Subálgebres de L∞ que contenen a l'Álgebra del Disc

Pub . Mat UAB Ns 13 , Juliol 1979 Subálgebres de L~ que contenena 1'Álgebra del Disc . Joan del Castillo i Franquet Director : Juliá Cufi i Sobregrau Memória presentada per a optar al grau de Llicenciat en Ciéncies Matemátiques , Universidad Autónoma de Barcelona .- INDEX Introducci6 ...... . . . . . . . ....... . . . . . . . . ....... 9 1 .  Interpolaci6 i Teorema de la Corona . . ........ . 11 2 . El Problema de Douglas .  . . ., .  .  , .  , .,25 3 .  Regularitat ......... . . . . . . ....... . . . . . ........ .0 4 .  Álgebras del tipus  [z,  b] ..... . . . . . . . ........ 35 5 . Relaci6entre B i  Hn CB Bibliografia . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . 58 Introducci6 L'objected'aquesta tesina és 1'estudi de certes álgebresuniformes de funcions a la circumferéncia unitat, T . Aquestes qüestions tenen el seu origen en 1'estudi del comportament a la frontera, de les funcions holomorfes i en el disc unitat, U . Actualment, a partir de la teoria espectralde Gelfand, no s'estudien les funcions directament, sin6 que es considera 1'álgebra de les funcions que complei xen una determinada condici6 ; aleshores determinant 1'espec tre, el conjuntsd'interpolaci6, etc ., s'obté informaci6 de com s6n les funcionsestudiades . Les tbcniques que s'utilit zen en aquestsproblemes van, desde 1'Análisi Funcional i la Teoriade la Mesura, fins a 1'hlgebra i la Topologia . Les álgebres que he estudiat s6n sempre subálgebresde L- , álgebra de les funcions essencialment acotades a T (respecte de la mesura de Lebesgue, normalitzada, dm) i que contenen a A, álgebra de les funcions holomorfes a U que s'estenen continuament a T . Es indispensable, per al nostre treball, el coneixement d'aquestes álgebres, juntament amb el coneixement de 1'algebra H a , de les funcions holomorfes i acotades aU . Suposarem coneguts els resultats generals d'algebres de Banach, que es poden trobar, per exemple, a Zelazko 1281 , aix1 com el referent als espaisde Hardy, .H P ,( 0 < p <  )  i especialment 1'estudi de H" com a . álgebra de Banach, que es troba a Hoffman 116] La primera part d'aquest treball, que correspon als dos orimers capítols, ha consistit en assabentar-se del estat actuald'aquestes qüestions . Els tres darrers capítols corresponen ja a 1'estudi d'algunsproblemesconcrets . Els resultats més interessants que he obtingut s6n, potser, el Teorema (4 .8 .), en quant a álgebras generades per productes de Blaschke, i els Teoremes (5 .1 .) i (5 .13 .) pelque fa referéncia a subálgebres de L c* que contenen H ** . Finalment, voldriamostrar el meu agraiment al Dr . Juliá Cufi, pel molt que m'haajudat en tot moment, així com a totsaquells que d'alguna manera o altra hancon tribuit a fer posible aquest treball . 1 . Interpolaci6 i Teor ema de la Corona Sigui X un espai topologic, F un subconjunt de X i M una familiade funcions continuesa X . . Entendrem per "problemad'interpolaci6", el fet de trobar, per a cada funci6 continua g a F, una funci6 f de M de manera que fI F = g . Un exemple concret d'aquesta situaci6 ens el d6na el Teoremade Tietze : Si X és ara un espai normal, F un tancatde X i M el conjuntde funcionscontínués a X a valors complexos, C(X) ; sempre és posible, donada s una funci6 g continua a F, de trobar feC (X) de manera que f IF = g . En el casqueens interessa, 1'espai topológic que considerarem será el disc, U, de centre 0i radi 1, en el conjunt Q delsnombres complexos . La familia de fun cions será sempre una álgebrauniforme de funcionsholomorfes i acotades a U . D'aci que el conjunt F no podrá ser altra cosa queuna successi6de punts, amb la condici6 E (1- ~n~)  + m , que a partir d'ara en direm "sucn=1 cessi6 de Blaschke" . En particular, també es pot considerar el cas d'un nombre finit de punts . Al 1916 i 1919 Pich i Navanlinna varen demostrar que donats n puntsde U, { wl, . . .,wn}, la condici6 necessária i suficient, per talque existeixi una funci6 f, holomorfa a U amb f (zi)=wi(i=1,2 . . .n) i amblf(z)I 1 : 1 a U,és que la matriu . sigui semidefinida positiva . Aquestacondici6 ja inclou el fet de que  {  W 1 ,. . . . wn } siguin puntsde U  . P4és endevant R .C .Btick plantejá el problema de caracteritzar les suceessions {z n } "universalmentinterpolants" és a dir, tala que per a tota sucessi6de nombres complex :cs{ w i} , acotada, es pugui trobar . una funci6 f, de H',  amb f(z n )  = w n .  ts varen trobarsoluciona parcials per Hayman i Newman{20l . Newman les caracteritzá com  aquelles successions {z n } que complei xen : (C)  n  Z k - zj j 91 k  l - z . J 6 > 0 , ( k= 1,2, . . .) (N)  É  If (z r ) j  (1 - Iz k j) <+ - per a cada f e H 1 Al mateix temes, 1'any 1958, Carleson r27 demostró que (C) és condici6 necessária i suficient per a garantir que {z n ) és universalment interpolant, demostrant dones que (C) implica (N) . Newmanva demostrar aue el productede Blaschke, b, associat a una successi6, que . compleixi la propietat (C),és tal que existeix e >O, de manera que {z E U :Ib(z)I= .e} és una unió disjuntade corbestancadas i cada una conté un i un sol terme de le successi6 . Degut a aquest fet, les successions {z k }, que compleixen la propietat (C), s'en diuen " uniformement separades" , terme introduit per Duren . Amb 1'article de Carleson, es va tancar el problema que havia plantejat Ruck, tot i que s'hananat fent generalitzacions . Per una successi6 {z n } , de punts di .ferents del disc U, que s'acumulin a la frontera, defini :n 1'operador Tp , a .l[ :spai de üardy Ii p (0 < p <, -)  per 2 Tp  (f)  =  {(1  -  1z  1  ) y p-f  (z } . .)}  E  Q1  si  p<1  i T m (f) ={f (z k ) } per p =- El problema d'interpolaci6, descrit anteriorment, no és altre cosa sinó caracteritzar les successions {z k } , tals que T. (H ) = l' . Shapiro i Shields [247 van demostrar, que 1 per a l 6p  ~, tambées compleix, Tp (I? p ) = 1p si i nomes si { zk } és uniformement separada .Més tard Kabaila ,  . ho va generalitzar al cas 0 < p <1 Sigui E un subconjunt obert de la circumferéncia unitat, T . Designem per II -F , al conjunt de les Funcions, holomorfes i acotadesa U,que s-Lastenen continuament a E . Direm que un subconjunt S de UUE relativament tancat, és un conjunt interpolant per a HmE , si per a tota funci6 g, continua i acotada a S, hi ha una funci6 fE HF , de manera que fl 5 = g . Al 1955 W . Rudin [211 , caracteritzá els conjunts S c T, interpolants per a H-T = A,  comels subconjunts de T de mesura zero . Al 1969 Herard i Wells [151 , fent servir aquest resultat i el de Carleson [ . 21 , demostran que S és interpolant per a H < ' 0 si i només si, S (1E té mesura zero i S (1 U és una successi6 vir la notaci6Rl = {,ue M (X)  :~(f)  = 0  V feR . ) i análogament per ( RAS 1 )  . En aquest termes tenim : (1 .1 .) Teorema R ¡S és tancada aC (S)  si i només si existeix k <1, tal que  1  S + (R) S ) 1 1 1 G k 1 [^ 1 1 , per a tota / t,i eR l Demostració .- Ion Sucin [17] pag . 57 (1 .2 .) Corol " lari Rf 5 = C(S) si i només si existeix k <l tal que S  ii~ k  ~/  per a tota  uE Rl ve gem  ara  (b) 4  (a) n (C) .  Si  es  compleix  (k ;) , podem construir una funci6 f e A, amb f) K= 0 i f 9 ' 0 .Com.que necessáriamentlog l f 1 e Ll (T) tenim que m (Y .) = 0 . Si diem S = K u { z n : n e IN }i definim 1'operador : la condici6 (b) ens diiz que Ti, és un epimorfisme entre els espaisde Banach A i C (S) . A 1'igual que Hoffman [161 pag . 196, passem el quocient i apliquemel Teorema de 1'Aplicaci6 Oberta ; aleshores obtenim, en particular, la condició (C)  i  d' acf  es  té que  fl  z k -z j  - / 6  7 0,  on6  = J ~ k  -  a 1-z~ .z k aixó és el mateix quedirque la successió és uniformernent separada . Passem ara a demostrar (a) iCC)  ()r) . Grácies al Teorema de Tietze, només ens cal veure que C(S)=AI S i per (1 .2 .) n'hi ha proude veure queper a tota ra eA 1 , 0, és  / " S  ~  k < 1 . 2 0 Sigui X = S uT - iconsiderarem l'álgebra del disc, A, com  una álgebrauniformesobre X . Siguin X n = T u{  z 1 , . . .z i  ~ n la funci6 carácterística  de X n  . Per cada  m e A i , siguin M n  1n " r . Aplicant el Teorema de la Convergéncia Monótonaobtenim que {/" n } - r vagament ; aix1 dones, només enscal veure que existeix k, 0 <k <l, tal que n e IN i per a tota r E M {X n )  ,  e A1  es compleixi  11 / ' SI 1  , k 11 / ffi 11 Peruna  JM e M  (X n ) /1 A l ,  tenim que  M = a 1 6 ! +  ., .  +  a n 6 n + r T  .  Veger : . qui  és  T .  Per  a  tota f E A,  a 2 ff dC Per cada j = 1,2 . . .n , sigui zj = r je le j , i sigui Pj = P r . J  (6 7  - t)  el nucli de Poisson corresponent a zj ; podrem escriure aleshores : f  d  _  P 2  dm  +  . . .  +  n  P n dm-,, Ty 6 1  (f) , 11  S i 1 6 1 + . . .  +  a n 6 n - ~ T 1  =  6 1 (f) . f e A  per tant -  2  P2 dm+ . . .+  -  n P n dm -~ T 1  a 1 és una mesura,suportada per T, que representa el carácter necessáriament és P 1 dm i per tant : / T  (~ l P1 dm + . . .+X n P n dm) = Q dm, amb Q e L  . Tenim doncs4= 1 1 6 1 + . . .+ X n  6 n + Q dm ; així S  1  1 +"'+  n  n ' jaque rm (K) = 0i rT és absolutament continua ;  per tant  1 1,Mi 1  =I a  11  + . . .+¡a  ni  +i i Ql  dm, =I 1,  1  + . . . + I a . n  i L  S11  =  1 a 1 1 + .. . + IX lI + . . . + la nI + IIQI dm Ens caldria veure que la darrera expressül'és mes petita que certa k, més petita que 1 . Suposarem el contrari ; aleshores existirá una successi6  (/" n), amb %n e A  ,f^ n 9¿ 0, / nT = Qn dm, que compliráj IQn1 dm -> 0 . Pu .^ . suposar també n que r n = a d  , + . . .+ ar(n)'5r(n)+ Qn dm,' amb a r(n) =1 (sino dividirem per 1'ultim a l diferent de zero) . A partir de la condici6 (C) podem trobar, per a cada n, una funci6 f r(n)de A, amb fr(n) (z r(n) ) = 1 ' f r(n) (z m ) = 0 si n YÉm i amb 11fr(n)II  :!5  a  ;  llavors j f r(n)  d % n=  0  implica /T fr(n) Qn = -1 i aixi : 1= ( /fr(n)Qn dm I 1a ¡I Q n I dm ->0 n -> que és absurd . Sigui ara, coro déiem abans, M una subálgebra de H °° que conté A, estable, tal que cadacarácter, que es projecta a U, está representat per una única mesura, sobre la frontera de Shilow r .  i talque aquestesmesures s6n absolutament continuesrespected'una d'ellas, diguem-ne dm o ; aleshores es compleix : Si {z n } és una successi6 de punts de U, que s'acumulen a un conjunt K, contingunt a r i m 0 (K) = 0, aleshores s6n equivalents : 2 2 (1 .3 .) Pr oposició (a) Existeix una successi6 (fn ) i una . constant a, tal que f n e M IIfn1I 6 a  i f n (zm) =6 nm ( b ) Si posem S =_K j { zn } n E IN  , M is = C (S) Demostraci6 .- És exactament la mateixa que hemfetper a 1'álgebra del disc . Déiemabans que erenexemplesd'aquestesálgebres qne consider em .  lesque eran estables, log .modulars i generades per productes de Blaschke, com les del tipus H E 6  H m /1 CB C 71 . Anem a veure-ho . Necesátarem en primer lloc el següent Lema : (1 .4 .) Lema Si R és un álgebragenerada per productes de Blaschke i X e Sp (R), s6n equivalents : a) IX (b)j = 1 per a tot producte de Blaschke b e R b) X e P (R)  , (Frontera de Shilow de R) c) X e Sp (C * (R) )  (C * (R) = C * -álgebra generada per R) . Demostraci6 .- Estáinclosaen els Teoremas 3 i 4 de 1'article de Douglas i Rudin C121 ,ja que en ellsesencialment només es necessita que 1'á1gebra estiguigenerada per productes de Blaschke . (1 .5 .) Proposici6 Si R és una álgebragenerada per productes de Blaschkeestable i cada carácter, que es projecta a U, está representat peruna única mesura, positiva,suportada per la fronterade Shilow I' de R , aleshores tata mesura, que representa 1'avaluaci6 en un punt de U, és absolutament continua, respect,e la que representa1'avaluaci6 a 1'origen,  dm 0  . Demos tració .- Per  (1 .4 .)  tenim C (r)  C C ()()= Le* . Sigui aun punt de U i escribim a = r  .  ejo  .  Sigui P r (e - t) el nucli de Poisson corresponent al punt a . El funcional f r-~ i ñ f n f  ( ' e' t )  Pr (9 - t)  d t és una mesurasobre n tal que Per funcions de H representa 1'avaluació al punt a,S a . Per restricció, ens donará una mesura sobre r,dm a que representará al caráctera a a R ; sabem també que aques ta és  Púnica que representar a . Diguemdm o a la mesura sobrer que obtenim pera = 0 . Tindrem llavors : dm a - 71 J~ (e''t) dm o  =  7T  7r f  (e lt )  dt J n P r ( Sigui P la projecció der a T . Considerem Pr (o - t) com a funci6sobre T i diguem P = P r (0 - t) o P, llavors P ae C(r) i també : 1 2 r és  a  dir,  dm,,  =  P,,,  dm 0 Si M és unasub .álgebra de H m , que conté A, generada per productes de Blaschke i log-modular, aleshores cada mesura, positiva, que representi 1'avaluació en un punt cK de U, és absolutamentcontinua respecta~á e la que representa 1'avaluacib a zero . Aquestresultats'aplicaen particular a j f P dm o = (1 .6 .) Corol .lari H E  i H °° /1 CB Pr (0 - t) d t = f dm 2 . El Problema de Douglas En el nostre treball, hem estudiatpropietatsd'algunessubálgebres de H~ que contenen A . Aquestes álgebres s6n encara bastant desconegudes (ja hem dit que, per exem ple, no estan caracteritzades les que tenen la propietat de la corona) . No passa el mateix per a les subálgebrea de Lque contenen Hm . Sabem actualment que totasubálgebra tancada, B, de L' que conté H m , está generada per H - i pelsinversos del producte de Blaschke invertibles a B . Aquesta questi6 havia estat plantejada per Douglas  l'any 1968 ; anem a fer-ne una micad'histbria . Al 1953, Wermerdemostró que 1'álgebra del disc, A, era maximal entre les subálgebras tancades de C(T) ; aixb diu, en particular, que donada f de C(T)\ A, totaaltra funci6continua es pot -aproximar per polinomis en f amb co .eficients aA . Anem a veure com el problema de Douglas és e en certa forma, unageneralitzaci6 d'aquest fet . Al 1960 Hoffman i Singer donen una altrademostraci6 del Teoremade Wermer, que aplicada a H- , ensdiuque tota subálgebra tancada B, de L que conté Hm , conté també a C (T) (que d'ara en endevant representarem per C) . Uns anys després, al 1967, Sarasondemostra que la mínimasubálgebra de L- , que conté H m i C, és H - + C ; observem qeeper a aquesta subálgebra, els únicsproductes de Blaschke inver- 26 tibles son els finits, per tant, per a B = fi°' + C la qüestió de Douglas té respostaafirmativa . Fou al 1968 quanDouglasplantejá el problema que porta el seu nom, motivat per 1'estudi dels operadors de Toepiliti .Si P és la projecció de L' ° (T) aH 2 , es defineix, per a QE L °° , 1'operador de ToeplitzTQ a H 2 per : TQ (f) = P (f .Q) , f E H 2 . Disposem doncsd'upa correspondéncia entra funcions de L ° ' i operadors de 11 2 . En aques ta situació, s'observa que T Q es invertible o de Fredholm segons la subálgebra de La,que pertanyQ ; era doncsinteresant estudiar áquestes subálgebres . Poc tempsdesprés de estar plantejat el problema de Douglas, Douglas i Rudin 1 121 el resolenafirmativament per a L o ; demostrant que tota funció de L' ° pot aproximar-se peruna expressió b . Q, on h es el conjugat d'un producte de Blaschke i Q una combinac ó lineal de productes de Blaschke . Cal notar,perd, que restavasenseresposta la qüestió,plantejadatemps abans, de si H °° era o no generada per productes de Blaschke . Successivament apareixen resultatsparcials ; Sarason resol afirmativament el problema de Douglas per a 1'álgebra generada per H °° i perles funcionscontinues a T -{1} amb limits laterals . Davie, Gamelini Garmett [97 el resolen, tambéafirmativament, per a les álgebras [Hm L-E ] , generades per H' i per 1'álgebra de les funcions de L" continues a un subconjunt E de T, L E i demostran també que [H 0 , L-E]= a S'haviaobservat que si el problema de Douglas tenia resposta afirmativa s'obtenia, en particular, que dues sublgebras de L o que contenen H m , amb el mateix espectro, eren iguals Al 1974, Sarason[231demostra que una subálgebra de Lm que conté H' , amb el mateix espectré que H m+ C, és H - +C . Aquest article és el que dóna el cami )ter a resoldre el problema definitivament ; vegem-ne una mica les idea generals . Per a una funció f e L 1 i per a un arc I de T es defineix : ~I f dm ,¡Ifll . = Sup  1  fI If-fIldm m (I) es diu aleshores que f és d'oscil .lació mitjanaacotada (f 6 B .M .O .)  silIfIl  ,  <+ -  . Sarasonintrodueixllavors 1'espai V .M .O . de les funcions, que en diu, d'oscil .lació .nul .la, qee consisteix en les funcions f e L1 que compleixen : lim Sup a --,0  m (I)  !1-  a Grácies als treballs de Fefferman i Stein sobra1'espai B .M .C ., Sarason consegueix demostrar que Q .C .= V .M .O .n L o (on Q .C . és el subespai de les funcions de H"+ C, que tenen la seva conjugada a Hm + C) . Per altra banda, Douglashavia observat queper a H O + Cla integral de Poisson era "asimptoticament multiplicativa", es a dir : lim  Ilfr g r - (f .g) r 1l =0  per f,g de H' +C r - " 1 la integral de Poisson és també asimptbticament multiplicativa per a B . A partird'aquest fet i de la caracteritzacid de 1'espai Q .C ., .es veuque tota funcib invertible aB és de Q .C i llavorsresulta inmediatament que B = H - + C . Un any despres de .l'article de Sarason, Chang C67 generalitza aquest treball, demostrant que duessubálgebras de L °° que contenenH" , amb el mate¡% espectre i _essent una d'ellas "de Douglas", sbn iguals_ En primer lloc demostra aquestresultat per 1'álgebra generada per H - i el conjugat  d'un producte de Blaschke [H - , b ] . Fixem-nos que Sarason ho havia demos trat per [H - ,  z] .  Si per [H - ,  z] _ H ° ' + C s'utilitzava el comportament asimptbtic de laintegral de Poissón, per [H - , b] s'utilitza el següent comportament asimptbtic : on  G 6 = {z e U :1 b(z)1  >/ 1-ó}  . Aquesta propietat,  aplicada a un producte de Blaschke, la demostrarem nosaltres més endevant junt amb d'altres caracteritzacions dels productes de Blaschkeinvertibles a [H , El . 28 Sarason demostra que si S p (B) I = S p (H - +C), llavors lim  Sup I f(z) g (z) - (f .g)  0  f.g eB 5 -+ 0  z  e  G 5 En aquestasituacib, la solució del problema de Douglas semblava propera i en efecte ., uns mesos més tard,Marshal [19) va donar el pas final . Concretament, en aquestarticle Marshall demostra que tota subálgebra B de Lf que contingui H °° , té el mateixespectre que 1'álgebra'B i , generada per H - ¡ pels conjugats dels productes de Blaschke invertibles a B . En un altre article, del mateix temps, Marshall (181 demostra que H' está generat pels productes de Blaschke, que com hem dit auedava pendent desde féia temes . aquest resultat, encara que les técniques,que s'utilitzeniber a la seva demostraci6, s6n molt diferents de les que s'apliquer :per al problema de Douglas, podriesm dir que el completa,ja que a partir d'aixó es pot afirmar que tota subálgehra de L °° , que conté Ii' , está generada pels productes de Blaschke, junt amb el inversos d'aquells productes .que siguin invertibles . Si B és una subálgebra de L - , que conté H- , direm CB a la C -álgebra generada pels productes de Blaschke invertibles a B . Sabem per la soluci6 del problema de Douglas que B = [H - ,  CB 1  .  Es  sabia  en algún cas que  [H' °  ,  C B ] =  Ii °° + CB (per exemple si B = H' +L E ) . Chang ho demostra en general i póc després Chang i Marshall X77 en donen una demostraci6 més senzilla, basada en un Teorema cla'ss ir-de Nevanlinna . En aquest mateix article, demostren que per a tota álgebra tancada D, H ° ' r1 C B - D c CB ,  té resposta afirmativa el problema de Douglas, és a dir, D está generada per H °° (1 CB junt amb el5 inversos dels productes de Blaschke invertibles a D . Aquest resultat, aplicat al cas B = L m , ens dóna la soluci6 del problema de Douglas i, per B = [H m , z] , conté el Teorema de Maximalitat de Wermer, del qual el resultat de Chang i Marsháll n'és per tant una generalitzaci6 . En aquestes condicions, de 2 .17 i de 2 .24 de C 8] es segueix que (z,b] té la propietat de la Corona . A més a més, obtenim també que M estáformat per fibras M a , sobre cadapunt a e U ;  si a e U 6 si ae T i b destén continuament a a  , A9 a está format per un sol carácter, que és 1'avaluaci6 en el punta, 6 a en cas contrari, M a s'identifica horneomorficament amb CT, fent correspondre a cadacarácter el seu valor a b . A partir de (1 .4) i ambles condicionaanteriors, obtenim que la fronterade Shilow de [z,b] , r, está forma da per fibras r a sobre cada  a ET, si b s'estén continuament a  a , ra = { a ?  ;  si b no s'estdn continuament, r i  s' identifica amb T, fent correspondre a cadacarácter el seu valor a b . 3 6 Lis preguntes que ens planteggeimi ara s6n ic3 ócgüciatS : Podria ser [z,b],per a ui cert producte de Blaschke b, igual m a H /1 C B , per a una subálgebra B de L , que contingui H Podria ser [z,b] igual a F¡ » n Cr per a una C -álgebra a^?Quins productes de Blaschke hi . ha a (z,b] ? En primer lloc,fixem-nosque de 5 .8 de (8] obtenim que, si b té un Gnic punt d'acumulaci6  de zeros,a e T, aleshores [ z,b] = [ z,b, z ,b ] 11 H m , es a dir, per a a' =[z,b,z,b], [z,b)= = H , /1 a - . veurem que no podem obtenir aquest resultat per a = CB ,  per a cap subálgebra B de L °° , que contingui H co . (4 .1 .) Proposici6 Sigui B una subálgebra tancada, H - c B <=L' i sigui C B , la C~ ál :gebra generada pelsproductesde Blaschke inver- tibles a B . Si be H'/1 C B és un producte de Blaschke ;aleshores tot divisorde b és també de H °° /1 C B Demostració .- Entenem per divisor de b  un producte de Blaschke b 1 , de manera que existeixi b 2 tal queb=b 1 .b2 . Ens cal veure b1 eC B .  Comque b e H'11 CB ,  llavors b és invertible .a B, és a dir, b e B i així 1=b .b = b1 (b2 .b) ; per tant b 1 és invertible a B,  és a dir, b 1 e H' /1 CB . (4 .2 .) Corol .lari Si b és un producte de Blaschke, amb un sol punt de discontinuitat a , aET ; aleshores (z,b 2 ] no potsermai m H  /~ CB ,  per  a  cap B  (  Hm G B  c L  ) . Demostracib .- Si [z,b 2 ] fos H'ñ CB per a una certaB,per (4 .1 .) b  e [ z,b 2 ] i llavors [ z,b 2 ] _ [z,b 2 .b 3 ] . Aixo contra diu 5.5 . de [ 8 ] , ja que allá es demostra que [ z,b 2 ,b3 ] no és mai H n ~, per a cap c, C - álgebra . Demostrarem ara una proposició que farem servir més endevant . (4 .3 .) Proposició Si {b1, . . .lbn, . . . }és un conjuntnumerable de productes de Blaschke i [z,b l ,.. .bn, . . .3 1'álgebra que generen, aleshores si [z,bi .. .lbn . . .]= Ir/) C B , necessáriament B = [H °°, b1 , . . .,bn, . . . ] . Demostració .- Si {b l ,. . . . b n . . . }¿_ - CB , aleshores {  b 1 , . . .,b n ...  } cB i  llavors [H' °  n ""j  c B .  Si 1'inclusió fora estricte, per la solució del Problema de Douglas, existiria un producte de Blaschke b tal que 3 7 b  6 B  \[H ~,b lr . . .,  b n , . . .]  ;  peró  llavors b e .C B  i per tant b e Iz,bl, . . .lbn, . . .~  C ( H ', bl . . .lbn," . ] , que és absurd . g (4 .4 .) Lema (4 .5 .) Teorema amb U ; amb aquesta identificaci6 resulta que, si b = a = b IM , b a = z  i  (z,b] a = {f IM : f E Cz,bD = A a (f representará sempre la transformada le Gel .fand de f) Volemarribar a veure que [z,b) no potsermai H/1C B ; per aix6 necessitarem el següentresultat . Si f,g, s6n dues funcions de 1'álgebra del disc A, amb z = f .g, aleshores una d'elles és invertible a A . Demostraci6 .- Si z = f .g, necessáriament una d'elle .s és zero a 1'origen . Suposem f (0) = 0, com que 1=f'g + f g', resulta que g (0) 9¿ 0 i així g (x) q¿ 0 bx C [7, per tant 1 E A , c,v,d . Si b és un producte de Blaschke finit, [z,b]= A = m = H~  14 r% (`  R = H  s (` \Icncm nnm  fnr~ . .  B . P°_ - -  . . . , . . ._ .,~ .. . , ., . . ., _ . ._d'aquest cas, [z,b] no és mai H' n C B . Si b és un producte de Blaschke, amb infinits zeros, [z,b] no pot ser mai H ~n C B , per a cap subálgebra B de Lque contingui H Demostracié .- Sigui MS p [z,b] , sigui a E T un punten qué s'acumulab  els zeros de b . Direm b a la transformada de Gelfand de b .Sabem que la fibra M a s'identifica Sigui {z n }  una successi6, de zeros de b, que s'acu muli en el punt a ; sigui b' el producte de Blaschke que té zeros {z zn } . Podrem escriureb = b' .b" , on b ' será un al tre producte de Blaschke, amb un conjunt de zeros que s'acu mulen també a a . Si fos cert que [z,b ; .= Hw r1CB, per a una corta B, n per (4 .1 .)  sabem que b'¡ b~ : e [z,b] .' Siguin ara ba = b ~"M  i a b #1 = ido ; )M  tindrem llavors que z = aa = b' b'' , és a dir, estem en les hipótesis de (4 .4 .) i a a per tant b' 6 b'' será invertible á A . Diguem, com soma a pro, '7= S p  (H - ) ;  b'  (7  )  =, 5 i per tant hi ha un carác a  _ ter de H ., X 0 , amb X 0 (b') = 0 . Restringint X 0 a [z,b] obtenim un carácter, de la fibra a, en el que b' s'anul .la, per tant b' no potser invertible . El mateix raonament s'aplica a b'' i per tant hem arribat a una contradicci6 . c .v .d . Sabem que si HW  B c L  , llavors z e B . També hem vist  a  (3 .4 .)  qué si H l\ C B D  c C B ,  llavors  z eD .Podem preguntar-nos qué passa per [z,b]  [z z,b,b) ; per exemple podem preguntar-nos si z el z,b,b] . La demostraci6,en els casos anteriors, depén delfet  que tant H com H  CB són log-modulars . Veuremnosaltres que, encara que [z,b]no és log-modular, si és cert que z e [z,b,bl . (4 .6 .) Proposici6 Si b és un producte de Blaschke, amb infinits zeros que s'acumulen en un subconjunt E de T, de mesura zero, ales hores[z,b] no és log-modular . Demostraci6 .- Demostrarem que hi ha caráctersde [z,b] representats per més duna mesura positiva, soportada per la frontera de Shilow  r de [ z,b ] .  Sigui  M = S p [ z,b ], sigui ob e E i sigui X 0e Mi O el carácter definit per X O (z) - a bi X O (b) - b (0) = A 0 Anem a trobar dues mesures que el representin . Sigui dm 0 la mesurasobrer,0, que s'identifica amb dm, a 1'identificar  Fa 0 amb T . Sigui a O = r . e le , sigui P~ 0 la funcib sobrera0, que s'identifica amb el nucli de Poisson Pr (e -t) . Definim les seguents mesures 1M ( f )  =  JT \ E  fIT \ E  dm  + / I'  1  ra 0  dm 0  f  e c(r) a0 2 r(f)  p xO f dm 0  f e  C(r) a 0 Com que E és per hipbtesi de mesura zero,la integral a T E es pot considerar com  una integral a T . Vegem quins - . valorsprenem 1 i 2 a z i b . representen a a O . c .v .d . (4 .7 .) Proposició b  [z,z,b ] . 40 1 r (z) = J T  z dm + fT a 0 dm = 0 + a0 = a0 1 p (b)  =  f T  b dm +f T  z dm =b  (0)  + 0 =a 0 2r (z)  = 1T  P a0  a0  dm =a0 '2P( b)  =  'T  pr  ( 9-  t)  e lt  dm  = Per tant tenim les dues mesures positivessobre r, que Sigui b un producte de Blaschke amb infinits zeros ;si [z,b] és estable,aleshores  z e [z,b,b ] ; en canvi Demostraci6 .- Vegem que 6 0 no'z'estén a ( z,b,b ] . Suposem el contrari,és a dir que  s'estén a [ z,b,b ] . Sabem que, a [ H ' , b ] , les e'Ñpresgions del tipus »m , f, amb fe H m , són denses . DefinimX ( bm , f) =60 (bm ) .6 (f), 0 . s'estén a un carácter de [H ' , b~ ja cue 1 X 16 0 (b  )  1'  .  1f  (0)  1=  1f(0)  1 !5-1 11f  11 =1 .1b m  .  f  11 Així doncs, igual que a (3 .4 .), resultaque[H ~,El= H' ; que és absurd . Per altra banda,apart de 60, z no pot anul.lar-se a cap carácter de [z,b,b 1 ; sin6 restringint-lo a [z,b ] resultaria que 1 z,b1 no és estable . Per tant, com que 6 0 na,s'estén, z no s'anul .la a . hespectre de 1 z,b,EJ , d'aci - qúe z és invertible a 1 z,b,b1 i aixi z e1z,b,b1 Observem que b 0 [z,z,b]  , perquésiné b seria inI vertible a [H ° ' , z] i aci només són invertiblesels productes de Blaschke finits . c .v .d . Anem a veure aracom són les funcions de [z,b] i comsón les funcions internes, en el cas de ser b un produc te de Blaschke, amb infinits zeros i que s'acumulen a un punt de T O a . (4 .8 .) Teorema Amb les hipótesis anteriors, es compleix : a) f e [ z,b] si i només si f = h o b + k, amb h, keA i k (a) = 0 b) Siamés f és interna, aleshores h és un producte de Blaschke finit . Demostraci6 .= a)  Sigui M = S P [z,b]  . En el nostre cas M = ( U -  {a} )  u M a i Y "ás homeomorf aD . Sigui fe [z,b] i f = f~M ; fa s'identifica amb una funci6 h e A . Con rije a  a els polinomis en z són densos a A, existirá una successi6 ( Pn (z) ) amb ( P n (z) ) - h(z) uniformement . Considerem la successi6 (P nd b), llavors (P n o b)  (z) --,,(h o b)  (z) uniformement i per tant h o b e [z,b] . Si considerem ara (h  ó  b) a  ,  resulta  que : ._ (h  o  b)a  n  fa ,  es  a  dir,  f  -  h  o  b és una funci6 de Iz,b] nul .l aaM . Com que b és continu a a T -{a) ,  f-h o b resulta ser contfnua a T i aüí f - h o b=k e A, amb k (a) = 0 . El recíproc és inmediat . b) Al ser f interna, sabem de [8]que f ( M ) aU, és a dir, si h és la funci6 de A amb qué a s'identifica fa ; h (Ú) =ü . Aix1 h és una funci6 interna de A i per tant un producte de Blaschke, amb un númerofinit de zeros . c .v .d . aixf . Hem vist a'(4 .5 .) com, al descomposar b en dos productes de Blaschke, amb infinits zeros, b = b' .b ''  , resultava que b',b '' 0 Cz,bl,  És ciar, per6, que els productes de Blaschke finits s6n a [z,bjitambé hi s6n els productes que resulten de treure-li a b un nombre finit de zeros, ¡a n eiz,b] és estable . Podria pensar-se que aquests són els Gnicsproductes de Blaschke de (z,b] Vegem que no és '(4 .9 .) - Proposici6 Si b és un producte de Blaschke, amb infinits zeros ; aleshores a [z,b]hi ha productes de Blaschke que prenen el valorzero en infinits punts, en els quals b és diferent de zero . Demostració .- Si h és un producte, amb un nombre finit de zeros, aleshoresh o b és una funció interna de [z,b] En particular, h o b és interna si h = X - z  I i a eU . Sabem de L161pag . 176, que existeix una successib a _ z ( an)  ¡>O, de manera que, si h = n _  , h n  1-An z  n ( a n) , e b és amb un producte de 3laschke . Tenim doncs, per a cada a n , un produc te de Blaschke, de 1z,bJ . , que té per zeros els infinits punts en qué b pren el valor )`n . Hem estudiatálgebrasgenerades per z i per un sol producte de Blaschke b . Anem a considerar ara álgebrasgeneradas per z i per dos productes de Blaschke . Siguin b l i b 2 dos productes de Blaschke amb zeros que s'acumulen a El i E 2 respectivament . Si E liE 2 són de mesurazero iEl n E 2 = j! , a .1'igual que en el cas d'un sol producte, 1'espectre de [z,bl,b21 está format per U \Elu E 2 ,  junt amb fibres M a per a ae E l u E 2 ,  amb M a homeomorfa a U . En aquest cas es compleix també la Propietat de la Corona . En el casen aué E l n E 2 y£  0, no sabem ja quinés 1'espectre de [z,bl,b21 , ni sabemtampoc si es compleix b no la Propietat de la Corona . Considerem E l =E 2 = {a}  i definim : C ( a,b l )  _ { a e T  3 (z n )  successib de U (z n ) -- .a ,~ b l (z n ) (z n ) amb C  ( a, a 1 , b 2 )  ={a e Q  1  3 (z n )  successibde U amb -,  a  b l (z n ) -> a 1  b 2 (z n ) . )~} aixíes determina l'espectre de [z,bl] i es demostra la Propietat de la Corona . Per a l'álgebra tz,b1,b2 1 , la Propietat de la Corona és equivalent a veure que b2 (meta 1) _ = C ( a,a 1, b 2 ) ; pero tampocno hem pogut demostrar aques ta condici6 . Dawson C8] demostra que  b 1 (M a )  = C (a,b 1 )  = II Hem vist a  (4 .5 .)  que [z,b] no és mai Hn C B i per tant, tampoc és mai H w E' En el proper capitol, demostrarem que H E  no pot estar generat per un conjunt numerable de productes de Blaschke . El . cami que seguirem no seráestudiar les álgebras [z,bl, . . .bn, . . . .] directament, sin6 que estudiarem . les álgebras H O' +LE  i la seva relaci6 amb HE . M a ={  X  e S p [z,b l ] 1 X (z) = a } Maal = {X e S p fz,bl,b21 1  X (z)  = a , X(b 1 ) = al }, 5 . Relaci6entre B i H °° r1 C B En aquest capítol, ens proposemd'estudiar la relaci6 que hi ha entrel'espectred'unasubálgebra B de L" , que conté H' i 1'espectrede HW /'\ C B (on CB és, com sempre,  la C - álgebragenerada pels productes de Blaschkeinvertibles a B) . Tractarem també  altres qüestions, com ara és la caracteritzaci6 dels productes de Blaschke, invertibles en 1'álgebra [H - , b] ( on b és el conjugat d'un producte de Blaschke b)  i també, la no separabilitat de H E, per un sub conjuntE de T . De Chang [6] es dedueix que un producte de Blaschke b l és invertible a 1'álgebra [H°°, b] si i només si es com= pléix : lim  Sup  I b l (z) . b l (z) - 1 = 0 on b -~ 0  z e G s G s =G s (b) _ { z e U : I b(z)i >, 1 - 6} aix~ ; és equivalent a que b E >0,  d  0, de manera que G S (b)  C  G e (b l )  . Anem a donar ara una demostraci6 directa d'aquest fet, junt amb d'altres caracteritzacions . (5 .1 .) Teorema Si b, b l , s6ndos productes de Blaschke, aleshores s6n equivalents : Sigui ara f e L - , una funci6 qualsevol, amb una g e B . Sabem que f es pot apro de productes de Blaschke i d'inver són de B, pel que f és adhef IT-E = g 1 T-E per a ximar per combinacions sos d'aquestes [121 ; aquestes combinacions que acabem de demostrar ; aleshores, resulta rent a B ; per tant de B c .v .d . Ens podem també preguntar una qüesti6 semblant en qué Z a= 17a per a tot  a  d' un obertde T,  E . f e B ambuna funci6 g e H + C que  (S p  (H m  +  C  )  ) a  =  a es compleixaquestapropietat . per el cas Ha de coincidirtota funci6 sobre E (Tinguem present Vegem amb un exemple que no 5 2 (5 .9 .)  Exemp e Sigui b un producte de Blaschke, amb zeros (z n ) i (z n )  n . e T  . b e H' +  T -{a} ; si b)T_{a) = g-IT-{a} amb g e H- + C , llavors b = g, quasi per a tot, es a dir b e H -+ C . Aix6és absurd, ja que aci només són els productes de Blaschke finits . invertibles Donada B,  H m c B c L °° ,  diguem 17 B= S p (H - n C B ) i com sempre Z = S p (B) ; el resultat al que volem arribar és que Za =7a si i nomes si '7 B = {óoa}  (on 6 a significa a  B 1'avaluaci6 al punt a  )  i  Z= X c,  i nomes si '17  _ a a  aa Per aix6 necessitarem conbixer quina relaci6 hi ha entre una fibra i les del seu voltant . Donat a o = e ¡e 0 e T, siguin E+ = {c, =e le e T  le o < O < e o + n } i E  =  {a  =  e le  e  T  I go  -  n G6  < A o }  r "7 E + = {X e '7 1  X (z) e E+ }  , análogament 7E-  , ó ={ X e  a0  X adherent a (5 .10 .) Proposici6 de que m(e» > 0 ) . Llavors tenim : si  X 0  e  X~ 0  ;  o  bé  X O (  ~ E +  )  =  1  o  bé análogament Sabem de(16}pag .166, que tant  + com 1 7 s6n di 0  0 ferents del buit . Vegem qué és el que es potdir per a X=Sp(L~) Sigui Y E + ={ X e /(I X(z) eE+ } i análogament XE -  ,  sigui  1( 0 + _{ X e  ,Ya 0 (  X  adherent a  X E +  i aná_ logament  ~(  ; aleshores es verifica : "0 Amb les notacions anteriors es compleix : (0 = ^ d0 U X"0 , i tots dos subconjunts s6n diferents del buit . Demostraci6 .- Siguin ~ E+ i ~Eles funcions característiques de E+ i E respectivament, es compleix ¢ E+ + ~E- = 1 i ~ E+ . ~ E- = 0 . D'aci es dedueix X O (¢ E )= 1 . Suposarem el primer cas i vegem que llavors X O e É+ (análogament si X 0 (0 E +)=1) . Fem la demostraci6 per reducci6 a . -i'absurd . Si X 0 0 X E + , existirá un entorn que no contindrá cap carácter de X E + . Podem considerar aquestentorn del tipus {XI  X(~ 6r)-1 1 ,  amb ~ e , funci6 característica de el c T ; g mesurable .A_més, com . que X0(~E+)=1, X0(~E +n8 .)=1 i per tant subs tituint 6' per e' n E + puc suposar g c E+ ,  per altre banda m (e) > 0,sin6  ~ e . = 0 ;  així existeix  S e e', de manera que t/ er S entorn de S, m(9' S ) > 0 (si no fos així, e' es podria recQbrir per un conjunt numerable d'entorns de mesura nul .la, en contra per tant existeix  Xe x S amb  X(~ e )=1, en contra del que suposavem . Per veure que ~( + i X(  no son buits es pot repea 0 a0  _ tir la demostraci6 de (16] per a 7 +  i ~  c .v .d . a 0a0 (5 .11 .) Proposici6 1(10 i? ya o  . Demostraci6 .- Les inclusions s6n evidents ; vegem ques6n estrictes . m((1 ~~ e .(z) -11 z e)11e' S ) > o , de' s iVE ; Amb les notacions anteriors 7a  ~y ao  i 0 Sigui (a n ) una succeci6 de punts de E + (análogament es faria per E  ) convergent a ao . Sigui b un producte de Blaschke, de manera que els seus zeross'acumulin al conjunt {  a1 ,  a 2 ,. . .  a n, . . . )  ;  aleshores  Y n  existeix  Xn e % n am b X n (u, - v . EJ . Cvüjü üt { X . üc II v} e8 un compacte te n de 1'espectre '7 de H °° . Sin  és la projecci6 de na u , ü ({ Xn : ne IN} )  és un compacte de T que conté { a l , a2 , . . ., a , . . .} i per tant a a o . Aixi doncs, existeix n X o e'/a _o  adherent a { Xn  : n e QI } i per tant X o (b) = o ; aleshores  Xo  o Xa o 5 4 (5 .12 .) Corol .lari Sigui B una subálgebra de L ' , que conté H-  i sigui Z el seu espectre . Si per a un punt n de T, Z  , alesa -xa hores H-+ L E  B, on E = T -{a} Demostraci6 .- vegem primer que B conté els generadorsde H - + L E . Sigui b el conjugatd'unproducte de Blaschke b, continua E ; aleshores si Xe Z \ Z , com que b és a continu a X(z) , X (b) = 1 . Si X e Z , com que Z  = a  aa resultatambé  I X(b) I  = 1 ;  aixídoncs H - + L E  c :B . Vegem que la inclusi6 és estricta . Comque (S p (H' + L E)  ) 0  pera  elspuntsde7 a adherents a  'E  serán de Sp(H W + L E)  ,  es a dir / ~a l/  a  G  S p ( H m+ L E ) a  i per tant Z a-Xa  S p (H ~+ L E ) tt c .v .d . Anem ja a veure les relacions, que havi em enunciat entre1'espectre de B i el de H ' !1 CB . (5 .13 .) Teorema a Sigui B una subálgebra de L 'que conté H , sigui Z = Sp (B)  i 7B = S p ( H mn CB ) ; aleshoreses compleix : a)  Per a un punt  ade T,  Za  = f a  si i només si °'7B = { b a } (on  6 a significa 1'avaluaci6 a punt a ) b) Si per a un punt a 0 és 70 o =)(a o, aleshores hi ha un entorn e' de a0, de manera que per a tot a de Cl sigui Z a  - x a c)  Per a un punt  a  de T,  Za =xa si i només si Demostraci6 .- a)  Suposem primer quen7 B = (6 a }  , a aleshores tota funci6 de H ' n C? . .-eestén continuament a a En particular, tot producte de Blaschke b, invertible a B, : :estén continuament a a . Aixidoncs per a tot X e Z tenim a que 1X (b) = 1, és a dir, Z a - a Reciprocament : suposem que Z a = % . En aquest cas tindrem que, per a tot producte de Blaschke b, invertible a B, es compleix que lb (X) I= 1 ; per a tot X e  = Z a a Aleshores necessa'riament bsestén continuament aa ,ja Ru esin6 podriemtrobarun carácterX O e '7a = Z a  amb I X O (b) 1 = .O . Tenimdoncs que '»7B = {áa} a b) Farem la demostraci6 per reducci6 a .l'absurd . Suposarem que no hi ha cap entorn e' de a 0 de manera que Z a = i`a per a tota e&) . Aleshores podremtrobar una successi6 (ii) , de punts de T  convergentaa O, de manera que Za n 9¿Xa n . Per a cada n,  sigui X n eZ an \  x a n 1 sigui bn un producte de Blaschke amb Xn (b n ) = 0 . Podremescriure bn= c n .d n amb cn un producte de Blaschke, amb un nombrefinit de zeros i d n un producte de Blaschke, amb zeros {z nj j j e ]N } cumplint E  (1 - I z n j)< ln  . Sigui ara b, el producte de,Blaschke 2 amb zeros { z n  I (n,j) e [N x [N } ; aleshorespodrem escriure j per a cada n, b =hn dn , amb hn també un producte de , Blaschke ComauF : 0  =  1 Xn (b n )  1  =  Xn (c n )  Xn (d n )  _  1 Xn (d n ) l  ; resulta que  I Xn (b)  1 =  1 Xn (  hn )  1 Xn (d n )  =  0 .  Tal  com varem fer a (5 .11.), podem trobar X OeZ a0 , amb X O adherent a  {X n In e [N } ,  llavors també X O (b)  = 0,  per tant X O  e  Z a 0 \ X a0  . c .v .d . c) Suposem primer que tirf = 7B  . Sigui  II :  a  B , aa  a la aplicaci6 que consisteixen restringir e .ls carácters de H- /1 C B a H °° . Censiderem els següents diagrames : CB c  j, L .  17~  na   ~ B a  a H  /\  CB e -, H"  x B a  ~X a  a 5 6 Tenim que : I[ és epijectiva, pel Teorema de la Corona a a H m /\ *C B , (7 ] ;  la ñ a  és també epijectiva, per ser C B una C  - álgebra i Z a =II -l ( X )  , j .a que són els carácters aa de ~% que s(5n de modul 1, per a tot producte de Blaschke de CB . Si suposem Xa  Za , existirá X~~ e 7  xa amb II a  (X'')  = X e;K a  .  Comque també  R a lJ(a és epijectiva, existira X' e X amb r a (X')  = X . Aixi doncs n a no potser a injectiva, és a dir ~f B ~ v% 'a a vegem ara el recíproc : Suposem que en un punt ao de T,  tenim x a  = Z  . Per  (b), podrem trobar un arc e', 0 a0 que contingui a 0 , de manera que ~(a = Z a , per a tota e .9 . Anem a veure que II a  és injectiva, o el que és el mateix, 0 queles funcions de H - /1 CB separen els caráctersde H - , de .l a fibra a0 , Donats dos caráctersXl i X2 de ' 1 '1a 0 sempre hi ha un producte de Blaschke b, que pren sobre ells a , valors diferents . Es tractedoncs  d 'aproximar, sobre la fibra a0 , els productes de Blaschke, per funcions de H- /1 CB Per (27] es pot trobar, donat un producte de Blaschke b, un productede Blaschke, amb lb - b l l< e  , en un entorn de  a que no talli  T \ e', amb b l continua T \ er . Aix : doncs, es pot aproximar b per un producte de Blas . chke b l , que será invertible aB  i per tant de H W i1  C B c .v .d . BIBLIOGRAFIA 1 . S .Axler . Factorization of L m functions, Annals of Mathematics, 106 (1977), 567-572 2 . L .Carleson . An Interpolation Problem for bounded analytic functions, Amer . J . Math ; 80 (1958),921-930 3 . L .Carleson . Interpolations by bounded analitic funtions and the Corona Problem, Ann .Math ; 76 (1962), 547-559 4 . L .Carleson . The CoronaTeorem,Proceedingsof the 15 th ScandinavianCongress, Oslo 1968 . LectureNotes in Mathematics, Vol .118, Springer-Verlag . 5 . J .Cufi . Restricciones de las álgebras H E, apareixerá a Collectanea Mathematica . 6 . S.Y . Chang . A characterization of Douglas Subalgebras, Acta Math . 137 (1976), 81-89 7 . S .Y . Chang and D .Marshall . Somealgebras of bounded analyticfunctions containing the disc algebra,Lecture Notes in Mathematics Vol .604 Springer-Verlag (1976) 8 . D .Dawson . Stable subalgebras of H OO , thesis,Indiana University (1975) 9 . A Davie . T Gamelin and J . Garnett, Distance estimatesand pointwise bounded density, Trans .Amer .Math . Sec . 17 5 (1973), 37-38 10 . J .Detraz . Algebres de functions analytiquesdans le disque, Ann . Scient . Ec .Norm .Sup . 4i  Seine t .3,(1970) 313-352 11 . R .Douglas . Banach Algebra Techniques in Operator Theory Academic Press, New-York and London (1972) 12 . R .Douglas and W .Rudin, Approximation by inner functions, PacificJ .Math . 31 (1969),313-320 13 . P .Duren . H P spaces . Academic Press, New-York, 1970 14 . J .Garnett . Interpolating sequences for boundad harmonic functions, Revista de la UniónMatematica Argentina, Vol .25 (197o) 15 .A .Heard and J .Wells, An interpolation problem for subalgebras of HO> . Pacific J .Math .Vol .28 (1969) 543-553 . 16 . K . Hoffman . Banach Spáces of An alyti c Fu nction s, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N .J . 1962 17 . I .Suciu . FunctionAlgebras , Editura Academics RepubliciiSocialisteRomania . 18 . D .Marshall . Blaschkeproducts generate H m , Bull, Amer . Math .Soc . 82 (1976), 494-496 19 . D .Marshall . Subalgebras of L m containing H~ , Acta Math . 137 (1976), 91-98 20 . D .J . Newman .Interpolatio n in Hm Trans . Amer .Math .SOC . Vol .9 2 (1959) 501-507 21 . W .Rudin .Boundaryvaluesof continuons analytic func tions, Proc . A .M .S . Vol .7 (1956) 22 . D .Sarason . Algebras of functionson the unitcircle, Bull . AmerMath . Soc . 79 (1973), 286-299 23 . D .Sarason . Functionsof vanishing meanoscillation, Trans . Amer . Math . Soc . 20 7 (1975), 391-405 24 . Shapiro and Shie1d s .0n some interpolation problems for analyticfunctions . Amer . Jour Math .Vo1 .3 (1961) 513-532 . 25 . D .Stegenga . Sums of invariant subspaces, Pacifics J . of Math . Vo1 .70 M .2, (1977) 26 . E .Stout . The Theory of - Uni formAlgebras , Bogden Quigley, Inc .Tarrytown-on Hudson N .Y . (1971) 27 . A .Stray . Approximation and interpolation PaciJ .MathVo1 .40 N°2 (1972) 463-473 . 28 . W .Zelazko . BanachAlgebras , Elsevier Yubiishing Company Amsterdam-London - New-York (1973) . Seccibde Matemátiques, Universitat Autdnoma de Barcelona . Bellaterra,Desembre del 1978 .