A tecnologia ao serviço do ensino da Física

A tecnologia ao serviço do ensino da Física J. E. Villate Universidade do Porto, Faculdade de Engenharia E-mail: [email protected] Outubro de 2009 1 O Programa Maxima Maxima ( http://maxima.sourceforge.net ) é um dos sistemas de álgebra computacional (CAS) mais antigos. Foi criado pelo grupo MAC no MIT, na década de 60 do século passado, e inicialmente chamava-se Macsyma (project MAC’s SYmbolic MAnipulator). Macsyma foi desenvolvido originalmente para os computadores de grande escala DEC-PDP-10 que eram usados em várias instituições académicas. Na década de 80, foi portado para várias novas plataformas e uma das novas versões foi denominada Maxima. Em 1982. o MIT decidiu comercializar o Macsyma e, simultaneamente, o professor William Schelter da Universidade de Texas continuou a desenvolver o Maxima. Na segunda metade da década de 80 apareceram outros sistemas CAS proprietários, por exemplo, Maple eMathematica, baseados no Macsyma. Em 1998, o professor Schelter obteve autorização do DOE (Department of Energy), que tinha os direitos de autor sobre a versão original do Macsyma, para distribuir livremente o código-fonte do Maxima. Após a morte do professor Schelter em 2001, formou-se um grupo de voluntários que continuam a desenvolver e distribuir oMaxima como software livre. No caso dos sistemas CAS, as vantagens do software livre são bastante importantes. Quando um método falha ou dá respostas muito complicadas é bastante útil ter acesso aos pormenores da implementação subjacente ao sistema. Por outro lado, no momento em que começarmos a depender dos resultados de um sistema CAS, é desejável que a documentação dos métodos envolvidos esteja disponível e que não existam impedimentos legais que nos proíbam de tentar descobrir ou modificar esses métodos. 1.1 A interface do Maxima Existem várias interfaces diferentes para trabalhar com o Maxima. Pode ser executado desde uma “consola” ou pode ser usada algumas das interfaces gráficas como: wxmaxima,texmacs ou xmaxima. A figura 1 mostra o aspecto da interface xmaxima, que é a interface gráfica desenvolvida originalmente pelo professor William Schelter. 1 Figura 1: A interface gráfica xmaxima. 1.2 Entrada e saída de dados Quando se inicia uma sessão do Maxima, aparece um símbolo (%i1) . Ao lado desse símbolo deverá ser escrito um comando válido, terminado pelo símbolo de ponto e vírgula. Carregando na tecla de fim de linha, o comando que foi escrito ficará gravado numa variável %i1 e o resultado será gravado numa outra variável %o1 e apresentado no ecrã. A seguir aparecerá o símbolo (%i2) , que permite dar um segundo comando e assim sucessivamente. Comecemos por fazer umas contas simples: (%i1) 2.5*3.1; (%o1) 7.75 (%i2) 5.2*log(2); (%o2) 5.2 log(2) No segundo resultado, o logaritmo natural de 2 não foi calculado, porque o resultado é um número irracional que não pode ser representado em forma numérica exacta. Se quisermos obter uma representação numérica aproximada do logaritmo de 2, podemos escrevê-lo como 2 log(2.0) ; também podemos obter uma representação numérica aproximada do resultado %o2 usando a função float: (%i3) float(%o2); (%o3) 3.604365338911716 A função float representa o seu argumento em ponto flutuante com 16 algarismos. O formato bfloat (big float) permite usar uma precisão numérica mais elevada, que pode ser controlada com a variável fpprec (floating point precision). Por omissão, essa variável é igual a 16; se, por exemplo, quisermos aproximar numericamente o resultado %o2 com uma precisão de 40 algarismos significativos, usamos o comando ev, que quer dizer avaliar: (%i4) ev(%o2, fpprec: 40, bfloat); (%o4) 3.604365338911715608969607031582518153993b0 O valor de 40 para a variável fpprec só tem efeito dentro do bloco “ ev ” onde foi usado; fora do bloco, fpprec continua com o seu valor habitual de 16. A letra b no fim do resultado %o4 indica que se trata de um número no formato de ponto flutuante de grande precisão. O número a seguir à letra é o expoente; nomeadamente, neste caso em que o expoente é zero, o número deverá ser multiplicado por 100=1 . O resultado %o4 também podia ser obtido se tivéssemos escrito a entrada %i2 na forma 5.2*log(2b0) . O comando ev pode ser escrito numa forma abreviada, quando não estiver dentro de outras funções, omitindo o nome ev e os parêntesis. Assim, o comando %i4 poderia ter sido escrito de forma abreviada: (%i4) %o2, fpprec: 40, bfloat; 1.3 Variáveis Para dar um valor a uma variável usa-se “:” e não “=”, que será utilizado para definir equações matemáticas. Por exemplo, se quisermos guardar a soma dos resultados %o1 e %o3 numa variável res , (%i5) res: %o1 + %o3; (%o5) 11.35436533891172 O nome das variáveis poderá ser qualquer combinação de letras, números e os símbolos % e _. O primeiro carácter no nome da variável não pode ser um número. Maxima faz distinção entre maiúsculas e minúsculas. Alguns exemplos: (%i6) x1 : 2; (%o6) 2 (%i7) area : 5$ (%i8) %d_23 : 8; (%o8) 8 (%i9) a%2 : (x1 : x1 + 2, x1*x1); (%o9) 16 3 Na entrada %i7 usámos $ em vez de ponto e vírgula para terminar o comando. O sinal $ no fim faz com que o comando seja executado e o resultado gravado na variável %o7 , mas sem que o resultado seja apresentado no ecrã. Vários comandos podem ser executados sequencialmente, colocando-os separados por vírgulas e entre parêntesis; isso foi feito atrás na entrada %i9 ; o resultado do último comando é armazenado na variável a%2 ; o primeiro comando na sequência incrementa o valor de x1 em 2, ficando a variável x1 com o valor de 4, e finalmente calcula-se o quadrado de x1 , que fica gravado em a%2 . Alguns nomes de variáveis não podem ser usados por estarem reservados. Já vimos que nomes como %i3 ou %o6 estão reservados para referir os comandos inseridos numa sessão e os resultados obtidos. Uma variável também não pode ter o mesmo nome de algum comando do Maxima; por exemplo for, while e sum. Uma variável pode conter também uma lista de valores, que são colocados entre parêntesis rectos, separados por vírgulas. Por exemplo, para criar uma lista com os quadrados dos 5 primeiros números inteiros: (%i10) quadrados: [1, 4, 9, 16, 25]$ Os elementos da lista são contados a começar por 1; por exemplo, o terceiro elemento da lista anterior é obtido assim: (%i11) quadrados[3]; (%o11) 9 1.4 Constantes Existem algumas constantes importantes já predefinidas no Maxima. Os seus nomes começam sempre por %. Três constantes importantes são o número π , representado por %pi , o número de Euler, e , base dos logaritmos naturais, representado por %e , e o número imaginário i=√−1 , representado por %i . Tanto %pi como %e são números irracionais, que não podem ser representados em forma numérica exacta, mas podemos obter uma aproximação numérica com o número de casas decimais desejadas; por exemplo: (%i12) ev( %pi, fpprec:50, bfloat); (%o12) 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751b0 (%i13) float(%e); (%o13) 2.718281828459045 O número %i é útil para trabalhar com números complexos. Por exemplo: (%i14) (3 + %i*4) * (2 + %i*5); (%o14) (4 %i + 3) (5 %i + 2) Para que o resultado anterior seja apresentado como um número complexo, com parte real e parte imaginária, usa-se a função rectform: 4 (%i15) rectform(%); (%o15) 23 %i - 14 O operador % refere-se ao “último resultado” no comando acima e é equivalente à variável %o14 . 1.5 Expressões e equações Uma expressão pode conter operações matemáticas com variáveis indefinidas. Por exemplo: (%i16) 3*x^2 + 2*cos(t)$ Essas expressões podem ser depois usadas para produzir outras expressões. Por exemplo: (%i17) %o16^2 + x^3; 2 2 3 (%o17) (3 x + 2 cos(t)) + x Para dar valores às variáveis nessa expressão usa-se a função ev (evaluate): (%i18) ev ( %, x=0.5, t=1.3); (%o18) 1.776218979135868 O sinal de igualdade é usado para definir equações matemáticas e não para atribuir valores como nas calculadoras; por exemplo: (%i19) 3*x^3 + 5*x^2 = x - 6; 3 2 (%o19) 3 x + 5 x = x - 6 Para encontrar as raízes de um polinómio pode ser usado o comando allroots; por exemplo: (%i20) allroots(%o19); (%o20) [x = 0.90725099344225 %i + 0.27758381341005, x = 0.27758381341005 - 0.90725099344225 %i, x = -2.221834293486762] Há duas soluções complexas e uma real. As três equações entre parêntesis rectos em %o20 fazem parte de uma lista com 3 elementos. Por exemplo, o terceiro elemento nessa lista é a raiz real: (%i21) %o20[3]; (%o21) x = - 2.221834293486762 A variável x continua indefinida, já que o sinal de igualdade não é usado aqui para atribuir valores numéricos às variáveis. Os resultados em %o20 são aproximados e não exactos. As raízes podem ser calculadas em forma algébrica exacta, em alguns casos, usando o comando solve, que também resolve outros tipos de equações diferentes de polinómios, em forma algébrica exacta. Por exemplo, para encontrar as raízes do polinómio atrás referido com o comando solve: 5 (%i22) solve(%o19, x)$ (%i23) float ( rectform (%) ); (%o23) [x = 0.90725099344225 %i + 0.27758381341005, x = - 2.221834293486761, x = 0.27758381341005 - 0.90725099344225 %i] O resultado do comando solve não foi apresentado no ecrã porque envolve várias linhas de expressões algébricas. O resultado foi simplificado mostrando as suas coordenadas “rectangulares”, com partes real e imaginária separadas (função rectform) e finalmente foi escrito em forma numérica aproximada (função float). Para resolver um sistema de equações, que podem ser lineares ou não lineares, o primeiro argumento para o comando solve deverá ser uma lista com as equações e o segundo uma lista com as variáveis; as equações podem ser guardadas em variáveis. Por exemplo: (%i24) malha1: (4 + 8)*I1 - 8* I2 = 6 + 4$ (%i25) malha2: (2+ 8 + 5 + 1)*I2 - 8*I1 = -4$ (%i26) solve([malha1,malha2],[I1,I2]); 1 (%o26) [[I1 = 1, I2 = -]] 4 O sistema anterior também poderia ter sido resolvido mais rapidamente com o comando linsolve, em vez de solve, por se tratar de um sistema de equações lineares. 1.6 Gráficos de funções Para desenhar o gráfico de uma ou várias funções de uma variável, usa-se o comando plot2d. Por exemplo, para desenhar o gráfico do polinómio 3x3+5x2−x+6 , no intervalo de x entre −3 e 1, usa-se o comando: (%i27) plot2d(3*x^3 + 5*x^2 - x + 6, [x, -3, 1])$ É preciso indicar o domínio de valores de x que vai ser apresentado no gráfico. O resultado aparece numa nova janela (ver figura 2). Passando o rato sobre um ponto no gráfico, são apresentadas as coordenadas desse ponto. O gráfico é produzido por um programa externo, Gnuplot, que é instalado conjuntamente com Maxima. Para gravar o gráfico num ficheiro gráfico, usam-se duas opções, uma para seleccionar o tipo de ficheiro gráfico e outra para definir o nome do ficheiro. Por exemplo, para gravar o gráfico obtido com o comando %i27 num ficheiro GIF, podemos usar o seguinte comando: (%i28) plot2d(3*x^3+5*x^2-x+6, [x,-3,1], [gnuplot_term, gif], [gnuplot_out_file, "funcao1.gif"])$ 6 Figura 2: Gráfico do polinómio 3x3+5x2−x+6. O gráfico fica gravado no ficheiro funcao1.gif, no formato GIF. Outros dois formatos gráficos que podem ser usados são png (Portable Network Graphics) e ps (PostScript). Para desenhar várias funções no mesmo gráfico, colocam-se as funções dentro de uma lista. Por exemplo: (%i29) plot2d([sin(x), cos(x)], [x, -2*%pi, 2*%pi])$ O resultado é apresentado na figura 3. -1 -0.5 0 0.5 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 x sin(x) cos(x) Figura 3: Gráfico das funções seno e co-seno. É possível também fazer um gráfico de um conjunto de pontos em duas coordenadas. As duas coordenadas de cada ponto podem ser indicadas como uma lista dentro de outra lista com todos os pontos; por exemplo, para desenhar os três pontos (1.1, 5), (1.9, 7) e (3.2,9), as coordenadas dos pontos podem ser guardadas numa lista p: (%i30) p: [[1.1, 5], [1.9, 7], [3.2, 9]]$ 7 Para desenhar o gráfico, é preciso dar ao comando plot2d uma lista que comece com a palavra- -chave “discrete”, seguida pela lista de pontos. Neste caso não é obrigatório indicar o domínio para a variável no eixo horizontal: (%i31) plot2d([discrete,p])$ O gráfico é apresentado na figura 4. 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 1 1.5 2 2.5 3 3.5 discrete data Figura 4: Gráfico de um conjunto de 3 pontos. Por omissão, os pontos são ligados entre si por segmentos de recta; para mostrar apenas os pontos, sem segmentos de recta, usa-se a opção style, com o valor points. Podemos também combinar o gráfico dos pontos com o gráfico de uma ou várias outras funções; para o conseguir, é preciso colocar a lista com a palavra-chave discrete dentro de outra lista com as outras funções. Devido ao uso de funções, será agora necessário especificar o domínio para a variável no eixo horizontal. Podemos também especificar um domínio no eixo vertical, para uma melhor apresentação, usando a opção y: (%i32) plot2d([[discrete,p], 3+2*x], [x,0,4], [y,0,15], [style, points, lines])$ A opção style em %i34 indica que o primeiro conjunto de pontos deverá ser representado por pontos e a função que vem a seguir será representada com segmentos de recta. O gráfico é apresentado na figura 5. Existem muitas outras opções para o comando plot2d que podem ser consultadas na secção plot_options do manual. A opção y é especialmente útil para limitar os valores apresentados no eixo vertical, no caso de funções com assimptotas verticais. Para fazer gráficos de funções de duas variáveis, em 3 dimensões, usa-se o comando plot3d . Por exemplo, o gráfico da figura 6 foi produzido com o comando: (%i33) plot3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi]); Existe ainda outro programa gráfico incluído com o xmaxima, para além de Gnuplot, designado por Openmath. Os gráficos anteriores podem ser produzidos com esse programa, adicionando uma opção para alterar o formato gráfico para Openmath. Por exemplo, o gráfico em 3 dimensões que acabámos de desenhar pode ser obtido com o Openmath como se segue: 8 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y x discrete1 2*x+3 Figura 5: Gráfico de um conjunto de 3 pontos, conjuntamente com uma recta. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 sin(x)*sin(y) Figura 6: Gráfico da função sin(x)sin(y), obtido com Gnuplot. (%i34) plot3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi], [plot_format,openmath]); O resultado é apresentado na figura 7. Clicando no botão do rato enquanto se desloca, consegue rodar-se o gráfico para ser visto de diferentes pontos de vista. O comando plot3d não admite várias funções em simultâneo. O primeiro argumento de plot3d deverá ser uma única função, ou uma lista de 3 funções, que representam as 3 componentes do vector posição que define uma superfície em 3 dimensões (gráfico paramétrico). 9 Figura 9: Simulação da bola saltitona. No lado esquerdo, a janela do código do programa e no lado direito a janela da execução do programa. Experimente modificar o programa na janela do mesmo, por exemplo, aumentando o coeficiente de restituição de 0.9 para 1 e a seguir executando-o novamente. Agora, a bola terá um movimento contínuo sem diminuição da altura e o programa nunca acabará; quando quiser parar o programa, clique com o botão esquerdo sobre a janela da simulação — aparecerá uma mensagem a pedir para confirmar que quer terminar o programa. Repare que, enquanto o programa estiver a ser executado, existirá uma janela Python Shell a ele associada e nela serão apresentadas as mensagens de erro e outras que sejam enviadas pelo programa. Algumas simulações com várias etapas diferentes não começam automaticamente, mas só passam à etapa seguinte quando clicar sobre o gráfico com o botão esquerdo do rato. Por exemplo, na simulação do lançamento de projécteis (ficheiro projecteis.py) um primeiro clique faz com que seja lançado um electrão; o alcance é apresentado na janela gráfica e a janela Python Shell mostrará alguma informação adicional sobre a trajectória do electrão: tempo de voo, distância percorrida e velocidade média. Um segundo clique faz com que seja lançada a bola de ténis e para lançar a bola de ténis de mesa deverá clicar mais uma vez. Por último, clica-se novamente para terminar o programa. 2.2 O Python como calculadora O Python também pode ser usado como calculadora para fazer algumas contas. Por exemplo, se quisermos calcular o tempo que a luz do sol demora a chegar à Terra, usamos o valor da distância entre a Terra e o Sol, que é de 1,496×1011 m e a velocidade da luz que é 3,0×108 m/s. Assim, o tempo em segundos será: 1,496×1011 3,0×108 Essa conta é feita na Shell do Python da seguinte forma: 16 >>> 1.146e11/3e8 382.0 O resultado 382.0 aparece (a azul) quando se carrega na tecla “Enter”. Se quisermos saber esse tempo em minutos, teremos de dividir por 60; para não termos que escrever o resultado novamente, podemos recuperar a nossa primeira entrada “1.146e11/3e8” carregando nas teclas “Alt” e “p” em simultâneo e a seguir dividindo por 60: >>> 1.146e11/3e8/60 6.3666666666666663 Também podemos usar variáveis para guardar resultados intermédios: >>> tsegundos = 1.146e11/3e8 >>> tminutos = tsegundos/60 >>> O valor que é guardado na variável não é apresentado, mas podemos vê-lo dando o nome da variável: >>> tminutos 6.3666666666666663 As funções matemáticas habituais (logaritmo, seno, etc.) não estão definidas previamente, mas podem ser incorporadas importando o módulo de funções matemáticas. Uma forma de importar todas as funções e símbolos existentes num módulo, neste caso o módulo com nome math , é a seguinte: >>> from math import * Observe que quando terminamos de escrever uma palavra-chave do Python, como from eimport, o Idle identifica essas palavras com a cor laranja. Essa é uma valiosa ajuda para detectar erros de sintaxe e para evitar tentar usar uma dessas palavras-chave como nome de variável, o que daria um erro. Uma vez importado o módulo matemático math , teremos disponíveis dois símbolos predefinidos, o valor de πe a constante de Euler, e as 12 funções apresentadas na tabela 1. Por exemplo, se quisermos calcular o volume, em metros cúbicos, de uma gota de água com raio r=2 mm, usamos a expressão do volume da esfera, 4πr3/3: >>> 4*pi*2e-3**3/3 3.3510321638291127e-08 O operador é usado para potências; por exemplo, a função exponencial de x pode ser escrita exp(x)ou, em forma equivalente, e ** x. 17 Símbolo ou função Descrição pi Número π e Número de Euler fabs(x) Valor absoluto de x sqrt(x) Raiz quadrada de x log(x) Logaritmo natural de x exp(x) Função exponencial de x log10(x) Logaritmo de base 10 de x sin(x) Seno de x(xem radianos) cos(x) Co-seno de x(xem radianos) tan(x) Tangente de x(xem radianos) asin(x) Seno inverso de x(em radianos) acos(x) Co-seno inverso de x(em radianos) atan(x) Tangente inversa de x(em radianos) floor(x) Elimina as casas decimais de x, dando um inteiro Tabela 1: Símbolos e funções no módulo math. 2.3 Blocos iterativos e condicionais Como em qualquer linguagem de programação, o Python inclui vários tipos de blocos iterativos e condicionais. Uma característica peculiar do Python, diferente de outras linguagens de programação, é que não são usados comandos especiais para indicar o fim de uma linha ou de um bloco. Para indicar quais os comandos que fazem parte de um bloco é preciso que esse bloco seja indentado em forma consistente: todos os comandos que pertencem a um bloco deverão ter a mesma indentação e um bloco interno deverá ter maior indentação. Para indentar as linhas pode usar-se espaço ou caracteres TAB, mas convém utilizar apenas um ou o outro consistentemente. O Idle ajuda na tarefa de indentar as linhas. Por exemplo, se quisermos escrever no ecrã uma lista com os cubos dos primeiros 5 números naturais, basta escrevermos duas linhas de código: >>> for iin [1, 2, 3, 4, 5]: i**3 1 8 27 64 125 O símbolo-chave são os dois pontos; após os escrevermos e clicarmos em “Enter”, Idle já não coloca o símbolo >>> no início da linha, porque está a espera que completemos o bloco. A indentação da segunda linha foi feita automaticamente pelo Idle. Quando terminámos de escrever a segunda linha, foi preciso clicar duas vezes seguidas em “Enter” para que o ciclo fosse finalizado e executado. 18 Se, agora, quisermos escrever unicamente os números naturais com cubos que comecem pelo algarismo 2, considerando apenas os primeiros 29 números naturais, usamos um bloco condicional if para decidir quais são os cubos com o primeiro algarismo igual a 2: >>> for nin range(1, 30): cubo = n**3 ordem = floor(log10(cubo)) if floor(cubo/10**ordem) == 2: print n, "ao cubo é", cubo 3 ao cubo é 27 6 ao cubo é 216 13 ao cubo é 2197 14 ao cubo é 2744 28 ao cubo é 21952 29 ao cubo é 24389 Neste caso, em vez de escrevermos por extenso a lista dos 29 primeiros números naturais, usamos uma função standard do Python, range , que produz essa lista. Repare que Idle identifica as funções standard a roxo, mas as funções definidas por módulos adicionais, como floor , não são identificadas. Usamos também o comando print para imprimir variáveis e texto (colorido a verde pelo Idle) no ecrã. Outros operadores para comparar números são < , > , <= , >= e != (diferente). Um bloco if pode ter um sub-bloco else, que pode incluir outro bloco if, usando o comando elif. Por exemplo: >>> n = 2 >>> if 0 < n < 3: print "entre 0 e 3" elif n >= 3: print "maior ou igual a 3" else:print "menor ou igual a zero" entre 0 e 3 2.4 Funções Para definir funções, por exemplo a função floor definida pelo módulo math , escreve-se o procedimento dentro de um bloco que começa com a palavra-chave def, seguida pelo nome da função e a lista de variáveis de entrada entre parêntesis. Por exemplo, para definir uma função rad que converta um ângulo em graus para radianos, podemos usar: >>> def rad(x): return pi*x/180 19 a seguir já podemos calcular funções trigonométricas de ângulos em graus. Por exemplo, o seno de 30◦: >>> sin(rad(30)) 0.49999999999999994 Uma função em Python pode chamar a própria função em forma recursiva. 2.5 Módulos Um programa ou módulo pode ser escrito interactivamente na Shell, ou pode ser copiado para um ficheiro e depois executado. A opção New Window no menu “File” do Idle permite abrir outra janela de um editor de texto onde é possível escrever um programa e gravá-lo num ficheiro. O módulo pode conter apenas definições de funções e variáveis, como no caso do módulo math. Nesse caso, para usar essas funções e variáveis em outros módulos ou na shell, é preciso importar o módulo. O módulo pode ser também um programa que pede alguns valores de entrada através da entrada- -padrão, realiza alguma acção e imprime alguns resultados na saída-padrão. Para obter valores de entrada em forma iterativa, usa-se a função input. Por exemplo: >>> n = input("Indique o valor de n: ") Indique o valor de n: 7 Se o programa não for auto-executável, pode ser carregado com a opção Open no menu “File” do Idle e a seguir executado com a opção Run Module no menu “Run”. Existe muita documentação adicional disponível na Web. O sítio http://www.vpython.org é uma boa referência para encontrar manuais, tutoriais, livros e módulos adicionais. 20