Cohomologie locale de certains anneaux Auslander-Gorenstein

Publicacions Maternátiques, Vol 36 (1992), 725-742 . A bstrac t COHOMOLOGIE LOCALE DE CERTAINS ANNEAUX AUSLANDER-GORENSTEIN MAME-PAULE MALLIAVIN Dédié á la mémoire de Pere Menal Zle give axiornatic conditions in order to calculate the local collomology of some idempotent kernel functors . The results lie on some new dicnension introduced by T . Levasseur for AuslanderGorenstein rings . Under some hypothesis, we generalize previous result . Nous dormons ¡c¡ des conditions aussi Lxiornatiques que possible pour calculer la cohornologie locale de certains foncteurs noyaux idempotents . Les résultats reposent sur la, découverte récente faite par T . Levasseur d'une dimension pour les anneaux appelés Auslander-Gorenstein et qui sont des généralisations naturelles des anneaux de Gorenstein commutatifs . En imposant á Cette dimension de satisfaire un certain nombre d'hypothéses on retrouvc certains des résultats de [B .M] et [Ma2] . 1 . Généralités Soit A un anneau . Sauf mention du contraire, tous les A-modules sont des modules á gauche . On notes Mod A la catégorie des A-modules á gauche et par Mod f A la sous-catégorie des modules de type fin¡ . On notera, lorsque cela sera nécessaire, par Mod d (A) et Modf(A) les catégories correspondantes de A-modules a droite . Oii notera AM ou MA pour indiquer que 11J est un A-module á gauche ou á droite . Cette notation sera utilisée surtout dans le cas oú M est un A-bimodule . L'anneau A est dit noethérien s'il est noethérien á gauche et á droite . Tous les anneaux qui interviendront seront noethériens . 72 6  M .-P . MALLIAVIN Soit AM (resp . 111A) un A-module . Un élément a E A est dit non diviseur de zéro dans M si ax = 0, xE M, entrame x = 0 (resp . xa = 0 entraine x = 0) . Si M est un bimodule et si a E A est non diviseur de zéro dans AM (resp . MA) on dit que a est non diviseur de zéro ágaucho (resp . á droite) dans M . Si a est non diviseur de zéro á gaucho et á droite dans A on dit que a est non diviseur de zéro . Par exemple, si A est noethérien et premier et si I est un idéal bilatére de A non nul, I contient un non diviseur de zéro . Soit M un A-module, on notera dhAM la dimension homologigve de M et inj . diMA M la dimension injective de M . On dira que A est de dimension homologique globale finie si la dimension homologique globale de AA et celle de A A sont finies ; elles sont alors égales car A est noethérien [A] . On notera alors gl dim A la dimension homologique globale de A . On dira que A est de dimension injective finie si les modules AA et AA sont de dimension injective finies ; elles sont alors égales [Z], car A est noethérien . Si M est un A-module á gaucho, on appelle grade de M et on note jA(M) (ou j (M) si aucune confusion peut en résulter) le nombre entier naturel ou +oo défini par : jA(M) = Inf{i, ExtÁ(M, A) :,A 0} . On a évidemment jA(( 0 )) = +oo . Si M est un A-module á droite on utilisera la notation já(M) ou jd(M) pour le grade de M . On a toujours jA(M) _< dhA(M) pour M :,A 0 et si inj . dim (A) = tt < oo on a de fagon evidente jA(M) <_ M, pour tout A-module non nul M . On a les propriétés analogues pour jÁ . 2 . Conditions d'Auslander . Anneau Auslander-Gorenstein et dimension Les définitions suivantes se trouvent dans [BJ2], [Bj-Ek], [Ek], [Le2] . 2 .1 . Définition . Soit A un anneau noethérien . Un A-module á droite ou á gaucho de type fin¡ 111 satisfait la condition d'Auslander si quel que soit q > 0 on a jA(N) > q pour tout A-sous-module N de type fin¡ de ExtÁ(M, A) . 2 .2 . Définition . L'anneau noethérien est dit Auslander-Gorenstein (resp . Auslander régulier) de dimension M, si 1) inj . dim A = I, < oo (resp . gl dim A= M, < oo), 2) chaqué A-module á droite ou á gaucho de type fin¡ satisfait la condition d'Auslander . LOCAL COHOMOLOGY OF SOME AUSLANDER-GORENSTEIN RINGS 72 7 11 est clair qu'un anneau Auslander régulier est Auslander-Gorenstein . Dans l'article [F .G.R .] les anneaux Auslander-Gorenstein de dimension injective tí sont appelés anneaux h,-Gorenstein . La condition d'Auslander dans 1'article précédemlilent cité est étudiée dans le contexto plus général de certaines catégories additives . D'autre part il résulte de [Ba] qu'un anneau commutatif noethérien de dimension injective finie est AuslanderGorenstein, ceci n'est pas vrai dans le cas non commutatif comme le montre un Exemple de I . Reiten [Re, Exemple 2 .4 .6] . Si A est un anneau Auslander régulier (resp . Auslander-Gorenstein) et S est un systéme de Ore á droite et á gaucho de A, alors l'anneau des fractions S` A est aussi Auslander régulier (resp . Auslander-Gorenstein) ; en effet si 111 (resp . N) est un A-module á gaucho (resp . á droite) les S`A-modules á droite ExtÁ(AI,A)S -1 et ExtS_, A (S -1 M,S -1 A) sont isomorphes ainsi que les S - lA-modules á gaucho S'ExtÁ(N,A) et Exts_, A (NS -1 , S -1 A) . Le plus souvent les anneaux Auslander réguliers sont des anneaux positivement filtrés dont le gradué associé est un anneau de polyn6mes . Tel est les cas de l'algébre de Weyl d'indice n sur un corps, ou de 1'algébre enveloppante d'une algébre de Lie g de dimension finie sur un corps . Plus généralement si R est une k-algébre qui est un anneau Auslander régulier (resp . Auslander-Gorenstein) et si g est une k-algébre de Lie de dimension finie opérant sur R par k-dérivations, 1'algébre R * U(g) [McRo] est elle-méme Auslander réguliére (resp . Auslander-Gorenstein) . 2 .3 . . Le résultat principal dans 1'étude des anneaux de AuslanderGorenstein est contenu dans le résultat suivant dont la preuve peut étre trouvée dares [Lel] et qui généralise des résultats antérieurs de [Bjl] . Théoréme . Soit A un anneau noethérien tel que p, = inj . dirn A < oo . Soit M un élément de Mod f(A) . (a) Il existe une suite spectrale convergente dares Modf(A), soit EZ'-Q (M) := Ext' (Extq (AMI, A), A) => Hr-`'(M) oú HP-q(M) = 0 si p 0 q et H ° (M) = M . Il en résulte une filtration finie sur M, appelée la b-filtration qui est de la forme (0)=F'` +1 MCF"AIC . . . CF I MCF ° M=M (b) si A est Auslander-Gorenstein ore a des suites exactos r 0  F +1AI ~ E2,-r(M) ---r Q(p) - 0 72 8  M .-P . MALLIAVIN oú p = 0,1 . . . . . . u et oú Q(p) est un socas-quotient de - ® +11 Extp Z+1 (Extp 2 (M, A , A i>I  ) ) les constructions précedentes sont fonctor¡elles en M . Remarque . Si M est un A-bimodule, on peut appliquer le théoréme á AM et d'aprés le point (c) il résulte que la b-filtration de AM est formée de socas-bimodules de M, que les suites exactes établies en (b) sont des suites exactes de bimodules . Cependant on prendra garde que, par exemple, la b filtration pour AM n'a aucune raison de coincider en général avec la b-filtration pour /[A . De méme les modules Q(p) apparaissant pour AM ne sont pas nécessairement identiques á ceux apparaissant pour MA . On pourrait aussi déduire la remarque précédente d'une étude détaillée de la preuve du théoréme 2 .3 . 2 .4 . Le théoréme suivant est le résultat 1 .8 de [Bj2] : Théoréme . Soit A un anneau Auslander-Gorenstein . Si 0 -> M' -> M -> M" -> 0 est une suite exacte de A-module de type fin¡ á gauche on a jA(M) = Inf{jA(M'), jA(M")} et le méme résultat est vrai pour une suite exacte de A-modules á droite . 2 .5 . Par analogie avec certaines propriétés des dimensions, J .E . Bjdrk introduit [Bj1] la définition suivante : Définition . Soient A un anneau noethérien et M un A-module á gauche de type fin¡ non nul . Le module M est dit pur si 1'on a jA(N) = jA(M) pour tous les socas-modules non nuls N de M . Lorsque d = jA(M) on précise en disant que M est d-pur . On a alors le théoréme suivant dont on pourra trouver la preuve dans [Bj2], [Lel], [Bj-Ek] et [Li-Hu] : Théoréme . Soient A un anneau Auslander-Gorenstein, M un Amodule de type fin¡ non nul, d le grade de M . Alors (a) ExtÁ (M, A) est d-pur (la démonstration de ce fait est dúe á R . Fossum) ; en particulier Ext d (ExtÁ (M, A), A) :,~ 0 . (b) Si ExtÁ (ExtÁ(M, A), A) est non nul, c'est un module pur . (c) Le module M est pur si et seulement si ExtÁ(ExtÁ(M, A), A) = 0 pour chaque p -7~ d . (d) FPM est le plus gradd socas-module X de M tel que le grade de X est >p . (e) d = sup{p, M = FPM} . LOCAL COHOMOLOGY OF SOME AuSLANDER-GORENSTEIN RINGS 72 9 Remarque . On peut dérnontrer directement á partir du théoréme 2 .5(d) que si 11 est un bimodule, FPA11 est, pour tout p, un Bous-bimodule de A4 . En effet soit a E A ; alors (Fr'AI)a est imago hornomorphe du A-module á gaucho FPM ; done d'aprés 2 .4, jA(FP11) est inférieur á jA[(FPllf a] . Par le théoréme précédent, il vient (FPM)a C FPM . 2 .6 . On trouvera dans [Le2, Tlirn . 4 .2] la preuve du théoréme suivant : Théoréme . Soient A un . anneau Auslander-Gorenstein et, 1V1 E Mod f(A) avec jA(M) >n . Soit (Mi) ¡EN une suite décroissante de sousmodules de M . Alors il existe q E IN1 tel que jA(1Vl i /Mi + r) > n + 1 pour toas les i tels que i > q . Corollaire . Si AJ est, un module á gaucho de type fin¡ sur un anneau Auslander-Gorenstein, A et si cp E EndA (M) est injectif alors 7A(MMA 1 ) ? jA(A 11 ) + 1 . Prerrve : On considére la suite décroissante de sous-modules {(p i (A/1)}iEN et on a pour tout i un isomorphisme évident ,P`° ; (na) - .> ~, + 2 1 M l , puisquecp est injectif . Done d'aprés le théoréme j (W (áa) ) > j (M) + 1 . Ce corollaire est démontré de fa~on plus générale en 4 .3 de [Le2] . 2 .7 . On trouvera dans [Le2] la définition et la preuve de la proposition suivante : Définition . Soit A un anneau Auslander-Gorenstein de dimension p, . On définit la dimension de M E Mod f A par b(M) = ttj(M) . Puisque J. (M) = 0, 1, . . . . p ou oo, on a S(M) = 0, 1, . . . . tt ou -oo . Proposition . La fonction S : Mod f A -> {O,  p, - 00} possUe les propriétés suivantes : (i) 8(0) _ -oo . (ii) Si 0 -> M' -> M -> M" -> 0 est une suite de A-modules á gancho de type fin¡, on a b(M) = sup{a(M'), S(M")} . (iii) Si P est, un idéal premier de A et 11/1 est un A/P-module á gaucho de type fin¡ et de torsion, alors b(M) <_ S(A/P) - 1 . (iv) Si M = M o D M l D . . . D Alíz D .  est une chame de sousmodules, alors 8(Mi/AIli+r) < 5(M) - 1 pour i suffcsam7nent grand . Ces propriétés ressemblent fort á, la définition abstraite donnée par A . Joseph (Applicatiori de la théorie des anneaux aux a,lgébres errveloppantes, Cours de 3e cycle, 1981, Paris VI) á 1'exception de deux propriétés sur les quelles nous reviendrons plus tard, á savoir que 5(M) = 73 0  M .-P . MALLIAVIN -oo si et seulement si NI = 0 et b(M) = 0 si et seulement si M est un A-module non nul de longueur finie . Les propriétés (i), (ii), (iii), (¡v) et les deux propriétés supplémentaires sont vérifiées par la dimension de Krull et la dimension de Gelfand-Kirillov (pour les algébres sur des corps), lorsque cette derniére est partitive . Si A est un anneau commutatif Gorenstein de pure dimension, 6 est la dimension de Krull classique de A . Si A est 1'algél)re enveloppante d'une algébre ele Lie résoluble de dimension finie sur un corps k de caractéristique nulle, ó est la dimension de Gelfand-Kirillov sur k . Définition . On a une définition analogue á la précédente pour les modules á droite de type fin¡ que 1'on notera pour la différencier Sd . Remarque . A 1'aide de ó, le résultat du théoréme 2 .3 et 2 .5 peut étre interprété comete suit . Posons d = MM), 6(M) = s = M - d . Le sous-module FPM est le plus grand sous-module X de M tel que S(X) < p - p . Le module ExtÁ(A1, A) est p, - .s pur .  On a des suites exactes fonctorielles FPM 0 -~ FP+ilq -' Ext 7 A (ExtP (M, A), A) --> Q(p) ---> 0 oú Extp (Extp 4 (M, A), A) est soit nul soit p-pur et 6(Q(p)) < ti -p2 . 2 .8 . Définition . Un A-module M E Modf A non mil est dit critique si 1'on a «M/N) < S(M) pour chaque sous-module non nul N de M . Si S(M) = son dit alors que 1V1 est s-critique et ceci est équivalent á j(M/N) > jA(M) = p, - s pour tout sous-module non nul .N de 1111 . Proposition [Mc-Ro, 6 .2 .10] . Tout module non nul de type fin¡ M posséde un sous-module critique . Preuve : On raisonne par 1'absurde et 1'on suppose qu'il existe un entier n >_ 0 et un module A/I, ó(Al) = n, n'admettant pas de sous-module critique . D'aprés la propriété 2 .7(ii) on peut trouver une chaine strictement décroissante M = Mo M l . . . de sous-modules de 111 tels que S(11J) = S(IVli) = S(NIj/llli+l) ce qui contredit 2 .7(iv) . 2 .9 . Le résultat suivant est bien connu pour la dimensión de GelfandKirillov . La preuve est la méme ¡c¡ . Proposition . Supposons la dimension b idéal-invariante, c'est-á-dire que pour tout A-module de type fin¡ 1Vl et tout idéal bilatére I de A ; on a S(I ®A M) _< «Al) . Alors si Al est un module critique, son annulateur est premier . LOCAL COHOMOLOGY OF SOME AuSLANDER-GORENSTEIN RINGS 73 1 Preuve : Soit P = AnnA(AJ) et soit I et J deux idéaux bilatéres de A tels que IJ C_ P . De l'application surjective naturelle [0AM/JM -> IM résulte par 2 .7(ii) que S(IM) < 6(I OA Puis par idéal-invariance S(I ®A JM ) < S( ~~ ) . Done 5(IM) <_ S( m JAII ) . Comme M est critique, ou bien JAJ = 0 et JC_ P ou bien JM  0 . DoneS(M/JAJ) < 5(M) et 5(IM) < 5(M) . Done par 2 .7(ii) ó(M) = 5(ié-) et donc IM = 0 . D'oú ICP . 3 . La résolution injective minimale de certains anneaux Auslander-Gorenstein Dans toute la suite on considérera des idéaux bilatéres P de A et des bimodules correspondants M = A/P . Pour le calcul de ExtÁ (M, A) on utilisera la structure de A-module á gauche sur AJ et en mettra sur Ext'(M, A) la structure de A/P-A-bimodule, A-module á droite provenant de la structure AA et P-module á gauche provenant MA1P . On calcules ExtÁ(ExtÁ(M,A),A) pour la structure de A-module á droite de ExtÁ (M, A) . 3 .1 . Lemme . Soient A un anneau Auslander-Gorenstein de di7nension injective p, P un ideal premier de A, AJ = A/P et . i (M) = d . Alors on a M =F d M el Fd+I NI = (0) ; en particulier AJ est, d-pur . Preuve : D'aprés 2 .5(e) on a Ad = FdA~l et d'aprés 2 .5(a) ExtA (Ext d (M, A), A) est non nul ; il est donc d-pur . On en déduit que j(FdAJ/Fd+1M) = d = j(AJ) . Si Fd+I(Aj) n'était pas nul, il existerait un idéal bilatére I de A contenant strictement P tel que Fd+IM = I/P . L'idéal bilatére I/P de 1'anneau noethérien A/P contiendrait un non diviseur de zéro . Done «A/I) _< «A/P) - 1 < 5(A/P) . On obtiendrait la contradiction 5 (FdAJM) = ó (Fd~t +nM) < 8(M) = 6(A/P) . 3 .2 . Les deux théorémes suivants sont essentiellernent démontrés dans [Mal] : Théoréme . Soit A un anneau Auslander-Gorenstein de dimension injective la, . On suppose la dimension S idéal-invariante . Soit P un idéal complétementpremier de A, AJ = A/P et jA(M) = d . Soit Fr(A/P) le 73 2  M .-P . MALLIAVIN corps des fractions de A/P . Alors le Fr(A/P) espace vectoriel á gauche Fr(A/P) OA ExtÁ (Extd(M, A), A) est de dirnension 1 . Preuve : Considérons la suite exacto de A-bimodules ---> ExtÁ (Extd(M, A), A) -> Q(d) , 0 oú 8(Q(d)) <_ S(M) - 2 d'ap rés la remarque 2 .7 . D'ap rés l a propriété (ii) de 2 .7, en a ; en posant Q(d) = Q(d)) = A (DA Q(d), 6(Q(d)) <_ 6(Q(d)) < 6(A/P) . 11 résulte de 2 .7(ii) que chaque sous-module ágauche monogéne de Q(d) est de la forme A/I oú I est un idéal á gauche de A co ntenant strictement P . On a donc en posant S = (A/P)\{0}, S - 'Q(d) = (0) . Posons Vd = ExtÁ (ExtÁ (M, A), A) et tensorisons la suite exacto de Amodules á gauche 0-iM~Vd->Q(d)----> 0parA/P . On obtient la suite exacto de A/P-modules á gauche TorA(A/P, Q(d)) - A/P - Vd  Q(d) -' 0 oú en a posé Vd = Vd/PVd, . On décompose la suite précédente en les trois suites exactos TorA(A/P, Q(d)) - J/P - 0 0->J/P~A/P-->A/J-~0 0 -~ A/ J ---> Vd ---> Q (d) ----> 0 oú J est un idéal á gauche de A contenant P . Montrons que J coincide aves P . En effet si 1'on avait J résulterait de 2 .7(iii) que 6(A/J) < «A/P) - 1 < 6(A/P) . Tensorisant la suite exacto de A-modules á droite ->A/P-j0 par Q(d), en obtient 0 ----> TorA(A/P, Q(d)) -> P OA Q(d) -> Q(d) ~ Q(d) -i 0 . P, il LOCAL COHOMOLOCY OF SOME AUSLANDER-CORENSTEIN RINCs 733 D'aprés 2 .7(ii) on a 8(Tor A (A/P, Q(d)) C ó(P ®A Q(d)) et en raison de 1'idéal-invariance de S, on a 6(P ®A Q(d)) _< h(Q(d)) < 5(A/P) . D'aprés la suite exacto (1) et en appliquant 2 .7(ii) on a 11 résulte de tout ceci que h(J/P)  S(A/P) . La suite exacto (2) et la partitivité de S (cf . 2 .7(ii)) donne ó(A/P) = sup(S(J/P), 6(A/J)) . En utilisant les inégalités S(A/J) < «A/P) et b(J/P) < «A/P) on arrive ¡i une contradiction . On a done clémontré que J =P . La, suite exacto (3) devient 0~A/P >Vd~Q(d) -> o . En appliquant S -1 á cette suite, oú S = (A, P)\{0}, on obtient 0 -> Fr(A/P) --> S-1V 'd --> S-1Q(d) --> 0 . Comme S -1 Q(d) = 0, il vient Fr(A/P) =- S - 'Vrd = F7- ( P A) ®A Vd _ qui est 1'isomorphisme cherché . = Fr(A/P) OA Ext Ad (ExtA d (II, A), A), 3 .3 . On va étendre la dimension 6 9 á tout A-module a gaucho non nécessairement de type fin¡ en posant s 9 (N) = s11p{6,)(Q)} oú Q parcourt les socas-modules de type fin¡ de N . 11 est clair d'aprés 2 .7(ii) que S_,(N) = b(N) si N est de type fin¡ . 74 0  M .-P . MALLIAVIN 4 .6 . Théoréme . Soit A un anneau premier vérifiant les conditions (A), (B) et (C) el E Z = le i'~" terrne de la résolution injective minimale du A-module AA . Alors E" = (0) et E,= lid ExtÁ(A/I, A) =H, 11 (A) . I E .P Preuve : D'aprés 4 .2, lim ExtÁ(A/I, A) =F est un A-module injecrE .F tif et T= ExtA (-, A) est naturellement équivalent a HOMA (-, E) sur ModÁ . On remarque d'abord que si M est un A-module ágaucho artinien alors HomA (M, Ep) = 0 si p <p . En effet par un argument de récurrence sur la longueur de A/1 en se raméne au cas oú M est simple . En effet si HOMA(Al, E P ) = 0 si p < p, lorsque M est simple alors 0 -> M" - M -> M' - 0, l(M") < l(M) et M' simple, d'oú 0 -> HoMA(M', EP) = 0 -> HOMA(All, EP) -> -> Hom A (M", E P ) = 0 -> 0 . Alors M = A/J oii J est un idéal bilatére co-artinien par (A) . On a j (M) = p car 6(M) = 0 . Done HOMA (M, A) = 0 . Il suffit d'appliquer 4 .5 . On a alors le résultat car si HomA (M, E ¡ ) est non nul alors j (M) < i done i =p . Les foncteurs de ModÁ dans Ab ; Extl(-, A) =T et HomA(-,E¡,)/ Im(HoMA(-, E P _ 1 )) sont isomorphes .  Puisque si M E ModÁ, en a HornA(M,E,,_ 1 ) = 0, sur la catégorie ModÁ ; les foncteurs T et HOMA (- ; E P ,) sont isomorphes et pour tout idéal bilatére J co-artinien ; les A-modules á, gaucho T (A1 J) et HornA (A/J, E, j sont isomorphes . Par suite lim T(A/J) - liin HomA (A/J, E,) et done E est isomorphe I E .~  I E .F á hmHomA (A/J,E~j = linl HomA (A/J, E') ® lim HomA (A/J,E") . JE .F  IEF  JE7 D'aprés 4 .3, en a que E est isomorphe á lim HomA (A/J, E1) c'est-5,- J E .7 dire á E, d'aprés le corollaire 4 .4 . Montrons á présent que pour tout sous-module M de type fin¡ de E" en a ExtÁ (AJ, A) = 0 . Raisonnons par l'absurde et supposons que Q = Ext', (M, A) 7~ 0 . Puisque Ext~ 1 (Ext" (M, A), A) = 0 si i < li, 1'anneau A étant Auslander-Corenstein, il résulte du fait que Q r ' í : 0 qué 1'on a ExtÁ(Q, A) 7~ 0 . En effet si ExtÁ(Q, A) = 0 pour tout ven aurait S(Q) = -oo et done Q= 0 ; d'aprés (C) . Alors ExtÁ(ExtÁ(A7, A), A) est un A-module á gaucho non nul de longueur finie, puisque son S est nul . Il est isomorphe á F"M, ce qui résulte du théoréme 2.3(b) . Il existe LOCAL COIIOI\40LOGY OF SOMi AUSLANDER-GORENSTEIN RINGS 741 done un hornomorphisme non nul f : P'M - E, .' ; ce qui contredit le corollaiie 4 .3 . Soit EA(A/I) une composante rion nulle de .E,1 1 , a supposer qu'elle existe, oit I est un idéal á, gaucho de A .  D'aprés cequi précéde en a ExtÁ(A/I, A) = 0 .  Si  " _Z ` E,,, --, 0 est la derniére fléche de la résolution injective minimale de A, 1'application IJorr1A(A/I,E,,_r) -> HOMA(A/I, E r )  qui en résLrltc est  surjective,  puisque le conoyau ExtÁ '(A/I, A) est nul .  Done il existe un homomorphisme f : A/I - E, L -1, tel que p r ,,_1 o f soit 1'identité sur A/I et, par suite, f est injectif . Comete kerp,,_I est essentiel dans E,,_ 1 , on a, alors Imf n kerp N _ 1 :7~0, ce qui contredit le fait que p 1 ,,_I o f est 1'identité sur A/I . Done E l ' , = 0 . References [A] AuSLANmR ., 1Vl ., On the dimension of modules and algebras (III), Nagoya Math . J . 9 (1955), 67-77 . [B-MI BAROU, G . ET NIALLIAVIN, 1\!1 . . P ., Sur lit résolution injective minimale de l'algébre enveloppante d'une algébre de Lie résoluble, J . of Pure and Applied Alg . 37 (1985) ; 1-25 . [Ba] BASS, II ., On the ubiquity of Corenstein rings, R7ath . Z . 82 (1963) ; 8-28 . [Bjl] BJóR .K, J . E ., "Rings of differential operators," North-Holland, 1979 . [Bj2] B .IóRK, J . E ., "The Anslarnde - condition on noetheria,n 7-ings," Sérnirmire Dubreil-Malliavin, 1987-88, L .N . in Math . 1404, Springer Verlag, 1989 ; pp . 137-173 . [Bj-Ek] BibRK, J . E . ET EKSTRUI, E . K ., "Filtered Auslander-Corenstein rings," Collogue en 1'hornneur ele J . Dixlnier, Birkhauser, 1990, pp . 424-448 . [Br] BROWN, K ., Ore sets in envelopping algebras, Compositio Math . 53 (1 .984), 347-367 . [Br-Le] BROWN, K . ET LEVASSEUR, T ., Cohomology of bimodules over enveloping algebras, Math . Z . 189 (1985), 393-413 . [Ek] EKSTRi7NI, E . K ., 'cThe Auslander Condition on graded and fltered neotherian rings," Sétninaire Dubreil-Malliavin, 1 .987-88, L .N . in Math . 1404, Springer Verlag ; 1989, pp . 220-245 . [ .F-G-R .] Fossum, R ., GRIFFITH, P . AND REITEN, L, "n - ival extensions of Abelian ra,t,~go~°ies," L .N . in Math . 456, Springer Verlag ; 1975 . 74 2  M .-P . MALLIAVIN [He-Ve] HENDRIX, B . AND VERSCHOREN, A ., A note on compatibility and stability, Communications in Algebra 17(8) (1989), 1971-1979 . [Len] LENAGAN, T ., Gelfand Kirillov dimension and affine P .I . rings, Comm . Algebra 10, no . 1 (1982), 87-92 . [Lel] LEVASSEUR, T ., "Complexe bidualisant en algébre non commutative," Séminaire Dubreil-Malliavin, 1983-84, L .N . in Math . 1146, Springer Verlag, 1985, pp . 270-287 . [Le2] LEVASSEUR ; T ., Some properties of non commutative regular graded rings, (á paraStre) . [Li-Hu] LI, HUSHI ; Non commutative Zariskian rings, Ph . Doc . Thesis UIA, Antwerp (1989) . [Mal] MALLIAVIN, M . P ., Modules sans torsion et modules injectives sur les algébres de Lie résolubles, J . Algebra 83(1) (1983), 126-157 . [Ma2] MALLIAVIN, M . P ., Représentations injectives d'algébre de Lie résolubles, Comm . i n Algebra 14(8) (1986), 1503-1513 . [Mc-Ro] MC CONNELL, J . C . AND ROBSON, J . C ., "Non commutative noetherian rings," Wiley series in Pure and Applied Math ., 1987 . [Re] REITEN, I ., Trivial extensions and Gorenstein rings, Thesis Chicago Univ . (1971) . [Str] STRENSTRóM, B ., "Rings of quotient," Springer, 1975 . [Ve] VERSCHOREN ; A ., Compatibility and Stability ; Notas de Matemática 3, Universidad de Murcia . [Z] ZAKS, A ., Injective dimension of semi-primary rings, J . of Algebra 13 (1969), 73-86 . 10 Rue Sant Louis on 1'Ile 75004 Paris FRANCE Primera versió rebuda el 14 d'Octubre de 1991, darrera versió rebuda el 18 de Novembre de 1991