Boletín de la Titulación de Matemáticas de la UAL. Volumen VI. Número 3, 30 de abril de 2013

Aulario IV en la UAL El cambio al Grado En este número del Boletín, los estudiantes resposables de la sección Territorio Estudiante han realizado una interesante entrevista a dos alumnas que han optado por adaptarse al nuevo Grado en Matemáticas en la Universidad de Almería. Ellas comparten con nosotros sus experiencias y lo que les ha supuesto el cambio de la metodología de docencia con la que se impartía licenciatura al nuevo paradigma que supone los estudios de grado. De esta forma, podemos ver la opinión de unas estudiantes que han experimentado en primera persona este proceso de cambio, siempre complicado. (Artículo completo en la página 18) Concurso de problemas Fernando Espín En esta ocasión, el ganador del concurso de problemas propuesto en el número de enero ha sido Fernando Espín Fernández, estudiante de segundo de Bachillerato del IES Alborán de la capital almeriense. Se puede ver la solución ganadora y el nuevo problema propuesto en la página 8. Para esta edición del concurso hemos preparado un problema que involucra relaciones trigonométricas. ¡Esperamos vuestras soluciones antes del 14 de octubre! Editorial En un artículo en The New York Times de 2004 titulado When Even Mathematicians Don’t Understand the Math, el reputado matemático británico Keith Devlin dijo «La historia es que la matemática ha alcanzado un estado tal de abstracción que muchos de sus problemas de vanguardia (frontier problems) no pueden entenderlos ni siquiera los expertos» (esta cita también puede ser encontrada en la atractiva obra El libro de las Matemáticas de C.A. Pickover, pero en la versión en español han escrito «La historia de las matemáticas ha...» por una mala traducción del original «The story is that mathematics has...» y el significado cambia ostensiblemente). No podemos decir otra cosa que estamos de acuerdo totalmente con dicha afirmación. El conocimiento matemático, y en general el conocimiento científico, ha avanzado tanto que sólo podemos ser expertos en una porción muy limitada del inmenso saber matemático. Esta gran cantidad de conocimiento puede desalentar a las personas que se acerquen a él. Pueden tener la sensación de que no podrán entender lo suficiente y se perderán en un mar de conceptos inabordables. Hay que intentar hacer este maravilloso conocimiento más cercano y divulgarlo en la medida de nuestras posibilidades. Desde el Boletín ponemos un granito de arena. Resumen Actividad Matemática p. 2 Enseñanza Secundaria p. 4 Concurso de problemas p. 8 Divulgación Matemática p. 9 Territorio Estudiante p. 18 Correo electrónico: [email protected] EDITORES Juan José Moreno Balcázar [email protected] Fernando Reche Lorite [email protected] ISSN 1988-5318 Depósito Legal: AL 522-2011 BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL Bo pTitMatUal Volumen VI. Número 3 30 de abril de 2013 k Bo TitMatUal Actividad Matemática Volumen VI. Número 3 2/20 Actividades matemáticas Entrega del premio a los ganadores del concurso de problemas Los ganadores del concurso El pasado día 10 de abril se hizo entrega a Ana María Lao García y a Miguel Ángel Vaquero Blasco, estudiantes del Colegio La Salle Virgen del Mar, del diploma que les acredita como ganadores del concurso de problemas del número de octubre del Boletín. El acto, en el que estuvieron presentes sus compañeros y sus profesores, concluyó con una charla matemática divulgativa impartida por los editores del Boletín sobre las matemáticas que aparecen en algunas series de ficción como Big Bang Theory oLos Simpson, que ayudó a los presentes a percibir las matemáticas desde una perspectiva más lúdica. Programa de estímulo de las matemáticas en secundaria El departamento de Matemáticas de la Universidad de Almería, que se engloba en el marco de la Escuela Politécnica Superior y Facultad de Ciencias Experimentales desarrolla un programa de estímulo de las matemáticas entre los estudiantes de secundaria y bachillerato de los centros educativos de la provincia de Almería. Las acciones más importantes que se contemplan en este programa son: la elaboración de este boletín —en el que estamos en su sexto año de vida— publicado con periodicidad cuatrimestral y en el que se incluye un concurso consistente en la resolución de un problema desde la creatividad y la originalidad, a cuyos ganadores se les hace entrega de un diploma y un premio en su centro en un acto ante sus compañeros y familiares; un plan de visitas divulgativas a centros de la provincia, en las que se presenta la titulación a los futuros universitarios y se indican las salidas profesionales que tienen los titulados en matemáticas; la presencia de actividades matemáticas en la Semana de la Ciencia que cada año se celebra en la UAL y la colaboración en actividades matemáticas organizadas por otras entidades como la RSME o la SAEM Thales. Reunión de los editores del Boletín El 19 de abril, los editores del Boletín se reunieron para debatir sobre el presente y el futuro de nuestra revista. Se propusieron interesantes ideas para seguir fomentando este proyecto que ya cumple seis años. Esperamos poder llevarlas a cabo y seguir divulgando las matemáticas como ciencia fundamental para nuestra Sociedad. Los editores del Boletín II Congreso de Jóvenes Investigadores Cartel anunciador Del 16 al 20 de septiembre se celebrará en la Universidad de Sevilla el segundo Congreso de Jóvenes Investigadores de la Real Sociedad Matemática Española. El objetivo de este congreso es reunir a jóvenes investigadores para tratar de los avances más recientes en todos los campos de las matemáticas. El programa constará de 10 conferencias plenarias de interés general y 17 sesiones especiales focalizadas en temas concretos. El 30 de abril finaliza el plazo de envío de resúmenes a los organizadores de sesiones especiales y el 30 de junio el plazo de inscripción. Más información en: www.imus.us.es/2cji. La influencia de las matemáticas en la ciencia Inauguración de las jornadas Los días 8,9y10 de marzo se celebraron en Huércal-Overa las jornadas científicas tituladas «La influencia de la matemática en la ciencia». Las jornadas estuvieron dirigidas a estudiantes de secundaria y bachillerato y entre sus objetivos se encontraban la divulgación de las matemáticas así como el despertar vocaciones tempranas en el estudio de esta disciplina. Organizadas por el vicerrectorado de Estudiantes, Extensión Universitaria y Deportes de la Universidad de ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo TitMatUal Actividad Matemática Volumen VI. Número 3 3/20 Almería, contó con la colaboración del ayuntamiento de Huércal-Overa y del IES Albujaira de esta localidad. El programa de actividades fue amplio y variado, abordando una gran cantidad de aspectos aplicados de las matemáticas. Se impartieron las siguientes conferencias: La importancia de las matemáticas en las finanzas, por D. Salvador Cruz Rambaud. Las matemáticas, imprescindible en física, por D. Francisco Javier de las Nieves López. Pompas de jabón y matemáticas, por D. José Luis Rodríguez Blancas. Del homo sapiens al homo numerus, por D. Fernando Reche Lorite. Las matemáticas que necesitamos, por D. Juan José Moreno Balcázar. ¿Se puede hacer ingeniería sin matemáticas?, por D. Antonio Giménez Fernández. El maravilloso mundo de los números, por D. Andrés Nortes Checa. La estadística aplicada a la medicina,porD.Pablo Garrido Fernández. Por último, tuvo lugar una mesa redonda titulada «Educación y matemáticas». Noticias matemáticas Representante almeriense premiada en la Olimpiada Matemática de la RSME En la fase nacional de la Olimpiada Matemática de la RSME, celebrada en Bilbao se otorgó un premio adicional a los dos chicos y las dos chicas mejor clasificados a partir del séptimo puesto: su participación en un nuevo concurso, que celebrará a finales de julio su primera edición. La representante almeriense (segunda por la izquierda) junto con los otros tres premiados Se trata del Mediterranean Youth Mathematical Championship (MYMC), organizado por el Ministerio de Educación italiano, con la colaboración de instituciones como la Unione Matematica Italiana, el ICTP de Trieste o el Istituto Nazionale di Alta Matematica. La abderitana Nuria Rodríguez Barroso, ganadora de la fase local almeriense, es una de las estudiantes que ha conseguido este premio. Desde el boletín queremos felicitarle por el magnífico resultado obtenido en esta prestigiosa competición matemática. Olimpiada Matemática Thales El pasado 13 de abril se produjo la entrega de premios a los ganadores de la Olimpiada Matemática Thales para alumnos de secundaria. Los ganadores que representarán a Almería en la fase regional El acto se celebró en la sala de exposiciones del Ayuntamiento de Berja y al mismo acudieron la delegada de educación y cultura, Isabel Arévalo; el alcalde de la localidad virgitana, Antonio Torres, miembros de la SAEM Thales, con su delegado provincial Juan Guirado a la cabeza y, como representante de la división de Ciencias Experimentales de la UAL, Fernando Reche, uno de los editores de este boletín. Ayuntamiento de Sorbas Ayuntamiento de Tabernas La fase regional se celebrará entre los días 21 y25 de mayo en Almería. La prueba individual se celebrará en las instalaciones de la Universidad de Almería y cuenta con el patrocinio de la división de Ciencias Experimentales que mantiene una fructífera relación de colaboración con la SAEM Thales. Además, durante estos días se han preparado una gran cantidad de actividades que harán que los participantes pasen unas jornadas disfrutando de nuestra tierra y de las matemáticas. Mathematics in Planet Earth Se trata de una iniciativa multidisciplinar, pues las matemáticas están tanto para estudiar los fenómenos naturales (terremotos, tsunamis, predicción del tiempo, etc.) como para ayudarnos con el diseño de obras de ingeniería y redes de ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen VI. Número 3 4 / 20 transportes y comunicaciones. El proyecto es el resultado de la unión de más de cien sociedades científicas, universidades, institutos de investigación y organizaciones de todo el mundo, en España la RSME,SEMA,CRM,IMACI,ICMAT y el IGME son algunas de las entidades colaboradoras. Los objetivos principales de esta iniciativa son: fomentar la investigación sobre el planeta Tierra, alentar a los educadores a comunicar las cuestiones relacionadas con el planeta Tierra e informar a la población sobre el papel fundamental de las ciencias matemáticas para afrontar los retos de nuestro planeta. Más información en mpe2013.org. La cuártica de Klein en 3D Investigadores de la UNED han conseguido representar en el espacio una complicada simetría de una ecuación del siglo XIX, la conocida como cuártica de Klein. Cuártica de Klein Aunque se ha escrito numerosa literatura científica al respecto, nunca se había conseguido de forma tan sencilla. Esta superficie tiene una ecuación con una simetría de orden 7, es decir, que se superpone siete veces hasta llegar a su punto original. Puede ver una representación de la cuártica de Klein en movimiento en divulgauned.es/?attachment_id=2480. The International Year of Statistics Que el año 2013 haya sido designado como Año Internacional de la Estadística es un reconocimiento a nivel mundial del importantísimo papel que juega la estadística en nuestras vidas. La designación está siendo apoyada por 1865 organizaciones de todo el mundo entre sociedades estadísticas, universidades, escuelas de primaria y secundaria, empresas, agencias estadísticas de gobiernos o institutos de investigación. Más información en www.statistics2013.org. Actividades del Mago Moebius El mago Moebius Nuestro compañero José Luis Rodríguez Blancas sigue con su actividad como mago Moebius con diferentes actuaciones «matemágicas» tanto en el ámbito de nuestra provincia como a nivel internacional. Podemos destacar su participación el pasado 15 de marzo en la National Science Engineering Week 1en la Universidad de Leicester o las próximas a celebrar en Túnez 2(el 21 de junio) o en los Países Bajos (del 27 al 31 de julio en el Bridges 2013. Nos visitaron. .. En el transcurso de estos meses nos han visitado numerosos investigadores de diferentes universidades nacionales e internacionales con las que los grupos de investigación de matemáticas de la UAL colaboran activamente en el desarrollo de sus actividades. Tuvimos el honor de tener entre nosotros a: José María Pérez Izquierdo, de la Universidad de La Rioja; Fabrizio Durante, de la School of Economics and Management, Free University of Bozen-Bolzano; Jose Luis Molina, de la Universidad de Salamanca; Alberto Hernández Alvarado, de la Universidad de Oporto (Portugal) y Pascual Jara, de la Universidad de Granada. EXPERIENCIA DOCENTE Trabajando por proyectos IES Santo Domingo (El Ejido, Almería) Eva Acosta Gavilán IES Santo Domingo (El Ejido, Almería) El IES Santo Domingo, de El Ejido, participa en un proyecto de innovación educativa aprobado por la Junta de Andalucía y que tiene una duración de dos cursos escolares. En este primer año, 2012-2013, se encuentra en su fase de elaboración de materiales para ponerlos en marcha el próximo curso, 2013-2014. El proyecto consiste en la implantación de una nueva metodología de trabajo para el centro, basada en la realización de proyectos colaborativos totalmente contextualizados al entorno y con carácter eminentemente prácticos. Como eje vertebrador para desencadenar todas las ac1www2.le.ac.uk/institution/nsew/nsew2013/events/secondary-events/mathematics-day. 2www.mims.tn/. ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen VI. Número 3 5 / 20 tividades se ha elegido el arreglo de las zonas deterioradas del IES, ya que actualmente cuenta con 12 descampados en situación de abandono. Este hecho hace que el nombre que recibe el proyecto sea «estamos de reformas». Estado actual de uno de los patios a reformar Un total de 31 profesores con destino definitivo en el centro se afanan día a día por elaborar actividades de forma conjunta y colaborativa para poder ofrecer a los alumnos un curriculum motivador e innovador. Desde el estudio del pH del suelo, la creación de abonos naturales hasta la medición de terrenos, diseño de jardines y construcción de vallas, son muchas las asignaturas que trabajan para conseguir este curriculum integrado. Profesoras trabajando en equipo La asignatura de Matemáticas se ve muy integrada en este proyecto, ya que ofrece al alumnado las herramientas necesarias para resolver cuestiones multidisciplinares. Algunos ejemplos pueden ser: utilización del teorema de Pitágoras para medir zonas inaccesibles, estudio del riego por goteo, manejo de las figuras geométricas para el diseño de jardines, cálculo de presupuestos,... Boceto de cómo nos gustaría que quedara el patio de la imagen del principio Son muchas las empresas que nos ayudan a conseguir nuestro propósito, como el propio Ayuntamiento de El Ejido,Confimaplant,Prima-ram,Floristería Cuadrado,Papelería Celeste y el AMPA del IES Santo Domingo, muchos padres que, de forma anónima nos hacen llegar materiales y gran cantidad de alumnos que diariamente nos ayudan en labores relacionas con el proyecto. Pero no podemos olvidar la gran colaboración y voluntad de los profesores que dedican mucho de su tiempo libre, a preparar este currículo integrado e innovador que nos permitirá hacer que nuestro centro sea un lugar más acogedor para todos. EXPERIENCIA DOCENTE El gran fractal de Sierpinski con latas de refresco Mateo Navarro Caparrós IES Mediterráneo (Garrucha, Almería) La idea de esta actividad surge al estar el centro participando en el «Programa de Educación Ambiental» y, en principio, los objetivos que se persiguen son concienciar de la necesidad de reciclar y reutilizar los materiales, así como, el respeto por el medio natural con una correcta gestión de los residuos. Ahora bien, una vez inmersos en la misma nos dimos cuenta de la posibilidad que ofrecía para trabajar las competencias básicas y, teniendo en cuenta las características del alumnado de diversificación, se decidió abordarla con los alumnos de tercero de ESO-ACT. Seguidamente describimos nuestra experiencia. Proceso de construcción Primera fase: Pasos de 1al 4. Hemos realizado «triángulos equiláteros» con 3latas (paso 1), las cuales pegábamos con silicona. Para su transporte rodeábamos la figura con gomas elásticas y posteriormente dejábamos secar. A continuación, se procedía del mismo modo con estas figuras formadas por 3latas y construíamos figuras con 9latas (paso 2), y así sucesivamente, hasta llegar al paso 4constituido por una figura de 81 latas formando un triángulo equilátero. Elaborando el triángulo De este modo teníamos los cuatro primero términos de la sucesión de triángulos de Sierpinski con latas de refresco. Ahora bien, la figura formada por 81 latas presentaba un problema a la hora de su desplazamiento, y es que al mínimo descuido o golpe, acababa por desmoronarse. Decidimos entonces proceder igual que antes, pero además, ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen VI. Número 3 6 / 20 tras cada uno de los pasos se fijó o rodeó la figura con cinta americana, para que ante cualquier golpe siguiese manteniendo su consistencia. Segunda fase: Pasos 5y6. Instalación en el exterior. Una vez construidos todos los triángulos del paso 4necesarios para montar los pasos 5y6, salimos al exterior y presentamos la sucesión de triángulos, de tal modo que la distancia de un triángulo a otro estuviese en progresión aritmética, ya que el número de latas empleadas en cada triángulo va en progresión geométrica. Una vez hecha la presentación y viendo que todo salía según lo previsto, procedimos a marcar y atornillar los perfiles de aluminio cuyas medidas previamente habían sido calculadas. Montaje en el exterior Posteriormente se fueron insertando los 3triángulos del paso 4para constituir el paso 5, y pegándolos con silicona, del mismo modo se procedió para el paso 6formado por 729 latas. El hecho de utilizar los perfiles de aluminio ha sido para dar consistencia a la estructura, igualmente, cuando se deterioren las latas se pueden reciclar y reutilizar otras, aprovechando estos mismos perfiles. Tercera fase o final: Rotulación y colocación de la placa. Resultado final Se presentó la plantilla con el rótulo que iba a figurar y se pintó con spray blanco. Para finalizar se atornilló la placa de metacrilato y vinilo. Reconstrucción: Realización de maquetas y pintado exterior. Los agentes externos hicieron que, transcurrido un año, todo el trabajo se deteriorase y acabase desmoronándose. Nos planteamos su reconstrucción utilizando nuevos materiales. Para ello, se realizaron sobre cartulina plantillas hasta el paso 3(27 latas ahora 27 círculos), que una vez presentadas en el exterior fueron pintadas con «sprays Montana» de diferentes colores. Triángulos reconstruidos Contribución de la actividad a la adquisición de las competencias básicas La competencia matemática se encuentra, por su propia naturaleza, vinculada a esta actividad pues ha estado orientada a aplicar habilidades, destrezas y actitudes que hagan posible el planteamiento y la resolución de problemas, y su expresión y comunicación a través del lenguaje matemático. Competencia social y ciudadana. La participación, la colaboración, el trabajo en grupo, la valoración de la existencia de diferentes puntos de vista y la aceptación del error de manera constructiva han contribuido el desarrollo de esta competencia. Conocimiento e interacción con el mundo físico. Es destacable, en este sentido, la discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir pautas de comportamiento y regularidades y representaciones entre el plano y el espacio. También son apreciables las aportaciones de la geometría fractal, pues nos provee de un modelo matemático para describir las complicadas formas de la naturaleza. Tratamiento de la información y competencia digital. Se han presentado los resultados en diferentes formatos 3 4. Competencia para aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Estas dos competencias se han desarrollado por medio de la utilización de recursos variados trabajados en el desarrollo de la actividad. Obtener resultados de forma algebraica y contrastarlos experimentalmente, constituyen vías de tratamiento de la información, desde distintos recursos y soportes, que han contribuido a que el alumno desarrolle mayores cotas de autonomía e iniciativa y aprenda a aprender. Competencia en comunicación lingüística. La habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo ha fomentado la comprensión y expresión oral y escrita. La competencia en expresión cultural y artística. A través de esta actividad se ha cultivado la sensibilidad y la creatividad, la autonomía y el gusto estético, apreciando la belleza de la estructura creada. 3www.slideshare.net/mateomaticas1/tringulo-de-sierpinski-con-latas-de-refresco. 4www.youtube.com/watch?v=1fMJo2ApkWo&feature=youtu.be. ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen VI. Número 3 7 / 20 ENSEÑANZA BILINGÜE EN MATEMÁTICAS A (no so good) experience in the UAL plurilingualism program José Cáceres González Universidad de Almería During the years 2010-2011 and 2011-2012, I participated in the Plurilingualism program of the University. This program basically consists of a contract from a professor and his/her department with the university to teach one subject in a foreign language during three years. I entered in the program for two reasons: first, it was a challenge and I cannot resist an opportunity like that. But secondly, I was (still I am) convinced that the University (and the Educational System) should direct to internationalization. Several steps have been made, but we must push forward since our students will have to deal with a global world. Here in Almería, we are a drop of water in an ocean outside. In my case, I chose Math II in the first course of Engineering Studies for the experience. Those students are very motivated, they understand how important a second language is, and usually have good marks in high school. The topic covered spans from functions of several variables to differential equations. It seemed a good choice at first; however, all went terribly bad. I clearly remember the first day of class in English. I put my slides and began to speak very slowly. A girl in the first row was looking at me with her eyes wide open, absolutely terrified. I asked her “Do you understand me? Is it a problem related with Math or with English? Come girl don’t worry, everything is going to be OK” I tried to cheer her up. During the next weeks, many of my students rushed to the administration office to change to other groups. Since it was not possible, many opted to attend other classes without asking permission, so those classes were crowded. You can now guess the general tone of the course. Everybody was continuously complained about the situation and since I was the responsible one, my feelings went all the range from anger to guilt. In the second year, many decided to avoid my teaching, or to get some class notes in Spanish. I tried to motivate the students: “This is good for you, remember that you should get a B1 level at the end of your grade”. They were hardly convinced and some of them even told me that they will deal with the B1 level when necessary. I tried to improve all the aspects of the course but things went about as in the previous year. So at the end, I gave up and resigned from the program. In this year, I am teaching again in Spanish. Surely, I did many things wrong. I am also aware that the experience is going pretty well in Business Studies were almost half of the courses are taught in English. Maybe that is a key point. It is not enough to offer a number of scattered courses in English, they should be organized into clear paths along grades to offer a coherent education for the future of our students. Problemas de las Pruebas de Acceso a la Universidad Sea funa función continua en el intervalo [2, 3]yF una función primitiva tal que F(2) = 1yF(3) = 2. Calcula: 1. Z3 2 f(x)dx. 2. Z3 2 (5f(x) − 7)dx. 3. Z3 2 (F(x))2f(x)dx. Problema propuesto en el número anterior A continuación presentamos la solución al problema propuesto en el número anterior. Solución del problema: Como fes continua en el intervalo [2, 3], podemos aplicar la regla de Barrow, que nos dice que Zb a f(x)dx =F(b) − F(a), siendo Funa función primitiva de f. Por lo tanto 1. En este caso la podemos aplicar directamente, siendo Z3 2 f(x)dx =F(3) − F(2) = 2−1=1. 2. En este caso, por la linealidad de la integral tenemos que Z3 2 (5f(x) − 7)dx =5Z3 2 f(x)dx −7Z3 2 dx y, por lo tanto, tenemos que la integral propuesta en el apartado vale 5(F(3) − F(2)) − 7(3−2)=−2. 3. Puesto que Fes una función primitiva de f, sabemos ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Concurso de problemas Volumen VI. Número 3 8 / 20 que F0(x) = f(x)por lo que Z3 2 (F(x))2f(x)dx =Z3 2 (F(x))2F0(x)dx y, por lo tanto, la primitiva de la función que estamos integrando es (F(x))3 3. Así pues, el valor de la integral que nos pide el ejercicio es (F(3))3 3−(F(1))3 3=23 3−13 3=7 3. Elimina xde las ecuaciones, sen x+cos x=m sen3x+cos3x=n. Concurso de problemas Envía tu solución a [email protected] Problema propuesto Si nos envías tu solución a este problema puedes obtener un iPod shuffle y un regalo relacionado con las matemáticas. ¡La solución más elegante u original tiene premio! Para participar, sólo tienes que mandar tu solución a la dirección de correo electrónico [email protected] antes del 14 de octubre. Puedes escanear el papel en el que la hayas elaborado y enviarla a dicha dirección de correo electrónico. Las bases de este concurso pueden consultarse en la página web del Boletín. Resultado del concurso del número anterior El jurado ha decidido conceder el premio a Fernando Espín Fernández, estudiante que cursa segundo de bachillerato en el IES Alborán de Almería. Nuestra enhorabuena al ganador. A continuación presentamos una solución al problema planteado enviada por el ganador. ¿Existen soluciones enteras de la ecuación n √x+n √y=n √z para números naturales n≥2? Problema propuesto en el número anterior Solución del problema: Si n=2tenemos que 2 √x+2 √y=2 √z, y en este caso, tres números que la verifican son x=1,y=4yz=9ya que 2 √1+2 √4=1+2=3=2 √9. Si n=3, otros tres números enteros que verifican la igualdad son x=1,y=8yz=27, ya que 3 √1+3 √8=1+2=3=3 √27. Si hacemos una tabla con los sucesivos valores de n, encontraremos que siempre hay valores de x, y, z que cumplan que 1+2=3de la siguiente forma: x y z n=4 1 16 81 n=5 1 32 243 n=6 1 64 729 . . .. . .. . .. . . n 1n2n3n Por lo tanto siempre existe una solución formada por números enteros de la forma: x=1n, y=2n, z=3n, para cualquier n≥2. Partiendo de este ejemplo, podemos generalizar este resultado a un número mayor de soluciones de la forma: x=an, y=bn, z=cn, donde a, b, c ∈Ncumplen que a+b=cyn≥2. ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Divulgación Matemática Volumen VI. Número 3 9 / 20 MUJERES Y MATEMÁTICAS Florence Nightingale La estadística en la enfermería María Cecilia Ortiz Rodríguez IES Emilio Manzano (Laujar de Andarax, Almería) F. Nightingale (1820-1910) El 12 de mayo se celebra el día internacional de la enfermería en honor a Florence Nightingale. En Florence encontramos otro ejemplo de una mujer que tuvo que luchar contracorriente para hacer realidad sus sueños, su vocación y sus inquietudes. Gracias a ella las enfermeras empezaron a tener una formación adecuada, guiada por la toma de decisiones basadas en las evidencias que se ponen de manifiesto con un análisis estadístico de datos. Fue una gran enfermera y luchó para que otras lo fueran. Esta es su historia Florence nació el 12 de mayo de 1820 en Florencia, de ahí su nombre, y murió el 13 agosto de 1910 en Londres. Era hija de una familia británica acaudalada que tenía diferentes expectativas puestas en ella. Su padre estaba interesado en que recibiera educación en las materias básicas de matemáticas, latín, griego, alemán, francés, filosofía e historia. A su madre le preocupada que su hija tuviese un buen casamiento con el que continuara en la misma situación social de la familia. Sin embargo, a ella le apasionaba cuidar a los enfermos, como ella misma escribió: «Yo tengo una naturaleza moral y activa que requiere satisfacción. Eso no lo encontraría si pasara la vida con un esposo, en compromisos sociales y organizando las cosas domésticas». A los 17 años, inspirada por una «llamada divina», decidió ser enfermera, aunque contrariaba los deseos de su madre. Su padre la apoyó y pudo estudiar en los mejores colegios de Londres y Alejandría. En sus visitas a los hospitales recogía información de todo lo que observaba, más tarde este material daría su fruto con un primer texto para enfermeras. Al estallar la guerra de Crimea (1853-1856), Florence solicitó viajar al frente para auxiliar a los heridos. En 1854 partió a Turquía con un equipo de 38 enfermeras voluntarias. Su entrega a la profesión le hizo trabajar día y noche por los heridos. Por las noches visitaba los enfermos con una lámpara en mano, por lo que se ganó el apodo de «la dama de la lámpara». Durante su estancia en Crimea siguió recopilando y analizando datos y detectó que había una alta tasa de mortalidad en los hospitales, siendo las malas condiciones higiénicas el principal factor de influencia. Tras la guerra regresó a Londres y fue recibida como una heroína nacional. Pero en Crimea contrajo unas fiebres por las que tuvo que pasar gran parte de su vida postrada en la cama. Doodle publicado en 2008 con motivo de su aniversario En 1860 trabajó para la creación de la primera escuela de enfermeras en el Hospital Saint Thomas de Londres, con el lema «Las mujeres enfermeras tienen que prepararse como lo hacen los hombres para otras profesiones». Fue innovadora en la recolección y tratamiento de datos. Dentro de la estadística descriptiva, el resumen de los datos y las representaciones gráficas le sirvieron para detectar los problemas a los que se enfrentaban los enfermos en los hospitales, debido a la falta de condiciones higiénicas. Gráfico estadístico de Florence Con la estadística hospitalaria midió los fenómenos sociales y luchó por mejorar la calidad de los hospitales. Ella introdujo el gráfico de área polar (también conocido como «gráfico de Florence») que le permitió representar las causas de la mortalidad a lo largo del tiempo. También diseñó un formulario para la recogida de datos. Fue la primera mujer admitida en la Royal Statistical Society británica en 1858 y miembro honorario de la American Statistical Association en 1874. Tuvo una influencia decisiva en la creación de la Cruz Roja Británica en 1870. Su vida ha sido llevada al teatro, televisión y cine. En 2008 se estrenó la película titulada Florence Nightingale y anteriormente se habían hecho otras películas en cine mudo. Incluso podemos encontrar juegos de ordenador ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Divulgación Matemática Volumen VI. Número 3 16 / 20 la forma 1 n2−1=1/2 n−1−1/2 n+1, para todo número natural n≥2. De este modo, las sumas finitas pueden obtenerse con una facilidad extraordinaria pues a medida que avanza n se producen cancelaciones que simplifican los cálculos. Para ilustrar el comentario efectuemos por ejemplo la suma desde n=2hasta n=4: 4 X n=2 1 n2−1= 4 X n=21/2 n−1−1/2 n+1 =1/2 1−1/2 3+1/2 2−1/2 4 +1/2 3−1/2 5 =1/2 1+1/2 2−1/2 4+1/2 5. Puede comprobarse de forma análoga que la suma desde n=2hasta n=5admite una expresión similar: 5 X n=2 1 n2−1=1/2 1+1/2 2−1/2 5+1/2 6. Más generalmente, si kes un número natural mayor o igual que 2, k X n=2 1 n2−1=1/2 1+1/2 2−1/2 k+1/2 k+1. Cuando ktiende a infinito 1/2 k+1/2 k+1tiende a cero y, por tanto, l´ım k→∞ k X n=2 1 n2−1=1/2 1+1/2 2=3 4. Este límite es la suma que nos habían pedido, es decir, k X n=2 1 n2−1=3 4. Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática 17ecuaciones que cambiaron el mundo. Ian Stewart. Ficha Técnica Editorial: Crítica. 430 páginas. ISBN: 978-84-9892-517-3. Año: 2013. Todos los aficionados a la divulgación matemática experamos siempre con gran interés el «nuevo libro» de Ian Stewart. Cuando tenemos entre nuestras manos una obra de Stewart esperamos encontrar un texto serio, riguroso, de lectura amena y, sobre todo, bien escrito. El lector que se acerque a la estantería de una librería y hojee este texto se encontrará con ecuaciones sencillas y familiares, como el teorema de Pitágoras, a2+b2=c2, ó el cálculo del logaritmo del producto, log xy =log x+log y; con otras tan populares como la ecuación de la relatividad de Einstein,E=mc2, — aunque esta tenga poco que ver con los conceptos básicos de la relatividad—; pero también con otras no tan conocidas y mucho más complejas en su formulación, como la ecuación de onda,∂2u ∂t2=c2∂2u ∂x2, ó la ecuación de Navier-Stokes,ρ∂v ∂t +v·∇v= −∇p+∇ · T+fque modela el comportamiento de los fluidos. Después de estos primeros párrafos, aparentemente contradictorios, el lector se preguntará —no sin razón— si se encuentra realmente ante un libro de carácter divulgativo o ante una obra escrita para expertos científicos con una fuerte formación en matemáticas y física. La respuesta no es sencilla. Probablemente nos encontramos ante la plasmación real del experimento del gato de Schrödinger —cuya ecuación también está incluída en el texto— y no sabremos si el gato está vivo o muerto hasta que no abramos la caja y lo observemos. Yo he abierto la caja y, en mi opinión, el gato está muy, pero que muy vivo. Si bien algunos de los conceptos que trata este libro son de una cierta complejidad, el autor ha sabido exponerlos con una claridad excepcional. Pocos textos han pasado por mis manos en los que se aborde la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica o la teoría del caos de una forma tan directa y asequible. Es posible que el lector que busque en este texto una continuación de obras anteriores de Stewart como Baúl de tesoros matemáticos oLa cuadratura del cuadrado pueda sentirse un poco defraudado pues, en este caso, algunos de los temas tratados son de una complejidad superior y su tratamiento es algo menos «lúdico». Sin embargo, considero esta obra muy superior a las anteriormente mencionadas por diversos motivos. Se realiza un análisis riguroso de las 17 ecuaciones planteadas, así como su inmersión en el contexto en el que fueron ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Divulgación Matemática Volumen VI. Número 3 17 / 20 desarrolladas junto a las circunstancias que vivieron —y en algunos casos sufrieron— sus descubridores para, finalmente, exponer sus múltiples aplicaciones en nuestra vida diaria. Como balance final, solamente puedo decir que he disfrutado enormemente con esta lectura, que considero una de las mejores obras de divulgación científica que se han publicado en los últimos años. Una obra redonda. Fernando Reche Lorite Universidad de Almería Citas Matemáticas «Las formas que mejor expresan la belleza son el orden, la simetría, la precisión. Y las ciencias matemáticas son las que se ocupan de ellas especialmente». Aristóteles (384a.C.-322a.C), polímata griego. «Tenía xaños en el año x2». Respuesta de Augustus De Morgan (1806-1871), matemático y lógico inglés, cuando se le preguntaba su edad. Páginas web de interés Matemáticas visuales www.matematicasvisuales.com/ Una de las principales dificultades de motivación para los alumnos de Matemáticas era, y a veces sigue siendo, el no poder ofrecer aplicaciones o imágenes que sustenten o apoyen las ideas teóricas establecidas. En la web www.matematicasvisuales.com encontramos muestras visuales de conceptos matemáticos y ejercicios interactivos donde se puede trabajar con resultados conocidos como el teorema de Pitágoras o el teorema fundamental del cálculo para calcular integrales definidas. Hay ayudas técnicas para poder visualizar bien todo el material y poder actuar modificando los parámetros iniciales de los ejercicios y observar cómo cambian los resultados. Hay una gran variedad de materiales sobre Geometría. Por ejemplo, se explica la construcción de gran número de poliedros y no sólo con texto sino con imágenes incorporadas. También aparecen aplicaciones de la representación geométrica de los números complejos, representaciones gráficas de importantes curvas. Asimismo hay ejercicios gráficos para Análisis Matemático, Álgebra y Estadística. La Historia de las Matemáticas tiene cabida en los contenidos y problemas de esta página. Cabe destacar también las magníficas fotos sobre contenido matemático en la Naturaleza que aparecen en el llamado «Juego de la Vida». Por supuesto, existen enlaces con temas relacionados y con otras páginas web. Es una visita recomendable para obtener aplicaciones o imágenes de cualquier tema de Matemáticas de Secundaria o Bachiller, tanto para alumnos como para profesores. Reseña de José Carmona Tapia Universidad de Almería ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Territorio Estudiante Volumen VI. Número 3 18 / 20 ENTREVISTA El cambio al Grado Alicia Cabrerizo Lamarca José Gálvez Rodríguez Laura Martín Valverde Beatriz Navarro Vicente Paula Pérez López Estudiantes de Matemáticas de la UAL María Dolores Se ha realizado una entrevista a dos alumnas de la Universidad de Almería que empezaron la Licenciatura de Matemáticas y que, posteriormente, se pasaron al Grado en Matemáticas. ¿Qué las motivó a hacer ésto? Las entrevistadas son María Dolores Fernández de Henestrosa González [M] y Tania Pérez Fuentes [T]. ¿Por qué elegisteis la carrera de matemáticas? [M] Siempre me habían gustado, desde el colegio. Estaba muy segura de qué iba a hacer desde primero de bachillerato, tuve la suerte de tener un muy buen profesor, que hizo que realmente me interesaran las matemáticas. [T] Pues la verdad es que yo no tenía nada claro qué quería estudiar, siempre me habían gustado las matemáticas y me gustaba la idea de trabajar como profesora. Tania Pero la veía una carrera muy complicada, me daba miedo, así que opté por comenzar otra carrera mi primer año de universidad. Un gran error, porque estaba haciendo una cosa diferente a la que me gustaba, entonces me di cuenta de que nunca me tenía que haber metido ahí, pues hay que hacer siempre lo que verdaderamente nos guste. Al año siguiente empecé en matemáticas y estoy muy contenta con ello. ¿La carrera es como os esperabais? [M] No, esperaba algo diferente, pero eso sí, no me ha defraudado lo que he visto por ahora. No tiene nada que ver con lo se ve antes, por eso al principio fue un poco fiasco, pero, después de un tiempo, me empezó a encantar. [T] La verdad es que sí, como ya he dicho, veía que era una carrera muy complicada y así es, pero tampoco es imposible. ¿Qué es lo que más y lo que menos os gusta de la carrera? [M] Lo que más me ha gustado, las asignaturas relacionadas con álgebra y topología. Lo que menos, sin dudarlo, las geometrías (todas). Me cuesta horrores ver curvas o planos. [T] Lo que más me gusta es lo mucho que se aprende de cosas que no sabíamos de dónde venían, aquí todo tiene un porqué. Y lo que menos, la complejidad de algunas asignaturas. ¿Qué os hizo cambiar de licenciatura a grado? [M] En mi caso empecé la doble titulación de Matemáticas e Informática, no me gustó nada la informática y quería dejarlo. Pero no quería tener asignaturas de diferentes cursos en el mismo año, ya que el ritmo de la doble titulación es diferente al de matemáticas. [T] Mi cambio se debió a que tenía asignaturas de otros años suspensas y no podía con tantas asignaturas. Además, las suspensas sólo tienen derecho a examen, no hay docencia y es bastante más complicado. ¿Creéis que fue una buena decisión? [M] Para mí ha sido un gran acierto. Me cuesta mucho trabajar día a día, pero como el grado te obliga a ello, te facilita mucho las cosas. [T] La verdad es que yo lo tuve que hacer en cierto modo «obligada», ya que si hubiese tenido otra opción, no me hubiese cambiado. ¿Podríais comparar los dos planes de estudios? [M] En la licenciatura hay mucho más temario, son muchas más horas. En el grado, hay menos temario, pero menos horas. Lo difícil de la licenciatura es que hay más cosas que estudiar, y lo peor del grado es que hay muchas cosas que tienes que buscar por tu cuenta y, que en la licenciatura, las dan como parte del temario. Si tuviese que decir qué es más complicado, me costaría mucho, es claro que, en temario, la licenciatura, pero por el modo de impartirlo... se iguala la cosa. [T] Bajo mi punto de vista el grado es mucho más agobiante que la licenciatura, debido a que se da el mismo temario en muchas asignaturas, pero en muchísimas menos horas de clase, incluso algunas asignaturas que en licenciaturas son anuales, en grado son cuatrimestrales. Es agobiante tanto para el alumnado como para los profesores, que se ven muchas veces obligados a simplificar el temario, simplemente por falta de tiempo. ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Responsables de las secciones Volumen VI. Número 3 19 / 20 Lo bueno del grado es que te obliga a estudiar más día a día, puesto que los ejercicios y las prácticas cuentan un 40 % de la nota final. Otra cosa muy positiva del grado es que han implantado prácticas, algo que viene muy bien, porque en la licenciatura no hay, y cuando ya tienes tu carrera te tienes que enfrentar a algo nuevo. Veía muy necesarias las prácticas porque es la primera toma de contacto con el mundo laboral. ¿Qué pensáis del nivel de idiomas exigido para obtener el título de grado? [M] Me parece lo normal, qué mínimo que un B1 para salir al mundo laboral. [T] Es algo muy bueno. Hoy en día es muy importante tener un nivel de inglés, pero hay mucha gente (me incluyo) que el inglés lo tiene un poco olvidado; cuando nosotros empezamos la carrera ésto no era obligatorio. ¿Tenías conocimiento de las salidas profesionales de la carrera antes de empezar? [M] Sí, tengo familia que trabaja en grandes empresas en Madrid, y me lo habían contado. Aunque es algo que se desconoce por el resto de la población. Cuando dices que estudias Matemáticas preguntan al momento: ¿Quieres ser profesor? [T] Realmente no tenía claro todas las salidas que tenía la carrera. Pensaba que la única salida era la docencia, pero ahora he descubierto que hay muchas más. ¿Qué esperáis hacer cuando acabéis? [M] Espero irme a Madrid, hacer un máster relacionado con la estadística y trabajar en alguna empresa o en un banco. [T] Yo espero poder dedicarme a la enseñanza, que es lo que me gusta. ¿Qué le diríais a alguien que no tenga claro si empezar la carrera de matemáticas? [M] Los comienzos son duros, pero la satisfacción de haber hecho algo tan bonito, merece la pena. Tienes que tener claro que al principio te decepcionarás, pero con un poco de interés y mucho estudio, está todo resuelto. [T] Que si realmente es lo que le gusta, que lo haga. Es una carrera complicada, pero con trabajo y constancia se puede sacar perfectamente. En definitiva, lo animaría a que la estudiase. Responsables de las secciones 2Actividad Matemática en la UAL Actividades organizadas: Pedro Martínez ([email protected]). Entrevistas e investigación: Juan Cuadra ([email protected]) y Juan José Moreno ([email protected]). Foro abierto y preguntas frecuentes: María Gracia Sánchez-Lirola ([email protected]). 2De la Enseñanza Media a la Enseñanza Universitaria: Experiencias docentes: Eva Acosta ([email protected]), Nuria Pardo ([email protected]), Miguel Pino ([email protected] y Tomás Ruiz ([email protected]). Enseñanza bilingüe en Matemáticas: María del Carmen Castro ([email protected]). 2Divulgación Matemática La Historia y sus personajes: Enrique de Amo ([email protected]), Florencio Castaño ([email protected]) y Blas Torrecillas ([email protected]). Problemas de interés: Alicia Juan ([email protected]) y Miguel Ángel Sánchez ([email protected]). Las Matemáticas aplicadas en otros campos: Manuel Gámez ([email protected]), Juan Antonio López ([email protected]), Francisco Luzón ([email protected]) y Antonio Salmerón ([email protected]). Mujeres y matemáticas: Isabel Ortiz ([email protected]) y Maribel Ramírez ([email protected]). Cultura y Matemáticas: José Luis Rodríguez ([email protected]) y José Ramón Sánchez ([email protected]). Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática: Antonio Morales ([email protected]) y Fernando Reche ([email protected]). Páginas web de interés: José Carmona ([email protected]) y José Escoriza ([email protected]). ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318 Bo pTitMatUal Responsables de las secciones Volumen VI. Número 3 20 / 20 Citas matemáticas: Juan Cuadra ([email protected]) y Alicia Juan ([email protected]). Pasatiempos y curiosidades: Antonio Andújar ([email protected]) y José Antonio Rodríguez ([email protected]). Acertijos: Juan Carlos Navarro ([email protected]). 2Territorio Estudiante: Alicia Cabrerizo ([email protected]), José Gálvez ([email protected]), Laura Martín ([email protected]), Beatriz Navarro ([email protected]) y Paula Pérez ([email protected]). ©http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperT EX ISSN 1988-5318