Inversion de la transformation de Pompeiu dans le disque hyperbolique (cas de deux disques)

Publicacions Matemátiques, Vol 37 (1993), 133-164 . INVERSION DE LA TRANSFORMATION DE POMPEIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE (Cas de deux disques) A bstract MIMOUN EL HARCHAOUI In this paper we extend the result established for the euclidean space in [3] to the hyperbolic disk . This includes the reconstruction of a function defined in a fixed disk B(0, R) from its averages on disks of radii r1, r2 lying in B(O,R) . 1 . Introduction Nous proposons dans ce travail d'étudier le probléme inverse de Pompéiu local des deux disques dans le disque hyperbolique . Il s'agit de reconstituer un signal f connaissant ses moyennes calculées sur les translatées de deux boules géodésiques contenues dans une boule de rayon fixe . Rappelons le probléme de Pompéiu des deux disques dans le cas euclidien . Si X1 et x2 désignent les fonctions caractéristiques des boules euclidiennes B(0, r1) et B(0, r2), on définit 1'application : P : £(R') -~ S2 (R') f  --~ (x1 * f, x2 * f) appelée traditionnellement transformation de Pompéiu . Si P est injective, on dit que la famille (B (0, r 1 ), B(0, r2)) posséde la propriéte de Pompéiu gIobale . Si on désigne par E n , 1'ensemble E n ,=~ 17 :~>0, rl>0, J2(1)=Ja( 7 l)= 0 } oú J2 est la fonction Bessel d'indice z . On a : 13 4  M . EL HARCHAOU1 1 .1 Théoréme ([5], [9]) . La famille (B(0, r1), B(0, r2)/ posséde la propriéte de Pompéiu globale si et seulement si z 1 E,, . Nous allons maintenant préciser ce que nous entendons par la propriété de Pompéiu locale . Soient B(0, R) la boule eúclidienne centrée á 1'origine de rayon R et 0 < r1, r2 < R . On définit de la méme fagon 1'application P :E(B(0,R) ) -~£(B(0,R-rl)) x£(B(0,R-r2)/ f  H (XI * f, X2 * f ) Si P est injective, on dit que [ B(0, rl), B(0, r2) ) posséde la propriété de Pompéiu locale par rapport áB(0, R) . II est clair que si la propriété globale est non verifiee alors lá propriété locale ne saurait 1'étre . Le résultat local suivant est connu : 1 .2 Théoréme ([3], [2]) . Soient ri,r2 > 0 tels que TZ « E,, et R > rl + r2 alors la famille [ B(0, rl), B(0, r2) ) posséde la propriété de Pompéiu locale par rapport á B(0, R) . Plus précisement, sous les hypotheses du théoréme 1 .2, il existe un procédé explicite permettant de construire deux suites d'approximations (vj)t>i, (M,),>i á support compact telles que : Cela permet, d'aprés ([3], [2 .]), de déterminer f dans B(0, R) á partir de ses moyennes locales Xi * f et X2 * f . Dans le cadre des espaces symétriques de type non compact X = G/K ou G est un groupe de Lie semi-simple connexe non compact de centre fin¡ et K un sous groupe compact maximal de G, on définit, de fagon analogue, la transformation de Pompéiu : avec lli ~Cv`*(X1*f)+MI * (X2*f)/=f . P : E(X) -_> E2(X) f l -' (P1(f),P2(f» Pj (f) (z) = ~  f(x)dx,  j=1,2 gB~ PROBLÉME DE POMPÉIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE  135 oú z E X, g E G : g .0 = z, Bl, B2 deux boules géodésiques centrées en 7r (e) = 0 E X et de rayons respectifs r1, r2 . La définition de P peut aussi s'écrire sous la forme d'un systéme de produit de convolution sur G : (Consulter la Section 3 pour la définition des opérations * et -) . Dans ce cas le resultat d'injectivité global est bien connu : 1 .3 Théoréme ([41) . Soit X un espace symétrique de type non compact de rang 1 . Supposons que f E LL o ,(X) et IB f (x)dx = 0, pour toute boule géodésique dans X de rayon rl ou r2, alors f = 0 si et seulement si les équations cp(\a+1,/3+1) (rj) = 0, j = 1, 2 n'ont aucune solution commune A E C . Le but de cet article est de généraliser le résultat établi dans [3] au cas du disque hyperbolique . L'injectivité locale sera alors une conséquence du résultat principal que Pon énonce maintenant en supposant que le signal á restituer est de classe C°°, cas auquel on peut se ramener par regularisation (cf [3, pg 273]) . Théoréme . Soient 0 < rl < r2, (rl + r2 < R), tels que les équations ~Pá l ~ ll (rj) =0, j=1,2 n'aient aucune solution commune A E (C et (Ep)p>1 une suite strictement R croissante de reels positifs et de limite rl + r2 - 1, R p = (rl + r2) (1 + Ep ), p > 1, RO = 0, et telle que lim p-,+oo R - R p - 1 = 1 . R-R p Pour tout p > 1, r E [R p _ 1, R p [ et k E 7L*, il existe deux suites de distributions (Uj, (zi1) d'ordre < 5 á support compact dans B(0, R- 13 6  M . EL HARCHAOUI r1), B(O, R - r2) respectivement telles que pour l >_ max(Lk, k) et f E C°° (B(0, R)) on ait : 1 f27r 27r  f (pele)e_  -ike d0 - (ul, f x irj - AJ x 412) 02l lbri = XB(O,rj), 1  ~ á z+j < l (R - r) 7 zEB(o RP) áz2ázj f (z) 0<¡,j<3 =  1, 2, p = th r, RP  =  3R + sR p et ,y = -y(ri, r2, R, El)> 0 . (Consulter la Section 3 pour la définition de l'opération x) . Le cas des espaces symétriques de type non compact de rang 1 (Hn(R), Hn(C), . . . ) sera traité dans un travail ultérieur en préparation . 2 . Notations On utilise dans ce travail les notations classiques qu'on rappelle briévement pour la commodité du lecteur . Si G est un groupe de Lie on désigne par : £(G) : L'espace des fonctions C°° sur G . D(G) : L'espace des fonctions C°° sur G á support compact . £(D) : L'espace des fonctions C°° sur D . D(D) : L'espace des fonctions C°° sur D á support compact . £'(D) : L'espace des distributions á support compact dans D . Só(D) : L'espace des distributions radiales á support compact dans D . h(C) : L'espace des fonctions entiéres . B(0, r) : La boule géodésique centrée á 1'origine et de rayon r . B e (0, r) : La boule euclidienne centrée á 1'origine et de rayon r . Si T E D I (G) et f E D(G) on désigne par T la distribution : (T, f) _ (T, f ) avec f (9) = f (9 -1 ),  9 E G . 3 . Rappels sur 1'analyse harmonique dans le disque hyperbolique On appelle disque hyperbolique, le disque unité ouvert de C, D = {z E cC : Iz1 < l}, muni de la structure riemannienne définie par le produit scalaire (  )z sur 1'espace tangent T Z (D) = 118 2 á D en z (u,v) z =  (ulv) (1 - IZ12)2 PROBLÉME DE POMPÉIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE  137 ou (ulv) est le p'roduit scalaire euclidien usuel . Si on désigne par d la distante riemannienne définie par ce procédé on a, pour tout z 1 , z2 E D d(z1, z2) = d C0, I I I 2 zi 1 I I  ,  avec d(0, z) = 2 log 1 + I IZI ZI . L'élément de volume est dM(z) =  dm(z) )  avec dm(z) = dxdy si ( 1z2 2 z = x+iy et le Laplacien-Beltrami est 1'opérateur L = (1Iz12)2A, avec a2 92 ax 2 + ~y2 . Le disque hyperbolique apparait naturellement comme un espace symétrique de rang 1 obtenu comme quotient de G= SU(1,1) par SO(2) : Le groupe G -  b  á ) E M(2, (C) : la 12 - Ib12 = 1 ~ opére transitivement sur D par 1'opération : (g, z) E G x D ~--> g .z = (az + b)(bz + á)-1 et le stabilisateur de zéro est : S o . {(0  0) : la 12 = 1} --S0(2) . Il est bien connu [7] que la fonction ew,b(z) définie par : _  I  I _  2  11 ) 2 j,, (z) -  Iz -_-7 ' z E D H f (z)e_ia+1,b(z) Iz1 < 1 avec w EC et bE B= aD, est une fonction propre de L pour la valeur propre M(p - 2) . Si f : D ---> (C est une fonction mesurable telle que, pour tout A E C, b E B la fonction soit intégrable pour la mesure dp,(z), on introduit la fonction : f : C x B ---> (C définie par : ( 1 )  f(A,b) = f .f(z)e-D+1,b(z)dp(z) D 138  M . EL HARCHAOUI que 1'on appelle transformée de Fourier de f . Avec des majorations usuelles on peut obtenir l'holomorphie en A . On dit qu'une fonction C°°, 0 : C x B -> C, holomorphe en A E C pour chaque bE B, est de type exponentiel uniforme R si, quel que soit NEN,ona : On dispose alors de la "version hyperbolique" suivante des résultats usuels concernant d'nversion de la transformation de Fourier et les théorémes du type "Paley-Wiener" . ( 3 )  f (z) = 47r f ,f ¡(A, b)eza+l,b(z),\ th(2) dAdb R B 3 .1 Théoréme ([71) . sup  e-Rlrm,\1(1 +p ,¡)N 10 (A, b) 1 < oo . (A,b)ECxB i) Si f E D(D) on a la formule d'inversion : oic db est la mesure >_ 0, invariante par rotation, de masse 1 sur B . ii) L'application f H f est une bijection de D(D) sur l'espace des fonctions 0(A, b) de type exponentiel uniforme satisfaisant l'équation fonctionnelle : f eza+1,b(z)O(A, b) db = f e-ja+1,b(z)O(-\, b) db B  B iii) L'application f H f se prolonge en une isométrie de L 2 (D, dtc) sur L 2 (R+ x B, (27r) -1 A th(2 ) dAdb) . Nous allons introduire á présent les concepts de fonctions sphériques sur D et de transformée sphérique . On dit que f : D - (C est radiale si f (z) = f (bz) pour tout z E D et b E B . Une fonction sphérique est alors, par définition, une fonction radiale qui est aussi une fonction propre du Laplacien hyperbolique . On trouvera dans [7], la preuve du fait important suivant : Toute fonction sphérique est un multiple par un scalaire complexe de la fonction : 'Pa (z) = f eiA+1,b(z) db B oú A est un paramétre complexe . On vérifie que : L(~o>,)(z) =- (1 + A2)Wa(z) On appellera transformée spherique d'une fonction radiale f telle que, pour tout A E (C z ~--> f (z) W_ a (z) soit dans L 1 (D, dlt), la fonction : ¡(>') = f f (z)W-a(z) dp(z) D On a alors Pénoncé suivant : 3 .2 Théoréme ([71) . i) Pour toute fonction radiale fE D(D) on a la formule d'inversion : Nous introduisons maintenant la notion de convolution sur G = SU(1, 1) dont nous noterons dg la mesure de Haar pour laquelle on peut remarquer que pour toute fonction fE D(D) oú 7r : G - D est la projection canon- ¡que . PROBLÉME DE POMPÉIU DANSLE DISQUE HYPERBOLIQUE  139 avec f (z) = 2Yr 2 f f(A),Pa(z)1C(A)1-2dA,  z E D C(A)j-2 = 2 th( 2 ) . ¡i) On a la formule de Plancherel, pour f telle que ci-dessus : fD I f (z)1 2 dlz (z) = 27f2 1 If (,) I 2 IC( , ) I-2 dA . iii) L'image par la transformation sphérique des fonctions radiales de D(D) est l'espace des fonctions entiéres paires F du type de Paley-Wiener, ¡e : il existe R >_ 0 tel que, pour tout N E N, on ait : supe -R j zma j(1 + lAI)` v jF(A)j < oo . AEC iv) L'application f 1) f se prolonge en une isometrie du sous-espace de L 2 (D, dp) constitué des fonctions radiales, sur le sous espace des fonctions paires de L 2 (R+, 1 A th(2 )dA) . f f dp, = f (f ° 7r) dg D G 14 0  M . EL HARCHAOUI Si f, cp E D(G) on pose (f * 09) = f W(h)f (9h -1 ) dh = f f (h)W(h -1 9) dh . G  G Comme usuellement, cette convolution s'étend aux distributions . En introduisant la distribution S x sur G définie par : (8)  S x : f H f f (k) dk x oú K = SO(2) et dk est la mesure de Haar normalisée sur SO(2), on peut associer, á Chaque f E £(G), une fonction f, E £(D) définie par : f,o7r=f *sx . Chaque T E D'(D) induit une distribution T sur G par la régle : f) f) (si x  =  ir(9) on a f,(x)  =  « sx)h, f (9h -1 ))  =  fx f (9k -1 ) dk  = fx f (gk) dk, et ainsi le support de f r est contenu dans ir(supp(f )) . En particulier f, E D(D) si f E D(G) . Si une fonction est considérée comme une distribution on a : ~o-(g) = ~o(ir(g)), soit (cP)~ = cp . Ainsi, les fonctions, (ou les distributions) sur X peuvent étre identifiees avec les fonctions, (ou les distributions) sur G qui sont invariantes á droite sous 1'action de K (ie : cp(gk) = W(g) pour tout k E K) . On a aussi une notion de convolution dans D'(D) donnée par : (11)  T1 x T2 =T 1 *T2, si 1'une des distributions Tj a son support compact . Cette convolution est associative et vérifie T x S = Sx T = T oú S est la mesure de Dirac á 1'origine . On dit qu'une fonction f sur G est K-bi-invariante si f (kjgk2) = f (g) pour tout g E G et k1, k2 E K . Si fE D(G) est K-bi-invariante, on dispose d'une "Transformée Sphérique" F donnée par : ( 12 )  F(f)P) = f f(9),Pa(9-1) d9 G oú ~0a(9) =Wa(7r(g)) par abus de langage . Il est clair que f, est radiale et élément de D(D) et que f= F(f ) . PROBLÉME DE POMPÉIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE  141 Nous noterons Do(G) 1'ensemble des éléments K-bi-invariants de D(G) . On a un analogue du théoréme de Paley-Wiener : La transformation de Fourier sphérique établit une bijection de Do (G) sur 1'espace des fonctions entiéres paires de type de Paley-Wiener . Cette bijection se prolonge en un isomorphisme linéaire entre 1'espace Só(G) des distributions K-bi-invariantes á support compact dans G et 1'espace des fonctions entiéres paires á croissance polynomiale sur R . La correspondance entre £ó(G) et .F(EÓ(G)) est un isomorphisme topologique d'algébres ([7]) . Nous aurons 1'occasion d'utiliser les fonctions ~ p ( , `0) (r) définies par : ( 13 ) W ( ( «,R) ( r ) = F  (p + ¡A), 2 (p - i),) ; a + 1 ; -(shr) 2 (2 ~ oú F est la fonction hypergéométrique de premiére espéce . Rappelons que la fonction F admet la représentation intégrale . 1 F(a, Q ; y ; z) = r(a)r( - r ) - 0)  to 1(1 - t)-Y-0-1(1 - tz)-a dt fo pour Re-y >Reo> 0 . Ici p = a+ 3 + 1, et la fonction cpa n'est autre que ~o( > , o ' o) (cf : [7]) . (on renvoie á [6] pour les fonctions hypegéométriques) . Nous utilisons de fagon fréquente dans la suite le résultat du,calcul suivant que nous rappelons pour la commodité du lecteur : 3 .3 Lemme ([4]) . Soit XB(o,r) l'indicatrice de la boule géodésique centrée á l'origine et de rayon r > 0 . La distribution XB( o ,,) est radiale et a pour transformée sphérique la fonction (14)  Xs(o,r)(\) =7r(shr) 2 (chr) 2 cp (1 ' 1) (r) . Preuve : On a XB(0,,) (I) = f  ;oA(z) dh(z), B(O,r) en coordonnées géodésiques polaires, t = d(0, z) et 0, on a z = (th t)eie avec lzi = th t . La mesure dp s'ecrit ([7, page 84]) (15)  dp,(z) = 1 sh2t dt d0 148  M . EL HARCHAOUI Dans le cas particulier oú a,= (3 = 2, -y = k + 1, z = ch2t (t >_ 0) et T= 2 ona : co=có=1,1-v=z(1-iA)Tety=a+T= 2 (1 + ¡A) . Par suite (30) s'écrit : (31)  F(v, l - v ; k + 1 ; -(sht) 2 ) avec =C(A k t )[C e 2(at-4) +e ±(k+2)i~ e -2(at+4)1 il +O( e lrmalt), ,,jj I3 (32)  C(A,k,t) = r(v+v)k!  (th t) - k(sh2t) - 2, soit encore, en ne conservant que le signe + dans les exponentielles e f(k+z)i~ , ce qui est possible car Im(ch2t) = 0 ([8, page 289]) : (33)  F(v, l - v ; k + 1 ; -(sht) 2 ) 2 k  e ~Im~~t = C(A, k, t) [2 ~ 12  cos(At - (2k + 1) ~4) + O (  11  ) ] . AI Ces développements sont valables pour : -7r + 6 < Arg ,1 < S + Arctg ( ') (34)  ou bien -7r + b - Arctg ( 2T ) < Arg A < -6, t E [0, r] et I,\) assez grand, le O  elImat étant uniforme par rapport á ( lal2 ) t E [0, r] . D'autre part on a F(a, b ; c ; z) = F(b, a ; c ; z) et, ainsi, (33) est valable pour : - Arctg(z T ) + 6 < Arg A < 7r - S (35)  ou bien 6 < Arg A < 7r + Arctg( 2r ) - 5 . On obtient alors, - par recollement des cas (34) et (35), que le développement (33) est valable dans (C lorsque ¡Al ---~ +oo (on choisit 0 < 6 < Arctg(Z)) . D'aprés (16) on a : (P(k'k) (r) = F(k + v, k + 1 - v ; k + 1 ; -(shr) 2 ) 1 =  F(v, l - v ; k + 1 ; -(shr) 2 ) . (chr) 2k PROBLÉMEDE POMPÉIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE  149 On observe, comme il est bien connu, k (36)  I'(v(+)k) - v ^~ (?) ~k pour ¡Al assez grand par suite, on a ~Ima~r (37)  (k,k) (r) _  \ k + Z) cos(Ar - (2k + 1) 4) + O 1\  ( I~NIk+2 ) avec 2  \ k+ 2 (38)  C k (r) _  /\' ~ shrchr _  C k  31r  37r  (2k + 1)ir (39)  9(a) - Ak+, cos(a1a - 4 )cos(a2~ - 4 )cos(a3~ -  4  ) z avec Exprimant, de méme, ¿ l ' 1) (a j ), j = 1, 2, nous en déduisons 1'egalité : (40)  Ck = Ck(a1, a2, a3) duit 3  3  k+' k!  2 777  2  -  2 )3 Gha chal) z ( sha2 ha2) 2 ( sha3 ha3)  2 Nous allons maintenant étudier la fonction 6 á travers 1'étude du procos(a1A - 34 ) cos(a2~ - 3 4 ) cos(a3A - (2k 4 1)ir ) . Soient V = {(2l + 1) 2, l E 7G}, 1'ensemble des zéros de la fonction cos et d(A,V) = Min(1,dist(A,V)) . La fonction cosinus vérifie 1'inégalité globale de type Lojasiewicz : d(A, V)  JImaJ (41)  cos(A)~ >  e ere Ce IIma1 (ai+a2+a3) p k+ 9 Nous allons commencer par évaluer le nombre de zéros que ce produit peut posséder dans un intervalle [l, 1 + 1], 1 entier . Si a est un réel > 0 il 150  M . EL HARCHAOUI y a au plus [a] G a zéros de cos(aA - (2k++1)7, ) dans [l, l + 1] . En effet 7  4 chercher combien d'entiers n sont tels que : aA = (2k + 4 1)r + 2 + n7r E [al, a(l + 1)], revient a chercher combien de fois on trouve 7r dans a . Il y a donc au al + a2 + a3 plus [  ] zéros du produit ci-dessus dans [l, l + 1] . On partage [l, l + 1] en N =  aI + a2 + a3 [  ] + 1 parties égales . L'une de ces parties est sans zéro . La longueur d'une telle partie étant 1  7r N - al + a2 + a3 + 7r' il existe un cercle de rayon pt E] l, l + 1 [ tel que la distance de pt aux zéros du produit soit au moins 2(a1 +a2 + a3 + 7r) Alors la distance de A tel que JAJ = pa aux zéros de la fonction A ,--j cos(a j A - (2k + 1)ir 4 ) est supérieure ou égale á  7r  - 2(a1 + a2 + a3 + 7r)' et ainsi, la distance de (a j A - (2k 41),r ) aux zéros de la fonction cos est supérieure ou égale á aj 7r . Par suite, pour 1 1 = pl, on a 2(a1 + a2 + a3 + Ir) cos(a A - (2k + 1)7r ) I >  1  Min  1  Iras  eajjImAl 4  Ire  (' 2(7r + al + a2 + a3) ) > Min  1  7raj  e aj IIma~ ( 2e(Ir + al + a2 + a3)' 2lre(7r + al + a2 + a3) ) > Min(l,aj) eajjImal . - 2e(7r + al + a2 + a3) Par ailleur, si ¡ImAl > 1, nous avons (2k + 1)Ir ) ~Im  a~~ -  4  ~ > aj, PROBLÉMEDE POMPÉIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE  151 et la distance de (aj ,\ - Zk 41 7 ) aux zéros de la fonction cos est au moins aj et donc (2k + 1)7r  Min(1, aj)e a ; I I-A l (42)  cos(aj~ -  4  ) - [2elr(7r + al + a2 + a3)] (43) cos(a a A- (2k+1)7r )I > Min(l,aj) eajIImAl 4  Ire D'oú, pour IImAl > 1 ou JAJ = pl, on a : Par suite pour IImAI > 1 ou JAJ = pl on a : cos(ajA - 3 4 ) cos(a2,\ - 34 ) cos(a3A - (2k + 4 1)7r ) Finalement (44) 1 0 9 1 ) 1 ? Ck(al, a2, a3) FI~-3 M in(1, aj )ea ; IImAl [2elr(Ir + al + a2 + a3)]3I>,Ik+2 et  A l > Lk alors ( 45 )  IB(A)I >  Ak e(al+a2+a3)IImal - I,Ik+2 avec - [2e7r(7r + al + a2 + a3)] 3 . Ainsi il existe Lk tel que pour l > Lk on ait : Si ~Al = pt ou ]ImAl > 1 C k(al, a2, a3) 11~= 3 Min(l, aj) . (46)  ``lk =  2[2e7r(7r + al + a2 + a3)]3 4 .5 Lemme . Pour tout k E N1, r > 0 et A E (C on a : FI~-3 Min(1, aj )eaijImAl j=1 e (al+a2+a3)JIma1 O C>,Ik+ 2 k~er ellmñlr (47)  I(P(k'k)(r)I = I~(k,k)(r)I C  1, 9~ (shrchr) k IPk(¡A)I pour  (2m+1)i, (m E 7G) . Preuve : D'aprés [7, page 60 (73)] on a (4s)  F(v,1 - v ; k + 1 ; -(shr) 2 ) =  F(v)k!  ) 1'(v + k)(th r)k ~a,k(th r 152  M . EL HARCHAOUI avec (49)  0a,k(th r) = I eia+l,b(th r)bkdb s On a par suite Preuve : 1 - (th r)2 :5 1 - (th r) 2 - e2r I th r - b1  (1 - th r) 2 ' 1 - (th r)2  z  < erellmalr (Ithr-b1 2 ) - ' En utilisant la relation (48) on trouve r  1 - (th r) 2  bkdb B~Ithr - bl 2 ) d'oú j0a,k(th r)j < erejImalr l~P ( l\ k, k)(r)1 _ (chr)2k jF(v,1 - v ; k + 1 ; -(shr) 2 )j =  k !  10a,k(th r)j (shrchr)kjpk(i,\)j p e r e jImAlr (shrchr) k 1 Pk(i,\)~ 4 .6 Lemme . Soit f une fonction C°° dans B(0, R) et, pour chaque 0<r<R,z=pe 4p ,p=thr (50)  f (z) = f(Pe i ` p ) = kEZ ak(P)e ik ;v le développement de Fourier de la fonction 27r-periodique 0 ~--> f(peie), évaluée en 0 = cp . On a (i) pour k  0 ak(P) = plkln(chr) 2 (1k1 - 1)! (Sk x Tp,k,f) (ii) pour k = 0  ao(p) = (XaB(0,,), f ) . 27r ak(P) = 27r ,  f (Pe ie )e -ikB dB 0 _  v flwl-pf(w)(iu)kdop(w) -p f (w)(w)-k dvp(w) p  I I ~  f (w)Hk(w) dv p(w) Plkl Jlwl=p si k>0 si k<0 PROBLÉME DE POMPÉIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE  153 pour tout k E 9L, ce que 1'on peut écrire (51)  ak(P) =  1 P~k~ < H k .Q r , f > . d'oú le lemme . (53) avec Or, d'aprés le lemme 4 .3, nous avons 1 HkU, _ 7r(chr) 2 jk~ - 1)! Sk x T p , k pour k :,~ 0 5 . Reconstruction de f Nous suivons la méthode de [3] . L'idée de base consiste á construire deux suites de distributions radiales wc = [ti (r, k) et vi = vi (r, k), éléments de E,(D) pour tout l > 1 telles que : (52)  Tp,k = ill~ 1PI x XB(O,r l ) + vi x XB(o,r 2 ) car, alors, on sera capable de restituer les coefficients ak(p) du développement en série de Fourier de f, conformément á ak(P) = t li m plkl7r(chr) 2 (1k1 - 1)! 1(ttl, Sk xf x )¿1¡+wl, Sk xfx X2~ 00 J en utilisant la connaissance des "moyennes", f x X1 et f x x2 . Pour cela nous introduisons une suite strictement croissante : 0 = Ro < r1 + r2 < R1 < R2 < . . . < R p / R . et une suite (Ep)p>1 strictement croissante telle que : R p = (r1 + r2)(1 + Ep ), en exigeant de plus que lim  R - Rp-1 = 1 . p - , +w  R - Rp On pose flp = Ep (r1 + r2) . La décomposition de T p , k va dépendre de la valeur de 1'entier p tel que r E [Rp_ 1, R p [ . La transformée sphérique de T p , k (p = th r, kE N*) est : T p k = k (chr) 2 (shr) 2k cp (k ' k) (r) = ir (k - 1)!(chr) 2 (shr)2k Gk(A, r) (54)  Gk (A, r) = k! <P > k,k) (r) . 15 4  M . EL HARCHAOUI 5 .1  Proposition .  Soient rl, r2  >  0,  (rl -}- r2  <  R)  tels que les équations : (55) n'aient aucune solution commune A E (C .  Pour tout k, p E N, r E [R p _ 1 ,R p [, il existe deux suites de distributions radiales (explicitables) Pa, vi (l > 1) vérifiant : (56) IGk( ,r)-(Gl(~,rl)~~(~)+Gl(a,r2)v~(a))I e  -k I\11 3e R plImNI l (shrchr)  IPk(,~)1 2 pour l > max(Lk, k) et 1¡Al1 = max(1, Ia1), (57) (58) avec c' une constante strictement positive dépendant de rl, r2, R,et E1 . La constante c" depend de plus aussi de l et de k . Preuve : Nous allons appliquer le lemme 4 .3 avec al = rl, a2 = r2 et a3 = Ep(rl + r2) . Posons pour la suite (59)  p(>,)  = Gl (A, rl)GI (A, r2)Gk(A, ~3p) { 9(A)  = Gk (A, r) . (60) (Pál'1)(rl)  = 0 {  oa(1'1) (r2)  = 0, ~p,l(~)~ < c''(shrchr)-k II>,II3e( _  +Op)IIma1 IPk(ia)1 IvlNI <c''(shrchr) - k 1I ~ 113e(r1 +QP)Ilmal IPk(iA)1 L'idée de la preuve consiste á utiliser la relation 9(~) dS =  9(")  si 1A' < Pc 2ilr  ICI=P~ ( - A  0  si 1a1 > Pl . Soit q un entier á fixer plus tarda La relation (60) peut aussi s'écrire sous la forme : 61  1  ~  9«)  ~ , E)«) - A g 0(A) « ()  2i7r JICI=P, (qo«) + 1 ago(a)  s«)  d(  _  9(A)  si ¡Al < P1 2ilr  ICI=P, ( q0«) ( - A  0  si 1 , \1 > Pi . (62)  H, (A)  g(S)  S9o(~) - a9o(a) d~ . 2i7r ICI=Pt ~ 4 o(S) C'est 1'interpolation de g sur les zéros de la fonction ~\ 4 0(A) . La parité de HI(A) est indépendante de celle de q . On peut choisir la suite (Ep)p>1 pour que les couples de fonctions (63) PROBLÉME DE POMPÉIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE  155 On introduit la fonction entiére paire tout pE N G1 (A,rl)  et Gk(A,~ 3 p) Gl(A,r2)  et Gk( , \ 3p), soient sans zéros communs dans C, en effet soit A i = {A', j E N} 1'ensemble des zéros de la fonction A i --> G(A, ri) . Pour tout j, k E N on désigne par Aj,j,k 1'ensemble dénombrable des zeros, dans ]0, +oo[, de la fonction r H Gk(li,r), qui est réelle analytique et non nulle (Gk(A¡, 0) :~, 0) . Il suflt alors de choisir la suite (E p ) p >1 telle que pour fip 1  U (A1,j,k U A2,j,k) ' j,kEly Le théoréme des résidus donne : (64) HL (A) = > ,9 C1(~\, rl)G1(A, r2)g3,1(> 1 ) + AI G,(A, r1)Gk(A, flp)g2,1(-\) + > ,4 G1(A, r2)Gk(A, Pp)g1,1(A) + O(a)P(l\) avec (65) (66) 92,1(a) _ Gl(A,r1) dm(a)-1 m a  1 GJ(a,rl)=o (m(a)  ()- 1a1<Pt G2 (I, r2)  dm(a)-1 (m(a)  1 1)I A/-M(a)- (a,r2)=o  .G2 1a1<PI (67) Gk(A,lip) dm(a)-1 93,10) _  ~ m(")-1 Gk(a,an)=o (m(a) - 1) . d~ ~c«Pi (68) g(~)(~\ q -1 + ( ~\ e -2 + . . . + ( eP(A) = Res  1(  )0 SQe(S)  , ) gw« - cY)m(a) g«)« - a)m(ca) L Sge(C)(> , - ~) 1(=a gw« - a)m(a) ~ 48 (S)(> , - ~) 1 S=a 15 6  M . EL HARCHAOUI oú m(ca) est la multiplicité de a . Il est clair d'aprés (37) que m(a) = 1 pour IAI assez grand comme on le voit en utilisant le théoréme de Rouché . Nous ne savons pas si m(ca) est constament égale á 1 pour les valeurs petites de lal . On observe que si a est un zer6 de A H Ae0(A) on a : (69) car (70) et ceci nous fournira la factorisation suivante : (7 1 ) Hl(A)=Nl(~)Gl(~,rl)+vl(~)G1(A,r2) et les estimations sur Ifil I et I vl l . Nous allons commencer par montrer queda famille (Hl)1>L, est bornée dans £'(D) . Nous disposons des inégalités suivantes : (lemme 4 .4) (72) Hl (a) _  9(a)  si lo , ¡ < Pl 0  si ¡al > pl Hl(~) +  1 . ago(a) J  9«)  d(  -  9(A)  si ¡Al < Pl 2i7r  ICI=PI ( 9 0(x) ( - ~\  { 0  si ¡Al > Pl . Les . distributions P,l et vi seront alors défnies par : il(A) =>,9G1(A,r2)93,1(A)+\4Gk(>I,Q~)92,1(A) vl (~\)  = ~\ 9 Gk (A, Op)91,1(A) + P(A)Gl (A, rl)Gk(A, Op) 19 (A) I <~ (shrchr)k IPk(ia)l (73) eRp  e l Ima1 R p lE)(A)1 < (shrlchrl)(shr2chr2)(shrp,chrp p )k IPl(za)I 2 ipk(za)j' les constantes er et e R P peuvent étre remplacer par e R . On choisit l >_ max(Lk, k) > 2, pour ¡Al = pl . D'aprés (29) on a : cl 2k e jImAIR p ( 74 )  IOMl  (shrlchrl) 2 (shr2chr2) z (shOpch~3p)k+2  Pt +z avec 1  [min(1, rl, r2, fp)]3 Cl = ~1 (r1, r2, R) - ,/2 - /7-r ) 3  [eir(7r + R)]3 (75) (76) (77) avec PROBLÉME DE POMPÉIU DANS LE DISQUE HYPERBOLIQUE  157 De plus on remarque que si ReA > 0 et A =~ (2m + 1)i m E N on a : IPk(MI ? (,~, 2 ,)k car, pour tout k E N et z E C tel que Rez >_ 0, on a Iz+k1 >_ Iz1 . Comme la fonction g est paire on peut supposer que Re(i,\) > 0 . Par suite (72) s'écrit 2k e'  e1Ima1r (shrchr)k I , \I k Pour estimer Hj(A) lorsque JAJ > pc nous utiliserons 1'éxpression : Hl(~\) - - 1 \q0(~\)  ¡ 9«)  d( 227f  lo=pt ( 9 E)() ( - ) . Les relations (74) et (76) donnent IHt(~)I er(shrlchrl)2(shr2chr2)2(shPpchfp)k+2I~I9Io(a)I avec q = 5 . D'aprés (73) et (75) on a : Pour estimer Hj (A) lorsque I A J  < 1'expression cl(shrchr)kPq z  Pc er(shrlchrl)z(shr2chr2)z(shf p ch3 p ) k+ 2 ~~I S 1 9 (A)I cl(shrchr)k  pc ' IHtp , ) I -  c 2  I AI 3 eRP 1Ima1 (shrchr)k IPk(i,\)1(I>,I -Pt)' 2R c2 = c2(ri,r2,R) <4 CI (shrlchrl)z(shr2chr2)Z(shOpch,3p)2 Pi < c2(rl, r2, R) = c2 . nous utiliserons cette fois-ci H, (A) I = 9(A) - 1 a50(a)  9(~)  « 227f  1 1 cl = Pt ( E) (~) ~ - 164  M . EL HARCHAOUI 7 .  S . HELGASON, "Groups and Geometric Analysis," Academic Press, New York, 1984 . 8 .  G . N . WATSON, Asymptotic expansions of hypergeometric functions, Trans . Cambridge . Philos . Soc . 22 (1918), 277-308 . 9 .  L . ZALCMAN, Analyticity and the Pompeiu problem, Arch . Rat . Mech . Anal . 47 (1972), 237-254 . UER Mathematiques Université de Bordeaux I 351, cours de la Libération 33405 Talence FRANCE Rebut el 3 d'Agost de 1992