Estudo da Fendilhação em Lajes Bidirecionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos da Retração e das Ações Gravíticas

ESTUDO DA FENDILHAÇÃO EM LAJES BIDIRECIONAIS RESTRINGIDAS, ATENDENDO AOS EFEITOS DA RETRAÇÃO E DAS AÇÕES GRAVÍTICAS CHRISTOPHER RODRIGUES RIBEIRO Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS Orientador: Professor Rui Manuel Carvalho Marques de Faria Coorientador: Professor Carlos Filipe Ferreira de Sousa JUNHO DE 2014 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2013/2014 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446 ! [email protected] Editado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Frias 4200-465 PORTO Portugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440 ! [email protected].pt ! http://www.fe.up.pt Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2013/2014 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2014. As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir. Este documento foi produzido a partir de versão eletrónica fornecida pelo respetivo Autor. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas Aos meus Pais Sou escravo do dever por amor à Liberdade Marco Cícero Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas i AGRADECIMENTOS Inicialmente expresso o meu agradecimento ao Professor Rui Faria, orientador científico desta dissertação, pelo apoio que demonstrou ao longo da elaboração deste trabalho, sempre de forma cativante e motivadora. Agradeço ao Professor Carlos Sousa, coorientador científico desta dissertação, que me ajudou e ensinou bastante, mostrando-se sempre muito prestável e atencioso. Estou também grato ao Luís Leitão por se disponibilizar e ajudar na instalação do DIANA. Agradeço em especial aos meus pais e à Liliana Carvalho, pelo apoio incondicional ao longo de todo o percurso académico. Guardo também um agradecimento especial a todos os meus amigos e colegas que me acompanharam durante todo o semestre, proporcionando bons momentos de lazer e convívio que permitiram desanuviar nas horas de maior tensão ao longo do trabalho. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas vii ÍNDICE GERAL AGRADECIMENTOS .................................................................................................................................. i RESUMO ................................................................................................................................... iii ABSTRACT .............................................................................................................................................. v 1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 1 1.1. ENQUADRAMENTO DO TEMA E OBJECTIVOS DA DISSERTAÇÃO ................................................ ..1 1.2. ORGANIZAÇÃO EM CAPÍTULOS ...................................................................................................... 3 2. MODELAÇÃO DO BETÃO FENDILHADO INCLUINDO OS MODELOS DE RETRAÇÃO E FLUÊNCIA .................................................. 5 2.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 5 2.2. COMPORTAMENTO DO BETÃO NÃO FENDILHADO ........................................................................ 6 2.2.1. Retração ........................................................................................................................................ 6 2.2.2. Fluência ......................................................................................................................................... 8 2.3. COMPORTAMENTO DO BETÃO FENDILHADO ............................................................................... 10 2.3.1. Modelos de Fendilhação ............................................................................................................. 10 2.3.2. Definição do Diagrama de Tensão de Tração no Betão Simples ............................................... 11 2.3.3. Definição do Diagrama de Tensão de Tração no Betão Armado ................................................ 13 2.3.4. Cálculo da Abertura de Fendas Segudo o MC90 (CEB – FIB, 1991) ......................................... 16 2.4. MODELAÇÃO NUMÉRICA .............................................................................................................. 19 2.4.1. Elemento Finito Adotado ............................................................................................................. 19 2.4.2. Curage e Aging ........................................................................................................................... 21 2.5. EXEMPLO DE VALIDAÇÃO ............................................................................................................. 22 2.4.2. Introdução ................................................................................................................................... 22 2.4.2. Caracterização da Estrutura e do Modelo Adotado .................................................................... 22 2.4.2. Resultados Obtidos ..................................................................................................................... 24 2.4.2. Validação dos Resultados ........................................................................................................... 31 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas viii 3. ESTUDO DE LAJES BI-DIRECIONAIS RESTRINGIDAS AXIALMENTE SOB A AÇÃO DE CARGAS VERTICAIS .............. 33 3.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 33 3.2. ESTIMATIVA DA ESPESSURA E DA ARMADURA NECESSÁRIA COM BASE EM METODOLOGIAS CORRENTES .......................................................................................................................................... 34 3.2.1. ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO ....................................................................................................... 34 3.2.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO .................................................................................................................. 38 3.3. ANÁLISE NÃO-LINEAR .................................................................................................................. 39 3.3.1. DEFINIÇÃO DO REFINAMENTO DA MALHA E DO MÉTODO ITERATIVO ADOTADO ................................... 39 3.3.1.1. Tamanho da Malha .................................................................................................................. 39 3.3.1.2. Método Iterativo ........................................................................................................................ 42 3.3.2. RESULTADOS OBTIDOS .................................................................................................................. 44 3.3.2.1. Condições de Simetria ............................................................................................................. 44 3.3.2.2. Painel 7×7 m! .......................................................................................................................... 45 3.3.2.3. Painel 7×10,5 m! ..................................................................................................................... 54 3.3.2.4. Painel 7×14 m! ........................................................................................................................ 66 3.3.2.5. Painel 7×14 m! com Funcionamento Uni-Direcional ............................................................... 75 3.3.2.6. Conclusões ............................................................................................................................... 78 4. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ............ 80 4.1. CONCLUSÕES ................................................................................................................................ 80 4.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ................................................................................................... 81 BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 82 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas ix Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas x Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas xi ÍNDICE DE FIGURAS Fig. 2.1Componentes 𝜀!" 𝑡!,!𝜀!! 𝑡,𝑡! e!𝜀!" 𝑡 da deformação total de um elemento de betão sujeito a tensão constante. (Sousa 2004)..........................................................................................6 Fig. 2.2 – Tension cut-off criteria disponíveis no sofware DIANA: a) constante; b) linear.....................11 Fig. 2.3 – Ensaio de tração uniaxial: a) curva tensão-deslocamento; b) curva tensão abertura da fenda (Sousa 2004).........................................................................................................................12 Fig. 2.4 – Diagrama de amolecimento tensãoextensão de fendilhação adoptado simplificadamente no software............................................................................................................................13 Fig. 2.5 – Determinação da área efetiva de betão: a) vigas; b) lajes; c) elementos em tração.............14 Fig. 2.6 – Relação entre a extensão média e a tensão aplicada, na área efetiva de betão traccionado............................................................................................................................15 Fig. 2.7 – Diagrama bi-linear tensão-extensão considerado para a simulação da armadura...............16 Fig. 2.8 – Distribuição simplificada de tensões num tirante de betão armado tracionado, na armadura, betão e na interface (Sousa, 2004)......................................................................17 Fig. 2.9 – Graus de liberdade em curved shell elements (“Element Library” de DIANA): a) 3 translações; b) 2 rotações......................................................................................................19 Fig. 2.10 – Elemento CQ40L, no referencial local (ξ,η,ζ) e discretização da espessura em layers (“Element Library” de DIANA). ............................................................................................20 Fig. 2.11– Simulação dos efeitos tension stiffening (pontos de Gauss a azul) e tension softening (pontos de Gauss a vermelho), nos vários layers, num elemento finito..............................20 Fig. 2.12 – Seleção dos elementos no triângulo de Pascal para elementos bidimensionais da família serendipity (Azevedo 2003)................................................................................................21 Fig. 2.13 – Instantes de aplicação das cargas no DIANA, simulando casos reais................................22 Fig. 2.14 –Geometria da laje modelada.................................................................................................23 Fig. 2.15 – Esforço axial instalado na laje ao longo do período da análise...........................................24 Fig. 2.16 – Esforço axial na fase inicial de formação de fendas............................................................25 Fig. 2.17 – Momento Fletor nos primeiros 10 anos da análise..............................................................26 Fig. 2.18 – Tensão máxima de tração nas armaduras superiores, no elemento mais solicitado, ao longo dos 50 anos. .............................................................................................................27 Fig. 2.19 – Tensão máxima de tração nas armaduras inferiores, no elemento mais solicitado, ao longo dos 50 anos.........................................................................................................................27 Fig. 2.20 – Tensão nas armaduras superiores, ao longo do vão da laje...............................................28 Fig. 2.21 – Tensão nas armaduras inferiores, ao longo do vão da laje. ...............................................28 Fig. 2.22 – Tensões 𝜎!" nas armaduras superiores e inferiores, para a idade de 50 anos..................29 Fig. 2.23 – Evolução da flecha ao longo do tempo. ..............................................................................30 Fig. 2.24 – Padrão de fendilhação na laje, aos 50 anos, representado através de vetores normais às fendas em cada ponto de integração..................................................................................31 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas xii Fig. 3.1 – Equilíbrio em flexão composta, numa secção fendilhada, para um esforço axial de pequena excentricidade (Carvalho 2013).............................................................................................36 Fig. 3.2 – Equilíbrio em flexão composta, numa secção fendilhada, para um esforço axial de média ou grande excentricidade (Estruturas de Betão 1, FEUP)..........................................................36 Fig. 3.3 – Padrão de Fendilhação na laje, representados através de vetores normais às fendas em cada ponto de integração, na superfície inferior, relativo às primeiras fendas, para um instante de tempo de 50 anos: a) 8×8 EF; b) 12×12 EF; c) 16×16 EF..................................................40 Fig. 3.4 – Dados obtidos no DIANA, para uma determinada iteração genérica....................................42 Fig. 3.5 – Passagem do referencial global para um referencial local, em que o referencial local é caracterizado por um vetor normal à fenda (n), e um vetor tangencial à mesma (t).............43 Fig. 3.6 – Convenção adotada para representar os diversos eixos que serão analisados...................44 Fig. 3.7 - Flecha obtida ao longo do tempo, na análise não-linear........................................................45 Fig. 3.8 – Esforços axiais nodais ao longo do eixo “a” e média móvel dos mesmos............................46 Fig. 3.9 – Esforço axial no apoio, ao longo do eixo “a”..........................................................................47 Fig. 3.10 – Esforço axial a meio-vão, ao longo do eixo “b”....................................................................47 Fig. 3.11 – Momento Fletor no apoio, ao longo do eixo “a”...................................................................48 Fig. 3.12 – Momento Fletor a meio-vão, ao longo do eixo “b”...............................................................49 Fig. 3.13 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 46 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração..50 Fig. 3.14 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 46 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração..50 Fig. 3.15 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior, aos 46 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração...51 Fig. 3.16 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior, aos 46 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração...51 Fig. 3.17 – Circulo de Mohr que representa o estado plano de tensão a meio vão, na superfície Inferior..................................................................................................................................52 Fig. 3.18 – Esforços por metro, instalados nas zonas do painel onde há maiores aberturas de fendas, obtidos numa análise não-linear..........................................................................................53 Fig. 3.19 – Flecha ao longo do tempo de análise..................................................................................55 Fig. 3.20 – Esforço axial no apoio, ao longo do eixo “a”........................................................................56 Fig. 3.21 – Esforço axial a meio vão, ao longo do eixo “b”....................................................................56 Fig. 3.22 – Esforço axial a meio vão, ao longo do eixo “c”....................................................................57 Fig. 3.23 – Esforço axial no apoio, ao longo do eixo “d”........................................................................57 Fig. 3.24 – Momento Fletor no apoio, ao longo do eixo “a”...................................................................58 Fig. 3.25 – Momento Fletor o a meio vão, ao longo do eixo “b”............................................................59 Fig. 3.26 – Momento Fletor a meio vão, ao longo do eixo “c”...............................................................59 Fig. 3.27 – Momento Fletor no apoio, ao longo do eixo “d”...................................................................60 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas xiii Fig. 3.28 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto deintegração...61 Fig. 3.29 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração.....62 Fig. 3.30 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior aos 50 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração....63 Fig. 3.31 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração....63 Fig. 3.32 – Esforços por metro, instalados nas zonas do painel onde há maiores aberturas de fendas, obtidos numa análise não-linear..........................................................................................64 Fig. 3.33 - Flecha obtida ao longo do tempo, na análise não-linear......................................................66 Fig. 3.34 – Esforço axial no apoio, ao longo do eixo “a”........................................................................67 Fig. 3.35 – Esforço axial a meio vão, ao longo do eixo ”b”....................................................................67 Fig. 3.36 – Esforço axial a meio vão, ao longo do eixo “c”....................................................................68 Fig. 3.37 – Esforço axial no apoio, ao longo do eixo “d”........................................................................68 Fig. 3.38 – Momento Fletor no apoio, ao longo do eixo “a”...................................................................70 Fig. 3.39 – Momento Fletor a meio vão, ao longo do eixo “b”...............................................................70 Fig. 3.40 – Momento Fletor a meio vão, ao longo do eixo “c.................................................................71 Fig. 3.41 – Momento Fletor no apoio, ao longo do eixo “d”...................................................................71 Fig. 3.42 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração. ..........................................................................................................................72 Fig. 3.43 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração..72 Fig. 3.44 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração....73 Fig. 3.45 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superficie inferior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração.....73 Fig. 3.46 – Esforços por metro, instalados nas zonas do painel onde há maiores aberturas de fendas, obtidos numa análise não-linear..........................................................................................74 Fig. 3.47 - Flecha obtida ao longo do tempo, na análise não-linear......................................................75 Fig. 3.48 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às fendas, em cada ponto de integração..........76 Fig. 3.49 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às fendas, em cada ponto de integração..........76 Fig. 3.50 – Condição utilizada para determinar o esforço axial a combinar com o momento fletor elástico, de forma a obter 𝑤!=0.30 mm ..............................................................................77 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas xx 𝜀!!.!"#.!"# !" valor mínimo que a extensão 𝜀!!.!"# !" pode tomar 𝜀! extensão no aço 𝜀!(𝑓 !") extensão que depende do tipo de betão 𝜀!" valor médio de extensão no aço 𝜀!" extensão de cedência do aço 𝐹 !"# força axial de tração na armadura inferior 𝐹 !"# força axial de tração na armadura superior 𝑓 !" tensão característica de rotura do betão à compressão, aos 28 dias de idade 𝑓 !" resistência média à compressão aos 28 dias 𝑓 !"! valor base da resistência à compressão (10 MPa) 𝑓 !"# resistência média à tração do betão 𝑓 !" tensão de cedência caracteristica 𝐺! energia de fratura (propriedade do material) 𝐺!! valor base da energia de fratura, que depende da dimensão máxima dos agregados 𝑔! valor carateristíco da ação permanente 𝑔! energia de fratura que depende da largura da banda ℎ altura total da seção ℎ! largura da banda (dependente da malha adotada) 𝐾 coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais 𝑘! coeficiente que tem em conta o comprimento do vão (assume o valor 1) 𝑘! coeficiente que tem em conta as secções em “T” (assume o valor 1) Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas xxi 𝑘!" coeficiente que é dado pelo quociente entre 310 MPa e a tensão de tração no aço a meio vão, para ações de cálculo, no estado limite de utilização 𝑙! comprimento do vão mais comprido, com direção paralela ao eixo xx 𝑙! comprimento do vão mais curto, com direção paralela ao eixo yy 𝑙!,!"# distância máxima entre pontos de deslizamento nulo 𝑀!"#$%. momento fletor elástico 𝑁!" esforço axial de fendilhação 𝑁!é!"# esforço axial médio 𝑛! esforço axial por metro, com direção paralela ao eixo xx 𝑛! esforço axial por metro, com direção paralela ao eixo yy 𝜐 coeficiente de poisson 𝜌!!!!! taxa de armadura traccionada, necessária a meio vão, para equilibrar o momento devido às ações de cálculo 𝜌! taxa de armadura de referência 𝜌!,!" percentagem de armadura existente na zona do betão que é afetada pela aderência aço/betão sendo dada pelo quociente entre a área das armaduras e a área efetiva de betão 𝑞! valor carateristíco da ação variável 𝑅𝐻 humidade relativa (%) 𝑅𝐻! humidade relativa de referência (100%) Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas xxii 𝑠 coeficiente que depende do tipo de cimento: 0,20 para cimento RS, 0,25 para cimento do tipo N e R, 0,38 para cimento do tipo SL 𝑡 espessura 𝑡! instante correspondente à aplicação da tensão (em dias) 𝑡! 1 dia 𝑡! idade do betão no instante do carregamento (em dias) 𝑡! idade do betão quando começa a retração (em dias) 𝜏 tensão tangencial 𝜏!" tensão de aderência média entre o aço e o betão, ao longo do comprimento de deslizamento 𝑢! descrição matemática da translação 𝑣!" esforço transverso atuante de cálculo 𝑣!",! esforço transverso resistente para elementos em que não é requerida armadura de esforço transverso 𝑤! abertura de fendas 𝑥 profundida de eixo neutro 𝛾 peso volúmico 𝜎! tensão no betão 𝜎!! !" tensão normal à fenda 𝜎! tensão no aço 𝜎!! tensão na armadura calculada em secção totalmente fendilhada Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas xxiii 𝜎!" tensão na armadura, no ponto de deslizamento nulo 𝜎!" tensão média no aço ao longo da distância entre pontos de deslizamento nulo 𝜙𝑡,𝑡! coeficiente de fluência 𝜙! coeficiente nominal de fluência 𝜙! diâmetro do varão de aço 𝛷! descrição matemática da rotação 𝜓! coeficiente para a determinação do valor de combinação de uma ação variável 𝜓! coeficiente para a determinação do valor frequente de uma ação variável 𝜓! coeficiente para a determinação do valor quase permanente de uma ação variável EC0 – Eurocódigo 0 EC2 – Eurocódigo 2 MC90 – CEB – Model Code 1990 EF – Elementos Finitos Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas xxiv Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 1 1 INTRODUÇÃO 1.1. ENQUADRAMENTO DO TEMA E OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO O betão é um material constituído por água, areia, cimento e agregado grosso, podendo incluir aditivos e adições. É o mais utilizado na construção estrutural por ser económico (quando comparado com, por exemplo, o aço), moldável e durável, não exigindo grandes cuidados de manutenção e conservação, tendo uma grande resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e desgastes mecânicos. Contudo tem a desvantagem de ser um material pesado com fraca resistência à tração, fissurando facilmente. A laje é o elemento estrutural mais comum em qualquer construção de betão armado. Exemplo disso são os edifícios. As lajes podem ser maciças ou aligeiradas, com comportamento uni-direcional ou, pelo contrário, com esforços relevantes em mais do que uma direção. A opção por um determinado tipo de laje pode ser influenciada por múltiplos fatores, entre os quais o tipo de utilização, as cargas atuantes, o vão a vencer, os requisitos em termos de deformações admissíveis, o tempo disponível para a execução, requisitos em termos de isolamento térmico e acústico, e critérios económicos. Atualmente, a opção recai frequentemente sobre as lajes maciças, atendendo às vantagens que estas oferecem, nomeadamente em termos de simplicidade da construção, isolamento térmico e acústico, resistência e rigidez, entre outras. Nas lajes maciças com grande área de implantação, impedidas (por paredes ou núcleos resistentes) de se deformarem axialmente, instalam-se ao longo do tempo importantes esforços de tração, em virtude do desenvolvimento da retração do betão e das deformações de origem térmica. Estes esforços devem ser tidos em conta na análise do comportamento estrutural em fase de serviço. Para atender a estes efeitos, adotam-se vulgarmente juntas estruturais, que libertam parcialmente o movimento da laje. A opção por juntas de dilatação permite reduzir consideravelmente os esforços gerados pelo impedimento das deformações impostas. Contudo, estas juntas podem ser inconvenientes, por encarecerem a manutenção dos edifícios, por poderem gerar danos em revestimentos e paredes divisórias, e por poderem ser responsáveis por infiltrações de água. Podem também representar uma menor valia em termos arquitetónicos, por implicarem a existência de descontinuidades nos edifícios, e obrigarem à duplicação de elementos estruturais de suporte (pilares e eventualmente vigas), entre outros aspetos. Será portanto vantajoso minimizar o número de juntas estruturais. Ora, a redução do número de juntas implica que os efeitos do impedimento das deformações impostas assumam um papel mais importante, pelos esforços de tração que são originados, e pelo acréscimo de armadura que pode ser necessário prever nas lajes, de modo a permitir o controlo da fendilhação. Este efeito pode ser especialmente importante no caso das lajes maciças, atendendo ao valor elevado do esforço que este Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 2 tipo de laje pode suportar antes de fendilhar e, consequentemente, à quantidade de armadura que pode ser necessária para controlo da fendihação. A presente dissertação incide sobre lajes maciças bi-direcionais submetidas a ações verticais com carácter permanente ou quase-permanente, fortemente restringidas axialmente, sujeitas a deformações impostas internas, devidas à retração do betão. Assim, contemplam-se lajes maciças, com grande área de implantação, ligadas estruturalmente a núcleos e/ou paredes de elevada rigidez, como por exemplo, os pisos ligados a caixa de elevadores ou pavimentos de caves ligados a paredes de elevada rigidez. A fendilhação é muito comum nas estruturas de betão, devido à fraca resistência à tração deste material. Este efeito é tomado em consideração na fase de projeto de estruturas novas. O seu controlo passa por limitar a abertura máxima de fendas a valores que dependem do tipo de estrutura e da classe de exposição. Para as verificações em Estado Limite de Utilização (ELS), o Eurocódigo 2 (CEN 2004), afirma que as deformações impostas deverão ser tidas em conta mas não fornece indicações precisas sobre o procedimento a aplicar nessa verificação. Para o controlo de fendilhação, este documento sugere, no subcapítulo 7.3.2, uma quantidade de armadura mínima, que se baseia num equilíbrio de forças, assumindo que o esforço axial instalado é igual ao esforço axial de fendilhacao, 𝑁!" . Contudo o esforço axial verdadeiramente instalado em elementos estruturais de betão, devido ao efeito da retração impedida, pode ser consideravelmente menor do que este. Vários estudos foram já dedicados ao estudo deste tema. Para lajes com comportamento unidirecional, axilamente restringidas, sujeitas a ações verticais de carácter permanente, de acordo com Camara e Figueiredo (2012), para uma deformação imposta externa de 0,5‰ (valor semelhante à deformação de retração expectável, numa laje de betão, aos 50 anos de idade), com taxas de armaduras, ρ, a variar entre 0,5% a 1%, o esforço axial varia respetivamente entre 60% a 80% de 𝑁!". Camara e Luis (2006), concluem, que o esforço axial instalado nelas, diminui com o desenvolvimento da deformação interna causado pela retração do betão. Concluem também que este esforço não depende muito da variação da taxa de armadura, sendo cerca de 45% do 𝑁!", para taxas de armaduras correntes (0,5% a 1%). A dissertação de Carvalho (2013) vem reforçar essa ideia, afirmando que o esforço axial verdadeiramente instalado, em lajes maciças com comportamento unidirecional, varia entre 40% a 45% do 𝑁!", verificando-se o Estado Limite Último e o Estado Limite de Utilização, nomeadamente, o controlo de fendilhação. O que foi mencionado acima tem a particularidade de se basear em elementos estruturais com comportamento unidirecional. Esta dissertação tem como objetivo quantificar o esforço axial instalado numa laje restringida axialmente, sujeita a ações verticais de carácter permanente ou quasepermanente, mas com funcionamento bi-direcional, recorrendo-se a uma análise não-linear através da utilização de um programa de cálculo automático, o DIANA (Witte 2005). Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 3 1.2. ORGANIZAÇÃO EM CAPITULOS A presente dissertação esta dividida em 4 capítulos, sendo o primeiro, capítulo 1, a introdução e o enquadramento do tema. No capítulo 2 é apresentado o comportamento e a modelação dos efeitos das deformações diferidas do betão não fendilhado, incluindo os efeitos de retração e fluência, e do betão fendilhado, apresentandose o processo de retenção de trações no betão simples, tension softening, e no betão armado, tension stiffening, explicando-se como se pode proceder ao cálculo da abertura máxima de fendas. Descrevese o elemento finito adotado, definindo-se também alguns conceitos fundamentais, relativos à utilização do programa de cálculo, DIANA. Por fim, valida-se o elemento finito e o procedimento de análise adotado, através do estudo de um caso, comparando-se os resultados agora obtidos com aqueles que são reportados na dissertação de Carvalho (2013). No capítulo 3 é apresentado o estudo de painéis bi-direcionais, sujeitos a cargas verticais de carácter quase-permanente, encastrados nos bordos, com a mesma altura mas com geometrias diferentes: 7×7 m!, 7×10,5 m! e 7×14 m!. Nesses painéis, desenvolvem-se ao longo do tempo importantes esforços de tração, uma vez que as deformações por retração são restringidas pelas ligações aos apoios. Recorrendo a uma análise não linear de elementos finitos, é avaliada a quantidade de armadura necessária para garantir que a abertura de fendas não ultrapassa os valores admissíveis. Verifica-se também que essa quantidade é suficiente para ser garantida a resistência em Estado Limite Último, e para ser verificado o Estado Limite de Deformação. Um dos resultados importantes da análise consiste na quantificação do esforço axial instalado nos diversos pontos críticos de cada painel de laje, em resultado do impedimento da deformação por retração. Verifica-se que, a fluência e a fendilhação do betão têm um efeito benéfico na medida em que contribuem para a redução do esforço axial de tração instalado. Verifica-se que o esforço axial de tração realmente atuante numa laje do tipo estudado é consideravelmente inferior ao esforço axial de fendilhação do betão, 𝑁!". Por fim, apresentam-se algumas recomendações, que poderão ser tomadas em consideração na prática corrente de projeto de edifícios. Finalmente, no capítulo 4, é feita uma síntese com as principais conclusões do trabalho realizado, sugerindo-se alguns desenvolvimentos futuros, dando seguimento ao trabalho realizado na presente dissertação. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 4 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 5 2 MODELAÇÃO DO BETÃO FENDILHADO INCLUINDO OS EFEITOS DE RETRAÇÃO E FLUÊNCIA 2.1. INTRODUÇÃO Neste presente capítulo inicia-se a descrição do comportamento do betão face às solicitações a que vai ser exposto bem como o sua modelação no software DIANA, caracterizando posteriormente o tipo de elemento finito adotado, e por fim aprovando a malha e o tipo de elemento finito através de um exemplo de validação, cujos resultados serão comparados com os publicados na dissertação de Carvalho (2013) . No que toca ao comportamento do betão não fendilhado, apresentam-se os fenómenos de retracção e fluência. Para o betão fendilhado, descreve-se o modelo de fendilhação adotado, como se processa a retenção de tensões de tração, tanto no betão simples (tension softening) como no betão armado (tension stiffening) e como estes efeitos são modelados no programa de cálculo. Justifica-se a execução do cálculo da abertura de fendas, bem como os regulamentos em que se baseia e os parâmetros que o influenciam. A extensão total num elemento de betão, carregado uniaxialmente a partir do instante 𝑡!, com uma tensão constante aplicada 𝜎!(𝑡!), para um determinado instante de tempo t, é expresso pela equação (2.1) e ilustrado pela Fig. 2.1. 𝜀!" 𝑡=𝜀!" 𝑡!+𝜀!! 𝑡,𝑡!+𝜀!" 𝑡+𝜀!" 𝑡 (2.1) com: 𝜀!" 𝑡 deformação total de um elemento de betão; 𝜀!" 𝑡! deformação instantânea; 𝜀!! 𝑡,𝑡! deformação de fluência; 𝜀!" 𝑡 deformação de retração; Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 12 Esta é a quantidade de energia libertada durante o processo de fratura, para uma superfície unitária, representando a área do diagrama da Fig. 2.3. Esta figura representa um diagrama tensão de traçãodeformação axial e um diagrama tensão - abertura de fenda, típico de um ensaio de tração uniaxial de betão. O ramo descendente traduz o efeito tension softening. Fig. 2.3 – Ensaio de tração uniaxial: a) curva tensão-deslocamento; b) curva tensão abertura da fenda (Sousa 2004). A energia de fratura não deve incluir a energia gasta na deformação elástico-plástica do elemento de betão. Este aspeto não tem implicações quando o ramo ascendente do diagrama σ-δ toma a forma linear, conforme é considerado no presente trabalho. As propriedades do material devem ser definidas em função da malha utilizada, para que os resultados da análise não dependam da malha adotada. Ou seja, como é ilustrado na equação (2.15), a área sob o diagrama σ-ε, 𝑔!, deve ser definido em função da largura da malha, ℎ!, dependendo esta da largura da malha usada, do campo de deslocamentos, da ordem de integração e da trajetória de fendilhação no interior do elemento (Leitão 2011). 𝑔!=!! !! (2.15) com, 𝐺! energia de fratura (propriedade do material); ℎ! largura da banda (dependente da malha adotada). A largura da banda não deverá ser superior ao valor determinado na inequação (2.16). ℎ!< !!!! ! !"# ! (2.16) No presente trabalho adoptou-se um diagrama linear de amolecimento: linear tension softening, tal como é representado na Fig. 2.4. A principal vantagem deste diagrama é a sua simplicidade. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 13 Fig. 2.4 – Diagrama de amolecimento tensãoextensão de fendilhação adoptado simplificadamente no software. O diagrama linear de tension softening é assim definido pelas equações (2.17) a (2.19). !!! !" (!!! !" ) ! !"# = 1−!!! !" !!!.!"# !" !!!!!!𝑠𝑒!0<!𝜀!! !" <𝜀!!.!"# !" ! 0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!𝑠𝑒!!𝜀!!.!"# !" <𝜀!! !" <∞ (2.17) 𝜀!!.!"# !" =2!! !!! !"# (2.18) 𝜀!!.!"#.!"# !" =! !"# !!" (2.19) com, 𝜎!! !" (𝜀!! !" ) tensão normal à fenda; 𝜀!! !" extensão na direção normal à fenda; 𝜀!!.!"# !" extensão na direção normal à fenda correspondente ao fim do ramo de amolecimento; 𝜀!!.!"#.!"# !" valor mínimo que a extensão 𝜀!!.!"# !" pode tomar, para que seja respeitada a inequação (2.16). 2.3.3. DEFINIÇÃO DO DIAGRAMA DE TENSÕES DE TRAÇÃO NO BETÃO ARMADO. No betão armado, após a fissuração, as tensões de tração no betão, na seção da fenda, caiem bruscamente obrigando as armaduras a absorvê-las. Como consequência, dá-se uma deformação diferencial entre estes dois materiais, causando deslizamento relativo entre eles. Este deslizamento provoca tensões tangenciais na interface armaduras-betão entre fendas, transferindo tensões de tração Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 14 da armadura para o betão. Este fenómeno é chamado por efeito de retenção de tensões de tração pelo betão entre fendas. Na nomenclatura inglesa é conhecido como tension stiffening. A retenção de trações conferido por este fenómeno é superior ao do processo tension softening, e só deve ser considerado na área de betão envolvente das armaduras tracionadas. Esta zona é conhecida por área efetiva de betão e é esquematizada na Fig. 2.5, de acordo com o MC90 e com o EC2. Fig. 2.5 – Determinação da área efetiva de betão: a) vigas; b) lajes; c) elementos em tração. com, h altura total da seção; d altura útil da secção, dada pelas distância entre o centro de gravidade das armaduras e a fibra mais comprimida; x profundidade do eixo neutro; ϕ diâmetro do varão de aço; t espessura; c recobrimento. Fora da área efetiva de betão, a capacidade de retenção de tensões de trações é dada pelo efeito de tension softening. Os modelos de tension stiffening traduzem o comportamento médio ao longo da distância entre fendas, permitindo mesmo assim, obter bons resultados globais, quer na fase de formação de fendas, quer na fase de fendas estabilizadas. Refere-se que não se modelou explicitamente a transferência de tensões entre o betão e armaduras, porque se considera que o efeito de tension stiffening engloba corretamente este conceito. O diagrama de tension stiffeing usado na presente dissertação encontra-se representado na Fig. 2.6. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 15 Fig. 2.6 – Relação entre a extensão média e a tensão aplicada, na área efetiva de betão traccionado. Diagrama considerado no presente estudo. Na fase inicial, o betão trabalha em regime elástico, sendo a sua deformação igual à do aço que nele está embebido. Quando se atinge a extensão correspondente ao valor médio da resistência à tração do betão, equação (2.20), forma-se uma fenda e parte da força de tração é transferida para as armaduras, como já foi discutido anteriormente. 𝜀!" =! !"# !!" (2.20) Contudo a transferência de tensões para as armaduras não se realiza de forma brusca porque também atua o efeito de tension softening responsável pelo primeiro ramo descente na Fig. 2.6. Segue-se um ramo horizontal, correspondente a uma fase em que a tensão média instalada no betão entre fendas se mantém sensivelmente constante, mesmo com a evolução do deslizamento aço-betão. A extensão correspondente à transição entre ramos é dada pelo equação (2.21). A tensão correspondente é influenciada por um fator β!, que depende da duração da carga. O fator β!, neste trabalho, assume um valor correspondente à fase de fendilhação estabilizada para ações de longa duração. Isto porque como está a ser analisado um caso de deformação imposta (retração), a duração do carregamento é grande, sendo atingida a fase de fendilhação estabilizada nas zonas mais esforçadas (zona do apoio e zona do meio-vão). 𝜀∗!=𝜀!!.!"# !" −!!.! !"#.(!!!.!!" !" !!!") ! !"# (2.21) com 𝛽! igual a 0,4 no presente estudo. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 16 Quando é atingida a cedência das armaduras na secção da fenda, a força total instalada num tirante não pode aumentar mais (se for ignorado o endurecimento do aço) e é então alcançado o segundo tramo descendente da Fig. 2.7. A extensão 𝜀∗! é dado pela equação (2.22). 𝜀∗!=𝜀!" −0.4! !"# !!!!,!" (2.22) em que: 𝜀!" extensão de cedência do aço; 𝜌!,!" percentagem de armadura existente na zona de betão que é afetada pela aderência aço/betão, sendo dado pelo quociente entre a área das armaduras e a área efetiva de betão (ver Fig. 2.5). O modelo de comportamento da armadura encontra-se ilustrado na Fig. 2.7 (ignora-se, simplificadamente, o endurecimento após a cedência, sendo esta simplificação válida por se analisar no presente trabalho o comportamento em serviço). Fig. 2.7 – Diagrama bi-linear tensão-extensão considerado para a simulação da armadura. 2.3.4. CÁLCULO DA ABERTURA DE FENDAS SEGUNDO O MC90 (CEB-FIB, 1991) O programa de cálculo DIANA permite considerar as propriedades dos materiais de acordo com diversos regulamentos ou documentos de referência (Model Code, ACI, JCI, JSCE e Dutch Code). Optou-se pelo Model Code 1990 no presente trabalho, uma vez que este documento é uma relevante referência para o desenvolvimento dos regulamentos de projeto. Para o cálculo de abertura de fendas, incluindo os efeitos de retração, segue-se a formulação do MC90 - equação (2.23). Este valor é característico por se basear num valor característico da distância máxima entre pontos de deslizamento nulo,!𝑙!,!"# !. 𝑤!=𝑙!,!!" !.(𝜀!" −𝜀!" −𝜀!") (2.23) Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 17 com, 𝑤! valor característico da abertura de fendas; 𝜀!" valor médio de extensão no aço; 𝜀!" valor médio de extensão no betão; 𝜀!" extensão devido à retração do betão. A Fig. 2.8 ilustra de forma simplificada, o desenvolvimento das tensões ao longo da distância máxima entre pontos de deslizamento nulo, para o as armaduras, betão e interface (em termos de valores médios e não valores característicos). Fig. 2.8 – Distribuição simplificada de tensões num tirante de betão armado traccionado, na armadura, betão e na interface (Sousa, 2004). com, 𝜎!" tensão média no aço ao longo da distância entre pontos de deslizamento nulo; 𝜎!" tensão na armadura, no ponto de deslizamento nulo; 𝜎!! tensão na armadura calculada em secção totalmente fendilhada; 𝜏!" tensão de aderência média entre o aço e o betão, ao longo do comprimento de deslizamento. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 18 A tensão na armadura em secção totalmente fendilhada é calculada de acordo com a equação (2.24). 𝜎!!=𝜎!" +!!!! !"# !!,!" (2.24) As equações (2.25) e (2.26) determinam a distância máxima entre fendas. Refira-se que a equação 2.26 já tem em conta o facto de se estar perante uma fase de fendilhação estabilizada para uma ação de longa duração, retratando desta forma o presente caso de estudo. 𝑙!,!"# !=2!!!!!!" !!!" 𝜙 (2.25) sendo no caso de fendilhação estabilizada equivalente a: 𝑙!,!"# !=! !.!!!,!" (2.26) Para a determinação da deformação relativa entre o betão e o aço, sem incluir o efeito de retração, utiliza-se a equação (2.27). 𝜀!" −𝜀!" = !!!!!! !!"# !!,!"(!!!!.!!,!") !! (2.27) sendo 𝛼! o coeficiente de homogeneização, dado pela razão entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade do betão. Quando se pretende quantificar a abertura característica de fendas, de modo coerente com cálculos baseados no MC90, basta aplicar a equação (2.28). 𝑤!=𝜀!" !"#$#.𝑙!,!"# ! (2.28) em que 𝜀!" !"#$# é a extensão normal à fenda, no respetivo ponto de Gauss, calculada durante a análise não-linear. Esta engloba a deformação relativa entre o betão e o aço, incluindo a deformação devido à retração. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 19 2.4. MODELAÇÃO NUMÉRICA Conforme já foi referido, a análise não-linear foi realizada recorrendo ao sofware DIANA. 2.4.1. ELEMENTO FINITO ADOTADO O método dos elementos finitos é uma forma de resolução numérica de equações diferenciais parciais, baseando-se em funções interpoladoras. No âmbito de Engenharia de Estruturas, o MEF tem como principal objetivo, a determinação do estado de tensão e deformação de um corpo, sujeito a ações exteriores (Azevedo 2003). Na presente dissertação foi adotado um elemento finito curvo de casca (sendo neste caso usado com configuração plana), conhecido na nomenclatura inglesa como curved shell element (“Element Library” de DIANA), pois apenas este permite a modelação por camadas. Os curved shell elements devem ser usados para simular elementos estruturais com espessuras muito inferiores às restantes dimensões, ou seja, em elementos estruturais finos. Destaca-se, a título de exemplo, os tanques de armazenamento e as lajes. O elemento finito adotado baseia-se em duas hipótese: • as secções normais ao plano médio mantêm-se planas mas não necessariamente perpendiculares a este, respeitando a teoria de Bernoulli; • a tensão segundo a direção normal ao plano médio da casca é zero. Os graus de liberdade permitidos em cada nó são cinco, como indica a Fig. 2.9. Poupa-se assim no cálculo numérico o grau de liberdade correspondente à rotação do nó em torno do eixo normal ao plano médio da casca. Fig. 2.9 – Graus de liberdade em curved shell elements (“Element Library” de DIANA): a) 3 translações; b) 2 rotações. Ao longo da espessura do elemento as extensões, segundo as direções paralelas ao plano médio da casca, variam linearmente. Porém, as extensões e tensões devidas ao esforço transverso mantêm-se constante ao longo desta (antes da fissuração), sendo na realidade a sua variação de forma parabólica, o que justifica a existência de fatores corretivos da deformação por corte. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 20 Dentro da gama dos curved shell elements, optou-se por layered elements simbolizados por CQ40L (“Element Library” de DIANA). A Fig. 2.10 mostra este elemento finito. Fig. 2.10 – Elemento CQ40L, no referencial local (ξ,η,ζ) e discretização da espessura em layers (“Element Library” de DIANA). Estes elementos quadriláteros de oito nós e quatro pontos de integração de Gauss no seu plano, permitem a criação de vários layers, ou seja várias camadas ao longo de espessura da casca, possibilitando assim impor materiais com propriedades diferentes ao longo dela, através dos pontos de Gauss. Isto é fundamental para simular os efeitos de tension softening e tension stiffening em diferentes zonas ao longo da espessura. A Fig. 2.11 ilustra a simulação desses efeitos num elemento finito. Fig. 2.11– Simulação dos efeitos tension stiffening (pontos de Gauss a azul) e tension softening (pontos de Gauss a vermelho), nos vários layers, num elemento finito. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 21 O nome do elemento, CQ40L, significa: elemento curvo, quadrilátero, com 40 graus de liberdade (8 nós por 5 graus de liberdade cada) e com vários layers. Destaca-se que estes elementos pertencem à família serendipity. O número de nós de cada elemento da família serendipity é 4(p-1), sendo p o número de nós de um bordo. Dentro desta família, os elementos finitos que apresentam um bom compromisso entre o número de nós e a qualidade dos resultados são os de 8 nós, tendo como vantagem a sua precisão e boa adaptação a fronteiras curvilíneas (Azevedo 2003). Na Fig. 2.12 ilustrase o critério de seleção, no triângulo de Pascal, para elementos da família serendipity. Fig. 2.12 – Seleção dos elementos no triângulo de Pascal para elementos bidimensionais da família serendipity (Azevedo 2003). Um bom exemplo da aplicação do polinómio provindo do triângulo de Pascal, é a descrição matemática da translação (𝑢!) e da rotação (𝜙!) de um determinado nó, no referencial global, evidenciada nas equações (2.29) e (2.30), respetivamente. 𝑢!𝜉,𝜂=𝑎!+𝑎!𝜉+𝑎!𝜂+𝑎!𝜉𝜂 +𝑎!𝜉!+𝑎!𝜂!+𝑎!𝜉!𝜂+𝑎!𝜉𝜂! (2.29) 𝛷!𝜉,𝜂=𝑏!+𝑏!𝜉+𝑏!𝜂+𝑏!𝜉𝜂 +𝑏!𝜉!+𝑏!𝜂!+𝑏!𝜉!𝜂+𝑏!𝜉𝜂! (2.30) onde 𝑎! a 𝑎! e 𝑏! a 𝑏! representam constantes. 2.4.2. CURAGE E AGING Curage e Aging são dois conceitos associados ao programa de cálculo DIANA e estão relacionados com os modelos de retração e fluência, respetivamente. Entende-se por Aging como a idade do betão, em dias, quando se começa a análise no programa de cálculo. Ou seja, quando se considera um Aging de 14 dias para o betão (sendo este o caso), no instante 0 dias considerado na escala do programa de cálculo DIANA (Witte 2005), o betão modelado já tem as propriedades físicas correspondentes a um betão real com 14 dias após a sua betonagem. Curage é a idade (segundo a escala do DIANA) do betão modelado, em dias, no final da cura. Só quando acaba a cura, é que se inicia a retração. Adoptou-se um Aging de 14 dias e um Curage de 0 dias, implicando desta forma que a retração Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 28 A tensão máxima de tração nas armaduras superiores e inferiores tende para o valor de 220 MPa e 169 MPa, respetivamente. A variação da tensão 𝜎!" nas armaduras ao longo do vão da laje encontra-se ilustrada na Fig. 2.20 e na Fig. 2.21, para instantes de tempo representativos. Fig. 2.20 – Tensão nas armaduras superiores, ao longo do vão da laje. Fig. 2.21 – Tensão nas armaduras inferiores, ao longo do vão da laje. -50 -25 0 25 50 75 100 125 150 175 0 1 2 3 4 5 6 7 σ (MPa) vão (m) Antes Sobrecarga Após Sobrecarga 100 Dias 1.4 Anos -50 -25 0 25 50 75 100 125 0 1 2 3 4 5 6 7 σ (MPa) vão (m) Antes Sobrecarga 100 Dias 105 Dias 204 Dias 1.4 Anos Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 29 Através da visualização das Figuras 2.20 e 2.21 conclui-se que as fendas começam a abrir significativamente no apoio após sobrecarga (aos 42 dias) e no vão aos 105 dias. As tensões nas armaduras variam bruscamente nesses instantes de tempo porque ocorre fendilhação, transferindo-se tensões consideráveis para o aço. Note-se que antes dos instantes de tempo referidos já há fendas em pontos das secções mais esforçadas, só que como ainda são pequenas, grande parte da tensão é absorvido pelo betão (tension softening). Pode ver-se que as zonas onde ocorre fendilhação tendem a alastrar à medida que o tempo avança. A Fig. 2.22 representa a tensão 𝜎!" nas armaduras, para instante de tempo final da análise. Fig. 2.22 – Tensões 𝜎!" nas armaduras superiores e inferiores, para a idade de 50 anos. -100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100 125 150 175 200 0 1 2 3 4 5 6 7 σ (MPa) vão (m) Arm. Superior Arm. Inferior Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 30 Para apresentar a deformação da laje, foi captada a sua flecha (deslocamento vertical a meio vão) ao longo do tempo da análise, representada na Fig. 2.23. Fig. 2.23 – Evolução da flecha ao longo do tempo. Com a ocorrência de fissuração causada pela retração e pela aplicação das cargas exteriores, e com a fluência do betão, a laje perde rigidez aumentando a flecha. O valor máximo atingido é cerca de 10,2 mm aos 8,5 anos, verificando-se a partir deste instante um decréscimo. Uma justificação para a flecha diminuir a partir de determinado instante é existir mais armadura na superfície superior da laje do que na superfície inferior. Isso implica que, se o diagrama de momentos fletores se mantiver constante ao longo do tempo, o efeito de retração faz com que ocorram maiores extensões nas fibras de cima do que nas fibras de baixo, criando-se uma contra-flecha. A flecha atinge, a longo prazo, um valor de 9,5 mm. Apesar da fluência do betão, por si só, tender a reduzir a abertura da fenda (crescendo este efeito à medida que o tempo passa), verifica-se que a abertura máxima da fenda ocorre no final da análise. A Fig. 2.24 mostra o padrão de fendilhação para os 50 anos. Repare-se que esta figura representa os vetores normais às fendas, tendo cada um determinada cor e tamanho, consoante o tamanho da abertura da fenda que representa (a cor vermelha representa as maiores aberturas enquanto que a cor azul representa as menores aberturas). Os valores das aberturas de fendas máximas, obtidos através da análise não-linear, estão indicadas na Tabela 2.2. O seu cálculo foi feito recorrendo às equações (2.26) e (2.28). Estas aberturas foram interpoladas ao nível das armaduras e não ao nível da superfície inferior e superior, isto porque pretende-se estar em coerência com os regulamentos MC90 e EC2, que quantificam a abertura de fendas ao nível das armaduras. -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 flecha (mm) tempo (anos) Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 31 Fig. 2.24 – Padrão de fendilhação na laje, aos 50 anos, representado através de vetores normais às fendas em cada ponto de integração Tabela 2.2 – Valor das aberturas de fendas máximas, no instante de tempo final da análise, ao nível das armaduras. 𝒍𝒔,𝒎𝒂𝒙 (mm) 𝜺𝒔𝒎 −𝜺𝒄𝒎 −𝜺𝒄𝒔!(‰) 𝒘𝒌 (mm) Apoios 159,564 1,266 0,202 Meio Vão 176,941 0,941 0,167 2.5.4. VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS Como já foi referido anteriormente, um dos objetivos fundamentais deste subcapítulo era comparar os resultados obtidos com os de Carvalho (2013), de modo a validar o elemento finito e procedimento de análise utilizado. Na Tabela 2.3 é possível ver sumariamente alguns resultados produzidos pelos dois trabalhos no estudo do mesmo caso. Estes resultados foram obtidos para o último instante da análise, ou seja para os 50 anos. Tabela 2.3 – Comparação dos resultados obtidos nos dois trabalhos. Carvalho (2013) Presente Trabalho Unidades 𝑵𝒎 303 327 kN/m 𝑵 𝑨𝒄.𝒇𝒄𝒕𝒎 45% 48% adimensional 𝝈𝒔,𝒇𝒆𝒏𝒅𝒂,𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐 205 220 MPa 𝝈𝒔,𝒇𝒆𝒏𝒅𝒂,𝒗ã𝒐 172 169 MPa 𝒘𝒌,𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐 0,19 0,20 mm 𝒘𝒌,𝒗ã𝒐 0,18 0,17 mm Como a Tabela 2.3 ilustra, os resultados atingidos são praticamente iguais aos de Carvalho (2013). Considera-se assim validado o procedimento a usar na presente dissertação. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 32 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 33 3 ESTUDO DE LAJES BI-DIRECIONAIS RESTRINGIDAS AXIALMENTE SOB A AÇÃO DE CARGAS VERTICAIS 3.1. INTRODUÇÃO O objetivo deste capítulo é perceber o comportamento estrutural de lajes bidirecionais, sujeitas a ações verticais, que estão impedidas de se deformar axialmente, recorrendo a uma análise não-linear. Os efeitos de retração em lajes nestas circunstâncias, têm impactos importantes, atendendo à quantidade de armadura necessária para controlo da fendilhação. Um dos objetivos principais do estudo agora apresentado passa pela quantificação do esforço axial verdadeiramente instalado. Optou-se por simular painéis encastrados nos bordos (que simulam um painel interior de uma laje contínua), com cargas correntes de parques de estacionamento, pois pretende-se representar uma laje típica, fortemente restringida por paredes de elevada rigidez. Analisam-se painéis quadrados, com uma relação de vãos l×l, e painéis rectangulares, com uma relação de vãos l×1,5l e l×2l, de modo a, através desta última relação de vãos (l×2l), cair no caso de painéis com funcionamento unidirecional. Adotou-se vãos correntes para os diferentes tipos de painéis. Assim, os painéis estudados terão as seguintes dimensões em planta: 7×7 m!, 7×10,5 m! e 7×14 m!. Estes painéis têm todos a mesma espessura (20 cm), verificando-se que este valor é suficiente para garantir a verificação do Estado Limite de Deformação. Desta forma é possível realizar, para cada painel, uma análise paramétrica onde a única variável é a área de armadura. Os materiais e correspondentes propriedades são os mesmos que foram considerados no subcapítulo 2.5.2 (ver Tabela 2.1). As armaduras foram colocadas de forma a estarem a uma distância da fibra extrema correspondente a metade da altura efetiva de betão, resultando num recobrimento diferente do que foi adotado anteriormente. As razões para tal, serão explicadas posteriormente. Para se obter uma primeira estimativa da armadura a considerar, quantificou-se a área de aço necessária, com base em metodologias correntes de dimensionamento, para o Estado Limite de Utilização (ELS) e para o Estado Limite Último (ELU), procurando cumprir o Estado Limite de Fendilhação e o Estado Limite de Deformação, verificando que essas armaduras são necessárias para garantir a segurança em ELU. Como, nesta fase, não se conhece o valor do esforço axial verdadeiramente instalado na laje em fase de serviço, considerou-se que este era igual ao esforço axial de fendilhação, 𝑁!" (dado por 𝐴!.𝑓 !"#), tal como sugere o Eurocódigo 2, no subcapítulo 7.3.2. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 34 Recorrendo a uma análise não-linear, realizaram-se inicialmente várias análises, para um determinado painel, com malhas de elementos finitos de tamanhos diferentes, de forma a perceber a influência da discretização adotada sobre os resultados obtidos. Numa fase posterior, idealizou-se e aplicou-se um processo iterativo para cálculo da quantidade de armadura necessária de forma a garantir uma abertura máxima de fendas, !𝑤!, igual a 0,30 mm. Esse processo foi testado inicialmente num modelo com um único elemento finito. Posteriormente, aplicouse o procedimento aos painéis em estudo. Através da análise não-linear, foi possível determinar o esforço axial instalado nos painéis, para várias quantidades de armaduras. O esforço axial obtido pela análise não-linear foi comparado com 𝑁!" , comparando-se também as armaduras resultantes da análise não-linear, com as armaduras inicialmente estimadas com base em critérios simples de projeto (adotando N=𝑁!" ). Foi analisado o comportamento dos diversos painéis, tendo sido possível obter conclusões relevantes sobre os esforços, deformações e fendilhação nos mesmos. Na parte final do trabalho, os resultados foram tratados numa perspetiva diferente, que se espera poder ser útil para aplicação na prática corrente de projeto. Determinou-se o valor do esforço axial que um projetista poderia usar, em combinação com o momento fletor elástico, para obter a mesma solução de armaduras que foi quantificada com base na análise não-linear de elementos finitos realizada neste trabalho, garantindo uma abertura máxima de fendas igual a 0,30 mm. Assim, com o esforço axial calculado, é possível estimar a armadura verdadeiramente necessária, para garantir 𝑤!=0,30 mm, recorrendo apenas a uma análise linear de elementos finitos para quantificar momentos atuantes (ou, em alternativa, tabelas que indiquem os esforços atuantes em painéis de laje), auxiliando desta forma os projetistas de edifícios, que não podem geralmente recorrer a análises não-lineares de elementos finitos. 3.2. ESTIMATIVA DA ESPESSURA E ARMADURA NECESSÁRIA COM BASE EM METODOLOGIAS CORRENTES 3.2.1. ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO Em serviço pretende-se que a laje cumpra o controlo de fendilhação e de deformação. O controlo de deformação, passa por cumprir com uma flecha limite, que está preconizado no EC2: • L/250 a longo prazo, devido às ações permanentes; • L/500 a longo prazo, descontada a flecha elástica que se obtém no final de construção, devido às ações permanentes. Note-se que L é o comprimento do menor vão da laje e que neste trabalho não é muito relevante respeitar flecha máxima L/500, pois está-se a simular um parque de estacionamento público, onde normalmente não existem elementos adjacentes à estrutura (nomeadamente paredes de alvenaria, envidraçados e revestimentos). Para controlar a fendilhação é necessário respeitar uma abertura de fenda máxima, 𝑤!"#. O EC2 alerta para a possibilidade da adopção de medidas especiais em 7.3.1, afirmando que a escolha de 𝑤!"# dependerá sobretudo do agente agressivo. Porém adotou-se uma largura de fenda máxima cujo valor é 0,3 mm. Apesar deste limite ter sido tomado, reconhece-se que atualmente a sua implementação é discutível, existindo casos onde o seu cumprimento se torna demasiado conservativo. Contudo na presente dissertação ignorou-se esse facto, procurando-se respeitar as recomendações do EC2. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 35 Na presença de uma ferramenta de cálculo (Excel), que permita calcular simultaneamente diversos parâmetros interdependentes entre si, a metodologia adotada foi assumir uma espessura e calcular em simultâneo as armaduras necessárias para cumprir o Estado Limite de Serviço e o Estado Limite Último. Assim, os parâmetros apresentados terão valores corretos e não valores aproximados que derivam de um pré-dimensionamento. Para uma laje bidirecional com armaduras na superfície superior e inferior, é razoável esta ter como limite inferior uma espessura de 0,20 m. A equação (3.1) ilustra o valor limite da relação vão/altura útil sem correcção, recomendado pelo EC2. Apesar de se ter utilizado esta equação para controlo de deformação, reconhece-se que ela só funciona bem em lajes sujeitas à flexão simples. Neste caso, a laje encontra-se sujeita à flexão composta com tração, sendo a tração não é contabilizada neste controlo. Como este esforço contribui para o aumento de flecha (pois os esforços de tração provocam fissuração, provocando perda de rigidez da laje e consequentemente aumento da flecha), prevê-se que segundo esta equação, a laje cumpra o controlo de deformação com uma folga demasiado grande, e portanto irrealista (ver Tabela 3.2). Assim conclui-se que este procedimento de controlo não é adequado para este trabalho. (𝑙 𝑑)∗=𝐾11 +1,5𝑓 !" !! !+3,2𝑓 !" !! ! −1 ! !!!!!!!!!!!!!!!!𝑠𝑒!𝜌≤𝜌! (3.1) com, 𝐾 coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais;! 𝜌! taxa de armadura de referência (10!!𝑓 !"); 𝜌! taxa de armadura traccionada, necessária a meio-vão, para equilibrar o momento devido às ações de cálculo. O valor limite de vão/altura útil é dado pelo produto do valor provindo da equação (3.1) e os coeficientes de correcção, tal como é representado na equação (3.2). 𝑙 𝑑!"# =𝑙 𝑑 ∗ .𝑘!".𝑘!.𝑘! (3.2) com, 𝑘!"! coeficiente que é dado pelo quociente entre 310 MPa e a tensão de tração no aço a meio vão, para as ações de cálculo no estado limite de utilização; 𝑘! coeficiente que tem em conta secções em “T” (assume o valor 1 neste estudo); !𝑘! coeficiente que tem em conta o comprimento do vão (assume o valor 1 neste estudo). Em serviço, a laje é submetida à flexão composta. A Fig. 3.1 ilustra o equilíbrio de forças numa secção fendilhada ao longo de toda a espessura. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 36 Fig. 3.1 – Equilíbrio em flexão composta, numa secção fendilhada, para um esforço axial de pequena excentricidade (Carvalho 2013) . As tensões nas armaduras, devido ao esforços axial (N) e ao momento fletor (M), são determinadas nas equações (3.3) e (3.4). Se 𝑒<𝑒!"#, 𝐴=𝑒!"# +𝑒 𝐵=𝑒!"# −𝑒 (3.3) então, 𝐹 !"# =𝑁.! !!! 𝐹 !"# =𝑁.! !!! ⇒ 𝜎!"# = !!"# !!,!"# 𝜎!"# = ! !"# !!,!"# (3.4) As equações (3.3) e (3.4) são válidas em secções fendilhadas com esforço axial de elevada intensidade, quando comparado com o momento fletor. Isto provoca uma excentricidade pequena que se localiza entre as armaduras. Caso a excentricidade seja maior, com um esforço axial que cause compressões no betão que envolve armaduras, então o equilíbrio é dado pela Fig. 3.2. Fig. 3.2 – Equilíbrio em flexão composta, numa secção fendilhada, para um esforço axial de média ou grande excentricidade (Estruturas de Betão 1, FEUP) . Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 37 Desta forma, o esforço axial é absorvido diretamente por uma das armaduras, caindo-se no caso de flexão simples onde momento fletor é calculado segundo a equação (3.5). 𝑀!=𝑀−𝑁.𝑦! (3.5) Como ainda se desconhece o esforço axial instalado na secção em causa, admite-se o esforço axial de fendilhação, 𝑁!", dado pela equação (3.6). 𝑁!" =𝐴!.𝑓 !"# (3.6) em que 𝐴! é a área bruta na secção de betão. O momento fletor atuante é obtido recorrendo às tabelas do Regulamento Britânico (British Standard Structural use of Concrete, 1985), baseando-se numa análise elástica com redistribuição. É de notar que nesta fase, a excentricidade do esforço axial é pequena, e por isso as equações (3.3) e (3.4) são válidas. O cálculo da abertura de fendas é feito conforme sugerido pelo MC90. Para as várias lajes com espessuras de 0,20 m, sujeitas à retração do betão, considerando um esforço 𝑁!", a Tabela 3.1 mostra as armaduras obtidas (com 𝜙=12 mm) para uma abertura de fendas igual a 0,3 mm. Tabela 3.1 – Armaduras e tensões instaladas, para obter 𝑤!=0,3!𝑚𝑚,!com N = 𝑁!" . Laje 𝝈𝒔,𝒔𝒖𝒑!(𝑴𝑷𝒂) 𝑨𝒔,𝒔𝒖𝒑!(𝒄𝒎𝟐𝒎) 𝝈𝒔,𝒊𝒏𝒇!(𝑴𝑷𝒂) 𝑨𝒔,𝒊𝒏𝒇!(𝒄𝒎𝟐𝒎) DIR. YY 7×7 250 14,86 240 14,23 7×10,5 270 16,37 260 15,52 7×14 280 17,17 265 16,11 DIR. XX Todas 250 14,86 240 14,23 A DIR. YY corresponde à direção do vão mais curto, enquanto que DIR. XX refere-se ao vão mais longo. Foi assumido que a armadura paralela ao vão mais curto, Asy, situa-se logo abaixo da armadura paralela ao vão mais longo, Asx, tendo a primeira maior altura útil (d). As armaduras situadas na superfícies superior e inferior, foram definidas para garantir uma abertura de fenda igual a 0,3 mm, nos apoios e a meio-vão, respetivamente. Para as armaduras definidas (ver Tabela 3.1) e com painéis de altura 0,20 m, verifica-se controlo de deformação, tal como mostra a Tabela 3.2. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 44 As extensões totais no aço e no betão são iguais, tornando possível estimar armaduras, tal como mostram as equações (3.18) e (1.19). 𝜀!,!"!#$ !!! =𝜀!,!"!#$ !!! = !!!!! !!!!!! .!! (3.18) sendo equivalente a, 𝐴!𝑚!!! = !!!!! !!,!"!#$ !!!.!! (3.19) Recorrendo à equação (2.28), é possível obter a extensão na direção normal à fenda e a armadura necessária, de modo ter uma abertura da fenda igual a 0,30 mm. Note que segundo a equação (2.28), a extensão normal à fenda é calculada para um referencial local, pelo que é necessário recorrer a uma transformação de referenciais, conforme discutido anteriormente. Desta forma consegue-se quantificar, em cada iteração, novas armaduras, possibilitando correr novamente o sofware DIANA até se obter uma abertura de fenda máxima de 0,30 mm. A solução atingiu-se, para as diversas lajes, na terceira iteração. 3.3.2. RESULTADOS OBTIDOS 3.3.2.1 CONDIÇÕES DE SIMETRIA Como já foi referido anteriormente, as análises não-lineares foram feitas modelando apenas um quarto do painel, considerando as condições de simetria. Assim reduz-se bastante o tempo de cálculo. A Fig. 3.6 representa os eixos considerados na análise dos esforços atuantes. Fig. 3.6 – Convenção adotada para representar os diversos eixos que serão analisados. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 45 3.3.2.2. PAINEL 7×7 M! Este subcapítulo está direccionado para os resultados obtidos no painel 7×7 m! através da análise nãolinear. Eles são mostrados ao longo do tempo da análise e para o último instante de tempo, correspondente a 50 anos. A Tabela 3.5 mostra a armadura obtida na análise não-linear, comparando-a com a armadura calculada pelo MC90 (com 𝑁=𝐴!.𝑓 !"#), incluindo os efeitos de retração, para cumprir com a mesma abertura de fendas, 0,30 mm. Tabela 3.5 – Armaduras obtidas numa análise não-linear, comparadas com as previstas pelo MC90, de modo a obter 𝑤!=0,3!𝑚𝑚. MC90 (N=𝑨𝒄.𝒇𝒄𝒕𝒎) DIANA 𝑨𝒔,𝑫𝑰𝑨𝑵𝑨 𝑨𝒔,𝑴𝑪𝟗𝟎 𝑨𝒔,𝒔𝒖𝒑 𝑨𝒔,𝒊𝒏𝒇 𝑨𝒔,𝒔𝒖𝒑 𝑨𝒔,𝒊𝒏𝒇 𝑨𝒔,𝒔𝒖𝒑 𝑨𝒔,𝒊𝒏𝒇 DIR. XX (ou YY) 14,86 14,23 12,15 11,29 82% 79% A Fig. 3.7 representa a variação da flecha ao longo do tempo da análise, para este painel, utilizando a armadura obtida na análise não-linear (Tabela 3.5). Fig. 3.7 - Flecha obtida ao longo do tempo, na análise não-linear. A partir dos 10 anos, a flecha varia muito pouco, atingindo o valor de 20,16 mm aos 46 anos de idade, sendo este menor do que o limite estabelecido no EC2: 7000/250 = 28 mm. -25 -20 -15 -10 -5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 flecha (mm) tempo (anos) Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 46 O esforço axial em cada nó, correspondente ao eixo “a”, obtido pela análise não-linear, para um instante de tempo igual a 46 anos, está ilustrado na Fig. 3.8. O gráfico que representa esses esforços tem uma forma irregular, com muitas quebras, devido a uma especificidade do elemento finito adotado. Assim entendeu-se efetuar uma média móvel de 5 nós, permitindo suavizar o presente gráfico. Fig. 3.8 – Esforços axiais nodais ao longo do eixo “a” e média móvel dos mesmos. Os resultados apresentados posteriormente serão a média móvel dos obtidos na análise não linear, pelas razões mencionadas acima. As Figuras 3.9 e 3.10 representam o rácio entre o esforço axial instalado e o esforço axial de fendilhação (ver equação (3.6)), em instantes de tempo representativos, para a zona do apoio e para a zona do meio vão, respetivamente. 0 10 20 30 40 50 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 N (KN) eixo "a" (m) Esforço Axial Nodal Média Móvel Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 47 Fig. 3.9 – Esforço axial no apoio, ao longo do eixo “a”. Fig. 3.10 – Esforço axial a meio vão, ao longo do eixo “b”. O esforço axial instalado na laje, baixa a partir do instante de aplicação da sobrecarga, devido sobretudo ao efeito de retração. Este flutua entre 60% e 30% do esforço axial de fendilhação, ao longo de tempo. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 N/Ncr eixo "a" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 N/Ncr eixo "b" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 48 A Tabela 3.6 mostra os momentos fletores elásticos previstos pelas tabelas de Montoya (Montoya J., 2010), em contraste com os momentos elásticos máximos obtidos no DIANA, sendo estes correspondentes à aplicação do peso próprio e da sobrecarga. Tabela 3.6 – Comparação entre os momentos fletores obtidos na análise não linear, e os mesmos obtidos pelas tabelas de Montoya. 𝐌𝐞𝐥𝐚𝐬𝐭,𝐚𝐩𝐨𝐢𝐨!𝐤𝐍.𝐦𝐦 𝐌𝐞𝐥𝐚𝐬𝐭,𝐯ã𝐨!𝐤𝐍.𝐦𝐦 Montoya 20,14 8,14 DIANA 20,63 8,40 Como esperado, os momentos elásticos obtidos das duas maneiras são muito semelhantes. Nas figuras seguintes, os diagramas de momentos fletores são apresentados em percentagem dos valores elásticos máximos, devido às ações peso próprio combinado com a sobrecarga, apresentados na Tabela 3.6. O momento elástico adotado para ser comparado com os momentos alcançados na análise não-linear, foi o obtido pelo DIANA. As Figuras 3.11 e 3.12 ilustram a relação entre eles, ao longo do apoio e do meio-vão. Fig. 3.11 – Momento Fletor no apoio, ao longo do eixo “a”. -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0! 0,5! 1,0! 1,5! 2,0! 2,5! 3,0! 3,5! M/Melast. eixo "a" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 49 Fig. 3.12 – Momento Fletor a meio vão, ao longo do eixo “b”. O rácio a meio-vão entre os respetivos momentos fletores é maior do que o rácio no apoio. Isto porque como o momento fletor instalado no apoio é maior do que o momento fletor instalado a meio-vão, a fendilhação ocorre primeiro no apoio, causando uma redistribuição, em que é transferido parte do momento fletor do apoio para o meio-vão. Os momentos fletores tendem a baixar ao longo do tempo. As Figuras 3.13 a 3.16 mostram o padrão de fendilhação, no instante final da análise, para a superfície superior e inferior. Note-se que apesar de o cálculo da abertura de fendas ser correspondente ao nível das armaduras, optou-se por representar o padrão de fendilhação nas superfícies extremas, por ser um padrão mais definido. Salienta-se também que não foi possível (porque isso dificultaria a visualização) representar na mesma figura, os vetores normais às múltiplas fendas formadas em cada ponto de Gauss, representando-os em figuras separadas. Salienta-se que a escala de vetores é sempre a mesma. -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 M/Melast. eixo "b" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 50 Fig. 3.13 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 46 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração. Fig. 3.14 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 46 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 51 Fig. 3.15 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior, aos 46 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração. Fig. 3.16 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior, aos 46 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 52 As fendas mais próximas do meio-vão, na superfície inferior, são inclinadas aproximadamente 45 graus porque a tensão em x, σ!, e a tensão em y, σ!, são praticamente iguais, bastando existir uma pequena tensão tangencial, τ!", para que as direções principais fiquem inclinadas a 45 graus, conforme ilustra a Fig. 3.17 Fig. 3.17 – Círculo de Mohr que representa o estado plano de tensão a meio vão, na superfície inferior. Na superfície superior, as fendas localizadas nos apoios, nas zonas mais próximas dos eixos de simetria (ver Fig. 3.13), foram as que condicionaram o dimensionamento da armadura superior. Por outro lado, a armadura inferior foi condicionada pelas fendas na superfície inferior, localizadas a meio-vão, na zona próxima da intersecção dos eixos de simetria (ver Figuras 3.15 e 3.16) Os esforços por metro, instalados nas zonas do painel onde há as maiores aberturas de fendas, para as duas superfícies, encontram-se representados na Fig. 3.18. Para o seu cálculo, optou-se por considerar a média dos nós mais próximos dos eixos de simetria, ao longo de 0,50 m. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 53 Fig. 3.18 – Esforços por metro, instalados nas zonas do painel onde há maiores aberturas de fendas, obtidos numa análise não-linear. As Tabelas 3.7 e 3.8 comparam as aberturas de fendas máximas calculadas ao abrigo do MC90, utilizando os esforços da Fig. 3.18, com as maiores aberturas de fendas obtidas na análise não-linear. Tabela 3.7 – Valores das aberturas de fendas calculadas de acordo com o MC90 (considerando os esforços obtidos na análise não linear) e das maiores aberturas de fendas, obtidas na análise não-linear, na superfície superior. Superfície Superior n (kN/m) N/𝐍𝐜𝐫 m (kN.m/m) αe εsm-εcm εsh ls,max (m) wk MC90 (mm) wk DIANA (mm) 181,49 0,35 21,35 18 0,000717 0,0005195 0,254 0,31 0,29 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 60 Ao contrário do que sucede na laje 7×7 m!, os rácios dos momentos nos apoios são maiores do que os rácios nos vãos, e à medida que o tempo avança, os momentos fletores tendem a aumentar nos apoios e reduzir nos vãos. Assim sendo, parece que a redistribuição de momento fletor, implica uma transferência gradual deste do meio-vão para o apoio. As Figuras 3.28 a 3.31 mostram o padrão de fendilhação, no instante final da análise, para a superfície superior e inferior. Fig. 3.28 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 61 Fig. 3.29 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície superior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 62 Fig. 3.30 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior aos 50 anos, representado através de vetores normais às primeiras fendas, em cada ponto de integração. Fig. 3.31 – Padrão de fendilhação num quarto do painel, na superfície inferior, aos 50 anos, representado através de vetores normais às segundas fendas, em cada ponto de integração. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 63 Na superfície superior, as fendas localizadas nos apoios, nas zonas mais próximas dos eixos de simetria (ver Fig. 3.28), foram as que condicionaram o dimensionamento da armadura superior. As armaduras inferiores, foram condicionadas pelas fendas na superfície inferior. Destas, as armaduras paralelas ao eixo yy, Asy, foram condicionadas pela fenda mais próxima dos eixos de simetria (ver Fig. 3.30), enquanto que as armaduras Asx, foram condicionadas pela maior fenda observada na Fig. 3.31. Os esforços por metro, instalados nas zonas do painel onde há maiores aberturas de fendas, para as duas superfícies, encontram-se representados na Fig. 3.32. Apesar de a maior fenda da Fig. 3.31 condicionar as armaduras Asx, esta não é tão importante quanto as outras e a determinação dos esforços na sua vizinhança é mais difícil, pelo que se entendeu ignorar esta nas comparações efetuadas a seguir. Fig. 3.32 – Esforços por metro, instalados nas zonas do painel onde há maiores aberturas de fendas, obtidos numa análise não-linear. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 64 As Tabelas 3.11 e 3.12 comparam as aberturas de fendas máximas calculadas ao abrigo do MC90, utilizando os esforços da Fig. 3.32, com as maiores aberturas de fendas obtidas na análise não-linear. Tabela 3.11 – Valores das aberturas de fendas calculadas de acordo com o MC90 (considerando os esforços obtidos na análise não linear) e das maiores aberturas de fendas, obtidas na análise não-linear, na superfície superior. Superfície Superior n (kN/m) N/𝐍𝐜𝐫 m (kN.m/m) αe εsm-εcm εsh ls,max (m) wk MC90 (mm) wk DIANA (mm) DIR. XX 147,01 0,28 22,59 18 0.000728 0,000521 0,265 0,33 0,31 DIR. YY 167,07 0,32 33,05 18 0,000941 0,000521 0,213 0,31 0,30 Tabela 3.12 – Valores das aberturas de fendas calculadas de acordo com o MC90 (considerando os esforços obtidos na análise não linear) e das maiores aberturas de fendas, obtidas na análise não-linear, na superfície inferior. Superfície Inferior n (kN/m) N/𝐍𝐜𝐫 m (kN.m/m) αe εsm-εcm εsh ls,max (m) wk MC90 (mm) wk DIANA (mm) 171,56 0,33 14,23 18 0,000503 0,000521 0,294 0,30 0,30 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 65 3.3.2.4. PAINEL 7×14 M! Para o painel 7×14 m! os resultados obtidos, são muito semelhantes aos do painel 7×10,5 m!. A Tabela 3.13 mostra a armadura obtida, numa análise não-linear, comparando-o com a armadura calculada pelo MC90, incluindo os efeitos de retração, assumindo um esforço axial 𝑁!", para cumprir com a mesma abertura de fendas, 0,3 mm. Tabela 3.13 – Armaduras obtidas numa análise não-linear, comparadas com as previstas pelo MC90, de modo a obter 𝑤!=0,3!𝑚𝑚. MC90 (N=𝑨𝒄.𝒇𝒄𝒕𝒎) DIANA 𝑨𝒔,𝑫𝑰𝑨𝑵𝑨 𝑨𝒔,𝑴𝑪𝟗𝟎 𝑨𝒔,𝒔𝒖𝒑 𝑨𝒔,𝒊𝒏𝒇 𝑨𝒔,𝒔𝒖𝒑 𝑨𝒔,𝒊𝒏𝒇 𝑨𝒔,𝒔𝒖𝒑 𝑨𝒔,𝒊𝒏𝒇 DIR. XX 14,86 14,23 11,32 8,72 76% 61% DIR.YY 17,17 16,10 14,67 10,47 85% 65% A flecha obtida ao longo do tempo, encontra-se representada na Fig. 3.33. Fig. 3.33 - Flecha obtida ao longo do tempo, na análise não-linear. À semelhança dos paneis anteriores, a flecha a partir dos 10 anos, varia muito pouco, atingindo o valor de 26,6 mm aos 50 anos de idade, sendo este menor do que o limite estabelecido no EC2 – 7000/250 (28 mm). Observa-se que não existe nenhuma espaço de tempo onde a flecha toma valores irregulares. As Figuras 3.34 a 3.37 representam o rácio entre esforço axial instalado e o esforço axial de fendilhação, em instantes de tempo representativos, para as zonas dos apoios e para as zonas a meio vão. -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 0 10 20 30 40 50 flecha (mm) tempo (anos) Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 66 Fig. 3.34 – Esforço Axial no apoio, ao longo do eixo “a”. Fig. 3.35 – Esforço Axial a meio vão, ao longo do eixo “b”. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 N/Ncr eixo "a" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 N/Ncr eixo "b" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 67 Fig. 3.36 – Esforço Axial a meio vão, ao longo do eixo “c”. FIg. 3.37 – Esforço Axial no apoio, ao longo do eixo “d”. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 N/Ncr eixo "c" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 N/Ncr eixo "d" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 68 A Tabela 3.14 mostra os momentos fletores elásticos previstos pelas tabelas de Montoya, em contraste com os momentos elásticos obtidos pelo software DIANA, sendo estes correspondentes à aplicação do peso próprio e da sobrecarga. Tabela 3.14 – Comparação entre os momentos fletores obtidos na análise não linear, e os mesmos obtidos pelas tabelas de Montoya. 𝐌𝐞𝐥𝐚𝐬𝐭,𝐚𝐩𝐨𝐢𝐨!𝐤𝐍.𝐦𝐦 𝐌𝐞𝐥𝐚𝐬𝐭,𝐯ã𝐨!𝐤𝐍.𝐦𝐦 Montoya DIR. XX 22,46 3,88 DIR. YY 32,54 15,87 DIANA DIR. XX 25,34 6,34 DIR. YY 29,10 19,74 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 69 As Figuras 3.38 e 3.41 ilustram a relação entre o momento fletor elástico e o momento fletor obtido na análise não-linear, ao longo dos vários apoios e vãos, para instantes de tempo representativos. Fig. 3.38 – Momento fletor no apoio, ao longo do eixo “a”. Fig. 3.39 – Momento fletor a meio vão, ao longo do eixo “b”. -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 M/Melast. eixo "a" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 M/Melast. eixo "b" (m) Após PP Após Sobrecarga 2 Anos 50 Anos Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 76 A Tabela 3.17 mostra a comparação dos resultados, do presente painel simulado, com os do painel 7×14 m!. Note-se, que 𝑁!é!"# é o esforço axial médio de cada painel, com direcção paralela ao eixo yy. Tabela 3.17 – Resultados obtidos para os painéis 7×14 m! com funcionamento uni-direcional e bi-direcional. Painel Flecha (mm) 𝑵𝒎é𝒅𝒊𝒐/𝑵𝒄𝒓 𝒘𝒌!(mm) Sup. Superior Sup. Inferior Uni-direcional 26,50 0,44 0,28 0,30 Bi-direcional (*) 26,60 0,34 0,29 0,29 (*) Resultados para a banda central com vão de 7 m. Pelo que se observa da Tabela 3.17, validam-se os resultados obtidos para o painel 7×14 m!. 3.3.2.3 RECOMENDAÇÕES PRÁTICAS Pretende-se determinar o valor de N a utilizar por um projetista que, combinado com momento fletor elástico, num cálculo de acordo com o MC90, estimar corretamente a quantidade de armadura necessária para garantir 𝑤!=0,30!𝑚𝑚 (essa quantidade de armadura é a que foi obtida, neste trabalho, recorrendo às análises não lineares). A Fig. 3.50 esquematiza o processo adotado. 𝐴! !"#$# 𝑀!"# !"#$%. 𝑁=? !"!" 𝑤!=0,30!𝑚𝑚 Fig. 3.50 – Condição utilizada para determinar o esforço axial a combinar com o momento fletor elástico, de forma a obter 𝑤!=0.30 mm. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 77 Usou-se os momentos elásticos das tabelas de Montoya (Montoya J., 2010). A Tabela 3.18 mostra os resultados obtidos para os diversos painéis. Tabela 3.18– Esforços axiais, que deverão ser combinados com os momentos fletores elásticos, no cálculo da abertura da fenda, para obter 𝑤!=0,30 mm, com a solução de armaduras obtidas na análise não-linear. Painel (𝐦𝟐) Direção 𝑴𝑪𝑸𝑷 𝑬𝒍𝒂𝒔𝒕. 𝒎 (kN.m/m) 𝑵𝒎 (kN/m) 𝑵 𝑵𝒄𝒓 (%) Apoio Meio-vão Apoio Meio-vão Apoio Meio-vão 7×7 XX ou (YY) 20,14 8,14 177,92 337,50 34 65 7×10,5 XX 22,46 6,07 94,80 265,61 18 51 YY 29,44 13,68 202,78 180,32 39 35 7×14 XX 22,46 3,88 72,28 261,67 14 50 YY 32,54 15,87 164,62 138,06 32 27 Desta forma, é possível fazer um dimensionamento das armaduras sem recorrer a uma análise não linear. 3.3.2.6 CONCLUSÕES O presente capítulo pretendeu estudar o comportamento de painéis encastrados nos seus bordos, com geometrias representativas. Devido ao efeito de retração e de cargas atuantes, os painéis estão sujeitos a um esforço axial de tração, combinado com um momento fletor. Estes esforços têm de ser tomados em conta para o dimensionamento da armadura. Para proceder à análise não-linear, conclui-se que o tamanho da malha influenciava os resultados obtidos. A armadura obtida através desta análise, de forma a obter 𝑤!=0,30 mm (limite máximo exigido pelo EC2), é inferior à exigida para satisfazer ELS, (que visa cumprir o critério de deformação e fendilhação, assumindo N=𝑁!"), sendo cerca de 80% desta para o painel 7×7 m!, e 60% a 90% desta, para os painéis 7×10,5 m! e 7×14 m!. As armaduras exigidas para cumprir o ELU não são condicionantes. Nos diversos painéis, o esforço axial instalado, apesar de variar ao longo do tempo e ao longo do desenvolvimento do painel, encontra-se limitado: 30% a 60% do 𝑁!" , independentemente do tamanho do vão. O esforço axial que está instalado nas zonas onde abrem as maiores fendas assume um valor entre 30% a 35% do 𝑁!", com excepção da zona onde as maiores fendas estão rodadas a 45° (superfície inferior do painel 7×7 m!), onde o esforço axial é 50% do 𝑁!" . A redistribuição dos momentos fletores, implica uma transferência de momento fletor do apoio para o meio-vão, no painel 7×7 m!, e o uma transferência de momento fletor do meio-vão para o apoio, nos painéis 7×10,5 m! e 7×14 m!. Os painéis com diferentes vãos, 7×10,5 m! e 7×14 m!, têm um comportamento muito semelhante, pelo que se conclui não ser preciso analisar painéis com relações de vãos intermédias. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 78 Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 79 4 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS 4.1. CONCLUSÕES A presente dissertação pretende contribuir para a melhor compreensão do efeito associado à deformação imposta pela retração do betão, em estruturas laminares, nomeadamente nas lajes maciças bi-direcionais. Através de uma análise não-linear, recorrendo a um programa de elementos finitos, foi possível verificar que fica instalado na laje um esforço axial de tração, quando as lajes maciças estão restringidas axialmente, sendo este menor do que o esforço axial de fendilhação, 𝑁!". A armadura necessária para garantir uma abertura máxima de fendas igual a 0,30 mm é, portanto, menor do que aquela que seria estimada se fosse considerado um esforço axial igual a 𝑁!", nos cálculos baseados no Eurocódigo 2 ou no Model Code 90. Numa primeira fase do trabalho, procedeu-se ao estudo do comportamento do betão não fendilhado e do seu comportamento após a fissuração. No betão não fendilhado, discutiram-se os fenómenos de retração e fluência enquanto que no betão fendilhado, estudou-se como se processa a retenção de trações no betão simples, tension softening, e no betão armado, tensions stiffening. Concluiu-se que, para modelar adequadamente estes efeitos numa análise não linear, recorrendo ao software DIANA, foi necessário recorrer ao modelo de fendilhação de múltiplas fendas fixas com decomposição de extensões. Devido à consideração do efeito de tension stiffening, não foi necessário usar um modelo de aderência entre os materiais aço e betão. A escala de tempo real, contada a partir da betonagem, é diferente da escala de tempo simulada no software DIANA, pelo que se teve de empregar os conceitos Curage e Aging (aspetos específicos do software empregue). Para perceber o comportamento de uma laje maciça axialmente restringida, estudou-se uma laje típica de parques de estacionamento, limitada por paredes de elevada rigidez. Optou-se por estudar painéis encastrados nos bordos, simulando painéis interiores de uma laje contínua, com relações entre vãos representativas. Para modelar corretamente estes painéis numa análise não-linear, conclui-se que o elemento finito de casca com a designação CQ40L, disponibilizado pelo software utilizado, é adequado. Trata-se de um elemento de 8 nós, que permite a discretização da espessura da laje em camadas de diferentes espessuras. O procedimento de análise foi inicialmente testado através de um exemplo de validação, tomando-se como base de comparação um exemplo sobre lajes unidirecionais, estudado na dissertação de Carvalho (2013). Depois de definido o elemento finito a adotar na análise não-linear, analisou-se a influência do tamanho da malha sobre os resultados. Conclui-se que o tamanho do elemento finito influencia os resultados finais. Concluiu-se, de entre as hipóteses testadas, a dimensão mais adequada para o tamanho do elemento finito é a que corresponde a uma malha com maior número de elementos finitos. Posteriormente, idealizou-se e validou-se um método iterativo que Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 80 permitisse determinar iterativamente (com um número reduzido de iterações), a quantidade de armaduras necessária para garantir uma abertura máxima de fendas, com o valor de 0,30 mm. Concluiu-se que o método desempenhou adequadamente o papel para o qual foi idealizado. Por fim, foi realizada a análise não-linear, recorrendo ao software DIANA, de painéis com a seguinte geometria em planta: 7×7 m!, 7×10,5 m! e 7×14 m!. Concluiu-se que os painéis com dimensões 7×10,5 m! e 7×14 m! têm um comportamento muito semelhante. Para o painel 7×7 m!, verificou-se que a armadura obtida na análise é cerca de 80% daquela que seria quantificada se, no cálculo da abertura de fendas, fosse considerado um esforço axial de tração igual a 𝑁!" . No caso dos painéis 7×10,5 m! e 7×14 m!, essa percentagem toma valores entre 60% e 90% (podendo ser este valor discutível). Verifica-se que o esforço axial nas lajes, a longo prazo, é de 30% a 60% do valor de 𝑁!". Nas zonas onde ocorrem as maiores aberturas de fendas, esse esforço axial toma valores de 30% a 35% de 𝑁!" , exceto nos casos em que as fendas estão rodadas 45º relativamente aos bordos da laje (superfície inferior do painel 7×7 m!). Neste caso, o esforço axial é igual a 50% do valor de 𝑁!". 4.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS Tendo em conta os aspetos que não puderam ser tratados na presente dissertação, aconselham-se os seguintes desenvolvimentos futuros, para dar seguimento à mesma: • comparação dos resultados obtidos na presente dissertação com os resultados de análises considerando modelos de aderência aço/betão; • estudo de painéis com diferentes configurações estruturais; • estudo do comportamento, após a fendilhação, de uma laje vigada, através da modelação integral da mesma; • estudo de lajes fungiformes e aligeiradas, restringidas axialmente, sujeitas a ações verticais. Estudo da Fendilhação de Lajes Bi-Direcionais Restringidas, Atendendo aos Efeitos de Retração e das Ações Gravíticas 81 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (1985), British Standard Structural use of Concrete (1991), CEB (1993) CEB-FIP Model Code 1990 (2012), Transparências das Aulas Teóricas, Estruturas de Betão, Universidade do Porto CEN (2004), EN 1992-1-1-Eurocódigo 2: Projecto de estruturas de betão Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios CEN, Eurocódigo 0 - Bases para o projecto de estruturas Azevedo, A. (2003), Método dos Elementos Finitos U. Porto, 1ªEdição DIANA Manual Release 9.4.4 Delf (2012), Netherlands Bazant , Z. P. and K.-L. Liu (1985). "Random creep and shrinkage in structures: sampling." Journal of Structural Eng. ASCE Vol. 111(Nº 5): 1113-1134. Coutinho, A. S. and A. Gonçalves (1994), Fabrico e propriedades do betão, Secondary Coutinho, A. S. and A. Gonnçalves, Conference Location Favre, R., et al. (1997). "Dimensionement des structures en béton. 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