme, že jsou souměrně sdružené podle osy o. Množinou všech samodružných bodů je osa souměrnosti. Samodružnou přímkou je osa souměrnosti a každá přímka k ní kolmá. Obrazem přímky rovnoběžné s osou je přímka rovnoběžná s osou.Obrazem přímky q, která není rovnoběžná s osou ani k ní kolmá, je přímka q ', která se s přímkou q protíná na ose o . 1. Příklad: Je dána přímka p a body A, B ležící v téže polorovině s hraniční přímkou p . Určeme bod X e p tak aby součet IAXI + IBXI pyl co nejmenší. Řešení: Jedná se o konstrukční úlohu, jejíž řešení by vždy mělo obsahovat: rozbor úlohy, kde jsou zachyceny vlastnosti sestrojovaných útvarů, které umožňují jejich konstrukci, součástí rozboru je náčrtek, kde jsou tyto vlastnosti zachyceny; konstrukci, tj. popis či postup při sestrojení útvaru, tento postup je důležitější, než samotné vyrýsování obrázku pravítkem a kružítkem; diskusi, která stanoví počet řešení úlohy. 140 A B A' p Rozbor: Nejkratší spojnicí dvou bodů je úsečka. Kdyby body A, B ležely v opačných polorovinách, byl by řešením bod X E AB n p . Leží-li ve stejné polorovině, převedeme úlohu na předchozí případ konstrukcí bodu A' (popř. B') osově souměrného s bodem A (resp. B ) podle přímky p . Hledaným bodem je pak průsečík přímky p s úsečkou A' B (resp. AB' ). Konstrukce: a) A': <O(p): A ➔ A', Diskuse: b) XEA'Bnp. Úloha má jedno řešení. Středová souměrnost: Je dán bod S. Středová souměrnost se středem S Je zobrazení Ý(S), které přiřazuje: a) každému bodu X* S bod X' tak, že S je středem úsečky XX'; b) bodu S bod S = S' . Bod S nazýváme středem souměrnosti, o bodech X,X' říkáme, že jsou souměrně sdružené podle středu S . Jediným samodružným bodem je bod S, samodružnou přímkou je každá přímka, která prochází středem souměrnosti. Středová souměrnost je jednoznačně určena svým středem. Je však jednoznačně určena také dvojicí souměrně sdružených bodů X,X'. Střed souměrnosti v tom případě najdeme jako střed úsečky XX' . Diskuse: Úloha má jedno řešení. 2. Příklad: Jsou dány dvě soustředné kružnice k1(0,7í); ki(O,r2); 1í > 1í. A bod S uvnitř k2 • Sestrojte obdélník ABCD tak, že A;B E k1; C;D E k2 a bod S je jeho středem. Rozbor: Obdélník je středově souměrný podle svého středu, ,'/(S): A➔ C;B ➔ D. V této středové souměrnosti Je .'/(S): k2 ➔k;. Protože dle zadání je C; D E k2 , musí být A; B E k; . Protože však dle zadání je A;BEk1,je A;BEk1nk;. Konstrukce: a) kružnice k; : Y(S): k2 ➔k;, b) A, B E k1 n k; , c) obdélník ABCD. Posunutí (translace): Je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí (translace) je zobrazení :J(AB), které každému bodu X přiřadí bod X'tak, že orientované úsečky AB , XX' jsou shodné, rovnoběžné a souhlasně orientované. Délka orientované úsečky AB udává délku posunutí, její směr určuje směr posunutí. Posunutí určené nulovou orientovanou úsečkou je identita. Posunutí určené nenulovou orientovanou 141 úsečkou nemá samodružné body. Obrazem přímky p různoběžné s úsečkou AB určující posunutí je přímka p' rovnoběžná s p a různá od této přímky. Obrazem přímky p rovnoběžné s úsečkou AB určující posunutí je přímka p' = p (přímka p je samodružná). a b 3. Příklad: Jsou dány dvě různoběžné přímky a,b a úsečka CD . Sestrojte rovnoběžník ABCD tak, aby AEa;BEb. Rozbor: 5(CD): B ➔ A;b ➔ b'. Protože B E b aB➔A, je AEb'. Dle zadání jeAEa, tedy AEanb'. b' Konstrukce: a) přímka a': ,CJ(CD): b ➔ b', b) AEanb', c) oABCD. Diskuse: Úloha má jedno řešení. Otočení (rotace): Je dán orientovaný úhel se základní velikostí rp a bod S. Otočení (rotace) je zobrazení :R(S;rp), které přiřazuje a) každému bodu X * S bod X' tak, že lsxl = ISX 'I a orientovaný úhel <f.XSX' má základní velikost rp; b) bodu S bod S' = S . Bod S nazýváme středem otočení (rotace), orientovaný úhel pak úhlem otočení. V otočení onenulový úhel je střed rotace zároveň jediným samodružným bodem. Otočení o 180° je středová souměrnost. V otočení o 180° je samodružná každá přímka procházející středem rotace. Otočení o jiný úhel nemá samodružné přímky. Samodružnými útvary jsou kružnice a kruhy se středem ve středu otáčení. Lze poměrně snadno dokázat, že osová souměrnost, středová souměrnost, translace a rotace jsou shodná zobrazení. Ve všech důkazech se studuje zobrazení úsečky a používají se věty oshodnosti trojúhelníků. Důkazy vynecháme a ponecháváme je zájemcům jako cvičení. 4. Příklad: Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, jehož vrcholy leží na třech a C�b C rovnoběžných přímkách a, b, c . Rozbor: Vnitřní úhly rovnostranného trojúhelníka mají velikost 60°. V otočení o tento úhel, jehož středem je např. vrchol C, je obrazem bodu A bod B, obrazem přímky a přímka a'. Je tedy B E a'. Protože dle zadání je B E b, musí být B E b na' . Konstrukce: a) libovolný CE c b) .1?.(C,60°): a➔ a' c) BEbna' d) M.BC Diskuse: Po zvolení bodu C E c lze bod A získat dvojím způsobem -otočením přímky a kolem C o60° (tj. proti směru chodu hodinových ručiček) nebo 142 I I I I C1 vektory, čísla u1; u2 e □ nazýváme souřadnice vektoru u v bázi [ e1; e2]. Píšeme pak u = ( u1; u1 ) . souřadnice vektoru v ritzných bázích Dvojici navzájem kolmých vektorů nazýváme ortogonální bází, jsou li navíc oba tyto vektory jednotkové, hovoříme o ortonor mální bázi. Složky ortonormální báze značíme většinou i, j. Dále budeme pracovat výhradně s touto ortonormální bází. y 2 1 j A i --> u=AB 1 2 Uveďme nyní do souvislosti takto zavedené souřadnice vektoru v ortonormální bázi s kartézskými souřadnicemi, které jsme zavedli v kpt. 5 .1. a se kterými jsme pracovali rovněž v kpt. 5.1. Je-li rovina opatřena kartézskou souřadnou soustavou ( O,x,y), lze zvolit ortonormální bázi [i,j], kde bázové vektory jsou rovnoběžné se souřadnými osami. Umístěme libovolný vektor do počátku. Jeho souřadnice jsou 3 x rovny kartézským souřadnicím koncového souřadnice vektoru v kartézské soustavě bodu tohoto umístění. Pak je např: i= (l; O);· j = (O; l). Je-li u= AB; A = [O; O]; B=[3;2], je u=(3;2). Je-li obecně A=[a1;a1]; B=[b1;b1]; C=[c1;c2]; u=(u1;u2); v= (v1;v2); u= AB ,je: r------------------------, u = B -A = [ b1; b2] -[ a1; a1] = ( b1 -a1; b1 -a1) = ( u1; u1) V = ( V1; V2) = V1 · i+ V2 • j lvi= ✓v1 2 +vi k· u= k· (u1 ;u1) = (ku1 ;ku2) -u = -(u1;u2) = (-u1;-u1) u+ v = (u1;u2)+(v1;v2) = (u1 +v1;u2 +v2) C + u = [ c1 ; c2 ] + ( u1 ; u2 ) = [ c1 + u1 ; c1 + u2] 1. Příklad: Je dáno k= 2; v= (3;5). Určeme vektor u= 1c ·v. Řešení: u =k· v= 2 ·v = 2 · (3; 5) = (2 · 3; 2 · 5) = ( 6; 1 O). 2. Příklad: Určeme souřadnice vektoru u = AB, kde A = [3; 7]; B = [-1; 2]. Řešení: u = B -A = (-1-3; 2 -7) = (-4; -5). 3. Příklad: Zjistěme, zda body A= [-2;10]; B = [7,3]; C = [1;5] leží na jedné přímce. Řešení: Položme u= AB = B-A = (7 + 2;3-10) = (9;-7); v= AC= C-A = (1 + 2;5 -10) = (3;-5) 149 Protože vektor v není násobkem vektoru u, body A, B, C neleží na jedné přímce. 4. Příklad: Určeme součet a rozdíl vektorů u= (3; -2); v = (l; 8). Řešení: u+ v= (3;-2) + (1;8) = (3 + l;-2+8) = (4;-6), u -v= (3;-2)-(I; 8) = (3-l;-2-8) = (2;-10). 5. Příklad: Určeme souřadnice těžiště trojúhelníka ABC, je-li A= [I; 2]; B = [3; I]; C = [5;3]. Řešení: Těžiště T leží např. na těžnici ta = ASa, kde Sa je střed úsečky BC. Je tedy S =[b1 +c1 _b2+c2]=[3+5_1+3]=[4·2] a 2' 2 2'2 '' AS a = Sa -A = ( 4 -1; 2-2) = (3; O). Těžiště T rozdělí těžnici ASa tak, že AT=�· AS a = � · (3; O) = (2; O). Protože AT = T -A , 3 3 je T =A+ AT= [I; 2] + (2; O)= [3; 2]. = [ 3a1 + b1 + c1 -2a1 . 3a2 + b2 + c2 -2a2 ] = [ a1 + b1 + c1 . a2 + b2 + c2 ] . 3 ' 3 3 ' 3 Úhel dvou vektorů: Úhlem dvou nenulových vektorů rozumíme úhel, který svírají jejich reprezentanti. Úhel vektorů, z nichž alespoň jeden je nulový, se nedefinuje. Skalární součin: Skalárním součinem dvou nenulových vektorů u; v rozumíme číslo u• v , pro které je lu·v=lul-lvl-cos<pl; kde cp je úhel vektorů u; v. Skalární součin vektorů u; v, z nichž alespoň jeden je nulový, je roven nule. Vlastnosti skalárního součinu: (k· u)· v= lk ·ul-lvi· coscp = k- (lul-lvl · cos<p) = k-(u· v), (u+ v)· w =(u+ v)· w. Jsou-li vektory u; v kolineární, Je cp = O ⇒ cos cp = I ⇒ u · v = !ul -lvi· cos cp = !ul -lvi . Speciálně u· u = !ul -lul = lul2 . 150 Řešme příklad 5 obecně pro vrcholy A= [a1 ;a 2 ]; B = [b 1 ;b2 ]; C = [c 1 ;c 2 ]: Jsou-li vektory u; v ortogonální, je rp = 1r ⇒ cos rp = O⇒ u• v = lul-lvl · cos rp = O . 2 Je-li u= (u1;u2) = u1i +u2j; v= (v1 ;vz) = v1i +v2j,je U·V =(ul; Uz) ·(v]; Vz) = (ul j + Uzj) • (v] j + vzj) = ul VI • j · j + Uz VI · j · j + ul 1'2 • j · j + U2 V2 · j · j . Vektory i; j jsou ortogonální, je tedy i· j = j · i = O . Protože i · i = lil2 = 1 ; j • j = ll = 1, je Známe-li souřadnice vektorů, můžeme snadno zjistit jejich úhel: je-li u=(u1;u2); v=(v1;vz),je I I I I u• v u v +u v U ' V =. U · V · COS {p ⇒ COS {p = -, - 1-1-1 ⇒COS {p = I I 2 2 . u. v ,Ju2 +u2 . .Jv2 +v2 I 2 I 2 6. Příklad: Určeme vektor v, který má velikost lvi = 5 aj e kolmý k vektoru u = (16; 12). Řešení: Skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule: u· v= 111 v1 + u2 v2 = O. Ze zadané velikosti hledaného vektoru je: .Jv1 2 + v; = 5. Pro neznámé souřadnice v1; v2 vektoru v tak máme soustavu dv01rrovnic: ul VI + Uz v2 = 0 .Jv2 +v2 = 5 I 2 Do první rovnice dosadíme známé souřadnice vektoru u= (16;12): 16v1 +12v2 =0, vyjádříme např. v1: 12v2 3v2 v=---=-- ] 16 4 a dosadíme do druhé rovnice pro velikost vektoru: (-3:2 J + v; =5 9 · v; 2 25 --+v= 16 2 9 · V2 + 16 · V2 2 2 = 25 1625 •v; --=25 16 v;= 16 "2 =±4 Po dosazení do rovnic pro skalární součin je: 16v1 + 12 · (±4) =O⇒ l6v1[il48 =O⇒ 16v1 = ffi48 ⇒ v1 = +3. 151 J V tomto zápisu jsou skryty dvě rovnice Gedna pro v2 = +4, druhá pro v2 = -4 ). Všimněte si přehození znaménka (v rámečku) při převodu z jedné strany rovnice na druhou. Úloha má dvě řešení: v1 = ( 4; -3) ; v 2 = (-4; 3) (při zápisu řešení je třeba brát současně vždy jen horní nebo jen dolní znaménka). C b A / Neře�: a B 7. Příklad: Dokažme kosinovou větu užitím skalárního součinu vektorů Řešení: V kpt. 6.6. jsme dokazovali kosinovou větu „synteticky" (bez použití souřadnic). Chápeme-li strany trojúhelníka jako vektory,je důkaz velmi jednoduchý: c2 =c2 =(b-a)2 =b2 -2ab+a2 =b2 -2abcosy+a 2 1) V pravidelném šestiúhelníku AECDEF je E-A =u; E-A =v. Pomocí u; v vyjádřete a) D-C b) E-D c) F-E d) A-F e) C-A. 2)Určete !; m; n tak, aby vektory x; y byly kolineární (rovnoběžné): a) x = 3u-v + w; y =u+ mv + nw b) x = -2u + 3v + mw; y = lu-6v + 2w. 3) Vektory u; v svírají úhel <p = n a mají velikosti lul = ✓ 3;lvl =I.Vypočtěte velikosti a úhel 6 vektorů u + v ; u -v . 4) Určete úhel vektorů u; v ; jestliže lul = 5; jvj = 8; ju -vj = 7 . 5)Vypočtěte ju-vl, když luJ = B;lvJ = 19;lu + vl = 24. 6) Vypočtěte obsah a velikosti vnitřních úhlů.MEC, je-li a) A= [0;0];B = [7;1];C = [2;6] b) A= [2,5];E = [-4;2];C = [9;-3]. 7)Určete úhel úhlopříček čtyřúhelníka AECD, je-li A= [5;2];E = [-1;6];C = [-3;-2];D = [2;-5]. 8) Vypočtěte velikosti výšek MEC , je-li a) A= [5;2];E = [1;5];C = [-2;1] b) A= [7;8];E = [5;-2];C = [-3;-6]. Výsledky 1 1 1 a) v -u b) -u c) -v d) u-v e) u+ v 2) a) m = -3 ;n = 3 b) l = 4;m = -1 3) lu+ vl = ✓ 7; lu -vl = 1; <p = 40°54' 4) <p = 60° 5) 22 6) a) S = 20; a = r = 63°26'; /3=53°08' b) S=6;; a=104°37'; /3=47°36'; r=27°47' 7) m=84°42' 8) a) 5-5•?_✓2, b) !!✓5.li✓-74.!!Ju ' '2 5 '37 '13 152 C \ 7.3 Přímka v rovině Pomocí souřadnic bodů můžeme číselně charakterizovat různé geometrické útvary. Např. pro souřadnice každého bodu L = [ x; y] v I. kvadrantu platí x � O; y � O . Říkáme, že tyto nerovnosti charakterizují I. kvadrant, resp. že jsou jeho analytickým vyjádřením. Podobně analytickým vyjádřením přímky rozumíme každý předpis, kterému vyhovují souřadnice libovolného bodu této přímky a žádné jiné. Uvažujme nyní libovolnou přímku p. Zvolme libovolný bod A E p a libovolný nenulový vektor u rovnoběžný s přímkou p . Pro libovolný bod přímky X přímky p označme v = X -A . Vektory u; v jsou rovnoběžné, vektor v je tedy násobkem vektoru u, tj. existuje reálné číslo t takové, že v= t ·u. Je tedy v=X-A v=t-u ⇒ X-A=t·u ⇒IX=A+t-ul; tER. Poslední rovnici (v rámečku) nazýváme parametrickou rovnicí přímky. Číslo t nazýváme parametr bodu X. Probíhá-li parametr všechna reálná čísla, probíhá příslušný bod X celou přímku p. Geometrický význam parametru t: Uvažujme reprezentanta vektoru u s počátkem v bodě A , koncový bod tohoto reprezentanta označme B . I) Bod X má od bodu A vzdálenost IAXI = ltl -lul = ltl -IABI. Je-li tedy speciálně vektor u jednotkový, tj. lul = IABI = l,je t = I. 2) Je-li t �O, pak bod X leží na polopřímce AB. Speciálně pro t = I je X= B, pro t = O je X=A. 3) Je-li t :s; O, pak bod X leží na polopřímce opačné k AB. Speciálně pro t = O je opět X=A. Zapišme parametrickou rovnici X=A+t-u v souřadnicích. Je-li X=[x;y]; A=[a1;a2]; u= (u1; u2), dostáváme: [x;y] = [a1 ;a2 ]+ t · (u1 ;u2) [ x; y] = [ tli ; a2 ] + ( t • u1 ; t · u2 ) [x;y]=[t7i +t-u1;a2 +t-uJ Jestliže se však dle poslední rovnice mají rovnat dva body, musí se rovnat jejich souřadnice. Dostáváme tedy dvojici parametrických rovnic 1. Příklad: Jsou dány body A = [I; 2]; B = [ 4; 8]. Určete parametrické rovnice a) přímky AB b) polopřímky AB c) úsečky AB d) polopřímky BA Řešení: Ve všech případech budeme potřebovat směrový vektor. Můžeme položit u= B-A = (3; 6). Pak je AB =X= A+ t ·u; t ER; což rozepsáno do souřadnic je: 153 ÁB=X=1+3·t a) ; t E JR. . y=2+6·t b) Rovnice budou stejné, pouze podle výše uvedeného bodu 2) musí být t :2'. O, tedy AB = x = I + 3 · t ; t:2'.O. y=2+6·t c) Rovnice budou opět stejné. Opět podle bodu 2) musí být t :2'. O. Pro t = O je X= A, s rostoucím parametrem se proměnný bod X vzdaluje od bodu A. Protože u= B-A, je podle bodu 2) X= B pro t =I. Je tedy AB=X=1+3·t () . t E O·l y=2+6-t' ' d) Řešení případu b) svádí k závěru, že rovnice polopřímky BA budou vrr-._-_.,, = 1 + 3 · f To ovšem není správně, neboť se v tomto případě jedná o rovnici polopřímky opacne - - - k polopřímce AB, což samozřejmě není polopřímka BA. Polopřímka BA má počátek v bodě B , musí tedy být BA =X=4-3·t t:2'.O y=8-6·t Poznámka: Pokud jde o rovnici přímky, nezáleží ani na velikosti ani na orientaci směrového vektoru. Pro t E JR.. jsou rovnice x=1+3·t x=l+t x=l-t y = 2 + 6 · ť y = 2 + 2ť y = 2 -2t rovnicemi téže přímky. U polopřímky samozřejmě záleží na orientaci směrového vektoru - jestliže ji měníme, pak měníme polopřímku v polopřímku opačnou. Chceme-li vyjádřit tutéž polopřímku, musíme se změnou orientace směrového vektoru současně změnit znaménko parametru, např: BA= X= 1+3·t y=2+6·t t 5, oBA= x = 4+t t 5, o y=8+2-ť BA= X= 4-t . t > o y=8-2-ť - Obecná rovnice přímky v rovině: Uvažujme přímku vyjádřenou obecně parametrickými rovmcem1 Z této soustavy dvou lineárních rovnic vyloučíme parametr: 154 x-a - I +t·U I y=a +t ; iE~ 2 • u2 · X = Cli + f · U1 /. U2 y = a2 + t - u2 !-(-u1) U2X=U2a1 +f·U1 ·U2 -U1Y = -u1a2 -t. Uz. u1 U2X-U1Y = u2a1 -u1a2 u2x-u1y-u2a1 +u1a2 = O Poslední rovnici většinou píšeme ve tvaru jax+by+c = oj, kde a,b,cE JR a nazýváme ji obecnou rovnicí přímky v rovině. Z předchozí úpravy je zřejmé, že v tomto tvaru je a= u2; b = -u1• Je-li u= ( u1 ;u2) směrový vektor přímky a označíme-li n = ( a; b) = ( u2; -u1 ) , je n·u=(u1;u2)•(u2;-u1)=u1u2 -u2u1 =0 Vektory n;u jsou tedy na sebe kolmé. Vektor n = (a;b) nazýváme normálovým vektorem přímky. Převod parametrických rovmc na rovnici obecnou je v konkrétních případech většinou jednodušší: 1. Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky zadané parametrickými rovnicemi: X= -7 +6t y = 3+2t /-3 X =-7 +6t -(3y = 9+6t) x-3y = -16 x-3y+l6 = O Lze také využít toho, že koeficienty a,b v obecné rovnici jsou souřadnicemi normálového vektoru: Je-li {X =-7 +6t P= y= 3+2t pak směrový vektor je s= (6; 2) a normálový n = (2;-6). Obecná rovnice této přímky je tedy 2x-6y +c =O. Koeficient c určíme z podmínky, že bod A= [-7;3] leží na hledané přímce a jeho souřadnice musí tedy obecné rovnici vyhovovat: 2 · (-7)- 6 · 3 + c =O⇒ c = 32. Hledaná rovnice je tedy 2x-6y + 32 = O (můžeme pak samozřejmě ještě vydělit dvěma). 2. Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky, která prochází body A= [3; 7]; B = [-2; 1]. Řešení: a) Pomocí parametrických rovnic: Směrovým vektorem je vektor s = B -A = (-2 -3; 1-7) = (-5;-6) a přímka prochází např. bodem A = [3; 7]. Je tedy: 155 X= 3-5t /· 6 y = 7 -6t /· (-5) 6x-5y =-17 6x-5y+17 = O b) Pomocí normálového vektoru: Směrový vektor je s = B -A= (-5;-6), normálový tedy n = ( 6; -5) . Připomeňme, že n • s =O, proto je třeba zaměnit souřadnice a u jedné z nich změnit znaménko. Obecná rovnice je 6x -5 y + c = O a protože např. A E p, je 6 · 3 -5 · 7 + c =O⇒ c = 17. Hledaná rovnice je tedy 6x-5 y + 17 =O. Směrnicový tvar rovnice přímky: Vyjádřeme z obecné rovnice ax +by+ c= O proměnnou y : a CD,, Vo , y= --x--. ostavame tzv. smermcovy tvar b b rovnice přímky. Tuto rovnici píšeme obvykle ve tvaru IY = kx+ql, kde k= tg<p je tzv. směrnice přímky ( <p je orientovaný úhel, který svírá přímka s kladnou poloosou x) a q je úsek, který přímka vytíná na ose y. Je-li přímka zadána dvěma body A = [ a1; a2] ; B = [ b1; b2] , pak pro její směrnici platí: k= b2 -a2. b1 -a1 Má-li přímka rovnici y = kx+ q a prochází-li bodem osouřadnicích [ x0; y0], dostáváme po dosazení Yo = kxo + q ⇒ q = Yo -kxo , tedy y = kx + Yo -kx0 IY-Yo =k(x-x0)j. y q 3. Příklad: Napišme rovnici přímky, která prochází body A= [3; 7]; B= [-2;1] . p .., .., , p dl , .., d , h o • , b2 -a2 1 -7 6 l .., , 1. .., Resem: o e vyse uve enyc vzorcu Je ,c = = _2 _ 3 = -5 a po ozime1 napr. y-Yo = k(x-x0) 6 y-7=-(x-3) 5 6 6 y=-x-3·-+7 5 5 6 17 ( .., . y = -x + - smem1covy 5 5 b1 -a1 tvar)⇒ 5y = 6x+ 17 ⇒ 6x-5y+ 17 = O (obecný tvar). 156 X Úsekový tvar rovnice přímky: Obecnou rovnici přímky ax +by+ c =O, kde c 'i' O, lze zapsat ve tvaru ax+by+c = O ax + by = -c I : ( -c) ax +by= 1 -c-c P b O 1 1 v• C C d , , ro a, 'i' ze po oz1t -;= p; -b = q a ostavame tzv. úsekový tvar rovnice přímky: I;+� =li y q p Čísla p,q jsou úseky, které přímka vytíná na souřadných osách. 4. Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky, která na ose x vytíná úsek p = 3 a na ose y úsek q = -2. Řešení: X y -+-=1 3 -2 -2x+3y =-6 2x-3y-6=O 5. Příklad: Převeďme na úsekový tvar obecnou rovnici přímky : Řešení: 3x-y+4 =0 3x-y+4=O 3x-y=-4 3x _L = 1 -4 -4 X y 4 4+4=l⇒ p=-3;q=4 3 X m Vzdálenost bodu od přímky: Určení vzdálenosti bodu X0 = [x0;y0] od přímky p = ax + by + c = O spočívá ve stanovení velikosti úsečky P X O , kde P = [p1; Pz] je pata kolmice spuštěné z bodu X0 na přímku p. Vzhledem k tomu, že vektor nP = (a ;b) je normálovým vektorem přímky p , musí být současně směrovým vektorem přímky q, která je na přímku p kolmá. Je tedy nP = (a;b) = sq. Protože navíc X0 = [x0;y0]e q, je kolmice q určena parametrickými rovnicemi q =X= x0 +at y = Yo +bt Vzdálenost v libovolného bodu X= [x;y]e q od bodu X0 = [x0;y0]e q je pak ,-------- [x;y]eq ,------------ ,----- ,--- v=.J(x-x0)2+(y-y0)2 = .Jcxo+at-xo)2+(yo+bt-yo)2 =✓a2 t2+b2 t2 =ltl✓a2+b2 Je-li X= P (tj. X e p n q ), musí tento bod splňovat současně rovnice přímek p;q a pro hodnotu parametru t tak máme: a(x0 +at)+b(y0 +bt)+c = O ax0 + a2 t+by0 +b2 t+c = O (a2 +b2)t = -ax0 -by0 -c ax0 +by0 +c t= a2 +b2 157 Dosazením do výše uvedeného vztahu pro vzdálenost dostaneme: v= ltl✓a2 + b2 = I-axo + byo + cl.Ja2 + b2 = 1-(axo + byo + c)I.J� a2 _+_b_ 2 = laxo + byo + cl a2 +b2 a2 +b2 ,Ja2 +b2 Pro vzdálenost v bodu X0 = [x0;y0] _od přímky p = ax +by+ c = O tedy platí v= laxo + byo +cl .Ja2 + b2 6) Příklad: Určeme výšku vav MEC, je-li A= [2; 1]; B = [6;-1]; C = [ 4; 5]. Řešení: IIledaná výška je vzdálenost vrcholu A od přímky p =BC. Směrový vektor této přímky je např. BC= C -B = ( 4 - 6; 5 + 1) = (-2; 6) a protože B E p, je p =X= 6-21 y=-2+6t Vyloučením parametru dostaneme obecnou rovnici tvaru p = 3x + y -16 = O, a tedy v_ iax0 +by0 +cl _ 13-2 + 1-1-161 __ 9 __ 9✓10 - ✓a2 +b2 -.J32 +12 -✓IO10 Neřešené úlohy: 1) Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u: a) A=[7;-l]; u=(3;-4) b) A=[-2;-3]; u=(0;4) c) A=[0;3]; u=(-7;0) d)A= [O;O]; u= (l;O). 2) Jsou dány body A= [5; 2]; B = [3; 7]; C = [-4; 9]. Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem A rovnoběžně s přímkou určenou body B, C. 3) Zjistěte, zda dané body leží na přímce x = 1-t;y = 3t: a) A=[3;-7] b) B=[0;3] c) C=[-5;18] d) D=[-14;-l]. 4) Zjistěte vzájemnou polohu daných přímek. Jestliže se protínají, najděte jejich průsečík: a) x=7-2s;y=3+sa x=4-t;y=3t b) x=5-3s;y=-3+s a x=20+9t;y=-8-3t. 5) Najděte obecné rovnice přímek: a) x=-7+6t;y=3+2t b) x=3t;y=l-2t c) x=4-3t;y=t. 6)Rozhodněte,zda body A=[-3;1]; B=[7;2]; C=[0;5] leží na přímce 4x-3y+l5=0. 7) Jaké podmínky musí splňovat koeficienty a, b, c, aby přímka ax +by+ c = O a) byla rovnoběžná s osou x a nesplynula s ní? b) byla osou x? c)byla rovnoběžná s osou y a nesplynula s ní? d)byla osou y? e) procházela počátkem? S)Napište rovnici osyúsečky AB,je-li A=[-3;1]; B=[4;-3]. 9) Napište obecnou rovnici přímky, která prochází body: 158 ----=--I . - ) -----=- ---==-- . - )