Matrices Cuaterniónicas

Traballo Fin de Grao Matrices Cuaterniónicas Esteban Manuel Gómez Castro 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Matrices Cuaterniónicas Esteban Manuel Gómez Castro 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Título: Matrices cuaterniónicas Breve descrición do contido El álgebra lineal sobre los cuaternios presenta algunas características originales que la diferencian de los casos real y complejo. En este trabajo se abordarán algunos trabajos recientes donde se definen la matriz adjunta, la regla de Cramer, la descomposición en valores singulares o la inversa de Penrose en este contexto. Recomendacións Referencias: Determinantal representations of the Moore-Penrose inverse over the quaternion skew field and corresponding Cramer’s rules. I.I. Kyrchei, Linear Multilinear Algebra 59.No.4,413-431 (2011). Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Cuaternios 1 1.1. Propiedadesbásicas ............................... 2 1.2. CuaterniosSimilares ............................... 3 1.3. MatrizAsociada ................................. 6 2. Matrices Cuaterniónicas 9 2.1. MatrizAsociada ................................. 9 3. Determinantes 13 3.1. Determinante de Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2. Unicidad del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3. Determinante de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4. Matriz Inversa 23 4.1. Determinanteporfilas .............................. 23 4.2. Determinante por columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3. Caso de las Matrices Hermíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4. Cálculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Bibliografía 33 v Resumen El álgebra lineal sobre los cuaternios presenta algunas características originales que la diferencian de los casos real y complejo. En esta memoria se abordan algunos trabajos recientes donde se estudian el determinante de Study, el determinante de Moore, y la matriz adjunta e inversa. Abstract Linear algebra on quaternions has some original characteristics that differentiate it from real and complex cases. In this report some recent works are explained shown where the determinant of Study, the determinant of Moore, and the adjoint and inverse matrix are studied. vii 4CAPÍTULO 1. CUATERNIOS Sea r=i+jvemos que se cumple jr=ri⇔ −k−1 = −1−k Teorema 1.8. Dos cuaternios qyq0son similares si y solo si: Tienen la misma parte real y tienen el mismo módulo Demostración. (⇒)Sean qyq0cuaternios similiares, con lo que q0=xqx−1. Entonces |q0|=|x||q||x−1|con lo que demostramos que qyq0tienen el mismo módulo (usando el hecho de que el módulo de x−1es el inverso del módulo, y que los reales conmutan con los demás cuaternios) Demostremos ahora que tienen la misma parte real. Usando el hecho de que <(qq0) = <(q0q)tenemos 2<(q0) = 2<(xqx−1)=2<(qxx−1) = 2<(q) (⇐) Tengo que ver que dados dos cuaternios qyq0que verifiquen las hipótesis , se cumple que q0=xqx−1. Dividamos la demostración en dos partes. Sea q0∈Hun cuaternio sin parte real, es decir, si <(q0)=0entonces q0=xi+yj+zk. Demostraremos que q0es similar a |q0|i, es decir, que existe un cuaternio p6= 0 tal que |q0|i=pq0p−1. Esto es lo mismo que decir que todos los cuaternios de parte real nula y módulo 1, son similares a i. Encontremos un cuaternio p6= 0 que cumpla |q0|i=pq0p−1, es decir, |q0|ip=pq0. Sea q0=xi+yj+zkyp=t0+x0i+y0j+z0ky denotemos, para facilitar la lectura, |q0|=px2+y2+z2=a∈R. Resolviendo |q0|ip=pq0llegamos al siguiente sistema de ecuaciones lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.            (−a+x)x0+yy0+zz0= 0 (a−x)t0−zy0+yz0= 0 −yt0+zx0+ (−a−x)z0= 0 −zt0−yx0+ (a+x)y0= 0 Representándolo de forma matricial tenemos:       0−a+x y z a−x0−z y −y z 0−a−x −z−y a +x0       ·      t0 x0 y0 z0       =      0 0 0 0       Observando el rango de la matriz, llegamos a la conclusión de que el rango no es 3, ya que el determinante de una submatriz es igual a 0. Por tanto la matriz tiene rango 2si 1.2. CUATERNIOS SIMILARES 5 y2+z26= 0 (eligiendo convenientemente la submatriz adecuada).En este caso tenemos que resolver el siguiente sistema: "−y z −z−y#·"t0 x0#="(a+x)z0 −(a+x)y0#, y tomando por ejemplo z0=y0= 1, tenemos que, t0=(a+x)(−y)+(a+x)z y2+z2=(a+x)(−y+z) y2+z2 x0=y(a+x) + z(a+x) y2+z2=(a+x)(y+z) y2+z2 En el caso de y2+z2= 0,q0sería complejo, concretamente q0=xi. Por tanto, si x > 0entonces tendríamos que |x|ip=p|x|i, por lo que nos sirve p= 1. En cambio, si x < 0entonces tendríamos que |x|ip=−p|x|i, lo que querría decir que ip=−pi, por lo que nos sirve p=j. Veamos el caso general. Sean qyq0tal que |q|=|q0|y<(q) = <(q0) = t Entonces q=t+q0yq0=t+q0 0. Por tanto |q0|=|q0 0|. Recordemos que q0yq0 0eran similares a |q0|iy a |q0 0|i. Tenemos que q0=t+p0|q0|i(p0)−1yq=t+p|q0|ip−1 Por lo que, q0=p0(t+|q0|i)(p0)−1yq=p(t+|q0|i)p−1 Entonces, como además t+|q0|ies similar a a qy|q0|=|q0 0|, tenemos, q0=p0p−1qp(p0)−1 Y con esto, finalmente, llegamos a que, q0= [p0p−1]q[p(p0)−1] Corolario 1.9. Todo cuaternio es similar a un número complejo. Demostración. Sea un cuaternio qcon parte real ty módulo r=|q|. Vemos que r2≥t2 porque r2=|q|2=t2+x2+y2+z2≥t2 Sea z=t+ip(r2−t2)un número complejo. Por tanto observamos que: 6CAPÍTULO 1. CUATERNIOS <(z) = t |z|2=t2+r2−t2=r2=|q|2 Y con esto concluimos la demostración de este corolario. Proposición 1.10. Sea q∈H, podemos expresarlo de forma única como u+jv, con u, v ∈C. Demostración. Sea q=t+xi+yj+zk, con t, x, y, z ∈R. Teniendo en cuenta que k=−ji, concluimos que q= (t+xi) + j(y−zi) = u+jv, con u, v ∈C. Corolario 1.11. Todo cuaternio se puede escribir como un par de complejos. Proposición 1.12. Se cumplen las siguientes propiedades: 1. Sea q=u+jventonces <(q) = <(u) 2. Si z∈Centonces jz= ¯zj(jz=ja−bk= ¯zj) 3. Sea q∈H, entonces |q|2=|u|2+|v|2=t2+x2+y2+z2 Proposición 1.13. Dado un cuaternio q=u+jv, su conjugado es ¯q= ¯u−jv Demostración. ¯q= ¯u+jv= ¯u+ ¯v¯ j= ¯u−¯vj= ¯u−jv(¯ j=−j) Observación 1.14.En general, son más fáciles las cuentas con pares de complejos que con cuatro reales. 1.3. Matriz Asociada Definición 1.15. Dado un cuaternio q∈H, en la forma q=u+jv, su matriz compleja asociada es c(q) = "u−¯v v¯u#. Proposición 1.16. Dados q, q0∈H, se cumple: (a)c(q+q0) = c(q) + c(q0) (b)c(q·q0) = c(q)·c(q0) 1.3. MATRIZ ASOCIADA 7 (c)c(¯q) = c(q)∗ (d)c(t·q) = t·c(q), si t∈R (e) det c(q) = |q|2 Demostración. (a)Sea q=u+jvyq0=u0+jv0, entonces q+q0= (u+u0) + j(v+v0)y por tanto, c(q+q0) = "u+u0−¯v−¯ v0 v+v0¯u+¯ u0#. Por otro lado, c(q) + c(q0) = "u−¯v v¯u#+"u0−¯ v0 v0¯ u0#="u+u0−¯v−¯ v0 v+v0¯u+¯ u0#. (b)En este caso q·q0= (u+jv)(u0+jv0) = uu0+ujv0+jvu0−¯vv0= (uu0−¯vv0) + j(¯uv0+vu0). Por lo que, c(q·q0) = "uu0−¯vv0−u¯ v0−¯v¯ u0 vu0+ ¯uv0−v¯ v0+ ¯u¯ u0# Por otro lado, c(q)·c(q0) = "u−¯v v¯u#·"u0−¯ v0 v0¯ u0#="uu0−¯vv0−u¯ v0−¯v¯ u0 vu0+ ¯uv0−v¯ v0+ ¯u¯ u0# (c)Tenemos que, siendo ¯q= ¯u−jv, c(¯q) = "¯u v −v u# y que c(q)∗= (c(q))t="¯u−v v u #t ="¯u v −v u# (d)Ahora tenemos que, siendo tq =tu +j(tv), c(tq) = "tu −(tv) tv tu #="tu −t¯v tv t¯u# y que tc(q) = t·"u−¯v v¯u#="tu −t¯v tv t¯u# 8CAPÍTULO 1. CUATERNIOS (e)Dado q=u+vj. Tenemos que, det c(q) = u¯u+ ¯vv =|u|2+|v|2=|q|2 Capítulo 2 Matrices Cuaterniónicas En este capítulo comenzamos definiendo la matriz compleja asociada a una matriz cuaterniónica . También estudiaremos distintas propiedades de esta última matriz. 2.1. Matriz Asociada Definición 2.1. Definimos matriz cuaterniónica como una matriz M=    q11 · · · q1n . . .. . . qn1· · · qnn     donde cada qij =uij +jvij, con u, v ∈Ces un cuaternio. Entonces, M=U+jVcon U, V ∈Cn×n Observación 2.2.Denotamos M∈Hn×n Definición 2.3. Definamos la matriz compleja asociada a la matriz cuaterniónica M: c(M) = "U−V V U # Notemos que c(M)∈C2n×2n Ejemplo 2.4. Sea M∈H2×2, M="3 + i+j1+3k 1−2k1 + i+ 2j# Descomponiendo en complejos, tendríamos, "3 + i1 1 1 + i#+j·"1−3i 2i2# 9 10 CAPÍTULO 2. MATRICES CUATERNIÓNICAS Entonces c(M) = "A C B D # donde A="3 + i1 1 1 + i#, B="1−3i 2i2#, C="−1−3i 2i−2#, D="3−i1 1 1 −i#. Proposición 2.5. La matriz compleja asociada a una cuaterniónica posee las siguientes propiedades: 1. c(In) = I2n 2. c(M+M0) = c(M) + c(M) 3. c(M·M0) = c(M)·c(M0) 4. c(M∗) = c(M)∗ Demostración. Se demuestra de manera análoga a los cuaternios como hicimos en la Proposición 1.16. Observación 2.6.Es necesario puntualizar lo siguiente: c(Mt)6=c(M)t c(M)6=c(M) Así como se cumple que c(tM) = tc(M), si t∈R, tenemos que c(zM)6=zc(M), con z∈C Observación 2.7.Por la visto en la Proposición 2.5, la aplicación c:Hn×n−→ C2n×2n es un morfismo de R-álgebras. 2.1. MATRIZ ASOCIADA 11 Proposición 2.8. La aplicación anterior es inyectiva. Demostración. c(M)=0⇒"U−V V U #= 0 ⇒U+jV= 0 ⇒U= 0, V = 0 ⇒M= 0. Proposición 2.9. Sea N∈C2n×2n, entonces: Npertenece a la imagen de csi y solo si NJ =JN. Siendo J="0−In In0#. Demostración. (⇒)Si N=C(M) = "A−B B A #, entonces NJ ="A−B B A #·"0−In In0#="−B−A A−B# JN ="0−In In0#·"A B B A#="−B−A A−B# (⇐)Si N="a c b d #, siendo cajas n×n. Tenemos que NJ ="a c b d#·"0−I I0#="c−a d−b# y JN ="0−I I0#·"a c b d#="−b−d a c # De este modo tenemos que d=ayc=−b, por lo que nuestra matriz Nserá de la forma N="a−b b a # Proposición 2.10. Mes inversible si y sólo si c(M)es inversible Demostración. (⇒)Si existe M−1, entonces MM−1=In. Entonces c(M)·c(M−1) = c(M·M−1) = c(In) = I2n, lo cual implica que c(M−1) = c(M)−1. Por lo tanto c(M)es inversible. (⇐)Sea c(M)inversible y sea Asu inversa. Demostremos primero que existe N∈Hn×n tal que c(N) = A∈C2n×2n. Es decir, que Apertenece a la imagen de c. Esto ocurre si 12 CAPÍTULO 2. MATRICES CUATERNIÓNICAS AJ =JA,. Como c(M)está en la imagen sabemos que c(M)J=Jc(M). Y sabemos c(M)A=I=Ac(M). Por tanto, J¯ A=Jc(M)−1=c(M)−1J=AJ Por tanto, c(M)inversible ⇒ ∃A∈C2n×2ntal que c(M)·A=I2n⇒c(M)·c(N) = c(In)⇒ c(M·N) = c(In)⇒M·N=In(porque c es inyectiva) ⇒Mes inversible. Capítulo 3 Determinantes En este nuevo capítulo estudiaremos dos importantes determinantes con valores reales. Uno de ellos es el determinante de Study. Con la ayuda de un artículo de Nir Cohen and Stefano De Leo, "The Quaternionic Determinant"[6], veremos que no hay ningún otro funcional que nos de el mismo valor. El segundo es el determinante de Moore, que cobrará importancia en el último capítulo. 3.1. Determinante de Study Definición 3.1. Llamaremos determinante de Study de M∈Hn×n, y lo denotaremos por Sdet(M), al determinante de la matriz compleja c(M). Ejemplo 3.2. Calculemos SdetM, con M="i1 j−k#. Determinemos su matriz compleja asociada. Para esto, descompongamos primero en complejos, "i1 0 0#+j·"0 0 1i# . Por tanto, tenemos que, C(M) = "AC B D # donde A="i1 0 0#, B="0 0 1i#, 13 20 CAPÍTULO 3. DETERMINANTES Las dos permutaciones posibles, descompuestas en ciclos, nos dan (1)(2) y(12), es decir, siendo rigurosos con la definición que nos acerca Helmer Aslaksen, (2)(1) y(21), respectivamente. Por tanto, según la definición dada anteriormente: Mdet(M) = m22m11 −m21m12 =ac − |b|2. Definición 3.15. Una matriz es hermítica si H=H∗ Proposición 3.16. Si nos restringimos a una matriz hermitiana, H, resulta que todos sus valores propios son reales y que la matriz se puede diagonalizar Proposición 3.17. Si Hes una matriz hermítica, entonces Mdet(H)es un número real Teorema 3.18. Sea Muna matriz no hermítica cuaternónica, entonces tenemos que Sdet(M) = Mdet(MM∗) Demostración. Demostremos esto con un ejemplo: Sea la matriz M="i1 j−k#. Sabemos por el Ejemplo 2.4 que Sdet(M) = 4, por lo que solamente tendremos que comprobar que Mdet(M∗M) = 4. Hagamos primero M∗: M∗="−i−j 1k# Ahora el siguiente producto: M·M∗="i1 j−k#·"−i−j 1k#="2 0 0 2# . Por tanto, Mdet(MM∗) = m22m11 −m21m12 = 4 Para posteriores resultados, y en especial para el próximo capítulo, es necesario definir la siguiente notación. Definición 3.19. Sea A∈M(n, H): Denotamos por a.j la j-ésima columna de la matriz A. Denotamos por ai. la i-ésima fila de la matriz A. A.j(b)es el resultado de reemplazar en A, la j-ésima columna por la columna b. 3.3. DETERMINANTE DE MOORE 21 Ai.(b)es el resultado de reemplazar en A, la i-ésima fila por la fila b. Aj.(ai.)se obtiene de Aal reemplazar la j-ésima fila por la i-ésima fila A.j(a.i ·b)se obtiene de Aal reemplazar la j-ésima columna por la i-ésima columna multiplicada por b∈H(por la izquierda). Aij es la submatriz resultado de eliminar de A, tanto la fila i-ésima como la columna j-ésima. Aii .j(a.i)se obtiene de Areemplazando la j-ésima columna por la i-ésima columna y luego borrando la i-ésima fila y la i-ésima columna. Teorema 3.20. Si en la i-ésima fila de una matriz hermítica A∈M(n, H)añadimos una combinación lineal por la izquierda de otras filas, entonces MdetAi.(ai. +c1ai1.+· · · +ckaik. ) = MdetAi.(ai. +c1ai1.+· · · ckaik. ) = MdetA , donde cl∈H,∀l= 1, ..., k. 22 CAPÍTULO 3. DETERMINANTES Capítulo 4 Matriz Inversa Acerquemos una serie de resultados aportados por el matemático Ivan Kyrchei [2], que introducen el concepto de determinante desarrollado por una fila o una columna, con el fin de desembocar en el cálculo de la inversa de una matriz cuaterniónica. 4.1. Determinante por filas Definición 4.1. El determinante por la i-ésima fila de A= (aij)∈M(n, H)se define como la suma alternada de n!productos de los elementos de A, donde la permutación del índice de cada producto en cada producto la permutación de índices se escribe como el producto de ciclos disjuntos. Si la permutación es par, entonces el producto de los elementos de A tiene signo positivo. Si la permutación es impar, entonces el producto de las entradas tiene signo negativo. Así, rdetiA=X σ∈Sn (−1)n−raiik1aik1ik1+1 · · · aik1+l1i· · · aikrikr+1 · · · aikr+lrikr Veamos con un ejemplo general como funciona el determinante por filas. Ejemplo 4.2. Si tenemos una matriz 3×3, las permutaciones posibles son 6. 123 = (1)(2)(3) 132 = (1)(23) 213 = (12)(3) 231 = (123) 312 = (132) 23 24 CAPÍTULO 4. MATRIZ INVERSA 321 = (2)(13) Pongamos entonces un ejemplo de determinante por la segunda fila (suma alterna de n!=6 productos de entradas de A). Según Kyrchei el orden del producto de ciclos es, σ= (i ik1ik1+1 · · · )(ik2ik2ik2+1 · · · )· · · (ikrikr+1 · · · ). Teniendo en cuenta que, ik2< ik3<· · · < ikr, ikt< ikt+s,∀t= 2, ...r;s= 1, ... Sea entonces una matriz 3×3: A=    a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     , Establezcamos un paralelismo entre los productos de ciclos y el producto de los elementos de las matrices (tal y como lo define Kyrchei en el determinante por filas), siguiendo el mismo orden: (2)(1)(3) ←→ a22 ·a11 ·a33 (23)(1) ←→ a23 ·a32 ·a11 (21)(3) ←→ a21 ·a12 ·a33 (231) ←→ a23 ·a31 ·a12 (213) ←→ a21 ·a13 ·a32 (2)(13) ←→ a22 ·a13 ·a31 Podemos observar que al tratarse de un determinante desarrollado por la segunda fila, el primer elemento será siempre un 2ya que así lo definió Kyrchei en el orden del producto de ciclos. Por tanto tenemos que, como rdetiA=X σ∈Sn (−1)n−raiik1aik1ik1+1 · · · aik1+l1i· · · aikrikr+1 · · · aikr+lrikr entonces, rdet2A=a22 ·a11 ·a33 +a23 ·a32 ·a11 +a21 ·a12 ·a33 +a23 ·a31 ·a12 +a21 ·a13 ·a32 +a22 ·a13 ·a31 Existe una expresión más manejable de esta definición anterior. Para ello necesitaremos lo que Kyrchei llama cofactor. 4.2. DETERMINANTE POR COLUMNAS 25 Definición 4.3. Sea Rij el i-ésimo cofactor por la derecha de A∈M(n, H), la siguiente expresión, Rij =(−rdetjAii .j(a.i), i 6=j, rdetkAii, i =j, donde Aii .j(a.i)se obtiene substituyendo la jésima columna por la i-ésima columna y luego eliminando la fila y la columna i-ésima, Aii se obtiene de eliminar la fila iy la columna i, yk= m´ın{In\ {i}} Proposición 4.4. Utilizando la definición anterior podemos definir el determinante por filas del siguiente modo: rdetiA= n X j=1 aijRij ,∀i= 1, ..., n 4.2. Determinante por columnas Definición 4.5. El determinante por la j-ésima columna de A= (aij)∈M(n, H)se define como la suma alternada de n!productos de los elementos de A, donde la permutación del índice de cada producto en cada producto la permutación de índices se escribe como el producto de ciclos disjuntos. Si la permutación es par, entonces el producto de los elementos de Atiene el signo positivo. Si la permutación es impar, entonces el producto de las entradas tiene el signo negativo. Así, cdetjA=X τ∈Sn (−1)n−rajkrjkr+lr· · · ajkr+1ikr· · · ajjk1+l1· · · ajk1+1jk1ajk1j, Ejemplo 4.6. Si tenemos una matriz 3×3, las permutaciones posibles son 6. 123 = (1)(2)(3) 132 = (1)(23) 213 = (12)(3) 231 = (123) 312 = (132) 321 = (2)(13) Pongamos entonces un ejemplo de determinante por la segunda columna (suma alterna de n!=6productos de entradas de A). Según Kyrchei el orden del producto de ciclos es, σ= (jkr+lr · · · jkr)· · · (jk2+l2· · · jk2)(jk1+l1· · · j) 26 CAPÍTULO 4. MATRIZ INVERSA Teniendo en cuenta que, jk2< jk3<· · · < jkr, jkt< jkt+s,∀t= 2, ..., r;s= 1, ..., lt Sea entonces una matriz 3×3: A=    a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     Establezcamos un paralelismo entre los productos de ciclos y el producto de los elementos de las matrices (tal y como lo define Kyrchei en el caso del determinante por columnas), siguiendo el mismo orden: (3)(1)(2) ←→ a33 ·a11 ·a22 (1)(32) ←→ a11 ·a32 ·a23 (3)(12) ←→ a33 ·a12 ·a21 (312) ←→ a31 ·a12 ·a23 (132) ←→ a13 ·a32 ·a21 (31)(2) ←→ a31 ·a13 ·a22 Por tanto tenemos que, como cdetjA=X τ∈Sn (−1)n−rajkrjkr+lr· · · ajkr+1ikr· · · ajjk1+l1· · · ajk1+1jk1ajk1j, entonces, cdet2A=a33 ·a11 ·a22 +a11 ·a32 ·a23 +a33 ·a12 ·a21 +a31 ·a12 ·a23 +a13 ·a32 ·a21 +a31 ·a13 ·a22 Tal y como hicimos anteriormente, demos una expresión alternativa. Definición 4.7. Sea Lij el i-ésimo cofactor por la izquierda de la matriz A∈M(n, H), la siguiente expresión, Lij =(−cdetiAjj i. (aj.), i 6=j, cdetkAjj , i =j, donde Ajj i. (aj.)se obtiene substituyendo la iésima fila por la j-ésima fila y luego eliminando la fila y la columna j-ésima, Ajj es el resultado de quitarle a la matriz Ala fila jy la columna j, y k= m´ın{In\ {i}} 4.3. CASO DE LAS MATRICES HERMÍTICAS 27 Proposición 4.8. Utilizando la definición anterior podemos definir el determinante por columnas del siguiente modo, cdetjA= n X j=1 Lijaij ,∀i= 1, ..., n Partiendo de las anteriores definiciones podemos, de forma sencilla, demostrar las siguientes propiedades de los determinantes por filas y columnas. Proposición 4.9. Si la i-ésima fila de A∈M(n, H)es multiplicada por la izquierda por b∈H, entonces rdetiAi.(b·ai.) = b·rdetiA, ∀i= 1, ..., n Proposición 4.10. Si la j-ésima columna de A∈M(n, H)es multiplicado por la derecha por b∈H, entonces cdetjA.j(a.j ·b) = cdetjA·b,∀j= 1, ..., n Proposición 4.11. Si A∗es la matriz adjunta de A∈M(n, H), entonces rdetiA∗= cdetiA, ∀i= 1, .., n Mostremos con un ejemplo, que se cumple la anterior proposición: Ejemplo 4.12. Sea A="1 1 j2#yA∗="1−j 1 2 #. Vamos a desarrollar los determinantes por la primera fila y la primera columna, es decir, i= 1. Recordemos también que para una matriz genérica 2×2tenemos que: rdet1(A) = a11a22 −a12a21 cdet1(A) = a22a11 −a21a12 Por tanto, rdet1A∗= 2 + j= 2 −j= cdet1A 4.3. Caso de las Matrices Hermíticas Teorema 4.13. Si A∈M(n, H)es una matriz hermítica, entonces rdet1A=· · · = rdetnA= cdet1A=· · · = cdetnA∈R . Relacionemos lo anterior con el determinante de Moore 28 CAPÍTULO 4. MATRIZ INVERSA Observación 4.14.Tenemos que, Mdet(A) = −X σ∈Sn aij ·rdetjAii .j(a.i) + aii ·rdetkAii, k = m´ın{In\ {i}} con lo que concluimos que el determinante por filas definido por Ivan Kyrchei coincide con el determinante de Moore. Vamos a explicar como pueden usarse los cofactores para defi9nir una matriz adjunta y una matriz inversa, análogas a las del caso complejo clásico. Teorema 4.15. Si A∈M(n, H)es una matriz hermítica no singular, existe una única matriz inversa (por la derecha) (RA)−1, y una única matriz inversa (por la izquierda) (LA)−1, , donde (RA)−1=1 Mdet(A)·      R11 R21 · · · Rn1 R12 R22 · · · Rn2 · · · · · · · · · · · · R1nR2n· · · Rnn       , (LA)−1=1 Mdet(A)·      L11 L21 · · · Ln1 L12 L22 · · · Ln2 ··· ··· ··· ··· L1nL2n· · · Lnn       Además, (RA)−1= (LA)−1=: A−1 Demostración. Tomando B=A·(RA)−1, obtenemos las siguientes entradas bii = (Mdet(A))−1 n X j=1 aijRij = (Mdet(A))−1·rdeti(A) = Mdet(A) Mdet(A)= 1,∀i= 1, ..., n bij = (Mdet(A))−1 n X j=1 aisRjs = (Mdet(A))−1·rdetjAj.(ai.), i 6=j Kyrchei da un resultado que nos dice que como la matriz Aj.(ai.)tiene dos filas iguales, porque es obtenida a partir de una matriz hermítica reemplazando la fila jpor la fila i, entonces rdetjAj.(ai.)=0,∀i, j = 1, ..., n con i6=j. Trasladándolo a este teorema, tenemos que si i6=j, entonces bij = 0. Por tanto B=I. De una forma análoga, lo hacemos para (LA)−1. Ahora consideramos una matriz Aarbitraria, y tomemos sus hermíticas asociadas, es decir A∗AyAA∗ 4.4. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 29 Definición 4.16. Supongamos que A∈M(n, H)es una matriz arbitraria, y que Mdet(A∗A) = cdetj(A∗A) = X i Lij ·aij Mdet(AA∗) = rdeti(AA∗) = X j aij ·Rij entonces Rij yLij serán llamados, respectivamente, doble factor ij-ésimo por la derecha y por la izquierda. 4.4. Cálculo de la inversa de una matriz Lema 4.17. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz A∈M(n, H)sea inversible, es que Mdet(A∗A)6= 0. Demostración. La demostración de este lema se deduce del hecho de que Mdet(A∗A) = Sdet(A), habiendo demostrado anteriormente en la Proposición 3.6 que Aes inversible si y solo si Sdet(A)6= 0 . Teorema 4.18. Existe A−1:= (LA)−1= (RA)−1, donde (LA)−1= (A∗A)−1A∗=1 Mdet(A∗A)=    L11 · · · L1n . . .. . . Ln1· · · Lnn     (RA)−1=A∗(AA∗)−1=1 Mdet(AA∗)=    R11 · · · R1n . . .. . . Rn1· · · Rnn     y, Lij = cdetj(A∗A).j(a∗ .i),Rij = rdeti(AA∗)i.(a∗ j.) Demostración. Supongamos que A∗Aes inversible. Multiplicando por la derecha por A∗, obtenemos (LA)−1= (A∗A)−1A∗. Teniendo en cuenta que (A∗A)−1=Lij ·1 Mdet(A∗A)n×n , como la matriz inversa izquierda, obtenemos