Implementación de resonadores serie en derivación mediante stubs en derivación de salto de impedancia : análisis y limitaciones

Projecte Fi de Carrera Enginyeria de Telecomunicació Enginyeria de TelecomunicacióEnginyeria de Telecomunicació Enginyeria de Telecomunicació __________________________________________________________________________________ Implementación de resonadores serie en derivación mediante stubs en derivación de salto de impedancia: análisis y limitaciones Jordi Naqui Garolera __________________________________________________________________________________ Director: Ferran Martín Antolín Enginyeria Electrònica Escola d’Enginyeria Escola d’EnginyeriaEscola d’Enginyeria Escola d’Enginyeria Univers UniversUnivers Universitat Autònoma de Barcelona (UAB) itat Autònoma de Barcelona (UAB)itat Autònoma de Barcelona (UAB) itat Autònoma de Barcelona (UAB) Juny 2010 El sotasignant, Ferran Martín Antolín , Professor de l’Escola d’Enginyeria de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB), CERTIFICA: Que el projecte presentat en aquesta memòria de Projecte Fi de Carrera ha estat realitzat sota la seva direcció per l’alumne Jordi Naqui Garolera . I, perquè consti a tots els efectes, signa el present certificat. Bellaterra, Juny de 2010 . Signatura: Ferran Martín Antolín  i Índice general Índice generalÍndice general Índice general Capítulo 1 Introducción ............................................................................................................................ 1 1.1 Marco del proyecto ......................................................................................................................... 1 1.2 Objetivos del proyecto ................................................................................................................... 2 1.3 Estructura de la memoria ............................................................................................................. 3 Capítulo 2 Modelo distribuido del resonador SISS ........................................................................ 5 2.1 Modelo sin discontinuidades ...................................................................................................... 5 2.2 Modelo sin discontinuidades para longitudes pequeñas .............................................. 10 2.3 Modelo de las discontinuidades............................................................................................... 11 2.3.1 Modelo del circuito abierto ............................................................................................. 12 2.3.2 Modelo del salto de anchura ........................................................................................... 13 2.4 Modelo con discontinuidades ................................................................................................... 14 2.5 Conclusiones .................................................................................................................................... 16 Capítulo 3 Modelo circuital equivalente del resonador SISS ................................................... 17 3.1 Modelo circuital equivalente para longitudes pequeñas ............................................... 17 3.2 Modelo circuital equivalente para longitudes pequeñas sin parásitos ................... 20 3.3 Conclusiones .................................................................................................................................... 21 Capítulo 4 Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs ...................................................................................................................... 23 4.1 Parámetros de diseño .................................................................................................................. 24 4.2 Especificaciones de diseño......................................................................................................... 26 4.3 Ecuaciones de diseño ................................................................................................................... 27 4.4 Requerimiento de diseño ........................................................................................................... 29 4.5 Relación entre impedancias ...................................................................................................... 29 4.6 Longitudes eléctricas ................................................................................................................... 33 4.7 Impedancias características ...................................................................................................... 35 4.8 Cociente entre la inductancia y la capacidad...................................................................... 40 ii Índice general 4.9 Inductancia y capacidad .............................................................................................................. 52 4.10 Inductancia y capacidad sin parásitos .................................................................................. 57 4.11 Conclusiones .................................................................................................................................... 60 Capítulo 5 Validación ............................................................................................................................... 63 5.1 Configuración de los circuitos .................................................................................................. 63 5.1.1 SISS ............................................................................................................................................ 63 5.1.1 Resonador serie ................................................................................................................... 64 5.2 Escenarios bajo estudio............................................................................................................... 65 5.3 Resultados por simulación ......................................................................................................... 70 5.3.1 Exactitud ................................................................................................................................. 70 5.3.2 Resonancia transversal ..................................................................................................... 75 5.4 Resultados experimentales ........................................................................................................ 76 5.5 Conclusiones .................................................................................................................................... 80 Capítulo 6 Conclusiones y líneas futuras de trabajo ................................................................... 81 Referencias bibliográficas ............................................................................................................................. 87 iii Índice de figuras Índice de figurasÍndice de figuras Índice de figuras Fig. 1.1 Geometria y parámetros del stub en derivación de salto de impedancia (SISS) en tecnología microstrip bajo estudio donde 90 es la impedancia característica de la línea cargada con el SISS. 91: impedancia característica de la línea de baja impedancia; 92: impedancia característica de la línea de alta impedancia; <=1: longitud eléctrica de la línea de baja impedancia; <=2: longitud eléctrica de la línea de alta impedancia; =1: longitud de la línea de baja impedancia; =2: longitud de la línea de alta impedancia; >1: anchura de la línea de baja impedancia; >2: anchura de la línea de alta impedancia .................................................................................................................................................................................... 2 Fig. 2.1 Modelo distribuido sin discontinuidades del resonador SISS de la Fig. 1.1. ?SISS: admitancia de entrada del SISS; 9L: impedancia de entrada en la línea de baja impedancia ........................................... 7 Fig. 2.2 Longitudes eléctricas a la resonancia según (2.5) en función de 0,125≤C≤8 (91/8≤92 ≤ 891). (a) <=1E0 y <=2E0; (b) <=FE0G<=1E0 H <=2E0 ................................................................. 9 Fig. 2.3 Circuito abierto en microstrip. (a) layout ; (b) modelo circuital equivalente; IJ: capacidad fringing en derivación; (c) =J: longitud de línea equivalente extra ................................................................... 12 Fig. 2.4 Salto de anchura en microstrip. (a) layout ; (b) modelo circuital equivalente; IK: capacidad fringing en derivación; LK1 y LK2: inductancias debido a la perturbación de la corriente eléctrica; (c) modelo circuital equivalente aproximado; IK: capacidad fringing en derivación (d) =K: longitud de línea equivalente extra para el modelo circuital equivalente aproximado ............................................. 14 Fig. 2.5 Modelo distribuido con discontinuidades del resonador SISS de la Fig. 1.1. (a) modelo mixto con elementos distribuidos y concentrados que representan las líneas de transmisión y las discontinuidades respectivamente; (b) modelo distribuido de la Fig. 2.1 donde se compensa la longitud <=1 por <=1M debido al efecto de las discontinuidades......................................................................... 15 Fig. 3.1 Circuito de un resonador serie en derivación ideal sin pérdidas ....................................................... 18 Fig. 3.2 Circuito equivalente del resonador SISS para longitudes eléctricas <=1 y <=2 pequeñas. (a) en términos de la inductancia L y la capacidad I equivalentes de las expresiones (3.6)-(3.13); (b) en términos de las inductancias Li y capacidades Ii de cada una de las líneas (OG1,2) de las expresiones (3.12)-(3.13); (c) en términos de las inductancias Li y capacidades Ii de cada una de las líneas (OG1,2) de las expresiones (3.12)-(3.13) cuando CP<=1/<=2 .................................................... 20 Fig. 4.1 Geometría y parámetros del stub en derivación de salto de impedancia (SISS) en tecnología microstrip bajo estudio, donde 90 es la impedancia característica de la línea cargada con el SISS. 91: impedancia característica de la línea de baja impedancia; 92: impedancia característica de la línea de alta impedancia; <=1: longitud eléctrica de la línea de baja impedancia; <=2: longitud eléctrica de la línea de alta impedancia; =1: longitud de la línea de baja impedancia; =2: longitud de la línea de alta impedancia; >1: anchura de la línea de baja impedancia; >2: anchura de la línea de alta impedancia ................................................................................................................................................................................. 25 Fig. 4.2 Circuito de un resonador serie en derivación ideal sin pérdidas ....................................................... 27 iv Índice de figuras Fig. 4.3 Longitudes eléctricas a la resonancia <=1E0 y <=2E0 según la condición de resonancia (4.18) en función de 0,125≤C≤8. Para una determinada relación entre impedancias C<1, las longitudes se minimizan cuando <=1E0G<=2E0 .................................................................................................... 30 Fig. 4.4 Relación entre impedancias C aproximada necesaria para poder satisfacer <=1 , <=2≤π/4 para TG2 (C≤0,15). (a) representación del rango <=1-<=2 donde C ≤0,15; (b) representación del sub-rango <=1-<=2 donde C ≤0,15 y que además <=1 , <=2≤π/4 ...................................................................... 32 Fig. 4.5 Representación del valor específico de las longitudes eléctricas <=1 y <=2 para una determinada relación entre impedancias C en función de 9M y 9MJ. Ejemplo para <=1 , <=2≤π/4 y TG2, donde se requiere C≤0,15 ...................................................................................................................................... 35 Fig. 4.6 Impedancia característica 9U en función de los sustratos de la Tabla 4.1 para una anchura de 100μm ≤>≤3cm .................................................................................................................................................................. 36 Fig. 4.7 Síntesis de las impedancias 91 y 92 para 0<X0≤5GHz, TG2 y Z y [\ según los sustratos de la Tabla 4.1. (a) Impedancia 91 para >1G>]^_; (b) Impedancia 92 para >2G150μm; (c) anchura máxima permisible de la línea de baja impedancia >1G>]^_; (d) relación entre impedancias CG91/92 .................................................................................................................................................................................. 38 Fig. 4.8 Representación de los límites del rango 9M y de la impedancia equivalente óptima 9MJ sobre el plano <=1- <=2 para TG2, <=1, <l2≤π/4 y X0G1 y 3 GHz ................................................................................. 43 Fig. 4.9 Rango de los valores implementables de la impedancia equivalente 9M para 0<X0≤5GHz, TG1,5 y 2, >1G>]^_, >2G150μm, <=1,<=2<`/4 y Z y [\ según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [\G3,55, ZG0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [\G3,55, ZG1,524mm; (c) Rogers RO3010, [\G10,2, ZG0,254mm; (d) Rogers RO3010, [\G10,2, ZG1,27mm ................................................ 44 Fig. 4.10 Rango de los valores implementables del cociente entre la inductancia L (en nH) y la capacidad I (en pF) para 0<X0≤5GHz, TG1,5 y 2, >1G>]^_, >2G150μm, <=1,<=2≤`/4 y Z y [\ según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [\G3,55, ZG0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [\G3,55, ZG1,524mm; (c) Rogers RO3010, [\G10,2, ZG0,254mm; (d) Rogers RO3010, [\G10,2, ZG1,27mm .............................................................................................................................................................. 46 Fig. 4.11 Rango de los valores implementables del cociente entre la capacidad I (en pF) y la inductancia L (en nH) para 0<X0≤5GHz, TG1,5 y 2, >1G>]^_, >2G150μm, <=1,<=2≤`/4 y Z y [\ según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [\G3,55, ZG0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [\G3,55, ZG1,524mm; (c) Rogers RO3010, [\G10,2, ZG0,254mm; (d) Rogers RO3010, [\G10,2, ZG1,27mm .............................................................................................................................................................. 48 Fig. 4.12 Valor de las longitudes eléctricas en el punto óptimo <=1G<=2 para la impedancia equivalente óptima para 0<X0≤5GHz, TG1,5 y 2, >1G>]^_, >2G150μm, <=1,<=2<`/4 y Z y [\ según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [\G3,55, ZG0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [\G3,55, ZG1,524mm; (c) Rogers RO3010, [\G10,2, ZG0,254mm; (d) Rogers RO3010, [\G10,2, ZG1,27mm .............................................................................................................................................................. 50 Fig. 4.13 Rango de los valores implementables de la inductancia L (en nH) y la capacidad I (en pF) para 0<X0≤5GHz, TG1,5 y 2, >1G>]^_, >2G150μm, <=1,<=2≤`/4 y Z y [\ según los v sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [\=3,55, Z=0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [\=3,55, Z=1,524mm; (c) Rogers RO3010, [\=10,2, Z=0,254mm; (d) Rogers RO3010, [\=10,2, Z=1,27mm .......................................................................................................................................................................................................... 55 Fig. 4.14 Rango de los valores implementables de la inductancia L (en nH) y la capacidad I (en pF) con y sin parásitos para 0<X0≤5GHz, T=2, >1=>]^_, >2=150μm, <=1,<=2≤`/4 y Z y [\ según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [\=3,55, Z=0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [\=3,55, Z=1,524mm; (c) Rogers RO3010, [\=10,2, Z=0,254mm; (d) Rogers RO3010, [\=10,2, Z=1,27mm .............................................................................................................................................................. 58 Fig. 5.1 Configuración del circuito del SISS. 90: impedancia característica de la línea host ; =0: longitud de la línea host ; >0: anchura de la línea host .......................................................................................... 64 Fig. 5.2 Configuración del circuito del resonador serie. 90: impedancia característica de la línea host ; <=0: longitud eléctrica de la línea host ;............................................................................................................... 64 Fig. 5.3 Ilustración de los escenarios para la condición de resonancia sin aproximar (5.1) ................. 66 Fig. 5.4 Layout de cada uno de los escenarios considerados. (a) escenario ^; (b) escenario a; (c) escenario U; (d) escenario b ................................................................................................................................................ 69 Fig. 5.5 Parámetro de reflexión c11 y parámetro de transmisión c21 de los SISSs de la Tabla 5.1 (simulación electromagnética) y de los resonadores serie de la Tabla 5.3 (simulación circuital). (a) escenario ^; (b) escenario a; (c) escenario U; (d) escenario b ............................................................................ 71 Fig. 5.6 Layout de los SISSs a medir (a) configuración con líneas eléctricamente pequeñas; (b) configuración con líneas eléctricamente grandes ..................................................................................................... 76 Fig. 5.7 SISS de la Fig. 5.6 fabricados mediante fresadora. Dimensiones no escaldas. (a) configuración con líneas eléctricamente pequeñas; (b) configuración con líneas eléctricamente grandes ......................................................................................................................................................................................... 77 Fig. 5.8 Parámetros de reflexión c11 y de transmisión c11. (a) simulación circuital del resonador serie ^ de la Tabla 5.3 y simulación electromagnética con pérdidas y medida experimental del SISS de la Fig. 5.7 a; (b) simulación circuital del resonador serie ^ de la Tabla 5.3 y simulación electromagnética con pérdidas y medida experimental del SISS de la Fig. 5.7 b ........................................ 78 4 1. Introducción tecnológicas y la frecuencia máxima de interés. Este capítulo pues forma el eje central del proyecto Capítulo 5. Validación: se lleva a cabo el último objetivo del proyecto, donde se pretende validar los resultados de los capítulos anteriores mediante simulaciones y medidas experimentales Capítulo 6. Conclusiones y líneas futuras de trabajo: este capítulo concluye el proyecto sintetizando los resultados obtenidos más importantes y presentando propuestas para futuras investigaciones 5 Capítulo 2 Capítulo 2Capítulo 2 Capítulo 2 Modelo Modelo Modelo Modelo distribuido distribuido distribuido distribuido del resonador del resonador del resonador del resonador SISS SISSSISS SISS Las redes de microondas normalmente consisten en líneas de transmisión con varios tipos de transiciones, o lo que es lo mismo, discontinuidades en las líneas que las componen. Las discontinuidades más comunes son los circuitos abiertos, los gaps , los saltos de anchura, las conjunciones y las curvas [1]. El resonador SISS no es una excepción, pues está terminado en circuito abierto y compuesto por dos líneas de transmisión en cascada entre las cuales existe un salto de anchura. El objetivo de este capítulo es establecer un modelo distribuido del stub en derivación de salto de impedancia (Stepped-Impedance Shunt Stub, SISS). Dado que un buen modelado de los dispositivos de microondas es esencial para predecir su respuesta en frecuencia, el modelo deberá caracterizar no sólo las líneas de transmisión sino también las discontinuidades existentes. La configuración del resonador SISS bajo estudio es la que presenta un tramo de línea de alta impedancia cargada con otra línea de baja impedancia y terminada en circuito abierto. Esta configuración, tal y como se demostrará, es aquella que permite reducir la longitud eléctrica del resonador, pues en el diseño de dispositivos de microondas tanto la miniaturización de los componentes como la derivación de un circuito equivalente juegan un papel fundamental. 2.1 2.12.1 2.1 Modelo Modelo Modelo Modelo sin discontinuidades sin discontinuidadessin discontinuidades sin discontinuidades El SISS está formado por una línea de transmisión con una longitud eléctrica <= m y una impedancia característica 9 m alta en cascada con una línea de longitud eléctrica <= l con impedancia característica 9 l baja terminada en circuito abierto (Fig. 1.1). El circuito distribuido de esta estructura sin considerar las discontinuidades se ilustra en la Fig. 2.1, cuya admitancia de entrada ? nonn se puede calcular mediante la admitancia de entrada a la línea de transmisión de alta impedancia mediante 6 2 Modelo distribuido del resonador SISS ? pqpp = 1 9 m 9 m H j 9 r tan 7 <= m 8 9 r H j 9 m tan 7 <= m 8 , 7 2 . 1 8 donde su impedancia de carga 9 s se corresponde con la impedancia en la entrada de la sección de línea de baja impedancia terminada en circuito abierto, esto es [1] 9 r G t u 9 l cot 7 <= l 8 , 7 2 . 2 8 con lo cual la admitancia de entrada 72.18, tras varias operaciones, se puede escribir como: ? pqpp G t u tan 7 <= l 8 H C tan 7 <= m 8 9 m tan 7 <= l 8 tan 7 <= m 8 t 9 l , 7 2 . 3 8 donde C se define como la relación entre impedancias C G 9 l 9 m , 7 2 . 4 8 cumpliéndose C<1 debido a que 9 m >9 l . La frecuencia de resonancia fundamental del resonador E k es del tipo serie ya que ? pqpp 7E k 8v∞ debido a la terminación en circuito abierto. A esta frecuencia, según 72.38 se debe cumplir C G tan 7 <= l 7 E k 8 8 tan 7 <= m 7 E k 8 8 , 7 2 . 5 8 con lo cual las longitudes <= l y <= m a la resonancia resultan <= l 7 E k 8 G arctan x C tan 7 <= m 7 E k 8 8 y , 7 2 . 6 8 <= m 7 E k 8 G arctan z C tan { <= l 7 E k 8 | } . 7 2 . 7 8 La condición de resonancia 72.58 indica que el valor de las longitudes eléctricas <= l y <= m a la resonancia depende directamente de la relación entre impedancias C. En la Fig. 2.2 7a8 se ilustra el comportamiento de <= l 7E k 8 y <= m 7E k 8 según 72.58 para distintos valores de C entre 0,125≤C≤8 79 l /8≤9 m ≤89 l 8. Para minimizar <= l 7E k 8 y <= m 7E k 8, tal y como se puede observar, se debe minimizar C. Si se minimiza C, no sólo se minimizan las longitudes eléctricas a la resonancia sino también a cualquier frecuencia, es decir, <= l 7E8 y <= m 7E8. 2.1 Modelo sin discontinuidades 7 β 2 2 , Z l β 1 1 , Z l L Z 0 Z SISS Y Fig. Fig. Fig. Fig. 2 22 2....1 11 1 Modelo distribuido sin discontinuidades del resonador SISS de la Fig. 1.1. ? nonn : admitancia de entrada del SISS; 9 s : impedancia de entrada en la línea de baja impedancia Por otro lado, en la Fig. 2.2 (b) se muestra el comportamiento de la longitud eléctrica total del resonador definida como <= ~ ( E k ) = <= l ( E k ) H <= m ( E k ) . ( 2 . 8 ) Evidentemente, para disminuir <= ~ (E) se debe disminuir C. Así pues, la relación entre impedancias juega un papel determinante en el tamaño eléctrico del resonador y de ahí que se puedan diferenciar tres topologías de resonadores en función de C según el valor correspondiente de <= ~ (E k ): C<1, C=1 y C>1. En la Tabla 4.2 se muestra el rango de valores que pueden tomar las longitudes eléctricas <= l (E k ), <= m (E k ) y <= ~ (E k ) en función de las tres configuraciones. Si bien el rango de valores que pueden tomar <= l (E k )  <= m (E k ) coinciden en los tres casos, no sucede lo mismo para <= ~ (E k ). Se puede observar que el caso C=1 se corresponde con un resonador de impedancia uniforme (Uniform Impedance Resonator, UIR), que no es más que el resonador convencional terminado en circuito abierto con una longitud total <= ~ (E k )Gπ/2. Si C≠1, el resonador consiste en el propio resonador SISS. Si C>1, la resonancia se produce a unas longitudes eléctricas mayores que en el UIR, mientras que si C<1 la resonancia se produce para longitudes eléctricas menores. En la Fig. 2.2 se comprueban los datos de la Tabla 2.1 y además se puede extraer que para <= l (E k )G<= m (E k ) se obtiene un mínimo y un máximo de <= ~ (E k ) cuando C<1 y C>1 respectivamente. El hecho de que para C<1 exista un mínimo para <= l (E k )G<= m (E k ) significa que es posible que ambas longitudes eléctricas sean pequeñas, por ejemplo ≤π/4. La reducción de <= ~ es importante por dos razones, para (i) reducir el tamaño del resonador y 7ii8 para poder describir su comportamiento mediante un circuito equivalente discreto 7Capítulo 38. De ahí que la topología del resonador bajo estudio en este proyecto sea la configuración C<1. 8 2 Modelo distribuido del resonador SISS Tabla Tabla Tabla Tabla 2222....1 11 1 Rango de valores de las longitudes eléctricas a la resonancia <= l (E k ), <= m (E k ) y <= ~ (E k )G<= l (E k )H<= m (E k ) en función de la relación entre impedancias C para C<1, CG1 y C>1 C 9 l , 9 m <= l ( E k ) , <= m ( E k ) <= ~ ( E k ) G <= l ( E k ) H <= m ( E k ) C <1 9 l < 9 m <= l , <= m < ` 2 7 90 º 8 <= ~ = <= l H <= m < ` 2 7 90 º 8 C =1 9 l = 9 m <= l , <= m < ` 2 7 90 º 8 <= ~ = <= l H <= m = ` 2 7 90 º 8 C >1 9 l > 9 m <= l , <= m < ` 2 7 90 º 8 <= ~ = <= l H <= m > ` 2 7 90 º 8 2.1 Modelo sin discontinuidades 9 (a) (b) Fig. Fig. Fig. Fig. 2222....2222 Longitudes eléctricas a la resonancia según 72.58 en función de 0,125≤C≤8 (9 l /8≤9 m ≤ 89 l ). (a) <= l (E k ) y <= m (E k ); (b) <= ~ (E k )G<= l (E k )H<= m (E k ) 10 2. Modelo distribuido del resonador SISS 2.2 2.22.2 2.2 Modelo Modelo Modelo Modelo sin discontinuidades para longitudes sin discontinuidades para longitudes sin discontinuidades para longitudes sin discontinuidades para longitudes pequeñas pequeñaspequeñas pequeñas Asumiendo C <1 y además que cada una de las longitudes eléctricas de las líneas que componen el resonador son pequeñas, típicamente <= l , <= m ≤ ` 4 , 7 2 . 9 ) se pueden aproximar los términos tangenciales tan(<= l 8 y tan7<= m 8 de la admitancia de entrada 72.38 mediante el primer término de la expansión en serie de Taylor, lo que resulta: tan ( <= l )  <= l , ( 2 . 10 ) tan ( <= m )  <= m . ( 2 . 11 ) Si se aplica (2.10) y (2.11) a (2.3) se obtiene la siguiente aproximación de la admitancia de entrada: ? nonn = t u <= l H C <= m 9 m <= l <= m t 9 l , ( 2 . 12 ) expresión que cuanto menores sean <= l y <= m , mayor precisión obtendrá (idealmente <= l y <= m deberían de tender a cero). A la frecuencia de resonancia fundamental del resonador (? pqpp (E k )v∞), los valores aproximados de las longitudes eléctricas deben cumplir C = <= l ( E k ) <= m ( E k ) , ( 2 . 13 ) mientras que el valor aproximado de cada una de las longitudes eléctricas es <= l ( E k ) = C <= m ( E k ) , ( 2 . 14 8 <= m 7 E k 8 = C <= l 7 E k 8 . 7 2 . 15 8 Cabe destacar que este modelo simplificado elimina la periodicidad de las líneas de transmisión y por consiguiente sólo permite modelar la frecuencia de resonancia fundamental del resonador 7la de interés8. Notar que la condición necesaria y suficiente para la validez de este modelo es que <= l y <= m sean pequeñas, es decir, que la condición se basa en la longitud de cada una de las secciones de línea 7<= l y <= m 8 y no en la longitud total del resonador 7<= ~ 8. Si las longitudes de las secciones son pequeñas 7<= l , <= m Bπ/48, 2.2 Modelo sin discontinuidades para longitudes pequeñas 11 entonces la longitud total también lo será (<= ~ ≤π/2). Sin embargo, si <= ~ es pequeña no garantiza que <= l y <= m lo sean ambas. Merece la pena mencionar que, si se aproxima (2.28, la admitancia de entrada a la línea de baja impedancia tiene un comportamiento puramente capacitivo: 9 r G t u 9 l <= l . ( 2 . 16 ) Esta es una propiedad de una línea eléctricamente pequeña terminada en circuito abierto muy conocida en la literatura. 2.3 2.32.3 2.3 Modelo Modelo Modelo Modelo de las de lasde las de las discontinuidades discontinuidadesdiscontinuidades discontinuidades A menudo las discontinuidades pueden causar en el circuito cierta degradación en las prestaciones o un comportamiento indeseado. Esto se debe a que en la vecindad de las discontinuidades se puede almacenar energía eléctrica y/o magnética, lo cual conduce a efectos reactivos parásitos que pueden producir errores de fase y amplitud. Los efectos producidos por las reactancias asociadas a las discontinuidades se pueden obtener con exactitud mediante simulación electromagnética. No obstante, existen circuitos equivalentes con expresiones analíticas cerradas que en la práctica resultan muy útiles. Estos circuitos equivalentes permiten representar los efectos de la discontinuidad en un determinado punto del circuito y, de esta forma, permiten considerar tales efectos en el diseño de modo que sus efectos se puedan compensar mediante el ajuste de otros parámetros del circuito tales como longitudes o impedancias características [1]. Según [9] los valores de las capacidades e inductancias de los circuitos equivalentes de las discontinuidades son normalmente pequeños (capacidades<0,1pF e inductancias<0,1nH). Esto supone que sus correspondientes reactancias sólo suelen ser significativas a frecuencias de microondas altas y de ondas milimétricas. Cuando la frecuencia no excede de varios GHz estas discontinuidades se suelen poder despreciar. Sin embargo, resultan definitivamente significativos a frecuencias superiores a 10GHz. Si bien los principales elementos del resonador SISS son las líneas de transmisión, éste también contiene dos discontinuidades: un salto de anchura en el punto de conexión de las líneas y un circuito abierto en el extremo final del resonador. A continuación se pretende detallar circuitos equivalentes apropiados para modelar las discontinuidades del resonador SISS y así poder conocer cuáles son sus efectos, de qué magnitud son y, en caso de que no se puedan despreciar, si se pueden modelar ajustando los parámetros de los modelos distribuidos (2.3) y (2.12). 12 2. Modelo distribuido del resonador SISS o C o l 1 Z 1 Z 1 l 1 Z 7a8 7b8 7c8 Fig. Fig. Fig. Fig. 2 22 2. .. .3 33 3 Circuito abierto en microstrip. 7a8 layout ; 7b8 modelo circuital equivalente; I : capacidad fringing en derivación; 7c8 = : longitud de línea equivalente extra 2.3.1 2.3.12.3.1 2.3.1 Modelo del c Modelo del cModelo del c Modelo del circuito abierto ircuito abiertoircuito abierto ircuito abierto El principal fenómeno en el plano de un circuito abierto 7Fig. 2.3 7a88 es la existencia de campos fringing que se extienden ligeramente más allá de la abrupta terminación física del conductor. Este efecto puede modelarse mediante una capacidad en derivación I  tal como muestra la Fig. 2.3 7b8. No obstante, los campos fringing suelen modelarse mediante una longitud física equivalente extra =  que se le añade a la longitud de la línea de transmisión en circuito abierto = l 7Fig. 2.3 7c88. De este modo, los circuitos abiertos físico y eléctrico se sitúan en el mismo plano. La capacidad en derivación se puede calcular mediante [10] I  = =   [  l U 9 l , ( 2 . 17 ) donde U es la velocidad de la luz en el espacio libre y [ l es la permitividad eléctrica efectiva en la línea. La longitud equivalente del circuito abierto en tecnología microstrip puede calcularse mediante la siguiente expresión [10]: =  = Z  l       , ( 2 . 18 ) donde  l = 0 , 434907 [  l k , l H 0 . 26 ( > l / Z ) k ,  H 0 . 236 [  l k , l t 0 . 189 ( > l / Z ) k ,  H 0 . 87 , ( 2 . 19 ) 2.3 Modelo de las discontinuidades 13  m G 1 H ( > l / Z ) k , l 2 , 35 [  H 1 , 7 2 . 20 8   G 1 t 0 , 5274 F^T  l g 0 , 084 ( > l / Z ) l , l /   h [  l k , m , ( 2 . 21 )   G 1 H 0 , 037 tan  l g 0 , 067 ( > l / Z ) l ,  h  6 t 5 M_ g 0 , 036 ( 1 t [  ) h  , ( 2 . 22 )   G 1 t 0 , 218 exp x t 7 , 5 > l Z y , ( 2 . 23 ) donde > l es la anchura de la pista, Z es el grosor del sustrato y [  es la constante dieléctrica del sustrato. El error en la expresión (2.18) no supera el 0.2% para el rango 0,01≤> l /Z ≤100. Si por ejemplo se tiene una anchura > l G23mm, con un sustrato comercial como el Rogers RO3010 con [  G10,2 y ZG1,27mm, la longitud extra equivalente resultante es =  G1,2mm y la capacidad en derivación I  G2pF. Por tanto, el circuito abierto del SISS puede modificar la respuesta del resonador significativamente según la anchura > l y las características del sustrato, con lo cual es posible que esta discontinuidad no se pueda despreciar incluso a frecuencias inferiores a 10GHz. 2.3.2 2.3.22.3.2 2.3.2 Modelo del s Modelo del sModelo del s Modelo del salto de anchura alto de anchuraalto de anchura alto de anchura Por un lado, en un salto de anchura de pista entre dos anchuras diferentes > l y > m (Fig. 2.4 (a)), al igual que en un circuito abierto, también existe el efecto de campo fringing que se puede modelar con una capacidad en derivación I  . Por otro lado, también se produce una perturbación en la distribución de corriente en los bordes del conductor cuyo efecto puede tratarse con inductancias g9h. De este modo, un salto de anchura simétrico (donde el centro de las pistas coincide) se puede modelar mediante una red reactiva en T tal como se ilustra en la Fig. 2.4 (b). Si sólo se considera la capacidad en derivación I  (Fig. 2.4 (c)), término dominante del circuito equivalente g9h, se puede aplicar el concepto de alargar la longitud efectiva para tener en cuenta la capacidad fringing a la línea de transmisión con mayor anchura > l (Fig. 2.4 (d)). La capacidad en derivación puede calcularse según g10h como I  G 0 , 00137 Z ( μ ] )  [  l 9 l x [  l H 0 , 3 [  l t 0 , 258 y z > l Z H 0 , 264 ⁄ > l Z H 0 , 8 ⁄ } x 1 t > m > l y ( pF ) . ( 2 . 24 ) La longitud equivalente del salto de anchura =  se puede obtener a partir de (2.17) mediante 20 3. Modelo circuital equivalente del resonador SISS C L SISS Y 1 C 2 1 / L K SISS Y 2 C 2 L 1 C 2 L SISS Y (a) (b) (c) Fig. Fig. Fig. Fig. 3 33 3....2 22 2 Circuito equivalente del resonador SISS para longitudes eléctricas <= l y <= m pequeñas. (a) en términos de la inductancia L y la capacidad I equivalentes de las expresiones (3.6) - (3.13) ; (b) en términos de las inductancias L © y capacidades I © de cada una de las líneas (OG1,2) de las expresiones (3.12) - (3.13) ; (c) en términos de las inductancias L © y capacidades I © de cada una de las líneas (OG1,2) de las expresiones (3.12) - (3.13) cuando CP<= l /<= m Merece la pena mencionar que debido a las aproximaciones en serie de Taylor (2.10) y (2.11), las expresiones (3.6)-(3.13) obtienen unos valores menores de lo que en realidad deberían de resultar. Es importante también destacar que la inductancia L y la capacidad I dependen de ambas líneas de transmisión de la siguiente forma (Fig. 3.2(b)) • L es el paralelo de la inductancia de la línea de alta impedancia L m y una inductancia equivalente de valor L l /C m , con lo cual L Q L m . ( 3 . 14 ) • I es el paralelo y por tanto la suma de las capacidades de cada una de las líneas I l y I m , por lo que I > I l . ( 3 . 15 ) 3.2 3.23.2 3.2 Modelo circuital equivalente para longitudes pequeñas Modelo circuital equivalente para longitudes pequeñas Modelo circuital equivalente para longitudes pequeñas Modelo circuital equivalente para longitudes pequeñas sin parásitos sin parásitossin parásitos sin parásitos Los parámetros L l y I m del modelo circuital equivalente anterior no son más que elementos parásitos. Aunque son controlables en el modelo y se pueden compensar, idealmente, por simplicidad y para independizar I y L , I debería de implementarse mediante la línea de baja impedancia y L mediante la línea de alta impedancia. Sin 3.2 Modelo circuital equivalente para longitudes pequeñas sin parásitos 21 embargo, la línea de baja impedancia introduce una inductancia parásita L l y la línea de alta impedancia una capacidad parásita I m . A partir de (3.8) y (3.9) se puede observar que, para poder despreciar estos elementos parásitos, se debe satisfacer la siguiente condición C < < <= l <= m , ( 3 . 16 ) debido a que entonces L m P L l C m , ( 3 . 17 ) I l ª I m , ( 3 . 18 ) con lo cual los valores de la capacidad equivalente (3.12) y de la inductancia equivalente (3.13) se pueden aproximar como L  L m , ( 3 . 19 ) I  I l , ( 3 . 20 ) cuyo circuito equivalente se ilustra en la Fig. 3.2 (c). La expresión (3.16) es equivalente a que, si la capacidad parásita es comparable a la capacidad de la línea de baja impedancia, el efecto parásito no se puede despreciar. Esta propiedad se puede observar en (3.12) y (3.13). Por tanto, si C y/o <= m no son muy pequeños, es probable que los parásitos no se puedan despreciar. 3.3 3.33.3 3.3 Conclusiones ConclusionesConclusiones Conclusiones En el presente capítulo se ha demostrado que, si las longitudes eléctricas de las líneas del SISS son pequeñas (típicamente Bπ/4), su comportamiento en frecuencia se puede describir mediante un modelo circuital basado en un resonador serie en derivación. Esta equivalencia pues, será válida hasta aquella frecuencia (que se asume mayor a la frecuencia de resonancia) en que las longitudes del SISS dejen de ser pequeñas. Cuanto menores sean las longitudes eléctricas del resonador (idealmente las longitudes eléctricas deberían de tender a cero), mayor será la precisión del modelo tanto en la amplitud como en la fase de los parámetros de reflexión y transmisión (parámetros que se emplearan para caracterizar la respuesta en frecuencia). La inductancia y la capacidad del modelo circuital consisten en expresiones cerradas. Idealmente, la inductancia y la capacidad deberían de implementarse mediante la línea de 22 3. Modelo circuital equivalente del resonador SISS alta impedancia y la línea de baja impedancia respectivamente. Sin embargo, tanto la inductancia como la capacidad del modelo dependen de las dos líneas de transmisión del resonador: la línea de alta impedancia introduce una capacidad parásita, mientras que la línea de baja impedancia una inductancia parásita. No obstante, este efecto parásito se puede describir únicamente por la capacidad parásita de la línea de alta impedancia; si esta capacidad es mucho menor que la capacidad de la línea de baja impedancia, el efecto parásito se puede despreciar. Aunque los parásitos pueden ser importantes, dado que la capacidad se consigue básicamente mediante la línea de baja impedancia, a ésta línea también la denominaremos línea capacitiva. Análogamente, a la línea de alta impedancia la denominaremos línea inductiva. 23 Capítulo 4 Capítulo 4Capítulo 4 Capítulo 4 Análisis Análisis Análisis Análisis y limitaciones de y limitaciones dey limitaciones de y limitaciones del diseño de l diseño del diseño de l diseño de resonadores resonadoresresonadores resonadores serie en derivación mediant serie en derivación mediantserie en derivación mediant serie en derivación mediante e e e SISS SISSSISS SISSssss En el capítulo anterior se demostró que, el comportamiento eléctrico de un stub en derivación de salto de impedancia (Stepped-Impedance Shunt Stub, SISS) cuyas líneas son eléctricamente pequeñas, se puede aproximar mediante un modelo circuital formado por un resonador serie en derivación. Dicho modelo permite la extracción de la inductancia y la capacidad equivalentes a la entrada de la estructura a partir del conocimiento de sus parámetros. El proceso inverso, es decir, el diseño o síntesis, consiste en determinar los parámetros del SISS tales que su respuesta en el dominio de la frecuencia se corresponda a la de un resonador serie en derivación con unos determinados valores de inductancia y capacidad especificados. El propósito de este capítulo es llevar a cabo el principal objetivo del proyecto, que consiste en determinar cuáles son las limitaciones en la síntesis de resonadores serie en derivación mediante SISSs en microstrip, en términos de los valores de la inductancia y la capacidad válidos, es decir, que se pueden sintetizar. En otras palabras, se pretender conocer cuál es el rango de valores de la inductancia y la capacidad válidos para que la respuesta en frecuencia del SISS se pueda describir mediante un resonador serie en derivación. Dicho análisis se llevará a cabo en función de la frecuencia máxima de operación (superior a la frecuencia de resonancia), el grado de exactitud del modelo circuital (que vendrá determinado por el tamaño eléctrico de las líneas), de las características del sustrato (grosor y constante dieléctrica) y de las limitaciones tecnológicas (mínima anchura de pista). 24 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs 4.1 4.14.1 4.1 Parámetros de diseño Parámetros de diseñoParámetros de diseño Parámetros de diseño Los parámetros de diseño consisten en los parámetros del SISS. Hasta el momento, en el proyecto se han analizado los siguientes parámetros distribuidos del SISS (Fig. 4.1):  Longitud eléctrica <= l e impedancia característica 9 l de la línea de baja impedancia  Longitud eléctrica <= m e impedancia característica 9 m de la línea de alta impedancia Sin embargo, la síntesis de resonadores SISS en microstrip consiste en determinar los parámetros físicos del resonador y del sustrato para su implementación, que son los siguientes (Fig. 4.1):  Parámetros de la geometría del SISS:  longitud = l y anchura > l de la pista conductora de baja impedancia  longitud = m y anchura > m de la pista conductora de alta impedancia  Parámetros del sustrato: grosor Z y constante dieléctrica [  Los parámetros del sustrato, no obstante, a menudo están especificados. A modo ilustrativo, en el presente proyecto se consideran los cuatro sustratos comerciales del fabricante Rogers Corporation [12] que se muestran en la Tabla 4.1, cada uno de los cuales supone un escenario distinto en cuanto a los parámetros del sustrato se refiere. Los parámetros distribuidos y físicos están directamente relacionados mediante expresiones cerradas muy conocidas en la literatura. A continuación se presentan expresiones que permiten calcular los parámetros distribuidos a partir de los físicos, en las cuales se desprecia la dispersión en frecuencia (la velocidad de fase se considerará constante). Siendo [  la constante dieléctrica efectiva en la línea [10] [  G [  H 1 2 H [  t 1 2 x 1 H 10 « y  ¬ , ( 4 . 1 ) donde ^G1H 1 49 ln® «  H ¢ « 52 £ m «  H 0 , 432 ¯H 1 18 , 7 ln°1Hx « 18 , 1 y  ± , (4.2) a G 0 , 564 x [  t 0 , 9 [  H 3 y k , k , ( 4 . 3 ) « G > Z , 4.1 Parámetros de diseño 25 0 Z 2 l 1 l 1 W 2 W β 2 2 , Z l β 1 1 , Z l h r ε Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....1 11 1 Geometría y parámetros del stub en derivación de salto de impedancia (SISS) en tecnología microstrip bajo estudio, donde 9 k es la impedancia característica de la línea cargada con el SISS. 9 l : impedancia característica de la línea de baja impedancia; 9 m : impedancia característica de la línea de alta impedancia; <= l : longitud eléctrica de la línea de baja impedancia; <= m : longitud eléctrica de la línea de alta impedancia; = l : longitud de la línea de baja impedancia; = m : longitud de la línea de alta impedancia; > l : anchura de la línea de baja impedancia; > m : anchura de la línea de alta impedancia Tabla Tabla Tabla Tabla 4444....1 11 1 Sustratos considerados del fabricante Rogers Corporation con diferente grosor Z y constante dieléctrica [  Sustrato [  Z ( ]] ) 7a8 Rogers RO4003C 3,55 0,203 7b8 Rogers RO4003C 3,55 1,524 (c) Rogers RO3010 10,2 0,254 (d) Rogers RO3010 10,2 1,27 se puede calcular la impedancia característica de una línea de transmisión 9 ² a partir de su anchura de pista >, del grosor del sustrato Z y de la constante dieléctrica [  mediante la siguiente expresión analítica [10] 9 ² = ³ 2 `  [  ln ´ µ « ¶ 1 H x 2 « y m · , (4.4) 26 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs donde ³G120πΩ y µ G 6 H ( 2 ` t 6 ) exp ° t x 30 , 666 « y k . m ± . 7 4 . 5 8 Por otro lado, la longitud eléctrica de una línea <= se puede calcular mediante <= G E   = , ( 4 . 6 ) donde   es la velocidad de fase en la línea   G U  [  . ( 4 . 7 ) La exactitud del modelo (4.1) es mejor que 0,2% para [  ≤128 y 0,01≤ «≤100, mientras que la de 9 ¹ [  mejor que 0,01% para « ≤1 y 0,03% para « ≤1000. Por otro lado, la longitud de onda guiada en la línea º » es º » = º k  [  , ( 4 . 8 ) donde º k es la longitud de onda en el vacío. A mayor constante dieléctrica del sustrato pues, menor es la longitud de la onda guiada en la línea 4.2 4.24.2 4.2 Especificaciones de diseño Especificaciones de diseñoEspecificaciones de diseño Especificaciones de diseño Las especificaciones en el diseño de resonadores serie en derivación son la inductancia L y la capacidad I del propio resonador, así como la frecuencia máxima E ¼¬½ para la cual va a operar el mismo. Se asume un resonador ideal sin pérdidas (Fig. 4.2). En este proyecto se especificará la frecuencia máxima E ¼¬½ en función de la frecuencia de resonancia E k mediante el factor T tal que E ¼¬½ = T E k , ( 4 . 9 ) donde la frecuencia de resonancia se puede obtener a partir de la inductancia y la capacidad especificadas 4.2 Especificaciones de diseño 27 C L Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....2222 Circuito de un resonador serie en derivación ideal sin pérdidas E k G 1 √ LI . 7 4 . 10 8 Se asume además que la frecuencia máxima es superior a la frecuencia de resonancia 7T>18 para asegurar que el circuito es resonante dentro del rango frecuencial establecido delimitado por E ¼¬½ . Sintetizando, se considera que las especificaciones son la inductancia L, la capacidad I y el cociente T. A partir de éstos se conoce también la frecuencia de resonancia E k y la frecuencia de operación máxima E ¼¬½ . 4.3 4.34.3 4.3 Ecuaciones de diseño Ecuaciones de diseñoEcuaciones de diseño Ecuaciones de diseño Las ecuaciones de la inductancia L y la capacidad I del modelo circuital equivalente del SISS constituyen las ecuaciones de diseño para la síntesis de SISS tales que su comportamiento en frecuencia se puede describir mediante un resonador serie en derivación. La inductancia y la capacidad equivalentes del modelo en función de los parámetros distribuidos del SISS y de la frecuencia máxima de operación son respectivamente I G 1 E ¼¬½ x <= l 9 l H <= m 9 m y , ( 4 . 11 ) LG 1 E ¼¬½ ¾<= m 9 m <= l 9 l <= l 9 l H <= m 9 m ¿ . (4.128 Si la frecuencia máxima de operación se describe mediante 74.9) se obtiene: 28 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs I G 1 T E k x <= l 9 l H <= m 9 m y , 7 4 . 13 8 LG 1 T E k ¾<= m 9 m <= l 9 l <= l 9 l H <= m 9 m ¿ . 74.148 En estas últimas expresiones existe la siguiente recursividad: para calcular la inductancia y la capacidad equivalentes se requiere del conocimiento de su correspondiente frecuencia de resonancia, para el cual a su vez es necesario conocer la inductancia y la capacidad. Sólo es posible obtener la inductancia y la capacidad si se conoce la frecuencia de resonancia. Se define el parámetro 9  como una impedancia característica equivalente cuya inductancia y capacidad por unidad de longitud se corresponden con las especificaciones del resonador serie L y I respectivamente, esto es 9  G ¶ L I , 7 4 . 15 8 la cual se puede calcular a partir de las especificaciones. Si se desarrollan las ecuaciones 74.138 y 74.148 mediante la frecuencia de resonancia 74.108 y la impedancia equivalente 74.158, las primeras pueden expresarse como 9  G T x <= l 9 l H <= m 9 m y  l , 7 4 . 16 8 9  G 1 T 7<= m 9 m <= l 9 l <= l 9 l H <= m 9 m 8 . 74.178 Las ecuaciones de diseño, por tanto, se pueden describir con independencia de la frecuencia de resonancia. Esto es posible expresándolas en función del cociente entre la inductancia y la capacidad, no en función de sus valores específicos. Remarcar que en las ecuaciones anteriores 7y en el resto del proyecto8 las longitudes <= l y <= m se corresponden con las longitudes eléctricas a la frecuencia de operación máxima, es decir, <= l G <= l 7E ¼¬½ 8 y <= m G<= m 7E ¼¬½ 8. 4.4 Requerimiento de diseño 29 4.4 4.44.4 4.4 Requerimiento Requerimiento Requerimiento Requerimiento de diseño de diseñode diseño de diseño La condición necesaria y suficiente para que las ecuaciones de diseño anteriores sean válidas es que las longitudes eléctricas de las líneas del SISS sean pequeñas (típicamente <= l , <= m Bπ/4). Dado que se dispone de más parámetros de diseño (4 parámetros distribuidos) que de ecuaciones de diseño (2 ecuaciones), pueden existir múltiples soluciones de los parámetros del SISS que dan lugar a la misma inductancia y capacidad (o al mismo cociente). No obstante, la solución o diseño óptimo de los parámetros distribuidos es aquel que consigue minimizar las longitudes eléctricas de las líneas (idealmente ambas deberían de tender a cero). De este modo, se mejora la exactitud de la equivalencia entre la admitancia del SISS sin aproximar (2.3) y la admitancia del circuito resonante serie (3.1). 4.5 4.54.5 4.5 Relación entre impedancias Relación entre impedanciasRelación entre impedancias Relación entre impedancias A partir de la condición de resonancia del modelo distribuido C G tan ( <= l ( E k ) ) tan ( <= m ( E k ) ) , ( 4 . 18 ) se conoce que para minimizar <= l (E k ) y <= m (E k ) se debe de minimizar la relación entre impedancias C. Además, dada una relación entre impedancias CQ1, las longitudes eléctricas de las líneas del resonador se minimizan simultáneamente cuando éstas son iguales (ver Fig. 4.3). Las longitudes eléctricas a la frecuencia de resonancia están relacionadas con las longitudes eléctricas a la frecuencia máxima según <= l ( E k ) G <= l T , ( 4 . 19 ) <= m ( E k ) G <= m T . ( 4 . 20 ) Si la condición de resonancia aproximada C G <= l ( E k ) <= m ( E k ) , ( 4 . 21 ) se expresa en función de las longitudes eléctricas a la frecuencia máxima, se obtiene la siguiente condición de resonancia 36 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs En la Fig. 4.6 se representa la impedancia característica 9 ¹ en función de los sustratos de la Tabla 4.1 para una anchura de pista del conductor de 100μm B>B3cm. En ésta se puede observar la dependencia exponencial entre la impedancia característica 9 ¹ y la anchura > lo cual supone un inconveniente: para conseguir valores extremos de 9 ¹ tanto del límite inferior (para diseñar 9 l ) como del superior (para diseñar 9 m ) se requieren valores extremos de los límites superior e inferior respectivamente de la anchura >. La anchura mínima que se puede implementar se trata de una limitación tecnológica, siendo comúnmente 100, 150 o 200μm en placas de circuito impreso (Printed Circuit Board, PCB). En cuanto a la anchura máxima posible, hay que considerar que para una anchura de pista suficientemente grande puede aparecer un modo de resonancia transversal el cual puede acoplarse con el modo cuasi-TEM (Transversal Electromagnético), modo fundamental en microstrip. La anchura de pista máxima > ¼¬½ para la cual se evita la aparición de este modo indeseado depende de la frecuencia de operación máxima (E ¼¬½ = T E k ) y se corresponde con [9] > ¼¬½ = U` T E k √ [  t 0 , 4 Z . ( 4 . 31 ) Tal anchura es aproximadamente igual a la mitad de la longitud de onda guiada º Äl en la línea de baja impedancia. En este proyecto se asume que la anchura máxima viene determinada por (4.31) aunque es posible que en la práctica a frecuencias pequeñas (pocos GHz) tal anchura sea mayor que la anchura máxima disponible. Fig. Fig. Fig. Fig. 4 44 4....6 66 6 Impedancia característica 9 ¹ en función de los sustratos de la Tabla 4.1 para una anchura de 100μm ≤>≤3cm 4.7 Impedancias características 37 Con la finalidad de mostrar los valores típicos extremos mínimo y máximo (a excepción de 9 l a frecuencias muy bajas) que pueden presentar las impedancias características en microstrip, se propone realizar la síntesis de los mismos para los siguientes parámetros:  una frecuencia de resonancia lineal de 0QX k B5GHz  una frecuencia máxima relativa a la frecuencia de resonancia para TG2  una anchura máxima de > l G> ¼¬½ G f(nf k )  una anchura mínima de > m =150μm  una Z y una [  según los cuatros sustratos de la Tabla 4.1 Los resultados de tal síntesis se muestran en la Fig. 4.7 donde se representan (a) 9 l y (b) 9 m , así como también (c) > l y (d) C. Se destacan las siguientes particularidades:  la impedancia 9 m es constante en frecuencia (recordar que no se considera la dispersión), mientras que 9 l aumenta con la frecuencia puesto que > l debe de disminuir con la misma. Por consecuencia, la relación entre impedancias C aumenta con la frecuencia  se comprueba el claro compromiso entre minimizar 9 l y maximizar 9 m : la primera se optimiza mediante los sustratos (a) y (c), mientras que la segunda con (b) y (d)  según los valores de la Tabla 4.2 se puede observar que el requisito de C para <= l , <= m Bπ/8 será, por lo general, irrealizable (véase Fig. 4.7 (d)). Aunque con <= l , <= m ≤π/8 se esperaría muy buena exactitud, estas longitudes eléctricas son demasiado estrictas para las impedancias características realizables. Para <= l , <= m Bπ/4, en cambio, los valores de C requeridos son realizables para un relativamente amplio rango de frecuencias y sustratos. Por esta razón, en este proyecto se considera que las líneas son eléctricamente pequeñas si <= l , <= m Bπ/4 En este punto se debe destacar que debido a la dependencia de 9 l con la frecuencia, <= l no dependerá exclusivamente de 9  sino que en realidad dependerá de los valores específicos de L y I (los cuales determinan la frecuencia). Sintetizando, se presentan unas limitaciones en los valores mínimo y máximo de las impedancias características que se pueden implementar, fundamentales para determinar el tamaño eléctrico de las líneas del resonador. Tales límites dependen de los parámetros del sustrato y de las limitaciones en las anchuras descritas anteriormente. Por consiguiente no es posible diseñar cerca del punto ideal (Fig. 4.3), por lo que es útil establecer una cota máxima permitida de las longitudes eléctricas que garantice que las ecuaciones de diseño describen el comportamiento del SISS con cierta exactitud. 38 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs (a) (b) Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....7777 71/28 Síntesis de las impedancias 9 l y 9 m para 0QX k B 5GHz, TG2 y Z y [  según los sustratos de la Tabla 4.1. (a) Impedancia 9 l para > l G> ¼¬½ ; (b) Impedancia 9 m para > m =150μm; (c) anchura máxima permisible de la línea de baja impedancia > l G> ¼¬½ ; (d) relación entre impedancias CG9 l /9 m 4.7 Impedancias características 39 (c) (d) Fig. Fig.Fig. Fig. 4444....7777 72/28 Síntesis de las impedancias 9 l y 9 m para 0<X k ≤ 5GHz, TG2 y Z y [  según los sustratos de la Tabla 4.1. (a) Impedancia 9 l para > l G> ¼¬½ ; (b) Impedancia 9 m para > m =150μm; (c) anchura máxima permisible de la línea de baja impedancia > l G> ¼¬½ ; (d) relación entre impedancias CG9 l /9 m 40 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs 4.8 4.84.8 4.8 CCCCociente entre ociente entreociente entre ociente entre la inductancia y la capacidad la inductancia y la capacidadla inductancia y la capacidad la inductancia y la capacidad Ahora suponemos que la inductancia L y la capacidad I no están especificadas. Consideramos además que las impedancias características de las líneas 9 l y 9 m están diseñadas o pendientes de diseñar según un determinado sustrato y el criterio establecido para las anchuras en el apartado anterior. Si se impone que las longitudes eléctricas 74.288 y 74.29) no superen un cierto límite máximo pre-establecido dado por <= l¼ y <= m¼ respectivamente (en este proyecto <= l¼ G<= m¼ Gπ/4), es decir <= l G T 9 l 2 9  ®1H ¶ 1t4x 9  9 m y m ¯≤<= l¼ , (4.32) <= m G T 9 m 2 9  ®1t ¶ 1t4x 9  9 m y m ¯≤<= m¼ , (4.33) se obtienen las siguientes inecuaciones de la impedancia equivalente 9  À T 9 l 9 m m <= l ¼ ( T 9 l ) m H ( <= l ¼ 9 m ) m , ( 4 . 34 ) 9  ≤ T 9 m <= m ¼ T m H <= m ¼ m , ( 4 . 35 ) que forman el rango de valores válidos de 9  que sigue: T 9 l 9 m m <= l ¼ ( T 9 l ) m H ( <= l ¼ 9 m ) m ≤ 9  ≤ T 9 m <= m ¼ T m H <= m ¼ m . ( 4 . 36 ) Este rango está delimitado por los siguientes límites  Un valor mínimo de la impedancia equivalente 9 ¼¨Å válido determinado por la inecuación (4.32) 9 ¼¨Å G T 9 l 9 m m <= l ¼ ( T 9 l ) m H ( <= l ¼ 9 m ) m . ( 4 . 37 ) Si la impedancia equivalente requerida es menor a este límite (9  <9 ¼¨Å ), se requerirá una <= l mayor que la <= l¼ establecida (por la propiedad del producto <= m será menor que lo cota máxima) 4.8 Cociente entre la inductancia y la capacidad 41  Un valor máximo de la impedancia equivalente 9 ¼¬½ válido determinado por la inecuación (4.33) 9 ¼¬½ G T 9 m <= m ¼ T m H <= m ¼ m . ( 4 . 38 ) En este caso, si la impedancia equivalente requerida es mayor a este límite (9  >9 ¼¬½ ), <= m será mayor que la <= m¼ establecida (por la propiedad del producto <= l será menor que lo cota máxima) El límite mínimo depende de T, 9 l , 9 m y <= l¼ y aumenta con la frecuencia debido a que 9 l aumenta con la frecuencia. El límite máximo depende de T, 9 m y <= m¼ y por tanto es constante en frecuencia. Debido a la dependencia en frecuencia del límite mínimo, existe una frecuencia de corte para la cual se produce el cruce entre los límites (9 ¼¨Å G9 ¼¬½ ). A partir de esta frecuencia, para la que las longitudes eléctricas están en el umbral máximo permitido (<= l G<= m G<= l¼ G<= m¼ ), deja de existir solución válida alguna de 9  (que satisfaga los umbrales establecidos). Para esta frecuencia de resonancia de corte la relación entre impedancias toma el valor máximo permitido, es decir C G <= l <= m T m G <= l ¼ <= m ¼ T m . ( 4 . 39 ) En el cruce, además, se produce el diseño óptimo <= l¼ G<= m¼ , para el cual se obtiene la impedancia equivalente óptima 9  (4.30). Si la frecuencia disminuye, 9 l , 9  , C y las longitudes en el punto óptimo <= l G<= m disminuyen. Observar la Fig. 4.8 (a) para seguir con el ejemplo para TG2 y <= l , <= m Bπ/4. La relación entre impedancias máxima permitida es de C=0,15 (Tabla 4.2). Si se considera el sustrato (d), la frecuencia de resonancia para la cual C=0,15 es X k 3GHz. A esta frecuencia 9 ¼¨Å =9 ¼¬½ por lo que <= l =<= m =<= l¼ =<= m¼ . A una frecuencia inferior, por ejemplo X k =1GHz, la impedancia 9 l es menor y se tiene C=0,06. Para esta frecuencia 9 ¼¬½ > 9 ¼¨Å y el valor específico de de las longitudes eléctricas dependerá de 9  . En resumen, se presenta un rango de valores válidos de 9  comprendido entre el límite mínimo 9 ¼¨Å y el límite máximo 9 ¼¬½ , si y sólo si 9 ¼¬½ >9 ¼¨Å . Para estos valores, las longitudes eléctricas necesarias son eléctricamente iguales o menores a la cota máxima establecida (<= l , <= m ≤π/4 en el ejemplo) ya que:  dentro de los límites <= l Q<= l¼ y <= m Q<= m¼  en el límite inferior del rango <= l G<= l¼ y <= m Q<= m¼  en el límite superior del rango <= l Q<= l¼ y <= m G<= m¼  en el cruce entre los límites del rango <= l G<= m G<= l¼ G<= m¼ 42 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs Cabe destacar que puede resultar útil representar este rango en función del cociente entre L y I, lo que resulta z T 9 l 9 m m <= l ¼ ( T 9 l ) m H ( <= l ¼ 9 m ) m } m ≤ L I ≤ z T 9 m <= m ¼ T m H <= m ¼ m } m , ( 4 . 40 8 donde los valores del cociente mínimo y máximo son respectivamente x L I y ¼¨Å G z T 9 l 9 m m <= l ¼ 7 T 9 l 8 m H 7 <= l ¼ 9 m 8 m } m , ( 4 . 41 ) x L I y ¼¬½ G z T 9 m <= m ¼ T m H <= m ¼ m } m . ( 4 . 42 8 Para determinar las limitaciones de los valores válidos de 9  , éstos se van a ilustrar considerando los siguientes parámetros:  una frecuencia de resonancia lineal de 0QX k ≤5GHz  una frecuencia máxima relativa a la frecuencia de resonancia para T=1,5 y 2  una anchura máxima de > l = > ¼¬½ = X7TX k 8  una anchura mínima de > m =150μm  una Z y una [  según los sustratos de la Tabla 4.1  unas longitudes eléctricas máximas permitidas de <= l¼ , <= m¼ Gπ/4 Los resultados de los rangos de 9  (4.36), de L/I (4.408 y de I/L 7este último para poder observar con más detalle los resultados para L/I<1) en función de la frecuencia de resonancia se muestran en la Fig. 4.9, la Fig. 4.10 y la Fig. 4.11 respectivamente. Por otro lado, en la Fig. 4.12 se representa el valor de <= l G<= m en función de la frecuencia de resonancia especificada. Matizar que a frecuencias muy bajas <= l G<= m 0 debido a que la anchura de la línea capacitiva se asume extremadamente grande (no realizable en la práctica). 4.8 Cociente entre la inductancia y la capacidad 43 Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....8888 Representación de los límites del rango 9  y de la impedancia equivalente óptima 9  sobre el plano <= l - <= m para TG2, <= l , <l m Bπ/4 y X k G1 y 3 GHz En cuanto a la especificación T, para una frecuencia de resonancia en particular, el rango aumenta sustancialmente (tanto el límite inferior como el superior) si T disminuye (de 2 a 1,5 en el ejemplo) o equivalentemente si la frecuencia máxima disminuye. El rango también aumenta bilateralmente si las cotas máximas de las longitudes eléctricas aumentan, aunque esto degrada la exactitud del modelo. Por lo que respecta a los parámetros del sustrato, que determinan el valor de las impedancias características 9 l y 9 m , aumentan o disminuyen de una forma no lineal los límites del rango. Esto conlleva que no es posible conseguir valores altos y bajos de 9  válidos simultáneamente para un mismo sustrato. Si se requieren impedancias equivalentes 9  grandes comúnmente se necesitará una longitud <= m grande, por lo que se requerirá optimizar 9 m mediante un Z grande y una [  pequeña. Los requisitos serán opuestos si se requieren 9  pequeñas, donde análogamente se requerirá una longitud <= l grande y se necesitará optimizar 9 l . Igual que sucedía para maximizar 9 m , el límite 9 ¼¬½ se maximiza para los sustratos (b) y (d). Análogamente, 9 ¼¨Å se minimiza para los sustratos (a) y (c), lo cual minimiza 9 l . Este compromiso del sustrato supone que es posible que sólo un/unos determinado/s sustrato/s permita/n implementar una determinada 9  (por ejemplo una 9  G50Ω sólo se puede implementar mediante el sustrato (a)). No obstante, también pueden existir múltiples soluciones de los parámetros distribuidos para una misma 9  especificada. En este caso, habrá un sustrato que minimiza/optimiza <= l y <= m , el cual se puede conocer a partir de las Fig. 4.9 y Fig. 4.12. 44 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs (a) (c) Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....9999 71/28 Rango de los valores implementables de la impedancia equivalente 9  para 0QX k ≤5GHz, T=1,5 y 2, > l = > ¼¬½ , > m =150μm, <= l ,<= m <`/4 y Z y [  según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=1,524mm; (c) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=0,254mm; (d) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=1,27mm 4.8 Cociente entre la inductancia y la capacidad 45 (b) (d) Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....9999 72/28 Rango de los valores implementables de la impedancia equivalente 9  para 0<X k ≤5GHz, T=1,5 y 2, > l = > ¼¬½ , > m =150μm, <= l ,<= m <`/4 y Z y [  según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=1,524mm; (c) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=0,254mm; (d) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=1,27mm 52 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs En cuanto al rango de valores implementables de Z Ç , la tendencia general es que es difícil conseguir valores de Z Ç grandes, que sólo es posible obtener para constantes dieléctricas pequeñas y grosores del sustrato grandes. Nótese que el requisito de constante dieléctrica pequeña para maximizar la impedancia de la línea inductiva no es el escenario típico en microondas, donde la reducción de la velocidad de fase (mediante constantes dieléctricas elevadas) permite la miniaturización física de los dispositivos. Por el contrario, suele ser factible conseguir valores de Z Ç pequeños independientemente del sustrato, aunque claramente a frecuencias bajas (inferiores a frecuencias máximas de aproximadamente 3GHz). La limitación para implementar Z Ç pequeñas se debe a la dependencia en frecuencia de la impedancia Z l . Si se despreciase el acoplamiento con resonancias transversales, en principio no habría limitaciones en conseguir valores pequeños de Z Ç . Se corrobora pues, que los parámetros fundamentales que limitan el rango de valores de Z Ç implementables son las impedancias características de las líneas Z l y Z m : sobre éstas los parámetros del sustrato influyen directa y significativamente suponiendo un importante compromiso. Es importante destacar que, dado que se usa una aproximación del modelo distribuido del SISS, el rango de valores presentado es un rango aproximado (incluso para βl l , βl m Bπ/4). Notar también que se ha establecido una cota máxima de las longitudes eléctricas en particular que para poder determinar un cierto rango de valores válidos de Z Ç . Para los valores de Z Ç que se encuentran dentro del rango (para las cotas máximas establecidas) se espera una buena exactitud entre el comportamiento del SISS y el de un resonador serie. No obstante, lo esencial no es establecer una determinada cota máxima, sino tener en mente que cuánto mayores son las longitudes eléctricas de las líneas, menor será la exactitud entre las respuestas del SISS y del resonador serie. Por tanto, si un valor de Z Ç no está dentro del rango válido no significa que no se puede sintetizar, sino que la respuesta presentará cierta discrepancia respecto a la de un resonador serie en derivación ideal. Esto se debe a la presencia de elementos parásitos que el modelo circuital del Capítulo 3 no contempla. Aunque analizar el comportamiento del SISS cuando las longitudes eléctricas no son pequeñas no es alcance del proyecto, el efecto básico de estos parásitos sobre la respuesta ideal se analizará en el Capítulo 5. 4.9 4.94.9 4.9 IIIInductancia y capacidad nductancia y capacidad nductancia y capacidad nductancia y capacidad Si la impedancia de la línea capacitiva no dependiera de la frecuencia, el rango de valores válidos de la inductancia y la capacidad dependería exclusivamente de su cociente. No obstante, aunque esta impedancia fuera constante, en la práctica es más útil conocer sus valores específicos. Por esta razón se pretende trasladar las soluciones del apartado anterior en el plano L-I. 4.9 Inductancia y capacidad 53 Desde un punto de vista matemático, para una frecuencia de resonancia determinada existe infinidad de valores de L y I que cumplen la ecuación de resonancia ω k G(LI) l/m ; cada frecuencia de resonancia corresponde a una curva en el plano L-I. Debido al rango limitado de valores permitidos de 9  , si existe una solución o rango de soluciones de 9  , habrá una solución o rango de soluciones válido limitado de L y I. Sobre el plano L-I tales valores de L y I se corresponderán a un tramo de la curva infinita de la frecuencia de resonancia. Para una frecuencia de resonancia determinada, este tramo de curva estará determinado por:  un valor máximo de la capacidad C ÉÊË que se puede implementar mediante líneas eléctricamente pequeñas y un valor mínimo de la inductancia L É©Ì asociada a tal frecuencia de resonancia, que dependerán del valor mínimo de la impedancia equivalente válida 9 ¼¨Å m G L ¼¨Å I ¼¬½ . ( 4 . 43 )  un valor máximo de la inductancia L ÉÊË que se puede implementar mediante una línea inductiva eléctricamente pequeña y un valor mínimo de la capacidad C É©Ì asociada a tal frecuencia de resonancia, que dependerán de la cota máxima de la impedancia equivalente válida 9 ¼¬½ m G L ¼¬½ I ¼¨Å . ( 4 . 44 ) Para estos pares de inductancias y capacidades se debe cumplir la ecuación de resonancia E k G 1  L ¼¨Å I ¼¬½ , ( 4 . 45 ) E k G 1  L ¼¬½ I ¼¨Å . ( 4 . 46 ) Las ecuaciones (4.43)-(4.46) forman un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas (L ¼¨Å , I ¼¬½ , L ¼¬½ y I ¼¨Å ) por lo que las inductancias y capacidades se pueden calcular como L ¼¨Å G 1 E k 9 ¼¨Å , ( 4 . 47 ) I ¼¬½ G 1 E k m L ¼¨Å , ( 4 . 48 ) 54 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs L ¼¬½ G 1 E k 9 ¼¬½ , 7 4 . 49 ) I ¼¨Å G 1 E k m L ¼¬½ . ( 4 . 50 8 Por tanto, los valores específicos de la inductancia y la capacidad válidos se pueden obtener a partir de la frecuencia de resonancia E k y las impedancias 9  válidas para ésta. Si se representan los datos de la Fig. 4.9 sobre el plano L-I mediante el método descrito se obtienen los resultados de la Fig. 4.13, donde se muestran los valores de L y de I válidos en el rango comprendido 0<L7nH8, I7pF8<12. Dado que los datos de la Fig. 4.9 y de la Fig. 4.13 son los mismos pero representados de forma distintas, la lectura de las limitaciones de los valores de la inductancia y la capacidad es equivalente a la del apartado anterior. Destacar que para una determinada frecuencia de resonancia es difícil conseguir valores elevados de la inductancia con independencia del sustrato. El grosor del sustrato afecta directamente a la inductancia debido a la presencia del plano de masa, el cual produce una disminución de la inductancia a medida que éste se acerca a la línea [2]. Por teoría de imágenes [1], la imagen del plano de masa transporta corriente con sentido opuesto a la de la línea, por lo que la inductancia efectiva disminuye [2]. Si el grosor no es grande y la constante dieléctrica no es pequeña, una línea de transmisión eléctricamente pequeña recta presenta una inductancia relativamente baja (para las anchuras fabricables). Por otra parte, tal como se observó en el Capítulo 3, la capacidad parásita de la línea inductiva no sólo aumenta la capacidad equivalente total sino que además reduce la inductancia equivalente en la entrada del resonador 7en el siguiente apartado se analizará el efecto de la capacidad parásita sobre la inductancia equivalente8. El valor de la capacidad también presenta limitaciones. A medida que la frecuencia aumenta, la anchura de la línea capacitiva debe disminuir para evitar resonancias transversales. Bajo estas circunstancias, la capacidad está limitada a valores pequeños para evitar líneas eléctricamente grandes (incluso a frecuencias elevadas donde las capacidades requeridas son pequeñas). Para frecuencias máximas para las cuales no existe solución, la capacidad equivalente resultante siempre será inferior a cualquier capacidad especificada, con lo cual para estas frecuencias no se puede sintetizar ningún resonador. Notar que se podría doblar la capacidad mediante dos SISS en paralelo, aunque esto reduciría la inductancia a la mitad. 4.9 Inductancia y capacidad 55 (a) (b) Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....13 1313 13 71/28 Rango de los valores implementables de la inductancia L 7en nH8 y la capacidad I (en pF) para 0QX k ≤5GHz, T=1,5 y 2, > l = > ¼¬½ , > m =150μm, <= l ,<= m ≤ `/4 y Z y [  según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=1,524mm; (c) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=0,254mm; (d) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=1,27mm 56 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs (c) (d) Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....13 1313 13 72/28 Rango de los valores implementables de la inductancia L 7en nH8 y la capacidad I 7en pF8 para 0<X k ≤5GHz, T=1,5 y 2, > l = > ¼¬½ , > m =150μm, <= l ,<= m ≤ `/4 y Z y [  según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=1,524mm; (c) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=0,254mm; (d) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=1,27mm 4.10 Inductancia y capacidad sin parásitos 57 4.10 4.104.10 4.10 I II Inductancia y capacidad sin nductancia y capacidad sin nductancia y capacidad sin nductancia y capacidad sin parásitos parásitosparásitos parásitos Si se desprecia la capacidad parásita de la línea inductiva del modelo circuital, las ecuaciones de diseño consisten en (3.19) y (3.20). En este caso, el rango de la impedancia equivalente válida resulta T 9 l <= l ¼ ≤ 9  ≤ 9 m <= m ¼ T . ( 4 . 51 ) A partir de este rango y el método descrito en el apartado anterior es posible obtener el rango de valores válidos de la inductancia y la capacidad sin considerar el efecto parásito. En la Fig. 4.13 se representan los valores válidos de la inductancia y la capacidad del apartado anterior (con el parásito) para TG2 junto con los valores sin el parásito. Este parásito, tal y como se puede observar, no es despreciable si 9  es grande debido a que C y/o <= m no son muy pequeños, por lo que no se satisface la condición (3.16). Para valores de 9  elevados, <= m es grande, mientras que para frecuencias cercanas a la frecuencia de corte la relación entre impedancias no es demasiado pequeña. El principal efecto de la capacidad parásita es un aumento de la capacidad total y una reducción de la inductancia, lo cual se traduce en una reducción del límite máximo de 9  . No se produce una disminución del límite mínimo de 9  debido a que la capacidad parásita sólo es importante para valores elevados de 9  . Por tanto, la limitación del valor de la inductancia máxima se debe no sólo a la pequeña inductancia de una línea de transmisión recta, sino además al efecto parásito; éste disminuye notablemente la inductancia implementable. 58 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs (a) (b) Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....14 1414 14 71/28 Rango de los valores implementables de la inductancia L 7en nH8 y la capacidad I (en pF) con y sin parásitos para 0QX k ≤5GHz, TG2, > l G> ¼¬½ , > m =150μm, <= l ,<= m ≤ `/4 y Z y [  según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=1,524mm; (c) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=0,254mm; (d) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=1,27mm 4.10 Inductancia y capacidad sin parásitos 59 (c) (d) Fig. Fig. Fig. Fig. 4444....14 1414 14 72/28 Rango de los valores implementables de la inductancia L 7en nH8 y la capacidad I 7en pF8 con y sin parásitos para 0<X k ≤5GHz, T=1,5 y 2, > l = > ¼¬½ , > m =150μm, <= l ,<= m ≤ `/4 y Z y [  según los sustratos considerados. (a) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=0,203mm; (b) Rogers RO4003C, [  =3,55, Z=1,524mm; (c) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=0,254mm; (d) Rogers RO3010, [  =10,2, Z=1,27mm 60 4. Análisis y limitaciones del diseño de resonadores serie en derivación mediante SISSs 4.11 4.114.11 4.11 Conclusiones ConclusionesConclusiones Conclusiones En este capítulo se ha llevado a cabo el análisis y las limitaciones de la síntesis de SISS en microstrip tales que su comportamiento en frecuencia se puede describir mediante un resonador serie en derivación hasta una cierta frecuencia. En primer lugar, se han detallado los parámetros de diseño del resonador SISS, que se pueden clasificar en parámetros distribuidos y parámetros físicos. Los primeros, que consisten en impedancias características y longitudes eléctricas, permiten describir el comportamiento eléctrico del SISS a partir de los parámetros físicos. Estos últimos se componen de las dimensiones geométricas del resonador (anchuras y longitudes físicas de las líneas de transmisión) y de los parámetros del sustrato (grosor y constante dieléctrica) en el cual se imprime el resonador. A continuación se han presentado las especificaciones consideradas del resonador serie; la inductancia y la capacidad del propio resonador y la frecuencia de máxima para la cual va a operar el mismo. Las ecuaciones de diseño se componen de la inductancia y la capacidad del modelo circuital equivalente del SISS. A partir de éstas se observa que se puede dar el caso de que existan múltiples soluciones de los parámetros del SISS para obtener una misma inductancia y capacidad. No obstante, la solución más óptima es aquella que minimiza las longitudes eléctricas de las líneas. De este forma, se mejora la exactitud entre el comportamiento en frecuencia del SISS y el del circuito resonante serie. Para minimizar la longitud eléctrica de la línea capacitiva se debe minimizar su correspondiente impedancia, mientras que para minimizar el tamaño eléctrico de la línea inductiva se debe maximizar su impedancia. Los anteriores requisitos forman las reglas de diseño óptimas. Por tanto, las impedancias de las líneas son los parámetros fundamentales para que las longitudes eléctricas de las líneas del resonador (y por tanto de la longitud total del resonador) sean pequeñas, no la relación entre sus impedancias. Unas determinadas impedancias, que determinan una relación entre impedancias en particular, pueden garantizar que las líneas sean pequeñas. Lo contrario no tiene porque ser cierto; una relación entre impedancias en particular no puede garantizar que las líneas sean pequeñas. Merece la pena mencionar que el principio de minimizar la línea capacitiva y maximizar la inductiva también es un requisito en el del diseño de filtros paso bajo mediante resonadores SIR (Stepped-Impedance Resonators) [1][10]. Para determinar la mínima y máxima impedancia característica, por un lado se diseñan las anchuras de las pistas a la máxima y mínima posibles respectivamente. La mínima anchura posible es una limitación tecnológica, mientras que la máxima dependerá de la frecuencia en caso de que se deseen evitar acoplamientos con resonancias transversales que pueden degradar la respuesta del SISS. Por tanto, desafortunadamente, la impedancia de la línea capacitiva aumenta con la frecuencia. Por otro lado, se requiere de la especificación o del diseño de los parámetros del sustrato, que suponen un claro compromiso entre minimizar la impedancia de la línea 4.11 Conclusiones 61 capacitiva y maximizar la impedancia de la línea inductiva (ambas impedancias no se pueden optimizar simultáneamente). A modo ilustrativo se han considerado cuatro sustratos comerciales con diferentes parámetros, a partir de los cuales se ha realizado la síntesis de los valores mínimos y máximos típicos de las impedancias características en microstrip. Las limitaciones en los valores extremos mínimo y máximo de las impedancias características conllevan limitaciones en la reducción de las longitudes eléctricas. Fijadas las impedancias características de las líneas, las especificaciones de diseño determinaran las longitudes eléctricas necesarias. Para determinadas especificaciones, las longitudes requeridas serán pequeñas, pero para otras serán demasiado grandes como para que el modelo circuital del SISS se pueda considerar válido. Por tanto, en la síntesis de resonadores serie en derivación se tiene una limitación en el rango de valores de la inductancia y la capacidad implementables formado por los valores para los que se requieren longitudes eléctricas pequeñas. Si la frecuencia máxima se describe en términos relativos a la frecuencia de resonancia, tal y como se ha especificado, este rango de valores válidos de la inductancia y la capacidad depende exclusivamente de su cociente (siempre y cuando las impedancias de las líneas se consideran constantes). A raíz de estas limitaciones, se ha presentado un rango analítico de los valores de la inductancia y la capacidad válidos en función de la frecuencia de operación máxima (superior a la frecuencia de resonancia), el grado de exactitud del modelo circuital (que vendrá determinado por el tamaño eléctrico de las líneas), de las características del sustrato (grosor y constante dieléctrica) y de las limitaciones tecnológicas (mínima anchura de pista). La representación de este rango permite conocer de forma visual, rápida y cómoda si es posible la síntesis de un resonador con unas determinadas especificaciones. Para conocer las limitaciones esenciales de la estructura SISS se ha representado este rango bajo diferentes sustratos y frecuencias máximas para unas longitudes eléctricas máxima de π/4 (que en principio deberían de ofrecer un error aceptable). Las limitaciones que se han detectado son las siguientes:  se tiene una importante limitación en la inductancia máxima que se puede implementar mediante una línea inductiva eléctricamente pequeña. Esto se debe no sólo a la pequeña inductancia de una línea de transmisión recta, sino también a la reducción de la misma debido al parásito de la estructura (capacidad introducida por la propia línea inductiva). En general, sólo es posible conseguir valores altos de inductancias si el grosor del sustrato es grande y la constante dieléctrica es pequeña, escenario no muy común. No sólo es difícil obtener valores elevados de inductancia, sino que además en este caso la capacidad parásita no se puede despreciar.  se tiene una limitación sobre la capacidad máxima que se puede implementar mediante líneas eléctricamente pequeñas si se desean evitar acoplamientos con algún modo de resonancia transversal. Tal capacidad depende fuertemente de la 68 5. Validación Tabla Tabla Tabla Tabla 5555....3333 Parámetros del circuito resonante serie equivalente para cada uno de los escenarios considerados Escenario L (nH) I (pF) ^ 3,7 6,9 a 8.5 3 U 1,9 1 3 , 5 b 7,6 3, 3 En cuanto al resonador serie, en el escenario ^ la inductancia y la capacidad equivalentes son a partir de Fig. 4.13 (d) LG3,7nH y IG6,9pF respectivamente. En los escenarios a, U y b se obtienen los valores de la inductancia y la capacidad equivalentes mediante simulación circuital. En el escenario a se obtiene LG8,5 nH y IG3pF, en el U LG1,9nH y IG13,5pF y en el b LG7,6 nH y IG3,3pF. La Tabla 5.3 resume los parámetros del resonador serie para cada escenario. Obviamente, si bien los valores de la inductancia y la capacidad del escenario ^ estan dentro del rango de la Fig. 4.13 (d), los de los escenarios a y U están fuera. Los valores del escenario b no se pueden evaluar en esta figura pues sus impedancias características son diferentes. . 5.2 Escenarios bajo estudio 69 (a) (b) (c) (d) Fig. Fig. Fig. Fig. 5555....4444 Layout de cada uno de los escenarios considerados. (a) escenario ^; (b) escenario a; (c) escenario U; (d) escenario b 70 5. Validación 5.3 5.35.3 5.3 Resultados ResultadosResultados Resultados por simulación por simulaciónpor simulación por simulación En la Fig. 5.5 se representa la amplitud y la fase de los parámetros de reflexión y de transmisión, c ll y c ml respectivamente, obtenidos por simulación circuital (resonador serie) y simulación electromagnética (SISS). Dado que los circuitos considerados son simétricos y recíprocos, c mm Gc ll y c lm Gc ml [10], por lo que la respuesta de tales circuitos está totalmente caracterizada mediante su matriz de parámetros de dispersión. 5.3.1 5.3.15.3.1 5.3.1 Exactitud ExactitudExactitud Exactitud Para comparar la exactitud cuantitativamente entre la respuesta del SISS y la del resonador serie, en la Tabla 5.1 se muestra la diferencia en valor absoluto de los parámetros de reflexión y de transmisión, Îc ll y Îc ml respectivamente, a la frecuencia máxima. Los resultados, tal y como se puede observar, son los esperados: la configuración ^ es la que obtiene mejor exactitud, las configuraciones a y U obtienen una precisión un poco peor y finalmente la configuración b obtiene la peor precisión de todas. Cabe destacar que la respuesta obtenida en el escenario b puede ser excelente en determinadas aplicaciones, ya que la diferencia con su correspondiente resonador serie no es muy significativa El hecho de que el SISS no se comporte exactamente como un resonador serie a medida que aumentan sus longitudes eléctricas se debe a que la inductancia y la capacidad del modelo circuital dependen de la frecuencia. Si las líneas son pequeñas, la dependencia en frecuencia es muy ligera, por lo que es despreciable (de esta suposición se puede establecer el circuito equivalente). Por el contrario, cuando las líneas no son pequeñas, la inductancia y la capacidad no se pueden considerar constantes en frecuencia. A mayor frecuencia, mayor inductancia y capacidad se tiene, lo cual produce un incremento de la reactancia a una determinada frecuencia (siempre y cuando ésta sea inferior a la segunda resonancia del SISS). Por tanto (observar Fig. 5.5 (d)):  a frecuencias inferiores a la frecuencia de resonancia el módulo de la reactancia (que es negativa) disminuye, lo que produce una mayor atenuación en el parámetro c ml  a frecuencias superiores a la frecuencia de resonancia el módulo de la reactancia (que es positiva) aumenta, lo cual produce una menor atenuación sobre el parámetro c ml Aunque en principio la mayor degradación debida a este efecto se produce a la máxima frecuencia, este efecto está presente a cualquier frecuencia (incluso a frecuencias inferiores a la resonancia) en la que las líneas no son pequeñas. En una primera aproximación, una forma simple de modelar el efecto parásito anterior es mediante una capacidad en derivación en paralelo al resonador, lo cual aumenta la reactancia tanto a 5.3 Resultados por simulación 71 (a) Fig. Fig. Fig. Fig. 5555....5555 (1/4) Parámetro de reflexión cll y parámetro de transmisión cml de los SISSs de la Tabla 5.1 (simulación electromagnética) y de los resonadores serie de la Tabla 5.3 (simulación circuital). (a) escenario ^; (b) escenario a; (c) escenario U; (d) escenario b 72 5. Validación (b) Fig. Fig. Fig. Fig. 5555....5555 72/48 Parámetro de reflexión cll y parámetro de transmisión cml de los SISSs de la Tabla 5.1 (simulación electromagnética) y de los resonadores serie de la Tabla 5.3 (simulación circuital). (a) escenario ^; (b) escenario a; (c) escenario U; (d) escenario b 5.3 Resultados por simulación 73 (c) Fig. Fig. Fig. Fig. 5555....5555 (3/4) Parámetro de reflexión cll y parámetro de transmisión cml de los SISSs de la Tabla 5.1 (simulación electromagnética) y de los resonadores serie de la Tabla 5.3 (simulación circuital). (a) escenario ^; (b) escenario a; (c) escenario U; (d) escenario b 74 5. Validación (d) Fig. Fig. Fig. Fig. 5555....5555 (4/4) Parámetro de reflexión cll y parámetro de transmisión cml de los SISSs de la Tabla 5.1 (simulación electromagnética) y de los resonadores serie de la Tabla 5.3 (simulación circuital). (a) escenario ^; (b) escenario a; (c) escenario U; (d) escenario b 5.3 Resultados por simulación 75 frecuencias mayores como a menores que la frecuencia de resonancia. No obstante, modelar este efecto parásito no es alcance del proyecto. 5.3.2 5.3.25.3.2 5.3.2 Re ReRe Resonancia transversal sonancia transversalsonancia transversal sonancia transversal En los resultados se comprueba que el primer modo de resonancia transversal puede existir y se puede acoplar al modo TEM produciendo una degradación de la respuesta. Dicha degradación se produce en un pequeño ancho de banda centrado a la frecuencia de resonancia transversal. En los escenarios ^ y U tal acoplamiento se produce a unas frecuencias cercanas a la teórica (2GHz), exactamente a X ~ G2,28GHz (^) y X ~ G2,15 (U). La discrepancia entre la frecuencia teórica y la que se obtiene se ha analizado mediante simulación electromagnética y se ha observado que la frecuencia de resonancia transversal no depende únicamente de la anchura de la línea, sino también de su longitud. Cuanto menor es la longitud de la línea, mayor frecuencia de resonancia transversal se obtiene (lo que produce que siempre sea superior a la teórica). En la configuración a, por lo que se ha observado, no existe acoplamiento debido a que la anchura es mucho mayor que la longitud. Esto supone una propagación de la corriente en sentido transversal a través de la anchura, no de la longitud. En cuanto al escenario b, la frecuencia de resonancia transversal teórica es de X ~ G14,6GHz, fuera del rango visualizado. Tabla Tabla Tabla Tabla 5 55 5....4 44 4 Exactitud entre las respuestas de la Fig. 5.5 del SISS y del circuito resonante para cada uno de los escenarios. Evaluación a la frecuencia máxima de interés X ¼¬½ G GG G 2GHz Escenario Îc ll (dB) Îc ml (dB) Îc ll (grados) Îc ml (grados) ^ 0,3 0,1 2,1 2,2 a 3 0, 2 5 5 U 0, 1 0,1 3,8 3,8 b 2,7 0,2 5,6 5,7 76 5. Validación 5.4 5.45.4 5.4 Resultados ResultadosResultados Resultados experimentales experimentalesexperimentales experimentales En este apartado se pretende validar experimentalmente que el SISS se comporta como un resonador serie en derivación y que, a menores longitudes eléctricas, mejor es la precisión en esta equivalencia. En los escenarios evaluados mediante simulación electromagnética se obtuvieron pequeñas discrepancias entre la repuesta del SISS y la del correspondiente resonador serie. Parece inviable pues comparar los escenarios anteriores mediante medidas experimentales debido a la baja resolución que una medida conlleva. Por esta razón, en este apartado se consideran dos implementaciones del resonador serie del escenario ^ de la Tabla 5.3. Una de ellas es el anterior layout de la Fig. 5.4 (a) la cual simulará un escenario donde las líneas son pequeñas. La otra configuración consiste en la implementación del mismo resonador serie pero con una anchura de la línea de alta impedancia mayor y una anchura de la línea de baja impedancia menor (Fig. 5.6 (b)), que representará un caso en que las líneas son grandes. Las estructuras anteriores se han simulado mediante Momentum considerando las pérdidas por disipación óhmica en el conductor y las pérdidas en el dieléctrico. La conductividad del cobre es de Ï=5,8·10 7 S/m (a) (b) Fig. Fig. Fig. Fig. 5555....6666 Layout de los SISSs a medir (a) configuración con líneas eléctricamente pequeñas; (b) configuración con líneas eléctricamente grandes 5.4 Resultados experimentales 77 y la tangente de pérdidas del sustrato de ÑG0,0023. Puesto que tales pérdidas producen una variación de la frecuencia de resonancia, se han tenido que reajustar las longitudes de las líneas del layout de la Fig. 5.4 (a) tal como se muestra en la Fig. 5.6 (a). A continuación se han fabricado los circuitos del SISS mediante fresadora con unas líneas host de = k G43mm para poder integrar los conectores (Fig. 5.7). Las longitudes eléctricas del SISS de la Fig. 5.6 (b) son de <= l G129º y <= m G48º. Los resultados de las simulaciones y de las medidas experimentales se muestran en la Fig. 5.8. En ésta se puede observar que tanto en la simulación electromagnética como en las medidas experimentales, la respuesta el layout con longitudes pequeñas es la que más se ajusta a la especificada (sobretodo a altas frecuencias). Por otro lado, los resultados de las medidas son bastantes coherentes con la simulación electromagnética, a excepción de la fase a frecuencias superiores a la resonancia. (a) (b) Fig. Fig. Fig. Fig. 5555....7777 SISS de la Fig. 5.6 fabricados mediante fresadora. Dimensiones no escaldas. (a) configuración con líneas eléctricamente pequeñas; (b) configuración con líneas eléctricamente grandes 84 6. Conclusiones y líneas futuras de trabajo depende exclusivamente de su cociente (siempre y cuando las impedancias de las líneas se consideren constantes). Si bien la condición de resonancia depende de la frecuencia de resonancia, al definir la frecuencia máxima en función de ésta, se puede expresar esta condición en función de la frecuencia máxima de interés. Puesto que en el rango presentado se puede especificar el grado de exactitud, que vendrá determinado por el tamaño eléctrico de las líneas, se tiene un cierto control sobre el nivel de precisión de la respuesta. A medida que las longitudes eléctricas aumentan, la exactitud empeora. Por lo que se ha comprobado, la respuesta del SISS para longitudes menores a π/4 es muy buena, por lo que se comprueba el por qué típicamente se considera que las líneas por debajo de este umbral se consideran pequeñas. Si las longitudes son de π/3, parece que la respuesta es también bastante precisa. Por lo tanto, el umbral máximo de las longitudes eléctricas se debe establecer acorde con la exactitud requerida en función de la aplicación final. Sin embargo, el rango de valores analítico presentado pierde exactitud a medida que las longitudes aumentan. En cuanto a los parámetros del sustrato, éstos juegan un papel determinante sobre el rango de valores de la inductancia y la capacidad válidos, ya que éstos presentan requisitos opuestos (de forma análoga a los requisitos de las impedancias características). Para aumentar el valor de la inductancia se requiere de grosores grandes y constantes dieléctricas pequeñas, mientras que para aumentar la capacidad se requiere de lo contrario. Por tanto, no se pueden conseguir valores altos de inductancia y capacidad simultáneamente con el mismo sustrato. En consecuencia, no existe un sustrato óptimo para la síntesis de SISS sino que éste dependerá de las especificaciones. Por lo que a los valores válidos de la inductancia y la capacidad respecta: dada una frecuencia de resonancia, no se puede conseguir cualquier combinación de valores de inductancia y capacidad debido a las siguientes limitaciones:  se tiene una importante limitación en la inductancia máxima que se puede implementar. Esto se debe no sólo a la pequeña inductancia de una línea de transmisión recta eléctricamente pequeña, sino también a la reducción de la misma debido al efecto parásito de la estructura. En general, sólo es posible conseguir valores altos de inductancias si el grosor del sustrato es grande y la constante dieléctrica es pequeña, escenario no muy común  se tiene una limitación sobre la capacidad máxima que se puede implementar si se desean evitar acoplamientos con el modo de resonancia transversal. La capacidad dependerá de la frecuencia de forma que, a partir de una determinada frecuencia, no se podrá implementar ninguna capacidad especificada (la capacidad implementable será menor) 85  se tiene una limitación en obtener inductancias elevadas con respecto a la capacidad, debido a la presencia de la capacidad parásita, la cual disminuye la inductancia y aumenta la capacidad equivalentes A raíz de la limitación de la capacidad en frecuencia, además, se aparece la siguiente limitación fundamental:  El SISS está limitado en el rango bajo de las microondas (aproximadamente a frecuencias menores que 15GHz) si se desean evitar resonancias transversales En resumen, las anteriores limitaciones son consecuencia de los efectos parásitos (i) y (ii), dada la imposibilidad de implementar un diseño aproximado al ideal. Debido a la presencia de las limitaciones del SISS mencionadas, el rango presentado de las especificaciones válidas será de gran utilidad para el diseño de dispositivos de microondas mediante el uso de SISS. La representación de este rango permite conocer de forma visual, rápida y cómoda si es posible la síntesis de un resonador con unas especificaciones en particular bajo los parámetros de los que depende el rango. Aún con estas limitaciones, el SISS presenta ventajas sobre el resonador stub en circuito abierto convencional, el cual presenta una longitud eléctrica grande y fija (π/28. El comportamiento de este stub , además, sólo es equivalente a un resonador serie con elementos constantes a la frecuencia de resonancia y a frecuencias cercanas a ella. Por tanto, con este stub no es posible modelar un resonador serie a frecuencias lejanas a la frecuencia de resonancia, ni por debajo ni por encima de ésta. Para longitudes eléctricas pequeñas, por ejemplo, tiene un comportamiento totalmente capacitivo (del mismo modo que la línea terminada en abierto del SISS). En cuanto al tamaño físico del SISS, la miniaturización de las longitudes eléctricas del resonador tiene además como ventaja minimizar su longitud física. El SISS bajo estudio, por tanto, permite miniaturizar la longitud total del resonador en comparación con el stub en circuito abierto convencional. Eléctricamente, el circuito abierto y el salto de anchura suponen un alargamiento efectivo de la línea de baja impedancia, efecto que se pronuncia a mayor anchura, menor grosor del sustrato y mayor constante dieléctrica. Por tanto, la miniaturización física de la línea capacitiva no se debe únicamente al aumento de la anchura de la pista, sino también a la capacidad fringing de las discontinuidades. Por lo que a la implementación práctica del SISS respecta, los modelos presentados únicamente contemplan el stub , es decir, que no modelan la línea host cargada con el SISS. Dicha línea no modifica la amplitud pero sí la fase de los parámetros de reflexión y transmisión que caracterizan la red. En consecuencia, si la fase es un parámetro fundamental del circuito (que no ocurre por ejemplo en filtros), se debe modelar el desfase que produce esta línea mediante una línea de transmisión o su modelo circuital equivalente. 86 6. Conclusiones y líneas futuras de trabajo Las conclusiones y resultados mencionados se han corroborado principalmente mediante simulación electromagnética. Se ha realizado también una validación experimental, simplemente para demostrar el comportamiento del SISS y no para validar el grado de exactitud, ya que la resolución en las medidas no es lo suficientemente buena para tal fin. En cuanto a las líneas futuras de trabajo, en primer lugar se propone una serie de análisis para hacer frente a las limitaciones observadas: • analizar con detalle bajo qué circunstancias se pueden despreciar las resonancias transversales, para así hacer frente a la limitación en frecuencia de la capacidad y por tanto de la estructura • modificar la geometría descrita por la línea inductiva (por ejemplo en espiral o en meandro) para poder aumentar la inductancia equivalente. En este caso se debería de adaptar tanto el modelo distribuido como el circuital (para modelar los acoplamientos, por ejemplo) • aplicar una ranura en el plano de masa (Defected Ground Structure, DGS) en la parte de debajo de la línea inductiva. Para esta solución se esperaría un aumento de la inductancia, ya que la imagen del plano de masa en principio se podría despreciar. Dado que la aplicación de una ranura en el plano de masa modifica la distribución de corrientes en éste [13], se podría producir algún efecto indeseado en la respuesta, como por ejemplo la aparición de alguna resonancia • analizar cuál es el modelo circuital del SISS cuando una o las dos líneas que lo componen son eléctricamente grandes, para así quizá poder implementar un mayor rango de inductancias y capacidades (aunque con la presencia de algún parásito) En segundo lugar, se propone la implementación del SISS sobre otra tecnología. En este proyecto se ha analizado el SISS de una forma transparente a la tecnología mediante sus parámetros distribuidos, por lo que las reglas de diseño establecidas son válidas para cualquier tecnología. Por ejemplo, en [14] se detalla una geometría del SISS sobre guía de onda coplanar (Coplanar Waveguide, CPW). En [9], por otra parte, se muestran los valores extremos mínimo y máximo de la impedancia característica en función de la tecnología para un determinado sustrato. De estos valores se podría tener una primera visión de si una determinada tecnología es adecuada para la implementación de SISS. 87 Referencias bibliográficas Referencias bibliográficasReferencias bibliográficas Referencias bibliográficas [1] D. M. Pozar, Microwave Engineering, John Wiley and Sons, 1998 [2] I. Bahl and P. Barthia, Microwave Solid State Circuit Design, John Wiley and Sons, 1988 [3] M. Makimoto and S. Yamashita, “Compact bandpass filters using stepped impedance resonators”, Proc. IEEE, Vol. 67 (1), pp. 16-19, January 1979 [4] M. Makimoto and S. Yamashita, “Bandpass filters using parallel-coupled stripline stepped impedance resonators,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-28, pp. 1413–1417, December 1980 [5] G. Matthaei, L. Young and E.M.T. 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El seu comportament en freqüència és equivalent al d’un ressonador sèrie en derivació sempre i quan les longituds de les seves línies siguin elèctricament petites. Sota aquestes condicions, bàsicament, la línia d’alta impedància sintetitza una inductància, mentre que la línia de baixa impedància una capacitat. La limitació en els valors mínim i màxim de la impedància característica que es poden implementar implica una limitació sobre la inductància i la capacitat que es poden sintetitzar mitjançant el SISS. Resumen: Resumen:Resumen: Resumen: En este proyecto se analizan las limitaciones de la implementación de resonadores serie en derivación en tecnología microstrip mediante un stub en derivación de salto de impedancia (SISS). Dicha estructura está compuesta por una línea de alta impedancia cargada con una línea de baja impedancia terminada en circuito abierto. Su comportamiento en frecuencia es equivalente al de un resonador serie en derivación siempre y cuando las longitudes de sus líneas sean eléctricamente pequeñas. Bajo estas condiciones, básicamente, la línea de alta impedancia sintetiza una inductancia, mientras que la línea de baja impedancia una capacidad. La limitaciones en los valores mínimo y máximo de las impedancias características que se pueden implementar implican una limitación sobre la inductancia y la capacidad que se pueden sintetizar mediante el SISS. Summary: Summary:Summary: Summary: In this project it is analyzed the limitations on the implementation of shunt series resonators in microstrip technology through a stepped-impedance shunt stub (SISS). Such structure is composed of a high impedance line loaded with a low impedance open-ended line. Its frequency behaviour is equivalent to that of a shunt series resonator provided that the lengths of its lines are electrically small. Under these conditions, basically, the high impedance line synthesizes an inductance, whereas the low impedance line a capacitance. The limitations on the minimum and maximum values of the implementable characteristic impedances imply a limitation on the inductance and capacitance that can be synthesized by means of the SISS.