Erretikulu teoria eta errepresentazio teoremak

Erretikulu teoria eta errepresentazio teoremak Gradu Amaierako Lana Matematikako Gradua Unax Ca˜naveras Iraide Mardones Irakasleak zuzendutako lana Leioa, 2025eko Apirilaren 30a Gaien Aurkibidea Sarrera v Hausnarketa vii 1 Erretikulu teoriaren oinarrizko kontzeptuak 1 1.1 Egitura aljebraikoari etekina ateratzen . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Zenbaki errealen hainbat propietate orokortzen . . . . . . . . 10 1.3 Ordena teoriaren eta erretikulu teoriaren berezko definizio batzuk ................................ 14 2 Erretikulu banakorrak eta Boole erretikuluak 21 3 Errepresentazio teoremak 31 3.1 Errepresentazio topologikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 A ariketak 43 B Topologia 49 Bibliografia 53 iii Sarrera Egungo egoeran, ordenagailuek duten nonahikotasuna ikusita, logika aztertzea behar handia da. Xede horrekin aurkeztu zuen 1845ean George Boole matematikariak Boole aljebra bere “The Mathematical Analysis of Logic”artikuluan. Gaur egun, teoria horren orokorpen handia egin da eta erretikulu teoria deritzo. Gainera, topologian, multzo teorian, aljebran eta beste zenbait arlotan toki bat irabazi du teoria berri honek. Lan honetan erretikulu teoriaren nondik norakoak aztertuko ditugu; gure helburua erretikuluen egitura nolakoa den aztertzea izango da. Hala, ezagunak ditugun erretikuluetatik abiatu, esaterako, zenbaki errealak ohiko ordenarekin eta multzoen parteen familia parte izatearen ordenarekin, eta orokorrera joko dugu. Gero, gure azken helbururantz joko dugu eta errepresentazio teorema pare bat ikusiko ditugu. Errepresentazio teoremek zubiak eraikitzen dituzte. Hauetako bitan zentratuko da lana: Birkhoffen teoreman, zeinak multzo teoriarako zubia eraikitzen digun, erretikulu banakor bat multzo baten parteen familian nolabait sar daitekeela frogatuz, eta Stoneren teoreman, zeinak topologiarekin zubi bat eraikitzen digun Boole erretikuluei topologia bat ezarriz. Errepresentazio teoremek garrantzi handia dute bi aldetara erabil daitezkeelako. Alde batetik topologian eta multzo teorian frogatu izan diren hainbat eta hainbat teorema erretikuluetara itzultzea ahalbidetzen digute; eta, bestetik, erretikulu teorian, era eraikitzaile batean, topologiako edota multzo teoriako hainbat eta hainbat froga egin daitezke eta gero euren mundura itzuli. Aurreko paragrafoetan aurkeztu ditugun helburuak lortzeko, hiru atalez osatutako hurrengo egitura du lan honek: lehenengo atala, “Erretikulu teoriaren oinarrizko kontzeptuak”izenburuduna. Atal honetan ezagunak ditugun erretikuluetatik abiatuz erretikulu teoriaren oinarrizko tresnak aurkezten dira, notazioa eta lan egiteko era finkatzeaz gain. Hiru azpiatal ditu, “Egitura aljebraikoari etekina ateratzen”, “Zenbaki errealen hainbat propietate orokortzen”eta “Ordena teoriaren eta erretikulu teoriaren berezko definizio batzuk”izenburudunak. Bigarren atala, “Erretikulu banakorrak eta Boole erretikuluak”tituluduna da. Atal hau trantsizio atala da: aurreko atalean aurkeztutako tresnak erabiliz, hirugarren atalean erabiliko diren erretikulu motak aurkezten dira; hain zuzen ere, erretikulu banakorrak eta v vi Boole erretikuluak. Hauen azterketa ez denez lan honen helburu nagusia, errepresentazio teoremak kendurik, ez da asko sakondu. Hala ere, tradizio gehien duen atala da eta asko dago hemen aurrerantzean sakontzeko. Hirugarren atala, “Errepresentazio teoremak”izenburuduna da. Atal honek bi zati nagusi ditu Birkohffen teoremaren froga eta Stonerena, hain zuzen ere; bigarrena, ”Errepresentazio topologikoak”azpiatalaren barnean doalarik. Azkenik eta bukatzeko, aipatu beharrekoa da lan honetan aurkeztu diren teoremak hurrengo hiru liburu klasikoetatik ateratakoak direla: G. Gr¨atzerren “Lattice theory: Foundation”, G. Birkhoffen “Lattice theory”, eta S. Burris eta H. P. Sankappanavarren “A course in universal algebra”. Hausnarketa Lan hau guztiz teorikoa da. Honenbestez, ez die G.J.H helburuei zuzenki eragiten. Behin hau esanda, erretikulu teoriak hainbat aplikazio izan ditzakeela ikusi da konputazioan. Gaur egun datuen analisiak garrantzi handia hartu du, eta horrekin batera ur gastu oso handiak ere edonon aurki daitezke. Argi dago, datuen erabilpenak ikusirik, ezin diogula datuak aztertzeari utzi, baina erretikuluen azterketak datuen analisia optimizatzen lagun dezake. 6. eta 12. G.J.H helburuekin lerrokatzen da ur xahupena ekiditeko edozein jarrera hartzea. Helburu honekin, datuak lantzeko tresna egokiak aurkitzea behar beharrezkoa da. Ur gastua konputazio denborarekin igotzen baita. Hor sartzen dira erretikulu osoak eta kontzeptu erretikuluak. Hala ere, lan honen tankerako lan teorikoek tresna matematiko ugari jorratzen dituzte. Askotan garrantzia kentzen zaie aplikazio zuzenik ez baitute. Baina G.J.H etan aurrera egiteko, infraestrukturak hobetu behar dira bai gastua murrizteko, edo errekurtsoak nonahi hel daitezen bermatzeko. Esaterako, programazio matematikoak asko hobetu du anbulantzien kokapena Alemanian edo ur hodien sarea hainbat tokitan. Erretikulu teoriak halako arlo aplikatuei oinarriak ematen dizkio, beste edozein gai teorikok bezala. Ondorioz, era jasangarrian bizitzerako bidean edozein lan teorikok lagundu lezake. Bai zuzenean kontzeptu erretikuluek datuen analisian laguntzen duten bezala, datuen analisia azkartuz, eta ura aurreztuz; edo bai zeharka bestelako ezagutza matematiko eta zientifikoari tresnak emanez G.J.Hen alde egiteko tresnak gara ditzaten. vii 1. Kapitulua Erretikulu teoriaren oinarrizko kontzeptuak Erretikulu teoriak, Rmultzoko ordena erlazioa, supremoa eta infimoa orokortzen ditu. Hauek aztertzeko lehenik eta behin ordena definituko dugu, eta bere propietateak aztertuko. 1.0.1 definizioa. Biz Xmultzoa eta ρ⊆X×Xerlazioa. Esango dugu ρordena erlazioa (edo soilik ordena) dela hurrengo baldintzak betetzen baditu: (errefl) (x, x)∈X2x∈X⊆ρ, (anti) (x, y)∈ρeta (y, x)∈ρ=⇒x=y, (irag) (x, y)∈ρeta (y, z)∈ρ=⇒(x, z)∈ρ. Egoera honetan (X, ρ) bikoteari multzo ordenatu edo partzialki ordenatua deritzogu. Ordena bat aztertzen dugunean, orokorrean (x, y)∈ρ,x ρ y idatziko dugu, eta ≤,⊆moduko ikurrekin izendatuko ditugu; bestalde, x≤ybada eta berdintza betetzen ez bada <, ⊂ikurrak erabiltzen ditugu. Behin ordena definiturik ikus dezagun adibide bat: 1.0.2 adibidea. Lehenik eta behin har dezagun X={1,2,3}multzoa eta ≤betiko ordena. Hau deskribatzeko, esan beharko genuke zein den ≤ multzo moduan: ≤={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}. hain zuzen ere. Hemen datuak soberan daudela argi dago. Ordena dela jakinda (1,2),(2,3) ∈ ≤ badaude beste puntu horiek guztiak barnean daudela jakin dezakegu. Horregatik ematen da hurrengo definizioa. 1 8 Honekin multzo ordenatua dela frogatu dugu, orain ikus dezagun zer gertatzen den supremo eta infimoarekin. Har ditzagun x, y ∈Aedozein bi elementu ikusiko dugu x∨y=x∗1ydela. Argi dago x≤x∗1yeta y≤ x∗1ybetetzen direla ∗1eragiketak trukatze, elkartze eta idempotentzia legeak betetzen baititu. Orain, demagun existitzen dela x≤zeta y≤z desberdintzak betetzen dituen z∈A. Orduan, (x∗1y)∗1z(elkar) =x∗1(y∗1z)y≤z =x∗1zx≤z =c . Beraz x∗1y≤zlortzen dugu. Era honetan, frogatua geratzen da supremoa dela bi baldintzak betetzen baititu. Oraindik ez dugu bigarren eragiketa erabili; orain beharko dugu. Ikusi behar dugu infimoarekin zer gertatzen den. Har ditzagun x, y ∈Aedozein bi elementu; orduan haien infimoa x∧y=x∗2ydela ikusiko dugu. Lehenik eta behin, ikusi behar dugu x∗2y≤xeta x∗2y≤ybetetzen direla. Baina ∗1eta ∗2eragiketek xurgapen legea betetzen dutenez, (x∗2y)∗1x=x betetzen da. yelementuarekin egiteko ∗2eragiketak trukatze betetzen duela erabili behar da baina gauza bera da. Orain demagun existitzen dela z≤x eta z≤ybetetzen dituen z∈A; orduan, z∗1(x∗2y)=(z∗2(z∗1y)) ∗1(x∗2y) (xurg) = (z∗2y)∗1(x∗2y) (z≤y) = ((z∗2(z∗1x)) ∗2y)∗1(x∗2y) (xurg) = ((z∗2x)∗2y)∗1(x∗2y) (z≤x) = (z∗2(x∗2y)) ∗1(x∗2y) (elkar) =x∗2y. (xurg) Hau da, z≤x∗2yeta ondorioz x∧y=x∗2y. 1.0.15 oharra. Desberdintzak egokiro defini daitezkeen arren lan honetan ez dugu egingo. Desberdintza diogunean hurrengoa izango dira: erretikuluko elementuak eta eragiketak konbinaturik sortutako bi adierazpen eta haien arteko ordena erlazio bat. 1.0.16 oharra. Infimoa zein den frogatu dugunean erabilitako eragiketak; hasiera batean, ez dira batere intuitiboak. Hala ere, ariketa bat egingo dugu hauek lantzeko. Hemen doa eragiketak egiteko egiten den arrazoiketa kasu 1. Kapitulua. Erretikulu teoriaren oinarrizko kontzeptuak 9 honetan: lehenik eta behin, ohartu ditugun arauekin bi metodo bakarrik ditugula adierazpenak murriztu eta hazteko, (xurg) edo (idem) aplikatzea hain zuzen ere. Kasu honetan, frogatu nahi badugu z∗1(x∗2y) = x∗2ydela, hau frogatzeko modu bakarra, adierazpena garatu eta nolabait (xurg) erabiltzea da. Beraz, logikoa dirudi znola berridatzi pentsatzen hastea. Bestalde, c elementuari buruz dakigun guztia da z∗1x=xeta z∗1y=ydirela; beraz bi adierazpen horiek sartu nahi ditugu sinplifika daitezkeelako. Bi gauza hauek bateratzen baditugu emandako urratsak ez dira hain arrotzak. 1.0.17 oharra. (L, ≤) erretikulu bat daukagunean a, b ∈Lharturik a≤b⇐⇒ a∨b=b da. Beraz, (L, ∨,∧) egitura aljebraikoak definituriko erretikulua (L, ≤) da. 1.1 Egitura aljebraikoari etekina ateratzen Azpiatal honetan egitura aljebraikotik atera daitezkeen hainbat definizio emango ditugu soilik. Definizio orokor hauek [2] liburuan ematen dira edozein egitura aljebraikorako (hemen erretikuluetarako eman ditugu). 1.1.1 definizioa. Bira (L, ≤L) eta M, ≤M) erretikuluak eta f:L→M aplikazioa. Esaten dugu ferretikulu-homomorfismoa dela baldin eta soilik baldin, x, y ∈Lguztietarako hurrengoa betetzen bada: (i) f(x∨Ly) = f(x)∨Mf(y), (ii) f(x∧Ly) = f(x)∧Mf(y). Eta beti bezala definitzen ditugu monomorfismo, epimorfismo eta isomorfismoak. Horrez gain, Leta Merretikuluen artean isomorfismo bat badago isomorfoak direla esango dugu eta L∼ =Midatziko. 1.1.2 definizioa. Bira ∅ =B⊆Lbetetzen duten (B, ∧B,∨B) eta (L, ∧L,∨L) erretikuluak. Esaten dugu (B, ∧B,∨B) multzoa (L, ∧L,∨L) multzoaren azpirretikulua dela eta B≤Lidatzi; baldin eta soilik baldin, (∧L)B2=∧Beta (∨L)|B2=∨B badira. 1.1.3 definizioa. Biz {(Li,∧i,∨i)|i∈ {1. . . n} } erretikuluen familia finitua. Orduan haien biderkadura zuzena n Y i=1 Li,∧,∨! 10 1.2. Zenbaki errealen hainbat propietate orokortzen erretikulu bat da; ∧,eta ∨eragiketak proiekzioak erretikulu-homomorfismoak direla bermatzeko definitzen direlarik. Ohartu definizio hau egokia dela, x, y ∈Qn i=1 Lihartuta x∧y= (πi(x∧y))n i=1 = (πi(x)∧iπi(y))n i=1 da, eta x∨y= (πi(x∨y))n i=1 = (πi(x)∨iπi(y))n i=1 πiigarren proiekzioa delarik. 1.1.4 adibideak. Erreparatu diezaiogun X={a, b }multzoari eta definitu hurrengo ordena ≤= tran {(a, b)}orduan X×Xbiderkadura erretikulua da eta hurrengo diagrama dauka. (b, b) (a, b)(b, a) (a, a) (a, a)=(a, b)∧(b, a) (b, b)=(a, b)∨(b, a) 1.2 Zenbaki errealen hainbat propietate orokortzen Zenbaki errealen multzoa erretikulu bat bada ere ohiko ordenarekiko, beste propietate bat ere betetzen du. Hurrengoa hain zuzen ere: x, y ∈R=⇒x≤yedo y≤x. Orokorrean (L, ≤) erretikulu bat daukagunean esaten dugu C⊆Lkatea dela, goiko baldintza betetzen badu. Hau da: x, y ∈C=⇒x≤yedo y≤x. Bereziki erretikulu bat (L, ≤) katea dela esango dugu, Lkatea bada. 1.2.1 teorema. Biz (C, ∨,∧) erretikulua Cez-hutsa izanik. Orduan katea da baldin eta soilik baldin edozein azpimultzo azpirretikulua bada. Frogapena. Edozein azpimultzo azpirretikulua bada, bereziki x, y ∈Charturik {x, y} ⊆ Cazpirretikulua da. Deitu diezaiogun {x, y}multzoari A. Erretikulua denez geroztik, badago definitua ∨Aeragiketa Amultzoan. Hau da, x∨Ay∈Ada. Eta azpirretikulua izateagatik x∨y=x∨Ay 1. Kapitulua. Erretikulu teoriaren oinarrizko kontzeptuak 11 denez; x∨y∈Ada. Azken hau berridatziz gero, x∨y=xedo x∨y=y betetzen dela lortzen dugu. Hau da, x≤yedo y≤x da. Beste inplikaziorako, biz (C, ∨,∧) katea, eta B⊆Cedozein azpimultzo eta bt, bh∈Bedozein bi elementu. Definituko dugu bt∨Bbh=bt∨bh eta bt∧Bbh=bt∧bh. Argi dago, ondo definituta egonez gero, erretikulua izango dela eta azpirretikulua izateko baldintza beteko duela. Ondo definituta dagoela ikusteko, orokortasunik galdu gabe, bt≤bhsuposatuko dugu (hau egin daiteke C katea delako). Ikusi behar dugu bt∨Bbh∈Beta bt∧Bbh∈Bdirela. Eta bt∨Bbh=bt∨bh=bh∈B eta bt∧Bbh=bt∧bh=bt∈B direnez, hala da. Bestalde, zenbaki errealekin lan egiten dugunean askotan desberdintzak askatu edo eraldatu nahi ditugu eta hori egiteko funtzio monotonoak eta antitonoak definitzen ditugu. Erretikuluetan berdina egiten dugu, a, b ∈L baditugu orduan ϱ:L→Kmonotonoa da a≤bbetez gero, ϱ(a)≤ϱ(b) bada eta antitonoa da ϱ(b)≤ϱ(a) bada. Hemendik aurrera ezer esaten ez bada aplikazio batek letra grekoa badu monotonoa da eta erromatarra badu homomorfismoa. 1.2.2 teorema. Bira (L, ≤L),(K, ≤K) erretikuluak eta f:L→Kerretikuluhomomorfismoa. Orduan, ffuntzio monotonoa da. Frogapena. Hartu x≤Lybetetzen duten x, y ∈Lelementuak, orduan y= x∨Lyda. ferretikulu homomorfismoa denez, f(y) = f(x∨Ly) = f(x)∨Kf(y) da, edo beste era batera idatzita f(x)≤Kf(y). 12 1.2. Zenbaki errealen hainbat propietate orokortzen 1.2.3 teorema. Bira (L, ≤L),(K, ≤K) erretikuluak eta ψ:L→Kaplikazio monotonoa, bijektiboa, eta alderantzizko monotonoduna. Orduan, ψ erretikulu-isomorfismoa da. Frogapena. Hartu x, y ∈Ledozein bi elementu, ikusi nahi genukeena hurrengoa da: (i) ψ(x∨Ly) = ψ(x)∨Kψ(y), (ii) ψ(x∧Ly) = ψ(x)∧Kψ(y). Beraz has gaitezen (i) berdintza frogatzen, ohikoa den bezala bi desberdintzak frogatzen. ψmonotonoa denez eta x≤Lx∨Lybetetzen denez ψ(x)≤Kψ(x∨Ly) (1.8) ondoriozta dezakegu; gainera arrazoi bera dela eta ψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.9) ere ondoriozta daiteke. (1.8) eta (1.9) inekuazioak bateratuz gero hurrengoa erator dezakegu: ψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.10) (1.10) erabiliz hurrengo bi kateak lor ditzakegu: ψ(x)≤Kψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.11) ψ(y)≤Kψ(x)∨Kψ(y)≤Kψ(x∨Ly) (1.12) ψ−1monotonoa denez (1.11) eta (1.12) desberdintza kateetako gai guztietan aplikatzen badugu hurrengo bi desberdintzak lortzen ditugu: x≤Lψ−1ψ(x)∨Kψ(y)≤Lx∨Ly(1.13) y≤Lψ−1ψ(x)∨Kψ(y)≤Lx∨Ly(1.14) (1.13) eta (1.14) bateratzen baditugu eta propietate antisimetrikoa erabiltzen ψ−1ψ(x)∨Kψ(y)=x∨Ly lortzen dugu. Bukatzeko berdintzan ψaplikatuz nahi genuena lortzen dugu. ψ(x)∨Kψ(y) = ψ(x∨Ly) Beste baldintza ez dugu frogatuko, argumentu analogoa jarraituz lor baitaiteke. 1. Kapitulua. Erretikulu teoriaren oinarrizko kontzeptuak 13 Tarteak (itxiak interesatzen zaizkigu batez ere) definiturik ditugu Rmultzoan. Bi motatakoak ditugu a, b ∈Redozein izanda a≤bbetetzen dutelarik: (i) [a, ∞) edo (−∞, a] erakoak, non [a, ∞) = {x∈R|a≤x}eta [−∞, a) = {x∈R|x≤a} diren. (ii) [a, b] erakoak non [a, b]=[a, ∞)∩(−∞, b] den. Erretikulu orokor bat harturik ere bi kontzeptu hauek orokortu daitezke hurrengo definizioen bidez: 1.2.4 definizioa. Bira (L, ≤) erretikulua eta X⊆Lmultzoa. Hurrengoak dira Xmultzoaren goi-multzo eta behe-multzoa hurrenez hurren: ↑X={l∈L| ∃x∈X:x≤l} ↓X={l∈L| ∃x∈X:l≤x}. Eta D⊆Lgoi-multzoa (edo behe-multzoa) dela esaten badugu zerena den esan gabe, horrek esan nahiko du existitzen dela X⊆Lnon D=↑Xden (edo D=↓X). Ohartu, honekin lehen tarte mota orokortu dugula, [a, ∞) zenbaki errealen gaineko ↑ { a}besterik ez baita. Notazio aldetik, ↑{ a}multzoa ↑a idazten da. Behe-multzoarekin ere berdina gertatzen da. Gainera, orain (ii) motako tarteak ere defini ditzakegu. 1.2.5 definizioa. Bira (L, ≤) erretikulua eta a≤bbetetzen duten, a, b ∈L edozein bi elementu. Esango dugu [a, b]=(↑a)∩(↓b) multzoa aelementutik belementurainoko tartea dela. Behin hau definiturik, suerta dakigukeen galdera hurrengoa da. 1.0.10 adibidetan ikusi genuen (P(L),⊆) erretikulua zela. Orain definitu dugu modu bat Lerretikulutik P(L) erretikulura pasatzeko. Nolakoa da aplikazio hori? 1.2.6 teorema. Bira (L≤) erretikulua eta ↑:L→ P(L) a7→↑a aplikazioa. Orduan ↑injektiboa da eta antitonoa. 14 1.3. Ordena teoriaren eta erretikulu teoriaren berezko definizio batzuk Frogapena. Bira x, y ∈Ledozein bi elementu. Suposa dezagun irudi bera dutela. Orduan, ↑x=↑y=⇒x∈↑x=↑yeta y∈↑y=↑x=⇒y≤xeta x≤y=⇒x=y betetzen da; beraz, ↑injektiboa da. Bestalde, x≤ybada eta z∈↑yhartzen badugu x≤y≤zdaukagu beraz ↑y⊆↑xda. 1.2.7 definizioa. Bira (L, ≤) erretikulua eta B≤Lazpirretikulua. Esaten dugu B konbexua dela baldin eta x, y ∈B=⇒[x, y]⊆B betetzen bada. 1.3 Ordena teoriaren eta erretikulu teoriaren berezko definizio batzuk 1.3.1 definizioa. Bira (L, ≤) multzo ordenatua eta ¯: L→Laplikazioa. Esaten dugu ¯ itxitura eragilea dela baldin eta, hurrengo hiru baldintzak betetzen baditu: •x≤x, ∀x∈L, •¯ monotonoa da, •x=x, ∀x∈L(hau da,¯ idempotentea da ). 1.3.2 adibidea. ↓itxitura eragilea da P(L) gainean, non (L, ≤) multzo ordenatua den. Hau ikusteko ohartu X⊆Lhartuz gero X⊆↓Xdela. Bestalde, bira Lmultzoko X, Y edozein bi azpimultzo X⊆Ybetetzen dutelarik eta a∈↓X. Orduan, existitzen da a≤xbetetzen duen xelementua Xmultzoan. Baina Xmultzoa Yren azpimultzoa denez; existitzen da a≤x betetzen duen xelementua Ymultzoan. Hau da, a∈↓Yda eta horregatik ↓X⊆↓Y. Bukatzeko, ikus dezagun idempotentea dela. (i) propietatea aplikatuz badakigu ↓X⊆↓↓X dela. Horrenbestez, ikusi behar duguna bestalderako partekotasuna da. Horretarako, hartu x∈↓↓Xedozein. Definizioz existitzen da x≤ybetetzen duen y∈↓X. Bestalde yelementua Xmultzoaren behe-multzoan egoteagatik existitzen da z∈Xelementua y≤zbetetzen duelarik. Iragankortasunari esker, x≤zdela erator dezakegu, eta beraz x∈↓Xda. 1. Kapitulua. Erretikulu teoriaren oinarrizko kontzeptuak 15 (Adibide hau, goi-multzoekin ere egin zitekeen) 1.3.3 ondorioa. Fbehe-multzoa da baldin eta soilik baldin ↓F=Fbada eta goi-multzoa da baldin eta soilik baldin ↑F=Fbada. 1.3.4 adibidea. Hartu dezagun Xmultzoa, τharen gaineko topologia eta definitu dezagun hurrengo eragilea (P(X),⊆) multzo ordenatuaren gainean: ¯ :P(X)→ P(X) A→A={x∈X| ∀N∈ Nx, N ∩A=∅ } , non Nxikurrak x elementuaren inguruneen familia adierazten duen (ikus B.0.6 definizioa). Eragile honi topologian Kuratowskiren itxitura eragile deritzo eta itxitura topologikoaren propietateak kontuan hartuta, berehalakoa da 1.3.1 definizioko baldintzak betetzen dituela frogatzea, eta, beraz, itxitura eragilea dela. 1.3.5 definizioa. Bira (L, ≤) erretikulua eta ¯: L→Litxitura eragilea. Hurrengo multzoa ¯ eragilearekiko itxien multzoa dela esaten da: Cl(L) = l∈Ll=l 1.3.6 definizioa. Bira (L, ≤) erretikulua eta C ⊆ Lazpimultzoa. Esango dugu Ceragileren baten itxien multzoa dela baldin eta hurrengoa betetzen badu: (i) x, y ∈ C =⇒x∧y∈ C. (ii) Edozein z∈Lelementurako existitzen da z∗∈Celementua non z≤z∗den eta z≤lbetetzen duten l∈Cguztietarako z∗≤l. Azken definizio honetatik eragilea errekuperatu nahi badugu nahikoa da z=z∗definitzea. 1.3.7 teorema. Bira (L, ≤) erretikulua, ¯ : L→Litxitura eragilea, eta Cl(L) multzoa ¯ eragilearekiko itxien multzoa. Orduan, (Cl(L),≤) erretikulua da. (ohartu ez duela zertan izan azpirretikulua) Frogapena. Ordena dela argi dago. Ikusi behar dugun bakarra da infimoa eta supremoa zeintzuk diren. Infimoari dagokionez, ohartu x, y ∈Cl(L) hartuta, x∧y≤x∧y≤x=x(1.15) eta x∧y≤x∧y≤y=y(1.16) 16 1.3. Ordena teoriaren eta erretikulu teoriaren berezko definizio batzuk betetzen dira, lehen desberdintzen lehen zatiak (i) propietatea betetzen delako eta bigarrenak monotonoa izateagatik hain zuzen ere. Bukatzeko ohartu (1.15) eta (1.16) bateratuz x∧y=x∧y lortzen dugula. Hau da, xeta yelementuen infimoa itxia denez, bereziki itxien barruko infimoa infimo bera da. Supremoari dagokionean frogatuko dugu x∨Cl(L)y=x∨ydela. Hori ikusteko ohartu x≤x∨ydela eta y≤x∨ydirela; beraz, x∨yelemuntuak supremoa izateko lehen baldintza betetzen du. Bestalde, ohartu x≤zbada eta y≤zbada z∈Cl(L) izanik, orduan x∨y≤zda eta horregatik, x∨y≤z=zberaz, bigarren baldintza ere betetzen du. 1.3.8 ondorioa. 1.3.2 adibidean ikusitakoaren ondorioz, behe-multzoen familia erretikulua da infimotzat ebakidura duena eta supremotzat bildurak sortutako behe-multzoa duena, baina kasu honetan bilduraren behe multzoa bidura bera da. Horrez gain, goi-multzoen familia ere erretikulua da. Infimotzat ebakidura du baita eta supremotzat bildurak sortutako goi-multzoa duena, eta lehen bezala bilduraren goi-multzoa bildura bera da kasu honetan. Ohartu gainera supremo eta infimoak bildura eta ebakidura direnez hurrenez hurren, (P(L),⊆) erretikuluaren azpirretikulua dela. Supremo eta infimoaren definizioak nolanahiko multzoetara orokor ditzagun orain. Erretikuluetan, multzoa finitua ez bada hauen existentzia ez dago bermatuta, baina aurrerago ikusiko ditugun erretikulu osoetan existentzia bermatuta izango dugu. 1.3.9 definizioa. Bira (L, ≤) multzo ordenatua eta H⊆Lazpimultzoa. Esango dugu, existitzekotan, c=WHelementua Hmultzoaren supremoa dela hurrengo bi baldintzak betetzen baditu: (i) ∀x∈H, x ≤cda. (ii) Existitzen bada (i) betetzen duen d∈L, orduan c≤dda. Definizio honen dualari Hmultzoaren infimo deritzogu, eta VHadieraziko dugu. 1.3.10 proposizioa. Bira (L, ≤) erretikulua, x∈Leta X, Y ⊆L.Xeta Ymultzoen supremo eta infimoek, existitzekotan, hurrengo propietateak dituzte: (i) W(X∪Y) = WX∨WY, (ii) V(X∪Y) = VX∧VY, 1. Kapitulua. Erretikulu teoriaren oinarrizko kontzeptuak 17 (iii) W{x}=V{x}=x. Bereziki, Xfinitua bada erretikulu batean beti existitzen da bere supremoa eta infimoa Propietate hauek errez frogatu daitezke; hala ere, gutxi erabiliko ditugunez ez ditugu frogatuko, frogak ez baitigu askorik gehituko. 1.3.11 definizioa. Biz (L, ≤) erretikulua. Esaten dugu F≤Lazpirretikulua filtroa dela baldin eta hurrengo baldintza betetzen badu: a∈Feta x∈L=⇒a∨x∈F. (1.17) Lgaineko filtroen familia F(L) adieraziko dugu. 1.3.12 definizioa. Biz (L, ≤) erretikulua. Esaten dugu I≤Lazpirretikulua ideala dela baldin eta hurrengo baldintza betetzen badu: a∈Ieta x∈L=⇒a∧x∈I. (1.18) Lgaineko idealen familia I(L) adieraziko dugu 1.3.13 oharra. Ikusi ditugun definizio batzuk elkarren dualak dira; esaterako behe eta goi multzoak, eta idealak eta filtroak. Beste asko haien buruarekiko dualak dira; esaterako, monotonoa, antitonoa, azpirretikulua, katea. 1.3.14 teorema. (Filtroen Karakterizazioa) Bira (L, ≤) erretikulua eta F⊆Lazpimultzo ez-hutsa. Orduan, hurrengo baliokidetasuna daukagu: Ffiltroa da ⇐⇒ ∀x, y ∈F, x ∧y∈F, eta Fgoi-multzoa da.(1.19) Frogapena. Has gaitezen Ffiltroa dela suposatuz. Har ditzagun, bada x, y ∈ Feta a∈↑Fedozein hiru elementu; orduan argia da x∧yelementua F multzoan dagoela Fazpirretikulua baita, eta existitzen denez b∈F, non b≤aden; a=b∨aelementua Ffiltroan dago. Hortaz, F=↑Fda. Beste aldera frogatzeko, demagun goian agertzen diren baldintzak betetzen direla eta hartu x, y ∈Feta l∈Ledozein hiru elementu. Ikusiko dugu hiru baldintza hauek betetzen direla: (i) x∧y∈F, (ii) x∨y∈F, (iii) l∨x∈F. 24 f:X→L a7→ lh∧l b7→ lt∨(lh∧l) c7→ l d7→ lh∧(lt∨l) e7→ lt∨l. Aplikazio hau erretikulu-homomorfismoa dela ez dugu frogatuko erraz ikusten baita. Irudira murriztuko dugunean surjektiboa izango da, eta injektibotasuna ikusteko nahikoa da bi irudi posible hartzea, berdintzea, lt, lheta lelementuek betetzen duten erlazioan sartzea eta jarraian kontraesanera heltzea. Egin dezagun adibide bat, demagun f(a) = f(c) dela, orduan l≤lhlitzateke eta, beraz, lt∨l≤lhedukiko genuke. Ondorioz, lt∨(l∧lh) = lt∨l= (lt∨l)∧lh eratorriko genuke. Hau, noski, kontraesana da. 2.0.8 korolarioa. Diamantea erretikulu modularra da. 2.0.9 teorema. Bira (L, ≤) erretikulu modularra eta (X, ≤X) diamantea. Orduan, Lbanakorra da, baldin eta soilik baldin ez bada existitzen f:X→Lerretikulu-homomorfismoa non g=f|X,f(X)erretikulu-isomorfismoa den. Frogapena. Demagun teoremako baldintza betetzen duen fexistitzen dela eta enuntziatuko erara definitzen dugula g. 2.0.6 adibideko (iii) atalean frogatu dugu Xez dela banakorra, hau da, existitzen direla b, c, d ∈X, ezen hurrengoa betetzen duten: b∧(d∨c)= (b∧d)∨(b∧c). ghomomorfismo injektiboa denez, elementu ezberdinak toki ezberdinetara eramaten ditu. Ondorioz, existitzen dira g(b), g(c), g(d)∈Lelementuak g(b)∧(g(d)∨g(c)) = (g(b)∧g(d)) ∨(g(b)∧g(c)) betetzen dutelarik. Horrenbestez, Lez da banakorra. Demagun orain Lmodularra dela, baina ez dela banakorra, eta har ditzagun l1, l2, l3∈L, non ez duten (ban) betetzen. Beste era batera esanda, hurrengoa betetzen dute elementuek: l1∧(l3∨l2)= (l1∧l3)∨(l1∧l2). 2. Kapitulua. Erretikulu banakorrak eta Boole erretikuluak 25 Hauek erabiliz defini dezagun hurrengo homomorfismoa: f:X→L a7→ (l1∧l2)∨(l1∧l2)∨(l2∧l3) e7→ (l1∨l2)∧(l1∨l3)∧(l2∨l3) b7→ (l1∧f(e)) ∨f(a) c7→ (l2∧f(e)) ∨f(a) d7→ (l3∧f(e)) ∨f(a). Lehen bezala arrazoituz. Homomorfismoa dela ikustea erreza da, surjektiboa izango da murrizketa egitean eta edozein elementu pare harturik berdinak direla suposatzen badugu l1, l2eta l3elementuek hasierako baldintza betetzen ez dutela erator daiteke beti (agian (mod) erabiliz noski). 2.0.10 korolarioa. Biz (L, ≤) erretikulua. (L, ≤) banakorra da baldin eta soilik baldin I, J ∈id Ledozein bi idealetarako I∨J={i∨j∈L|i∈I, j ∈J} bada. Frogapena. Hasteko, demagun Lbanakorra dela eta har dezagun t∈I∨J= id(I∪J). Ikus dezagun lehenik existitzen direla i∈Ieta j∈Jelementuak t≤i∨jdelarik. Hurrengo prozedura jarraituko dugu: 1.3.19 korolarioko azken puntuan ikusi genuen bezala existitzen da T⊆ I∪Jfinitua t≤WTdelarik. Orain, T= (T∩I)∪(T∩J) denez, i=_(T∩I) eta j=_(T∩J) hartzen baditugu argi dago behar genuena betetzen dela. Orain,t≤i∨jdesberdintza beste era batera idatziko dugu: t=t∧(i∨j)=(t∧i)∨(t∧j). Lortu dugunari erreparatzen badiogu, Ieta Jidealak direnez telementua Ieta Jidealetako bi elementuren supremoa dela frogatu dugu. Honekin, I∨J⊆ { i∨j∈L|i∈I, j ∈J} 26 frogatu dugu dugu eta beste partekotasuna idealen karakterizazioaren aplikazio zuzena da. Beste inplikazioa frogatzeko, demagun Lez dela banakorra. Orduan, existitzen da f:X→Ldiamantetik Lespaziorako homomorfismoa eta irudira murriztean isomorfismoa dena. Egoera honetan, id(f(b)) ∨id(f(c)) ezin da idatzi teoremak ematen duen eran. Osterantzean, f(d)∈id(f(b)) ∨ id(f(c)) denez (d≤b∨cdelako eta beraz, f(d)≤f(b∨c) = f(b)∨f(c)) existitu beharko lirateke l1∈id(f(b)) eta l2∈id(f(c)), ezen f(d) = l1∨l2 betetzen den. Ikus dezagun hau ezin dela gertatu. Gertatuko balitz, l2=f(d)∧l2≤f(d)∧f(c) = f(d∧c) = f(a) litzateke. Ondorioz, f(d) = l1∨l2≤l1∨f(a)≤f(b)∨f(a) = f(b∨a) = f(b) eta f(d)≤f(b) kontraesana da f(X) multzora murriztuta ffuntzioak alderantzizko monotonoa duelako eta d≤ bdelako. 2.0.11 definizioa. Bira (L, ≤) erretikulua eta Iharen ideala. Esango dugu Iideal nagusia dela baldin eta existitzen bada x∈L I= id(x) delarik. 2.0.12 korolarioa. Bira (L, ≤) erretikulu banakorra eta I, J bi ideal. Egoera honetan, I∨Jeta I∧Jideal nagusiak badira Ieta Jere nagusiak dira. Frogapena. Hartu I∨J= id(x) eta I∧J= id(y) betearazten duten x, y ∈L. Frogatu berri dugunari esker existitzen dira i∈Ieta j∈Jnon x=i∨j den. Hurrengo bi berdintzak frogatzea dugu helburu: 1) I= id(i∨y), 2) J= id(j∨y). Ohartu i∨y∈Ieta j∨y∈Jbetetzen direla y∈I∧J=I∩Jdelako, eta id itxitura eragilea denez, id(i∨y)⊆id(I) = Ieta id(j∨y)⊆id(J) = J direla. Bukatzeko, froga dezagun beste partekotasuna 1) berdintzarako bestea era berdintsuan frogatzen baita. Haurtu a∈Iedozein, dakigunez a≤xda a∈I⊆I∨J= id(x) =↓x 2. Kapitulua. Erretikulu banakorrak eta Boole erretikuluak 27 delako. Ondorioz, a=a∧x =a∧(x∨y) =a∧(i∨j∨y) =a∧(i∨y)∨(j∨y) =a∧(i∨y)∨a∧(j∨y) da. a∈Idenez, a∧(j∨y)∈Ida Iideala baita. Era berean, j∨y∈J denez, a∧(j∨y)∈Jda baita. horrek esan nahi du a∧(j∨y)∈I∩J=I∧J= id(y) =↓y dela. Haurreko katearekin jarraituz hurrengoa ondoriozta dezakegu: a=a∧(i∨y)∨a∧(j∨y) =a∧(i∨y)∨a∧(j∨y)∧y =a∧(i∨y)∨a∧y =a∧(i∨y∨y) =a∧(i∨y). Hau da, a≤i∨yda, eta, ondorioz, a∈id(i∨y) da. Jarraitzeko erretikulu (banakor) batean defini daitezken elementu berezi batzuk emango ditugu eta bukatzeko, Boole erretikuluak definituko ditugu. 2.0.13 definizioa. Biz (L≤) erretikulua. Esango dugu (L, ≤)bornatua dela baldin eta soilik baldin 0 = W∅eta 1 = V∅existitzen badira. 2.0.14 proposizioa. Biz (L, ≤) erretikulu bornatua eta x∈Ledozein. Hauek dira 0,1 elementuen propietateak: (i) x∧1 = x, (ii) x∨0 = x. Bi propietate hauei xurgatze unibertsal deritze eta (xurgu) bezala adieraziko ditugu. Frogapena. (i) bakarrik egingo dugu (ii) bere duala delako, (ohartu 1 elementuaren duala 0 elementua dela). (i) ikusteko ohartu 1 = V∅dela eta hurrengo baldintza betetzen duela edozein x∈Lelementuk: ∀a∈ ∅, x ≤a. 28 multzo baten infimoaren definizioa dela eta xelementuak aurreko baldintza betetzen badu nahi eta nahi ez x≤1 desberdintza bete behar du. 2.0.15 definizioa. Biz (L, ≤) erretikulu bornatua. Esango dugu a∈L elementua osagarriduna dela existitzen baldin bada hurrengo bi berdintzak betetzen dituen b∈Lelementua: (i) a∨b= 1, (ii) a∧b= 0. Hau gertatzen denean belementua aelementuaren osagarria dela esango dugu eta a′adieraziko dugu. 2.0.16 teorema. Bira (L, ≤) erretikulu bornatu eta banakorra, eta a∈L elementua. Orduan, aelementuaren osagarria, existitzekotan, bakarra da. Frogapena. Demagun aelementuaren bi osagarri existitzen direla a′eta a′′. Froga dezagun orduan berdinak direla: a′=a′∧1 = a′∧a∨a′′=a∧a′∨a′∧a′′= 0 ∨(a′∧a′′) = a′∧a′′ denez, a′≤a′′ da; gainera a′′ eta a′elementuen paperak truka daitezkeenez, a′=a′′ da. 2.0.17 teorema. Bira (L, ≤) erretikulu banakorra eta bornatua eta a, b ∈L edozein bi elementu osagarridun. Egoera honetan ondoko bi berdintzak betetzen dira: (i) (a∨b)′=a′∧b′, (ii) (a∧b)′=a′∨b′. Frogapena. Dualitate printzipioari esker bietako bat soilik ikusi behar dugu (i) ikusiko dugu esaterako. (i) bete dadin bi baldintza hauek bete behar dira: 1) (a∨b)∨(a′∧b′) = 1, 2) (a∨b)∧(a′∧b′) = 0. Hauek betez gero, osagarriaren bakartasunagatik a′∧b′elementua a∨b elementuaren osagarria litzateke. Lehena garatzen badugu hurrengoa lortzen dugu: 2. Kapitulua. Erretikulu banakorrak eta Boole erretikuluak 29 (a∨b)∨a′∧b′=a∨b∨a′∧a∨b∨b′(ban) = (1 ∨b)∧(a∨1) (osagarriak) = 1 ∧1=1.(xurgu) Bigarrena garatzean, aldiz, hurrengoa: (a∨b)∧a′∧b′=a∧a′∧b′∨b∧a′∧b′(ban) =0∧b′∨a′∧0(osagarriak) = 0 ∨0=0.(xurgu) 2.0.18 proposizioa. Bira (L, ≤) erretikulu bornatua eta banakorra eta x, y ∈Losagarridunak. Orduan, hurrengo propietateak betetzen dira: (i) (x′)′=x, (ii) x≤y=⇒y′≤x′. Frogapena. (i) berehalakoa da osagarriaren definizioa simetrikoa delako eta osagarriaren bakartasuna frogatu dugulako. (ii) frogatzeko, demagun existitzen direla x≤ybetetzen duten x, y ∈L osagarridunak. Orduan, x∧y=xizateagatik, x′∨y′= (x∧y)′=x′da eta, beraz, y′≤x′da. 2.0.19 definizioa. Esaten dugu (L, ≤)Boole erretikulua dela bornatua eta banakorra bada, eta, horrez gain, edozein elementuk osagarria badu. 2.0.20 definizioa. Biz (L, ≤) erretikulu banakorra eta Ibere gaineko ideala. Iidealaren filtro osagarria I′={i′∈L|i∈I}da (definizio honen duala ideal osagarria litzateke ). 2.0.21 teorema. Aurreko definizioko baldintzetan I′filtroa da. Frogapena. Hartu a′, b′∈I′orduan a′∧b′= (a∨b)′da eta I ideala denez eta a, b ∈Idirenez a∨b∈Idugu. Hori dela eta, a′∧b′∈I′da. Gainera, demagun existitzen direla x′∈Leta a′∈I′a′≤x′delarik; orduan x≤a da. Beraz, x∈Ida, eta x′∈I′dela frogatu dugu. Antzeko argudioek frogatzen dute frogatzen dute Ffiltroa bada F′ideal osagarria ideala dela. 3. Kapitulua Errepresentazio teoremak Lan honetan zehar hainbat eta hainbat tresna eman ditugu erretikuluak deskribatzeko eta ikusi ditugu erretikulu mota desberdinak. Hala ere, haien egitura aztertzeko edota klasifikazioa egiteko ez dugu gauza handirik ikusi. Xede horretan laguntzeko erretikuluei buruzko gauzak beste era batera ikusi beharko ditugu, eta atal honen helburua hori ahalbidetzen duten zubiak eraikitzea izango da, errepresentazio teoremak hain zuzen. Bidean topologiarekin erlazionatuko ditugu erretikuluak eta baita ordena teoriarekin eta multzo teoriarekin, baina lehenik eta behin lema batzuk frogatuko ditugu. 3.0.1 lema. Biz (P, ≤) multzo ordenatu finitua. Orduan, (Down P, ⊆) erretikulu banakorra eta finitua da, non Down P,Pmultzoaren gainean definituriko behe-multzoen familia den. Frogapena. Finitua dela argi dago Down P⊆ P(P) delako eta Pfinitua delako hipotesiz. 1.3.8 korolarioan ikusi genuenez erretikulua ere bada. Are gehiago, P(P) erretikulu banakorraren azpirretikulua da, eta beraz, banakorra. Osterantzean, existituko litzateke f:X→Down Pdiamantetik edo pentagonotik Down Perretikulura doan homomorfismoa, non irudira murriztuta isomorfismoa den, baina orduan definiturik legoke f:X→ P(P) baldintza berdinetan, eta hau kontraesana da P(P) banakorra baita. 3.0.2 oharra. Ohartu erretikulu finitu guztiak bornatuak dira. Beraz P finitua bada, Down Pfinitua eta bornatua da 0Down P=∅eta 1Down P=P izanik. 3.0.3 lema. Bira, (P, ≤) eta (Q, ≤) bi multzo ordenatu eta haien arteko ψ funtzio monotonoa. Orduan, defini daiteke Down(ψ) : Down Q→Down P, aplikazioa non (Down(ψ)) (X) = ψ−1(X) 31 32 den. Gainera, aplikazio hau erretikulu-homomorfismoa da eta 1, eta 0 elementuak errespetatzen ditu ({1,0}-homomorfismo esango diogu). Frogapena. Hartu X, Y ∈Down Qikusi behar duguna hurrengoa da: (i) ↓Down(ψ)(X) = Down(ψ)(X) (ondo definituta dago) (ii) Down(ψ)(X∪Y) = Down(ψ)(X)∪Down(ψ)(Y) (iii) Down(ψ)(X∩Y) = Down(ψ)(X)∩Down(ψ)(Y) (iv) Down(ψ)(∅) = ∅ (v) Down(ψ)(Q) = P (ii), (iii), (iv) eta (v) puntuak aurreirudiaren oinarrizko propietateak besterik ez dira. (i) ikusteko har ditzagun ψ:P→Qfuntzio monotonoa, X∈Down Q,t∈Peta x∈Down(ψ)(X) elementu bat t≤xdelarik. Ikus dezagun t∈Down(ψ)(X) dela. t≤xdenez eta ψmonotonoa denez ψ(t)≤ψ(x)∈Xda; ondorioz, ψ(t)∈↓X=X. Hau da, t∈ψ−1(X) = Down(ψ)(X) da. Jarraitzeko, gure xedea Birkhoffen teorema frogatzea izango da. Baina horretarako zenbaki lehenak erretikuluetara orokortuko ditugu, deskonposizioek lagunduko digutelako. 3.0.4 definizioa. Bira (L, ≤) erretikulua eta a∈L. Esango dugu agorenirreduziblea edo supremo-irreduziblea dela baldin eta a=c∨dbetearaziko luketen edozein c, d ∈Lbaleude, orduan a=cedo a=dbeteko balitz. Goren-irreduziblen multzo ordenatuari Ji Ldeituko diogu (ingeleseko joinirreduzible izenetik) eta Lerretikuluaren ordena du. 3.0.5 oharra. 0 existitzen deneko erretikuluetan 0 ez da irreduzibletzat jotzen. 3.0.6 teorema. Bira (L, ≤) erretikulu banakorra eta finitua eta x∈L\{ 0} elementua. Orduan existitzen da {xi}n i=1 ⊆Ji L, non x= n _ i=1 xi den. Frogapena. Demagun ez dela horrela, hau da existitzen dela x∈L\ { 0} zeina ezin den jarri irreduzibleen supremoa bezala. Gure helburua, kate infinitu bat osatzea izango da. Hau kontraesana izango da Lfinitua baita. 3. Kapitulua. Errepresentazio teoremak 33 c0=xezin denez deskonposatu lasai asko esan dezakegu ez dela irreduziblea; beraz existitu behar dira bc1eta ¯c1, non bc1,¯c1< c0diren eta c0=x=bc1∨¯c1den. Argi eta garbi, ¯c1edo bc1ezin da deskonposatu. Osterantzean, xere deskonposatuko litzateke. bc1eta ¯c1artean deskonposa ezina den hori izango da c1eta formula errekurtsibo bera aplikatuz atera daiteke c2, c3. . . segida infinitua. 3.0.7 korolarioa. Bira (L, ≤) erretikulu banakorra eta finitua, {xi}n i=1 ⊆ Lfamilia, eta t∈Ji Lelementua. Orduan, t≤ n W i=1 xibada existitzen da i∈ { 1, . . . , n }, non t≤xiden. Frogapena. Hasteko, t≤ n W i=1 xibada, orduan t=t∧ n _ i=1 xi= n _ i=1 xi∧t eta tirreduziblea denez, definizioz (printzipioz indukzioa beharko genuke hau ikusteko baina nahiko argia da.) existitu behar da supremo honen gai bat xi∧t=tbetetzen delarik, edo beste era batera esanda, t≤xida. Frogapena. Lehenik eta behin, xez da 0; osterantzean, f(x) = f(0) = 0 ∈ Ji K. Orduan existitzen da {xi}n i=1 ⊆Ji L, non x= n _ i=1 xi den. Egoera honetan, k=f(x) = f n _ i=1 xi!= n _ i=1 f(xi) da. Aurreko korolarioa erabiliz k goren-irreduziblea delako, existitu behar da xinon f(xi) = kden. 3.0.8 teorema. (Birkhoff-en errepresentazio teorema) Biz (L, ≤) erretikulu banakorra eta finitua. Orduan, L∼ =Down Ji Lda hurrengo homomorfismoaren bidez: spec :L→Down Ji L l7→ spec(l)=(↓l)∩Ji L. 3.0.9 oharra. spec esaten zaio funtzio honi elementu bakoitza bere espektrora daramalako. espektroko elementuen supremoa harturik elementua bera errekuperatzen da. Zenbakien kasuan, espektro deritzo deskonpozizioan parte hartzen duten zenbaki lehenei. 40 3.1. Errepresentazio topologikoak 3.1.14 teorema. Biz (X, τ) Stone espazioa. Orduan X∼ =T(R(X)) da hurrengo homeomorfismoaren bidez: f:X→T(R(X)) x7→ { N∈R(X) : x∈N}. Frogapena. Lau gauza ikusi behar ditugu: (i) fongi definituta dago, hau da, f(x) irudia R(X) erretikuluaren ultrafiltroa da, (ii) fbijektiboa da, (iii) fjarraitua da, (iv) firekia da. (i) frogatzeko, f(x) filtroa dela ikusi behar dugu eta gero ultrafiltroa dela. Goi-multzoa dela argi dago, M∈↑f(x) harturik existitzen baita N∈f(x) ezen N⊆Mdelarik, baina orduan x∈Ndagoenez, x∈Mere badugu. Honenbestez, M∈f(x) baita. Gainera, M, L ∈f(x) harturik, x∈M∩L da, eta beraz, M∩L∈f(x) dugu. Filtroa dela eratorri dugu, eta orain ultrafiltroa izateko baldintza betetzen duela ikusi behar dugu. Hau ikusteko, bi gauza frogatuko ditugu N∈R(X) guztietarako: 1) N∈f(x) =⇒X\N∈ f(x), 2) N∈ f(x) =⇒X\N∈f(x). Era honetan, N∈f(x) edo X\N∈f(x), baina ez biak betetzen direla frogatuta geratuko da, eta, beraz f(x) ultrafiltroa izango da. 1) N∈f(x) bada x∈ X\Neratorri dezakegu. Ondorioz, X\N∈ f(x) dugu. 2) Demagun N∈R(X) dugula, non N∈ f(x) den, orduan x∈ Nda eta, horregatik, X\Nitxirekia da eta x∈X\Nda. Honenbestez, X\N∈f(x) da eta f(x) ultrafiltroa. (ii) bijektiboa dela ikusteko hartu ditzagun x, y ∈Xelementu ezberdinak, x, y ezberdinak direnez, espazioa Hausdorff denez eta itxirekien ingurune oinarri bat existitzen denez, bereziki badaude Ux, Uybi itxireki x∈Ux, y ∈Uyeta Ux∩Uy=∅betetzen direlarik. Bereziki, f(x)=f(y) dugu eta finjektiboa da. Bestalde, har dezagun UR(X) gaineko ultrafiltroa, gure helburua TUez hutsa dela frogatzea izango da. Ohartu, U ultrafiltroa denez ∅ ∈ U dela. Gainera S ⊆ U finitua harturik TS ∈ U da U filtroa delako. Orain demagun Ufamiliaren ebakidura hutsa dela. Orduan, hurrengoa daukagu: 3. Kapitulua. Errepresentazio teoremak 41 ∅=\U=X\ [ U∈U X\U! Hau da, {X\U}u∈U familia X espazioaren estalkia da, eta irekiz osatua dago. Beraz, Xtrinkoa denez, existitzen da S ⊆ U finitua [ U∈S X\U=X delarik. Baina hau ezinezkoa da; osagarriak hartuz, \S=∅∈U izango genukeelako. Bukatzeko, hartu x∈TUeta ohartu f(x)⊇ U dugula eta Uultrafiltroa denez, f(x) = U. (iii) ikusteko hartu T(L(X)) espazioko BNoinarriko irekia N∈R(X) delarik. f−1(BN) = {x∈X|N∈f(x)} ={x∈X|x∈N} =N eta, noski, Nirekia da Xespazioan. (iv) ikusteko hartu N⊆Xitxirekien oinarriko edozein elementu. Orduan, honako hau dugu: f(N) = { U ultrafiltroa |existitzen den x∈N:f(x) = U } ={ U ultrafiltroa |N∈ U } (*) =BN. (*) berdintza ulertzeko ohartu x∈Nguztietarako N∈f(x) betetzen dela. Ondorioz, f(x) = Ubalitz x∈Nbaterako N∈ U litzateke nahitaez. Bestalde, N∈ U betetzen duen Uultrafiltro bat badaukagu fsuprajektiboa denez, existitu behar da x∈X, non f(x) = Uden, eta bereziki N∈ U denez, x∈Nbete behar da. Teorema hau garrantzi handikoa da, topologiako hainbat teknika itzultzea ahalbidetzen baitu. Horretaz gain, topologian gauza asko absurdora eramanez frogatu izan dira, hau ez da komenigarria ez bidean ez baita asko ondorioztatzen. Baina zubi honi esker froga eraikitzaileak egin daitezke. Azken hauek, askoz ere baliagarriagoak dira, frogatu nahi duguna frogatzeaz gain, haren zergatia eta propietateak hobeto ulertzea ahalbidetzen dutelako. A. Eranskina ariketak Ariketa 1. Biz (L, ≤)erretikulua. Froga bitez hurrengo desberdintzak x, y, z ∈ Lguztietarako. (i) (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨z). (ii) x∨(y∧z)≤(x∨y)∧(x∨z). (iii) (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x). (iv) (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)). Ebazpena. (iv) frogatuko dugu hasteko. Ohartu x≤xeta y≤(y∨(x∧ z)) betetzen dira, erreflexio propietatea eta supremoen definizioa direla eta hurrenez hurren. x∧y≤xeta x∧y≤ybetetzen dira halaber. Propietate trantsitiboa erabiliz, (x∧y)≤xeta (x∧y)≤(y∨(x∧z)) lortzen ditugu eta biak bateratuz eta infimoaren definizioa erabiliz: (x∧y)≤x∧(y∨(x∧z)) (A.1) lortzen da. Beste alde batetik, x∧z≤xdaukagu infimoaren definizioari jarraiki. Hortaz gain, x∧z≤y∨(x∧z) da supremoaren definizioagatik. Biak bateratuz eta infimoaren definizioa erabiliz hurrengoa lortzen da: (x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)) (A.2) (A.1) eta (A.2) erabiliz eta supremoaren definizioa aplikatuz, (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)) daukagu. (i) ikusiko dugu orain. (iv) erabiliz badakigu (x∧y)∨(x∧z)≤x∧ (y∨(x∧z)) dela. Beraz, x∧(y∨(x∧z)) ≤x∧(y∨z) dela ikusiko dugu. 43 44 x∧z≤z≤y∨zeta y≤y∨zdirenez, supremoaren definizioa erabili eta y∨(x∧z)≤y∨zdela erator dezakegu. Ondorioz, x∧(y∨(x∧z)) ≤ y∨(x∧z)≤y∨zeta x≤xdira. Hori dela eta, (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨(x∧z)) ≤x∧(y∨z) (ii) propozizioa frogatu dugun (i) propozizioaren duala da. Bukatzeko, (iii) frogatuko dugu. Ohartu (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(y∨z) (A.3) betetzen dela x∧y≤y≤y∨z, x ∧z≤z≤y∨zeta y∧z≤y≤ y∨zbetetzen direlako, (x∧y)∨(x∧z)≤y∨zeta y∧z≤y∨zbetetzea ahalbidetuz. Aldagaien izenak trukatuko ditugu, eta ezkerreko espresioa guztiz simetrikoa denez, beste bi desberdintza hauek lortuko ditugu: (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨z),(A.4) (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(y∨x).(A.5) (A.3) eta (A.4) erabiliz, eta infimoaren definizioa aplikatuz, hurrengoa daukagu: (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨z)∧(y∨z) (A.6) (A.5) eta (A.6) bateratuz eta infimoa erabiliz baita hau ere: (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)≤(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x). Ariketa 2. Bira (L, ≤L),(K, ≤K)erretikuluak, f:L→Kerretikuluhomomorfismoa eta F∈fil(L)filtroa. Frogatu f(L)azpirretikulua dela eta f(F)∈ F(f(L)) dela. Ebazpena. f(L) multzo ordenatua dela argi dago. f(x), f(y)∈f(L) hartuz gero, hurrengo bi egiazkotasunak ditugu ferretikulu homomorfismoa delako eta Lerretikulua: f(x)∧Kf(y) = f(x∧Ly)∈f(L) f(x)∨Kf(y) = f(x∨Ly)∈f(L) Beraz, azpirretikulua da argi eta garbi. f(F) ere aurreko argumentua dela medio azpirretikulua da. Filtroa dela ikusteko, nahikoa da f(x)∈f(F) eta f(y)∈f(L) hartuta f(x)∨Kf(y)∈ f(F) dagoela bermatzea. Hala da, Ffiltroa denez eta x∈Fdugunez, x∨Ky ere Fmultzoan dago, eta f(x∨Ly) = f(x)∨Kf(y) dugu. A. Eranskina. ariketak 45 Ariketa 3. Bira (L, ≤)erretikulua eta C⊆Lazpirretikulu konbexua. Froga bedi existitzen direla Ffiltroa eta Iideala, non C=F∩Iden. Bestalde, frogatu Feta Iedozein filtro eta ideal badira haien ebakidura multzo konbexua dela. Ebazpena. Lehenik eta behin, ikusiko dugu edozein Ffiltro eta Iideal harturik, C=F∩Iazpirretikulu konbexua dela. Azpirretikulua dela argi dago, ez dugu garatuko. Ostera, ikus dezagun bestea. Har ditzagun x, y ∈C orduan, [x, y]⊆↑x⊆↑F=F(A.7) da Ffiltroa delako, eta [x, y]⊆↓y⊆↓I=I(A.8) da I ideala delako. (A.7) eta (A.8) bateratuz, [x, y]∈F∩I=Clortzen dugu. Honenbestez, Ckonbexua da. Bigarrenik, har ditzagun Cmultzo konbexua, F= fil(C) filtroa eta I= id(C) ideala. Froga dezagun F∩I=Cdela. C⊆F∩Iargia da, egin dugun aukeraketa dela eta. Beraz, froga dezagun kontrako partekotasuna. a∈F∩Ibada, orduan filtroen eta idealen karakterizazioei esker a∈[n↑^SS⊆Cfinitua o∩[n↓_SS⊆Cfinitua o da. Beraz, existitzen dira S, T ⊆Cazpimultzo finituak, ezen ^S≤a≤_T goi-multzo eta behe-multzo baten parte delako gutxienez, bi bilduren parte izateko. Honenbestez, Cazpirretikulua denez, existitzen dira c1=VSeta c2=WTelementuak Ckonbexuan, non a∈[c1, c2]⊆C den. Ariketa 4. Bira (L, ≤)erretikulua eta A⊆Lazpimultzoa, Definitu hurrengo eragileak P(L)gainean, l:P(L)→ P(L) A7→ l(A) = \ a∈A (↓a), u:P(L)→ P(L) A7→ u(A) = \ a∈A (↑a). Froga bedi C=l◦uitxitura eragilea dela, eta azter bedi zein den Cl(P(Q)) 46 Ebazpena. Itxituraren hiru propietateak ikusi behar ditugu A∈ P(L) delarik: (i) A⊆C(A), (ii) A⊆B=⇒C(A)⊆C(B), (iii) C(C(A)) = C(A). (i) ikusteko hartu b∈Aelementu bat; ohartu, c∈u(A) guztietarako c∈↑bdela. Ondorioz, c∈u(A) guztietarako, b∈↓c. Honenbestez, b∈C(A). (ii) A⊆Bbada, orduan u(B)⊆u(A) ebakidura multzoetan eragile antitonoa delako. Arrazoi beragatik, l(u(A)) ⊆l(u(B)) eta ondorioz C(A)⊆ C(B) da. (iii) ikusteko gauza berezi bat egingo dugu, lehenik eta behin ikusiko dugu A⊆u(l(A)) betetzen dela. Hartu a∈Aedozein. c∈l(A) guztietarako, c∈↓ adugu, edo beste era batera esanda, a∈↑ c. Ondorioz, a∈u(l(A)) da eta A⊆u(l(A)). Behin hau jakinda, Amultzoaren tokian u(A) sartuz u(A)⊆u(l(u(A))) = u(C(A)) eratorri dezakegu. Azkenik, lantitonoa da multzoen ebakidura antitonoa delako. Beraz, C(A) = l(u(A)) ⊇l(u(C(A))) = C(C(A)). Beste partekotasunari dagokionez, (i) besterik ez da. Behin itxitura eragilea dela jakinda, defini dezagun hurrengo aplikazioa: f: (Cl(P(Q)),⊆)→(R∪ { −∞,−∞ } ,≤) A7→ _A. (R∪ { −∞,∞ } ,≤) osoa da, orden honetan edozein multzo bornatua delako eta errealetan multzo bornatuek supremoa baitute. ferretikuluhomomorfismoa dela ikustea baita ez da batere zaila: f(A∩B) = _A∩B(∗) =_A∧_B=f(A)∧f(B) eta f(Cl(A∪B)) = _Cl(A∪B)(∗2) =_(A∪B) = _A∨_B=f(A)∨f(B) baita. (∗) ikusteko ohartu ≤betetzen dela beti erretikulu guztietan. Beste desberdintza ikusteko, ohartu WA∩B < q < WA∧WBbetetzen duen q∈ Q harturik, q≤WAdela. Beraz, q∈l(u(A)) = C(A) = Ada. Arrazoi bera dela eta, q∈Bda. Baina, orduan, q∈A∩Bdugu eta hau kontraesana da. Ondorioz, qez da existitzen, eta berdintza daukagu. A. Eranskina. ariketak 47 (∗2) ikusteko, ohartu A⊆C(A) dela; beraz, _A≤_C(A) argia da. Orain, demagun desberdintza hertsia dela. Orduan, existitzen da _A < q < _CA) betearazten duen qarrazionala. Froga dezagun, hau kontraesana dela. q∈u(A) dagoela argi dago. Beraz, c∈C(A) guztietarako c≤qda. Honenbestez, _C(A)≤q < _C(A) da. Surjektiboa ere bada, f(C(Q)) = ∞,f(C(∅)) = −∞ direlako eta r∈R hartuz gero, fCQ∩(−∞, r)=_CQ∩(−∞, r)=_Q∩(−∞, r)=r delako. Injektibotasuna ere froga daiteke: Hori ikusteko, frogatuko dugu A, B ⊆ Qguztietarako _A=_B=⇒C(A) = C(B) dela. Demagun, WA=WBdela, eta hartu b∈u(B). nahitaez b≥WB=WA da; ondorioz, b≥WAdenez, b∈u(A) da. Honenbestez, u(B)⊆u(A) eta, arrazoi bera dela eta, u(A)⊆u(B) denez, u(A) = u(B) da. Bukatzeko l aplikatuz, C(A) = C(B). Hartu ditzagun A, B ∈Cl(P(Q)) eta demagun f(A) = f(B) dela. Hau da, WA=WBdela, orduan, A=C(A) = C(B) = Bdela frogatu berri dugu. Osotara, (R∪ { −∞,∞ } ,≤)∼ =(Cl(P(Q)),⊆) dela frogatu dugu. B. Eranskina Topologia Atal honetan lanean zehar erabili ditugun kontzeptu topologiko eta teoremak emango ditugu. B.0.1 definizioa. Biz(X, τ) bikote bat, non Xmultzoa den eta τ⊆ P(X) familia bat den. Esango dugu (X, τ)espazio topologikoa dela baldin eta τ familiak hurrengo baldintzak betetzen baditu: (i) {X, ∅ } ⊆ τ (ii) A, B ∈τ=⇒A∩B∈τ (iii) {Si}i∈I⊆τ=⇒Si∈IS∈τ τmultzoko elementuei ireki esaten diegu eta C={X\U⊆X|U∈τ} multzoko elementuei itxi. B.0.2 definizioa. Bira (X, τ) espazio topologikoa eta S⊆Xazpimultzoa. Esango dugu, Sitxirekia dela baldin eta itxia eta irekia bada. B.0.3 definizioa. Biz (X, τ) espazio topologikoa. Esaten dugu trinkoa dela, baldin eta SS=Xdeneko S={Si}i∈I⊆τguztietarako existitzen bada J⊆Ifinitua, non Si∈JSi=Xden. B.0.4 definizioa. Bira (X, τ) espazio topologikoa eta β⊆τ. Esaten dugu βtopologiaren ireki-oinarria dela baldin eta U∈τguztietarako existitzen bada B⊆β, non U=SBden. B.0.5 teorema. Biz Xmultzoa eta β={Bi}i∈I⊆ P(X) familia hurrengo baldintzak beterik: (i) Si∈IBi=X. (ii) ∀B1, B2∈β, ∀x∈B1∩B2,∃B3∈β:x∈B3⊆B1∩B2. 49