Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen. Teil 2: Renditemaximierung und Vergleich mit klassischen Optimierungsansätzen.

Forschung am ivwKöln Band 4/2019 Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen Teil 2: Renditemaximierung und Vergleich mit klassischen Optimierungsansätzen Maria Heep-Altiner, Marcel Berg Forschung am ivwKöln, Band 4/2019 Maria Heep-Altiner, Marcel Berg Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen. Teil 2: R enditemaximierung und Vergleich mit klassischen Optimierungsansätzen. Zusammenfassung Im ersten Teil dieser Publikation wurde unter nicht allzu restriktiven Anforderungen hergeleitet, dass man auch für Versicherungen approximativ das mikroö konomische Produktionsmodell anwenden kann. Dies liefert eine andere Sichtweise im Hinblick auf die U nternehmenssteuerung. In diesem zweiten Teil werden weitere Anwendungen dieses Modells diskutiert. Abstract In the first part of this publication, with respect to insurance business, the micro-economic production model has been approximatively derived under conside ration of suitable requirements. Thus, with respect to the management of an insurance comp any, a different view can be obtained. In the second part, further applications of the model will be discussed. Inhaltsverzeichnis 1MIKROÖKONOMISCHES PRODUKTIONSMODELL .................................................... 1 1.1ALLGEMEINER MODELLANSATZ ................................................................................... 1 1.2ZIELGRÖßEN FÜR EINE OPTIMIERUNG ......................................................................... 2 2OPTIMIERUNG DES ÖKONOMISCHEN MEHRWERTES ............................................ 4 2.1MEHRWERT-PLUS-SZENARIO: OPTIMIERUNG EINES EINZELNEN FAKTORS .................... 4 2.2MEHRWERT-OPTIMAL-SZENARIO: VARIATION ALLER FAKTOREN ................................... 6 3OPTIMIERUNG DER RISIKORENDITE ......................................................................... 9 3.1RENDITE-PLUS-SZENARIO: VARIATION EINES INPUTFAKTORS ...................................... 9 3.2RENDITE-OPTIMAL-SZENARIO: VARIATION ALLER INPUTFAKTOREN ............................. 10 3.3OPTIMIERUNG DER KAPITALAUSLASTUNGEN .............................................................. 13  4VERGLEICH VERSCHIEDENER OPTIMIERUNGSANSÄTZE .................................... 15 4.1OPTIMIERUNG MIT EINEM MIKROÖKONOMISCHEN MODELL .......................................... 15 4.2OPTIMIERUNG MIT EINEM MARKOWITZ-MODELL ......................................................... 16 4.3OPTIMIERUNG MIT EINEM INTERNEN MODELL ............................................................. 18 5ÖKONOMISCHER MEHRWERT VS. RISIKORENDITE .............................................. 20 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................ 23 ABBILDUNGSVERZEICHNIS ............................................................................................. 24 - 1 - 1 Mikroökonomisches Produktionsmodell Im ersten Teil dieser Publikation wurde unter nicht allzu restriktiven Anforderungen hergeleitet, dass man auch für Versicherungen approximativ das neoklassische mikroökonomische Produktionsmodell anwenden kann (siehe [7]). In diesem zweiten Teil werden weitere Anwendungen dieses Modells in gestraffter Form dargestellt und im Zusammenhang mit der Unternehmenssteuerung diskutiert (vergleiche dazu auch die entsprechenden Abschnitte in [5]). 1.1 Allgemeiner Modellansatz In der mikroökonomischen Produktionstheorie wird der Output als Funktion des Inputs modelliert und das Angebot im Wettbewerb aus der Optimierung der Gewinnfunktion hergeleitet (siehe dazu beispielsweise [1] oder [6]). Bei einer Übertragung dieses Modells auf (ggf. auch einzelne Sparten von) Versicherungen reicht es dabei in der Regel aus, sich auch die beiden wesentlichen Inputfaktoren Arbeit (L = Labour) und (Eigen-)Kapital (C = Capital) zu beschränken. Setzt man bei der Modellierung voraus, dass (ggf. auch approximativ) das Unternehmen nur eine Sparte mit einer Anzahl X von Verträgen und einer Durchschnittsprämie PR pro Vertrag schreibt (wobei alle Zahlungen innerhalb eines Jahres stattfinden1 und alle Betrachtungen vor Steuern erfolgen), dann ergibt sich der für die gesamte Kostendeckung zur Verfügung stehende Deckungsbeitrag als DB = PR – SB, wobei SB den (erwarteten) Schadenbedarf pro Vertrag bezeichnet. In allen weiteren Formeln wird zur Harmonisierung der Notation die Bezeichnung P = DB verwendet, da der Deckungsbeitrag DB im mikroökonomischen Produktionsmodell dem klassischen Marktpreis P entspricht. Der Eigenkapitalbedarf für das gezeichnete Geschäft kann dabei approximativ als C = HS ∙ σ ∙ SB ∙ X modelliert werden, wobei σ die Volatilität des Schadenbedarfs und HS einen unternehmensindividuell gesetzten Hebesatz2 bezeichnet. In dem in [7] diskutierten Modellansatz wurde dabei angenommen, dass in einem Wettbewerbsmarkt ein Unternehmen nicht den Deckungsbeitrag beeinflussen kann, wohl aber die Qualität des Geschäftes reflektiert in der Volatilität σ – beispielsweise durch einen erhöhten Mitarbeitereinsatz.3 1 Diese Annahme kann man immer erreichen, indem man bei allen Einnahmen und Ausgaben anstelle einer mehrjährigen Betrachtung die Barwerte am Jahresende zugrunde legt. 2 Mit diesem Hebesatz legt das Unternehmen fest, welches Sicherheitsniveau es benötigt, um den regulatorischen Anforderungen sowie den Ratinganforderungen zu genügen. 3 Hierbei ist nur die Anzahl der spartenspezifischen Mitarbeiter wie Underwriter und Schadenregulierer relevant; andere Mitarbeitergruppen können i. d. R. keinen Einfluss auf die Qualität des Geschäfts ausüben. - 2 - Mit diesen (nicht allzu restriktiven) Annahmen konnte gezeigt werden, dass man in diesem Fall von einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion X = X 0 ∙ La ∙ C b mit einem Basisniveau X0 sowie den Intensitäten a, b > 0 für den Einsatz der Inputfaktoren L und C ausgehen kann. Die Summe s = a + b definiert dabei die sogenannten Skalenerträge.4 Die Kosten K für die Produktion einer Anzahl von X Verträgen ergaben sich in dem skizzierten Produktionsmodell als K = W ∙ L + R ∙ C + STK ∙ X + FK mit W (= Wage) der Mitarbeiterkostensatz, R (= Return) der vom Unternehmen geforderte Kapitalkostensatz, STK von den Inputfaktoren unabhängige Stückkosten5 und FK den Fixkosten des Unternehmens. 1.2 Zielgrößen für eine Optimierung Für den Gewinn G definiert als Umsatz (Erlös) abzüglich der Kosten ergibt sich dann ein funktionaler Zusammenhang G = P ∙ X0 ∙ La ∙ C b – (W ∙ L + R ∙ C + STK ∙ X + FK). Die so definierte mikroökonomische Gewinnfunktion stimmt nicht mit dem Bilanzgewinn vor Steuern überein, da aus steuerlicher Sicht der Betrag R ∙ C keinen echten Kostenblock darstellt (wie etwa bei der Bedienung von Fremdkapital), sondern einen geforderten Sollgewinn. Konzeptionell entspricht diese Gewinnfunktion dem (ökonomischen) Mehrwert in Bezug auf die geforderten (fiktiv gesetzten) Kapitalkosten. Aus diesem Grund wird zur Präzisierung diese Funktion im Folgenden mit der Abkürzung MW bezeichnet. Fasst man alle Terme zusammen, so ergibt sich MW = P mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – W ∙ L – R ∙ C – FK mit P mod. = P – STK. Für den Bilanzgewinn BG (vor Steuern) ergibt sich daraus dann eine Beziehung BG = P mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – W ∙ L – FK, d. h. der Bilanzgewinn ist der Grenzfall eines Mehrwertes mit einem geforderten Kapitalkostensatz von R = 0. Eine mathematische Optimierung dieser absolut definierten Größe ist nicht zielführend, da man auch ohne große Rechenaufwand erkennt, dass sich bei einem immer höheren Einsatz des (vermeintlich kostenfreien) Faktors C der Gewinn beliebig steigern lässt. Man erhält also keine sinnvollen Optimierungslösungen. Alternativ dazu kann man aber die Bilanzrendite 4 Diese sind für bereits langfristig auf dem Markt operierende Unternehmen in der Regel kleiner als Eins. 5 Beispielsweise durch Pauschalumlage aller sonstigen variablen Kosten, insbesondere auch die Kosten für nicht-spartenspezifische Mitarbeiter. - 3 - BR = BG / C optimieren. Da im vorliegenden Modellansatz explizit die Annahme zugrunde gelegt werden soll, dass das vorhandene (Ist-)Eigenkapital mit dem benötigten (Soll-)Risikokapital übereinstimmt, korrespondiert die so definierte Bilanzrendite BR zur Risikorendite (RoRaC = Return on Risk-Adjusted Capital), wobei sich dann folgende Beziehung ergibt: BR = P mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – 1 – (W ∙ L + FK) / C. In den nachfolgenden Kapiteln sollen die Optimierung des ökonomischen Mehrwertes sowie der Risikorendite auf Basis des hier angesetzten mikroökonomischen Produktionsmodells diskutiert werden. Beide Zielfunktionen entsprechen dabei klassischen Steuerungsgrößen aus der Unternehmenssteuerung eines Versicherungsunternehmens. Aus diesem Grund werden die Resultate beider Optimierungsansätze in den abschließenden Abschnitten miteinander verglichen und entsprechenden Lösungen anderer Optimierungsverfahren gegenübergestellt. In allen nachfolgenden Optimierungsansätzen soll vorausgesetzt werden, dass das einzelne Unternehmen den als Marktpreis P interpretierten Deckungsbeitrag nicht beeinflussen kann, d. h. die Mehrwertund Renditeoptimierungen finden in einer Wettbewerbssituation statt. Natürlich kann ein Versicherungsunternehmen immer den Deckungsbeitrag dahingehend optimieren, dass es die Geschäftsstruktur ändert. Dies ist aber dann ein neues Optimierungsproblem. Auf diesen Aspekt wird im letzten Abschnitt noch eingegangen, wenn der hier diskutierte mikroökonomische Optimierungsansatz mit anderen Modellansätzen (wie beispielsweise einem Markowitz-Ansatz oder einem internen Modell) verglichen wird. - 4 - 2 Optimierung des ökonomischen Mehrwertes In diesem Abschnitt wird ein relativ bekanntes Konzept dargestellt – insofern ist die Darstellung so kurz wie möglich gehalten. Wie bereits skizziert entspricht die Mehrwertoptimierung einer klassischen Gewinnoptimierung mit dem (Risiko-)Kapital als einem der Inputfaktoren, wobei hier üblicherweise zwischen zwei verschiedenen Ansätzen unterschieden wird:  Eine kurzfristige Gewinnmaximierung bei Variation nur eines einzigen Inputfaktors (im Folgenden Mehrwert-Plus-Szenario genannt) sowie  eine langfristige Gewinnmaximierung bei Variation aller Inputfaktoren (im Folgenden Mehrwert-Optimal-Szenario genannt). Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gibt es hier explizite Lösungsansätze, die nachfolgend kurz dargestellt werden sollen. Bei der Mehrwertfunktion handelt es sich um eine Funktion in den beiden Variablen L und C. Der klassische Optimierungsansatz ergibt sich hier, indem man die Nullstellen der partiellen Ableitungen in den beiden Variablen ermittelt und mit weiteren Ableitungen überprüft, ob hier ein Maximum vorliegt. Für die partiellen Ableitungen gilt dabei (∂ MW / ∂ L) = a ∙ P mod. ∙ X0 ∙ La – 1 ∙ C b – W = a ∙ P mod. ∙ X / L – W bzw. (∂ MW / ∂ C) = b ∙ P mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – 1 – R = b ∙ P mod. ∙ X / C – R. Definiert man A := a / W und B := b / R als die preisbereinigten Intensitäten der Inputfaktoren Arbeit und Kapital, dann ergeben sich aus den Nullstellen der ersten Ableitungen die Gleichungen P mod. ∙ X = L / A P mod. ∙ X = C / B. Dabei ist zu beachten, dass (beispielsweise bei zu hohen Fixkosten) ein Gewinnmaximum auch negativ sein kann. In diesem Fall handelt es sich dann eher um ein Verlustminimum, was langfristig natürlich kein tragbares Konzept darstellt. Kurzfristig kann ein Angebot aber dennoch sinnvoll sein – beispielsweise wenn das Angebot zumindest die variablen Kosten abdeckt und somit den Fixkostenblock reduziert. 2.1 Mehrwert-Plus-Szenario: Optimierung eines einzelnen Faktors Fixiert man beispielsweise C = C0 oder L = L0, dann ergibt sich dadurch jeweils eine Funktion in einer Variablen, deren Maximum man mit Hilfe der Ableitungen ermitteln kann. Somit muss nur jeweils eine der beiden obigen Nullstellengleichungen aufgelöst werden. Bei Fixierung einer der beiden Faktoren gilt: P mod. = L / [A ∙ X] = [X] 1/a ∙ [X0 ∙ C0b] –1/a / [A ∙ X] = [X] (1 – a) / a ∙ [X0 ∙ A a ∙ C0b] –1/a P mod. = C / [B ∙ X] = [X] 1/b ∙ [X0 ∙ L0a] –1/b / [B ∙ X] = [X] (1 – b) / b ∙ [X0 ∙ L0a ∙ B b] –1/b - 5 - Beide Gleichungen kann man nun als Funktion der angebotenen Menge in Abhängigkeit von P mod. wie folgt auflösen: X L, C0 = [P mod.] a / (1 – a) ∙ [X0 ∙ A a ∙ C0b] 1 / (1 – a) X L0, C = [P mod.] b / (1 – b) ∙ [X0 ∙ L0 a ∙ B b] 1 / (1 – b) Für die jeweiligen zweiten Ableitungen gilt dabei: (∂2 MW / ∂ L2) = a ∙ (a – 1) ∙ P mod. ∙ X0 ∙ La – 2 ∙ C b (∂2 MW / ∂ C2) = b ∙ (b – 1) ∙ P mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – 2 Wenn P mod. > 0 gilt (d. h. der als Marktpreis interpretierte Deckungsbeitrag liegt oberhalb der inputunabhängigen Stückkosten) sowie 0 < a, b < 1 (was bei sinkenden Skalenerträgen der Fall ist), dann liegt also in jedem Fall ein Maximum vor. Die Mehrwert-Plus-Szenarien können auch mit Hilfe der sogenannten Iso-Gewinnlinien illustriert werden – definiert als die Geraden mit gleichem Gewinnniveau. Unter den oben skizzierten Voraussetzungen ergibt sich das Gewinnmaximum gerade dort, wo eine derartige Iso-Gewinnlinie die Produktionsfunktion (als Funktion in nur jeweils einer Variablen) tangiert. Bei Fixierung des Mitarbeitereinsatzes L = L0 gelten für alle Kombinationen (X, C) mit gleichem (Iso-)Gewinn G0 die Beziehungen G 0 = P mod. ∙ X – W ∙ L0 – R ∙ C – FK bzw. X = (G 0 + W ∙ L0 + FK) / P mod. + (R / P mod.) ∙ C. Dies definiert dann abhängig vom (Iso-)Gewinnniveau G0 eine Schar parallel verschobener Geraden – alle mit gleicher Steigung (R / P mod.), aber jeweils mit einem unterschiedlichen Niveauterm (G0 + W ∙ L0 + FK) / P mod. Dies ist in der nachfolgenden Abbildung mit Hilfe eines Berechnungsbeispiels illustriert. - 6 - Abbildung 1: Iso-Gewinnlinien bei festen Mitarbeitereinsatz.6 Für das dargestellte Berechnungsbeispiel ist bei dem fixierten Mitarbeitereinsatz von L = 60 kein positiver Mehrwert erzielbar; der optimale Mehrwert im Tangentialpunkt ist negativ. Auch wenn das hier gewählte Beispiel mit einem negativen ökonomischen Mehrwert auf den ersten Blick fragwürdig erscheint, so kommt diese Situation deutlich häufiger vor als vermutet – beispielsweise im Fall von sehr hohen Kapitalkostenanforderungen. Der bestmögliche Mehrwert entspricht im vorliegenden Fall bereits einer Zusatzverzinsung (zusätzlich zur risikofreien Verzinsung) von 9,5%. Ein geforderter Mehrwert von 2.000 wäre hier nicht erzielbar. 2.2 Mehrwert-Optimal-Szenario: Variation aller Faktoren Bei Variation aller Faktoren ergibt sich aus den beiden Nullstellengleichungen eine Beziehung C = (B / A) ∙ L. Daraus resultiert: X = X0 ∙ La ∙ [(B / A) ∙ L] b = X0 ∙ L s ∙ (B / A) b L = (X) 1/s ∙ (X0 ∙ A-b ∙ B b) -1/ s Setzt man dies nun in eine der beiden Nullstellengleichungen ein, dann ergeben sich folgende Resultate: P mod. = L / [A ∙ X] = X (1 – s) / s ∙ (X0 ∙ Aa ∙ B b) -1/ s X L, C = [P mod.] s / (1 – s) ∙ [X0 ∙ A a ∙ B b] 1 / (1 – s). 6 Vergleiche [5], Seite 133. Anz.VerträgeinTsd. KapitalinT € 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 20.000 40.000 60.000 80.000 100.000 Anz.Spa rten‐MA=60 akt.MW=‐2.000 opt.MW=‐96 geford.MW=2.000 - 13 - Schadenbedarfs) dargestellt. Mit steigendem Marktpreis (= Deckungsbeitrag) wird die Qualität immer besser – bedingt dadurch, dass eine feste Mitarbeiteranzahl sich auf weniger Verträge konzentriert. Dadurch wird der Eigenkapitaleinsatz gesenkt und bei gleichem Umsatz und Gewinn die Rendite erhöht. 3.3 Optimierung der Kapitalauslastungen Eine Renditeoptimierung kann technisch in ein klassisches Gewinnoptimierungsproblem für die Kapitalauslastungen transformiert werden. Definiert man nämlich Y := X / C Mengenausstoß bezogen auf eine Einheit Kapitaleinsatz, U := L / C Mitarbeitereinsatz bezogen auf eine Einheit Kapitaleinsatz, V := FK / C Fixkosteneinsatz bezogen auf eine Einheit Kapitaleinsatz, dann kann die Renditegleichung wie folgt umgeformt werden: BR = P mod. ∙ Y – W ∙ U – 1 ∙ V = P mod. ∙ Y0 ∙ U α ∙ V β – W ∙ U – 1 ∙ V mit α = a sowie β = 1 – s und Y0 = X0 ∙ FK s - 1. Daraus ergeben sich modifizierte Skalenerträge in Höhe von s mod. = α + β = a + (1 – s) = 1 – b. Formal ergeben sich hier die gleichen Lösungsgleichungen wie bei den Mehrwert-Optimierungsszenarien, insbesondere Y U, V0 = (P mod.) a / (1 – a) ∙ [Y0 ∙ A a ∙ V0 1 – s] 1 / (1 – a) Y U0, V = (P mod.) (1 – s) / s ∙ [Y0 ∙ U0 a ∙ (1 – s) 1 – s] 1 / s Y U, V = (P mod.) (1 – b) / b ∙ [Y0 ∙ A a ∙ (1 – s) 1 – s] 1 / b mit A = a / W die preisbereinigte Intensität des Faktors Arbeit. In allen drei Fällen verhält sich der Mengenausstoß pro eingesetzter Kapitaleinheit also in dem Sinne normal, dass mit steigendem Preis auch die Mengenauslastung ansteigt, siehe dazu die nachfolgende Abbildung mit einigen Berechnungsbeispielen: - 14 - Abbildung 7: Mengen pro Mio. Eigenkapital für verschiedene Berechnungsbeispiele.11 Bei der Variation aller Faktoren liefern die Optimierungen der Renditen und die Optimierungen der Kapitalauslastungen die gleichen Ergebnisse, da es sich ja nur um andere Interpretationen des gleichen Optimierungsansatzes handelt. Anders verhält es sich hingegen bei der Optimierung bei Fixierung eines der beiden Faktoren. Die Fixierung des Mitarbeitereinsatzes L ist nicht identisch mit der Fixierung des Mitarbeitereinsatzes L / C bezogen auf eine Einheit Kapitaleinsatz. Hier kommen konzeptionell andere Optimierungslösungen heraus. Der hier dargestellte Lösungsansatz ist sicher etwas technisch, liefert aber eine gute Interpretation, was eigentlich bei der Optimierung der Risikorendite vorgeht. 11 Vergleiche [5], Seite 171. Anz.Vertr.inTsd.proMio.EK Marktpreisin € 0 5 10 15 20 25 0 20406080100120140 SKE=83%– Koeff.=30,7– STK=20,0 SKE=85%– Koeff.=35,9– STK=10,0 SKE=80%– Koeff.=29,1– STK=25,0 - 15 - 4 Vergleich verschiedener Optimierungsansätze Die Beurteilung der Rentabilität von Versicherungsverträgen erfolgt üblicherweise mit den Methoden der wertorientierten Steuerung, bei denen benötigtes Kapital und (ökonomischer) Ertrag miteinander verglichen werden. Der hier diskutierte ökonomische Mehrwert (EVA = Economic Value Added)12 sowie die Risikorendite (RoRaC = Return on Risk-Adjusted Capital)13 sind wichtige Zielgrößen in der Wertund Risikoorientierten Unternehmenssteuerung eines Versicherers. 4.1 Optimierung mit einem mikroökonomischen Modell In dem hier diskutierten Modellansatz erfolgte eine Optimierung des Outputs über eine Optimierung des Inputfaktoreinsatzes – im konkreten Fall durch einen optimalen Einsatz der beiden einflussreichen Faktoren Arbeit und Kapital. Die Geschäftsstruktur (im Modell reflektiert in der Durchschnittsprämie bzw. im erwarteten Schadenbedarf) blieb hierbei im Prinzip unverändert, wobei eine Verbesserung bzw. Verschlechterung der Qualität (im Modell ausgedrückt durch die Volatilität der Schadenquote) durch einen veränderten Einsatz der Inputfaktoren Arbeit und Kapital aber möglich war. Da es sich weiterhin um ein reines Einsparten-Modell bei risikofreier Kapitalanlage handelt, sind auch keine Synergieeffekte berücksichtigt – beispielsweise durch mehrere Sparten und / oder ergänzende riskante Kapitalanlagen mit höherer Rendite. Im Vergleich zu solchen Modellen ist der mikroökonomische Modellansatz also stark reduziert. Das Argument eines reinen Einsparten-Modells greift allerdings zu kurz, da man theoretisch auch die Zielfunktionen mehrerer Sparten zusammenführen kann – ggf. auch unter geeigneten Nebenbedingungen, beispielsweise, dass der gesamte Kapitalund Mitarbeitereinsatz fixiert ist. Die Berücksichtigung von Synergieeffekten dahingehend, dass bei verbesserter Mischung der Kapitalbedarf sinkt, ist dadurch aber nicht abbildbar. Dennoch liefert dieser Ansatz mögliche Lösungsansätze für zwei prinzipiell unterschiedliche Strategien: 1. Verbesserung der Qualität des Geschäftes und damit einhergehend eine überproportionale Reduzierung des Kapitalbedarfs – ggf. um den Preis einer Mengenbzw. einer Umsatzreduzierung. 2. Erhöhung der Menge und damit einhergehend eine Erhöhung des Umsatzes – ggf. um den Preis einer verschlechterten Qualität bzw. eines überproportional erhöhten Kapitalbedarfs. Der Nachteil dieses Ansatzes besteht also in der Nichtberücksichtigung von Synergieeffekten; der Vorteil in einer Balancierung zwischen dem Mitarbeiterund dem Kapitaleinsatz. Dieser 12 EVA = Ökonomischer Ertrag – Kapitalkostensatz ∙ Benötigtes Kapital. Geschützter Begriff der Unternehmensberatung Stern Steward & Co. 13 RoRaC = Ökonomischer Ertrag / Benötigtes Kapital. - 16 - Effekt spielt bei alternativen Modellansätzen wie dem nachfolgend diskutierten Markowitz-Modell keine Rolle. 4.2 Optimierung mit einem Markowitz-Modell Die Diskussion bzw. Optimierung der hier im Rahmen eines mikroökonomischen Produktionsmodells spezifizierten Zielgrößen ist eher unüblich. So wurde beispielsweise in [8] ein ganz anderer Modellansatz verfolgt. Hier wurde mit einer geeigneten Abänderung des klassischen Markowitz-Modells, bei der die Trennung von Assets und Liabilities berücksichtigt wird, eine stochastische Gewinnund Verlustrechnung GuV = x 0 ∙ A0 + … + x n ∙ A n – (y0 ∙ L0 + … + y m ∙ L m) modelliert – mit A0, …, A n bzw. L0, …, L m approximativ normalverteilten Assetund LiabilityKlassen und den Nebenbedingungen ∑ x i = ∑ y i = 1.14 Für diesen Ansatz ergibt sich MW = E – k ∙ S BR = r + (1 + r) ∙ E / (tα ∙ S – E) mit E bzw. S dem Erwartungswert bzw. der Standardabweichung der stochastischen Gewinnund Verlustrechnung, r dem risikofreien Zins, tα der Normalverteilungsschranke zum gewählten Sicherheitsniveau α und k dem gewählten Kapitalkostensatz. Für MW = G0 bzw. BR = R0 ergeben sich dabei (Iso-)Gewinnlinien bzw. (Iso-)Renditelinien wie folgt: E = G 0 + k ∙ S bzw. E = (R0 – r) ∙ (tα ∙ S – E) / (1 + r) bzw. E = [(R0 – r) / (1 + R0)] ∙ tα ∙ S Die (Iso-)Gewinnlinien sind somit parallel verschobene Geraden, deren Steigung vom Kapitalkostenparameter k abhängt, während die (Iso-)Renditelinien Geraden unterschiedlicher Steigung durch den Nullpunkt sind. Auf dieser Basis kann eine Optimierung sowohl des ökonomischen Mehrwertes als auch der Risikorendite durchgeführt werden, bei der zwar keine Qualitätsverbesserung (beispielsweise durch einen intensiveren Mitarbeitereinsatz) einzelner Sparten modelliert werden kann, durch eine geeignete Mischung unter Berücksichtigung von Synergieeffekten aber eine Qualitätsverbesserung insgesamt berücksichtigt werden kann. Mit einem solchen Ansatz können Lösungsansätze für folgende Fragestellungen diskutiert werden: 14 Diese Nebenbedingungen beinhalten, dass nach einer Barwertbetrachtung eine feste Jahresprämie ein Jahr lang in ausgewählte Asset-Klassen investiert werden kann und am Ende des Jahres die Schadenkosten für die ausgewählte Spartenmischung ausbezahlt werden müssen. - 17 - 1. Wie sollte eine vernünftige Mischung der Risikostruktur der Spartensegmente erfolgen? 2. Wie sollte diese Mischung optimiert werden, wenn man zusätzlich noch eine Optimierung der Risikostruktur der Assets mit einbezieht? Rückversicherung als eine Form eines Assets kann dabei durchaus mitberücksichtigt werden, allerdings nur in sehr vereinfachter Form als approximative quotale Rückversicherung. In der nachfolgenden Abbildung ist beispielhaft für die Mischung von zwei (stochastisch unabhängigen) Sparten mit unterschiedlichen Risiko- / Renditeprofilen bei einer risikofreien Kapitalanlage die optimale Kombination im Hinblick auf eine Optimierung des ökonomischen Mehrwertes bzw. der Risikorendite illustriert. Abbildung 8: Stetige Optimierung mit einem Markowitz-Modell.15 Für dieses Beispiel ergibt sich die klassische Markowitz-Kurve,16 wie man sie für die Mischung von zwei riskanten Assets kennt. Die optimale Kombination in Bezug auf die Risikorendite ist genau der Punkt auf dieser Markowitz-Kurve, wo eine Gerade durch den Nullpunkt diese Kurve berührt.17 Der optimale ökonomische Mehrwert ergibt sich dort, wo eine Schar parallel verschobener Geraden diese Kurve berührt, wobei sich die Steigungen der Geraden aus dem gewählten 15 Vergleiche [8], Seite 14. 16 Im Sinne eines μ-σ-Diagramms, bei dem Standardabweichung und Erwartungswert gegeneinander aufgetragen werden. 17 Dies korrespondiert konzeptionell zum Rendite-Plus-Szenario, wo das Optimum gerade dort vorliegt, wo eine Gerade aus einer Schar von Geraden durch einen festen Punkt die Produktionskurve berührt, siehe auch Abbildung 4. Rendite Risiko 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Markowitz‐Kurve GleicherökonomischerMehrwert GleicheRisikorendite - 18 - Kapitalkostenparameter ergeben. Da die Markowitz-Kurve eine Hyperbel ist, gibt es hier eine asymptotische Steigung, die nicht unterschritten wird. Wenn die Steigung der Geradenschar kleiner als diese ist, gibt es keinen Berührpunkt, sondern ggf. nur einen maximalen Punkt aufgrund von Begrenzungen.18 4.3 Optimierung mit einem internen Modell Der Markowitz-Ansatz in [8] ist im Prinzip ein internes Modell, bei dem die Stochastik so vereinfacht wurde, dass mit einer geschlossenen Formel gerechnet werden konnte. Dieser Ansatz vermag aber nicht komplexe Rückversicherungsstrukturen oder Synergien durch Mengeneffekte abbilden. Derartig komplexe Modellaspekte können aber nur mit einem echten internen Modell abgebildet werden, bei dem in ausreichend vielen stochastischen Szenarien die Verteilung des Eigenkapitals zum Ende eines Jahres approximiert wird. Eine geschlossene Lösung ist hierbei in der Regel nicht mehr möglich. Ein internes Modell bildet nämlich nur die aktuelle Struktur einer Assetund Liability-Mischung ab. Möchte man diese Struktur (beispielsweise im Hinblick auf klar definierte Zielgrößen) verbessern, muss man sogenannte Was-wäre-wenn-Analysen durchführen, indem man für alternative Geschäfts-, Kapitalanlageund Rückversicherungs-Strategien testet, ob sich die Zielgrößen verbessern – beispielsweise ob sich die Risikorendite erhöht hat. In der nachfolgenden Abbildung ist illustriert, wie sich die zuvor illustrierte Markowitz-Kurve in einem solchen Fall auf wenige Strategien verdünnt, die keine klare Parametrisierung mehr aufweisen, die aber im Hinblick auf eine klar definierte Zielgröße gegeneinander getestet werden können. 18 Dies korrespondiert konzeptionell zum Mehrwert-Plus-Szenario, wo das Optimum gerade dort vorliegt, wo eine Gerade aus einer Schar von parallel verschobenen Geraden die Produktionskurve berührt, siehe auch Abbildung 1. - 19 - Abbildung 9: Diskrete Optimierung mit einem internen Modell.19 In dem dargestellten Beispiel ist die erste Strategie in jedem Fall der zweiten Strategie unterlegen, da sie sowohl im Hinblick auf die Rendite als auch auf das Risiko schlechter abschneidet. Die optimale Strategie ergibt sich somit nach Auswertung der gewählten Zielgröße (beispielsweise ökonomischer Mehrwert oder Risikorendite) für die Strategien 2 bis 4. Es handelt sich hier um eine diskrete Optimierung – im Gegensatz zu einer stetigen Optimierung im Markowitz-Modell. Wenn die getesteten Strategien nicht sinnvoll gewählt wurden, wird ein mögliches Optimum u. U. deutlich verfehlt. Ein (echtes) internes Modell kann wesentlich flexibler Komplexitäten abbilden. Dieser Vorteil wird aber durch den Verzicht auf eine geschlossene Formel erkauft, denn in der Regel können nur einige festgelegte Szenarien ausgewertet werden. Auf der anderen Seite sind die getesteten Strategien solche, die das Unternehmen für umsetzbar hält – im Sinne von kleinen möglichen Schritten. Die optimalen Lösungen in einem geschlossenen Modell haben oft den Nachteil, dass sie ggf. große Strukturänderungen beinhalten, die als solche nicht wirklich störungsfrei realisierbar sind. Ein geschlossener Modellansatz hat hier eher den Zweck, dass die Richtung gezeigt wird, in welche sich eine Optimierung bewegen sollte. 19 Vergleiche [8], Seite 1. Rendite Risiko 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Strategie1 Strategie2 Strategie4 Strategie3 - 20 - 5 Ökonomischer Mehrwert vs. Risikorendite Mit einem internen Modell kann man relativ gut das eigene Risiko- / Rendite-Profil abbilden; eine Optimierung beschränkt sich aber in den meisten Fällen darauf, mit Was-wäre-wennAnalysen verschiedene klar definierte Szenarien zu testen. Auch wenn man dadurch i. d. R. eine gute Übersicht für die eigene Situation erhält, so kann man aufgrund der fehlenden allgemeinen Darstellung in Form eines funktionalen Zusammenhangs keine allgemeinen Aussagen treffen. Das mikroökonomische Modell wie auch der Markowitz-Ansatz (als vereinfachte Darstellung eines internen Modells) liefern geschlossene Formeln – um den Preis einer reduzierten Abbildung der Komplexität. Bei aller berechtigter Kritik an einer derartigen Vorgehensweise erhält man so aber eine Art Gesamtüberblick aus einer Vogelperspektive und somit auch einige allgemeine Erkenntnisse zum ökonomischen Mehrwert wie auch der Risikorendite als wichtigen Zielgrößen in der wertorientierten Unternehmenssteuerung – beispielsweise strategische Ansatzpunkte, in welche Richtung sich ein Geschäftsmodell entwickeln sollte. In der nachfolgenden Tabelle sind daher stichpunktartig die Vorund Nachteile des ökonomischen Mehrwertes im Vergleich zur Risikorendite dargestellt, wobei zwischen dem hier beschriebenen mikroökonomischen Modell und dem Markowitz-Ansatz aus [8] unterschieden wird. Dadurch soll betont werden, dass keines der beiden Modelle Anspruch auf eine vollständige Wahrheit hat, sondern nur zu einer Erweiterung der Erkenntnisse beitragen kann. - 21 - Modell Zielgröße Vorteile Nachteile Mikroökonomisches Modell Ökonom. Mehrwert  Optimum existiert bei sinkenden Skalenerträgen  Optimiert nominale Größen  Graphische Darstellung durch (parallel verschobene) Iso-Gewinnlinien  Optimale Gerade berührt die Produktionskurve (im Bereich sinkender Skalenerträge)  Kapitalkosten sind steuerlich keine Kosten  Fehlsteuerung bei falschem Kapitalkostensatz  Zu viel Kapitaleinsatz bei zu kleinem Kostensatz  Zu wenig Produktion bei zu hohem Kostensatz RisikoRendite  Optimum existiert bei sinkenden Skalenerträgen  Kein Widerspruch zu einer steuerlichen Sicht  Graphische Darstellung durch (durch einen festen Punkt gehende) Iso-Renditelinien  Optimale Gerade berührt die Produktionskurve (im Bereich sinkender Skalenerträge)  Feste Mitarbeiteranzahl, OutputMenge, fester Gewinn  Keine quantitativen Effekte wie Mengenoder Gewinnsteigerungen  Nachteile könnten ggf. durch ein Mehrspartenmodell unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen gelöst werden MarkowitzAnsatz Ökonom. Mehrwert  Optimiert nominale Größen  Graphische Darstellung durch (parallel verschobene) Iso-Gewinnlinien  Optimum berührt die MarkowitzKurve, falls die Steigung höher ist als die asymptotische Steigung der Markowitz-Kurve  Optimum existiert nicht immer  Ggf. nur ein maximaler Wert bedingt durch Mengenbegrenzungen etc.  Kapitalkosten sind steuerlich keine Kosten  Fehlsteuerung bei falschem Kapitalkostensatz  Bei zu geringen Kapitalkostensätzen gibt es keine Lösung im Sinne eines Optimums, d. h. es wird solange Risiko getragen, bis eine Begrenzung wirkt RisikoRendite  Optimum existiert, ggf. aber nur ein Minimum  Graphische Darstellung durch (durch den Nullpunkt gehende) Iso-Renditelinien  Optimale Gerade berührt die Markowitz-Kurve (ggf. Minimum)  Mengenbegrenzungen etc. kommen in diesem Ansatz nicht vor, da die Prämie als Nebenbedingung fixiert wird In beiden (wie auch eigentlich in allen anderen) Modellansätzen besteht ein wesentlicher Nachteil der Mehrwertoptimierung darin, dass der Kapitalkostensatz kein echter Preis in einem (Wettbewerbs-)Markt ist, sondern vom Unternehmen festgesetzt wird – selbst wenn das Unternehmen sich dabei an anderen Marktteilnehmern oder an echten Kosten eines Fremdkapitaleinsatzes orientiert. Aus einer ökonomischen Sichtweise ist der Ansatz von Kapitalkosten - 22 - (im Sinne von Opportunitätskosten) geboten; aus steuerlicher Sicht sind diese aber nicht ansetzbar, da sie einen vorweggenommenen Soll-Gewinn darstellen. Das Problem besteht also immer in einem korrekten Kostenansatz. Ist der Kostensatz zu hoch, dann kann ein im Bilanzansatz profitables Geschäft als ökonomischer Verlust interpretiert werden, weil eine zu hohe Soll-Rendite nicht produziert wird. Dadurch können sich Fehlsteuerungsanreize ergeben. Bei beiden Modellierungsansätzen entfallen diese Probleme bei der Optimierung der Risikorendite, da hier prozentuale Größen ohne Bezug auf (ggf. falsch angesetzte) Soll-Renditen modelliert werden. Ein Problem hierbei besteht u. U. aber darin, dass überhaupt kein Bezug zu nominellen Größen vorliegt, da eine reine Renditeoptimierung sozusagen auf dem Atom natürlich nicht sinnvoll ist. Dies wird beim mikroökonomischen Modellansatz besonders deutlich, da hier im Optimum wesentliche Größen wie Mitarbeiteranzahl, Umsatz und Gewinn konstant sind. Preiserhöhungen führen hier nicht zu mehr Menge und somit mehr Umsatz, sondern zu einer geringeren Menge bei verbesserter Qualität und damit einhergehend einem geringeren Kapitalbedarf. Die Rendite wird dadurch erhöht. Mikroökonomisches Modell und Markowitz-Ansatz illustrieren jeweils unterschiedliche Aspekte im Hinblick auf die Vorund Nachteile der beiden relevanten Steuerungsgrößen in der wertorientierten Steuerung eines Versicherungsunternehmens, die als solche nützlich sind für eine Entscheidung, mit welcher Größe man steuern will bzw. was man dabei beachten sollte. 2012 11/2012 Goecke (Hrsg.): Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung. Proceedings zum 2. FaRis & DAV-Symposiums am 1. Juni 2012 10/2012 Klatt, Schiegl: Quantitative Risikoanalyse und -bewertung technischer Systeme am Beispiel eines medizinischen Gerätes 9/2012 Müller-Peters: Vergleichsportale und Verbraucherwünsche 8/2012 Füllgraf, Völler: Social Media Reifegradmodell für die deutsche Versicherungswirtschaft 7/2012 Völler: Die Social Media Matrix - Orientierung für die Versicherungsbranche 6/2012 Knobloch: Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten bei unterjährlicher Zahlweise 5/2012 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationsrechnungen 4/2012 Günther (Hrsg.): Privat versus Staat - Schussfahrt zur Zwangsversicherung? Tagungsband zum 16. Kölner Versicherungssymposium am 16. Oktober 2011 3/2012 Heep-Altiner/Krause: Der Embedded Value im Vergleich zum ökonomischen Kapital in der Schadenversicherung 2/2012 Heep-Altiner (Hrsg.): Der MCEV in der Lebensund Schadenversicherung - geeignet für die Unternehmenssteuerung oder nicht? Proceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011 in Köln 1/2012 Institut für Versicherungswesen (Hrsg.): Forschungsbericht für das Jahr 2011 2011 5/2011 Reimers-Rawcliffe: Eine Darstellung von Rückversicherungsprogrammen mit Anwendung auf den Kompressionseffekt 4/2011 Knobloch: Ein Konzept zur Berechnung von einfachen Barwerten in der betrieblichen Altersversorgung mithilfe einer Markov-Kette 3/2011 Knobloch: Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten 2/2011 Heep-Altiner: Performanceoptimierung des (Brutto) Neugeschäfts in der Schadenversicherung 1/2011 Goecke: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich