Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos

GIEDRIUS ALKAUSKAS Universiteit van Vilnius ORCID id: orcid.org/0000-0002-5747-363X Onderzoeksrichtingen: modulaire vormen, functionele vergelijkingen, projectieve stromingen; natuurwetenschappelijke aspecten van de musicologie; taal en vorm van poëzie. DOI: doi.org/10.35321/all86-10 WISKUNDE, TAAL, POËZIE: WISSELWERKINGEN EN AANTREKKINGEN Mathematics, Language, Poetry: Interactions and Attractions SAMENVATTING In dit artikel worden structuren onderzocht die zich op het snijpunt van twee kennisdomeinen (wiskunde, taal, poëzie) bevinden en die niet-triviale conclusies voor het derde domein impliceren. Zo wordt bijvoorbeeld onderzocht hoe een Litouwse tekst die volgens strikte wiskundige en grammaticale regels is geschreven, creatief kan worden geïnterpreteerd. Vervolgens wordt, uitgaande van de wiskunde, de kern van de terzinevorm onthuld; tegelijkertijd maakt deze poëtische uitvinding van Dante het mogelijk een theoretisch (en in enkele gevallen praktisch) probleem te formuleren. In het artikel worden ook de voorwaarden besproken die bepalen wanneer interacties tussen meerdere disciplines vruchtbaar zijn (of kunnen zijn). KERNWOORDEN: versificatie, vaste vormen, terzinen, kwintinen, Baranauskas, Dante, vijfregelig gedicht, bidisciplinariteit, concrete poëzie, synoniem, metathese, mnemotechnisch hulpmiddel, de formule van Luhn, tropen. ANNOTATIE In dit artikel onderzoeken we structuren die zijn opgebouwd op het snijvlak van twee kennisdomeinen (wiskunde, taal, poëzie) en die niet-triviale gevolgen hebben voor het overblijvende domein. Zo verkennen we bijvoorbeeld de mogelijkheden om de Litouwse tekst, waarvan de vorm strikt wordt beperkt door wiskundige en grammaticale regels, creatief te interpreteren. Verder helpt de wiskunde ons de kern van terza rima van Dante bloot te leggen en stelt zij ons in staat een zuiver theoretisch (en in enkele gevallen praktisch) probleem over de generalisaties ervan te formuleren. We bespreken ook Straipsniai / Articles 227 GIEDRIUS ALKAUSKAS bespreken de aannames waaronder de interacties tussen verschillende domeinen van creativiteit (of kunnen) vruchtbaar zijn. TREFWOORDEN: Versificatie, formes fixes, terza rima, quinta rima, Baranauskas, Dante, pentastichon, bidisciplinair, concrete poëzie, synoniem, metathese, mnemotechnisch, algoritme van Luhn, trope. 1. INLEIDING Improvisatie in de poëzie is het belangrijkste, maar daarvoor moet er een inhoudelijk geheel zijn – degene die schrijft moet zowel natuurkunde als wiskunde beheersen. Sigitas Geda 1.1. Context. Dit artikel is het derde van een cyclus van vier teksten. Het eerste was gewijd aan de taal van de poëzie (2019), het tweede aan haar klank (2020). Het laatste deel zal de schrifttekens van de poëzie behandelen: de oorzaken van niet-normatieve spelling (historische, politieke, technische, persoonlijke en doelgerichte) en haar potentiële artistieke capaciteit; grafemen, syllabogrammen, logogrammen, hiërogliefen, pictogrammen en grafiek; petrogliefen, litometrie¹ en boustrofedon; de poëtische dimensies van schrifttekens (bijvoorbeeld van het West-Afrikaanse Adlam en N’ko, en van de taal van Henoch) en de mogelijkheid om dit naar het Litouws om te zetten / te extrapoleren. Inderdaad intrigeren vragen over een exolinguaal deficit / proficit in Litouwse verzen in graždanka², of over boeken van de Litouwse Tataren in het Roetheens met Arabische schrifttekens (bijvoorbeeld Ivano Luckevičiaus’ kitab),. En nog: dicteert de vorm van de steen een andere ruimtetijd voor de uit te houwen teksten?³ Verschilt Luis Carrolls Jabberwocky⁴ van een tekst die men niet heeft kunnen begrijpen, maar die in werkelijkheid betekenis heeft, hoewel die voor eeuwig verloren is gegaan? Rond zulke banen zullen de ideeën van het vierde deel draaien. Het doel van dit artikel is enkele constructies uit te zuiveren die gebaseerd zijn op de wisselwerking tussen twee gebieden (poëzie, taal en wiskunde) en die een niet-triviale ¹ Meting van steen (λῐ́θος μέτρον). Deze term is hier geschikter dan meting van de aarde (geometrie). ² De monografie van Giedrius Subačius (Subačius 2010) is gewijd aan een ander aspect van dit onderwerp. ³ In steen uitgehouwen poëzie verenigt zowel de kunst van de tijd als de tijdloze geometrie van de ruimte. Een gedicht, geschreven in een van de kwintijnvormen die verderop in deze tekst (2.2.) worden besproken, namelijk 13213 24324 31431 42142 (de standaardkwintijn modulo 4), uitgehouwen in een stenen stele in de vorm van een rechthoekig parallellepipedum met verhoudingen 1 × 1 × 2, verbergt zelfs de richting van de tijd. ⁴ Zie https://en.wikipedia.org/wiki/Jabberwocky. voor de niet-triviale linguïstische structuur van dit gedicht. Wonderbaarlijk! Niet verwonderlijk, want L. Carroll (Lewis Carroll, echte achternaam Charles L. Dodgson) was een beroepswiskundige. 228 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos de structuur van het derde gebied. Dit is gedaan naar analogie van het werk over muziek en wiskunde (Alkauskas 2018), waarin de grenzen van de gemeenschappelijke kennis niet vanuit de exacte wetenschappen worden onderzocht (zij die zo schrijven – en dat zijn er de meesten – maken zich zelden los van de schema’s van het natuurwetenschappelijke denken), maar vanuit de kunst. Uitvoerige voorbeelden worden, op één na (2.2.), niet gegeven. Deze tekst is dus slechts een broeikas van ideeën. Maar zelfs een niet-ontkiemende dennenappel bevat al het oerbeeld van het hele alk snio (jawel, alk snio!) in zich. 1.2. Tegenstrategie. En toch: kan de wisselwerking tussen verschillende creatieve krachten vruchtbaar zijn? Het onderwerp is niet-triviaal: hoewel hedendaagse wetenschappelijke documenten aan multi- en bidisciplinariteit een intrinsieke waarde toekennen, bedekt de doorsnede van enkele beide immers vaker de tekortkomingen van alle kertmen5 dan dat zij een nieuw portaal opent. Ten eerste: wat betekent de titel van de paragraaf zelf? Hoewel het slechts een spel is, weerspiegelt dit woord nauwkeurig de geest van het artikel en leidt het in tot het vruchtbare deel van het snijpunt van wiskunde–taal–poëzie. De structurele en mathematische linguïstiek zal in de tekst slechts kort worden aangestipt (de computationele iets uitvoeriger), maar benadrukt moet worden dat de aandacht van het rationele beginsel van het bewustzijn voor het irrationele in alle gevallen van wisselwerking tussen kunst en wetenschap aanzienlijk groter is geweest en nog steeds is dan omgekeerd. Twee karakteristieke citaten. Het eerste is van Zelig S. Harris: “De schuld van de mathematische linguïstiek aan de wiskunde bestaat echter hoofdzakelijk uit de houding en de manier van denken, eerder dan uit enig specifiek resultaat. Het is wellicht geen toeval dat de meeste promovendi op dit gebied uit de wiskunde of de logica komen en niet uit de linguïstiek” (Harris 1969: 191).6 Het tweede is van Oleg Grinbaum: «Главной причиной [малой интенсивности использования математических методов в литературоведении] мы считаем отсутствие в арсенале ученых-стиховедов, оперирующих понятием художественной целостности, такого формального аналитического аппарата, в котором целостность стиха могла бы быть представлена и описана на языке математики» (Гринбаум 2002: 12).7 ⁵ In het verlengde van de ideeën van Antanas Baranauskas over mathematische terminologie, en nog meer van Jonas Jablonskis (die in plaats van het ingeburgerde veelterm het woord daugmuo voorstelde): hoe noemt men in de unie van meerdere verzamelingen elk deel – een jungmuo? En in de doorsnede van meerdere verzamelingen – een kertmuo? Hier lijkt het op de samenvloeiing van twee rivieren, waarbij elk ervan kan worden aangeduid als sutekmenis (sutekmuo). Sutekmė (‘samenvloeiing’), tekmė, įsrutis (‘instroom, monding’) zijn niet geschikt. ⁶ „Er moet worden gezegd dat de mathematische linguïstiek waarschijnlijk de houding en de manier van denken aan de wiskunde heeft ontleend, maar niet een concreet resultaat. Daarom is het niet verwonderlijk dat de meerderheid van de masterstudenten op dit gebied niet een bacheloropleiding in de linguïstiek, maar in de wiskunde en de logica heeft voltooid.“ ⁷ „Naar onze mening is de belangrijkste reden waarom mathematische methoden in de literatuurwetenschap maar weinig worden gebruikt, dat de wetenschappers die de versleer bestuderen en het begrip artistieke integriteit hanteren Straipsniai / Articles 229 GIEDRIUS ALKAUSKAS Daarom zijn die zeldzame gevallen waarin de polen verwisselen, waarin het relatief irrationelere beginsel het rationelere inspireert, bijzonder waardevol. Wat is dan dat spel met de titel? Drie Litouwse woorden antskrydis, bergždžias, kontržvalgyba hebben elk een cluster van vijf medeklinkers. Het woord kontrstrategija (‘handelingen bedoeld om het effect van de strategie van de tegenstander teniet te doen’) met een cluster van zes medeklinkers, dat in gespecialiseerde literatuur wordt gebruikt, bevat de kiem van een algoritmisch geprogrammeerd8 optimalisatieprobleem: alle morfologisch, fonetisch en praktisch mogelijke Litouwse woorden vinden met een maximaal mogelijke functiewaarde van de letterreeks waaruit het woord bestaat. Het woord wordt hier gelijkgesteld aan de letterreeks waaruit het bestaat. We duiden die aan met ℓ. Laat 𝔇 het volledige hypothetische Litouwse woordenboek zijn. Voorbeelden van zulke functies zijn: 1. F(ℓ) = 0 als het woord ten minste één klinker bevat die niet gelijk is aan a; anders het aantal a-klinkers. 2. G(ℓ) = 0 als er in het woord twee klinkers of twee medeklinkers naast elkaar staan; anders de lengte van het woord. 3. H(ℓ) is de lengte van het langste deelwoord dat uitsluitend uit klinkers bestaat. Laten we het laatste voorbeeld bekijken. De ongewoon fris klinkende straatnaam Paeismilgio in Kėdainiai (een beekje Smilgaitis, vroeger Eismilga) wijst op een mogelijk zoekgebied. Wanneer men zo in het woord nuokalnė de stam kalnas vervangt door het betekenisverwante uolą, krijgt men nu uolė. Dit woord is ook gebruikt in het zevende zangdeel van het gedicht „Šiauriniai reliktai“9. Het optimalisatieprobleem wordt als volgt geformuleerd: is het waar dat max H(ℓ) = 4? In dat geval is de verzameling van de gezochte woorden H⁻¹(4).10 Het is duidelijk dat de opgeschreven wiskundige (logische) formules slechts zinnen formaliseren die nog eenvoudiger in woorden kunnen worden uitgedrukt. Toch geloof ik diep dat alleen regelmatige heen-en-weerschuivingen tussen de metataal, formules, jargon als het ene uiterste en poëtische taal als het andere een basis bieden om over een werkelijk verband tussen wiskunde en poëzie te spreken. De voortdurende devaluatie van oude waarden en revaluatie van nieuwe. En de slinger blijft heen en weer zwaaien. 1.3. Baranauskas en de wiskunde. Hoewel het verheugend is dat Jonas Kubilius de wiskundige passages uit Baranauskas’ dagboeken en brieven heeft verzameld, moet zijn studie Antanas Baranauskas ir matematika (Kubilius 2001) wegens de schending van het slingerprincipe gereserveerd worden beoordeeld. Het boek is bedoeld voor wetenschappers die kennis willen maken met de belangrijkste begrippen, maar het formele analytische apparaat, dankzij hetwelk de samenhang van de versbouw in de taal van de wiskunde kan worden gepresenteerd en beschreven, niet beheersen.” ⁸ Een algoritme is datgene wat een eindige Turingmachine kan uitvoeren. ⁹ Zie voor meer over het gedicht Alkauskas 2022. ¹⁰ Voor een functie f: A → B en een element b ∈ B staat de notatie f⁻¹(b) voor de verzameling van oorspronkelijke beelden van b: alle elementen a ∈ A waarvoor f(a) = b. 230 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos met wiskundige begrippen: priemgetallen, de zeef van Eratosthenes, de asymptotische wet, machten, cryptografie, de constante π van Archimedes, de kwadratuur van de cirkel, oneindigheid, en dit doel bereikt zij. De lezer die Baranauskas wil leren kennen, zal echter teleurgesteld zijn, omdat een aanzienlijk deel van de tekst weinig met hem te maken heeft. En nog iets. Bijvoorbeeld, wat de auteur schrijft over de door de Dichter ontdekte formule, die Karl Hosfeld (Carl Hossfeld) in 1890 publiceerde in het bekende tijdschrift Zeitschrift für Mathematik und Physik: „[...] dat resultaat was voor de amateur Baranauskas belangrijk. In werkelijkheid is de waarde ervan niet groot“ (Kubilius 2001: 30). De slinger lijkt in één extreem te zijn blijven steken. En wat zal een scholier bij het lezen denken? Dat Baranauskas een mislukkeling is? Een ander voorbeeld: Kubilius bespreekt Baranauskas’ publicatie „O progresji transcendentalnej oraz o skali i sуłach umysłu ludzkiego“, die in 1897 in Warschau werd gepubliceerd. Daar construeert de suffragaan-bisschop van Samogitië voor iedere a₁ ∈ N recursief de rij aₛ₊₁ = aₛᵃˢ, die hij transcendent noemt. Als bijvoorbeeld a₁ = 2, dan is a₂ = 4, a₃ = 256, terwijl a₄ al 617 cijfers heeft. In de hedendaagse wiskunde zijn zulke getallen niet exotisch. In de theorie van Turingmachines bestaan functies die sneller groeien dan iedere functie die met symbolen kan worden beschreven, bijvoorbeeld een functie zoals f(n) = aₙ. Hieronder volgt Kubilius’ commentaar (aldaar, 84): „[In Baranauskas’ werk] worden de eigenschappen van [deze] progressie onderzocht en de reeds door ons geciteerde gedachten uit de brieven over oneindigheid uiteengezet. Het belangrijkste deel van het werk is echter gewijd aan vraagstukken van filosofie en theologie“ Juist die wezenlijke kwesties worden overgeslagen. Gelukkig worden ze door twee literatoren genoemd: Sigitas Geda: „[Baranauskas’] titanische aard blijkt ook uit een ander — utopisch — idee. Ik zei dat een werkelijk groot dichter utopische ideeën moet hebben. Het volume van de hel berekenen!“; Saulius Šaltenis: „door het te berekenen, lijkt het alsof je al het kwaad van de wereld in een wiskundige formule drijft, als in een val. Je laat Satan vastzitten als een afschuwelijke kever in een stuk barnsteen en voert Gods orde in!“ (Geda 1998: 155–156). Immers, de baan van de slinger vormt een continuüm van gelijkwaardige punten. Elk afzonderlijk daarvan is waarschijnlijk zeer niet-representatief11. Geda nogmaals citerend: „Er is geen wezenlijk verschil tussen hogere wiskunde en poëzie of muziek. Dit kosmische plan van Baranauskas getuigt ervan dat alles wat hij in „Anykščių šilelis“ deed, in andere vormen in zijn andere activiteit naar buiten kwam“ (aldaar, 156). 11 Dit is geen universele wet. In de functietheorie van een complexe variabele bijvoorbeeld bepaalt alle lokale informatie (informatie over de omgeving van één punt) over een analytische functie haar ook globaal. Straipsniai / Articles 231 GIEDRIUS ALKAUSKAS Zeer weinig – slechts een halve pagina – is in Kubilius’ boek gewijd aan Baranauskas als schepper van Litouwse wiskundige termen. Men zou toch graag meer willen: klemtonen, intonaties, commentaren van taalkundigen, fragmenten uit de correspondentie met Hugo Weber. Kubilius, die zelf het initiatief nam tot de samenstelling van het woordenboek van wiskundige termen (MTŽ), kan worden beschouwd als voortzetter van Baranauskas’ werk. Een mooie beschouwing over de geschiedenis van deze termen is geschreven door Vidmantas Pekarskas (Pekarskas 2003). 1.4. Poëzie en beeldende kunst. Volgens Benediktas Januševičius is „visuele poëzie – een verbaal tekst die door een voor de literatuur ongewone visuele ordening een nieuwe, aanvullende dimensie krijgt“ (RP 17). Maar het lijkt erop dat deze toevoeging slechts op enkele pagina’s van het boek Raidžių paveikslai wordt verleend. Sommige werken zijn slechts teksten, alleen niet gevormd als betekenisvolle strofoïden, maar in de vorm van een rat, een hoefijzer enzovoort (waarom?! wie weet immers niet hoe een molen eruitziet?). Andere zijn daarentegen slechts tekeningen van grafemen. Maar volgens de samensteller is „een poëzieboek geen krant of informatiepublicatie; het heeft het recht betekenisloos of onbegrepen te zijn“. Onbegrepen? Begrijpelijk! Maar betekenisloos? Als er geen betekenis is, is dan alles toegestaan? Als een vulgarisering van Fjodor Dostojevski’s gedachte. Maar ook niet helemaal gevulgariseerd, want er bestaat een verband tussen geloof, betekenis en poëzie, zoals blijkt uit het volgende citaat van Tomás Sterns Eliot: „Voor de ingewijde dichter verschilt allegorie in niets van een zuiver visueel beeld. En zuivere visuele beelden worden veel sterker wanneer zij betekenisvol zijn – we hoeven niet te weten wat die betekenis is, maar wanneer wij ons het beeld bewust worden, moeten wij weten dat het ook betekenis heeft“ (Eliotas 1927: 397). Januševičius’ formule „grafische poëzie – een gedicht dat doet alsof het een tekening is“ is echter treffend, omdat zij in het algemeen geschikt is als definitie van bidisciplinariteit: door de kwaliteit van het zuivere te benadrukken, nodigt zij uit het werkstuk op de proef te stellen (een stevige pot wordt alleen van goede klei gemaakt). „Theologie die zich voordoet als natuurkunde“ – dat geldt voor een deel van de artikelen in Česlovas Kavaliauskas’ werk Teologijos žodynas (Kavaliauskas 1992). Het personage van poëzie met een grafisch masker spelen is inderdaad het moeilijkst. Daar zijn twee redenen voor: een fysische en een fysiologische. Literatuur is de kunst van de niet-homogene tijd, terwijl grafiek de kunst van de homogene ruimte is. Ruimtevervorming is alleen mogelijk op zeer grote schaal of in illusionistische werken. Film en muziek passen in homogene tijd¹². Dat is natuurlijk betrekkelijk, maar de orthogonaliteit van grafiek en poëzie is evident. Tegelijkertijd is het uiterst moeilijk om het ene ¹² Het verschil tussen literatuur als kunst van de verleden tijd (hoewel van een zojuist verstreken tijd) en muziek als kunst van de tegenwoordige tijd, hoewel het vaak wordt genoemd, is niet volkomen overtuigend, vooral wanneer men het interval van kunstzinnige expressie-betekenis (d.w.z. syntaxis-semantiek) als een continuüm beschouwt. Maar Rimvydas Stankevičius’ (Stankevičius 2015) gedachte dat de door de dichter Antanas Kalinauskas bijzonder geliefde verleden frequens (toegepast op werkwoordelijke afleidingen met het suffix –inė­ti van werkwoorden, bijvoorbeeld pareidinėju, užsegdinėjo) een poging is om elke handeling te zien als iets wat nu gebeurt, wat mogelijk op een synthese van literatuur en muziek wijst, is buitengewoon interessant. 232 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos uit deze dimensies een andere te maken. Ten tweede zijn er in de neurowetenschap bekende reacties, ERP genoemd (event-related potential) (HNL). Uit hun onderzoek is gebleken hoe lang het duurt om een woord zintuiglijk waar te nemen en het woord aan de context aan te passen. Het moment waarop toegang tot semantische informatie plaatsvindt, is bekend. En dat alles – onderbewust. Zonder de betekenis te begrijpen, wordt dit op bewust niveau verder verfijnd. In het geval van de interactie tussen grafiek en poëzie is bewuste afstemming of een begrip van betekenisloosheid eenvoudigweg te vaak nodig. Een dergelijke activiteit overprikkelt de hersenen alleen maar. Ja, grafische poëzie is een breed begrip dat veel technieken en ideeën omvat. De abstracte (en wiskundige) gedichten van Donaldas Apanavičius in dit boek behoren tot de sterkste. Hier vinden we ook tijd, vergankelijkheid (RP 80–81), cryptotaal, kabbala (aldaar, 79), genesis ab ovo (aldaar, 78). Bijzonder indrukwekkend zijn drie OM-reconstructies (aldaar, 75–77), waarin taal, wiskunde, mandala, grens, foneem, symbool en geheim door elkaar lopen; het onderbewuste reageert er sterk op (afb. 1). AFB. 1. Triptiek van D. Apanavičius In het boek staat ook nominale wiskunde: Rimas Vėžys vermeldt Euklides’ vijfde postulaat (zie 4.1) (RP 23), en Vilma Fiokla Kiurė gebruikt matrices (aldaar, 51) (helaas is alles in deze compositie door elkaar geraakt; zelfs de logische fout13 doet eerder geen kwaad). Onder de goede ideeën verdient Mato Gimžausko speelse „Suahili dada“ (aldaar, 86) vermelding; daarin correleert „Tautiška giesmė“, geschreven alsof het met pseudo-Swahili-silabogrammen is opgetekend, sterk zowel met de thema’s van 4.2 (het inkaderen van herinnering) als met het genoemde vierde deel van deze artikelenreeks. Of S. Gedas „Vienatvės piešinys per Jonines“ (aldaar, 73), dat door critici blijkbaar nog niet uitvoerig is onderzocht14. Hieronder volgt een korte en uiterst subjectieve analyse van deze grafische tekst (afb. 2). De vermelding van Joninės biedt een betrouwbaar aanknopingspunt: de zonnekalender. Het aantal dobbelstenen aan de zijden van het vierkant varieert van 1 tot 7, zodat deze hoop de omtrek in 24 delen verdeelt. We hebben dus de maanfasen, waarbij het oneven getal, zoals het jaar 13 A=̅MATRIX EN 4R, TERWIJL HET 3R MOET ZIJN. 14 Hoewel het gedicht zelf meer dan eens terloops is genoemd (bijvoorbeeld Valentas 1997: 149), evenals in een interview met Gytis Norvila, waarin hij intuïtief de kosmos hier vermeldt (zie https://www.bernardinai.lt/2012-02-22-gytis-norvilas-eilerastis-prieglobscio-zona/). Straipsniai / Articles 233 GIEDRIUS ALKAUSKAS en het begin van de maand (kol jaunas, tol vienas) markeert nieuwe maan. De afgebeelde tekening is de ooit onder verschillende culturen populairste zon-maankalender. Dergelijke kalenders worden tot op heden gebruikt door de Chinezen, Hebreeën en Indiërs. Ook de oude Scandinaviërs gebruikten ze, want zie hier het 23e vers van de „Liederen van Vafþrúðnir“: Mundilfiori is de naam van de vader van de Maan, de Zon is zijn dochter. Het is hun bestemming dagelijks door de hemel te reizen – zo tellen wij de tijd (PE 101). Aan de Scandinavische mythologie (evenals aan de Sumerische, Indiase, Hebreeuwse en Griekse) en nog meer aan de kosmische verbeelding hechtte Geda bijzonder veel belang. Alleen al in de cyclus „Liederen van zeven zomers“ worden Odin, Thor en Loki genoemd. Verder wordt de orde van Jehova – de voltooiing van de schepping van de wereld, de zevende Dag van God, het evenwicht van de krachten – vertegenwoordigd door de lente- en herfstequinoxen, zeven dobbelstenen links en rechts. Daar is de structuur van de wereld het sterkst, de verandering het traagst. De gehele massa van de wereld is, ook visueel, geconcentreerd rond deze stationaire punten, terwijl de zonnewendes breuken, (om)keringen, omwentelingen en singulariteiten zijn. De bovenste eenheid (eenzaamheid, singularis) is Sint-Jansdag, de onderste Kerstmis. In Gods kalender is de eerste dag het ontstaan van de orde uit de chaos. De inversie van de chaos is de Volmaaktheid. Orde op de grens van het mogelijke, aan de afgrond (Gr. χάος). Orde die onvermijdelijk steeds meer op chaos gaat lijken15. En nog dit: voordat de jaartelling overal op de planeet was genormaliseerd, viel de winterzonnewende van het zuidelijk halfrond samen met de zomerzonnewende van het noordelijk halfrond. Maar waartoe die woorden – één grafisch gedicht van Geda vervangt alles. AFB. 2. S. Geda’s „Tekening van de eenzaamheid tijdens Sint-Jan“ 15 De makers van structuralistische, uiterst precieze mathematische muziek merkten onverwacht op dat dergelijke composities weinig verschillen van composities die volgens aleatorische principes zijn gemaakt. 234 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos 1.5. Notaties en conventies. In de wiskunde is een getal een element dat tot een bepaalde standaardstructuur behoort. Omdat er geen andere zullen worden gebruikt (met uitzondering van 4.1–4.3), verwijst getal hier naar een natuurlijk getal uit de verzameling ℕ = {1, 2, 3, 4,...}, of naar een geheel getal uit de verzameling ℤ = ℕ ∪ {0} ∪ −ℕ. De betekenis van structuur is exact, maar we zullen alleen het begrip groep nodig hebben, dat later wordt gedefinieerd. Als M, N ∈ ℕ, geeft de functie M mod N (gelezen als ‘M modulo N’) het enige gehele getal L aan, waarvoor 0 ≤ L ≤ N − 1, zodanig dat M − L deelbaar is door N zonder rest. Bijvoorbeeld: 20 mod 7 = 6. Wat de versbouw betreft, staat de hoofdletter voor mannelijk, de kleine letter voor vrouwelijk, de vetgedrukte kleine cursieve letter voor dactylisch rijm (waarbij de derde lettergreep van achteren beklemtoond is). De index van deze letter geeft het aantal voeten (van twee of drie lettergrepen) in de regel aan. Als alle regels van een strofe er evenveel hebben, schrijft men eenvoudigweg 4-jamb, 3-amfibrachys enzovoort. 2. STROFEN EN KETENS Moderne talen hebben de neiging het abstracte denken te differentiëren (de enige universele taal die vandaag nog over is, is de wiskunde), maar de universele eigenschappen van het Latijn zijn kenmerkend voor Dantes Florentijnse spraak. T. S. Eliot 2.1. Versbouw en taal. Een deel van de kunst-wetenschap van de versbouw bestaat uit de adaptatie van de wiskunde (in brede zin) aan een bepaalde taal, als we ritme, foniek, instrumentatie, vorm en rijm beschouwen als manifestaties van structuur, symmetrie, balans en analogie16. Hier volgen enkele voorbeelden. In de klassieke syncopische17 regel wisselen intervallen van 0, 1, 2 of 4 onbeklemtoonde lettergrepen elkaar af. Juozas Girdzijauskas onderzocht de structuur van laatstgenoemde en stelde de volgende feiten vast: „In de Litouwse poëzie zijn twee syncopische groepen naar voren gekomen met zes18 hoofdmeters en achttien meer gedetailleerde varianten. [...] In vrijwel alle syncopische varianten (op één na) overheerst een interval van twee onbeklemtoonde lettergrepen (van 51 procent tot 75 procent). [...] Dat is ook omdat de dominantie ervan 16 Zie Matulaitienė 1997 voor meer informatie over poëzieterminologie. 17 De term is ingevoerd door Kęstutis Nastopka. 18 In syncopieën van type V en VI zijn intervallen van 3 en 5 onbeklemtoonde lettergrepen toegestaan (Girdzijauskas 1978: 220–230). Straipsniai / Articles 235 GIEDRIUS ALKAUSKAS komt overeen met de normen van het standaardlitouws – hij overheerst ook in proza” (Girdžiauskas 1978: 225). Een tweede voorbeeld: een voor de Litouwse poëzie van de 20e eeuw uiterst kenmerkende vreemde vijflettergrepige jambodactylus19 versmaat. Met het oog op deze afhankelijkheid van de versbouw van de taal zullen hierna nieuwe vaste vormen20, pentastichons, en hun vlechtwijzen worden onderzocht. De voorgestelde constructie, hoewel grotendeels theoretisch, impliceert een niet-triviaal wiskundig probleem en enkele praktisch toepasbare, aantrekkelijke versbouwvormen. Het is niet verwonderlijk dat juist het werk van die dichters die zich grondig verdiepten in de culturen van verschillende tradities de grootste verscheidenheid aan syllabotonische versbouw vertoonde. Tot hen behoren Jonas Mačys-Kėkštas21, Edmundas Steponaitis22, Maironis, Vytautas Mačernis, S. Geda en Tomas Venclova. Daarom zullen twee octaven – van Kėkštas en Aleksandr Poesjkin – dienen als geschikte inleiding tot de belangrijkste uitgangspunten van dit hoofdstuk. De eerste bespot de nationalisten die zelfs in het oude Griekenland een vrijwel Litouwse dominantie ontwaarden („Homer’as esąs Omyras, Odisea – Adišius”), evenals de „Aušra”-prutsende rijmelaars (Mačys-Kėkštas 1910: 43). Alleen het gedicht van Kėkštas lijkt opmerkelijk veel op dat van Poesjkin: ...Eerlijk gezegd zal het voor mij moeilijk zijn deze schrijfwijze in octaven op te geven: Hier zet je de verzen in een rechte, gladde rij, Als soldaten, waar het passend en handig is; Je spitst je gedachten toe, de ene na de andere, Zonder veel orde of regels, En aan het einde, nadat je iemand een angel hebt ingeplant, Zeg je: vooralsnog genoeg van de strijd. Vier maal jamben heb ik nodig: Iedereen schrijft ermee. Voor jongens tot vermaak Is het tijd hem achter zich te laten. Ik wilde Al lang geleden aan het octaaf beginnen. En inderdaad: ik zou het aankunnen Met drievoudige welluidendheid. Ik zal vol goede moed beginnen! Want rijmen leven gemakkelijk met mij samen; Twee komen vanzelf, de derde brengen ze mee. J. Mačys-Kėkštas, „Išsiliuosavęs“ (1902) A. C. Пушкинъ «Домикъ въ Коломнѣ» (1830) Vorm zonder beeldspraak, woordenschat en het milašiaanse „zielenlandschap” betekent op zichzelf nog niets, maar in bijzondere gevallen dragen ook formele uitvindingen al een auteurslading. Dat gebeurde met de strofe van Onegin (4-jamben aBaB ccDD eFFe GG, die ook werd gebruikt door 19 De term is ingevoerd door Juozas Girdžiauskas. 20 Toespeling op de formes fixes van de Franse poëzie en muziek uit de 14e–15e eeuw: ballade, virelai, rondeaux. 21 Een van de eersten in Litouwen die, samen met Pranas Vaičaitis, volledig overstapte op syllabotonische versbouw (Girdžiauskas 2001). 22 Al in de eerste strofe van het debuutgedicht „Lietuvos aušra“ (Steponaitis 1988: 24) heeft de eerste strofe een niet-triviale vorm a₅b₆b₆c₅a₅c₄ (jamben; de derde strofe is vergelijkbaar, de tweede enigszins anders). 236 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Jurgis Baltrušaitis in het in het Litouws geschreven werk met 12 strofen „Dulkės ir žvaigždės23), Michail Lermontovs «Бородино» (jamb a₄a₄B₃c₄c₄c₄B₃) en het gedicht «Сашка» (5-jamb AbAbAbccDDee), Edgar Allan Poe’s “Raven” (trochee a₄a₄.B₈.c₄c₄.c₄B₄.B₈.B₄; drie regels hebben binnenrijmen en zijn daarom hier in tweeën gesplitst). Als het ware auteursinhoud zonder specifieke inhoud. Hierin ligt ook de overeenkomst met de wiskunde: deze leeft in een platonische werkelijkheid, terwijl alle praktische reïncarnaties slechts onvolmaakte modellen van het ideaal zijn. Op zoek naar zo’n formele voorpoëzie zullen hierna vijfregelige en zevenregelige strofen worden onderzocht. 2.2. Het vlechten van terzinen. Gemakshalve worden de rijmen in deze paragraaf niet met letters maar met cijfers aangeduid. Bijvoorbeeld: „het schema van een zevenregelige strofe is 3142342“. Als het metrum van twee strofen hetzelfde is, maar het rijm verschoven, worden ze strofen van identieke formule genoemd. Wanneer men de hierboven geschreven zevenregelige strofe viermaal herhaalt, maar cyclisch één, twee en respectievelijk drie rijmen verschuift, verkrijgt men de strofen 3142342 4253453 5364564 6475675. Rijm 4 komt hier respectievelijk twee, twee, twee en één keer voor. Terzinen (terza rima) zijn een vlechtwerk van terzetten 121 232 323 enzovoort. Dit schema werd voor het eerst gebruikt in Dantes „Goddelijke komedie“, geschreven in hendecasyllabische24 jamben. Ook omgekeerde terzinen zijn mogelijk, wellicht nog nooit gebruikt. Namelijk 212 323 434 enzovoort. Aangezien elk canto van Dante wordt afgesloten met één regel, de zogenoemde rime rilevate (in het 10e canto van de „Hel“ zouden dat de rijmen 45–46–45 46 zijn), verkrijgt men omgekeerde terzinen door elk canto van achteren naar voren te lezen. Meer over de subtiele architectuur van Dantes gedicht: zie Hart 1987. Het woord vlechten past hier intuïtief. Een haarlok wordt immers gewoonlijk in drie delen verdeeld, en de verdere vorming van een vlecht doet zowel symbolisch als topologisch denken aan het creëren van een terzine-canto. Bovendien vult Skirmantas Valentas (Valentas 1997: 19), in het verlengde van de onderzoeken van Rüdiger Schmitt, de gereconstrueerde oude Indo-Europese metafoor „weven, vlechten“ = „poëzie scheppen“ aan met feiten uit de Baltische talen, bijvoorbeeld het Litouwse pinti ‘op slinkse, ingewikkelde wijze spreken’, austi ‘met de tong malen’ (LKŽe). Als in Dantes geval de geschiktheid van de metafoor evident is, waarom deed poëzie dan ook in de oudheid aan weven denken? Valentas vermeldt de synonimiteit van zanger en dichter, maar werkt de alles verklarende gemeenschappelijkheid niet volledig uit. Namelijk muziek. De afwisselende zang van koren en het reciteren in antieke theaters doen op zichzelf al aan weven denken: de toonhoogten van de stemmen wisselen van plaats als scheringdraden, en de dynamiek (harder – zachter) schept een gevoel van veranderende afstand (dichterbij – verder weg). Ter onderbouwing van deze stelling kan men zich beroepen op het metrum van de Scandinavische poëzie, drotkveto (dróttkvætt), waarin „als enige van de skaldenmetra ineengevlochten zinnen kenmerkend zijn“ (Ruseckienė, vert. 2017: 17). Dit betekent dat, wanneer men bepaalde frasen in de strofe onderstreept, hun volgorde, evenals die van de overige frasen, betekenisvol wordt. Een dergelijke metrische constructie wordt verklaard 23 Overigens zijn alle rijmen van Baltrušaitis, behalve G, vrouwelijk. 24 11 lettergrepen. Straipsniai / Articles 237 GIEDRIUS ALKAUSKAS door de samengesmolten partijen van twee koren, die zich na verloop van tijd tot één vocale lijn reduceerden. Herinnerend aan de in 2.1 genoemde formes fixes, evenals aan de synonymie van zang en gedicht tot in de 19e eeuw, krijgt de hypothese van de muzikale oorsprong van vlechten als eufemisme voor poëzie grond. Tot besluit, een wiskundige ontleding van dit weefsel. In de topologie zijn de zogenoemde vlechtgroepen (Eng. braid groups; over groepen zie 3.1.) bijzonder belangrijk. Het grafische voorbeeld (fig. 3) verklaart al veel zonder woorden. In dit geval b₁ · b₂ = b₃ FIG. 3. Voorbeeld van het product van elementen van vlechtgroepen 2.2. Veralgemening van terzinen. De Danteske vorm bezit een cyclische symmetrie, die als volgt wiskundig kan worden beschreven. Wanneer men de vlecht tot −∞ en +∞ voortzet, verkrijgt men de rij .... −2, −1, −2, −1, 0, −1, 0, 1, 0, 1̄, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5,.... De vorm van de verzen wordt door deze rij en twee aanvullende parameters bepaald: de plaats waar de vlecht begint (aangegeven met een streepje), en de lengte van de strofe. In dit geval is dat het getal 3. En wat is een rij? Dat is elke functie f: ℤ → ℤ. De vlecht begint bij het lid f(1). Als we ons zouden voorstellen dat Dantes werk vanaf de tweede strofe wordt gelezen, zou dat overeenkomen met de rij f(n + 3). De vorm van het nieuwe gedicht zou identiek blijven aan de oude, alleen zouden de rijmen één plaats opschuiven. Dan is de genoemde cyclische symmetrie de gelijkheid f(n + 3) = f(n) + 1. Er zijn veel van zulke rijen. Bijvoorbeeld {…, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, …}, maar deze rij is niet gevlochten. Laten we een andere rij bekijken: {…, 1̄, 5, 1, 2, 6, 2, 3, 7, 3, 4, 8, 4, 5, 9, 5, …}. Deze heeft de vereiste periodiciteit, maar de afstand tussen identieke rijmen, omkaderd door een rechthoek, is te groot. Bij het systematisch zoeken naar de kern van de terzinenstructuur komt de volgende constructie naar voren. Definitie. Zij Q ∈ ℕ. De functie f: ℤ → ℤ noemen we een eenvoudige Q-tine als zij aan de volgende vier voorwaarden voldoet: 1. f(n + Q) = f(n) + 1, voor iedere n ∈ ℤ; 2. f(ℕ) = ℕ. Zij f⁻¹(1) = {p₁, p₂, …, pQ}²⁵. Voor alle r ∈ ℕ waarvoor beide indices bij p tot de verzameling {1, 2, …, Q} behoren, gelden de ongelijkheden 3. pᵣ₊₁ − pᵣ < Q; 4. pᵣ₊₂ − pᵣ > Q. ²⁵ Het feit dat de verzameling vooropbeelden van elk getal uit Q elementen bestaat, volgt uit voorwaarde 1. 238 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos De eenvoudige Q-tina die aan de aanvullende voorwaarde voldoet 5. De grootte pQ − p1 is de kleinst mogelijke onder alle eenvoudige Q-tina's; we noemen haar de minimale Q-tina. De eenvoudige Q-tina die aan de andere aanvullende voorwaarde voldoet 6. | f⁻¹(1) ∩ ℕ | ≥ 226, noemen we een genormaliseerde Q-tina. Als een Q-tina zowel minimaal als genormaliseerd is, noemen we haar standaard. Uit voorwaarde 4 volgt dat voor elke eenvoudige Q-tina f en elk natuurlijk getal ℓ de verzameling f⁻¹(1) ∩ [−ℓQ + 1, −ℓQ + Q]27 0, 1 of 2 elementen heeft. Laat T(f) het grootste getal ℓ zijn waarvoor deze verzameling precies één element heeft. De standaard Q-tina die aan de laatste aanvullende voorwaarde voldoet 7. De grootte T(f) is de grootst mogelijke onder alle standaard-Q-tina's; we noemen haar de canonieke Q-tina. Als deze voorwaarden vaag lijken, zal uit de voorbeelden blijken hoe ze in de taal van de versificatie worden vertaald. Voorwaarde 1 is al besproken. Voorwaarde 2 is nodig om te waarborgen dat in de eerste strofe alleen positieve rijmen voorkomen, evenals rijm 1. Voorwaarde 3 vereist dat elke twee opeenvolgende rijmen minder ver van elkaar verwijderd zijn dan de lengte van de strofe. Voorwaarde 4 zegt dat in elke reeks van Q regels (bijvoorbeeld in één strofe) elk rijm niet vaker dan tweemaal voorkomt. Wanneer Q = 5 is, voldoen maar liefst 25 verschillende eenvoudige kwintina's aan de eerste vier voorwaarden. We nemen er twee van: 32132 en 32312. Laten we nu drie strofen noteren die deze twee schema's vertegenwoordigen: In het linkervoorbeeld bedraagt de afstand tussen het eerste en het laatste rijm 3 twaalf regels, en in het rechtervoorbeeld dertien. Wanneer alle 25 gevallen worden nagegaan, blijkt dat 12 de kleinst mogelijke afstand is. Berekeningen tonen aan dat aan voorwaarde 5 wordt voldaan door vijf minimale kwintina's: 32132, 13213, 21321, 13243, 21324. Anderzijds voldoen negen genormaliseerde kwintina's aan voorwaarde 6: 31231, 23121, 31213, 13231, 13213, 21321, 12341, 12314, 12134. 26 Het symbool |𝒜| geeft het aantal elementen van de eindige verzameling 𝒜 aan, en ∩ de doorsnede van verzamelingen. 27 De vierkante haken [a, b] duiden het gesloten interval aan. Straipsniai / Articles 239 GIEDRIUS ALKAUSKAS Deze voorwaarde vereist dat rijm 1 in de eerste strofe (waar het alleen daarin voorkomt) door ten minste 2 regels wordt vertegenwoordigd; anders zou één regel in het gedicht zonder rijm blijven. De twee uitgeschreven verzamelingen van respectievelijk vijf en negen elementen hebben twee gemeenschappelijke leden. Dit zijn de standaardkwintijnen: 21321 en 13213. Voor de eerste daarvan is 𝒯(f) = 2, en voor de tweede 𝒯(f) = 1. De canonieke kwintijn is dus de enige: 21321. Op het niveau van de regelordening betekent voorwaarde 7 dat de regel die in de eerste strofe geen rijm heeft, overeenkomt met het grootst mogelijke rijm. Het is duidelijk dat 21321 (rijm 3 heeft geen paar) met betrekking tot het verloop van de tijd een natuurlijkere vorm is dan 13213 (rijm 2 heeft geen paar). Met behulp van wiskundige redeneringen wordt ook een algemener resultaat bewezen. Stelling. Voor elke oneven Q = 2q − 1≥ 3 bestaat er precies één canonieke Q-tijn (q − 1) (q − 2) … 1q (q − 1) (q − 2) … 1. Zoals vermeld, bestaan er 25 eenvoudige kwintijnen. Een computerprogramma telt door uitputtend zoeken dat er 96 sextijnen en maar liefst 427 septijnen zijn. Laat in het algemeen het aantal b(Q) het aantal eenvoudige Q-tijnen aangeven. Men verkrijgt de interessante rij 1, 2, 3, 8, 25, 96, 427, 2176, 12465, 79360, …. Welk patroon zit hierin? In zulke gevallen moet men dit controleren in een online databank van rijen. De ontdekte rij is daar al geregistreerd, zie OEIS A065619. Het is duidelijk dat zij op een geheel andere manier werd gedefinieerd en geen enkel verband met terminijnen heeft. Dit is overigens een van de belangrijkste principes van de combinatoriek: op twee manieren tellen. Dit maakt het verrassend vaak mogelijk de structuur van een object te doorzien. Ook de exponentiële genererende functie van de rij is bekend: ∑ᵠ∞₍Q=1₎ b(Q) · xᑫ / Q! = x(1 + sin x) / cos x (hierbij Q! = 1 · 2 · … · Q). Zulke gelijkheden verbazen vertegenwoordigers van de natuurwetenschappen al niet meer, omdat een overvloed aan wonderen afstompt. Jammer, hoewel natuurlijk. Andere vragen die hier rijzen zijn: hoeveel minimale, genormaliseerde, standaard-Q-tijnen zijn er? En wat verandert er als Q een even getal is? In dit geval is de situatie ingewikkelder. Zo impliceert een door poëzie geïnspireerde constructie een wiskundig probleem met een niet-triviale structuur. Laat dit maar aan de zuivere wiskunde over. In de context van poëzie is iets anders interessanter: geen enkele concrete taal (bijvoorbeeld het Litouws) speelt een rol in de definitie van canonieke Q-tijnen. Zodra men regels begint te maken, blijkt onmiddellijk dat kwintijn 21321 (die verderop in het artikel wordt uitgewerkt) op zichzelf nog te weinig interne structuur heeft. Voor een werkelijk formele auteur is het noodzakelijk zowel metrum als taal te bespreken. Dante legt het getal drie vast: 3 delen van het gedicht; 3 regels, 33 lettergrepen per strofe; 33 zangen in elk deel. De Drie-eenheid, de boom van de drie werelden, het ternaire, het trifunctionele Indo-Europese pantheon²⁸. Daarentegen is vijf de pythagoreïsche hugieia (ὑγίεια) ²⁸ De theorie van de taalkundige en godsdienstwetenschapper Georges Dumézil. 240 Acta Linguistica Lituanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos pentagram en het getal van Pythagoras²⁹ 5 = 2 + 3, dat eveneens gelijk is aan de schuine zijde van het kleinste pythagoreïsche drietal (3, 4, 5)³⁰. De wiskunde onthult dus niet alleen de structuur van de canonieke kwint, maar beïnvloedt deze ook via symbolen. 2.3. Pentastichons met drievoudig rijm. In Danteske terzinen rijmen van de drie regels ⌊3/2⌋=2. Om in een vijfregelig gedicht evenveel regels te laten rijmen, moet men ⌊5/2⌋=3 regels³¹ onderscheiden. Als de overige twee rijmen gelijk zijn, verkrijgt men combinatorisch tien varianten: 22111, 21211, 21121, 21112, 12211, 12121, 12112, 11221, 11212, 11122. Hieronder staan vier voorbeelden uit de Litouwse poëzie met verschillende schema’s, die aan de formule 12112³² beantwoorden. Wij breken ons moeizaam een weg uit de zware grotten; niet dagen, maar eeuwen vallen met zorgen op ons neer! Maar de wereld omringt ons tevergeefs met duisternis; snel zullen wij naar boven stijgen, naar andere hoogten – reeds schijnt een helderdere zon! Je zult het verdriet, naar het schijnt, uitzingen met een bedwelmend lied! Zoals een eenzame berk uitschoot – zoals de wind een golf verhief – zoals de geliefde langskwam –– Juozas Mačys–Kėkštas „Brood en speelgoed“ (1902) Amfibrachys a₄b₄a₄a₄b₃ Balys Sruoga „Langs de paden der goden“ XVI (1923) 4-choreïsche versvoet aBaaB Scheur het witte zeil van de mast, in de diepte zullen wij het roer laten zinken! Alleen door vurige harten bijeen te brengen, zullen wij vol hartstocht de boot over de stormachtige zee naar de kust sturen. Vincas Mykolaitis–Putinas „Lied van de visseres“ (1920) Jambodactylus a₄b₃a₄a₄b₃ Met scherpe zwaarden zegenden zij ons, met vuur genazen zij onze burchten, in de vijvers ontvouwden zich zwarte lelies, vreselijke dieren joegen brullend op ons, misschien een week, misschien meerdere eeuwen. Aivaras Veiknys „Toevlucht“ (2014) 3-anapest aBaaB Men zou nog kunnen toevoegen – en alle schema’s zijn verschillend! – de gedichten van A. Veiknys „Drie schilderijen over eenzaamheid“ (2021, 4-jambus AbAAb) en „Deuren“ (2014, 5-jambus aBaaB), en „Jij was er voor mij“ van Bernardas Brazdžionis (1944, 4-jambus ²⁹ De pythagoreïsche stemming van muziekinstrumenten is gebaseerd op het interval van de reine kwint, d.w.z. de verhouding van de frequenties van de basistonen ³⁄₂. Volgens de encyclopedie Encyclopedia Britannica is het getal 5 voor de pythagoreeërs eveneens de alomvattende vereniging van het vrouwelijke (2) en het mannelijke (3) beginsel. ³⁰ Een drietal natuurlijke getallen (a, b, c) wordt pythagoreïsch genoemd als a² + b² = c². Volgens de stelling van Pythagoras vormen lijnstukken met dergelijke lengtes een rechthoekige driehoek. ³¹ De haakjes ⌊x⌋ duiden het gehele deel van het reële getal x aan (Eng. floor function, vandaar de visuele gelijkenis van het teken met een vloer). ³² Het vijfregelige gedicht 12112 is ook het populairste in het Spaanse genre Quintilla uit de 15e–16e eeuw. Straipsniai / Articles 241 GIEDRIUS ALKAUSKAS aBaaB), Kornelijus Platelis’ „Mėnulio darželis“ (1984, 5-amfibrachis aBaaB), V. Mykolaitis-Putinas’ „Pesimizmo himnai“ V (1925, 4-amfibrachis aBaaB), Albinas Bernotas’ „Po ilgo tylėjimo“ (1978, 4-amfibrachis aBaaB), V. Mačernis’ „Žmogus“ (1943, jamb a₇B₇a₈a₅B₅) en „***“ (dactylus a₄B₄a₄a₄B₃; in het gedicht hebben drie regels dactylische anacrousen – telkens één onbeklemtoonde lettergreep aan het begin), en Juozas Erlickas’ „Baladė apie žmogų su šakėmis“ (1987, de eerste strofe – jamb A₄b₃A₄A₄b₃; in de andere strofen varieert het aantal voeten enigszins, terwijl het schema 12112 behouden blijft). In al deze strofen zijn er pauzes: catalectische regels (waarin één lettergreep ontbreekt), of regels waarvan de voet is ingekort. Wanneer men dit extrapoleert naar kwintetten, kan men stellen: de natuurlijke ademhaling van de tekst in zo’n vijfregelig gedicht vereist pauzes. Het alternatief van catalectische regels valt weg wegens de overmaat aan rijm: het is moeilijk zich een natuurlijke tekststroom voor te stellen wanneer elke rijmklank zowel door 3 mannelijke als door 2 vrouwelijke cadansen wordt gevolgd (of omgekeerd). Alleen het tweede alternatief blijft over. Er is inderdaad één uitzondering. Voor kwintetten is ook een zuivere hendecasyllabische jamb geschikt. Hier eindigt elke regel met een pauze die hem aanvult tot zes voeten. De ene pauze is klein, maar de anacrouse van de volgende regel, die als opmaat fungeert, lijkt de pauze tot twee lettergrepen uit te breiden. En inderdaad: het eerste ontdekte gedicht met rijmschema 12112 waarin zowel het aantal lettergrepen per regel als de typen cadansen samenvallen, is Aido Marčėno’s „Iš pakraščių į centrą“ (2000, 5-jamb abaab). In de context van dit hoofdstuk moet de eerste strofe eenvoudigweg worden geciteerd: Verwrongen Dante, bebloede tandvlees, een oude man waar gisteren een jongen was, een landschap uit fragmenten aaneengelijmd – hemel en aarde, vrouw en boot, licht – alsof hier de inferno begint (ŠLPCh 142). De jambische tetrameter past minder goed, want als de pauze zou worden meegerekend, zou elke regel uit vijf voeten bestaan en de strofe uit 25 voeten. De onevenheid van dit getal bepaalt de plotselinge wendingen in de tekststroom. Zo komen drie voor kwintetten geschikte vormen naar voren – de trochee, de dactylus en de jambus: Zoals vermeld, is voor het Litouws het interval van twee onbeklemtoonde lettergrepen het kenmerkendst. Juist daarom wordt het dactylische voorbeeld gebruikt in het artikel van de auteur 242 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos voor het beginlied „Pirmasis kovas be Ąsgardo“ van diens gedicht „Šiauriniai reliktai“. De eerste twee strofen: Klieft het zich verdiepende veld de ploegschaar van de Kraanvogels... Voor wie gezaaid heeft, wordt er Niets gegeven. Alleen het Eeuwige Wiel is gegeven. Schreeuwen verharden het Noorden, Verkruimelen de vorst, Onrust trilt aan het oppervlak, De Alopenbaarster opent Het blauwe Oog. 2.4. Septinen. Canonieke septinen zijn al minder praktisch. Want ten eerste zou elk rijm zeven keer worden herhaald, wat een ernstige eenklank dreigt te veroorzaken. Ten tweede zouden de rijmen zich cyclisch slechts na zeven regels verschuiven. Bij het onderzoeken van verschillende 7-cyclische reeksen zou het praktischer zijn om elke tweede strofe te nemen. Zo worden enkele bijzonder aantrekkelijke septinen gevonden. Bijvoorbeeld deze, die ook in het tweede gedicht van de tetralogie zal worden gebruikt (zie Alkauskas 2022): 1e strofe 3 1 4 2 3 4 2 2e strofe 5 3 6 4 5 6 4 3e strofe 7 5 8 6 7 8 6. De oneven rijmen worden driemaal herhaald met tussenruimten 3, 3, en de even rijmen viermaal met de overeenkomstige tussenruimten 2, 4, 2. 3. GROEPEN Wiskunde is, naast taal en muziek, een van de oorspronkelijke uitdrukkingen van de vrije creatieve kracht van de menselijke geest. Hermanas Veilis 3.1. Groepsstructuur en metathesen. Een binaire bewerking is een soort wonderlijke doos met openingen links, rechts en boven. Wanneer aan beide kanten een element wordt ingebracht, treedt de doos in werking en genereert zij iets wat al via de bovenkant kan worden uitgenomen. Wiskundig wordt dit geschreven als a □ b = c. Voor het gemak wordt de doos niet aangeduid met het symbool „□“, maar met het standaardteken „·“. Een groep (Γ, ·) is een verzameling met een binaire bewerking als het paar aan de volgende axioma’s voldoet: 1) Neutraal element (eenheidselement): er bestaat een e ∈ Γ zodanig dat a · e = e · a = a voor elke a ∈ Γ; 2) Inverse element: voor elke a bestaat er een b zodanig dat a · b = e; Straipsniai / Articles 243 GIEDRIUS ALKAUSKAS 3) Associativiteit: a · (b · c) = (a · b) · c. Op basis van deze axioma’s wordt bewezen dat het neutrale element uniek is, evenals het inverse element van elk element. Dit laatste wordt vervolgens aangeduid met a⁻¹. De binaire bewerking kan ook voldoen aan de gelijkheid a · b = b · a. Zo’n groep wordt commutatief genoemd. In de werkelijke wereld is dit atypisch: het is immers niet hetzelfde of men eerst een sok aantrekt of een schoen aantrekt. Evenmin is het hetzelfde wat eerder gebeurt: de bus die stopt of de sprong van een passagier eruit³³. In een groep zijn na de eenheid de eenvoudigste elementen die van de tweede orde (als ze bestaan), waarvoor a · a = e geldt. Zulke elementen worden spiegelingen of involuties genoemd. Het thema van de spiegelreflectie is in de taalkunde allerminst nieuw. Zo kan men zowel metathese (Litouws kepti // Slavisch nekмu) als de door Algirdas Patackas ontwikkelde transformatiewet (Patackas 2014: 85) interpreteren, die de semantische en symbolische verbanden tussen woorden beschrijft: plat-us // talp-us; gyl-is // lyg-is³⁴ enzovoort. Ondanks de terechte kritiek van taalkundigen zou men dit verschijnsel niet als volstrekt onwetenschappelijk moeten afwijzen (Saudargas 2014: 100). Des te minder omdat volgens Dainius Razauskas: „In één opzicht blijven de werken van A. Patackas en A. Žarskus actueel. Juist daarin dat men daarin een poging kan zien om het taalverschijnsel dat S. Valentas op het hoogste filologische niveau [in het boek Mė(lynojo)nulio lingvistika] onderzoekt, niet in de auteurspoëzie maar in de Litouwse taal zelf te ontdekken“ (Razauskas 2006: 59). Het thema van de spiegelreflectie kan worden voortgezet, maar volgens een geheel ander principe. Laten we dit omgekeerd tekstontwerp (ATD) noemen. Dit is een vorm van creatie waarbij door vooraf vastgelegde regels de middelen om een tekst te construeren beperkt zijn, terwijl alle vrijheid wordt gelaten voor de interpretatie ervan en voor het verlenen van betekenis via context, toespelingen en manipulaties. Hieronder volgen voorbeelden van de auteur. De genoemde vooraf vastgelegde regel wordt al na enkele voorbeelden duidelijk. 3.2. Tekst. Metathetische fabels–metamorfe verzwegenheden, of taalkundige autopsieën over het thema van tweedelige woorden x(e) (ė) (ie)-l (ė) (ia) (iai) (e) *** Over vorst en het onvermijdelijke hiernamaals van november VYSTA GĖLĖS – GYSTA VĖLĖS. *** Over het in maart opklarende leven van de Ainoe aan de rivier de Išikari 33 In wezen gaat het hier om de compositie van functies, die volgens de definitie al associatief is, maar waarvan de commutativiteit een uiterst zeldzame eigenschap is. 34 Bijzonder interessante wiskundige gevallen: lengte – volume, verticaal – horizontaal. 244 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos SAKUROS VĖLELĖ. VAKARO SĖLIAI. *** Roman over ongelukkige liefde voor de cello solo GĖLĖS RĖŽIA – ČĖLĖ GRIEŽIA. *** Fabel over onsterfelijke hoop en opgeklopte room VIENOS PĖLĖS PIENĄ VELIA. *** Het paradijs van de Ojibwe, die bij de Grote Meren wonen VALGO ŽELĖ ŽVALGO VĖLĖ. *** Over grenzeloze nieuwsgierigheid en robotspeelgoed in de kindertijd RIEKIA – LĖLĖ. LIEKA RĖLĖ. *** De mythe van Sovijus en het te water begraven van de doden DĖLĖS VĖLUOJA. VĖLĖS DVĖLUOJA. *** Zoals op aarde, zo ook in de hemel (een verhaal over de koningin van de vogels, als een hemelse Marie Antoinette, die tijdens een hongersnood degenen die haar om voedsel vroegen toebeet: „Geen brood? Eet dan gebak!“) KAISTA MIELĖS – MAISTAS KIELEI. *** De opmars van de Balten richting Deltuva en Nalšia in de 7e eeuw SĖLINA VĖLEI. VĖLINA SĖLIAI. *** De preek van de Verlosser over het verliezen van het aardse en het daardoor verwerven van het hemelse (Lc 9, 24, slechts naverteld op de markt van Skapiškis) VIELŌS CELĖS – ČIELOS VĖLĖS. *** Het verhaal over een oude Sedukiër die, terwijl hij aan het planten was, een stuk baksteen uit de tweede tempel van Jeruzalem ontdekte ŽABALAS KĖLĖ. GABALAS ŽĖLĖ. KABALA GĖLĖ. *** Over de oeroude gemeenschap van verzamelaars en jagers (waarin ook de jagers, door vallen te gebruiken, verzamelaars worden) PELĖS STRINGA – STRELĖS PINGA. *** Het verhaal over Attila de Hun, die zonder enige ridderlijkheid de hand van Ildikė won GREITA STRĖLĖ – RAITA GĖLĖ. *** Straipsniai / Articles 245 GIEDRIUS ALKAUSKAS Wat is het kleine maar wezenlijkste deel van een groot ding? BOORPUNT – WIEL, RELAIS – DRAAD. *** Alles is hier logisch. Natuurkundigen zullen bevestigen dat het essentiële mechanisme van een boor (n. svet. drelė) een schroef is, en dat van een relais een elektromagneet, samengesteld uit windingen van draad (sen. svet. drato) en ferromagnetisch materiaal. Men kan ook andere schema’s voor de toepassing van ATD bedenken. Laten we karakteristieke uitdrukkingen en spreekwoorden nemen, maar ze in oxymorons of woordspelingen veranderen. Bijvoorbeeld: nergens kom je ervan af – je zult hier vandaan moeten verdwijnen; de brug staat nog niet in brand om haar in brand te steken; we zullen nog zien of we dat zullen zien; dus ik herinner me dit sinds onheuglijke tijden; deze cultus wordt al niet meer gecultiveerd; niemand is van plan zich uit te kleden enzovoort. Het interessantst is natuurlijk om zo’n eenregelig gedicht te interpreteren. Maar het idee dat de semantische lading van de titel van een gedicht doorslaggevend kan zijn, is beslist niet nieuw – een deel van de gedichten in S. Geda’s boek Skrynelė dvasios pagauti (Geda 1994) wordt pas a posteriori ontsleuteld door de titel opnieuw te lezen. 3.3. Synonymie en wortels uit een eenheid. Ten eerste, de definitie: „Tot de echte synoniemen worden woorden met een verwante of identieke betekenis gerekend, die hetzelfde begrip aanduiden en worden gebruikt om verschillende betekenisnuances of stilistische kenmerken aan te geven. [...] Door polysemie kan een woord met sommige van zijn betekenissen synonieme relaties aangaan met bepaalde woorden, en met andere betekenissen met andere woorden“ (Lyberis 1981: 3). Laten we ons nu voorstellen dat de woorden α₁ en α₂ echte synoniemen zijn. Ideografische, genregebonden, emotionele, afleidingsgebonden – alle zijn geschikt. Zowel in een woordenboek vastgelegde als nieuw geconstrueerde, zolang het taalgevoel de toegekende synonymie niet tegenspreekt. Laten we deze relatie aanduiden met α₁~α₂. Laat nu in de reeks α₁, α₂, α₃,..., αₙ elk aangrenzend paar synoniemen zijn (in verschillende paren kan hetzelfde woord homoniem worden gebruikt). Als we voorbeelden zouden zoeken waarin α₁~αₙ, zouden we moeilijk aan één synoniemenbundel ontkomen. Maar de aanvullende eis ∃ p, 1 < p < n: α₁ ≁ αₚ creëert al de vereiste spanning. De volgende vraag: wanneer geldt α₁~−αₙ? Anders gezegd, kan een synoniemenketen naar een antoniem leiden? Hierin ligt de poëzie besloten. Precies in de verhouding tussen het relatieve (de metafoor) en het absolute. Opnieuw Lyberis citerend: „De winter, na uw groene knop met witte dekens te hebben bedekt, zal hem afbijten (Maironis). Hier krijgt het woord patalai de betekenis ‘sneeuw’ alleen in de context en is het een beeldrijke metafoor“ (aldaar). Inderdaad, een van de soorten metaforen is contextualisering, die aan verschillende woorden of zinnen synonieme kenmerken verleent. Maar contextualisering kan worden vervangen door het ritme van een algoritme, dat het woord α₁ via een synoniemenketen naar het woord αₙ leidt. Zo krijgt deze keten kenmerken van een metafoor. Het creëren van pseudovoorbeelden van synoniemen die niet met de taalintuïtie botsen, kan eveneens goede poëzie zijn. 246 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Zij n ∈ ℕ. Het complexe getal α wordt een n-degraadswortel van min één genoemd als αⁿ = −1. Bijvoorbeeld: i² = −1, (¹⁄₂ + ³⁄₂i)³ = −1³⁵. De keten α₁~−αₙ is daarvan een taalkundige analogie: een wortel van min één. Bijvoorbeeld: warmte, hitte, droogte, ziekte, koude rillingen, verkoudheid, kou. Het woord džiuova wordt hier als homoniem gebruikt – zowel voor ‘droogte’ als voor ‘tuberculose’. In Lyberis’ formulering is een synoniem een schakering. Een optische kleur kan ook worden gesynonimiseerd door een andere kleur met een dubbele golffrequentie. Laten we aannemen dat violet (800 terahertz) synoniem is met rood licht aan de grens (400 terahertz). Als dit in de optica niet overtuigend genoeg is (beide frequenties liggen aan de rand van het zichtbare licht), helpt de akoestiek, want een verdubbelde frequentie correspondeert met een duidelijk synoniem (verwant) interval van een zuiver octaaf (bijvoorbeeld sol in het eerste en tweede octaaf). In de optica en de akoestiek zou het antoniem daarom precies in het midden liggen, waar de verhouding tussen de golffrequenties √2 ≈ 1.4142 is. Het is echter duidelijk dat men zich van het ene naar het andere langzaam kan voortbewegen, uitsluitend via schakeringen en echo’s³⁶. In de taalcontext zijn zulke gevallen singulier. Juist daardoor zijn ze interessanter. Het hierboven gegeven voorbeeld van warmte – kou is misschien niet bijzonder interessant (er is ook niet naar iets goeds gezocht), maar het onderwerp zelf raakt iets diepgaands in het taalkundige netwerk. Er rest slechts het aas uit te werpen³⁷. 4. WISKUNDIGE TOEPASSINGEN VAN POËZIE In Siberië raakte ik geïnteresseerd in de exacte wetenschappen – natuurkunde, wiskunde. ’s Nachts bestudeerde ik de theorie van beide en schreef ik gedichten. Dominee Česlovas Kavaliauskas 4.1. De constante van Archimedes. Het getal π is de belangrijkste van de zogenoemde perioden³⁸. De waarde van deze constante is gelijk aan de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, bij benadering ³⁵ De imaginaire eenheid i, die voldoet aan de gelijkheid i² = −1, is in de mathematische platonische werkelijkheid een echt, bestaand object, maar deze misleidende benaming heeft zich historisch verankerd. ³⁶ Akoestische golven met nabije frequenties dissoneren sterk door het zogenoemde zwevingseffect. Maar als een echo een uit het geheugen nageklonken geluid (een boodschap) is, waarvan de frequentie enigszins van het origineel kan afwijken, dan wordt echo een direct analogon van de optische schakering. ³⁷ De fraseologie de hengels oprollen heeft een tegengestelde betekenis aan deze ongekunstelde allegorie; beide bestanddelen ervan zijn overigens bijna lexicale synoniemen van de bestanddelen van de eerste uitdrukking. ³⁸ De precieze definitie van perioden is tamelijk technisch (zie Kontsevich, Zagier 2001). Straipsniai / Articles 247 GIEDRIUS ALKAUSKAS 3.1415926535897932384626433832795. Dit is overigens niet de primaire definitie. De Euclidische meetkunde op het vlak werkt met lijnen en punten, waarvan de onderlinge verhoudingen worden bepaald door de postulaten van Euclides. Bij het horen van de woorden punt en lijn in wiskundige zin stelt men zich reële objecten voor, maar men kan alleen werken met begrippen die gehoorzamen aan vooraf gedefinieerde relaties, axioma’s genoemd. Dit zijn gegevenheden, zaden waaruit kiemen (stellingen) en een oogst (een theorie) groeien. Een voorbeeld van een axioma: Door een punt dat niet op een gegeven lijn ligt, gaat precies één lijn die haar niet snijdt. Dit is het beroemde vijfde postulaat van Euclides (axioma), dat men lange tijd uit de andere probeerde af te leiden. Als dat was gelukt, zou het vijfde niet langer nodig zijn geweest. Men kan het werk van de wiskundige en dichter Omar Khayyam in herinnering roepen, Commentaren op de eerste postulaten van Euclides’ boek (omstreeks 1100), waarin hij meende de afleiding te hebben gevonden. Helaas werd in de 19e eeuw bewezen dat het vijfde postulaat van Euclides onafhankelijk is van de andere. De alternatieven ervan vormden de grondslag voor de zogenoemde niet-Euclidische meetkunden. Daarover sprak Ivan Karamazov tot Aljosja: «Между тѣмъ находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже изъ замѣчательнѣйшихъ, которые сомнѣваются въ томъ, чтобы вся вселенная или, еще обширнѣе, – все бытіе было создано лишь по эвклидовой геометріи, осмѣливаются даже мечтать, что двѣ параллельныя линіи, которая, по Эвклиду, ни за что не могутъ сойтись на землѣ, можетъ-бытъ, и сошлись бы гдѣ-нибудь въ безконечности» (Dostojevskis 1879: 396). Alleen is de auteur hier overigens niet geheel nauwkeurig: met zijn verwijzing naar niet-Euclidisch beschrijft hij veeleer de essentie van de projectieve meetkunde. Daarin is de volgende bewering altijd waar: twee niet-samenvallende lijnen snijden elkaar in één punt. Deze meetkunde heeft nog de volgende eigenschap: in elke stelling ervan levert het verwisselen van de begrippen punten en lijnen een ware stelling op. De duale bewering van de vorige stelling luidt: door twee verschillende punten gaat precies één lijn. Tegelijkertijd is dit een uitstekende illustratie dat lijn en punt slechts abstracties zijn. Als men zich een denkbeeldige taal van de Šėliai voorstelt, waarin de betekenissen van de woorden teisė en taskis zijn verwisseld, zouden alle Litouwse stellingen ook in het Šėliai gelden. Om te benadrukken hoe de wiskundige abstractie verschilt van het object in de verbeelding, kan worden gezegd dat een van de modellen van het projectieve vlak de driedimensionale ruimte is met een vast nulpunt O, waarin een ‘punt’ een lijn is die door O gaat, en een ‘lijn door twee punten’ een vlak is dat door twee zulke lijnen wordt voortgebracht. Daarom past naast Dostojevski ook Justin Marcinkevičius buitengewoon goed: De hele tijd zoek ik één punt, De hele tijd zoek ik één woord... waaruit alle lijnen voortkomen. [...] Hoewel ik weet dat ik het nooit zal vinden (DALP2 18). 248 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Het gebrek van een intuïtieve definitie van π wordt nu eenvoudig verklaard. Binnen het kader van de Euclidische meetkunde is het eenvoudigweg onmogelijk de lengte van krommen (bijvoorbeeld van een cirkel) te definiëren. Daarvoor is een andere tak van de wiskunde nodig, analyse, met haar eigen axioma’s. De primaire definitie van π kan verbazen: Deze integraal vormt een uitstekende springplank naar Dantes 33e canto van het „Paradijs”, naar het 45e terzet: Qual è’l geometra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige. Als een meetkundige die probeerde de cirkel tot een vierkant te maken, maar uiteindelijk inzag dat hij tevergeefs zwoegde en leed. Waarom is de cirkel opmeten en de cirkel tot een vierkant maken in dit geval een vrij nauwkeurige vertaling? Dante spreekt over het antieke probleem van de kwadratuur van de cirkel. Dit vroeg of het mogelijk was om uitsluitend met passer en liniaal een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan die van een eenheidscirkel. Dat het antwoord ontkennend is, werd in 1882 bewezen door Ferdinand von Lindemann. We zullen hier niet verder op ingaan – deze passage uit de „Commedia”, een perfecte tridisciplinariteit van theologie, poëzie en wiskunde, is al behoorlijk goed onderzocht (Herzman, Towsley 1994). Over π en de geometrische structuur van het gedicht zelf, die door de auteur zelf nauwkeurig is gepland (zie Hart 1987). Dostojevski noemt het probleem van de kwadratuur van de cirkel, waarbij hij de onoplosbaarheid ervan vergelijkt met het gelijkmaken van straffen voor dezelfde misdaden, in „Aantekeningen uit het Dodenhuis”. Dit feit ontbreekt in het verder tamelijk uitvoerige overzicht The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics (PHLM). 4.2. Mnemonische hulpmiddelen. Darijo Kasteljanos (Castellanos 1988: 152–153) bespreekt mnemonische hulpmiddelen in verschillende talen die helpen de cijfers van π in het decimale talstelsel te onthouden. De codering is hier eenvoudig: het aantal letters van een woord komt overeen met een cijfer. Een bekende Engelse variant, en iets minder bekende Griekse: Hoe ik verlang naar een drankje, alcoholisch natuurlijk, na de zware colleges over kwantummechanica! Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον... Vervolgens geeft de auteur rijmende voorbeelden in het Frans en Spaans. Het is duidelijk (onderzoek bevestigt dit ook) dat poëzie voor dit doel geschikter is dan proza (Levitin 1999: 200–211). Inderdaad is het menselijk geheugen voor details tamelijk zwak: uit een alledaags gesprek zullen de meesten zich alleen de kern, de emotie en de stemming herinneren. In het licht van dit feit lijkt het geheugen van uitvoerders van oude balladen en epen vrijwel fenomenaal. Toch heeft onderzoek aan het licht gebracht dat uitvoerders niet alle details onthouden: ritme, rijm, alliteraties, melodiek, grammatica en semantiek beperken de vrijheid van de tekst, wat ook helpt Straipsniai / Articles 249 GIEDRIUS ALKAUSKAS niet te vergissen. Op precies dezelfde wijze prenten tactiele gewaarwordingen het geheugen van pianisten in. Na een pauze bleek bij herhaald onderzoek van elf epische zangers echter dat de tekst niet altijd identiek werd gereproduceerd, maar wel gehoorzaamde aan semantische en poëtische beperkingen: de woordenschat varieerde synoniem, terwijl weinig-bloedige woorden soms, zonder de betekenis te veranderen, door andere werden vervangen. In de context van geheugenrecords schuilt hierin ook een potentieel gevaar. Een gezongen gedicht zal vele cijfers van π coderen, maar één ongelukkig synoniem kan alles ruïneren. Zo geeft Castellanos (Castellanos 1988: 153) een Frans gedicht uit 1717 dat gebaseerd is op een berekening van 126 cijfers van π. Helaas is het 113e fout. Toen dit werd opgemerkt, moest het woord secteur (7 letters) worden vervangen door quadrant (8), en het ermee rijmende antérieur (9) door précédent (9). Er is nog een tekortkoming van deze codering. Er wordt niet aan getwijfeld (hoewel dit nog niet is bewezen) dat het getal π normaal is in alle talstelsels. Dat wil zeggen dat in de decimale voorstelling het cijfer 0 asymptotisch zal voorkomen met kans 1/1039. Omdat er geen woorden zonder letters zijn, kan nul worden gecodeerd door woorden van tien letters. Ten tweede zijn in poëzie onder de eenlettergrepige woorden o en į mogelijk, evenals enkele klanknabootsingen, dialectwoorden40 en ongewoon gebruikte letters van het alfabet41. Het is echter duidelijk dat, als elk tiende woord eenlettergrepig is, de tekst niet natuurlijk zal zijn. Al deze woorden moeten in een afzonderlijke klasse worden ondergebracht — laat eenlettergrepige woorden niets coderen. 4.3. Geheugencontrole. Een oplossing voor het probleem van de onbetrouwbaarheid van het geheugen met betrekking tot details wordt geboden door het algoritme dat is geïmplementeerd in barcodes en QR-codes voor uiteenlopende doeleinden (quick response), in creditcardnummers, boekidentificaties volgens de ISBN- en EAN-systemen. Meer bepaald: de methode van de controlesom (Stakėnas 2007: 127). Als men de cijfers 3603735 moet onthouden, zou het eenvoudigste controlecijfer 3 + 6 + 0 + 3 + 7 + 3 + 5 mod 10 = 7 zijn. Om dus de woordlengten van de regel jau knygos suguldytos lyg veigėlės ant suolo⁴² te controleren, kan men die aanvullen met een woord van zeven letters, bijvoorbeeld jau knygos suguldytos lyg veigėlės ant suolo prie­kio (helaas verstoort dit de metafoor). Sommige fouten die aan de vorm van de tekst gehoorzamen (jau → ir, lyg → kaip) zullen worden opgemerkt, maar als de voordrager per ongeluk zou verwisselen 39 Stel dat moet worden bewezen dat een verzameling 𝒜 een bepaalde eigenschap heeft die niet kenmerkend is voor een typische, statistische verzameling. Er bestaat dan een bepaalde interne structuur die 𝒜 beperkt, en de verzameling gehoorzaamt niet aan de statistiek. Vaak wordt de vereiste eigenschap juist bewezen door deze structuur te vatten. Anderzijds behoren opgaven waarin moet worden bewezen dat een concrete verzameling (de reeks cijfers van π) aan statistische wetten gehoorzaamt, tot de moeilijkste. 40 De beroemde Ė van „Anykščių šilelis“ (o, bet, ogi). 41 Een door Juozas Erlickas geliefd stilistisch middel, bijvoorbeeld „Daug daugiau suteikia sielai / džiaugsmo ir t. t.“, „Aš tartum traukinys kuris kursavo / Iš A į B ir dingo C paskui“ en dergelijke. 42 Een regel uit een gedicht van S. Geda, „Karvaičių kaime, kuris užpustytas smėlio“, alleen is het origineel vervangen door jau. 250 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos als de woorden knygos en suguldytos van plaats verwisselde, zou de cesuur van de jambus s1 niet worden verstoord, maar deze fout zou helaas niet door het controlecijfer worden geregistreerd. Toch kan de wiskunde aanzienlijk meer helpen, omdat het gekozen algoritme niet goed genoeg is. Als de formule van Luhn zou worden gebruikt, zou zij zowel een verschil van één cijfer als vrijwel alle verwisselingsfouten van twee aangrenzende cijfers registreren (alleen de fout 09 ↔ 90 zou zij niet opmerken). 4.4. Algoritme. Gegeven is een eindige cijferreeks {s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆,..., sᵣ}. 1. Deze wordt vervangen door de reeks K = {2s₁, s₂, 2s₃, s₄, 2s₅, s₆,...}, dat wil zeggen dat elk tweede element wordt verdubbeld. 2. Alle tweecijferige getallen in K worden vervangen door de som van hun cijfers (bijvoorbeeld 12 → 3, 14 → 5, enzovoort); zo ontstaat de reeks L. 3. Alle elementen van L worden opgeteld, en het gewenste controlecijfer is gelijk aan deze som modulo 10. Laten we bijvoorbeeld opnieuw 3603735 bekijken. Hier is K = {6, 6, 0, 3, 14, 3, 10}, L = {6, 6, 0, 3, 5, 3, 1}. Het controlecijfer is 6 + 6 + 0 + 3 + 5 + 3 + 1 mod 10 = 4, daarom zal het woord galo meer mogelijke fouten registreren dan het woord priekinio. Het algoritme van het mnemonische hulpmiddel met controle zal nu slechts bij benadering worden beschreven, omdat eerst een zorgvuldige statistische analyse van de voorbeeldtekst moet worden uitgevoerd en mogelijke complicaties moeten worden besproken. Vervolgens is het beter om in plaats van de methode van Luhn het door de Nederlandse wiskundige Jacobus Verhoeff bedachte algoritme te gebruiken, dat nog meer fouten detecteert, ook 09 ↔ 90⁴³. Voor het mnemonische hulpmiddel wordt een tekst in klassieke terzinen geschreven, waarbij elke regel 11 lettergrepen heeft. Een beetje statistiek. De grafiek toont de lengte in letters van alle 45 terzetten van het door Sigitas Geda vertaalde Xᵉ canto van de „Inferno“ (leestekens worden niet meegeteld). Alle regels, behalve één per terzet in de terzetten 7, 11, 21, 23, 30 en 33 (waar het aantal lettergrepen 9 of 13 bedraagt), hebben 11 lettergrepen. De mathematisch „niet-Danteske“ regels zijn aangepast. Deze inmiddels strikt hendecasyllabische jambische tekst wordt ook voor de statistiek gebruikt. Het gemiddelde aantal letters in de terzetten is 84,44; gemiddeld bestaan lettergrepen uit 2,558 letters. De zwarte lijn geeft de genormaliseerde verdelingsfunctie weer, lineair geïnterpoleerd⁴⁴. Algoritme. Laat {pₛ, s ∈ N} de cijferreeks van het getal π zijn. Dat wil zeggen: p₁ = 3, p₂ = 1, p₃ = 4, p₄ = 1, p₅ = 5 enzovoort. Laten we de cijfers in blokken van 10 verdelen. Vervolgens sluiten we elk blok af met een controlecijfer volgens 43 In het Nederlands worden getallen doorgaans per twee gelezen. J. Verhoeff, die postcodes onderzocht, berekende dat fonetische fouten waarbij het getal 1x wordt verwisseld met x1 (bijvoorbeeld 15, Vijftien en 50, Vijftig) 0,49 procent van alle fouten uitmaken. Dat is een klein, maar zichtbaar aandeel. 44 De verdelingsfunctie F(x) van de toevalsvariabele Z = P(Z < x) geeft de kans aan waarmee deze een waarde kleiner dan x aanneemt. Het maximum van zo’n functie is 1. In de grafiek is deze waarde met 5 vermenigvuldigd, zodat alle gegevens in één illustratie passen. Straipsniai / Articles 251 GIEDRIUS ALKAUSKAS De formule van Luhn, die in de reeks wordt ingevoegd. Laat de verkregen nieuwe reeks {qₛ, s ∈ N} zijn. Vervang elke 0 door 12, en elk overblijvend cijfer s door s + 2. Laat R = {rₛ, s ∈ N} de verkregen reeks zijn. Eenlettergrepige en tweelettergrepige woorden kunnen bij het maken van het gedicht als ezelsbruggetje altijd worden gebruikt; bij het decoderen worden ze genegeerd. Neem aan dat de eerste v elementen van de reeks R al over de strofen zijn verdeeld. De gemiddelde waarde van de elementen van de reeks R is (3+12)/2 = 7,5. Laat j − 1 het grootste natuurlijke getal zijn waarvoor rᵥ₊₁ + rᵥ₊₂ + … + rᵥ₊ⱼ₋₁ < 80 (deze modus is gekozen opdat na toevoeging van het volgende reekselement gemiddeld het ontbrekende gemiddelde van het aantal letters in het terzet ontstaat, d.w.z. 84,5). De volgende strofe zal bestaan uit woorden met de lengtes rᵥ₊₁, rᵥ₊₂, …, rᵥ₊ⱼ. Nu rest alleen nog het overeenkomstige terzet te maken. Overigens zal deze codering ook fouten van een ander type vastleggen, namelijk fouten met ontbrekende of overtollige woorden. Zo werden er bijvoorbeeld twee woorden voorgedragen, terwijl er één nodig was (in hetzelfde voorbeeld met de kwabaal, glaudžiai guli ↔ suguldytos). Na zo’n vergissing zullen bijna alle controlecijfers een fout vastleggen, zodat gemakkelijk kan worden vastgesteld in welke strofe het aantal woorden is veranderd. ⁴ FIG. De hoeveelheid terzetten van „Inferno“, canto X, voor een gegeven aantal letters Voor een echt algoritme moeten alle mogelijke complicaties worden onderzocht. Het feit dat de formule van Luhn de fout 09 ↔ 90 niet vastlegt, betekent dat het controlegetal niet zal aangeven wanneer bij het declareren de woorden van 12 en 11 letters van plaats zijn verwisseld. Potentieel is dit mogelijk in een tweepolige versmaat (bijvoorbeeld šakiabarzdis jaunikaitis⁴⁵). In dit hoofdstuk is niet geprobeerd het beste algoritme te creëren, maar het is duidelijk dat de inspanning zinvol is. Een volmaakter algoritme zou subtielere statistische verschillen tussen gesproken, literaire en poëtisch-metrische taal aan het licht brengen. Dat is wat ook J. Girdzijauskas onderzocht, zij het op een iets andere manier. ⁴⁵ Gecorrigeerde regel uit Maironis’ ballade „Čičinskas“: „ožkabarzdis jaunikaitis“. Sven Šakiabarzdis (Svein Tjugeskjegg 963–1014) was koning van Denemarken. 252 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos De volledige „Inferno“ bestaat uit ongeveer 25.000 Litouwse woorden. Zangers van epische gedichten hebben bewezen dat het menselijk brein in staat is zoveel te leren. Na aftrek van de controlecijfers blijven er ongeveer 22.000 cijfers over. Veertig jaar geleden was het wereldrecord voor het memoriseren van π ongeveer even groot (nu zal het de 70.000 overschrijden). Maar wat is de zin van het leren van die kale cijfers? Het is iets heel anders wanneer er een gedicht is waarin de interessante wiskunde slechts een nevenresultaat is. 5. CONCLUSIES De interactie tussen twee kunsten, twee wetenschappen, of tussen kunst en wetenschap, evenals bidisciplinariteit, houdt meer gevaren in dan zij nieuwe mogelijkheden biedt. In het artikel werd beoogd de potentiële tekortkomingen van dergelijke verbindingen aan het licht te brengen: profanatie, wanneer één kunst of wetenschap binnen de interactie op een uiterst elementair niveau deelneemt; kunstmatige adaptatie, wanneer één kunst of wetenschap zich aan de wetten van de andere onderwerpt, of wanneer de schepper de vereniging partijdig benadert (zo is het merendeel van de teksten over muziek en wiskunde van vertegenwoordigers van de exacte wetenschappen); externe dezintegratie van het werk en de persoonlijkheid van een erkend genie (Baranauskas, Dante, Goethe enzovoort), wanneer diens relatief nevenactiviteit geïsoleerd van de hoofdactiviteit wordt beschouwd; verschillende mechanismen van cognitief-emotioneel functioneren en effect. Er zijn echter talrijke voorbeelden waarin zulke verbindingen hun nut bewijzen. In het artikel is aangetoond dat in het geval van wiskunde en poëzie, en van wiskunde en taal, zowel impliciete als expliciete interacties mogelijk zijn. Tot de eerste behoren poëtische vormen waarbij wiskundige instrumenten alleen voor hun theoretische onderbouwing nodig zijn, maar in de poëzie zelf niet langer aanwezig zijn. Tot de expliciete interacties behoren verschillende gevallen van omgekeerd tekstontwerp, waarbij wiskunde en grammatica de mogelijkheden voor tekstconstructie beperken (dit kan worden vergeleken met verschillende theorieën van de muzikale harmonie – diatoniek, serialisme, proportionele canons enzovoort), evenals wiskundige toepassingen in de poëzie die, hoewel zij op zichzelf niet bijzonder functioneel zijn, diepere verschijnselen van de poëtische taal en vorm onthullen. LITERATŪRA Alkauskas Giedrius 2018: Music-Mathematics Interconnections: An Approach through Science (Works by Mathematicians), and an Approach through the Arts (Musica mathematica by Rima Povilionienė). – Lietuvos muzikologija 19, 331–350. Alkauskas Giedrius 2019: Kalba poezijoje: filologija vs. biofilija. – Acta Linguistica Lithuanica 81, 235–250. Straipsniai / Articles 253 GIEDRIUS ALKAUSKAS Alkauskas Giedrius 2020: Prasmė легируota garsu: poezija kaip muzika. – Acta Linguistica Lithuanica 83, 331–350. Alkauskas Giedrius 2022: Raštijos dėliȯnė kaip kūrybos kodas. – Kultūros barai 1/2, 35–43. Baranauskas Antanas 1994: Rinktinė: poezija, giesmės, dienoraštis, laiškai, sud. R. Mikšytė, Vilnius: Baltos lankos. Baranauskas Antanas 1995: Raštai 1 (Poezija), par. R. Mikšytė, M. Daškus, Vilnius: Baltos lankos. Castellanos Dario 1988: The Ubiquitous π. – Mathematics Magazine 61(3), 148–163. DALP2 – Dvidešimto amžiaus lietuvių poezija 2, sud. V. Kubilius, Vilnius: Vaga, 1995. Dantė 2007: Dieviškoji Komedija: Pragaras, vertė S. Geda, Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla. Elliot Thomas S. 1921: Dantė, vertė K. Platelis. – Dieviškoji Komedija: Pragaras, vertė S. Geda, Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla, 388–409. Geda Sigitas 1994: Skrynėlė dvasioms pagauti: eilėraščiai, Vilnius: Vaga. Geda Sigitas, 1998: Man gražiausias klebonas – var nėnas: interviu, Vilnius: Vaga. Girdzijauskas Juozas 1978: Tarp silabotonikos ir verl ibro: sinkopis lietuvių poezijoje. – Poezijos pavasaris, Vilnius: Vaga, 220–235. Girdzijauskas Juozas 2001: Eliedara. – Lietuvos literatūros enciklopedija, Vilnius: Lietuvos literatūros ir tautosakos institutas, 125–127. Grinbaum Oleg N. 2002: Гринбаум Олег Н. Строка, строфа и стих как ритмическая система [Stroka, strofa i stikh kak rifmicheskaja sistema]. – Материалы XXXI Всероссийской научно-методич. конф. преподав. и аспир. Филологического ф-та СПбГУ [Materialy XXXI Vserossiiskoi nauchno-metodich. konf. prepodav. i aspir. Filologicheskogo f-ta SPbGU] 4(2), 12–28. Harris Zellig 1969: Mathematical linguistics. – The Mathematical Sciences. A Collection of Essays, Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 190–196. Hart Thomas Elwood 1987: The Cristo–Rhymes and Polyvalence as a Principle of Structure in Dante’s “Commedia”. – Dante Studies 105, 1–42. Herzman Ronald B., Towsley Gary W. 1994: Squaring the Circle: “Paradiso” 33 and the Poetics of Geometry. – Traditio 49, 95–125. HNL – Handbook of the Neuroscience of Language, eds. B. Stemmer, H. Whitaker, USA: Academic Press Elsevier, 2008. 254 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Kontsevich Maxim, Zagier Don 2001: Periods. – Mathematics unlimited 2001 and beyond, Berlin, New York City: Springer, 771–808. Kubilius Jonas 2001: Antanas Baranauskas ir matematika, ser. Iš Lietuvos matematikos istorijos, kn. 1, Vilnius: Matematikos ir informatikos institutas. Levitin Daniel J. 1999: Mechanisms of Memory for Musical Attributes. – Music, Cognition, and Computerized Sound: An Introduction to Psychoacoustics 1, ed. P. R. Cook, Cambridge, Mass: M.I.T. Press. LKŽe – Lietuvių kalbos žodynas 1–20 (1941–2002), red. kolegija G. Naktinienė, J. Paulauskas, R. Petrokienė, V. Vitkauskas, J. Zabarskaitė, vyr. red. G. Naktinienė, e. variantas, Vilnius: Lietuvių kalbos institutas, 2008 (atnaujinta versija, 2017). Prieiga internete: https://ekalba.lt/lietuviu-kalbos-zodynas. Mačys-Kėkštas Jonas 1910: Eilės, Pittsburg: Leidimas ir spauda Brolių Baltrušaičių. Matulaitienė Stasė 1997: Poezijos gramatika, Vilnius: Gimtasis žodis. Pekarskas Vidmantas 2003: Pirmųjų lietuviškų matematikos terminų istorijos fragmentai. – α+ω 3, 76–86. Prieiga internete: http://web.vu.lt/mif/v.stakenas/a+o/2003-3/2003-3-74-86.pdf Povilionienė Rima 2013: Musica Mathematica: tradicijos ir inovacijos šiuolaikinėje muzikoje, Vilnius: Lietuvos muzikos ir teatro akademija. Prieiga internete: https://www.tornado-beta.lt/en/musica-mathematica/. Razauskas Dainius 2008: Mė(lynas)nulis ir dangaus kiaulių paslaptis: „žaidimas žodžiais“ lietuvių tradicijoje. – Liaudies kultūra 6, 58–60. Ruseckienė Rasa, vert. 2017: Edda. Snorri Sturluson, atsak. red. I. Steponavičiūtė-Aleksiejūnienė, Vilnius: VšĮ Akademinė leidyba. Stakėnas Vilius 2007: Kodai ir šifrai: informacijos kodavimo ir kriptografijos pagrindai, Vilnius: TEV, Vilniaus Universitetas. Stankevičius Rimvydas, sud., 2015: A. Kalanavičius. Dvi saujos laiko: eilėraščiai (kartu su P. Dumšiene), Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla. Steponaitis Edmundas 1998: Rinktinė, par., įvadą ir komentarus parašė R. Karmalavičius, Poezijos biblioteka Versmės, Vilnius: Vaga. Subačius Giedrius 2010: Lietuvių kalbos ekspertai Rusijos imperijos tarnyboje, Vilnius: Lietuvių kalbos instituto leidykla. Valentas Skirmantas 1997: Lingvistinis pasaulis poezijoje, Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidybos institutas. Straipsniai / Articles 255 GIEDRIUS ALKAUSKAS MTŽ – Matematikos terminų žodynas, red. J. Kubilius, Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidykla, 1994. OEIS – The online encyclopedia of integer sequences, seka A065619. Prieiga internete: https://oeis.org/A065619. PE – Poetinė Eda, vertė A. Vijūnas, Vilnius: Aidai, 2009. PHLM – The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics, eds. R. Tubbs, A. Jenkins, N. Engelhardt, London: Palgrave Macmillan, 2021. RP – Raidžių paveikslai: vizualioji poezija lietuvių kalba, sud. B. Januševičius, G. Skudžinskas, Vilnius: Nerutina, 2018. ŠLPCh – Šiuolaikinės lietuvių poezijos chrestomatija, sud. S. Parulskis, Vilnius: Alma Littera, 2002. Mathematics, Language, Poetry: Interactions and Attractions SUMMARY This text is the third in a series of four texts devoted to various aspects of poetic language. The aim of this part is to present a few constructions where the interaction of two domains of creativity occurs (two out of poetry, language or mathematics), which a posteriori has a nontrivial intersection with the remaining domain. In our opinion, this is the instance where interdisciplinarity is truly fertile. Generally, this is not the case. Dealing with questions of quality in bidisciplinary art or science, our main standpoints are as follows. First, both domains should participate in an interaction on the comparable level of sophistication, each of the subjects being not subordinate to the laws of the other. As a non-example, most books on music and mathematics are written by mathematicians with a natural–scientific attitude. To make our case more substantial, we examine the book devoted to concrete poetry, finding both fruitful and artificial examples. Second (this brings a human dimension to the subject), we postulate that the legacy of any great artist should be considered not in isolation but in its entirety. This means the following: the area of distinction and the area of (a conditional) amateurism should not be separated from one another. The examples include the mathematical writings of Daniil Kharms, or the treatise in optics Zur Farbenlehre by Goethe. We examine the book Antanas Baranauskas and mathematics by Jonas Kubilius more thoroughly. Baranauskas was a poet who also worked extensively in the fields of homiletics, dialectology, orthography, 256 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos terminology, and mathematics. However, Baranauskas’ output in the latter is investigated by Kubilius purely from a professional point of view. Qualitative judgements are generally correct. However, if we take into account that a part of Baranauskas’ mathematical work is integrated into his philosophical and theological treatises, it is natural to hope for a much more ambitious immersion in the mathematical legacy of Baranauskas. We further propose several interactions of mathematics-language-poetry, which, hopefully, have the needed qualities. We explore terza rima, the poetic invention by Dante, and find its core. This leads to the definitions of simple, minimal, normalized, and, correspondingly, canonical Q-times. The latter is a straightforward generalization of Dante’s form. Now we can prove the following result: for every odd positive integer Q, canonical Q-time is unique. The construction, however, does not take into account any particular language. If we do so for Q = 5, it emerges that a smooth flow of the text requires such a pentastich to possess few incomplete lines (hendecasyllabic iamb is an exception). Since the interval of two unstressed syllables is the most frequent in spoken Lithuanian, it is natural to write 5-times in a dactylic meter. The example of two such strophes is presented. As a further example of fruitful bidisciplinary interaction, we propose the linguistic analogue of roots of unity. We finish the paper with presenting an improved method for a mnemonic technique. The standard procedure uses poetry, but the encoding itself employs only rudimentary arithmetics. Our method, however, uses also check digit algorithm. When developed in full, the method may reveal interesting facts in the field of computational linguistics. Įteikta 2022 m. vasario 28 d. GIEDRIUS ALKAUSKAS Vilniaus universitetas, Informatikos institutas Naugarduko g. 24, LT–03225 Vilnius, Lietuva [email protected] Straipsniai / Articles 257