El Teorema de Burnside

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Departamento de Álgebra, Geometría y Topología TRABAJO DE FIN DE GRADO El Teorema de Burnside Guillermo García Sáez Dirigido por Juan Ramón Delgado Pérez, José F. Fernando Galván y José Manuel Gamboa Mutuberria Curso académico 2022-23 Madrid, a 20 de Junio de 2023 juan ramón sexology Resumen. El objetivo de este trabajo es dar una demostración del Teorema paqbde Burnside utilizando la Teoría de caracteres. Para ello es necesario desarrollar la Teoría de representación de grupos finitos, por lo que necesitaremos introducir los conceptos de módulo y el de álgebra o anillo de un grupo finito. Demostraremos resultados claves en la Teoría de representación como el Teorema de Maschke, el Lema de Schur y los teoremas de descomposición en representaciones irreducibles. Así mismo, realizaremos un sucinto repaso de resultados básicos de Teoría algebraica de números y estudiaremos su estrecha relación con los caracteres de las representaciones, clave en la demostración del Teorema de Burnside. Abstract. The main goal of this work is to give a self-contained proof of the Burnside’s paqbTheorem with Character Theory. To achive it we need to develop the Representation Theory of Finite Groups, which requires to rigorous define concepts as modules and ring groups. We will prove important results as Maschke’s Theorem, Schur’s Lemma and the decomposition theorems into irreducible representations. Additionally, we will make a succint review about Algebraic Number Theory and its relantionship with Character Theory, the key of the proof of Burnside’s Theorem. palabra I Contenido Introducción ..................................... 1 Capítulo I. Preliminares .............................. 2 I.1. Grupos finitos ................................... 2 I.2. Introducción a los módulos ............................ 5 Capítulo II. Teoría de representación ...................... 14 II.1. Representación de grupos. ............................ 14 II.2. Representaciones irreducibles. .......................... 17 Capítulo III. Teoría de caracteres ........................ 24 III.1. Caracteres .................................... 24 III.2. Relaciones de ortogonalidad. .......................... 28 Capítulo IV. El Teorema de Burnside ...................... 33 IV.1. Números algebraicos y caracteres ........................ 33 IV.2. Demostración del Teorema ........................... 36 IV.3. Conclusiones ................................... 39 Bibliografía ...................................... 41 palabra 1 Introducción Así como los números primos son los ladrillos con los que se construyen los números naturales, de manera similar podemos considerar a los grupos simples como los ladrillos de los grupos finitos. Concretamente, todo grupo finito Gadmite una serie de composición otorre de subgrupos normales {1G}=G0G1· · · Gm=G, tal que Gi+1/Gies simple para 0≤i≤m−1, y el Teorema de Jordan-Hölder nos dice que todas las series de composición son equivalentes, es decir, tienen la misma longitud y factores isomorfos. A partir de este importante resultado demostrado a finales del siglo XIX surgieron dos importantes problemas en Teoría de grupos. 1. Clasificar todos los grupos simples. 2. Métodos de construcción de grupos a partir de los grupos simples. Entre finales del siglo XIX y principios del XX, los esfuerzos de matemáticos como Otto Hölder, Frank Nelson Cole y William Burnside, lograron clasificar todos los grupos simples de orden menor o igual que 1092. Un resultado de Hölder que dice que un grupo cuyo orden es el producto de dos o tres primos distintos es resoluble, llevó a Burnside a preguntarse si existen grupos no abelianos simples de orden impar y si hay grupos no abelianos simples cuyo orden sea divisible por menos de tres primos distintos. En 1904, Burnside respondió ambas cuestiones cuando probó su célebre Teorema, que dice que todo grupo cuyo orden sea divisible por exactamente dos primos distintos es resoluble. La demostración de Burnside involucra la Teoría de la representación y la, hasta entonces desconocida, Teoría de caracteres, que Burnside desarrolla enormemente durante sus intentos por demostrar el resultado. No sería hasta la década de 1970 que los matemáticos Goldschmidt, Bender y Matsuyama lograran una demostración del Teorema mediante técnicas puramente de Teoría de grupos. 2 CAPÍTULO I Preliminares I.1. Grupos finitos En esta primera sección introducimos algunos de los conceptos básicos de la Teoría de Grupos, así como los conceptos de clases de conjugación y resolubilidad de grupos, muy importantes en la demostración del Teorema de Burnside. Definiciones I.1.1.Un grupo es el par formado por un conjunto Gy una operación G×G→G; (a, b)7→ ab, que cumple las siguientes condiciones: 1. (ab)c=a(bc),para cualesquiera a, b, c ∈G. (Propiedad asociativa). 2. Existe un elemento eG∈G, denominado elemento neutro de G, tal que aeG=eGa= apara todo a∈G. Si no existe ambigüedad acerca del grupo, este elemento se suele denotar por 0si la operación es aditiva o por 1si es multiplicativa. Es inmediato ver que dicho elemento es único. 3. Para cada a∈Gexiste un elemento a−1∈Gtal que aa−1=a−1a=eG. Se dice que a−1es el inverso de a. Es inmediato probar que el inverso de un elemento es único, y que si a−1es el inverso de a∈G, entonces (a−1)−1=a. Se dice que dos elementos g, h ∈Gconmutan si gh =hg. Si cada par de elementos de G conmutan se dice que Ges un grupo abeliano. Si Ges un conjunto finito se llama orden de Gal número de elementos de G, al que se denota por ord(G). Si el orden de Ges potencia de un número primo pse dice que Ges un p-grupo. Definición I.1.2.Un subconjunto Hde un grupo Gse dice subgrupo de Gsi, con la misma operación de G, es un grupo. Es inmediato ver que esto equivale a que 1G∈Hy ab−1∈Hpara cualesquiera a, b ∈H. Para cada grupo G, él mismo y el conjunto {1G} son dos subgrupos de G, denominados triviales. Un subgrupo Hde un grupo Gse dice normal si dado g∈Gse tiene que g−1hg ∈Hpara todo h∈H. Abusando de notación esto suele denotarse como g−1Hg =H. Si Hes un subgrupo normal de Gse denotará como HG. Si los únicos subgrupos normales de Gson {eG}yG, se dice que Ges simple. Definición I.1.3.Un grupo Gse dice cíclico si existe un elemento g∈Gde modo que G={gk:k∈Z}. Definición I.1.4.Dado un subgrupo Hde un grupo Gse llama centralizador de Hen G al subgrupo CG(H) := {g∈G:gh =hg, ∀h∈H}. I. Preliminares 3 Si g∈Gse denomina centralizador de g,CG(g), al conjunto de elementos del grupo que conmutan con g. El centralizador de G,Z(G) := CG(G), se denomina centro de G. Definición I.1.5.Sean Gun grupo y Hun subgrupo suyo. Se define en Gla relación de equivalencia RHmediante: dados a, b ∈G, decimos que aybson congruentes por la derecha respecto de H, y escribimos aRHbsi y solo si ab−1∈H. De forma análoga se define la relación RHser congruente por la izquiera respecto de Hsi dados a, b ∈Gse tiene que a−1b∈H. La aplicación G/RH→G/RH, Ha 7→ a−1H, está bien definida y es inyectiva porque Ha =Hb si y solo si ab−1=h∈H, lo que equivale a que b−1=a−1h, o lo que es igual, b−1H=a−1hH =a−1H. Además es evidente que es sobreyectiva, luego es una biyección. Por ello ambos conjuntos tienen el mismo cardinal, que se denomina índice de Hen Gy que se denota por [G:H]. Definición I.1.6.Sea Hun subgrupo normal de un grupo G. En tal caso las relaciones de equivalencia anteriores coinciden, denotaremos como G/H al conjunto cociente (común). Mediante la siguiente operación se puede probar que tiene estructura de grupo G/H ×G/H →G/H, (Ha, Hb)7→ Ha ·Hb =Hab. La normalidad de Hes imprescindible para ver que está bien definida. El orden del grupo cociente es el cardinal del conjunto cociente, que hemos definido como el índice, por lo tanto ord(G/H) = [G:H]. I.1.a. Clases de conjugación. Definiciones I.1.7. 1. Se llama acción de un grupo Gsobre un conjunto no vacío Xa cualquier homomorfismo de grupos G→Biy(X),g7→ ˆg. Conviene observar que este homomorfismo induce una aplicación G×X→X, (g, x)7→ ˆg(x). Nótese que id = ˆeGyˆg−1=ˆ g−1, por tratarse de un homomorfismo. 2. Se define en Xla relación de equivalencia x∼ysi existe g∈Gtal que y= ˆg(x). En efecto es de equivalencia pues x∼xal ser x=beG(x), si y= ˆg(x)entonces x= ˆg−1(y), y si dados x, y, z ∈Xse tiene que y= ˆg(x)yz=ˆ h(y), entonces z=ˆ h◦ˆg(x). La clase de equivalencia de x∈Xse llama G-órbita de xbajo la acción de G, que es el conjunto OG,x ={ˆg(x) : g∈G}. Si no hay confusión respecto al grupo denotaremos Ox:= OG,x, y diremos que es la órbita de x. La familia {Ox:x∈X}es una partición de X, y si R⊂Xes un conjunto de representantes de estas clases de equivalencia, se cumple X=Fx∈ROx. En consecuencia |X|=Px∈R|Ox|. Definición I.1.8.Sean Xun conjunto no vacío y Gun grupo. Se denomina estabilizador del punto x∈Xbajo la acción de Gal subgrupo StabG(x) := {g∈G: ˆg(x) = x}. Es inmediato comprobar que es un subgrupo. I. Preliminares 10 d)(x, ay)−a·(x, y) para x, x1, x2∈M,y, y1, y2∈Nya∈R. Sea T:= F/E. Para cada elemento (x, y) de Fdenotamos a su clase en Tcomo x⊗y. Por lo tanto Testá generado por los elementos de la forma x⊗y, y de nuestra definición se desprenden las siguientes propiedades: a)(x1+x2)⊗y=x1⊗y+x2⊗y b)x⊗(y1+y2) = x⊗y1+x⊗y2 c)(ax)⊗y=x⊗(ay) = a(x⊗y) para cualesquiera x, x1, x2∈M,y, y1, y2∈Nya∈R. Es decir, que la aplicación h:M×N→Tdefinida como h(x, y) = x⊗yes R-bilineal. Sea ahora f:M× N→Puna aplicación R-bilineal, donde Pes un R-módulo. Por ser fbilineal se anula en todos los generadores de E, en consecuencia en todo E, luego induce un homomorfismo entre R-módulos f′:T→Pbien definido, de forma que (f′◦ h)(x, y) = f′(x⊗y) = f(x, y). La aplicación f′queda unívocamente determinada por esta condición, y por lo tanto el par (T, h)satisface las condiciones de la proposición. 2. Unicidad. Sea otro par (T′, h′)que cumple también estas propiedades. Reemplazando (P, f)por (T′, h′)obtenemos que existe una única aplicación R-lineal i:T→T′tal que h′=i◦h. Intercambiando Tpor T′obtenemos que existe una única aplicación R-lineal i′:T′→Ttal que h=i′◦h′. Sustituyendo obtenemos que h=i′◦(i◦h) = (i′◦i)◦h. Recíprocamente obtenemos que h′= (i◦i′)◦h′. Como los pares (T, idT),(T′,idT′)verifican que h= idT◦hyh′= idT′◦h′, respectivamente, por lo probado en el apartado anterior concluimos que i′◦i= idT, i◦i′= idT′. Por lo tanto ambas composiciones son la identidad, lo que implica que ies un isomorfismo. Observación I.2.13.El R-módulo Tconstruido a partir de MyNse suele denotar por M⊗RN, o simplemente M⊗Nsi no hay ambigüedad sobre el anillo Ren el que se trabaja. Se puede ver como un R-módulo libre generado por los elementos x⊗y, denominados tensores descomponibles. Si (xi)i∈I,(yj)j∈Json dos familias que generan M yNrespectivamente, entonces los elementos xi⊗yjgeneran M⊗N. En particular, si M yNson finitamente generados, entonces también lo es M⊗N. Ejemplo I.2.14.Sean m, n ∈Nyd= gcd(m, n). Veamos que Zm⊗ZZn∼ =Zd. Sea la aplicación f:Zm×Zn→Zddefinida como: f(x+mZ, y +nZ) = xy +dZ. I. Preliminares 11 Está bien definida y es bilineal, luego por la proposición anterior existe una única aplicación lineal g:Zm⊗ZZn→Zdtal que g((x+mZ)⊗(y+nZ)) = xy +dZ. Sea ahora la aplicación h:Zd→Zm⊗ZZndefinida como: h(l+dZ)=(l+mZ)⊗(1 + nZ). Veamos que está bien definida. Sean l, l′∈Ztales que l−l′∈dZ, luego existe k∈Z tal que l=l′+kd. Por la identidad de Bézout existen a, b ∈Ztales que d=am +bn. Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos que l=l′+akm +bkn. Por lo tanto: h(l+dZ) = h(l′+akm +bkn +dZ)=(l′+akm +bkn +mZ)⊗(1 + nZ) = (l′+bkn +mZ)⊗(1 + nZ) = (1 + mZ)⊗(l′+bkn +nZ) = (1 + mZ)⊗(l′+nZ) = (l′+mZ)⊗(1 + nZ) = h(l′+dZ). La aplicacion hcumple que (h◦g)((x+mZ)⊗(y+nZ)) = h(xy +dZ) = (xy +mZ)⊗(1+nZ) = (x+mZ)⊗(y+nZ). Además, (g◦h)(l+dZ) = g((l+mZ)⊗(1 + nZ)) = l+dZ. Hemos comprobado que h=g−1y por lo tanto ges un isomorfismo entre Z-módulos. Ejemplo I.2.15.Sean VyWdos espacios vectoriales. Definimos una aplicación ϕ: V∗⊗W→Hom(V, W)que sobre los elementos descomponibles del producto tensorial actúa como ϕ(v∗⊗w) = fv∗,w, donde fv∗,w es la aplicación lineal V→Wdefinida por fv∗,w(u) = v∗(u)w. Como cada elemento de V⊗Wpuede escribirse como suma de tensores descomponibles esta asignación se extiende a un homomorfismo, que denotamos ϕ. Supongamos que v∗⊗w∈ker(ϕ). Entonces fv∗,w(u) = v∗(u)w= 0 para cualquier u∈V. Si v∗es la función 0, entonces v∗⊗w= 0 ⊗w= 0. Supongamos que v∗es no nulo, luego existe u∈Vtal que v∗(u)= 0, luego necesitamos que w= 0 para que v∗⊗w= 0. Por lo tanto ker(ϕ) = {0}yϕes inyectiva. Concluimos así que dim(Hom(V, W)) = dim(V∗⊗W), y por lo tanto Hom(V, W)∼ =V∗⊗W. I.2.c. Anillos de grupos El siguiente concepto será importante a la hora de entender las representaciones de grupos. Se trata de dotar a un grupo (que asumiremos finito) de estructura de anillo a través de un anillo dado. Así, un anillo de grupos es por un lado un anillo y por otro un módulo libre cuyo anillo de escalares es el anillo a través el cual ha sido construido, y una de cuyas bases es el conjunto de elementos del grupo de partida. Definición I.2.16.Sea Run anillo conmutativo con elemento unidad 1R= 0, y sea G={g1, . . . , gn}un grupo finito. Definimos el anillo del grupo Gcon coeficientes en R, que se denotará por RG, como el conjunto de las sumas formales a1g1+a2g2+· · · +angn, ai∈R , 1≤i≤n I. Preliminares 12 La suma en RG se define componente a componente (a1g1+· · ·+angn)+(b1g1+· · ·+bngn) = (a1+b1)g1+· · ·+(an+bn)gnai, bi∈R , 1≤i≤n donde ai+bies la suma en el anillo R. La multiplicación se define primero para las tuplas (agi)(bgj)como (agi)(bgj) = (ab)gk, donde ab es el producto en el anillo R, y gk=gigjes la operación definida en el grupo. Esta definición se extiende a todas las sumas formales mediante la propiedad distributiva de manera que el coeficiente de gken el producto (a1g1+· · · +angn)(b1g1+· · · +bngn)es X gigj=gk aibj Con estas operaciones RG es un anillo unitario cuyo elemento unidad es 1R·e, donde ees el neutro para la operación en el grupo G.RG será conmutativo si y solo si Ges abeliano. Ejemplo I.2.17.Sea H={e, ¯e, i,¯ i,j,¯ j,k,¯ k}el grupo cuaternión, y consideramos el anillo de grupo RH. Un elemento cualquiera del anillo vendrá dado por la siguiente suma formal x1e+x2e+x3i+x4¯ i+x5j+x6¯ j+x7k+x8¯ k donde los xison números reales. Veamos un ejemplo de operación en el anillo del grupo: (3+π·i)·(7·k) = (3·1)(7·k)+(π·i)·(7·k) = (3·7)·(1·k)+(π·7)·(i·k) = 21·k+(7π)·(¯ j) Definimos el anillo de Hamilton como el conjunto Q={a·e+b·i+c·j+d·k:a, b, c, d ∈R}, donde i2=j2=k2=ijk =e, y la adición se define componente a componente. Nótese que RH no es isomorfo al anillo de Hamilton. Esto se debe a que en el anillo se cumplen relaciones adicionales entre los elementos que no se cumplen en RH. Por ejemplo en el anillo de Hamilton ¯ i= 1·¯ i= 1·(−i) = −i, mientras que en el anillo de grupo ¯ i= (−1)·i pues representan sumas formales distintas. A la hora de estudiar las representaciones de grupos nos interesará en concreto el caso de un anillo de grupo en el que el anillo Res a su vez un cuerpo F. En este caso el anillo FG, que también será un FG-módulo libre, es un espacio vectorial sobre Fcuya base es G, y por lo tanto su dimensión será el orden del grupo G. Definición I.2.18.Sea Gun grupo finito. Se define el centro del anillo del grupo G,CG, que se denotará como Z(CG), como el conjunto Z(CG) := {z∈CG:zr =rz, ∀r∈CG}. Definición I.2.19.Sean C1, . . . , Crlas clases de conjugación de un grupo G. Para cada 1≤i≤r, definimos Ci:= X g∈Ci g∈CG. Los elementos C1, . . . , Crde CGse denominan sumas de clase de G. I. Preliminares 13 Proposición I.2.20.Las sumas de clase de un grupo finito Gpertenecen al centro de CG. De hecho, forman una base de CG. Demostración. Sean Cuna clase de conjugación de G, y g∈Gun representante de C. Entonces los elementos de Cson x−1 1gx1, . . . , x−1 rgxr, para ciertos x1, . . . , xr∈G. Por lo tanto C= r X i=1 x−1 igxi. Para cualquier h∈G,h−1Ch =Pr i=1 h−1x−1 igxih. Si ivaría entre 1yr, los elementos h−1x−1 igxihvarían en todo Cpuesto que h−1x−1 igxih=h−1x−1 kgxkh⇐⇒ x−1 igxi=x−1 kgxk. Por lo tanto Pr i=1 h−1x−1 igxih=C, y por lo tanto h−1Ch =C; es decir, hC =Ch. Tenemos que Cconmuta con todo h∈G, y por lo tanto también conmuta con todo Ph∈Gahh∈CG, luego C∈Z(CG). Para la segunda parte observemos primero que C1, . . . , Cr, son linealmente independientes puesto que las clases C1, . . . , Crforman una partición disjunta de G. Veamos ahora que generan todo Z(CG).Sea r=Pg∈Gagg∈Z(CG). Para h∈G(que en particular es un elemento de CG), tenemos que rh =hr, luego h−1rh =r. Esto implica que Pg∈Gagh−1gh =Pg∈Gagg. Por lo tanto para cada g∈Gel coeficiente agde ges igual al coeficiente ah−1gh de h−1gh. En particular esto implica que la asignación g7→ ages constante en Og, luego r=Pr i=1 aiCi, donde aies el coeficiente de un representante de la clase de conjugación Ci. 14 CAPÍTULO II Teoría de representación En este capítulo vamos a introducir los conceptos básicos de la teoría de representación de grupos, necesaria para entender la noción de caracteres de grupos, pues estos últimos están intimamente ligados a las representaciones. Una representación de grupos asocia a cada elemento del grupo una matriz invertible, luego la operación interna del grupo se podrá ver como una multiplicación de matrices usual. Veremos también que una representación de un grupo Ges equivalente a un FG-módulo sobre un cuerpo F. II.1. Representación de grupos. Definición II.1.1.Sean Gun grupo finito, Fun cuerpo y Vun F-espacio vectorial. Denotaremos por GL(V)al grupo formado por los F-automorfismos del F-espacio vectorial V, con la operación composición. 1. Una representación lineal de Gen Ves un homomorfismo de grupos ρ:G→GL(V). El grado de la representación es la dimensión de Vcomo F-espacio vectorial. 2. Sea nun entero positivo. Una representación matricial de Ges un homomorfismo de grupos ρ:G→GLn(F), donde GLn(F)es el grupo de las matrices n×ninvertibles con coeficientes en F. 3. Una representación lineal o matricial se dice fiel si es inyectiva. Observación II.1.2.A partir de ahora el término representación denotará indistintamente representación lineal o matricial, pues en nuestro contexto ambas son equivalentes. En efecto, si Ves un F-espacio vectorial de dimensión finita n, fijada una base de nuestro espacio obtenemos que GL(V)∼ =GLn(F). De esta forma toda representación lineal induce una representación matricial y viceversa. Ejemplo II.1.3.Sea D4={r, s |r4=s2= (sr)2= 1}el grupo diédrico de orden 8, que no es más que el grupo de simetrías del cuadrado que tienes por vértices los puntos del plano (1,1),(−1,1),(−1,−1),(1,−1), donde rdenota la rotación en sentido antihorario de 90 grados y sdenota la reflexión respecto del eje horizontal {y= 0}. Sean las matrices R=0−1 1 0 , S =1 0 0−1, definimos la aplicación ρ:D4→GL2(C), risj7→ RiSj, para 0≤i≤3y0≤j≤2. Que es un homomorfismo es inmediato, luego ρes una representación de D4de grado 2. II. Teoría de representación 15 Más generalmente si tenemos Dn={r, s |rn=s2= (sr)2= 1}, las matrices R=cos(2π/n)−sin(2π/n) sin(2π/n) cos(2π/n), S =1 0 0−1, y la aplicación ρ:Dn→GL2(C), risj7→ RiSj, para 0≤i≤n−1y0≤j≤2, nos dan una representación de grado 2 del grupo diédrico de orden 2n. Vamos a ver ahora la relación entre FG-módulos y representaciones de grupos. Sea ρuna representación de G:= {g1, . . . , gn}en un F-espacio vectorial V. Para cada 1≤i≤n, ρ(gi)es un endomorfismo de V. Podemos dotar a Vde estructura de FG-módulo si definimos la acción del anillo de grupo FG sobre un elemento de Vde la siguiente manera: n X i=1 λigi!·v= n X i=1 λi·ρ(gi)(v), para cualesquiera Pn i=1 λigi∈FG yv∈V. Vamos a verificar que esto es en efecto un FG-módulo. 1. ((Pn i=1 λigi)+(Pn i=1 βigi)) ·v= (Pn i=1(λi+βi)gi)·v=Pn i=1(λi+βi)·ρ(gi)(v) = Pn i=1(λiρ(gi)(v) + βiρ(gi)(v)) = Pn i=1 λiρ(gi)(v) + Pn i=1 βiρ(gi)(v)=(Pn i=1 λigi)· v+ (Pn i=1 βigi)·v. 2. Para probar el segundo axioma y para evitar lo engorroso de la notación lo probaremos para la suma formal de un único elemento gi·v=ρ(gi)(v), y el resultado para la acción de FG se extenderá de forma lineal. Para esto es fundamental el hecho de que ρes un homomorfismo de grupos. (gigj)·v=ρ(gigj)(v) = (ρ(gi)◦ρ(gj))(v) = ρ(gi)(ρ(gj)(v)) = gi·(gj·v). 3. Aquí es clave el hecho de que ρ(gi)sea un endomorfismo de V. (Pn i=1 λigi)·(v+w) = Pn i=1 λiρ(gi)(v+w) = Pn i=1 λi(ρ(gi)(v) + ρ(gi)(w)) = Pn i=1 λiρ(gi)(v) + Pn i=1 λiρ(gi)(w)=(Pn i=1 λigi)·v+ (Pn i=1 λigi)·w. 4. (1F·e)·v= 1Fρ(e)(v) = 1F·v=v. Recíprocamente supongamos que tenemos un FG-módulo V. Por ser un FG-módulo en particular será un F-módulo, lo que sabemos que es equivalente a ser un espacio vectorial. Para cada g∈Gdefinimos la aplicación ϕgde Ven Vcomo ϕg(v) = g·v, donde g·v viene dado por la acción del elemento del anillo FG sobre V. Como los elementos de F conmutan con cada uno de los g∈Gse sigue de los axiomas de módulo que para todos v, w ∈Vy para todos a, b ∈F, se tiene que ϕg(av +bw) = g·(av +bw) = g·(av) + g·(bw) = a(g·v) + b(g·w) = aϕg(v) + bϕg(w). Es decir, para cualquier g∈G,ϕges una aplicación lineal. Si ahora definimos ϕ:G→ End(V); g7→ ϕg,tenemos que de los axiomas de módulo se desprende que ϕ(gigj)(v) = ϕgigj(v) = (gigj)(v) = gi(gj(v)) = ϕgi(ϕgj(v)) = (ϕ(gi)◦ϕ(gj)(v). II. Teoría de representación 16 Luego ϕes un homomorfismo de grupos que manda cada elemento del grupo Gen un endomorfismo de Vque, fijando una base en V, vendrá dado por una matriz. Además ϕ(g−1) = ϕ(g)−1, luego las matrices son necesariamente invertibles y por lo tanto podemos ver ϕcomo un homomorfismo de Gen GL(V). Así hemos probado que un FG-módulo induce una representación de grupos. El siguiente resultado recoge la información que hemos probado. Proposición II.1.4.Sean Fun cuerpo, Gun grupo finito y Vun conjunto. Entonces V es un FG-módulo si y solo si Ves un F-espacio vectorial y ϕ:G→GL(V) (como la hemos definido antes)es una representación de G. Definición II.1.5.Sean Gun grupo finito, Vun espacio vectorial y U⊂Vun subespacio suyo. Diremos que Ues G-estable si g·u∈Upara todo g∈G, u ∈U. Si vemos Vcomo un FG-módulo, entonces se sigue de las definiciones que sus submódulos son sus subespacios G-estables. Definición II.1.6.Dos representaciones de un grupo finito Gse dirán equivalentes si los FG-módulos que inducen son isomorfos. Supongamos que tenemos ϕ:G→GL(V)yψ:G→GL(W)dos representaciones de un grupo finito G, donde VyWson dos F-espacios vectoriales, y sea f:V→W un isomorfismo entre FG-módulos. En particular será un isomorfismo entre F-módulos; es decir, un isomorfismo entre espacios vectoriales, luego dim V= dim W. Por lo tanto ambas representaciones tienen el mismo grado. Además, dados g∈G, v ∈Vtenemos que f(g·v) = g·(f(v)) por ser un isomorfismo de FG-módulos. En el lenguaje de la acción del anillo de grupo esto significa que f(ϕ(g)(v)) = ψ(g)(f(v)), lo que implica que f◦ϕ(g) = ψ(g)◦f, para todo g∈G. En particular dos representaciones ϕ, ψ de G sobre el mismo espacio vectorial Vson equivalentes si y solo si existe f∈GL(V)tal que f◦ϕ(g)◦f−1=ψ(g), para todo g∈G. En términos matriciales esto se traduce en que existe una matriz invertible Ptal que Pϕ(g)P−1=ψ(g)para todo g∈G. Este hecho no es más que la existencia de bases B1yB2en Vtales que la matriz de ϕ(g)respecto de B1coincide con la matriz de ψ(g)respecto de B2para todo g∈G. Definición II.1.7.Sean ϕ:G→GL(V)yψ:G→GL(W)dos representaciones de un grupo finito Gsobre un cuerpo F. La suma directa V⊕Wtiene estructura de FG-módulo, y por tanto de espacio vectorial. Sea ρ: GL(V)×GL(W)→GL(V⊕W); (ϕ(g), ψ(g)) 7→ ϕ(g) + ψ(g).Entonces el homomorfismo de GaGL(V⊕W)viene dado por ρ◦(ϕ×ψ). En términos matriciales esto se puede ver como la aplicación g7→ ϕ(g) 0 0ψ(g). Definición II.1.8.Sean ϕ:G→GL(V)yψ:G→GL(W)dos representaciones de un grupo finito Gsobre un cuerpo F. Definimos la representación del producto tensorial como sigue ρ:G→GL(V⊗W); g7→ ϕ(g)⊗ψ(g). Recíprocamente dados dos FG-módulos VyW, definimos la acción de Gsobre el producto tensorial como g·(v⊗w)=(g·v)⊗(g·w), para cualesquiera g∈G,v∈V,w∈W. II. Teoría de representación 17 En términos matriciales la representación viene dada por el producto de Kronecker de las matrices de las representaciones ϕyψ. Denotemos A:= ϕ(g) = {aij}yB:= ψ(g)para cierto g∈G, entonces el producto de Kronecker se define como A⊗B=   a11B . . . a1nB . . ..... . . an1B . . . annB   . Definición II.1.9.Sean Fun cuerpo, VyWdos F-espacios vectoriales y f:V→W una aplicación lineal entre ellos. Se define la aplicación traspuesta de fcomo la aplicación lineal ft:W∗→V∗;ϕ7→ ϕ◦f. Proposición II.1.10.Sea Fun cuerpo. Sean V, W dos F-espacios vectoriales de dimensión finita y f:V→Wuna aplicación lineal entre ellos. Consideramos bases BV, BW en VyW, respectivamente, y denotamos por A= (aij)a la matriz de frespecto dichas bases. Entonces la matriz de ftrespecto de las bases duales B∗ V, B∗ Wes At. Demostración. Si BV:= {v1, . . . , vn}yBW:= {w1, . . . , wn}, entonces B∗ V:= {v∗ 1, . . . , v∗ n} yB∗ W:= {w∗ 1, . . . , w∗ n}son bases de V∗yW∗, respectivamente. Si B= (bij)es la matriz de ftrespecto dichas bases se cumple que bji = (ft(w∗ i))(vj) = (w∗ i◦f)(vj) = w∗ i(f(vj)) = w∗ i m X k=1 akjwk!= m X k=1 akjw∗ i(wk) = aij. Definición II.1.11.Sea ρ:G→GL(V)una representación de un grupo finito Gsobre un F-espacio vectorial V. Definimos la representación dual de ρcomo el homomorfismo ρ∗:G→GL(V∗); g7→ (ρ(g−1))t. Observación II.1.12.Sean Gun grupo finito, Fun cuerpo y VyWdos FG-módulos. Entonces por las definiciones anteriores y el Ejemplo I.4.15, tenemos que Hom(V, W)con la acción g·f(v) = gf(g−1v)para cualesquiera g∈G,f∈Hom(V, W)yv∈V, es un FG-módulo y por lo tanto induce una representación. II.2. Representaciones irreducibles. Definición II.2.1.Sean Gun grupo finito, Fun cuerpo y Vun FG-módulo. Sea ρ: G→GL(V)la representación de Gen Vasociada. Se dice que ρes reducible,irreducible, descomponible,indescomponible, o completamente reducible si Vcomo FG-módulo lo es. Ejemplo II.2.2.Sea U=Cy sea Gun grupo finito. Consideremos la acción trivial de G sobre U; es decir, g·u=upara cualesquiera g∈G,u∈U. Está claro que, como CGmódulo, Ues irreducible, y la representación de Gque induce se denomina representación trivial. Claramente en la base canónica la matriz de la representación es la identidad. Teorema II.2.3 (Teorema de Maschke).Sean Gun grupo finito y Fun cuerpo cuya característica no divide al orden de G. Si Ves un FG-módulo y Ues un submódulo propio suyo, entonces existe un submódulo Wde Vtal que V=U⊕W. II. Teoría de representación 18 Demostración. La clave de la demostración está en encontrar un FG-homomorfismo π:V→U, que sea una proyección sobre U; es decir, que cumpla que π(u) = u, para todo u∈U. Supongamos que existe dicho FG-homomorfismo, y sea W:= ker π. Como πes un homomorfismo de FG-módulos, Wes un FG-submódulo, y de hecho es el suplementario de Uque buscamos. En efecto, si v∈U∩W, entonces a su vez se cumple que π(v) = v y que π(v)=0, luego necesariamente U∩W={0}. Por otro lado dado v∈Varbitrario, podemos escribir v=π(v) + (v−π(v)). Por definición de π,π(v)∈U, y π(v−π(v)) = π(v)−π2(v) = π(v)−π(v)=0, luego v−π(v)∈W. Se concluye así que V=U⊕W. Para finalizar la demostración necesitamos probar que existe dicho FG-homomorfismo. Como Ues un subespacio de Vpodemos tomar una base BUde Uy completarla hasta obtener una base Bde V. Si tomamos U′el subespacio generado por el conjunto B\BU, tenemos entonces que V=U⊕U′. Sin embargo, U′podría no ser un submódulo (un subespacio G-estable), como queremos. Sea π0:V→Ula proyección sobre Urespecto a la descomposición anterior; es decir, π0verifica que π0(u+u′) = upara cualesquiera u∈U,u′∈U′. La idea será obtener nuestra proyección πpromediando π0sobre G. Para cada g∈Gdefinimos la aplicación gπ0g−1como gπ0g−1(v) = g·π0(g−1·v), para cada v∈V. Aquí (·)denota la acción de los elementos del anillo FG. Como Ues un submódulo, y por tanto es G-estable, entonces la imagen de la aplicación está contenida en U. Por otro lado, como gyg−1actúan como aplicaciones F-lineales entonces gπ0g−1es una aplicación F-lineal. Finalmente, como Ues G-estable, y por definición de π0,π0(g−1·u) = g−1·u, concluimos que gπ0g−1(u) = u, para todo u∈U, y por lo tanto es una proyección de V sobre Ucomo espacio vectoriales. Sea ahora n:= ord(G), podemos ver ncomo un elemento de Fpuesto que n=eF+n) · · · +eF, donde eFdenota al elemento neutro respecto del producto en F. Por hipótesis nes nulo no en F, luego existe m∈Ftal que nm =eF=mn. Definimos π:= mX g∈G gπ0g−1, que es de nuevo una aplicación F-lineal de Ven Upor ser una combinación lineal de aplicaciones F-lineales de Ven U. Como dado u∈Uyg∈Garbitrarios tenemos que gπ0g−1(u) = u, entonces π(u) = m(nu) = eFu=u. Luego πes una proyección de V sobre U. Resta probar que es un FG-homomorfismo, y por ser una aplicación F-lineal basta probar que también respeta la acción de G; es decir, que π(h·v) = h·π(v), para cualesquiera h∈G,v∈V. En efecto, π(h·v) = mX g∈G gπ0g−1(h·v) = mX g∈G gπ0(g−1·(h·v)) =mX g∈G h(h−1g)π0((g−1h)·v) = mX k∈G h·kπ0k−1(v) = h·π(v), donde k:= h−1gpara todo g∈Gtambién recorre todo G. II. Teoría de representación 19 Corolario II.2.4.Sean Gun grupo finito, VyWdos CG-módulos, y g:V→Wun CGhomomorfismo. Entonces existe un submódulo Ude Vtal que V=U⊕ker gverificando que U∼ =im g. Demostración. Por ser ker gun submódulo de Vy por el Teorema de Maschke, existe un submódulo Ude Vtal que V=U⊕ker g. Definimos ahora una aplicación ˆg:U→ im g, u 7→ g(u), que será un CG-homomorfismo por serlo g. Si u∈ker ˆg, entonces u∈ ker g∩U={0},luego ker ˆg={0}. Sea ahora w∈∈ g, luego w=g(v)para cierto v∈V. Escribimos v=u0+u, con u0∈ker gyu∈U. Entonces w=g(v) = g(u0+u) = g(u0) + g(u) = g(u) = ˆg(u), y por lo tanto im ˆg= im g. Tenemos así que ˆges un CG-isomorfismo; es decir, U∼ = im g. Lema II.2.5 (Lema de Schur).Sean Gun grupo finito, Fun cuerpo, y VyWdos FGmódulos irreducibles. Sea f:V→Wun FG-homomorfismo. Entonces: V∼ =Woker f=V. Si V=W, entonces para todo v∈V,f(v) = zv para algún z∈C. Demostración. Para la primera parte, sean g∈Gyv∈ker f. Entonces g·v∈ker fya que f(g·v) = g·f(v) = 0. Por lo tanto ker fes un subespacio G-estable de V, luego es un submódulo suyo. Como Ves irreducible entonces o bien ker f={0}o bien ker f=V. Por otro lado im fes un submódulo de W, y como Wes irreducible entonces o bien im f={0}o bien im f=W. Esto implica que o los dos FG-módulos son isomorfos o que la aplicación fes nula. Para la segunda parte veamos fcomo una aplicación F-lineal entre los espacios vectoriales VyW, y fijando bases BVyBWen VyW, respectivamente, denotamos por Aa la matriz de frespecto dichas bases. Sea g(t) = det(A−tI)su polinomio característico. Por ser Calgebraicamente cerrado el polinomio gtendrá al menos una raíz en C; es decir, existe z∈Ctal que det(A−zI)=0y por lo tanto ker(f−z·idV)= 0. Por el apartado anterior tenemos que ker(f−z·idV) = V, luego f=z·idV. Corolario II.2.6.Sean Gun grupo finito, Vun CG-módulo irreducible y z∈Z(CG). Entonces existe λ∈Ctal que z·v=λv, para cualquier v∈V. Demostración. Sean r∈CGyv∈V. Entonces (rz)·v= (zr)·v, luego la función v7→ z·ves un CG-automorfismo de V. Por el Lema de Schur este automorfismo es de la forma λidVpara algún λ∈C. Teorema II.2.7 (Teorema de descomposición).Sean Gun grupo finito, Fun cuerpo cuya característica no divide al orden de G, y Vun FG-módulo libre de rango finito. Entonces Ves completamente reducible. Demostración. Que Vsea un FG-módulo libre de rango finito es equivalente a que V tenga dimensión finita como F-espacio vectorial. Si la dimensión de Ves 1entonces es irreducible y por lo tanto es completamente reducible pues V=V⊕0. Supongamos que III. Teoría de caracteres 26 Demostración. Sea g∈Gtal que ord(g) = m. Si ρ(g) = zIncon z∈C, entonces como In= ρ(eG) = ρ(gm) = ρ(g)m=zmIn, entonces zes una raíz m-ésima de la unidad. Como χ(g) = tr(zI) = nz, entonces |χ(g)|=n=χ(eG). Recíprocamente supongamos que |χ(g)|=χ(eG). Por la Proposición III.1.4 χ(g) = ζ1+· · · +ζn, donde cada ζies una raíz m-ésima de la unidad. Entonces |χ(g)|=|ζ1+· · ·+ζn|=χ(eG) = n. Recordemos que para cualesquiera z1, . . . , zn∈Cse tiene que |z1+· · · +zn| ≤ |z1|+· · · +|zn|, dándose la igualdad únicamente si todos los zison iguales. Como |ζi|= 1 para todo 1≤i≤n, se deduce que ζi=ζjpara cualesquiera 1≤i, j ≤n. Tomando z:= ζ1 se tiene el resultado. Si g∈ker ρ, entonces ρ(g) = In, luego χ(g) = n=χ(eG). Recíprocamente si χ(g) = χ(eG), entonces por lo anterior ρ(g) = zInpara algún z∈C. Esto implica que χ(g) = zχ(eG), luego z= 1. Por lo tanto ρ(g) = In, lo que implica que g∈ker ρ. Lema III.1.6.Sean Gun grupo finito con elemento neutro eG,g∈GyOgla clase de conjugación de g. Sea Uun CG-módulo irreducible, y sea χel caracter de su representación asociada. Entonces Og·u=λu para todo u∈U, donde λ=|G|χ(g) |CG(g)|χ(eG). Demostración. Como Ogpertenece al centro de CG, entonces por el Corolario II.2.6, existe λ∈Ctal que Og·u=λu para cualquier u∈U; es decir,  X x∈Og x ·u=λu. Sea ρla representación de Gasociada a U. Si fijamos una base Bde U, para cada g∈G, podemos ver ρ(g)como una matriz con coeficientes complejos. Se sigue de lo anterior que Px∈Ogρ(x) = λI. Tomando trazas tenemos que Px∈Ogχ(x) = λχ(eG), y como χes constante en cada clase de conjugación de Gobtenemos que |Og|χ(g) = λχ(eG). Como |Og|=|G:CG(g)|, despejando λse obtiene el resultado buscado. Proposición III.1.7.Sean ϕ, ψ dos representaciones de Gen VyW, respectivamente, y g∈G. Entonces: χϕLψ(g) = χϕ(g) + χψ(g), χϕNψ(g) = χϕ(g)χψ(g), χϕ∗(g) = χϕ(g), donde V⊕WyV⊗Wdenotan la suma directa y producto tensorial como FG-módulos, respectivamente. III. Teoría de caracteres 27 Demostración. 1. Como ya vimos la representación de la suma directa de representaciones viene dada matricialmente por la matriz por bloques diagonal con entradas ϕ(g)yψ(g)para todo g∈G. Por lo tanto su caracter vendrá dado por la traza de esta matriz, que no es más que la suma de las trazas de las representaciones ϕyψ; es decir, la suma de χϕ(g)yχψ(g). 2. Como ya vimos la representación matricial del producto tensorial viene dado por el producto de Kronecker de las representaciones de ϕyψ. Fijado g∈G, entonces la traza de ϕ(g)⊗ψ(g)será tr(ϕ(g)⊗ψ(g)) = n X i=1 ϕ(g)ii ·tr(ψ(g)) = tr(ϕ(g)) ·tr(ψ(g)). Por tanto el caracter del producto tensorial de representaciones es el producto de los caracteres de dichas representaciones. 3. χϕ∗(g) = tr(ϕ∗(g)) = tr(ϕ(g−1)t) = tr(ϕ(g−1)) = χϕ(g−1) = χϕ(g) Definición III.1.8 (Tabla de caracteres).Sean χ1, . . . , χklos caracteres irreducibles de G, y sean g1, . . . , grunos representantes de las clases de conjugación de G. La matriz de orden k×rcuya ij-ésima entrada es χi(gj), para todo i, j con 1≤i≤k,1≤j≤r, se llama tabla de caracteres de G. Encima de la matriz se dispone una fila con las clases de conjugación de Gy el número de elementos que hay en cada una. Ejemplo III.1.9.Retomamos el ejemplo II.2.6 con las mismas notaciones, y trabajaremos durante el ejemplo con la bases canónicas {1}en el caso de Cy{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} en el caso de C3. La representación trivial asocia cada elemento del grupo con la matriz identidad de orden 1×1, luego el caracter de dicha representación es igual a 1constantemente en cada elemento del grupo. Sean Ila representación trivial, Ala representación alternante, inducida por el espacio U′,Pla representación alternante inducida por C3=U⊕V, y P′la representación inducida por el espacio V. Como dim U′= 1 y dim V= 2, entonces si identificamos al elemento neutro de S3con la permutación id, tenemos que χA(id) = 1 yχP′(id) = 2. Como (12) y(123) son permutaciones impar y par, respectivamente, tenemos que χA((12)) = −1yχA((123)) = 1. La matriz de P((12)) es de la forma   0 1 0 1 0 0 0 0 1 , luego χP((12)) = 1. De manera similar la matriz de P(123) será   0 0 1 1 0 0 0 1 0 , y por lo tanto χP((123)) = 0. Como C3=U⊕V, tenemos que χP′((12)) = χP((12)) − χI((12)) = 1 −1 = 0, y que χP′((123)) = χP((123)) −χI((123)) = 0 −1 = −1. Luego la III. Teoría de caracteres 28 tabla de caracteres de S3queda como S3id[1] (12)[3] (123)[2] I1 1 1 A1−1 1 P′2 0 −1 III.2. Relaciones de ortogonalidad. El conjunto de funciones de clase entre un grupo finito Gy un cuerpo Fforma un F-espacio vectorial. Vamos a ver qué lo podemos dotar de un producto interno, que en el caso de que el cuerpo Fsea Cserá hermítico. Definición III.2.1.Sea Vun C-espacio vectorial. Un producto interno hermítico es una aplicación ⟨·,·⟩ :V×V→C, que cumple lo siguiente para cualesquiera x, y, z ∈V, a, b ∈C: 1. ⟨x, y⟩=⟨y, x⟩, 2. ⟨ax +by, z⟩=a⟨x, z⟩+b⟨y, z⟩, 3. ⟨x, ay +bz⟩=a⟨x, y⟩+b⟨x, z⟩, 4. Si x= 0, entonces ⟨x, x⟩>0. Definición III.2.2.Sea Gun grupo finito. Denotamos por CC(G)al conjunto de funciones de clase de un grupo finito Ga valores en C. El conjunto CC(G)es un subespacio del espacio vectorial de funciones de Gen C, y una base vendrá dada por aquellas funciones que toman el valor 1en una clase de conjugación y cero en el resto de clases de conjugación de G. Luego si Gtiene rclases de conjugación, dim CC(G) = r. Definición III.2.3.Dados f, g ∈CC(G)definimos el producto ⟨f, g⟩:= 1 ord(G)X h∈G f(h)g(h). Es rutinario comprobar que se trata de un producto interno hermítico. Como sabemos que el caracter de una representación es una función de clase tenemos un producto interno de caracteres asociados a representaciones de un grupo finito G. Por la Proposición III.1.4 la expresión del producto interno queda como ⟨χρ, χψ⟩=1 ord(G)X g∈G χρ(g)χψ(g−1), donde ρyψson dos representaciones de G. De la Proposición III.1.4, usando el hecho de que χρ(g−1) = χρ(g), y que G={g−1:g∈G}, se deduce que ⟨χρ, χψ⟩=⟨χψ, χρ⟩, luego en particular es un número real. A partir de ahora denotaremos caracteres asociados a representaciones de Gsin especificar la representación para no recargar la notación. III. Teoría de caracteres 29 Proposición III.2.4.Sea Gun grupo finito con rclases de conjugación, y sea R= {g1, . . . , gr}un conjunto de representantes. Sean χyψdos caracteres asociados a dos representaciones de G. Entonces se cumple que ⟨χ, ψ⟩= r X i=1 χ(gi)ψ(g−1 i) ord(CG(gi)). Demostración. Sea Ogila clase de conjugación de gi. Por ser los caracteres funciones de clase son constantes en las clases de conjugación, luego X g∈Ogi χ(g)ψ(g−1) = |Ogi|χ(gi)ψ(g−1 i). Ahora como Ges la unión disjunta de las clases de conjugación de los elementos de R, y |Ogi|=|G| |CG(gi)|, tenemos que ⟨χ, ψ⟩=1 ord(G)X g∈G χ(g)ψ(g−1) = 1 ord(G) r X i=1 X g∈Ogi χ(g)ψ(g−1) = r X i=1 |Ogi| |G|χ(gi)ψ(g−1 i) = r X i=1 χ(gi)ψ(g−1 i) ord(CG(gi)). Definición III.2.5.Sean Gun grupo finito, Fun cuerpo y Vun FG-módulo. Definimos el conjunto VG:= {v∈V:g·v=v, ∀g∈G}. Lema III.2.6.Sean Gun grupo finito y VyWdos CG-módulos. Entonces HomCG(V, W) = Hom(V, W)G. Demostración. Sean f∈HomCG(V, W)yg∈G. Por ser f G-lineal, se tiene que para todo v∈V,g·f(v) = gf(g−1v) = f((gg−1)v) = f(v), luego f∈Hom(V, W)G. Recíprocamente, sean f∈Hom(V, W)Gyg∈G. Como fqueda fijo por la acción de g, se tiene que dado v∈V,gf(v) = gf((g−1g)v) = gf(g−1(gv)) = g·f(gv) = f(gv), luego f∈HomCG(V, W). Teorema III.2.7 (Ortonormalidad de caracteres).Sean Gun grupo finito, VyWdos CGmódulos irreducibles y χyψlos caracteres de sus representaciones asociadas. Entonces ⟨χ, ψ⟩= 1 si V∼ =Wy⟨χ, ψ⟩= 0 en caso contrario. Demostración. Definimos p:V→VG, v 7→ 1 ord(G)Pg∈Gg·v. Por las propiedades de los módulos, pes lineal. De hecho dado h∈G, p(h·v) = 1 ord(G)X g∈G g·(h·v) = 1 ord(G)X g∈G (hgh−1)·(h·v) = h·1 ord(G)X g∈G g·v=h·p(v), pues si grecorre G, entonces hgh−1también lo hace. Luego pes G-lineal. Ahora, dado w∈p(V), existe un v∈Vtal que w=p(v). Dado ahora h∈G, se tiene que h·w=1 ord(G)X g∈G h·(g·v) = 1 ord(G)X g∈G (hg)·v=1 ord(G)X k∈G k·v=w, III. Teoría de caracteres 30 donde k=hg también recorre Gsi glo hace. Así p(V)⊂VG. Por otro lado, dado v∈VG, p(v) = 1 ord(G)Pg∈Gg·v=1 ord(G)Pg∈Gv=v, luego p(V) = VG. Además, p2(v) = p(p(v)) = 1 ord(G)X h∈G h· 1 ord(G)X g∈G g·v! =1 ord(G)X h∈G 1 ord(G)X g∈G g·v=1 ord(G)X g∈G g·v=p(v). Por lo tanto pes una proyección sobreyectiva, y tenemos la siguiente descomposición V= ker p⊕VG, luego de aquí se deduce que tr p= dim VG. Por otro lado pse descompone como p=1 ord(G)Pg∈Gϕg, donde cada ϕg:V→V, v 7→ g·v. En consecuencia, tr p=1 ord(G)Pg∈Gtr ϕg. Recordemos que la representación inducida por un CG-módulo es el homomorfismo de grupos ρ:G→GL(V), g 7→ ϕg, luego tr ρ(g) = χ(g) = tr ϕg, y por lo tanto tenemos que dim VG= tr p=1 ord(G)X g∈G tr ϕg=1 ord(G)X g∈G χ(g). Así, dim(HomCG)(V, W)) = dim(Hom(V, W)G) = 1 ord(G)X g∈G χHom(V,W )(g) =1 ord(G)X g∈G χV∗⊕W(g) = 1 ord(G)X g∈G χV∗(g)χW(g) =1 ord(G)X g∈G χ(g)ψ(g) = ⟨ψ, χ⟩=⟨χ, ψ⟩. El resultado se sigue del Lema II.2.15. Proposición III.2.8.Sean Gun grupo finito y Vun CG-módulo. Denotemos por χal caracter de la representación inducida por V. Entonces Ves irreducible si y solo si ⟨χ, χ⟩= 1. Demostración. Si Ves irreducible se sigue del resultado anterior. Recíprocamente, supongamos que ⟨χ, χ⟩= 1. Considerando la descomposición canónica V=Lk i=1 V⊕ai i, tenemos que χ=a1χ1+· · · +akχk, para ciertos caracteres χiy enteros no negativos ai. Por lo tanto, 1 = ⟨χ, χ⟩=⟨a1χ1+· · · +akχk, a1χ1+· · · +akχk⟩=a2 1+· · · +a2 k. Necesariamente existe un único 1≤i≤ktal que ai= 0 yai= 1; es decir, V∼ =Vi, luego Ves irreducible. Proposición III.2.9.Sean Gun grupo finito, y χ1, . . . , χklos caracteres irreducibles de G. Entonces los χ1, . . . , χkson vectores linealmente independientes en el espacio CC(G). Demostración. Supongamos que existen λ1, . . . , λk∈Ctales que λ1χ1+· · · +λkχk= 0. Por la relación de ortogonalidad tenemos que 0 = ⟨0, χi⟩=⟨λ1χ1+· · · +λkχk, χi⟩=λi, luego son linealmente independientes. III. Teoría de caracteres 31 Teorema III.2.10.El número de caracteres irreducibles de un grupo finito Ges igual al número de clases de conjugación que tiene G. Demostración. Sean χ1, . . . , χklos caracteres irreducibles de G, y sea rel número de clases de conjugación de G. Por el resultado anterior χ1, . . . , χkes un conjunto linealmente independiente de CC(G), luego k≤r. Consideramos la descomposición canónica de CG en la forma CG=W1⊕ · · · ⊕ Wk, donde cada Wi=V⊕ai ipara una familia {Vi}k i=1 de CG-submódulos irreducibles no isomorfos dos a dos. Escribimos 1 = w1+· · · +wk, con cada wi∈Wi. Sea ahora z∈Z(CG). Por el Corolario II.2.6, para cada iexiste un λi∈C tal que para todo v∈Vise tiene que z·v=λiv, y por lo tanto z·wi=λiwi. De esto se sigue que z=z·1 = z·(w1+· · · +wk) = λ1w1+· · · +λkwk. Esto implica que Z(CG)está contenido en el subespacio de CGgenerado por {w1, . . . , wk}. Como dim(Z(CG)) = r, se tiene que r≤k, y por lo tanto r=k. Como corolarios directos obtenemos lo siguiente. Corolario III.2.11.Los caracteres irreducibles χ1, . . . , χkde un grupo finito Gforman una base de CC(G). Corolario III.2.12.La tabla de caracteres de un grupo finito Ges cuadrada. Retomando el Ejemplo III.1.9 manteniendo las notaciones, ya podemos demostrar que U, U′yVson los únicos CS3-módulos irreducibles de S3. En efecto, S3tiene tres clases de conjugación, y se tiene que 1. ⟨χI, χI⟩=1 6(1 ·12+ 3 ·12+ 2 ·12)=1, 2. ⟨χA, χA⟩=1 6(1 ·12+ 3 ·(−1)2+ 2 ·12) = 1, 3. ⟨χP′, χP′⟩=1 6(1 ·22+ 3 ·02+ 2 ·(−1)2) = 1, 4. ⟨χI, χA⟩=1 6(1 ·1·1+3·1·(−1) + 2 ·1·1) = 0, 5. ⟨χI, χP′⟩=1 6(1 ·1·2+3·1·0+2·1·(−1)) = 0, 6. ⟨χA, χP′⟩=1 6(1 ·1·2+3·(−1) ·0+2·1·(−1)) = 0. Teorema III.2.13 (Relaciones de ortogonalidad en las columnas de la tabla de caracteres). Sean χ1, . . . , χklos caracteres irreducibles de un grupo finito G, y sean g1, . . . , gkrepresentantes de las clases de conjugación de G. Entonces para cualesquiera r, s ∈ {1, . . . , k}, se tiene que k X i=1 χi(gr)χi(gs) = δrs|CG(gr)|, donde δrs es la Delta de Kronecker. Demostración. Para 1≤s≤k, definimos ψscomo la función de clase que satisface que ψs(gr) = δrs para 1≤r≤k. Por el Corolario III.2.10, existen z1, . . . , zk∈Ctales que ψs=z1χ1+· · · +zkχk. Como ⟨χi, χj⟩=δij,zi=⟨ψs, χi⟩=1 ord(G)Pg∈Gψs(g)χi(g). III. Teoría de caracteres 32 Como dado g∈G,ψs(g)=1si y solo si ges conjugado de gs, y hay ord(G)/ord(CG(gs)) elementos de Gconjugados con gs, tenemos que zi=1 ord(G)X g∈Ogs ψs(g)χi(g) = χi(gs) |CG(gs)|. Por lo tanto δrs =ψs(gr) = k X i=1 ziχi(gr) = k X i=1 χi(gr)χi(gs) |CG(gs)|. Este resultado se conoce como las Relaciones de ortogonalidad en las columnas de la tabla de caracteres. 33 CAPÍTULO IV El Teorema de Burnside En esta última sección demostraremos el Teorema de Burnside, el objetivo principal de este trabajo, y discutiremos brevemente su importancia en la clasificación de los grupos finitos. Previamente necesitamos unos resultados básicos sobre números algebraicos y su relación con los caracteres. IV.1. Números algebraicos y caracteres Definición IV.1.1.Un número algebraico αes un número complejo que es raíz de un polinomio con coeficientes en Q. El polinomio mónico con coeficientes en Qde menor grado entre los que tienen a αcomo raíz se denomina polinomio mínimo. Definición IV.1.2.Decimos que un número complejo αes un entero algebraico si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en Z. Denotaremos al conjunto de todos ellos como A. Parece natural pensar que dado un entero algebraico, su polinomio mínimo tendrá coeficientes en Z. Antes de probar este hecho, que será fundamental para la Proposición IV1,4, necesitamos algunos resultados previos. Definición IV.1.3.Sea f(t) := antn+· · · +a0∈Z[t]. Decimos que fes primitivo si gcd(a0, . . . , an)=1. Lema IV.1.4.El producto de dos polinomios primitivos es primitivo. Demostración. Sean f, g ∈Z[t], y supongamos que existe un primo pque divide a todos los coeficientes de fg. Sea ϕ:Z[t]→Zp[t]; f7→ fmod p, que es un homomorfismo de anillos. Tenemos que 0 = ϕ(fg) = ϕ(f)ϕ(g),y como Zp[t]es un dominio ϕ(f)=0, ó ϕ(g)=0, luego uno de los dos no es primitivo. . Teorema IV.1.5.Sean f, g ∈Q[t]dos polinomios mónicos tales que fg ∈Z[t]. Entonces f, g ∈Z[t]. Demostración. Sea n(respectivamente m) el menor entero positivo para el que nf ∈Z[t] (respectivamente mg ∈Z[t]). Si des el máximo común divisor de los coeficientes de nf, en particular ddivide al coeficiente director de nf, que es npor ser fmónico. Por lo tanto n df∈Z[t], lo que contradice la minimalidad de n. Tenenemos entonces que d= 1 y nf es primitivo. Un razonamiento totalmente análogo nos da que mg es primitivo. Por el Lema anterior tenemos que h:= (nf)(mg)=(nm)fg es también primitivo. Como IV. El Teorema de Burnside 34 fg ∈Z[t]por hipótesis, nm divide a todos los coeficientes de h, luego nm = 1, lo que implica que n=m= 1, es decir, f, g ∈Z[t]. . Proposición IV.1.6.Sea α∈A. Entonces el polinomio mínimo fde αsobre Qcumple que f∈Z[t] Demostración. Como α∈Aexiste un polinomio mónico g∈Z[t]tal que g(α)=0. Dividiendo gentre fen Q[t]existen c(t), r(t)∈Q[t]con 0≤deg r < deg f, tales que g=c·f+r. Como g(α) = f(α) = 0 necesariamente r(α) = 0. Si r(t)= 0 existe l∈Ztal que r(t)/l ∈Q[t]es mónico de grado menor que fy con αcomo raíz, lo que contradice la minimalidad de f. Por lo tanto g=c·f, con cmónico por serlo fyg. En virtud del teorema anterior c, f ∈Z[t]. Proposición IV.1.7.α∈Asi y solo si Z[α]es un Z-módulo libre de rango finito. Demostración. Sea f(t) := tn+an−1tn−1+· · · +a0el polinomio mínimo de α∈A. Por la proposición anterior f∈Z[t]. Los elementos {1, α, . . . , αn−1}son Z-linealmente independientes, pues de lo contario existirían b0, . . . , bn−1∈Zno todos nulos tales que b0+b1α+· · · +bn−1αn−1= 0. Sin pérdida de generalidad asumimos que bn−1= 0, por lo que dividiendo por dicho término tenemos que αes raíz del polinomio mónico con coeficientes en Q g(t) := tn−1+ (bn−2/bn−1)tn−2+· · · + (b0/bn−1), lo que contradice la minimalidad de f. Como f(α) = 0 despejando obtenemos que αn=−(an−1αn−1+· · · +a0). Así, para cualquier m≥ntenemos que αm=−(an−1αm−1+· · · +a0αm−n). Esto implica que αmestá en el Z-módulo generado por {1, α, . . . , αm−1}.Por inducción sobre mtenemos entonces que αmestá en el Z-módulo generado por {1, α, . . . , αn−1}, y como el conjunto es Z-linealmente independiente, Z[α]es libre con base {1, α, . . . , αn−1}. Recíprocamente, supongamos que Z[α]está finitamente generado por el conjunto {f1(α), . . . , fr(α)}, fi∈Z[t]. Sea nel máximo de los grados de los fimás uno. Como αn∈Z[α]entonces existen a1, . . . , ar∈Ztales que αn=a1f1(α) + · · · +arfr(α). Por tanto αes raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros, es decir, es un entero algebraico. Proposición IV.1.8.Aes un subanillo de C. Además se cumple que A∩Q=Z. IV. El Teorema de Burnside 35 Demostración. Para la primera parte es suficiente con comprobar que si α, β ∈A, entonces α+β, αβ ∈A. Por el resultado anterior tenemos que tanto Z[α]como Z[β]son Z-módulos libres de rango finito. Por lo tanto Z[α, β] = Z[α][β]es libre de rango finito. Como Z[α+β]yZ[αβ]son submódulos de Z[α, β], por la Proposición I.3.9 ambos son Z-módulos libres de rango finito. En consecuencia, el resultado se sigue de la Proposición IV.1.4. Para la segunda parte, sea α∈A∩Q. Entonces existen p, q ∈Zcon s= 0 y gcd(p, q)=1 tales que α=p/q. Por ser un entero algebraico existe un polinomio mónico f(t) = tn+an−1tn−1+· · · +a0con coeficientes en Z, tal que f(α)=0. Por lo tanto (pn/qn) + an−1(pn−1/qn−1) + · · · +a0= 0. Multiplicando a ambos lados por qny despejando pnllegamos a que pn=−q(an−1pn−1+a0qn−1), lo que implica que qdivide a pn, y como son coprimos necesariamente q=±1, es decir, α∈Z. Corolario IV.1.9.Sean Gun grupo finito, Vun espacio vectorial sobre un cuerpo Fyρ una representación de Gen V. Entonces para todo g∈G,χV(g)∈A. Demostración. Sea g∈G, y denotemos k:= ord(g). Por la Proposición III.1.4 sabemos que χV(g) = ζ1+· · · +ζχV(e), donde ζk i= 1 para 0≤i≤χV(e). Como cada ζies un entero algebraico y estos forman un anillo, entonces χV(g)∈A. Lema IV.1.10.Sea Gun grupo finito y tomamos r:= Pg∈Gagg∈CG, tal que ag∈Z para todo g∈G. Sea u∈CGno nulo tal que ru =λu para algún λ∈C. Entonces λ∈A. Demostración. Sean g1, . . . , gnlos elementos de G. Entonces para cualquier 1≤i≤n, tenemos que gir=Pn j=1 aijgjpara ciertos enteros aij. De hecho aij =agdonde g=g−1 igj. Que ru =λu implica que λes un autovalor de la matriz con coeficientes enteros A= (aij); es decir, es raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros. Por lo tanto λ∈A. Corolario IV.1.11.Sean χun caracter irreducible de un grupo finito Gcon elemento neutro eG, y g∈G. Entonces λ=|G|χ(g) |CG(g)|χ(eG)∈A. Demostración. Sea Uun CG-módulo irreducible tal que el caracter de su representación asociada es χ. Sea Cla suma de clase de la clase de conjugación de Gque contiene a g. Entonces, por el Lema III.1.6, sabemos que C·u=λu, para todo u∈U, y por el lema anterior λ∈A. Definición IV.1.12.Sean α∈Cun número algebraico y f∈Q[t]su polinomio mínimo. Llamaremos conjugados de αa las raíces de f. Proposición IV.1.13.Sean α, β ∈Cnúmeros algebraicos, y sean p, q ∈Q[t]sus respectivos polinomios mínimos. Sea r∈Q[t]el polinomio mínimo de α+β. Si ces una raíz de r, entonces existen raíces a, b de p, q, respectivamente, tales que c=a+b. Además, dado r∈Q, los conjugados de rα serán de la forma rα′, donde α′es raíz de p.