Estudo de dois modelos para seguimento em imagens de pedobarografia

João Manuel R. S. Tavares Comunicação Interna: ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA Novembro de 1997 INEB - Instituto de Engenharia Biomédica FEUP - Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto DEEC - Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Sumário Nesta comunicação é apresentado um estudo sobre a utilização de dois tipos de modelos para o seguimento em imagens pedobarograficas. O objectivo é a obtenção de emparelhamentos entre os pixels que constituem cada modelo em imagens sucessivas e a possibilidade de traduzir a deformação existente ao longo da sequência com os menores custos computacionais possíveis. O problema ao qual o presente estudo tenta responder é a verificação se é útil, e ao mesmo tempo lógica, a utilização de modelos que são construídos considerando um objecto real para os mesmos quando as imagens disponíveis são apenas a projecção em 2D sem uma estreita correlação com o referido objecto. Palavras chave: pedobarografia, elementos finitos, análise modal, seguimento, emparelhamento, energia de deformação, modelos. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 1 1 - Introdução Nesta comunicação são estudados dois tipos de modelos para seguimento em imagens de sequências pedobarograficas em que o objectivo é obter-se bons resultados de emparelhamento entre imagens e uma medida da deformação do objecto ao longo da sequência com os mais reduzidos custos computacionais. O problema ao qual o presente estudo tenta responder é a verificação se é útil, e ao mesmo tempo lógica, a utilização de modelos que são construídos considerando um objecto real para os mesmos quando as imagens disponíveis são apenas a projecção em 2D sem uma estreita correlação com o referido objecto. Um dos tipos de modelos, designado nesta comunicação por modelo objecto constituído por pixels e proposto inicialmente em [Sclaroff, 1993, 1994, 1995, 1995a], utiliza todas as ligações entre todos os pixels, quer sejam do contorno quer do interior, para a sua construção. Assim, para cada modelo, são determinadas as matrizes de elementos finitos de massa e de rigidez utilizando-se como função interpoladora a função Gaussiana ponderada; a partir destas matrizes, determinam-se os modos próprios de vibração de cada modelo. O emparelhamento dos pixels que constituem dois modelos é realizado através da verificação da similaridade da representação de cada um no respectivo espaço modal. Após os emparelhamentos estarem estabelecidos, determinam-se os deslocamentos modais e nodais através de uma minimização da energia de deformação; a medida desta energia, traduz a deformação existente entre os dois modelos. O outro tipo de modelo, designado nesta comunicação por modelo contorno e baseado no proposto por Shapiro em [Shapiro, 1991, 1992, 1992a], utiliza apenas as ligações dos pixels pertencentes ao contorno para a sua construção. Assim, para cada modelo constrói-se uma matriz de proximidade, utilizando-se novamente a função Gaussiana ponderada, e são determinados os valores e vectores próprios destas matrizes. O emparelhamento dos pixels que constituem dois modelos é realizado através da similaridade da representação de cada um no respectivo espaço próprio. Após os emparelhamentos estarem estabelecidos, determinamse as matrizes de elementos finitos de massa e de rigidez considerando-se que os pixels são ligados ao longo do contorno por barras elásticas e, a partir destas matrizes, determinam-se os modos próprios de vibração de cada sistema de elementos finitos. A determinação dos deslocamentos modais e nodais é novamente conseguida através de uma minimização da energia de deformação; como no outro tipo de modelo em estudo, a medida desta energia traduz a deformação existente entre os dois modelos. No ponto seguinte é apresentado e descrito o âmbito no qual se insere este trabalho: Pedobarografia; nos pontos seguintes são apresentados os dois tipos de modelos utilizados, resultados experimentais obtidos e são tecidas algumas considerações aos mesmos; por fim, são apresentadas algumas conclusões. 2 - Pedobarografia: O que é? A pedobarografia é um método de medir e visualizar a distribuição de pressões sob a planta do pé. O registo de impressões pedobarográficas ao longo do tempo de uma passada em marcha normal permite a análise dinâmica do comportamento do pé; a introdução da dimensão temporal amplia o potencial deste tipo de exame como auxiliar de diagnóstico e de planeamento terapêutico. O sistema básico de pedobarografia consiste numa placa de vidro ou acrílico, transiluminada pelos seus bordos polidos, de tal modo que a luz se reflecte internamente; a ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 2 placa é coberta na sua face de topo por uma fina camada simples ou dupla de plástico, sobre a qual são aplicadas as pressões, Figura 1. Quando observada a face inferior da placa; destacam-se áreas de brilho nas zonas correspondentes à aplicação de pressão, devido à alteração localizada da relação de índices de refracção produzida pelo esvaziamento da interface de ar entre a placa e a camada plástica. A relação entre a intensidade do brilho e a pressão aplicada é de quase proporcionalidade, com uma selecção adequada de materiais e uma conveniente calibração do sistema de aquisição de imagem. luz reflectida vidro pressão camada opaca lâmpada lâmpada camada transparente Figura 1 – Sistema básico de pedobarografia. As imagens captadas, numa sequência temporal, utilizando um setup prático idêntico ao da Figura 2,são muito densas e ricas em informação sobre a interacção da planta do pé com a superfície plana da placa. Mesa de pedobarografia TV câmara computador es p elho vidro + camada de contacto Figura 2 – Setup um sistema de pedobarografia. Nas Figura 1 … Figura 10 estão representadas 10 imagens1, previamente negadas, obtidas numa sequência de movimento de um pé direito diabético e que serão utilizadas para teste dos dois tipos de modelos em estudo. A estas imagens foi aplicado um filtro de média (5x5) e uma binarização de nível igual a 190 e foram removidos os objectos de reduzida dimensão (correspondentes aos dedos do pé), Figura 11 … Figura 20. 1 Todas as imagens apresentadas nesta comunicação estão reduzidas em 50%. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 3 Figura 1 - Imagem 1 da sequência. Figura 2 - Imagem 2 da sequência. Figura 3 - Imagem 3 da sequência. Figura 4 - Imagem 4 da sequência. Figura 5 - Imagem 5 da sequência. Figura 6 - Imagem 6 da sequência. Figura 7 - Imagem 7 da sequência. Figura 8 - Imagem 8 da sequência. Figura 9 - Imagem 9 da sequência. Figura 10 - Imagem 10 da sequência. Figura 11 - Imagem 1 da sequência binarizada. Figura 12 - Imagem 2 da sequência binarizada. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 4 Figura 13 - Imagem 3 da sequência binarizada. Figura 14 - Imagem 4 da sequência binarizada. Figura 15 - Imagem 5 da sequência binarizada. Figura 16 - Imagem 6 da sequência binarizada. Figura 17 - Imagem 7 da sequência binarizada. Figura 18 - Imagem 8 da sequência binarizada. Figura 19 - Imagem 9 da sequência binarizada. Figura 20 - Imagem 10 da sequência binarizada. Para teste dos dois tipos de modelos utilizados foram geradas mais duas sequências de sete imagens a partir da Imagem 6, Figura 6, e da 10, Figura 10, aplicou-se previamente um filtro de média (5x5) e utilizaram-se vários níveis de binarização, com posterior remoção dos objectos de reduzida dimensão, Figura 21 … Figura 27 e Figura 28 … Figura 34. Figura 21 - Imagem 1 da sequência a partir da imagem 6. Figura 22 - Imagem 2 da sequência a partir da imagem 6. Figura 23 - Imagem 3 da sequência a partir da imagem 6. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 5 Figura 24 - Imagem 4 da sequência a partir da imagem 6. Figura 25 - Imagem 5 da sequência a partir da imagem 6. Figura 26 - Imagem 6 da sequência a partir da imagem 6. Figura 27 - Imagem 7 da sequência a partir da imagem 6. Figura 28 - Imagem 1 da sequência a partir da imagem 10. Figura 29 - Imagem 2 da sequência a partir da imagem 10. Figura 30 - Imagem 3 da sequência a partir da imagem 10. Figura 31 - Imagem 4 da sequência a partir da imagem 10. Figura 32 - Imagem 5 da sequência a partir da imagem 10. Figura 33 - Imagem 6 da sequência a partir da imagem 10. Figura 34 - Imagem 7 da sequência a partir da imagem 10. Nos pontos seguintes são apresentados os dois tipos de modelos utilizados, resultados experimentais obtidos para cada um e uma análise dos mesmos. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 6 3 - Modelo Objecto Constituído por Pixels Na construção deste tipo de modelo, proposto por Sclaroff em [Sclaroff, 1993, 1994, 1995, 1995a], são consideradas todas as ligações possíveis entre os pixels que constituem o mesmo, Figura 35. Figura 35 – Neste tipo de modelo são consideradas todas as ligações entre os pixels. Na abordagem seguida por Sclaroff para este tipo de modelo formulam-se as matrizes de elementos finitos de massa Μ e de rigidez Κ considerando-se a função Gaussiana ponderada para a construção das funções de forma a serem utilizadas na interpolação superficial elástica de Galerkin [Bathe, 1996; Segerlind, 1984]. Assim, em primeiro lugar, devera-se construir a matriz quadrada simétrica G: () ( ) () ( )           = mmm m XgXg XgXg G    1 111 onde m é o número de pixels e () () 2 22 σ ij XX ji eXg −− = a função Gaussiana ponderada com parâmetro σ a controlar a interacção entre os pixels do modelo: para valores reduzidos, cada pixel apenas tem conhecimento da sua vizinhança local; enquanto para valores elevados, é influenciado mais globalmente. Após a construção da matriz G, pode-se determinar a matriz de massa Μ do modelo:       Μ Μ =Μ bb aa 0 0 onde as submatrizes aa Μ e bb Μ são iguais, simétricas, de dimensão () mm× e definidas positivamente. Estas submatrizes são determinadas do seguinte modo: 112 −− =Μ=Μ GGG bbaa ρπσ onde ρ é a densidade do material considerado para o modelo e G representa a matriz G após extracção da raiz quadrada aos seus elementos. Cada elemento das submatrizes aa Μ e bb Μ pode ser determinado individualmente da seguinte forma: ∑ =Μ=Μ lk kljlikbbaa gaa ijij , 2 ρπσ ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 7 onde kl g é o elemento () lk, da matriz G e xy a o elemento () yx, da A, matriz dos coeficientes de interpolação, determinada como 1− =GA . Para determinar-se a matriz de rigidez Κ do modelo deve-se, em primeiro lugar, determinar as constantes α , β e ξ para o material elástico isotrópico considerado para o modelo: υ υ α − =1, () ()( ) υυ υ β 211 1 −+ − =E, () υ υ ξ − − =12 21 onde E é o modulo de elasticidade e υ o coeficiente de Poisson. A matriz de rigidez Κ do modelo é:       ΚΚ ΚΚ =Κ bbba abaa onde cada submatriz de dimensão () mm× é simétrica, definida positivamente e baab Κ=Κ . Os elementos da submatriz aa Κ têm a forma: () ∑     + − + =Κ lk kl klkl jlikaa g yx aa ij ,2 22 4 ˆˆ 2 1 σ ξ ξ πβ onde () lkkl xxx −= ˆ e () lkkl yyy −= ˆ. Do mesmo modo, os elementos de bb Κ têm a forma: () ∑     + − + =Κ lk kl klkl jlikbb g xy aa ij ,2 22 4 ˆˆ 2 1 σ ξ ξ πβ . Finalmente, os elementos de ab Κ e ba Κ têm a forma: () ∑ + −=Κ=Κ lk klklkljlikbaab gyxaa ijij , 2ˆˆ 4 σ β α π β . 3.1 - Determinação dos Emparelhamentos Para se determinar a correspondência entre os pixels que constituem dois modelos deve-se, em primeiro lugar, determinar as matrizes de massa e de rigidez para cada um. De seguida, determinam-se os valores i ω e vectores i φ próprios de cada modelo: 2 ΜΦΩ=ΚΦ onde []                     ==Φ T m T T m T m v v u u 1 1 1    φφ e           =Ω 2 2 1 2 m ω ω . Desta forma para cada modelo determinam-se as frequências modais de vibração i ω e os respectivos vectores de forma i φ . As frequências de vibração estão ordenadas na matriz diagonal 2 Ω de forma crescente. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 14 Figura 71 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 8 e modelo da imagem 7 (após minimização da energia de deformação) da sequência. Figura 72 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 9 e modelo da imagem 8 (após minimização da energia de deformação) da sequência. Figura 73 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 10 e modelo da imagem 9 (após minimização da energia de deformação) da sequência. Na Figura 74 são apresentados, de forma gráfica, os resultados obtidos para o emparelhamento dos pixels que constituem os modelos utilizados ao longo da sequência. Assim para o emparelhamento entre os modelos t e 1+t, estão representados o número de pixels que constituem o modelo t e o número destes pixels que foram devidamente emparelhados com os do modelo 1+t. Desta figura, é possível verificar que o número de emparelhamentos obtido ao longo da sequência é bastante satisfatório. Na Figura 75 está representada a energia de deformação determinada ao longo da sequência de imagens sem e com a prévia aplicação da transformação rígida3, obtida a partir dos emparelhamento estabelecidos, aos pixels que constituem o modelo t . Desta representação, pode-se concluir que a energia de deformação obtida sem a prévia aplicação da transformação rígida existente não traduz de forma adequada a deformação entre os vários modelos ao longo da sequência; por exemplo, o valor de energia para os modelos 1 e 2 é superior ao valor para os modelos 4 e 5 e a deformação existente é inferior. Com a aplicação prévia das transformações rígidas existentes os valores obtidos para a energia de deformação ao longo da sequência traduzem mais correctamente as deformações ocorridas; contudo, tal viola o facto dos objectos estarem perfeitamente alinhados ao longo das imagens da sequência. Na Figura 76 estão representados os tempos de computação para construção dos modelos, determinação dos emparelhamentos, determinação dos deslocamentos modais e nodais e da energia de deformação ao longo da sequência de imagens. Como se pode verificar a grande percentagem do tempo de computação despendido é para a fase da construção dos modelos e da determinação dos emparelhamentos. Nestas fases a parte mais custosa, em termos computacionais, é a da construção das matrizes de rigidez e da determinação da matriz de afinidade. 3 A transformação rígida existente entre os dois modelos é uma rotação em torno da origem, um escalonamento em relação à mesma e uma translação [Foley, 1991; Hall, 1993; Tavares 1995]. O método para a determinação da transformação rígida existente entre os dois modelos, após os emparelhamentos entre os pixels que constituem cada modelo estarem estabelecidos, foi proposto por Horn em [Horn, 1987] e é também descrito por Tavares em [Tavares, 1997]. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 15 0 20 40 60 80 100 120 140 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 7_8 8_9 9_10 Modelos Resultados de Emparelhamento Número de Pixels do Primeiro Modelo Número de Pixels Emparelhados Figura 74 - Resultados de emparelhamento ao longo da sequência. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 7_8 8_9 9_10 Modelos Energia de Deformação Com Transformação rígida Sem … Figura 75 - Energia de deformação dos modelos ao longo da sequência. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 7_8 8_9 9_10 Modelos Tempos de Computação (s) Construção dos Modelos e Emparelhamento Deslocamentos Nodais e Energia de Deformação Figura 76 - Tempos de computação para os modelos ao longo da sequência. Deve-se referir que ao longo dos testes os parâmetros utilizados não foram alterados; pretendeu-se assim, utilizar os que possibilitavam bons resultados em termos médios e não ajusta-los de forma a obter-se os melhores resultados possíveis para cada conjunto de dois modelos. Por exemplo, se para os modelos das imagens 7 e 8 da sequência fossem apenas utilizados 10% dos modos para a determinação dos emparelhamentos obtinham-se os resultados das Figura 77 … Figura 79 de qualidade superior aos obtidos considerando 25% dos modos e que foram previamente apresentados. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 16 Figura 77 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 7 e 8 da sequência utilizando apenas 10% dos modos. Figura 78 - Modelos das imagens 8 e 7, após minimização da energia de deformação, da sequência utilizando apenas 10% dos modos. Figura 79 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 8 e modelo da imagem 7 (após minimização da energia de deformação) da sequência utilizando apenas 10% dos modos. Num segundo teste deste tipo de modelo foi utilizada a sequência apresentada nas Figura 80 … Figura 86 resultante da amostragem de 5 em 5 pixels, segundo as direcções x e y, dos objectos presentes nas Figura 21 … Figura 27. Na Figura 87 estão representadas as fronteiras dos modelos considerados ao longo de toda a sequência e é possível verificar as deformações existentes ao longo da mesma. Figura 80 - Pixels do modelo para a imagem 1 da sequência a partir da imagem 6. Figura 81 - Pixels do modelo para a imagem 2 da sequência a partir da imagem 6. Figura 82 - Pixels do modelo para a imagem 3 da sequência a partir da imagem 6. Figura 83 - Pixels do modelo para a imagem 4 da sequência a partir da imagem 6. Figura 84 - Pixels do modelo para a imagem 5 da sequência a partir da imagem 6. Figura 85 - Pixels do modelo for imagem 6 da sequência a partir da imagem 6. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 17 Figura 86 - Pixels do modelo para a imagem 7 da sequência a partir da imagem 6. Figura 87 - Fronteiras dos modelos ao longo da sequência a partir da imagem 6. Utilizando a mesma implementação da abordagem apresentada para este tipo de modelo obtivemos os resultados para os emparelhamentos ao longo da sequência representados nas Figura 88 … Figura 93 para os quais considerou-se borracha para o material do modelo, utilizou-se apenas 25% dos modos para a sua determinação e fez-se σ igual à média da distância entre os pixels que constituem cada modelo. Nestas imagens estão representados os pixels que constituem os dois modelos e os emparelhados estão devidamente ligados por intermédio de segmentos de recta. Figura 88 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 1 e 2 da sequência a partir da imagem 6. Figura 89 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 2 e 3 da sequência a partir da imagem 6. Figura 90 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 3 e 4 da sequência a partir da imagem 6. Figura 91 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 4 e 5 da sequência a partir da imagem 6. Figura 92 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 5 e 6 da sequência a partir da imagem 6. Figura 93 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 6 e 7 da sequência a partir da imagem 6. Após o estabelecimento dos emparelhamentos, determinaram-se os deslocamentos modais e nodais por minimização da energia de deformação e o valor da mesma energia. Nas Figura 94 … Figura 99 estão representados os resultados obtidos ao longo da sequência. Assim, por exemplo, na Figura 94 estão representados os pixels do modelo para a segunda imagem da sequência e os pixels do modelo para a primeira após a aplicação dos deslocamentos nodais ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 18 obtidos para este modelo. Desta forma, quanto mais os pixels dos dois modelos coincidirem em cada imagem melhores são os resultados obtidos. Figura 94 - Modelos das imagens 2 e 1, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 6. Figura 95 - Modelos das imagens 3 e 2, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 6. Figura 96 - Modelos das imagens 4 e 3, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 6. Figura 97 - Modelos das imagens 5 e 4, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 6. Figura 98 - Modelos das imagens 6 e 5, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 6. Figura 99 - Modelos das imagens 7 e 6, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 6. Nas Figura 100 … Figura 105 é possível verificar a qualidade dos deslocamentos nodais determinados ao longo da sequência pelo processo de minimização da energia de deformação. Nestas figuras, o interior do modelo 1+t está totalmente preenchido a preto e os pixels do modelo t estão representados, caso coincidam com o interior do modelo 1+t, com a cor branca ou com a cor preta, caso sejam exteriores. Destas figuras, pode-se concluir que os deslocamentos obtidos são bastante razoáveis pois os pixels do modelo t localizam-se sempre no interior do modelo 1+t. Figura 100 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 2 e modelo da imagem 1 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 6. Figura 101 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 3 e modelo da imagem 2 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 6. Figura 102 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 4 e modelo da imagem 3 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 6. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 19 Figura 103 – Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 5 e modelo da imagem 4 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 6. Figura 104 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 6 e modelo da imagem 5 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 6. Figura 105 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 7 e modelo da imagem 6 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 6. Na Figura 106 são apresentados, de forma gráfica, os resultados obtidos para o emparelhamento dos pixels que constituem os modelos utilizados ao longo da sequência. Assim para o emparelhamento entre os modelos t e 1+t, estão representados o número de pixels que constituem o modelo t e o número destes pixels que foram devidamente emparelhados com os do modelo 1+t. Desta figura, é possível verificar que o número de emparelhamentos obtido ao longo da sequência é bastante elevado. Na Figura 107 está representada a energia de deformação determinada ao longo da sequência de imagens sem e com a prévia aplicação da transformação rígida, obtida a partir dos emparelhamento estabelecidos, aos pixels que constituem o modelo t . Desta representação, pode-se concluir que a energia de deformação obtida sem a prévia aplicação da transformação rígida existente não traduz de forma adequada a deformação entre os vários modelos ao longo da sequência; por exemplo, o valor de energia para os modelos 6 e 7 é bastante superior aos restantes quando as deformações existentes são semelhantes. Com a aplicação prévia das transformações rígidas existentes os valores obtidos para a energia de deformação ao longo da sequência traduzem mais correctamente as deformações ocorridas; contudo, tal viola o facto dos objectos estarem perfeitamente alinhados ao longo das imagens da sequência. Na Figura 108 estão representados os tempos de computação para construção dos modelos, determinação dos emparelhamentos, determinação dos deslocamentos modais e nodais e da energia de deformação ao longo da sequência de imagens. Como se pode verificar a grande percentagem do tempo de computação despendido é para a fase da construção dos modelos e da determinação dos emparelhamentos. Nestas fases a parte mais custosa, em termos computacionais, é a da construção das matrizes de rigidez e da determinação da matriz de afinidade. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 20 0 20 40 60 80 100 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Resultados de Emparelhamento Número de Pixels do Primeiro Modelo Número de Pixels Emparelhados Figura 106 - Resultados de emparelhamento ao longo da sequência a partir da imagem 6. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Energia de Deformação Com Transformação rígida Sem … Figura 107 - Energia de deformação dos modelos ao longo da sequência a partir da imagem 6. 0 50 100 150 200 250 300 350 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Tempos de Computação (s) Construção dos Modelos e Emparelhamento Deslocamentos Nodais e Energia de Deformação Figura 108 - Tempos de computação para os modelos ao longo da sequência a partir da 6. Num terceiro teste deste tipo de modelo foi utilizada a sequência apresentada nas Figura 109 … Figura 115 resultante da amostragem de 5 em 5 pixels segundo as direcções x e y dos objectos presentes nas Figura 28 … Figura 34. Na Figura 116 estão representadas as fronteiras dos modelos considerados ao longo de toda a sequência e é possível verificar as deformações existentes ao longo da mesma. Figura 109 - Pixels do modelo para a imagem 1 da sequência a partir da imagem 10. Figura 110 - Pixels do modelo para a imagem 2 da sequência a partir da imagem 10. Figura 111 - Pixels do modelo para a imagem 3 da sequência a partir da imagem 10. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 21 Figura 112 - Pixels do modelo para a imagem 4 da sequência a partir da imagem 10. Figura 113 - Pixels do modelo para a imagem 5 da sequência a partir da imagem 10. Figura 114 - Pixels do modelo for imagem 6 da sequência a partir da imagem 10. Figura 115 - Pixels do modelo para a imagem 7 da sequência a partir da imagem 10. Figura 116 - Fronteiras dos modelos ao longo da sequência a partir da imagem 10. Utilizando a mesma implementação da abordagem apresentada para este tipo de modelo obtivemos os resultados para os emparelhamentos ao longo da sequência representados nas Figura 117 … Figura 122 para os quais considerou-se borracha para o material do modelo, utilizou-se apenas 25% dos modos para a sua determinação e fez-se σ igual à média da distância entre os pixels que constituem cada modelo. Nestas imagens estão representados os pixels que constituem os dois modelos e os emparelhados estão devidamente ligados por intermédio de segmentos de recta. Figura 117 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 1 e 2 da sequência a partir da imagem 10. Figura 118 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 2 e 3 da sequência a partir da imagem 10. Figura 119 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 3 e 4 da sequência a partir da imagem 10. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 22 Figura 120 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 4 e 5 da sequência a partir da imagem 10. Figura 121 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 5 e 6 da sequência a partir da imagem 10. Figura 122 - Resultados de emparelhamento para os modelos das imagens 6 e 7 da sequência a partir da imagem 10. Após o estabelecimento dos emparelhamentos, determinaram-se os deslocamentos modais e nodais por minimização da energia de deformação e o valor da mesma energia. Nas Figura 123 … Figura 128 estão representados os resultados obtidos ao longo da sequência. Assim, por exemplo, na Figura 123 estão representados os pixels do modelo para a segunda imagem da sequência e os pixels do modelo para a primeira após a aplicação dos deslocamentos nodais obtidos para este modelo. Desta forma, quanto mais os pixels dos dois modelos coincidirem em cada imagem melhores são os resultados obtidos. Figura 123 - Modelos das imagens 2 e 1, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 10. Figura 124 - Modelos das imagens 3 e 2, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 10. Figura 125 - Modelos das imagens 4 e 3, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 10. Figura 126 - Modelos das imagens 5 e 4, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 10. Figura 127 - Modelos das imagens 6 e 5, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 10. Figura 128 - Modelos das imagens 7 e 6, após minimização da energia de deformação, da sequência a partir da imagem 10. Nas Figura 129 … Figura 134 é possível verificar a qualidade dos deslocamentos nodais determinados ao longo da sequência pelo processo de minimização da energia de deformação. Nestas figuras, o interior do modelo 1+t está totalmente preenchido a preto e os pixels do modelo t estão representados, caso coincidam com o interior do modelo 1+t, com a cor ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 23 branca ou com a cor preta, caso sejam exteriores. Destas figuras, pode-se concluir que os deslocamentos obtidos são bastante razoáveis pois os pixels do modelo t localizam-se sempre no interior do modelo 1+t. Figura 129 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 2 e modelo da imagem 1 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 10. Figura 130 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 3 e modelo da imagem 2 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 10. Figura 131 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 4 e modelo da imagem 3 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 10. Figura 132 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 5 e modelo da imagem 4 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 10. Figura 133 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 6 e modelo da imagem 5 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 10. Figura 134 - Fronteira (preenchida) do modelo da imagem 7 e modelo da imagem 6 (após minimização da energia de deformação) da sequência a partir da imagem 10. Na Figura 135 são apresentados, de forma gráfica, os resultados obtidos para o emparelhamento dos pixels que constituem os modelos utilizados ao longo da sequência. Assim para o emparelhamento entre os modelos t e 1+t, estão representados o número de pixels que constituem o modelo t e o número destes pixels que foram devidamente emparelhados com os do modelo 1+t. Desta figura, é possível verificar que o número de emparelhamentos obtido ao longo da sequência é bastante elevado. Na Figura 136 está representada a energia de deformação determinada ao longo da sequência de imagens sem e com a prévia aplicação da transformação rígida, obtida a partir dos emparelhamento estabelecidos, aos pixels que constituem o modelo t . Desta representação, pode-se concluir que a energia de deformação obtida sem a prévia aplicação da transformação rígida existente não traduz de forma adequada a deformação entre os vários modelos ao longo da sequência; por exemplo, o valor de energia para os modelos 6 e 7 é bastante superior ao valor para os modelos 5 e 6 e as deformações envolvidas são semelhantes. Com a aplicação prévia das transformações rígidas existentes os valores obtidos para a energia de deformação ao longo da sequência traduzem mais correctamente as deformações ocorridas; contudo, tal viola o facto dos objectos estarem perfeitamente alinhados ao longo das imagens da sequência. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 30 Figura 165 - Contornos 8 e 7 após minimização da energia de deformação. Figura 166 - Contornos 9 e 8 após minimização da energia de deformação. Figura 167 - Contornos 10 e 9 após minimização da energia de deformação. Na Figura 168 são apresentados, de forma gráfica, os resultados obtidos ao longo da sequência para o emparelhamento dos pixels que constituem os modelos utilizados. Assim para o emparelhamento entre os modelos t e 1+t, estão representados o número de pixels que constituem o modelo t e o número destes pixels que foram devidamente emparelhados com os do modelo 1+t. Desta figura, é possível verificar que o número de emparelhamentos obtido ao longo da sequência é bastante elevado. Na Figura 169 está representada a energia de deformação determinada ao longo da sequência de imagens sem e com a prévia aplicação da transformação rígida, obtida a partir dos emparelhamento estabelecidos, aos pixels que constituem o modelo t . Desta representação, pode-se concluir que a energia de deformação obtida sem a prévia aplicação da transformação rígida existente traduz de forma aceitável a deformação entre os vários modelos ao longo da sequência. Com a aplicação prévia das transformações rígidas existentes os valores obtidos para a energia de deformação ao longo da sequência traduzem menos correctamente as deformações ocorridas; por exemplo, o valor de energia obtido para os modelos 5 e 6 é idêntico ao obtido para os modelos 4 e 5 quando a deformação existente é menor (tal aplicação também não deverá ser realizada pois, desta forma, é violado o alinhamento existente entre as imagens da sequência). Na Figura 170 estão representados os tempos de computação para construção dos modelos, determinação dos emparelhamentos, determinação dos deslocamentos modais e nodais e da energia de deformação ao longo da sequência de imagens. Como se pode verificar a grande percentagem do tempo de computação despendido é para a fase da determinação dos deslocamentos modais e nodais e da energia de deformação; contudo, a execução é sempre bastante rápida nunca sendo superior a 5 segundos. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 31 0 5 10 15 20 25 30 35 40 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 7_8 8_9 9_10 Modelos Resultados de Emparelhamento Número de Pixels do Primeiro Modelo Número de Pixels Emparelhados Figura 168 - Resultados de emparelhamento ao longo da sequência. 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 7_8 8_9 9_10 Modelos Energia de Deformação Com Transformação rígida Sem … Figura 169 - Energia de deformação ao longo da sequência. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 7_8 8_9 9_10 Modelos Tempos de Computação (s) Construção dos Modelos e Emparelhamento Deslocamentos Nodais e Energia de Deformação Figura 170 - Tempos de computação ao longo da sequência. Num segundo teste deste tipo de modelo foi utilizada a sequência apresentada nas Figura 171 … Figura 177 resultante da amostragem de 7 em 7 pixels dos contornos dos objectos presentes nas Figura 21 … Figura 27. Na Figura 178 estão representados os contornos, com os seus pixels ligados por segmentos de recta, dos objectos considerados ao longo de toda a sequência e é possível verificar as deformações existentes ao longo da mesma. Figura 171 - Contorno da imagem 1 da sequência a partir da imagem 6. Figura 172 – Contorno da imagem 2 da sequência a partir da imagem 6. Figura 173 - Contorno da imagem 3 da sequência a partir da imagem 6. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 32 Figura 174 - Contorno da imagem 4 da sequência a partir da imagem 6. Figura 175 – Contorno da imagem 5 da sequência a partir da imagem 6. Figura 176 - Contorno da imagem 6 da sequência a partir da imagem 6. Figura 177 - Contorno da imagem 7 da sequência a partir da imagem 6. Figura 178 - Todos os contornos da sequência a partir da imagem 6 com os seus pixels ligados. Utilizando a mesma implementação da abordagem apresentada para este tipo de modelo obtivemos os resultados para os emparelhamentos ao longo da sequência representados nas Figura 179 … Figura 184. Na obtenção destes resultados, utilizaram-se apenas 7 modos para a determinação dos emparelhamentos e fez-se σ igual à média da distância entre todos os pixels que constituem cada modelo. Nestas imagens estão representados os pixels, ligados por segmentos de recta, que constituem os dois modelos e os emparelhados estão devidamente ligados entre si. Figura 179 - Resultados de emparelhamento para os contornos 1 e 2 da sequência a partir da imagem 6. Figura 180 – Resultados de emparelhamento para os contornos 2 e 3 da sequência a partir da imagem 6 Figura 181 - Resultados de emparelhamento para os contornos 3 e 4 da sequência a partir da imagem 6 ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 33 Figura 182 - Resultados de emparelhamento para os contornos 4 e 5 da sequência a partir da imagem 6 Figura 183 – Resultados de emparelhamento para os contornos 5 e 6 da sequência a partir da imagem 6 Figura 184 - Resultados de emparelhamento para os contornos 6 e 7 da sequência a partir da imagem 6. Após o estabelecimento dos emparelhamentos, determinaram-se os deslocamentos modais e nodais por minimização da energia de deformação e o valor da mesma energia. Nas Figura 185 … Figura 190 estão representados os resultados obtidos ao longo da sequência considerando que os pixels de cada modelo estão ligados por barras de borracha. Assim, por exemplo, na Figura 185 estão representados os pixels do modelo para a segunda imagem da sequência e os pixels do modelo para a primeira após a aplicação dos deslocamentos nodais obtidos para este modelo. Desta forma, quanto mais os contornos dos dois modelos coincidirem em cada imagem melhores são os resultados obtidos. (Nestas figuras os pixels que constituem cada contorno aparecem ligados por intermédio de segmentos de recta.) Destas figuras, pode-se concluir que os deslocamentos obtidos são bastante razoáveis pois o contorno do modelo t coincide sempre de forma bastante aceitável com o do modelo 1+t. Figura 185 - Contornos 2 e 1, da sequência a partir da imagem 6, após minimização da energia de deformação. Figura 186 - Contornos 3 e 2, da sequência a partir da imagem 6, após minimização da energia de deformação. Figura 187 - Contornos 4 e 3, da sequência a partir da imagem 6, após minimização da energia de deformação. Figura 188 - Contornos 5 e 4, da sequência a partir da imagem 6, após minimização da energia de deformação. Figura 189 - Contornos 6 e 5, da sequência a partir da imagem 6, após minimização da energia de deformação. Figura 190 - Contornos 7 e 6, da sequência a partir da imagem 6, após minimização da energia de deformação. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 34 Na Figura 191 são apresentados, de forma gráfica, os resultados obtidos ao longo da sequência para o emparelhamento dos pixels que constituem os modelos utilizados. Assim para o emparelhamento entre os modelos t e 1+t, estão representados o número de pixels que constituem o modelo t e o número destes pixels que foram devidamente emparelhados com os do modelo 1+t. Desta figura, é possível verificar que o número de emparelhamentos obtido ao longo da sequência é bastante elevado. Na Figura 192 está representada a energia de deformação determinada ao longo da sequência de imagens sem e com a prévia aplicação da transformação rígida, obtida a partir dos emparelhamento estabelecidos, aos pixels que constituem o modelo t . Desta representação, pode-se concluir que a energia de deformação obtida sem a prévia aplicação da transformação rígida existente traduz de forma aceitável a reduzida deformação entre os vários modelos ao longo da sequência. Com a aplicação prévia das transformações rígidas existentes os valores obtidos para a energia de deformação ao longo da sequência também traduzem as reduzidas deformações ocorridas; contudo, tal aplicação também não deverá ser realizada pois, desta forma, é violado o alinhamento existente entre as imagens da sequência. Na Figura 193 estão representados os tempos de computação para construção dos modelos, determinação dos emparelhamentos, determinação dos deslocamentos modais e nodais e da energia de deformação ao longo da sequência de imagens. Como se pode verificar a grande percentagem do tempo de computação despendido é para a fase da determinação dos deslocamentos modais e nodais e da energia de deformação; contudo, a execução é sempre bastante rápida nunca sendo superior a 3 segundos. 0 5 10 15 20 25 30 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Resultados de Emparelhamento Número de Pixels do Primeiro Modelo Número de Pixels Emparelhados Figura 191 - Resultados de emparelhamento ao longo da sequência a partir da imagem 6. 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Energia de Deformação Com Transformação rígida Sem … Figura 192 - Energia de deformação ao longo da sequência a partir da imagem 6. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Tempos de Computação (s) Construção dos Modelos e Emparelhamento Deslocamentos Nodais e Energia de Deformação Figura 193 - Tempos de computação ao longo da sequência a partir da imagem 6. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 35 Num terceiro teste deste tipo de modelo foi utilizada a sequência apresentada nas Figura 194 … Figura 200 resultante da amostragem de 7 em 7 pixels dos contornos dos objectos presentes nas Figura 28 … Figura 34. Na Figura 201 estão representados os contornos, com os seus pixels ligados por segmentos de recta, dos objectos considerados ao longo de toda a sequência e é possível verificar as deformações existentes ao longo da mesma. Figura 194 - Contorno da imagem 1 da sequência a partir da imagem 10. Figura 195 - Contorno da imagem 2 da sequência a partir da imagem 10. Figura 196 - Contorno da imagem 3 da sequência a partir da imagem 10. Figura 197 - Contorno da imagem 4 da sequência a partir da imagem 10. Figura 198 - Contorno da imagem 5 da sequência a partir da imagem 10. Figura 199 - Contorno da imagem 6 da sequência a partir da imagem 10. Figura 200 - Contorno da imagem 7 da sequência a partir da imagem 10. Figura 201 - Todos os contornos da sequência a partir da imagem 10 com os seus pixels ligados. Utilizando a mesma implementação da abordagem apresentada para este tipo de modelo obtivemos os resultados para os emparelhamentos ao longo da sequência representados nas Figura 202 … Figura 207. Na obtenção destes resultados, utilizaram-se apenas 7 modos para a determinação dos emparelhamentos e fez-se σ igual à média da distância entre todos os pixels que constituem cada modelo. Nestas imagens estão representados os pixels, ligados por segmentos de recta, que constituem os dois modelos e os emparelhados estão devidamente ligados entre si. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 36 Figura 202 - Resultados de emparelhamento para os contornos 1 e 2 da sequência a partir da imagem 10. Figura 203 - Resultados de emparelhamento para os contornos 2 e 3 da sequência a partir da imagem 10. Figura 204 - Resultados de emparelhamento para os contornos 3 e 4 da sequência a partir da imagem 10. Figura 205 - Resultados de emparelhamento para os contornos 4 e 5 da sequência a partir da imagem 10. Figura 206 - Resultados de emparelhamento para os contornos 5 e 6 da sequência a partir da imagem 10. Figura 207 - Resultados de emparelhamento para os contornos 6 e 7 da sequência a partir da imagem 10. Após o estabelecimento dos emparelhamentos, determinaram-se os deslocamentos modais e nodais por minimização da energia de deformação e o valor da mesma energia. Nas Figura 208 … Figura 213 estão representados os resultados obtidos ao longo da sequência considerando que os pixels de cada modelo estão ligados por barras de borracha. Assim, por exemplo, na Figura 208 estão representados os pixels do modelo para a segunda imagem da sequência e os pixels do modelo para a primeira após a aplicação dos deslocamentos nodais obtidos para este modelo. Desta forma, quanto mais os contornos dos dois modelos coincidirem em cada imagem melhores são os resultados obtidos. (Nestas figuras os pixels que constituem cada contorno aparecem ligados por intermédio de segmentos de recta.) Destas figuras, pode-se concluir que os deslocamentos obtidos são bastante razoáveis pois o contorno do modelo t coincide sempre de forma bastante aceitável com o do modelo 1+t. Figura 208 - Contornos 2 e 1, da sequência a partir da imagem 10, após minimização da energia de deformação. Figura 209 - Contornos 3 e 2, da sequência a partir da imagem 10, após minimização da energia de deformação. Figura 210 - Contornos 4 e 3, da sequência a partir da imagem 10, após minimização da energia de deformação. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 37 Figura 211 - Contornos 5 e 4, da sequência a partir da imagem 10, após minimização da energia de deformação. Figura 212 - Contornos 6 e 5, da sequência a partir da imagem 10, após minimização da energia de deformação. Figura 213 - Contornos 7 e 6, da sequência a partir da imagem 10, após minimização da energia de deformação. Na Figura 214 são apresentados, de forma gráfica, os resultados obtidos ao longo da sequência para o emparelhamento dos pixels que constituem os modelos utilizados. Assim para o emparelhamento entre os modelos t e 1+t, estão representados o número de pixels que constituem o modelo t e o número destes pixels que foram devidamente emparelhados com os do modelo 1+t. Desta figura, é possível verificar que o número de emparelhamentos obtido ao longo da sequência é bastante elevado. Na Figura 215 está representada a energia de deformação determinada ao longo da sequência de imagens sem e com a prévia aplicação da transformação rígida, obtida a partir dos emparelhamento estabelecidos, aos pixels que constituem o modelo t . Desta representação, pode-se concluir que a energia de deformação obtida sem a prévia aplicação da transformação rígida existente traduz de forma aceitável a reduzida deformação entre os vários modelos ao longo da sequência. Com a aplicação prévia das transformações rígidas existentes os valores obtidos para a energia de deformação ao longo da sequência também traduzem as reduzidas deformações ocorridas; contudo, tal aplicação também não deverá ser realizada pois, desta forma, é violado o alinhamento existente entre as imagens da sequência. Na Figura 216 estão representados os tempos de computação para construção dos modelos, determinação dos emparelhamentos, determinação dos deslocamentos modais e nodais e da energia de deformação ao longo da sequência de imagens. Como se pode verificar a grande percentagem do tempo de computação despendido é para a fase da determinação dos deslocamentos modais e nodais e da energia de deformação; contudo, a execução é sempre bastante rápida nunca sendo superior a 2.5 segundos. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 38 0 5 10 15 20 25 30 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Resultados de Emparelhamento Número de Pixels do Primeiro Modelo Número de Pixels Emparelhados Figura 214 - Resultados de emparelhamento ao longo da sequência a partir da imagem 10. 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Energia de Deformação Com Transformação rígida Sem … Figura 215 - Energia de deformação ao longo da sequência a partir da imagem 10. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1_2 2_3 3_4 4_5 5_6 6_7 Modelos Tempos de Computação (s) Construção dos Modelos e Emparelhamento Deslocamentos Nodais e Energia de Deformação Figura 216 - Tempos de computação ao longo da sequência a partir da imagem 10. 4.4 – Conclusões Com este tipo de modelo é possível obter-se muito bons resultados de emparelhamento ao longo das sequências de imagens utilizadas neste estudo. Os deslocamentos nodais obtidos, pelo processo de minimização da energia de deformação, são de boa qualidade fazendo com que os pixels do contorno do modelo t praticamente coincidam, de acordo como o material considerado para as barras que ligam os pixels do modelo (borracha), com os do contorno do modelo 1+t. A energia de deformação obtida ao longo da sequência, sem a aplicação prévia das transformações rígidas determinadas pelos emparelhamentos estabelecidos, traduz razoavelmente as deformações existentes. Quando a transformação rígida é previamente aplicada, a energia de deformação obtida ao longo da sequência traduz também de forma aceitável as deformações existentes; contudo, tal aplicação viola a maneira com que as imagens da sequência são obtidas: estão perfeitamente alinhadas. Os tempos de computação são bastante reduzidos sendo as fases mais custosas as da determinação dos deslocamentos modais e nodais pelo processo de minimização da energia de deformação e do valor desta energia. A consideração de borracha para as barras que ligam os pixels de cada contorno revelou-se bastante aceitável assim como o valor considerado para σ (igual à distância média entre os todos pixels que constituem cada modelo) e verificou-se ser suficiente a utilização de apenas 7 modos para a determinação, de forma bastante satisfatória, dos emparelhamentos. ESTUDO DE DOIS MODELOS PARA SEGUIMENTO EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA 39 5 – Conclusões Finais Nesta comunicação foram apresentados dois tipos de modelos para seguimentos de em sequências de imagens pedobarograficas. Um tipo de modelo (designado por modelo objecto constituído por pixels) utiliza todas as ligações entre os pixels que constituem cada objecto quer estes sejam do contorno quer interiores ao mesmo, e o outro (designado por modelo contorno), utiliza apenas as ligações ao longo do contorno para a construção dos respectivos modelos ao longo da sequência. Para o primeiro tipo de modelo em estudo são construídas as matrizes de elementos finitos de massa e de rigidez e são determinados os seus modos de vibração. Após os modos estarem determinados as correspondências entre os pixels de dois modelos são estabelecidas através da análise da representação de cada pixel no respectivo espaço modal. Para o segundo tipo de modelo é construída uma matriz de proximidade dos pixels do contorno e são determinados os valores e vectores próprios desta matriz. Após os vectores próprios estarem determinados as correspondências entre os pixels de dois modelos são estabelecidas através da análise da representação de cada pixel no respectivo espaço próprio. Para a obtenção das matrizes de elementos finitos de massa e rigidez considera-se neste tipo de modelo que os pixels do contorno estão ligados ao longo do mesmo por intermédio de barras elásticas. Após os modos de vibração do sistema de elementos finitos para cada modelo estarem determinados obtém-se os deslocamentos modais e nodais a partir da minimização da energia de deformação de forma aos mesmos serem de acordo com as características do material considerado para o objecto em estudo. A medida desta energia de deformação traduz a deformação do objecto existente ao longo da sequência de imagens. Os resultados de emparelhamento obtidos para as sequências utilizadas neste estudo foram de qualidade razoável para cada um dos dois tipos de modelos utilizados; sendo para o modelo contorno bastante bons ao longo das três sequências. Para os deslocamentos modais e nodais, determinados pelo processo de minimização da energia de deformação, também foram obtidos bons resultados ao longo das sequências em estudo para os dois tipos de modelos utilizados. Os respectivos modelos coincidiam, de acordo com o material considerado para o objecto, de forma bastante satisfatória ao longo de toda a sequência. Para a medida da deformação do objecto em estudo ao longo da sequência de imagens utilizou-se o valor da energia de deformação e verificou-se que a consideração de modelos contorno para o objecto origina valores de energia de deformação que traduzem de forma mais aceitável a deformação existente ao longo do tempo. Também se analisou os valores de energia de deformação obtidos após a prévia aplicação da transformação rígida, recuperada a partir dos emparelhamentos estabelecidos, mas verificou-se que, geralmente, os mesmos não traduziam de forma tão razoável as deformações ocorridas além de tal aplicação violar a forma de como as imagens são obtidas que faz com que os objectos estejam nas mesmas perfeitamente alinhados. Analisando as deformações obtidas pela análise das áreas do objecto nas imagens das seqências obtiveram-se as mesmas conclusões. Quanto aos tempos computacionais, verificou-se que o modelo contorno é incomparavelmente mais leve e que as fases mais dispendiosas são diferentes; no caso do modelo contorno, a fase correspondente à determinação dos deslocamentos modais e nodais e do valor da energia de deformação é a mais custosa; no caso do modelo objecto constituído por pixels, as fases mais custosas são as correspondentes à construção da matriz de rigidez e da matriz de afinidade. A título de exemplo, na Figura 217 estão representados os tempos de computação para os dois tipos de modelos para a sequência de imagens representadas nas Figura 11 … Figura 20. Nesta figura verifica-se que os tempos de computação para o modelo