Sobre el movimiento de un conductor en un campo magnético

r 1 111 !I ' l OTROS TRABAJOS - (1 SOBRE EL MOVIMIENTO DE UN CONDUCTOR EN UN CAMPO MAGNETICO ARANDA i OLIVERAS, J. I.B. «Juan de Austria)) de Barcelona SUMMARY ii 1 il The classical example of a conductor that moves on metal rails linked at one end in the presence of a uniform 11 magnetic field is explained in many Physics books. An implied simplification, view can lead to misleading concluj! I sions, is generally made whenever the problem is studied from the point of wiew of the Lorentz force even j I in many famous Physics books. The conventional explanation is fully commented on in this article and the phenomenon is analysed from a dynamic and energetic point of wiew. l. INTRODUCCION '!S habitual en los libros de texto presentar el caso de n conductor rectilíneo que se mueve en un campo ~agnético uniforme y perpendicular al plano barrido tor el conductor en su movimiento a fin de ilustrar la lroducción de una f.e.m. inducida. El valor de ésta luede deducirse a partir de la fuerza de Lorentz y el rsultado, cuando el conductor se mueve sobre guías letálicas paralelas conectadas por un extremo, coinde con el obtenido al aplicar !a ley de Faraday al cir- ~ito determinado por el conductor y las guías. da la circunstancia que en muchos de los textos que algunos de ellos de reconocido (Feynman 1982),(Lorrain y Corson 1972), y Zemansky 1966). (Tip- (Catala 1977), se analiza el problema mesimplificación implícita relativa al movicarga (responsables de la esta simplificación se exinducida mediante consipuede conducir al lector a la l ta dinámico y energético. Creemos que puede ser de utilidad para los profesores de cursos universitarios de Física General y quizá también para los profesores de COU y BUP. l l ' ; 1 2. CRITICA DE LA EXPOSICI~N CONVEN- ' I CIONAL DEL PROBLEMA La fig. 1 muestra el ejemplo típico de un conductor moviéndose a velocidad V sobre dos guías metálicas horizontales y paralelas conectadas por un extremo. El sistema está sometido a un campo magnético uniforme - B perpendicular al plano determinado por las guías. Sobre cada una de las cargas del conductor aparece una fuerza magnética de Lorentz. Sea q un portador, esto es, una carga, supuesta positiva en nuestro razonamiento, que puede moverse con relativa facilidad dentro del conductor. La expresión que usualmente se da para la fuerza magnktica que actua sobre q es: conclusión de que la fuerza de Lorentz es la e suministra energía a las cargas lo cual es im~osiF = q VXE I e ya que dicha fuer& es siempr; perpendicular ai momiento de éstas. un análisis exacto del problema se encuentra texto de Halliday y Resnick (1974) crees que adolcce de poca claridad tanto por las figuras texto como por la introducción de cuyo origen queda oscuro. objetivo de esta articulo consiste en realizar una cna de la exposición usual del problema y presentar un I udio detallado del fenómeno desde el punto de viscaya dirección y sentido se muestran en la fig. 1. En algunos textos, además, de un modo más o menos explícito, se atribuye a dicha fuerza el trabajo necesario para llevar la carga del extremo inferior al superior del conductor (en la figura 1). Esto es, la fuerza de Lorentz aparece como causa del campo electromotor que determina la f.e.m. inducida. Se llega así al conocido resultado: E= Blv (2) ~ERANZA DE LAS CIENCIAS. 1984. pp. 43-48 l OTROS TRABAJOS OTROS TF I En realidad la expresión (1) sólo es correcta en el supuesto de que los portadores se muevan con la misma velocidad V que el conjunto del conductor. Y ello sólo es cierto aproximadamente pues los portadores se mueven respecto al conductor con cierta'velocidad ü (si no fuera así no existiría la corriente inducida). Por supuesto que, en los casos de aplicación prictica, ü<<T y ello hace de (1) una muy buena aproximación de la expresión exacta: Donde v.= V+ü es la velocidad de los portadores respecto al sistema de referencia del laboratorio. La dirección de la fuera de Lorentz según la expresión (3) se muestra en la fig. 2 y es, naturalmente, distinta de la representada en la fig. 1. j Se plantea ahora la siguiente cueskón: jes también (2), deducida de (1). una expresión aproximada?. La respuesta es: no; la expresión (2) es exacta. Ello se debe, como veremos con detalle más adelante, a que la fuerza dada por (1) es en realidad una de las componentes de la fuerza de Loreritz, exactamente dada por (3), y es esta componente la que realiza un trabajo positivo sobre los portadores pudiendo ser considerada, ella sí, como la causa del campo electromotor. Sin embargo cuando se tiene en cuenta el trabajo realizado por la otra componente de la fuerza magnética resulta, como debe ser, que el trabajo total de la fuerza de Lorentz sobre los portadores es nulo. Así, piies, si como es habitual, se mantiene implícita la aproximación contenida en (1) se conduce al alumno a la grave conclusión de que la fuerza de Lorentz realiza trabajo. Si, por el contrario, y como debería ser, se hace explícita dicha aproximación, puede llevarse al estudiante a creer que la expresión que da f.e.m. es aproximada 3. ANALISIS EXACTO Y DETALLADO DEL 1 FENOMENO Un análisis detallado del fenómeno que estudiamos exige distinguir entre la situación en que el conductor comienza a moverse y aquella otra en que ya se mueve a velocidad constante (estado estacionario). Por otra parte se gana en claridad si se comienza estudiando el movimiento de un conductor sin la presencia de las guías. I 3.1 Movimiento de un conductor en un campo magndtico La fig. 3 muestra un conductor al:que, en un instante dado, se comunica una velocidad V. El conductor se mueve perpendicularmente a un wpo magnético uniforme B. El movimiento tiene lug* sobre un placo horizontal sin rozamiento. No existen, pues, aquí las guías y no hay, por lo tanto ningún circuito. Supongamos que en la situación indicada en la fig. 3 1 - todas las cargas comienzan a moverse a la velocidad v. Sea q a la carga, supuesta positiva, de un portador. Sobre él actua una fuerza magnética: se anula con - rrspecto al COI fm = q VxB ra con velocic La carga q bajo la acción de T,, y si no existiera intedebe ser nula. raccibn con otras cargas, comenzaría a realizar un mosidad de cargi vimiento circular. Debido a ello aparecen dos campoparición se CO nentes V, y V en la velocidad de q . Por otra parte ceso que ha el mbdulo de Ya velocidad no puede cambiar por ser cibn dinhmic;: la fuerza de Lorentz perpendicular al movimiento. Así, ~b~~~~~~~~ qi pues, V < v. Esto significa que la velocidad de la carpendicular a ,; K ga q segun el sentido OX se hace inferior a la del con- ,, total sobre junto del conductor formado por cargas fijas. En con.. secuencia dicha carga es ((atrapada)) por la pared izquierda del conductor. De un modo mas preciso: apa.. rece una densidad de carga positiva en la pared opuesta. Dentro del conductor, pues, se crea un campo el& .A"il Piles, en ( trico que llamaremos campo eléctrico transversal Et eléctrico Perms (fig. 4) por otra parte, te (Halliday y Este campo eléctrico realiza gbre un portador q del conductor una fuerza ft = q Et la cual determina una El hecho de qL aceleración de modo que la componente Vx de dicha en ausencia de carga aumenta. Por supuesto (principio de acción y una fuerza exte reacci-) sobre las paredes del conductor aparece una tante su veloci fuerza ft que tiende a frenarlo. Ello implica, si se quiere mientras no se mantener la velocidadz constante, la acción de una fado actuando fuerza externa igual a ft sobre el conductor por cada según (4), portador que circula en su interior. La situación estacionaria se conseguiri cuando Vx = u. fuerza es Entonces cesará la acumulación de carga en las pare- , las cargas si des laterales y la densidad superficial de carga en ellas La , se mantendrh constante en el tiempo. La fig. 4 muestra las fuerzas que actuen esta situación sobre un portador cuya velocidad V tiene como componentes Vx EI trabajo reali = v y Vy E U. Observemos la dirección de la fuerza cionario se invi magnética fm. Debe cumplirse, bbviamente: energía electrosi fm sin a = ft = q B u (4) nética (acelerac La resultante de las fuerzas que actuan sobre la carga 3.~ Movimient, q es, pues, una fuerza dirigida en el sentido OY cuyo módulo es: Deseamos ahor cuando el cond fmcosa= qBv riamente, toma Esta fuerza acelera la carga según OY de modo que la ralelas unidas r componente u aumentana con el tiempo. A ello se op0corno hemos ne en primer lugar la interacción del portador con las ,Y~~~~~~ y p( cargas fxas del conductor (efecto Joule). Por otra parte ,uperior e inferi, el hecho de ser el conductor finito determina una acucon las cit mulación de carga positiva en su extremo superior Y producira una cc de negativa en el i-rior y, por tanto, un campo elécde portadores trico longitudinal E1 que tiende a frenar el movimienpe el equilibrio to de la carga q hacia el extremo superior del conductor. ;1, nuevo una co En la fig. 5 se representan todas las fuerzas que actuan [adores del conc sobre q . La fuerza debida al campo eléctrico longitufig. 5. En partici dinal es'fi = q El; puede considerarse como una fuerItra vez el campc za de rozamiento que da cuenta del efecto Joule. A me- :isa una fuerza c dida que va acumulindose_carga en los extremos del iel conductor. L conductor va aumentando El. Así, pues, llega un mo- )ara un portado mento (estado estacionario) en que la componente u 'stacionaria debc OTROS TRABA.K)S je anula con lo cual cesa el movimiento de las cargas ft = q B u = fm sin a nspecto al conductor. Todas las cargas se mueven ahorI + fj = = fm a ra con velocidad V por lo que, según (4) 12 fuerza debe ser nula. Ello indica que ha desaparecido la denDe todas las fuerzas que actuan sobre q solo realizan jidad de carga en las paredes del conductor. Su desatrabajo 6, fi. y F. La primera realiza un trabajo posiparición se comprende recorriendo a la inversa el protivo y las otras dos negativo. Esto es, la Única fuerza lcso que ha conducido a su creación. La nueva situaque comunica energía a la carga q es ft. Naturalmente :ion dinámica se representa en la fig. 6. es la fuerza externa ap!icada al conductor y no dibujada en la fig. 7 la que aporta desde el exterior dicha enerObavenlos que, ahora si. la fuerza magnética es pergía. De otro modo el conductor no rnantendna ru vefcndicular a la velocidad del conductor y que la fuerlocidad constante. La fuerza externa es igual a ft por rn total sobre los portadores del mismo es nula: el número de portadores que se mueven en el conductor. Desde el punto de vista de las componentes la fuerza eléctrico permanente en el conductor cuya existencia, de la fuerza magnetita: fm a . El trabapor otra parte, ha sido confirmada experimentalmenjo que esta mmponente rralira por de carga que tc (Halliday y Resnick 1974) iante su velocidad. Sin embargo, como hemos visto, Llegamos, pues, al mismo resultado que (2) deducido mientras no se ha llegado al estado estacionario ha esahora rigurosamente. Observemos, sin embargo, que lado actuando, por cada portador, una fuerza exterla fuerza magnética fm no realiza trabajo. En efecto na, según (4), igual a: es inmediato comprobar. teniendo en cuenta su sentido y la expresión (6), que el trabajo correspondiente a la componente fm sin a es igual y de signo opuesto Esta fuerza es la Única que puede comunicar energía de la componente fm tos a. La única fuente de enera las cargas si el conductor debe moverse a velocidad gía es en realidad, el trabajo de la fuerza externa cuyo constante. La potencia p correspondiente es: valor es, por unidad de carga que se mueve en el p= ftv= qBuv conductor: El trabajo realizado por < liasta llegar al estado estaft v ht / q :¡(viario se invierte en energiainterna (efecto Joule), donde At = vu es el tiempo durante el que actua ft :ncrgía electrostática (campo Ei) Y energía electromagsobre cada carga libre que recorre el circuito. Puede netica (aceleraci6n de las cargas) verse, teniendo en cuenta (6). que la expresión anterior coincide con la f.e.m. dada por (8) lo cual confir3.2 Movimiento de un conductor sobre guías suando el conductor anterior, moviéndose estacionariamente, toma contacto con dos guías metálicas pa4. CONCLUSION ralelas unidas por un extremo. Se ha mostrado cómo el uso implícito de una aproxiComo hemos visto existe eii el conductor un campo mación en el análisis del movimiento de los portadoSNSEÑANU DE LAS CIENCIAS OTROS TRABAJOS OTRO: tadores permitiendo que sigan al conductor en su movimiento de traslacibn. Este campo transversal se relaciona con el efecto Hall. Hemos probado que la f.e.m. inducida puede calcularse a partir de una componente de la fuerza de Lorentz y que el trabajo realizado por esta componente es igual al efectuado por la fuerza externa pero que el trabajo total correspondiente a las dos componentes de la fuerza magnética es cero. Creemos que, si bien es conveniente que los profesores conozcan el análisis detallado del fenómeno tal como aquí se ha presentado su carácter prolijo lo hace inadecuado para fines didicticos con alumnos principiantes. Por otra parte hemos puesto de manifiesto los inconvenientes de la exposición convencional. Por todo ello opinamos que, en los primeros cursos es aconsejable deducir la expresi6n de la f.e.m. inducida a par- ! ! 3 tir de la ley de Faraday y emplear la fuerza de Lorentz, a lo sumo, para justificar cualitativamente la aparicidn de corriente inducida. El estudio cuantitativo mediante la fuerza de Lorentz debería realizarse en cursos superiores o con alumnos avanzados. En este caso puede optarse, si se desea, por una exposición también correcta pero menos detallada que la de este artículo partiendo directamente de la situacibn estacionaria sobre las guías (fig. 7) y, prescindjendo de su naturaleza eléctrica, presentar la fuerza ft como una fuerza normal realizada por las paredes del conductor; éste es el método empleado por Halliday y Resnick en el texto citado en la Introducción AGRADECIMIENTO Agradezco al Dr. F. Senent, de la Universidad de Valencia, su interés y sus múltiples sugerencias y observaciones. HALLIDAY, D., RESNICK, R.. 1974, Física (CECSA: México). ALONSO, M., FINN, E.J., 1970, F$sa (Fondo Educativo LORRAIN, P., CORSON. D.R., 1972, Campos y Ondas Interamericano: E.E.U.U., Vol. 11). Elecfromagndticos (Selecciones Científicas, Madrid). CATALÁ, J., 1977, Física General (7a edición: Valencia) TIPLER, P.A., 1977, F/sica (Reverte, Barcelona, Vol. 11) ~ FEYNMAN. R.P., 1972, Física, (Fopdo Educativo InteraSEARS. F.W.. ZEMANSKY. M.W.. 1966. Fkica (~guilar 1 mericano: E.E.U.U., Vol 11) , - Madrid). 46 ENSEAANZA DE LAS CIENENSERANZA OTROS TRABAJOS Figura 1 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS < . X Figura 3 Figura 6