Descomposiciones bornológicas de Shauder

Pub . Mat . UAB Vol . 31 nó 1 Abril-1987 DESCOMPOSICIONESBORNOLOGICAS DE SHAUDER pn : E -- > E Todo elemento x EE se podrá escribir . a) d n .mPn 0 Pm = Pmin(mn) , Y b)  para todo x E  E, x m M - lim p n (x), Merca Serrahima 1 . Descomposiciones bornólogicas de Schauder Sea E un espacio bornológico convexo (e .b .c .) separado . Una sucesión (M n ) n de subespacios Mackey-cerrados no triviales define una descomposición bornológica de E, si todo elemento x e E admite una representación única x = M -  Y-  x n = M - lim  2 :  xk , siendo para todo n, xn E  M n . n21  n  k5 n A una descomposición se le asocia una sucesión de aplicaciones (p n ) n definidas por . x  2 :  xk , si x = 1,1 - 7-  x n k5 n  n21 Las aplicaciones (Pn)n son proyecciones sobre los subespacios (Ml + . . .+ M n ) n y verifican trivialmente pn o pm ° pmin (m,n) , d n,m Definiendo ql =pl , qn mpn -Pn-1 si n > 1, se obtiene una sucesión de proyecciones (q n ) n sobre los espacios M n , que cumplen qn o .q m = 0 si n * m x = M - lim pn(x) = M - lim Y-  qk(x) ° M -  Y-  qn(x) n  n kSn  n2 1 Una descomposición bomológica es de Schauder, si todas las proyecciones Pn (o qn) son acotadas . Si la sucesión (P,)n (o (q n ) n ) es equiacotada, la descomposición es eqúi-Schauden Se comprueba sin dificultad que una sucesión de proyecciones acotadas pn : E --> E, que verifiquen : define una descomposición bomológica de Schauder de E . Los subespacios de la descomposición son Ml = pl(E) = q i(E) . M n= (Pn - Pn-1) (E) = qn(E) si n 2Z . 11 . Proposición . Sea E un e .b .c . separado . (Pn)n una sucesión equiacotada de proyecciones Pn : E ---> E tales que : a)  b' n, m E  N, P m oPn = Pm i n (m,n) b)  La envoltura lineal de los subespacios pn (E) es Maclmy-densaen E . Entonces, (Pn)n define una descomposición equi-Schauder de E . Demostración . Sea M1 = pl(E), y para n 12, M n= (Pn - Pn-1)(E) . Como hemos indicado anteriormente,  será suficiente  comprobar  que para  todo  x E  E, x = M - lim pn(x) . n Sean F la envoltura lineal de los espacios Pn(E), x e E, y 8 > 0 . Si (xi)i C F es una sucesión tal que x = M - lim xi,  existirán un disco acotado B y una sucesión (si)¡ de reales i convergente a 0 tales que para todo i, x - xi E si B . Sea C un disco acotado tal que para todo n . pn(B) C C . Designamos por U pB , p JIC las normas definidas por los calibradores de B y C en sus respectivas envolturas lineales . Si i0 E  N es tal que para i 2 í0 , si < fl2 , para n E  N e i 2 i0, tendremos : n II x -xi IIB  < E1 2 ,  II Pn(x - xi) IIC < E1 2 . Sea A un disco acotado que contenga B y C . Para n Z n0 : Como xi,  E  F, por la condición a), !a sucesión (Pn(xi,))n será constante e igual a xv apartir de un cierto n0 . II x - Pn(x) IIA 5 II x - x¿,  HA + II xi, - Pn(xio) IIA + II Pn(xio) - Pn(x) IIA 5 Fal ser la norma definida por el calibrador de A más fina que las definidas por los calibradores de B y C . Por tanto, x = M - lisa Pn(x) . o Llamaremos espacios LB a los e .b .c . completos y con base numerable de acotados . Todo e .b .c . LB es limite inductivo bornolbgico de una sucesión creciente de espacios de Banach (Ek)k, de forma que para todo k y todo x E Ek, II x Ilk+1 5 II x IIk- (Representación de E) . El resultado que sigue, generalización de un lema de Moscatelli ([4]) para bases bornológicas, permitirá extender algunas propiedades de las descomposiciones de Schauder en espacios de Banach a las descomposiciones en espacios LB . 1 .2 . Lema - . Sea E un e .b .c . LB y (Mn, Pn)n una descomposición bornológica de Schauder de E . Entonces, existe una representación (Ek)k de( espacio E tal que para todo k, (din t1 Ek, fnIFk)n es una descomposición de Schauder de! espacio de Banach Fk . (Suprimiendo, para cada E k los índices n tales que  74 n n Ek = 0) . Nota : puede darse el caso de que para toda representación (f k)k del espacio E,  Ek nM n --- 0 salvo para un número finito de índices n . Abusando del lenguaje, continuaremos llamando descomposición de Schauder del espacio Ek ala sucesión finita de subespacios (Ek n M n ) . uenmsrración : Sea (Fk, vk )k una representación de E tai que para t4cio k, Fk C Fk, .l Y vk+l(x) 5v k (x) para todo x E Fk . Supondremos que Fl tiene intersección distinta de cero con alguno de los espacios M nde la descomposición . Si Nk es el conjunto de índices n para los que Fk n  Iwi n ; t 0, se define Gk = {(x n ) n E 11 (Mn nFk) : xn = 0 si o ?Nk, y Yx n es convergente en Fl . n  n y en Gk la norma II (x n )n llk =Sup (v k (  Y-  xi)) . Teniendo en cuenta que los espacios NI n son m  i :1 m M-cerrados, se comprueba que para todo k . (Gk II Ilk) es de Banach . En cada uno de los espacios Gk, los subespacios II !!k - cerrarles { (0 . . . .0 . x n , 0, 0, . . . )  E  Gk  :  z n E  hi n t1  Fk ,  n ENk } definen una descomposición de Schauder . s i x = (x n ) n E Gk, e (yi)i = (0 ,.. .0, xi, 0-j, u : G -4 E n II x -  Z  Yi Ilk - II (xi)i > m Ilk = SUP ( Vk (  y-  xi)) , para i5 m  n  i=m+l que tiende a 0 cuando m tiende a infinito por ser  xi  vk - convergente . Por oca parte, los i espacios Gk y las inclusiones naturales forman un sistema inductivo bomológico : sea G - UGk su límite inductivo . La aplicación  k (xn)n  -4  M - Yxn n o>m, es inyectiva por la unicidad de la descomposición (M n , Pn)n , exltaustiva-por implicar la MackeyConvergencia en E la v k -convergencia en algún Fk , y acotada . ya que si A es acotado en G, lo será en algún Gk , y si (x n ) n C A, vk (u ((xn)n)) = vk (bl-S . x n ) <_ Sup  vk (  E  x it ) _ II (xn)n Ilk . n>_ 1  m  1115 m El teorema del homomorfismo para espacios bornoltígicos completos, (121), asegura el isomorfismo bornológico entre E y G, lo que concluye la demostración . o 13 . Proposición . En un e .b .c . LB toda descomposición bornológica es equi-Schauder . Demostración : Sea (Mn , pn) una descomposición bornológica de E . Sea (Ek)k una representación de E, (construida como en el lema anterior) formada por espacios de Banacli y tal que para todo k (M n n Ek, pnjEk)ne Nk defina una descomposicón de Ek . Co-o :cs espacios M n n Ek son cerrados en Ek, las descomposiciones ser ; n equi-Schauder e cada Ek . Ente^ .ces, como todo acotado A de E esta contenido en algún  Ek, el conjunto ñ pt(A)  ñ pn IE kA) será un acotado de E k y en consecuencia de E . Si E es un e .b .c ., designaremos por TE al espacio E provisto de la topología localmente convexa más fina de entre las compatibles con la bornología de E . El dual bornológico Ex de E, coincide con el dual topológico (TE)' de TE, y si TE es un e .b .c . separado . <E, Ex> será un par dual . En este caso, la topología de TE coincide con la topología de Mackey T M (E, Ex) . 1 .4 . Proposición . Sea E un e .b .c . tal que la topología de TE sea separada . Entonces, toga descomposición bornológica de Schauder (Mn,pn)n de E, es también una descomposición de Schauder de E para las topologías de Mackey T m (E, Ex) y débil a(E, Ex) . Si la descomposición borológica es equi-Schauder, también lo son las descomposiciones topológicas . Demostración : La Mackey-convergencia en E implica la convergencia según la topología de TE 1 que es  'C m (E, Ex), yésta la  O(E, Ex)-convergencia . También, si las proyecciones (p n ) n son acotadas (equiacotadas), serán continuas (equicontinuas) para las topologías t m (E, Ex), O(E, Ex) . o 1-5 . Proposición . Sea E un e .b .c . topológico (es decir, la bornología de E es la bornología de Von Neumann de un espacio localmente convexo) tal que TE sea tone(ado . Entonces, toda descomposición bomológica de Schauder de E, es equi-Schauder . Demostración : Como V x E E, (pn(x))n es acotado, y TE tonelado, la sucesión (pn)n serví equicontinua, y al ser E un e .b .c . topológico, será equiacotada . o 1 .6 . Corolario . Si E es un e .b .c . completo y topológico, toda descomposición bomológica de Schauder es equi-Schauder . Demostración : Si E es completo, TE es tonelado . a 1 .7 . Proposición . Sea E un e .b .c . topológico tal que TE sea tonelado . Si Nn, Pn)n es una descomposición de Schauder para T m (E, Ex) (o pata 6(E, E x )), y la envoltura lineal de U M n es Mackey-densa en E, (Mn, pn ) es una descomposición bornol6gica equi-Schauder de E .  n Demostración : Al ser TE tonelado, la sucesión (Pn)n será T m (E, Ex)-equicontinua y equiacotada por ser E topológico . Es suficiente entonces aplicar la proposición 1 .1 . Por otra parte, al ser TE tonelado, toda descomposición para la topología débil es también descomposición para la topología tonelada ([5]) . . Si E es un e .b .c . y (Mn, pn)n una descomposición de Schauder de E, la topología de TE induce en cada uno de los espacios M n la topología propia de T M n , ya que al ser las proyecciones qn : E -+ M n acotadas, serán continuas para' las topologías de los espacios TE, T M n . En particular, si la topología de TE es separada, se tiene ; Tm (N 1 n , Mn x ) ' T rn ffi-E x )IMn , Y  G(Mn, M nx ) - a(E, E x )IMn 2 . Descomposiciones inducidas en el dual bornológico . Sea E un e .b .c . Designaremos por Ex .el dual bomológico de E provisto de la topología de la convergencia uniforme sobre los acotados de E (topología natural) . Si (Pn)n es una sucesión de proyecciones que defme una descomposición bomológica de Schauder de E, (Pn)n , (q'n)n serán las sucesiones de aplicaciones adjuntas de las proyecciones (Pn)n , (qn)n respectivamente . Si A es un acotado de E, para todo u E Ex, <P 'n (u), A> _ < u, pn(A)> es acotado en R por ser acotaras las aplicaciones pn, y tendremos p'n :  Ex  Ex  ' q , 1 ° P'1  , q'n ° P n - In1  si n > 1  . u  --)  u opn Se comprueba inmediatamente que las aplicaciones p'n , q' n son proyecciones continuas para la topología natural en Ex, que verifican p' n o p n - P min(m,n) , q 'n o q'm ° 0  si n -- m . También, q' n (Ex) = {u oqn : u E M nx} =M n x , yel isomorfismo es topológico considerando en q'n(E 1 )la topología natural de Ex, y en M n x su propia topología natural . (De conv . uniforme sobre los acotados de Mn) . 21 . Proposición . Sea E un e.b .c . tal que TE sea separado, y (Mn, Pn)n una descomposición bomol6gica de Schauder de E . Entonces, la sucesión (p'n)n define una descomposición de Schauder de Ex para la topología débil a(E x , E) . Demostración . Como las aplicaciones (p n ) n son ti m (E, Ex)-continuas, las aplicaciones p' n serán a(Ex, E)-continuas, y como para todo x E E, x = M-lim pn(x), para u e Ex tendremos < u, x >_< u, M - lim en(x) >= lim <u, pn(x) > - Gin < P'n (u), x > . o 22 . Proposición . Sea E un e .b .c . tal que TE sea tonelado . Sea (pn)n una sucesión de proyecciones acotadas definidas sobre E tales que la envoltura lineal de U pn (E) sea Mackey-densa n en E . Si (p'n)n define una a(E x , E)-descomposición de Schauder de Ex, la sucesión (pn)n define una descomposición equi-Schauder de E . Demostración :  Como (Ex, a(E x , E))' = E, la sucesión (Pn)n define una 6(E, Ex)- descomposición de E, según el conocido resultado para descomposiciones en el dual de un espacio localmente convexo . Basta entonces aplicar 1 .7 . o 2 .3 . Proposición . Sea E un e .b .c . tal que TE sea separado . (pn)n una sucesión de proyecciones que define una descomposición equi-Schauder de E . Sea F la v-clausura en Ex de la envoltura lineal de U p ',(Ex) . Entonces, (p'n)n define una descomposición equi-Schauder de F para la topoligía natural . Demostración : Para todo ue F, la sucesión (p'n(u))n es de v-Canchy por ser la sucesión (p'n)n equicontinua, y como v tiene una base de entornos de cero (S(Ex, E)-cenados, u=vlim p , n(u) = (T(Ex, E)-lim p'n(u) . -- Si (Pn)n es una sucesión de proyecciones que define una descomposición de Schauder en el e .b .c . E, designaremos por (p" n ) n , (q"n)n las sucesiones de aplicaciones adjuntas de las proyecciones (p * n)n , (q'n)n respectivamente . Como estas últimas son continuas para la topología natural v en E x , tendremos, para todo n, p"n((E x v )') C(Ex . )' y q" n ((E x v )') C(Ex . )' . Podremos enunciar . 2 .4 . Proposici6n . Sea E un e .b .c . tal que TE sea separado . (Mn, Pn)n una descomposición equi-Schauder de E tal que (q'n(Ex), P'n)n sea una descomposición de Ex para la topología natural . Entonces, (q" n (E x v A p"n)n es una descomposición equi-Schauder de un subespacio de (E%) . para la bomología equicontinua . Demostración : Trivialmente, P" n o P"m ° P"min(m,n) . Comd (Pn)n es equiacotada, (p'n)n será un conjunto equicontinuo de L (Exv , Ex,), y (P"n)n un conjunto equiacotado para la bornología equicontinua de (Exv )' . Según la proposición l .1, (p" n ) n definirá uña descomposición equi-Schauder de la Madherencia de la envoltura lineal de U q"n(Exv Dn 3 . Descomposiciones en espacios reflexivos Si E es un e .b .c . bornol6gico, el espacio (Ex,)' provisto de la bomología equicontinua, es el bidual bornológico de E . E será reflexivo si coincide algebraica y bornol6gicamente con su bidual . Una condición necesaria y suficiente, es que E posea una base de su bomología formada por discos 6 (E, Ex)- compactos . ([2p . Si algebraicamente E = (Ex . )', E es semirrefelexivo, y si E es subespacio bomológico de (Ex v )', E es polar . una condición necesaria y suficiente es que E tenga una base de su bomología formada por discos cerrados para la topología de TE . ([2)) . En los espacios de Banach, la existencia de una descomposición acotadamente completa y recortarte, equivale a la reflexividad del espacio . Siguiendo esta idea, definiremos las descomposiciones acotadamente completas y recortantes en espacios bornológicos, y veremos que caracterizan la reflexividad de los e .b .c . polares i de los e .b .c . LB siempre que los espacios de la descomposición sean de dimensión finita . Una descomposición bomológica de Schauder (Mn , Pn)n de un e .b .c . E es acotadamente completa, si para toda sucesión (x n ) n c E tal que xn E M n para todo n, y ( Yxk)n sea acotada, la serie k=1 Yxn es Mackey-convergente en E . n n Una descomposición bomológica de Schauder (M n ,p n ) n de un e .b .c . E es recortante, si la sucesión (P'n)n define una descomposición de Schauder para la topología natural en Ex . 3 .I . Proposición .  Sea E un e .b .c . tal que TE sea separado . Entonces : a)  Si E es reflexivo, toda descomposición de Schauder (Mn, pn)n es acotadamente completa . b)  Si E es semirreflexivo, toda descomposición equi-Schauder es recortante . n Demostración : a) Sea (E xk)n acotada tal que t1 n, xn E M n . k-1 ComoE es reflexivo, la sucesión estará contenida en un conjunto A acotado y a(E, Ex)-compacto : sea x E A a(E, Ex)-adherente a la sucesión . x admite la representación x m M - Yqk(x) k con qk(x) E Mk, y también x - a(E, Ex)-y, qk(x), siendo las aplicaciones qk continuas para la k topología débil . Entonces, para todo k, qk(x) será adherente a la sucesión (qk (~ xi))n . y comoqk (~ xi) m i~n  i<_ n xk si n 2 k, y 0 en caso contrario,  x - Mlim 1  -kk :5 n b) Por . 23, (P'n)n define una descomposición equi-Schauder de la v-clausura de la envoltura lineal F de U q'n(E x ) . Pero F es denso en Ex, . : como (Ex,)' m E,  si x pertenece al ortogonal n de F, para todo u E Ex Y todo n E N, (q' n (u)(x) - u (qn(x)) ° 0 . y de aquí qn (x) ° 0 para todo n por ser < E, Ex > un par dual, yx-0 . a Si (M n p n ) es tina descomposición de Schauder del e .b .c . E tal que cada M n sea semirreflexivo, para todo n, q"n «Ex,)') a {u a q' n I u e ((Mn)xv)'} =_ M n . Identificando estos espacios, podremos enunciar el siguiente lema de representación del bidual de los espacios polares : 31 . Lema . Sea E un e .b .c . polar . (Mn, Pn)n una descomposición equi-Schauder acotadamente completa y tal que cada subespacio M n sea semirreflexivo . Entonces, (Ex, )' -- E ® V, suma directa algebraica, siendo V el ortogonal en (Ex. )' de la envoltura lineal de la unión de los subespacios p'n(E x ) . Demostración :  Sea z E (EX,)' . Para todo n, q"n(z) E M n C E, e igualmente, p" n (z) E  E . Como . l a descomposición es equi-Schauder, (P" n ) n es un equiacotado de L x ((E x v Ye, (Ex v)'e) , y por lo tanto (P"n(z))n un equicontinuo de (Exv )' . Al  ser E polar, (P"n(z))n = ( 7_ q"k(z))n k5n será un acotado de E, y al ser la descomposición acotadamente completa, existirá x E E tal que Definiendo la aplicación (E xv )' -> E x a M-lim P"n(z) ° M - Y,  q"k(z) . k5 n z  -~  x = M-lim P" n (z) n se tiene una proyección sobre E de núcleo UKer p" n = V . . n Podemos demostrar ahora el recíproco de la proposición 3 .1 . para los e .b .c . polares : 3 .3 .Proposieión . Sea E un e .b .c . polar (Mn, Pn)n una descomposición acotadamente completa y recortante tal que cada M n sea semirreflexivo . Entonces E es reflexivo . Demostración :  Según el lema 3 .2, (Exv )' = E ® V, siendo V =(U P'n(E x )) l . Pero al ser la n descomposición tecortante, la unión de los subespacios p' n (Ex) es densa en Ex y V = 0 . o Para demostrar un resultado análogo en los espacios LB, utilizaremos dos lemas relativos a espacios de Banach que posean una descomposición de Schauder, análogos a conocidos resultados para bases de Schauder que se encuentran en (3] . También un lema para espacios LB en el que se identifican las adherencias de determinados conjuntos . 3 .4 . Lema . Sea E un espacio de Banach, y (Mn , pn)n una descomposición de Schauder . Sea F la adherencia, en la dual E de E de la envoltura lineal de U q'n(E~ con la norma inducida . n Entonces, el espacio E es ropológicamente isomorfo a un subespacio cerrado del dual F de F . 3S . Lema . Sea E un espacio de Banach . (Mn, Pn)n una descomposición de Schauder tal que cada M n sea reflexivo . Sea F la adherencia en E de la envoltura lineal de U q' n (El con la norma inducida, y F su dual .  n