Parciální diferenciální rovnice

Uˇcebn´ı texty vysok´ych ˇskol PARCI´ ALN´ I DIFERENCI´ ALN´ I ROVNICE Jan Franc˚ u Vyd´an´ı prvn´ı (eBook) Brno, listopad 2024 Recenzent prvn´ıho vyd´an´ı v nakladatelstv´ı CERM: Doc. RNDr. Bedˇrich P˚uˇza, CSc. c prof. RNDr. Jan Franc˚u, CSc., 2024 Tato publikace podl´eh´a licenci Creative Commons: Uved’te autora — Neuˇz´ıvejte d´ılo komerˇcnˇe — Nezpracov´avejte 4.0 Mezin´arodn´ı ISBN 978-80-214-6292-2 Pˇredmluva Tento text je naps´an pro 3. roˇcn´ık studijn´ıho oboru Matematick´e inˇzen´yrstv´ı, na Fakultˇe strojn´ıho inˇzen´yrstv´ı VUT. Je urˇcen tak´e pro doktorsk´e studium na FSI VUT pro absolventy ostatn´ıch obor˚u a pˇr´ıpadnˇe pro studenty matematiky a fyziky jin´ych ˇskol. Pˇri psan´ı skript jsem vych´azel ze sv´ych zkuˇsenost´ı s mnohaletou v´yukou tohoto pˇredmˇetu pro specializaci Matematick´a anal´yza na Pˇr´ırodovˇedeck´e fakultˇe MU a v posledn´ıch letech pro obor Matematick´eho inˇzen´yrstv´ı na FSI strojn´ıho inˇzen´yrstv´ı VUT. P˚uvodn´ı v´ybˇer l´atky byl ovlivnˇen skripty [19] a pˇrekladem [1], postupnˇe byl doplnˇen l´atkou z dalˇs´ıch uˇcebnic. Vzhledem k absenci vhodn´e uˇcebnice parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic v ˇcesk´em jazyce a nedostatku skript vˇenovan´ych tomuto d˚uleˇzit´emu t´ematu budu jen r´ad, kdyˇz tato skripta najdou uplatnˇen´ı i v jin´ych oborech magistersk´eho a doktorsk´eho studia. Parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice Parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice, zkr´acenˇe PDR, jsou v jist´em smyslu vyvrcholen´ım matematick´e anal´yzy: uplatˇnuj´ı se zde v´ysledky z integr´aln´ıho a diferenci´aln´ıho poˇctu, algebry, geometrie a dalˇs´ıch obor˚u. Nˇekter´e PDR, naz´yvan´e tak´e rovnice matematick´e fyziky, maj´ı bezprostˇredn´ı uplatnˇen´ı v technick´e praxi, protoˇze umoˇzˇnuj´ı modelovat mnoh´e fyzik´aln´ı jevy na poˇc´ıtaˇc´ıch a t´ım nahradit velkou ˇc´ast n´aroˇcn´ych experiment˚u numerick´ymi v´ypoˇcty na poˇc´ıtaˇci. Proto je v textu rozs´ahl´a kapitola, ve kter´e jsou odvozeny vybran´e rovnice matematick´e fyziky: rovnice veden´ı tepla, rovnice kmit´an´ı struny a rovnice pr˚uhybu membr´any. Tyto rovnice tak´e reprezentuj´ı tˇri z´akladn´ı typy PDR druh´eho ˇr´adu. Dalˇs´ı v praxi d˚uleˇzit´e rovnice jsou jen uvedeny s n´aznakem odvozen´ı nebo bez nˇej. D˚uvodem tohoto pˇr´ıstupu je tak´e snaha, aby diferenci´aln´ı rovnice pro posluchaˇce nebyly jen abstraktn´ım objektem nebo dokonce jen seskupen´ım p´ısmen a symbol˚u, ale aby si pod ˇreˇsen´ım mohli pˇredstavit konkr´etn´ı fyzik´aln´ı jev, kter´y znaj´ı z vlastn´ıch zkuˇsenost´ı. V´ybˇer l´atky Parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice jsou velmi rozs´ahl´ym oborem, kter´y navazuje na v´ysledky jin´ych matematick´ych pˇredmˇet˚u. Proto pˇredmˇet PDR b´yv´a zaˇrazov´an do vyˇsˇs´ıch roˇcn´ık˚u (MFF UK v Praze, PˇrF MU v Brnˇe a pod.) Vzhledem k tomu, ˇze na technice odborn´e pˇredmˇety potˇrebuj´ı PDR co nejdˇr´ıve, byl pˇredmˇet PDR pro obor matematick´e inˇzen´yrstv´ı zaˇrazen jiˇz do 3. roˇcn´ıku. Z toho d˚uvodu do textu byly zaˇrazeny pouze klasick´e metody PDR. Numerick´e metody ˇreˇsen´ı PDR jsou obsahem navazuj´ıc´ıho pˇredmˇetu Numerick´e metody III ve 4. roˇcn´ıku. Modern´ı metody ˇreˇsen´ı PDR zaloˇzen´e na funkcion´aln´ı anal´yze a ˇreˇsen´ı neline´arn´ıch ´uloh, viz [17] jsou v 5. roˇcn´ıku. Vzhledem ke znaˇcn´emu rozsahu pˇredmˇetu jsou nˇekter´e partie pouze naznaˇceny, aby posluchaˇci z´ıskali pˇredstavu o metodˇe a v pˇr´ıpadˇe potˇreby se k n´ı mohli pozdˇeji vr´atit. S jistou nads´azkou by ˇslo charakterizovat text jako ”exkurzi“ do parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic. Skripta nejsou ps´ana stylem ”definice – vˇeta – d˚ukaz“; vˇetˇsinou je tvrzen´ı postupnˇe odvozeno. Jindy je d˚ukaz proveden jen pro nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad, aby vynikla myˇslenka d˚ukazu a neztratila se v technick´ych detailech, nˇekdy je d˚ukaz vynech´an zcela. Tak´e formulace nen´ı vˇzdy zcela precizn´ı, mluv´ıme napˇr´ıklad o oblasti s ”rozumnou“ nebo ”hladkou“ hranic´ı, pˇresn´e vymezen´ı tˇechto pojm˚u je mimo r´amec tˇechto skript. Po ´uvodn´ıch pozn´amk´ach se v prvn´ı ˇc´asti vˇenujeme rovnic´ım prvn´ıho ˇr´adu. Pojem Cauchyovy ´ulohy m´a jen mal´y praktick´y v´yznam, pom´ah´a vˇsak pˇri formulaci poˇc´ateˇcn´ıch ´uloh. Klasifikace rovnic druh´eho ˇr´adu d´av´a systematick´y pohled na rovnice druh´eho ˇr´adu. 3 Pˇredmluva Druh´a ˇc´ast se zab´yv´a odvozen´ım vybran´ych rovnic matematick´e fyziky a formulac´ı jejich poˇc´ateˇcn´ıch a okrajov´ych ´uloh. Tˇret´ı ˇc´ast je vˇenov´ana vybran´ym metod´am ˇreˇsen´ı PDR. Tˇemto metod´am se ˇr´ık´a ”klasick´e“, i kdyˇz nˇekter´e z nich jsou nyn´ı opˇet ”modern´ı“. Metody ilustrujeme na rovnic´ıch, kter´e modeluj´ı konkr´etn´ı fyzik´aln´ı jevy. Pˇritom odvod´ıme r˚uzn´e vlastnosti ˇreˇsen´ı parabolick´ych, hyperbolick´ych a eliptick´ych rovnic. Literatura Seznam literatury je rozdˇelen do nˇekolika skupin. Ve svˇetov´e literatuˇre je parci´aln´ım diferenci´aln´ım rovnic´ım vˇenov´ana ˇrada monografi´ı, nˇekolik je jich uvedeno v seznamu literatury. V ˇceˇstinˇe vyˇsel pˇreklad uˇcebnice Petrovsk´eho [9] a uˇcebnice Tichonova a Samarsk´eho [10], ve slovenˇstinˇe je dostupn´y pˇreklad uˇcebnice Arsenina [1]. V r´amci edice Matematika pro vysok´e ˇskoly technick´e je XX. seˇsit [7] a XXI. seˇsit [2] vˇenov´an PDR. Seˇsit [4] je vˇenov´an integr´aln´ım rovnic´ım. PDR je vˇenov´ano tak´e nˇekolik skript MFF UK v Praze [19], [14] a MFF UK v Bratislavˇe [18], [20]; v posledn´ıch letech vyˇsla dalˇs´ı skripta [24], [15], [13]. Numerick´ym metod´am ˇreˇsen´ı PDR jsou vˇenov´ana skripta plzeˇnsk´e Zˇ CU [21], [22]. PDR je vˇenov´ana tak´e znaˇcn´a ˇc´ast tˇr´ısvazkov´e pˇr´ıruˇcky Z´aklady aplikovan´e matematiky autor˚u ˇ Skr´aˇska a Tich´eho [29]–[31] (PDR jsou v druh´em svazku) a tak´e jiˇz 6. vyd´an´ı nyn´ı dvousvazkov´eho Pˇrehledu uˇzit´e matematiky Rektoryse a spolupracovn´ık˚u [27]–[28] (PDR jsou ve druh´em svazku). V seznamu je uvedeno i nˇekolik uˇcebnic zab´yvaj´ıc´ıch se matematick´ymi modely fyzik´aln´ıch jev˚u [3], [6], [32], [41] a dalˇs´ıch. Podˇekov´an´ı Aˇckoliv ´umysl napsat uˇcebn´ı text k parci´aln´ım diferenci´aln´ım rovnic´ım jsem mˇel jiˇz ˇradu let, k uskuteˇcnˇen´ı tohoto z´amˇeru pˇrispˇela povinnost zabezpeˇcit kaˇzd´y pˇredmˇet uˇcebn´ım textem vyhl´aˇsen´a prof. A. ˇ Zen´ıˇskem, pˇredsedou rady pro mezioborov´e studium matematick´eho inˇzen´yrstv´ı a ˇreditelem ´ustavu matematiky FSI VUT. Za ˇcetn´e pˇripom´ınky k parti´ım t´ykaj´ıc´ı se fyzik´aln´ı ˇc´asti odvozen´ı rovnic matematick´e fyziky vdˇeˇc´ım docentu Petru Dubovi. Za peˇcliv´e pˇreˇcten´ı textu a ˇcetn´e pˇripom´ınky dˇekuji zejm´ena docentu Bedˇrichu P˚uˇzovi a tak´e dr. Martinu Kol´aˇrovi, dr. Veronice Chrastinov´e a Ing. Lud’ku Nechv´atalovi. Dˇekuji vˇsem, kteˇr´ı mˇe na chyby v pˇredchoz´ıch vyd´an´ıch upozornili. Z´asluhu na pojet´ı tohoto textu maj´ı v neposledn´ı ˇradˇe i moji uˇcitel´e z MFF UK v Praze profesor Jindˇrich Neˇcas, docent Oldˇrich John, docentka Jana Star´a a dalˇs´ı. Prvn´ı vyd´an´ı bylo d´ano do tisku v prosinci 1998. Ve druh´em vyd´an´ı z listopadu 2000 byla opravena ˇrada pˇreklep˚u a upraveny nˇekter´e formulace. Ve tˇret´ım vyd´an´ı 2003 (dotisk 2006) byly opraveny dalˇs´ı drobn´e chyby, upraveny nˇekter´e formulace a doplnˇena literatura. ˇ Ctvrt´e vyd´an´ı obsahuje ˇradu zmˇen, kromˇe pˇrid´an´ı nˇekolika obr´azk˚u byly doplnˇeny kontroln´ı ot´azky a rozˇs´ıˇreny pˇr´ıklady k poˇc´ıt´an´ı. Dˇekuji Karlu Poppovi, Petˇre Nov´aˇckov´e a Tom´aˇsi Posp´ıˇsilovi za ”loven´ı“ pˇreklep˚u a za dalˇs´ı inspirativn´ı pˇripom´ınky. V p´at´em vyd´an´ı byla opravena ˇrada dalˇs´ıch drobn´ych chyb a uveden pojem Robinovy (dˇr´ıve Newtonovy) okrajov´e podm´ınky. Souˇcasn´e ˇsest´e — prvn´ı eBook vyd´an´ı je v elektronick´e formˇe s barvami. M´ırnˇe je rozˇs´ıˇrena Kapitola 10 o potenci´alech. Barva zelen´a oznaˇcuje nov´e pojmy, ˇcerven´a tvrzen´ı. Na textu je moˇzn´e ˇradu vˇec´ı vylepˇsit a doplnit. Budu vdˇeˇcn´y za pˇripom´ınky a ozn´amen´ı pˇr´ıpadn´ych chyb. Brno, 30. 11. 2024 Autor 4 Obsah Pˇredmluva....................................... 3 ´ Uvodn´ıpozn´amky .................................. 7 1Rovnice prvn´ıho ˇr´adu 12 1.1 Homogenn´ı line´arn´ı rovnice v rovinˇe ...................... 13 1.2 Line´arn´ı rovnice v prostoru vyˇsˇs´ı dimenze .................. 18 1.3 Kvaziline´arn´ı rovnice .............................. 20 2Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha 24 2.1 Cauchyova ´uloha v rovinˇe ........................... 24 2.2 Zobecnˇen´a Cauchyova ´uloha v rovinˇe ..................... 26 2.3 Cauchyova ´uloha pro rovnici k-t´eho ˇr´adu v RN................ 29 2.4 Zobecnˇen´a Cauchyova ´uloha v prostoru RN.................. 30 3Klasifikace rovnic druh´eho ˇr´adu 36 3.1 Klasifikace rovnic v rovinˇe ........................... 36 3.2 Pˇreveden´ı rovnice na kanonick´y tvar ...................... 37 3.3 Rovnice s konstantn´ımi koeficienty ...................... 42 3.4 Rovnice v prostoru vyˇsˇs´ı dimenze ....................... 43 4Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky 48 4.1 Rovnice veden´ı tepla v tyˇci ........................... 49 4.2 Rovnice veden´ı tepla v tˇelese .......................... 56 4.3 Rovnice difuze .................................. 63 4.4 Rovnice kmit´an´ı struny ............................. 64 4.5 Dalˇs´ı jednorozmˇern´e vlnov´e rovnice ...................... 68 4.6 V´ıcerozmˇern´e vlnov´e rovnice .......................... 71 4.7 Rovnice pro stacion´arn´ı jevy .......................... 74 4.8 Odvozen´ı ´ulohy pomoc´ı variaˇcn´ıho principu .................. 75 4.9 Rovnice ˇctvrt´eho ˇr´adu ............................. 80 4.10 Souhrn – fyzik´aln´ı interpretace z´akladn´ıch ´uloh ............... 81 5Metoda charakteristik 85 5.1 Jednorozmˇern´a vlnov´a rovnice na pˇr´ımce ................... 85 5.2 Vlnov´a rovnice na polopˇr´ımce a ´useˇcce .................... 91 5.3 Trojrozmˇern´a vlnov´a rovnice .......................... 95 5.4 Dvojrozmˇern´a vlnov´a rovnice ......................... 98 5.5 Rovnice s ˇclenem niˇzˇs´ıho ˇr´adu .........................101 6Fourierova metoda ˇrad 103 6.1 Jednorozmˇern´a parabolick´a rovnice ......................103 6.2 Jednorozmˇern´a hyperbolick´a rovnice .....................111 6.3 Metoda ˇrad obecnˇe ...............................114 6.4 V´ıcerozmˇern´e pˇr´ıpady .............................117 5 7Metoda integr´aln´ı transformace 122 7.1 Fourierova transformace jednorozmˇern´e ´ulohy ................122 7.2 ˇ Reˇsen´ı ´ulohy ve vyˇsˇs´ı dimenzi .........................126 7.3 Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace ........................129 8Metoda Greenovy funkce 130 8.1 Pomocn´e v´ysledky ...............................131 8.2 ˇ Reˇsen´ı okrajov´ych ´uloh .............................136 8.3 Konkr´etn´ı pˇr´ıklady Greenovy funkce .....................138 9Principy maxima a jednoznaˇcnost ´uloh 144 9.1 Harmonick´e funkce na omezen´e oblasti ....................144 9.2 Okrajov´e ´ulohy na omezen´e oblasti ......................147 9.3 Harmonick´e funkce na neomezen´e oblasti ...................148 9.4 Okrajov´e ´ulohy na neomezen´e oblasti .....................150 9.5 Princip maxima pro parabolick´e rovnice ...................151 10 Metoda potenci´al˚u 154 10.1 Vlastnosti potenci´al˚u ..............................154 10.2 Transformace okrajov´ych ´uloh .........................159 10.3 ˇ Reˇsitelnost okrajov´ych ´uloh ..........................161 11 Pˇrehled vlastnost´ı ˇreˇsen´ı 163 12 Dodatky 166 12.1 Vektorov´e diferenci´aln´ı oper´atory .......................166 12.2 Pol´arn´ı souˇradnice ...............................167 12.3 Sf´erick´e souˇradnice ...............................167 Literatura.......................................168 Rejstˇr´ık ........................................169 6 ´ Uvodn´ı pozn´amky Tato skripta se zab´yvaj´ı parci´aln´ımi diferenci´aln´ımi rovnicemi, nˇekter´ym z nich se tak´e ˇr´ık´a rovnice matematick´e fyziky. V obou n´azvech se vyskytuje slovo rovnice, proto pˇripomeˇnme tento z´akladn´ı pojem. Rovnost a rovnice Tyto dva pˇr´ıbuzn´e pojmy maj´ı velmi rozd´ıln´y v´yznam. Rovnost je v´yrok, tj. lze o n´ı rozhodnout, zda plat´ı nebo nikoliv. Rovnost je bud’individu´aln´ı napˇr. 2 + 2 = 4 nebo hromadn´a – mnoˇzina rovnost´ı, kter´a se skl´ad´a z v´yrokov´e formy obsahuj´ıc´ı jednu nebo v´ıce promˇenn´ych a mnoˇziny hodnot, kter´e tyto promˇenn´e mohou nab´yvat. Takov´y v´yrok potom zn´ı: Pro vˇsechny hodnoty promˇenn´e (nebo v´ıce promˇenn´ych) z dan´e mnoˇziny dosazen´ım dost´av´ame pravdiv´y v´yrok, napˇr´ıklad: Pro kaˇzd´e x, y ∈Rplat´ı (x+y)2=x2+ 2 xy +y2. Naproti tomu rovnice nen´ı v´yrok, nem´a smysl uvaˇzovat, zda plat´ı nebo ne. Rovnice obsahuje promˇennou (nebo v´ıce promˇenn´ych) naz´yvanou nezn´amou, za kterou se dosazuj´ı hodnoty z urˇcit´e mnoˇziny M. Narozd´ıl od rovnosti v pˇr´ıpadˇe rovnice je ´ukolem naj´ıt vˇsechny hodnoty promˇenn´e, pˇri kter´ych nastane rovnost. Tuto mnoˇzinu zvanou obor pravdivosti ˇcasto naz´yv´ame mnoˇzinou ˇreˇsen´ı nebo zkr´acenˇe ˇreˇsen´ı. Vztah mezi nerovnost´ı a nerovnic´ı je obdobn´y: nerovnost je v´yrok, kter´y plat´ı nebo neplat´ı a u nerovnice hled´ame mnoˇzinu ˇreˇsen´ı. Pojem ˇreˇsen´ı je pouˇz´ıv´an ve dvou v´yznamech: •ˇreˇsen´ı jako mnoˇzina hodnot nezn´am´e, kter´e vyhovuj´ı dan´e rovnici, •ˇreˇsen´ı jako proces hled´an´ı nezn´am´e. Typy rovnic, diferenci´aln´ı rovnice Podle typu nezn´am´e a typu v´yrokov´e formy rozliˇsujeme r˚uzn´e typy rovnic. Nezn´am´a je bud’ˇc´ıslo, n-tice ˇc´ısel (vektor, matice) nebo funkce jedn´e ˇci v´ıce promˇenn´ych, vektorov´a nebo maticov´a funkce, oper´ator apod. Uvaˇzujme pˇr´ıpad, kdy nezn´amou je funkce. Ne zcela pˇresnˇe ˇreˇceno: pokud se v rovnici vystupuj´ı jen hodnoty nezn´am´e, mluv´ıme o funkcion´aln´ıch rovnic´ıch. V pˇr´ıpadˇe, ˇze v rovnici vystupuj´ı tak´e derivace nezn´am´e funkce, mluv´ıme o diferenci´aln´ıch rovnic´ıch, pokud se v rovnici vyskytuje integr´al mluv´ıme o integr´aln´ıch rovnic´ıch, rovnice obsahuj´ıc´ı derivace i integr´aly, se naz´yvaj´ı integrodiferenci´aln´ı rovnice. Jestliˇze nezn´am´a funkce je funkc´ı jen jedn´e promˇenn´e a v rovnici se vyskytuj´ı jej´ı ”obyˇcejn´e“ derivace, mluv´ıme o obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic´ıch – ODR. V pˇr´ıpadˇe, ˇze nezn´am´a funkce m´a v´ıce promˇenn´ych, jej´ı derivace naz´yv´ame parci´aln´ı derivace. Pokud parci´aln´ı derivace podle vˇsech promˇenn´ych vystupuj´ı v rovnici, mluv´ıme o parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnici – zkr´acenˇe PDR, anglicky P. D. E. Partial Differential Equations. V pˇr´ıpadˇe PDR na oblasti Ω1je nezn´amou re´aln´a funkce udefinovan´a na oblasti Ω v Nrozmˇern´em Euklidovˇe prostoru RN; praktick´y v´yznam maj´ı prostory dimenze N= 2,3,4. V rovnici (v´yrokov´e formˇe) vystupuj´ı parci´aln´ı derivace (pˇr´ıpadnˇe i hodnoty) hledan´e funkce, kterou obvykle oznaˇcujeme u. Postaven´ı PDR v matematice Problematika parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic je velmi rozs´ahl´a a znaˇcnˇe interdisciplin´arn´ı. Patˇr´ı do matematick´e anal´yzy, zastˇreˇsuje mnoh´e jej´ı ˇc´asti, vyuˇz´ıv´a v´ysledk˚u 1Oblast je otevˇren´a souvisl´a mnoˇzina 7 ´ Uvodn´ı pozn´amky ˇrady dalˇs´ıch obor˚u. Uved’me napˇr´ıklad diferenci´aln´ı a integr´aln´ı poˇcet v´ıce promˇenn´ych, line´arn´ı algebru, maticov´y poˇcet, komplexn´ı anal´yzu, obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice, integr´aln´ı transformace, integr´aln´ı rovnice; pˇri tzv. modern´ıch metod´ach nav´ıc metrick´e prostory, teorii prostor˚u funkc´ı, funkcion´aln´ı anal´yzu, topologii, diferenci´aln´ı geometrii, variaˇcn´ı poˇcet, oper´atorov´y poˇcet a dalˇs´ı. Nˇekter´ym parci´aln´ım diferenci´aln´ım rovnic´ım se tak´e ˇr´ık´a rovnice matematick´e fyziky, protoˇze popisuj´ı fyzik´aln´ı jevy, napˇr´ıklad veden´ı tepla v tˇelese, dif´uze, kmit´an´ı struny nebo membr´any ˇci tˇelesa, ˇs´ıˇren´ı vln atd. Proto PDR maj´ı tak´e tˇesn´y vztah k mnoha oblastem fyziky: k mechanice kontinua, pruˇznosti, mechanice tekutin, termice a dalˇs´ım. Obyˇcejn´e a parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice O sloˇzitosti ODR a PDR vypov´ıd´a n´asleduj´ıc´ı jednoduch´y pˇr´ıklad. Diferenci´aln´ı rovnici studujeme vˇzdy na urˇcit´e oblasti tj. souvisl´e otevˇren´e mnoˇzinˇe. V pˇr´ıpadˇe ODR jedinou omezenou oblast´ı na re´aln´e pˇr´ımce je otevˇren´y interval (a, b), line´arn´ım zobrazen´ım lze kaˇzd´y tento interval pˇrev´est na interval (0,1). V pˇr´ıpadˇe PDR je velk´a rozmanitost omezen´ych oblast´ı v rovinˇe i v prostoru: jednoduˇse i v´ıcen´asobnˇe souvisl´e oblasti (tj. oblasti s”d´ırami“), oblasti s hladkou, po ˇc´astech hladkou i nehladkou hranic´ı, s hranic´ı s body vratu atd. Pro ODR existuje jednotn´a teorie. Situace PDR je mnohem sloˇzitˇejˇs´ı. Jenom u line´arn´ıch PDR druh´eho ˇr´adu existuj´ı tˇri r˚uzn´e typy rovnic se zcela odliˇsn´ym chov´an´ım ˇreˇsen´ı. Oznaˇcov´an´ı bod˚u, mnoˇzin, derivac´ı, funkc´ı V rovinˇe budeme oznaˇcovat body souˇradnicemi (x, y), v prostoru pak (x, y, z), zvl´aˇstn´ı roli hraje promˇenn´a ˇcas oznaˇcen´a p´ısmenem t, rovnici pak uvaˇzujeme v ˇcasoprostoru s promˇenn´ymi (x, y, t) pˇr´ıpadnˇe (x, y, z, t). V obecn´em pˇr´ıpadˇe prostoru RNdimenze N se souˇradnicemi x1, . . . , xNbudeme body oznaˇcovat jedn´ım p´ısmenem x = (x1, . . . , xN). Diferenci´aln´ı rovnice budeme uvaˇzovat na oblasti Ω v prostoru RN. Aˇz na v´yjimky se budeme zab´yvat oblast´ı omezenou. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze hranice ∂Ω oblasti Ω je ”rozumn´a“ tj. hladk´a (funkce popisuj´ıc´ı hranici ∂Ω je diferencovateln´a) nebo alespoˇn po ˇc´astech hladk´a. Uz´avˇer mnoˇziny Ω znaˇc´ıme Ω. Nezn´amou funkci definovanou na Ω (nebo na jej´ı ˇc´asti) budeme vˇetˇsinou oznaˇcovat p´ısmenem u. Otevˇrenou kouli vRNse stˇredem x a polomˇerem roznaˇcujeme B(x, r), jej´ı uz´avˇer B(x, r) a jej´ı objem pak |B(x, r)|. Podobnˇe S(x, r) je sf´era vRNa|S(x, r)|velikost jej´ıho povrchu, speci´alnˇe velikost povrchu jednotkov´e sf´ery S(0,1) v RNoznaˇc´ıme κN. Kromˇe obvykl´eho oznaˇcen´ı derivace ve tvaru zlomku se symboly ∂budeme parci´aln´ı derivace oznaˇcovat tak´e symbolem ∂ale bez zlomk˚u napˇr. ∂xu, pomoc´ı index˚u napˇr. ux, uy, uxy a tak´e pomoc´ı multiindex˚u. Napˇr´ıklad v R2se souˇradnicemi x, y ∂u ∂x ≡∂xu≡ux≡D(1,0)u , ∂3u ∂x2∂y ≡∂2 x∂yu≡uxxy ≡D(2,1)u . D´ale Duznaˇc´ı gradient, tj. vektor prvn´ıch parci´aln´ıch derivac´ı Du= ( ∂u ∂x1,..., ∂u ∂xN), symbol Dkupak k-rozmˇernou matici nebo soubor parci´aln´ıch derivac´ı k-t´eho ˇr´adu. Multiindexy Vˇenujme se nyn´ı podrobnˇeji oznaˇcen´ı pomoc´ı multiindex˚u. V pˇr´ıpadˇe prostoru dimenze Ns body x ≡(x1, . . . , xN)multiindex αje vektor Nnez´aporn´ych cel´ych ˇc´ısel αi, tj. α= (α1, . . . , αN), αi∈ {0,1,2,3, . . . }, ve kter´em sloˇzka αise t´yk´a souˇradnice xi.D´elkou |α|multiindexu αje souˇcet vˇsech jeho sloˇzek, tj. |α|=α1+α2+···+αN,faktori´al α! pak souˇcin faktori´al˚u jednotliv´ych sloˇzek, tj. α! = α1!α2!··· αN!, pˇriˇcemˇz 0! = 1! = 1 . 8 ´ Uvodn´ı pozn´amky Multiindexy lze s v´yhodu vyuˇz´ıt i k oznaˇcen´ı mocnin aparci´aln´ıch derivac´ı: xα≡x(α1,...,αN)≡xα1 1xα2 2. . . xαN N,Dαu≡D(α1,...,αN)u≡∂|α|u ∂xα1 1. . . ∂xαN N . Pomoc´ı multiindex˚u lze tak Taylorovu ˇradu funkce u N promˇenn´ych se stˇredem v bodˇe x0zapsat v pˇrehledn´em tvaru ∞ X k=0 X |α|=k Dαu(x0) α!(x −x0)α. Regul´arn´ı kˇrivka, plocha a transformace Rovnici je nutno ˇcasto doplnit podm´ınkami, kter´e se v rovinˇe zad´avaj´ı na kˇrivce, v dimenzi Nna (N-1)-rozmˇern´e ploˇse; kˇrivku i plochu popisujeme parametricky. Regul´arn´ı kˇrivkou ΦvRNrozum´ıme mnoˇzinu bod˚u Φ = {x≡(x1, . . . , xN)∈RNxi=ϕi(s), i = 1, . . . , N;s∈I}, kde parametr sprob´ıh´a nˇejak´y interval I. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze zobrazen´ı s7→ x = ϕ(s) je prost´e, tj. kˇrivka se neprot´ın´a, a funkce ϕimaj´ı spojit´e prvn´ı derivace, pˇriˇcemˇz tyto derivace nejsou souˇcasnˇe rovny nule, tj. pro kaˇzd´e s∈Iplat´ı |ϕ0 1(s)|+···+|ϕ0 N(s)|>0. Regul´arn´ı (N–1)-rozmˇernou plochou Γ v RNrozum´ıme mnoˇzinu Γ = {x≡(x1, . . . , xN)∈RN|xi=γi(s1, . . . , sN−1), i = 1, . . . , N; s ≡(s1, . . . , sN−1)∈G}, kde Gje oblast v RN−1. Pˇritom pˇredpokl´ad´ame, ˇze zobrazen´ı s 7→ x(s) = γ(s) je prost´e (plocha se neprot´ın´a), funkce γimaj´ı spojit´e derivace a matice parci´aln´ıch derivac´ı    ∂γ1 ∂s1(s) . . . ∂γN ∂s1(s) . . .. . . ∂γ1 ∂sN−1(s) . . . ∂γN ∂sN−1(s)    m´a ve vˇsech parametrech s ∈Gmaxim´aln´ı moˇznou hodnost N–1. Pokud plocha Γ je ˇc´ast´ı hranice oblasti Ω, je orientovan´a ven z Ω. V bodech plochy je urˇcen jednotkov´y vektor vnˇejˇs´ı norm´aly n. Integr´al RΓf(x) dSpˇres plochu Γ je ploˇsn´y integr´al prvn´ıho druhu. Regul´arn´ı transformac´ı vRNrozum´ıme prost´e zobrazen´ı Ξ, kter´e vztahy xi=ξi(s1, . . . , sN), i = 1, . . . , N bod˚um s ≡(s1, . . . , sN) z mnoˇziny G⊂RNpˇriˇrazuje body x = (x1, . . . , xn) v RN. Zobrazen´ı je urˇceno diferencovateln´ymi funkcemi ξ1, . . . , ξNpromˇenn´ych s1, . . . , sN, pˇriˇcemˇz matice parci´aln´ıch derivac´ı (tzv. Jacobiho matice) J=∂ξi ∂sji,j=1,...,N m´a ve vˇsech bodech s ∈Ω hodnost N. O lok´aln´ı existenci inverzn´ıho zobrazen´ı vypov´ıd´a: Vˇ eta o otevˇ ren´ em zobrazen´ ı. Necht ’funkce ξ1, . . . , ξNmaj´ı spojit´e prvn´ı parci´aln´ı derivace v okol´ı bodu s0a Jacobiho matice Jv bodˇe s0m´a hodnost N, tj. det(J(s0)) 6= 0. Potom existuje zobrazen´ı Ξ−1: x 7→ s definovan´e v nˇejak´em okol´ı bodu x0= Ξ(s0), kter´e je inverzn´ı k zobrazen´ı Ξ, tj. Ξ−1(Ξ(s)) = s v okol´ı bodu s0. 9 1 Rovnice prvn´ıho ˇr´adu kde Fje libovoln´a C1funkce. Podm´ınka pˇredepisuje hodnoty ˇreˇsen´ı una pˇr´ımce y= 0. Dosazen´ım podm´ınky do obecn´eho ˇreˇsen´ı dost´av´ame: u(x, 0) = F(x2) = sin x . Pˇr´ımka y= 0 prot´ın´a kaˇzdou charakteristiku dvakr´at. Na ˇc´asti x > 0 podm´ınka d´av´a F(s) = sin √s, na druh´e ˇc´asti x < 0 pak F(s) = sin(−√s). Neexistuje proto ˇreˇsen´ı v cel´e rovinˇe. Tento rozpor m˚uˇzeme ˇreˇsit r˚uzn´ym zp˚usobem, napˇr´ıklad (a) Podm´ınku budeme vyˇzadovat pouze pro x≥0 (nebo pouze pro x≤0). (b) ˇ Reˇsen´ı nebude v cel´e rovinˇe R2, ale jen na jej´ı podmnoˇzinˇe D, kdy z roviny jsme ”vyˇr´ızli“ kˇrivku, napˇr´ıklad pˇr´ımku x= 0 proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem. Tato pˇr´ımka rozdˇel´ı kaˇzdou charakteristiku na dvˇe ˇc´asti: ˇc´ast, na kter´e je ˇreˇsen´ı urˇceno podm´ınkou na kladn´e poloose xa ˇc´ast, kde je ˇreˇsen´ı urˇceno podm´ınkou na z´aporn´e poloose x. x y x y Obr. 5 a 6: Dvˇe moˇznosti ˇreˇsen´ı konfliktu dvou podm´ınek na charakteristice 2 Pˇ r´ ıklad 1.3 V Kapitole 3 budeme potˇrebovat ˇreˇsen´ı rovnice ξx/ξy=λ. ˇ Reˇsen´ı: Rovnici uprav´ıme na tvar ξx−λ ξy= 0. ˇ Reˇsen´ım syst´emu x0= 1 y0=−λ(pokud λje konstanta) je ϕ(x, y) = λx+y. Protoˇze n´am staˇc´ı kter´ekoliv ˇreˇsen´ı, v z´apisu obecn´eho ˇreˇsen´ı ξ(x, y) = F(λx +y) zvol´ıme funkci F(ξ) = ξa dost´av´ame ξ(x, y) = λx +y.2 Existenˇcn´ı vˇeta V´ysledek pˇredchoz´ıch ´uvah m˚uˇzeme formulovat v n´asleduj´ıc´ı vˇetˇe: Vˇ eta 1.4 Bud’Ω oblast v rovinˇe obsahuj´ıc´ı kˇrivku Γ = {(x, y)∈Ωx=γ1(s), y =γ2(s), s ∈I} a uvaˇzujme ´ulohu a(x, y)∂u ∂x +b(x, y)∂u ∂y = 0 v Ω ,(1.6) u=u0na Γ .(1.7) Necht ’koeficienty jsou spojitˇe diferencovateln´e funkce, tj. a, b ∈C1(Ω) a Γ je hladk´a kˇrivka, tj. funkce γ1, γ2∈C1(I) a nav´ıc je splnˇena podm´ınka det a b γ0 1γ0 26= 0 na Γ .(1.8) Potom existuje ˇreˇsen´ı ´ulohy (1.6)–(1.7) v okol´ı Γ. Toto ˇreˇsen´ı je urˇceno jednoznaˇcnˇe. Pozn´ amky 1.5 Podm´ınka (1.8) zaruˇcuje, ˇze vektory (a, b),(γ0 1, γ 0 2) jsou line´arnˇe nez´avisl´e. T´ım je nav´ıc zaruˇceno, ˇze rovnice ani teˇcna kˇrivky Γ nedegeneruj´ı, tj. vektor (a, b) 16 1.1 Homogenn´ı line´arn´ı rovnice v rovinˇe a smˇer teˇcny (γ0 1, γ 0 2) jsou nenulov´e vektory. D´ale vektor smˇeru (a, b) a teˇcny (γ0 1, γ 0 2) kˇrivky Γ sv´ıraj´ı nenulov´y ´uhel a t´ım je vylouˇcen rozpor mezi rovnic´ı (1.6) urˇcuj´ıc´ı derivaci ˇreˇsen´ı uve smˇeru (a, b) a podm´ınkou (1.7) urˇcuj´ıc´ı derivaci ˇreˇsen´ı ve smˇeru teˇcny (γ0 1, γ 0 2). O ˇreˇsen´ı pˇritom m˚uˇzeme ˇr´ıci, ˇze existuje v nˇejak´em okol´ı kˇrivky Γ. Obecnˇe totiˇz nem˚uˇzeme pˇredpov´ıdat ˇs´ıˇrku tohoto p´asu kolem kˇrivky Γ, na kter´em ˇreˇsen´ı existuje. Poznamenejme, ˇze v Pˇr´ıkladˇe 1.2 podm´ınka (1.8) nebyla splnˇena v poˇc´atku. Ω Γ Obr. 7: ˇ Reˇsen´ı je zaruˇceno jen v okol´ı Γ. Γ (γ0 1, γ 0 2) (a, b) Φ α Obr. 8: V´yznam podm´ınky (1.7) Idea d˚ukazu. Charakteristick´y syst´em rovnice (1.6) dopln´ıme poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami, aby kˇrivka Φ = {(x(t), y(t)) t∈(−∆,∆)}vych´azela z bodu (γ1(s), γ2(s)): x0=a(x, y)x(0) = γ1(s), y0=b(x, y)y(0) = γ2(s).(1.9) ´ Uloha (1.9) pˇredstavuje soustavu obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami pro nezn´am´e funkce x(t), y(t) s parametrem s. Protoˇze koeficienty a(x, y), b(x, y) jsou spojit´e funkce, ´uloha m´a ˇreˇsen´ı v jist´em okol´ı 0. Pokud nav´ıc koeficienty a(x, y), b(x, y) jsou diferencovateln´e, toto ˇreˇsen´ı je jednoznaˇcn´e. ˇ Reˇsen´ı vych´azej´ıc´ı z bodu γ1(s), γ2(s) oznaˇc´ıme parametrem s, kter´y pˇrid´ame jako druhou promˇennou. M´ame tedy funkce x(t, s), y(t, s), kter´e pˇredstavuj´ı lok´aln´ı zobrazen´ı R2→R2 (t, s)7→ (x, y).(1.10) Podle vˇety o spojit´e z´avislosti ˇreˇsen´ı uvaˇzovan´eho syst´emu ODR na parametru jsou funkce x(t, s), y(t, s) diferencovateln´e nejen v t, ale tak´e v s. Podm´ınka (1.7) urˇcuje hodnotu ˇreˇsen´ı na charakteristice s parametrem s u(x(t, s), y(t, s)) = u0(s).(1.11) Potˇrebujeme vˇsak vyj´adˇrit hodnotu spomoc´ı souˇradnic x, y – tedy inverzi zobrazen´ı (1.10). Podle Vˇety o inverzn´ım zobrazen´ı, viz str. 9, zobrazen´ı (1.10) m´a inverzn´ı, jestliˇze funkce x(t, s), y(t, s) jsou diferencovateln´e a Jakobi´an Jtohoto zobrazen´ı je nenulov´y. Tato podm´ınka je splnˇena: funkce x, y jsou diferencovateln´e a d´ıky podm´ınce (1.8) plat´ı J=xtyt xsys=a b γ0 1γ0 26= 0 pro (x(0, s), y(0, s)) ∈Γ. D´ıky spojitosti derivac´ı je Jakobi´an Jnenulov´y i v okol´ı bodu (x(0, s), y(0, s)). Proto v jeho okol´ı existuje zobrazen´ı inverzn´ı k zobrazen´ı (1.10) a rovnost (1.11) lze pˇrepsat u(x, y) = u0(s(x, y)) . Protoˇze funkce uje konstantn´ı pod´el charakteristik a je diferencovateln´a, splˇnuje rovnici (1.6). Nav´ıc m´a pˇredepsanou hodnotu na kˇrivce Γ, je tedy hledan´ym ˇreˇsen´ım. 2 17 1 Rovnice prvn´ıho ˇr´adu 1.2 Line´arn´ı rovnice v prostoru vyˇsˇs´ı dimenze Pod´ıvejme se nejdˇr´ıve na speci´aln´ı pˇr´ıpad rovnice v prostoru RN. Rovnici ∂u/∂xN= 0, podobnˇe jako rovnici (1.1) v rovinˇe, vyhovuj´ı funkce konstantn´ı na pˇr´ımk´ach rovnobˇeˇzn´ych s osou xN. Charakteristiky jsou jednorozmˇern´e kˇrivky – pˇr´ımky, kter´e tvoˇr´ı (N−1) parametrick´y soubor kˇrivek. Abychom ˇreˇsen´ı urˇcili jednoznaˇcnˇe, podm´ınku zad´ame napˇr´ıklad v rovinˇe xN= 0. Podm´ınku zad´av´ame na (N−1) rozmˇern´e nadrovinˇe: u(x1, . . . , xN−1,0) = u0(x1, . . . , xN−1), a ˇreˇsen´ı je potom u(x1, . . . , xN−1, xN) = u0(x1, . . . , xN−1). xN x1, . . . , xN−1 Obr. 9: Charakteristiky ve vyˇsˇs´ı dimenzi Obecn´y pˇr´ıpad Uvaˇzujme homogenn´ı line´arn´ı rovnici v oblasti Ω v RN N X i=1 ai(x) ∂u ∂xi≡a1(x) ∂u ∂x1 +a2(x) ∂u ∂x2 +···+aN(x) ∂u ∂xN = 0 ,(1.12) kde ai(x) jsou dan´e funkce zvan´e koeficienty a u(x) nezn´am´a. Jako v rovinn´em pˇr´ıpadˇe, lev´a strana pˇredstavuje derivaci podle vektoru koeficient˚u a1(x) ∂u ∂x1 +···+aN(x) ∂u ∂xN =∂(a1,...,aN)u(x), a proto ˇreˇsen´ı je konstantn´ı pod´el kˇrivek maj´ıc´ıch teˇcny (a1, . . . , aN). Charakteristick´y syst´em Pro rovnici zavedeme charakteristick´y syst´em x0 1=a1(x1, x2, . . . , xN), x0 2=a2(x1, x2, . . . , xN), . . .. . . x0 N=aN(x1, x2, . . . , xN). (1.13) Tato autonomn´ı soustava ODR urˇcuje (N−1)-parametrick´y syst´em trajektori´ı – jednorozmˇern´ych kˇrivek popsan´ych (x1(t), . . . , xN(t)). Kˇrivky lze opˇet popsat implicitnˇe pomoc´ı syst´emu (N−1) nez´avisl´ych rovnic s funkcemi ψ1, . . . , ψN−1: ψ1(x1, x2, . . . , xN) = s1, ψ2(x1, x2, . . . , xN) = s2, . . .. . . ψN−1(x1, x2, . . . , xN) = sN−1. (1.14) 18 1.2 Line´arn´ı rovnice v prostoru vyˇsˇs´ı dimenze Volbou r˚uzn´ych hodnot konstant s1, . . . , sN−1z´ısk´ame jednotliv´e charakteristiky. Protoˇze ˇreˇsen´ı mus´ı b´yt konstantn´ı pod´el kaˇzd´e z tˇechto kˇrivek, libovoln´a C1funkce Fpromˇenn´ych s1, s2, . . . , sN−1urˇcuje ˇreˇsen´ı. Z´ıskali jsme tak obecn´e ˇreˇsen´ı u(x1, x2, . . . , xN) = F(ψ1(x1, . . . , xN), . . . , ψN−1(x1, . . . , xN)) .(1.15) Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha Rovnici dopln´ıme podm´ınkou, abychom urˇcili ˇreˇsen´ı. Uvaˇzujme (N–1)-rozmˇernou regul´arn´ı plochu Γ, viz str. 9, v oblasti Ω popsanou funkcemi γ1, . . . , γNz´avisl´ych na parametrech s1, . . . , sN−1z jist´e oblasti D⊂RN−1 Γ = {x∈Ωxi=γi(s1, . . . , sN−1), i = 1, . . . N, (s1, . . . , sN−1)≡s∈D}.(1.16) Na ploˇse Γ pˇredep´ıˇseme hodnoty ˇreˇsen´ı u=u0na Γ .(1.17) Existenˇcn´ı Vˇetu 1.4 snadno zobecn´ıme na N-rozmˇern´y pˇr´ıpad: Vˇ eta 1.6 Pˇredpokl´adejme, ˇze koeficienty rovnice (1.12) jsou funkce spojitˇe diferencovateln´e: a1, . . . , aN∈C1(Ω), d´ale necht ’funkce γ1, . . . , γNdefinuj´ıc´ı hladkou plochu Γ jsou tak´e diferencovateln´e, tj. γ1, . . . , γN∈C1(D) a necht ’je nav´ıc splnˇena podm´ınka det  a1a2. . . aN ∂γ1/∂s1∂γ2/∂s1. . . ∂γN/∂s1 . . .. . .. . . ∂γ1/∂sN−1∂γ2/∂sN−1. . . ∂γN/∂sN−1  6= 0 na Γ .(1.18) Potom existuje ˇreˇsen´ı ´ulohy (1.12), (1.17) na jist´em okol´ı plochy Γ. ˇ Reˇsen´ı je jedin´e. N´aˇcrt d˚ukazu. D˚ukaz vˇety 1.4 snadno zobecn´ıme na d˚ukaz vˇety 1.6. Charakteristick´y syst´em (1.13) dopln´ıme poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami z popisu plochy Γ x1(0) = γ1(s) , . . . . . . , xN(0) = γN(s) . Syst´em m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı, kter´e urˇcuje (N–1)-parametrick´y syst´em kˇrivek Φss parametry s ≡(s1, . . . , sN−1)∈D. Jestliˇze podm´ınku (1.17) vyj´adˇr´ıme pomoc´ı parametr˚u u(s1, . . . , sN−1) = u0(s1, . . . , sN−1), ˇreˇsen´ı rovnice je d´ano vztahem u(x1, . . . , xN) = u0(s1(x1, . . . , xN), . . . , sN−1(x1, . . . , xN)) , protoˇze podm´ınka (1.18) zajiˇst ’uje lok´aln´ı existenci zobrazen´ı (x1, . . . , xN)7→ (s1, . . . , sN−1, t) inverzn´ıho k zobrazen´ı (s1, . . . , sN−1, t)7→ (x1, . . . , xN).2 Pˇ r´ ıklad 1.7 Spoˇc´ıtejte ˇreˇsen´ı ´ulohy ux+y uy+ 2 z uz= 0 , u(x, 1, z) = e3x/z . ˇ Reˇsen´ı: Napiˇsme pˇr´ısluˇsn´y charakteristick´y syst´em 1. ´uprava 2. ´uprava x0= 1 /·1/·0 y0=y / ·(−1/y)/·(−2/y) z0= 2 z / ·0/·(1/z). 19 1 Rovnice prvn´ıho ˇr´adu Seˇcten´ım prvn´ı a druh´e rovnice vyn´asoben´e, jak je v´yˇse naznaˇceno, dost´av´ame rovnici x0−y0/y = 0, odkud integrac´ı plyne x−ln|y|= const Rovnost odlogaritmujeme a za prvn´ı funkci ψzvol´ıme ψ1(x, y, z) = ex y. Druh´a ´uprava d´av´a z0/z −2y0/y = 0 , odkud integrac´ı plyne ln|z| − 2 ln|y|= const Rovnost odlogaritmujeme a za druhou funkci ψ2zvol´ıme ψ2(x, y, z) = z y2. Obecn´e ˇreˇsen´ı potom zap´ıˇseme ve tvaru u(x, y, z) = Fex y,z y2F∈C1. Poznamenejme, ˇze toto nen´ı jedin´y tvar obecn´eho ˇreˇsen´ı. Mohli jsme vyuˇz´ıt i p˚uvodn´ı tvar s logaritmy ψ1=x−ln|y|,ψ2= ln|z|−2 ln|y|, potom by obecn´e ˇreˇsen´ı bylo u(x, y, z) = F(x−ln|y|,ln|z|−2 ln|y|). Tak´e m˚uˇzeme pro v´ypoˇcet ψvyuˇz´ıt kombinaci prvn´ı a tˇret´ı rovnice. D˚uleˇzit´e ovˇsem je, aby obˇe funkce ψ1, ψ2byly navz´ajem nez´avisl´e. To je zaruˇceno t´ım, ˇze ψ1vznikla kombinac´ı prvn´ı a druh´e rovnice, zat´ımco ψ2z druh´e a tˇret´ı rovnice. Obˇe funkce jsou nez´avisl´e tak´e proto, ˇze maj´ı jin´e promˇenn´e: ψ1je funkc´ı x, y zat´ımco ψ2 je funkc´ı y, z. Obecn´e ˇreˇsen´ı dosad´ıme do podm´ınky u=e3x/z pro y= 1 u(x, 1, z) = F(ex, z) = 1 ze3x. Rovnice je splnˇena pro funkci F(ξ, η) = ξ3/η. Dost´av´ame tak ˇreˇsen´ı u(x, y, z) = ex y3y2 z=1 yz e3x. 2 1.3 Kvaziline´arn´ı rovnice Existenci ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı line´arn´ı rovnice (rovnice s pravou stranou) lze dok´azat podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe homogenn´ı rovnice; k charakteristick´emu syst´emu rovnic pˇribude obyˇcejn´a diferenci´aln´ı rovnice pro ˇreˇsen´ı pod´el charakteristiky. Pro praktick´y v´ypoˇcet je vhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt n´asleduj´ıc´ı metodu pouˇz´ıvanou pro ˇreˇsen´ı kvaziline´arn´ıch rovnic. Budeme se zab´yvat kvaziline´arn´ı rovnic´ı prvn´ıho ˇr´adu v prostoru dimenze N N X i=1 ai(x, u)∂u ∂xi =b(x, u)v Ω .(1.19) Tuto rovnici v prostoru dimenze Npˇrevedeme (jak je v matematice zvykem) na pˇr´ıpad, kter´y uˇz ˇreˇsit um´ıme – na line´arn´ı homogenn´ı rovnici v prostoru dimenze N+1. Zavedeme novou funkci N+1 promˇenn´ych v(x1, . . . , xN, u), kter´a pomoc´ı promˇenn´e u bude urˇcovat ˇreˇsen´ı u(x1, . . . , xN) implicitnˇe rovnic´ı v(x1, . . . , xN, u(x1, . . . , xN)) = 0 .(1.20) 20 1.3 Kvaziline´arn´ı rovnice Derivov´an´ım rovnosti (1.20) podle xidost´av´ame ∂v ∂xi +∂v ∂u ∂u ∂xi = 0 ,odkud ∂v ∂xi =−∂v ∂u ∂u ∂xi . Rovnici (1.19) vyn´asob´ıme ˇclenem −∂v/∂u, souˇciny na lev´e stranˇe vyj´adˇr´ıme pomoc´ı pˇredchoz´ı rovnosti a pravou stranu pˇrevedeme na levou N X i=1 ai(x, u)∂v ∂xi +b(x, u)∂v ∂u = 0 .(1.21) Z´ıskali jsme tak line´arn´ı homogenn´ı rovnici pro nezn´amou vv prostoru dimenze N+1 s promˇenn´ymi x1, x2, . . . , xN, u, kterou uˇz ˇreˇsit um´ıme. Dalˇs´ı postup ˇreˇsen´ı je standardn´ı. Nap´ıˇseme odpov´ıdaj´ıc´ı charakteristick´y syst´em – autonomn´ı syst´em ODR x0 1=a1(x1, . . . , xN, u), . . .. . . x0 N=aN(x1, . . . , xN, u), u0=b(x1, . . . , xN, u). (1.22) ˇ Reˇsen´ı urˇcuje N-parametrick´y syst´em kˇrivek, kter´y lze implicitnˇe popsat rovnicemi ψ1(x1, . . . , xN, u) = s1, . . .. . . ψN(x1, . . . , xN, u) = sN. Pro libovolnou C1funkci F(s1, . . . , sN) tak m´ame ˇreˇsen´ı v(x1, . . . , xN, u) rovnice (1.21) v(x1, . . . , xN, u) = F(ψ1(x1, . . . , xN, u), . . . , ψN(x1, . . . , xN, u)) , coˇz je implicitn´ı rovnice pro ˇreˇsen´ı u(x1, . . . , xN) p˚uvodn´ı kvaziline´arn´ı rovnice F(ψ1(x1, . . . , xN, u(x1, . . . , xN)), . . . , ψN(x1, . . . , xN, u(x1, . . . , xN))) = 0 . Konkr´etn´ı tvar funkce Fa t´ım i ˇreˇsen´ı uzjist´ıme z poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. Pˇ r´ ıklad 1.8 ˇ Reˇste n´asleduj´ıc´ı kvaziline´arn´ı rovnici v rovinˇe xy2−u2∂u ∂x −yx2+u2∂u ∂y =ux2+y2. Naleznˇete ˇreˇsen´ı splˇnuj´ıc´ı podm´ınku u=ypro x= 1, tj. u(1, y) = y. ˇ Reˇsen´ı: Podle pˇredchoz´ıch ´uvah kvaziline´arn´ı rovnici pro uvR2pˇrevedeme na homogenn´ı line´arn´ı rovnici v R3.ˇ Reˇsen´ı ubude pops´ano implicitnˇe rovnic´ı v(x, y, u(x, y)) = 0, kde funkce vje ˇreˇsen´ım rovnice xy2−u2∂v ∂x −yx2+u2∂v ∂y +ux2+y2∂v ∂u = 0 . 21 1 Rovnice prvn´ıho ˇr´adu Odpov´ıdaj´ıc´ı charakteristick´y syst´em m´a tvar 1. ´uprava 2. ´uprava x0=x(y2−u2)/·(−1/x)/·x y0=−y(x2+u2)/·(1/y)/·y u0=u(x2+y2)/·(1/u)/·u . Prvn´ı v´yˇse naznaˇcenou kombinac´ı rovnic z´ısk´ame rovnici −x0/x +y0/y +u0/u = 0 , odkud integrac´ı plyne vztah −ln|x|+ ln|y|+ ln|u|= const a odlogaritmov´an´ım dostaneme prvn´ı funkci ψ1ve tvaru ψ1(x, y, u) = y u/x . Pro soustavu tˇr´ı rovnic potˇrebujeme dvˇe nez´avisl´e funkce ψ. Druh´a naznaˇcen´a kombinace rovnic d´av´a x0x+y0y+u0u= 0 ,odkud integrac´ı m´ame x2/2 + y2/2 + u2/2 = const Aby vyj´adˇren´ı bylo co nejjednoduˇsˇs´ı, funkci zvol´ıme ve tvaru ψ2(x, y, u) = x2+y2+u2. Pro libovolnou C1funkci F(s1, s2) tak m´ame obecn´e ˇreˇsen´ı v v(x, y, u) = Fyu x, x2+y2+u2, kter´e d´av´a implicitn´ı rovnici pro ˇreˇsen´ı u Fu y x, x2+y2+u2= 0 .(1.23) Pro v´ypoˇcet partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı podm´ınku u=ypro x= 1 dosad´ıme do vzorce pro obecn´e ˇreˇsen´ı. Z´ısk´ame rovnost F(y2,1+2y2)=0,kterou splˇnuje napˇr´ıklad funkce F(s1, s2) = 2 s1−s2+ 1. Dosad´ıme zpˇet do (1.23) 2uy x−x2+y2+u2+ 1 = 0 . Z´ıskali jsme tak ˇreˇsen´ı u(x, y) ve tvaru implicitn´ı rovnice. Poznamenejme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe by ˇslo ˇreˇsen´ı uvyj´adˇrit lok´alnˇe explicitnˇe jakoˇzto ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice. Kontroln´ı ot´azky 1 (a) Napiˇste definici derivace funkce fve smˇeru vektoru v v bodˇe x. Jak lze tuto derivaci vyj´adˇrit pomoc´ı parci´aln´ıch derivac´ı? (b) Kdy ˇrekneme, ˇze syst´em ODR je autonomn´ı? V jak´em tvaru ho lze zapsat? (c) Co je to charakteristick´y syst´em a co jsou to charakteristiky? (d) V jak´em smyslu jsou line´arn´ı PDR prvn´ıho ˇr´adu bl´ızk´e ODR prvn´ıho ˇr´adu? (e) Jak´e je ˇreˇsen´ı homogenn´ı line´arn´ı PDR na charakteristice? (f) Proˇc je nutn´e, aby funkce Furˇcuj´ıc´ı ˇreˇsen´ı v (1.4) byla diferencovateln´a? (g) Jak daleko lze ˇreˇsen´ı z poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky pod´el charakteristiky rozˇs´ıˇrit? (h) Jak´e je omezen´ı kˇrivky Γ vzhledem k charakteristik´am? (i) Jak´y je rozmˇer mnoˇziny Γ v pˇr´ıpadˇe rovnice v R3,RN? (j) Kolik parametr˚u maj´ı charakteristiky v pˇr´ıpadˇe R3,RN? (k) Jak´e je omezen´ı plochy Γ vzhledem k charakteristik´am v R3? (l) Jak ˇreˇs´ıme nehomogenn´ı line´arn´ı a kvaziline´arn´ı rovnici? (m) Ukaˇzte (podobnˇe jako u ODR), ˇze kaˇzdou parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnici lze pˇrev´est na soustavu parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu. 22 1.3 Kvaziline´arn´ı rovnice Cviˇcen´ı 1.1 V n´asleduj´ıc´ıch rovnic´ıch urˇcete a naˇcrtnˇete charakteristiky, napiˇste obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice, zvolte si vhodnou podm´ınku a urˇcete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı. Spoˇcten´e ˇreˇsen´ı ovˇeˇrte zkouˇskou. (a)ux+ 3 uy= 0 ,(b) 2 ux−uy= 0 , (c)ux+y uy= 0 ,(d)ux+x uy= 0 , (e)x ux+y uy= 0 ,(f)x ux−y uy= 0 , (g)y ux+x uy= 0 ,(h)y ux−x uy= 0 , (i)x ux+ 2 y uy= 0 ,(j)x ux−2y uy= 0 , (k)y ux+ 2 x uy= 0 ,(l)y ux−2x uy= 0 . Cviˇcen´ı 1.2 Naleznˇete obecn´e ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ıch line´arn´ıch rovnic: (a)x ux−y uy+ (x2+y2)uz= 0 , (b)y ux−x uy+ 2 x y uz= 0 , (c)x ux+ 2 y uy−(2 x2+ 4 y2)uz= 0 , (d)x ux+y uy+ 2 z uz= 0 , (e)ux+y uy+ 2 z uz= 0 . Cviˇcen´ı 1.3 Naleznˇete obecn´e ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ıch kvaziline´arn´ıch rovnic i ˇreˇsen´ı splˇnuj´ıc´ı uvedenou podm´ınku: (a)x ux−y uy=x2+y2, u(x, −x) = x2, (b)y ux−x uy= 2 x y , u(x, x) = 2 x2−1, (c)x ux+ 2 y uy+ (2 x2+ 4 y2)=0, u(x, x) = 1 −x2, (d)x ux+y uy= 2 u , u(x, 1) = x , (e)ux+y uy= 2 u , u(x, 1) = ex, (f)y u ux+x u uy= 2 x y , u(x, 0) = 2 x , (g) 2 x ux−y uy=x2+y2, u(2, y)=1−y2, (h)x2ux+y uy= 2 u , u(1, y) = y3, (i)ux−y2uy=u2, u(x, 1) = 1 2x, (j)x ux+y uy= 2(x2+y2), u(1, y)=2y2+ 1 . 23 2Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha V pˇredchoz´ı kapitole jsme studovali poˇc´ateˇcn´ı ´ulohu pro rovnici prvn´ıho ˇr´adu. Nyn´ı pˇrejdeme na poˇc´ateˇcn´ı ´ulohu pro rovnice druh´eho a vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u. Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha v PDR je zobecnˇen´ım Cauchyovy poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy v ODR. Vˇeta Cauchyova–Kovalevsk´e n´am d´av´a lok´aln´ı existenci a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı pokud koeficienty a ostatn´ı ”data“ ´ulohy jsou analytick´e funkce. Zaˇcneme s Cauchyovou ´ulohou pro rovnici druh´eho ˇr´adu v rovinˇe, kde podm´ınky jsou zad´any na pˇr´ımce rovnobˇeˇzn´e se souˇradnicovou osou x. Jestliˇze poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky jsou zad´any na kˇrivce, mluv´ıme o zobecnˇen´e Cauchyovˇe ´uloze. Pˇri transformaci t´eto ´ulohy na Cauchyovu ´ulohu dost´av´ame podm´ınky, kter´e vedou k pojmu charakteristick´ych smˇer˚u a charakteristick´ych bod˚u. V dalˇs´ım v´ysledky zobecn´ıme na rovnice vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u a pro rovnice v prostoru vyˇsˇs´ı dimenze. Aˇckoliv tvrzen´ı, ˇze v okol´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky existuje analytick´e ˇreˇsen´ı, nem´a v praktick´ych ´uloh´ach pˇr´ıliˇs velk´y v´yznam, sama anal´yza charakteristick´ych smˇer˚u ukazuje korektnost ´ulohy a zejm´ena vhodnost poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. 2.1 Cauchyova ´uloha v rovinˇe Pˇripomeˇnme, ˇze Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu s nezn´amou funkc´ı upromˇenn´e tse skl´ad´a z rovnice a dvou poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek: u00(t) = f(t, u(t), u0(t)) t>t0, u(t0) = u0, u0(t0) = u1. Pro dan´a ˇc´ısla t0, u0, u1∈Ra danou funkci f(t, ξ, η) hled´ame v okol´ı bodu t0funkci u(t) tˇr´ıdy C2splˇnuj´ıc´ı rovnici a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. ˇ Reˇsen´ı existuje, jestliˇze funkce f(t, ξ, η) je spojit´a ve vˇsech sv´ych promˇenn´ych. ˇ Reˇsen´ı je jednoznaˇcn´e, jestliˇze nav´ıc funkce f(t, ξ, η) je lipschitzovsk´a v promˇenn´ym ξaη. x tt 00 t0t0 Obr. 10: Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro ODR a PDR V pˇr´ıpadˇe parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic v rovinˇe Cauchyova ´uloha pro rovnici druh´eho ˇr´adu se opˇet skl´ad´a z rovnice a dvou podm´ınek na pˇr´ımce t=t0: utt(x, t) = f(x, t, u(x, t), ux(x, t), ut(x, t), uxx(x, t), uxt(x, t)) , x ∈R, t ∈(t0,∞), u(x, t0) = u0(x), x ∈R, ut(x, t0) = u1(x), x ∈R. Porovnejme Cauchyovu ´ulohu pro ODR a PDR. V obou pˇr´ıpadech je nezn´am´a ufunkc´ı vybran´e promˇenn´e t, v pˇr´ıpadˇe PDR nav´ıc z´avis´ı na dalˇs´ı promˇenn´e xa obyˇcejn´e derivace nahradily parci´aln´ı. Na lev´e stranˇe rovnice je opˇet druh´a derivace nezn´am´e upodle t, ostatn´ı derivace druh´eho ˇr´adu a derivace niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚u jsou na prav´e stranˇe. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky jsou pˇredeps´any na cel´e pˇr´ımce t=t0, v obou pˇr´ıpadech je urˇcena hodnota nezn´am´e a tak´e hodnota derivace podle promˇenn´e t. 24 2.1 Cauchyova ´uloha v rovinˇe Korektnost ´ulohy. Podm´ınky i rovnice urˇcuj´ı hodnotu ˇreˇsen´ı a hodnoty vˇsech jeho derivac´ı v bodech pˇr´ımky Γ jednoznaˇcnˇe – viz prvn´ı krok n´asleduj´ıc´ıho d˚ukazu vˇety Cauchyovy-Kovalevsk´e. Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı V dalˇs´ım bude nezn´am´a ufunkc´ı x, y, pˇriˇcemˇz vybranou promˇennou bude y, ´ulohu by ovˇsem ˇslo formulovat i pro vybranou promˇennou x. Existenci ˇreˇsen´ı dok´aˇzeme za pˇredpokladu, ˇze vˇsechna data, tj. koeficienty rovnice i funkce v podm´ınk´ach, jsou analytick´e funkce. Pˇripomeˇnme proto definici analytick´e funkce v R2: Definice 2.1 ˇ Rekneme, ˇze funkce fje analytick´a v bodˇe (x0, y0), jestliˇze je definovan´a v nˇejak´em okol´ı Obodu (x0, y0), v tomto bodˇe m´a derivace vˇsech ˇr´ad˚u a pˇr´ısluˇsn´a Taylorova ˇrada konverguje v nˇejak´em okol´ı Ok funkci f. D´ale ˇrekneme, ˇze funkce fje analytick´a na mnoˇzinˇe M, jestliˇze je analytick´a v kaˇzd´em bodˇe mnoˇziny M. Pozn´ amka 2.2 Poznamenejme, ˇze vˇsechny polynomy, racion´aln´ı funkce a element´arn´ı funkce jako ex, lnx, sin x, tg x, arcsin x, . . . a jejich kombinace jsou analytick´e. Existuj´ı vˇsak i funkce neanalytick´e. Pˇr´ıkladem je ϕ(x) = exp(−1 1−x2) pro |x|<1 a ϕ(x) = 0 pro |x| ≥ 1. Je to funkce hladk´a, ale nen´ı analytick´a v bodech ±1. Skuteˇcnˇe, vˇsechny derivace ϕ(x) maj´ı nulovou limitu zleva v bodˇe x0=±1, proto jejich Taylorova ˇrada se stˇredem v bodˇe x0=±1 je nulov´a, tj. nekonverguje k funkci ϕ(x), kter´a v okol´ı nen´ı nulov´a. Vˇ eta 2.3 (Cauchyova–Kovalevsk´ e). Bud’Ω oblast v rovinˇe a Γ ´useˇcka v Ω kolm´a na osu y, napˇr´ıklad Γ = {(x, y)∈Ωy= 0}. Uvaˇzujme Cauchyovu ´ulohu uyy =f(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy) v Ω , u(x, 0) = u0(x) na Γ , uy(x, 0) = u1(x) na Γ . (2.1) Necht ’vˇsechna data ´ulohy (tj. prav´a strana fi funkce z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek u0, u1) jsou funkce analytick´e v okol´ı Γ, respektive na Γ. Potom existuje ˇreˇsen´ı u´ulohy (2.1) v okol´ı pˇr´ımky Γ. Toto ˇreˇsen´ı je jedin´e aanalytick´e. x y Ω 0 Γ Obr. 11: Existence ˇreˇsen´ı je zaruˇcena jen v okol´ı ´useˇcky Γ Pozn´ amka 2.4 Vˇeta Cauchyova–Kovalevsk´e je na jedn´e stranˇe velmi ”siln´a“: za minim´aln´ıch pˇredpoklad˚u (pouze hladkost dat) zaruˇcuje existenci a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı pro velmi ˇsirokou tˇr´ıdu rovnic. Na druh´e stranˇe je dost ”slab´a“, protoˇze ˇreˇsen´ı je zaruˇceno jen v okol´ı pˇr´ımky Γ, kter´e pˇredem nezn´ame a to okol´ı pod´el Γ m˚uˇze b´yt i dost ”´uzk´e“. Pˇredpoklad analytiˇcnosti dat v praxi nemus´ı b´yt splnˇen, v technick´e praxi se vyskytuj´ı ´ulohy s daty, kter´e tvoˇr´ı funkce ”lomen´e“ nebo funkce po ˇc´astech konstantn´ı. I pro tyto ´ulohy je vˇsak vˇeta jist´ym vod´ıtkem, zda ´uloha je korektnˇe formulov´ana. 25 2 Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha Abychom mohli rovnici rozˇreˇsit vzhledem k nejvyˇsˇs´ı derivaci u∗podle sN, mus´ı b´yt pˇr´ısluˇsn´y koeficient b(0,...,0,k)nenulov´y. Spoˇc´ıtejme tento koeficient. Vyjdeme ze vztahu u(x1, . . . , xN) = u∗(s1(x1, . . . , xN), . . . , sN(x1, . . . , xN)) . Line´arn´ı rovnice (2.15) obsahuje ˇcleny aα(x)Dαupro multiindexy αd´elky |α| ≤ k. K hledan´emu koeficientu u derivace k-t´eho ˇr´adu podle sNpˇrispˇej´ı pouze ˇcleny s derivacemi k-t´eho ˇr´adu podle xi. Derivace k-t´eho ˇr´adu nezn´am´e use transformuje pomoc´ı k-n´asobn´eho pouˇzit´ı pravidla o derivov´an´ı sloˇzen´e funkce ∂ku ∂xi1. . . ∂xik = N X j1=1 ··· N X jk=1 ∂ku∗ ∂sj1. . . ∂sjk ∂sj1 ∂xi1 . . . ∂sjk ∂xik + derivace u∗niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚u. Z tohoto souˇctu k hledan´emu koeficientu pˇrispˇeje jedinˇe ˇclen s indexy j1+···+jk=N. Proto ˇclen Dαu(|α|=k) pˇrispˇeje k hledan´e derivaci v´yrazem ∂ku∗ ∂sk N∂sN ∂x1α1 . . . ∂sN ∂xNαN . V rovnici (2.15) je kaˇzd´a derivace Dαun´asobena funkc´ı aα, hledan´y koeficient je tud´ıˇz b(0,...,0,k)=X |α|=k aα∂sN ∂x1α1 . . . ∂sN ∂xNαN . Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe rovnice druh´eho ˇr´adu v rovinˇe ze vztah˚u (2.17) lze odvodit, ˇze (∂sN)/(∂xi) = ni. Posledn´ı rovnost m˚uˇzeme proto pˇrepsat v jednoduch´em tvaru b(0,...,0,k)=X |α|=k aαnα1 1. . . nαN N≡X |α|=k aαnα, pˇriˇcemˇz v posledn´ı rovnosti jsme vyuˇzili multiindexov´eho oznaˇcen´ı mocniny vektoru. Podm´ınka nenulovosti koeficientu b(0,...,0,k)n´as vede k n´asleduj´ıc´ım pojm˚um: Definice 2.12 (Charakteristick´ a rovnice) (a) Rovnici, ve kter´e nahrad´ıme nejvyˇsˇs´ı derivace k-t´eho ˇr´adu pˇr´ısluˇsn´ymi mocninami sloˇzek norm´aly a ostatn´ı ˇcleny vynech´ame X |α|=k aαnα= 0 ,(2.18) nazveme charakteristickou rovnic´ı diferenci´aln´ı rovnice (2.15). (b) Vektor n nazveme charakteristick´ym smˇerem rovnice (2.15), jestliˇze splˇnuje pˇr´ısluˇsnou rovnici (2.18); v pˇr´ıpadˇe nekonstantn´ıch koeficient˚u aα(x) charakteristick´a rovnice z´avis´ı na bodˇe x a mluv´ıme o charakteristick´e rovnici acharakteristick´em smˇeru v bodˇe x. (c) Bod x plochy Γ nazveme charakteristick´ym bodem plochy Γ vzhledem k rovnici (2.15), jestliˇze norm´ala plochy Γ v tomto bodˇe m´a charakteristick´y smˇer. Pomoc´ı pr´avˇe zaveden´ych pojm˚u m˚uˇzeme v´ysledek shrnout v n´asleduj´ıc´ı vˇetˇe: 32 2.4 Zobecnˇen´a Cauchyova ´uloha v prostoru RN Vˇ eta 2.13 Rovnici (2.15) s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou (2.16) na ploˇse Γ lze pˇrev´est na Cauchyovu ´ulohu, jestliˇze plocha Γnem´a ˇz´adn´y charakteristick´y bod vzhledem k rovnici (2.15). Podle vˇety Cauchyovy-Kovalevsk´e za pˇredpokladu, ˇze ”data“ ´ulohy (koeficienty, funkce v poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach a funkce urˇcuj´ıc´ı plochu Γ) jsou analytick´e funkce, ´uloha m´a ˇreˇsen´ı v okol´ı Γ. Toto ˇreˇsen´ı je jedin´e a analytick´e. Pozn´ amka 2.14 Odvozen´e v´ysledky zahrnuj´ı i pˇr´ıpad rovnice prvn´ıho a druh´eho ˇr´adu. Pojem charakteristick´e rovnice lze zav´est i pro obecnou neline´arn´ı rovnici k-t´eho ˇr´adu Fx,Dαu|α| ≤ k= 0 t´ım, ˇze koeficienty aαnahrad´ıme pˇr´ısluˇsn´ymi parci´aln´ımi derivacemi funkce F(x, ξα) X |β|=k ∂F ∂ξβ (x,Dαu|α| ≤ k) nβ= 0 . V tomto pˇr´ıpadˇe charakteristick´a rovnice a t´ım i pˇr´ıpadn´y charakteristick´y smˇer z´avis´ı nejen na m´ıstˇe x ale i na hodnotˇe ˇreˇsen´ı ua jeho derivac´ıch. Teorii aplikujeme na rovnici prvn´ıho ˇr´adu pro srovn´an´ı s anal´yzou v pˇredchoz´ı kapitole. Potom uvedeme pˇr´ıklady rovnic druh´eho ˇr´adu ve vyˇsˇs´ı dimenzi a rovnic ˇctvrt´eho ˇr´adu. Pˇ r´ ıklad 2.15 Vyˇsetˇreme rovnici prvn´ıho ˇr´adu a ux+b uy=c . ˇ Reˇsen´ı: Charakteristick´a rovnice a nx+b ny= 0 urˇcuje charakteristick´y smˇer dan´y vektorem n = (−b, a). Skuteˇcnˇe, vˇsechna ˇreˇsen´ı charakteristick´e rovnice jsou vektory n = k(−b, a), kde k∈R. Pˇrid´ame-li podm´ınku |n|=pn2 x+n2 y= 1, dost´av´ame dva vektory norm´aly n = ±k(−b, a), kde k= (a2+b2)−1/2, kter´e urˇcuj´ı stejn´y smˇer, smˇer kolm´y k vektoru (a, b). Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku tedy nelze zadat na pˇr´ımce kolm´e na tento smˇer, tedy na pˇr´ımce smˇeru (a, b). Kˇrivka Γ s charakteristick´ym bodem ve smyslu definice v Cauchyovˇe ´uloze je tedy ”zak´azan´a“, protoˇze spl´yv´a s teˇcnou charakteristiky ve smyslu rovnice prvn´ıho ˇr´adu. Dostali jsme tak stejn´e omezen´ı. 2 Pˇ r´ ıklad 2.16 Vyˇsetˇreme jeˇstˇe rovnici prvn´ıho ˇr´adu v dimenzi N N X i=1 ai(x) ∂u ∂xi = 0 . ˇ Reˇsen´ı: Charakteristick´a rovnice m´a tvar PN i=1 ai(x)ni= 0. Pˇr´ısluˇsn´e charakteristick´e smˇery jsou vˇsechny vektory kolm´e na vektor koeficient˚u rovnice (a1, . . . , aN), tedy v charakteristick´em bodˇe plochy Γ je vektor koeficient˚u teˇcn´ym vektorem plochy Γ – coˇz bylo ”zak´az´ano“ tak´e v teorii rovnic prvn´ıho ˇr´adu. 2 Pod´ıvejme se na rovnice druh´eho ˇr´adu ve vyˇsˇs´ı dimenzi. Zaj´ımav´y je pˇr´ıpad hyperbolick´e rovnice. Pˇ r´ ıklad 2.17 Vyˇsetˇrete n´asleduj´ıc´ı rovnice v trojrozmˇern´em prostoru (a) uxx +uyy −uzz =f , (b) uxx +uyy −uz=f , (c) uxx +uyy +uzz =f . 33 2 Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha ˇ Reˇsen´ı: (a) Rovnice uxx +uyy −uzz =fm´a charakteristickou rovnici n2 x+n2 y=n2 z. Rovnice s podm´ınkou |n|2≡n2 x+n2 y+n2 z= 1 m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı – charakteristick´ych smˇer˚u: jsou to vektory (nx, ny,1 2√2), n2 x+n2 y=1 2sv´ıraj´ıc´ı s osou z´uhel π/4 (45◦). Smˇery vytv´aˇrej´ı tzv. charakteristick´y kuˇzel okolo osy z.2 y z x Obr. 17: Charakteristick´e smˇery rovnice uxx +uyy −uzz =f (b) Rovnice uxx +uyy −uz=fm´a charakteristickou rovnici n2 x+n2 y= 0 d´av´a jedin´y charakteristick´y smˇer n = (0,0,±1), na rovinˇe z=z0∈Rproto nelze zadat Cauchyovu ´ulohu s dvˇemi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. 2 (c) Posledn´ı eliptick´a rovnice uxx +uyy +uzz =fd´av´a charakteristickou rovnici n2 x+n2 y+n2 z= 0, kter´a nem´a ˇz´adn´e nenulov´e ˇreˇsen´ı, a proto nem´a ˇz´adn´y charakteristick´y smˇer. Plocha pro poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky proto nem´a ˇz´adn´e omezen´ı. 2 Pˇ r´ ıklad 2.18 Vyˇsetˇreme jeˇstˇe tˇri rovnice ˇctvrt´eho ˇr´adu (a) uxxxx =uyy+f, (b) uxxxx+2uxxyy+uyyyy =uzz+f, (c) uxxxx+2uxxyy+uyyyy =f. ˇ Reˇsen´ı: (a) Rovnice uxxxx =uyy +fm´a charakteristickou rovnici n4 x= 0 , kter´a d´av´a jedin´e ˇreˇsen´ı nx= 0 a t´ım i jedin´y charakteristick´y smˇer n = (0,±1), proto na pˇr´ımce kolm´e na osu znelze zadat Cauchyovu ´ulohu se ˇctyˇrmi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. 2 (b) Rovnice uxxxx + 2uxxyy +uyyyy =uzz +fm´a charakteristickou rovnici n4 x+ 2n2 xn2 y+n4 y≡(n2 x+n2 y)2= 0 , kter´a d´av´a nx=ny= 0 a t´ım urˇcuje jedin´y charakteristick´y smˇer n = (0,0,±1). Na rovinˇe kolm´e na osu zproto nelze zadat Cauchyovu ´ulohu se ˇctyˇrmi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. 2 (c) Rovnice uxxxx + 2uxxyy +uyyyy =fm´a stejnou charakteristickou rovnici n4 x+ 2n2 xn2 y+n4 y≡(n2 x+n2 y)2= 0 , kter´a d´av´a nx=ny= 0, a tud´ıˇz rovnice nem´a ˇz´adn´e nenulov´e ˇreˇsen´ı n = (nx, ny), a t´ım ani ˇz´adn´y charakteristick´y smˇer n a ˇz´adn´e omezen´ı na kˇrivku Γ. 2 Poznamenejme, ˇze prvn´ı rovnice popisuje kmit´an´ı nosn´ıku, druh´a kmit´an´ı tenk´e desky a tˇret´ı deformaci tenk´e desky. Kontroln´ı ot´azky 2 (a) Formulujte Cauchyovu ´ulohu v R2pro rovnici druh´eho ˇr´adu s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkami na pˇr´ımce x= 1, tj. s vybranou promˇennou x. (b) Formulujte Cauchyovu ´ulohu v R2pro rovnici tˇret´ıho ˇr´adu s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami na pˇr´ımce y= 0. (c) Formulujte Cauchyovu ´ulohu v R3pro rovnici druh´eho ˇr´adu na rovinˇe z= 1. 34 2.4 Zobecnˇen´a Cauchyova ´uloha v prostoru RN (d) Co jsou to analytick´e funkce? Proˇc funkce, kter´e nejsou hladk´e, nemohou b´yt analytick´e? Propoˇc´ıtejte pˇr´ıklad hladk´e neanalytick´e funkce z Pozn´amky 2.2. (e) Co tvrd´ı Vˇeta Cauchyova-Kovalevsk´e? Proˇc je z jist´eho pohledu ”siln´a“ a z jin´eho pohledu ”slab´a“? (f) Propoˇc´ıtejte transformaci derivac´ı funkce u(x, y) na derivace funkce u∗(s, t) na stranˇe 28. (g) Co vyjadˇruje charakteristick´e rovnice? Proˇc nem´a b´yt nulov´a? (h) Formulujte Cauchyovu ´ulohu v R3s podm´ınkami na ploˇse (i) x= 0, (ii) y= 1, (iii) z= 2 v prostoru x, y, z pro rovnici druh´eho (pˇr´ıpadnˇe tˇret´ıho, ˇctvrt´eho, . . . ) ˇr´adu. Cviˇcen´ı 2 Urˇcete charakteristickou rovnici a charakteristick´e smˇery n´asleduj´ıc´ıch rovnic. Na kter´ych rovin´ach nelze zadat zobecnˇenou Cauchyovu ´ulohu? (a) ut=uxx +uyy +f , (b) utt =uxx +uyy +f , (c) ut=uxx +uyy +uzz +f , (d) utt =uxx +uyy +uzz +f , (e) uxx +uyy +uzz =f , (f) uxx(1 + u2 y)+2uxy uxuy+uyy(1 + u2 x) = 0 . 35 3Klasifikace rovnic druh´eho ˇr´adu Rovnice prvn´ıho ˇr´adu lze pokr´yt univerz´aln´ı teori´ı. V pˇr´ıpadˇe line´arn´ıch rovnic druh´eho ˇr´adu existuj´ı tˇri skupiny rovnic se zcela odliˇsn´ym chov´an´ım. Z´akladem klasifikace rovnic je jejich transformace. Rovnice, kter´e lze navz´ajem pˇrev´est n´asobkem rovnice a transformac´ı souˇradnic, povaˇzujeme za rovnice stejn´eho typu. V kaˇzd´e tˇr´ıdˇe rovnic stejn´eho typu zvol´ıme rovnici v kanonick´em tvaru, na kterou pak lze ostatn´ı rovnice pˇrev´est. Protoˇze na klasifikaci maj´ı vliv pouze ˇcleny s derivacemi nejvyˇsˇs´ıho tj. druh´eho ˇr´adu, tyto ˇcleny sdruˇz´ıme do tzv. diferenci´aln´ıho oper´atoru L. Ostatn´ımi ˇcleny, kter´e pˇrevedeme na pravou stranu rovnice, se aˇz na v´yjimky zab´yvat nebudeme. Zaˇcneme transformacemi a klasifikac´ı line´arn´ıch rovnic v rovinˇe. V pˇr´ıpadˇe rovnic s konstantn´ımi koeficienty vezmeme v ´uvahu i ˇcleny niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚u. Potom se budeme zab´yvat rovnicemi druh´eho ˇr´adu v prostorech vyˇsˇs´ı dimenze. Vyuˇzijeme pˇritom vlastnost´ı kvadratick´ych forem. 3.1 Klasifikace rovnic v rovinˇe Zaˇcneme line´arn´ımi rovnicemi druh´eho ˇr´adu ve dvou promˇenn´ych x, y. Pro pˇrehlednost parci´aln´ı derivace budeme znaˇcit indexy. Protoˇze klasifikace je ovlivnˇena pouze ˇcleny s derivacemi druh´eho ˇr´adu, rovnici zap´ıˇseme ve tvaru s diferenci´aln´ım oper´atorem L(u)≡a uxx +b uxy +c uyy =f(x, y, u, ux, uy),(3.1) kde koeficienty a, b, c nejsou souˇcasnˇe vˇsechny nulov´e a mohou z´aviset na promˇenn´ych x, y. Mluv´ıme-li o line´arn´ıch rovnic´ıch, pˇredpokl´ad´ame, ˇze prav´a strana fje line´arn´ı v promˇenn´ych u, ux, uy. V´ysledky vˇsak plat´ı i v pˇr´ıpadˇe, kdy funkce fje zcela neline´arn´ı. V Kapitole 2 jsme zavedli pojem charakteristick´e rovnice, viz (2.12). Charakteristick´a rovnice pˇr´ısluˇsn´a rovnici (3.1) je a(nx)2+b nxny+c(ny)2= 0 .(3.2) Pˇredpokl´adejme, ˇze ny6= 0. Charakteristickou rovnici vydˇel´ıme (ny)2a zaveden´ım promˇenn´e λ=nx/nydost´av´ame kvadratickou rovnici a λ2+b λ +c= 0 .(3.3) Diskriminant t´eto rovnice je D=b2−4ac. Podle teorie kvadratick´ych rovnic rozliˇs´ıme tˇri pˇr´ıpady, kdy rovnice m´a dva, jeden nebo ˇz´adn´y re´aln´y koˇren. Definice 3.1 Uvaˇzujme rovnici (3.1). Podle hodnoty diskriminantu D=b2−4ac kvadratick´e rovnice (3.3) rozezn´av´ame tˇri typy parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic: (H) Jestliˇze D > 0, charakteristick´a rovnice m´a dva r˚uzn´e re´aln´e koˇreny, a proto diferenci´aln´ı rovnice m´a dva charakteristick´e smˇery. V tomto pˇr´ıpadˇe rovnici (3.1) nazveme hyperbolickou. (P) Jestliˇze D= 0, charakteristick´a rovnice m´a jedin´y (dvojn´asobn´y) re´aln´y koˇren, a proto diferenci´aln´ı rovnice m´a jen jeden charakteristick´y smˇer. V tomto pˇr´ıpadˇe rovnici (3.1) nazveme parabolickou. (E) Jestliˇze D < 0, charakteristick´a rovnice nem´a ˇz´adn´y re´aln´y koˇren (m´a dva komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny), a proto diferenci´aln´ı rovnice nem´a ˇz´adn´y charakteristick´y smˇer. V tomto pˇr´ıpadˇe rovnici (3.1) nazveme eliptickou. 36 3.2 Pˇreveden´ı rovnice na kanonick´y tvar V pˇr´ıpadˇe, kdy koeficienty a, b, c nejsou konstanty, rovnice m˚uˇze mˇenit sv˚uj typ a mluv´ıme o rovnici hyperbolick´e (parabolick´e, eliptick´e) v pˇr´ısluˇsn´ych bodech. Napˇr´ıklad rovnice x uxx +uyy = 0 je pro x > 0 eliptick´a, pro x= 0 parabolick´a a pro x < 0 hyperbolick´a. Kvadratick´e formy Rovnici (3.1) s diferenci´aln´ım oper´atorem L(u) = a uxx +b uxy +c uyy a odpov´ıdaj´ıc´ı charakteristickou rovnic´ı (3.2) pˇriˇrad´ıme kvadratickou formu Q:R2→Rdanou vztahem Q(x, y) = a x2+b xy +c y2. Kvadratick´a forma Qmimo poˇc´atek nab´yv´a na pˇr´ımk´ach v charakteristick´ych smˇerech hodnoty nulov´e, jinak m˚uˇze nab´yvat kladn´ych i z´aporn´ych hodnot. Poloˇz´ıme-li x/y =λ, snadno z (3.3) zjist´ıme, ˇze v pˇr´ıpadˇe (H) kromˇe dvou ”nulov´ych pˇr´ımek“ forma Qnab´yv´a kladn´ych i z´aporn´ych hodnot, je tedy indefinitn´ı. V pˇr´ıpadˇe (E) forma Qnab´yv´a pouze kladn´ych (nebo pouze z´aporn´ych) hodnot, je tedy pozitivnˇe (nebo negativnˇe) definitn´ı. V pˇr´ıpadˇe (P) nab´yv´a jen kladn´ych a nulov´ych (nebo jen z´aporn´ych a nulov´ych) hodnot, forma je tedy pozitivnˇe (nebo negativnˇe) semidefinitn´ı. Poloˇz´ıme-li Q(x, y)≡a x2+b xy +c y2=±1, dost´av´ame v pˇr´ıpadˇe (H) rovnici hyperboly, v pˇr´ıpadˇe (E) rovnici elipsy. Pˇr´ıpad (P) vede na dvojici rovnobˇeˇzek, pˇrid´an´ım vhodn´e line´arn´ı kombinace x, y na pravou stranu Q(x, y) = α x +β y dost´av´ame parabolu. Odtud poch´azej´ı n´azvy jednotliv´ych rovnic: hyperbolick´a, eliptick´a, parabolick´a. Klasifikaci m˚uˇzeme rozˇs´ıˇrit i na neline´arn´ı rovnice F(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0 t´ım, ˇze rovnici pˇriˇrad´ıme kvadratickou formu sestavenou z parci´aln´ıch derivac´ı funkce F(x, y, ξ, ξx, ξy, ξxx, ξxy, ξyy) Q(x, y) = ∂F ∂ξxx x2+∂F ∂ξxy xy +∂F ∂ξyy y2. Klasifikace zde z´avis´ı nejen na m´ıstˇe (x, y) ale i na hodnot´ach nezn´am´e ua jej´ıch derivac´ı. Opr´avnˇenost uveden´e klasifikace zjist´ıme studiem transformac´ı tˇechto rovnic. 3.2 Pˇreveden´ı rovnice na kanonick´y tvar Vrat ’me se budeme k line´arn´ı rovnici L(u)≡a uxx +b uxy +c uyy =f(x, y, u, ux, uy).(3.4) Budeme pˇredpokl´adat, ˇze vˇzdy alespoˇn jeden z koeficient˚u a, b, c je nenulov´y a koeficienty jsou konstanty, nebo spojit´e diferencovateln´e funkce promˇenn´ych x, y. Uvaˇzujme regul´arn´ı transformaci souˇradnic (x, y)7−→ (ξ, η) danou funkcemi ξ=ξ(x, y), η =η(x, y).(3.5) Transformace je regul´arn´ı, jestliˇze ξ, η jsou C1-funkce a jsou nez´avisl´e, tj. splˇnuj´ı det ξxξy ηxηy6= 0 .(3.6) Transformujme funkci u(x, y) do souˇradnic ξ, η. Derivov´an´ım vztahu u(x, y) = u∗(ξ(x, y), η(x, y)) 37 3 Klasifikace rovnic druh´eho ˇr´adu podle xaydost´av´ame transformaci prvn´ıch derivac´ı ux=u∗ ξξx+u∗ ηηx, uy=u∗ ξξy+u∗ ηηy(3.7) a dalˇs´ım derivov´an´ım derivace druh´eho ˇr´adu uxx =u∗ ξξ ξ2 x+ 2 u∗ ξη ξxηx+u∗ ηη η2 x+u∗ ξξxx +u∗ ηηxx , uxy =u∗ ξξ ξxξy+u∗ ξη (ξxηy+ηxξy) + u∗ ηη ηxηy+u∗ ξξxy +u∗ ηηxy , uyy =u∗ ξξ ξ2 y+ 2 u∗ ξη ξyηy+u∗ ηη η2 y+u∗ ξξyy +u∗ ηηyy . (3.8) Transformaci ˇclenu fna prav´e stranˇe nebudeme vypisovat, protoˇze nezasahuje do transformace druh´ych derivac´ı nezn´am´e u. Pomoc´ı transformace (3.5) rovnice (3.4) pˇrejde na tvar L∗(u)≡a∗u∗ ξξ +b∗u∗ ξη +c∗u∗ ηη =f∗, kde nov´e koeficienty a∗, b∗, c∗jsou d´any vztahy a∗=a ξ2 x+b ξxξy+c ξ2 y, b∗= 2 a ξxηx+b(ξxηy+ξyηx)+2c ξyηy, c∗=a η2 x+b ηxηy+c η2 y. (3.9) Nyn´ı m˚uˇzeme pˇrej´ıt k transformaci na kanonick´y tvar v jednotliv´ych pˇr´ıpadech. Hyperbolick´a rovnice Vˇsimnˇeme si podobnosti vyj´adˇren´ı koeficient˚u a∗,c∗v (3.9) s charakteristickou rovnic´ı (3.2). V pˇr´ıpadˇe hyperbolick´e rovnice m´a rovnice (3.3) dva r˚uzn´e re´aln´e koˇreny λ1aλ2 a t´ım i dva r˚uzn´e charakteristick´e smˇery. Proto volbou souˇradnic ξ, η splˇnuj´ıc´ıch ξx ξy =λ1,ηx ηy =λ2(3.10) anulujeme koeficienty a∗,c∗. D´ıky tomu, ˇze λ16=λ2, podm´ınka regularity (3.6) pouˇzit´e transformace je splnˇena. D´ıky teorii rovnic prvn´ıho ˇr´adu v´ıme, ˇze line´arn´ı rovnice (3.10) maj´ı (alespoˇn v okol´ı bodu) ˇreˇsen´ı. Zb´yvaj´ıc´ı koeficient b∗je nenulov´y (jinak by forma Q(x, y) nebyla kvadratick´a), m˚uˇzeme j´ım vydˇelit a dost´av´ame tak kanonick´y tvar hyperbolick´e rovnice u∗ ξη =f∗≡f∗/b∗.(3.11) V´yhodou tohoto tvaru je, ˇze v pˇr´ıpadˇe u∗ ξη = 0, m˚uˇzeme okamˇzitˇe napsat obecn´e ˇreˇsen´ı u∗(ξ, η) = F(ξ) + G(η), kde FaGjsou libovoln´e C2-diferencovateln´e funkce. Transformac´ı souˇradnic σ=ξ+η , τ =ξ−η,(3.12) rovnice pˇrejde na druh´y kanonick´y tvar hyperbolick´e rovnice u∗∗ σσ −u∗∗ ττ =f∗∗ .(3.13) 38 3.2 Pˇreveden´ı rovnice na kanonick´y tvar Parabolick´a rovnice Narozd´ıl od pˇredchoz´ıho pˇr´ıpadu m´ame u parabolick´e rovnice jen jeden koˇren λa t´ım jen jeden charakteristick´y smˇer. Proto m˚uˇzeme anulovat jen jeden z koeficient˚u a∗, c∗, napˇr´ıklad volba ηx/ηy=λd´av´a c∗= 0. Pro druhou souˇradnici ξm˚uˇzeme pˇredepsat libovolnou hodnotu µ, napˇr´ıklad µ= 0, jen s omezen´ım µ6=λ, aby podm´ınka (3.6) byla splnˇena. Naleznˇeme tedy funkce ξ, η splˇnuj´ıc´ı ξx ξy =µ , ηx ηy =λ,(3.14) kde µ6=λ. Potom zˇrejmˇe c∗= 0. Protoˇze λ=−b/(2a) je tak´e b∗= 0. Skuteˇcnˇe, dosazen´ım ηx=−b 2aηydo (3.9) dost´av´ame b∗=ξxηy−2ab 2a+b+ξyηy−bb 2a+ 2 c= 0 . Prvn´ı z´avorka je nulov´a, druh´a tak´e d´ıky b2−4ac = 0. Zb´yvaj´ıc´ı ˇclen a∗6= 0, jinak by forma nebyla kvadratick´a. Vydˇel´ıme a∗a dost´av´ame kanonick´y tvar parabolick´e rovnice u∗ ξξ =f∗≡f∗/a∗.(3.15) Aby rovnice nedegenerovala na obyˇcejnou, pˇredpokl´ad´ame obvykle, ˇze prav´a strana f∗ z´avis´ı na derivaci podle druh´e promˇenn´e u∗ η. Kanonick´y tvar parabolick´e rovnice proto zapisujeme ve tvaru u∗ η=u∗ ξξ +f∗∗. Eliptick´a rovnice V tomto pˇr´ıpadˇe nem´ame ˇz´adn´e charakteristick´e smˇery a ˇz´adn´e re´aln´e koˇreny rovnice (3.3). Rovnice (3.3) m´a vˇsak dva komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny λ1,2=µ±iν,kde µ=−b 2a, ν =√4ac −b2 2a.(3.16) Napiˇsme rovnice pro funkce ϕ, ψ s komplexn´ımi hodnotami ϕx ϕy =µ+ i ν , ψx ψy =µ−iν.(3.17) Vzhledem k tomu, ˇze prav´e strany jsou komplexnˇe sdruˇzen´e, m˚uˇzeme zvolit ˇreˇsen´ı ϕ, ψ, kter´a jsou opˇet komplexnˇe sdruˇzen´a. Staˇc´ı proto urˇcit ˇreˇsen´ı ϕ(x, y) prvn´ı rovnice a komplexnˇe sdruˇzen´a funkce ψ(x, y) = ϕ(x, y) je jiˇz ˇreˇsen´ım druh´e rovnice. Jejich kombinac´ı dostaneme funkce ξ, η s re´aln´ymi hodnotami, kter´e uˇzijeme pro transformaci rovnice ξ=1 2(ϕ+ψ), η =1 2 i (ϕ−ψ).(3.18) Dosazen´ım do transformaˇcn´ıch vzorc˚u (3.9) ovˇeˇr´ıme, ˇze a∗=c∗ab∗= 0. Skuteˇcnˇe, z rovnost´ı (3.17) a (3.18) plynou vztahy ξx=µ ξy−ν ηy, ηx=ν ξy+µ ηy, ze kter´ych dosad´ıme za ξx, ηxdo (3.9). Po uspoˇr´ad´an´ı ˇclen˚u dost´av´ame a∗=ξ2 y(a µ2+b µ +c)−ξyηy(2 a µ +b)ν+η2 ya ν2, b∗=ξ2 y(2 a µ +b)ν+ 2 ξyηy[a(µ2−ν2) + b µ +c]ν−η2 y(2 a µ +b)ν , c∗=ξ2 ya ν2+ξyηy(2 a µ +b)ν+η2 y(a µ2+b µ +c). 39 3 Klasifikace rovnic druh´eho ˇr´adu Ze vztah˚u (3.16) plyne 2aµ+b= 0 , aµ2+bµ+c=aν2, odkud m´ame b∗= 0 a tak´e a∗=c∗. Protoˇze kvadratick´a forma nen´ı degenerovan´a, koeficienty a∗=c∗jsou nenulov´e a m˚uˇzeme jimi rovnici vydˇelit. Dost´av´ame tak kanonick´y tvar eliptick´e rovnice u∗ ξξ +u∗ ηη =f∗.(3.19) Uvˇedomme si, ˇze uveden´e transformace pˇrev´adˇej´ı rovnici na pˇr´ısluˇsn´y kanonick´y tvar nejen v jednom bodu, ale i v jeho okol´ı. V´ysledek naˇsich ´uvah shrneme v n´asleduj´ıc´ı vˇetˇe: Vˇ eta 3.2 (Transformace rovnic na kanonick´ y tvar) Uvaˇzujme nedegenerovanou line´arn´ı rovnici druh´eho ˇr´adu (3.4) s koeficienty a, b, c diferencovateln´ymi v okol´ı bodu (x0, y0). Oznaˇcme D(x, y) = b2(x, y)−4a(x, y)c(x, y). Potom plat´ı: (H) Pokud D > 0v bodˇe (x0, y0), potom rovnice (3.4) je v okol´ı bodu (x0, y0)hyperbolick´a a existuj´ı transformace, kter´e pˇrev´adˇej´ı rovnici (3.4) v tomto okol´ı na kanonick´y tvar – transformace (3.10) na prvn´ı a (3.12) na druh´y kanonick´y tvar: u∗ ξη =f∗au∗∗ σσ −u∗∗ ττ =f∗∗ . (P) Pokud D= 0 plat´ı i v okol´ı bodu (x0, y0), potom rovnice (3.4) je v tomto okol´ı parabolick´a a existuje transformace dan´a vztahem (3.14), kter´a pˇrev´ad´ı rovnici (3.4) v tomto okol´ı na kanonick´y tvar u∗ ξξ =f∗. (E) Pokud D < 0v bodˇe (x0, y0), potom rovnice (3.4) je v okol´ı (x0, y0)eliptick´a a existuje transformace dan´a vztahy (3.17) a (3.18), kter´e pˇrev´ad´ı rovnici (3.4) v tomto okol´ı na kanonick´y tvar u∗ ξξ +u∗ ηη =f∗. Pozn´ amky 3.3 V pˇr´ıpadˇe hyperbolick´e a eliptick´e rovnice staˇcilo pˇredpokl´adat podm´ınku D > 0 (pˇr´ıpadnˇe D < 0) jen v bodˇe, protoˇze d´ıky spojitosti koeficient˚u tato podm´ınka je splnˇena i v urˇcit´em okol´ı. V pˇr´ıpadˇe parabolick´e rovnice nutno vyˇzadovat podm´ınku D= 0 nejen v bodˇe (x0, y0) ale i v urˇcit´em jeho okol´ı. V pˇr´ıpadˇe rovnice s konstantn´ımi koeficienty je typ rovnice v cel´e rovinˇe stejn´y a lze ji pˇrev´est line´arn´ı transformac´ı na pˇr´ısluˇsn´y kanonick´y tvar v cel´e rovinˇe. Pˇ r´ ıklad 3.4 Klasifikujte a pˇreved’te na kanonick´y tvar rovnici uxx −uxy −2uyy +ux+uy= 0 . ˇ Reˇsen´ı: Protoˇze plat´ı D= (−1)2−4·1·(−2) = 9 >0, rovnice je hyperbolick´a. Pˇr´ısluˇsn´a charakteristick´a rovnice λ2−λ−2 = 0 m´a dva re´aln´e koˇreny λ1= 2 a λ2=−1. Hled´ame transformaˇcn´ı funkce ξ, η splˇnuj´ıc´ı rovnice ξx ξy = 2 ,ηx ηy =−1. 40 3.3 Rovnice s konstantn´ımi koeficienty Obvykl´ym postupem (viz Pˇr´ıklad 1.3) spoˇc´ıt´ame charakteristiky 2x+y= const. Obecn´e ˇreˇsen´ı je ξ(x, y) = F(2x+y). Zvol´ıme co nejjednoduˇsˇs´ı funkci F(s) = sa dost´av´ame ξ(x, y) = 2x+y. Podobnˇe z druh´e rovnice spoˇc´ıt´ame η(x, y) = x−y. Dosad´ıme do transformaˇcn´ıch vzorc˚u (3.9) nebo transformujeme jednotliv´e ˇcleny pomoc´ı (3.7) a (3.8) a po seˇcten´ı vyjde 9u∗ ξη + 3 u∗ ξ= 0 , odkud dˇelen´ım 9 dost´av´ame kanonick´y tvar (3.11). Pouˇzit´ım transformace (3.12), kter´a m´a tvar σ(x, y)=3x,τ(x, y) = x+ 2y, dostaneme druh´y kanonick´y tvar (3.13) u∗ σσ −u∗ ττ +1 3(u∗ σ+u∗ τ)=0.2 Pˇ r´ ıklad 3.5 Klasifikujte a pˇreved’te na kanonick´y tvar rovnici x2uxx −4xy uxy + 4y2uyy = 0 . ˇ Reˇsen´ı: Protoˇze D= 0 plat´ı v cel´e rovinˇe, rovnice je parabolick´a v cel´e rovinˇe mimo poˇc´atek (0,0). Pˇr´ısluˇsn´a charakteristick´a rovnice (3.3) m´a dvojn´asobn´y koˇren λ= 2 y/x. Mimo pˇr´ımku y= 0 zvol´ıme µ= 0 a hled´ame souˇradnice ξ, η splˇnuj´ıc´ı rovnice ξx ξy = 0 ,ηx ηy =2y x, na pˇr´ımce y= 0, x6= 0 bychom zvolili ξx/ξy=µ6= 0. Obvykl´ym postupem (mimo pˇr´ımku y= 0) z´ısk´ame ˇreˇsen´ı ξ(x, y) = y,η(x, y) = x2y. Transformujeme jednotliv´e ˇcleny pomoc´ı (3.8) a po seˇcten´ı a vydˇelen´ı 4y2z´ısk´ame kanonick´y tvar (3.15), ve kter´em promˇenn´e x, y nahrad´ıme nov´ymi promˇenn´ymi ξ, η u∗ ξξ =3 2 η ξ2u∗ η. 2 Pˇ r´ ıklad 3.6 Klasifikujte a pˇreved’te na kanonick´y tvar rovnici uxx −2uxy + 2 uyy = 0 . ˇ Reˇsen´ı: Protoˇze plat´ı D=−4<0, rovnice je eliptick´a. Pˇr´ısluˇsn´a rovnice (3.3) m´a komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny λ1,2= 1 ±i . Podle (3.17) hled´ame funkce splˇnuj´ıc´ı rovnice ϕx ϕy = 1 + i ,ψx ψy = 1 −i. Obvykl´ym postupem spoˇc´ıt´ame dvojici komplexnˇe sdruˇzen´ych ˇreˇsen´ı ϕ(x, y) = (1+i )x+y ψ(x, y) = (1 −i )x+y , z kter´ych urˇc´ıme pomoc´ı (3.18) transformaˇcn´ı funkce ξ=x+y , η =x. Jednotliv´e ˇcleny transformujeme pomoc´ı (3.8), seˇcteme a dostaneme kanonick´y tvar eliptick´e rovnice u∗ ξξ +u∗ ηη = 0.2 41 4Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky V t´eto kapitole odvod´ıme rovnice modeluj´ıc´ı nˇekter´e fyzik´aln´ı dˇeje, kter´e zn´ame ze sv´ych bˇeˇzn´ych zkuˇsenost´ı, jako je veden´ı tepla nebo kmit´an´ı struny. Tento pˇr´ıstup umoˇzn´ı br´at danou rovnici nejen jako abstraktn´ı matematick´y objekt (ˇci jen seskupen´ı p´ısmenek a matematick´ych znaˇcek), ale odhadovat chov´an´ı ˇreˇsen´ı podle zkuˇsenost´ı s tˇemito fyzik´aln´ımi dˇeji. Rovnice se budeme snaˇzit odvodit co nejpˇresnˇeji, v pˇr´ıpadˇe zjednoduˇsen´ı na tuto skuteˇcnost upozorn´ıme. Pro modelov´an´ı konkr´etn´ı fyzik´aln´ı situace vˇsak sama rovnice nestaˇc´ı; rovnice m´a obvykle nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Rovnici proto dopln´ıme okrajov´ymi podm´ınkami a u evoluˇcn´ıch ´uloh tak´e podm´ınkami poˇc´ateˇcn´ımi. A obr´acenˇe, danou rovnici a okrajovou nebo poˇc´ateˇcn´ı ´ulohu se budeme snaˇzit fyzik´alnˇe interpretovat. C´ılem kapitoly je tak´e uk´azat r˚uzn´e metody odvozen´ı. Vybrali jsme proto tˇri fyzik´aln´ı dˇeje, kter´e podrobnˇe odvod´ıme r˚uzn´ymi metodami: •veden´ı tepla v tyˇci a v tˇelese – odvozen´ı z ˇcasoprostorov´e tepeln´e bilance, •kmit´an´ı struny – odvozen´ı z prostorov´e silov´e bilance, •deformace membr´any – odvozen´ı z variaˇcn´ıho principu. Odvozen´ı dalˇs´ıch rovnic jen struˇcnˇe naznaˇc´ıme, pˇr´ıpadnˇe vyjdeme ze z´akladn´ıch rovnic. Popis a odvozen´ı ˇrady dalˇs´ıch rovnic matematick´e fyziky lze nal´ezt v [41]. Odvozov´an´ı rovnic Pˇri vytv´aˇren´ı modelu ve tvaru diferenci´aln´ı rovnice vych´az´ıme z pˇredpokladu spojit´eho popisu materi´alu – kontinua, tj. pˇredstavujeme si materi´al jako spojit´e prostˇred´ı se spojit´ym rozloˇzen´ım hmoty, coˇz pˇri mˇeˇr´ıtku srovnateln´em s velikost´ı molekul nen´ı spr´avn´e. Pˇri bˇeˇzn´em makroskopick´em mˇeˇr´ıtku vˇsak tento pˇredpoklad d´av´a uspokojiv´e v´ysledky. Odvozen´ı vych´az´ı z popisu dˇeje pomoc´ı vybran´ych fyzik´aln´ıch veliˇcin. Tyto veliˇciny jsou glob´alnˇe sv´az´any urˇcit´ymi obecn´ymi principy, kter´e jsou v´ychoz´ım bodem odvozen´ı. Jsou to obecn´e fyzik´aln´ı principy, jako je napˇr´ıklad z´akon zachov´an´ı energie, zachov´an´ı hmoty, rovnov´aha sil, princip minima energie a dalˇs´ı. Druh´ym zdrojem jsou konstituˇcn´ı vztahy tj. vztahy mezi r˚uzn´ymi fyzik´aln´ımi veliˇcinami, napˇr´ıklad mezi teplotou a vnitˇrn´ı energii materi´alu, nebo tepeln´ym tokem a teplotou. Tyto vztahy jsou charakteristick´e pro dan´y materi´al, mus´ı b´yt zmˇeˇreny, plat´ı jen v urˇcit´em rozmez´ı. Koneˇcnˇe nˇekter´e jevy zanedb´ame, abychom ´ulohu zjednoduˇsili. Poznamenejme, ˇze vytvoˇrit velmi sloˇzit´y model nemus´ı b´yt pˇr´ınosem, pokud tento model nedovedeme analyzovat, pˇr´ıpadnˇe spoˇc´ıtat alespoˇn jeho pˇribliˇzn´e ˇreˇsen´ı. Veliˇcina a jej´ı hustota Pˇri modelov´an´ı fyzik´aln´ıch jev˚u se setk´ame s veliˇcinami jak´ymi jsou napˇr´ıklad teplota, posunut´ı, pr˚uhyb, kter´e se v´aˇzou k urˇcit´emu m´ıstu a ˇcasu a vyjadˇrujeme je pomoc´ı funkce prostorov´e a ˇcasov´e promˇenn´e. Druh´ym typem jsou veliˇciny t´ykaj´ıc´ı se urˇcit´eho objemu a ˇcasu (napˇr´ıklad hmotnost, vnitˇrn´ı energie, n´aboj, objemov´a s´ıla), nebo plochy (ploˇsn´a s´ıla), pˇr´ıpadnˇe d´elky (hmotnost struny). Ve spojit´em prostˇred´ı nem´a smysl mluvit o hmotnosti jednoho bodu, protoˇze bod m´a nulov´y objem a tud´ıˇz nulovou hmotnost. Pro vyj´adˇren´ı veliˇcin tohoto typu pomoc´ı integr´al˚u zav´ad´ıme hustotu t´eto veliˇciny, hodnota veliˇciny Fv objemu Vje potom integr´al pˇr´ısluˇsn´e hustoty fpˇres objem V F≡F(V) = ZV f(x) dx , 48 4.1 Rovnice veden´ı tepla v tyˇci napˇr´ıklad hmotnost tˇelesa je integr´al z jeho hustoty pˇres jeho objem. Obr´acenˇe, hustotou frozum´ıme velikost veliˇciny Fv jednotkov´em objemu, pˇresnˇeji velikost veliˇciny vztaˇzen´a na jednotku objemu ve v´yznamu limity pod´ılu veliˇciny v objemu a velikosti objemu f(x) = lim |V|→0 F(V) |V|, kde za oblasti Vbereme okol´ı bodu x, napˇr´ıklad koule B(x, r) se stˇredem x a zmenˇsuj´ıc´ım se polomˇerem r→0. Podobnˇe u veliˇcin ”ploˇsn´ych“ a ”d´elkov´ych“ veliˇcinu vyj´adˇr´ıme ploˇsn´ym nebo d´elkov´ym integr´alem pˇr´ısluˇsn´e ”ploˇsn´e“ nebo ”d´elkov´e“ hustoty, kde hustota je dan´a veliˇcina vztaˇzen´a na jednotku plochy nebo d´elky. Matematick´e prostˇredky V souladu s pˇredpokladem spojit´eho popisu materi´alu budeme pˇri odvozov´an´ı pˇredpokl´adat, ˇze uvaˇzovan´e veliˇciny jsou spojit´e a maj´ı tolik spojit´ych derivac´ı, kolik budeme potˇrebovat. Pˇri odvozov´an´ı budeme vyuˇz´ıvat zejm´ena dvou matematick´ych v´ysledk˚u: Lemma 4.1 Necht ’spojit´a funkce fm´a derivaci v intervalu hxa, xbi. Potom plat´ı f(xb)−f(xa) = Zxb xa df dx(x) dx a vˇetu o limitˇe pr˚umˇeru, kter´a umoˇzn´ı pˇrej´ıt od integr´aln´ı rovnosti k bodov´e rovnosti: Lemma 4.2 Necht ’fje spojit´a funkce v okol´ı bodu x∗. Potom plat´ı lim r→0 1 |B(x∗, r)|ZB(x∗,r) f(x) dx = f(x∗). Bezrozmˇern´y tvar rovnic Funkce a konstanty v rovnici popisuj´ıc´ı fyzik´aln´ı dˇej maj´ı sv´e rozmˇery s fyzik´aln´ımi jednotkami. Pˇri matematick´e anal´yze rovnic je vhodn´e pracovat s bezrozmˇern´ymi veliˇcinami – ˇc´ısly, nav´ıc ˇc´ısly o velikosti ˇr´adu jednotek. Proto line´arn´ı transformac´ı pˇrevedeme veliˇcinu na bezrozmˇern´y tvar obvykle s hodnotami v intervalu h0,1i. Napˇr´ıklad, uvaˇzujeme-li oblast tvaru v´alce o polomˇeru R, vˇsechny d´elkov´e veliˇciny pˇrevedeme line´arn´ı transformac´ı x7→ x/R na bezrozmˇern´y tvar – dostaneme v´alec s jednotkov´ym polomˇerem. Podobnˇe teplotu T, kter´a se pohybuje v intervalu hT0, T1i, line´arn´ı transformac´ı T7→ (T−T0)/(T1−T0)pˇrevedeme do intervalu h0,1i. Line´arn´ı transformace ˇcasto vol´ıme tak´e tak, aby konstanty, kter´e vystupuj´ı v konstituˇcn´ıch vztaz´ıch nabyly ˇc´ıselnou hodnotu 1. 4.1 Rovnice veden´ı tepla v tyˇci Uvaˇzujme tenkou tyˇc. Polohu bodu v tyˇci popisujeme souˇradnic´ı xzvolenou pod´el tyˇce. Mluv´ıme o tenk´e tyˇci, coˇz znamen´a, ˇze pr˚uˇrez tyˇce je mal´y vzhledem k d´elce tyˇce a v pr˚uˇrezu tyˇce dan´em souˇradnic´ı xjsou vˇsechny uvaˇzovan´e veliˇciny konstantn´ı. Druhou souˇradnic´ı bude ˇcas t. Z´akladn´ı nezn´amou je funkce u(x, t), kter´a popisuje teplotu tyˇce v m´ıstˇe xa ˇcase t. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze tyˇc je na povrchu tepelnˇe izolovan´a, abychom mohli zanedbat ztr´aty tepla do okol´ı pˇres povrch tyˇce. 49 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky Tepeln´a bilance Uvaˇzujme libovoln´y ´usek tyˇce (xa, xb) v libovoln´em ˇcasov´em intervalu (tα, tβ). Udˇel´ame tepelnou bilanci pro tento ˇcasov´y a prostorov´y ´usek. Budeme uvaˇzovat n´asleduj´ıc´ı veliˇciny: ∆E–pˇr´ır˚ustek vnitˇrn´ı energie v uvaˇzovan´em ´useku (xa, xb) od ˇcasu tαdo ˇcasu tβ, Qa,Qb–mnoˇzstv´ı tepla, kter´e bˇehem ˇcasov´eho intervalu (tα, tβ)vyteˇce ven z uvaˇzovan´eho ´useku tyˇce pˇres pr˚uˇrezy xaaxb, Qf– zn´am´e mnoˇzstv´ı tepla, kter´e do ´useku tyˇce bˇehem ˇcasov´eho intervalu dod´ame, nebo kter´e tam vznikne. xxaxb QaQb Qf Obr. 18: Tepeln´a bilance v tyˇci Vˇ eta 4.3 (z´ akon zachov´ an´ ı energie) Zanedb´ame-li ztr´aty tepla do okol´ı, plat´ı tepeln´a bilance ∆E=Qf−Qa−Qb,(4.1) tj. bˇehem ˇcasov´eho intervalu vnitˇrn´ı energie ´useku tyˇce vzroste o teplo Qf, kter´e do ´useku dod´ame, zmenˇsen´e o tepla Qa,Qb, kter´a vyteˇcou pˇres konce xaaxb. Vyj´adˇren´ı jednotliv´ych veliˇcin integr´aly Teplo Qfje zn´am´e mnoˇzstv´ı tepla dodan´eho do tyˇce. Pomoc´ı zadan´e veliˇciny f(x, t) zvan´e hustota vnitˇrn´ıch zdroj˚u tepla (viz odstavec Veliˇcina a jej´ı hustota) toto teplo vyj´adˇr´ıme integr´alem Qf=Ztβ tαZxb xa f(x, t) dx dt. Teplo v tyˇci m˚uˇze vznikat napˇr´ıklad pr˚uchodem elektrick´eho proudu tyˇc´ı, chemickou reakc´ı v tyˇci a podobnˇe, vˇzdy vˇsak velikost tohoto tepla povaˇzujeme za zn´amou. V mnoha pˇr´ıpadech ˇz´adn´e teplo do tyˇce nedod´av´ame, ani v tyˇci nevznik´a, v tom pˇr´ıpadˇe poloˇz´ıme f(x, t) = 0 a Qf= 0. Teplo Qb, kter´e vyteˇce pˇres konec tyˇce xb, vyj´adˇr´ıme pomoc´ı tepeln´eho toku w(x, t) (je to mnoˇzstv´ı tepla, kter´e proteˇce pr˚uˇrezem xza jednotku ˇcasu) Qb=Ztβ tα w(xb, t) dt. Teplo Qavyj´adˇr´ıme obdobnˇe Qa=Rtβ tα[−w(xa, t)] dt. Protoˇze tepeln´y tok wbereme v kladn´em smyslu osy x, pro konec xbjsme dosadili tok ws kladn´ym znam´enkem a pro xase z´aporn´ym znam´enkem. Pomoc´ı Lemmatu 4.1 tepla pˇrep´ıˇseme ve tvaru Qb+Qa=Ztβ tα [w(xb, t)−w(xa, t)] dt=Ztβ tαZxb xa ∂w ∂x (x, t) dx dt. 50 4.1 Rovnice veden´ı tepla v tyˇci Pˇr´ır˚ustek vnitˇrn´ı energie ∆Eje rozd´ıl vnitˇrn´ı tepeln´e energie Etβv ˇcase tβa energie Etαv ˇcase tα. Pomoc´ı hustoty vnitˇrn´ı energie e(x, t) (je to vnitˇrn´ı energie vztaˇzen´a na jednotku d´elky tyˇce) pˇr´ır˚ustek m˚uˇzeme vyj´adˇrit integr´aly ∆E≡Etβ−Etα=Zxb xa e(x, tβ) dx−Zxb xa e(x, tα) dx. Uˇzit´ım Lemmatu 4.1 pˇr´ır˚ustek vyj´adˇr´ıme ve tvaru ∆E=Zxb xaZtβ tα ∂e ∂t (x, t) dt dx. Do bilance (4.1) dosad´ıme jednotliv´e veliˇciny a zap´ıˇseme do jednoho integr´alu Zxb xaZtβ tα∂e ∂t +∂w ∂x −fdt dx= 0 . Protoˇze posledn´ı rovnost plat´ı pro libovoln´y ´usek tyˇce a libovoln´y ˇcasov´y interval, rovnost vydˇel´ıme v´yrazem (xb−xa)(tβ−tα), pˇrejdeme k limitˇe pro (xb−xa)→0 a (tβ−tα)→0: lim (xb−xa)→0lim (tβ−tα)→0 1 xb−xa 1 tβ−tαZxb xaZtβ tα∂e ∂t +∂w ∂x −fdt dx= 0 a dvojn´asobn´ym pouˇzit´ım Lemmatu 4.2 dost´av´ame z integr´aln´ı rovnosti bodovou rovnost ∂e ∂t +∂w ∂x −f= 0 . Konstituˇcn´ı vztahy Potˇrebujeme popsat novˇe zaveden´e veliˇciny pomoc´ı hledan´e nezn´am´e funkce u. Vztah vnitˇrn´ı energie a teploty. Hustota vnitˇrn´ı energie eje z´avisl´a na teplotˇe e=e(u). Pokud neuvaˇzujeme skupensk´e zmˇeny, v urˇcit´em rozmez´ı teplot m˚uˇzeme z´avislost vnitˇrn´ı energie na teplotˇe linearizovat a zapsat ve tvaru e=c u + const ,(4.2) kde konstanta cje ”d´elkov´e“ mˇern´e (specifick´e) teplo (mnoˇzstv´ı tepla nutn´e ke zv´yˇsen´ı teploty tyˇce jednotkov´e d´elky o jednotku teploty). Specifick´e teplo cm˚uˇze z´aviset na x, pokud tyˇc nem´a konstantn´ı pr˚uˇrez, nebo m´a ˇc´asti z r˚uzn´ych materi´al˚u. Specifick´e teplo m˚uˇze z´aviset tak´e na teplotˇe podle rozmez´ı teplot, kter´e modelujeme. Vztah tepeln´eho toku a teploty. Tepeln´y tok mezi dvˇemi tˇelesy z´avis´ı na rozd´ılu jejich teplot, ve spojit´em prostˇred´ı z´avis´ı na teplotn´ım sp´adu (teplotn´ım gradientu) ux. V urˇcit´em rozmez´ı teplot a tok˚u m˚uˇzeme tuto z´avislost linearizovat. Tento vztah se naz´yv´a Fourier˚uv z´akon pro veden´ı tepla w=−k∂u ∂x ,(4.3) kde kje souˇcinitel veden´ı tepla dan´eho pr˚uˇrezu, kter´y z´avis´ı na dan´em materi´alu, velikosti pr˚uˇrezu tyˇce a ˇcasto z´avis´ı i na teplotˇe k=k(u). Ve vztahu je z´aporn´e znam´enko, 51 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky protoˇze teplo teˇce vˇzdy proti teplotn´ımu sp´adu, tj. teˇce z m´ıst s vyˇsˇs´ı teplotou do m´ıst s teplotou niˇzˇs´ı, a souˇcinitel kbereme kladn´y. Odvozen´ı diferenci´aln´ı rovnice Za eawdosad´ıme z konstituˇcn´ıch vztah˚u (4.2), (4.3) ∂ ∂t (c u + const) + ∂ ∂x −k(u)∂u ∂x−f= 0 . Protoˇze specifick´e teplo cje na ˇcase nez´avisl´e, m˚uˇzeme rovnici pˇrepsat ve tvaru c∂u ∂t =∂ ∂x k∂u ∂x+f,tj. c ut= (k ux)x+f. Koneˇcnˇe, pokud je tyˇc homogenn´ı, souˇcinitel knez´avis´ı na xa rovnice m´a tvar c∂u ∂t =k∂2u ∂x2+f,tj. c ut=k uxx +f. Vydˇelen´ım rovnice konstantou c > 0 dost´av´ame obvykl´y tvar rovnice ∂u ∂t =κ∂2u ∂x2+f∗,tj. ut=κ uxx +f∗, kde κ=k/c af∗=f/c. Volbou jednotky d´elky jx, jednotky ˇcasu jt, jednotky teploty ju a teplotn´ı ”nuly“ kum˚uˇzeme rovnici ”pˇreˇsk´alovat“ tj. line´arn´ımi transformacemi x=x∗jx, st=t∗jt,u(x∗jx, t∗jt) = u∗(x∗, t∗)ju+kupˇrev´est na rovnici veden´ı tepla v tyˇci v tzv. bezrozmˇern´em tvaru s nezn´amou funkc´ı u∗v promˇenn´ych x∗, t∗a konstantou κ∗ a pravou stranou f∗pˇrepoˇc´ıtan´ych do jednotek jx, jt, ju. Vhodnou volbou tˇechto jednotek lze dos´ahnout, ˇze konstanta κ= 1 a rovnice (ps´ana bez hvˇezdiˇcek) nabude tvar ∂u ∂t =∂2u ∂x2+f , tj. ut=uxx +f . Pozn´ amky 4.4 Zdroje odvozen´ı rovnice. Uvˇedomme si zdroje, ze kter´ych jsme rovnici odvodili. Vedle pˇredpokladu o spojit´em popisu materi´alu je to obecnˇe platn´y fyzik´aln´ı z´akon zachov´an´ı energie ve tvaru (4.1). Zde nen´ı moˇzn´e model zpˇresnit. Uvaˇzovan´e line´arn´ı konstituˇcn´ı vztahy (4.2) a (4.3) vˇsak jsou jen urˇcitou aproximac´ı z´avislosti. Zvolen´ım lepˇs´ıch aproximac´ı konstituˇcn´ıch vztah˚u m˚uˇzeme zlepˇsit model fyzik´aln´ıho jevu. Pro ”zlepˇsen´ı“ modelu veden´ı tepla v tyˇci m˚uˇzeme vz´ıt v ´uvahu ztr´aty tepla do okol´ı. Typ rovnice. Jde o rovnici druh´eho ˇr´adu. Pˇr´ısluˇsn´a kvadratick´a forma Q(x, t) = x2 je semidefinitn´ı, rovnice je proto parabolick´a. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky Pro modelov´an´ı v´yvoje teploty v tyˇci potˇrebujeme popsat situaci v okamˇziku t0, kdy zaˇc´ın´ame dˇej modelovat. ˇ Casto klademe t0= 0. V pˇr´ıpadˇe veden´ı tepla staˇc´ı popsat rozloˇzen´ı teploty v poˇc´ateˇcn´ım ˇcase t0funkc´ı u0(x), tj. zadat poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku u(x, t0) = u0(x), x ∈(a, b). Funkci u0(x) pˇritom povaˇzujeme za danou. 52 4.1 Rovnice veden´ı tepla v tyˇci Okrajov´e podm´ınky V praxi se obvykle setk´ame s tyˇc´ı koneˇcnˇe dlouhou (a, b) se dvˇema konci. Mus´ıme proto rovnici doplnit informac´ı o situaci na konc´ıch tyˇce: zda konec chlad´ıme nebo zahˇr´ıv´ame, tepelnˇe izolujeme apod. Tuto situaci popisuj´ı okrajov´e podm´ınky. Uvedeme z´akladn´ı tˇri typy, kter´e formulujeme pro prav´y konec x=btyˇce. (i) Dirichletova podm´ınka pˇredepisuje hodnotu teploty una konci tyˇce: u(b, t) = ub(t),speci´alnˇe u(b, t)=0,pro t>t0,(4.4) kde ubje dan´a funkce, kter´a m˚uˇze b´yt konstantn´ı, m˚uˇze se i mˇenit s ˇcasem ub=ub(t). Fyzik´alnˇe si ji m˚uˇzeme pˇredstavit jako dobˇre tepelnˇe vodiv´y kontakt tyˇce s tˇelesem s pˇredepsanou teplotou a velkou tepelnou kapacitou, aby v´ymˇena tepla mezi tyˇc´ı a tˇelesem tuto teplotu neovlivnila. ˇ Casto se uv´ad´ı ponoˇren´ı konce tyˇce do n´adoby se smˇes´ı vody a ledu, potom ub= 0 ◦C, nebo do vaˇr´ıc´ı vody, kdy ub= 100 ◦C. Jin´y zp˚usob je pˇredstava termostatu, tj. automatu, kter´y udrˇzuje pˇredepsanou teplotu na konci; pokud by teplota chtˇela klesat, zapne topen´ı, pokud by chtˇela stoupat, zapne chlazen´ı. (ii) Neumannova podm´ınka pˇredepisuje hodnotu tepeln´eho toku na konci tyˇce: ∂u ∂x(b, t) = g(t),speci´alnˇe ∂u ∂x(b, t)=0 pro t>t0,(4.5) kde gje dan´a funkce. Skuteˇcnˇe, podle Fourierova z´akona (4.3) teplotn´ı gradient je pˇr´ımo ´umˇern´y tepeln´emu toku w. Vyn´asob´ıme-li podm´ınku ˇc´ıslem −kdost´av´ame w(b, t)≡ −k∂u ∂x(b, t) = −k g(t)≡wb(t). Pˇr´ıpad ∂u ∂x (b, t) = 0 popisuje situaci, kdy konec tyˇce je tepelnˇe izolov´an. V pˇr´ıpadˇe g(t)>0 je konec tyˇce zahˇr´ıv´an s tepeln´ym v´ykonem k g(t) a tepeln´y tok je z´aporn´y, protoˇze teplo do tyˇce vstupuje. V pˇr´ıpadˇe g(t)<0 je konec tyˇce ochlazov´an. (iii) Robinova (Newtonova) podm´ınka, je kombinac´ı obou pˇredchoz´ıch podm´ınek: ∂u ∂x(b, t) + µ(t)u(b, t) = g(t) pro t>t0,(4.6) pˇriˇcemˇz µ, g jsou dan´e funkce. Tepeln´y tok zde z´avis´ı na teplotˇe. Podm´ınka vznikla zobecnˇen´ım situace, kdy konec tyˇce s teplotou u(b, t) je ve voln´em prostˇred´ı s teplotou ub(t). Tepeln´y tok pˇritom z´avis´ı (s konstantou pˇrechodov´e vodivosti k0) na rozd´ılu teplot w(b, t)≡ −k∂u ∂x(b, t) = k0(u(b, t)−ub(t)) . Skuteˇcnˇe, pokud je konec tyˇce teplejˇs´ı neˇz okol´ı, tj. u(b, t)> ub(t), teplo vyt´ek´a ven z tyˇce w(b, t)>0 a gradient ux(b, t)<0. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe teplo vt´ek´a do tyˇce, w(b, t)<0 a ux(b, t)>0. ´ Upravou dost´av´ame podm´ınku (4.6) s daty µ=k0/k ag(t) = ub(t)k0/k. Vˇsechny tˇri pˇredchoz´ı podm´ınky lze zahrnout z´apisem s parametry α, β, g(t). Index b oznaˇcuje, ˇze se jedn´a o parametry t´ykaj´ıc´ı se podm´ınky v koncov´em bodˇe b: αb ∂u ∂x(b, t) + βbu(b, t) = gb(t).(4.7) 53 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky Skuteˇcnˇe, volbou αb= 0, βb= 1 m´ame Dirichletovu podm´ınku, pro αb= 1, βb= 0 m´ame podm´ınku Neumannovu a v pˇr´ıpadˇe αb= 1, βb>0 podm´ınku Newtonovu. Podobnˇe pro lev´y konec x=am˚uˇzeme pˇredepsat kaˇzdou z pˇredchoz´ıch podm´ınek, u derivace ∂u ∂x vˇsak zmˇen´ıme znam´enko, protoˇze orientace ”ven“ z ´useku tyˇce je z´aporn´a a tepeln´y tok bereme v kladn´em smyslu. Z´apis −αa∂u ∂x (a, t) + βau(a, t) = ga(t) opˇet zahrnuje vˇsechny tˇri typy okrajov´e podm´ınky pro lev´y konec a. Formulace z´akladn´ıch ´uloh Uvedeme formulaci tˇr´ı z´akladn´ıch ´uloh. ´ Ulohou rozum´ıme rovnici doplnˇenou pˇr´ısluˇsn´ymi podm´ınkami. Ve formulaci budeme pˇritom vynech´avat pˇredpoklad o spojitosti ˇreˇsen´ı a vˇsech jeho derivac´ı, kter´e v rovnici vystupuj´ı. (i) Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha Hled´ame funkci u: (−∞,∞)×ht0,∞)→Rsplˇnuj´ıc´ı rovnici a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku c ut=k uxx +f(x, t)∈(−∞,∞)×(t0,∞), u(x, t0) = u0(x)x∈(−∞,∞). ´ Uloha popisuje veden´ı tepla v nekoneˇcn´e tyˇci x∈(−∞,∞) od poˇc´ateˇcn´ıho stavu v t0. (ii) Poˇc´ateˇcn´ı okrajov´a ´uloha Hled´ame funkci u:ha, bi×ht0,∞)→Rsplˇnuj´ıc´ı rovnici veden´ı tepla, poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku c ut=k uxx +f(x, t)∈(a, b)×(t0,∞), u(x, t0) = u0(x)x∈(a, b) a na obou konc´ıch x=a, b jednu ze tˇr´ı okrajov´ych podm´ınek (4.4)–(4.6), kter´e zap´ıˇseme souhrnnˇe −αaux(a, t) + βau(a, t) = ga(t), αbux(b, t) + βbu(b, t) = gb(t). Tato ´uloha popisuje veden´ı tepla v tyˇci (a, b) od poˇc´ateˇcn´ıho stavu v ˇcase t0. x u(x, t) =? (a, b)×(t0,∞) 0a b t0 t Obr. 19: Poˇc´ateˇcn´ı okrajov´a ´uloha (iii) Stacion´arn´ı okrajov´a ´uloha V tomto pˇr´ıpadˇe hled´ame ˇreˇsen´ı u(x, t), kter´e je na ˇcase nez´avisl´e, tj. u=u(x), a proto ut= 0. Nav´ıc nezad´av´ame poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku. ´ Uloha potom zn´ı: Hled´ame funkci u: (a, b)→Rsplˇnuj´ıc´ı rovnici k uxx +f= 0 , x ∈(a, b) a na obou konc´ıch x=a, b jednu ze tˇr´ı okrajov´ych podm´ınek, kter´e souhrnnˇe zap´ıˇseme: −αaux(a) + βau(a) = ga,αbux(b) + βbu(b) = gb. ´ Uloha popisuje ust´alen´e (v ˇcase nemˇenn´e) veden´ı tepla v tyˇci (a, b), kter´e je nez´avisl´e na rozloˇzen´ı teploty v poˇc´ateˇcn´ım ˇcase, proto nezad´av´ame poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku. V naˇsem 54 4.1 Rovnice veden´ı tepla v tyˇci pˇr´ıpadˇe jednorozmˇern´e tyˇce se vˇsak z okrajov´e ´ulohy pro parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnici stala okrajov´a ´uloha pro obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici. Pˇ r´ ıklad 4.5 Tyˇc d´elky `v ˇcase t= 0 vyjmeme ze smˇesi vody a ledu. Konec x= 0 ponoˇr´ıme do vaˇr´ıc´ı vody, konec x=`tepelnˇe izolujeme. Formulujte ´ulohu, kter´a modeluje v´yvoj teploty v tyˇci, jestliˇze ztr´aty tepla do okol´ı zanedb´ame. Materi´alov´e konstanty tepelnou vodivost ka mˇern´e teplo cvolte rovny jedn´e. ˇ Reˇsen´ı: Veden´ı tepla v tyˇci popisuje nezn´am´a funkce u(x, t) na h0, `i×h0,∞), kter´a m´a v´yznam teploty. Protoˇze v tyˇci nem´ame ˇz´adn´e zdroje tepla, teplota usplˇnuje rovnici veden´ı tepla bez prav´e strany c ut=kuxx, kde cje d´elkov´e mˇern´e teplo a ktepeln´a vodivost pr˚uˇrezu. Skuteˇcnost, ˇze jsme tyˇc vyjmuli ze smˇesi vody a ledu urˇcuje poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku u(x, 0) = 0 pro x∈ h0, `i. Rovnici d´ale dopln´ıme okrajov´ymi podm´ınkami. Konec x= 0 ve vaˇr´ıc´ı vodˇe d´av´a u(0, t) = ua, (ua= 100 ◦C) a izolovan´y konec znamen´a ux(`, t) = 0. Dostali jsme ´ulohu: Hled´ame funkci u∈C(h0, `i×h0,∞)) ∩C2((0, `)×(0,∞)) splˇnuj´ıc´ı c ut=k uxx ,pro (x, t)∈(0, `)×(0,∞), u(x, 0) = 0 ,pro x∈(0, `), u(0, t) = ua, ux(`, t) = 0 pro t∈(0,∞).2 Fyzik´aln´ı jednotky Aˇckoliv matematiky vˇetˇsinou fyzik´aln´ı jednotky nezaj´ımaj´ı, poˇc´ıtaj´ı jen s ˇc´ısly, pˇri modelov´an´ı konkr´etn´ıho fyzik´aln´ıho dˇeje se jednotk´am nevyhneme. Pˇripomeˇnme, ˇze pˇri derivaci veliˇciny podle d´elkov´e promˇenn´e xse rozmˇer veliˇciny dˇel´ı jednotkou d´elky, napˇr´ıklad metrem [m], pˇri integrov´an´ı dxse rozmˇer touto jednotkou n´asob´ı. Podobnˇe pˇri derivov´an´ı nebo integrov´an´ı veliˇciny podle ˇcasu se rozmˇer dˇel´ı nebo n´asob´ı jednotkou ˇcasu, napˇr´ıklad sekundou [s]. Jednotkou energie bereme Joule [J] a teploty stupeˇn Kelvina [K]. Fyzik´aln´ı jednotky veliˇcin pro veden´ı tepla v tyˇci shrneme v n´asleduj´ıc´ı tabulce Veliˇcina n´azev jednotka uteplota [K],[ ◦C] wtepeln´y tok [J s−1] Q, E teplo, vnitˇrn´ı energie [J] ed´elkov´a hustota vnitˇrn´ı energie [J m−1] fd´elkov´a hustota vnitˇrn´ıch zdroj˚u [J m−1s−1] cd´elkov´e mˇern´e teplo [J m−1K−1] ksouˇcinitel veden´ı tepla pr˚uˇrezu [J m s−1K−1] Cviˇcen´ı 4.1 Formulujte poˇc´ateˇcn´ı okrajovou ´ulohu modeluj´ıc´ı veden´ı tepla v tenk´e tyˇci (0, `) izolovan´e na povrchu, jestliˇze (a) v ˇcase t= 0 jsme tyˇc vyjmuli z vaˇr´ıc´ı vody a oba konce jsme ponoˇrili do smˇesi vody s ledem, 55 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky (b) v ˇcase t= 0 jsme tyˇc vyjmuli z vaˇr´ıc´ı vody, konec x= 0 ponoˇrili do smˇesi vody s ledem a druh´y konec jsme tepelnˇe izolovali, (c) v ˇcase t= 0 jsme tyˇc vyjmuli ze smˇesi vody s ledem a oba konce jsme dali do vaˇr´ıc´ı vody, (d) v ˇcase t= 0 jsme tyˇc vyjmuli ze smˇesi vody s ledem, konec x= 0 jsme nechali ve smˇesi vody a ledu, druh´y konec jsme dali do vaˇr´ıc´ı vody, (e) v ˇcase t= 0 jsme tyˇc vyjmuli ze smˇesi vody s ledem, konec x= 0 jsme nechali ve smˇesi vody a ledu, ke druh´emu konci jsme pˇriloˇzili zdroj tepla s v´ykonem g, (f) v ˇcase t= 0 jsme tyˇc vyjmuli ze smˇesi vody s ledem, konec x= 0 nechali ve smˇesi vody s ledem, druh´y konec izolovali a zapnuli elektrick´e topen´ı rovnomˇernˇe zahˇr´ıvaj´ıc´ı tyˇc pod´el cel´e jej´ı d´elky s celkov´ym v´ykonem P, (g) jeden konec byl ponoˇren v n´adobˇe s vodou a ledem, druh´y v n´adobˇe s vaˇr´ıc´ı vodou. V ˇcase t= 0 jsme oba konce vyjmuli a izolovali, (h) v ˇcase t= 0 jsme tyˇc vyjmuli ze smˇesi vody s ledem, konec x= 0 jsme tepelnˇe izolovali, ke druh´emu konci jsme pˇripojili zdroj tepla s v´ykonem g. 4.2 Rovnice veden´ı tepla v tˇelese Rovnici modeluj´ıc´ı veden´ı tepla v trojrozmˇern´em tˇelese lze odvodit podobnˇe jako rovnici veden´ı tepla v tyˇci, trojrozmˇern´y prostor vˇsak pˇrin´aˇs´ı urˇcit´e probl´emy, kter´e budeme muset vyˇreˇsit. Uvaˇzujme omezen´e tˇeleso zab´ıraj´ıc´ı objem Ω v prostoru R3s body x=(x1, x2, x3). Nezn´am´a u(x, t) je teplota v m´ıstˇe x a ˇcase t. Tepeln´a bilance Zvol´ıme libovoln´y mal´y objem tˇelesa V⊂Ω a libovoln´y ˇcasov´y interval I= (tα, tβ). Budeme uvaˇzovat tˇri veliˇciny: ∆E— pˇr´ır˚ustek vnitˇrn´ı energie v objemu Vbˇehem ˇcasov´eho intervalu I= (tα, tβ), QS— mnoˇzstv´ı tepla, kter´e z objemu Vvyteˇce pˇres okraj S=∂V bˇehem I, Qf— teplo dodan´e do objemu Vvnitˇrn´ımi zdroji s hustotou fbˇehem I. Vˇ eta 4.6 (Z´ akon zachov´ an´ ı energie) d´av´a ∆E=Qf−QS.(4.8) Vyj´adˇr´ıme opˇet jednotliv´e veliˇciny. Teplo dod´avan´e vnitˇrn´ımi zdroji charakterizuje dan´a hustota v´ykonu vnitˇrn´ıch zdroj˚u f(x, t) Qf=ZIZV f(x, t) dx dt. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe tyˇce, pˇr´ır˚ustek vnitˇrn´ı energie ∆Evyj´adˇr´ıme pomoc´ı hustoty vnitˇrn´ı energie ea uprav´ıme pomoc´ı Lemmatu 4.1 ∆E≡Etβ−Etα=ZV e(x, tβ) dx −ZV e(x, tα) dx = Ztβ tαZV ∂e ∂t dx dt. 56 4.2 Rovnice veden´ı tepla v tˇelese Konstituˇcn´ı vztah mezi hustotou vnitˇrn´ı energie ea teplotou ulinearizujeme, z´avislost charakterizuje konstanta cnaz´yvan´a ”objemov´e“ mˇern´e teplo, tj. mnoˇzstv´ı tepla potˇrebn´e ke zv´yˇsen´ı teploty jednotkov´eho objemu (nikoliv jednotkov´e hmotnosti) o jeden stupeˇn e=c u + konst. (4.9) Teplo QS, kter´e vyteˇce pˇres povrch Sobjemu Vbˇehem I, lze vyj´adˇrit pomoc´ı hustoty tepeln´eho toku wa ploˇsn´eho integr´alu QS=ZIZ∂V wdSdt.(4.10) n ∆S Obr. 20: Hustota tepeln´eho toku w(x,n) z´avis´ı na smˇeru a orientaci norm´aly n plochy S. Anal´yza tepeln´eho toku Veliˇcinu w–hustotu tepeln´eho toku – mus´ıme objasnit podrobnˇeji. Je to mnoˇzstv´ı tepla, kter´e projde jednotkou plochy ∆Sza jednotku ˇcasu. Toto teplo ovˇsem z´avis´ı na smˇeru a orientaci t´eto plochy, oboj´ı urˇcuje jednotkov´y vektor vnˇejˇs´ı norm´aly nke zkouman´e ploˇse, viz obr. 20: poˇcet ˇcar proch´azej´ıc´ı plochou ud´av´a velikost toku; v prvn´ıch tˇrech pˇr´ıpadech je tok kladn´y, ve ˇctvrt´em nulov´y a v posledn´ıch tˇrech z´aporn´y. Vektor norm´aly n´am urˇcuje i orientaci plochy, a t´ım i orientaci kladn´eho smˇeru tepeln´eho toku. Proto plat´ı w=w(n). Hustotu tepeln´eho toku vyj´adˇr´ıme pomoc´ı vektoru tepeln´eho toku w=(w1, w2, w3), jehoˇz sloˇzky jsou toky ve smˇerech souˇradnicov´ych os. Hustota tepeln´eho toku w(n) plochou s norm´alou n je d´ana skal´arn´ım souˇcinem vektoru tepeln´eho toku w a norm´aly plochy n. Tento vztah odvod´ıme podrobnˇe. Pro jednoduchost uvaˇzujme homogenn´ı a ust´alen´y (tj. na x a tnez´avisl´y) tepeln´y tok. Pˇredpokl´adejme, ˇze rovina s norm´alou n prot´ın´a souˇradnicov´e osy v bodech x1= (x1,0,0), x2= (0, x2,0) a x3= (0,0, x3) a vytv´aˇr´ı tak s poˇc´atkem O = (0,0,0) ˇctyˇrstˇen Vs vrcholy O,x1,x2,x3, viz obr. 21. Napiˇsme tepelnou bilanci pro tento ˇctyˇrstˇen bez vnitˇrn´ıch tepeln´ych zdroj˚u a za pˇredpokladu, ˇze vnitˇrn´ı energie ˇctyˇrstˇenu Ese v ˇcase nemˇen´ı W+W1+W2+W3= 0 ,(4.11) kde Wje celkov´y tepeln´y tok (tj. mnoˇzstv´ı tepla za ˇcasovou jednotku tekouc´ı ven z ˇctyˇrstˇenu) pˇres troj´uheln´ık T=4x1x2x3. Podobnˇe W1, W2, W3je celkov´y tok pˇres troj´uheln´ıky T1=4x2Ox3,T2=4x3Ox1,T3=4x1Ox2. Kaˇzd´y tento tepeln´y tok m˚uˇzeme vyj´adˇrit pomoc´ı pˇr´ısluˇsn´e hustoty w(n) a obsahu |T|pˇr´ısluˇsn´eho troj´uheln´ıka T W=w(n) |T|, W1=w(−e1)|T1|, W2=w(−e2)|T2|, W3=w(−e3)|T3|, 57 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky Dalˇs´ı postup je standardn´ı: integr´aly vyjadˇruj´ıc´ı hmotnosti ∆MaMSpˇrevedeme na dvojn´e, vydˇel´ıme velikost´ı objemu |V|a d´elkou ˇcasov´eho intervalu |I|a pˇrechodem k limitˇe pomoc´ı Lemmatu 4.2 dostaneme rovnici difuze ut=D∆u+f. Je to opˇet rovnice parabolick´a. Odvodili jsme rovnici tˇr´ırozmˇernou popisuj´ıc´ı difuzi v objemu. Obdobn´a rovnice dvourozmˇern´a popisuje difuzi v tenk´e vrstvˇe a koneˇcnˇe jednorozmˇernou rovnici lze interpretovat jako difuzi v trubici. Okrajov´e podm´ınky a formulace ´uloh Podobnˇe jako pro rovnici veden´ı tepla, pro rovnici difuze m˚uˇzeme formulovat z´akladn´ı tˇri typy okrajov´ych podm´ınek pro x ∈∂Ω a ˇcas t∈(0,∞): (i) Dirichletova podm´ınka u=u0znamen´a, ˇze na hranici je dan´a koncentrace. (ii) Neumannova podm´ınka ∂u/∂n = gna hranici urˇcuje (aˇz na n´asobek −D) tok l´atky. V pˇr´ıpadˇe nepropustn´e stˇeny n´adoby je tok nulov´y, tj. un= 0. (iii) Robinova podm´ınka ∂u ∂n+βu =gna hranici pˇredepisuje z´avislost toku l´atky na koncentraci. Pro rovnici difuze m˚uˇzeme formulovat obdobn´e ´ulohy jako pro veden´ı tepla: (i) Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro difuzi v cel´em prostoru se skl´ad´a z rovnice v ˇcasoprostoru R3×R+a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky u(x,0) = u0(x). (ii) Poˇc´ateˇcn´ı okrajov´a ´uloha modeluj´ıc´ı difuzi v objemu Ω od ˇcasu t0se skl´ad´a z rovnice na Ω×R+, poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky u(x, t0) = u0(x) v Ω a okrajov´e podm´ınky jednoho z uveden´ych typ˚u na ∂Ω×(t0,∞). (iii) Stacion´arn´ı okrajov´a ´uloha modeluj´ıc´ı ust´alen´y stav difuze v objemu Ω se skl´ad´a z rovnice bez ˇclenu s ˇcasovou derivac´ı, tj. D∆u=fna Ω a jedn´e z uveden´ych okrajov´ych podm´ınek na ∂Ω. V tomto pˇr´ıpadˇe se jedn´a o rovnici eliptickou. 4.4 Rovnice kmit´an´ı struny Jednorozmˇernou vlnovou rovnici lze fyzik´alnˇe interpretovat nˇekolika jevy. Budeme odvozovat rovnici kmit´an´ı struny, protoˇze jej´ı ˇreˇsen´ı – pohybuj´ıc´ı se kmitaj´ıc´ı strunu – lze si dobˇre pˇredstavit, pˇr´ıpadnˇe pˇr´ımo pozorovat. Uvaˇzujme tenkou strunu pod´el osy xnapjatou silou T. Nezn´am´a funkce u(x, t) popisuje v´ychylku bodu xstruny v ˇcase t. Uvaˇzujeme pohyb bodu xve smˇeru osy y(pˇr´ıˇcn´e kmity), pohyb ve smˇeru osy x(pod´eln´e kmity) zanedb´ame. Pˇredpoklad tenkosti struny znamen´a, ˇze struna neklade odpor v˚uˇci oh´yb´an´ı. D´ale pˇredpokl´ad´ame ”mal´e“ kmity, tj. ”mal´e“ smˇernice teˇcny, kdy m˚uˇzeme zanedbat rozd´ıl mezi tg(α) a sin(α). Pro ´usek struny (xa, xb)v ˇcase tprovedeme bilanci pˇr´ıˇcn´ych sloˇzek sil p˚usob´ıc´ıch na tento ´usek, tj. bilanci pr˚umˇet˚u sil do osy y: Fa, Fb– pr˚umˇety sil, kter´ymi p˚usob´ı zbytek struny na ´usek v jeho konc´ıch xa,xb, Ff– pr˚umˇet zn´am´e vnˇejˇs´ı s´ıly, napˇr´ıklad gravitace. 64 4.4 Rovnice kmit´an´ı struny Pohybov´a rovnice Podle druh´eho Newtonova z´akona pro uvaˇzovan´y ´usek struny plat´ı: V´yslednice sil p˚usob´ıc´ıch na ´usek struny je rovna souˇcinu hmotnosti a zrychlen´ı. Vyj´adˇr´ıme jednotliv´e s´ıly. Dan´a vnˇejˇs´ı s´ıla Ffje urˇcen´a svoj´ı hustotou f, proto Ff=Zxb xa f(x, t) dx. Struna je v kaˇzd´em bodˇe xnap´ın´ana napˇet´ım Tve smˇeru teˇcny struny. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze toto napˇet´ı je konstantn´ı pod´el cel´e struny. Z obr´azku 24 je zˇrejm´e, ˇze pr˚umˇety sil Fa, Fbdo osy yjsou: Fb=Tsin αbaFa=Tsin αa. 0xxaxb y Fa Ff Fb T T αb αa Obr. 24: S´ıly p˚usob´ıc´ı na ´usek struny Pˇredpokl´ad´ame, ˇze kmity jsou mal´e, d´ıky ˇcemuˇz m˚uˇzeme sin(α) nahradit smˇernic´ı tg(α) = ux. Souˇcet Fa+Fbuprav´ıme pomoc´ı Lemmatu 4.1 Fa+Fb=T ux(xb, t)−T ux(xa, t) = Zxb xa ∂ ∂x (T ux) dx=Zxb xa T uxx dx. Na druh´e stranˇe pohybov´e rovnice vystupuje integr´al souˇcinu d´elkov´e hustoty hmotnosti ρa zrychlen´ı utt Fa+Fb+Ff=Zxb xa ρ utt dx, odkud plyne rovnost Zxb xa [T uxx +f−ρ utt] dx= 0 . Protoˇze rovnost plat´ı pro libovoln´y ´usek (xa, xb), obvykl´ym postupem vydˇelen´ım (xb−xa) a limitou |xb−xa| → 0 odvod´ıme rovnici kmit´an´ı struny ρ utt =T uxx +f.(4.17) Tato rovnice se naz´yv´a jednorozmˇern´a vlnov´a rovnice a zapisuje se obvykle ve tvaru utt =c2uxx +f∗,(4.18) 65 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky s konstantou c2=T/ρ, protoˇze, jak uvid´ıme v pˇr´ıˇst´ı kapitole, rovnice modeluje ˇs´ıˇren´ı vln rychlost´ı ±c. V t´eto rovnici ”s´ıla“ je f∗=f/ρ, tj. d´elkov´a hustota vnˇejˇs´ıch sil dˇelen´a d´elkovou hustotou ρ. Pro jednoduchost ji budeme ˇcasto oznaˇcovat stejn´ym symbolem f. Pozn´ amky 4.8 Typ rovnice. Rovnice kmit´an´ı struny je hyperbolick´a, protoˇze pˇr´ısluˇsn´a kvadratick´a forma je indefinitn´ı Q(x, t) = t2−c2x2. Jin´e odvozen´ı. Rovnici lze odvodit tak´e bilanc´ı moment˚u a impuls˚u podobnou tepeln´e bilanci u rovnice veden´ı tepla. Pˇritom bychom vych´azeli ze z´akona zachov´an´ı hybnosti pro ´usek struny (xa, xb) a ˇcasov´y interval (tα, tβ). Zjednoduˇsuj´ıc´ı pˇredpoklady. Pˇri odvozov´an´ı jsme zanedbali odpor struny v˚uˇci ohybu, pohyb struny ve smˇeru osy xa skuteˇcnost, ˇze napˇet´ı ve strunˇe nen´ı konstantn´ı. Rovnice proto plat´ı jen pro ”mal´e“ v´ychylky, pˇresnˇeji pro ”mal´e“ hodnoty derivace ux. Poˇc´ateˇcn´ı a okrajov´e podm´ınky Rovnice sama m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Abychom dostali konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı modeluj´ıc´ı kmity struny, mus´ıme rovnici doplnit dalˇs´ımi podm´ınkami. Pokud zaˇc´ın´ame modelovat kmit´an´ı struny v okamˇziku t0, mus´ıme zadat poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. Narozd´ıl od rovnice veden´ı tepla, zde jsou nutn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky dvˇe. Mus´ıme zadat nejen hodnotu funkce, tj. poˇc´ateˇcn´ı v´ychylku u, ale i poˇc´ateˇcn´ı rychlost v´ychylky ut u(x, t0) = ϕ(x), ut(x, t0) = ψ(x).(4.19) Pokud uvaˇzujeme koneˇcn´y ´usek struny (0, `), na kaˇzd´em okraji mus´ıme zadat jednu okrajovou podm´ınku, kter´a m˚uˇze b´yt opˇet r˚uzn´ych typ˚u. Uvedeme tˇri z´akladn´ı podm´ınky, kter´e formulujeme pro prav´y konec x=`– index `oznaˇcuje, ˇze se hodnota t´yk´a konce `: (i) Dirichletova podm´ınka na konci x=`zad´av´a danou v´ychylku u(`, t) = u`(t),na t∈I. (ii) Neumannova podm´ınka pro x=`urˇcuje pˇr´ıˇcnou sloˇzku F=T uxnapˇet´ı T ∂u ∂x(`, t) = g`(t) na t∈I. (iii) Robinova (Newtonova) podm´ınka je kombinac´ı obou pˇredchoz´ıch podm´ınek; pr˚umˇet s´ıly F=T uxz´avis´ı line´arnˇe (s konstantou β`) na v´ychylce u ∂u ∂x(`, t) + β`u(`, t) = g`(t) na t∈I. S vhodn´ymi parametry α, β ≥0 m˚uˇzeme vˇsechny tˇri podm´ınky zapsat ve tvaru α` ∂u ∂x(`, t) + β`u(`, t) = g`(t).(4.20) Technickou realizaci Dirichletovy podm´ınky nen´ı tˇeˇzk´e si pˇredstavit. V pˇr´ıpadˇe, kdy funkce ϕse v ˇcase nemˇen´ı, je konec struny upevnˇen v pˇredepsan´e poloze. V pˇr´ıpadˇe nekonstantn´ı funkce ϕ(t) je konec struny upevnˇen na zaˇr´ızen´ı, kter´e pohybuje koncem struny ve smˇeru osy ypodle zadan´e funkce ϕ(t), viz Obr. 25. 66 4.4 Rovnice kmit´an´ı struny Neumannovu podm´ınku lze realizovat upevnˇen´ım konce struny na voz´ıˇcek, kter´y se bez tˇren´ı m˚uˇze pohybovat po kolejnici rovnobˇeˇzn´e s osou y. V pˇr´ıpadˇe g(t)6= 0 na voz´ıˇcek p˚usob´ı s´ıla Tg(t) kolm´a na osu x. Pˇr´ıpad nulov´e Neumannovy podm´ınky vznik´a tak´e v pˇr´ıpadˇe symetrick´e ´ulohy, kdy uvaˇzujeme rovnici na intervalu (−`, `) se symetrick´ymi daty popsan´ymi sud´ymi funkcemi. Potom ˇreˇsen´ı je tak´e sud´a funkce ua staˇc´ı ˇreˇsit rovnici na intervalu (0, `), pˇriˇcemˇz v bodˇe nula vznik´a podm´ınka ux(0, t) = 0. ` ` Tg(t) `x x x y y y (a) (b) (c) Obr. 25: Realizace (a) Dirichletovy, (b) Neumannovy a (c) Robinovy okrajov´e podm´ınky Robinovu podm´ınku lze realizovat t´ım, ˇze voz´ıˇcek z Neumannovy podm´ınky pohybuj´ıc´ı se po kolejnici pˇripoj´ıme k podkladu pruˇzinou, s´ıla tak bude ´umˇern´a v´ychylce z rovnov´aˇzn´e polohy, viz obr. 25. Formulace z´akladn´ıch ´uloh Pro odvozenou rovnici kmit´an´ı struny m˚uˇzeme formulovat obdobn´e ´ulohy jako pro rovnici veden´ı tepla: x u(x, t) =? (a, b)×(0,∞) 0a b t Obr. 26: Poˇc´ateˇcn´ı okrajov´a ´uloha pro rovnici kmit´an´ı struny s vyznaˇcen´ymi podm´ınkami (i) Cauchyova poˇc´ateˇcn´ı ´uloha modeluje kmit´an´ı nekoneˇcn´e struny. Skl´ad´a se z rovnice kmit´an´ı struny ρutt =T uxx +fpro x∈(−∞,∞), t ∈(0,∞) a dvou poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek urˇcuj´ıc´ıch poˇc´ateˇcn´ı v´ychylku a poˇc´ateˇcn´ı rychlost u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) pro x∈(−∞,∞). (ii) Poˇc´ateˇcn´ı okrajov´a ´uloha modeluje kmit´an´ı koneˇcn´eho ´useku (a, b) struny. Skl´ad´a se z rovnice kmit´an´ı struny ρutt =T uxx +fpro (x, t)∈(a, b)×(0,∞), dvou poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek urˇcuj´ıc´ıch poˇc´ateˇcn´ı v´ychylku a poˇc´ateˇcn´ı rychlost u(x, 0) = u0(x),∂u ∂t (x, 0) = u1(x) pro x∈(a, b) 67 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky a po jedn´e okrajov´e podm´ınce v obou koncov´ych bodech a, b −αa ∂u ∂x(a, t) + βau(a, t) = ga(t), αb ∂u ∂x(b, t) + βbu(b, t) = gb(t) pro t∈(0,∞). (iii) Stacion´arn´ı okrajov´a ´uloha m´ısto kmit´an´ı popisuje jen pr˚uhyb struny. Nem´a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky a v naˇsem pˇr´ıpadˇe se st´av´a okrajovou ´ulohou pro obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici 0 = uxx +fv (a, b) −αa∂u ∂x (a) + βau(a) = ga, αb∂u ∂x (b) + βbu(b) = gb. Fyzik´aln´ı jednotky Veliˇciny v rovnici kmit´an´ı struny ve tvaru (4.17) a(4.18) ud´av´ame v n´asleduj´ıc´ıch fyzik´aln´ıch jednotk´ach: Veliˇcina n´azev jednotka uv´ychylka (pr˚uhyb) [m] ρd´elkov´a hustota (hmotnosti) [kg m−1] T, F napˇet´ı a s´ıly [N] ≡[kg m s−2] fd´elkov´a hustota sil v (4.17) [N m−1]≡[kg s−2] f∗”s´ıla“ v (4.18) [m s−2] c”rychlost“ (c=pT/ρ) [m s−1] Cviˇcen´ı 4.2 Struna (0, `) je upevnˇen´a na obou konc´ıch. Formulujte poˇc´ateˇcn´ı okrajovou ´ulohu modeluj´ıc´ı jej´ı kmity, jestliˇze (a) strunu v polovinˇe jej´ı d´elky vych´yl´ıme o δa v ˇcase t= 0 ji uvoln´ıme. (b) strunu v jedn´e tˇretinˇe (ˇctvrtinˇe, . . . ) jej´ı d´elky vych´yl´ıme o δa v ˇcase t= 0 ji uvoln´ıme. (c) strunu uvoln´ıme v ˇcase t= 0 z jej´ıho pr˚uhybu u(x, 0) = δ x(`−x). (d) struna kmit´a v siln´em gravitaˇcn´ım poli; poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky vezmˇete napˇr´ıklad ze cviˇcen´ı 4.2 (a). 4.5 Dalˇs´ı jednorozmˇern´e vlnov´e rovnice Jednorozmˇern´a vlnov´a rovnice popisuje ˇs´ıˇren´ı vln v jednorozmˇern´em prostˇred´ı. Tato rovnice modeluje nejen kmit´an´ı struny, ale i dalˇs´ı fyzik´aln´ı jevy: pod´eln´e kmity tenk´e tyˇce, kmit´an´ı vzduchov´eho sloupce (p´ıˇst ’aly), ˇs´ıˇren´ı elektrick´eho sign´alu ve veden´ı, atd. Pod´eln´e kmity pruˇzn´e tyˇce Uvaˇzujme tenkou pruˇznou tyˇc pod´el osy x. Jednotliv´e body tyˇce budou oznaˇceny tzv. materi´alovou souˇradnic´ı xz okamˇziku, kdy tyˇc byla v klidu. Na Obr. 27 ˇc´arkovan´y obd´eln´ık je p˚uvodn´ı poloha zkouman´eho ´useku, posunut´a poloha v ˇcase tje vyznaˇcena plnou ˇcarou. Nezn´am´a funkce u(x, t) bude popisovat posunut´ı ve smˇeru osy xbodu xtyˇce v ˇcase t. Poznamenejme, ˇze bod tyˇce oznaˇcen´y materi´alovou souˇradnic´ı xbude v ˇcase t v m´ıstˇe x+u(x, t). Pro ´usek tyˇce (xa, xb) v ˇcase tuvaˇzujeme bilanci sil ve smˇeru osy x. 68 4.5 Dalˇs´ı jednorozmˇern´e vlnov´e rovnice Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe kmit´an´ı struny uvaˇzujeme s´ıly – tentokr´at ve smˇeru osy x: Fa, Fb– s´ıly, kter´ymi p˚usob´ı zbytek tyˇce na ´usek tyˇce (xa, xb) v jeho konc´ıch xa,xb, Ff– dan´e vnˇejˇs´ı s´ıly. Dan´a vnˇejˇs´ı s´ıla Ffje urˇcena svoj´ı d´elkovou hustotou f Ff=Zxb xa f(x, t) dx. Pˇri kmit´an´ı se tyˇc roztahuje nebo stlaˇcuje; ˇr´ık´ame, ˇze se deformuje. Deformace zp˚usobuje vznik napˇet´ı v tyˇci – s´ıly F. Deformace je pomˇern´e nataˇzen´ı ∆u/∆x, v infinitezim´aln´ım tvaru pak derivace ux, v pˇr´ıpadˇe nataˇzen´ı je ux>0, v pˇr´ıpadˇe stlaˇcen´ı ux<0. x0xaxb FaFb Ff S u(xa, t)u(xb, t) Obr. 27: S´ıly p˚usob´ıc´ı na ´usek tyˇce pˇri kmit´an´ı tyˇce Konstituˇcn´ı vztah Vztah mezi deformac´ı a napˇet´ım v pruˇzn´em materi´alu popisuje pro ”mal´e“ deformace line´arn´ı Hooke˚uv z´akon F=k ux, kde kje kladn´a konstanta pruˇznosti. Oznaˇc´ıme-li Svelikost pr˚uˇrezu tyˇce, potom plat´ı k=S E , kde Eje Young˚uv modul pruˇznosti. Zbytek tyˇce tak p˚usob´ı na prav´y konec xbsilou Fb=SEux(xb, t), na lev´y konec xa silou s opaˇcn´ym znam´enkem Fa=−SEux(xa, t). V pˇr´ıpadˇe konstantn´ıho pr˚uˇrezu a homogenn´ıho materi´alu souˇcet tˇechto sil uprav´ıme na tvar Fa+Fb=S E ∂u ∂x(xb, t)−∂u ∂x(xa, t)=S EZxb xa ∂ ∂x ∂u ∂x(x, t) dx. Odvozen´ı rovnice Podle Newtonova z´akona pro uvaˇzovan´y ´usek tyˇce je v´yslednice sil rovna souˇcinu hmotnosti a zrychlen´ı. V integr´alu hmotnost nahrad´ıme d´elkovou hustotou S·ρ(ρje v tomto pˇr´ıpadˇe ”objemov´a“ hustota), zrychlen´ı je utt. Dost´av´ame tak rovnost Fa+Fb+Ff=Zxb xa S ρ ∂2u ∂t2dx . Dosazen´ım za s´ıly m˚uˇzeme rovnost zapsat ve tvaru Zxb xaS E ∂ ∂x ∂u ∂x+f−S ρ ∂2u ∂t2dx= 0 , odkud obvykl´ym postupem odvod´ıme rovnici S ρ ∂2u ∂t2=S E ∂2u ∂x2+f, kterou lze zapsat ve tvaru vlnov´e rovnice s f∗=f/(Sρ) a konstantou c2=E/ρ: utt =c2uxx +f∗. V pˇr´ıpadˇe tyˇce z nehomogenn´ıho materi´alu s promˇenliv´ym pr˚uˇrezem, parametry S,ρ,E z´avisej´ı na x. Rovnice potom m´a tvar: S ρ utt = (SEux)x+f. 69 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky Formulace ´uloh Pro rovnici pod´eln´ych kmit˚u tyˇce lze tak´e formulovat Cauchyovu poˇc´ateˇcn´ı ´ulohu, poˇc´ateˇcn´ı okrajovou ´ulohu istacion´arn´ı okrajovou ´ulohu, kdy se rovnice redukuje na obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici c2u00 +f= 0. Fyzik´aln´ı v´yznam poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek pro pod´eln´e posunut´ı je zˇrejm´y: poˇc´ateˇcn´ı posunut´ı a poˇc´ateˇcn´ı rychlost. V´yznam okrajov´ych podm´ınek je tak´e standardn´ı: Dirichletova podm´ınka popisuje upevnˇen´y konec, pˇri Neumannovˇe podm´ınce na konec p˚usob´ı s´ıla, v pˇr´ıpadˇe ux= 0 je konec tyˇce voln´y, pˇri Robinovˇe podm´ınce je konec pruˇznˇe upevnˇen. Pozn´amka Pˇr´ıˇcn´e kmity tyˇce nepopisuje vlnov´a rovnice, ale rovnice ˇctvrt´eho ˇr´adu zn´am´a jako rovnice kmit´an´ı nosn´ıku, protoˇze tyˇc narozd´ıl od struny se ”br´an´ı“ ohybu. Kmit´an´ı vzduchov´eho sloupce Rovnici pro kmit´an´ı vzduchov´eho sloupce (napˇr´ıklad v p´ıˇst ’ale, varhan´ach a dalˇs´ıch hudebn´ıch n´astroj´ıch) lze odvodit podobnˇe jako rovnici pro pod´eln´e kmity tyˇce – vzduchov´y sloupec si lze pˇredstavit jako pruˇzn´e plynn´e tˇeleso. Je to zvl´aˇstn´ı jednorozmˇern´y pˇr´ıpad rovnic akustiky, kter´ymi se budeme podrobnˇeji zab´yvat v n´asleduj´ıc´ım odstavci. Kmit´an´ı vzduchov´eho sloupce vedle vlnov´e rovnice utt =c2uxx pro posunut´ı upopisuje tak´e rovnice ptt =c2pxx pro tlak p(x, t) a rovnice ρtt =c2ρxx pro hustotu vzduchu ρ(x, t). Telegrafn´ı rovnice ˇ S´ıˇren´ı elektrick´eho sign´alu v homogenn´ım kovov´em veden´ı modeluje telegrafn´ı rovnice. Elektrick´e jevy popisuje nezn´am´a u(x, t) – okamˇzit´e napˇet´ı: napˇet´ı v m´ıstˇe xa ˇcase t. Pro tuto veliˇcinu lze z Kirchhoffov´ych z´akon˚u odvodit telegrafn´ı rovnici. Oznaˇcme i(x, t) okamˇzit´y proud. Prvn´ı Kirchhoff˚uv z´akon o nulov´em souˇctu proud˚u v uzlu d´av´a ix+C ut+G u = 0 , kde Cje kapacita a Gsvod (vodivost mezi veden´ım a okoln´ım prostˇred´ım) veden´ı jednotkov´e d´elky. Druh´y Kirchhoff˚uv z´akon o souˇctu napˇet´ı v okruhu d´av´a ux+L it+R i = 0 , kde Lje indukˇcnost a Rohmick´y odpor jednotkov´e d´elky veden´ı. Z rovnic vylouˇc´ıme proud i. Prvn´ı rovnici derivujeme podle ta vyn´asob´ıme L. Od v´ysledku odeˇcteme druhou rovnici derivovanou podle x. Z p˚uvodn´ı prvn´ı rovnice vyj´adˇr´ıme ixa dosad´ıme: LCutt −uxx + (LG +CR)ut+RGu = 0 . Vydˇel´ıme-li rovnici konstantou LC, rovnici m˚uˇzeme pˇrepsat na tvar (podrobnosti [10]) utt −c2uxx + (α+β)ut+αβ u = 0 ,(4.21) kde c= 1/√LC je rychlost ˇs´ıˇren´ı vln, α=R/L,β=G/C. Eliminac´ı napˇet´ı ulze z rovnic odvodit stejnou rovnici pro proud i. 70 4.6 V´ıcerozmˇern´e vlnov´e rovnice 4.6 V´ıcerozmˇern´e vlnov´e rovnice V´ıcerozmˇern´e vlnov´e rovnice maj´ı tvar utt =c2∆u+f,(4.22) kde ∆ je Laplace˚uv oper´ator ∆u=PN i=1 ∂2u ∂x2 isN= 2 ve dvourozmˇern´em a N= 3 ve tˇr´ırozmˇern´em pˇr´ıpadˇe. Rovnice je vˇzdy doplnˇena dvˇema poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x) (4.23) a v pˇr´ıpadˇe okrajov´e ´ulohy tak´e jednou okrajovou podm´ınkou pod´el cel´e hranice ∂Ω oblasti Ω pro vˇsechny ˇcasy t > 0 . Podrobnˇeji se budeme vˇenovat ˇs´ıˇren´ı kmit˚u v kapaln´em a plynn´em prostˇred´ı, ˇs´ıˇren´ı elektromagnetick´ych vln, o dalˇs´ıch modelech se jen zm´ın´ıme. Rovnice akustiky Vlnˇen´ı v hmotn´em prostˇred´ı, at ’uˇz kapaln´em nebo plynn´em, lze charakterizovat vektorem rychlosti v(x, t)≡(v1, v2, v3)(x, t), tlakem p(x, t) a hustotou ρ(x, t). Narozd´ıl od pod´eln´ych kmit˚u tyˇce, kde souˇradnice xoznaˇcovala bod tyˇce, nyn´ı x je bod prostoru, kter´ym proch´azej´ı r˚uzn´e ˇc´astice kapaliny nebo plynu. Vyjdeme z pohybov´ych rovnic arovnice kontinuity. Z principu zachov´an´ı hybnosti nebo principu rovnov´ahy sil lze odvodit vektorov´e pohybov´e rovnice. V pˇr´ıpadˇe absence vnˇejˇs´ıch objemov´ych sil maj´ı tvar, kter´y zap´ıˇseme ve vektorov´em tvaru i po sloˇzk´ach (i= 1,2,3): ρdv dt+∇p= 0 ,tj. ρdvi dt+∂p ∂xi = 0 , i = 1,2,3.(4.24) kde v´yraz ∂v ∂t popisuj´ıc´ı zrychlen´ı ˇc´astice v ”prostorov´ych souˇradnic´ıch“ znamen´a derivaci dv dt=∂v ∂t + v ·∇v,tj. dvi dt=∂vi ∂t + 3 X j=1 vj ∂vi ∂xj .(4.25) Zprincipu zachov´an´ı hmotnosti (kter´a ˇr´ık´a, ˇze rychlost pˇr´ır˚ustku hmotnosti ρtv kontroln´ım objemu a hmotnost ρv, kter´a z kontroln´ıho objemu ”vyt´ek´a“ je v souˇctu nulov´a) lze odvodit skal´arn´ı rovnici kontinuity ∂ρ ∂t + div(ρv) = 0 ,tj. ∂ρ ∂t + 3 X j=1 ∂ ∂xj (ρ vj)=0.(4.26) Bˇehem vlnˇen´ı zanedb´ame vliv zmˇen teploty. Uvaˇzujeme adiabatick´e (tj. bez pˇr´ısunu energie) chov´an´ı plynu popsan´e z´akonem p p0 =ρ ρ0γ ,(4.27) kde exponent γ=cp/cV>1 je pod´ıl mˇern´eho tepla plynu pˇri konstantn´ım tlaku cp (izobarick´y dˇej) a mˇern´eho tepla pˇri konstantn´ım objemu cV(izochorick´y dˇej). Poˇc´ateˇcn´ı hodnoty tlaku p0a hustoty ρ0budeme povaˇzovat za konstantn´ı. 71 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky Zavedeme novou skal´arn´ı veliˇcinu σ– relativn´ı zmˇenu hustoty zvanou zhuˇstˇen´ı a danou vztahem σ= (ρ−ρ0)/ρ0. Pomoc´ı n´ı m˚uˇzeme zpˇetnˇe vyj´adˇrit hustotu ρ=ρ0(1+σ). Budeme se zab´yvat pouze ”mal´ymi“ kmity plynu, kdy hodnoty p/p0aρ/ρ0jsou bl´ızk´e jedn´e a vztah (4.27) m˚uˇzeme pomoc´ı vzorce (1 + σ)γ≈1 + γσ linearizovat p=p0(1 + γσ). Vektorovou pohybovou rovnici (4.24) vydˇel´ıme ρa linearizujeme. Protoˇze uvaˇzujeme mal´e kmity, rychlost v povaˇzujeme za malou vzhledem k jej´ım derivac´ım. V (4.25) proto zanedb´ame ˇclen v·∇vapoloˇz´ıme dv/dt≈vt. Druh´y ˇclen pˇrep´ıˇseme pomoc´ı σ, opˇet pˇritom zanedb´ame ”mal´e“ ˇcleny ∇p ρ=∇[p0(1 + γσ)] ρ0(1 + σ)≈p0γ ρ0∇σ . Oznaˇc´ıme-li konstantu c2=p0γ/ρ0,linearizovan´a pohybov´a rovnice m´a tvar vt=c2∇σ.(4.28) V rovnici kontinuity (4.26) tak´e zanedb´ame souˇcin ”mal´ych“ veliˇcin na obou stran´ach ∂ρ ∂t =∂ ∂t [ρ0(1 + σ)] = ρ0 ∂σ ∂t ,div(ρv) = div [ρ0(1 + σ)v] ≈ρ0div v . Dost´av´ame tak σt= div v . Tuto rovnici derivujeme podle ta na rovnici (4.28) aplikujeme oper´ator divergence, viz Dodatky (12.3). Vyuˇzijeme rovnost div(∇σ)=∆σ, viz (12.4), a porovn´an´ım obou vznikl´ych rovnic dost´av´ame tˇr´ırozmˇernou vlnovou rovnici pro zhuˇstˇen´ı σtt =c2∆σ,(4.29) kde konstanta c– rychlost ˇs´ıˇren´ı zvukov´ych vln – je d´ana vztahem c2=γϕ0/ρ0. P˚uvodn´ı veliˇciny ρapz´avisej´ı na σline´arnˇe: ρ=ρ0(1 + σ) a p=p0(1 + γσ). Jejich derivace jsou proto pˇr´ımo ´umˇern´e derivac´ım σa splˇnuj´ı tedy stejnou vlnovou rovnici ptt =c2∆p,ρtt =c2∆ρ.(4.30) Pozn´ amky 4.9 Tˇr´ırozmˇern´a vlnov´a rovnice popisuje ˇs´ıˇren´ı zvukov´ych vln v tˇr´ırozmˇern´em plynn´em nebo kapaln´em prostˇred´ı, neplat´ı v prostˇred´ı tuh´em, protoˇze v tuh´em prostˇred´ı neplat´ı Pascal˚uv z´akon pro hydrostatick´y tlak. Tlak v tuh´em prostˇred´ı m´a vektorov´y charakter; nep˚usob´ı vˇzdy kolmo na plochu jako v kapalin´ach. ˇ S´ıˇren´ı zvukov´ych vln v tenk´e vrstvˇe vede pak na dvourozmˇernou vlnovou rovnici. Stejnˇe tak v pˇr´ıpadˇe vln nez´avisl´ych na jedn´e ze souˇradnic. Kmit´an´ı tenk´e membr´any a m´ydlov´e bubliny Podobnˇe jako jsme odvodili rovnici kmit´an´ı struny, lze odvodit i rovnici pro kmit´an´ı tenk´e membr´any nebo m´ydlov´e bubliny, struˇcn´e odvozen´ı je v [1] str. 27–31. Toto kmit´an´ı popisuje rovnice utt =c2∆u+f, kde u(x1, x2, t) je pr˚uhyb (v´ychylka ve smˇeru osy x3) membr´any nebo bubliny. Konstanta c2=T/ρ je pod´ıl napˇet´ı Ta”ploˇsn´e“ hustoty ρafje hustota vnˇejˇs´ıch ploˇsn´ych sil dˇelen´a hustotou hmotnosti ρ. V odstavci 4.9 odvod´ıme stacion´arn´ı pˇr´ıpad t´eto rovnice pro pr˚uhyb membr´any z variaˇcn´ıho principu. 72 4.6 V´ıcerozmˇern´e vlnov´e rovnice Pˇredpoklad tenkosti membr´any znamen´a, ˇze membr´ana neklade odpor v˚uˇci oh´yb´an´ı. Pokud tento odpor vezmeme v ´uvahu, dostaneme biharmonickou rovnici kmit´an´ı tenk´e desky, kter´a je ˇctvrt´eho ˇr´adu, viz odstavec 4.9. Vlny na vodn´ı hladinˇe Uvaˇzujme volnou hladinu kapaliny v klidu. D´ıky zemsk´e pˇritaˇzlivosti m´a vodorovn´y tvar. Pˇri vych´ylen´ı z tohoto stavu se gravitace snaˇz´ı vr´atit ˇc´astice do rovnov´aˇzn´e polohy. V kapalinˇe nast´av´a vlniv´y pohyb ˇc´astic, kter´e kmitaj´ı kolem rovnov´aˇzn´e polohy. Vazkost kapaliny zp˚usobuje tlumen´ı tohoto pohybu. Mluv´ıme o gravitaˇcn´ıch vln´ach, protoˇze hlavn´ı silou, kter´a se snaˇz´ı vr´atit ˇc´astice do rovnov´aˇzn´eho stavu, je gravitace. V mal´em mˇeˇr´ıtku, kdy pˇrevl´adaj´ı s´ıly zp˚usoben´e povrchov´ym napˇet´ım, mluv´ıme o kapil´arn´ıch vln´ach. Budeme uvaˇzovat jen mal´e gravitaˇcn´ı vlny na hladinˇe, kdy amplituda vln je ”mal´a“ ve srovn´an´ı s d´elkou vln λ. Z´aleˇz´ı tak´e na hloubce h. V pˇr´ıpadˇe ”mˇelk´e“ vody (hλ), kdyˇz zanedb´ame vazkost kapaliny, povrchov´e vlny popisuje dvojrozmˇern´a vlnov´a rovnice utt =c2∆u, kde nezn´amou u(x, t) je okamˇzit´a odchylka v´yˇsky hladiny. Konstanta cm´a v´yznam rychlosti ˇs´ıˇren´ı vln a splˇnuje c2=gh, kde gje t´ıhov´e zrychlen´ı a hhloubka. Odvozen´ı rovnice pro jej´ı sloˇzitost vynech´ame. Gravitaˇcn´ı vlny na stˇredn´ı nebo hlubok´e vodˇe (hλ) modeluje modifikovan´a rovnice. Odvozen´ı i anal´yzu povrchov´ych vln vˇsech typ˚u lze nal´ezt napˇr´ıklad v uˇcebnici Brdiˇcky [3] kap. XVII. Aˇckoliv odvozen´ı rovnice vynech´av´ame, tento jev jsme uvedli proto, ˇze na nˇem lze nejsn´aze pozorovat chov´an´ı ˇreˇsen´ı dvojrozmˇern´e vlnov´e rovnice; snad kaˇzd´y hodil kam´ınek do louˇze a pozoroval ˇs´ıˇren´ı vln na hladinˇe. Elektromagnetick´e vlny Uvedeme jeˇstˇe jeden d˚uleˇzit´y jev: ˇs´ıˇren´ı elektromagnetick´ych vln ve vakuu (pˇr´ıpadnˇe ve vzduchu nebo v jin´em nevodiv´em prostˇred´ı). Vyjdeme z Maxwellov´ych rovnic pro elektromagnetick´e pole ve vakuu. V pˇr´ıpadˇe vhodn´e volby jednotek tyto ˇctyˇri rovnice m˚uˇzeme zapsat ve vektorov´em tvaru rot E = −1 c ∂H ∂t ,div E = 0 , rot H = 1 c ∂E ∂t ,div H = 0 , kde H = (H1, H2, H3) je vektor intenzity magnetick´eho pole, E = (E1, E2, E3) intenzita elektrick´eho pole a crychlost svˇetla. Oper´atory rot a div a jejich vlastnosti jsou uvedeny v Dodatku, viz (A.3), (A.5). Oper´ator rot aplikujeme na prvn´ı rovnici. Pomoc´ı identity rot rot E = ∇(div E)−∆ E , viz (A.6), a druh´e rovnice uprav´ıme levou stranu. Vzniklou rovnost −∆E = −1 crot(Ht) porovn´ame s rovnic´ı rot H = 1 cEtderivovanou podle t. Dost´av´ame tak trojrozmˇernou vlnovou rovnici pro vektor E. Jsou to vlastnˇe tˇri rovnice pro sloˇzky E1, E2, E3 Ett =c2∆E ,tj. (Ei)tt =c2∆Ei, i = 1,2,3. Podobnˇe derivac´ı prvn´ı rovnice podle ta aplikac´ı oper´atoru rotace na tˇret´ı rovnici s vyuˇzit´ım ˇctvrt´e rovnice dost´av´ame vlnovou rovnici pro H Htt =c2∆H ,tj. (Hi)tt =c2∆Hi, i = 1,2,3. 73 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky 4.9 Rovnice ˇctvrt´eho ˇr´adu Abychom nemluvili jen o rovnic´ıch druh´eho ˇr´adu, bez odvozen´ı uvedeme dvˇe rovnice ˇctvrt´eho ˇr´adu, kter´e se vyskytuj´ı v technick´e praxi. Rovnice kmit´an´ı nosn´ıku Narozd´ıl od tenk´e struny tyˇc nebo nosn´ık m´a nezanedbateln´y pr˚uˇrez a klade odpor v˚uˇci ohybu. Rovnice popisuj´ıc´ı kmit´an´ı homogenn´ıho nosn´ıku (a, b) je ˇctvrt´eho ˇr´adu utt +K uxxxx =fv (a, b).(4.44) Nezn´am´a u(x, t) je pr˚uhyb (kolm´a v´ychylka) nosn´ıku. Konstanta K=E h2/(12ρ) obsahuje Young˚uv modul pruˇznosti E, v´yˇsku hobd´eln´ıkov´eho pr˚uˇrezu nosn´ıku a jeho d´elkovou hustotu ρ. V pˇr´ıpadˇe stacion´arn´ı ´ulohy se z rovnice st´av´a obyˇcejn´a diferenci´aln´ı rovnice. Rovnici doplˇnuj´ı dvˇe poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky: zadan´y pr˚uhyb u=ϕa rychlost ut=ψ. V naˇsem pˇr´ıpadˇe okrajov´e ´ulohy nutno na obou konc´ıch nosn´ıku zadat dvojici okrajov´ych podm´ınek. Uved’me ˇctyˇri z´akladn´ı pˇr´ıpady (formulace pro prav´y konec x=b): (a) Vetknut´y konec:u(b, t) = B,ux(b, t) = 0: konec nosn´ıku se nem˚uˇze posunout ve svisl´em smˇeru ani otoˇcit; konec je napˇr´ıklad zazdˇen´y ˇci zabetonovan´y. (b) Podepˇren´y konec:u(b, t) = B,uxx(b, t) = 0: konec nosn´ıku je upevnˇen kloubem, nem˚uˇze se proto posunout ve svisl´em smˇeru, m˚uˇze se vˇsak otoˇcit. (c) Podm´ınka symetrie:ux(b, t) = 0 , uxxx(b, t) = 0: konec nosn´ıku se nem˚uˇze ot´aˇcet, m˚uˇze se volnˇe posunovat ve svisl´em smˇeru. Podm´ınka se pˇrirozenˇe objev´ı na ose symetrie x=bv pˇr´ıpadˇe symetrick´e ´ulohy na intervalu (b−`/2, b+`/2). ˇ Reˇsen´ı je funkce u(x, t) sud´a v xvzhledem k x=b, tj. splˇnuj´ıc´ı u(b−x, t) = u(b+x, t). (d) Voln´y konec:uxx(b, t) = 0 , uxxx(b, t) = 0: konec tyˇce se m˚uˇze volnˇe posunovat i volnˇe ot´aˇcet, na konec nep˚usob´ı ˇz´adn´a posouvaj´ıc´ı (svisl´a) s´ıla ani ˇz´adn´y moment. B b x Obr. 29: Pˇr´ıpad (a) B b x Obr. 30: Pˇr´ıpad (b) b x Obr. 31: Pˇr´ıpad (c) b x Obr. 32: Pˇr´ıpad (d) Lze pˇredepsat tak´e kombinaci podm´ınek. Jako pˇr´ıklad uved’me dvojici podm´ınek u000(b, t) + k u(b, t) = B,u00(b, t) = 0, kter´a popisuje pruˇzn´e podepˇren´ı. Analogick´e podm´ınky pˇredepisujeme v koncov´em bodˇe x=a, jen lich´e derivace se p´ıˇs´ı s opaˇcn´ym znam´enkem, protoˇze vektor vnˇejˇs´ı norm´ala v lev´em konci je −1. Rovnice kmit´an´ı a pr˚uhybu tenk´e desky Narozd´ıl od membr´any nebo bubliny deska m´a nezanedbatelnou tlouˇst ’ku a podobnˇe jako nosn´ık klade odpor v˚uˇci ohybu. Oznaˇc´ıme-li pr˚uhyb desky u(x, y, t), mal´e kmity tenk´e desky tvaru Ω ⊂R2zat´ıˇzen´e silami fpopisuje rovnice na oblasti Ω utt +K·∆2u=f,(4.45) 80 4.10 Souhrn – fyzik´aln´ı interpretace z´akladn´ıch ´uloh kde ∆2je biharmonick´y oper´ator – vznikne dvoj´ı aplikac´ı Laplaceova oper´atoru ∆2u= ∆(∆u) = ∆(uxx +uyy) = uxxxx + 2 uxxyy +uyyyy . Rovnici nutno doplnit dvˇema poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami (zadan´y poˇc´ateˇcn´ı pr˚uhyb a poˇc´ateˇcn´ı rychlost pr˚uhybu) a pod´el cel´eho okraje ∂Ω dvojic´ı okrajov´ych podm´ınek analogick´e dvojici okrajov´ych podm´ınek pˇri kmit´an´ı ˇci pr˚uhybu nosn´ıku. Stacion´arn´ım (ˇcasovˇe nez´avisl´ym) pˇr´ıpadem je rovnice pr˚uhybu tenk´e desky, kter´a vynech´av´a ˇcasovou derivace a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. Okrajov´a ´uloha se tak skl´ad´a z biharmonick´e rovnice ∆2u=fna Ω a dvojice okrajov´ych podm´ınek pod´el ∂Ω. 4.10 Souhrn – fyzik´aln´ı interpretace z´akladn´ıch ´uloh V t´eto kapitole jsme odvodili tˇri z´akladn´ı typy rovnic druh´eho ˇr´adu: rovnici eliptickou, hyperbolickou a parabolickou. Shrneme tyto z´akladn´ı ´ulohy a uvedeme jejich moˇznou fyzik´aln´ı interpretaci. Pro jednoduchost v rovnic´ıch vynech´ame vˇsechny materi´alov´e konstanty; rovnice uvedeme v tzv. bezrozmˇern´em tvaru a ˇcervenˇe vyznaˇc´ıme m´ısta, kde jsou pˇredeps´any poˇc´ateˇcn´ı nebo okrajov´e podm´ınky. Parabolick´e rovnice Poˇc´ateˇcn´ı okrajov´a ´uloha na omezen´e oblasti Ω ⊂RN(N= 1,2,3) v ˇcasov´em intervalu I= (t0,∞) (nebo jen I= (t0, t1)) se skl´ad´a z rovnice (R) (R) ut= ∆u+fv Ω ×I, jedn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky (PP) (PP) u(x, t0) = u0(x) v Ω a jedn´e okrajov´e podm´ınky (OP) pod´el hranice (OP) α∂u ∂n +β u =gna ∂Ω×I, x1, . . . , xN t t0 0Ω ut= ∆u+f Obr. 33: ´ Uloha pro parabolickou rovnici kde d´ıky konstant´am α, β jsou v z´apisu zahrnuty vˇsechny tˇri typy podm´ınek. Skuteˇcnˇe, volba α= 0, β= 1 d´av´a Dirichletovu podm´ınku, α= 1, β= 0 Neumannovu podm´ınku a pro α > 0, β > 0 m´ame podm´ınku Robinovu (Newtonovu). Fyzik´aln´ı interpretace Rovnici lze interpretovat jako rovnici veden´ı tepla (uje teplota) nebo rovnici difuze (uje koncentrace difunduj´ıc´ı l´atky) •v pˇr´ıpadˇe N=1 – v tyˇci nebo trubici, oblast Ω je interval, •v pˇr´ıpadˇe N=2 – v tenk´e desce (tenk´e vrstvˇe), pˇritom Ω je dvourozmˇern´a oblast, •v pˇr´ıpadˇe N=3 – v tˇelese (objemu) Ω. Vedle poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy lze pro rovnici formulovat i poˇc´ateˇcn´ı ´ulohu, kter´a se skl´ad´a jen z rovnice na RN×(0,∞) a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. Tuto ´ulohu lze interpretovat jako ´ulohu veden´ı tepla v nekoneˇcn´e tyˇci v pˇr´ıpadˇe N=1, nekoneˇcn´e desce nebo vrstvˇe v pˇr´ıpadˇe N=2, pˇr´ıpadnˇe v cel´em vesm´ıru, jestliˇze N=3. 81 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky Hyperbolick´e rovnice Poˇc´ateˇcn´ı okrajov´a ´uloha na omezen´e oblasti Ω ⊂RN(N= 1,2,3) v ˇcasov´em intervalu I= (t0,∞) (nebo jen I= (t0, t1)) se skl´ad´a z rovnice (R) (R) utt = ∆u+fv Ω ×I, dvou poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek (2PP) (2PP) u(x, t0) = u0(x) v Ω a jedn´e okrajov´e podm´ınky (OP) pod´el hranice (OP) α∂u ∂n +β u =gna ∂Ω×I, x1, . . . , xN t t0 0Ω utt = ∆u+f Obr. 34: ´ Uloha pro parabolickou rovnici kde d´ıky konstant´am α, β jsou v z´apisu zahrnuty vˇsechny tˇri typy podm´ınek. Skuteˇcnˇe, volba α= 0, β= 1 d´av´a Dirichletovu podm´ınku, α= 1, β= 0 Neumannovu podm´ınku a pro α > 0, β > 0 m´ame podm´ınku Robinovu (Newtonovu). Fyzik´aln´ı interpretace Jednorozmˇernou vlnovou rovnici utt =uxx +flze fyzik´alnˇe interpretovat jako: •rovnici pˇr´ıˇcn´ych kmit˚u struny – nezn´am´a uje v´ychylka (pr˚uhyb) struny, •pod´eln´ych kmit˚u tyˇce –uje pod´eln´e posunut´ı, •kmit´an´ı vzduchov´eho sloupce v p´ıˇst ’ale – utlak nebo hustota. Dvojrozmˇern´a vlnov´a rovnice utt = ∆u+fpopisuje: •kmit´an´ı tenk´e membr´any ˇci m´ydlov´e bubliny – uje pr˚uhyb (kolm´a v´ychylka), •vlny na vodn´ı hladinˇe –uje v´yˇska hladiny. Koneˇcnˇe trojrozmˇernou vlnovou rovnici utt = ∆u+flze interpretovat jako: •ˇs´ıˇren´ı akustick´ych vln v plynu nebo kapalinˇe – uje tlak, zhuˇstˇen´ı nebo hustota •ˇs´ıˇren´ı elektromagnetick´ych vln ve vakuu nebo ve vzduchu – uje sloˇzka elektrick´e nebo magnetick´e indukce. Vedle poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy lze formulovat i Cauchyovu ´ulohu, kter´a se skl´ad´a jen z rovnice v RNa dvou poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek na RN. Tato ´uloha modeluje kmity nekoneˇcn´e struny, tyˇce ˇci p´ıˇst ’aly v pˇr´ıpadˇe N=1, v pˇr´ıpadˇe N=2 kmit´an´ı nekoneˇcn´e bubliny ˇci vlny na nekoneˇcn´e hladinˇe, pˇr´ıpadnˇe pro N=3 ˇs´ıˇren´ı vln zvukov´ych nebo elektromagnetick´ych v cel´em prostoru. Eliptick´e rovnice Homogenn´ı rovnici ∆u= 0 se ˇr´ık´a Laplaceova rovnice, rovnici s pravou stranou ∆u=fPoissonova rovnice. Pro eliptick´e rovnice nem´a smysl poˇc´ateˇcn´ı ´uloha, formulujeme pouze ´ulohu okrajovou, kter´a se skl´ad´a na obvykle omezen´e oblasti (R) ∆u=fv Ω a jedn´e okrajov´e podm´ınky pod´el cel´e hranice (OP) α∂u ∂n +βu =gna ∂Ω, 82 4.10 Souhrn – fyzik´aln´ı interpretace z´akladn´ıch ´uloh v z´apisu okrajov´e podm´ınky jsme opˇet zahrnuli vˇsechny tˇri typy okrajov´ych podm´ınek Dirichletovu, Neumannovu i Robinovu Newtonovu. Fyzik´aln´ı interpretace Eliptick´e rovnice lze interpretovat jako ust´alen´y stav pˇredchoz´ıch rovnic parabolick´ych (veden´ı tepla, difuze) i hyperbolick´ych (z rovnice kmit´an´ı membr´any se st´av´a rovnice pr˚uhybu membr´any. V pˇr´ıpadˇe jednorozmˇern´ych hyperbolick´ych ˇci parabolick´ych rovnic vˇsak dost´av´ame diferenci´aln´ı rovnice obyˇcejn´e. Dalˇs´ı interpretac´ı je ust´alen´e veden´ı elektrick´eho proudu, Airyho funkce napˇet´ı pˇri torzi tyˇce a v komplexn´ı anal´yze holomorfn´ı funkce. x1, . . . , xN−1 xN 0 Ω ∆u=f Obr. 35: Okrajov´a ´uloha pro eliptickou rovnici Kontroln´ı ot´azky 4 (a) Vysvˇetlete pˇredpoklad spojit´eho prostˇred´ı. (b) V mechanice kontinua rozliˇsujeme dva typy fyzik´aln´ıch veliˇcin, jeden se t´yk´a bodu, druh´y je v´az´an na objem. Vysvˇetlete je na pˇr´ıkladˇe veliˇcin: teplota, teplo, poloha, pr˚uhyb, v´ychylka, rychlost, zrychlen´ı, hmotnost, hustota, s´ıla. (c) Kter´e matematick´e prostˇredky byly vyuˇzity pˇri odvozov´an´ı rovnic? (d) Proˇc je nutno doplnit rovnici poˇc´ateˇcn´ımi (pˇr´ıpadnˇe okrajov´ymi) podm´ınkami? (e) Z kter´eho fyzik´aln´ıho principu vych´az´ı odvozen´ı rovnice veden´ı tepla? (f) Kter´e fyzik´aln´ı z´akony lze ”vylepˇsit“ a kter´e povaˇzujeme za pˇresn´e? (g) Odvod’te rovnici veden´ı tepla v tyˇci (v tˇelese). (h) Jak z´avis´ı veliˇcina hustota tepeln´eho toku plochou na ploˇse? (i) Odvod’te rovnici kmit´an´ı struny a pod´eln´ych kmit˚u tyˇce. Z kter´ych z´akon˚u se vych´az´ı? Jak´a rovnice modeluje pˇr´ıˇcn´e kmity tyˇce? ˇ C´ım se pˇritom liˇs´ı struna od tyˇce? (j) Porovnejte poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky u rovnice ut= ∆u+fautt = ∆u+f. Jak´y je jejich fyzik´aln´ı v´yznam? Proˇc u prvn´ı rovnice je jen jedna poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka? (k) Popiˇste fyzik´aln´ı v´yznam Dirichletovy (Neumannovy, Robinovy) okrajov´e podm´ınky u rovnice veden´ı tepla a rovnice kmit´an´ı struny. (l) Kter´e rovnice popisuj´ı pˇr´ıˇcn´e kmity struny, pˇr´ıˇcn´e kmity tyˇce a pod´eln´e kmity tyˇce? (m) Formulujte variaˇcn´ı princip (funkcion´al energie, mnoˇzina pˇr´ıpustn´ych stav˚u a pˇr´ıpustn´ych variac´ı). (n) Co je to derivace ve smˇeru (pˇresnˇeji podle vektoru) funkce dvou promˇenn´ych a integr´aln´ıho funkcion´alu? (o) Odvod’te rovnici deformace bubliny (tenk´e membr´any) z variaˇcn´ıho principu. 83 4 Odvozen´ı vybran´ych rovnic matematick´e fyziky (p) Z kter´ych sloˇzek se skl´ad´a energie bubliny? (q) Formulujte Testovac´ı lemma. (r) Spoˇc´ıtejte derivaci funkcion´alu Φ(u) = RΩF(x, y, z, ux, uy, uz) dxdydzve variaci (smˇeru) va urˇcete pˇr´ısluˇsnou Eulerovu rovnici pro minimum. (s) Spoˇc´ıtejte derivaci funkcion´alu Φ(u) = RΩF(x, y, ux, uy, uxx, uxy, uyy) dxdyve variaci (smˇeru) va urˇcete pˇr´ısluˇsnou Eulerovu rovnici pro minimum. (t) Jak´y je rozd´ıl mezi ˇs´ıˇren´ım vln v kapaln´em prostˇred´ı a v tuh´em tˇelese? (u) Co je to biharmonick´y oper´ator v R2? Spoˇc´ıtejte ∆2vR3. (v) Napiˇste kvadratickou formu odpov´ıdaj´ıc´ı odvozen´ym rovnic´ım a urˇcete typ rovnice. (w) Kter´e fyzik´aln´ı dˇeje popisuje jedno-(dvoj-,troj-)rozmˇern´a vlnov´a rovnice? (x) Kter´e fyzik´aln´ı dˇeje popisuje jedno-(dvoj-,troj-)rozmˇern´a ut= ∆u+frovnice? (y) Kter´e fyzik´aln´ı dˇeje popisuje dvojrozmˇern´a (trojrozmˇern´a) rovnice ∆u=f? (z) Kter´e matematick´e objekty splˇnuj´ı Laplaceovu rovnici ∆u= 0? 84 5Metoda charakteristik Metodu charakteristik lze uˇz´ıt pro hyperbolick´e rovnice, protoˇze maj´ı charakteristiky, viz Pˇr´ıklad 2.7. Naproti tomu parabolick´e rovnice maj´ı charakteristiky degenerovan´e a eliptick´e rovnice charakteristiky v˚ubec nemaj´ı. Budeme se zab´yvat zejm´ena vlnovou rovnic´ı na pˇr´ımce a polopˇr´ımce, potom odvod´ıme vzorec pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro tˇr´ırozmˇernou a dvourozmˇernou vlnovou rovnici. Vliv ˇclenu niˇzˇs´ıho ˇr´adu naˇcrtneme v pˇr´ıpadˇe telegrafn´ı rovnice. 5.1 Jednorozmˇern´a vlnov´a rovnice na pˇr´ımce Jednorozmˇern´a vlnov´a rovnice utt =c2uxx +fpopisuje ˇs´ıˇren´ı vln v jednorozmˇern´em prostˇred´ı. Nejprve se budeme zab´yvat poˇc´ateˇcn´ı ´ulohou pro rovnici bez prav´e strany na cel´e pˇr´ımce. Z obecn´eho ˇreˇsen´ı odvod´ıme d’Alembert˚uv vzorec pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy. Kmit´an´ı nekoneˇcn´e struny Budeme se zab´yvat rovnic´ı utt =c2uxx ,(x, t)∈R×R+(5.1) s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x)x∈R.(5.2) Konstanta cv rovnici je c2=T/ρ, kde Tje napˇet´ı aρd´elkov´a hustota struny. ´ Uloha tak´e popisuje pod´eln´e kmity nekoneˇcn´e tyˇce nebo pod´eln´e kmit´an´ı vzduchov´eho sloupce v nekoneˇcn´e trubici (p´ıˇst ’ale). Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky urˇcuj´ı situaci v ˇcase t= 0; urˇcuj´ı poˇc´ateˇcn´ı polohu (kolmou v´ychylku) struny ua poˇc´ateˇcn´ı rychlost utstruny. Pro jednoznaˇcn´e urˇcen´ı ˇreˇsen´ı jsou potˇrebn´e obˇe podm´ınky. Obecn´e ˇreˇsen´ı Podle Pˇr´ıkladu 2.7 pˇr´ısluˇsn´a charakteristick´a rovnice n2 t=c2n2 xurˇcuje dva charakteristick´e smˇery (nx, nt)=(±1, c)/√1 + c2, a t´ım i v kaˇzd´em bodˇe dvˇe ”zak´azan´e“ teˇcny x−ct = const.ax+ct = const.pro kˇrivku, na kter´e zad´av´ame poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. Podle Vˇety 3.2 je to rovnice hyperbolick´a, kter´a transformac´ı (x, t)7→ (ξ, η) ξ=x−ct , η =x+ct pˇrejde na kanonick´y tvar uξη = 0 , kter´y zintegrujeme a z´ısk´ame t´ım obecn´e ˇreˇsen´ı u(ξ, η) = F(ξ) + G(η), kde F, G jsou libovoln´e C2diferencovateln´e funkce na R. Vr´at´ıme-li se k p˚uvodn´ım souˇradnic´ım, dost´av´ame obecn´e ˇreˇsen´ı jednorozmˇern´e vlnov´e rovnice (5.1) u(x, t) = F(x−ct) + G(x+ct).(5.3) Jak´y je geometrick´y a fyzik´aln´ı v´yznam tohoto ˇreˇsen´ı? ˇ Reˇsen´ı je souˇctem dvou funkc´ı. Prvn´ı funkce u(x, t) = F(x−ct) pˇredstavuje vlnu tvaru F(x) postupuj´ıc´ı doprava (v kladn´em smyslu) rychlost´ı cbeze zmˇeny velikosti i tvaru. Podobnˇe druh´a u(x, t) = G(x+ct) 85 5 Metoda charakteristik pˇredstavuje vlnu tvaru G(x) postupuj´ıc´ı doleva rychlost´ı cbez zmˇeny velikosti i tvaru. Kaˇzd´e ˇreˇsen´ı rovnice (5.1) je tedy sloˇzen´ım (superpozic´ı) vlny (pˇresnˇeji vln, m˚uˇze jich v´ıc) postupuj´ıc´ıch doprava a vln postupuj´ıc´ıch doleva. x 0 u1(x, t) = F(x−c t)u2(x, t) = G(x+c t) Obr. 36: Vlna postupuj´ıc´ı doprava a vlna postupuj´ıc´ı doleva Konstanta cv rovnici urˇcuje rychlost cˇs´ıˇren´ı vln, c=pT/ρ. Rychlost se tedy zvˇetˇsuje s napˇet´ım Ta zmenˇsuje s tlouˇst ’kou struny, pˇresnˇeji d´elkovou hmotnost´ı ρ. ˇ Reˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy, d’Alembert˚uv vzorec Rovnice (5.1) m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı dan´ych funkcemi F, G. Pˇribereme v ´uvahu poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky (5.2) u(x, 0) = F(x) + G(x) = ϕ(x), ut(x, 0) = −c F0(x) + c G0(x) = ψ(x). Integrac´ı druh´e rovnosti a vydˇelen´ım cdostaneme soustavu dvou rovnic F(x) + G(x) = ϕ(x),−F(x) + G(x) = 1 cZx 0 ψ(y) dy+k , jej´ıˇz ˇreˇsen´ı F(x) = 1 2ϕ(x)−1 cZx 0 ψ(y) dy−k, G(x) = 1 2ϕ(x) + 1 cZx 0 ψ(y) dy+k dosad´ıme do vzorce pro ˇreˇsen´ı u(x, t) = F(x−ct) + G(x+ct), tedy u(x, t) = 1 2ϕ(x−ct)−1 cZx−ct 0 ψ(y) dy−k+1 2ϕ(x+ct)+ 1 cZx+ct 0 ψ(y) dy+k. Integraˇcn´ı konstanta kvypadne a ´upravou dostaneme d’Alembert˚uv vzorec u(x, t) = 1 2[ϕ(x+ct) + ϕ(x−ct)] + 1 2cZx+ct x−ct ψ(y) dy.(5.4) Rovnice s pravou stranou, Duhamel˚uv princip Uvaˇzujme nyn´ı nehomogenn´ı rovnici s pravou stranou f utt =c2uxx +f,(x, t)∈R×R+, u(x, 0) = 0 , ut(x, 0) = 0 , x ∈R.(5.5) ˇ Reˇsen´ı rovnice s pravou stranou nalezneme pomoc´ı tzv. Duhamelova principu: 86 5.1 Jednorozmˇern´a vlnov´a rovnice na pˇr´ımce Lemma 5.1 (Duhamel˚ uv princip) ˇ Reˇsen´ı ´ulohy (5.5) lze vyj´adˇrit ve tvaru u(x, t) = Zt 0 w(x, t, τ) dτ , (5.6) kde funkce w(x, t, τ) s parametrem τje ˇreˇsen´ım n´asleduj´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy wtt =c2wxx , w(x, τ, τ) = 0 , wt(x, τ, τ) = f(x, τ). D˚ukaz. Ovˇeˇr´ıme, ˇze zkonstruovan´a funkce u(x, t) je ˇreˇsen´ım naˇs´ı ´ulohy (5.5). Pro t= 0 m´ame u(x, 0) = 0, protoˇze R0 0w(x, t, τ) dτ= 0. Spoˇc´ıtejme derivaci ut– promˇenn´a tje v horn´ı mezi integr´alu6i v argumentu w(x, t, τ), proto ut(x, t) = w(x, t, t) + Zt 0 wt(x, t, τ) dτ . Prvn´ı ˇclen w(x, t, t) = 0 d´ıky prvn´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce, druh´y ˇclen je nulov´y pro t= 0 kv˚uli integraci pˇres interval nulov´e d´elky. Obˇe poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky jsou tedy splnˇeny. Spoˇc´ıtejme druhou derivaci utt(x, t) = wt(x, t, t) + Zt 0 wtt(x, t, τ) dτ . Prvn´ı ˇclen je roven f(x, t). Nyn´ı uˇz staˇc´ı dosadit do v´yrazu a slouˇcit integr´aly utt −c2uxx =f(x, t) + Zt 0wtt −c2wxx(x, t, τ) dτ . Integr´al je roven nule, protoˇze wsplˇnuje rovnici wtt =c2wxx. Funkce u(x, t) definovan´a (5.6) je tedy ˇreˇsen´ım ´ulohy (5.5). 2 Lemma pouˇzijeme pro v´ypoˇcet ˇreˇsen´ı. Funkce w(x, t, τ) m˚uˇzeme spoˇc´ıtat pomoc´ı odvozen´eho d’Alembertova vzorce. Prvn´ı podm´ınka je nulov´a, druh´a je rovna f. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky jsou stanoveny m´ısto ˇcasu 0 v ˇcase τ, proto v mez´ıch integr´alu m´ısto t−0 = t vystupuje rozd´ıl t−τ. Funkce w(x, t, τ) je tak d´ana vzorcem w(x, t, τ) = 1 2cZx+c(t−τ) x−c(t−τ) f(y, τ) dy . a ˇreˇsen´ı podle Duhamelova principu je u(x, t) = 1 2cZt 0Zx+c(t−τ) x−c(t−τ) f(y, τ) dydτ. Obecn´a ´uloha. ˇ Reˇsme rovnici s pravou stranou a s nenulov´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami utt =c2uxx +fvR×R+, u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, t) = ψ(x)x∈R.(5.7) 6Derivace integr´alu podle horn´ı meze d´av´a hodnotu integrandu v horn´ı mezi: ∂ ∂t [Rt 0f(τ) dτ] = f(t). 87 5 Metoda charakteristik ˇ Reˇsen´ı t´eto ´ulohy m˚uˇzeme poskl´adat z ˇreˇsen´ı u1´ulohy (5.5) s nehomogenn´ı rovnic´ı a nulov´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami a ˇreˇsen´ı u2´ulohy (5.1)–(5.2) s homogenn´ı rovnic´ı a nenulov´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. Dosazen´ım u=u1+u2do uvaˇzovan´e rovnice a poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek s vyuˇzit´ım linearity a skuteˇcnosti, ˇze uisplˇnuje pˇr´ısluˇsnou ´ulohu se snadno ovˇeˇr´ı, ˇze uje skuteˇcnˇe ˇreˇsen´ım uvaˇzovan´e ´ulohy. ˇ Reˇsen´ı nehomogenn´ı ´ulohy (5.7) je tedy d´ano d’Alembertov´ym vzorcem u(x, t) = 1 2[ϕ(x+ct) + ϕ(x−ct)]+ 1 2cZx+ct x−ct ψ(y) dy+1 2cZt 0 Zx+c(t−τ) x−c(t−τ) f(y, τ) dy!dτ. (5.8) Princip superpozice line´arn´ıch ´uloh Trojici (f, ϕ, ψ)prav´e strany a funkc´ı z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek v poˇc´ateˇcn´ı ´uloze nazvˇeme daty pˇr´ısluˇsn´e ´ulohy. V pˇredchoz´ım odstavci jsme ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı line´arn´ı ´ulohy sloˇzili ze dvou ˇreˇsen´ı d´ıky vlastnosti, ˇze souˇcet ˇreˇsen´ı u1+u2´uloh urˇcen´ych daty (fi, ϕi, ψi) (i= 1,2) je ˇreˇsen´ım ´ulohy urˇcen´e souˇctem dat, tj. daty (f1+f2, ϕ1+ϕ2, ψ1+ψ2). Podobnˇe n´asobek ˇreˇsen´ı ku je ˇreˇsen´ım rovnice se stejn´ym n´asobkem dat. Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe line´arn´ıch ODR, line´arn´ıch soustav a dalˇs´ıch line´arn´ıch ´uloh je tato skuteˇcnost charakteristickou vlastnost´ı line´arn´ıch ´uloh, tj. line´arn´ıch rovnic s line´arn´ımi podm´ınkami. Budeme ji vyuˇz´ıvat pro konstrukci ˇreˇsen´ı nehomogenn´ıch ´uloh. Formulujme proto tuto vlastnost obecnˇeji. Uvaˇzujme koneˇcnˇe mnoho poˇc´ateˇcn´ıch ´uloh i= 1, . . . , n pro jednu line´arn´ı rovnici (v naˇsem pˇr´ıpadˇe rovnici utt =c2uxx +f) s r˚uzn´ymi prav´ymi stranami fia r˚uzn´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami ϕi, ψina stejn´e mnoˇzinˇe R×R+ utt =c2uxx +fi, ut=0 =ϕi, utt=0 =ψi. Tuto ´ulohu nazveme ´ulohou s daty (fi, ϕi, ψi). V´ypoˇctem lze snadno ovˇeˇrit tvrzen´ı Lemma 5.2 (Princip superpozice) Necht ’pro kaˇzd´e i= 1, . . . , n je funkce ui ˇreˇsen´ım ´ulohy s daty (fi, ϕi, ψi) a kijsou libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla. Potom line´arn´ı kombinace ˇreˇsen´ı u=k1u1+k2u2+···+knunje ˇreˇsen´ım ´ulohy se stejnou line´arn´ı kombinac´ı dat (k1f1+···+knfn, k1ϕ1+···+knϕn, k1ψ1+···+knψn). Vlastnost superpozice ˇreˇsen´ı je obecnou vlastnost´ı vˇsech line´arn´ıch ´uloh, na rovnici (pokud je line´arn´ı) a typu ˇci poˇctu poˇc´ateˇcn´ıch pˇr´ıpadnˇe okrajov´ych podm´ınek (pokud jsou line´arn´ı) nez´aleˇz´ı. Umoˇzˇnuje poˇc´ıtat ˇreˇsen´ı postupnˇe, vˇzdy jen jednu sloˇzku dat nech´ame nenulovou a nakonec tato partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı seˇcteme. Princip superpozice lze uˇz´ıt i pro nekoneˇcn´e kombinace, v tom pˇr´ıpadˇe vˇsak nutno zaruˇcit konvergenci dat i ˇreˇsen´ı. Vlastnosti ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice ˇ Reˇsen´ı obecn´e nehomogenn´ı ´ulohy (5.7) je d´ano vzorcem (5.8), kter´y vyuˇzijeme k odvozen´ı nˇekter´ych vlastnost´ı ˇreˇsen´ı: 88 5.1 Jednorozmˇern´a vlnov´a rovnice na pˇr´ımce D˚ usledek 5.3 (Oblast z´ avislosti) Hodnota ˇreˇsen´ı uv libovoln´em bodˇe (x, t) z´avis´ı na hodnot´ach dat v bodech (y, τ)charakteristick´eho troj´uheln´ıka vymezen´eho charakteristikami proch´azej´ıc´ımi bodem (x, t) a poˇc´ateˇcn´ı pˇr´ımkou, tj. pˇr´ımkami (y−x)−c(τ−t)=0,(y−x) + c(τ−t) = 0 , t = 0 . ˇ Reˇsen´ı z´avis´ı na hodnotˇe poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky ϕv bodech x−ct ax+ct, hodnot´ach ψuvnitˇr ´useˇcky (x−ct, x +ct) a hodnot´ach fve v´yˇse uveden´em charakteristick´em troj´uheln´ıku. Data mimo tento troj´uheln´ık nemaj´ı vliv na hodnotu ˇreˇsen´ı v bodˇe (x, t). x 0 t u(x, t) f(·,·) ψ(·)ϕ(x−ct)ϕ(x+ct) f(·,·) Obr. 37: Charakteristick´y troj´uheln´ık – oblast z´avislosti ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice D˚ usledek 5.4 (Odhad ˇ reˇ sen´ ı) Hodnota ˇreˇsen´ı usplˇnuje odhad |u(x, t)| ≤ max |ϕ|+tmax |ψ|+1 2t2max |f|,(5.9) kde maxima dat lze br´at pˇres p´as ohraniˇcen´y ˇcasy 0 a t, nebo jen pˇres charakteristick´y troj´uheln´ık. Pˇresnˇeji, u poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky staˇc´ı br´at maximum ϕpˇres dva body x−c t ax+c t, u druh´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky maximum ψpˇres celou ´useˇcku (x−ct, x+ct) a u prav´e strany je to maximum fpˇres cel´y charakteristick´y troj´uheln´ık. Spojitou z´avislost´ı rozum´ıme, ˇze mal´a zmˇena dat zp˚usob´ı malou zmˇenu ˇreˇsen´ı. Ze vzorce (5.8) okamˇzitˇe plyne D˚ usledek 5.5 (Spojit´ a z´ avislost na datech) Bud’uiˇreˇsen´ı ´ulohy s daty (fi, ϕi, ψi), i= 1,2. Potom plat´ı odhad |u1(x, t)−u2(x, t)| ≤ max |ϕ1−ϕ2|+tmax |ψ1−ψ2|+t2 2max |f1−f2|,(5.10) kde maxima lze br´at pˇres charakteristick´y troj´uheln´ık. Z d’Alembertova vzorce vid´ıme tak´e hladkost ˇreˇsen´ı: D˚ usledek 5.6 (Hladkost ˇ reˇ sen´ ı) ˇ Reˇsen´ı upoˇc´ateˇcn´ı ´ulohy nem˚uˇze b´yt ”hladˇs´ı“ neˇz data ´ulohy: jestliˇze ˇreˇsen´ı je z Ck(k≥2), potom ϕ∈Ck,ψ∈Ck−1af∈Ck−2. Pomoc´ı d’Alembertova vzorce lze zav´est zobecnˇen´e ˇreˇsen´ı. Existence klasick´eho ˇreˇsen´ı vyˇzaduje ˇreˇsen´ı tˇr´ıdy C2, tedy hladk´a data ϕtˇr´ıdy C2,ψtˇr´ıdy C1afspojit´e. D’Alembert˚uv vzorec m´a smysl pro ϕspojit´e a funkce ψ,fstaˇc´ı b´yt jen integrovateln´e. Jin´y zp˚usob spoˇc´ıv´a v aproximaci nehladk´ych dat hladk´ymi. Naznaˇcme tento postup. Vezmeme posloupnost hladk´ych dat (ϕk, ψk, fk) konverguj´ıc´ıch (vzhledem ke skuteˇcnosti, 89 5 Metoda charakteristik kde 4πr2je velikost povrchu sf´ery S(x, r). Oper´ator pr˚umˇerov´an´ı je line´arn´ı oper´ator: f+g=f+gaαf =αf pro α∈R. Nav´ıc pro spojitou funkci f(x) limita pro r→0+ d´av´a hodnotu funkce f(x), tj. limr→0+ f(r) = f(x). T´eto vlastnosti vyuˇzijeme k urˇcen´ı hodnoty ˇreˇsen´ı uv bodˇe x. Motivem zaveden´ı tohoto oper´atoru je hypot´eza, ˇze body y na sf´eˇre S(x, r) stejnˇe vzd´alen´e od x ve stejn´em ˇcase tmaj´ı stejn´y vliv na hodnotu ˇreˇsen´ı v bodˇe x. Oper´ator pr˚umˇerov´an´ı aplikujeme na naˇsi ´ulohu. Z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek plyne u(r, 0) = ϕ(r),(u)t=ut(r, 0) = ψ(r) zamˇenili jsme pˇritom poˇrad´ı oper´atoru pr˚umˇerovan´ı a derivov´an´ı podle t. Podobnˇe plat´ı utt = (u)tt . S transformac´ı Laplaceova oper´atoru je to sloˇzitˇejˇs´ı. Lemma 5.11 Plat´ı rovnosti (∆u) = 1 r2 ∂ ∂r r2∂u ∂r =1 r ∂2 ∂r2(r u).(5.16) D˚ukaz. Pomoc´ı Gaussova-Ostrogradsk´eho vzorce uprav´ıme integr´al I=ZB(x,r) ∆udy = ZS(x,r) ∂u ∂ndS= 4 π r2∂u ∂r . Tent´yˇz integr´al rozep´ıˇseme na dvojn´y integr´al I=Zr 0ZS(x,ρ) ∆udSdρ=Zr 0 4πρ2(∆u) dρ. Spojen´ım obou vyj´adˇren´ı po vydˇelen´ı 4πdost´av´ame rovnost Zr 0 ρ2(∆u) dρ=r2∂u ∂r , kterou derivujeme podle r(viz pozn´amka pod ˇcarou na str. 87) r2(∆u) = ∂ ∂r r2∂u ∂r  a vydˇelen´ım r2dost´av´ame levou rovnost v (5.16). Pravou rovnost ovˇeˇr´ıme v´ypoˇctem, rozderivov´an´ım obˇe strany daj´ı urr + 2ur/r .2 S vyˇzit´ım tohoto lemmatu oper´ator pr˚umˇerov´an´ı pˇrevede rovnici (5.14) na utt =c21 r(ru)rr . Rovnici vyn´asob´ıme ra vid´ıme, ˇze pomocn´a funkce U(r, t) = r u(r, t)splˇnuje jednorozmˇernou vlnovou rovnici Utt =c2Urr .(5.17) 96 5.3 Trojrozmˇern´a vlnov´a rovnice ˇ Reˇsen´ı pomocn´e ´ulohy Funkce u(r, t) je definov´ana pro r > 0, jedn´a se proto o ´ulohu na polopˇr´ımce (0,∞). Protoˇze hodnota u(x, t) je koneˇcn´a, plat´ı U(0, t)=(ru(r, t))|r=0 = 0. Podle odstavce 5.2 ´ulohu na polopˇr´ımce s Dirichletovou okrajovou podm´ınkou U(0, t) = 0 pˇrevedeme na ´ulohu na pˇr´ımce t´ım, ˇze poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky rozˇs´ıˇr´ıme na lich´e funkce na cel´e pˇr´ımce Φ(r) = r ϕ(|r|),Ψ(r) = r ψ(|r|). Funkce Uje ˇreˇsen´ım pomocn´e ´ulohy Utt =c2Urr , U(r, 0) = Φ(r), Ut(r, 0) = Ψ(r), jej´ı ˇreˇsen´ı urˇc´ıme pomoc´ı d’Alembertova vzorce U(r, t) = 1 2[Φ(r+ct) + Φ(r−ct)] + 1 2cZr+ct r−ct Ψ(s) ds. Odvozen´ı Kirchhoffova vzorce Zb´yv´a spoˇc´ıtat ˇreˇsen´ı u. Hodnotu v bodˇe x urˇc´ıme z pomocn´e funkce U. Vyuˇzijeme rovnost u(x, t) = limr→0u(r, t). Protoˇze u(r, t) = U(r, t)/r, hodnota v r= 0 je d´ana limitou r→0+. Je to limita typu 0/0, pomoc´ı l’Hospitalova pravidla u(x) = lim r→0 U(r, t) r= lim r→0 ∂U ∂r (r, t). Dosad´ıme za Ua pˇrejdeme k limitˇe. Vyuˇzijeme pˇritom n´asleduj´ıc´ı vlastnosti lich´ych funkc´ı F(r)−F(−r) = 2F(r). Spoˇc´ıtejme nejprve druh´y ˇclen lim r→0 d dr1 2cZr+ct r−ct Ψ(s) ds=1 2clim r→0[Ψ(r+ct)−Ψ(r−ct)] = =1 2c[Ψ(ct)−Ψ(−ct)] = 1 cΨ(ct) = 1 cc t ψ(ct) = t ψ(ct) = 1 4πc2tZS(x,ct) ψdSy. Prvn´ı ˇclen lze spoˇc´ıtat podobnˇe lim r→0 1 2 d dr[Φ(r+ct)−Φ(r−ct)] =1 2lim r→0[Φ0(r+ct)−Φ0(r−ct)] = =1 2[Φ0(ct)−Φ0(−ct)] = Φ0(ct) = 1 c d dtΦ(ct) = 1 c d dt[ct ϕ(ct)] = =d dt[t ϕ(ct)] =d dt1 4πc2tZS(x,ct) ϕdSy). Seˇcten´ım obou ˇclen˚u dostaneme Kirchhoff˚uv vzorec pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy (5.14), (5.15) pro trojrozmˇernou vlnovou rovnici u(x, t) = 1 4πc2d dt1 tZS(x,ct) ϕ(y) dSy+1 tZS(x,ct) ψ(y) dSy.(5.18) 97 5 Metoda charakteristik Rovnice s pravou stranou Pomoc´ı Duhamelova principu, viz Lemma 5.1, lze snadno spoˇc´ıtat ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice s pravou stranou a nulov´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami: utt =c2∆u+f , u(x,0) = 0 , ut(x,0) = 0 . Pomocnou funkci w(x, t, τ), kter´a je ˇreˇsen´ım poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy wtt =c2∆w , w(x, τ, τ)=0, wt(x, τ, τ) = f(x, τ), lze spoˇc´ıtat pomoc´ı pr´avˇe odvozen´eho vzorce (5.18). Vzorec u(x, t) = Rt 0w(x, t, τ) dτpak po ´upravˇe d´av´a u(x, t) = 1 4πc2Zt 01 t−τZS(x,c(t−τ)) f(y, τ) dSy dτ.(5.19) Pˇrid´an´ım tohoto ˇclenu k (5.18) dostaneme vzorec pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro vlnovou rovnici s pravou stranou. Pozn´ amka 5.12 Vzorec m˚uˇzeme odvodit pˇr´ımo aplikac´ı oper´atoru pr˚umˇerov´an´ı na rovnici utt =c2∆u+f s nulov´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. Dostaneme tak pomocnou ´ulohu Utt =c2Urr +F, kde F(r, t) je lich´e prodlouˇzen´ı r f(r, t). D’Alembert˚uv vzorec d´a ˇreˇsen´ı U, kter´e po dosazen´ı vede na stejn´y vzorec (5.19). x1, x2 t x3x (x, t) S(x, ct) Obr. 44: Charakteristick´y kuˇzel Vlastnosti ˇreˇsen´ı Z odvozen´eho vzorce plynou nˇekter´e vlastnosti ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice: D˚ usledek 5.13 (Oblast z´ avislosti) Uvaˇzujme vlnovou rovnici utt =c2∆u+f vR3×R+s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami u(x,0) = ϕ(x) , ut(x,0) = ψ(x) , x ∈R3. Hodnota ˇreˇsen´ı ut´eto ´ulohy v bodˇe (x, t) z´avis´ı na hodnot´ach: •derivac´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky ϕna sf´eˇre S(x, ct)v prostoru R3, •poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky ψna sf´eˇre S(x, ct)a •prav´e strany fna pl´aˇsti charakteristick´eho kuˇzele se z´akladnou B(x, ct) a vrcholem (x, t), viz Obr. 44. Pomoc´ı vzorc˚u (5.18)–(5.19) lze odhadnout hodnotu ˇreˇsen´ı ”daty“ ´ulohy ϕ, ψ, f, odkud plyne mimo jin´e stabilita a spojit´a z´avislost ˇreˇsen´ı na datech, souvislost mezi hladkost´ı ˇreˇsen´ı a hladkost´ı dat jako v pˇr´ıpadˇe jednorozmˇern´e vlnov´e rovnice. 5.4 Dvojrozmˇern´a vlnov´a rovnice Na z´avˇer se budeme zab´yvat poˇc´ateˇcn´ı ´ulohou pro dvojrozmˇernou vlnovou rovnici utt =c2∆u , x∈R2, t ∈(0,∞)(5.20) s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami u(x,0) = ϕ(x) , ut(x,0) = ψ(x) ,x∈R2.(5.21) 98 5.4 Dvojrozmˇern´a vlnov´a rovnice Poisson˚uv vzorec Redukc´ı dimenze z Kirchhoffova vzorce odvod´ıme vzorec pro ˇreˇsen´ı dvojrozmˇern´e ´ulohy. Uvaˇzujme trojrozmˇernou poˇc´ateˇcn´ı ´ulohu (5.14)–(5.15) s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami ϕ,ψnez´avisl´ymi na souˇradnici x3. Potom tak´e ˇreˇsen´ı u(x1, x2, x3, t) bude nez´avisl´e na x3 a bude tedy splˇnovat dvojrozmˇernou vlnovou rovnici, tedy ´ulohu (5.20), (5.21). ˇ Reˇsen´ı uje d´ano vzorcem (5.18), kter´y obsahuje integr´aly v R3. Pro n´aˇs pˇr´ıpad tyto integr´aly z funkc´ı nez´avisl´ych na x3pˇrevedeme na integr´aly v R2, viz Obr. 45. Vedle x = (x1, x2, x3) oznaˇcme x = (x1, x2), tj. x = (x, x3) . Uvaˇzujme ploˇsn´y integr´al z funkce f(y) = f(y) pˇres sf´eru S(x, r). Projekc´ı sf´ery S(x, r) do roviny R2je kruh K(x, r) = {y∈R2|y−x| ≤ r}. Kaˇzd´emu bodu y vnitˇrku kruhu odpov´ıdaj´ı dva body sf´ery, funkce f(y) se nezmˇen´ı. Sloˇzitˇejˇs´ı je pˇreveden´ı ploˇsn´eho elementu dSyna dy = dy1dy2. V kaˇzd´em bodˇe y = (y1, y2, y3) , y36=x3sf´ery S(x, r) je ploˇsn´y element dSy=r/pr2−|y−x|2dy, plat´ı tedy ZS(x,r) f(y) dSy= 2rZK(x,r) f(y) pr2−|y−x|2dy . Ve vzorci (5.18) se vyskytuje sf´era S(x, ct) se stˇredem v bodˇe x a polomˇerem ct; integruje se podle y. Transformaˇcn´ı vzorec proto uprav´ıme 0x1, x2 0x1, x2 x3 K(x, r) x y S(x, r) Obr. 45: Transformace integr´alu ZS(x,ct) f(y) dSy= 2ct ZK(x,ct) f(y) p(ct)2−|y−x|2dy . Pomoc´ı tohoto vzorce pˇrep´ıˇseme vzorec (5.18) na dvojrozmˇern´y, m´ısto x,y p´ıˇseme x,y u(x, t) = 1 2πc "d dt ZK(x,ct) ϕ(y) p(ct)2−|y−x|2dy!+ +ZK(x,ct) ψ(y) p(ct)2−|y−x|2dy#.(5.22) Stejnˇe lze pˇrepsat i vzorec (5.19) pro ˇreˇsen´ı rovnice s pravou stranou f u(x, t) = 1 2πc Zt 0 ZK(x,c(t−τ)) f(y, τ) p(c(t−τ))2−|y−x|2dy!dτ . (5.23) Vlastnosti ˇreˇsen´ı Opˇet z odvozen´eho vzorce odvod´ıme nˇekter´e vlastnosti ˇreˇsen´ı: D˚ usledek 5.14 (Oblast z´ avislosti) Hodnota ˇreˇsen´ı u´ulohy v bodˇe (x, t) z´avis´ı •na hodnot´ach derivac´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky ϕvkruhu K(x, ct), •na hodnot´ach poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky ψvkruhu K(x, ct)a •na hodnot´ach prav´e strany fv objemu charakteristick´eho kuˇzelu se z´akladnou K(x, ct) a vrcholem (x, t). 99 5 Metoda charakteristik Odhady hodnoty ˇreˇsen´ı pomoc´ı ”dat“ ´ulohy, stabilitu a spojitou z´avislost ˇreˇsen´ı na datech lze odvodit jako v pˇr´ıpadˇe jednorozmˇern´e vlnov´e rovnice. ˇ S´ıˇren´ı vln v prostorech dimenze 1, 2, 3 Z pˇredchoz´ıho odvozov´an´ı ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice se pokus´ıme odvodit, jak se ˇs´ıˇr´ı vlny v prostorech r˚uzn´e dimenze. Uvaˇzujme vlnovou rovnici bez prav´e strany utt =c2∆us rychlost´ı cna prostoru bez poˇc´atku RN\ {0}, v poˇc´atku zad´ame okrajovou podm´ınku. Uvaˇzujeme ´ulohu symetrickou vzhledem k poˇc´atku. Vych´azejme z klidov´eho stavu u(x,0) = 0 , ut(x,0) = 0 . . V ˇcase t= 0 vyˇsleme v okrajov´e podm´ınce sign´al ϕ(t) tvaru jedn´e vlny v´yˇsky ha ˇs´ıˇrky dnapˇr´ıklad ϕ(t) = (h 2[1 −cos(2πt d)] pro t∈(0, d), ϕ(t) = 0 pro t≥d. a budeme sledovat velikost vlny v pevn´em bodˇe x vzd´alen´em |x|=r > 0 od poˇc´atku. Vlna do bodu x doraz´ı v ˇcase τ=|x|/c. V prostorech dimenze N=1, 2, 3 bude situace odliˇsn´a: 0t0τ t 0t0τ t 0t0τ t Vlna v poˇc´atku, dimenze N= 1 Vlna v poˇc´atku, dimenze N= 2 Vlna v poˇc´atku, dimenze N= 3 Vlna v bodˇe x dimenze N= 1 Vlna v bodˇe x, dimenze N= 2 Vlna v bodˇe x, dimenze N= 3 Obr. 46: ˇ S´ıˇren´ı vln v prostoru dimenze N= 1,2,3 Ve vˇsech pˇr´ıpadech d´ıky rychlosti cbude zaˇc´atek sign´alu zpoˇzdˇen o ˇcas τ. Dalˇs´ı chov´an´ı se v r˚uzn´ych dimenz´ıch liˇs´ı: N= 1 – vlna kromˇe zpoˇzdˇen´ı τnemˇen´ı ani tvar ani v´yˇsku h. N= 2 – vlna po dosaˇzen´ı maxima pomalu kles´a, m´a ostr´e ˇcelo, ale nem´a ostr´y konec. V´yˇska vlny hs rostouc´ı vzd´alenost´ı |x|kles´a, jej´ı v´yˇska je hpr/|x|. Toto chov´an´ı m˚uˇzeme pozorovat na hladinˇe kaluˇze, do kter´e jsme hodili k´amen. N= 3 – tvar vlny se kromˇe zpoˇzdˇen´ı τnemˇen´ı, v´yˇska vlny s rostouc´ı vzd´alenost´ı kles´a, jej´ı v´yˇska je h/|x|. Jak k uveden´ym v´ysledk˚um lze dospˇet? V pˇr´ıpadˇe dimenze N= 1 v´ysledek plyne pˇr´ımo ze vzorce (5.13), jen poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka je v bodˇe x=r. V pˇr´ıpadˇe dimenze N= 3 se vr´at´ıme ke kapitole 5.3. Pr˚umˇerovat budeme pˇres koule se stˇredem v poˇc´atku. Protoˇze naˇse ´uloha je symetrick´a podle poˇc´atku, ˇreˇsen´ı u(x, t) bude symetrick´e, tj. pˇr´ımo rovno pr˚umˇeru: ˇreˇsen´ı u(x, t) = u(|x|). M˚uˇzeme proto vyuˇz´ıt 100 5.5 Rovnice s ˇclenem niˇzˇs´ıho ˇr´adu jednorozmˇernou rovnici (5.17) s nezn´amou U(r, t) = ru(r, t). Vzorec (5.13) pak opˇet d´av´a ˇreˇsen´ı U(r, t). V´ysledek pak plyne uvˇedom´ıme-li si, ˇze u(r) = 1 rU(r, t). V pˇr´ıpadˇe dimenze N= 2 je odvozen´ı sloˇzitˇejˇs´ı. Symetrie ´ulohy vede na ˇreˇsen´ı u(x, t) z´avisl´e jen na |x|at. Pˇreveden´ım rovnice do pol´arn´ıch souˇradnic (viz napˇr. rovnost (12.10) v Dodatku) dost´av´ame rovnici utt +c2(urr +1 rur), kterou vˇsak nelze pˇrev´est na jednorozmˇernou vlnovou rovnici a proto ˇreˇsen´ı t´eto rovnice nen´ı jednoduch´e. Z Poissonova vzorce (5.22) vˇsak lze usoudit, ˇze rychlost ˇs´ıˇren´ı sign´alu bude opˇet c. Protoˇze se vˇsak integruje pˇres pln´y kruh K(x, ct), vlna nem´a ostr´y konec, sign´al dozn´ıv´a. 5.5 Rovnice s ˇclenem niˇzˇs´ıho ˇr´adu Podle Kapitoly 3.3, str. 42 lze kaˇzdou line´arn´ı hyperbolickou rovnici v jedn´e prostorov´e promˇenn´e bez prav´e strany s konstantn´ımi koeficienty pˇrev´est na tvar utt =c2uxx +δu . (5.24) Pˇr´ıpadem δ= 0 jsme se uˇz zab´yvali, obecn´e ˇreˇsen´ı u(x, t) = F(x−ct)+G(x+ct) vznikne sloˇzen´ım vln postupuj´ıc´ıch vpravo a vln postupuj´ıc´ıch vlevo. Vlny postupuj´ı konstantn´ı rychlost´ı c. Libovoln´y sign´al se tedy ˇs´ıˇr´ı rychlost´ı cbeze zmˇeny amplitudy a tvaru. Pod´ıvejme se na pˇr´ıpad δ6= 0. Budeme zkoumat, kter´e harmonick´e (sinusov´e) vlny pˇripouˇst´ı rovnice (5.24). Uvaˇzujme ˇreˇsen´ı u(x, t) = Asin[ω(x−vt)] , kter´e pˇredstavuje harmonick´e vlnˇen´ı s amplitudou Aa vlnovou d´elkou λ= 2π/ω postupuj´ıc´ı vpravo rychlost´ı v. Dosazen´ım do rovnice (5.24) dost´av´ame rovnost A(ωv)2sin[ω(x−vt)] = c2A ω2sin[ω(x−vt)] −A δ sin[ω(x−vt)] , kter´a je splnˇena v pˇr´ıpadˇe ω2(c2−v2) + δ= 0. Vlna s vlnovou d´elkou λ= 2π/ω se tedy ˇs´ıˇr´ı rychlost´ı v=pc2+δ/ω2=pc2+δ λ2/(4π2). Rychlost vˇs´ıˇren´ı vlny tedy z´avis´ı na vlnov´e d´elce λ. Uvaˇzujme tedy sign´al postupuj´ıc´ı vpravo obecn´eho tvaru. D´ıky principu superpozice ˇreˇsen´ı line´arn´ı rovnice ˇreˇsen´ı m˚uˇzeme rozloˇzit do ˇrady harmonick´ych vln r˚uzn´ych vlnov´ych d´elek λis r˚uzn´ymi amplitudami Ai. Tyto kmity budou postupovat r˚uzn´ymi rychlostmi vi. S postupuj´ıc´ım ˇcasem se jednotliv´e vlny f´azovˇe rozejdou, tvar sign´alu se mˇen´ı, doch´az´ı k jeho zkreslen´ı. Telegrafn´ı rovnice Jako pˇr´ıklad uved’me telegrafn´ı rovnici, viz (4.21) utt −c2uxx + (α+β)ut+αβ u = 0 , kde c2= 1/(LC), α=R/L,β=G/C – pˇriˇcemˇz Lje indukˇcnost, Ckapacita, Rohmick´y odpor a Gsvod veden´ı. Tato rovnice m´a proti vlnov´e rovnici ˇclen nav´ıc jeden ˇclen s derivac´ı prvn´ıho ˇr´adu a ˇclen s derivac´ı nult´eho ˇr´adu. Podle Kapitoly 3.3 lze tuto rovnici transformac´ı u(x, t) = v(x, t)e−(α+β)t/2 101 5 Metoda charakteristik a po vy dˇelen´ı ˇclenem e−(α+β)t/2pˇrev´est na tvar bez ˇclenu s prvn´ı derivac´ı vtt −c2vxx −(α−β)2 4v= 0 . V pˇr´ıpadˇe α=βdost´av´ame vlnovou rovnici vtt =c2vxx, ve kter´e vˇsechny vlny postupuj´ı stejnou rychlost´ı c. V telegrafn´ı rovnici m´a ˇreˇsen´ı u(x, t) tvar vln postupuj´ıc´ıch s konstantn´ı rychlost´ı, jen se zmenˇsuj´ıc´ı se amplitudou. Doch´az´ı tedy k ´utlumu sign´alu, nedoch´az´ı vˇsak ke ”zkreslen´ı“ sign´alu. Pokud α6=β, v rovnici z˚ust´av´a ˇclen v(α−β)2/4, kter´y zp˚usob´ı z´avislost rychlosti ˇs´ıˇren´ı sign´alu na frekvenci a t´ım i zkreslen´ı sign´alu.´ Utlumu ve veden´ı lze ˇcelit zaˇrazen´ım zesilovaˇc˚u, d˚uleˇzit´e je vˇsak vyv´aˇzen´ı kapacity a indukˇcnosti veden´ı, tj. α=β, kter´eho se dos´ahne zaˇrazen´ım dodateˇcn´ych kondenz´ator˚u nebo c´ıvek. V´yraznˇe se tak omez´ı zkreslen´ı. Kontroln´ı ot´azky 5 (a) Jak´e je obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice utt =uxx? (b) Vysvˇetlete Duhamel˚uv princip, k ˇcemu se uˇz´ıv´a? (c) Vysvˇetlete princip superpozice ˇreˇsen´ı line´arn´ıch ´uloh. (d) Na kter´ych hodnot´ach dat (poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek a prav´e stranˇe) z´avis´ı hodnota ˇreˇsen´ı uvlnov´e rovnice v bodˇe x, t? (e) Odhadnˇete hodnotu u(x, t) pomoc´ı hodnot poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. (f) Spoˇc´ıtejte si ˇs´ıˇren´ı vln pomoc´ı numerick´ych sch´emat (5.11) s r˚uzn´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. (g) Jak lze ˇreˇsit vlnovou rovnici na polopˇr´ımce a ´useˇcce? (h) Co jsou to podm´ınky souladu okrajov´e a poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek? (i) Spoˇc´ıtejte si odraz vln pomoc´ı numerick´ych sch´emat na pevn´em i voln´em konci. (j) Pomoc´ı numerick´ych sch´emat si spoˇc´ıtejte ˇs´ıˇren´ı vln na ´useˇcce. (k) Popiˇste myˇslenku odvozen´ı ˇreˇsen´ı vlnov´e rovnice v 3D prostoru. (l) Jak lze ze vzorce pro ˇreˇsen´ı 3D-rovnice odvodit vzorec pro ˇreˇsen´ı 2D rovnice? (m) Jak´y je rozd´ıl mezi ˇs´ıˇren´ım vln v prostoru dimenze 1, 2 a 3? (n) Kdy nedoch´az´ı ke zkreslen´ı elektrick´eho sign´alu ve veden´ı? 102 6Fourierova metoda ˇrad Metoda se pouˇz´ıv´a zejm´ena k ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ıch okrajov´ych ´uloh pro hyperbolick´e a parabolick´e rovnice. Zkoum´ame line´arn´ı rovnici bez prav´e strany (f= 0) s nulov´ymi okrajov´ymi podm´ınkami. Pomoc´ı separace promˇenn´ych spoˇc´ıt´ame posloupnost speci´aln´ıch funkc´ı vk(x, t)splˇnuj´ıc´ıch rovnici a okrajov´e podm´ınky. Tyto funkce vˇsak nesplˇnuj´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. Kombinace tˇechto funkc´ı vˇsak splˇnuje tak´e rovnici i okrajov´e podm´ınky. Volbou vhodn´e kombinace funkc´ı vk(x, t) m˚uˇzeme splnit i poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. Protoˇze tato kombinace b´yv´a nekoneˇcn´a, mus´ıme se zab´yvat tak´e konvergenc´ı ˇrady. ˇ Reˇsen´ı hled´ame ve tvaru ˇrady, odtud n´azev metoda ˇrad. Metodˇe se tak´e ˇr´ık´a metoda separace promˇenn´ych pro zp˚usob konstrukce speci´aln´ıch funkc´ı ve tvaru souˇcinu funkc´ı s r˚uzn´ymi promˇenn´ymi, napˇr. v(x, t) = X(x)T(t), nebo tak´e jen Fourierova metoda ˇci Fourierova metoda separace promˇenn´ych. Metodu pˇredvedeme na jednoduch´e parabolick´e a hyperbolick´e rovnici, vˇcetnˇe vyˇsetˇrov´an´ı konvergence ˇrady. Potom metodu naznaˇc´ıme obecnˇe, v´ysledky z funkcion´aln´ı anal´yzy vˇsak uvedeme bez d˚ukazu. Kapitolu uzavˇreme nˇekolika v´ıcerozmˇern´ymi pˇr´ıklady. 6.1 Jednorozmˇern´a parabolick´a rovnice Podstatu metody pˇredvedeme na jednoduch´e poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´uloze pro parabolickou rovnici veden´ı tepla. Formulace parabolick´e ´ulohy Uvaˇzujme homogenn´ı parabolickou rovnici ut=κ uxx pro x∈(0, π), t ∈(0,∞)(6.1) s homogenn´ımi okrajov´ymi podm´ınkami u(0, t)=0, u(π, t) = 0 pro t∈(0,∞)(6.2) a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou u(x, 0) = ϕ(x) pro x∈(0, π).(6.3) ´ Ulohu lze interpretovat jako ´ulohu o veden´ı tepla v tenk´e tyˇci (0, π). D´elku tyˇce jsme zvolili π, aby vzorce byly co nejjednoduˇsˇs´ı. Poˇc´ateˇcn´ı teplotu urˇcuje funkce ϕ(x), konce tyˇce udrˇzujeme na teplotˇe 0, napˇr´ıklad ve smˇesi vody a ledu. Separace promˇenn´ych Speci´aln´ı funkce v(x, t), kter´e splˇnuj´ı rovnici a okrajov´e podm´ınky, budeme hledat ve tvaru se separovan´ymi promˇenn´ymi v(x, t) = X(x)T(t). Dosazen´ım do rovnice dost´av´ame X(x)T0(t) = κ X00(x)T(t), vydˇelen´ım κXT dost´av´ame T0(t) κ T(t)=X00(x) X(x). 103 6 Fourierova metoda ˇrad Lev´a strana nez´avis´ı na promˇenn´e x, prav´a nez´avis´ı na t. Protoˇze vˇsak rovnost m´a platit pro vˇsechna x∈(0, π) a t > 0, obˇe strany nez´avisej´ı ani na xani na t, obˇe jsou tedy rovny konstantˇe, kterou oznaˇc´ıme −λ. Dost´av´ame tak dvˇe rovnice T0+λκT = 0 ,X00 +λ X = 0 .(6.4) Prvn´ı rovnice je ODR prvn´ıho ˇr´adu, jej´ı ˇreˇsen´ı obsahuje jednu konstantu T(t) = ce−λκt . Druh´a je rovnic´ı druh´eho ˇr´adu, proto ˇreˇsen´ı obsahuje konstanty dvˇe X(x) = c1eµx +c2e−µx , kde µsplˇnuje rovnost µ2+λ= 0. Vezmeme v ´uvahu okrajov´e podm´ınky. Z rovnosti T(t)·X(0) = 0 plyne X(0) = 0. Kdyby X(0) 6= 0, vyˇslo by T(t) = 0 a dostali bychom pouze trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı v(x, t) = 0. Podobnˇe druh´a podm´ınka d´av´a X(π)=0. Pomocn´e funkce vk(x, t) Hled´ame nenulov´e ˇreˇsen´ı Xdruh´e rovnice v (6.4). Dosad’me ˇreˇsen´ı Xdo okrajov´ych podm´ınek. Z podm´ınky X(0) = c1e0+c2e0= 0 plyne c1=−c2=c. Dosad´ıme do druh´e podm´ınky X(π) = c(eµπ −e−µπ) = 0, odkud plyne e2µπ = 1. Rovnice ez= 1 m´a ˇreˇsen´ı z= 2πni , kde i je imagin´arn´ı jednotka splˇnuj´ıc´ı i 2=−1 a ncel´e ˇc´ıslo. Odtud plyne µ=ni pro n∈Z. Pˇr´ısluˇsn´e ˇreˇsen´ı oznaˇcen´e indexem nje Xn(x) = ceinx −e−inx= 2ci sin(nx). Pro jednoduchost vol´ıme c=1 2i . Protoˇze sin(−nx) = −sin(nx) a sin(0x) = 0, vynech´ame funkce s n≤0. Dost´av´ame tak posloupnost nez´avisl´ych funkc´ı Xn(x) = sin(nx)pro n= 1,2,3, . . . Dopoˇc´ıtejme funkce Tn(t). Dosazen´ım Xn(x) do druh´e rovnice v (6.4) vyjde λn=n2a z prvn´ı rovnice ˇreˇsen´ı Tn(t) = exp(−n2κt). Dostali jsme tak posloupnost funkc´ı vn(x, t) = sin(nx) e−n2κt n= 1,2,3,.... Vˇsimnˇete si, ˇze s rostouc´ım tfunkce jdou k nule. ˇ C´ım vˇetˇs´ı n, t´ım jdou k nule st´ale rychleji. 0π x 0π x 0π x v1(x, t) = sin(x) e−tv2(x, t) = sin(2x) e−4tv3(x, t) = sin(3x) e−9t Obr. 47: Funkce vi(x, t), i= 1,2,3 s konstantou κ= 1 v ˇcasech t= 0,t= 0.2,t= 0.4at= 0.6. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka Kaˇzd´a funkce vn(x, t) splˇnuje rovnici a nulov´e okrajov´e podm´ınky, poˇc´ateˇcn´ı hodnota vn(x, 0) je nenulov´a. D´ıky principu superpozice ˇreˇsen´ı line´arn´ı ´ulohy kaˇzd´a line´arn´ı kombinace Pncnvnsplˇnuje stejnou rovnici a okrajov´e podm´ınky. Vhodnou volbou konstant cnm˚uˇzeme splnit i poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku. ˇ Reˇsen´ı proto hled´ame ve tvaru u(x, t) = ∞ X n=1 cnvn(x, t) = ∞ X n=1 cnsin(nx) e−n2κt . 104 6.1 Jednorozmˇern´a parabolick´a rovnice ˇ Reˇsen´ı dosad´ıme do poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky (6.3): u(x, 0) = ∞ X n=1 cnsin(nx) = ϕ(x). Funkci ϕ(x) tedy potˇrebujeme rozvinout do sinusov´e Fourierovy ˇrady. Teorie Fourierov´ych ˇrad d´av´a vzorec pro v´ypoˇcet koeficient˚u cnrozvoje funkce ϕdo sinusov´e ˇrady cn=2 πZπ 0 ϕ(x) sin(nx) dx.(6.5) ˇ Reˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy (6.1)–(6.3) tedy m´ame ve tvaru ˇrady u(x, t) = ∞ X n=1 cnsin(nx) e−n2κt ,(6.6) kde koeficienty cnjsou urˇceny vzorcem (6.5). Pˇ r´ ıklad 6.1 Tyˇc d´elky πvyjmeme z vaˇr´ıc´ı vody a oba konce ponoˇr´ıme do smˇesi vody a ledu. Spoˇc´ıtejte v´yvoj teploty v tyˇci. ˇ Reˇsen´ı: Situaci modeluje ´uloha (6.1)–(6.3) s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou ϕ(x) = U, kde konstanta U= 100 ◦C. Zb´yv´a spoˇc´ıtat koeficienty. Podle vzorce (6.5) plat´ı cn=2 πZπ 0 ϕ(x) sin(nx) dx=2U π−cos(nx) nπ 0 =2U nπ [1 −(−1)n], cn=4U nπ pro nlich´e , 0 pro nsud´e , vyuˇzili jsme pˇritom cos(nπ)=(−1)n.ˇ Reˇsen´ı ´ulohy jsme tedy z´ıskali ve tvaru ˇrady u(x, t) = 4U πX n=1,3,5,... sin(nx) ne−n2κt =4U π ∞ X k=1 sin(2k+ 1)x 2k+ 1 e−(2k+1)2κt . 0π x Obr. 48: ˇ Reˇsen´ı u(x, t) postupnˇe shora v ˇcasech t= 0,t= 0.1,t= 0.2, t= 0.3,t= 0.4,t= 0.5,t= 0.6,t= 0.8,t= 1,t= 2 at= 3. Koeficienty Fourierovy ˇrady Vrat ’me se ke vzorci (6.5). Uvedeme jednoduchou metodu, kter´a umoˇzˇnuje odvodit vzorec pro v´ypoˇcet koeficient˚u Fourierovy ˇrady a to nejen v tomto pˇr´ıpadˇe, ale i v mnoha jin´ych pˇr´ıpadech. 105 6 Fourierova metoda ˇrad v(x, t) = X(x)T(t). Dosazen´ım do rovnice dost´av´ame X(x)T00(t) = c2X00(x)T(t), odkud dˇelen´ım c2XT plyne T00(t) c2T(t)=X00(x) X(x). Lev´a strana rovnice nez´avis´ı na x, prav´a nez´avis´ı na t, tud´ıˇz obˇe strany jsou rovny nˇejak´e konstantˇe −λ. Dost´av´ame tak rovnice T00 +λ c2T= 0 ,X00 +λX = 0 . Druh´a rovnice doplnˇen´a okrajov´ymi podm´ınkami vede na stejnou ´ulohu jako v parabolick´em pˇr´ıpadˇe. Dost´av´ame posloupnost vlastn´ıch funkc´ı {Xn(x)}a odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost {λn}. V naˇsem pˇr´ıkladˇe jsou Xn(x) = sin(nx), λn=n2, n = 1,2,3, . . . Pˇr´ısluˇsn´e ˇreˇsen´ı Tnvych´az´ı se dvˇema konstantami Tn(t) = ancos(nct) + bnsin(nct). ˇ Reˇsen´ı ´ulohy proto hled´ame ve tvaru u(x, t) = ∞ X n=1 sin(nx) [ancos(nct) + bnsin(nct)] .(6.13) v1(x, t) = sin(x) cos(t)v2(x, t) = sin(2x) cos(2t)v3(x, t) = sin(3x) cos(3t) 0π x v1 0π x v2 0π x v3 Obr. 51: Funkce v1(x, t), v2(x, t) a v3(x, t) s c= 1 osciluj´ıc´ı s periodou 2π, 2π/2 a 2π/3. Dosazen´ım ˇreˇsen´ı do prvn´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky u(x, 0) = ϕ(x) dost´av´ame ∞ X n=1 ansin(nx) = ϕ(x). Funkci ϕm´ame rozvinout do sinusov´e ˇrady s koeficienty an. Podobnˇe po dosazen´ı ˇreˇsen´ı do druh´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky ut(x, 0) = ψ(x) dost´av´ame tak´e rozvoj funkce ψ(x) do sinusov´e ˇrady ∞ X n=1 n bnsin(nx) = ψ(x). Podobnˇe jako v parabolick´em pˇr´ıpadˇe, koeficienty anibnspoˇc´ıt´ame pomoc´ı vzorc˚u an=2 πZπ 0 ϕ(x) sin(nx) dx , bn=2 nπ Zπ 0 ψ(x) sin(nx) dx.(6.14) ˇ Reˇsen´ı ´ulohy (6.10)–(6.12) je ˇrada (6.13) s koeficienty dan´ymi (6.14). 112 6.2 Jednorozmˇern´a hyperbolick´a rovnice Konvergence ˇrady V tomto pˇr´ıpadˇe je situace sloˇzitˇejˇs´ı. Funkce T(t) obsahuje funkce sin(cnt), cos(cnt), kter´e nejdou k nule a konvergenci n´am nezaruˇc´ı jako e−n2κt v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe parabolick´e rovnice. Pˇri rozvoji do sinusov´e ˇrady funkce ϕ(x) a ψ(x) prodluˇzujeme na lich´e funkce pˇres x= 0 i pˇres x=πna funkce ϕ(x) a ψ(x). Pokud chceme ˇreˇsen´ı spojit´e se spojit´ymi derivacemi do druh´eho ˇr´adu, potˇrebujeme m´ıt tyto prodlouˇzen´e funkce hladk´e: ϕ∈C2aψ∈C1. To vyˇzaduje splnˇen´ı podm´ınek souladu ϕ(0+) = ψ(0+) = 0 aϕ(π−) = ψ(π−) = 0. Pokud tyto podm´ınky splnˇeny nejsou, klasick´e ˇreˇsen´ı neexistuje, uveden´e vzorce lze vˇsak vyuˇz´ıt k definici zobecnˇen´eho ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ ıklad 6.10 Spoˇc´ıtejte kmity struny d´elky `na konc´ıch upevnˇen´e, jestliˇze strunu s poˇc´ateˇcn´ı v´ychylkou ϕ(x) = hx(`−x) v ˇcase t= 0 uvoln´ıme. ˇ Reˇsen´ı: Kmit´an´ı struny modeluje rovnice utt =c2uxx s podm´ınkami u(0, t) = u(`, t) = 0 pro t > 0, u(x, 0) = h x(`−x), ut(x, 0) = 0 pro x∈(0, `). Konstanta c2=T/ρ , kde Tje napˇet´ı struny a ρd´elkov´a hustota hmotnosti struny. Je to homogenn´ı ´uloha, ˇreˇsen´ı m˚uˇzeme hledat ve tvaru ˇrady s ˇcleny tvaru X(x)T(t). Dosad´ıme do rovnice a obvyklou ´uvahou dost´av´ame, ˇze funkce X(x) a T(t) jsou ˇreˇsen´ım ´uloh X00 +λX = 0 , X(0) = 0 , X(`)=0, T00 +λ c2T= 0 . Obecn´e ˇreˇsen´ı prvn´ı rovnice je X(x) = acos(µx)+bsin(µx), kde µ2=λ. Vzali jsme λ≥0, protoˇze z pˇredchoz´ıch ´uvah v´ıme, ˇze pro λ < 0 neexistuje nenulov´e ˇreˇsen´ı splˇnuj´ıc´ı okrajov´e podm´ınky. Podm´ınka X(0) = 0 d´av´a a= 0. Druh´a podm´ınka X(`) = 0 d´av´a µ=nπ/`. Dost´av´ame tak posloupnost nez´avisl´ych funkc´ı Xn(x) = sin(nπx/`), s odpov´ıdaj´ıc´ımi hodnotami λn= (nπ/`)2, pˇriˇcemˇz n= 1,2,3, . . . Podobnˇe ˇreˇsen´ı druh´e rovnice je Tn(t) = ancos(nνt)+bnsin(nνt), kde ν=πc/`.ˇ Reˇsen´ı ´ulohy m´ame ve tvaru u(x, t) = ∞ X n=1 sin nπx `ancos cnπt `+bnsin cnπt `. Koeficienty an, bnurˇc´ıme z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. Podm´ınka ut(x, 0) = 0 d´av´a bn= 0, podm´ınka u(x, 0) = hx(`−x) vede opˇet na rozvoj funkce hx(`−x) do Fourierovy sinusov´e ˇrady. Podle vzorce (6.7) nebo (6.9) an=2 `Z` 0 hx(`−x) sin nπx `dx, po dvoj´ı integraci per partes dost´av´ame an=4h`2 n3π3[1 −(−1)n]. Pro sud´e njsou an= 0. ˇ Reˇsen´ı je proto d´ano ˇradou s lich´ymi n u(x, t) = 8h `2 π3X n=1,3,5,... 1 n3sin nπx `cos cnπt `.2 113 6 Fourierova metoda ˇrad Poznamenejme, ˇze v pˇr´ıpadˇe nehomogenn´ı ´ulohy — tj. rovnice s nenulovou pravou stranou nebo s nenulov´ymi okrajov´ymi podm´ınkami — postupujeme jako v pˇr´ıpadˇe nehomogenn´ı parabolick´e rovnice. ´ Ulohu tak´e pˇrevedeme na ´ulohu homogenn´ı vztahem u(x, t) = u0(x, t) + u∗(x, t), kde u0(x, t) vol´ıme tak, aby funkce splˇnovala rovnici s pravou stranou i nenulov´e okrajov´e podm´ınky. Funkce u∗potom bude ˇreˇsen´ım homogenn´ı ´ulohy, kterou uˇz um´ıme poˇc´ıtat v´yˇse uvedenou metodou ˇrad. 6.3 Metoda ˇrad obecnˇe Po dvou pˇr´ıkladech ˇreˇsen´ı jednorozmˇern´e evoluˇcn´ı ´ulohy pop´ıˇseme metodu obecnˇeji. Budeme se zab´yvat parabolickou i hyperbolickou rovnic´ı souˇcasnˇe. Formulace ´uloh Uvaˇzujme oblast tvaru ˇcasoprostorov´eho v´alce, tj. kart´ezsk´eho souˇcinu omezen´e oblasti Ω ⊂RNpˇredstavuj´ıc´ı prostor s body x = (x1, . . . , xN) a kladn´e polopˇr´ımky R+ pro ˇcas t. Budeme ˇreˇsit parabolick´y i hyperbolick´y probl´em souˇcasnˇe ut=κL(u), utt =c2L(u) v Ω ×R+.(6.15) V rovnici L(u) je line´arn´ı oper´ator s derivacemi podle prostorov´ych promˇenn´ych a s konstantn´ımi koeficienty (nez´avisl´ymi na t), napˇr´ıklad Laplace˚uv oper´ator L(u)=∆u. Rovnici dopln´ıme nulovou line´arn´ı okrajovou podm´ınkou M(u) = 0 na ∂Ω×R+(6.16) opˇet nez´avislou na t(u= 0 nebo un= 0, podm´ınky mohou b´yt r˚uzn´e na r˚uzn´ych ˇc´astech hranice) a jednou poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou u|t=0 =ϕv pˇr´ıpadˇe parabolick´e ´ulohy, nebo dvˇema poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami u|t=0 =ϕ,ut|t=0 =ψv pˇr´ıpadˇe hyperbolick´e ´ulohy. Metoda ˇrad ˇ Reˇsen´ı hled´ame ve tvaru ˇrady u(x, t) = Pncnvn(x, t), s funkcemi vnve tvaru se separovan´ymi promˇenn´ymi, tj. ve tvaru v(x, t) = X(x)T(t) pˇriˇcemˇz X(x) = X(x1, . . . , xN) . Dosazen´ım do rovnice a vydˇelen´ım κXT (pˇr´ıpadnˇe vydˇelen´ım c2XT) dost´av´ame T0 κT =L(X) X,T00 c2T=L(X) X. Protoˇze lev´e strany nez´avisej´ı na x a prav´e strany nez´avisej´ı na t,obˇe strany jsou konstantn´ı, jsou rovny nˇejak´e konstantˇe −λ. Dost´av´ame tak rovnice pro T T0+λκ T = 0 , T00 +λ c2T= 0 , kter´e maj´ı ˇreˇsen´ı T(t) = ce−λκt , T(t) = acos(µt) + bsin(µt) (µ=c√λ).(6.17) Sturmova-Liouvilleova ´uloha Pro prostorovou funkci Xjsme odvodili homogenn´ı rovnici L(X) + λX = 0 v Ω (6.18) 114 6.3 Metoda ˇrad obecnˇe s nezn´amou hodnotou λa okrajovou podm´ınku z p˚uvodn´ı ´ulohy M(X) = 0 na ∂Ω.(6.19) Dostali jsme tak ´ulohu, kter´a se naz´yv´a Sturmova-Liouvilleova ´uloha: Najdˇete vˇsechna ˇc´ısla λ(tzv. vlastn´ı ˇc´ısla), pro kter´e existuj´ı netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı X(tzv. vlastn´ı funkce) okrajov´e ´ulohy (6.18)–(6.19). Za urˇcit´ych pˇredpoklad˚u, kter´e probereme pozdˇeji, existuje posloupnost ˇc´ısel {λn}∞ n=1 konverguj´ıc´ıch k plus nekoneˇcnu a odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost vlastn´ıch funkc´ı tvoˇr´ıc´ı ´uplnou ortogon´aln´ı posloupnost na Ω. ˇ Reˇsen´ı parabolick´e ´ulohy Pokud urˇc´ıme ´uplnou ortogon´aln´ı posloupnost funkc´ı Xn(x), ˇreˇsen´ı parabolick´e ´ulohy najdeme ve tvaru u(x, t) = X n cnXn(x) e−κλnt,(6.20) kde koeficienty cnjsou urˇceny poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou. Funkci ϕ(x) z poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky rozvineme do ˇrady PncnXn(x). Koeficienty pak lze spoˇc´ıtat aplikac´ı vzorce (6.7) cn=1 kXnk2ZΩ ϕ(x)Xn(x) dx . D´ıky exponenci´ale ve vzorci (6.20) pro t > 0 nem´ame s konvergenc´ı pot´ıˇze, ˇreˇsen´ı m´a derivace vˇsech ˇr´ad˚u. ˇ Reˇsen´ı hyperbolick´e ´ulohy Pokud zn´ame ´uplnou ortogon´aln´ı posloupnost funkc´ı Xn(x), i v pˇr´ıpadˇe hyperbolick´e ´ulohy ˇreˇsen´ı najdeme ve tvaru u(x, t) = X n Xn(x) ancos(cpλnt) + bnsin(cpλnt).(6.21) Koeficienty anjsou urˇceny prvn´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou, koeficienty bndruhou poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou. V obou pˇr´ıpadech se jedn´a o rozvoj funkce do ˇrady s funkcemi Xn, koeficienty lze spoˇc´ıtat aplikac´ı vzorce (6.7) an=1 kXnk2ZΩ ϕ(x)Xn(x) dx , bn=1 c√λn 1 kXnk2ZΩ ψ(x)Xn(x) dx . S konvergenc´ı ˇrad odpov´ıdaj´ıc´ım derivac´ım ˇreˇsen´ı b´yvaj´ı probl´emy, ˇreˇsen´ı je vˇetˇsinou nutno br´at v zobecnˇen´em smyslu. 115 6 Fourierova metoda ˇrad ˇ Reˇsitelnost Sturmovy-Liouvilleovy ´ulohy Podstatn´ym krokem pˇri ˇreˇsen´ı ´ulohy metodou ˇrad je ˇreˇsen´ı Sturmovy-Liouvilleovy ´ulohy (6.18)–(6.19). V nˇekter´ych pˇr´ıpadech lze dok´azat existenci ´upln´e posloupnosti ortogon´aln´ıch funkc´ı. Na oblasti Ω, kter´a m´a po ˇc´astech hladkou hranici, uvaˇzujme oper´ator L(X) = div(A∇X)−a0X≡ N X i,j=1 ∂ ∂xiaij(x)∂X ∂xj−a0(x)Xx∈Ω s matic´ı koeficient˚u aij(x). Necht ’tyto koeficienty tvoˇr´ı matici symetrickou, tj. aij =aji, a eliptickou, tj. pozitivnˇe definitn´ı: Pij ξjξi≥αPiξ2 ipro ∀ξ∈RN(α > 0). Tak´e necht ’ a0(x) ≥0 . Odpov´ıdaj´ıc´ı oper´ator v okrajov´e podm´ınce na ∂Ω×R+lze vz´ıt ve tvaru M(X) = α(x) N X i,j=1 aij(x)∂X ∂xj ni+β(x)Xx∈∂Ω. Z´apis okrajov´e podm´ınky zahrnuje vhodnou volbou funkc´ı α(x), β(x) ≥0 jak Dirichletovu, tak Neumannovu a Robinovu podm´ınku. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze α, β nejsou souˇcasnˇe nulov´e, tj. |α(x)|+|β(x)|>0. Nejˇcastˇeji se setk´av´ame s jednotkovou matic´ı Aaa0= 0, coˇz d´av´a Laplace˚uv oper´ator ∆X, a Dirichletovu podm´ınku X= 0 nebo odpov´ıdaj´ıc´ı Neumannovu okrajovou podm´ınku ∂X ∂n = 0, nebo jejich kombinaci. Pro Sturmovu-Liouvilleovu ´ulohu: Hled´ame λ∈Ctakov´e, ˇze n´asleduj´ıc´ı ´uloha m´a nenulov´e ˇreˇsen´ı L(X) + λX = 0 vΩ, M(X) = 0 na ∂Ω. m´ame n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı, viz napˇr´ıklad [1], [20]: Lemma 6.11 Za v´yˇse uveden´ych pˇredpoklad˚u pro koeficienty aij plat´ı (a) Existuje neklesaj´ıc´ı posloupnost re´aln´ych vlastn´ıch ˇc´ısel {λ1≤λ2≤λ3≤. . . } jdouc´ı do nekoneˇcna a odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost vlastn´ıch funkc´ı {Xn(x)}. (b) Vlastn´ı funkce Xn(x) pro r˚uzn´a vlastn´ı ˇc´ısla jsou navz´ajem ortogon´aln´ı, v pˇr´ıpadˇe v´ıcen´asobn´eho vlastn´ıho ˇc´ısla vlastn´ı funkce nejsou urˇceny jednoznaˇcnˇe, lze je vˇsak zvolit tak, aby byly ortogon´aln´ı. (c) Vlastn´ı funkce Xntvoˇr´ı ´uplnou ortogon´aln´ı posloupnost v prostoru integrovateln´ych funkc´ı L2(Ω), kter´a umoˇzˇnuje rozvoj libovoln´e funkce f∈L2(Ω) do Fourierovy ˇrady PncnXn, kde cnjsou d´any vztahem cn= (f, Xn)/kXnk2. Pozn´ amky 6.12 (a) V pˇr´ıpadˇe rovnice s pravou stranou lze partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı naj´ıt nˇekolika zp˚usoby: •pomoc´ı neurˇcit´ych koeficient˚u, kdy odhadneme tvar ˇreˇsen´ı, •pomoc´ı Duhamelova principu, •pomoc´ı rozkladu f(x) do ˇrady vlastn´ıch funkc´ı Xn. Jestliˇze pravou stranu f lze rozvinout do ˇrady f(x) = PncnXn(x), potom ˇreˇsen´ı je d´ano vzorcem u0(x, t) = Pn cn λnXn(x). (b) Pokud vlastn´ı funkce Xnnelze urˇcit analyticky, jejich numerick´e ˇreˇsen´ı je stejnˇe obt´ıˇzn´e jako ˇreˇsit p˚uvodn´ı ´ulohu numericky, a t´ım pouˇzit´ı metody ˇrad ztr´ac´ı smysl. 116 6.4 V´ıcerozmˇern´e pˇr´ıpady 6.4 V´ıcerozmˇern´e pˇr´ıpady V n´asleduj´ıc´ıch ´uloh´ach se budeme zab´yvat odpov´ıdaj´ıc´ı Sturmovou-Liouvilleovou ´ulohou, ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy jen naˇcrtneme, dokonˇcen´ı v´ypoˇctu pˇrenech´ame ˇcten´aˇri. Jako pˇr´ıklad ˇreˇsme vlnovou rovnici na ˇctverci se sm´ıˇsen´ymi okrajov´ymi podm´ınkami na stran´ach ˇctverce. Vlnov´a rovnice na ˇctverci Na ˇctverci Ω = (0, π)×(0, π) ˇreˇsme rovnici kmit´an´ı tenk´e membr´any utt =uxx +uyy s okrajov´ymi podm´ınkami ∂u ∂n(0, y, t) = ∂u ∂n(π, y, t) = 0 , u(x, 0, t) = u(x, π, t)=0 a dvˇemi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami u(x, y, 0) = ϕ(x, y), ut(x, y, 0) = ψ(x, y). 0xπ y π Ω Obr. 52: Sm´ıˇsen´a ´uloha na ˇctverci ˇ Reˇsen´ı hled´ame ve tvaru ˇrady Pncnvns funkcemi vn, kter´e hled´ame ve tvaru se separovan´ymi promˇenn´ymi vn(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t). Dosazen´ım do rovnice a vydˇelen´ım XY T dost´av´ame rovnost T00 T=X00 X+Y00 Y. Protoˇze kaˇzd´y ˇclen z´avis´ı na jin´e promˇenn´e a rovnost m´a platit pro vˇsechna x, y, t, kaˇzd´y ˇclen je proto konstantn´ı T00 T=−λ , X00 X=−µ , Y00 Y=−ν , λ =µ+ν, odkud plynou tˇri rovnice T00 +λT = 0 , X00 +µX = 0 , Y 00 +νY = 0 , kter´e maj´ı obecn´a ˇreˇsen´ı ve tvaru kombinace funkc´ı sinus a kosinus. Z okrajov´e podm´ınky un(0, y, t) = un(π, y, t) = 0 , plyne podm´ınka X0(0) = X0(π) = 0 a standardn´ım postupem dost´av´ame Xm(x) = cos(mx), µm=m2m= 0,1,2,3,.... Podobnˇe z podm´ınky u(x, 0, t) = u(x, π, t) = 0 plyne Y(0) = Y(π) = 0 a d´ale Yn(y) = sin(ny), νn=n2n= 1,2,3, . . . Pro Tm´ame dvouindexovou posloupnost λmn =m2+n2a odpov´ıdaj´ıc´ı funkce Tmn Tmn(t) = amn cos t√m2+n2+bmn sin t√m2+n2, 117 6 Fourierova metoda ˇrad pomoc´ı kter´ych vyj´adˇr´ıme ˇreˇsen´ı u(x, y, t) = ∞ X m=0 ∞ X n=1 cos(mx) sin(ny)hamn cos t√m2+n2+bmn sin t√m2+n2i. Jednotliv´e funkce Xm(x) a Yn(y) jsou navz´ajem ortogon´aln´ı na (0, π). Nav´ıc tak´e dvojice sin(mx) cos(nx) a sin(kx) cos(`y) jsou ortogon´aln´ı na ˇctverci Ω pro m6=knebo n6=`. Pomoc´ı vzorce (6.7) m˚uˇzeme urˇcit koeficienty rozvojem poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek do Fourierovy ˇrady amn =4 π2Zπ 0Zπ 0 ϕ(x, y) cos(mx) sin(ny) dxdy, bmn =4 π2√m2+n2Zπ 0Zπ 0 ψ(x, y) cos(mx) sin(ny) dxdy.2 Pozn´ amky 6.13 (i) Konvergence ˇrady z´avis´ı zejm´ena na ”hladkosti“ funkc´ı v poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach. Obvykle je nutno br´at ˇreˇsen´ı v zobecnˇen´em smyslu, protoˇze ˇreˇsen´ı nem´a dvˇe spojit´e derivace vyˇzadovan´e definic´ı klasick´eho ˇreˇsen´ı. (ii) Rovnice ∆V+λV = 0 pro V(x, y) = X(x)Y(y) s uveden´ymi okrajov´ymi podm´ınkami je pˇr´ıkladem situace, kdy vlastn´ı ˇc´ıslo je v´ıcen´asobn´e, napˇr´ıklad λ12 =λ21 = 5 m´a dvˇe nez´avisl´e ortogon´aln´ı vlastn´ı funkce sin(x) cos(2y) a sin(2x) cos(y) . Rovnice na kart´ezsk´em souˇcinu interval˚u Podobnˇe jako na ˇctverci lze ˇreˇsit ´ulohu ∆V+λV = 0 na obd´eln´ıku (0, a)×(0, b) nebo kv´adru (0, a)×(0, b)×(0, c) v pˇr´ıpadˇe, ˇze na ˇz´adn´e stranˇe nebo stˇenˇe se nevyskytuj´ı podm´ınky r˚uzn´ych typ˚u. Napˇr´ıklad na stran´ach obd´eln´ıku (0, a)×(0, b) mohou b´yt podm´ınky V(0, y) = 0 = Vx(a, y) , Vy(x, 0) = 0 = V(x, b) = 0. V pˇr´ıpadˇe kv´adru (0, a)×(0, b)×(0, c) ˇreˇsen´ı V(x, y, z) hled´ame ve tvaru souˇcinu funkc´ı V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z). Laplaceova rovnice na kruhu Metodou ˇrad lze ˇreˇsit Laplaceovu rovnici na kruhu B≡B(0, r0) s Dirichletovou podm´ınkou na S=∂B ∆u= 0 v B , u =gna S t´ım, ˇze ´ulohu pˇrevedeme do pol´arn´ıch souˇradnic (r, ϕ) x1=rcos ϕ , x2=rsin ϕ, ve kter´ych kruh B(0, r0) v kart´ezsk´ych souˇradnic´ıch x1, x2pˇrejde na obd´eln´ık (0, r0)×(−π, π)v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch r, ϕ. Pˇri u(x1(r, ϕ), x2(r, ϕ)) = u∗(r, ϕ) rovnice ∆u= 0 v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch m´a tvar (12.10) 0x1 x2 x y r r0ϕ s−ϕ Obr. 53: ´ Uloha na kruhu 1 r ∂ ∂r r∂u∗ ∂r +1 r2 ∂2u∗ ∂ϕ2= 0 . 118 6.4 V´ıcerozmˇern´e pˇr´ıpady Rovnici dopln´ıme podm´ınkou u∗(r, −π) = u∗(r, π), kter´a zaruˇc´ı, ˇze funkce je periodick´a a okrajovou podm´ınkou u∗(r0, ϕ) = g∗(ϕ)na obvodu kruhu. ˇ Reˇsen´ı budeme hledat ve tvaru ˇrady funkc´ı typu v(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ). Dosad´ıme do rovnice, vyn´asob´ıme r2, vydˇel´ıme RΦ a obvyklou ´uvahou dost´av´ame dvˇe separovan´e rovnice pro R(r) a Φ(ϕ) r(rR0)0−λR = 0 ,Φ00 +λΦ = 0 . Obecn´e ˇreˇsen´ı druh´e rovnice je Φ(ϕ) = acos(µϕ) + bsin(µϕ), kde µ2=λ. Rovnici dopln´ıme podm´ınkou, ˇze ˇreˇsen´ı jsou v promˇenn´e ϕperiodick´a , tj. plat´ı Φ(π) = Φ(−π), Φ0(π)=Φ0(−π). Z podm´ınky plyne µn=n Φn(ϕ) = ancos(nϕ) + bnsin(nϕ), λn=n2, n = 0,1,2,3, . . . Pro n= 0 je λ0= 0 a jedinou vlastn´ı funkc´ı je Φ0(ϕ) = 1 . Pro n > 0 dostaneme vˇzdy dvojici vlastn´ıch funkc´ı cos nϕ, sin nϕ . Pˇristoup´ıme k ˇreˇsen´ı prvn´ı rovnice r2R00(r) + r R0(r)−n2R(r)=0. Je to Eulerova rovnice, jej´ıˇz ˇreˇsen´ı hled´ame ve tvaru R(r) = rα. Dosazen´ım dost´av´ame rovnici α2−n2= 0, kter´a d´av´a α=n, −na t´ım i obecn´e ˇreˇsen´ı R(r) = a rn+b r−n. ˇ Reˇsen´ı r−nm´a v bodˇe r= 0 singularitu, proto vezmeme Rn(r) = rn. Spoˇc´ıtali jsme u∗(r, ϕ) = a0+∞ X n=1 rn[ancos(nϕ) + bnsin(nϕ)] . Vyuˇzijeme nyn´ı okrajovou podm´ınku u∗(r0, ϕ) = g∗(ϕ), kter´a d´av´a a0+∞ X n=1 rn 0[ancos(nϕ) + bnsin(nϕ)] = g∗(ϕ). Konstanty an, bndostaneme rozvojem funkce g∗do Fourierovy ˇrady, viz (6.9) a0=1 2πZπ −π g∗(s) ds, an=1 πrn 0Zπ −π g∗(s) cos(ns) ds,bn=1 πrn 0Zπ −π g∗(s) sin(ns) ds n = 1,2,3, . . . ˇ Reˇsen´ı m˚uˇzeme dopoˇc´ıtat dosazen´ım koeficient˚u do vzorce pro ˇreˇsen´ı a seˇcten´ım t´eto ˇrady u∗(r, ϕ) = 1 πZπ −π g∗(s)"1 2+∞ X n=1 r r0n cos(ns) cos(nϕ) + sin(ns) sin(nϕ)#ds. Vyuˇzijeme vzorec pro rozd´ıl kosin˚u cos(ns) cos(nϕ) + sin(ns) sin(nϕ) = cos[n(s−ϕ)]. Pomoc´ı rovnosti cos(nα) = Re(eniα) = Re(eiα)n(Re je re´aln´a ˇc´ast) pˇrevedeme ˇradu na geometrickou s kvocientem q= 4ρeiα. Jelikoˇz |q|<1, ˇradu m˚uˇzeme seˇc´ıst pomoc´ı vzorce pro souˇcet geometrick´e ˇrady. Nejprve do ˇrady pˇrid´ame nult´y ˇclen a souˇcet uprav´ıme S≡1 2+∞ X n=1 ρncos(nα) = −1 2+∞ X n=0 ρncos(nα) = −1 2+∞ X n=0 ρnReeniα= 119 6 Fourierova metoda ˇrad =−1 2+Re"∞ X n=0 ρeiαn#=−1 2+Re1 1−ρe−iα. Abychom urˇcili re´alnou ˇc´ast druh´eho zlomku, rozˇs´ıˇr´ıme ho v´yrazem 1 −ρeiα, kter´y je komplexnˇe sdruˇzen´y ke jmenovateli. Souˇcet obou zlomk˚u d´av´a S=−1 2+1−ρcos α 1−2ρcos α+ρ2=−1+2ρcos α−ρ2+ 2 −2ρcos α 2(1 −2ρcos α+ρ2)=1−ρ2 2(1 −2ρcos α+ρ2). Dosad´ıme zpˇet do vzorce pro ˇreˇsen´ı α=s−ϕaρ=r/r0a zlomek rozˇs´ıˇr´ıme r2 0: u∗(r, ϕ) = 1 2πZπ −π r2 0−r2 r2 0−2r0rcos(s−ϕ) + r2g∗(s) ds. Dostali jsme Poisson˚uv vzorec, kter´y pˇrep´ıˇseme do kart´ezsk´ych souˇradnic. Integraˇcn´ı promˇennou (r0, s) oznaˇc´ıme v kart´ezsk´ych souˇradnic´ıch y, d´ale plat´ı ds=r0dSa ve jmenovateli podle kosinov´e vˇety plat´ı r2 0−2r0rcos(s−ϕ) + r2=|x−y|2. Dost´av´ame tak vzorec u(x) = 1 2πr0ZS r2 0−|x|2 |x−y|2g(y) dSy.(6.22) Kontroln´ı ot´azky 6 (a) Proˇc se metodˇe ˇr´ık´a metoda ˇrad, metoda separace promˇenn´ych, Fourierova metoda? (b) V jak´em tvaru hled´ame ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy? (c) Proˇc nelze metodu pˇr´ımo pouˇz´ıt na nehomogenn´ı ´ulohu, tj. rovnici s pravou stranou nebo nenulov´ymi okrajov´ymi podm´ınkami? (d) Jak nehomogenn´ı ´ulohu uprav´ıme, abychom ji mohli ˇreˇsit metodou ˇrad? (e) Co je to ´upln´a ortogon´aln´ı posloupnost? (f) Odvod’te vzorec pro v´ypoˇcet koeficient˚u Fourierovy ˇrady na intervalu (0, `) a (a, b). (g) Ovˇeˇrte, ˇze posloupnost sin(nx) je ortogon´aln´ı na (0, π) a spoˇc´ıtejte Rπ 0sin2(nx) dx. (h) Jak se pozn´a konvergence Fourierovy ˇrady podle rozv´ıjen´e funkce? Kdy konverguje stejnomˇernˇe a kdy jen bodovˇe? (i) Za jak´ych podm´ınek lze zamˇenit poˇrad´ı souˇctu ˇrady a integr´alu (Lebesgueova vˇeta)? (j) Jak se pozn´a konvergence Fourierovy ˇrady podle jej´ıch koeficient˚u? Kdy je souˇcet ˇrady funkce spojit´a, kdy m´a spojit´e derivace prvn´ıho, druh´eho ˇr´adu? (k) Jak konverguje ˇreˇsen´ı rovnice parabolick´e a rovnice hyperbolick´e? (l) Jak hladk´e je ˇreˇsen´ı rovnice parabolick´e a rovnice hyperbolick´e? (m) Co je to Sturmova-Liouvilleova ´uloha? (n) Na jak´ych mnoˇzin´ach Ω lze ˇreˇsit poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy metodou ˇrad? 120 6.4 V´ıcerozmˇern´e pˇr´ıpady Cviˇcen´ı 6.1 Metodou ˇrad spoˇc´ıtejte poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy pro rovnici veden´ı tepla v tyˇci formulovan´e ve Cviˇcen´ı 4.1. Cviˇcen´ı 6.2 Metodou ˇrad ˇreˇste poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy pro rovnici kmit´an´ı struny formulovan´e ve Cviˇcen´ı 4.2. Cviˇcen´ı 6.3 Naleznˇete ˇreˇsen´ı Sturmovy-Liouvilleovy ´ulohy ∆V+λV = 0 na obd´eln´ıku (0, a)×(0, b) s r˚uzn´ymi kombinacemi Dirichletovy a Neumannovy okrajov´e podm´ınky na jednotliv´ych stran´ach. Metodou ˇrad potom ˇreˇste odpov´ıdaj´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy pro rovnici veden´ı tepla, pˇr´ıpadnˇe vlnovou rovnici. Cviˇcen´ı 6.4 Naleznˇete ˇreˇsen´ı Sturmovy-Liouvilleovy ´ulohy ∆V+λV = 0 v prostoru R3na kv´adru (0, a)×(0, b)×(0, c) s r˚uzn´ymi kombinacemi Dirichletovy a Neumannovy okrajov´e podm´ınky na jednotliv´ych stˇen´ach. Metodou ˇrad potom ˇreˇste odpov´ıdaj´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı okrajov´e ´ulohy pro rovnici veden´ı tepla, pˇr´ıpadnˇe vlnovou rovnici. 121 7 Metoda integr´aln´ı transformace Tato konvoluce pˇri Fourierovˇe transformaci opˇet pˇrejde na souˇcin funkc´ı [ f∗g=b f·bg, coˇz vyuˇzijeme pˇri zpˇetn´e transformaci ˇreˇsen´ı bu. Oznaˇcme G(x, t) funkci takovou, ˇze jej´ı Fourier˚uv obraz je b G(ξ, t) = exp(−κ|ξ|2t). Funkci G(x, t) spoˇc´ıt´ame pomoc´ı inverzn´ı Fourierovy transformace G(x, t) = F−1e−κ|ξ|2t=1 (2π)NZRN e−κ|ξ|2tei (ξ,x) dξ. Protoˇze |ξ|2=Piξ2 i, plat´ı exp(−κ|ξ|2t) = exp(−κξ2 1t). . . exp(−κξ2 Nt). Podobnˇe rozep´ıˇseme na souˇcin ˇclen exp(i (ξ, x)) = exp(i ξ1x1)···exp(i ξNxN). Integr´al tak m˚uˇzeme rozepsat na souˇcin jednorozmˇern´ych integr´al˚u G(x, t) = 1 2πZR e−κξ2 1teiξ1x1dξ1··· 1 2πZR e−κξ2 NteiξNxNdξN, kter´e uˇz jsme spoˇc´ıtali v jednorozmˇern´em pˇr´ıpadˇe (7.9). Dost´av´ame tak G(x, t) = 1 2N(πκt)N/2exp −|x|2 4κt(7.20) a dosazen´ım pak vzorec pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy (7.13)–(7.14) u(x, t) = 1 2N(πκt)N/2ZRN ϕ(y) exp −|x−y|2 4κt dy .(7.21) Rovnice s pravou stranou Pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro rovnici s pravou stranou staˇc´ı naj´ıt ˇreˇsen´ı ´ulohy s homogenn´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou ut=κ∆u+f , u(x,0) = 0 .(7.22) Toto partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı spoˇc´ıt´ame pomoc´ı Duhamelova principu. Plat´ı u(x, t) = Zt 0 w(x, t, τ) dτ, kde w(x, t, τ) je ˇreˇsen´ım ´ulohy wt=κ∆ws podm´ınkou w(x, τ, τ) = f(x, τ). ˇ Reˇsen´ı wje d´ano vzorcem (7.21). Pro partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı ´ulohy (7.22) tak dost´av´ame vzorec u(x, t) = 1 2N(πκ)N/2Zt 0 1 (t−τ)N/2ZRN f(y, τ) exp −|x−y|2 4κ(t−τ)dy dτ.(7.23) Vlastnosti ˇreˇsen´ı ˇ Reˇsen´ı v´ıcerozmˇern´e ´ulohy m´a stejn´e vlastnosti jako ˇreˇsen´ı jednorozmˇern´e ´ulohy. Derivov´an´ım vzorce (7.21) vid´ıme, ˇze bez ohledu na hladkost poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky pro t > 0, ˇreˇsen´ı m´a spojit´e derivace vˇsech ˇr´ad˚u. V pˇr´ıpadˇe rovnice s pravou stranou hladkost ˇreˇsen´ı z´avis´ı na hladkosti prav´e strany. Podle vzorce (7.21) hodnota ˇreˇsen´ı u(x, t)z´avis´ı na poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce ϕpro hodnoty vcel´em prostoru RN. V pˇr´ıpadˇe nehomogenn´ı rovnice podle vzorce (7.23) ˇreˇsen´ı z´avis´ı na hodnot´ach prav´e strany f(y, τ) pro vˇsechna y ∈RNaτ∈(0, t), tj. na cel´e minulosti. Tak´e pozn´amka o nekoneˇcn´e rychlosti ˇs´ıˇren´ı impulsu z˚ust´av´a v platnosti. 128 7.3 Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace 7.3 Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace Kromˇe Fourierovy transformace, kter´a ”pracuje“ s promˇennou x∈R, pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy m˚uˇzeme pouˇz´ıt tak´e Laplaceovu transformaci, kter´a ”pracuje“ s promˇennou t∈(0,∞) a tak´e pˇrev´ad´ı derivace nezn´am´e na n´asobek polynomem. Pouˇzit´ı naznaˇc´ıme na stejn´em pˇr´ıkladˇe jako v pˇr´ıpadˇe Fourierovy transformace: ut=κuxx x∈Rt > 0, u(x, 0) = ϕ(x)x∈R, pˇriˇcemˇz opˇet pˇredpokl´ad´ame, ˇze ϕ(x) jde dostateˇcnˇe rychle k nule pro |x|→∞. Laplaceova transformace Laplaceova integr´aln´ı transformace pˇrev´ad´ı vzor f(t) definovan´y na R+na obraz e f(s) definovan´y tak´e na R+: L:f(t)7→ e f(s) = Z∞ 0 f(t) e−st dt. Pouˇzijme Laplaceovu transformaci na naˇsi ´ulohu. Derivace uxx na prav´e stranˇe pˇrejde na derivaci euxx, derivaci utna lev´e stranˇe pˇrevedeme pomoc´ı integrace po ˇc´astech eut(x, s)=Z∞ 0 ut(x, t) e−st dt=u(x, t) e−st∞ t=0−Z∞ 0 u(x, t) e−st(−s) dt=−u(x, 0) + seu(x, s). Derivace ∂/∂t tak pˇreˇsla na n´asobek s. Vyuˇzit´ım poˇc´ateˇcn´ım podm´ınky po ´upravˇe dost´av´ame obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu −κeuxx(x, s) + seu(x, s) = ϕ(x)x∈R, kde promˇenn´a s > 0 hraje roli parametru. D´ıky podm´ınce omezenosti ˇreˇsen´ı euna Rje ˇreˇsen´ı rovnice jednoznaˇcn´e. Poznamenejme, ˇze Laplaceova transformace konvoluci vzor˚u f∗gdefinovanou (f∗g)(t) = R∞ 0f(t−p)g(p) dptak´e pˇrev´ad´ı na souˇcin obraz˚u e f·eg. V´ıce o Laplaceovˇe transformaci a dalˇs´ı pˇr´ıklady lze nal´ezt napˇr. v [36],[40], [43]. Kontroln´ı ot´azky 7 (a) Pro jak´e funkce (definiˇcn´ı obor funkc´ı) je definov´ana Fourierova a Laplaceova transformace? Jakou funkci transformac´ı dostaneme? (b) Kter´a vlastnost Fourierovy transformace se vyuˇz´ıv´a k ˇreˇsen´ı PDR? (c) Jak pˇrev´ad´ı Fourierova transformace derivace funkce podle xat? (d) Jak lze vyuˇz´ıt Fourierovu transformaci pro ˇreˇsen´ı rovnice veden´ı tepla? (e) Co je to konvoluce funkc´ı a jak ji pˇrev´ad´ı Fourierova transformace? (f) Jak je definov´ana zpˇetn´a Fourierova transformace? (g) Jak se poˇc´ıt´a zpˇetn´a transformace funkce b G(ξ, t) = exp(−κξ2t)? (h) Jak je definov´ana Fourierova transformace v RN? (i) Jak se ˇreˇs´ı v´ıcerozmˇern´a rovnice veden´ı tepla? 129 8Metoda Greenovy funkce Metodu Greenovy funkce lze pouˇz´ıt pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ıch a okrajov´ych line´arn´ıch rovnic. Podstatu metody uk´aˇzeme na jednorozmˇern´em pˇr´ıkladu. Potom odvod´ıme Greenovu funkci pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na omezen´e i neomezen´e oblasti. Podstata metody Metoda Greenovy funkce je zaloˇzena na principu skl´ad´an´ı ˇreˇsen´ı line´arn´ı ´ulohy. Uvaˇzujme napˇr´ıklad rovnici L(u) = fna intervalu I= (a, b) s line´arn´ım diferenci´aln´ım oper´atorem L(napˇr´ıklad L(u) = u00) a homogenn´ımi okrajov´ymi podm´ınkami u(a) = 0 a u(b) = 0. Princip superpozice lze formulovat takto: Jestliˇze uije ˇreˇsen´ım L(u) = fi, potom Piciuije ˇreˇsen´ım rovnice L(u) = Picifi. Tuto vlastnost vyuˇzijeme. Zvol´ıme b´azi {ϕi}ipro prav´e strany fa spoˇc´ıt´ame pˇr´ısluˇsn´a ˇreˇsen´ı Girovnice L(Gi) = ϕi. Potom pro pravou stranu f, kter´a je line´arn´ı kombinac´ı funkc´ı f(x) = Piciϕi(x), stejn´a kombinace funkc´ı Gid´av´a ˇreˇsen´ı u(x) = PiciGi(x). V uveden´em pˇr´ıkladu jsme uvaˇzovali koneˇcnou (pˇr´ıpadnˇe spoˇcetnou) b´azi ϕi. V pˇr´ıpadˇe Greenov´ych funkc´ı pouˇzijeme v jist´em smyslu ”nespoˇcetnou b´azi“ – syst´em zobecnˇen´ych funkc´ı {δ(y)(x)}y∈I, kter´e se naz´yvaj´ı Diracovy distribuce. Funkci fpak m˚uˇzeme napsat jako ”nespoˇcetnou kombinaci“ funkc´ı δ(y)ve formˇe integr´alu (kter´y je vlastnˇe ”nespoˇcetn´ym souˇctem“) – integr´al je tu ch´ap´an v zobecnˇen´em smyslu f(x) = Zb a f(y)δ(y)(x) dy. Najdeme-li ˇreˇsen´ı G(y)(x) rovnice L(u) = δ(y)s pˇr´ısluˇsn´ymi okrajov´ymi podm´ınkami, potom d´ıky principu skl´ad´an´ı ˇreˇsen´ı line´arn´ıch ´uloh ˇreˇsen´ı p˚uvodn´ı rovnice je d´ano vztahem u(x) = Zb a f(y)G(y)(x) dy. Aplikaci t´eto myˇslenky pˇredvedeme na jednorozmˇern´em pˇr´ıkladˇe. Greenova funkce pro obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici Uvaˇzujme ´ulohu u00 =f , x ∈I= (a, b), u(a) = 0 , u(b)=0. Pˇr´ısluˇsn´a Greenova funkce G(y)s parametrem (y) bude ˇreˇsen´ım ´ulohy G00 (y)=δ(y), x ∈I= (a, b), G(y)(a) = 0, G(y)(b) = 0 se zobecnˇenou funkc´ı δ(y)(x), kterou lze ch´apat jako zobecnˇenou derivaci po ˇc´astech konstantn´ı funkce h(y)(x) se skokem 1 v bodˇe x=yse zat´ım neurˇcenou konstantou k: h(y)(x) = k , x ∈(a, y) k+ 1 , x ∈(y, b). Integrac´ı rovnice G00 =δ(y)dost´av´ame vztah G0 (y)=h(y), konstanta kvyjde z okrajov´ych podm´ınek. Funkce G(y)m´a m´ıt v bodˇe x=yjednotkov´y skok v derivaci a splˇnovat 130 8.1 Pomocn´e v´ysledky G(y)(a) = 0 , G(y)(b) = 0. Snadno lze spoˇc´ıtat, ˇze uveden´ym poˇzadavk˚um vyhovuje funkce G(y)(x) =      −b−y b−a(x−a)x∈(a, y], −y−a b−a(b−x)x∈(y, b). ˇ Reˇsen´ı p˚uvodn´ı rovnice je potom d´ano vzorcem u(x) = Zb a f(y)G(y)(x) dy. Uvaˇzujeme-li nav´ıc nenulov´e okrajov´e podm´ınky u(a) = Aau(b) = Bm˚uˇzeme pro okrajovou podm´ınku v bodˇe azav´est Greenovu funkci Gapoˇzadavky G00 a(x) = 0, Ga(a) = 1, Ga(b) = 0. Podobnˇe lze poˇzadavky G00 b(x) = 0, Gb(a) = 0, Gb(b) = 1 zav´est Greenovu funkci Gbpro podm´ınku v bodˇe b. V´ypoˇcet d´av´a Ga(x) = b−x b−a, Gb(x) = x−a b−a. ˇ Reˇsen´ı rovnice u00 =fs okrajov´ymi podm´ınkami u(a) = Aau(b) = Bje potom u(x) = Zb a f(y)G(y)(x) dy+A Ga(x) + B Gb(x). Pozn´amka o Greenovˇe funkci pro parabolickou rovnici V pˇredchoz´ı kapitole jsme odvodili vzorec pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro parabolickou rovnici na pˇr´ımce. V´ysledek m˚uˇzeme interpretovat pomoc´ı pojmu Greenovy funkce. Ve vzorci pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy je Greenova funkce G(y)(x, t) ˇreˇsen´ım rovnice (7.1) s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou G(y)(x, 0) = δ(y)(x) . ˇ Reˇsen´ı t´eto ´ulohy lze vyj´adˇrit ve tvaru u(x, t) = ZR ϕ(y)G(y)(x, t) dy. Porovn´an´ım s odvozen´ym vzorcem (7.10) dostaneme konkr´etn´ı tvar Greenovy funkce pro danou rovnici a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku G(y)(x, t) = 1 2√πκt exp −(y−x)2 4κt . Podobnˇe ze vzorce (7.12) dost´av´ame Greenovu funkci G(y,τ)(x, t) pro v´ypoˇcet ˇreˇsen´ı rovnice s pravou stranu. V dalˇs´ım se budeme zab´yvat Greenovou metodou pro eliptick´e rovnice v dimenzi N≥ 2. Nejprve uvedeme nˇekolik pomocn´ych v´ysledk˚u, kter´e budeme potˇrebovat k odvozen´ı Greenovy funkce a vzorce pro ˇreˇsen´ı eliptick´e rovnice. 8.1 Pomocn´e v´ysledky Budeme se zab´yvat rovnic´ı Laplaceovou ∆u= 0 a Poissonovou ∆u=fna omezen´e oblasti Ω v RNpro N= 3, pˇr´ıpadnˇe N= 2. V´ysledky v dimenzi N≥4 jsou analogick´e pˇr´ıpadu N= 3, maj´ı vˇsak sp´ıˇse teoretick´y v´yznam. V´ysledky v dimenzi N= 2 jsou trochu odliˇsn´e. Zaˇcneme nˇekolika pomocn´ymi v´ysledky. 131 8 Metoda Greenovy funkce Element´arn´ı ˇreˇsen´ı Laplaceovy rovnice Hled´ame nenulov´e ˇreˇsen´ı Laplaceovy rovnice ∆u= 0 v RN−{0}, tj. v cel´em prostoru kromˇe jedin´eho bodu x = 0. Nav´ıc hled´ame ˇreˇsen´ı symetrick´e, tj. u(x) = u(y) jestliˇze, |x|=|y|. Hled´ame tedy ˇreˇsen´ı typu u(x) = v(|x|), kde v(r) je funkce definovan´a na (0,∞) . Pˇrepiˇsme rovnici ∆u= 0 pro funkci v(x). Spoˇc´ıtejme proto derivace funkce u(x) = v(|x|), kde |x|=px2 1+···+x2 N=r ∂u ∂xi (x) = v0(|x|)∂|x| ∂xi =v0(|x|)1 2 2xi px2 1+···+x2 N =v0(|x|)xi |x|, ∂2u ∂x2 i (|x|) = v00(|x|)x2 i |x|2+v0(|x|)1 |x|−x2 i |x|3, ∆u(x) = v00(|x|)X i x2 i |x|2+v0(|x|)X i1 |x|−x2 i |x|3. Protoˇze Pix2 i=|x|2aPi1 = Ndost´av´ame ∆u(x) = v00(|x|) + v0(|x|)N−1 |x|. Hled´ame ˇreˇsen´ı rovnice v00(r) + N−1 rv0(r) = 0, kter´a m´a konstantn´ı ˇreˇsen´ı v(r) = c0∈R. Substituc´ı w=v0a dˇelen´ım rovnice wdost´av´ame w0 w=−N−1 r, odkud integrac´ı z´ısk´ame ln|w|=−(N−1)ln|r|+ ln c, tedy ˇreˇsen´ı w(r) = c r−(N−1) , c ∈R. Dalˇs´ı integrac´ı uˇz dost´av´ame odliˇsn´e v´ysledky pro N= 2 a N≥3. V rovinn´em pˇr´ıpadˇe N= 2 m´ame v(r) = ln(1/r), pro N≥3 je to v(r)=1/rN−2, speci´alnˇe pro N= 3 je v(r)=1/r. Integraˇcn´ı konstanty jsme volili tak, aby oba vzorce mˇely podobn´y tvar. Dost´av´ame tak nekonstantn´ı element´arn´ı ˇreˇsen´ı Laplaceovy rovnice se singularitou v bodˇe x0= 0 u(x) = ln 1 |x|pro N= 2 ,u(x) = 1 |x|N−2pro N≥3. Pozn´ amky 8.1 Pro |x| → 0 hodnoty u(x) jdou do nekoneˇcna ve vˇsech dimenz´ıch N. Limita v nekoneˇcnu |x|→∞je rozd´ıln´a: pˇr´ıpadˇe N= 2 plat´ı u(x) → −∞, v ostatn´ıch pˇr´ıpadech N≥3 plat´ı u(x) →0. Ve vˇsech pˇr´ıpadech ˇreˇsen´ı u(x) maj´ı derivace vˇsech ˇr´ad˚u v cel´em prostoru mimo poˇc´atku, tj. v RN\{0}. Zamˇen´ıme promˇennou x za y a posunut´ım o x dostaneme vzorec pro element´arn´ı ˇreˇsen´ı Laplaceovy rovnice se singularitou v bodˇe x, kter´e d´ıky symetrii x,ym´ısto v(x)(y) m˚uˇzeme oznaˇcovat symbolem v(x,y) v(x)(y) = v(x,y) =                ln 1 |x−y|pro N= 2 , 1 |x−y|pro N= 3 , 1 |x−y|N−2pro N≥3. (8.1) Pro kaˇzd´e x je v(x,y) jako funkce y definov´ana na RN\{x}a splˇnuje ∆yv(x,y) = 0. 132 8.1 Pomocn´e v´ysledky Greenovy identity Uvaˇzujme omezenou oblast Ω v RNs”rozumnou“ hranic´ı, tj. takovou hranic´ı, aby n´asleduj´ıc´ı Gauss˚uv–Ostrogradsk´eho vzorec mˇel smysl ZΩ ∂F ∂xi dx = Z∂Ω F nidS. Pokud za Fdosad´ıme souˇcin fg, po derivov´an´ı a pˇreveden´ı jednoho ˇclenu na druhou stranu dostaneme vzorec pro ”integraci po ˇc´astech“ (per partes) v prostoru ZΩ ∂f ∂xi gdx = Z∂Ω f g nidS−ZΩ f∂g ∂xi dx . D´ale dosad´ıme f:= ∂u ∂xi,g:= v ZΩ ∂2u ∂x2 i vdx = Z∂Ω ∂u ∂xi v nidS−ZΩ ∂u ∂xi ∂v ∂xi dx a seˇcten´ım Pidost´av´ame prvn´ı Greenovu identitu s Laplaceov´ym oper´atorem ∆, derivac´ı podle norm´aly un=Pi ∂u ∂xinia skal´arn´ım souˇcinem gradient˚u (∇u , ∇v) = Piuxivxi Vˇ eta 8.2 Prvn´ ı Greenova identita ZΩ ∆u v dx = Z∂Ω ∂u ∂n vdS−ZΩ (∇u, ∇v) dx .(8.2) Z´amˇenou uavv t´eto identitˇe funkce dost´av´ame ZΩ u∆vdx = Z∂Ω u∂v ∂n dS−ZΩ (∇u, ∇v) dx . Posledn´ı rovnost odeˇcteme od (8.2). Souˇcin gradient˚u se navz´ajem odeˇcte a dost´av´ame druhou Greenovu identitu Vˇ eta 8.3 Druh´ a Greenova identita ZΩ (∆u v −u∆v) dx = Z∂Ω∂u ∂n v−u∂v ∂ndS.(8.3) Tyto identity plat´ı pro funkce u, v ∈C2Ω, na omezen´e oblasti Ω s ”rozumnou“ (napˇr´ıklad po ˇc´astech hladkou) hranic´ı. Pˇredpoklady hladkosti funkc´ı f, g i oblasti Ω lze zeslabit, zobecnˇen´ı jde vˇsak mimo r´amec tohoto textu. Z´akladem vzorce pro ˇreˇsen´ı rovnic je n´asleduj´ıc´ı vˇeta: Vˇ eta 8.4 (Lemma o tˇ rech potenci´ alech) Bud’Ω omezen´a oblast v RNs”rozumnou hranic´ı“ a ulibovoln´a C2-diferencovateln´a funkce na oblasti obsahuj´ıc´ı Ω. Potom hodnotu funkce uv libovoln´em vnitˇrn´ım bodˇe x ∈Ω lze vyj´adˇrit u(x) = 1 cNZ∂Ω∂u ∂n(y) v(x,y) −u(y) ∂v ∂ny (x,y)dSy−1 cNZΩ ∆u(y)v(x,y) dy, kde funkce v(x,y) je element´arn´ı ˇreˇsen´ı Laplaceovy rovnice (8.1). Konstanta c2= 2π, c3= 4πa pro N≥4 je cN=κN(N−2) , kde κNje obsah jednotkov´e sf´ery v RN. 133 8 Metoda Greenovy funkce Pozn´ amky 8.5 (a) Vzorec pro konstantu cN=κN(N−2) plat´ı i pro N= 3. (b) V posledn´ım vzorci jsme pouˇzili index y u symbolu derivace podle norm´aly funkce v(x,y), abychom u funkce dvou promˇenn´ych zpˇresnili, podle kter´e promˇenn´e derivujeme ∂v ∂ny (x,y) = X i ∂v ∂yi (x,y) ni(y) ,∆yv(x,y) = ∂2v ∂y2 1 (x,y) + ···+∂2v ∂y2 N (x,y) . Podobnˇe index y u dSoznaˇcuje, podle kter´e promˇenn´e se integruje. Pokud nebude hrozit z´amˇena, tento index vynech´ame. (c) Proˇc se tvrzen´ı naz´yv´a Lemma o tˇrech potenci´alech? V prostoru R3uvaˇzujme elektrostatick´e pole zp˚usoben´e bodov´ym n´abojem Qv bodˇe y. Toto pole lze popsat funkc´ı ϕ(x) zvan´e potenci´al. Je to pr´ace, kterou je nutno vynaloˇzit na pˇrem´ıstˇen´ı jednotkov´eho n´aboje z nekoneˇcna do bodu x. N´aboj Qv y p˚usob´ı na n´aboj qv bodˇe x silou o velikosti |F|=kQq |x−y|2, kde kje fyzik´aln´ı konstanta. Pro q= 1 integrac´ı z´ısk´ame vztah pro potenci´al ϕ(x) = kQ |x−y|=k Q v(x,y) . Potenci´al v´ıce bod˚u yiz´ısk´ame souˇctem potenci´al˚u jednotliv´ych bod˚u. Potenci´al n´aboje rozloˇzen´eho s objemovou hustotou ρv objemu Ω vyj´adˇr´ıme integr´alem χ(x) = kZΩ ρ(y) |x−y|dy = kZΩ ρ(y) v(x,y) dy ,(8.4) kter´y naz´yv´ame objemov´ym potenci´alem. Podobnˇe potenci´al n´aboje rozloˇzen´eho s ploˇsnou hustotou µna ploˇse Spak vyj´adˇr´ıme integr´alem ϕ(x) = kZS µ(y) |x−y|dSy=kZS µ(y)v(x,y) dSy,(8.5) kter´y naz´yv´ame potenci´alem jednoduch´e vrstvy. Koneˇcnˇe v pˇr´ıpadˇe kondenz´atoru jsou opaˇcn´e n´aboje rozloˇzen´e na opaˇcn´ych stran´ach plochy Ss ploˇsnou hustotou ν. Potenci´al spoˇc´ıt´ame integrac´ı derivace funkce v(x,y) podle norm´aly k ploˇse S ψ(x) = kZS ν(y) ∂ ∂ny1 |x−y|dSy=kZS ν(y)∂v(x,y) ∂ny dSy.(8.6) Tato funkce se naz´yv´a potenci´alem dvojit´e vrstvy nebo dvojvrstvy. Ve tvrzen´ı lemmatu se vyskytuj´ı vˇsechny tˇri uveden´e potenci´aly, odtud tento n´azev. D˚ukaz Lemmatu o tˇrech potenci´alech D˚ukaz provedeme pro N= 3 a pro N= 2. V pˇr´ıpadˇe N= 3 lze d˚ukaz snadno zobecnit pro pˇr´ıpad N≥3. Vyjdeme z druh´e Greenovy identity s integrov´an´ım podle y pro funkce u(y) a v(x,y) ZΩε (∆u v −u∆yv) dy = Z∂Ωε∂u ∂n v−u∂v ∂ndSy. 134 8.1 Pomocn´e v´ysledky Protoˇze v(x,y) m´a singularitu v bodˇe y = x , identita neplat´ı pro celou oblast Ω ale pouze pro oblast bez bodu x, tj. pro oblast Ωε= Ω −B(x, ε), kter´a vznikla z Ω vyˇrez´an´ım mal´e koule B(x, ε) tak, aby cel´a leˇzela uvnitˇr Ω. Povrch oblasti ∂Ωεse skl´ad´a ze dvou ˇc´ast´ı ∂Ω , S(x, ε). Integr´al pˇres ∂Ωεrozep´ıˇseme na dva integr´aly, u druh´eho zmˇen´ıme znam´enko, protoˇze norm´ala na S(x, ε) vzhledem k ∂Ωεje orientov´ana dovnitˇr, tj. opaˇcnˇe neˇz obvykl´a norm´ala vzhledem k B(x, ε). Integr´al pˇres Ωε pˇrep´ıˇseme jako rozd´ıl integr´alu pˇres Ω a integr´alu pˇres B(x, ε) – pˇredpokl´ad´ame, ˇze oba integr´aly jsou koneˇcn´e. Protoˇze ∆v= 0 v Ωε, dost´av´ame rovnost Ωε x S(x, ε) Obr. 55: Norm´ala na oblasti Ωε ZΩ ∆u v dy −I1(ε) = Z∂Ω∂u ∂n v−u∂v ∂ndSy−I2(ε) + I3(ε),(8.7) kde I1(ε) = ZB(x,ε) ∆u v dy , I2(ε) = ZS(x,ε) ∂u ∂n vdSy, I3(ε) = ZS(x,ε) u∂v ∂n dSy. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze funkce uje v Ω tˇr´ıdy C2, jej´ı druh´e derivace jsou proto omezen´e. V rovnosti (8.7) chceme pˇrej´ıt k limitˇe pro ε→0+. Prvn´ı integr´al odhadneme |I1(ε)|=ZB(x,ε) ∆u v dy≤max B(x,ε)|∆u|ZB(x,ε) v(x,y) dy . Spoˇc´ıtejme integr´al v odhadu. V pˇr´ıpadˇe dimenze N= 3 plat´ı ZB(x,ε) v(x,y) dy = Zε 0ZS(x,r) 1 rdSydr=Zε 0 4πr2·1 rdr=Zε 0 4πr dr= 2πε2. Podobnˇe v pˇr´ıpadˇe N= 2 v´ypoˇcet metodou per-partes se vztahem ln(1 r) = −ln rd´av´a ZB(x,ε) v(x,y) dy = Zε 0ZS(x,r) ln1 rdSy dr=−2πZε 0 rlnrdr=πε21 2−ln ε. V obou pˇr´ıpadech pro ε→0+ integr´al konverguje k nule. Proto limε→0+ I1(ε)=0. Podobnˇe druh´y integr´al konverguje k nule, protoˇze |I2(ε)| ≤ max S(x,ε) ∂u ∂nZS(x,ε) v(x,y) dSy a v pˇr´ıpadˇe dimenze N= 3 ZS(x,ε) v(x,y) dSy= 4π ε21 ε= 4π ε →0 135 8 Metoda Greenovy funkce a podobnˇe v pˇr´ıpadˇe dimenze N= 2 ZS(x,ε) v(x,y) dSy= 2 π ε ln1 ε→0. Rozepiˇsme posledn´ı tˇret´ı integr´al na dva integr´aly I3(ε) = u(x) ZS(x,ε) ∂v ∂ny dSy+ZS(x,ε) [u(y) −u(x)] ∂v ∂ny dSy(8.8) a spoˇc´ıtejme nejprve integr´al bez funkce u. V pˇr´ıpadˇe N= 3 plat´ı J=ZS(x,ε) ∂v ∂ny dSy=ZS(x,ε)−1 r2dSy=−4π=−c3. Podobnˇe v pˇr´ıpadˇe N= 2 plat´ı J=−2π=−c2. Druh´y ˇclen v (8.8) jde k nule, protoˇze ho m˚uˇzeme odhadnout souˇcinem integr´alu |J|a maximem pˇres B(x, ε) rozd´ılu |u(x) −u(y)|, kter´y konverguje k nule pro ε→0+ d´ıky spojitosti funkce u. Proto I3(ε)→ −cNu(x) . Pˇrejdeme-li v (8.7) k limitˇe ε→0+ , dost´av´ame ZΩ ∆u v dy = Z∂Ω∂u ∂n v−u∂v ∂nydSy−cNu(x) , odkud plyne dokazovan´a rovnost. 2 8.2 ˇ Reˇsen´ı okrajov´ych ´uloh Budeme se zab´yvat okrajovou ´ulohou pro Poissonovu rovnici ∆u=fna omezen´e oblasti Ω s ”rozumnou“ hranic´ı. Pod´ıvejme se na identitu z Lemmatu o tˇrech potenci´alech u(x) = 1 cNZ∂Ω∂u ∂n v−u∂v ∂nydS−1 cNZΩ ∆u v dy .(8.9) Hodnotu ˇreˇsen´ı uv libovoln´em bodˇe x lze vyj´adˇrit pomoc´ı hodnoty ∆u, kterou zn´ame z rovnice, a hodnot nebo derivac´ı na okraji ∂Ω. Z okrajov´ych podm´ınek zn´ame bud’ hodnotu nebo derivaci ˇreˇsen´ı, pˇr´ıpadnˇe jejich kombinaci (Robinova podm´ınka). Proto tuto identitu trochu uprav´ıme. Bud’h(x,y) diferencovateln´a funkce na Ω splˇnuj´ıc´ı rovnici ∆yh= 0. Druhou Greenovu identitu pro ˇreˇsen´ı u(y) a funkci h(x,y) pˇrep´ıˇseme ve tvaru 0 = Z∂Ω∂u ∂n h−u∂h ∂nydSy−ZΩ ∆u h dy . 136 8.2 ˇ Reˇsen´ı okrajov´ych ´uloh Rovnost dˇel´ıme cNa seˇcteme s identitou (8.9). Dost´av´ame tak vzorec u(x) = 1 cNZ∂Ω∂u ∂n (v+h)−u∂ ∂ny (v+h)dS−1 cNZΩ ∆yu(v+h) dy ,(8.10) kter´y plat´ı pro libovolnou diferencovatelnou funkci h(x,y), pro kterou ∆yh= 0. Funkce hz´avis´ı tak´e na x. Funkce G(x,y) = v(x,y) + h(x,y) se naz´yv´a Greenovou funkc´ı, ˇcasto se do n´ı zahrnuje i konstanta 1/cN. Dirichletova ´uloha Pro Poissonovu rovnici s Dirichletovou okrajovou podm´ınkou ∆u=fv Ω , u =gna ∂Ω(8.11) zvol´ıme pomocnou funkci h(x,y) splˇnuj´ıc´ı podm´ınku ∆yh= 0 tak, aby G(x,y) = v(x,y) + h(x,y) = 0 pro ∀y∈∂Ω. Potom z (8.10), d´ıky tomu, ˇze ∆u=fna Ω , v+h= 0 pro y ∈∂Ω a u=gna ∂Ω plyne vzorec pro ˇreˇsen´ı Dirichletovy ´ulohy (8.11) u(x) = −1 cNZ∂Ω g(y) ∂ ∂ny (v+h)(x,y) dSy−1 cNZΩ f(v+h)(x,y) dy .(8.12) Neumannova ´uloha V pˇr´ıpadˇe Poissonovy rovnice s Neumannovou okrajovou podm´ınkou ∆u=fv Ω ,∂u ∂n =gna ∂Ω(8.13) zvol´ıme pomocnou funkci h(x,y) splˇnuj´ıc´ı podm´ınku ∆yh= 0 tak, aby ∂ ∂ny G(x,y) ≡∂ ∂ny (v(x,y) + h(x,y)) = 0 pro y ∈∂Ω. Potom z (8.10) a (v+h)n= 0 , un=gna ∂Ω plyne vzorec pro ˇreˇsen´ı Neumannovy ´ulohy u(x) = 1 cNZ∂Ω g(y) (v+h)(x,y) dSy−1 cNZΩ f(v+h)(x,y) dy .(8.14) Robinova (Newtonova) ´uloha Podobnˇe v pˇr´ıpadˇe Poissonovy rovnice s Newtonovou okrajovou podm´ınkou ∆u=fv Ω ,∂u ∂n +αu =gna ∂Ω(8.15) zvol´ıme pomocnou funkci h(x,y) splˇnuj´ıc´ı podm´ınku ∆yh= 0 tak, aby splˇnovala tak´e odpov´ıdaj´ıc´ı homogenn´ı okrajovou podm´ınku ∂ ∂ny (v+h)(x,y) + α(v+h)(x,y) = 0 ,∀y∈∂Ω. Z posledn´ı rovnosti plyne (v+h)n=−α(v+h), dosazen´ım do vzorce (8.10) dost´av´ame ∂u ∂n (v+h)−u∂ ∂ny (v+h) = ∂u ∂n +αu(v+h). 137 9Principy maxima a jednoznaˇcnost ´uloh Podle principu maxima funkce splˇnuj´ıc´ı Laplaceovu rovnici na oblasti nem˚uˇze nab´yvat sv´eho maxima uvnitˇr t´eto oblasti (kromˇe pˇr´ıpadu konstantn´ı funkce); proto maximum funkce pˇres celou oblast lze odhadnout maximem pˇres hranici t´eto oblasti. Uveden´e vlastnosti se vyuˇz´ıv´a k odhad˚um ˇreˇsen´ı uvnitˇr oblasti a k d˚ukazu jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı. Zaˇcneme funkcemi splˇnuj´ıc´ımi Laplaceovu rovnici, kter´e se naz´yvaj´ı harmonick´e funkce. Tyto funkce maj´ı ˇradu zaj´ımav´ych vlastnost´ı, nˇekter´e z nich uvedeme. Budeme se zab´yvat jednoznaˇcnost´ı okrajov´ych ´uloh pro eliptick´e rovnice na omezen´e ineomezen´e oblasti. Na z´avˇer se pod´ıv´ame na princip maxima a jednoznaˇcnost pro parabolick´e rovnice. 9.1 Harmonick´e funkce na omezen´e oblasti Zaˇcneme definic´ı harmonick´e funkce na omezen´e oblasti, pro neomezenou oblast se pˇrid´a nav´ıc podm´ınka chov´an´ı funkce v nekoneˇcnu. Definice 9.1 Funkce utˇr´ıdy C2, kter´a splˇnuje Laplaceovu rovnici ∆u= 0 na omezen´e oblasti Ω, se naz´yv´a harmonickou funkc´ı na Ω. ˇ Reˇsen´ı Dirichletovy ´ulohy pro Laplaceovu rovnici na kouli d´av´a Poisson˚uv vzorec (8.20). Vezmˇeme funkci uharmonickou na oblasti Ω ⊂R3. Zvolme libovolnou kouli B(x0, r), kter´a (i se sv´ym uz´avˇerem) leˇz´ı uvnitˇr oblasti Ω. Funkce uz´uˇzen´a na B(x0, r) splˇnuje Laplaceovu rovnici na t´eto kouli a m˚uˇzeme pro ni pˇrepsat vzorec (8.20) u(x) = 1 4πr ZS(0,r) g(y)r2−|x|2 |x−y|3dSy s t´ım, ˇze funkci gv okrajov´e podm´ınce nahrad´ıme ˇreˇsen´ım ua|x|v ˇcitateli nahrad´ıme |x−x0|: u(x) = 1 4πr ZS(x0,r) u(y) r2−|x−x0|2 |x−y|3dSy x∈B(x0, r).(9.1) Tak´e v rovinn´em pˇr´ıpadˇe funkce harmonick´e v oblasti Ω ⊂R2m˚uˇzeme pˇrepsat vzorec (8.22) pro libovoln´y kruh B(x0, r), splˇnuj´ıc´ı podm´ınku B(x0, r)⊂Ω u(x) = 1 2πr ZS(x0,r) u(y)r2−|x−x0|2 |x−y|2dSyx∈B(x0, r).(9.2) Hladkost ˇreˇsen´ı eliptick´ych rovnic ˇ Reˇsen´ı Laplaceovy rovnice ∆u= 0 je harmonick´a funkce u. Pouˇzijeme-li vzorec (9.1) (pˇr´ıpadnˇe (9.2)) vid´ıme, ˇze v okol´ı bodu x0m˚uˇzeme hodnotu u(x) vyj´adˇrit ve tvaru konvoluce funkce ua funkce, kter´a m´a derivace vˇsech ˇr´ad˚u. Proto i ˇreˇsen´ı m´a spojit´e derivace vˇsech ˇr´ad˚u. ˇ Reˇsen´ı homogenn´ı eliptick´e rovnice je hladk´e i kdyˇz je okrajov´a podm´ınka jen spojit´a. Pro harmonick´e funkce proto plat´ı Lemma 9.2 Funkce harmonick´a v oblasti Ω m´a uvnitˇr Ω spojit´e derivace vˇsech ˇr´ad˚u. Poznamenejme, ˇze funkce harmonick´a v Ωna hranici ∂Ωnemus´ı b´yt hladk´a ani spojit´a, dokonce ani omezen´a. V pˇr´ıpadˇe rovnice s pravou stranou ∆u=fhladkost ˇreˇsen´ı uuvnitˇr oblasti Ω z´avis´ı na hladkosti prav´e strany f. 144 9.1 Harmonick´e funkce na omezen´e oblasti Vlastnosti pr˚umˇeru Uvaˇzujme funkci uharmonickou v oblasti Ω. Napiˇsme vzorec (9.1) pro x = x0. Protoˇze v tomto pˇr´ıpadˇe |x−y|=ra povrch sf´ery o polomˇeru rje 4πr2, dost´av´ame vztah u(x) = 1 |S(x, r)|ZS(x,r) u(y) dSy,(9.3) podle nˇejˇz hodnota funkce ve stˇredu koule je integr´aln´ım aritmetick´ym pr˚umˇerem hodnot funkce pˇres povrch pˇr´ısluˇsn´e koule. Jestliˇze pro danou funkci rovnost (9.3) plat´ı pro kaˇzdou kouli B(x, r)⊂Ω, ˇr´ık´ame, ˇze funkce splˇnuje podm´ınku povrchov´eho pr˚umˇeru na Ω. Pr˚umˇer pˇres sf´eru m˚uˇzeme nahradit pr˚umˇerem pˇres kouli u(x) = 1 |B(x, r)|ZB(x,r) u(y) dy (9.4) a t´ım z´ısk´ame dalˇs´ı pojem. ˇ Rekneme, ˇze funkce usplˇnuje podm´ınku objemov´eho pr˚umˇeru na Ω, jestliˇze pro kaˇzdou kouli B(x, r)⊂Ω plat´ı (9.4). Dok´aˇzeme, ˇze z podm´ınky povrchov´eho pr˚umˇeru plyne podm´ınka objemov´eho pr˚umˇeru. Necht ’usplˇnuje vlastnost (9.3) pro kaˇzdou kouli uvnitˇr Ω. Bud’B(x, r) libovoln´a koule v Ω. Integr´al pˇres B(x, r) rozep´ıˇseme pomoc´ı integr´al˚u pˇres sf´ery S(x, ρ), pˇriˇcemˇz pro kaˇzdou sf´eru vyuˇzijeme rovnost (9.3). Dost´av´ame tak ZB(x,r) u(y) dy = Zr 0ZS(x,ρ) u(y) dSdρ=u(x) Zr 0|S(x, ρ)|dρ=u(x)|B(x, t)|, odkud plyne (9.4). Plat´ı i obr´acen´a implikace. 2 Uveden´e pojmy m˚uˇzeme zav´est tak´e pro funkce na oblasti Ω v rovinˇe R2i prostoru dimenze N≥4. Vztah harmonick´e funkce a podm´ınek pr˚umˇeru m˚uˇzeme shrnout v tvrzen´ı: Vˇ eta 9.3 Bud’Ω omezen´a oblast v RN. Potom n´asleduj´ıc´ı vlastnosti jsou ekvivalentn´ı: (i) Funkce uje harmonick´a v oblasti Ω. (ii) Funkce uje tˇr´ıdy C2a splˇnuje podm´ınku povrchov´eho pr˚umˇeru na Ω, tj. pro kaˇzdou kouli B(x, r)⊂Ω plat´ı (9.3). (iii) Funkce uje tˇr´ıdy C2a splˇnuje podm´ınku objemov´eho pr˚umˇeru na Ω , tj. pro kaˇzdou kouli B(x, r)⊂Ω plat´ı (9.4). Pro harmonick´e funkce plat´ı n´asleduj´ıc´ı princip maxima: Vˇ eta 9.4 (Princip maxima) Bud’Ω omezen´a oblast, ufunkce harmonick´a v Ω a spojit´a na Ω. Potom plat´ı max Ω u≤max ∂Ωu.(9.5) Poznamenejme, ˇze z inkluze ∂Ω⊂Ω plyne nerovnost max∂Ωu≤maxΩu, a proto vztah (9.5) pˇrech´az´ı v rovnost. Zamˇen´ıme-li v nerovnosti ufunkc´ı −u, kter´a je tak´e harmonick´a, dost´av´ame ”princip minima“ minΩu≥min∂Ωu. 145 9 Principy maxima a jednoznaˇcnost ´uloh Vˇ eta 9.5 (D˚ usledek principu maxima) Bud’ufunkce harmonick´a na omezen´e oblasti Ω a spojit´a na Ω. Potom pro kaˇzd´y bod x ∈Ω plat´ı min ∂Ωu≤u(x) ≤max ∂Ωu . Vrat ’me se k principu maxima. Uvedeme jeho dva r˚uzn´e d˚ukazy. (i) D˚ukaz pomoc´ı vlastnosti pr˚umˇeru. Pˇredpokl´adejme opak, tj. maxΩu > max∂Ωu. Potom unab´yv´a sv´eho maxima M= maxΩuve vnitˇrn´ım bodˇe, kter´y oznaˇc´ıme x0∈Ω. Zaved’me funkci v(x) = u(x0)−u(x) = M−u(x). Protoˇze Mje maximum u, funkce vje nez´aporn´a na Ω, pˇriˇcemˇz v(x0) = 0. Vezmˇeme kouli B(x0, r0) takovou, ˇze B(x0, r0)⊂Ω. Z podm´ınky objemov´eho pr˚umˇeru plyne 0 = v(x0) = 1 |B(x0, r0)|ZB(x0,r0) v(x) dx . Na prav´e stranˇe je integr´al z nez´aporn´e funkci v, kter´y se rovn´a nule. Proto vje nula v cel´e kouli B(x0, r0). Podobnˇe pro libovoln´y bod x1∈B(x0, r0) m˚uˇzeme napsat podobn´y integr´al z nez´aporn´e funkce vpˇres nˇejakou kouli B(x1, r1), kter´a je i se sv´ym uz´avˇerem tak´e v Ω. Protoˇze v(x1) = 0, dost´av´ame v= 0 tak´e na B(x1, r1). Takto lze pokraˇcovat d´ale. Protoˇze Ω je otevˇren´a souvisl´a mnoˇzina, kaˇzd´y bod y ∈Ω m˚uˇzeme spojit s bodem x0” ˇretˇezcem“ koneˇcnˇe mnoha koul´ı B(xi, ri)⊂Ω takov´ych, ˇze xi+1 ∈B(xi, ri). Odtud plyne v(y) = 0. Proto v= 0 na Ω a uje konstantn´ı na Ω, coˇz je spor s pˇredpokladem maxΩu > max∂Ωu; tedy princip maxima plat´ı. 2 Dok´azali jsme dokonce silnˇejˇs´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 9.6 (Zes´ ılen´ y princip maxima) Bud’Ω omezen´a oblast a u(x) funkce harmonick´a na Ω. Jestliˇze unab´yv´a sv´eho suprema ve vnitˇrn´ım bodˇe Ω, potom uje konstantn´ı na cel´e oblasti Ω. (ii) Jin´y d˚ukaz principu maxima. Pˇredpokl´adejme, ˇze plat´ı obr´acen´a nerovnost: max Ω u=M > m = max ∂Ωu. Oblast Ω je omezen´a, proto m´a koneˇcn´y pr˚umˇer, existuje tedy bod x0∈Ω a ˇc´ıslo R > 0 takov´e, ˇze |x−x0|< R pro vˇsechny body x ∈Ω. Uvaˇzujme modifikovanou funkci v(x) = u(x) + (M−m) R2|x−x0|2. Protoˇze jsme pˇridali hodnotu menˇs´ı neˇz M−m, obr´acen´a nerovnost z˚ustala v platnosti maxΩv > max∂Ωva funkce vtak´e nab´yv´a sv´eho suprema ve vnitˇrn´ım bodˇe, kter´y oznaˇcme x1. Spoˇc´ıtejme ∆v. Protoˇze ∆u= 0 a ∆|x−x0|2= 2N, plat´ı ∆v= 0 + (M−m) R22N > 0. Laplace˚uv oper´ator ∆vje souˇcet druh´ych derivac´ı a ∆v > 0. Proto alespoˇn jedna druh´a derivace ∂2v/∂x2 ije tak´e kladn´a, coˇz plat´ı i v bodˇe x1a tento bod tedy nem˚uˇze b´yt bodem maxima. Dospˇeli jsme ke sporu, proto plat´ı nerovnost (9.5). 2 146 9.2 Okrajov´e ´ulohy na omezen´e oblasti Pozn´ amka 9.7 Zat´ımco Lemma o tˇrech potenci´alech a vzorce pro Greenovy funkce platily pro oblasti s hladkou hranic´ı, principy maxima (a tak´e principy minima) plat´ı pro harmonickou funkci a libovolnou omezenou oblast, bez ohledu na to, jakou m´a hranici. Principy maxima tak´e plat´ı pro omezen´e oblasti v prostoru libovoln´e dimenze N. Nahrad´ıme-li v nerovnosti maximum supremem, nerovnost plat´ı i pro funkce nespojit´e a neomezen´e na ∂Ω. 9.2 Okrajov´e ´ulohy na omezen´e oblasti Budeme se zab´yvat Poissonovou rovnic´ı ∆u=fna omezen´e oblasti Ω v RN. Pro jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı line´arn´ı okrajov´e ´ulohy staˇc´ı uk´azat, ˇze homogenn´ı rovnice ∆u= 0 s homogenn´ı okrajovou podm´ınkou m´a jen nulov´e ˇreˇsen´ı. Skuteˇcnˇe, bud’te u1,u2dvˇe ˇreˇsen´ı p˚uvodn´ı ´ulohy. Potom rozd´ıl u=u1−u2je ˇreˇsen´ım odpov´ıdaj´ıc´ı homogenn´ı ´ulohy. Pokud vˇsak tato ´uloha m´a pouze ˇreˇsen´ı u= 0, plat´ı u1=u2a ˇreˇsen´ı je jednoznaˇcn´e. K d˚ukazu vyuˇzijeme principu maxima a Greenovy identity. Vˇ eta 9.8 Dirichletova ´uloha ∆u=fv Ω , u =gna ∂Ω m´a nejv´yˇse jedno ˇreˇsen´ı. D˚ukaz. Podle pˇredchoz´ı pozn´amky staˇc´ı uk´azat, ˇze ´uloha ∆u= 0 v Ω a u= 0 na ∂Ω m´a jedin´e ˇreˇsen´ı u= 0. Podle D˚usledku principu maxima 9.5 plat´ı 0 = min ∂Ωu≤u(x) ≤max ∂Ωu= 0 x ∈Ω, odkud plyne u= 0 v Ω. 2 Vˇ eta 9.9 Neumannova ´uloha ∆u=fv Ω ,∂u ∂n =gna ∂Ω m´a ˇreˇsen´ı jednoznaˇcn´e aˇz na aditivn´ı konstantu, tj. rozd´ıl libovoln´ych dvou ˇreˇsen´ı je konstantn´ı funkce. Nav´ıc nutnou podm´ınkou existence ˇreˇsen´ı Neumannovy ´ulohy je soulad okrajov´e podm´ınky a prav´e strany ve smyslu rovnosti ZΩ ∆udx = Z∂Ω gdS . (9.6) D˚ukaz. Staˇc´ı uk´azat, ˇze ´uloha ∆u= 0 v Ω a un= 0 na ∂Ω m´a jen konstantn´ı ˇreˇsen´ı. Napiˇsme prvn´ı Greenovu identitu (8.2) pro v=u ZΩ u∆udx = Z∂Ω u∂u ∂n dS−ZΩ|∇u|2dx . Prvn´ı integr´al je nulov´y d´ıky ∆u= 0, druh´y kv˚uli un= 0 na ∂Ω. Proto i tˇret´ı integr´al je nulov´y. Protoˇze jeho integrand |∇u|2je nez´aporn´a funkce, plat´ı ∇u= 0 a ˇreˇsen´ı uje konstantn´ı funkce. 147 9 Principy maxima a jednoznaˇcnost ´uloh Zb´yv´a dok´azat (9.6). Gauss˚uv–Ostrogradsk´eho vzorec pro ∂u/∂xid´av´a Z∂Ω ∂u ∂xi nidS=ZΩ ∂2u ∂x2 i dx . Seˇcteme rovnost pˇres i, vyuˇzijeme Neumannovu okrajovou podm´ınku un=gna ∂Ω a rovnici ∆u=f. Dost´av´ame tak Z∂Ω gdS=Z∂Ω ∂u ∂n dS=ZΩ ∆udx = ZΩ fdx , odkud plyne nutn´a podm´ınka pro existenci ˇreˇsen´ı. 2 Pozn´ amka 9.10 Podm´ınka (9.6) m´a pˇrirozen´y fyzik´aln´ı v´yznam. Rovnici ∆u=flze interpretovat jako veden´ı tepla. Pˇritom RΩfdx je v´ykon vˇsech zdroj˚u tepla v tˇelese Ω. Integr´al R∂ΩgdSje celkov´y tepeln´y tok pˇres povrch ∂Ω ven z tˇelesa. Protoˇze uvaˇzujeme ust´alen´y stav, ze z´akona zachov´an´ı energie plyne, ˇze oba integr´aly se sobˇe rovnaj´ı. 9.3 Harmonick´e funkce na neomezen´e oblasti Za neomezenou oblast bereme doplnˇek uz´avˇeru omezen´e oblasti. Uvaˇzujme Dirichletovu ´ulohu pro Laplaceovu rovnici na vnˇejˇsku koule B(0,1) ∆u= 0 v Ω = RN−B(0,1) , u = 1 na S(0,1) . ´ Uloha m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. V prostoru dimenze N= 3 je to konstantn´ı funkce u(x) = 1, element´arn´ı ˇreˇsen´ı u(x) = 1 |x|a tak´e jejich konvexn´ı kombinace u(x) = λ+ (1 −λ)1 |x|λ∈R. ˇ Reˇsen´ı ´ulohy um˚uˇzeme interpretovat jako ust´alen´y stav veden´ı tepla ve vnˇejˇsku koule Ω = R3−B(0,1) s ”topn´ym tˇelesem“ S(0,1), na kter´em se udrˇzuje taplota u= 1. Protoˇze teplota je nez´aporn´a, zaj´ım´a n´as jen nez´aporn´e ˇreˇsen´ı. Vych´az´ıme-li z p˚uvodn´ıho stavu nulov´e teploty, fyzik´aln´ı smysl m´a nejmenˇs´ı kladn´e ˇreˇsen´ı , tj. u(x) = 1 |x|. Pro ˇreˇsen´ı Laplaceovy rovnice na neomezen´e oblasti dod´av´ame proto podm´ınku, ˇze pro x → ∞ hodnota |u(x)|kles´a k nule alespoˇn tak rychle jako 1 |x| |u(x)| ≤ k1 |x|pro |x|→∞. Tato podm´ınka zaruˇc´ı jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı. V pˇr´ıpadˇe rovnice v rovinˇe (N= 2) m´a ´uloha tak´e nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı u(x) = 1 + λln 1 |x|. Nejmenˇs´ı kladn´e ˇreˇsen´ı je vˇsak u(x) = 1. Proto v pˇr´ıpadˇe dimenze N= 2 na neomezen´e oblasti budeme hledat ˇreˇsen´ı omezen´e. V pˇr´ıpadˇe dimenze N > 3 nejmenˇs´ım kladn´ym ˇreˇsen´ım ´ulohy je element´arn´ı ˇreˇsen´ı u(x) = |x|2−Na podm´ınku zap´ıˇseme ve tvaru |u(x)| ≤ k1 |x|N−2pro |x|→∞ (9.7) s libovolnou konstantou k > 0, kter´a zahrnuje podm´ınku i v dimenzi N= 2,3. 148 9.3 Harmonick´e funkce na neomezen´e oblasti Pozn´amka o ” vyt´apˇen´ı vesm´ıru dimenze N“ Pˇredstavte si vesm´ır v jehoˇz stˇredu je jednotkov´a koule B(0,1), tj. Ω = RN\B(0,1), a rovnici ∆u= 0 na Ω = RN\B(0,1) doplnˇen´a okrajovou podm´ınkou u= 1 na sf´eˇre S(0,1). ´ Ulohu m˚uˇzeme interpretovat jako veden´ı tepla v prostoru vyt´apˇen´em koul´ı, kter´a m´a teplotu u(x) = 1 na sv´em povrchu – topn´e tˇeleso. ˇ Reˇsen´ı pˇredstavuje ust´alen´y stav teploty v ˇcase t→ ∞. Z fyzik´aln´ıho hlediska teplota je nez´aporn´a veliˇcina, hled´ame proto nejmenˇs´ı nez´aporn´e ˇreˇsen´ı splˇnuj´ıc´ı rovnici ∆u= 0 a okrajovou podm´ınku u= 1. Prostor dimenze N= 2.Kromˇe element´arn´ıho ˇreˇsen´ı u(x) = ln 1 |x|m´a rovnice konstantn´ı ˇreˇsen´ı u(x) = 1. Rovnici a okrajovou podm´ınku u= 1 splˇnuje nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı u(x) = kln 1 |x|+ 1, k∈R. Hled´ame vˇsak nez´aporn´e ˇreˇsen´ı. Nejmenˇs´ı nez´aporn´e ˇreˇsen´ı je u(x) = 1, protoˇze logaritmus jde do minus nekoneˇcna. Prostor dimenze N= 3.V tomto pˇr´ıpadˇe ˇreˇsen´ı rovnice a okrajov´e podm´ınky je u(x) = k1 |x|+(1−k), nejmenˇs´ı nez´apornou kombinac´ı je u(x)1 |x|. Podobn´y v´ysledek m´ame i v pˇr´ıpadˇe N > 4. Srovn´an´ı obou v´ysledk˚u potvrzuje speci´aln´ı roli dimenze N= 2: prostor dimenze N= 2 jeˇstˇe lze ”vytopit“, vesm´ır a prostor dimenze N≥3 jiˇz vytopit nelze. Definice harmonick´e funkce Definice 9.11 Bud’Ω neomezen´a oblast v RN. Funkci unazveme harmonickou na Ω, jestliˇze u∈C2(Ω), splˇnuje ∆u= 0 a pro |x|→∞podm´ınku (9.7) na Ω . Pˇripomeˇnme, ˇze funkce harmonick´a na Ω nemus´ı b´yt omezen´a. Napˇr´ıklad element´arn´ı ˇreˇsen´ı 1/|x|je harmonickou funkc´ı na R3−{0}a na kter´ekoliv oblasti Ω, kter´a neobsahuje poˇc´atek, je vˇsak funkce neomezen´a v pˇr´ıpadˇe 0 ∈∂Ω. Chov´an´ı harmonick´e funkce v nekoneˇcnu Uvaˇzujme funkci usplˇnuj´ıc´ı Laplaceovu rovnici na neomezen´e oblasti Ω, kter´a je doplˇnkem nˇejak´e oblasti omezen´e v R3. Potom funkce uje tak´e harmonick´a na doplˇnku nˇejak´e koule B(0, r). V pˇredchoz´ı kapitole jsme pro vnˇejˇsek koule odvodili vzorec (8.23), kter´ym vyjadˇrujeme hodnoty mimo kouli pomoc´ı hodnot na sf´eˇre S(0, r) u(x) = 1 4πr ZS(0,r) u(y) |x|2−r2 |x−y|3dSy.(9.8) Pro vzd´alen´e body x splˇnuj´ıc´ı |x|=Rz uveden´eho vzorce plyne odhad |u(x)| ≤ |S(0, r)| 4πr max S(0,r)|u|R2−r2 |R−r|3≤rmax S(0,r)|u|R2 (R−r)3≤const 1 R, coˇz vyhovuje podm´ınce (9.7). Funkce dan´a vzorcem (8.23) kles´a k nule pro |x|→∞, jak to vyˇzaduje definice harmonick´e funkce na neomezen´e oblasti Ω. Derivace harmonick´e funkce v nekoneˇcnu Derivace harmonick´e funkce je opˇet funkce harmonick´a. Vzorec (8.23) vyjadˇruje hodnotu ve tvaru integr´alu pˇres sf´eru S(0, r) souˇcinu funkce u(y) a hladk´eho j´adra F(x,y) u(x) = ZS(0,r) u(y)F(x,y) dy . 149 9 Principy maxima a jednoznaˇcnost ´uloh J´adro Fpro |x|→∞se asymptoticky chov´a jako |x|−1. Spoˇc´ıtejme derivace ∂u ∂xi =ZS(0,r) u(y) ∂ ∂xi F(x,y) dy ,Dαu=ZS(0,r) u(y) Dα(F(x,y)) dy . Ve vzorci pro derivace pro |x|→∞j´adro kles´a k nule rychleji F(x,y) ∼1 |x|,∂ ∂xi F(x,y) ∼1 |x|2,DαF(x,y) ∼1 |x|1+|α|, proto tak´e derivace harmonick´e funkce u(x) pro |x|→∞klesaj´ı k nule rychleji |u(x)| ≤ c1 |x|, ∂u ∂xi (x)≤c1 |x|2,|Dαu(x)| ≤ c1 |x|1+|α|.(9.9) Podobn´e vztahy plat´ı i v rovinˇe a prostorech dimenze N > 3. N´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı zahrnuje derivaci libovoln´eho ˇr´adu v prostoru libovoln´e dimenze Vˇ eta 9.12 Derivace Dαuharmonick´e funkce u(x) na neomezen´e oblasti splˇnuj´ı odhad |Dαu(x)| ≤ c1 |x|N−2+|α|pro |x| → ∞.(9.10) Poznamenejme, ˇze v rovinˇe funkce ln 1 |x|nen´ı harmonickou funkc´ı na R2−{0}, protoˇze nen´ı omezen´a pro x → ∞, jej´ı derivace vˇsak uˇz je omezen´a a je tedy harmonick´a. Korektnost odvozen´ı vzorce pro vnˇejˇsek koule Pˇri odvozov´an´ı vzorce (8.23) jsme vych´azeli z (8.12), pˇriˇcemˇz za ΩRjsme vzali ”mezikoul´ı“ B(0, R)−B(0, r). Hranice ∂ΩRse skl´ad´a ze dvou sf´er S(0, r) a S(0, R). Na prvn´ı sf´eˇre je hodnota ud´ana okrajovou podm´ınkou, o integr´alu pˇres druhou sf´eru I(R) = 1 4πZS(0,R) u(y) ∂ ∂n(v+h)(x,y) dS dok´aˇzeme, ˇze pro R→ ∞ konverguje k nule. Odhadnˇeme tento integr´al. Povrch sf´ery je 4πR2, hodnotu u(y) jako harmonickou funkci m˚uˇzeme odhadnout K1/R, funkce (v+h) pro pevn´e x je harmonick´a funkce v y a proto jej´ı derivaci lze odhadnout K2/R2. Integr´al pro R→ ∞ konverguje k nule, protoˇze |I(R)| ≤ 1 4π4πR2K1 1 R·K2 1 R2≤K1K2 1 R→0. 9.4 Okrajov´e ´ulohy na neomezen´e oblasti Na neomezen´e oblasti Ω, kter´a je doplˇnkem oblasti omezen´e, definujeme okrajov´e ´ulohy stejnˇe jako pro oblasti omezen´e, jen ´ulohu dopln´ıme podm´ınkou (9.7) o chov´an´ı ˇreˇsen´ı pro x→ ∞. Tato podm´ınka m´a tvar |u(x)| ≤ k1 |x|v pˇr´ıpadˇe N= 3 |u(x)| ≤ kv pˇr´ıpadˇe N= 2 pro |x|→∞,(9.11) kde kje konstanta, kter´a m˚uˇze b´yt jin´a pro kaˇzdou funkci. Poznamenejme, ˇze pro vyˇsˇs´ı dimenzi N > 3 se vyˇzaduje podm´ınka |u(x)| ≤ k|x|2−N. 150 9.5 Princip maxima pro parabolick´e rovnice Vˇ eta 9.13 Dirichletova i Neumannova ´uloha na neomezen´e oblasti Ω ∆u=fv Ω , u =gpˇr´ıpadnˇe ∂u ∂n =gna ∂Ω s podm´ınkou (9.11) m´a nejv´yˇse jedno ˇreˇsen´ı v pˇr´ıpadˇe dimenze 3 a ˇreˇsen´ı jednoznaˇcn´e aˇz na aditivn´ı konstantu v pˇr´ıpadˇe dimenze 2. D˚ukaz. Staˇc´ı uk´azat, ˇze ´uloha ∆u= 0 v Ω a u= 0 (pˇr´ıpadnˇe un= 0) na ∂Ω m´a jedin´e ˇreˇsen´ı u= 0 v pˇr´ıpadˇe N= 3, nebo konstantn´ı ˇreˇsen´ı v pˇr´ıpadˇe N= 2. Bud’N=3. Napiˇsme prvn´ı Greenovu identitu (8.2) pro v=una omezen´e oblasti ΩR= Ω ∩B(0, R). Pˇredpokl´ad´ame Rvelk´e tak, aby ∂ΩR=∂Ω∪S(0, R). Potom ZΩR u∆udx = Z∂Ω u∂u ∂n dS+ZS(0,R) u∂u ∂n dS−ZΩR|∇u|2dx . Prvn´ı integr´al je nulov´y d´ıky ∆u= 0, druh´y je nulov´y d´ıky Dirichletovˇe nebo Neumannovˇe okrajov´e podm´ınce na ∂Ω. Tˇret´ı integr´al pˇri R→ ∞ konverguje k nule d´ıky odhadu, kter´y vyuˇz´ıv´a Vˇetu 9.12 ZS(0,R) u∂u ∂n dS≤4πR2k1 1 Rk2 1 R2= const 1 R. Proto i posledn´ı ˇctvrt´y integr´al konverguje k nule. Protoˇze integrand |∇u|2je nez´aporn´a funkce, integr´al jako funkce Rje neklesaj´ıc´ı. Proto integrand |∇u|= 0 a funkce uje konstantn´ı. V pˇr´ıpadˇe N= 3 podm´ınka (9.11) pˇripust´ı jedinou konstantu u= 0. 2 9.5 Princip maxima pro parabolick´e rovnice Zkoumejme funkci splˇnuj´ıc´ı parabolickou rovnici ut=κ∆ux∈Ω, t ∈I, (9.12) kde κje kladn´a konstanta, Ω omezen´a oblast v RNaIinterval (0, T). Oznaˇcme V ˇcasoprostorov´y ”v´alec“a Σ ˇcasoprostorov´y ”hrnec“ (povrch v´alce bez horn´ı z´akladny) V= Ω ×(0, T),Σ = (Ω ×{0})∪(∂Ω×h0, Ti). Pro ´ulohu plat´ı n´asleduj´ıc´ı princip maxima: Vˇ eta 9.14 Bud’uˇreˇsen´ım rovnice (9.12). Potom plat´ı dmax V u≤max Σu . Vˇsimnˇete si, ˇze maximum ˇreˇsen´ı parabolick´e rovnice nem˚uˇze b´yt nejen uvnitˇr v´alce Ω×(0, T), ale ani na ”horn´ı podstavˇe“ Ω ×{T}. D˚ukaz. Tvrzen´ı dok´aˇzeme sporem podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe eliptick´e rovnice. Pˇredpokl´adejme, ˇze nerovnost neplat´ı. Potom plat´ı max V u=M > m = max Σu. Oblast Ω je omezen´a, zvol´ıme bod x0∈Ω a R > 0 takov´e, ˇze |x−x0|< R ve vˇsech bodech x ∈Ω. 151 9 Principy maxima a jednoznaˇcnost ´uloh Uvaˇzujme modifikovanou funkci v(x, t) = u(x, t) + (M−m) R2|x−x0|2. Podobnˇe jako v eliptick´em pˇr´ıpadˇe plat´ı ∆v= ∆u+ 2N(M−m)/R2. Vzhledem k tomu, ˇze jsme k funkci upˇridali hodnotu menˇs´ı neˇz M−m, funkce vsplˇnuje tak´e obr´acenou nerovnost supVv > supΣva nab´yv´a proto sv´eho maxima v bodˇe, kter´y je bud’uvnitˇr v´alce Vnebo na horn´ı podstavˇe Ω ×{T}. 0 x t T Σ Ω V (x1, t1) (x2, T) Obr. 59: K principu maxima Probereme oba pˇr´ıpady. V pˇr´ıpadˇe vnitˇrn´ıho bodu (x1, t1)∈V, pro derivaci podle tplat´ı vt=ut= 0. Rovnice d´av´a ∆u=ut= 0, odkud plyne ∆v > 0, coˇz vyluˇcuje, ˇze v tomto bodˇe je maximum. V pˇr´ıpadˇe bodu na horn´ı podstavˇe (x2, T) je ut≥0, odkud opˇet plyne ∆v > ∆u≥0, coˇz znovu vyluˇcuje, ˇze v tomto bodˇe je maximum. Doˇsli jsme ke sporu, proto plat´ı p˚uvodn´ı nerovnost supVv≤supΣv.2 Jednoznaˇcnost parabolick´ych ´uloh D˚usledkem dok´azan´eho principu maxima je nerovnost inf Σu≤u(x, t)≤sup Σ upro (x, t)∈V, kter´a plat´ı pro vˇsechny funkce splˇnuj´ıc´ı (9.12). Proto homogenn´ı ´uloha s u= 0 na Σ m´a jedin´e ˇreˇsen´ı u= 0 ve V. Odtud plyne tvrzen´ı o jednoznaˇcnosti: Vˇ eta 9.15 Okrajov´a poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro parabolickou rovnici ut= ∆u+fv Ω ×I=V, u =gna Σ m´a nejv´yˇse jedno ˇreˇsen´ı. Kontroln´ı ot´azky 9 (a) Co jsou to vlastnosti pr˚umˇeru? (b) Jak´y typ neomezen´e oblasti uvaˇzujeme? (c) Kdy je funkce harmonick´a na omezen´e a neomezen´e oblasti? (d) Ovˇeˇrte, ˇze line´arn´ı kombinace harmonick´ych funkc´ı je opˇet harmonick´a funkce. (e) Pˇri ortonorm´aln´ı transformaci souˇradnic (posunut´ı a otoˇcen´ı souˇradnic) funkce z˚ust´av´a harmonick´a. Ovˇeˇrte to v pˇr´ıpadˇe dimenze N= 2. (f) Jak zn´ı podm´ınka v nekoneˇcnu pro harmonickou funkci? (g) Kolik derivac´ı m´a harmonick´a funkce? 152 9.5 Princip maxima pro parabolick´e rovnice (h) Jak rychle kles´a harmonick´a funkce a derivace ˇr´adu kharmonick´e funkce na neomezen´e oblasti pˇri |x|→∞? (i) Pomoc´ı odhadu derivac´ı harmonick´e funkce v nekoneˇcnu na neomezen´e oblasti ovˇeˇrte limitn´ı pˇrechod pro R→ ∞ v Kapitole 8.3 pˇri odvozov´an´ı vzorce pro ˇreˇsen´ı Laplaceovy rovnice na poloprostoru a vnˇejˇsku koule. (j) ˇ C´ım se liˇs´ı formulace okrajov´ych ´uloh na omezen´e a neomezen´e oblasti? (k) Jak zn´ı princip maxima pro harmonick´e funkce? (l) Dokaˇzte princip maxima. (m) M˚uˇze m´ıt harmonick´a funkce maximum ve vnitˇrn´ım bodˇe? V jak´em pˇr´ıpadˇe? (n) Jak se dokazuje jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı line´arn´ıch ´uloh? (o) Jak zn´ı princip maxima pro funkce splˇnuj´ıc´ı parabolickou rovnici ut= ∆u? (p) Dokaˇzte tvrzen´ı vˇety 9.15 o jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı parabolick´e rovnice. 153