Ejemplos clásicos de la teoría de juegos

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Trabajo de Fin de Grado Grado en Economía Ejemplos Clásicos de la Teoría de Juegos Presentado por: Juan Camilo Hernández Blandón Valladolid, 25 de Julio de 2022 1 Resumen: El presente Trabajo Fin de Grado busca realizar una aproximación a una disciplina matemática tan estudiada como es la Teoría de Juegos. El nacimiento de esta se atribuye al matemático John Von Neumann y al economista Oskar Morgenstern con la publicación de su libro “Theory of Games and Economic Behaviour” en 1944. Más tarde y gracias a economistas como John Nash, William Vickrey o Paul Milgrom la Teoría de Juegos alcanzaría su máxima relevancia al ganar estos estudiosos, entre otros, los Premios Nobel de Economía. Por otro lado, este trabajo versará exclusivamente en los juegos no cooperativos y en concreto se expondrán los ejemplos clásicos de la Teoría de Juegos y se hallarán los Equilibrios de Nash de estos, tanto en los juegos en forma normal, siendo el más conocido el Dilema del Prisionero, como en los juegos en forma extensiva, siendo uno de los ejemplos más conocidos el Duopolio de Stackerlberg. No sin antes repasar la terminología y los conceptos básicos de la materia, como podrían ser los tipos de estrategias (puras o mixtas), o el tipo de información existente en el juego, a modo de introducción. Palabras Clave: Teoría de Juegos, Equilibrio de Nash, Juegos no Cooperativos, Premios Nóbel. Clasificación JEL: C7, C72, C70 Summary: This Final Degree Project seeks to make an approximation to a mathematical discipline as studied as Game Theory. The birth of this is attributed to the mathematician John Von Neumann and the economist Oskar Morgenstern with the publication of his book "Theory of Games and Economic Behavior" in 1944. Later and thanks to economists such as John Nash, William Vickrey or Paul Milgrom Game Theory would reach its maximum relevance when these scholars won, among others, the Nobel Prizes in Economics. 2 Furthermore, this essay focuses purely on non-cooperative games, addressing classical examples of Game Theory and their Nash Equilibrium, both in normal form, where the Prisoner's Dilemma stands out, and in extensive form, where Stackerlberg's Duopoly is best known. Before this and as an introduction to the topics, the terminology and basic concepts such as the type of strategies (pure or mixed), or the type of information that exists in the game, will be reviewed. Key Words: Game Theory, Nash Equilibrium, Non Cooperative Games, Nobel Prizes JEL Classification: C7, C72, C70 3 INDICE DE CONTENIDO 1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS, OBJETIVOS DEL TRABAJO Y METODOLOGÍA ........................................................................................................ 5 2 HISTORIA SOBRE LA TEORÍA DE JUEGOS .................................................... 6 2.1 John Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten ......................................................... 7 2.2 William Vickrey y James Mirrlees: ........................................................................... 9 2.3 Robert Aumann y Thomas Schelling ..................................................................... 10 2.4 Robert B. Wilson y Paul Milgrom ........................................................................... 11 2.5 Alvin Roth y Lloyd Shapley .................................................................................... 12 3 DEFINICIÓN TEORÍA DE JUEGOS .................................................................. 13 3.1 Terminología básica .............................................................................................. 13 3.2 Categorías de juegos ............................................................................................ 14 4 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UN JUEGO .......................................... 15 4.1 Juegos en forma normal o estratégica................................................................... 15 4.2 Juegos en forma extensiva .................................................................................... 16 5 EQUILIBRIO DE NASH ..................................................................................... 19 5.1 Juegos en forma normal ........................................................................................ 19 5.2 Juegos en forma extensiva .................................................................................... 20 6 EJEMPLOS CLÁSICOS DE TEORÍA DE JUEGOS EN FORMA NORMAL ..... 22 6.1 El dilema del prisionero ......................................................................................... 22 6.2 Batalla de los sexos .............................................................................................. 24 6.3 Caza del ciervo ..................................................................................................... 26 6.4 El halcón y la paloma ............................................................................................ 29 6.5 Piedra-papel-tijera ................................................................................................. 31 6.6 Peticiones de Nash ............................................................................................... 33 6.7 La estrategia maximin ........................................................................................... 34 6.8 Duopolio de Cournot ............................................................................................. 35 6.9 Duopolio de Bertrand ............................................................................................ 37 7 EJEMPLOS CLÁSICOS JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA ........................... 39 7.1 Duopolios: Stackelberg ......................................................................................... 39 7.2 Juego del ultimátum .............................................................................................. 41 7.3 Juego del dictador ................................................................................................. 43 7.4 Juego del reparto .................................................................................................. 43 7.5 Juego de disuasión ............................................................................................... 45 8 CONCLUSIONES .............................................................................................. 46 4 9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 47 INDICE DE TABLAS: Tabla 4-1:Representacion del Ejemplo 1 en forma estratégica ................................ 16 Tabla 5-1: Equilibrio de Nash en el Ejemplo 1. ......................................................... 20 Tabla 5-2:Equilibrio de Nash mediante la Inducción hacia atrás. ............................. 21 Tabla 6-1: Dilema del prisionero ............................................................................... 22 Tabla 6-2:Equilibrio de Nash en el Dilema del Prisionero. ........................................ 23 Tabla 6-3:Batalla de los sexos .................................................................................. 24 Tabla 6-4:Equilibrio de Nash en la Batalla de los sexos. .......................................... 25 Tabla 6-5:Batalla de los sexos con estrategias mixtas. ............................................ 25 Tabla 6-6:Caza del ciervo ......................................................................................... 27 Tabla 6-7:Equilibrio de Nash en la caza del ciervo. .................................................. 27 Tabla 6-8 La caza del ciervo con estrategias mixtas. ............................................... 28 Tabla 6-9:El halcón y la paloma. .............................................................................. 29 Tabla 6-10:Equilibrio de Nash en el halcón y la paloma. .......................................... 30 Tabla 6-11 Halcón y la paloma: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas ............... 30 Tabla 6-12:Piedra-papeltijera ................................................................................. 32 Tabla 6-13 Estrategias Maximin ............................................................................... 34 INDICE DE FIGURAS: Figura 4-1:Representación el Ejemplo 1 en forma extensiva ................................... 18 Figura 6-1Representación del juego de las peticiones de Nash ............................... 34 Figura 7-1:Juego del ultimátum con n=4 .................................................................. 41 Figura 7-2: Equilibrio de Nash para juego del ultimátum (1) ..................................... 42 Figura 7-3: Equilibrio de Nash para juego del ultimátum (2) ..................................... 42 Figura 7-4: Juego del reparto para n=4 .................................................................... 43 Figura 7-5: Equilibrio de Nash para juego del reparto (1) ......................................... 44 Figura 7-6: Equilibrio de Nash para juego del reparto (2) ......................................... 44 Figura 7-7: Juego de disuasión ................................................................................ 45 Figura 7-8: Equilibrio de Nash para el juego de disuasión........................................ 45 5 1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS, OBJETIVOS DEL TRABAJO Y METODOLOGÍA La Teoría de Juegos es una rama de las matemáticas utilizada para el estudio de las relaciones de conflicto y de cooperación entre los integrantes de un juego. Los campos de aplicación son varios, como la sociología o la biología, pero donde más se emplea es en la economía. En el análisis de un juego la premisa fundamental es que sus integrantes son individuos racionales, es decir, optarán por aquella elección, entre las posibles, que más utilidad les otorgue. Existen dos tipos de juegos, los no cooperativos, en los que los integrantes de dicho juego están en conflicto de interés, o los juegos cooperativos en los que los integrantes buscan obtener las mejores recompensas para el grupo analizando las estrategias óptimas, teniendo en cuenta que tomarán acuerdos vinculantes. Este trabajo se basará en los juegos no cooperativos y a los premios que han sido otorgados en este ámbito, especialmente a John Nash (1928-2015), no obstante, cabe destacar la importancia de los juegos cooperativos, gracias especialmente a Lloyd Shapley (1923-2016), a quien se le otorgó el Premio Nobel en el año 2012. El objetivo de este trabajo es realizar un estudio básico sobre la Teoría de Juegos, comentando brevemente sus inicios y los premios importantes que se han otorgado a investigadores y académicos en este campo. También exponer los ejemplos clásicos de juegos que existen y hallar sus Equilibrios de Nash. Para dar a conocer la Teoría de Juegos, primero se explicará brevemente los conceptos básicos de esta teoría, la definición, las partes de un juego y los tipos de juegos. Posteriormente se hará hincapié en su historia y en los investigadores que han hecho que la Teoría de Juegos sea tan importante, en especial John Nash y su gran aportación llamada “el Equilibrio de Nash”, cuya importancia es fundamental. Se verá un análisis de los tipos de juegos, los de forma normal y los de forma extensiva, para después ver los ejemplos más clásicos de estos juegos y los Equilibrios de Nash en cada uno de ellos. Para finalizar se extraerán unas conclusiones y se terminará exponiendo la bibliografía utilizada para la realización del trabajo. 6 A modo de simplificación, en el trabajo solo se va a referir a juegos en los que participan dos individuos, ya que es más sencilla su representación, tanto de forma matricial (forma normal), como de forma de árbol (forma extensiva). 2 HISTORIA SOBRE LA TEORÍA DE JUEGOS Según el texto de Tenorio y Martín (2015), el nacimiento de la Teoría de Juegos actual se atribuye al matemático John Von Neumann y al economista Oskar Morgenstern y su libro común “Theory of Games and Economic Behaviour” en 1944, siendo esta publicación clave, ya que gracias a ella se consiguieron formalizar todas las ideas anteriores a la publicación del libro. En él se establecieron los resultados de los juegos de suma cero. Los primeros escritos sobre Teoría de Juegos datan de 1704, gracias al matemático y filósofo Gottfired Wilhelm Leibniz, quien en su obra Nouveaux Essais sur l’entendement humain habla de la existencia de una nueva lógica que depende de la probabilidad. En 1713 por parte de Waldegrave, establece el concepto de estrategias mixtas y su resolución de minimax, con la que más adelante se conocería la denominada actualmente solución “minimax''. Posteriormente, en 1838, el economista Antoine Agustin Cournot, desarrolló su modelo de dos empresas (duopolio), el resultado de este modelo coincide con el que halló John Nash un siglo después en su denominado Equilibrio de Nash. Otros matemáticos que estudiaron la Teoría de Juegos durante esta época fueron Zermelo con su artículo Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachpiels (1913), Borel con su artículo ´La théorie du jeu et les équations intégrales au noyau symétrique” (1921) o John Von Neumann con su artículo Zur Theorie der Gesellschaftsspiele (1928), este último realizando una demostración del minimax y en este mismo trabajo proponiendo la definición de estrategia que se utiliza hoy en día. En la década de los años 50 y 60, y a raíz de la publicación en 1944 del libro “Theory of Games and Economic Behaviour”, se publicaron numerosos artículos sobre la Teoría de Juegos y sus aplicaciones a las diversas situaciones económicas. John 7 Nash destacó durante estos años presentando su Tesis Doctoral en 1950 sobre los juegos no cooperativos y estableciendo el punto de equilibrio o Equilibrio de Nash. En ese mismo año los matemáticos Melvin Dresher y Merril Meeks Flood desarrollaron el “Dilema del Prisionero”, formalizado poco después por Tucker. Durante los años 60 se trató de aplicar la Teoría de Juegos a distintos ámbitos como la biología o la economía y a la resolución de problemas en el mundo real y se aplicó dentro de la llamada “Guerra Fría”. Finalmente, en 1994 llegó el anhelado reconocimiento para la Teoría de Juegos dentro de la economía cuando John Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten fueron galardonados con el Premio Nobel de la Academia Sueca en Ciencias Económicas. En este apartado del trabajo se expondrán brevemente las biografías y los reconocimientos por los que fueron premiados los distintos economistas o matemáticos en las diferentes ediciones de los Premios Nobel, relacionadas con la Teoría de Juegos. Los Premios Nobeles de Economía no son exactamente Premios Nobel, ya que no es otorgado por la Fundación Nóbel, sino por el Banco Central de Suecia, que en 1968 creó el premio “Premio Sveriges Riksbank de Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel” y desde ese momento el premio ha sido otorgado por la Academia de Ciencias Sueca con las mismas condiciones que las otras categorías de premios que se llevaban entregando desde 1901 (medicina, química, física, literatura e iniciativas por la paz). 2.1 John Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten El otorgado en el año 1994 por la Real Academia de las Ciencias de Suecia por “su papel pionero en el análisis de los equilibrios en la Teoría de Juegos No Cooperativos”. John Forbes Nash (1928-2015) Economista y matemático estadounidense. Estudió matemáticas en el Carnegie Institute of Technology y posteriormente realizó un Doctorado en Economía en la Universidad de Princeton. Publicó en 1949 en la revista Annals of Mathematics un artículo llamado “Non-cooperative Games” que resumió varias ideas de su tesis 14 ○ Esta información puede ser perfecta o imperfecta, dependiendo de si los jugadores serán conocedores(perfecta) o no(imperfecta) de lo que haya realizado el otro anteriormente. ○ Otra forma de clasificación puede ser completa (los jugadores conocen toda la información relativa a las consecuencias de las jugadas), o incompleta (los jugadores desconocen algo de información relativa a las consecuencias de las jugadas). ● Estrategias: conjunto de acciones que realiza cada jugador. ● Perfil de estrategias: vector de estrategias perteneciente a cada jugador en el que se reflejan sus decisiones según el desarrollo del juego. ● Resultados del juego: las distintas formas en las que un juego puede terminar, dependiendo de las estrategias elegidas por los jugadores. ● Pagos: al finalizar un juego, son los resultados que obtienen los distintos jugadores dependiendo del desarrollo del juego. El valor de estos pagos dependerá de cada jugador y de su utilidad. 3.2 Categorías de juegos ● Simétricos o asimétricos: Los juegos simétricos son aquellos en los que las recompensas y castigos son los mismos para cada jugador, un ejemplo de ello es el dilema del prisionero. Los juegos asimétricos son aquellos en los que las recompensas son distintas para cada jugador. ● Juegos de suma cero: Son los juegos en los que el jugador ganador obtiene la misma cantidad que ha perdido el otro jugador, ejemplos de ello sería tirar la moneda y el póker. ● Simultáneos o secuenciales: Juegos en los que los jugadores actúan a la vez o uno toma la decisión después del otro. ● Forma estratégica: una de las formas en las que podemos representar un juego, también llamada forma normal. En ella la información acerca de los pagos se ve reflejada en una tabla, en ella podemos ver las estrategias de cada uno de los jugadores, así como los pagos correspondientes a cada perfil de estrategias tomadas por los jugadores si el juego se realiza de forma simultánea. 15 ● Forma extensiva: la otra forma de representación de un juego, también conocida como forma de árbol, el juego se desarrolla de forma secuencial, empezando por la decisión del primer jugador y de ella dependerá la decisión que tome el próximo jugador. ● Estrategias puras: en este tipo de estrategia el jugador lleva a cabo una acción con total certeza. ● Se denomina S al conjunto de perfiles de estrategias del juego, tal que S=s1xs2x…sn. También se denomina como ui (s1, s2, ...si-1, si+1, ..., sn) a la utilidad que recibe el jugador i cuando el resto de los jugadores realizan el conjunto de estrategias puras (s1, s2, ...si-1, si+1, ..., sn) Un juego finito en formal normal puede ser representado como: 𝐺={𝐽𝑖,(𝑆𝑖)𝑖∈𝐽,(𝑢𝑖)𝑖∈𝐽} ● Estrategias mixtas: en este caso los jugadores, aparte de las estrategias con 100% de probabilidad, pueden elegir estrategias que no tengan una certeza total, asignando distintas probabilidades a las estrategias puras. 4 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UN JUEGO 4.1 Juegos en forma normal o estratégica Según el trabajo de Gibbons (1993), en los juegos en forma normal o estratégica, cada jugador elige su estrategia de forma simultánea y al conjunto de estas estrategias elegidas por cada jugador le corresponde una ganancia para cada uno. Este tipo de juegos se les considera de dominio público, ya que los jugadores son conocedores de todas las estrategias de todos los jugadores y de las ganancias que obtendría cada uno de ellos. Para poder llevar a cabo la representación de un juego de forma normal, se van a necesitar de los siguientes elementos siguiendo el manual de referencia: ● El conjunto J= {1, 2, ..., n} de los jugadores ● El conjunto de estrategias de cada jugador, 𝑆𝑖 para cada i de J ● La función de pagos de cada jugador: 𝑢𝑖 para cada i de J 16 Con estos elementos el juego se representa de la siguiente manera: 𝐺={𝐽𝑖,(𝑆𝑖)𝑖∈𝐽,(𝑢𝑖)𝑖∈𝐽} Se utilizará un pequeño ejemplo para sintetizar estos conceptos con un juego de 2 jugadores y con número finito de estrategias puras. Ejemplo 1: Celia y Marta son dos amigas que viven cerca y tienen el problema de cómo volver a casa, si andando o en autobús. A Celia le interesa más volver andando, mientras que a Marta todo lo contrario. En la representación matricial de este tipo de juegos es común que en las tablas se representa al jugador 1 en las filas y al jugador 2 en las columnas. Tabla 4-1:Representacion del Ejemplo 1 en forma estratégica Celia (B) Andando Autobús Marta (A) Andando 2,5 5,3 Autobús 7,3 8,1 Fuente: elaboración propia Aquí se puede observar cómo Marta (en adelante jugadora A) decide si volver a casa andando o en autobús. Mientras que Celia (jugadora B) elige de igual forma entre las mismas opciones. Por ejemplo, si A eligiera ir en autobús y B andando, los pagos correspondientes serían 7 para A y 3 para B. 4.2 Juegos en forma extensiva Los juegos en forma extensiva representan los modelos dinámicos, aquellos en los que los jugadores toman sus decisiones después de saber la decisión que ha tomado el jugador anterior. En este tipo de juego hay que especificar los siguientes datos: 17 número de jugadores, cuánto juega cada jugador, que puede hacer, la información que posee cuando tiene que jugar y sus posibles ganancias según las distintas posibilidades del juego. Estos juegos de representación extensiva son conocidos también como juegos en forma de árbol porque para su representación se utilizan diagramas en árbol. Basándonos en el texto de Pérez, Jimeno y Cerdá (2013). Un juego en forma extensiva vendría representado de la siguiente forma: 𝜞={ 𝐽,(𝑋,𝜎),(𝐴,𝞪),{𝑥𝑖}𝑖∊𝐽,{𝐻𝑖}𝑖∊𝐽,(𝐴(ℎ))ℎє𝐻,𝜌,𝑟} siendo: - J es el número de jugadores, J= {0,1,2, …, n}. El 0 representa el azar, en caso de no existir el azar en el juego, J= {1, 2, ..., n} - X simboliza el conjunto de nodos, cada nodo representa una posible situación del juego. Al nodo inicial, el que es la raíz del juego, se le representa con 0, para los demás tenemos la siguiente función: - A simboliza el conjunto de todas las acciones posibles y α(x) la acción que lleva desde el nodo predecesor σ(x) al nodo actual x. Se define de la siguiente manera: - Xi simboliza el conjunto de nodos de decisión en los que el jugador i puede elegir la acción que va a realizar. En los nodos particulares de decisión solamente es un jugador el que realiza la acción, por lo que: Con ello comprobamos que {𝑋𝑖}𝑖𝜖𝐽 constituye una partición, por jugadores, del conjunto de nodos de decisión. 18 -𝐻𝑖 simboliza una familia de conjuntos de información y la función: que le asigna a cada nodo x un conjunto de información h(x) al que pertenece. - p simboliza la función que asigna la probabilidad de cada acción por cada conjunto de información. Tendrá que verificarse: - r simboliza la función de pagos que tiene el jugador i: Si el ejemplo 1 tratara de un juego en el que las jugadoras realizarán sus jugadas de forma secuencial, la forma de representarlo sería en un diagrama de árbol: Figura 4-1:Representación el Ejemplo 1 en forma extensiva Fuente: Elaboración propia 19 En este diagrama de árbol, se observa que Marta, jugadora A, realizará primero su jugada, mientras Celia, jugadora B esperará su turno para luego tomar su decisión entre las posibles. Según el desarrollo del juego se llegará a los pagos de un nodo u otro. Por ejemplo, si Marta eligiera en primer lugar ir en autobús, en su turno, la jugadora B podrá elegir entre ir andando y obtener un pago de 3 o elegir ir en autobús y obtener un pago de 1. 5 EQUILIBRIO DE NASH A raíz del análisis de equilibrio se puede hablar del concepto de Equilibrio de Nash siendo éste una de las posibles resoluciones de un juego. “Un Equilibrio de Nash es un perfil de estrategias del que ningún jugador desearía desviarse unilateralmente, es decir, ninguno se arrepiente de la decisión tomada, dadas las estrategias decididas por el resto de los jugadores. Un Equilibrio de Nash está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores” (Pérez, Jimeno y Cerdá, 2013, 90). En un Equilibrio de Nash un jugador no está logrando el mejor resultado, sino que este está condicionado por las acciones del resto. Finalmente, en un juego pueden existir múltiples Equilibrios de Nash. Para completar esta definición se van a realizar una serie de puntualizaciones tomando como referencia el manual de Pérez, Jimeno y Cerdá (2013). En primer lugar, como es de suponer con la explicación anterior, cada jugador tiene que jugar una respuesta óptima teniendo en cuenta lo que cree que van a hacer los demás jugadores. A raíz de esto, estas creencias sobre las estrategias del resto de jugadores tienen que ser correctas, si no de nada servirían. A continuación, se podrá ver la forma de hallar los Equilibrios de Nash en los juegos en forma normal y posteriormente en los juegos en forma extensiva. 5.1 Juegos en forma normal Una vez visto el concepto de Equilibrio de Nash y con ayuda del Ejemplo 1, se podrá ver la forma de hallar el Equilibrio de Nash en juegos de representación normal. 20 La forma de encontrar la solución es mediante la correspondencia de respuesta óptima, aquella en la que el jugador en cuestión tomará su decisión en busca de la que le otorgue un pago mayor dependiendo de la estrategia que haya elegido (o haya supuesto que elegirá) el resto de los jugadores. En la siguiente tabla se observa la aparición de * y de ´, estos símbolos indican que, si el jugador 2 elige una estrategia, la estrategia óptima para el jugador 1 sería la que porte el *. Si se trata del jugador 2, dada la estrategia que seguirá el jugador 1, la estrategia óptima sería la que porte el ´ Tabla 5-1: Equilibrio de Nash en el Ejemplo 1. Celia (B) Andando Autobús Marta (A) Andando 2,5´ 5,3 Autobús 7*,3´ 8*,1 Fuente: elaboración propia Se observa en la tabla anterior que la casilla que muestra los pagos correspondientes a la estrategia (Autobús, Andando) es el Equilibrio de Nash. En dicha casilla se encuentra a la vez el * y la ´ que indican que ambas jugadoras elegirían dicha estrategia como la óptima dada una de la otra. Si el juego tuviera estrategias mixtas, habría que hacer su resolución mediante matrices que nos permitan hallar el Equilibrio de Nash en estrategias mixtas. En el ejemplo 1 no es posible hallar dicha solución. No obstante, en el apartado 6.2 se expondrá la forma de hallar el Equilibrio de Nash para estrategias mixtas sirviéndose del juego la batalla de los sexos. 5.2 Juegos en forma extensiva Para los juegos de forma extensiva, el método para encontrar los Equilibrios de Nash es mediante la inducción hacia atrás. En dicho proceso, observamos cómo se eliminan 21 los nodos del árbol que no elegiría el jugador que tenga que tomar la decisión en ese momento, ya que obtendría un pago menor. Como en el caso anterior, el Ejemplo 1 servirá de ayuda para entender este concepto. Tabla 5-2:Equilibrio de Nash mediante la Inducción hacia atrás. Fuente: elaboración propia Se puede observar como la jugadora B, en sus nodos de decisión elige la opción que más pago le otorga, por lo que esa estrategia sustituirá al nodo de elección. En el primer nodo elegiría la rama cuyo pago final es (2,5) ya que le otorga más utilidad que el pago de la otra rama (5,3). Misma forma de selección para el otro nodo de elección de la jugadora B. Por lo que nos quedaría en el paso intermedio, un árbol cuya única elección es para la jugadora A, que elegirá aquella decisión que más pago le oferta, al ser los jugadores racionales. Al final, con el método de inducción hacia atrás, el primer árbol que representaba el juego en forma extensiva queda reducido a una única rama con un pago, en este ejemplo 1, el (7,3), que nos representa el Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos (ENPS). Al referirse a ENPS indica que la forma de resolución del juego es mediante la inducción hacia atrás. Empezando desde el ultimo nodo de elección y siguiendo el camino inverso, es decir, del último al penúltimo y así sucesivamente, hasta llegar al primer nodo de elección. Este método es posible si los jugadores tienen información completa del juego, ya que serán conocedores de las posibles decisiones y los efectos que tendrá lo que decidan los demás jugadores. 22 6 EJEMPLOS CLÁSICOS DE TEORÍA DE JUEGOS EN FORMA NORMAL Siguiendo el manual de referencia de Pérez, Jimeno y Cerdá (2013) se intenta describir y analizar muy brevemente ejemplos clásicos muy recurrentes que aparecen en la Teoría de Juegos. 6.1 El dilema del prisionero Se trata del juego más famoso dentro de los ejemplos clásicos de Teoría de Juegos y a la vez es el más representativo. Dos malhechores son arrestados tras cometer un delito grave, aparte de este han cometido otro de menor grado. Los delincuentes son interrogados en habitaciones separadas. En el caso de que ambos callen (a menudo llamado cooperación) y no delaten al otro serán condenados a un año de cárcel por el delito de menor gravedad, si los dos confiesan (a menudo denominado no cooperación) serán encarcelados por el delito grave, pero se les reducirá la pena a cuatro años por confesar. Y, por último, si uno de ellos confiesa y el otro no, el delator quedará absuelto pero el otro cumplirá cinco años de cárcel. Tabla 6-1: Dilema del prisionero Preso 2 Callar Confesar Preso 1 Callar -1,-1 -5,0 Confesar 0,-5 -4,-4 Fuente: Teoría de Juegos (2013). Equilibrio de Nash: En este juego clásico existen 4 perfiles de soluciones posibles: (Callar, Callar), (Confesar, Callar), (Callar, Confesar) y (Confesar, Confesar). 23 Si el jugador 2 decide callar, la estrategia que más pagó le otorga al jugador 1 sería la opción de confesar. En el caso de que el jugador 2 decidiera confesar, para el jugador 1 la estrategia que le otorga un pago mayor será la de confesar. Si el jugador 1 decidiera callar, para el jugador 2 su mejor estrategia sería confesar. Si el jugador 1 tomará la decisión de confesar, para el jugador 2 la mejor respuesta sería la de confesar también. Tabla 6-2:Equilibrio de Nash en el Dilema del Prisionero. Preso 2 Callar Confesar Preso 1 Callar -1,-1 -5,0´ Confesar 0*, -5 -4*, -4´ Fuente: Teoría de Juegos (2013) Se observa en la tabla anterior que la estrategia (Confesar, Confesar) es el Equilibrio de Nash, ya que es la estrategia donde coinciden las respuestas óptimas de cada jugador dada la estrategia del otro. El dilema del prisionero refleja que para los jugadores, es mejor pensar en el bien común del grupo, lo que implica tomar la decisión de no confesar, ya que ambos jugadores tendrían una pena menor, el problema radica en que ambos jugadores están motivados para pensar en su propio beneficio, tomando la opción de Confesar, pero como esta estrategia la podrían tomar los dos jugadores, al final si deciden ambos Confesar, sería más perjudicial para el grupo, ya que ambos tendrían una pena de cárcel mayor. En resumen, el dilema del prisionero nos deja entrever que hay situaciones en las que buscar el beneficio del grupo nos otorga una mayor recompensa que si todos integrantes del juego pensaran solo en el beneficio propio ya que al hacerlo todos 30 Tabla 6-10:Equilibrio de Nash en el halcón y la paloma. Jugador 2 Paloma Halcón Jugador 1 Paloma V/2, V/2 0, V´ Halcón V*, 0 V/2-C*, V/2-C´ Fuente: Teoría de Juegos (2013). Se observa en la tabla anterior, que el Equilibrio de Nash de este juego es el perfil de estrategias: (Halcón, Halcón). El juego indica que hay contexto en los que los competidores pueden obtener una recompensa a partes igual si deciden no competir por una misma recompensa, pero en el caso contrario de que alguno de ellos decida competir para obtener toda la recompensa, los demás jugadores podrían optar por esta misma estrategia por lo que al final se repartirán dicha recompensa entre todos, pero pagando un coste por competir entre ellos. Tabla 6-11 Halcón y la paloma: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas Jugador 2 Paloma Halcón Jugador 1 Paloma V/2, V/2 0, V´ P Halcón V*, 0 V/2-C*, V/2-C´ 1-p Fuente: Teoría de Juegos (2013) q 1-q Con ayuda de los pagos y las probabilidades de la tabla anterior, se intentará hallar el Equilibrio de Nash en estrategias mixtas para este juego mediante el uso de matrices: (1 0)(𝑉/2 0 𝑉 𝑉/2−𝐶)( 𝑝 1−𝑝)=(0 1)(𝑉/2 0 𝑉 𝑉/2−𝐶)( 𝑝 1−𝑝) 31 (𝑉/2 0)(𝑝 1−𝑝)=(𝑉 𝑉/2−𝐶)(𝑝 1−𝑝) 𝑉𝑝/2=𝑉𝑝/2+𝑉/2−𝐶+𝐶𝑝→𝑝=1−𝑉𝐶 2 1−𝑝=𝑉𝐶 2 (𝑞 1−𝑞)(𝑉/2 𝑉 0 𝑉/2−𝐶)(1 0)=(𝑞 1−𝑞)(𝑉/2 𝑉 0 𝑉/2−𝐶)(0 1) (𝑉𝑞/2 𝑉𝑞/2+𝐶𝑞+𝑉/2−𝐶)(1 0)=(𝑉𝑞/2 𝑉𝑞/2+𝐶𝑞+𝑉/2−𝐶)(0 1) 𝑉𝑞/2=𝑉𝑞/2+𝐶𝑞+𝑉/2−𝐶→𝑞=1−𝑉𝐶 2 1−𝑞=𝑉𝐶 2 El equilibrio de Nash seria: {(1−𝑉𝐶 2,𝑉𝐶 2 ),(1−𝑉𝐶 2,𝑉𝐶 2 )} Pero este resultado no es posible, ya que si VC>1 la probabilidad tendría un valor negativo, cosa que es imposible, por lo que no existen equilibrio de Nash en estrategias mixtas para este juego. 6.5 Piedra-papel-tijera Dos jugadores eligen a la vez uno de los tres objetos: piedra (R), papel (P) o tijera (T). Cada jugador hace un gesto que representa cada uno de los objetos: piedra (puño cerrado), papel (mano abierta), tijeras (dedos anular y corazón extendidos). En el caso de que los dos jugadores elijan el mismo gesto existe un empate y cada uno recibe un pago cero. En el caso de que elijan distinto gesto el que gana obtiene un euro de la persona que pierde de acuerdo a estas normas: a) Piedra gana a tijera b) Tijera gana a papel c) Papel gana a piedra 32 Tabla 6-12:Piedra-papeltijera Siguiendo la tabla anterior, las siguientes estrategias quedarían definidas por estas probabilidades: Piedra,Piedra: rq Papel,Piedra: sq Tijera,Piedra: (1-r-s)q Piedra,Papel: rp Papel,Papel: sp Tijera,Papel: (1-r-s)p Piedra, Tijera: r(1-q-p) Papel,Tijera: s(1-q-p) Tijera,Tijera: (1-r-s)(1-q-p) El Equilibrio de Nash en estrategias mixta para cualquier jugador es (⅓, ⅓, ⅓) (1 0 0)(0 −1 1 1 0 −1 −1 1 0)(𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠)=(0 1 0)(0 −1 1 1 0 −1 −1 1 0)(𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠) =(0 0 1)(0 −1 1 1 0 −1 −1 1 0)(𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠) (0 1 − 1)( 𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠)=(−1 0 1)( 𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠)=(1 − 1 0)( 𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠) 𝑠−1+𝑟+𝑠=−𝑟+1−𝑟−𝑠=𝑟−𝑠 𝑠−1+𝑟+𝑠=𝑟−𝑠→3𝑠=−1→𝑠=1 3 Jugador 2 R P T Jugador 1 R 0,0 -1,1 1,-1 r P 1,-1 0,0 -1,1 s T -1,1 1,-1 0,0 1-r-s Fuente: Teoría de Juegos (2013) q p 1-q-p 33 −𝑟+1−𝑟−𝑠=𝑟−𝑠→−3𝑟=−1→𝑟=1 3 (𝑞 𝑝 1 − 𝑞− 𝑝)(0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0)(1 0 0)=(𝑞 𝑝 1 − 𝑞− 𝑝)(0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0)(0 1 0) =(𝑞 𝑝 1 − 𝑞− 𝑝)(0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0)(0 0 1) (2𝑝 −1 + 𝑞 1 − 2𝑞− 𝑝 𝑞−𝑝)(1 0 0)=(2𝑝 − 1 + 𝑞 1 − 2𝑞− 𝑝 𝑞− 𝑝)(0 1 0) =(2𝑝 −1 + 𝑞 1 − 2𝑞− 𝑝 𝑞− 𝑝)(0 0 1) 2𝑝−1+𝑞=1−2𝑞−𝑝=𝑞−𝑝 2𝑝−1+𝑞=𝑞−𝑝→𝑝=1 3 1−2𝑞−𝑝=𝑞−𝑝→𝑞=1 3 6.6 Peticiones de Nash Se reparte un pastel entre dos jugadores de acuerdo con lo siguiente: los dos jugadores tienen que escribir al mismo tiempo un número entre el 0 y el 1, el significado de estos números es la porción de pastel que quieren. Si la suma de ambos números es menor o igual que 1, cada jugador recibe la parte que quería. Si la suma de ambos números es mayor a 1, entonces ninguno de los jugadores recibirá nada. Como este juego tiene infinitas posibilidades no se puede representar de forma bimatricial. Los elementos son los siguientes: 34 Figura 6-1Representación del juego de las peticiones de Nash Fuente: Teoría de Juegos (2013). En la gráfica anterior se puede ver el conjunto de respuestas optimas de soluciones. Por lo que el Equilibrio de Nash seria: {(𝑠1,𝑠2): 𝑠1+𝑠2=1}∪{(1,1)} 6.7 La estrategia maximin Este tipo de estrategias son las empleadas para la resolución de los juegos de suma cero, aquellos en los que los jugadores obtienen la misma ganancia que pierden el resto, como se ha comentado anteriormente. La estrategia maximin consisten en asegurarse un pago mínimo en un juego, es el valor de seguridad por el que se decide cada jugador. Para poder entender este concepto, la siguiente tabla será de ayuda. Tabla 6-13 Estrategias Maximin JUGADOR 2 A B C mínimos JUGADOR 1 A 9,1 1,9 2,8 1 B 6,4 5,5 4,6 4 C 7,3 8,2 3,7 3 mínimos 1 2 6 Fuente: Junta de Andalucía (s.f.) 35 En la tabla anterior se puede observar los valores mínimos que obtendría cada jugador dependiendo de la estrategia que decidan seguir. Si el jugador 1 decidiera elegir la estrategia A obtendrá un pago mínimo de 1, si eligiera la B un pago mínimo de 4 y si eligiera la C un pago mínimo de 3. Mismo analices para el jugador 2, si elige A, obtiene 1, si elige B obtendrá 2 y si elige C obtendría el pago mínimo de 6 La estrategia maximin consiste en elegir el mayor de los pagos anterior, es decir, de los pagos mínimos que podría obtener un jugador dependiendo la estrategia que elijan, decidirse entre la que mayores pagos le otorgue. En el caso del jugador 1 será la estrategia B y en el caso del jugador 2 será la estrategia C. 6.8 Duopolio de Cournot Un reducido número de empresas compite en el mercado vendiendo un producto homogéneo y eligiendo de forma simultánea ambas empresas la cantidad que van a producir para el mercado. El precio queda establecido por la cantidad total aportada de acuerdo con la función de demanda inversa. Al equilibrio llegado este modelo se le denomina Equilibrio de Cournot o de Cournot-Nash, ya que se alcanza el Equilibrio de Nash mediante Cournot en este modelo. A continuación, se encuentra el modelo de duopolio de Cournot para dos empresas basándose en el manual de referencia La función de demanda inversa es: Las funciones de costes de las empresas son: la función de beneficios: Hay dos empresas cuyo espacio de estrategias son 𝑆1=𝑆2=[0,𝑎 𝑏] y que suponiendo que los beneficios coincidan con las utilidades tienen la siguiente función de ganancias: 36 A continuación, se observa el cálculo del Equilibrio de Nash para la empresa 1: Hay que obtener la condición de primer orden: También, buscar la condición de segundo orden, que será la condición suficiente de máximos. Con todo lo anterior, se obtiene que la función de respuesta optima de la empresa 1, E1 sería: Para el cálculo del equilibrio de Nash de la empresa 2, E2, se resuelve de: Realizando los mismos procesos que se han visto para E1, se obtiene para E2 su función de respuesta optima: El Equilibrio de Nash ha de ser (𝑞1 ∗,𝑞2 ∗), por lo que 𝑞1 ∗sera respuesta optima de 𝑞2 ∗ y viceversa. 37 Resolviendo el sistema anterior se obtiene el conjunto de los puntos de equilibrio: La cantidad: Los beneficios de cada empresa: El precio: El beneficio total en equilibrio 6.9 Duopolio de Bertrand Se propone cuarenta años después que el modelo de Cournot. Este modelo consiste en que las empresas compiten en precios, y estas se comprometen a producir todo lo que los consumidores demanden a el precio que las empresas decidan. Al equilibrio llegado en este modelo se le denomina Equilibrio de Bertrand o Equilibrio de BertrandNash, ya que se alcanza un Equilibrio de Nash mediante Bertrand en este juego. Basándonos en el manual de referencia, se tiene la siguiente información´: Las hipótesis iniciales del duopolio son las siguientes: • Los consumidores solo compran a la empresa con precios más bajos, o a ambas en partes iguales si sus precios son los mismos. • La función q(p) es estrictamente decreciente en precios entre 0 y pc y nula para los precios iguales o superior a pc. • Las empresas tienen la misma función de costes, sin costes fijos y con los costes marginales constates e iguales a c • Se cumple que: 0<c<pm<pc, donde pm es el precio óptimo de monopolio de haber solo una empresa. 38 Con las anteriores hipótesis se concreta la función de demanda para cualquier empresa: Las funciones de costes: La función de beneficios: Para una compresión más fácil, se tratará de la existencia de dos empresas, E1 Y E2, por lo que i=1,2. Con espacio de estrategias S1=S2= [0, +∞) El Equilibrio de Nash para el duopolio de Bertrand es aquel en el que las empresas tienen sus precios iguales al coste marginal tal que: 𝑝1 ∗=𝑐,𝑝2 ∗=𝑐 Razonando mediante la correspondencia de respuesta optima se comprueba porque ese punto es el EN. o Si p1<c, cualquier precio en el que p2>p1 sería optimo, mientras que si fueran p2≤p1 obtendría beneficios negativos o Si p1=c, cualquier precio p2≥c daría un óptimo, pero de ser p2<c obtendría beneficios negativos. o Si pm≥p1>c, no hay precio posible de la otra empresa que otorgue beneficios. o Si p1>pm, la única respuesta optima de E2 sería un p2=pm 39 7 EJEMPLOS CLÁSICOS JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA 7.1 Duopolios: Stackelberg Ejemplo de juego en dos etapas, propuesto por Stackelberg en 1934. Dos empresas se enfrentan en un mercado (duopolio) produciendo un producto homogéneo y compitiendo en las cantidades. Pero esta vez, a diferencia del duopolio de Cournot, una de ellas tendrá la ventaja de tomar la decisión de producción antes que la otra, empresa líder y empresa seguidora, la cual decidirá la cantidad a producir tras observar el comportamiento de la empresa líder. Función de demanda inversa: Funciones de costes: Beneficios: Como se ha comentado antes, la empresa líder tomará la decisión mientras que la otra esperará. Por el método de inducción hacia atrás, la E2, va a suponer una cantidad fija q1, y con ello resolver el siguiente planteamiento: condición de primer orden: 46 Se observa como en un mercado monopolizado por una empresa, en la que en el supuesto de que al entrar empresas a competir sus beneficios son 0, la mejor decisión es dejar entrar al resto de empresas y optar por una postura de competencia suave que no haga ver reducidos aún más sus beneficios. 8 CONCLUSIONES Las principales conclusiones a las que se han podido llegar con la realización de este trabajo son las siguientes. En primer lugar, la Teoría de Juegos es una de las ramas de las Matemáticas que más aplicaciones tiene en el mundo real, como puede ser la Economía, la Biología o la Psicología. Por otro lado, el atrevimiento por parte del Banco Central de Suecia para crear el premio “Premio Sveriges Riksbank de Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel” ayudó enormemente a que la Teoría de Juegos tuviera el reconocimiento merecido, siendo el primero y más famoso el ganado por John Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten en 1994 por ser los pioneros en la materia. Por otro lado, se ha repasado la terminología básica de la materia y la definición de Equilibrio de Nash con el fin de que resultara más sencilla la comprensión posterior de los ejemplos clásicos. Finalmente se han hallado los Equilibrios de Nash en los diferentes ejemplos clásicos de Teoría de Juegos, tanto en forma extensiva como en forma normal, destacando entre estos últimos el Dilema del Prisionero (planteado por Merril M. Flood y Melvin Dresher en 1950). Todos estos equilibrios hallados han servido para entender como existen ocasiones en las que la búsqueda del beneficio individual cabe la posibilidad de perjudicar al resto de jugadores, incluido uno mismo. 47 9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Biografías y Vidas (2022): “James A. Mirrlees”. Disponible en: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/m/mirrless.htm [consulta: 6/7/2022]. - Biografías y Vidas (2022): “John F. Nash”. Disponible en: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/n/nash_john_f.htm#:~:text=John% 20F.-,Nash,John%20Harsanyi%20y%20Reinhard%20Selten. [consulta: 15/6/2022]. - Biografías y Vidas (2022): “John Harsanyi”. Disponible en: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/harsany.htm [consulta: 15/6/22]. - Biografías y Vidas (2022): “Reinhard Selten”. Disponible en: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/s/selten.htm#:~:text= [consulta: 15/6/2022]. - Biografías y Vidas (2004-2022): “William Vickrey”. 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