Anàlisi i disseny d'un reflector per banda W

Projecte Fi de Carrera Enginyeria de Telecomunicació _____________________________________________________________________________ Anàlisi i Disseny d'un reflector per banda W Meritxell Riera Soriano _____________________________________________________________________________ Director: Josep Parrón Granados Departament de Telecomunicació i d’Enginyeria de Sistemes Escola d’Enginyeria Universitat Autònoma de Barcelona (UAB) Setembre 2010 El sotasignant, Josep Parron Granados, Professor de l’Escola d’Enginyeria de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB), CERTIFICA: Que el projecte presentat en aquesta memòria de Projecte Fi de Carrera ha estat realitzat sota la seva direcció per l’alumna Meritxell Riera Soriano. I, perquè consti a tots els efectes, signa el present certificat. Bellaterra, 9 de setembre del 2010 Signatura: Josep Parrón Granados ÍNDEX INTRODUCCIÓ .................................................................................................. 1 CAPÍTOL 1. CONCEPTES PREVIS .................................................................. 5 1.1 Paràmetres d’antena ......................................................................................................... 5 1.1.1 Intensitat de radiació .............................................................................................. 5 1.1.2 Diagrama de radiació ............................................................................................. 7 1.1.3 Directivitat ............................................................................................................... 8 1.1.4 Polarització ............................................................................................................. 9 1.1.5 Centre de fase ...................................................................................................... 10 1.1.6 Alimentador: Feix gaussià .................................................................................... 10 1.1.7 Reflector parabòlic ................................................................................................ 12 1.1.8 Decaïment a les vores .......................................................................................... 13 1.2 Figures de mèrit ............................................................................................................... 14 1.2.1 Eficiència de desbordament ................................................................................. 14 1.2.2 Eficiència de polarització ...................................................................................... 15 1.2.3 Eficiència d’il·luminació ........................................................................................ 16 1.3 Resolució angular............................................................................................................ 17 1.4 Eines de simulació: FEKO .............................................................................................. 17 CAPÍTOL 2. ANTENA PARABÒLICA SIMÈTRICA ........................................ 21 2.1 Disseny parabòlica simètrica ......................................................................................... 21 2.1.1 Alimentador........................................................................................................... 21 2.1.2 Disseny del reflector ............................................................................................. 26 2.1.3 Eficiència de desbordament ................................................................................. 26 2.1.4 Eficiència d’il·luminació ........................................................................................ 27 2.1.5 Eficiència de polarització ...................................................................................... 28 2.1.6 Distància focal ...................................................................................................... 30 2.2 Directivitat i resolució angular ....................................................................................... 31 2.3 Bloqueig ........................................................................................................................... 32 2.4 Desplaçament del focus ................................................................................................. 32 2.4.1 Desplaçament sobre l’eix de la parabòlica ........................................................... 32 2.4.2 Desplaçament perpendicular a l’eix de la parabòlica ........................................... 34 2.4.3 Aberracions desplaçament perpendicular a l’eix .................................................. 45 2.5 Conclusions de disseny ................................................................................................. 49 CAPÍTOL 3. ANTENA PARABÒLICA OFFSET .............................................. 50 3.1 Disseny de la parabòlica offset ...................................................................................... 50 3.2 Figures de mèrit ............................................................................................................... 53 3.2.1 Eficiències d’il·luminació i polarització ................................................................. 53 3.2.2 Eficiència de desbordament ................................................................................. 55 3.3 Directivitat ........................................................................................................................ 57 3.4 Desplaçament de l’alimentador ...................................................................................... 58 3.4.1 Figures de mèrit .................................................................................................... 59 3.4.2 Directivitats ........................................................................................................... 61 3.5 Moviment del sistema per escanejar la imatge ............................................................ 62 3.6 Conclusions del disseny en offset ................................................................................ 62 CAPÍTOL 4. ANTENA PARABÒLICA CASSEGRAIN .................................... 64 4.1 Disseny d’una antena Cassegrain ................................................................................. 64 4.2 Figures de mèrit ............................................................................................................... 71 4.3 Directivitat ........................................................................................................................ 72 4.4 Desplaçament del focus perpendicular a l’eix de la parabòlica ................................. 73 4.5 Moviment del reflector parabòlic ................................................................................... 74 4.6 Conclusions de la parabòlica Cassegrain .................................................................... 76 CONCLUSIONS ............................................................................................... 77 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 79 ANNEXOS........................................................................................................ 80 Annex A. Codis per calcular les eficiències ........................................................................... 81 Annex B. Codi per Dissenyar una antena Cassegrain .......................................................... 83 Introducció 1 INTRODUCCIÓ Les ones electromagnètiques que es troben a freqüències de entre 30 i 300 GHz, anomenades mil·limètriques ja que les seves longituds d’ona estan entre 10 i 1 mm respectivament, són de gran interès degut al seu potencial per a la formació d’imatges a partir de la radiació procedent dels objectes. Això fa que només sigui necessari un receptor que recull la radiació tèrmica dels objectes i a més, a diferència dels radars, permet determinar la temperatura física i les característiques d’aquests [1]. Parlem llavors d’ones passives mil·limètriques (Passive Millimetre Waves, PMMW) Aquest interès és degut principalment a l’habilitat de poder formar imatges durant el dia, la nit i amb condicions de poca visibilitat, ja que les PMMW poden propagar-se a través de la boira, el fum, els núvols i materials sòlids com el gel, el formigó o la roba, a diferència dels infrarojos o el rang visible [2]. El motiu d’aquesta propagació és l’atenuació atmosfèrica dins d’aquest rang de freqüències. En aquest règim, es troben tres finestres de propagació on l’atenuació és més baixa. Aquestes són als 35, 94, 140 i 220 GHz [2]. Ens interessa treballar a freqüències elevades ja que, tal i com es veurà, a més freqüència més resolució tindrem a l’hora de reproduir una imatge. Per contra, les tecnologies que treballen a les freqüències superiors a 94 GHz encara són molt noves i per tant són cares, el que fa que en la majoria dels casos per aquest tipus d’aplicació s’utilitzi la freqüència de 94 GHz. 2 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Són vàries les aplicacions que se li donen a aquests sistemes d’imatge [2]: • Aterratge i orientació d’avions: donant autonomia tant a helicòpters com a avions, en condicions de boira o fum. (a) (b) (c) (d) Fig.1. Pista d’aterratge (a) en el rang visible un dia clar (b) en el rang visible un dia amb boira (c) amb PMMW un dia clar (d) amb PMMW un dia amb boira [2] • Navegació en condicions de baixa visibilitat i localització de vaixells. • Vigilància de ports i molls, monitorant el seu tràfic. (a) (b) Fig.2. Imatges en el rang (a) visible i (b) PMMW d’una Zodiac i la seva estela [2] • Cerca i salvament • Navegació per terra, permetent als vehicles blindats moure’s a través de la boira, el fum i inclús tempestes de sorra • Detecció de vessaments de petroli a la mar. • Detecció d’armes ocultes en persones. Introducció 3 Fig. 2. Imatges amb llum visible (fila superior) i les seves corresponents imatges amb PMMW (segona fila) amb la jaqueta posada [2] Els sistemes d’imatge amb PMMW encara estan en una etapa de desenvolupament i es troba poca literatura referent a aquest tema. Com s’observa a les imatges, les resolucions encara són baixes. Això és degut, tal i com es veurà, a que les longituds d’ona no són prou petites i els reflectors no es poden fer excessivament grans ja que el sistema no seria portable. Un altre inconvenient són les taxes de vídeo, ja que aquestes també són baixes. Cada fotograma està composat per un conjunt de píxels. El feix principal de l’antena capta la radiació que emet una certa regió de l’escena de la qual volem treure un fotograma. Aquesta regió serà un píxel. Per tant, per fer un cert fotograma haurem de recórrer tota l’escena, amb el que aquest temps ens limitarà la taxa de vídeo. L’objectiu d’aquest treball és dissenyar una antena per a aquest tipus d’aplicació a una freqüència de treball de 94 GHz. El reflector de la nostra antena tindrà un diàmetre de D = 20 cm ja que volem que sigui lleuger i que no ocupi molt espai per a que sigui portable. S’estudiaran i es dissenyaran tres tipus d’antenes parabòliques de les quals es buscarà que ens ofereixin una bona resolució, es veurà que això es tradueix en que siguin el més directives possibles, i que ens permetin recórrer una escena d’una forma ràpida. Es començarà el treball explicant els conceptes previs dels que partim per poder començar a dissenyar les antenes parabòliques. 10 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W 1.1.5 Centre de fase A l’observar a gran distancia una antena, es veuria la seva radiació com si provingués d’un punt, és a dir, els fronts d’ona serien esfèrics. A aquest punt, centre de curvatura de les superfícies de fase constant, se li denomina el centre de fase de l’antena [3]. És important que el centre de fase de l’alimentador que farem servir amb el reflector es trobi en el focus del mateix. Normalment, els alimentadors que s’utilitzen per als reflectors parabòlics són botzines còniques. Haurem de tenir en compte que el centre de fase d’aquestes botzines no es troba a l’obertura, sinó que està més endins. El fet de no situar bé el centre de fase del nostre reflector suposaria, tal i com es veurà, que la nostra antena estigués desenfocada. 1.1.6 Alimentador: Feix gaussià L’alimentador és la font que radia cap al reflector parabòlic i es situa en el seu focus. L’alimentador ideal (per a un reflector parabòlic) seria aquell que produís una distribució dels camps a la boca del reflector que siguin el més constants possibles en amplitud i fase i que no radiïn fora del sector angular cobert pel reflector. Les expressions dels camps radiats es poden interpretar com transformades de Fourier bidimensionals de la distribució dels camps a l’obertura [3]. Per tant, quant més uniforme siguin els camps, més directivitat obtindrem. Un anàlisi òptic permet obtenir que, pel cas d’un reflector amb simetria de revolució, la distribució d’amplitud hauria de ser la funció de Airy (que no es més que la transformada de Fourier d’una distribució circular uniforme) [3]. Malauradament, no existeixen alimentadors que produeixin aquesta distribució dels camps, per tant, s’ha de tendir a alimentadors que proporcionin una distribució semblant a la funció de Airy. La majoria d’antenes parabòliques tenen com a alimentador una botzina cònica. Aquest tipus de botzina tenen uns camps a l’obertura que es podrien modelar amb una distribució Gaussiana amb simetria de revolució i amb polarització lineal. En aquest projecte no es treballarà en dissenyar la botzina. Aquesta la substituirem, servint-nos del principi d’unicitat i equivalència [3], per un pla que contindrà els camps que hauria de tenir en el seu centre de fase ja que tal i com es veurà en l’apartat 1.4 , ens reduirà molt el temps de simulació. Per modelar la distribució gaussiana d’aquest pla, ens servim de les equacions del feix Gaussià [4]. Aquestes ens modelen matemàticament la distribució del Conceptes previs 11 camp elèctric tant al seu centre de fases com al llarg de la propagació d’aquest per l’espai. Obtenim: 0.5 22 2 2 0 0 22 2 (,,) 22 y x xy x y xy jy jx x y jx jy E x y z exp ww R R ww φ φ ππ π λλ   = −−− − + +       (1.7) On wx i wy són el ‘waist’ que és l’amplada del feix a una caiguda 1/e segons x i y respectivament. Com volem que el nostre feix tingui simetria de revolució wx=wy. També dir que Rx i Ry són el radi de curvatura del front d’ona de fase constant respecte al centre de fase Fig. 1.5 Esquema de la propagació del feix gaussià mostrant les superfícies de fase constant (línies discontínues), el radi i el waist del feix [4]. En el nostre cas, només ens interessa el camp a l'origen, és a dir, al centre de fase, per tant Rx i Ry seran infinit, ja que a l'origen la fase serà constant. A l'origen 0x φ i 0y φ seran zero ja que van en funció de la distància [4]. Per tant ens queda que el camp a la boca serà: 0.5 22 2 22 2 xxy E exp w ww π   = −−     (1.8) On w com hem dit és el waist i x i y els punts del pla on definirem la distribució 12 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Per tant, tenint en compte que la nostra ona es propaga en la direcció z, el camp magnètic serà: yE H= η    x (1.9) 1.1.7 Reflector parabòlic Com s’explicarà més endavant, ens interessa obtenir directivitats elevades per obtenir una bona resolució. Una configuració que permet obtenir directivitats elevades utilitza un reflector parabòlic com a superfície reflectant. El principi del seu funcionament, heretat de l’òptica, consisteix en focalitzar la potència incident en el reflector sobre una font primària situada al seu focus: Fig. 1.6 Esquema reflector parabòlic La forma del reflector ve donada per l’equació de la paràbola: 24( )y ff z= − (1.10) On f és la distància focal mostrada a la figura 1.6. Com treballarem a una freqüència de 94 GHz (λ=3.2mm) el radi de curvatura de la superfície parabòlica serà molt més gran que la nostra longitud d’ona amb el que podem dir que el nostre reflector serà localment pla. Això permet utilitzar Conceptes previs 13 les propietats de l’òptica geomètrica i el raig (ona) FP de la figura 1.6 es reflexa segons la llei de Snell paral·lel a l’eix z. Per qualsevol punt P de la parabòlica tindrem igualtat de camins FPA, amb el que la fase a l’obertura serà constant [3], que com s’ha comentat en l’apartat anterior això ens interessa per tal de que l’antena sigui directiva. 1.1.8 Decaïment a les vores El camp a l’obertura del reflector és el següent [3]:  (' ) max ( ', ') 4' jk r PA r ai f Pe E Dt e r η θφ π −+ =  (1.11) On Pr és la potencia radiada per l’alimentador, Dmax és la directivitat màxima de l’alimentador, tf( θ,φ) el diagrama de radiació de l’alimentador i r’ i PA les de la figura 1.6. Si mirem el camp a l’obertura, tal i com s’ha comentat, la fase (r’+PA) és constant per la igualtat de camins FPA. En canvi, l’amplitud dels camps a l’obertura no és uniforme degut a dos causes: 1) La dependència amb 1/r’ degut a que el camp cau com el d’una ona esfèrica fins a incidir al reflector. La propagació com a ona plana fins a l’obertura és una aproximació que deixaria de ser vàlida si pretenem calcular el camp a un pla allunyat de la boca del reflector. Amb aquesta suposició la relació de densitats de potència per un angle θ respecte a l’eix del paraboloide (θ=0) s’obté utilitzant l’equació de la paràbola en coordenades esfèriques [3]: 24 2cos '2 f r θ = (1.12) On f i r’ són les de la figura 1.6. 2) La direccionalitat del diagrama de radiació de l’alimentador. La superposició de les dues contribucions suposa una variació de l’amplitud en funció dels angles θ i φ , sota els que es veuen els punts del reflector des del focus donat per 14 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W 12 ( ', ') 40log cos 10log( ( ', ')) 2 f t θ τθφ τ τ θφ  =+= +   (1.13) On τ1 i τ2 són les de la figura 1.7 i tf(θ’,φ’) el diagrama de radiació de la botzina. En el nostre cas, com tindrem simetria de revolució, podem definir el decaïment a les vores (figura 1.7): ( ) 40log cos 10log( ( )) 2 f t β τβ β  = +   (1.14) On β, tal i com mostra la figura 1.7, és l’angle amb el que l’alimentador veu la vora del reflector. Fig. 1.7 Distribució dels camps a l’obertura del reflector 1.2 Figures de mèrit En aquest apartat s’explicaran les principals figures de mèrit que s’estudiaran per a cadascuna de les antenes que es dissenyaran. Aquestes ens ajudaran a dissenyar les antenes i validar els resultats de les nostres simulacions. 1.2.1 Eficiència de desbordament L’eficiència de desbordament és la que ens dóna una idea de quin percentatge de la potència radiada (Pr) per l’alimentador, és interceptada pel reflector (Pa): Conceptes previs 15 Fig. 1.8 Potència interceptada en un reflector parabòlic Com més directiva sigui la nostra botzina i com més a prop estigui la botzina del reflector (angle 2β més gran), més alta serà l’eficiència de desbordament ja que la gran majoria de potència radiada incidirà al reflector i no fora d’ell. Per tant, podríem reescriure la fórmula de la directivitat com [3]: 22 max max 44 as ar a rP r DPP P ππ η ℘℘ = = (1.15) On Pa/Pr serà l’eficiència de desbordament ηs. Calcularem Pa i Pr amb el diagrama de radiació de directivitat de la botzina [3]: 2π f s β 00 2ππ 00f D(θ , ')sin(θ )dθ d ' η= D(θ , ')sin(θ )dθ d ' φφ φφ ′ ′′ ′ ′′ ∫∫ ∫∫ (1.16) 1.2.2 Eficiència de polarització Tal i com hem comentat, la polarització del nostre camp serà lineal. El camp el podem separar en dos components, la component copolar, que és la component principal i coincideix amb la de l’alimentador i la component crosspolar, que serà la component ortogonal a la principal, creada per la reflexió en el reflector. Mirarem els camps a l’obertura del reflector per mirar com de constants seran aquests. 16 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W L’eficiència de polarització serà, per tant, el quocient entre la component copolar i el camp total (copolar més crosspolar). Quan més gran sigui la component crosspolar, més petita serà aquesta eficiència. Afegint aquesta eficiència, reescrivim la directivitat [3]: 22 max max 44 co s xs co a co rP r DPP P ππ η ηη ℘℘ = = (1.17) On Pco/Pa és l’eficiència de polarització ηx. La calcularem a través de la següent expressió [3] ( ) 2 22 00 2 222 00 (,) Da co xDa co cx E dd E E dd π π ρφ ρ ρ φ η ρρφ = + ∫∫ ∫∫ (1.18) On Eco és la component copolar del camp elèctric i Ecx la crosspolar 1.2.3 Eficiència d’il·luminació L’eficiència d’il·luminació és la que ens diu com d’uniforme són l’amplitud i la fase a l’obertura del reflector. Està relacionada amb el decaïment a les vores, ja que com més decaïment tinguem, més diferència de camp entre el centre de la parabòlica i les vores, per tant l’eficiència d’il·luminació serà més petita. Si modelem la boca del reflector com una obertura, podem escriure la directivitat en funció de l’eficiència d’il·luminació (ηil) com [3]: 2 4geom il x s DA πηηη λ = (1.19) Aquesta la calcularem amb la següent expressió [3] Conceptes previs 17 2 22 00 22 22 00 (,) 1 (,) 2 a a D co il D a co E dd DE dd π π ρφρ ρ φ η πρφ ρ ρ φ =    ∫∫ ∫∫ (1.20) On Da és el diàmetre del reflector. 1.3 Resolució angular Tal i com s’ha comentat a la introducció, un dels aspectes a seguir en aquest projecte és tenir una bona resolució de les nostres imatges. Les imatges es divideixen en píxels. La dimensió de cada píxel dependrà de la distància a la que estiguem separats de l’antena i la resolució angular. La resolució angular d’una antena parabòlica depèn de la mida de l’obertura del reflector i està caracteritzada pel HPBW. Representa l’angle pel qual la directivitat cau 3 dB. Per una antena parabòlica simètrica es pot calcular com [1]: 2 22 14 [] Ms il x m HPBW rad D λ ηηη π ≈Ω = (1.21) On Dm és el diàmetre de l’obertura de l’antena, ηs és l’eficiència de desbordament , ηil la d’il·luminació i ηx la de polarització i tal i com s’ha vist, en el millor dels casos seran 1. En el nostre cas, com tenim una longitud d’ona de 3,2 mm i un diàmetre de 20 cm en el millor dels casos tindrem una resolució angular de θ = 1.03º que anirà augmentant en la mesura que les diferents eficiències no siguin del 100%. És per aquest motiu que ens interessen directivitats elevades, ja que com més directiva sigui la nostra antena, l’ample de feix a -3dB serà més petit i per tant tindrem una resolució angular més petita. 1.4 Eines de simulació: FEKO En aquest projecte, tal i com s’ha explicat, es tractarà de dissenyar varis tipus d’antenes parabòliques que treballin a 94GHz. 18 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W D’aquestes, voldrem estudiar i comparar les seves directivitats, diagrames de radiació, calcular eficiències, etc... Per obtenir precisió en el càlcul del diagrama de radiació normalment el mètode d’anàlisi electromagnètic que s’utilitza és el de les corrents induïdes (també anomenat òptica física). Aquest principi d’anàlisi és complex i consisteix en calcular les corrents induïdes sobre la superfície del reflector per, a partir d’elles, calcular directament els camps radiats, integrant la contribució de totes les corrents induïdes sobre la superfície del reflector [3]. Per tant, busquem un programa que compleixi aquests requisits amb el que decidim utilitzar Feko [5]. Fig. 1.9 Mètodes del Feko segons la complexitat i la longitud d’ona [5] Feko és un software d’anàlisi que permet resoldre una àmplia gama de problemes electromagnètics. Dins d’aquests, es troben els referents a antenes reflectores. Com es mostra a la figura 1.9, aquest programa ofereix vàries tècniques d’anàlisi numèric (teoria uniforme de la difracció, òptica geomètrica, òptica física, etc...): Conceptes previs 19 Tal i com hem comentat, en el nostre cas ens interessa utilitzar l’òptica física per l’anàlisi electromagnètic del reflector i, tal i com es mostra a la figura 1.9, Feko és el que proposa per simular reflectors parabòlics. Mirant la documentació del Feko, trobem un exemple on es simula un reflector amb una botzina cònica a 12.5GHz. Veiem que hi ha vàries formes de fer les simulacions [6]: - Botzina amb mètode dels moments (MoM) i reflector amb física òptica (PO). - Utilitzar una superfície amb el camp proper com a font equivalent i reflector amb física òptica. Servint-se del principi d’equivalència, una regió pot ser reemplaçada pel seu camp elèctric i magnètic equivalent. - Utilitzar el diagrama de radiació de la botzina com a font i PO per al reflector, sempre i quan tinguem el nostre reflector en el camp llunyà (regió de Fraunhofer [3]) de la nostra botzina. En l’exemple es mostra una taula (1.1) amb els recursos de màquina que es necessiten i el temps que triguen les simulacions: Taula 1.1 Temps de simulació i RAM segons el mètode Model RAM Temps [s] Temps total[s] MoM+PO 189.706Mb 1946.77 1946.77 Càlcul obertura botzina 144.63Mb 76.41 Font obertura+PO 55.483Mb 982.375 1058.785 Càlcul diagrama radiació botzina 144.63Mb 76.41 Font esfèrica+PO 53.803 666.9 743.31 A la figura 1.10 es veuen les directivitats que s’obtenen en les simulacions de l’exemple amb cada mètode: 26 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W 2.1.2 Disseny del reflector Per dissenyar un reflector parabòlic amb Feko, li hem de passar dos paràmetres, el radi del reflector i la distància focal. El radi és una de les especificacions que se’ns dóna i és de 10 cm. Per saber quina serà la distància focal òptima fem un estudi amb les figures de mèrit i triarem la distancia focal de la que s’obtinguin millors resultats. 2.1.3 Eficiència de desbordament Tal i com s’ha vist, l’eficiència de desbordament dependrà de l’angle β i del diagrama de radiació de la nostra botzina. Aquest angle β va relacionat amb la distància focal i el diàmetre: a f1 =β D4tg 2    (2.3) Per tant, el que farem és calcular l’eficiència de desbordament per a diferents angles β, per després comparar amb les altres eficiències (d’il·luminació i polarització). Tal i com s’ha vist, amb Feko podem obtenir el diagrama de radiació de l’alimentador. També hi ha una opció que permet exportar els resultats a un arxiu *.ffe. Aquest arxiu conté els valors dels camps radiats i de la directivitat en funció dels angles θ i φ. Com el que tindrem és un número finit de punts del diagrama de la botzina, calcularem l’eficiència canviant les integrals per sumatoris: β 2 00 2 f 0f 0 θ' ' θ' ' D(θ , ')sin(θ ) D(θ , ')sin(θ ) s π ππ φφ φ η φ ∆∆ = ∆ ′′ ′∆ ′ ∑∑ ∑∑ (2.4) Realitzem aquest càlcul amb un programa fet amb Matlab on θ ∆ i φ ∆ són els increments dels angles entre mostres del camp llunyà. Al Feko li hem indicat que ens ho calculi amb increments de 0.5º en els dos angles. En la figura 2.6 es troben representats els resultats. Antena parabòlica simètrica 27 Fig. 2.6 Eficiència de desbordament en funció de l’angle β A la figura 2.6 veiem que amb β=20º l’eficiència de desbordament ja és pràcticament 1. 2.1.4 Eficiència d’il·luminació Tal i com s’explica en l’apartat 1.2.2, per calcular l’eficiència d’il·luminació, haurem d’obtenir els camps a la boca del nostre reflector. Es realitzaran tantes parabòliques com valors de β vulguem provar, ja que per a cada β tindrem una distància foca l diferent i per tant, una forma diferent del nostre plat. A cada parabòlica calcularem el camp proper en el pla de la boca del reflector, exportant els arxius *.hfe i *.efe que contenen el camp elèctric i el camp magnètic d’aquest pla els quals utilitzarem per calcular amb el Matlab l’eficiència d’il·luminació. Per fer-ho, tornem a canviar integrals per sumatoris: 2 22 00 2222 00 (,) 1 (,) 2 a a D co il D a co E DE π π ρφρρφ η πρφ ρρφ ∆∆ =  ∆∆  ∑∑ ∑∑ (2.5) 28 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W ρφ (,) co E és la component copolar del camp i serà, pel nostre cas, la component Ex, ja que la nostra botzina la hem dissenyat linealment polaritzada en aquesta direcció. Per poder situar una superfície circular a la boca del reflector al Feko ho hem de fer en coordenades cilíndriques. Llavors, per calcular aquesta eficiència, haurem de fer el canvi de coordenades de cilíndriques a cartesianes tal i com es mostra a l’expressió (2.5) cos( ) sin( ) x EE E ρφ φφ = − (2.6) Fig. 2.7 Eficiència d’il·luminació en funció de l’angle β Tal i com veiem a la figura 2.7, a partir de β = 10º l’eficiència d’il·luminació comença a disminuir. Com esperàvem, a mesura que l’alimentador s’apropa al plat (β més gran), més petita és la distància focal i, per tant, el decaïment a les vores és més gran, fent que l’eficiència d’il·luminació decreixi. 2.1.5 Eficiència de polarització Per calcular l’eficiència de polarització, haurem d’obtenir els camps copolar i crosspolar a l’obertura del nostre reflector. Antena parabòlica simètrica 29 El procediment és similar al de calcular l’eficiència d’il·luminació, és a dir, llegint el fitxer *.efe que ens retorna el feko quan li demanem que ens calculi el camp proper a la boca del reflector. L’expressió per calcular-la serà la següent: ( ) 2 22 00 2 222 00 (,) Da co xDa co cx E EE π π ρφ ρρφ η ρρφ ∆∆ = + ∆∆ ∑∑ ∑∑ (2.7) Eco ,tal i com hem comentat a l’eficiència d’il·luminació és la component copolar i serà Ex. Ecx és la component crosspolar i serà la que inclou les altres dues components, Ey i Ez. Tal i com s’ha comentat, l’arxiu *.efe ens retorna el camp en coordenades cilíndriques, amb el que haurem de passar-lo a cartesianes: sin( ) cos( ) y EE E ρφ φφ = + (2.8) zz EE= (2.9) Un cop calculades les eficiències de polarització de les diferents parabòliques obtenim la següent gràfica en funció de l’angle β: Fig. 2.8 Eficiència polarització en funció de β 30 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Com era d’esperar, l’eficiència de polarització és elevada per totes les β ja que, tal i com hem comentat en l’apartat 1.1.7, el nostre reflector és localment pla i per tant les components creuades seran molt baixes. 2.1.6 Distància focal Un cop hem analitzat les diferents eficiències, multiplicant-les trobem per a quina β obtenim una eficiència total més alta. Aquesta eficiència total la veiem representada a la figura 2.9. Fig.2.9 Eficiència total en funció de β Veiem a la figura 2.9. que l’eficiència més elevada (de 0.79) l’obtenim per una β de 12,5º. Així doncs, sabent que β=12,5º podem calcular la distància focal: 0.4565 12.5 42 a D fm tg = = °    (2.10) On Da es el diàmetre del reflector i té un valor de 20 cm. Veiem que la distància focal que ens resulta és bastant elevada. Tot i així, fent el mateix procediment 0 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 X: 12.5 Y: 0.7932 β en º eficiència total Antena parabòlica simètrica 31 utilitzant l’alimentador amb el waist inicial que es va provar de 10 mm, s’obté una distància focal òptima de 0.88 m. Per tant, és important de cara a reduir les dimensions de la nostra antena triar l’alimentador adequat. 2.2 Directivitat i resolució angular Un cop obtingut el disseny de l’antena, la simulem amb Feko i obtenim una directivitat de 44,93 dB. Per validar aquest resultat realitzem el càlcul teòric de la directivitat segons les eficiències que hem obtingut: 2 430580 44,85 ap il x s D A dB πηηη λ = = ⇒ (2.11) Per tant, veiem que el càlcul teòric és molt similar a l’obtingut amb Feko. Mirem llavors la resolució angular, amb el diagrama de radiació de la directivitat a una caiguda a 3 dB. A la figura 2.10 veiem aproximadament que la resolució angular obtinguda és de 1,06º, per tant, veiem que és important mantenir la directivitat el més elevada possible per no empitjorar-la. Fig.2.10 Diagrama de radiació de la directivitat de la parabòlica simètrica 32 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W 2.3 Bloqueig A l’apartat anterior s’ha calculat la directivitat de la parabòlica teòricament segons les eficiències i la resultant de simular-la amb Feko. A aquestes, li haurem de restar el bloqueig que suposa el tenir l’alimentador al davant. Aquest bloqueig el Feko no el té en compte ja que com a font hem posat el pla amb els camps que tindria una botzina a la seva obertura. El bloqueig el podem calcular amb la següent expressió [3]: 2 20log 1 2 b a D DD    ∆= −    (2.12) On Db és el diàmetre de l’obertura de l’alimentador i Da el diàmetre del reflector. Calculant el diàmetre Db que hauria de tenir el nostre alimentador segons l’expressió 2.2, obtenim que la pèrdua de directivitat pel bloqueig que li suposaria l’alimentador és de 0.1 dB. 2.4 Desplaçament del focus A continuació s’estudien els efectes de desplaçar el focus, tant sobre l’eix del reflector, com perpendicularment a aquest. El motiu de fer aquest estudi es fa ja que una forma més ràpida de captar la imatge seria, en comptes de posar un sol alimentador, posar-ne varis, de manera que per a cada moviment del sistema tindríem tants píxels com fonts. 2.4.1 Desplaçament sobre l’eix de la parabòlica A continuació estudiem els efectes de tenir la parabòlica desenfocada, és a dir, que l’alimentador està desplaçat sobre l’eix del reflector a certa distància del focus. És important saber com ens afecta el desenfocat ja que normalment és complicat determinar on es troba el centre de fases del nostre alimentador i per tant, en la majoria dels casos estarà desenfocada. També, ens interessa saber els efectes d’aquest desenfocat ja que tal i com es veurà, per reduir l’astigmatisme, ens interessa desenfocar una mica la nostra antena. Per tant, també és interessant saber si el nostre disseny és molt o poc susceptible a aquesta desviació del centre de fases. Antena parabòlica simètrica 33 En les simulacions mourem la nostra font allunyant-la i apropant-la del reflector 2 cm respecte al focus. Trobarem com ens afecta això a les eficiències repercutint a la directivitat i al nostre diagrama de radiació. Per calcular l’eficiència de desbordament, el que hem fet anteriorment és calcular el diagrama de radiació del nostre alimentador en 3 dimensions amb una resolució de 0.5º en φ i en θ . En aquest cas moure la font 2 cm enrera i 2 cm davant, ens suposa anar d’una β=11,98º a una β=13,06º, amb el que una resolució de 0.5º és molt gran. Com que el diagrama de la nostra botzina té simetria de revolució, calculem el diagrama de radiació de la botzina per a φ = 0º i amb un increment de θ = 0.01º per calcular l’eficiència de desbordament amb una major resolució. El càlcul de les altres eficiències el realitzem de la mateixa manera que ho hem fet per quan la botzina es trobava al seu focus. A la figura 2.11 veiem les eficiències en funció del desplaçament sobre l’eix del reflector. Els valors negatius els prenem per indicar quan allunyem l’alimentador del reflector i els positius quan l’apropem. Fig.2.11 Eficiències segons desplacem la botzina per l’eix de la parabòlica S’observa que desplaçant fins a 2cm la font, l’eficiència total empitjora bastant poc. Com més pla sigui el nostre reflector, és a dir, una relació f/D (distància focal/Diàmetre reflector) més gran, menys es notaran els efectes de desplaçar la botzina sobre l’eix del reflector. -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 00.005 0.01 0.015 0.02 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 desplaçament eix parabòlica eficiències desbordament il·luminació polarització total 34 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Observem que a mesura que ens allunyem del reflector, l’eficiència d’iluminació disminueix, el que ens podria resultar estrany ja que a mesura que ens allunyem l’amplitud del camp a l’obertura és més constant. El motiu és que quan ens desplacem la fase a l’obertura ja no és constant (ja no es compleix la igualtat de camins FPA que s’ha explicat en l’apartat 1.1.7) i aquesta és pitjor que la millora en l’amplitud. Si ens fixem veiem que l’eficiència d’iluminació cau més ràpid quan ens apropem que quan ens allunyem, degut a aquest motiu. A la figura 2.12 es mostren els diagrames de radiació de l’antena amb el centre de fase de l’alimentador al seu focus i desplaçat 2 cm endavant i enrera. S’observa que la directivitat màxima varia molt poc, pel cas de allunyar la font 2 cm tenim una directivitat de 44,58 dB i quan l’apropem tenim 44,67 dB. Per contra, veiem que el nivell dels primers mínims ha augmentat. Fig.2.12 Diagrama radiació directivitat de la parabòlica amb la font al focus i desplaçada 2 cm endavant i enrere sobre l’eix del reflector 2.4.2 Desplaçament perpendicular a l’eix de la parabòlica A continuació, estudiarem els efectes de desplaçar el focus de la parabòlica perpendicularment a l’eix de simetria. Veiem que fent aquest desplaçament, el que succeeix és que el nostre feix principal es desvia un cert angle θM respecte l’eix del reflector, tal i com es mostra a la figura 2.13. Per tant, podem aprofitar aquest moviment del feix principal, per fer un escaneig de la imatge d’una -6 -4 -2 0246 -10 0 10 20 30 40 θ en º Directivitat en dB font 2 cm endavant font al focus font 2 cm enrera Antena parabòlica simètrica 35 forma més ràpida ja que podríem posar varis alimentadors que enfocarien alhora a varis punts de l’escena que volem captar. Fig. 2.13 Desviació θM del feix segons desplacem l’alimentador A continuació quantifiquem quant se’ns mou el feix principal segons desplacem la font perpendicular a l’eix del reflector. Quan tenim l'alimentador de la parabòlica al focus, tots els punts a l'obertura d'aquesta estan en fase. En canvi, si desplacem el focus com hem dit, la part superior de la parabòlica rebrà el senyal abans que la part inferior amb el que es produirà un desfasament que es pot considerar lineal tal i com es veu a la figura 2.13: Fig. 2.14 Esquema antena parabòlica amb el focus desplaçat una distància d. La constant de fase del camp elèctric se li sol assignar caràcter vectorial i ve donada per. 42 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Obtenim la següent gràfica on veiem l’eficiència de desbordament, en funció del desplaçament d: Fig. 2.20 Eficiència de desbordament en funció del desplaçament perpendicular a l’eix de la parabòlica Mirant la figura 2.19 veiem que els resultats són coherents ja que a mesura que ens desplacem l’eficiència de desbordament disminueix ja que quan més ens allunyem del centre menys part del feix principal de l’alimentador entrarà dins la parabòlica. Veiem com a 10 cm (que és just el radi de la parabòlica) més de la meitat del camp se’ns escapa, com era d’esperar. 2.4.2.2 Eficiència d’il·luminació L’eficiència d’il·luminació en la majoria dels casos es calcula amb una fórmula simplificada, ja que normalment la botzina es troba al focus de la parabòlica el que provoca, tal i com s’ha comentat, que la fase a l’obertura d’aquesta sigui constant. En canvi, si desplacem la botzina tindrem una fase lineal a l’obertura de la parabòlica tal i com s’ha vist a la figura 2.15, amb el que haurem de tenir en compte aquesta fase a l’hora de calcular l’eficiència. Una expressió més general per calcular l’eficiència d’il·luminació [3]: 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 desplaçament d en m eficiència desbordament Antena parabòlica simètrica 43 ( ) 2 ' 2 2 1 cos 4 jkr M il Ee ds A E ds θ η + = ∫∫ ∫∫ (2.34) On 'kr  tal i com hem dit en l’apartat 2.3.2 és 'kr  =ksinθMx’. Com el nostre pla a l’obertura del reflector el tenim en coordenades cilíndriques, tindrem llavors que 'kr  = ksinθMρcosφ. ( ) 2 sin cos ' 2 2 ( cos sin ) 1 cos 4 jk M il E E e dd A E ds θρ φ ρφ φ φ ρρφ θ η − + =∫∫ ∫∫ (2.35) A la figura 2.21 veiem es mostra l’eficiència d’il·luminació en funció del desplaçament. Veiem que aquesta eficiència també disminueix amb la distància com era d’esperar, ja que com més ens desplacem més diferència de fase hi haurà entre el centre de la parabòlica i les vores. Fig. 2.21 Eficiència d’il·luminació en funció del desplaçament perpendicular a l’eix de la parabòlica 2.4.2.3 Eficiència de polarització L’eficiència de polarització la calculem de la mateixa manera que ho hem fet fins ara. En aquest cas, obtenim la gràfica de la figura 2.21 44 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Fig. 2.22 Eficiència de polarització en funció del desplaçament perpendicular a l’eix de la parabòlica A la figura 2.21. veiem com el fet de desplaçar l’alimentador, ens afecta a l’eficiència de polarització disminuint-la. Taula 2.2. Eficiències , directivitats i resolució angular (Ω) en funció del desplaçament perpendicular a l’eix del reflector Desplaçament d(m) η x η il η s Directivitat calculada(dB) Directivitat Feko(dB) Ω (º) 0.01 0,96 0,91 0,90 44,80 44,88 1,07 0.02 0,94 0,89 0,89 44,56 44,72 1.08 0.03 0,92 0,86 0,86 44,19 44,46 1.10 0.04 0,90 0,83 0,82 43,70 44,09 1.12 0.05 0,88 0,79 0,77 43,09 43,60 1.14 0.06 0,86 0,74 0,71 42,40 43,00 1.18 0.07 0,84 0,70 0,64 41,56 42,28 1.22 0.08 0,82 0,65 0,56 40,58 41,43 1.26 0.09 0,78 0,60 0,48 39,43 40,46 1.30 Antena parabòlica simètrica 45 Fig 2.23 Diagrames de radiació en funció dels desplaçaments (de 0 a 9 cm) Veiem que a mesura que ens desplacem, anem perdent directivitat i, per tant, resolució angular. 2.4.3 Aberracions desplaçament perpendicular a l’eix Fins ara, hem mirat com se’ns desplaça el nostre feix principal del diagrama de radiació, segons anem desplaçant la nostra font perpendicularment a l’eix de la parabòlica. Ara fem l’estudi al revés, és a dir, segons una certa desviació de l’ona pla o feix principal, mirarem on hauria de situar-se la nostra font. El que farem és el traçat de rajos paral·lels simulant l’ona plana que incideix al reflector amb un cert angle θM . Amb això mirarem com es focalitzen aquests rajos i amb això veurem dues de les anomenades aberracions òptiques: astigmatisme i coma. 2.4.3.1 Coma El coma és un dels efectes que apareix quan s’inclina l’ona plana; en comptes de focalitzar-se tots els rajos cap al mateix punt ho fan en diferents punts. A la figura 2.25 podem veure clarament aquest efecte. El coma, es manifesta en els lòbuls secundaris del diagrama de radiació. A la figura 2.26 veiem les tant l’astigmatisme com el coma. El coma fa que el 160 165 170 175 180 185 190 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 X: 180 Y: 44.93 X: 168.9 Y: 40.45 Angle θ en º Directivitat en dB 46 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W diagrama deixi de ser simètric i que el lòbul secundari de l’esquerra va augmentant i desapareixent més ràpid que el de la dreta. 2.4.3.2 Astigmatisme En òptica, es defineixen dos plans, el pla meridional i el pla sagital. El pla meridional és el que conté l’eix de la parabòlica i el raig principal. El pla sagital és el perpendicular al tangencial i també conté el raig [9]. A la figura 2.23 es mostra un esquema on es veuen aquests dos plans. L’astigmatisme ve donat per que el rajos continguts en el pla meridional focalitzen diferent que els rajos continguts en el pla sagital quan aquests incideixen amb una certa inclinació respecte l’eix del reflector. Fig. 2.24 Corbes que defineixen el pla meridional i sagital a l’intersecar amb la superfície parabòlica Per veure com focalitzen els rajos en aquests dos plans (sagital i meridional), realitzem un programa amb Matlab que ens dibuixarà en 3D tant el reflector com el traçat dels rajos. Es traçaran els rajos fent línies paral·leles que incideixen al reflector amb una inclinació de 10º respecte al seu eix (simulant l’ona plana) i, a partir de la normal del reflector en el punt on intersequen aquestes línies, també es dibuixaran les línies reflectides per veure on focalitzen els dos plans. A la figura 2.25 a) veiem dibuixat el reflector en 3D on veiem el pla meridional en negre i el sagital en magenta. A la 2.25 b) i c) es mostren els plans XZ i YZ on es veuen més clarament el pla sagital i el pla meridional Antena parabòlica simètrica 47 (a) (b) (c) Fig. 2.25 (a) Figura 3D dels traçats dels rajos en el dos plans. (b) Pla sagital. (c) Pla meridional (a) (b) Fig. 2.26 Detall de les diferències de focus (a) Pla sagital (b) Pla meridional. Per veure més clar l’efecte de l’astigmatisme fem zoom a la zona on es focalitzen els rajos en ambdós plans. A la figura 2.26 veiem en (a) que tenim el focus del nostre alimentador (punt blau) molt poc separat de la zona on focalitza el pla sagital, apenes 0.02 mm, mentre que en (b) la separació entre el focus de l’alimentador i el lloc on focalitzen els rajos en el pla meridional és molt més notable (uns 1,43 cm ≈4.5λ). 48 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W En el diagrama de radiació que es mostra a la figura 2.26. veiem l’efecte de l’astigmatisme per la profunditat dels mínims dels lòbuls secundaris. Veiem que quant més desplacem l’alimentador, menys marcats queden els mínims dels lòbuls secundaris del diagrama de radiació: Fig. 2.27 Visualització dels efectes del coma i l’astigmatisme quan desplacem l’alimentador 2 i 4 cm Després d’analitzar les aberracions esmentades, ens adonem que el reflector pateix de les dues. Això ens provoca, tal i com s’ha vist a la taula 2.2 que a mesura que anem desplaçant la font, els píxels que captem van perdent definició, provocant que la part central de l’escena estigui més definida que la part on la font s’ha desplaçat més. Per reduir aquestes aberracions hauríem de tenir una relació distància focal entre diàmetre del reflector més gran, fent el reflector molt més pla. L’inconvenient d’això és que les dimensions de l’antena augmenten, penalitzant el fet de voler tenir una antena petita. Una altra opció per reduir l’astigmatisme seria, en comptes de tenir la font al focus de la parabòlica i desplaçar-la perpendicularment a partir d’aquest focus, el que es fa és moure-la sobre l’eix de la parabòlica (desenfocant-la) de manera que quan la desplacem perpendicularment, aquesta quedi més enmig dels dos focus dels dos plans (sagital i meridional) com es mostra a la figura 2.27. D’aquesta manera es penalitzen els píxels centrals ja que en el centre l’antena estarà desenfocada, però en canvi els píxels que estan més desplaçats guanyaran definició, aconseguint una imatge més uniforme. Antena parabòlica simètrica 49 Fig. 2.28 Traçats de la situació dels focus segons l’angle d’incidència de l’ona plana dels plans sagital i meridional i situació real de l’alimentador (blau) per reduir l’astigmatisme. 2.5 Conclusions de disseny Un cop hem dissenyat l’antena parabòlica simètrica buscant la màxima directivitat, veiem que hem obtingut una distància focal bastant gran de, 45,65 cm. Això fa que les dimensions de l’antena siguin notables però a canvi, al tenir una relació distància focal entre diàmetre d’obertura del reflector gran fa que la nostra antena no tingui astigmatisme i coma molt elevades. Podent inclús rebaixar-les amb les correccions esmentades. El problema principal que tenim amb aquesta configuració és que en el cas de que volguéssim posar un array de fonts alimentant el reflector, aquestes suposarien un obstacle pel reflector amb el que les pèrdues per bloqueig serien molt significatives. És per aquest motiu que a continuació estudiem la configuració en offset 50 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W CAPÍTOL 3. ANTENA PARABÒLICA OFFSET En aquest capítol es veurà com hem dissenyat les antenes parabòliques tipus offset. El disseny es realitzarà a partir de la distància entre el reflector i l’alimentador que s’ha trobat en el capítol anterior per la parabòlica simètrica i de l’offset amb el que vulguem treballar. Un cop fets els dissenys, es comprovarà que les figures de mèrit concorden amb la directivitat que ens resulta de simular amb Feko. A continuació es mirarà la possibilitat de moure tant l’alimentador com el reflector per tal de desviar el feix principal de cara a fer l’escombrat de la imatge. 3.1 Disseny de la parabòlica offset Per dissenyar el reflector offset col·loquem la font de manera que il·lumini una porció de superfície parabòlica localitzada asimètricament a un costat de l’eix (figura 3.1). Antena parabòlica Offset 51 Fig. 3.1 Dibuix antena parabòlica offset Per dibuixar-ho amb Feko, fem la intersecció d’una parabòlica i un cilindre de radi 0,1 (el radi de la parabòlica que teníem fins ara), tal i com es mostra a la figura 3.2. Fig. 3.2 Disseny antena parabòlica offset fet amb feko Per dissenyar aquest tipus de parabòlica en offset, un cop hem fixat la distància entre reflector i botzina (com hem dit, utilitzarem el que hem obtingut pel cas de la simètrica, f=45,65 cm), ens caldrà calcular el radi de la parabòlica que ens defineix el reflector (Rg) i la distància focal d’aquesta (F). La distancia focal (F) la calculem amb l’expressió de la parabòlica en el punt que coneixem (xa,z0). 58 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W 3.4 Desplaçament de l’alimentador A continuació estudiem el moviment de l’alimentador quan aquest el desplacem sobre l’eix x o l’eix y. A la figura 3.9 veiem els diagrames de radiació de l’antena offset de 90º amb l’alimentador mogut sobre l’eix x. Observem que movent la font sobre el mateix eix x, és diferent si es fa cap a un costat o cap a l’altra. A la figura 3.9 també veiem com desplaçant l’alimentador els mateixos centímetres, el diagrama es degrada molt més en el cas de l’offset que no el de la simètrica. Això és degut a que el fet de que el reflector no sigui simètric fa que aquest tingui més astigmatisme i més coma [8]. Si mirem la figura 3.9 o la 3.10, veiem aquests efectes, per una banda els diagrames han perdut la simetria (el que denota el coma) i els mínims han disminuït (efecte de l’astigmatisme). Fig.3.9 Antena offset de 90º amb la font desplaçada sobre l’eix x. Antena parabòlica Offset 59 Fig.3.10 Comparativa dels diagrames de radiació de l’antena offset i la simètrica amb la font desplaçada 6 cm. 3.4.1 Figures de mèrit A continuació calculem les eficiències i amb aquestes, les directivitats de les antenes amb la font desplaçada. A la figura 3.11 es mostra la fase que hi haurà a la projecció del reflector a l’obertura de la parabòlica gran que el defineix al llarg del seu radi segons desplacem la botzina, tant en l’eix x com en l’eix y. També es compara amb la fase que tenia el reflector simètric. Veiem com la fase en l’eix y no és tant lineal com en l’eix x. També veiem que en el mateix pla, la fase de la offset i de la simètrica és bastant similar. Aquesta fase, igual que en el cas de la simètrica, l’haurem de tenir en compte per calcular l’eficiència d’il·luminació. 60 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Fig. 3.11 Fase al llarg del radi de la projecció del reflector per a diferents desplaçaments Les eficiències les calcularem de la mateixa manera que hem fet pel cas del desplaçament de la simètrica. A la figura 3.12. veiem les tres eficiències, en funció del desplaçament per l’eix x. Fig. 3.12 Eficiències antena offset en funció del desplaçament -9 -6 -3 0 3 6 9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 desplaçament en cm eficiències η il. η pol. η desb. η total Antena parabòlica Offset 61 Veiem que l’eficiència que empitjora més, com era d’esperar, és l’eficiència d’il·luminació, això és degut tal i com hem dit, al fet de que l’offset no sigui simètrica ja que això fa que el decaïment a les vores sigui més gran. Tal i com es mostra a la figura 3.13. el camp a la simètrica és molt més uniforme que el camp a l’offset quan desplacem l’alimentador. Fig.3.13 Camp elèctric al llarg del radi de l’obertura del reflector. 3.4.2 Directivitats Un cop hem calculat les eficiències, calculem la directivitat teòrica i la comparem amb la que ens retorna el Feko. Taula 3.3 Eficiències i directivitats (Dteòrica i Dfeko) quan desplacem la font en una antena offset d (cm) ηil ηs ηx. ηil·ηs·ηx Dteòrica(dB) Dfeko(dB) Ω(º) -9,00 0,13 0,48 0,62 0,04 31,73 32,64 2,67 -6,00 0,28 0,71 0,71 0,14 37,38 38,21 1,95 -3,00 0,64 0,86 0,80 0,44 42,29 42,79 1,26 3,00 0,72 0,86 0,84 0,52 43,00 43,46 1,17 6,00 0,44 0,71 0,78 0,25 39,76 40,46 1,45 9,00 0,27 0,48 0,71 0,09 35,45 37,10 1,79 Veiem que pel cas de l’offset, el fet de desplaçar la font ens empitjora molt més la directivitat i, per tant, la resolució angular que en el cas de la simètrica. També, destacar el fet de que al no tenir simetria de revolució fa que els píxels es degradin diferent segons la direcció en la que desplacem l’alimentador. 62 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Per intentar millorar aquesta degradació del feix principal podríem aplicar les mateixes solucions que en el cas de la simètrica, és a dir, es podria estudiar altre cop el traçat dels rajos, per saber on focalitzen aquests i desplaçar el moviment perpendicular de l’alimentador penalitzant els píxels centrals per millorar els més exteriors de l’escena 3.5 Moviment del sistema per escanejar la imatge Per escanejar la imatge amb una antena offset, es muntaria el sistema que es veu a la Figura 3.14. L’escena és escanejada en dues dimensions. Per una banda, el reflector rota sobre l’eix que passa peu centre i l’alimentador (línia discontínua), fent un escaneig vertical, i per l’altra l’alimentador i la botzina roten conjuntament sobre un eix perpendicular a l’anterior, fent l’escaneig horitzontal. Fig. 3.14 Escaneig de la imatge amb l’antena offset Per tant, amb aquests tipus de reflector podem escanejar tota una escena d’una forma senzilla ja que a partir de la rotació de dos eixos podem escanejar la imatge. 3.6 Conclusions del disseny en offset Després de dissenyar la parabòlica en offset ens adonem que el fet d’evitar el bloqueig ens suposa perdre resolució quan volem desplaçar l’alimentador. En canvi, l’avantatge que té aquesta configuració és que ens permet fer un escaneig d’una forma relativament senzilla ja que el podem fer nomes rotant Antena parabòlica Offset 63 l’estructura sobre dos eixos, d’aquesta manera, sense moure l’alimentador, no perdem resolució. Un altre inconvenient que comparteix amb la simètrica és que la distància focal és bastant gran. Per aquest motiu, estudiem també la configuració Cassegrain ja que aquesta planteja una arquitectura més compacta 64 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W CAPÍTOL 4. ANTENA PARABÒLICA CASSEGRAIN Un dels inconvenients del reflector parabòlic simètric i del offset són les seves dimensions, degut a que la distància focal és molt gran en comparació al diàmetre del reflector. L’antena Cassegrain intenta reduir aquestes mides posant un subreflector. En aquest capítol es veurà com s’ha dissenyat teòricament i es simularà en Feko per tal de veure la directivitat que s’ha aconseguit. Tot seguit, es mirarà com afecta el fet de moure tant l’alimentador com el reflector principal de cara a fer l’escaneig de la imatge. 4.1 Disseny d’una antena Cassegrain Tal i com s’ha comentat, per tal de reduir les mides de l’antena, dissenyem la Cassegrain. Aquesta està formada per un reflector parabòlic on se li afegeix un subreflector hiperbòlic, tal i com es mostra a la figura 4.1. Antena parabòlica Cassegrain 65 Fig. 4.1 Dibuix antena Cassegrain El reflector parabòlic el dissenyem com hem fet pel cas de la simètrica, és a dir, amb la distància focal f i el diàmetre Da (20 cm). Aquesta distància focal ve donada per un focus virtual que és el focus del subreflector hiperbòlic. El subreflector hiperbòlic el dissenyarem a partir d’una hipèrbole amb simetria de revolució. Aquesta la definirem en Feko a partir de l’excentricitat, el radi i la profunditat (figura 4.3). Del disseny d’una antena Cassegrain es pot treure el que seria el reflector parabòlic simètric equivalent (figura 4.2). 66 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Fig 4.2 Relació antena Cassegrain i reflector simètric equivalent L’excentricitat e de la hipèrbola ens relaciona f i fe segons [8]. e e ff eff + =− (4.1) Per començar, imposem llavors que el reflector equivalent de la Cassegrain sigui el reflector simètric proposat al capítol 2, així doncs, l’angle amb el que el focus real veuria al reflector equivalent i, per tant, al subreflector seria ψs=β=12.5º. Un dels inconvenients d’aquests tipus d’antena és el bloqueig que tindrem a causa del subreflector (Ds) o de l’ombra que projecta l’alimentador des del focus sobre la parabòlica (Ds’). Per tant, el bloqueig mínim es donarà quan Ds=Ds’[3]. Tal i com hem comentat a l’apartat 2.1.1 el radi que hauria de tenir l’alimentador és de rfont =7,6 mm. L’altre inconvenient a tenir en compte és la difracció. Aquest efecte serà més notable quan més petit sigui el subreflector degut a que l’excentricitat de l’hipèrbole augmentarà amb el que les pèrdues per il·luminació seran més notables. Per tant, s’ha d’arribar a un compromís entre bloqueig i difracció a l’hora de decidir el diàmetre del subreflector. Antena parabòlica Cassegrain 67 El fet de fixar el diàmetre del subreflector i el que hem imposat fins ara (Ds’=Ds), que ψs=β=12.5º i sabent el radi de la boca del nostre alimentador, podrem calcular la distància focal del reflector principal f, la distància fc entre focus de la hipèrbola (virtual i real) i l’excentricitat del subreflector e. Això ho farem aplicant trigonometria i l’equació de la paràbola. Si mirem a la figura 4.1. l’angle ψf amb el que el focus virtual veu l’alimentador i l’ombra que li fa aquest al reflector principal, traiem ' tan 2s fs Dz ψ = (4.2) On zs es el punt en l’eix de les z que correspon al punt de la parabòlica quan y=Ds’/2. 2 '4( ) 2 ss Dff z  = −   (4.3) 2 '2 16 16 s sfD zf − = (4.4) Si substituïm zs a l’expressió 4.3 obtenim: ' 2 '2 16 tan 32 2 s fs Df fD ψ =− (4.5) També, amb aquest mateix angle ψf trobem: tan font fc rf ψ = (4.6) Si igualem, tan(ψf), trobem fc en funció de la distància focal f: 2 '2 ' (32 2 ) 16 font s cs r fD fDf − = (4.7) 74 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Fig. 4.6 Desplaçament de la Cassegrain i la simètrica 4.5 Moviment del reflector parabòlic A continuació s’estudia la possibilitat de desplaçar el nostre feix principal movent el reflector principal de la Cassegrain tal i com es mostra a la figura 4.7 Fig.4.7 Moviment del reflector parabòlic en l’antena Cassegrain El que fem és rotar l’eix del reflector respecte l’eix x. A la figura 4.8 veiem els diagrames de radiació que obtenim després de rotar el reflector 5º i 10º. Veiem que en aquest cas, el diagrama de radiació no es degrada tant com en els casos anteriors. Observem que aproximadament, per cada º que rotem el reflector principal, el nostre feix principal se’ns desplaça 2º. Antena parabòlica Cassegrain 75 Fig.4.8 Diagrama de radiació de les Cassegrain amb el reflector rotat comparades amb el de la simètrica amb el focus desplaçat 9 cm A la taula 4.3 comprovem que les directivitats i les resolucions angulars empitjoren molt poc. Taula 4.3 Directivitats i resolucions angulars segons rotem el reflector principal. Rotació reflector (º) Directivitat Feko(dB) Resolució angular(º) 5 44,05 1,18 10 43,83 1,21 Per tant, un possible escaneig de la imatge amb aquest tipus d’antena seria girant l’eix del reflector, per una banda pel pla YZ fent l’escaneig vertical i per l’altra pel pla XZ fent l’escaneig horitzontal com veiem a la figura 4.9. 76 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Fig. 4.9 Escaneig de l’escena amb la Cassegrain 4.6 Conclusions de la parabòlica Cassegrain Després del disseny i simulació de l’antena tipus Cassegrain ens adonem que amb aquesta no podem desplaçar l’alimentador, ja que per poc que el desplacem les pèrdues augmenten considerablement. Conclusions 77 CONCLUSIONS En aquest projecte s’han estudiat tres models d’antenes parabòliques per a un radiòmetre a 94 GHz. En la primera de les antenes, la simètrica, hem avaluat com trobar la distància focal òptima per obtenir la màxima directivitat segons la font i el diàmetre de reflector que hem utilitzat. Un cop hem trobat la distància focal hem analitzat el desplaçament de l’alimentador, per poder fer un escaneig més ràpid de la imatge, on hem vist que apareixien aberracions. Aquestes provoquen que el diagrama de radiació es vagi degradant segons ens anem allunyant del focus, fent que els píxels centrals quedin més ben definits que els que estan més desplaçats. Per reduir aquestes aberracions una opció es dissenyar el nostre reflector per a que sigui més pla, augmentant la relació entre la distància focal i el diàmetre de reflector. Per contra, s’augmenten les dimensions de l’antena. Si volem tenir una distància focal més gran haurem de canviar l’alimentador per un de més directiu per conservar l’eficiència d’il·luminació elevada. Una altra possible solució per reduir l’astigmatisme seria movent la nostra font en un eix perpendicular a l’eix del reflector que no passa pel focus si no que estarà desenfocat de tal manera que els píxels centrals perdran una mica de definició, però els que estan més desplaçats en guanyaran, aconseguint una imatge més uniforme. 78 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W En segon lloc s’ha fet l’estudi del reflector en offset. D’aquest s’ha vist que fins a un offset de 90º els resultats varien molt poc. Per aquest motiu triem la configuració d’offset en 90 graus ja que ens permet fer un escaneig de la imatge d’una forma més senzilla que les altres configuracions. Aquest tipus de subreflector, a més, té l’avantatge respecte el simètric i el Cassegrain de que no tindrà cap tipus de bloqueig. Per contra, el reflector en offset patirà molt més d’astigmatisme i coma degut a la seva geometria no simètrica. Per acabar, hem estudiat el reflector tipus Cassegrain. El principal avantatge d’aquest és que ens redueix les mides de l’antena. S’ha dissenyat aquest tipus de reflector per a minimitzar el bloqueig del subreflector i les pèrdues per difracció. També s’ha vist que a penes podem desplaçar l’alimentador ja que, degut a que aquest està il·luminant el subreflector, per poc que ens desplacem tenim moltes pèrdues per desbordament amb el que la directivitat se’ns redueix molt més que en els dos casos anteriors. Finalment, s’ha mirat com varia el diagrama del reflector si rotem el reflector principal i s’ha vist que d’aquesta forma es degrada menys el diagrama que quan desplacem la font pel cas de la simètrica. Un cop valorats pros i contres de les tres configuracions ens decantem per l’antena offset. Aquesta tot i tenir unes dimensions més grans que la Cassegrain és la que ens ofereix un diagrama més uniforme segons escanegem una escena amb les rotacions explicades. Com a línies futures, ja centrats en l’antena offset, es podria estudiar com rebaixar les aberracions d’aquest tipus d’antena per tal de poder il·luminar amb més d’una font el reflector per aconseguir escanejar la imatge d’una forma més ràpida. Bibliografia 79 BIBLIOGRAFIA [1] Duric A. and Magun A., “Antenna Design for a Transportable Imaging Radiometer System in W-Band”, Research Report, No. 2003-06, Universitas Bernensis [2] Yujiri L., Shoucri M. And Moffa P., “Passive Millimeter-Wave Imaging”, IEEE microwave magazine, 4 (3),39-50 (2003) [3] Cardama A. et ál, “Antenas”, Edicions UPC, Barcelona (1998). [4] Goldsmith P.F., “Quasioptical Systems: Gaussian Beam Quasioptical Propogation and Applications”, Wiley-IEEE Press, 1997. [5] http://www.feko.info/feko-product-info/technical [6] “Feko Examples Guide”, EM Software & Systems-S.A. (2009). [7] Duric A. et ál, “The Fully Polarimetric Imaging Radiometer SPIRA at 91 GHz”, IEEE transactions on geoscience and remote sensing, 46 (8), 2323-2336 (2008). [8] Milligan T. A., “Modern antenna design”, Wiley-IEEE Press (2005). 80 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W ANNEXOS Annexos 81 Annex A. Codis per calcular les eficiències Eficiència d’il·luminació: function efildesp = eficiencia_il_desp(incrementro,incrementfi,... nom_fitxer,theta) %theta és l’angle que se’ns desvia el feix en el cas de que haguem desplaçat %l’alimentador fid2 = fopen(nom_fitxer,'r'); MB=0; TOT=0; MBden=0; lam=3e8/94e9; k=2*pi/lam; while feof(fid2)==0 %recorrem totes les línies del fitxer *.efe a = fscanf(fid2, '%e %e %e ( %e , %e ) (%e , %e ) (%e , %e ) ',9)'; %Traiem les components del camp Ero=a(4)+a(5)*i; Ephi=a(6)+a(7)*i; Ez=a(8)+a(9)*i; %Passem de cilíndriques a cartesianes Ecx=Ero*cos(a(2)*pi/180)-Ephi*sin(a(2)*pi/180); Ecy=Ero*sin(a(2)*pi/180)+Ephi*cos(a(2)*pi/180); Eco=Ecx;%Triem la component copolar MB=MB+Eco*exp(i*k*sin(theta*pi/180)*(a(1)*cos(a(2)*pi/180)))*a(1)... *incrementro*incrementfi*pi/180; TOT=TOT+abs(Eco)^2*a(1)*incrementro*incrementfi*pi/180; end efildesp=((abs(MB)^2)/(TOT*(0.1^2)*pi))*(((1+cos(theta*pi/180))^2)/4); fclose(fid2); Eficiència de desbordament: function efs = eficiencia_S_despl(increment,d,nom_fitxer) a=importdata(nom_fitxer,' '); files=length(a); TOT=0; MB=0; % d és el desplaçament de l'alimentador en m for i=1:files %calcular_R ens calcula el radi que veurem per a cada angle phi beta=atan((calcular_R(d,a(i,2),0.1))./0.4565)*180/pi; if a(i,1)>=0 && a(i,1)<=beta MB=MB+(10^(a(i,9)/10)*sin(a(i,1)*pi/180)*(increment*pi/180)^2); end TOT=TOT+(10^(a(i,9)/10)*sin(a(i,1)*pi/180)*(increment*pi/180)^2); end efs=MB/TOT; function R= calcular_R(d,teta,Rg) a=1; b=-2*d*cos(pi-(teta*pi/180)); c=(d^2)-(Rg^2); %Calculem el radi R segons l’equació 2.32 R=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); 82 Anàlisi i disseny d’un reflector per la banda W Eficiència de polarització: function efxbe = eficiencia_x(incrementro,incrementfi,nom_fitxer) fid2 = fopen(nom_fitxer,'r'); MB=0; TOT=0; MBden=0; while feof(fid2)==0 a = fscanf(fid2, '%e %e %e ( %e , %e ) (%e , %e ) (%e , %e ) ',9)'; Ero=a(4)+a(5)*i; Ephi=a(6)+a(7)*i; Ez=a(8)+a(9)*i; Eco=Ero*cos(a(2)*pi/180)-Ephi*sin(a(2)*pi/180); Ecx=Ero*sin(a(2)*pi/180)+Ephi*cos(a(2)*pi/180)+Ez; E2=sqrt(Eco^2+Ecx^2); if a(1)>0 MB=MB+abs(Eco)^2*a(1)*incrementro*incrementfi*pi/180; TOT=TOT+(abs(Eco)+abs(Ecx))^2*a(1)*incrementro*incrementfi*pi/180; end end efxbe=MB/TOT; fclose(fid2); Annexos 83 Annex B. Codi per Dissenyar una antena Cassegrain clear all %Dissenya Cassegrains. Codi on es posen les equacions obtingudes pel %disseny de la Cassegrain I es troben els parameters necessaries per %dissenyar-la Ds=0.025; %Diàmetre subreflector hiperbòlic Dg=0.2;%Diàmetre reflector parabòlic psi_s=12.5*pi/180;%Angle botzina-subreflector x=Ds/(2*tan(psi_s)); waist=0.0049; rbotzi=waist/0.644; a=16*Ds^2-rbotzi*32*Dg; b=16*Dg*Ds*x; c=rbotzi*2*Dg*Ds^2-Dg^2*Ds^2; %Distancia focal f=(-b+sqrt((b^2)-4*a*c))/(2*a); f2=(-b-sqrt((b^2)-4*a*c))/(2*a); %Angle focus-reflector parabòlic psi_0=atan((8*Dg*f2)/((16*f2^2)-(Dg^2)))*180/pi; e=(sin(0.5*(psi_0*pi/180+psi_s)))/(sin(0.5*(psi_0*pi/180-psi_s))); fc=(rbotzi*(32*f2^2-2*Ds^2))/(16*Ds*f2); punt=Ds/(2*tan(psi_0*pi/180)); c=fc/2; a=c/e; b=sqrt((c^2)-(a^2)); y0=-sqrt(a^2)+c %Profunditat hipérbole per passar-li al feko y2=Ds/(2*tan(psi_0*pi/180)) D=y0-y2;