El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar

CENTRO DE POSTGRADO Y FORMACIÓN CONTINUA MÁSTER DE PROFESORADO EN EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA, BACHILLERATO, FORMACIÓN PROFESIONAL Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS EL PENSAMIENTO INDUCTIVO Y LA GENERALIZACIÓN EN EL ÁLGEBRA ESCOLAR INDUCTIVE THINKING AND GENERALIZATION IN SCHOOL ALGEBRA ESTUDIANTE Fernández López, Ainoa ESPECIALIDAD Matemáticas DIRECTOR Prof. D. Francisco Javier Peralta Sánchez CODIRECTOR Prof. D. Manuel Cortés Izurdiaga Convocatoria de: mayo de 2022 El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar i RESUMEN Hoy en día, en nuestras aulas es cada vez más habitual la necesidad de innovar y de apostar por nuevas formas de enseñanza. Los docentes buscan nuevas técnicas o estrategias con la intención de mejorar el rendimiento de los estudiantes y de aumentar el interés y la motivación, ofreciendo un nuevo enfoque del proceso de enseñanza-aprendizaje. La metodología escogida para llevar a cabo este Trabajo Fin de Máster ha sido las situaciones problema, que se caracteriza por involucrar de forma activa a los estudiantes en procesos que faciliten la construcción de conocimientos e ideas matemáticas, y potenciar la autonomía del alumno con el objetivo de desarrollar aprendizajes más significativos. En concreto, el tema tratado es el de la generalización y el pensamiento inductivo en el álgebra escolar. En la construcción de conocimiento matemático y científico, el razonamiento inductivo posee un papel fundamental; comienza con la observación de situaciones particulares, para posteriormente advertir regularidades, y, finalmente, llegar a la generalización. En el ámbito educativo, estudios que atienden a este asunto identifican dificultades significativas en el alumnado respecto a tareas de generalización, lo cual se atribuye al déficit de trabajo sistemático de dicha cuestión en las aulas. El diseño estratégico de situaciones problema supone un escenario natural para alcanzar la generalización, por tratarse de espacios destinados a argumentar, particularizar, conjeturar y demostrar; constituye la mejor forma de llevar al aula temas que involucran procesos generales de pensamiento. Por este motivo, en este documento elaboramos una propuesta de investigación e intervención aplicada al curso 3º ESO de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas, mediante la cual buscamos mejorar el desempeño del estudiantado en esta temática. Palabras clave: álgebra, aprendizaje, enseñanza, generalización, metodología, situaciones problema. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar ii El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar iii ABSTRACT Nowadays, the need for innovation and new ways of teaching is becoming more and more common in our classrooms. Teachers are looking for new techniques or strategies with the intention of improving student performance and increasing interest and motivation, offering a new approach to the teachinglearning process. The methodology chosen to carry out this Master's final project has been the problem situations, which is characterized by actively involving students in processes that facilitate the construction of mathematical knowledge and ideas, and to improve student autonomy with the aim of developing more meaningful learning. Specifically, the topic covered is the generalization and inductive thinking in school algebra. In the construction of mathematical and scientific knowledge, inductive reasoning plays a fundamental role; it begins with the observation of particular situations, to subsequently notice regularities and, finally, to arrive at generalization. In the field of education, studies addressing this issue identify significant difficulties in students with respect to generalization tasks, which is attributed to the lack of systematic work on this issue in the classroom. The strategic design of problem situations is a natural setting for achieving generalization, as they are spaces for arguing, particularising, conjecturing and proving; they are the best way to bring issues involving general thinking processes into the classroom. For this reason, in this document we have developed a research and intervention proposal applied to the 3rd ESO course of Mathematics Oriented to Academic Education, through which we seek to improve the performance of students in this issue. Key Words: algebra, learning, teaching, generalization, methodology, problem situations. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar iv Índice de contenido RESUMEN ........................................................................................................ i ABSTRACT ..................................................................................................... iii I. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN .............................................................. 1 II. MARCO TEÓRICO .......................................................................................... 4 2.1. Fundamentación teórica ........................................................................... 4 2.1.1. Introducción al pensamiento algebraico ........................................ 5 2.1.2. ¿Qué es el álgebra escolar? .......................................................... 6 2.1.3. Focos del pensamiento algebraico: patrones, generalización y sistemas de representación .......................................................................... 8 2.1.4. El razonamiento inductivo ................................................................. 11 2.1.5. Enseñanza y aprendizaje del álgebra escolar, el pensamiento algebraico y el razonamiento inductivo en el aula ...................................... 14 2.1.6. Metodología: las situaciones problema para resolver problemas de generalización matemática ......................................................................... 16 2.2. Fundamentación legal ............................................................................. 19 2.3. Cómo es abordada esta cuestión en el centro y en el aula .................... 21 III. MARCO APLICADO ..................................................................................... 23 3.1. Contexto, ámbito de intervención y destinatarios ................................... 23 3.2. Objetivos generales y específicos del estudio ........................................ 23 3.3. Procedimiento de investigación e intervención en el aula ...................... 24 Etapa 1. Prueba inicial (duración: 75 minutos) ........................................... 25 Etapa 2. Intervención pedagógica (duración: 2 horas) ............................... 26 Etapa 3. Prueba final (duración: 75 minutos) ............................................. 26 3.4. Diseño del instrumento ........................................................................... 27 3.5. Análisis de los datos ............................................................................... 28 3.6. Resultados esperados y conclusiones del estudio ................................. 31 El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar v IV. CONCLUSIONES FINALES ........................................................................ 31 V. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 33 VI. ANEXOS ...................................................................................................... 41 6.1. Anexo I: Prueba Inicial ............................................................................ 41 6.2. Anexo II: Propuesta de Intervención Pedagógica ................................... 43 6.3. Anexo III: Prueba Final ........................................................................... 50 El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar vii Índice de figuras Figura 1. Relación entre los objetos de conocimiento, el estudiante y el profesor en un enfoque de situaciones problema. Fuente: Múnera (2008). .................... 18 Figura 2. Dibujo orientativo del problema con una fila de cinco baldosas blancas. .......................................................................................................................... 44 Figura 3. Dibujo orientativo del problema con una fila de seis baldosas blancas. .......................................................................................................................... 44 Figura 4. Dibujo orientativo del problema con una fila de siete baldosas blancas. .......................................................................................................................... 45 Índice de tablas Tabla 1 .............................................................................................................. 45 Tabla 2 .............................................................................................................. 47 El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar viii “La matemática es el trabajo del espíritu humano que está destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla”. E. Galois. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 7 • Concepción 2: Funciones. Esta perspectiva propone un estudio del álgebra basado en el desarrollo de experiencias con funciones y familias de funciones en circunstancias cotidianas donde las relaciones cuantitativas pueden describirse mediante esos modelos (Heid, 1996). En este contexto, sí interviene el simbolismo algebraico que representa dichas relaciones. De esta forma, la identificación de patrones y la generalización mediante dichas relaciones funcionales es promovida por el pensamiento funcional en los estudiantes (Cañadas, 2019). • Concepción 3: Resolución de problemas. La resolución de problemas siempre ha sido el corazón de la actividad matemática e, históricamente, el álgebra una herramienta privilegiada para llevar a cabo dicha tarea, en concreto para aquellos que pueden ser formulados en términos de ecuaciones e inecuaciones (Kieran, 2007; citado en Molina, 2015). • Concepción 4: Estudio de estructuras. Dentro de esta perspectiva, el álgebra se concibe como el estudio de estructuras a través de las propiedades de las operaciones con números reales y polinomios (Molina, 2015), y se aborda, por ejemplo, cuando se trabaja con el manejo de identidades algebraicas. Sin necesidad de vinculación a números o cantidades como referentes, las letras se utilizan en expresiones algebraicas como un objeto arbitrario en una estructura (Usiskin,1998). Esta perspectiva está vinculada estrechamente con la concepción del álgebra como aritmética generalizada. • Concepción 5: Lenguaje algebraico. Como bien indica el epígrafe, este último enfoque considera el álgebra como un sistema de representación, es decir, como un instrumento para expresar ideas matemáticas (Molina, 2015). Arcavi (1994) indica que una ventaja de este enfoque es que nos permite separarnos del contexto inicial para producir resultados de manera más efectiva, lo cual favorece que este lenguaje sea altamente aplicable a otras áreas. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 8 Por su parte, Drouhard y Teppo (2004) emplean el término lenguaje algebraico para referirse al lenguaje matemático formado por simbolismo algebraico, lenguaje natural y representaciones algebraicas compuestas -como gráficos o tablas-; sin embargo, otros aluden únicamente al simbolismo algebraico, e incluso algunos autores como Drouhard (2001) y Kirshner (1987) han manifestado que puede considerarse como un lenguaje independiente (Molina, 2015). 2.1.3. Focos del pensamiento algebraico: patrones, generalización y sistemas de representación Patrones Como se ha podido ver en la sección anterior, uno de los enfoques del álgebra considera la ciencia matemática como aquella que estudia las regularidades. El termino patrón se define como toda situación repetida con regularidad y que se prevé que pueda volver a repetirse (Cañadas et al. 2010). Los patrones son asociados con el pensamiento algebraico por la presencia de la abstracción y la generalización en ellos (Cañadas et al., 2018). En Educación Matemática, la importancia otorgada en la enseñanza radica en dos hechos principales: su abundancia en el mundo que nos rodea, y que la habilidad para reconocer patrones matemáticos ayuda a desarrollar estrategias de pensamiento que mejoran las habilidades cognitivas abstractas de los sujetos o las necesarias para el entendimiento de diferentes operaciones (Castro, 1995). Es decir, los patrones tienen un peso considerable en el desarrollo del proceso de pensamiento de los estudiantes. En efecto, Papic (2007) señala que la destreza de los alumnos para trabajar con patrones potencia positivamente su rendimiento matemático. No obstante, el álgebra no es la única vía para expresar de forma general un patrón (Cañadas et al., 2012). Generalización En matemáticas, el concepto de generalización es muy amplio y se encuentra estrechamente relacionado con la inducción. En concreto, la generalización es indispensable en el álgebra; conlleva inferencia y en ella juega un papel primordial la conjetura (Cañadas et al., 2018). Dentro de lo que El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 9 denominamos álgebra escolar, la generalización de patrones es considerada un elemento fundamental del pensamiento algebraico, y puede expresarse mediante diversos sistemas de representación. De hecho, el currículo actual de matemáticas en Educación Secundaria dota a procesos de razonamiento como la generalización de una gran importancia. Pólya (1966) afirma que se habla del concepto de generalización cuando, una vez observada cierta regularidad, se busca un patrón que sea válido para más casos. En particular, este autor ilustra dicha idea a través del siguiente ejemplo. ¿Podemos obtener una expresión genérica para la suma de los cubos de los 𝑛 primeros números naturales? Nótese que 1!+$2!= 9 = ( 1 + 2 ) " 1!+$2!+$3!=36 = ( 1 + 2 + 3 ) " Luego, parece ser que se verifica la igualdad 1!+$2!+$3!+ ⋯ + 𝑛!= ( 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 ) ", lo que aparentemente, a falta de una prueba formal y detallada, nos lleva a construir conocimiento matemático acerca de una propiedad de los números naturales. Es decir, nos encontramos ante una conjetura que aún exige una demostración para constatar su validez. Como podemos dilucidar del ejemplo anterior, la generalización supone la afirmación de una propiedad o técnica para un gran conjunto de objetos (Cañadas et al., 2018). Por su parte, Kaput (1999) define la generalización como una extensión del rango de razonamiento más allá de los casos considerados a partir de la similitud entre ellos, poniendo el foco en las relaciones existentes, patrones, procedimientos y estructuras. Normalmente, primero se lleva a cabo una generalización verbal e “informal”, y, posteriormente, se traduce al lenguaje algebraico. Ahora bien, numerosas investigaciones han puesto de manifiesto que la adquisición del dominio y la comprensión del lenguaje algebraico supone una cuestión problemática para el alumnado (Cañadas et al., 2012). Aunque, dicho sistema de representación no es la única manera de expresar este fenómeno. Radford El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 10 (2010), Mason y Pimm (1984) consideran que el lenguaje natural, las expresiones verbales y gestos, constituyen para los alumnos una parte esencial del proceso de generalización. Dörfler (1991) apoya la misma idea de generalización de Pólya, y la denomina generalización empírica; inicia el trabajo con casos particulares y, está relacionada con la identificación de patrones y el razonamiento inductivo (Cañadas et al., 2012). En concreto, las autoras Cañadas y Castro (2007), basándose en los estudios de Pólya (1965) y Reid (2002), establecen un vínculo entre el razonamiento inductivo y la generalización: desarrollan un modelo de razonamiento inductivo para someterse a tareas de generalización, y que será tratado con mayor profundidad en la siguiente sección del trabajo. Sistemas de representación Para pensar, razonar y comunicar conceptos e ideas matemáticas, es preciso representarlas de algún modo; la comunicación exige que esas representaciones puedan exteriorizarse en forma de lenguaje oral, símbolos escritos, dibujos u objetos físicos. Además, para que la mente pueda operar con estas nociones, es necesario representarlas internamente (Carpenter y Hiebert, 1992). Por todo ello, respecto a las formas de expresar el conocimiento en el ámbito de la Educación Matemática, se distingue entre representaciones externas e internas (Cañadas et al., 2012). Las representaciones externas constituyen la vía por la que los individuos hacen accesibles sus representaciones mentales a los demás, como puede ser a través de fórmulas algebraicas, gráficas, enunciados del lenguaje natural, etc. (Rico, 1997). En este trabajo nos centraremos en tratar las representaciones externas producidas por estudiantes de secundaria, donde son fundamentales las representaciones del tipo aritmética, tabular y pictórica. Además, dentro de las representaciones externas, Cañadas y Figueiras (2011) destacan la importancia de las representaciones múltiples, y destacan dos tipos de estas: • Representaciones combinadas. Hacen alusión al uso de diferentes representaciones simultáneamente. • Representaciones sintéticas. Poseen la condición añadida de que El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 11 tienen que ser vistas como un todo para que la respuesta de los estudiantes cobre sentido. En la enseñanza, aprendizaje y comunicación del conocimiento matemático, las representaciones son importantes porque desempeñan un papel destacado en los procesos de construcción de conceptos (Rico, 2009); constituyen sistemas con notaciones, reglas y convenios que expresan ciertos aspectos y propiedades de una noción matemática. Entonces se habla de sistemas de representación (Castro y Castro, 1997). Uno de los trabajos pioneros en el estudio de la conexión entre el álgebra y los modos de expresar la generalización fue el de Mason et al. (1985), cuyos resultados señalan que esa relación no parece ser directa para el alumnado de secundaria (Cañadas et al., 2012). Comúnmente, el sistema de representación más utilizado es el lenguaje algebraico, y, también cabe destacar que numerosas investigaciones han puesto de manifiesto que la adquisición del dominio y la comprensión del lenguaje algebraico supone una cuestión problemática para el alumnado (Cañadas et al., 2012). No obstante, como ya se ha mencionado previamente, éste no es la única manera de expresar la generalización; Mason y Pimm (1984) y Radford (2002) apoyan que el lenguaje natural es determinante en el proceso de generalización. 2.1.4. El razonamiento inductivo El razonamiento es un proceso de pensamiento mediante el cual, a partir de premisas establecidas, podemos sacar ciertas conclusiones (Cañadas et al., 2010). La distinción clásica y comúnmente aceptada entre tipos de razonamiento son el razonamiento deductivo y el razonamiento inductivo. El razonamiento deductivo parte de unas premisas y llega a una conclusión como consecuencia de estas. Por su parte, el razonamiento inductivo comienza con sucesos particulares y busca la generalidad -apoyada por unas premisasa partir de los hechos que ocurren (Cañadas y Castro, 2004); en otras palabras, el razonamiento inductivo es la acción de ver lo general en lo particular. Como se mencionó en la introducción, los autores Pólya, Poincaré y Whitehead coinciden en señalar el papel vital de la inducción en la construcción El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 12 de conocimiento matemático y científico, comenzando por la observación de situaciones particulares, advirtiendo las regularidades y posteriormente alcanzando la generalización (Cañadas et al., 2010). En concreto, Pólya (1966) se basa en la idea de “primero intuir, luego probar”, y establece cuatro pasos para llevar a cabo un correcto procedimiento de razonamiento inductivo: 1. Trabajo con casos particulares. 2. Formulación de la conjetura. 3. Justificación de la conjetura. 4. Comprobación de la propiedad con nuevos casos particulares. Estudios que conciernen a esta cuestión realizados por Jeffery (1978) y Almeida (1996), identifican considerables dificultades por parte de los alumnos en la ejecución de estos pasos, lo cual lo atribuyen al déficit de trabajo sistemático del estudiantado -en niveles preuniversitariossobre la justificación de propiedades matemáticas. A su vez, Baker (1996) afirma que cuando esta cuestión es trabajada en Educación Secundaria y en los primeros cursos de educación superior, la búsqueda de patrones y de la evidencia empírica es reflejada en los alumnos. Para subsanar la problemática anterior, Cañadas et al. (2010) se basan en las ideas de todos los autores mentados previamente, además de en muestras de investigaciones propias (Cañadas y Castro, 2004), para proponer un modelo teórico de razonamiento inductivo exitoso que consta de los siete pasos que exponemos a continuación: 1. Trabajo con casos particulares. Es el paso que inicia el proceso de razonamiento inductivo y que parte de casos concretos o ejemplos que verifican una determinada propiedad. Habitualmente tienden a ser casos simples y/o fácilmente observables. 2. Organización de casos particulares. Consiste en ordenar (por ejemplo, en tablas) los datos obtenidos en el paso anterior de manera que se facilite la percepción de patrones o pautas. 3. Identificación de patrones. Clarificar aquello que se repite con regularidad y que se pronostica que vuelva a suceder. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 13 4. Formulación de conjeturas. Se establece una proposición que se sospecha que es veraz pero que no ha sido supeditada a análisis para determinar su aceptación o rechazo. Puede expresarse en lenguaje natural. 5. Justificación de las conjeturas. Son presentados argumentos con el objetivo de convencer sobre la veracidad de una determinada afirmación. 6. Generalización. Es el paso que extiende el razonamiento más allá de los casos que se han tratado particularmente. La conjetura es expresada en términos que hacen referencia a todos los casos de una clase o categoría determinada. Puede expresarse de diversas formas, como lenguaje verbal o gestual y mediante representación simbólica o algebraica (Radford, 2010). 7. Demostración. Proceso que establece con certeza la validez de la conjetura. Permite conocer si realmente se está obteniendo nuevo conocimiento o no. Es de destacar que todos ellos no tienen la misma relevancia dentro del proceso de razonamiento inductivo. En concreto, el sexto paso es el motor para originar nuevo conocimiento y es el que mayor dificultad supone para el alumnado (Cañadas y Castro, 2004). El séptimo y último paso, la demostración, asegura la validez o refutación de la propiedad para garantizar si nos encontramos ante nuevo conocimiento. Por su parte, Mason et al. (1985) resumen las etapas, desde el punto de vista didáctico (y especialmente para aquellos relacionados con el álgebra escolar), necesarias para llevar a cabo un proceso de generalización, en los siguientes puntos (Pérez, 2005): • Ver. Observar lo propio de cada caso particular hasta encontrar el patrón o la regularidad del problema. • Describir. Exponer las reglas de formación de lo observado, sin necesidad de una sintaxis formal. • Registrar. Organización de los resultados: expresión formal de la El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 14 propiedad. 2.1.5. Enseñanza y aprendizaje del álgebra escolar, el pensamiento algebraico y el razonamiento inductivo en el aula En los últimos años, en Educación Secundaria, se ha producido un cambio en la forma de abordar los procesos de enseñanza y aprendizaje del álgebra, con el objetivo de paliar las distintas dificultades ligadas a conceptos algebraicos. Han sido desarrollados enfoques que pretenden fomentar el pensamiento algebraico basándose en las cinco concepciones descritas en el apartado 2.1.1. Drijvers (2011) afirma que, dentro de la enseñanza y aprendizaje del álgebra, uno de los temas de debate actual es la relación existente entre la comprensión conceptual y las habilidades procedimentales; las diferentes aproximaciones aportan una variedad de enfoques para llevar a cabo dicha tarea (Cañadas, 2019). El hecho de que el pensamiento algebraico necesite tiempo para desarrollarse ha sido demostrado por numerosos estudios; Cañadas et al. (2016) defienden su instrucción desde los primeros niveles educativos, considerando que es positivo para el progreso del alumnado. En particular, España es uno de los países que ha introducido en su currículo la enseñanza del álgebra a edades tempranas, y se destacan las siguientes tareas para potenciar el pensamiento algebraico: • Comprensión de patrones, relaciones y funciones. • A partir de símbolos algebraicos, representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas. • Uso de modelos matemáticos. • Analizar escenarios de cambio en distintos contextos. En diversas investigaciones como la de Davidov (1972/1990), igualmente se apunta la importancia de la generalización y el razonamiento inductivo en el aprendizaje. Esto también se ve reflejado en documentos curriculares, como en los estándares del N.C.T.M (2003), que apunta que hacer matemáticas implica descubrir, y la conjetura es el camino básico para el descubrimiento. Mason et al. (2005) respaldan el trabajo de las tareas de generalización y de razonamiento El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 15 inductivo en las aulas, considerándolas esencia de la actividad matemática y que favorecen el manejo de los procesos de validación formales. Sin embargo, no es habitual que los autores de textos escolares introduzcan actividades que requieran el razonamiento inductivo para su realización. Trujillo et al. (2009) exponen en su estudio la enorme dificultad que supone incluso para los estudiantes universitarios expresar la generalización de un patrón mediante relaciones algebraicas. Como sugerencia para la enseñanza y con motivo de su papel destacado en la obtención de conocimiento, Cañadas et al. (2010) subrayan la importancia de que los alumnos trabajen sistemáticamente desde edades tempranas el razonamiento inductivo mediante tareas, con el objetivo de desarrollar habilidades que se potencian con este proceso. Estas autoras señalan que debe comenzarse por los pasos más accesibles, como empezar tratando casos particulares en ir progresando en búsqueda de patrones, conjeturas y finalmente generalizaciones, e insisten en que no siempre es necesario seguir paso a paso el proceso descrito en la sección 2.1.3, sino que en ocasiones basta únicamente con ceñirse a algunos puntos del mismo. Algunos ejemplos de este tipo de tareas (Cañadas et al., 2010), son: 1. Tareas que buscan hallar un nuevo elemento. El objetivo es que, a partir de varios elementos que se presenten, los alumnos identifiquen uno nuevo que tenga una estructura determinada (patrón) por una relación numérica y/o una espacial o visual (disposición de elementos en el plano). 2. Tareas que incluyen la generalización. Son proporcionados varios casos particulares que podrían tener lugar en un proceso inductivo para que detecten un patrón de comportamiento, con el propósito de que los alumnos sean capaces de obtener la generalización requerida y que posteriormente la expresen algebraicamente. 3. Problemas que implican generalización. Sin embargo, estas ideas defendidas en la literatura específica no tienen impacto en la práctica, y el objetivo general de este trabajo es plantear una vía de aplicación de estas ideas. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 16 2.1.6. Metodología: las situaciones problema para resolver problemas de generalización matemática A diario, en el ámbito educativo, estamos hartos de escuchar que hay que cambiar la forma en la que se enseñan las matemáticas en el aula. Ciertamente, si examinamos la situación actual, se puede comprobar cómo con las metodologías tradicionales, que están basadas en la pasividad del estudiante y en memorizar procedimientos, estrategias e información aceptados e impuestos de forma monótona, la mayoría del alumnado pierde el interés y la motivación (Isla, 2004). En consecuencia, estos factores contribuyen a una disminución del esfuerzo por parte del alumno, limitaciones para razonar y adoptar un pensamiento crítico, y dificultad para aplicar conocimientos estudiados a situaciones de la vida real. Como respuesta a este asunto, desde diversos trabajos de investigación se proponen en el aula nuevas relaciones entre los conocimientos matemáticos, el docente y el alumno, que empiezan a hilarse desde prácticas propias de la pedagogía activa (Múnera, 2011). Una alternativa dinamizadora para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas escolares es la implementación de la metodología denominada situaciones problema, caracterizada por involucrar de forma activa a los estudiantes en procesos que faciliten la construcción de conocimientos (Múnera y Obando, 2003), y buscar potenciar el trabajo autónomo del alumno consiguiendo así desarrollar aprendizajes más significativos. Además, esta propuesta metodológica también viene motivada por una de las competencias específicas destacadas en el currículo de Matemáticas de Educación Secundaria: la resolución de problemas. En el aprendizaje de las matemáticas, ésta tiene un papel clave debido a que las reflexiones llevadas a cabo durante este proceso ayudan a la construcción de conceptos matemáticos y al establecimiento de relaciones entre ellos. ¿Qué es una situación problema? En palabras de Múnera y Obando (2003), una situación problema puede interpretarse como un contexto de participación colectiva para el aprendizaje, que propicia nuevas relaciones, desde el trabajo cooperativo, entre el docente, El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 23 III. MARCO APLICADO “Largo es el camino de la enseñanza por medio de teorías; breve y eficaz por medio de ejemplos” Séneca 3.1. Contexto, ámbito de intervención y destinatarios El marco de intervención está centrado en un aula de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas de 3º ESO, con una muestra de estudio de 20 alumnos de entre 14 y 16 años, y en ausencia de estudiantes con necesidades específicas de apoyo educativo. La propuesta de investigación está enfocada a su aplicación en el último trimestre del curso, donde el docente conoce mejor cómo trabajan los alumnos y ya han sido trabajados ciertos aspectos del currículo. Si bien, podría llevarse a cabo en cualquiera de los tres o, incluso, adaptarse a otros cursos de ESO y Bachillerato. El centro donde se pretende llevar a cabo esta propuesta de investigación es el I.E.S. Bahía de Almería, tipificado como centro ESO con tres líneas (D3) que imparte las enseñanzas: Educación Especial, Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato (Itinerario de Ciencias e Itinerario de Humanidades y Ciencias Sociales), cuyo valor obtenido para el Índice Socioeconómico y Cultural (ISC) en el último estudio realizado, indica que es 0’29, disminuyendo en más de la mitad en los últimos 5 años. 3.2. Objetivos generales y específicos del estudio Con esta propuesta metodológica se persiguen alcanzar los siguientes objetivos generales y específicos: 1. Desarrollar aptitudes relacionadas con el pensamiento lógico-matemático en los alumnos de 3º ESO del I.E.S. Bahía de Almería, utilizando como estrategia de enseñanza-aprendizaje actividades que implican situaciones de generalización. 2. Establecer el grado de habilidad para realizar generalizaciones en el ámbito matemático en alumnos de 3º ESO. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 24 3. Identificar el modo de razonar del alumnado y analizar las estrategias que los estudiantes utilizan a la hora de realizar tareas de generalización. 4. Examinar las formas de los estudiantes de comunicar y transmitir su razonamiento respecto a tareas de generalización, y clasificar las respuestas de los mismos. 5. Corregir los errores y las carencias iniciales relacionadas con la generalización encontradas en el alumnado. 6. Comprobar la posible mejoría de resultados de los alumnos tras la intervención pedagógica. 7. Interiorizar el proceso de generalización como herramienta útil para la resolución de problemas. 8. Saber aplicar los contenidos matemáticos a situaciones de la vida cotidiana o problemas reales. 3.3. Procedimiento de investigación e intervención en el aula El mundo educativo está frecuentado por una gran cantidad de casuísticas y problemas; no podemos limitarnos a describir, necesariamente tenemos que plantear estrategias de intervención siempre desde la óptica de no solo recoger información, sino de plantear alternativas de mejora para actuar y solventar estas situaciones. La propuesta que llevamos a cabo en este Trabajo Fin de Máster será de tipo general, en concreto de investigación, evaluación e intervención educativa, que trata el tema de la generalización y el pensamiento inductivo en el marco de las situaciones problema en el alumnado de 3º de Enseñanza Secundaria Obligatoria del I.E.S. Bahía de Almería. La naturaleza de ésta será exploratoria y descriptiva, pues se dispone de escasa información de estudios previos sobre el tema. Las situaciones problema buscan desarrollar en el alumnado la capacidad de establecer conjeturas, aplicar algoritmos, definir variables, establecer relaciones y resolver problemas. Basándonos en el trabajo de Pérez (2005), dividimos la propuesta de intervención principalmente en tres etapas: una prueba inicial, una intervención pedagógica y una prueba final. La idea es El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 25 comparar cómo trabaja y razona el estudiante antes de la intervención pedagógica con cómo se desenvuelve después de la misma. Etapa 1. Prueba inicial (duración: 75 minutos) La finalidad de esta etapa es observar los obstáculos y las limitaciones del alumnado en tareas de generalización, e indagar en sus conocimientos previos respecto a esta cuestión. Es decir, establecer un punto de partida del grupo. Consiste en un test inicial individual constituido por 3 problemas. Cada cuestión está articulada de manera que se puedan dilucidar las tres fases que debe atravesar todo proceso de generalización (Pérez, 2005), de acuerdo a Mason (1999): • Ver. El alumno debe estudiar los primeros casos particulares, mediante números o representaciones gráficas, hasta encontrar el patrón o la regularidad del problema. • Describir. Consiste en el descubrimiento de las reglas de formación. El alumno enuncia verbalmente las relaciones encontradas entre los distintos casos particulares estudiados. • Registrar. Esta fase corresponde a la organización de los resultados: definir las variables, establecer las relaciones simbólicas pertinentes y finalmente formular la generalización. Nótese que estos aspectos procedimentales son las habilidades que debe adquirir el estudiante cuando finalice la intervención, además de también incorporar estas pautas como un mecanismo práctico para la resolución de problemas. En particular, en cada problema de esta prueba inicial se realizan una serie de preguntas que funcionan como guía para llegar a la solución. Destacar que, cada problema es tratado y evaluado por parte del docente de una manera diferente para saber cómo el alumno lo afronta, ya que el proceso de alcanzar la solución varía en cada uno de ellos (cómo se definen las variables, cómo las relaciona, manejo de la simbología, establecer conjeturas, etc.). La prueba inicial propuesta se puede ver en el anexo I. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 26 Etapa 2. Intervención pedagógica (duración: 2 horas) El objeto de esta fase es subsanar los errores más comunes cometidos por los estudiantes que fueron detectados en la prueba inicial, y mejorar el rendimiento de los alumnos en tareas de generalización. Como se ha podido ver en dicha prueba, en este nivel nos limitamos a trabajar con conceptos aritméticos y de geometría elemental, en concreto cuestiones de sucesiones numéricas y gráficas, donde se observan regularidades, patrones y relaciones. Para llevar a cabo esta etapa, utilizamos la metodología o estrategia didáctica de las situaciones problema. En ésta, formulamos un problema complejo a fin de que puedan analizarse a través del mismo todos los aspectos y fases de la generalización. La forma de orientar a los estudiantes se basa en ir presentando preguntas problémicas para que ellos descubran por iniciativa propia qué corresponde a cada etapa y aspecto, y formar así esquemas generales de pensamiento. Seguiremos un esquema similar al que establece Pérez (2005) en su estudio para resolver problemas de generalización en el aula, y que está dividido en ocho pasos: 1. Motivación y problema inicial. 2. Estudio de casos particulares. 3. Descripción verbal del escenario: reglas de formación. 4. Plantear las variables y sus relaciones. 5. Formulación general del problema. 6. Síntesis de los conceptos empleados y los adquiridos durante el proceso de generalización. 7. Propuesta de problemas que incluyen la generalización para afianzar lo aprendido. En el anexo II puede consultarse la sesión propuesta de esta etapa. Etapa 3. Prueba final (duración: 75 minutos) Posee la misma estructura que la prueba inicial, formada también por 3 problemas de generalización, y en contextos semejantes. Sin embargo, en esta ocasión el alumnado únicamente dispondrá de los enunciados de cada problema, ya que en ese momento dispondrá de un bagaje acerca de resolver El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 27 este tipo de problemas adquirido en la etapa de intervención pedagógica. El motivo de ello es que desarrollen un pensamiento libre y tácticas de resolución propias de cada uno. Esta etapa sirve para contrastar con los resultados iniciales la evolución en el razonamiento del alumno y así evaluar el grado de éxito de la intervención. En esta ocasión, el docente exige al alumno que aplique todas las fases de la generalización y que utilice la simbología matemática conveniente. La prueba final diseñada se puede ver en el anexo III. 3.4. Diseño del instrumento En las pruebas, tanto inicial como final, cada una de las cuestiones es seleccionada verificando una serie de condiciones: • Novedosas y motivadoras para el alumno (sobre temas o aspectos que puedan atraer su atención). • Interesantes en su contenido y que abarquen aspectos del currículo del curso 3º ESO. • Expresadas en un lenguaje sencillo y accesible para el alumnado con el que se trabaja. • Adaptadas al nivel de dificultad de 3º ESO, pero que a su vez supongan un “reto” para el estudiante y desarrolle su pensamiento lateral. • De forma que se puedan vislumbrar las etapas que fueron propuestas por Mason (1999) cuando se trata de un problema de generalización, y también los distintos aspectos procedimentales citados. Los contextos donde se mueven los problemas planteados serán: • Geométricos, para examinar tanto cómo perciben los alumnos las características del escenario o situación planteada mediante representaciones gráficas, como el tratamiento de la información. • Aritméticos, para analizar el trabajo y la organización de los estudiantes respecto a los números y sus propiedades. Además, en particular en la prueba inicial: El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 28 • Está constituida por 3 problemas. • En cada pregunta se realizan una serie de cuestiones que sirven como pautas para llegar a la solución final del problema. • No se precisará de lenguaje simbólico; pueden utilizarse desde expresiones escritas en lenguaje verbal hasta terminología matemática. • No habrá indicaciones al alumno sobre cómo definir las variables o establecer relaciones. Por otro lado, respecto a la prueba final: • Está constituida por 3 problemas con características similares a las del test inicial. • Se darán únicamente los enunciados; no se proporcionan pautas que ayuden al estudiante a identificar cada etapa de la generalización, a diferencia de la prueba inicial. • Permite ver la mejora del rendimiento del alumnado. • Se exige que el alumno emplee el lenguaje simbólico adecuado para expresar la generalización. En los anexos I y III pueden verse las propuestas de pruebas inicial y final. Nota: algunos de los problemas utilizados han sido seleccionados de artículos de estudios relacionados con experiencias en la generalización y el razonamiento inductivo, y adaptados al contexto de nuestro experimento. 3.5. Análisis de los datos En este apartado de la propuesta de intervención, investigación y evaluación educativa que concierne a este trabajo, ponemos de manifiesto cómo analizaríamos los datos obtenidos en el caso de que pudiera llevarse a cabo el estudio en un contexto real. En concreto, la prueba escrita individual es utilizada como instrumento de evaluación para el alumnado. Ésta es confeccionada, de acuerdo a los puntos de la sección anterior, de manera que se puedan advertir las formas de razonar de los estudiantes, los procedimientos El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 29 y estrategias que siguen, y cómo son capaces de exponerlos a través del lenguaje matemático. El análisis estadístico que se llevaría a cabo sería cuantitativo y cualitativo de los resultados obtenidos en ambos test, y la comparación entre estos datos nos informaría en qué grado tuvo éxito la intervención pedagógica. El análisis cualitativo evalúa cómo razonan los estudiantes, qué errores son los más comunes al generalizar, qué estrategias emplean y cómo lo transmiten. El análisis cuantitativo atiende a la puntuación obtenida, el porcentaje de alumnos que la superan y por qué. Los parámetros de evaluación de las pruebas inicial y final para dicho análisis, son los siguientes: • Puntuación de los 5 aspectos de cada problema: cada cuestión refleja un aspecto de las etapas del proceso de generalización (ver, describir y registrar). o Particularizar, correspondiente a la etapa ver. o Establecimiento de patrones verbalmente, correspondiente a la etapa describir. o Definición de variables, establecer conexiones y formulación simbólica de la generalización, correspondientes a la etapa registrar. Cada aspecto estará valorado sobre 10 puntos. En consecuencia, cada de ejercicio está valorado sobre 50 puntos. o Si no hubo respuesta o es completamente errónea, la puntuación es 0. o Si la respuesta presenta parcialmente errores, como puede ser el fallo en algún caso particular de la generalización, pero en general es medianamente correcta, la puntuación es de 5 puntos. o Si la respuesta es totalmente correcta, es decir, carece de fallos y posee explicaciones claras y razonadas, entonces la puntuación es 10. • Puntuación total de cada etapa de cada problema. En el caso de registrar, al evaluarse tres aspectos, se suman y se divide entre 3. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 30 • Puntuación total de cada problema, donde se suman todos los aspectos y se divide por 5. • Puntuación total de cada aspecto, donde se sumará lo obtenido en cada aspecto de cada problema, y se dividirá por 3. • Puntuación total de cada etapa, donde se sumará lo obtenido en cada etapa de cada problema, y se dividirá por 3. • Puntuación total de los problemas, donde se sumará la media obtenida de cada problema y se dividirá por 3. Para examinar los datos obtenidos, se construirían dos tablas: • En la primera, se recogería por columnas la puntuación conseguida (010) por cada alumno en cada aspecto (clasificado por etapa y problema). En la parte inferior de la tabla, además se mostraría en dos renglones la suma total y el promedio de calificación de cada aspecto. • En la segunda, por estudiante, se recogería por columnas la puntuación total conseguida (0-50) en: o Cada uno de los 3 problemas de la prueba inicial o final. o Cada uno de los 5 aspectos. o Cada una de las 3 etapas. Se reserva la última columna para indicar el promedio global del alumno (la media del total obtenido por aspectos, problemas y etapas). También, en la parte inferior de la tabla, además se mostraría en tres renglones la suma total de puntos, el promedio de calificación (sobre 50) de cada uno de los apartados anteriores, y la puntuación total de cada problema (sobre 10), cada aspecto y cada etapa. En la última entrada de la tabla se refleja el promedio de puntos (sobre 10) grupal de la prueba. Nota: tanto en la prueba inicial como en la prueba final, los resultados son considerados de forma grupal. Esto es, no se analizan por separado las puntuaciones individuales, al no tratarse de un objetivo de esta propuesta de investigación. El resultado será considerado positivo si es superado por al menos el 50% del alumnado. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 31 3.6. Resultados esperados y conclusiones del estudio Con aplicación de la metodología situaciones problema orientada a los problemas de generalización en el aula de 3º ESO del I.E.S. Bahía de Almería, se esperan obtener los siguientes resultados: • Mejora del razonamiento lógico-matemático y la capacidad de abstracción del alumnado. • Aumento del rendimiento académico respecto a problemas de generalización en matemáticas. • Aumento de la autonomía del estudiante en la resolución de problemas: identificar qué necesitan saber del problema, cómo estructurar la solución y, finalmente, resolverlo con éxito. • Adquisición de una nueva herramienta de resolución de problemas. • Fomento de la competencia de trabajo en equipo. • Resultado positivo y eficaz la estrategia de las situaciones problema para la construcción de ideas matemáticas. IV. CONCLUSIONES FINALES “Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, solo se les revelan a aquellos que tienen valor de profundizar en ella” Gauss En primer lugar, llevamos a cabo un balance del grado de consecución de los objetivos indicados al inicio del documento. Haciendo referencia al primer y al tercer objetivo, considero que este trabajo supone una propuesta interesante, adecuada y dinamizadora para mejorar la capacidad de generalización y del pensamiento inductivo en el estudiantado de secundaria, y que además permite comprobar la evolución progresiva del alumnado; la generalización es un aspecto matemático que no se trabaja explícitamente en ningún curso de ESO o Bachillerato, y esta iniciativa fortalece las diferentes formas de abstracción matemática, que son desarrolladas por aprendizaje por descubrimiento. En relación al segundo objetivo, la experiencia durante el periodo de prácticas en el El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 32 I.E.S. Bahía de Almería sobre la enseñanza del álgebra, reflejada en la sección 2.3, fue lo que motivó y ayudó a la elección de este tema, al tratarse de una cuestión tan importante en el ámbito matemático y por desgracia tan escasamente trabajada en los centros; la única pega es que no ha podido ser llevado a la práctica en el centro por motivos de planificación. Para terminar, considero que los objetivos 4 y 5 también han sido logrados, ya que se han utilizado fuentes de datos científicas recomendadas por mis tutores, y el documento ha sido elaborado de acuerdo a las orientaciones establecidas por la Universidad de Almería. A continuación, establecemos en forma de decálogo los principales hallazgos tras la realización de este Trabajo Fin de Máster: 1. El álgebra escolar recibe numerosas concepciones entre las que existen diversas conexiones. 2. Los focos del pensamiento algebraico son los patrones, la generalización y los sistemas de representación. 3. Los patrones son fundamentales en el desarrollo del pensamiento de los estudiantes. 4. Para pensar, razonar y comunicar conceptos e ideas matemáticas es preciso el uso de sistemas de representación. 5. La inducción es la principal vía de construcción de conocimiento matemático y científico. 6. El pensamiento inductivo y la generalización son aspectos no trabajados en Educación Secundaria. 7. La generalización es una herramienta eficaz para la resolución de problemas. 8. Las etapas necesarias del proceso de generalización son: ver, describir y registrar. 9. Las situaciones problema son una alternativa dinamizadora del 10. Una buena forma de conocer la evolución del alumnado es realizar El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 39 8. Pérez, J. J. (2005). La generalización como proceso de pensamiento matemático: una propuesta didáctica para mejorar el aprendizaje del álgebra elemental (Tesis doctoral). Universidad de Antioquía, Medellín. Pólya, G. (1966). Matemáticas y Razonamiento Plausible. Tecnos. Radford, L. (2010). Layers of generality and types of generalization in pattern activities. PNA, 4(2), 37-62. Rico, L. (1997). Consideraciones sobre el currículo de matemáticas para educación secundaria. En L. Rico (Coord.). La Educación Matemática en la Enseñanza (pp. 15-59). Horsori. Rico, L. (2009). Sobre las nociones de representación y comprensión en la investigación en educación matemática. PNA, 4(1), 1-14. Real Decreto 227/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenación y enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía. Boletín Oficial del Estado, núm. 122, de 30 de marzo de 2022, pp. 41767 a 41768. https://www.adideandalucia.es/normas/RD/RealDecreto2172022CurriculoESO.pdf Reid, D. (2002). Elements in accepting an explanation. Journal of Mathematics Behavior, 20, 527-547. Trujillo, P., Castro, E., Molina, M. (2009). Un estudio de casos sobre el proceso de generalización. Actas del XII Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (S.E.I.E.M.), 511-521. Santander, España. Universidad de Almería (2022). Objetivos y competencias. Máster de Profesorado de Educación Secundaria, Universidad de Almería. https://www.ual.es/estudios/masteres/presentacion/objetivos/7035 Usiskin, Z. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. En A. Coxford (Ed.). The ideas of algebra K–12 (pp. 8-19). National Council of El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 40 Teachers of Mathematics. Vergnaud, G. (1997). The nature of mathematical concepts. En T. Nuñes y P. Bryant (Eds.). Learning and teaching mathematics – an international perspective (pp. 5-28). Psychology Press. Vygotsky, L. V. (1995). Pensamiento y lenguaje. Booket Paidós México. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 41 VI. ANEXOS 6.1. Anexo I: Prueba Inicial Duración: 75 minutos. PROBLEMA 1. Observa la siguiente secuencia de números: 1, 4, 7, 10, … • ¿Cuál es el siguiente número de la sucesión? • ¿Y el término que se encuentra en la posición 10? • Enuncia la regularidad que se presenta de forma verbal. • Enuncia la regularidad que se presenta de forma simbólica. ¿Qué variables puedes utilizar? • Escribe el número que estará en el lugar 234 de esta secuencia. Justifica tu respuesta. *Problema extraído y modificado de Cañadas et al. (2012). PROBLEMA 2. El día 28 de mayo se juega la final de la Champions League que enfrenta al Real Madrid y al Liverpool, y el bar “La Saeta Blanca” va a emitir el partido. En el bar hay mesitas cuadradas de 4 plazas, de forma que uniendo 3 de ellas pueden sentarse hasta 8 personas. Los dueños del bar están discutiendo sobre cómo organizar las mesas para sentar a los grupos que tienen reserva. Ayúdalos respondiendo a las siguientes preguntas: • ¿Cuántas personas pueden sentarse si unimos 20 mesas? • ¿Cuántas mesas son necesarias para sentar a 19 personas? ¿Y para sentar a 233? • Expresa la regularidad de forma verbal. ¿Ocurre lo mismo para un número de personas par que de un número impar? • Da una fórmula que indique el número de mesas necesario para sentar a 𝑁 personas. *Problema extraído y modificado de Donaire et al. (2011). El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 42 PROBLEMA 3: los triángulos de Sierpinski. Observa las cuatro figuras siguientes: Nótese que la primera es un triángulo equilátero; cada una de ellas se obtiene de la anterior repitiendo cierto proceso. • ¿Cómo se forma la siguiente figura? ¿Y las que le siguen? • Si el área de la zona coloreada es 1u2, ¿cuál es el área de la parte coloreada en el cuarto triángulo? ¿Y en el undécimo? • ¿Y cuál es el área de la zona blanca en el cuarto y undécimo triángulo? • ¿Cuántos triángulos de cada color habrá en la figura 1200? • Si el perímetro del triángulo grande es 1u2, ¿cuál será el perímetro de la zona roja en la enésima figura? *Problema extraído y modificado de Donaire et al. (2011). El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 43 6.2. Anexo II: Propuesta de Intervención Pedagógica Duración: 2 horas. Punto 1. La motivación y el problema inicial comienza con sugerirle a los alumnos que consideren que el suelo del aula está formado por baldosas blancas y grises cuadradas del mismo tamaño, de manera que las blancas forman una fila y las grises están situadas rodeando ésta. A cada uno se le entrega una hoja en blanco donde aparece dibujada esta disposición de las losas para que lo visualicen, analicen y describan su composición, además de hacer anotaciones propias e individuales. El tiempo estimado para ello es de 10 minutos. Algunas de las primeras observaciones que podrían señalar, son: • Mayor cantidad de losas grises, las cuales rodean a las blancas. • Cada losa gris se encuentra en contacto con una única losa blanca, a excepción de las esquinas. • Cada losa gris está en contacto con otras dos losas grises. Problema. Imagina que tienes baldosas cuadradas blancas y baldosas cuadradas grises, ambas del mismo tamaño. Hacemos una fila con baldosas blancas: Después, rodeamos las baldosas blancas con baldosas grises como se muestra a continuación: ¿Cuántas baldosas grises necesitarías si tuvieras 1320 baldosas blancas y quisieras rodearlas igual que en el dibujo? Justifica tu respuesta. *Problema extraído de Cañadas et al. (2012). El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 44 • Cada losa blanca situada en la esquina es limítrofe con tres losas grises y otra blanca. • Cada losa blanca situada en medio de la fila está en contacto con dos losas blancas y dos losas grises. Una vez terminado esto, se les plantea la siguiente cuestión: en un suelo cualquiera, ¿cuántas losas grises son necesarias para un determinado número de losas blancas? Punto 2. Seguidamente, el docente incita a los alumnos a pasar al estudio de casos particulares para buscar la respuesta a la pregunta. Esto es, un proceso inductivo y empírico para plantear las primeras hipótesis de forma ordenada, que se realizará durante otros 10 minutos. Se les sugiere que realicen dibujos aclaratorios. • Si tenemos una fila de 5 baldosas blancas: Figura 2. Dibujo orientativo del problema con una fila de cinco baldosas blancas. Son necesarias 16 baldosas grises. • Supongamos que tenemos 6 baldosas blancas: Figura 3. Dibujo orientativo del problema con una fila de seis baldosas blancas. Son necesarias 18 baldosas grises. • Supongamos que tenemos 7 baldosas blancas: El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 45 Figura 4. Dibujo orientativo del problema con una fila de siete baldosas blancas. Son necesarias 20 baldosas grises. Punto 3. Como los alumnos pueden comenzar a observar, ir contando los cuadrados de las baldosas grises se vuelve cada vez más tedioso a medida que aumenta el número de baldosas blancas. En este escenario, resulta una buena idea intentar encontrar un sistema para computarlos de una forma más sencilla. Entonces, se les sugiere a los estudiantes que busquen una regla general para ello, y la expresen verbalmente. En concreto, mediante las siguientes cuestiones se les orienta para llevar a cabo esta tarea: • ¿Qué patrones de comportamiento se repiten en los casos particulares? • ¿Cómo se configura cada caso? • ¿Qué relación hay entre las baldosas al aumentar en una unidad las blancas? Los alumnos deben intentar establecer una hipótesis de la secuencia. A modo de recomendación, el profesor propone que construyan una tabla y completen con algunos casos más de los estudiados en el punto 2. Para esta parte de la sesión disponen de 35 minutos. Tabla 1 Ejemplo de tabla con casos particulares del problema. Número de baldosas blancas Número de baldosas grises 5 5∙2$+$3$+$3$=$16 6 6∙2$+$3$+$3$=$18 7 7∙2$+$3$+$3$=$20 8 8∙2$+$3$+$3$=$22 9 9∙2$+$3$+$3$=$24 El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 46 10 10∙2$+$3$+$3$=$26 Lo siguiente que deben hacer buscar qué regularidades se observan en ella. En esta parte de la clase, los alumnos pueden organizarse libremente por grupos (de máximo 4 personas) y poner ideas en común. Algunas de las características que podrían extraer de la tabla, son: • Por cada baldosa blanca que se añade, el total de baldosas grises aumenta en dos unidades. • El número de baldosas grises siempre es par. • La primera y la última columna permanecen constantes, siempre están formadas por tres baldosas cada una, independientemente del número de baldosas blancas. En este momento, el alumno ya está en condiciones de establecer una conjetura del problema, el cual debe expresar verbalmente de una forma similar a la que sigue: “El número de baldosas grises necesarias para rodear la fila de baldosas blancas es el doble de baldosas blancas más las de los extremos.” Tras ello, el profesor lanza una pregunta al aire, dejándola como actividad: ¿Se puede calcular así el número de baldosas grises necesarias para 11, 12, 13, 14 y 15 baldosas blancas? ¿Podemos ya resolver el problema inicial? Punto 4. A continuación, se plantea la siguiente pregunta: ¿cuántas baldosas grises son necesarias para una fila de N losas blancas? Con ello, el docente impulsa a los alumnos que expresen algebraicamente la generalización verbal del punto anterior, de forma individual. En esta parte, deben ser capaces de plantear las variables involucradas y establecer relaciones entre ellas. Se les orienta a través de cuestiones y apartados como: • ¿Qué variable es la que queremos calcular? ¿De qué depende? • ¿Cuántas variables son necesarias para formalizar la relación? ¿Cuáles son esas variables? • Simbolizar cada variable. Cuando se trata de secuencias de números naturales, es habitual utilizar N . El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 47 Las variables a definir, son: • N : número de baldosas blancas. • G# : número de baldosas grises. El tiempo dedicado a este punto es de 25 minutos. Al término de éste, los alumnos deben ser capaces de establecer la relación: G#= 2 ∙ N + 6,$$$$$N$ ³ $1 .$$ Hasta aquí, se han seguido con detenimiento cada una de las etapas propuestas por Mason en tareas de generalización. Punto 5. El siguiente paso es formalizar 2 la relación de generalización y comprobar su validez a partir del estudio de más casos particulares. Como sugerencia, el docente indica que construyan una nueva tabla de acuerdo a las variables establecidas y con terminología funcional (pues ya ha sido estudiado al pertenecer al currículo del curso de 3º ESO): Tabla 2 Ejemplo de tabla con casos particulares del problema expresados con una relación funcional. N 1 2 3 4 5 … 1320 … N G(N) 8 10 12 14 16 … 2646 … 2 ∙ N + 6 Se les incita a obtener conclusiones de lo trabajado hasta ahora, como: • La relación entre las variables es lineal. La gráfica de la función representa una recta en el plano. • Puede utilizarse para calcular cualquier número de baldosas grises. Finalmente, con la participación de la totalidad del grupo se trata de enunciar la ley general del problema, semejante a: 2 No se pretende estrictamente demostrar la validez de la expresión, ya que sería necesario emplear de forma rigurosa el método de inducción para ello, y no es constituye un objetivo en estos niveles educativos ni en esta propuesta de investigación. La finalidad de este apartado es comprobar con casos concretos que la ley general funciona. El pensamiento inductivo y la generalización en el álgebra escolar 48 “El número de baldosas grises necesarias para rodear la fila de$ 𝑁 baldosas blancas es el doble de 𝑁 más seis.” Y, se responde a lo pedido en el problema para concluir: “son necesarias 2646 baldosas grises para rodear una fila de 1320 baldosas blancas.” El tiempo estimado en esta parte de la sesión es de 25 minutos. Al término de este punto, ya se habrían trabajado las etapas de ver, describir y formular. Punto 6. Una vez trabajada la generalización matemática desde una perspectiva geométrica y analítica, lo siguiente de la sesión es llevar a cabo un debate sobre la conceptualización durante aproximadamente 15 minutos. Es decir, qué nociones se han utilizado y qué se ha aprendido nuevo en esta sesión por parte del alumnado. De lo primero: • Número natural. Fue el concepto más utilizado y clave para la simbolización de las relaciones en las sucesiones y funciones. • Funciones. Se ha trabajado el concepto de variable dependiente e independiente, su expresión y cómo se representaría la relación en una gráfica. De lo segundo puede destacarse el conocimiento de una nueva herramienta para la resolución de problemas que involucren secuencias y patrones: construcción relaciones y fórmulas generales. Punto 7. Después, son propuestas actividades para realizar en casa con el objetivo de trabajar y afianzar lo visto durante la intervención pedagógica. Ejercicio 1. Consideremos el conjunto de los números naturales ℕ (contando a partir de 1). ¿Cuánto suman los diez primeros números naturales? ¿Y los 20? Obtén una fórmula general para calcular la suma de los 𝑁 primeros números naturales. Ejercicio 2. Halla el número de palillos necesarios para construir una torre de 𝑁 plantas como las del dibujo.