Approximation par des fonctions holomorphes a croissance controleé

Publicacions Matemàtiques, Vol 38 (1994), 269-298 . APPROXIMATION PA R DES FONCTIONS HOLOMORPHE S A CROISSANCE CONTROLE E PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN AND MODI MOUNKAILA A bstract  Let 9 be a bounded pseuco-convex domain in Cn with a C O ° boundary, and let S be the set of strictly pseudo-convex point s of a p . In this paper, we study the asymptotic behaviour of holomorphic functions along normals arising from points of S . W e extend results obtained by M . Ortel and W . Schneider in the uni t disc and those of A . lardan and Y . Dupain in the unit ball o f e n . We establish the existence of holomorphic functions of give n growth having a "prescribed behaviour " on almost all normal s arising from points of S . 1 . Introductio n 1 .1 . Historique . Dans ce travail, on étudie le comportement asymptotique au bord de s fonctions holomorphes á croissance contrólée dans un domaine pseudoconvexe borné de e n . Les premiers résultats dans cette direction ont été obtenus en dimension 1 en 1954 par F . Bagemihl et W . Seidel ([1]) : précisément il s démontrent que si cp est une fonction continue sur le disque unité D d u plan complexe, il existe un fonction holomorphe f dans D telle que, pou r presque tout 1 E OD, on a 1 m ( f (re) — (pW) = U . Une telle fonction n e r— n peut pas, en général, étre bornée, et il est naturel de se demander si o n peut contróler sa croissance . En 1971 J . P . Kahane et Y . Katznelson ([6] ) montrent que si 1/) est mesurable sur a D, pour tout ordre de croissanc e 0 non borné, il existe une fonction hoiomorphe G dans D admettant 1/ ) pour limite radiale presque partout et vérifiant I G 1 Ç 0 . Enfin, en 1985 , M . Drtel et W . Schneider généralisent ce dernier résultat á des limite s inférieures et supérieures pour les parties réelle et imaginaire de G ([8]) . 270  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . MOUNKAIL A En dimension supérieure,les premiers résultats sont apparus peu d e temps aprèsla démonstration de 1 ' existence des fonctions intérieures . Tout d'abord, dans [4], M . Hakim et N . Sibony généralisent le théorém e de F . Bagemihl et W . Seidel à la boule unité de Cn et à une classe asse z vaste de domaines pseudoconvexes, et Y . Dupain obtient un résulta t analogue dans la boule précisant les points exeptionnels ([2]) . Le premie r résultat faisant intervenir un contróle de croissance a été obtenu pa r A . Iordan ([5]) dans la boule unité de e n . Finalement un résultat préci s dans la boule unité de e n , a été obtenuen 1991 par Y . Dupain ([3]) , et c ' est celui-ci que nous nous proposons de généraliser aux domaine s pseudoconvexes de e' . I1 faut noter que la partie difficile du théoréme réside dansle control e de la croissance de la fonction qui approxime, et il n'est pas clair qu'u n tel résultat soit vrai dans un domaine quelconque . 1 .2 . Notations et énoncédu théoréme . n étant un entier > 2, l'espace e n est muni du produit scalaire stan- - n dard (z, w ) =  et de la norme qui lui est associée . i= l Dans toute la suite, 9 désignera un domaine borné de C n de fonctio n définissante p de classe C l . On notera ola mesure de Lebesgue induit e sur 39 . La lettre D désignera le disque unité du plan complexe, et o n notera p, la mesure de lebesgue normalisée sur a D . Pour tout point w E OQ on notera n w le vecteur unitairenormal à ~S 2 orienté extérieurement . Pour tout z E C n on notera 6(z) la distance au complémentaire de SZ . Enfin nous noterons H(Q) 1'algèbre des fonctions holomorphes dans S Z et A(Q) la sous -algébre des fonctions continues sur SZ . Donnons maintenant la définition d'ordre de croissance que nous utilis - erons : Définition 1 .1 . Un ordre de croissance non borne est une fonctio n 9 10, 1 [-+]0, +oo [ décroissante telle que li Ó9(x) = +oo . Dans cet article nous démontrons le théoréme suivant : Théoréme 1 .2 . Soient 9 un domaine pseudoconvexe borne' de e n á bord C°°, (,o une f onction continue dans ~ et O un ordre de croissance no n borné Alors il existe une fonction f holomorphe dans SZ et une bijection croissante j (3 10, 1[---}]0, 1 [ tales que : 1) If ( z )I ç 0(6( z ) }, z E9 ; APPRCxIMATIQN AVEC CROISSANCE  27 1 2) pour presque tout point de stricte pseudoconvexité w de 59, on a : É ó f (w — enw) — c P( w — O( E ) n ~„) = 0 1 .3 . Sehéma de la démonstration . 0 0 La fonction f est construite sous forme d'une série  f k oú f k es t k= 1 une fonction de A ( g ) d ' ordre de croissance inférieur à O/2 k qui est un e k1 approximation convenable de (p k - = cp — E f i . Plus précisément, pou r j= 1 des paramètres inférieurs à 1 /2 1 , une fonction g est une approximatio n convenable de fz/) sur un ouvert 0 pour les paramétres a et a s'il exist e un ensemble W C O, o-( W ) > (1 — a )o-(o ) , et deux réels a 1 et a2 , 0 Ca1 Ca 2 C A ,tels que : (i) E < A l  Ig(w - Enw) — O(w) I C a, w E W ; (u) A l Ç E Ç a2  I— En w ) — O( w ) I C I0(w)I + a, w E W ; (iii) a2 Ç  lEnw ) ~ C a . Les méthodesutilisées pour construire ces approximations utilisan t des propriétés de stricte convexité, nous sommes amenés à considérer de s biholomorphismeslocauxau voisinage des points de stricte pseudoconvexité et donc à construire des approximations locales dans un domain e strictement convexe . Lors du retour dans le domaine pseudoconvexe s e posent alors deux problémes . Tout d ' abord les fonctions approximante s étant obtenues autraversdes biholomorphismes elles ne sont plus définie s que localement et il faut les globaliser . .D'autre part, les normales du domaine pseudoconvexe ne sont pas les images des normales du strictemen t convexe, et les propriétés d'approximations dans le strictement convex e doivent étre vérifiees le long de certaine"s courbes . Pour résoudre le premier probléme nous sommes amenés à construire, dans le strictement convexe, des approximations vérifiant, outre le s conditions précédentes, des conditions sur la croissance desdérivées, l a globalisation se faisant alors naturellement en résolvant un O . Bien que les propriétés d'approximation doivent étre obtenues le lon g de familles de courbes"admissibles" , il est plus simple, vu le cóté technique de la méthode, d'obtenir tout d'abord des approximations préliminaires le long des normales au domaine strictement convexe . Ce n'est qu'àla fin du paragraphe concernant les strictement convexes que Po n deduira les approximations cherchéesde celles obtenues le long des normales . 272  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . MOUNKAIL A Dans les strictement convexes, les approximations avec controle de s dérivées sont obtenues par un procédé itératif utilisant des approximations un peu plus faibles c'est-á-dire vérifiant essentiellement seulemen t les propriétés (ii) et (iii) ci-dessus, la propriété (i) étant remplacée pa r la propriété suivante : (i') e < A l ~ i 9(w — en w ) — '1P (w) I < c IO (w) i + a, w E W(oú c < 1) . A ce niveau, le point de départ de la méthode de construction es t directement inspiré de [31 : les approximations de la fonction çP son t obtenues en faisant le produit d ' une fonction de A(9) approximant ç P (sans controle de croissance) et d ' une autre qui approxime la constante 1 avec de bons controles sur sa croissance et celles de ses dérivées . C ' es t gráce á un choix judicieux des paramétres intervenant dans les constructions des fonctions précédentes que l 'on peut conclure . L ' article est ainsi divisé en deux parties . Dans la premiere on s e place dans un domaine stritement convexe et on y montre un résulta t d ' approximation local suffisament fin . Dans la seconde, on utilise le s biholomorphismes locaux précédement cités et le résultat de la premiér e partie pour démontrer le résultat final . 2 . Le cas strictement convex e Le point de départ de la construction est l ' existence, en tout point w de al, de fonctions élémentaires possédant de bonnes propriétés dan s un voisinage de ce point ainsi que "loin" de celui-ci . Ceci est basé su r la stricte convexité du domaine sous la forme de 1 ' existence de boule s osculatrices á ¿ISI en w : nous construisons des fonctions élémentaire s dans ces boules, les fonctions dans le domaine étant obtenues simplemen t par restriction . Les fonctions dans les boules sont construites, á parti r du théoréme de Mergelyan dans le disque unité de e, par projection su r la normale complexe au point w . Afin de simplifier au maximum des passages techniques assez longs , nous introduisons des notations et une pseudo-distance exprimées directement en fonction de ces projections . Bien que cette pseudo-distanc e soit équivalente á la racine carrée de la distance euclidienne, c'est ell e que nous utiliserons car elle intervient directement dans les calculs . 2 .1 . Notations et définition de la pseudodistance . La stricte convexité de g entrafne qu'il existe R 1 > o et R 2 > o tel s que, pour tout w E al, il existe deux points u(w) et v(w) pour lesquels APPROXIMATICN AVEC CROISSANCE  27 3 les baules euclidiennes B ' (u(w), Ro) et B ' (u(w), R 1 ) sont tangentes à áS 2 en w e t (2 .1)  B ' (u(w) , B1) c SZ c B ' (u(w) , Ro) . Sans perte de généralité, nous pouvons supposer Bo = 1, et, pour tou t wEaSZ, Sl C B ' (w  u(w) 1 2  2 J Pour tout paint w E  notons Lw la fonction de S~ dans [4,1 [ défini e pa r (2 .3)  Lw(z) = I et L : 52 --> [0,1 [ celle donnée pa r (2 .4)  L(z) = má~Lw(z) . On notera que si z est assez proche de aSZ, on a L(z) = 1 - -- S ( z) . Toutefois, dans les calculs explicites que nous fallons faire dans tout l e domaine, c ' est la fonction L(z) qui intervient directement, et taus le s résultats intermédiaires sont exprimés en fonction de L et non pas de á . On considére l' application d : aSZ x aSZ —> R+ définie pa r (2 .5)  d(w,w ' ) = 1 — (w ' — u(w), n w ) = 1 — L w (w ' ) , et, pour w E áSZ, et r > 0, on not e (2 .6)  B(w,r) = {w ' E á9/d(w, w ' ) < r} . La proposition suivante montre que d se comporte essentiellemen t comme une pseudo-distance et introduit des constantes qui interviendront dans les calculs ultérieurs : Proposition 2 .1 . 1) IZ existe une constante Q > 0 telle que pour w l et w2 dans C~SZ on a (2 .7)  d ( w l, w 2) Q d ( w 2, w l) . 2) Ii existe une constante A > a tefe que pour w i E a g , i = 1, 2, 3, on a (2 .8)  d(w 1 , w2) Ç A mm [d(w,w)+ d(w k , w l ) ] . {i,j}={1,2 } {k,l }={2,3} 274  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . MOUNKAIL A 3) Il existe deux constantes strictement positives bo et b l telles qu e pour w E 09 et r < 1, on a (2 .9)  bpr'n—1/2 < o-(B(w, r)) < b l r n-1/2 . Cette proposition se déduit aisément de 1'existance d'une constant e po, 0 C po C R1 / S telle que, paürwEaS2 et rÇ po, on a B ' (w, \ /2R l r) C B(w, r) C B ' (w , Pour des raisons de commodité, nous noteron s (2 .10)  b2 = b 1 lbo . Des raisons techniques qui apparaitront clairement par la suite nou s aménent á définir une notion d ' ouvert assez petit suivante : Nous dirons qu'un ouvert de 9í est assez petit s ' il est de surfac e ç 1, de complémentaire non vide, et si, pour tous points w et w ' de as e ettout e,0<E<R 1 ,on a (2 .11) E  1 - I  - u t w '} nw ' 1(w — En w — u(w ),n') < min 1 - -, 1 - - 2  2 Naturellement tout point posséde un voisinage assez petit . 2 .2 . Approximation de la fonction 1 avet controle de croissance . Dans ce sous-paragraphe nous construisons, pour tout ouvert asse z petit 0 du bord de 9, une fonction holomorphe á croissance contrólée , petite ainsi que ses dérivées loin de 0, proche de 1 près du bord sur u n ensemble de normales " assez gros" issu de a et convenablement contrólé e sur ces méme normales . La finesse de l'approximation dépend d'un paramétre k . Pour k fixé , la méthode consiste á définir notre fonction comme somme de N I , fonc - tions vérifiant des conditions du méme type sur des ouverts plus petit s j udicieusement choisis . L ' existence de telles fonctions est donnée par le lemme d'aproximatio n locale (lemme 2 .3) assez technique qui est établi en utilisant un certai n nombre de fonctions auxiliaires définies après 1'énoncé de la proposition . APPROXIMATION AVEC CROISSANCE  27 5 Proposition 2 .2 . Il existe un réel á, 0 < O < 1, tel que, pour tou s réels a, ~ E]0,1[, il existe un réel M l > 0 tel que pour tout ouver t assez petit O de áSZ, pour tout entier positif k assez grand, il existe un e fonction F k E A(52), une fonction G k : St -4 [0, 1[, un ouvert O k CC O , un sous-ensemble Wk CC O k vérifiant v(W k ) > (1 - ,Q)Q(0), i et deu x réels e~ et ek, O < Ek < el = 2/k, de telle sorte que ron ait les propriété s suivantes : (I) IF k (z)I  M i (L(z)) k dans SZ ; (II) pour w E W k on a : (z) G k (w - en,,,) E [0,1/21 pour e < e¡~ , (ii) IF k (w — En w ) - G k (w - en,,,) l < a pour e E [O,R i [ ; (III) pour m E I` n , imi G n + 1, on a k9 m F k (z)1<apourzEi\{w_En W ,wEO k et e < Suivant les idées développées dans [3], nous définissons tout d'abor d des fonctions auxiliaires . Soient aet b tels qu e (2 .12)  e -1 < a < b < e -luz , et soit c : [0,1] - ---} [0,1] la fonction définie pa r O, si r E [0, a] ,  (2 .13)  c(r) =  affine sur [a, b] , 11,  si r E [b, l] . Dans toute la suite, nous ne considérons que des entiers k vérifiant l a condition suivante :  (2 .14)  (1 - 1/k) k < a et (1 - 1/2k) k > b . Pour tout entier k vérifiant 2 .14, nous noterons k' = k'(k) le plus peti t entier supérieur á 2k vérifiant la conditio n (n + 1)!(2k - 1) k'+1 (2k - 2)-k'+n+i (1 - 1/k) ç -(n+i) G 1 , (2 .15)  ( 1 - 1 / k ) k' (lt=2 1 ) < a . On vérifie facilement que k' = o(k 2 ) . Remarquons que si 6(z) C R 1 , z E c79, il existe un et un seul (w, e) E 89 x [0, R 1 [ tel que z = w - E?Z . 276  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . 111IQUNKAIL A Poutout wo E r7SZ, considérons la fonction g wo : S2 --* [0,1 [ définie pa r (2 .10) t£ i c(tÉ i ) , gw o ( z ) =  si 3(w, E) E aSZ x[0, R 1 [ tel que z= w — En u , , o,  sinon , ou . (2 .t7)  t,=1  I Lemme 2 .3 . Pour tous re'els rl, r y 00, 1[, pour tout wo E 09 et tou t entier positif k assez grand, il existe une fonction Fwok E A(9), u n voisinage vwo de wo dans et un sous-ensemble Ww o de vo tel qu e o-(Ww a ) > (1 — o)o-(v w k .) et ve'rifiant les propriétés suivantes : (I) V w E Ww o , VE E [O,R 1 [, on a IFwo k(w — En w )- -- gw o (w — En w )I C TI ; (II) Vz En tel que I— u(wo), nwo)i < 1 — 1/k', on a IFw ok (z)I < (L 0 ( z )} k' ; (III) dm E N n , imi ç n+l, Vz En tel que i (z - u (wo), n 0)l C 1—1/k , on a la m Fw ok (z) I Ç 7 ] (L wo (z} ) k' 13 • Dérnonstratlorl du lernrne 2 .3 : 2 . Détermination de la fonction Fwo k . Comme dans [3], considérons un ensemble de Cantor E dans ODdon t la mesure sera précisée ultérieurement . a et b étant les réels définis e n 2 .12, appliquons le théoréme de Mergelyan au compac t K= {Iz1 < a} U {rl, r E [a .1],EE} . Il existe donc h E H(C) te p e qu e 1h(z)I < 77/4, si Izi < a , lh(rl) — c(r)11 c 77/4, d E E, Vr E [0, 1] . Pour k satisfaisant 2 .14, posons maintenan t M z ) z k' h(z k' ) . Soit E k le sous -ensemble de aD défini par : 1 E E k <=> e k , E E, de sort e que a-(E k ) = o-(E) . En utilisant [3, 111 .1 .1], on établit aisément lesdeu x propriétés suivantes : (2 .20)  1 f k K) — r k c(r k )i G 77/4, de E E k , Vr E [0, 1] , (2 .18 ) (2 .19) APPRaXIMATICN AVEC CROISSANC E et ,  (2 .21)  i f k (z)I < (/4)fz ' , si Iz1 < 1 — 1/k ' . De plus, la fonction h étant daus H( C ), il existe un réel M l > 0 te l qu e  ( 2 .22 )  ~ — . Ík( z 2) I  k ' lul l l z l — z 2 l, dz l , z 2 E D . Par ailleurs, la formule de Cauchy appliquée au cercle lel _ Izi (= ) donne, pour m < n + 1 , If m )(z)I  (n+ 1)' (2k — 2) k'—n—1 IzI  Ixil=lz lmax  k ' (2í- .=2) I Cette inégalité combinée á 2 .15 et 2 .18 donn e (2 .23) Ifkm}~z}~ C nIzl k '/ 3 ,dmn+ 1, dzE D tel que izi < 1 — 1/k . Nous définissons alors la fonction F wok pa r (2 .24)  Fw ok (z) = f k ((z — u(wo), nw o )} , z E D . 2 . Définition des ensembles v wa et Ww o . Posons v fl = B(wo, 2 / k' ), 27 7 (2 .25 ) et (w — u ( w o), n wo) EE k } , J (2 .26) k W wo = w E V k wo tel que 10) —u w o), n wo) l et montrons que si k est assez grand, on a, uniformement par rapport á wo E 89, a ( W w k 0 ) > (1 — ry) u ( v w k o ) . Notons Twa le plan tangent en wo á c7S2 et II wo la pro j ection stéréographiquede centre u(wo) sur T ino . Il existe r ~ 0 tel que, pour tou t wo E a~SZ et tout A c B (wo , r), on a (z .27)  2 Q 2n—1( n wo( A )) 5 a(A) 5 2Q 2n—1(Ilwo( A ))• 284  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . MOUNKAIL A assez petit O de áS2, il existe une fonction H E A(SZ), un ensembl e W ' cc O et un réel E ' , 0 < e ' < R l , tels que : (1) o-(W') > (1 — O)o-(0) ; (II) 1H(w — en w ) — cp(w)1 < c l b p(w) i + a', V w E W ' , VE < E~ . Démonstrat i on : Reprenons les notations de la démonstration de la proposition 2 .2 : soit 1 un entier . Considérons une famille (w) 1 ci ~ N , de points de o' k maximale pour la relation i j ~ d (wi , 1/(4Q1') oú 1' est 1'entie r associés à 1 (c .f . 2 .15) . Soit W' i le sous -ensemble de W ¿ = Beun, 2/1 9 défini en 2 .26, pour wo = wi, et associé à I'ensemble de Cantor  défin i dans la preuve du lemme 2 .3 pour le paramètre ( 1 fiA ¿ _  1/2 b 2 . Enfin , notons W l'ensemble défini en 2 .32 à partir de s Soit (p1 = cp/(2b225nA2nQn ) L'entie r 1 étant fixé, soit s : [0, 1] —> [0,1] définie pa r  0,  sur [0,1—1/1'] , s(t) = s~(t) =  affine, sur [1 — 1/l ' ,1 — 1/21 ' ] ,  11,  sur [1—1/21',l] . Comme dans la démonstration* du lemme 2 .3, le théorème de Mergel y conduit aussitót au lemme suivant : a n Lemme 2 .5 . Pour tout entier i < N i , il existe une fonction h A(D) telle que : (I') (hi(z)í < a ' /(4N l ), dz tel que lzl < 1 — 1/1 ' ; (II') I— s(r)cp l ( wz) I < a ' /(4N 1 ), Vz E E¿ . E i Posons . n(z) = h1 ((z — u i , n wi ~ ) , H =  et montrons q i= 1 tout 1 assez grand H vérifie le (II) de la proposition 2 .4 pou r petit . e pou r E ' assez APPROXIMATIONAVEC CROISSANC E Soit w E W¿, posons A ;,, = {i/w E W ;"}, r i =  et écrivons I — ç o ( w ) l ~ E I — Ji l ( w ) I iEAw + ( w ) — s ( r i )(PI ( w i ) iEA w + E s ( r *01( w i) — (PI ( w ) 1 (2 .46)  i E A ;, , + E S ( r z)9 0 1( w ) (P( w ) i E A ;, , + E IMw —en s „ ilA L = Sl+•s2+83+S4+S5 • Nous allons montrer d ' une part qu ' il existe c 1 < 1 tel que S4 Ç c1 Icp(w) l et, d ' autre part que les quatre autres sommes sont majorée s par a ' /4 pour 1 assez grand . Ceci démontrera le (II) de la propositio n en prenant W ' = Wi pour un tel 1 . Majoration de S 4 . Par définition de (p 1 , on a La maximalité de la famille (w) et 2 .9 et 2 .7 entrainent 1'existence d'u n io E A' w tel que d ( w io, w) Ç 1/41' ce qui implique n o > 1 — 1/21' et donc , par définition de s, s(n o ) = 1 . Comme card (Au, ) < b 2 25n+1 A 2n Q n (2 .40) et comme 0 Ç s(r) < 1, Vi, on obtient le résultat cherché e n posant c 1 = 1 — 1 '(b 2 25n+1 A 2nQn ) . Majoration de Si . Les fonctions fz étant uniformément équicontinue s dans il existe un réel El, 0 < Ei < 1/1, tel que V w E aSZ, VE < Ei e t Vi Ç N 1 , on a cx ' I  < 4b 2 2 5 n A 2n Q n ' et le résultat se déduit de 2 .40 . Majoration de S 2 . Elle découle immédiatement de la propriété (II') d u lemme 2 .5 . 28 5  s ( r i)  S 4 < (1— E  2b225n .Az~,Q~,  190(w)l . i E A ; „ , , iEA~ 286  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . MOUNKAIL A Majoration de S 3 . ~ étant uniformement continue sur 89, pour 1 asse z grand, on a, pour i E Aw (ce qui implique d(w i , w) C 211' Ç 111 ) ~ < 4b 2 2 5n A 2n Q n et il suffit d ' utiliser encare 2 .40 . Majoration de S 5 . Si i A' w , puisque w E W 1 ', on a w V i ' et I — u i , n w ti ~ I < 1 -- 211' . L ' ouvert 0 étant assez petit, on a donc I(w — en u , — u, nw2 )I < 1 — 111' et le résultat découle du (1') du lemme 2 .5 . ■ 2 .4 . Approximation locale faible de cp le long des normale s par une fonction holomorphe á croissance controlée . Nous allons maintenant faire le produit des fonctions construites dan s les deux son paragraphes précédents, avec un choix judicieux des paramè - tres, pour obtenir une première approximation locale de ço avec control e de croissance : Proposition 2 .6 . 11 existe une constante c, 0 < c < 1, telle que , pour tout couple de réels rl, -y E10,1 [, tout ouvert assez petit ode 31'2 e t toute fonction continue cp sur 39, il existe deux réels strictement positif s M et M ' tels que pour tout entier k suffisamment grand, il existe u n ouvert o k cc O, un sous-ensemble w k de o k vérifiant o-(W k ) > (1 - -y)d(C) une fonction f k E A(Q) et deux reels el, el, 0 < Ek C e~ = 2/k , satisfaisant les propriétés suivantes : (I) I  M(L(z)) k , V z E SZ ; (II) (2) f k (w — enw) - -- (w)I C cltP(w)I+ 77, Vw E W k , ve < (i O I  — en) — S p ( w ) I < I ç p ( w )I+ TI, v w E Wk, v 6 E [ e 1, e 1 [ ; (III) C r],dzESZ\ {w— en u ,,wEo k , E C E l}, dmEN n , ImI Ç n+ 1 . (IV) 11V f k iioo ç k'M' • Démonstration : Appliquons tout d ' abord la proposition 2 .4 aux paramètres a' = 971 2 et ,3' = ry12 avec les notations qui y sont introduites et posons M " = II H M C n+l(?i ) + 2 . Puis appliquons la proposition 2 .2 aux paramètres a = n1M"Ca C =  , C i m = C' mi . . . C'ñ et ~ = r112 et en prenan t i< m k ~ 21E ' suffisament grand . Là aussi conservons les notations qui y sont introduites . Posons alors f k = HF k , W k = W k n W ' , de sorte qu e a' APPROXIMATION AVEC CRaISSANCE  28 7 o-(W k ) > (1 -7)o-(0),M = M "M l . Les ensembles O k et les réels Ek e t E~ sont ceux de la proposition 2 .2 . Clairement, le (I) est immédiat et le ( III ) provient de la formule d e Leibnitz et du ( III ) de la proposition 2 .2 . Démonstration de (II) . Posons F k = G k + R k (proposition 2 .2) et écrivons f k (w — E12w) — 9o(w) = G k (w — en w )(H(w — en w ) — (p(2U) ) + (G k (w — en w ) — 1)(,o(w ) + R k (w — En w )H(w — En w ) . Si w E W k et e < ek, on a e < e ' et la proposition 2 .4 donne 1H(w — en w )—cp(w) < c i cp(w)1+77/2 . Par ailleurs, le (II)(ii) de la proposition 2 . 2 donne IR k (w — en z1 ) i < a = 7 7 /CM " ce qui entraine IR k (w — en,,,)H(w — en 21 ) l < 77/2 et don c (2 .47 ) 1  l < ( c i G k (w - en) + (1— Gk(w - En )))k o ( w )I +n , ce qui est le (II) (ii) puisque 0 < G k G 1 . De plus, si e < ek, on a O < G k (w — en w ) < 1/2 (proposition 2 .2) e t 2 .47 donne le (II)(i) en posant c = 1 — 0(1 — c l ) . Démonstration de (IV) . Puisque 1i ç M(L(z)} k Ç M (proposition 2 .2), on a IiVf k 11,, ç MM " + M " Ij q F k jj,, . M a j orons alors 11VF k L o . Par définition de F k (c .f . fin de la démonstration de la proposition 2 .2) et d'après 2 .38, pou r tout j C {1 , . . ., n }, on a N k <  k ' I(zuj,n wi )l k'-I {Ih((zu i ,n wi ) k' ) I i= l + ih ' ((z - u i ,n wi ) k' )i} N k k ' (Iíhii . + iih'il oo ) E 1(z — u i , c  ' k'c o(ll h ll . + ll h' 11oo ) Finalement, 11Of k < k'(MM" + M " con(11hil eo + ííh ' 11,,)) ce qui es t (IV) avet M' = MM" + M " con(iih~~~ + ~~h ' ~~~)• ■ 288  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . MOUNKAIL A 2 .5 . Approximation de la fonction cp le long d'une famille d e courbes . Lorsque nous utilisons les biholomorphismes locaux pour transfére r au voisinage d ' un point de stricte pseudoconvexitd d ' un pseudo-convex e les rdsultats dans les strictement convexes, les normales dans le pseudoconvexe sont image de courbes sur lesquelles il nous faut done avoi r les propridtds d'approximation . C'est ce que nous faisons dans ce sousparagraphe . Précisdment, nous définissons des courbes admissibles e t montrons que les resultats prdcddents sont encare vrais si on remplac e les normales par de telles courbes . Soient wo E 512 et o C r < R 1 /2 . Nous dirons que 'r est une famille d e courbes admissible dans B(wo, r) s'il existe un diffeomorphisme de classe ' C 2 de B ' (wo, 2r) dans ( Th tel que : (i) IP_ 1 () E 012 n B'(wo, 2r) implique «J -1 (N) est proportionnel á n v1 (1 ) (ii) T(w,t) = 0 -1 (O(w) - tn,, () ) pour tout w E a9 1 n B ' (wo, r) e t tout r ~ o tel que (w} - tn (w) E b(fl n B'(wo, r) . T étant une telle famille de courbes, définissons deux réels t' et t " d e la manière suivante : (i) w ' étant l'unique point de a9nB(wo, 2r) tel que T(w, t) appartienn e á la normale en w ' , on pose T(w, t) = w ' - t ' n w' ; (ii) w - t " nw est la pro j ection orthogonale de T (w, t) sur n w . Par aiileurs, étant un diffeomorphisme conservant la direction normale, il existe trois constantes C 3 , C4, C 5 , ne dépendant que de 0, telle s que : _ C3tCt ' ÇC 4 t ; - iw -< C 5 t 2 ; — IT(w, t) — w - t " nw ç C 5 t 2 . Avec ces notations, posons C = 2 / C 3 , et démontrons la propositio n suivant e . Proposition 2 .7 . Avec les notations definies ci-dessus, pour tout ouvert D assez petit contenu dans B(wo, r) n aSZ, tout couple de réels 71 , 'y 0o,1 [, et toute fonction cp continue sur 09, il existe un re'el M te l que, pour tout entier k asez grand, il existe un ouvert U k cc C, un sous-ensemble W k de Uk ve'rifiant d(W k ) > (1 - '-y)o-(D) , une fonctio n f k E A(S2) et deux réels v~ et vk , o < vZC v~ = C/k C R 1 , tels que : (I) I fk( z ) I  M ( L (z)) k ; (II) pourtout w C W k , (i) ¡  — (p(w))1 < cl9o(w)i + 77, Vt < vk, mi c est l a constante de'finie dans la proposition 2 .6 ; APPROXIMATION AVEC CROISSANCE  2S 9 i 2 O 1 fk ( T ( w , t ) — Ç P ( w )) 1 < I , P ( w )1 + n , dt < v i l ; (III) ~ < y, dm E 1` n , l m i < n+ 1, Vz E \{r(w,t), w E U k ,t < Dérnonstratlon : Appliquonsla proposition 2 .6 avec les paramétres y/ 2 et y en concervant les notations qui y sont introduites . Montrons que, pour k assez grand,la proposition 2 .7 est satisfaite en prenant U k = {w E O/d'(w, O k ) < 1/14 . Remarquons que, pour k assez grand, V k est relativement compact dans Uk . La propriété (I) étant trivialement vérifiee, démontrons (II) . Soit w E W k . Ona : fI l D'une part, le (IV) de la proposition 2 .6 donn e f t )) - fk( w — t " n w )l k ' M ' T (2ll, t) — (w — t " nw) I k ' M ' C S t 2 , et, d ' autre part, les (II)(ii), (III) et (II)(i) de cene méme proposition 2 . 6 entrainent respectivemen t ~— t " nw) — (P( w ) I < I c P ( w )I + y/ 2 , t < €k/C 4 , et lfk( w — t "nw) — ( p ( w ) < c is o ( w )l + Ceci démontre le (II) pour k assez grand en posant v Z- = ek/C 4 puisqu e k' = o(k 2 ) . Démontrons maintenant ( III ) . Choisissons k assez grand de sorte que { w ' — t ' n w ► / t ' C 2/k, w ' E V k } soit contenu dans T(U k x [Q, Co[} . Soit w E aS2nB(wo, r) . Si t 2/(kC 3 ) , on a 'r(w, t) = w ' — t ' nw, avec t ' ~ 2/k . Par ailleurs si w Uk e t t < 2/(kC 3 ) = C/k alors l w — w' l < 1/k, pour k assez grand, et don c w ' o k . Ceci montre que, pour k assez grand , {w ' — t ' nw,/4 Ç t ' 2/k, w ' E o k } C {r(w,t)/w E U k , t < C/k } , et on conclut avec le ( III ) de la proposition 2 .6 . ■ 290  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . MoUNKAIL A 2 .6 . Approximation locale . Nous établisons maintenant le résultat local final dans un stritemen t convexe . Il s'obtient par une itération convenable du résultat précédent : Théorème 2 .8 . Soient T une famille de courbes admissible dan s B(wo, R), O un ouvert assez petit de 09 contenu dans áS2 n B(wo, r) , cp une fonction continue sur 39 et 0 un ordre de croissance non borne' . Pour tout re els v, E]0,1[ et a > 0 il existe un ouvert O' c C O, u n sous-ensemble W de O' vérif ant o-(W ) > (1 — ,C3} o-(0) , deux réels a l et a 2 , 0 < a l < a 2 < a, et une fonction f E A(9) satisfaisant le s propriétés suivantes : (I) ~  C0( á' ( z ) }, z E SZ ; (II) pourw E W , (i) ~  — (w) I C v, V t < a1 ; ( i 2 ) I f( T ( w , t )) - ç o ( w ) l <  (w) I + v, dt E [a i ,a 2 [ ; (III) lI < v, v m e N n , lml  n + 1, V z E \{r(w,t), w E O ' ,t C a2 } . Démonstration : Nous allons construire f sous la forme E f i , oú les f z sont donnée s par récurrence á l' aide de la proposition 2 .7 . Posons v' = v / 2 . Soit N un entier vérifiant cN! 1 max  C v ' . Appliquons la proposition 2 .7 á 1'ouvert O, la fonction ço et les paramétres 7 ]1 = v ' / 2 et 'Y1 = 0/ 2 . Cela nous donne un réel M 1 , et, e n choisissant un entier k 1 assez grand de sorte que NI 1 (L(z)) ' ' Ç 9 (S (z )} / 2 , un ouvert U 1 , un ensemble W 1 , une fonction f 1 et deux réels v~ et vi , avec les conclusions de la proposition 2 .7 . f1 étant uniformément continue, il existe r 1 , 0 C r 1 <v 1 , tel que pou r tout w E  n B(wo, r) et tout E C rx, ona if 1 (T(w, E)} — f 1(w)I C 971 . Soit 1 < s < N . Supposons construits les  W' vz , v 2 i pou r 1 < i Ç s et les r i pour i= 1, . . . , s — 1 . Soit alors rs, 0 < rs < v , 1 te l que, V w E 39 n B(wo, r), V t C r s , 1M w )l c 7 7 s = v ' /2 s . s Posons cp s+1 = cp —  f i et appliquons la proposition 2 .7 á la fonc - i= 1 tion cps+1 et aux paramétres r ls+1 = v ' /2 s+1 et 7 ,s + 1 = 01 2s+1 . O n a donc un réel llrl s + i , et,en choisissant un entier ks+1 de sorte qu e Ilrl s +l (L(z)} ks+1 < 0(6(z))/2s+1 et vs +1 = C'ks+1 < rs, une fonctio n f s +1, un ouvert U s + 1 , un sous -ensemble W s+l et unréel v s +1 . N  N  N On pose alors f=  f i , O' = Ui, W = n W i , a1 = rN, a2 = v ? i= 1  i=1  i=1 APPRoXIMATIoN AVEC CROISSANCE  29 1 e t etro - =1 . Ti est clair que o-(W) > (1 — ,[3}o-( p ) et qu e (2 .48 ) ro~~x2=v~ > v~ > r1 > v~> v2> . . .~v~vNrN = a 1 . La propriété (I) est trivalement vérifiee, et, pour tout i Ç N, on a le s relations C O ' , v? < cx 2 , et le ( III ) est donc conséquence du ( III ) d e la proposition 2 .7 . I1 nous reste á démontrer le (II) . Soit w E W . Puisque w E tiV i , i Ç N, le (II)(i) de la proposition 2 . 7 entraine 1 _ ko_i(w) — fi —i ( w )l <  + v ' / 2 i-1 , et il s ' ensuit qu e (2 .49)  (w)I <  + Par ailleurs, si t < v i l , la méme propriété entrain e I— SPi (w)I C Op i (w)1 + v ' / 2 i lfi(T( w , t )) — ç o i( w )l < ci i( p ( )1 v ' + ,dtCv i . 2 s i (2 .50) s = De plus, le ( III ) de la proposition 2 .7 et la décroissance de la suite v 1 donnent N  N ,  (2 .51)  E I  C E v , d t~ 14 . s=i  s=i 2 Enfin, par définition des r i  (2 .52)  I  — f i (w)I C v ' / 2 i , V t C r i . Montrons (II)(i) . En écrivant N— 1 l ?( T ( w ,t )) — ' G ( w ) í IM T ( w , t )) — Wi u ( w )+ E ii( T ( w , t )) — fi(w)l , i=1 292  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN, M . MOUNKAIL A on volt aussitót que la conclusion résulte de 2 .50 et 2 .52, car t < a l , implique t<vz ett<r i . Montrons enfin (II)(ii) . Soit t E [a1, a 2 [, soit io 1 ' indice tel que t E [r, rio _ 1 [ . Ecrivon s l ~ E I  I +II :o (T(w,t))—(Gio(w) l i= 1 Puisque v ó + 1 C t < rio _ 1, d ' après 2 .52 et 2 .51, le premier et le dernie r terme du secondmembre de 1 ' inégalité ci-dessus sont respectivement ma - jo—1  N jorés par E v ' / 2 z et  v ' / 2 z , et, pour conclure, il suffitde voir qu e i=1  i =io+ 1 lfio(T( w , t )) - (Pi . ( w )l < I(P( w )l + Si t E [r 0 , v á [, c'est une conséquence du (II)(ii) de la proposition 2 . 7 et si t E [v,r 0 _ 1 [, cela résulte de 2 .49 et 2 .51 . ■ 3 . Le cas des domaines pseudoconvexe s Soient Q un domaine pseudoconvexe borné de Cn (n > 1) á bord C° ° et S 1'ensemble des points de stricte pseudoconvexité de a g . Pour tout point w E S, il existe un voisinage ouvert V de w dans e n , un ouvert V dans e n , un biholomorphisme ~ d'un voisinage de V su r un voisinage de V et un domainestrictement convexe SI de cn tels qu e n r~SZ } c c~SZ et z~ ~ V n S2 } C SZ . Les fonctions distance au bord de Q et SZ seront respectivementnotée s S et S et les mesures de surface sur 31 . 2 et 09 respectivement da e t Il existe un réel r 1 > 0 tel que, d z, z ' E Vnl, r 1 Iz—z ' I Ç I Par ailleurs, nous choisirons le voisinage V assez petit de sorte qu e 1 ' ouvert V n o~S~ soit assez petit au sens défini dans le paragraphe 2 e t que, V z E V n SZ, il existe un unique (w, E) E 39 n V x IR + tel qu e Z -= w - -- Enw . Enfin des calculs ultérieurs nous aménent á considérer les constante s suivantes : ro = 1 + I  r ó -- 1+ MJ1'' llznT- APPROXIMATION AVEC CROISSANCE  293 3 .1 . Approximation locale de la fontion (p par une fonctio n holomorphe à croissance contrólée . Si nous appliquons le théorème 2 .8 par 1'intermédiaire des biholomor - phismes locaux, nous obtenons des fonctions localement définies dans S i avec un bon comportement radial . Il nous fat alars les globaliser convenablement, en particulier, sans perdre les contróles sur les normales . C ' est le but du présent sous-paragraphe . Soit wo un point de 99 . Considérons les ensambles V, V, le biholomorphisme associé á wo et les réels ro, r~ et Ti définis ci-dessus . Quitte á réduire V, on peut supposer que V est une boule centrée e n un point de al - 1 - sorte que la famille de courbes définies dans 9 - pa r e) =  - Enw), E E [0, C( )], w E V n 09 solt admissible , 1 ' ouvert V n o9 restant assez petit . Posons C V n 09 et, avec ces notations, montrons la propositio n suivante : Proposition 3 .1 . Pour tous réels n, y E]0,1[, A > 0, il existe u n ouvert, O ' CC O tel que, pour toute fonction cp continue sur áSZ et tou t ordre de croissance non borné B, il existe une fonction f E A(9), u n ensemble W cc O ' vérifiant v(W) > (1 - ry)v(0) et del= réels A l e t A 2i 0 < A l < A 2 < A, satisfaisant les propriétés suivantes : (I) I9(6(z)) dans SZ ; (II) pour w E W , ( i ) lf( w — E n .) 7 (P( w )l < n, v E < Al ; (u) If( w - enw) — (P( w ) I < ko(w)I + n, b'e E [Ah A2[ ; (III) ~ f (z) < 77, Vz E SZ\{w - en w , w E O ' , e < A 2 } . Démonstration : Posons 931 = cp o (Ovnas~) et considérons une extension 93 de cett e fonction á Soit B1 un ordre de croissance non borné vérifiant, pou r tout z E V n SZ, 9 1 ( S (O( z )}} Ç 0(6( z )} . Supposons de plus 77 < 9 1 (1) e t posons 0' = B 1 - r7/2 . Appliquons le théorème 2 .8 á 1'ouvert D= n 951, á la fonction (p , aux paramètres v (v < r1~2 sera fixé ultérieurement) ,3 = -y/roro, a e t á l' ordre de croissance 0' . Ainsi, nous avons une fonction f E A(9), u n ouvert 4' CC V n al" ?' , un ensemble W cc C ' et un couple de réel s a1 et Cx2 . De plus, on peut choisir le réel cx 2 de sorte que 1'ensembl e {T((w), E), 'O(w) E D ' , E < a2} soit relativement compact dans V .