Fibracions d'esferes per esferes mòdul

Teorema : Existeix,un fibrat de fibra SP i espai total SP, o <r~ m,  si  i  nomás  si  (r,m, p)  pertan yen  a  al gun  del s  se güents ti pus Introducció C objectiu de la present memória és determinar tots els entersr,m,p per als qualsexisteix un fibrat de fibra Sri P l'esfera de dimensió  r localitzada a  p i  d'espai  total  Sm , P l'esfera de dimensió m localitzada a p . Dit amb más precissió, aquesta memória está dedicada principalment a la demostració del següent resultat : I)  (2n-1 ,2nt-1, p), 1<t< p ; II)  .(2n-l,m,p),  n  di vi dei x  p-1,  2n< m ; III) (2n-l,n(2c+1),p), n=2k, k divideix IV) (3,m,2), 3, m ; (7,15,2) . Passem a continuació a donar una visióhistórica del problema, que permeti situarmillar aquest resultat dins el context de la Topologia Algebraica . En cartamanera pot dir-se que la teoria d'homotopia va comenrar a prendre forma el 1935, quan Hopf va donar els primersexemples de fibrats d'esferes per esferes . Es tracta dels avui dia anomenatsfibrats de Hopf : p-1, 1< c< pñl ; Gairebé simultineament es planteja la pregunta de si Sl S2t1 IC IP t-1 S 3 -~ S 4t-1 t-1 -~ IH Y S 7S 15 6 _ S aquests són els únics fibrats en els quals la fibra i 1'espai total són esferas . Les técniquesdesenvolupades en aquellaépoca eren marcadament insuficients per a donarresposta a aquesta pregunta . Unageneralització natural és, donats un espai E i un subespai F, preguntar-se per 1'existéncia d'un fibrat de fibra F i espai total E . Aquest problema, en aquests mateixos termes, apareix a la llista de problemespublicada per fflassey a 1'any 55 ([19]), amb motiu duna conferéncia sobre fibrats i geometria diferencial que tingué lloc a la Cornell University el 1953 . Convé observar que el problema anterior,enunciat en termes absóluts, no és un problema ben plantejat de teoria d'homotopia, degut a que la resposta no és un invariant del tipusu'homotopia dels espais E iF donats . Cal, dones, adoptar la següentdefinició : direm que un espai E és fibrable per un espai F si existeix un espai B, espais F, E i un dizgrama commutatiu F --- E ----~ 8 en F -> E  B és una fibraciá i les aplicacions verticals són equivaléncieshomotópiques . Aquest problema no está resolt i si bé Husseini ([17]) va donar una caracterització interessant, no sembla raonable esperar una soluciócompleta . En canvi, en el cas particular de que E i F són esferes, es tracta d'un problemamolt más concret, en el qual es van succeir els resultats parcials . Citem els de ['34], [29], L3], molt limitats, paró que demostren fins a quin punt en aquellaépoca es tractava d'un problema difícil . Un pas cabdal va ser el descobriment del que avui dia anomenemsuccessió exacta de Gysin . Si Sr ---S M - 8 és un Fibrat localment trivial, la successió exacta de Gysin ens permet afirmar que r=2n-1 i m=2nt-1 . A más, la cohomologia de B és una álgebra'de polinomis truncada . Convé parlar dels resultats de Spanier-Whitehead X25] de 1955 ide Sugawara ¡32], (33] de 1957, que donen un tomb sorprenent al problema . El primer d'aquests treballs demostra que si FE --~B és un fibrat i F és contráctil a E, aleshores F és un H-espai . Els treballs de Sugawara demostren que si F és un H-espai, aleshores Fh F, el "join" de F amb ell mateix, pot fibrar-se per F i si F és un espai de llagos, existeix un espai contráctil E que pot fibrar-se per F . En particular, si demostrem que les úniquesesferes que són H-espais.s6n les de dimensions 1, 3 i 7, ja tindrempricticamentdemostrat (mancará un detall en el cas de 5 7 ) que els fibrats de Hopf són els únicsfibrats d'esferes per esferes . Paró el problema de determinar quines esferes són H-espais és un problema clássic, d'história ben coneguda . Recordem-ne les principals etapes : invariant de Hopf, operacions de Steenrod, relacions d'Adem, operacionssecundiries i resolucidfinal del problema per Adams Cl], al 1958 . Pot dir-se que l'estudi de l'homotopia m5dul un primer va néixer amb el treball fonamental de Serre [211 de l'any 53 . En aquesttreball apareix una frase que ha esdevingut profética : "Il y a lá la possibilitá d'uneétudelocale (au sens arithmetique) des groupes d'homotopie" . Per exemple, l'obstrucció perqué 2n-1 S  sigui un H-espai es troba a la component2-primária dels grups d'homotopia . Adams afirma a L2] que ja pels volts de 1956 feia l'observació  de  que  115 2n-1  és un  H-espai m5dul  p~2" . La teoria de localitzaciód'espaissimplementconnexos neix en certa manera com una realització del programa de Serre . Es tracta de traduir en processosgeométrics el procés algebraic de localitzar un grupabeliá (un ZZ-módul) a un primer . El creador d'aquesta teoria va ser Sullivan ([3o]) al 197o . Posteriorment s'ha desenvolupatenormement, principalment en dues direccions : la generalitzaci6 a espais no simplementconnexos ([13],8]) i les aplicacions a problemesclássics "módul p" . Els éxits aconsseguits per la teoria de localització en els darrers anys han estatmolt nombrosos i no els podem discutir aquí tots . S'ha utilitzat aquestateoria per estudiar el problema de quan un espai és un H-espai módul p, oun espai de llagos módul p i també per a donar ncus exemples de H-espais i d'espais de llagos . Paral .lelament a la localització, Sullivan va introduir la completació d'espais simplement connexos, qup s'ha mostrat comuna eina molt potent, que permet construccions geométriques d'un gran interés . Fix " .m-nos nomás en que, aplicant la teoria de completació,Sullivan demostra ([3o]) que si n divideix p-1, aleshores SP n-l , la localització de 1'esfera de dimensió 2n-1 a p, és un espai de llagos, i aixó ho Fa construint explicitament 1'espai classificador . El motiu d'aquesta "ductilitat" de la completació cal cercar-lo al fet de que até pocs invertibles mentre que 1'anell dels p-ádics en contémolts más i, en particular, conté arrels (p-1)-éssimes de la unitat! El métode utilitzat per Sullivan ha estat generalitzat per Clark - Ewing (¡9]) i aplicat a la construcci6 d'espais amb cohomologia polinómica . En aquest estat de coses, quan la tendéncia a estudiar problemesclássicsmódul cada primer s'estámostrant tan fecunda, és naturalplantejar-se el problema de quinesesfereslocalitzades a p poden fibrar-se per esferes localitzades a p . la resolució d'aquest problema és l'objectiu del presenttreball . En primer lloc cal fer una observaci6 important : el localitzat d'un espai a un primer no és un espai, sinó un tipus homotopia, és a dir, una classe d'equivalénciad'espaismódul la relaci6 de ser homotopamentequivalents . Per tant, quan estudiem fibrats d'esferes per esferesmódul p cal adoptar la definici6 homotopament invariant citadaanteriorment . Es a dir, quan diam que FE - B és un fíbrat,  de  fet afirmem només que és un fibrat llevat d'homotopies . Aixó té consequéncies molt importants ; per exemple, encara que E i F siguin esfereslocals, no podem afiirmar que B té dimensi6 finita . Donem una idea de la demostraci6 del teoremaprincipal que hem enunciat al comengai :,ent d'aquesta introducci6 . Es ciar que tindrá dues parts ben diferenciades . En primer lloc cal veure quins sónels fibrats d'esferes per esferesmódul p que coneixcm i despréscaldrá demostrar que no n'hi ha més . Parlem primer d'aquesta segona part . El métodeés el clássic : aplicar la successió de Gysin amb coeficients a p per calcular la cohomologia de la base . Estudiar aleshores 1'actuaci6 de les operacions de Steenrod i de les operacions secundiries sobre aquesta cohomologia i obtenir restriccions sobre les dimensions de les esferes . En el cas p=2, les operacions de cohomologia no basten i cal rec6rrer a la teoria K . La construcci6 efectiva deis fibrats es fa aplicant en diversos punts la teoria de Sullivan . Observem, dones, que al localitzar a p apareixen molts fibrats nous, senserelació amb els de Hopf . Tots aquestsfibrats són "invisibles" abans de localitzar . La present memória s'organitza de la següent manera : El capitol zero conté la totalitat deis resultats no originals de la present memória i conté també un resum deis resultats que utilitzarem al llarg de les demostracions . Els capítols 1 i 4 són principalment técnics . En ells s'obtenen certs resultats que si bé s'utilitzaran a la demostració del teorema principal, s'aparten de la liniageneral del treball . El capítol 2 conté les construccions dels fibratsd'esferes per esferesm5dul p . El capítol 3 estádedicat a demostrar que les condicions del teorema principal són necessáries en el cas p~2 i al capítol 5 es fa el mateix per al cas p=2 . La bibliografía conté només les obrescitades . Una versi6 preliminar, molt rudimentária, del present treball va ser presentada per mi a la ReuniónAnual de Matemáticos Españoles del 1977 ([4]) . Finalment, voldria mostrar el meu agralment a tanta gent com m'haajudat en la realització d'aquest treball, i moltespecialment al br . f :' . Castellet que n'ha estat el director . Barcelona, fflarg del 1979 0 . Resultats previs C objectiu d'aquestcapital és agrupar diversos resultats ja coneguts que utilitzarem al llarg de la memória . A más, aquest capital també servirá per a donar una breuidea sobre les prin cipals técniques que farem servir más endavant . o .l Topolo iá Algebraica general cvidentment,utilitzarem lliurement la Topologia Algebraica que pot considerar-se básica, entenent per tal la que es troba continguda al llibre de Spanier [24] . Generalment, la referéncia a resultatscontinguts a aquestllibre será omesa . Citem,peró, algunsdelspunts que apareixeran más repetidament : a) Teoremes de coeficiente universals, principalment 5.5 .3 ; b) obstrucció, secció E .4 ; c) successióexacta de Gysin i isomorfismo de Thom, 9 .5 .2 ; d) teoria de Serre de classes de grups abelians, secció 9 .6 ; e) el teorema 9.7 .13 que afirma qu3 la componentp-primária de  n n+-m (S n ),  n sonar,  n >, 3,  és zero  si oc m < 2p-3 i 71 psi m=2p-3 . També utilitzarem el concepto d'aproximació homológica d'un espai, que pot trabar-se, per exemple, a C12], p . 53 . Diversosvegades utilitzarem push-outs i també la successió de f8ayer-Vietoris d'un push-out . La paraulaespaivaldrá dir espai topológic del tipus d'homotopia d'un CW complex . 12 o .2 Grumos á beli ans Designarem per 71 n , 71 (P) , ZL p , 71p- , els grups delsenters mádul n, els enters localitzats a p, els enters p-ádics iel grup de les arrels p r -éssimes de la unitat per a tot r, respectivament : Utilitzarem alguns resultats sobre grups abelians, sobre tot al capítol 1 . Es tracta, principalmsnt, de propietats dels subgrups p-básics'i dels Functors Hom i Ext . La principal refe réncia és el llibre de Fuchs C11], . REcordem que un subgrup B d'un crup abeliá A es diu que és p-básic si compleix : i) B és suma directa de p-grups cíclics i crups cíclics infinits ; i ii) A/B és P-divisible ; iii)  B/p k 8  és  sumand  directo  de  A/p k8  per  a  tot  k . Tot grup abeliáconté subgrups p-básics (i11l, 1, p .137) . Utilitzaremtambé les conputacions : Ext(2Z n ,A)=A/nA, Ext(71 P-,71p )=71 p ,  Ext(7q,71(P) )  IGIExt(71 p_,  71 (P))=71p,  Ext(d(P)' ;z (P))= =0 . També utilitzarem els teoremes d'estructura dels grups divisibles ([11], 1, p . loo) i dels grupslliures de torsió de rang 1 (j11],11, p .1lo) . Recordem que .un grup abeliá p-local és un grup q-divisible i sense q-torsió per a tot q~p . o .3 Loc alització de CW comple xos La referéüciabásica és el Roitberg 113], si bé gairebé mai dels espais simplementconnexos . localització associa a tat espai llibre de Hilton - Mislin - sortirem del marcelemental Recordem que la teoria de simplementconnex X un altre espai X  , definit llevatd'homotopies, i una aplicació X - o X p de manera que Xp és p-local, és a dir, els seus grupsd'homologia (o equivalentmentels seus grups d'homotopia) són p-locals, i, a més, X-fX p és universal amb aquesta propietat . La localització conserva fibracions . En algun punt moltconcrets'utilitza la teoria de completació d'espais no necessiriament simplement connexos . Si bé la referénciaoriginal és [3o], és millor utilitzar el llibre de BousfieldKan (©,] . o.4 Fib rat s de fibra u na esfera localitzada o completada Utilitzarem diverses vegades el resultatfonamental del treball de Sullivan (3o] . Aquest teorema afirma que per a cada ni p existeixenespais  53 n,p  tals que els fibrats sobre n_,~ un espai X de fibra S n-l , o bé Sn , estan classificats per p  p X,  ]  i  [X,  ],  respectivament .  A  más,  u3 n , p  i n,p  n,p  n,p són el localitzat i el completat,respectivament, de 1'espai BG . Aquestespai és 1'espai classificador del H-espai associatiu dels automorfismes de 1'esfera S o.5 C álgebra de Steenrod módul  p p n n-1 En la demostració del teorema principal de la present memória intervé de manerafonamental1'álgebra de Steenrodmódul p, incloses les relacions d'Adem . La referéncia standard és el llibre de Steenrod - Epstein C28) . També utilitzarem el teorema de Liulevicius Clg] i Shimada C231 sobre la factorització de les poténcies reduides de Steenrod a través d'operacionssecundáries de cohomologia . Es 1'análeg módul p del célebreteoremad'Adams flf sobre la no existéncia d'elements d'invariant de Hopf 1 . 20 elements de p-altura zero . Considerem 1 e71c H m E . Si l=pa, a eH E, aleshores, passant a D obtenim o=pa i con que D no m té p-torsió, arribem a que a e71, que és contradictor¡ . Aixó demostra que el tipus de HmE és tq =- si q/p i tp=o . Per tant, 1'aspa¡ E és un aspa¡ de fi?oore Li(E?(p),m) . Hem demostrat firls ara que : si un espai simplement connex E compleix les condiciona (1),(2) i (3) del teorema, aleshores o bé E=SP o bé E té la mateixa homologia que ffi(L,m)v fú(71 p ~,m-1) . Pl'hi ha prou amb veure ara que en aquest cae E no compleix la condicid  (4) . Com que Ext(M,71(p))=U a .~ , és immediat que Hmtl (E ;ZZ(P) Mo . Finalment,observem que no podenometre cap de les condicions (1),(2),(3),0 .) del teorema . En efecto, consideran els espais  El = SP'i 01(71 q ,2) ;  E 2=S m v iil(71 p ,2m) ;  E3=fii(~71p, . .,,m-1) ;  E4= ffi(L],m) ~~ 01(21  ,m-1) . Es fácil veura que cap d'aquests espais és Pw  m del  ti pus  d' homoto,f)ia  de  S  i  an  cánvi_  1_~ gy nai  E  r_nmn1 e¡,v,  1 óc p  -- i condiciona(1),(2),(3),(4)llevat de la i-éssima .0 Aquest teorema que acaben de demostrar ensdiu que la cohomologia amb coeficiente 71 p , 71 p i Mino basta per a caracteritzar les esferas locals . El següent teore=ma demostra que la cohomologia amb coeficiente 2 (P) sí que és apropiada per a aquestpropósit . Teore m a 1 .4 : Sigui E un aspa¡ p-local simplementconnex tal  que  H~(E ;ZZ~P)) .H"(Sm ;2Z(p)) .  Aleshores E=S P . Demostració : G1 teorema dala coeficiente universals dóna : Hom(H T E,71 (P) )=o si r~m, Ext(H r E,71 (p) )=o si r~m-1 . A més, Ext(H m-l E,2Z (p) ) és un subgrup p-local de Z?(P) . Per tant, o bé Ext(Hm-lE,ZZ(P))=21(P) o bé Ext(H m-1 E,71(p) )=o . Feró en el primer cas í1 (P)  seria  un  grup de  cotorsió i  aixó  és impossible  porqué Ex t(LJ, :Z(p))=Iq\**~o .  Per  tan t,  Ext(H r E,71 (p) )=o  per  a  tot  r . Sigui B r un subgrup p-básic de Hr E . Si Br conté un sumand directo  de la forma 71 Pn  ,  es segueixficilment de  la definició de subgrup p-básic que 7Z pn és sumand directo de HrE . Perá  Ext(7Z n  7Z  -71  n (P) )  (p)/P ,, (p) í° .  Per  tant,  B r  és  lliure . Consideren la successióexacta llarga de Hom-Ext associada a Obtenim : " p 2z (PJ -  ~ 2z (P) P o  , Hom (Hr,,71~p))  .-- 9  Hom(H r E,71 (P) )  -> Hom(H rE,71P )  i o 1  per tant, Hom(H r E,71 p )=o si rím . Pel lema 1 .1, Hom(B r ,7Z p )= Hom(H rE,71p )=o, per tant, B r=o si r~m . Aixó demostra que H r E és un grup divisible per a r/m . Peró el teorema d'estructura dels grups divisibles i les igualtats Ext(TJ,7Z  )-W 5 ' Ext(7Z 7Z )_ (P)  '  p`~' (P) Zl p , Ext(H r E,71 (P) )=o donen H r E=o si r~m . En el cas r=m la successió exactaanteriordemostra Hom (H m E ,7Z p )=7Z p .  Pel  lema  1 .1,  B m =71 .  La  successió  exacta 7Z >-> H m E ---~-> H m E/7Z  dóna lloc a o - Hom (H mE,71(P) ) Vio m (71,7Z (P) ) Ext(H m E/71,71 (P) ) -, o i  per  tant Ext(H m E/71,7Z (P) )  té  rang grup divisible, el teorema és un grup de torsiósense Hom(H m E/IZ,IQ )=o  i  per  tant H m E és un grup de rang u . A más, H m E és lliure de torsió que u . Com que H m E/7Z és un d'estructura demostra que Hm E/71 p-torsió . Aixó condueix a que Hom (Hm E,1J)=Hom(71,]U)= U  Aleshores, perqué  H E/71 no  té  p-torsió  i  Hm E  és  p-local .  Ara  podem m demostrar, igual que a la demostració dei teorema 1 .3, que H m E=71(p) i  per  tant  l'espai  E  és  un  espai  de  fl1oore  i :l(2z(P)'m), ¡ .e una esfera local 5 m .O p 2 . Construcci6 de fibrats d ' esf eres per essferes m6du1 p C objectiu d'aquest capítol és demostrar que les condicions I . II, III, IV del teorema principal d'aquestamemoria s6n suficients per a assegurar que existeix un fibrat d'esferes locals per esfereslocals que les compleix . Aixb es fará mostrant, per a cada valor de r,m,padmissible, un . fibrat SP  3 , SP - B . Recordem que els valors admissibles s6n : I) (2n-1,2nt-l,p), l< t <p ; II) (2n-l,m,p), n divideix p-1 III) (2n-l,n(2c+1),p), n=2k, k IV)  (3,m,2),  3 cm ;  (7,15,2) . Estudiarem separadament cada cas . 2.1 Fibrat s del t ipus I 2n<m ; di videix p-1,  1 <c < P-1  ; Si p=2, el tipus I és buit, per tant, podem suposar p~2 . Stasheffdemostra (r26], p .282) que g2n-1 . .-tuna A - p  p-1 estructura . Aleshores,aplicant la teoria continguda a aquest mateix article de Stasheff, arribem a l'existincia de fibrats S 2n 1  S 2n * . t . * S2n-1 P  P  P on 1'asteriscindica "join" . Observem que Bt S 2n *  . . . it S 2n -1 = (S2n-~_  t, et S2n-l)  = S2nt-1 P  P  P P per tant, obtenimfibrats S 2n-1 -~ S2nt-1  B P  P per a tot t < p, tal i com voliem . 2n-1  2n-1 2n-1 es p  tal  que  n BS p =S p  .  Volem ccnstruir  fibrats 2 .2 Fibrats del - tipús II Sullivan (L3oj) va demostrar que si n divideix P_1 , J -2n-1 P és un espai de llagos, és a dir, existeix un espai classificador S 2n-1 --- r S m per a tot m >2n . Posem B=S m x BS 2n-1 i considerem la projeccid P P  _ natural B -y8S 2n-l . Aixó indueix un fibrat SP n  i L --y B . P Demostrarem que E=S~ . Com que H` - ( ' P S  ;71  H x_ (S 2ii-1 ; (p)  2 P  (P) i H*(B ;71(P)) = P(x) © E(y), el producto tensorial duna álgebra de polinomis en un generador x de dimensió 2n i una álgebra exterior en un generador y de dimensió m, podemaplicar la successióexacta de Gysin i calcular H * (E ;71 (P)) . Observem que la classe d'Euler del fibrat és x . La successió exacta de Gysin dóna : . . . -yHr(0 ;J(P)) -> Hr(E'ZZ(P))  Hr-2n r1(B ;7Z(P)) - Hrrl(B ;71(P)) -~ " Hrfl(E :71(P)) -> . . . en Y és multiplicar per x . Si r .rl~m, k¿ és isomorfismo, per tan t,  H l (E ;71 (P) )=o  si  i/m .  Si  i=m,  és  immediat  que  Hm (E ;71 (P) )- D'altra banda, observem que , com que B i SP n-l . són espais p-locals simplement connexos, E és també p-local simplementconnex en virtut de la successió exacta d'homotopia d'un fibrat . 1-er tant,  podemaplicar el  teorema 1 .4 i  deduir-ne que E=S m . P 2 .3 Fibrats del tipus III Aquests fibrats eón ele que tenen una construcció más complexa i també els d'existénciamenys evident . Es ciar que no és restrictiusuposar p/2 perqué el cae p=2 es contradiu amb les hipótesis de III . Tampoc no és restrictiu suposar que n no ~divideix p-1 perqué si n divideix p-1 tenim ja ele fibrats del tipus II . Com que k divideix  n-1 p-1, S  és un espai de llagos . Si P B' designa l'espaiclassificador,B'=8S n-1 , tenim un fibrat D'altra banda, com que c /,p-1, tenim 2 .1, un fibrat P S 2n-1 -y S 2n(c+l)1 P  P en virtut de l'apartat La successió exacta de Gysinpermet de calcular la cohomologia amb  coeficiente 71 (P)  de B  i  B'  (veure  l'apartat 3 .1) .  Gbtenim : i) H fi (B' ;71 (P) ) és una álgebra de polinomis en un generador x de dimensió n ; ii) H*(B ;J(P)) és una álgebra de polinomis en un generador u de dimensió 2n, truncada per u cfl =o . Calculem ara l'homotopia de B : Proposició  2 .1 :  Els grups d'homotopia de B  són 71 (P) -móduls finitament generats .  ri i B=o  l-<i<2n(c+l)-1,  i~2n .  a 2n B=7L (P) . Demostració : La successió exacta d'homotopia de la fibració 2n-1 S  S 2n(c*-1)-1 --y  y B dóna P  P 2n-1  2n (c,1)-1 . . .-~ R .S p  p  Q . i 8 i Per tant,  si i < 2n (c-1)-1,  tenia que  RB =  R  SPn-1 . 2n i 1  1-l Per tant,  R .B=o si i < 2n i  2  B --` R  S  -71  . D'altra 2n-l2n  2n-1 p , (P)* banda,  recordem  que  R i _ lS p  =o  si  2n< i z 2n~2p-3 .  Com  que, per hipótesi, és c <(p-1)/n, tenim 2n(c,-1)-1 ~ 2n-2p-3 i, per tant,  rz i 0=o,  2n < i < 2n (ct-1)-1 .8 S n-1  ~ Sn(2c+-1)-1 P  P que existeix en virtut de l'apartat 2.1 . 2n-1  S 2n(c,l)-1 R i-l Sp  -- y  p  . . Sigui ara 0' la base del fibrat c Proposició  2 . 2 :  [Bc,B]  ` H 2n (B',7 (P) )  i  i'isomorfisme  ve 2n donat fent correspondre a f :B'  B 1'element f* (u)(-- H  (B- ;71(P)) . Demostració : Per obstrucció . Per la proposició anterior, B és (2n-1)-conn,ex . A más, com que Hi (BC' ;J(P))=o si i'-> 2nc i els grups d'homotopia de 0 són 71 (P) -móduls finitament generats, per coeficienteuniversals , deduim que H1 (6 c , n,S)=o si i-,-2n irl i H  (9c, :t i 6)=o si i :>2n . Aleshores, pel teorema 6 .4 .3 de C24], resulta j6 c ',9]= H 2n (B c ,71 (P) )A Proposici6 2 .3 : Els fibrats de fibra 52n-1 sobre B' estan p  c classificats per la classe d'Euler, és a dir, pele elements de H2n(ec'~z(P)) . Demostració : Apliquem ele resultats del treball de Sullivan ([3o]) citats al capítol zero . Les fibracions de fibra 2n-1 Sp sobre B' estanclassificades per [B', 63  ] 2n,P . Recordem que  G2n .P és el localitzat de  S 2n i  11 2n és l'espai -classificador de les fibracions de fibra 1'esfera de dimensi6 2n-1 . Recordem també que . ~ i3 2n és l'espaiclassificador del H-espai associatiu SG 2n , definit com la component de la identitat de 2n-1 -l'espai dels automorfismes de S Tenim una fíbraci6 (C3o], p.4 .12) : ( n 2n-1 5 2n-1 )1 SG 2n-y  52n-1 -~ on l'u indica que prenem la component del punt base . A partir d'aquí podem obtenir informaci6 sobre ele grups d'homotopia de (3 2  . La successió exacta d'homotopia de la fibraci6 anterior n,p d6na : 2n-1  2n-1 2n-1 -_> R i  S  .~ y fi i-l ( , - 1  S  ) 1  -- .___ 1 i7 i -l  SG2 n S 2n-1  -' R i-2( ~2n-1  S 2n-1 ) __~ ... i-1  1 Si localitzem a p seguimtenint una successió exacta : S 2n-1 --~ R i-1(I~ .. n-1 Sp n-1 ) 1 -- ~ Ri A 2n P  +P S n-1 P S 2n-1 2 1-1  p  -_ i~2n P~ K(Z(P) " 2n) S n(2cY1)-1 B , p  c R i-2 (,2 n-1 S 2n-1 ) p 1 2n-1 2n-1 Com que  R .  (,2  Sp ) 1 =o si i< 2(p-1), resulta que _ 12ñ-1 2n,p  -R i-1  Sp  si  1<:2(p-1) .  Observem  que,  com  que  n divideix 2(p-1) i n no divideix p-1, tenim que n .~ID-1 i 2n < 2(p-1) . Per  tant,  Z2n,p és  (2n-1)-connex, n 2n ú3 2n  p  =71 (P)  i  n i 43 2n,p= o si i : 2(p-1), i~2n . Aixó implica que, tenim una aplicació que és una 2(p-1)-equivaléncia . Observem que, a más, els grups d'homotopia de  3 2n,p són 71 (P) -módulsfinitamgnt generats,  és a  dir,  són  sumes  directes  de  71 (P)  i  71 pn .  Peró,  en  virtut  de  la successió exacta de Gysin del fibrat resulta que H1 (E  ;2z(P) )=o si i>2nc . Aleshores, CS', Gs 2n,P ] _ H2n (B c ;71 (P) ) . En efecte, A 2n,P és  (2n-1)-connex i  H1 (B c ;  2n,p)=°  si  i> 2n  perqué  2nc<2(p-1) . LY 1 També,  H  (Bc~ Ri j22n,P )=°  si  i'7 2n  pel  mateixmotiu .  Aleshores podem aplicar el teorema 6 .4 .3 de [24]i el teorema se segueix d' aquí .0 Considerem x 2 e H2n(8- ;71(P)) . Per la proposició 2 .2, aixó -  2 dóna una aplicació f :B'  > B amb f°(u)=x . c Com que B c ' és l'estadi (2ct1) en la construcció de, l',espai classificador B',tenim una aplicació 0' -~ . .B' que indueix isomorfismes a cohomologia en dimensió más petita o igual que 2nc . - Considerem ara el diagrama anterior dóna : f i sigui P el push-out . successió exactacurta Bc Proposició 2 .4 : H*(P ;71(P)) és una álgebrasobre J(P) amb dos generadors y, z de dimensionsn(2c+1) i 2n, respectivament, i  la relació  y2= z2c+1 . Demostració : La successió de Mayer-Vietoris del push-out ~H1-1(B'Z(P))0 H1-1 (B, ;íz(P)) .-~ H 1-l(Bc'~(P)) H1 (P :íz (P) )  -~  Hl (G'7(P)) ® Hl (B"'J(P)) ----s Si i, 2nc, i" és un isomorfisme, per tant, tenim una H1 (P ;J (P) ) ~ --y  H1 (B ;Z(P))® H1 (B' ;2Z(P))  Hl (Bc'2Z(P)) D'aquíes dedueix que, en dimensió más petita o igual que 2nc, H i(P ;71 (p) )  té  un  generador z  de . dimensió  2n  tal  que  h*z=u, gx Z=x Si i>2nc, Hl (B' ;71 (p) ) = Hl(o ;71(P))=o, per tant, c 3 . Restriccions al cas pí2 L'objectiud'aquestcapítol és veure que les condiciona del teorema principal d'aquesta mem5ria (enunciat ala introduccid) són necessáries en el cas p~2 . Es a dir, suposarem que tenim un fibrat SP -, SP _~ B, p~2, o  r  m i demostrarem que (r,m,p) pertany a algun dels següentstipusaomissibles : I) (2n-1,2nt-l,p), 1<t< p ; II)  (2n-1, m, p),  n' di vide¡x  p-1,  m :,,2n ; III) (2n-l,n(2c .-1),p), n=2k, k divideix En primer lloc observem que SP és contráctil a SP . Aleshores, per un resultat ben conegut ((25 . ]), SP ha de ser un H-espai . Aix5 implica immediatament que r ha de ser senar, r=2n-l . No és restrictiu suposar que n > 1 perqué en el cas n=1 el cas II cobreix tots els possibles fibrats . 3 .1 Cálcul de la cohomologia m5dul p de B p-1, 1 < c< P-1 n P Suposem que tenim un fibrat SPn _ 1 -~ SP - y B amb m+1 2n-1< m . Designem per B' el con de p, B'= 8 u pe  . En aquest apartatcalcularem la cohomologia de 8 i B' amb coeficiente 71 p i 71 (P) , sense excloure el casp=2 . Les eines per fer aquest cálcul són la successi6exacta de Gysin i 1'isomorfisme de Thom . A partir de la successi6 exacta d'homotopia d'un fibrat es dedueix que B és simplementconnex . Per tant, la fibraci6 SP n 1  SP -y B és orientable . Com que H"(SP n-1 ;71 P ) - Hft(S2n-1 ;71 P ),  podem aplicar la successi6 exacta de Gysin amb coeficients 71 p on  + és multiplicar  per  la  cl as se  d'Euler  xE H2n (B ;71 p ).  Per tant, si r~m,m-1, m-2n  m  p  m+1-2n  w m+1 H  (B ;71 p ) >-~  H  (B ;71 p )  --~  7L p ---s H  (B ;71 p )-- 31) H  (B ;71 p) epijectiu o bé pl=o . Estudiem per separat cada un d'aquests casos : En  particular,  H m-2n+1 _  (B ;71 p )/o, peró H l (B ;71 p )=o si  i > 2nt . r  m  r-2n+1  Y  r i-1  p^  r*-1  m . . . -> H  (S p , a p )  --~ H  (B ;ap )  - -~->  H  (B ;Ep )  __, .  H  (Sp ;2Zp) _ .- Hr-2nt1(u ;2 P )  - ; Hr+1(8 ;71 P ). D'altra banda, tenim una successióexacta : Com que 71 p no té subgrups propis nc trivials, o bé pR és A) Cas p"=o . En aquest cas la successióexacta de Gysin dóna : " H m-2n (B ;71 p ) ~ . H m (B ;2 p ) 71p>--¡o  H m+l-2n (B ;Jp)  " H m +l (B ;71 p ) Hm-2n+1 (B ; Z )  _  Hm-4n+1 (B ; J )  _ P  p per tant, ha de-ser m+1=2nt, m=2nt-1 . Aleshores, H2nt(8 ;71 )=o i p t x =o . Resumint, en aquest cas m=2nt-1 i H* (G ;E p ) cs una álJehra de polinomis en una variable xde dimensid 2n, truncada per B) Cas pr epijectiu . En aquest cas la successió exacta de Gysin dóna : W :  H m-2nrl (8 .íz p) -  _ HMF1(B ;~p) P< H m-2n (8 ;7Z p ) >---> Hm (u ;71 p )  ---~p  77 p Si m no és múltiple de 2n,  resulta que H m-2n (8 ;71 )=o i P Hm (B ;ZZ p p ) Z 7Z amb un generador y tal que p'y=r , el generadorgenerador m m de H (S p ;71 p ) . m-2n Si m és múltiple de 2n, aleshores H  (8 ;7Zp)'----7Zp, generat t per un cert x . Aleshores, com que la successió exacta anterior és de 7¿ p -espais vectorials, és escindida i Hm(8 ;7Zp) - xtr17Zpe y2zP amb p"y=~ , el generador de H rn (Sm ;ZZ P ). Resumint, en aquest cas H~(B ;7Z p ) té una base com a 71 p -espai vectorialformada pels monomis x  yx , .t=o,l, .... amb dim x=2n,  dimy=m i  p" y=,~ ,  el  generador  de Hm (Sm ;7Z p ) . Ja hem calculat la echomologia módul pde B . Considerem ara i :8  >B' i calculem HjB" ;7Z p ) . Pel teorema de l'isomorfisme de Thom, tenim isomorfismes 95 :Hr(o ;IZp) -°  y H r+2n ( fy Smm ;~ p ) on M és el cilindre d'aplicacions de p . 0 actua de la següent manera : O(z)=(p-z)-U, on U és la classe de Thom . Considerant que H*((i' .,SP ;71p)  = HA (B' ;71 p ) i aplicant la relació que hi ha entre i yy , és a dir, entre la classe de Thom i la classe d'Euler, no és difícil veure que H* (B' ;71 p ) val : A) Cas HI(8 ;71 ) álgebra de polinomis truncada . P En aquest cas, H"(B' ;71 ) és una álgebra de polinomis en un P  t+ 1 generador u de dimensi6 2n, truncada per u  =o . A més, i"u=x . B) Cas H* (B ;a p ) generada per x,y . En aquests cas, H-1(8'¿71 p ) té una base com a 71 p -espaivectorial formada pels monomis u , vu  amb dim u=2n, dim v=m*-2n . A més ; i" u=x, i° v=yx . Aleshores es compleix que r=2n-1 i una de les afirmacions segü .@nts és corta : Podem resumir tot aquest cálcul en la següent : Proposici6 3 .1 : Sigui SP SP  P> B un fibrat amb m > r . Designem per B' el con de p i per i :8 -o B' la inclusió natural . A) m=2nt-1 ; W`(B ;71 p ) és una álgebra de polinomis en un generador x de dimensi6 2n, truncada per xt=o ; HY*(B' ;7L p ) és una álgebra de polinomis en un generador u de dimensi6 2n, truncada per  u t+1 --o ;  i  u-_x . B) H * (B ;71 p ) té una base com a 7L p -espaivectorialformada pels monomis x yx , t=o,l, ... amb dimx=2n, dimy=m ; H * (B' ;71 ) té una base com a 71 -espai vectorial formada pels p monomisu t , t=o,l, . . ., vu t , tPdim u=2n, dim v=m-r2n, i* u=x,  i° v=yx . Q Calcularem ara la cohomologia de B i B' amb coeficients a l'anell 71 (p) . Com que H*(SP ;71(p)) 21 1 : H"(Sr ;71(p)), podem realitzar tot el mateix cilcul anteriorsubstituint 71 p per 71 (p) . Fixem-nos nomás en els següents dos fets :  a)  71 (p) no  conté  su bgrups  p-locals propis no  trivials ;  b)  tota extensió  de 71 (P)  per 71 (P)  és escindida . Tenim, per tant : Proposici ó 3.2 :  C enunciat de la pro posició  3 .1 segueix essent cert si substituim 71 p per J(P) .1 Observem finalment que en el cas B), respecte al valor de y 2 es presenten tres possibilitats : a) y2 =o, és a dir, H*(B ;ZLp)=P(x) ®E (y), el producte tensorial duna álgebra de polinomis en un generador x i una álgebraexterior en un generador y ; b)  y2= , ~ Ux r ,  per tant,  m  parell  i  n divideix m ; c) y2 =ax r + (3yx s ,  ¡3~o, per tánt, m - parell i 2n divideix m . 3.2 Les condicions del teorema pri nci al són n ecessáries en el cas W2 . D'ensá d'ara suposarem p~2 . Suposem que tenim espais B,B' i  una aplicació i :B --P B'  que compleixin les conclusions de la proposició 3 .1 . Volem demostrar que n,m,p compleixen les con dicions del teorema principal, és a dir, volem demostrar que alguna de les següents afirmacions és carta : - a) m=2nt-1 i 1 < t <' p ; b) n divideix p-1 c)  n=2k,  k divideix p-1,  m=n(2c+1),  1~ c < p-1 . n No és restrictiusuposar n> 1 . En primerlloc, suposem que estem en el cas A de la proposició 3 .1 . Tenim un espai B' tal que H * (B' ;lZ p ) és una álgebra de polinomis en un generador x de dimensió 2n, truncada per xttl-o . Es un resultat clássic (que no demostrarem peró que és consequéncia immediata de o .l) que aixó implica . que o bé n divideix p-1 o bé t <p . Per tant, en aquest cas ja hem acabat i podem suposar que estem en el cas B . Si desicgnem per  j i les poténcies reduides de Steenrod módul p, tenim que (? n x=x p ~o, per tant, l'álgebra de Steenrod módul p opera no trivialment sobre H''(3 ;71p) . Aplicant o l, re1 sulta que o bé i3 (l'homomorfisme de Bockstein) o bé P operen no trivialmentsobre H"(B ;71 p ) . Distingirem diversoscásos : i) Cas (Sx~o . Com que  (3x té dimensió 2nr1 i n >l, necessáriament 2n +'l =m i (3x= ) y,  fío .  Conside-rem  i :8 ~0' .  Com  que dim (~ u= 2nt1,  tenim que  (S u=o .  Peró  i* (3 u= (3 ¡*u= (3 x= > y i  arribem a contradicció . Per tant, (3x=o . ii) Cas (3 y~o . Com que dim(ly=mr1,  resulta que m +1=2nt, m=2nt-1 .  Aleshores, n'hi ha prou amb demostrar que si t > p, aleshores n divideix P-1 . Sigui Bm .rl una aproximacióhomológica de dimensió m+l de B' . Tenim j :Bm }1 - ;i B' tal que H r (Bm)=o si r> m+-1 i + . 1 j, :Hr(Bmfl) -i Hr (B') és un isomorfisme si r, m+-1 . Passant a cohomologia amb coeficiente 7L p , tenim que Hr(Bm .r1,71p)=o si r>m+2 i jn :Hr (B' ;71 p )---->H r (B mr1 ,71 p ) és isomorfisme si rcm+l . Aleshores,  a Bm+l tenim ~ =o .  En canvi, g n u=u p o perqué dim u p = 2np z ~2nt=m+1 . Per tant, G' l u~o i d'aquí es dedueix immsdiatament que n ha de dividir p-1 . iii) Cas G' 1 yío, jIx=o . Com que  G' l y té dimensióm+2(p-1) i com que H 1 (B ;71 p )=o si it-o,m (mod 2n), hi ha dues possibilitats : 1) m-,-2(p-1)=2nt ; 2) mr2(p-1)=m t2nt . El cas 2) ens condueix a que n divideix p-1 i ja hem acabat . 1 t Situem-nos en el cas 1), és a dir, en el cas (j y= .A x , IN~o . Recordem que res ;jecte ay2 es presenten les 3 possibilitats a), b) i c) citadesdesprés de la proposició 4 .2 . En el cas c) deduimtambé que n divideix p-1 . En el cas a), aplicant;1 a ambdós costats de y2=o obtenim (observem que 1) implica que m és parell) o=2y C 1 y=2 1yx t d'on, com que p/2, resulta .i =o, contradicció . En el cas b), aplicant 6' 1a ambdós costats de 2 =i`x r , resulta 2y úly=~rxr-1 6,l y  x=o i, per tant, a=o, contradicció . iv) Cas ó' 1 x~o . Com que C lxté dimensió 2n+2(p-1) i com que H 1 (B ;TL p )=o si i t o,m (mod 2n), hi ha també dues possibilitats : 1) 2nr2(p-1)=2nt ; 2) 2n+-2(p-1)=m+2nt . En el primer cas resulta que n divideix p-1 i hem acabat . 1  t Situem-nos en el cas 2), és a dir, en el cas  Q x=, P yx  ~o . Respecte a y2 tenim les possibilitats a),b),c) queja hem indicat . En el cas c) arribem també a que n ha de dividir p-1 i hem acabat . Suposem que estem en el cas a), és a dir, suposem 2 =o . Observem que m és parell . Aplicant 5' 1 a y 2 y  =o obtenim 1 2y  y=o  i,  con  que  p~2,  tenim  que  y G 1 y=o .  Per  tant,  o  bé  1  ~,1  h u y=o o bé o y= ; , yx , ( , yo . En aquest segon cas és mr2(p-1)= mr2nh i .n divideix p-1 . Per tant, podensuposar í(' l y=o . Tenim  - 4 l x=i-' yx t , .~~ Yo .  Es  compleix  que  t > 1  perqué  si x=," y,  consideren ¡ :00' .  Aleshores,  l x= S l i^ u=i^  u =o parqué i " és zero en dimensió m . Per tant, tal . Aleshores, 2n . ., 2 (h-1) =m r2nt .-~m r2n, .--2n+2n .  Per  tant,  n; p-1 .  En  particular aixó implica que p no divideix r, o tr ; n . Per tant, per les relacions  d'Adem,  en ='\( 6' 1 ) n .  D'altra banda  tenim perqué  y2 =o  i .(,' 1 y=o .  Peró  x p= n n x= \(? 1 ) n x~o  i  aixó  es  contradiu i amb  ( , ; 1 ) 2 x=o  i  n > 1 . 2 Podem suposar que estem en el cas b), és a dir, que y = x h , ~ ío . Contant dimensions obtenim 2m=m+2nh, és a dir, m parell i n divideix m . Posem m=nr . Tambésabem que n divideix 2(p-1) .Si n divideix p-1 ja hem acabat, per tant, podemsuposar que n no divideix p-1 . Aixó implica que n=2k, k divideix p-1 i r=2c+1 . N'hi ha prou amb demostrar que c< P ñ l . En efEcte, 2n+2(p-1)=m,2nt=nr~2nt >, nr+2n i d'aquí es dedueix c ~ (p-1)/n . ( P 1 )2x-  , 11  clx1  t  t-1 91 .T  1  t (  )_  ~  (,e .~Yx  )=~Ytx  ,  x  r( I > Y) x  =o 4 . Un teorema de finitud Aquest capítol és eminentment técnic . En ell obtindrem un resul'~at que utilitzarem al capitolsegüent, peró que és prácticament independent de la resta de la membria . Es tracta d'un teorema que ens permetrá substituir un espai per un altre de finit, sense que canvii .l a cohomologia módul p . Proposici6 4 .1 : Sigui 111 un grup abeliá p-local (¡ .e . un 71 (P) -módul) tal que Hom(fi1,71 (P) ) i Ext(PI,íZ (P) ) s6n 71 (P) -módiils finitamentgenerats . Aleshores li1 és també un 71(F%1 -módul finitament generat . Demostraci6 : Sigui B un subgrup p-básic de ITI . Tenim B>~ m -s+ D i D és divisible perqué és p-divisible i fíl és p-local . Considerem la successió Hom-Extassociada a -> 2z(PJ ~~  P  íz (P)  91 3  71 P : o--- Hom (f0 ,71 (P) ) , Hom(ff,2Z (P) )  --~ Hom(ii,71p) Ext(f11,J(P) ) -> Ext(f,71(P)) Aplicant el lema 1 .1 resulta Hom (It1,71 p )  ? Hom (B,IL p ) ``--]T71 p . Per tant, com que Hom(111,71 (P) ) i Ext(G1,71(P) ) s6n J (P) -móduls finitament generats, de la successióexactaanterior es dedueix que Hom(m,71 P )  és  un 71 (P)-módul  finitament generat .  Per  tant,  B és un grupabeliáfinitament generat .  Siguin e l , . ... en generadors de B com a grup abeliá . Demostrarem que e 1 , . . .,e n generen 111 com a 1 (P) -módul . Considerem la successió exacta : definida de manera que sobre Y . coinc_deixi amt f i sobre Snrl n  nj coinciccixi  amb  ~/ j .  Com  que  f n ,,-r . i  és  homotopament  trivial és ciar  que h estén a una aplicacid  f ni-l :Y nt l +X . Nem de veure ara que es compleixen les propiet ;ats i) a iv) . Només requereix comentar¡ la part iv) . Considerem el dianrama : a X q ~q~1 (Y nr1' Yn ) y RgYn  .  n g Y n.l - ~ R q (Y nrl' Y n) Volem demostrar que f  és monomorfisme si q< nrl i ntl c epimorfisme si q ;n*-1 . Per hipótesi d'inducció podem suposar que  f n>t  és  injectiva  si  q < n  i  ,C>-epijectiva  si  q < n .  Com  que Y és l'esquelet de dimensió n dé Y' resulta que rz (Y +l ;Y ) nn  nrl  q n . =o ,si qzi~n .  Per tant,  i, és ¡somorfisme si q4 n i epimorfisme si  q=n .  Aixó implica que  f nd r és injectiva si  q < n i  C -epinrl jectiva si q < n . Com quehem adjuntat cel .les e l a través de les aplicacions  x i ,  resulta que Kerf  c Ker i x en dimensió n . n . . Donat que ir és epijectiva en dimensió n, resulta que f  és nrl" injectiva si  q=n .  Resta nomás veure que  f  és  C -epijectiva n+1~ si  q=n,-1 .  Sigui  Y E R n}1 X .  S' expressará  y = Zr j  ñ j  on  r j E ZL (P) . Aleshores, existeix un enter r, no múltiple de p, tal que rr . j E ZZ,  j=1, . . . ,k .  Per  tan t,  ry  és  una  suma  de  j=1, . . . ,k  i és ciar que  r YEIm  fn .l,,  .  Aixó  demostra que  fn*lrés  C -epijectiva si q=n+1 . Considerem Y=UY n amb la topologia feble .  Te ni m f :Y---- - X que indueix ji~-isomorfismes entre els grups d'homotopia . Per la proposici6 4 .6, resulta que f^ :H~(7'zz(P)) .__Hx(Y ;7Z(c)) és  isomorfismo .  Com  que,  a más,  f , : 2 Y ----~ rtX  és  in jectiva, la segona part del tE :oremaés obvia ./ 5 . El cas p=2 L'objectiud'aquestcapítol és demostrar . que les condicions I,Il, III i IV del teorema principal d'aquesta memória s6n necessáries en el cas p=2 . Un cop vist aixó , la demoStració d'aquestteoremaestarácompleta . Els métodes utilitzats en el capítol 3 per al cas p~2, és a dir, 1'estudi de 1'actuació de les operacions de Steenrod i de les operacions secundáries, no basten per a resoldre el cas p=2 . Cal rec6rrer a lá teoría K i a les operacionsd'Adams . De fet, no deuser difícil donar una demostració del cas py2 seguintaguestesmateixes línies . Suposem que tenim un fibrat S2-~ S2 --> 8, o < r c m . Demostrarem que o bé r=1,3 o bé r=7 i m=15 . Observem que S2 és contráctil a S2, per tant, per un teorema ben conegut ([25]), S2 ha de ser un H-espai . Aplicant el teorema d'Adams sobre la no existéncia d'elements d'invariant de Hopf igual a u (l'l]), resulta que r=1,3,7 . Per tant, tot es redueix a demostrar que si  tenim un fibrat 52- - . 52 y B,  aleshores m m=15 . Designem per B' el con de S2 - 8 i sigui i :8 ---->B' la inclusi6 . Les proposicions 3 .1 i 3.2 ene diuen quant valen les cohomologies de B i B' amb coeficiente 71 2 i 71 (2) . Hi ha dues possibilitats : A) m=8t-1 ; H` 0 (B ;R) és una álgebra de polinomis en un generador x de dimensi6 8, truncada per x t=o ; H'(B' ;R) és una álgebra de polinomis en un generador u de dimensió 8, truncada t4-l per u  =o, illu=x . B) H° (8 ;R) té una base com a R-módulformada pels monomis x t , yx t , t=o,l, . . . . amb dimx=8, dimy=m ; H ^ (B' ;R) té una base com a R-módul formada pels monomis ut , vu t , t=o,1, dim u=8, dim v=mr8 ; iru=x, i'v=yx . (R'designa indistintament 71  2 o bé a(2) .) Si estem en el cas A), és ben conegut quet=2 i, per tant, m=15 . De fet, la demostraci6 que donarem del cas 8) pot adaptarse molt ficilment a la demostraciód'aquest fet . Sigui, doncs, 57 -~ S2 - 8 un fibrat del tipus E) . Com  que 8'  és  2-local'¡  H 1 (8' ;a (2) )  és un a (2) -módul  finitament generat per a tot i, per 4 .2 i 4 .7 existiráun,espai Y amb esquelets finits i una aplicaci6 f :Y - - 0' tal que la aplicació induida fh :H"(8' ;a(2)) -~ H"(Y ;I( 2 )) és un isomorfisme . Observem que H"Y és lliure de 2-torsió . En efecte : Lema 5.1 : Si Y és un espai amb homologia finitamentgenerada en cada dimensió tal que H"(Y ;íz (P) ) és lliure de torsi6, aleshores H,Y és lliure de p-torsi6 . Demostraci6 :  Com que HiY és finitament generat,  si  té p-torsi6 ha de contenir un sumand directe del tipus a pr . Aleshores, Ext(H i Y,a (p) ) conté un subgrup de la forma Ext(a p r,iZ (p) )=a pr .  Peró Ext(H i Y,a (p) )  és subgrup de H - '(Y ;a (p) ) que és lliure de torsió, contradicci6 .p Observem que la hipótesi de que Y té homologia finitament generada en cada . dimensi6és necessária . En efecte, sigui Y un aspa¡  de moore de  tipus  (2z P-  3) .  Es immediat que H'(Y :2Z(P))  és lliure de torsi6 . Sigui Y' una aproximaci6homolbgica de dimensió 24 de Y . Tenim j :Y'-----9Y, Hi Y'=o si i>24, j* :HiY'--- .HiY isomorfisme si i_< 24 . Aleshores, com que H . ~Y és lliure de 2-torsi6, resulta que H 1 (Y' ;71 (2) )=o si i > 24 i  j *:H1(Y' ;ZL (2) )  - H 1 (Y ;71 (2) )  ._ H 1 (X ;71 (2) )  és  isomorfismo  si  i<24 .  Podem  suposar que Y' és un aspa¡ finit . En afecte, té homologia finitgenerada en cada dimensió i zero en dimensió prou gran i és simplement connex . Aleshores, per un resultat ben conegut, és homotopament egvivalent a un comple ;c finit . Si m >l6, aleshores dim v=m,8 >24 . Per tant, H*(Y' ;71 2 ) és una álgebra de polinomis en un generador u de dimensió 8, truncada  per x4= o .  Estemnovament al  cas  A)  i  sabem  ([161, p . 3o4) que un tal aspa¡ no pot existir . Per tant, podem suposar 16 c dim v < 24 . La situaci6 és la següent : Tenim un aspa¡ finit Y', 1'homologia del qual no té 2-torsi6 i tal que H*(Y' ;71(2)) té 2 3 generadors  1,  u,  u  ,  u  ,  v,  amb  dim u=8,  dim  v=m ',  16 c m'~< , 24 . En el cas m'=16 apareix un altre generador uv . Volem arribar a contradicci6 a partir d'aquestes dadas . Treballarem amb teoria K complexa amb coeficients a 71 (2) . Posem K(X) per a designar-la . Recordem (veure o .6) que si X és un aspa¡ finit, K(X) admet una filtraci6 K(X)=K o :> K 1 D K2 D . . . DK n = o on K 1 =Ker  (K(X)--i K(X21-l)) .  D'altra banda,  si  H,X no  té 2-torsi6, hi ha un isomorfismo 11 21 (X ;2 (2) ) = Gr i K= Ki/Ki+l i aixó ens permet calcular K(X) . En el nostre cas, obtenim els següents resultats per al graduat associat a K(Y') : a) Si m és senar, GrK(Y') és una álgebra de polinomis en un generador x de dimensió e, truncada per x4=o . b) Si m és parell, GrK(Y') és una álgebra de polinomis en dos generadors :x de dimensió e i y de dimensió m', truncada en dimensions : ;25 . El pas de GrK(Y') a K(Y') es fa aplicant el lema o .2 . Resulta que K(Y') ' GrK(Y') . Aplicant les operracions d'Adams a teoria i ;, veurem que aquests valors de K(Y') són impossibles . Distingirera dos casos,segons m sigui senar o parell . a) Cas m senar . En aquest cashem vist que K(Y') té geneeradors l,x,x 2,x 3 . Estudiem l'actuació de les operacions d'Adams : Y 2 x=2 4x * ex 2 + bx3 y 3 x=3 4x +cx 2 r dx 3 , a,b,c,d Calculem ara  y 6x : ?e 6x= y2 y 3 x=3 424x+- 3 4 ax 2 + 6 71 (2) . x 3 + c2 8x2 w c2 5 `~ax+ d212 x3 y 6 x= y3 Y 2 x=2 434 x-,- 2 4 cx 2 +- 2 4 dx 3 + a3 8 x 2 + a234cx 3 + b312 x 3 Igualant coeficients resulta : 3 4 a 3c2 8 =  24c - , ¡-a 38 ; d212 43 4b .+ c2 5 a  =  24d + a2 34c+ b312 . Com que a és senar (per la propietat d) de les operacions d'Adams),  de . la  primeraequació  resulta  que c és  també  senar . Reduint la segona equació módul 24 obtenim o _ 6S . 2 . a . c  (2 4 ) que és un absurd . b) Cas m parell . En aquest cas K(Y') té generadors 1, x, x2, x3 , y i, en el cas m'=16, també té el generador yx . Posem m'=2k . L'actuaci6 de les operacionsd'Adams será del tipus : w 2x = 24x + ax 2 + by + cx 3 t dyx ; `Y 3x =  34 x + ex 2 + fy +gx 3 *- hyx ; Y Y2y  =  2 k y -+ Px3 + ryx ; y3y = 3 k y + sx 3r tyx ; amb a senar .  Si  calculem  y 6x i  y 6y de dues maneras diferents, obtenim : 6  2 3  44  4 2  4  4 3  4  8 2 Y x -_ W  Y  x= 32x + 3 ax  + 3 by + 3 cx  + 3 dyx + e2 x  -15 3s b  2k  3  12 3  k .4 e2  ax  + e2  yx + f  y + f ex  + fryx + g2  x  + h2  yx . 3 24442  4f  24324k  3 x 82 + y~ T x=2 3 x f .2 ex +2  Yr  gx +  Yx + a 2a3 4 ex -i2a3 4 fyx F b3 ky 4bsx 34. btyx r c312 x3+ d3kY4yx . 4, 6Y  =  4' 2  Y3 Y  =  3k2k Y + 3k t x 3 4. 3k rYx +s2 12 x 3 + t2 k .4Yx . 3 2 kk k3 k  123 kr4 ,Y Y =  .ywy = 23y t2sxa 2tyx  + 3xt r3yx . Igualant coeficients obtenim les equacions : i)  a(3 e -3 4 )  = e(2 8 -2 4 ) ; ii)  c(3 12_3 4 )+ 2a3 4e + bs  =  e2 5a + f Q + g(2 12 _2 4 ) ; iii)  b3 4 (3 k-4 -1)  = f  24 (2 k-4 -1) ; iv) s2k (2 12-k _1) = 23k(312-k_1) . De i)  es  segueix que e és  senar .  Com que K 13 =o,  la  propietat e)  de les operacions d"Adams implica que  ,Q= o  (2 2k-12 ) .  Per tant, si reduim ii) mbdul 4 obtenim o°2a3 4 e+bs  (4 ) . Com que a ie s6n senars, n'hi ha prou amb veure que bs = o mbdul 4 . Considerem per separat cada un delspossibles valors de k . Si k=9,11, 1'equaci6 iii) implica que b =o  (4) i per tant ja hem acabat . En el cas k=12, la propietat c) de les operacions d'Adams implica que s=o i també hem acabat . Si k=1o, 1'equaci6 iv) d6na s21o3=2310 23 . Com que, en aquest cas, .Q=o (2 8 ), obtenim que s és parell i novament bs ao (4) . Restanomásconsiderar el cas k=8 . Si  k=8,  hi  ha elements  x i E K i ,  i=8, . . .,12  tals  que y2y =28x 8 + 27x 9 + 26 x 10 + 25 x 11 +2 4x 12 . A még,  si x 12 = ax 3 + .Á yx,  aleshores a H" (Y ;7Z 2 ) es compleix Sg n v= A u 3 t,u vu . Demostrarem que ;1 =o . Suposem-ho fet . Aleshores, 2=-o (2 5 ) .  C equaci6 iv)  diu s2 8(2 4 -1)=  3824 5,  per tant,  s és  parell . Substituint a  o _2a3 4 e+ bs  (4), arribem a contradicci6 . Per tant, tot es redueix a demostrar que si Sg 8 v= Au 3 *pvu, aleshores Si  v2= o,  aleshores i  Si v2 =u 4 , aleshores o=Sg 16 v 2 _ SgBv Sg Bv _  ñ2 u6+ 2ñ 9vu 4 Sg16 v2  _  > 2u6 r 2 >,m vu4 + .u 2u 6 S16 4  82 82 qu= Sq uSq u = o 2 2 i novament obtenim '>=o . Finalment, si v =vx , aleshores Sg16v2 = a2 u6 , 2a g u vu 4 +/A 2 u 6 ; S162  15 2  8  82  162 q vu =vSq u + Sq v Sq u + Sq v u =o i també arribem a -N=o . Aixó acabala demoatraci6 del teorema principal d'aquesta memória, enunciat a la introducci6 .1 INDEX Pr61eg . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag . 71 Capitol ler . L'algebra H * + L É 11 ............. 75 I Introducci6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 II .l i~+ LÉ es tancat . . . . . . . . . . . 80 III .II °6 + LÉ es álgebra . . . . . . . . . . 90 IV .Caracteíitzaci6 dels elements invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag . 92 Capitol ton . L' espectre de H ° " + L °E lil . . . . . . . . . . 101 I .Introducci6 . . . . . . . . . .. ... . . . . 101 II .L'espectre de H - + V E i propietats relacionades amb ell . . . . . . . . . Pag . 103 III .Mesures representetives " . . . . . . 110 IV .La mesura de Lebesgue a H ** +LÉ . . ." 112 Bibliografia ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 PRÓLEG En la teoria delsprocessos estocástics estacionaris, apareixen . situacions que fancap a problemes com el de caracteritzar les funcions de L (T) .que s6n limits un¡ formes de sumesfinitesde funcionsde l"algebrá del dise A, i polinómistrigonometrics a T . (al conjunt d'aquests li direm P) . A aquests problemes estan .associats els noms de Yaglom, Szegb, Devinatz, etc . La soluci6d'aquest problema fou donada 1'any 1967 per Helson i Sarason [1J , els quals van demostrar que H - + C ( la suma, com a espais de Banach, de H °° i C = P(T)) és la clausurauniforme de 1'álgebra generada (a Lm ) per . A i P . (i com a conseqüéncia que es álgebra uniforme),fent servir que C/ A L~ L/H-  isometricament . D'altra banda, 1'estudi delsoperadorsde Toeplitz i de Wienner-Hopf,T4-4on  e H - + C presenta resultats com (Douglas 1968) "Si 4 e H ° " + C,  T~  - A és un operador de Fredholm si i només si, 0a és invertible a H' + C" (Veure [21 ) . En aquestmateix treball, Douglas va donar una carac teritzacid de les funcions invertibles a H" + C, mitjangant llur extensi6 de Poisson a 1'interior del disc obert U . L'any següent (1969) i en relaci6 també amb 1'estudi dels operadors de Toeplitz i de Wienner-Hopf, Douglasva es tudiar algunesclassesd'álgebresentre 11 - i L m , plantejant el següent problema : "Sigui B una subálgebra tancadade L W que conté H m , si B I es la subálgebra de L m generada per 11 m i les complexes conjugadesde les funcions internes invertibles a B,llavors B = BI 11 . El resultat es obvi per H m  i H W +C . L'evolucid del problema fou la següent : L'any 1969, Douglas i Rudin resultat es válid per Lvan veure que el La generalitzaci6 d'aquests problem es al cas en qué 1'álgebra está generada per H i les funcions essencialment afitades a T, i continues a un subconjunt qualsevolprefixat E, fou estudiada 1'any 1973 per Davie, Gamelin i Carnett (3] al cas, també més general,de U un obertcualsevol de ¢ 1 motivats per problemes com el d'aproximar uniformement funcions de HE (U) per funcions de 11 m (U) que estenenanalíticament a través de E . Els esmentats autors van demostrarque,per a aquestes álgebres,la conjectura de Douglas té resposta afirmativa . [5] L'any 1972, Sarason, volent donar-ne un conuraexemple va arribar a que 1'álgebragenerada per H' i les funcions continuesa T -{1} i amb limits laterals per a valors de 1'argument tend - int a 1, és un álgebrade Douglas . ( És a dir, el problema de Douglas té, per ella, resposta afirma tiva) . La soluci6 final del problema, (al disc), vandonar-la Chang i Marshall 1'any 1975 seguint una idea de Sarason [6] . Sp B= Sp B I Sung-Vang A .Chang va demostrar, primerament, que si B, B1 son subálgebresde L ' que contenen Huna d'elles de Douglas, i si Sp B = Sp B1, llavors B= B1 . [73 . Finaiment, MarshallF 8] , va veure que,pcr Bi B I for mada a partir de B, segons la conjectura de Douglas, es t6 Com que dbviament B I es un álgebra de Douglas, es conclou que B=B I . El present treballes dedica a 1'estudi de les'algebres H- + LE , estudiades ja per Davie, Gamelin, Garnett a [3], i comenga ambuna demostraci6 reduida t seguint E3],del fet que H. + LE es un álgebra de Banach, en el .cas que E sigui compacte i pel cas del disc . En segon' .lloc, es tractar3 paral .lelament a Douglas, la .caracteritzaci6de les funcions invertibles a H -+ LE mitjanpant llur extensi6 de Poisson a D . Aquesta demostraci6 está basadaprecisamenten el fetque H + LE és un álgebrade Douglas . En tercer lloc s'estudia 1'espectre d'aquestes á1 gebres, la representaci6 de carácters per mesures i la res tricci6 de 1'álgebra a les fibres, tot extraient-ne conseqübncies sobre el comportament de les funcions de H+ LE en general, i els productesde Blaschke en particular, a 1'espectre . Només em restamostrar el meu agra'iment al Dr . J .Cufí, per 1'eficap ajuda i 1'entusiasmemostrat en la dírecci6 d'aquest treball, i al Dr .J .Cerda i a J .del Castillo amb els quals he discutit algunspunts del capitol 1i 2 respectivament, aixi . co m també a totes les persones que d'alguna manera 6 altra1'han fet possible . Més concretament, veurem que II  + L ' és un espai de Banach, i com a Gonseqüéncia, que és una álgebra, i donarem una caracteritzaci6 dels seus elements invertibles . CAPITOL 1 L'ALGEBRA  H°"'+ L E Dedicaremaquestcapitol a 1'estudide les propietats de 11 '+ LE que depenen més directament de la seva estructura d'álgebra que del seu espectre . Com ja hemdit al  próleg, la primera qüesti6 ha estattractada amb forma més generalitat, per Davie, Gamelin, i Garnett a C: Pi . Comque 1'objecte del present treball s6n álgebres de funcions definides sobre el dise, que és, en molts aspectes un domini senzill, donarem una demostraci6 sim plificada (Seguint Helson i Sarason F1] , i Davie, Camelin i Garnett [3] ) I - Introducci6 L'únic objecte d'aquest apartat es el d'exposar i clarificar, tant la notaci6 comels resultats de tipus més general i la forma en qué es farán servir al llarg d'aquestcapitol .EléB altres -apareixerán en el moment mateix de fer-los servir . Els diferents apartatsagrupentemes mes d menys afins . .  i) Si R es un álgebra de Banach (1) , amb Sp R = M, A > PO(M)  la transformaci6 de Guelfand, (a) = á i també V X  n entornbásic de  y o e M , 0 per la topologia de Guelfand, definit per F i les funcions ^a l ,. . . án notarem si  f : R -~ R' és un morfisme d'álgebres de Banach direm Sp  a 1'aplicaci6transporta . i R es álgebra uniforme si i només si la transformada de Cu el f a nd . . .o  B o una iSWTictrt actrta ii) D será el disc obert del pla complex, e,amb 2D = T i E C T un subconjunt qualsevol . (D) será 1'algebrade les funcions continues i afitades a D . Igualment 11b (D U E) es la subalgebra de les funcions de 1 b (D) que eStenen continuament a E . Posarem Sp~ b (D) _  Sp1b(D U E) = ;  ,E . LLavors b  (D) b ( D U E) - ~(- E ) . A mas D es submergeix de manera natural a 1 i rJ'/ E , i la funci6  8 e~ b (DU E) fa 'k : kI -~ D  exhaustiva, i el ( mateix per n JE (1) Mentre no diguem res en contra, álgebra de Banach vol dir també conmutativa i unitaria . Si a E D, direm  VI  la fibra deo2 al a punt  al  ~ E  per TE  i es té que  E D, E  a ={a} Va E DUE . A més  ,~b (D U E) -- j N ' b (D)  i Sp j  i~E transforma fi e bres en fibres . iii) m será la mesura de Lebesgue aT .(normalitzada) . L' voldrá  dir  (si no s'especifica altra cosa) L (T, dm) . Si fEL- , la transformadade Poisson 1'=P [f] és una funci6 harmónica a D, i el seu límit radial : f* (e le ) = lim f (r e ¡ o ) és f * = f q .pt .  e eT (2) . rol Finalmentfr (e)  =P [f]  (re ¡e ) . iv) L' és una álgebra uniforme amb la norma del suprem essencial II  1 L, « . Direm X = Sp L Llavors Ii ^-' 1 (X) Tenim : aT : X -iT  és continua i exhaustiva, i direm Xa= z -1 (c( )  . a(E T f E L es invertible a L si i només si f esta essen cialment afitada inferiorment, per sobre del 0, a T . (1) En algtins casos f voldrá dir la classede f (en un quocient) i no la transformaci6de Poisson f . De totes maneres no hi haurá lloc a confusi6 en aquestaspecte . (2) Si S C T, direm indistintament e le E S ó bé  E S . existeixenxarxes 1f,l ~ f d  >f  ,  gel ----->g ,ca  ra Els productes f,,, gat e a tIÉ tals que : HE Sigui, ara V = V  on le¡ e L l (NZt , d ¡L a l  ) , un entorn (feble) de fg en L ° ` ° (rq',, d I,U a ,  ) . LLavors  V n 11  pJ Comque g e JIPa :,  tenim que,  per F/ 2i 3 F 2 e HÉ J ((F2  -  g  )  f  f i I  d  1 ' ) a l  E /2 Comque fe  per / 2'  F2 - T1' . . . . F 2 ~n tenim F 1 e HÉ amb h(F- -f ) F~ ~i~  d lu a f.yl , . . . I fYn 0 sigui que  F 1 F 2e FIÉ  i - fg) ji I  , d  1u a l  <  Jj(F 1f)  F2 Til d  + - g ) f Til  d ~~ a~  -c CalCal demostrar que si  e P . ' ,  [,P d ( v a ) = 0 . si  és una xarxa de H" :  kp, -i \p , llavors Za és obvi que l , ~ a d tj a d .CU a  i  Re ~ d (0) -~ yRe (o) Per tant : I ~ d  - á ) = 1 « im  ~~ d  a - fp ~  = = lim  d 'Ja - l~m  Re Y, ( (0) = lám~ d d ( ÁJa~)=0 d ja que ¿J a  1'E . j) Definim Clarament, Pá és exhaustiva . f I D0 Proposici6 : Dem . : Sigui f E jt ; tal que a e) Direm A a = ~al  (Hr) . . f ---~ Pa (f) = f I D A més, Pa ( .) C H ° ` ° ( la convergéncia uniforme sobre els compactes deT ; : - E implica convergéncia uniformesobre els compactesde D, i aixó suposa 1'analiticitat del limit), i és també una subálgebra tancada,(amb la norma Pa f . és injectiva . a (f) = 0, o sigui que Posem di =fd .u a . LLavors  sup ~u'CE (Si sup (g) C Ec , es té que gI E = 0 fg d /-i a = 0) . Comque supe és un subconjunt propi de T (está continguta E), el teorema de maximalitat de Wermer(Veure [10]  , pág . !,2) assegura que A I sup Z  és uniformement densa a  ~(sup jj ),  i per tant Jsupl f.l dala =¡,,,E f.1 d .1 = Re f .l  (0)  = 0  (ja que A C  .,  que és álgebra,  i 1 - -tá .) . Proposici6 :A a és una álgebra, que amb la norma del suprem essencial a 5 . , per la mesura / .J a ( II  II°6~~ ) a resulta ésser de Banach . tenim que per a cada n ,3 ~fdi  HE (xarxa), amb fn -~ g n .  O sigui que, donat ~ ; K C .-- E compacte ; ZC a In e Ll (('-E dlj a ) tenim que -4o(~~ n si<>~,n Ilfa-gnII~F k i  j I(fd - gn)  TiI  dIÁJal  Es a dir que Il f ac - g I  k - <,  Ilgn - g_ II  k  +  ¡¡ f x  - gn II k<£ ( si n> n 0 ~~ I(fa .. Dem . :  Donada  l gol  ,  II  11 -- l o ' JJa  - de Cauchy, Par  sigui injectiva, ens porta immediatament al següent teorema : tric . El que acabem de dir, juntament amb el fet que Teorema : Dem : i  també :  j1 (f n <  -  g)  ; , f . 1 1  d ¡ÁJ,J gn) lf i l dI .Lt a l + l j(g n - g) 7il diji a l< 1 "- A_ ('a . -a Es obvi que Pa és morfisme, i la proposició anterior assegura que és injectiu . Vegem que és exhaustiu . e> H « " . . .o un isomorfismé isor1 Si f e H - {f n 1 C  HE  afitada ;  f n -~ f unifor mement sobre els conjunts a distancia positiva de E . Com que f nés afitada, está contingudaen una bola de L"6 (TE , d IJ-r al), que és feblement compacta (T .de Banach Alaoglu), o sigui que en podem extreure una parcial convergent feblement (i, és clar, uniformement sobre els compactes de PES E ) . Per tant, comque convergeix unifor mement sobre els compactes de D cap a f, tenim que la restricció aD del seu límit per z a coincideix amb f . Es a dirque la aplica isomorficament (isomorfisme d'álgebres) P1 (  Fa a H °° . Óbvíament lle a (fM, =  Ii f ID 111)  '1-zz  II f  II 'nt  i aixb dona  que Pa és continua, i com que la gráfica fisme topológic, que en ser-ho d'álgebres uniformes és una isometria . Dem : és tancada, és un isomorAra, tornant al principi de 4, com que N 0 H'96 #0 , podemprendre f e H 14 amb  IIf - h  I  r,[ hi ha una única  e  a :  Pa (V)  =  f,  i  tenim  que  II tP -  h II L~ (E, dj,v E I )Cr a Quedará demostrat, si veiem que es compleix que  10 (h - y ) I  < r . e  Sp  L :° ' (E, d ILa1 ) Si ~ e Sp L° 6 (E, d  al ), tal que 0 (z) _  , tenim, comque h és continua a E : Ara,  - h(,\) e,Á a , i si  = Sp _l fa (0) _ _  o  al e Sp H° 0 , llavors (*) = I  (f - h (ñ) ) IIf - h (ñ)II  1I f - hII C r  c .v .d . I finalment, veurem, com a conseqüéncia de tot el que s'ha dit, una propietatde ~ que és fonamental pels nostres propósits . ja que Teorema :  ~ e  (N) -Ca Dem : Sigui  a : :-0  tal  que  2 á < : :Zr  -  ~ I f  -  h II , Comque h és continua a YlE ,  d x e Vy E 3 WX  on 1'oscil .lació de ^ h és més petita que J, iobtenim aixi un recobrimentde TE pels W X , del qual n'extreurem un subrecobriment finiit : W X1 ,.. .,WX k Si prenem a C els discs D i =D r (n ( Xi ) ), conjuntsconvexos de C en els quass : a  (X) eD i  si ,jC e W i -E, ja que tQ coincideix am b f a r  E  i  I .T (X)  - h  ()C i ) 1  <c_ - 1  c ()C)  - h  (>C) + I 'h  (X)  - h  (X i ) I~ IIf .- hI!~_ tenim (X) e Di  ILa l  - quasi pertot X e W i (1 E, hll L-e (E, d I Ua I ) Cr . Veiem,  ara,  que  i eti° b  (D U E),  i = 1, . . . . k demanera que d, i W~E i -quasi per tot  a( e W i l1 E, i tal que n  Yd,i  ()C)  e Di  si X e Wi E,  i X e W i !1 E afitada ; i I1j a 1-quasi pertot Comque y e L-<' (E,dj£ .> El  )  3 y e Ld (E,dl,U al ) o sigui que g ne  ? (E),  gn ~ T  en E Iual -quasipertot . Prenent aW i / 1 E una xarxa exhaustiva de compactes Kd  , i el mateix a Wi E, K d  i'entornsrespectius (UK  , VI<,,  , amb intersecci6 no buida, tenim una partici6 K á  K, '/1 , subordinada a ells . d de la unitat LLavors  k' z  + gs t Z 1  (per S escollit con venientment), compleix les condicions de convergencia, i a mes, aplica W i en Di , perque és una combinaci6 convexa de funcions a valors en D . . 1 Prenem, ara una . partici6 de la unitat f>ii i=1,k ; ,.. subordinada al recobriment  wi Posant  _ .  -r  ~ ;< j  tenim que  ~ J e  e b j  (D V E) , j=1 a mes, com que  y!~ és una combinaci6 convexa de t j ,tenim que  V xe 1,y E  ' (X) eDi si x e W i , i I`i(x) - h (X)I C  t(X)  h(Xi ) 1  +r(X i ) - h (ii) - hil W . +  G r'  per un oc prou avanpat, comú 1 per a tots els entorns LLavors  . mE ` .  (es inmediat), i E I h a ~-feblement, ja que t->Y puntualment, i  `Y d  afitades uniformement . El teorema de la convergencia dominadaassegura la  i j,' I -convergencia . a 1bis) Finalment, hem suposat que -df e H ° ~ ,  fe N i N h HÉ  jó . LLavors, tía e P podem construir la JL a , com ja s'ha vist,  i de manera que  á (g)<_ - a  d ge N . Com que pa és continua per la topologia t a , resulta -1 queper 1' unica  Te F a  /\  (H - ~)  tal  que  ) a (`1+)  =  f , tenim a a - a en esser ~e (N) Za . que Per tant  d ,U a =  d ja que ua /1« L )Wa' peró, coro que i la desigualtat es certa per a tot a dicci6 . III - H" +L E es álgebra : = / t  a f  Ref (0) .--a, e IR, arribem a contraEs en realitat, una consegíiéncia d' ésser H °s° + LÉ tancat (seguint C3] ) . Ens restringirem, coro a 1'apartat anterior, al cas de E C T compacte . 0) Direm X = Sp L : ; X E = Sp LE '» . LLavors L°e ='  (X), i LE  ^-r  (XE ) . ~i n cS i ' 11 - ebra del dise , comí que la `-j /P (T) ~j -~ LÉ Ctenim X  n ' Xe , Z - - e T --~D amb 17 : - X>XE i i : X E -,T exhaustives . Direm, si ae T, X,í = z-1 (oe) (ja que z oP  = z) ,  i el mateix per  (X E )d  . LLavors, coro que E és compacte, es té : (XE ) a  = ~o(}  si  d e E,  i  (X E ) a  = X,  si  d e E c 1) Com a consequencia de tot el que s'ha dit fins ara :  LE _ 1f e  0 (X)  I f iX = ct,  'e E a LLavors tenim : H .- ; .+ L E f  e  l~ (X)  I  f 1 X ~ E -H--'- -ó( Vele  E J= --  H  + C I Z -1 (E) Óbviament, H~ t C Z-1 .(P)'es Una subálgebra tancada de e(  z1(E)  )  ja que hi han fui .cions de  f (T)  que valen 1aEi son estrictametit més petites a Ec Demostrarem que H ti + LE = H + I Z-1( E) La demostraci6 gira a 1'entorn del següentteoremageneral : Teorema : Sigui K espai topologic compacte, Q una álgebra uniforme sobre K, i F C e (K) un subespai tancat que és un Q-módul . Si h e  e ()C)  i h I E E F IE ,  Y E conjunt maximal d'antisimetriade Q, llavors h e F . Dem : Veure 191 , pág 61 . Sigui  B = ü°' ° + LÉ J/ I -1 (E) E -7,6 + Proposici6 : B és un ~ (E) -módul LE j v X ó(e E Dem : Si f E B  i  g e  Pp (E),  tenim que  3 h e H' s ° e LÉ , amb h + lIz-1(E)= f, i si T és una extensi6 de g a  i~(X) ,  llavors g I j  e  11 (X)  i és conátant a Xd  1  V  o<  e  E  .  Y . g  e  B Com que A ¡ E és densa en  ie(E)  (teorema de maximalitat de Wermer, si suposem EIgí~ T), si ~ e A, ~)  i~  i_ h .£ e H' implica  h .,p IXd  _ Ii  (e E, i com que H¡ X . és 1,1 una subálgebra tancada de  6 1 (X .,,,), es té que hgae ¡X d o<  e E . per tant  f g  z -1 (E) e -1 .217C1Z-1(E)  c .v .d . Ara, apliquem el teorema : O(E) és un álgebra uniforme a B  C 1p ( / ± -1 (E)) és un (c (E) -módul, i els conjunts d'antisimetria de pe(E) a /¡ -1 (E) s6n les fibres X~ d e E . Per tant, si f19-1(E)e BI9-1(E), llavors_f e B O sigui que B = 11-+c lz -1 (E) i per tant, és álgebra . general : Finalment , H"+ V 1 '  es una álgebra uniforme . Es dedueix directament de la següent proposici6 Pr os :  Si R es un álgebra uniforme i R'c -+R subálgebra de Banach amb  IIf  f  11 R  ~f eR' . llavors R' es un álgebra uniforme . _Dem : Es té Sp R  >Sp R'  de manera que 1{f e B )C(f) = ¢(f) llavors I 'f`  I I Sp  R -  11 `f' ¡IR' A més  IIf II Sp  R ,  =  Sup .  I X (f) I  sup .  (f ) f  ~~ R  f  I I R  ~(e  Sp  R'  ~ E  Sp  R ji f  demostrat . IV - Caracteritzaci6 delselementsinvertibles : Les funcions de 17 4 , que en principi s6n funcions definidesa T, estenen a funcions harmóniques a D via el nucli de Poisson, i és ben coneguda la caracteritzaci6 de les funcions invertibles a H° °° +C en termes de la dita extensi6 : " f e H°` +C C  L °` (T)  és invertible a H °6 +C si i només si  -9 r0 ,  0 < r 6 <_ - 1, de manera que P [fj  está afitada inferiorment (en módul) per sobre de 0, en la co rona  r  = .~ z E D  e 0  r 0 ',Iz I, 1j  11 (Veure, per exem_ ple, Sarason [6j ) . Es natural demanar-se per una caracteritzaci6 sem v blant que valgui per a les algebres II'`'+ LE , i que, donada la importáncia del paper que juguen en la demostraci6, tant la compacitat de T, com el fet que el nucli de Poisson és asimptóticament multiplicatiu a T, per II° 6 + C es pot plantejar en els termes del teorema que donarem a continua ció . Ara E será un subconjunt de T no necessáriament compacte, i si K C E compacte, direm f  (re l0  ) I % S K =  ~ re¡o  E  D  I  r0 < r Teorema : La condici6 necessária i suficient per talque una funci6  f E II"' + L~  sigui invertible a II°IG +LE  es que f  ho sigui a L °" , i que '¿K C E compac te, ,3 ~ K iO  i r K E (0,1)  tal que, si  rete E l lr ,IC K i (Es a dir, que les funcions invertibles estáninferiorment afitades, per sobre de 0, en sectors de corona centrats en els compactes de E) . e ib H K f a H C D a) Que la condici6 és necessária és una eonsequencia del fet que el nucli de Poisson sigui, per H -4 + LÉ asimptóticament multiplicatiu sobre els subconjunts compactesde E, comara veurem . Si W és un productede Blaschke invertible a Íl f1 °b + L~  ,  els seus zeros no s' acumulen a cap K C E k ( ja que és invertible a cada  fi °° + Lk ) o sigui que 41 és continu a E, i per tant, invertible a H -6 + LÉ, amb invers W . Per tant (T . de Chang - Marschall), 11 -v + LÉ= Conclusid :  si  f e 1I °` +LE és invertible a L" i és tal que  V K G E  d k %  0  i r k < 1 amb I f (re 1G ) j>Sk  si  re i6  e-/\r  K ,  llavors f és inver_ k' tible aH° 6 + Lk  V K,  i per tant a H ' + LÉ CAPITOL ton . L'ESPECTRE DE Ih + I ;'-' L'estudi que farem a continuaci6de 1'espectre de H' / '+ LÉ está inspirat en el que fa Hoffman per H-<1 ( E11] , cap . 10), i es basa, principalment en la carac teritzaci6de les fibres i de les mesuresrepresentatives de carácters . Aquest será el nostre principal objectiu . S'inclou tambéun apartat dedicat a 1'estudi de la mesurade Lebesgue a 1'espectre de L E . El motiud'in cloure l s en aquest treball és la seva relaci6 amb H - i amb les sumes de H ° ~'i subespais de L ° " tancats i invariants pe1 // Shift operator : La relaci6 no será posada de manifest aquí . I - Introducci6 : L'únic objected'aquest apartat es el de completar I, del primer capitol, en vistes als nostres proposits La notaci6 es una continuaci6 de la que es feia allí . Direm Y = Sp H's° . LLavors, com que z e H~ i 1 : Y-~ D  es exhaustiva, direm  Yd = ~ -1 (ol) . Tenim :  V c< e D  z -l (o()  = Ic<~ Totes les fibres Y d  o( e T són homeomorfes, i es pot definir : wl = Ve Y  : Im  z oo j 0} Resulta que Yi = Y1 n wli¿  Y1 = Y1 n wl i Y1 = Y!-,(Y1 U Y 1 ) Y¿ jQ son disjunts i donen una descomposici6de Y queval per qualsevol Yd , a (e T,(Redefinint tot mitjanpant la corresponent tranilaci6 .) X = Sp L °( ' es la frontera de Shilov de II"` i es pot caracteritzaraixi el rang de les funcions sobre ella . Vd (entorn de d a T)  un conjunt de mesura positiva a V , ,~ tal que  If IV  A més X~C Y .~  o! e T . d H °6 °S lo ,modular u X, per tant eaóa  c Y esta representat peruna única mesura a X, i si  X e Y d sup : / "Lk C X ,,¿ . Ií °b +C = H° 6 + L" 4 (Veure Sarason  E6]  i Hoffman T L11 cap . 10 per 1'estudid'aquesta álgebra) . Es un álgebra tancada a les que contenen H *P . i minimalentre El seu espectre : Sp H' 6 +C=YT=  u Y d de T Tenim : X  >Y T  :>Y  immersions . Finalment, tota funci6 interna es demódul 1 sobre X T .de Chang : Si dues álgebres entre H"' 4 i L °b tenen el mateix espectre, i una d'elles es de Douglas, les al- gebrescoincideixen . II - L'espectre de li°` + LÉ i propietats relacio na desamb ell : En pXimerlloc, tenim que 1I ~  ' II °-+ C~--`H ' + L E -L, - i,  si Z = Sp(H'+ + L E ), és sabut que X  iZ  !Y T p Y es una immersi6 per tant X --->Z es injectiva . Proposici6 :  L-' aplicaci6 Z -~ Y és també injectiva . i Dem :  Si Oé Z  són tals que ,  (f)  (f )  Vf e ü°`°, es té que si gE 1I ° ` ° + LE ,  3g n e 11~ ,  w n productes de Blaschke continus a E i tals que g =lima  ,9n wn (g) = lim 0 (g n W n ) = lim 0 (gn )  (ca n ) n  n -->-(-, 1 (g) v = lim  ( g r wn) n jectivitat ees clara, c .v .d . = lim  n )  7 (w n ) i la in Per tant, comque X !Y es una immersi6,i X-OZ i Z  3,Y  injectives, es senzill veure que, tan X -OZ  com Z -- : y són immersions . També es dedueix que z : Z---->T 'es exhaustiva, i que Z --,Y T conmuta amb la formaci6 de fibres, es a dir : i -1 (d)  = Z d C  Y i 9 Comque H°` es logmodular a X, també ho es H °6 + LE i per tant, la frontera de Shilov de H °6 + LÉ es X, i a més, tot carácter de Z está representat per una única mesura a X . Passarem, tot seguit, a donar una descripci6de les fibres Z. < Proposici6 2 : Z« , = Y d si o(e E Z~ = X~  si o(« E Dem :  1f d e T , X a es un conjunt de pic per FI` 4+ L'>4 (considerada com a álgebra uniforme sobre X), ja que f .(z)= = l (1+d z) val l a X a ¡ i Ifi G l a X - -X I ,, o 2 sigui que : u X . ü / ~  , subálgebra tancada de l X d A més, si o(e E i g e LÉ  g1x = ct . per tant H-<0 +  T . IX 0( E I X . i  I át I comque Sp H i~ = Y~  i  Sp LTxd = X~ , tenim que Z d = X d si  oC  E i Z . ~ = Y , ,~ si d e E . Corol .lari :  Si E compacte Z,¿ = Yd  d e E, . Zd = Xd  si  d  E . La dificultad principal per la caracteritzaci6 total de Z resideixen les fibres corresponents als punts frontera de E i que no son de E .1Iom pot pensar que si o( e  a E -, E, Z d no és exactament Y a sin¿ que es un reflex de les fibres situades a dreta i esquerra de o( . Veurem que aixi és exactament . Sigui  o( e  a E\ E . Suposarem, en primer lloc, que E YÉ T\ {-(1(1)  LLavorses pot trobar ¡11 en T, diferent de,< . Si diem fl la funci6 característica d'un arc de T que uneix o(amb //~ i .' ~ 2  la delseu complementara, tindrem : T1 ~2  e É ; Y1 + q2 - 1  i y1 , T2 = 0 , per tant ~xe Z~ ,  X(tPl ) = 0 o bé X( ) =1 . Direm Z~ = - ~ 71 (0) n Zd =921  (1) n Z d ,  i Z . _ -- ~1  (1) n Zoc Obviament, tant Z d com Zo¡ s6n no buits, ja que el fet . que Y l prengui tant el valor 0 com el valor 1 en conjuntsde mesura positiva al voltant de o<, fa que ~l prengui els valors 0 i 1, tots dos a X . +1  ^1  -  / Z1 Diremtambé  X 0(  = T-1 (0)n X « i  X d = CQ l (1) ¡~X d v  + Obviament X0< C, ~  i X .Z C Z~ Proposici6 3 : Z~ C Y < ~  i  Z I C Y~ Dem : Z - C (* -1 (E) ) Z C ($ -1 (E) ) y (ja que Z -- >Y es inmersi6) . Per tant Z+ C  Z+ C Y~ . La demostraci6 és idéntica per Z~ . Cal observar, ara, que els elements de Y 0 inai estenen multiplicativament a ii ° ~ . + LÉ  excepte si  aC e E . Finalment, passem a caracteritzar Z,, i Z ~ . No sempre es fácil donar-ne una descripci6, ja que depenen de la forma de E al voltant de d, com veurem seguidament (1) Per H °b + LT í11  també es cert, com es veurá quan tractemaquest cas . Estudiarem Z - ,,~¿ (1'estudi per 1'altra es idéntic) . Proposició A :  Si  j F>0 : ( a - F , < ) n E = 0 (1) llavors Z~ = Q . Dem : Sigui )(e Z , . Vejem que estenmultiplicati vament a Comque  ~ f e L' ,  f 'f2 e LE  (es 0 a E),  podem posar  Y (f)  = -)((f q .2)  Yfe L''~ Si fe LE  X (f) _  (f \f2) = X(f) .x (~2 ) _ = )C(f) , ja que  X (`P 2 ) = 1 . Pel mateix motiu, X ¢ 0 . Óbviament X es lineal i continu, i comque T2 és idempotent, X es multiplicatiu . llavors Z_<= Yd . Dem :  Si 3  ,( eY,<  tal que  X ¢ Z .¿ XO-1 -1  (d - e,-<)  )  C Ik -1 (E) llavors Per tant, existeixun entorndei(, V X en Y tal que V zr )<k - ' (E) = yJ  1 V n U Y~ = pJ i si /Be W-~ ,d) ~xc~ es una xarxaen 4Q a la qual J( es adherent, (que podemconsiderarcontinguda a V . ), es té que ~~I nt-1 (°<-¿, .~ ) ) = 0  ~  , 0$ ( 1Xi~) i aixo contradiu el fet  que /\ siguiadherent a ~Xó . En el casque E = T-91, tenim que X_, és, óbvia ment,un conjunt de pic per aquestaálgebra . A més : e if ,  )  s' esten entorn per 1' esquerra . Proposici6 6 : Per un a petit, tenim : H - '~ +  I+ T- {dl  I  x  -  HaC, +  LE N -f, °( ) u(oir d+ I x q Dem :  Com que  [ .( -~, ~( ) U  (d, o! +El  és tancat a Tila( , que és un espai topológic normal, el lema de Tietze ens permet de trobar extensions de les funcions continues a  (J  ( oI , w +F]  a funcions continues a T -~11  L'altra inclusi6 es obvia . Teorema :  z d = YesU Y q , Dem : Com es dedueix de la proposici6 5 d'aquest capitol  Sp Fi  + 1 ;'  U  -1 (~()  = Y j( V Y ., I per la proposici6 anterior, es té la igualtat entreespectres . Corol .lari 1 : Tota funci6 continua i afitada a ( 0,2n ) es pot aproximar, uniformement a L`°(T)  per combinacions polínómiques de funcions de H °(O (T) i funcions continuesa [0,2x1] Dem : Si Bes la subálgebra de L °4 (T) generada per H 4 i les funcions continues a T, 1 ls i amb limits laterals a 1, es fácilde veure (fent servir conjunts de pic) que el seu espectre és precisament, U Yd U Yiu Y1 , .( e T,f 11 que coincideix amb 1'espectre de 11 -4 + LT - ' ll , (Vemre,per exemple, Sarason [4] ) . Pel teoremade Chang (enunciat en la introducci6), les álgebres coincideixen, perque són álgebres de Douglas i tenen el mateix espectre . Corol.lari 2 ' : Si b és un producte de Blaschke continu a T-f°(( , b no pot valer 0 a Y~ ni tampoc a YEs clar queels únicscarácters on un producte de Blaschke continu a E pot valer () son els de Y 0 . Com a cas mes general, si  -<"e  2 E-E no compleix el requisit de la proposici6 5, es a dir : Si _9 < neE : dn  oC , pero tambéexisteix /la n~ d . ,/Jn eE c , llavors Z, < es un conjuntintermedientre X~ i Y, ¿ en el sentit següent : Z no Dem : Es desprénóbviament delque hem dit . a) Si b) Si per z, a Prop osici6 . Sigui -! e c7 E-E . 3-< n e 3 í , s n e Ec pot ésserde X . ,, ja que IbI IXd= 1 . per 1'esquerra,llavors n - per 1'esquerra,llavors Dem : a) Es pot trobar un producte de . Blaschke b tal que .els seus zeros s'acumulen . ,a LLavors b-1 (0) n !2~ -1 ( ~,< n( ) PÉ 0, es projecta, (J <d S  , per tant,  _4 X e Z_, adherent i tal que b (~() = 0 . Aquest x es de Z,, 1 b) Si '¡Sn eE c amb ~3ri me o( per 1' esquerra, es té que 3 '(e , Z_, - X - , b producte de Blaschke amb zeros que s'acumulen exclusivament a ~~  } U ~ . d l  , i tal que x(b) = 0 n O sigui que b es continu a E (o sigui invertible a H~ + LE )  i  3 j(E Yd X~  /( (b) = 0  Z~ Per tant Y~, .--)  Z  < Nota : Un resultataparegut al llarg d'aquest estudi com a consegUencia duna qüesti6 marginal relacionada amb el que s'ha fet es el següent : Sigui 1b (0,1),el conjuntde les funcions continues acotades a (0,1) . El seu espectre, T és connex i es composa de fibres situades sobre cada punt de [0,1] i amb  . _ ~x} , si X x e (0,1) 11 més , (0,1) es dens a Y~ . si  es la fibrade Pb (0,1) al punt 1, iX í fibra de L~ ( LO,lf , d x) en el punt 1, és clar és exhaustiva . No obstant, no es injectiva . Si ho fos, en ésser seria un homeomorfisme, o sigui que en IZhi hauria conjunts oberts i tancats, i per tant, la funci6 característica d'und'ells, (posem Y ) prendria només els compacte, 1 & aplicaci6 X d >6 valors 0 i1a (-iT d , o sigui que existiria f e °b(  0,1  ) que només prendría els valors 0i 1 a ">(" . Es a dirque hi hauriel dos oberts de  , disjunts i de manera que en un d'ells f seria més petit que E i en 1'altre més gran que 1 -E . Comqueelsdos obertsestán centrats en puntsde si existis5in, tallarien a [0,1] en entorns de 1 . En els BIBLIOGRAFIA .Ilj - H .IIelson and D .Sarason "Past and Future"Math .Scand . 21 (1967) 5-16 M .R . 38# 5282 a . X21  - R .G .Douglas "Toeplitz and Wienner-Hopf operators ln H° 4 + C"  Bull .Amer . Math,Soc 74 (1968) 895-899, M .R . 37#4648 . .[3] - A .M .Davie, T .W . Gamelin and J .Garnett, "Distance estimates and pointiaise bounded densitl" Trans .Amer . Math . Soc . 17 5 (1973) 37-68 . .r4] - D .Sarason "Aproximation of picewisecontinuons functions by quotients of bounded analytic functions ° Can . J .Math .Vol XXIV, N° 4, 1972, p .p .642-657 . .[5] - R .G . Douglas and W .Rudin "Aproximationby innerfunctions" Pacific Journal of D9athematics .Vol .31 n°2 1969 . .C6] - D .Sarason "Algebras of functionson the uriit circle" . Bull .Amer .Math . Joc . Vol .73, n°2, March 1973 p .p .286299 . .[7] -  sung-Yang A .Chang "A Characterization of Douglas subalgebras" . Acta Math . 137 (1976) pp . 81-89 . D .Marshall "Subalgebras of LI containing H'°" . Acta Math . 137 (1976) 91-98 . . I9]- Theodore W .Gamelin : Uniform Algebras, Prentice-Ball, Inc . EnglewoodCliffs N .J . . [101Gerald M .Leibowitz : Lectures on Complex Function Algebras . Scott . Foresmann and Gy . Glenview,Illinois 60025 . .[11j - K .Hoffman :Banach Spaces of Analytic Functions .Pren tice-Hall Inc . Englewood Cliffs ., N .J . .[12I--A .Stray . ' 4 Aproximation and Interpolationf Pac .Jour nal of Mathematics . Vo1 .40 n'2'1972 Pag 463-475 . .[1 :11 - W .Rudin : Real and complex analySis Mcgraw-Hill . .0141I .Suciu : Functionalgebras . Noordhoff . Int .Publishing . Leyden 1975 . .[15] - W .Rudin .  FunctionalAnalyZis  Mc .Graw-Hill . Departamentde Matemátiques UniversitatAutónomade Barcelona Desembre de 1978 .