Sous-ensembles de courbes Ahlfors-régulières et nombres de Jones

Publicacions Matem`atiques, Vol 40 (1996), 497–526. SOUS-ENSEMBLES DE COURBES AHLFORS-R´ EGULI` ERES ET NOMBRES DE JONES Herv´ e Pajot Abstract We prove that an Ahlfors-regular set (with dimension one) E⊂ Rnwhich verifies a βq-version of P. W. Jones’ geometric lemma is included in an Ahlfors-regular curve Γ. This theorem is due to G. David and S. Semmes, we give a more direct proof. 1. Introduction Soit E⊂Rnun ensemble 1-r´egulier. On rappelle qu’un ensemble E⊂Rnest 1-r´egulier (ou Ahlfors-r´egulier de dimension 1) si et seulement si Eest ferm´e et s’il existe C0>0 tel que pour tout x∈E, pour tout R∈]0,diam E[, (1) C−1 0R≤H1(E∩B(x, R)) ≤C0R. (H1d´esigne la 1-mesure de Hausdorff, voir [M].) La plus petite constante positive C0v´erifiant (1) est la constante de r´egularit´edeE. On souhaite relier la g´eom´etrie de E`a certaines estimations L2et pour cela, on s’inspire d’un r´esultat de Peter Jones. On d´efinit les nombres β∞de Jones pour tout x∈Rn, tout t>0 par, si E∩B(x, t)=∅, (2) β∞(x, t, E) = inf Lsup y∈E∩B(x,t)dist(y,L) t ou l’inf est pris sur toutes les droites Lde Rn, et si E∩B(x, t)=∅, β∞(x, t, E)=0. Les β∞mesurent dans toute boule la qualit´e de l’approximation de E par des droites. A l’aide de ces nombres, Jones a donn´e une caract´erisation des sousensembles de courbes rectifiables, ce qui apparait comme une version g´eom´etrique du probl`eme du voyageur de commerce. 498 H. Pajot Th´eor`eme 1.1 ([J],[O]).Soit Eun ensemble compact de Rn. Il existe une courbe rectifiable Γcontenant Esi et seulement si le nombre (3) β2(E)=Rndiam E 0 β∞(x, t, E)2dxdt tn est fini et on a alors (4) inf Γ⊃EH1(Γ) ≤C(β2(E) + diam E). (ici, l’int´egration en xse fait par rapport `a la mesure de Lebesgue ndimensionelle). Consid´erons des versions Lqdes β∞de Jones. Pour tout q≥1, tout x∈E, tout t>0, on d´efinit (5) βq(x, t, E) = inf L1 ty∈E∩B(x,t)dist(y,L) tq dH1(y)1 q o`u l’inf est pris sur toutes les droites Lde Rn. Le but de cet article est de donner une preuve du r´esultat suivant. Soit q≥1. Th´eor`eme 1.2. Soit Eun ensemble 1-r´egulier compact de Rn. Si βq(x, t, E)2dH1(x)dt td´efinit une mesure de Carleson sur E×R+, id est, il existe une constante C>0telle que pour tout x∈E, tout R>0, (6) y∈E∩B(x,R)R 0 βq(y, t, E)2dH1(y)dt t≤CR, alors E⊂Γ,o`uΓest une courbe Ahlfors-r´eguli`ere (c’est `a dire une courbe v´erifiant (1)). La mˆeme construction donne Th´eor`eme 1.3. Soit Eun ensemble 1-r´egulier compact de Rn. Si (7) βq(E)2=Ediam E 0 βq(x, t, E)2dH1(x)dt t<∞, Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 499 alors E⊂Γ,o`uΓest une courbe de longueur finie, et on a de plus, (8) inf Γ⊃EH1(Γ) ≤Cβq(E)2+ diam E. On rappelle qu’un ensemble r´egulier v´erifiant (6) est dit uniform´ement rectifiable (voir [DS1]ou[DS2]). G. David et S. Semmes ont donn´e une preuve du Th´eor`eme 1.2 et de sa r´eciproque. Leur preuve reste valable dans le cas d’ensembles dr´eguliers avec d≥2 et est assez technique. L’argument principal est la d´ecomposition de la couronne de Equi est tr`es pratique et utile, mais qui est tr`es difficile `a´etablir (les paragraphes 2, 7, 8, 9, 12, 13 de [DS1] y sont consacr´es). Notre but est de donner une d´emonstration plus directe et plus simple du Th´eor`eme 1.2. On s’inspire d’un algorithme li´e au probl`eme classique du voyageur de commerce, “l’insertion du plus proche voisin” (voir [L]), que Jones avait d´eja utilis´e dans sa construction. Remarque. La d´emonstration de Jones donne le Th´eor`eme 1.2 pour q=∞. Ce qui n’est pas le cas si q=∞. Une tr`es belle application du Th´eor`eme 1.2 est donn´ee dans [MMV]. Mattila, Melnikov et Verdera montrent que si, pour un ensemble 1-r´egulier E, l’op´erateur de Cauchy d´efinit un op´erateur born´e sur L2(E), c’est `a dire qu’il existe C>0 tel que pour tout f∈L2(E), tout ε>0, (9) EE/B(z,ε) f(ξ) ξ−zdH1(ξ) 2 dH1(z)≤CE |f|2 alors Ev´erifie (6) avec q= 2 (et non pas q=∞, ce qui ne permet pas d’utiliser le th´eor`eme de Jones), et donc, d’apr`es le Th´eor`eme 1.2, Eest inclus dans une courbe Ahlfors-r´eguli`ere. Je tiens `a remercier Guy David pour ses nombreux conseils et suggestions. 2. Id´ee de la preuve du Th´eor`eme 1.2 et lemmes pr´eparatoires Donnons une id´ee de la construction de P. W. Jones (Th´eor`eme 1.1). Soit Ev´erifiant (3) et tel que diam E=1. 500 H. Pajot On consid`ere, pour tout k∈N, un ensemble ∆kde points 2−kdenses de E, c’est `a dire tels que (i) si x,y∈∆kavec x=y, dist(x, y)≥2−k; (ii) pour tout y∈E, il existe x∈∆ktel que dist(x, y)<2−k. On construit par r´ecurrence une suite de courbes (Γk) form´ees de segments dont les extr´emit´es sont les points de ∆k. En passant `a la limite, on obtient une courbe Γ qui contient E. La difficult´e consiste `a estimer la longueur ajout´ee l(Γk+1)−l(Γk)en fonction des β∞. Donnons un aper¸cu des calculs. Supposons donc que l’on a construit Γket consid´erons x∈∆k+1 \∆k. On veut construire `a partir de Γkune nouvelle courbe passant par x(en ajoutant le moins de longueur possible). Soit [y,z] le segment de Γkle plus pr`es de x. Les cas de r´ef´erence sont les suivants. Cas A. K−1dist(x, z)≤dist(x, y)≤Kdist(x, z)(o`uKest une constante positive). → → δ x yz Figure 1 La nouvelle courbe est obtenue `a partir de Γken rempla¸cant le segment [y,z] par les segments [y,x]et[x, z]. Supposons que β∞(x, C2−k,E) soit tr`es petit (c’est `a dire que Eest “plat” au voisinage de x`al’´echelle 2−k). Alors, δ∼β∞(x, C2−k,E) (voir Figure 1). D’o`u, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, on a (10) dist(y,x) + dist(x, z)−dist(y,z)≤Cβ∞(x, C2−k,E)22−k. Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 501 Cas B. dist(x, z)≥Kdist(x, y). x yz Figure 2 La nouvelle courbe est obtenue `a partir de Γken ajoutant le segment [y,2x−y]. La longueur ajout´ee est alors inf´erieure `a 1 3dist(y,z) (si K est assez grand). En fait, le segment [y,z] ne sera pas chang´e dans la suite de la construction, donc [y,z]⊂Γ. Dans les autres cas pour l’insertion de x, on se ram`ene `a un des cas pr´ec´edents. On obtient donc (11) l(Γ) −l(Γ0)≤ k (l(Γk+1)−l(Γk)) ≤C k x∈∆k β∞(x, C2−k,E)22−k+1 3l(Γ). Dans (11), la somme vient du Cas A, le deuxi`eme membre vient du Cas B. Par construction, l(Γ0)≤Cdiam E. On a ainsi (4) l(Γ) ≤C(β2(E) + diam E). Si q=∞, l’estimation dans le Cas A ne peut pas se faire aussi facilement. Nous allons en fait, au lieu d’ins´erer directement x, ins´erer un point de Eproche `al’´echelle 2−kde xtel que l’on puisse estimer la longueur ajout´ee en fonction des βq. Commen¸cons donc par quelques lemmes. Lemme 2.1. Pour tout 1≤q<∞, tout x∈E, tout t>0, (12) β1(x, t, E)≤C1−1 q 0βq(x, t, E) o`uC0est la constante de r´egularit´edeE. Ce lemme d´ecoule des in´egalit´es de H¨older et de la r´egularit´edeE. Il nous suffit, d’apr`es le Lemme 2.1, de d´emontrer le Th´eor`eme 1.2 pour q=1. 502 H. Pajot Lemme 2.2. Pour tout x∈E, tout t>0,ona (13) β∞(x, t, E)≤Cβ1(x, 2t, E)1 2 o`u la constante Cne d´epend pas de xet t. Preuve du Lemme 2.2: On consid`ere Dune droite pour laquelle β1(x, 2t, E) est atteint. Soit yle point de E∩B(x, t) le plus loin de D. Premier cas: dist(y,D)>t. Alors β1(x, 2t, E)≥C, d’o`u le Lemme 2.2. Deuxi`eme cas: dist(y,D)≤t. On note d=1 2dist(y,D). Pour tout z∈B(y,d), on a dist(z,D)≥d. On en d´eduit β1(x, 2t, E)= 1 2tz∈E∩B(x,2t) dist(z,D) 2tdz ≥1 4t2z∈E∩B(y,d) dist(z,D)dz ≥1 4t2dH1(E∩B(y,d)) ≥1 4C−1 0d t2 ≥Cβ∞(x, t, E)2 o`uC0est la constante de r´egularit´edeE. Ce qui finit la preuve du Lemme 2.2. Soient Aune constante positive tr`es petite, Kune constante positive tr`es grande, Nun entier tr`es grand. On va maintenant associer `a tout x∈Eune suite (xk) de points de E telle que, pour tout k, si on veut ins´erer xdans Γk, on inserera xk, dans un premier temps, `a la place de x, afin de pouvoir contrˆoler la longueur ajout´ee en termes de β1. Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 503 Lemme 2.3. Pout tout x∈E, tout k∈Z, il existe une suite (xj)j≥k de points de Etelle que 1. xk∈B(x, A2−(k+1)N)et dist(xk,L k)≤Cβ1(x, K2−kN ,E)2−kN (14) dist(xk,L k+1)≤Cβ1(x, K2−(k+1)N,E)2−(k+1)N (15) o`uLi,i=k,k+1, est une droite telle que β1(x, K2−iN ,E)= 1 K2−iN y∈E∩B(x,K2−iN ) dist(y,Li) K2−iN dH1(y); 2. pour tout j≥k+1,xj+1 ∈B(xj,A2−(j+1)N)et (16) dist(xj+1,L j+1)≤Cβ1(xj,K2−(j+1)N,E)2−(j+1)N o`uLj+1 est une droite telle que β1(xj,K2−(j+1)N,E) =1 K2−(j+1)Ny∈E∩B(xj,K2−(j+1)N) dist(y,Lj+1) K2−(j+1)NdH1(y). Remarques. (i) On choisira toujours xk=xk+1, si xkv´erifie la propri´et´e 2 du Lemme 2.3 `al’´echelle 2−(k+1)N. Les propri´et´es1et2 (pourtant tr`es proches) sont n´ecessaires pour des raisons techniques. (ii) Le kdans le Lemme 2.3 correspond `al’´echelle `a laquelle on veut ins´erer x. Preuve du Lemme 2.3: Soit x∈E,t>0. On consid`ere Dune droite pour laquelle β1(x, t, E) est atteint. D’apr`es l’in´egalit´e de Tchebytchev, on a H1({y∈E∩B(x, At) : dist(y,D)≥Cβ1(x, t, E)t})≤C−1t ≤2−NC−2 0H1(E∩B(x, At)) `a condition que C−1≤2−NAC−3 0. 504 H. Pajot Donc, H1({y∈E∩B(x, At) : dist(y,D)≤Cβ1(x, t, E)t}) ≥(1 −2−NC−2 0)H1(E∩B(x, At)), o`uC−2 02−Nest la valeur minimale du rapport H1(E∩B(x, A2−(j+1)N)) H1(E∩B(x, A2−jN)) . En appliquant ce r´esultat, on obtient le Lemme 2.3. On note x∞le point de Elimite de la suite (xj)etonposefk−1(x∞)= xket pout tout j≥k,fj(x∞)=xj. Remarque. On a donc fk−1(x∞)=fk(x∞) (Propri´et´e 1 du Lemme 2.3). On a alors, avec une constante Kdiff´erente de la pr´ec´edente, dist(xk,D k)≤Cβ1(x∞,K2−kN ,E)2−kN (17) dist(xk,D k+1)≤Cβ1(x∞,K2−(k+1)N,E)2−(k+1)N (18) et pour tout j≥k+1, (19) dist(xj+1,D j+1)≤Cβ1(x∞,K2−(j+1)N,E)2−(j+1)N o`uDiest une droite telle que β1(x∞,K2−iN ,E)= 1 K2−iN y∈E∩B(x∞,K2−iN ) dist(y,Di) K2−iN dH1(y). Remarquons que, si xet ysont dans Eavec dist(x, y)≤K 1002−kN , alors (20) dist(fk(y),L k)≤Cβ1(x, CK2−kN ,E)2−kN o`uLkest une droite pour laquelle β1(x, K2−kN ,E) est atteint. Donnons une id´ee plus pr´ecise de la fa¸con dont nous allons modifier la construction de Jones afin de d´emontrer le Th´eor`eme 1.2. Le but est toujours de construire une suite d’ensembles connexes (Γk) qui `a la limite donnera Γ. Dans le paragraphe 3, on construit des ensembles ∆kde points de E presque 2−kN denses, et on donne les propri´et´es de r´ecurrence v´erifi´ees par les Γk. En particulier, Γkcontient les points fk(x)o`ux∈∆k. Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 505 On construit ensuite (paragraphe 4) ˜ Γk+1 `a partir de Γken ins´erant les points fk(x)o`ux∈∆k+1 \∆k. Les cas de r´ef´erences sont essentiellement les mˆemes que dans la construction de Jones. Dans le Cas A, grˆace au Lemme 2.3, δ(voir Figure 1) est comparable `a β1(x, C2−k,E), et donc l’estimation se fait de la mˆeme fa¸con (en utilisant le th´eor`eme de Pythagore). Dans le paragraphe 5, on construit `a partir de ˜ Γk+1 l’ensemble Γk+1 en rempla¸cant les points fk(x), o`ux∈∆k+1 \∆k, par les points fk+1(x). Par passage `a la limite, on obtiendra un ensemble Γ connexe, Ahlforsr´egulier de dimension 1 contenant E(paragraphe 6). Ce qui suffit pour prouver le Th´eor`eme 1.2, puisque tout ensemble connexe, compact et de H1-mesure finie est une courbe rectifiable (voir [DS2], Th´eor`eme 1.8 de la partie I, ainsi que le chapitre 1 de la partie II). 3. Hypoth`eses de r´ecurrence On suppose que diam E=1. On se donne des grandes constantes positives K1,K2,K3. On choisit K3tr`es grande devant K2qui elle dominera K1. Les constantes Ket A du Lemme 2.3 sont telles que Kest tr`es grande devant K1,K2et K3 alors que Aest tr`es petite par rapport `a ces mˆemes constantes. L’entier Nest choisi tel que 2−NK−1 3. On notera l(.) la longueur d’un segment ou d’un arc de courbe. Commen¸cons par construire des ensembles (∆j)jde points de Equi seront presque des r´eseaux de points 2−jN denses. Pour cela, on consid`ere ∆0={x∞,y ∞}o`uxet ysont des points de Etels que diam E= dist(x, y)etx∞et y∞sont les points limites de x et ydonn´es par le Lemme 2.3. Supposons que l’on ait construit ∆j−1. On consid`ere ˜ Ajun ensemble maximal de points de Etels que 1. si x,y∈˜ Aj,x=y, alors dist(x, y)≥2(K1+2A)2−jN; 2. si x∈˜ Aj,y∈∆j−1,x=y, alors dist(x, y)≥2(K1+2A)2−jN. Soit Aj={x∞:x∈˜ Aj}. On pose alors ∆j=Aj∪∆j−1. Par construction, ∆ja les propri´et´es suivantes: (i) On dira que x∈∆jest de la l-i`eme g´en´eration si x∈Al= ∆l/∆l−1(ce qui signifie essentiellement que xa´et´e inser´e`ala l-i`eme ´etape). Tout point xde ∆jde la l-i`eme g´en´eration est 512 H. Pajot Remarque. Un tel point a ´et´e`a une g´en´eration pr´ec´edente un bout. → → fk(y) L L fk(x) Kβ∞(x, K2−k,E)2−kN N Figure 5 Donc, dans tous les cas, fk(y) est l’extr´emit´e d’un segment non principal [fk(y),a k(y)] de Γk. D’apr`es (24), dist(x, y)≤K22−jN. Donc, si Aest assez petit, dist(fk(x),f k(y)) ≤2K22−jN. D’o`u, d’apr`es (26), (39) dist(fk(x),f k(y)) ≤2K−1 1K−1 2l([fk(y),a k(y)]). On consid`ere alors x0,... ,x l+1 les points de ∆k+2 tels que •x0=yet xl+1 =x; •xiet xi+1 sont voisins dans ∆k+2 (voir Figure 6). On va ins´erer ces points dans Γk. x1xi xi+1 x0=y xl xl+1 =x ...... ...... Figure 6 Remarques. 1. Les points x1,... ,x lexistent si Nest choisi assez grand. 2. lest born´e d’apr`es (21). 3. On peut “ordonner” les xi, car, puisque β∞(x, K2−kN ,E)≤ε0, ils sont tous proches d’une mˆeme droite. Soit xi(i∈{1,... ,l}) le point le plus pr`es du milieu du segment [x, y]. Le point xiv´erifie la propri´et´e(∗). Donc, les seuls cas pour l’insertion de xisont les Cas A I et A II. Premier cas: K−1 3dist(fk(x),f k+1(xi)) ≤dist(fk(y),f k+1(xi)) ≤ K3dist(fk(x),f k+1(xi)). Alors, on utilise une transformation A et on construit ˜ Γ(1) k+1 en ajoutant `aΓ kles segments [fk(y),f k+1(xi)] et [fk+1(xi),f k(x)]. Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 513 Remarque. fk+1(x)=fk(x) car x∈Ak+1. Par un calcul identique `a (31), l([fk(y),f k+1(xi)]) + l([fk+1(xi),f k(x)]) ≤l([fk(x),f k(y)]) + Cβ1(x, K2−kN ,E)22−kN . Deuxi`eme cas: dist(fk(y),f k+1(xi)) ≤K−1 3dist(fk+1(xi),f k(x)). (on suppose que xiest plus proche de yque de x, le cas inverse est identique). On utilise une transformation B. ˜ Γ(1) k+1 est construit en ajoutant les segments [fk(y),f k(x)], [fk(y),f k+1(xi)] et [fk+1(xi),K2 2(fk+1(xi)−fk(y))]. On a alors par un calcul identique `a (35), (40) l(˜ Γ(1) k+1)−l(Γk)≤l([fk(y),f k(x)])+(1+K2 2)l([fk(y),f k+1(xi)]) ≤(1+(1+K2 2)K−1 3)l([fk(y),f k(x)]). Puis, on consid`ere xi,i=i,i∈{1,... ,l}, le point le plus pr`es du milieu de [xi,x] (ou, au choix, du milieu de [y,xi]). On construit ˜ Γ(2) k+1 `a partir de ˜ Γ(1) k+1 en ins´erant fk+1(xi) par une transformation A ou B. Et, on ins`ere de cette fa¸con tous les points x1,... ,x l. Soit ˜ ˜ Γk+1 l’ensemble connexe ainsi obtenu. On construit Γ(1) k+1 `a partir de ˜ ˜ Γk+1 en ajoutant le segment [fk+1(x),a k+1(x)] o`u ak+1(x) est un point tel que l([fk+1(x),a k+1(x)]) = K1K2 22−(k+1)N(voir Figure 7). Ce segment ne sera pas modifi´e lors de la construction de Γk+1 et puisqu’il n’est pas principal, on le choisit avec cette longueur afin que la propri´et´e (26) soit pr´eserv´ee. ...... fk+1(x1) fk+1(x2) fk(y)fk+1(xl) ak+1(x) fk(x)=fk+1(x) Figure 7 Il nous reste `a estimer l(Γ(1) k+1)−l(Γk). La somme totale des longueurs ajout´ee par les transformations A est, par un calcul identique `a celui effectu´e dans le Cas A I, major´ee par Cβ1(x, CK2−kN ,E)22−kN +C l  i=1 β1(xi,CK2−(k+1)N,E)22−(k+1)N. 514 H. Pajot La somme totale des longueurs ajout´ee par les transformations B est major´ee par un calcul identique `a (35) et d’apr`es (39) et (40), (41) C(1+(1+K2 2)K−1 3)l([fk(y),f k(x)]) +C(1 + K2 2)K−1 3 i,i l([fk+1(xi),f k+1(xi)]) ≤C(1+(1+K2 2)K−1 3)K−1 1K−1 2dist(fk(y),a k(y)) +C(1 + K2 2)K−1 3 i,i dist(fk+1(xi),f k+1(xi)). o`u la somme se fait sur les indices i,ide {1,... ,l+1}tel que le segment [fk+1(xi),f k+1(xi)] a subi une transformation B. On en d´eduit l(˜ ˜ Γk+1)−l(Γk)≤Cβ1(x, CK2−kN ,E)22−kN +C l  i=1 β1(xi,CK2−(k+1)N,E)22−(k+1)N +C(1+(1+K2 2)K−1 3)K−1 1K−1 2dist(fk(y),a k(y)) +C(1 + K2 2)K−1 3 i,i dist(fk+1(xi),f k+1(xi)). De plus, d’apr`es (26), (42) l([fk+1(x),a k+1(x)]) = K1K2 22−(k+1)N≤2−Nl([fk(y),a k(y)]). Donc, l(Γ(1) k+1 −l(Γk)) ≤Cβ1(x, CK2−kN ,E)22−kN +C l  i=1 β1(xi,CK2−(k+1)N,E)22−(k+1)N (43) +C(1+(1+K2 2)K−1 3)K−1 1K−1 2+2−Ndist(fk(y),a k(y)) +C(1 + K2 2)K−1 3 i,i dist(fk+1(xi),f k+1(xi)).(44) Remarques. 1. Pour un tel point y, une telle transformation n’arrivera qu’une fois lors de la construction de Γ. 2. Les points fk+1(xi), i=1,... ,l, ne seront pas modifi´es avant la construction de Γk+3. Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 515 Si β∞(x, K2−kN ,E)≥ε0(donc β1(x, K2−kN+1,E)≥C−1ε2 0), on obtient Γ(1) k+1 en ajoutant les segments [fk(y),f k(x)] et [fk(x),f k(x)+ K2 2(fk(x)−fk(y))] et on a alors par un calcul identique `a (34), (45) l(Γ(1) k)−l(Γk)≤C2−kN ≤Cβ1(x, K2−kN+1,E)22−kN . On pose ∆(1) k+1 =∆ k∪{x}. Soit xle point de Ak+1 le plus loin de ∆(1) k+1 et on suppose que x∈ Γ(1) k+1. On construit `a partir de Γ(1) k+1 un ensemble connexe contenant fk(x) en utilisant la m´ethode d´ecrite pr´ec´edemment. Puis, on applique cet algorithme pour tous les points de Ak+1. Soit ˜ Γk+1 l’ensemble connexe (qui contient tous les fk(x), x∈Ak+1) ainsi obtenu. Remarque. ˜ Γk+1 v´erifie la propri´et´educˆone. En effet, les seuls points fk(x), x∈Ak+1, pouvant poser un probl`eme, sont ceux ins´er´es par une transformation B. Or, par construction, ces points appartiennent `a un segment non principal. 5. Construction de Γk+1 `a partir de ˜ Γk+1 On transforme ˜ Γk+1 pour obtenir Γk+1, en appliquant ce qui suit (i) Pour tout x∈∆k+1, on remplace fk(x) par fk+1(x). On rappelle que fk(x)=fk+1(x)six∈Ak+1 ou si fk(x)v´erifie la propri´et´e 2 du Lemme 2.3 `al’´echelle 2−(k+1)N. Ainsi, fk(x) est remplac´e par fk+1(x)sifk(x) est relativement loin d’une droite Dk+1 minimisant β1(x, K2−(k+1)N,E). (ii) Consid´erons une extr´emit´e d’un segment de ˜ Γk+1 n’appartenant pas `a∆ k+1 (ni `a∆ k+2). Alors, ce point est l’extr´emit´e d’un seul segment de ˜ Γk+1. On note ak(x)cepointet[fk(x),a k(x)] ce segment. Alors, le point ak(x) devient le point ak+1(x) avec -l([fk(x),a k(x)]) = l([fk+1(x),a k+1(x)]; -ak+1(x) appartient `a la droite (fk(x),a k(x)) (voir Figure 8). 516 H. Pajot fk+1(x) fk(x)ak(x) ak+1(x) Figure 8 Il nous faut maintenant estimer l(Γk+1)−l(˜ Γk+1). Le but est de contrˆoler la longueur ajout´ee quand on remplace fk(x) par fk+1(x) - soit en termes de β1; - soit en montrant que la longueur ajout´ee est tr`es petite devant 2−kN (qui est comparable `a la longueur d’un segment non principal de la k-i`eme g´en´eration) dans le cas o`u fk(x) est l’extr´emit´e d’un segment non principal ou devant la longueur d’un segment principal de Γk(ayant subi une transformation B) contenant fk(x) de telle sorte que la longueur totale ajout´ee aux diff´erentes ´etapes sera petite devant la longueur d’un segment de Γ contenant x (voir la Remarque 3 dans le Cas A II du paragraphe pr´ec´edent). Remarque. Comme pour un segment ayant subi une transformation B, un segment non principal ne subira, dans la suite de la construction, que des modifications benignes, essentiellement donn´ees par le (ii) du d´ebut du paragraphe. Il est inutile de s’int´eresser au cas des segments non principaux, car leur longueur est pr´eserv´ee d’apr`es ce qui pr´ec`ede. Consid´erons le cas d’un segment [fk+1(x),f k+1(y)], o`ux,ysont dans ∆k. On a alors pour ce segment 2 cas: soit il n’a pas ´et´e transform´e (Cas A I), soit il a subi une transformation B (Cas A II). En fait, on va voir que ces deux cas sont tr`es proches. Cas A I. [fk(y),f k(x)] est un segment qui n’a pas subi aucune transformation (ni A, ni B) `a cette ´etape. On suppose dans un premier temps que β∞(x, K2−kN ,E)≤ε0. On va en fait montrer qu’un tel segment subira aux ´echelles suivantes que des transformations B. Soit z∈Etel que la projection de zsur (fk(x),f k(y)) est dans [fk(x),f k(y)]. Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 517 On suppose en outre que zv´erifie (46) dist(fk(x),f k(z)) ≤10K12−(k+1)N. Remarque. Tous les points de Ak+1 dont la projection sur (fk(x),fk(y)) est dans [fk(x),f k(y)] v´erifie (46) (´eventuellement avec fk(y)`a la place de fk(x)), sinon le segment [fk(x),f k(y)] aurait ´et´e modifi´e. Alors, dist(fk(y),f k(z)) ≥K12−kN −10K12−(k+1)N ≥K1(1 −10 2−N)2−kN . Donc, dist(fk(x),f k(z)) ≤10 2−N 1−10 2−Ndist(fk(y),f k(z)) ≤K−1 3dist(fk(y),f k(z)) car 2−NK−1 3. Or, tout point z∈∆l,l>k+ 1, tel que la projection de fl(z) sur (fl(x),f l(y)) est dans [fl(x),f l(y)] v´erifie (46), donc il ne pourra ˆetre ins´er´e que par une transformation B. Si [fk(x),f k(y)] est de la j-i`eme g´en´eration avec j≤k, alors, d’apr`es (25), dist(fk+1(x),f k+1(y)) −dist(fk(x),f k(y)) ≤2A2−(k+1)N ≤CAK−1 1 dist(fj(x),f j(y)) 2(k−j)N. Si β∞(x, K2−kN ,E)≥ε0, alors (48) l([fk+1(x),f k+1(y)]) −l([fk(x),f k(y)]) ≤2A2−(k+1)N ≤Cβ1(x, K2−kN ,E)22−kN . Cas A II. [fk(x),f k(y)] a subi une transformation B. Alors, d’apr`es le Lemme 2.3, si le segment est de la k-i`eme g´en´eration, (49) dist(fk+1(x),f k+1(y)) −dist(fk(x),f k(y)) ≤2A2−(k+1)N, 518 H. Pajot donc d’apr`es (25), (50) dist(fk+1(x),f k+1(y))−dist(fk(x),f k(y))≤AK−1 1dist(fk(x),f k(y)). Si maintenant [fk(x),f k(y)] est un segment de la j-i`eme g´en´eration avec j<k, (51) dist(fk+1(x),fk+1(y))−dist(fk(x),fk(y)) ≤CAK−1 1 dist(fj(x),f j(y)) 2(k−j)N. Il nous faut reste `a consid´erer le cas de segments [fk+1(x),f k+1(y)] o`u x∈∆k,y∈Ak+1. Consid´erons x∈∆k, et supposons que β∞(x, K2−k,E)≤ε0. Alors fk+1(x) est une extr´emit´e d’au plus deux segments dont les autres extr´emit´es sont des points du type fk+1(y) avec y∈Ak+1. CasBI.il y en a exactement deux fk+1(y)etfk+1(z)(yet zsont dans Ak+1). Alors fk+1(y)=fk(y)etfk+1(z)=fk(z). On suppose que fk(x)=fk+1(x) (sinon rien n’a ´et´e modifi´e). Le calcul de la longueur ajout´ee est identique `a celui de (31). Ainsi, si on note Dk+1 une droite minimisant β1(x, K2−kN ,E), on a, d’apr`es (20), dist(fk(x),D k+1)>Cβ 1(x, K2−(k+1)N,E)2−(k+1)N dist(fk+1(x),D k+1)≤Cβ1(x, K2−(k+1)N,E)2−(k+1)N dist(fk+1(y),D k+1)≤Cβ1(x, K2−(k+1)N,E)2−(k+1)N dist(fk+1(z),D k+1)≤Cβ1(x, K2−(k+1)N,E)2−(k+1)N. On en d´eduit dist(fk+1(x),D)≤Cβ1(x, K2−(k+1)N,E)2−(k+1)N o`uDest la droite engendr´ee par fk(y)etfk(z). D’o`u, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, dist(fk+1(x),f k+1(y)) + dist(fk+1(x),f k+1(z)) ≤Cβ1(x, K2−(k+1)N,E)22−(k+1)N + dist(fk(y),f k(z)) ≤Cβ1(x, K2−(k+1)N,E)22−(k+1)N + dist(fk(y),f k(x)) + dist(fk(x),f k(z)). Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 519 On a donc (52) dist(fk+1(y),f k+1(x)) + dist(fk+1(x),f k+1(z)) −dist(fk(y),f k(x)) −dist(fk(x),f k(z)) ≤Cβ1(x, K2−(k+1)N,E)22−(k+1)N. Cas B II. il y en a un seul fk+1(x)(y∈Ak+1) alors fk+1(y)=fk(y). Premier cas: fk(x) est l’extr´emit´e d’un segment [fk(x),f k(z)] de Γk tel que (53) l([fk(x),f k(z)]) ≥K2−kN . Si Kest tr`es grand devant 2N, ce segment ne peut subir qu’une transformation B (car `a cause de la propri´et´e de densit´ede∆ k, aucun point de Ene peut ˆetre `a une distance comparable de xet z, voir Figure 9). fk(y) fk(x)fk(z) Figure 9. Aucun point de En’est dans la zone hachur´ee. Soit k0≤kle plus petit indice tel que (54) l([fk0(x),f k0(z)]) ≥K2−k0N. On a alors (55) dist(fk+1(x),f k+1(y)) −dist(fk(x),f k(y)) ≤2A2−(k+1)N ≤2CAK−12−Ndist(fk0(x),f k0(z)) 2(k−k0)N. Deuxi`eme cas: Tout segment principal de Γkdont fk(x) est une extr´emit´e est de longueur inf´erieure `a K2−kN . 520 H. Pajot Si β∞(x, K2−kN ,E)≤ε0, alors d’apr`es la propri´et´educˆone (comme dans le Cas B II du paragraphe pr´ec´edent), fk+1(x) appartient `aun segment non principal [fk+1(x),a k+1(x)]. On a (56) dist(fk+1(x),f k+1(y)) −dist(fk(x),f k+1(y)) ≤CA2−(k+1)N. Supposons maintenant que β∞(x, K2−kN ,E)≥ε0(donc β1(x, K2−kN+1,E)≥C−1ε2 0). fk(x) est l’extr´emit´e d’un nombre born´e de segments de ˜ Γk+1 dont l’autre extr´emit´e est un point de Ak+1, donc la longueur totale “perdue” ∆(pour ces segments) quand on remplace fk(x) par fk+1(x) est major´ee par (57) ∆ ≤CA2−(k+1)N≤˜ Cβ1(x, K2−kN+1,E)22−kN . On a donc obtenu (58) l(Γk+1)−l(Γk)=l(1) k+1 +l(2) k+1 +l(3) k+1 +l(4) k+1 avec •l(1) k+1 est la “longueur totale ajout´ee” par l’insertion de points de Esuivant la transformation A. D’apr`es (31) et (34), on a (59) l(1) k+1 ≤C x∈∆k+1 β1(x, K2−k,E)22−k. •l(2) k+1 est la “longueur totale ajout´ee” par l’insertion de points de Esuivant la transformation B (sans compter les segments cr´ees dans le Cas B II du paragraphe 4), lorsque le β∞est petit. •l(3) k+1 est la “longueur totale ajout´ee” quand on remplace fk(x) par fk+1(x), x∈∆k. l(3) k+1 =l(Γk+1)−l(˜ Γk+1). •l(4) k+1 est la “longueur totale ajout´ee” quand on ins`ere un segment dans le Cas B II du paragraphe 4. Il est clair, d’apr`es le choix de l’ensemble Ak+1, que Γk+1 v´erifie les mˆemes propri´et´es que Γk`al’´echelle 2−(k+1)N. Sous-ensembles de courbes Ahlfors-r´ eguli` eres 521 6. Fin de la construction de Γ Soit Γ l’ensemble connexe obtenu en it´erant la construction pr´ec´edente. On a, d’apr`es (24), E⊂Γ. Nous allons maintenant ´evaluer l(Γ). On a, d’apr`es (58), (60) l(Γ) −l(Γ0)≤ k l(1) k+ k l(2) k+ k l(3) k+ k l(4) k. Or, d’apr`es (59), (61)  k l(1) k≤C k x∈∆k β1(x, K2−k,E)22−k. Il nous faut maintenant ´evaluer les trois autres sommes. Le but est de montrer qu’elles sont petites devant la longueur de Γ. Commen¸cons par quelques remarques. •Γ contient des segments [x, y]o`uxet ysont dans un ∆kpour un certain k. Donc, pour tout j≥k,[fj(x),f j(y)] ⊂Γj. On note S(1) cet ensemble de segments. On dira qu’un tel segment est de la k-i`eme g´en´eration si [fk(x),f k(y)] est un segment de Γket un des deux points xou yn’est pas dans ∆k−1. En fait, ce segment a subi, `a partir de la k-i`eme ´etape, que des transformations B, et `a chaque ´etape, le nombre de transformations B est born´e (si β∞est petit). Remarque. Si le segment [fk(x),f k(y)], xet ydans ∆k, a subi une transformation B, alors aucun de ses “successeurs” [fj(x),f j(y)], j≥k, ne subira A (voir Remarque 3 dans le Cas A II du paragraphe 4). Ceci implique que seuls les segments de S(1) ont une contribution `a  k l(2) k. On en d´eduit que pour un tel segment, si Aest assez grand, il existe k0≥ktel que, pour tout j≥k0, (62) l([fj(x),f j(y)]) ≥K2−jN. Evaluons dist(fk(x),f k(y)) par rapport `a dist(x, y).