Solutions de viscosite des equations de Hamilton-Jacobi en dimension infinie. Cas stationnaire

Publicacions Matem`atiques, Vol 39 (1995), 173–185. SOLUTIONS DE VISCOSITE DES EQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI EN DIMENSION INFINIE. CAS STATIONNAIRE El Mahjoub El Haddad Abstract We show the uniqueness and the existence of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations on a smooth Banach spaces. The tool used is the variational principle of Deville, Godefroy and Zizler. The existence is given by Perron’s method. So we give a comparaison assertion for semicontinuous solutions. 1. Introduction Dans ce travail nous ´etudierons l’existence et l’unicit´e des “solutions de viscosit´e” des ´equations de Hamilton-Jacobi en dimension infinie. Nous consid´erons le probl`eme stationnaire: (1.1) u(x)+H(x, Du(x)) = 0 sur X, o`uXest un espace de Banach, H(x, p) est une fonction r´eelle uniform´ement continue, d´efinie sur X×X∗,u(x) est la fonction r´eelle inconnue, Du d´esigne la d´eriv´ee au sens de Fr´echet de upar rapport `a x, et X∗est l’espace dual de X. Cette notion de solution a ´et´e introduite par M. G. Crandall et P. L. Lions (cf. [5]et[6]), o`u ils ont donn´elath´eorie de base des ´equations de Hamilton-Jacobi du premier ordre en dimension finie en d´emontrant l’existence et l’unicit´e de solutions de viscosit´e de (1.1) avec l’hypoth`ese “Hcontinue sur Rn×Rn”. Un an plus tard M. G. Crandall, L. C. Evans et P. L. Lions ont reformul´e et simplifi´e ce travail (cf. [4]). Apr`es, plusieurs auteurs se sont int´eress´es `a ce sujet, en particulier H. Ishii ([16], [17], [18], [20]), Barles [1], I. Capuzzo Dolcetta [3] et d’autres. Quelques ann´ees plus tard, M. G. Crandall et P. L. Lions ont remarqu´e que ces ´equations peuvent ˆetre ´etudi´ees aussi en dimension infinie. En fait, en dimension finie, pour comparer les sous-solutions aux sur-solutions 174 E. M. El Haddad de viscosit´e, l’astuce ´etait de maximiser apr`es p´enalisation une fonction semi-continue sup´erieurement dite fonction auxiliaire. Ainsi, ils ont suppos´e des hypoth`eses techniques d’uniformit´e sur le Hamiltonien, sur les sous-solutions et les sur-solutions de viscosit´e, ce qui a ´et´e justifier par l’utilisation des jeux diff´erentiels pour l’existence. Mais ils se sont int´eress´es aux espaces de Banach qui poss`edent la propri´et´e de RadonNikodym et une fonction bosse r´eguli`ere, car sur ces espaces, ilyale principe variationnel de Stegall (cf. [21]). Ce principe variationnel leur a permis de donner une s´erie de travaux (cf. [7]). Plus r´ecemment, R. Deville, G. Godefroy et V. Zizler ont trouv´eun principe variationnel (cf. [11]) qui a ´etendu celui de J. M. Borwein et D. Preiss (cf. [2]) par une d´emonstration simple en utilisant le th´eor`eme de Baire. Ce r´esultat leur a donn´e l’id´ee d’´etudier les ´equations de Hamilton-Jacobi sur des espaces plus vastes que ceux de M. G. Crandall et P. L. Lions, c’est `a dire des espaces qui poss`edent une fonction bosse de classe C1et Lipschitzienne. Ils ont obtenu `a la fois l’existence et l’unicit´e des solutions de viscosit´e born´ees du probl`eme stationnaire de la forme: u(x)+H(Du(x)) = f(x) sur X, o`uXest un espace de Banach poss´edant une fonction bosse de classe C1et Lipschitzienne, H:X∗−→ Rune fonction uniform´ement continue et fune fonction r´eelle, born´ee et uniform´ement continue sur X. Pour l’existence, ils ont utilis´elam´ethode de Perron introduite par H. Ishii en 1987 (cf. [19]). Cette m´ethode est efficace si on arrive `a comparer une sous-solution semi-continue sup´erieurement `a une sur-solution semicontinue inf´erieurement. Voici maintenant le plan de ce travail: dans la premi`ere section, nous rappelons la d´efinition de solution de viscosit´e du probl`eme (1.1), et nous donnons quelques pr´eliminaires. Dans la seconde section, nous montrons le r´esultat de comparaison dans le cas des sous-solutions major´ees lin´eairement et des sur-solutions minor´ees lin´eairement, ce qui est une extension `a la fois des travaux de R. Deville, G. Godefroy et V. Zizler (cf. [11]) `a un cas non “born´e”et de ceux de M. G. Crandall et P. L. Lions dans le cas stationnaire (cf. [7]), seulement ici, le probl`eme est consid´er´e sur l’espace tout entier au lieu d’un ouvert quelconque. La d´emonstration est indirecte puisqu’au d´ebut, on se place dans le cas o`u la sur-solution de viscosit´e est de classe C1. Pour se ramener `a ce cas, on se place sur l’espace X×X et nous utilisons le fait qu’une fonction uniform´ement continue est Lipschitzienne pour les grandes distances (lemme 3.4). Nous construisons une sur-solution de viscosit´e d’un probl`eme sur X×Xde mˆeme forme que (1.1) avec un Hamiltonien form´e par la diff´erence de deux Hamil- Solutions de viscosit´ e en dimension infinie 175 toniens sur X×X∗. Cette nouvelle sur-solution sera arbitrairement petite sur la diagonale. Ainsi le r´esultat d´ecoule imm´ediatement du fait que la diff´erence d’une sous-solution et d’une sur-solution de viscosit´e sur X×Xdu probl`eme (1.1) est une sous-solution de viscosit´e du probl`eme construit sur X×X. Nous donnerons aussi des exemples, pour montrer la n´ecessit´e de l’hypoth`ese g´eom´etrique et de la continuit´e uniforme de l’Hamiltonien. Dans la derni`ere section, nous verrons `a l’aide de la m´ethode de Perron pour les solutions de viscosit´e, comment le th´eor`eme de comparaison (Th´eor`eme 3.1) peut donner l’existence des solutions de viscosit´e et leur r´egularit´e en fonction du module de continuit´ede l’Hamiltonien. 2. D´efinitions et pr´eliminaires Dans tout ce travail l’espace de Banach Xv´erifie la condition g´eom´etrique suivante: (A) Il existe une fonction b:X−→ R,de classe C1, Lipschitzienne avec support born´e et non vide. Une telle fonction est appel´ee fonction bosse r´eguli`ere. Ici dans la plupart des d´emonstrations nous utiliserons le principe variationnel de R. Deville, G. Godefroy et V. Zizler dont voici l’´enonc´e: Th´eor`eme 2.1. Soient Xun espace de Banach, f:X−→ Rune fonction semi-continue inf´erieurement et born´ee inf´erieurement, telle que D(f)=∅et ε>0. Supposons qu’il existe une fonction bosse de classe C1et Lipschitzienne sur X. Alors, il existe une fonction gde classe C1 sur X, telle que: a) f+ga un minimum en un point x0∈D(f), b) g∞= sup{|g(x)|;x∈X}<εet g∞= sup{g(x)∞;x∈ X}<ε. Rappelons que si l’espace de Banach Xadmet une norme ´equivalente de classe C1sur X\{0}, alors l’hypoth`ese (A) est v´erifi´ee. L’inverse n’est pas vrai en g´en´eral (cf. [15] pour un contre-exemple). Cependant on peut produire une fonction r´eguli`ere et homog`ene `a partir d’une fonction bosse r´eguli`ere. Ceci est donn´e par la proposition suivante qui est d´emontr´ee dans [12]. Proposition 2.2. Supposons que l’espace de Banach Xv´erifie l’hypoth`ese (A). Alors il existe une fonction dLipshitzienne sur Xtelle que: (i) dest de classe C1sur X\{0} 176 E. M. El Haddad (ii) d(tx)=|t|d(x)pour x∈Xet t∈R (iii) il existe une constante K>0telle que x≤d(x)≤Kxpour x∈X. Le probl`eme (1.1) n’admet pas de solutions classiques en g´en´eral (voir [12] pour des exemples). C’est pourquoi M. G. Crandall et P. L. Lions ont introduit la notion de solution de viscosit´e en utlisant les sousdiff´erentiels et les sur-diff´erentiels de fonctions dont voici un rappel: Pour f:X−→ R∪{+∞} une fonction semi-continue inf´erieurement, on note D(f) le domaine de f: D(f):={x∈X;f(x)<+∞} et on d´efinit: D−f(x)={ϕ(x); ϕ:X−→ Rde classe C1 et f−ϕa un minimum local en x}. On dit que fest sous-diff´erentiable en xsi D−f(x)=∅(pour x/∈D(f), on d´efinit D−f(x)=∅). De mani`ere similaire, on peut d´efinir le surdiff´erentiel de fen x: D+f(x)={ϕ(x); ϕ:X−→ Rde classe C1 et f−ϕa un maximum local en x}. D´efinition 2.3. Une fonction u:X−→ Rest une sous-solution de viscosit´e de (1.1) si: i) uest semi-continue sup´erieurement ii) pour tout x∈Xet tout p∈D+u(x): u(x)+H(x, p)≤0. La fonction uest une sur-solution de viscosit´e de (1.1) si: iii) uest semi-continue inf´erieurement iv) pour tout x∈Xet tout p∈D−u(x): u(x)+H(x, p)≥0. Finalement uest une solution de viscosit´e de (1.1) si uest `ala fois sous-solution et sur-solution de viscosit´e de (1.1). Solutions de viscosit´ e en dimension infinie 177 Remarques. 1) D’apr`es cette d´efinition, on voit que les solutions de viscosit´e sont seulement continues. 2) Si Xv´erifie l’hypoth`ese (A), alors les solutions classiques de (1.1) sont aussi des solutions de viscosit´e. En effet, si uest une solution classique de (1.1), alors uest de classe C1sur X. Et en utilisant la Proposition VIII.1.2 [12], on trouve D+u(x)=D−u(x)={Du(x)}pour x∈X, ce qui montre que uest solution de viscosit´e de (1.1). 3) Consid´erons dans Rla fonction u(x)=|x|. Pour x=0,ona (u(x))2−1 = 0, et il est facile de voir que D+u(0) = ∅et D−u(0) = [−1,1],ce qui montre que uest solution de viscosit´edel’´equation 1 − (u)2= 0, mais qu’elle n’est pas solution de viscosit´ede(u)2−1=0. On est donc confront´e`a un probl`eme non lin´eaire. 3. Unicit´e des solutions de viscosit´e Dans cette section nous montrons le th´eor`eme de comparaison suivant: Th´eor`eme 3.1. Supposons que l’espace de Banach Xsatisfait l’hypoth`ese (A). Soient H1,H2deux Hamiltoniens uniform´ement continues sur X×X∗. Soient u,vdeux fonctions r´eelles d´efinies sur X. Supposons qu’il existe une constante C≥0telle que u(x)≤C(1 + x)et v(x)≥ −C(1 + x)pour x∈X. Si uest une sous-solution de viscosit´ede (3.1) u+H1(x, Du)=0sur X et vest une sur-solution de viscosit´ede (3.2) v+H2(x, Dv)=0sur X, alors pour tout ε>0, il existe Kε≥0tel que u(x)−v(y)≤(ε2+Kεx−y2)1 2+ sup X×X∗ (H1−H2) pour x,y∈X. Remarques. 1) Dans le Th´eor`eme 3.1, si on prend H1=H2=H, on obtient pour tout ε>0, u(x)−v(x)≤εpour x∈X. Donc u≤vsur X. Ceci montre que l’´equation (1.1) a une unique solution de viscosit´e. 178 E. M. El Haddad 2) Soient Xun espace de Hilbert et H:X×Xun Hamiltonien d´efini par H(x, p)=−x, p(,d´esigne le produit scalaire sur X). Le Hamiltonien Hest uniform´ement continu sur les sous-ensembles born´es de X2, mais il n’est pas uniform´ement continu sur X2. Les fonctions u=0etv(x)=xsont des solutions de viscosit´e uniform´ement continues de u+H(x, Du) = 0 sur X. Ceci montre que l’hypoth`ese d’uniforme continuit´e de le Hamiltonien Hdans le Th´eor`eme 3.1 ne peut ˆetre supprim´ee. D’autres conditions, plus g´en´erales (mais plus techniques) ont ´et´e consid´ees par M. G. Crandall, P. L. Lions dans [7]et H. Ishii dans [19]. Ces conditions plus g´en´erales sont motiv´es par les applications `a des probl`emes de contrˆol optimal ou de jeux diff´erentiels. 3) Ici on montre la n´ecessit´e de la condition g´eom´etrique (A) dans le Th´eor`eme 3.1. Pour cela, on consid`ere l’espace de Banach X=1(N)et le Hamiltonien H:1(N)×∞(N)−→ Rd´efini par H(x, p)=−(p∞+ x1) + 1 qui est uniform´ement continu. Maintenant, consid´erons les fonctions r´eelles uet vd´efinies sur 1(N) par u(x)=1 2(x1+1) et v(x)=x1. On affirme que uest une sous-solution de viscosit´eetvest une sur-solution de viscosit´e du probl`eme u+H(x, Du)=0sur1(N). En effet, pour x=(xn)∈1(N), D−v(x)={p=(pn)∈∞(N); |pn|≤1 et pn= sign xnsi xn=0}. Donc si p∈D−v(x), v(x)+H(x, p)= x1−p∞+1−x1=1−p∞≥0. Puisque x−→  x1est convexe et nulle part Fr´echet diff´erentiable sur 1(N), on a D+u(x)=∅pour x∈1(N). Mais v(x)−u(x)=x1−1 2; par suite v<usur la boule unit´e de 1(N). Avant de donner la d´emonstration de ce th´eor`eme, signalons le probl`eme ouvert suivant: Probl`eme. Comme dans le cas du second ordre (cf. [14]et [10]), est-il possible d’avoir un th´eor`eme de comparaison pour le probl`eme de Cauchy ´equivalent? Jusqu’a maintenant, nous avons une r´eponse positive dans le cas “born´e” (voir [13]). Ce r´esultat a ´et´e montr´e`a l’aide d’une formule du sous-diff´erentiel du premier ordre de la somme de deux fonctions (cf. [9]). Au d´ebut, nous commencons par d´emontrer un cas particulier du Th´eor`eme 3.1: Proposition 3.2. Soit Yun espace de Banach v´erifiant la condition (A). Soient G:Y×Y∗−→ Run Hamiltonien uniform´ement continu, wet wdeux fonctions r´eelles sur Y, telles que w(y)≤K(1 + y) et w(y)≥−K(1 + y)pour y∈Yet une constante K≥0. Solutions de viscosit´ e en dimension infinie 179 Si west une sous-solution de viscosit´ede (3.3) w+G(y,Dw)=0sur Y et west une sur-solution classique de (3.3), alors w≤wsur Y. D´emonstration: La preuve est en deux ´etapes; dans la premi`ere nous montrons que w−west born´ee sup´erieurement sur Y, et dans le deuxi`eme nous montrons le r´esultat d´esir´e. Premi`ere ´etape: Pour montrer que w−west born´ee sup´erieurement sur Y, nous aurons besoin du lemme suivant : Lemme 3.3. Soit Yun espace de Banach v´erifiant la condition (A). Soit f:Y−→ R∪ {−∞} une fonction semi-continue sup´erieurement et telle que f(x)≤M(1 + x)pour x∈Yet une constante M≥0.Sif n’est pas born´ee sup´erieurement, alors il existe xm∈Y,pm∈D+f(xm) tels que: (3.4) pmest born´eet lim m→∞ f(xm)=+∞. D´emonstration: Consid´erons la fonction am:R+−→ Rde classe C1, d´efinie par am(t)=0si0≤t≤m ((t−m)2+1)1 2−1sit>m. Maintenant consid´erons la fonction wm:Y−→ R,d´efinie par: wm(x)=f(x)−Mam(d(x)), o`udest la fonction de Leduc donn´ee par la Proposition 2.1. La fonction wmest semi-continue sup´erieurement. D’apr`es le choix de la fonction am,w mest born´ee sup´erieurement et le fait que fn’est pas born´ee sup´erieurement implique que sup{wm(x); x∈Y,m∈N}=+∞. Donc, d’apr`es le Th´eor`eme 2.1 appliqu´e`a−f, on peut trouver une fonction gm:Y−→ Rde classe C1v´erifiant: (1) gm∞= sup{|gm(x)|;x∈Y}<1 met g m∞= sup{g m(x); x∈Y}<1 m. (2) wm−gmatteint son maximum en un point xm∈Y. 180 E. M. El Haddad D’o`u, si on pose pm=Ma m(d(xm))d(xm)+g(xm), on a pm∈D+f(xm). Et comme amet dsont Lipshitziennes, il existe une constante N≥ 0 telle que pm≤Npour m≥1. De plus, f(xm)≥wm(xm)≥ sup{wm(x); x∈Y}− 1 m, ce qui prouve que lim m→∞ f(xm)=+∞. Pour montrer la premi`ere ´etape, on suppose le contraire, donc la fonction f=w−w, satisfait les conditions du Lemme 3.3; par cons´equent il existe xm∈Y,pm∈D+(w−w)(xm), tels que pmest born´eet lim m→∞(w−w)(xm)=+∞. Mais west une fonction de classe C1, ce qui donne pm+w(xm)∈D+w(xm). La fonction west une sous-solution de viscosit´e de (3.3), donc w(xm)+G(xm,p m+w(xm)) ≤0. La fonction west une sur-solution de classique de (3.3), donc w(xm)+G(xm,w(xm)) ≥0. Par cons´equent, w(xm)−w(xm)≤G(xm,w(xm)) −G(xm,p m+w(xm)). Comme Gest uniform´ement continue et pmest born´e, en utilisant le Lemme 3.4 ci dessous, on obtient une contradiction avec (3.4). Deuxi`eme ´etape: Fixons ε>0. La fonction w−west semi-continue sup´erieurement et d’apr`es la premi`ere ´etape, elle est born´ee sup´erieurement. D’apr`es le Th´eor`eme 2.1 appliqu´e`af=−(w−w), il existe x0∈Y et p∈D+(w−w)(x0), tels que p<εet (w−w)(x0)>sup(w−w)−ε. La fonction west une sous-solution de viscosit´e de (3.3), donc w(x0)+G(x0,p+w(x0)) ≤0. La fonction west une sur-solution classique de (3.3), donc w(x0)+G(x0,w(x0)) ≥0. Par cons´equent, sup(w−w)≤(w−w)(x0)+ε ≤G(x0,w(w0)) −G(x0,p+w(w0)) + ε. De plus, p≤ε,etGest uniform´ement continue, donc en faisant tendre εvers z´ero, on obtient: sup Y (w−w)≤0. Solutions de viscosit´ e en dimension infinie 181 D´emonstration du Th´eor`eme 3.1: Soit ε>0 fixe. Consid´erons l’espace de Banach Y=X×X, qui satisfait l’hypoth`ese (A) (il suffit de prendre B(x, y)=b(x)b(y)). Le Hamiltonien Gd´efini sur Y×Y∗par G(x, y, p, q)=H1(x, p)−H2(y,−q) est uniform´ement continu. Nous affirmons qu’il existe  Kε≥0 telle que la fonction w(x, y)=(ε2+ K2d(x−y)2) 1 2+ sup X×X∗ (H1−H2) est une sur-solution classique de (3.3), o`u dest la fonction de Leduc donn´ee par la Proposition 2.1. Pour cette affirmation, nous avons besoin du lemme suivant: Lemme 3.4. Soient Xun espace de Banach et v:X−→ Rune fonction uniform´ement continue. Alors, pour tout ε>0, il existe un nombre r´eel Kε>0tel que: |v(x)−v(y)|≤ε+Kεx−y pour x,y∈X. D´emonstration du Lemme 3.4: Soit ε>0fix´e. Comme vest uniform´ement continue sur X, il existe δε>0 tel que |v(x)−v(y)|≤εd`es que x−y≤δε. Soient xet ydeux ´el´ements de X.Six−y≤δε, on a le r´esultat. Sinon il existe n∈N∗tel que n+1>x−y δ≥n. Soit (xk)n+1 k=0 une suite finie d’´el´ements de Xtelle que: xk=x+kδ x−y(y−x) pour k=0,1,... ,n xn+1 =y. On a xk+1 −xk=δεpour k=0,1,... ,n−1; de plus y−xn=(y−x)1−nδε x−y, et donc y−xn=y−x−nδε<δ ε. Par cons´equent, |v(x)−v(y)|= n  k=0 v(xk)−v(xk+1)≤ n  k=0 |v(xk)−v(xk+1| ≤(n+1)ε=ε+nε ≤ε+ε δε x−y.