Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert

Forschung am IVW Köln, 9/2014 Institut für Versicherungswesen Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert Ralf Knobloch II Forschung am IVW Köln, 9/2014 Wählen Sie ein Element aus. Ralf Knobloch Forschungsstelle FaRis Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert Zusammenfassung Eine wichtige Fragestellung in den Wirtschaftswissenschaften ist die Bewertung von Zahlungsströmen mit dem Barwert. Dabei liegt jeder Barwertberechnung ein geeignetes Zinsmodell zugrunde. Bei einem speziellen Zinsmodell – der relativ gemischten Verzinsung – lassen sich einfache nichttriviale Beispiele/Zahlungsströme konstruieren, bei denen der Barwert bei jedem Zinssatz null ist. In der vorliegenden Arbeit wird die Frage untersucht, ob es bei anderen Zinsmodellen ebenfalls solche Zahlungsströme gibt. Im Hauptsatz kann die Beantwortung dieser Frage mit Mitteln der Analysis auf die Existenz von Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems zurückgeführt werden. Abstract An important question in economics and business is to evaluate cash flows by the present value. Each calculation of a present value is based on a suitable interest model. In case of one special interest model, one can construct a simple nontrivial example/cash flow, where the present value is zero for each interest rate. In this paper we will pursue the question, whether there are such examples/cash flows for other interest models. In the main theorem the answer to this question can be ascribed to the existence of a solution of homogeneous linear simultaneous equations with calculus methods. Schlagwörter: Barwert, Bewertung von Zahlungsströmen, Finanzmathematik, Zinsmodelle - 1 - Inhaltsverzeichnis 1.EINLEITUNG .............................................................................................................................................. 2 2.DAS MODELL (TEIL 1) .............................................................................................................................. 4 3.JÄHRLICHE VERZINSUNG MIT ZINSESZINS ........................................................................................... 5 4.DAS MODELL (TEIL 2) .............................................................................................................................. 9 5.REIHENENTWICKLUNG DER ABZINSUNGSFAKTOREN ....................................................................... 11 6.HAUPTSATZ ............................................................................................................................................ 14 7.ANWENDUNGEN DES HAUPTSATZES (TEIL 1) ..................................................................................... 16 8.ANWENDUNGEN DES HAUPTSATZES (TEIL 2): RELATIV GEMISCHTE VERZINSUNG ........................ 19 9.SCHLUSSBEMERKUNG ........................................................................................................................... 22 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................ 23 - 2 - 1. Einleitung In vielen Teilgebieten der Wirtschaftswissenschaften ist die Bewertung von Zahlungsströmen eine der zentralen Fragestellungen. Dies gilt sowohl für theoretische Überlegungen als auch für praktische Anwendungen. Einer der wichtigsten Bewertungsansätze ist dabei der Barwert eines Zahlungsstroms, d.h. die Summe der auf einen Bewertungsstichtag abgezinsten Zahlungen. Jede Barwertberechnung benötigt dazu ein passendes Zinsmodell. Sind die Zeiträume zwischen dem Bewertungsstichtag und den jeweiligen Zahlungszeitpunkten alle ganzzahlig (d.h. es sind volle Jahre), so wird üblicherweise die jährliche Verzinsung mit Zinseszins verwendet. Man spricht in diesem Fall von einer jährlichen Zahlweise. Mehr Vielfalt bei den Zinsmodellen gibt es, sobald der Zahlungsstrom unterjährliche Zahlungen enthält. Zunächst muss entschieden werden, ob auch ein unterjährlicher Zinseszinseffekt berücksichtigt werden soll oder nicht. Die Modelle mit einem unterjährlichen Zinseszinseffekt werden unter dem Begriff „unterjährliche Verzinsung“, die Modelle ohne einen unterjährlichen Zinseszinseffekt unter dem Begriff „gemischte Verzinsung“ zusammengefasst (vgl. [1] S.20ff und S.27ff, [6] S.75ff und S.85ff). Sowohl bei der unterjährlichen Verzinsung als auch bei der gemischten Verzinsung kann man den Jahreszins proportional zu der Verzinsungszeitspanne ansetzen. Man spricht dann von der „unterjährlichen Verzinsung zum relativen Zins“ bzw. von der „relativ gemischten Verzinsung“. Andere Zinsmodelle basieren auf der Idee des konformen Zinssatzes. Bei diesem Ansatz führt eine unterjährliche Verzinsung – im Unterschied zu den Modellen mit relativem Zins – bei einer ganzzahligen Laufzeit zum selben Guthaben wie die übliche jährliche Verzinsung mit Zinseszins (vgl. [1] S. 24ff und [6] S.78ff). Die relativ gemischte Verzinsung wird in der Praxis oft implizit angewendet. Als Beispiele der Anwendung seien die Effektivzinsberechnung bei gebrochener Laufzeit (vgl. [3] S.72) und das Restglied in der Pensionsversicherungsmathematik (vgl. [5]) genannt. Wir betrachten das folgende Beispiel zur relativ gemischten Verzinsung. Beispiel 1: Gegeben sei ein Zahlungsstrom mit den drei folgenden Zahlungen:  Zahlung zum Zeitpunkt 5,0t in Höhe von 1C 5,0    Zahlung zum Zeitpunkt 1t in Höhe von 2C1   Zahlung zum Zeitpunkt 5,1t in Höhe von 1C 5,1   - 3 - Verwendet man als Zinsmodell die relativ gemischte Verzinsung mit Zinssatz 0i , so berechnet sich der Barwert des Zahlungsstroms 0 Bwie folgt:       0 i1i5,01 1i5,012i1 i1i5,01 1 i1 2 i5,01 1 B0           . Somit ergibt bei diesem Zahlungsstrom für den Barwert bei jedem Zins der gleiche Wert, d.h. der Barwert ist zinsunabhängig. In der vorliegenden Arbeit wird die Frage untersucht, bei welchen Zinsmodellen es nichttriviale endliche Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert geben kann. - 4 - 2. Das Modell (Teil 1) Gegeben sei ein endlicher Zahlungsstrom Mt ,Ct  . Dabei genügen die Zahlen t C und die Menge der Zahlungszeitpunkte M den folgenden Bedingungen:  IRCt für alle Mt .   0 IRM (Alle Zahlungen erfolgen zum Zeitpunkt 0oder später)  M (Es sind nur endlich viele Zahlungszeitpunkte) Zu jedem Zahlungszeitpunkt Mt  gibt es einen Abzinsungsfaktor t v. Für die Abzinsungsfaktoren gilt:  Mt , 1vt  1vM0 0  ts vvts , Mts,  Aus diesen Notationen ergibt sich der Barwert der Zahlungsreihe wie folgt:    Mt tt0 CvB . Zu bemerken ist noch, dass sich die Abzinsungsfaktoren i.d.R. aus einem vorgegeben Jahreszinssatz 0i  berechnen. - 5 - 3. Jährliche Verzinsung mit Zinseszins Zunächst betrachten wir die üblicherweise verwendete jährliche Verzinsung mit Zinseszins. Dazu sei die Menge der Zeitpunkte eine Teilmenge der natürlichen Zahlen inklusive der 0, d.h. 0 INM  . Der Zinssatz sei 0i  und es gilt  t ti1 1 v . Mit der Definition des Abzinsungsfaktors i1 1 :v   ergibt sich t tvv . Damit erhält man als Barwert     Mt t t Mt tt0 CvCvB . Das folgende Beispiel zeigt, dass sich bei unterschiedlichen Zinssätzen der gleiche Barwert ergeben kann. Beispiel 2: Es sei }2,1,0{M , d.h. der Zahlungsstrom besteht aus den drei Zahlungen 210 C ,C ,C . Als Barwert ergibt sich 012 2 Mt t t 0CCvCvCvB    . Zu einem vorgegeben Wert IRb , mit bC0  gibt es unter der Bedingung (B1)  bC C bC2 C 0 2 2 0 1            zwei Zinssätze, die jeweils zum Barwert bB0  führen. Es sind dies   bC C bC2 C bC2 C 1i 0 2 2 0 1 0 1 1              und   bC C bC2 C bC2 C 1i 0 2 2 0 1 0 1 2              . Zur Berechnung dieser beiden Zinssätze wird die Gleichung bCCvCv 012 2 - 6 - zunächst umgeformt in   0i1 bC C i1 bC C2 0 1 0 2   . Anschließend löst man diese quadratische Gleichung mit der Variablen  i1  mithilfe der p-q-Formel. Durch Auflösen nach dem Zins ergeben sich die beiden Lösungen 1 i und 2 i. Zusätzlich zu (B1) betrachten wir die Bedingungen (B2), (B3) und (B4) wie folgt: (B2) bC0 (B3) 10 C)bC(2  (B4) 0bCCC 012  Gelten alle vier Bedingungen (B1), (B2), (B3) und (B4), so ergibt sich die Nichtnegativität von 2 i wie folgt:                 0i0 bC C bC2 C bC2 C 1 bC C bC2 C bC2 CbC2 bC C bC2 C bC2 CbC2 bC C bC2 C bC2 C 1 bC C bC2 C bC2 C 1 bC C bC2 C bC2 C bC C 1 bC C bC C 1 bC CC 1 CCbC0bC CC 2 0 2 2 0 1 0 1 0 2 2 0 1 0 10 )3B(),2B(),1B( 0 2 2 0 1 2 0 10 0 2 2 0 1 2 0 1 0 2 2 0 1 2 0 1 0 2 2 0 1 2 0 1 0 1 0 2 0 1 0 21 )2B( 210012                                                                                                                                    Wegen 21 ii  folgt 0i1. Somit gibt es in diesem Beispiel unter den Bedingungen (B1), (B2), (B3) und (B4) zwei ökonomisch sinnvolle Zinssätze (d.h. Zinssätze größer oder gleich null), die den gleichen Barwert ergeben. - 7 - Als Zahlenbeispiel sei hier genannt: 11396204,0i , 21937129,0i , 000.200b 000.815C , 000.400.1C , 000.400C 21 210      Im Spezialfall 0b  bedeutet die Existenz der beiden Lösungen 1 i und 2 i, dass es in diesem Fall keinen eindeutigen Effektivzins gibt (vgl. [6] S.235). Bei der jährlichen Verzinsung gibt es, wie in Beispiel 2 gezeigt, nichttriviale Zahlungsreihen, die bei unterschiedlichen Zinssätzen zum gleichen Barwert führen. Verlangt man aber, dass man bei jedem Zinssatz 0i  den gleichen Barwert b erhält, so erfüllt dies nur die triviale Zahlungsreihe 0Ct  für alle Mt  \}0{ und bC0. Beweisen kann man dies mit elementaren Ergebnissen der Analysis. Satz 1: Es sei 0 INM  und  t t tv i1 1 v  . Dann gilt: 0CvB Mt tt0    für alle 0i   0Ct  für alle Mt  Beweis: O.B.d.A. sei }m,...2,1,0{M . Man erhält als Funktion des Abzinsungsfaktors ]1,0( i1 1 v       Mt t t Mt tt CvCv:)v(f . Diese Funktion f nimmt für jedes v aus dem Definitionsbereichs den Wert 0 an. Da es sich dabei um ein Polynom m-ten Grades handelt, folgt die Behauptung mithilfe des Identitätssatzes für Polynome (vgl. [4] S.123). □ Folgerung 1: Es sei 0 INM  mit M0  und  t t tv i1 1 v  . Es sei IRb  . Dann gilt: bCvB Mt tt0    für alle 0i  bC0  und 0Ct  für alle Mt  \}0{ - 14 - 6. Hauptsatz In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass sich die Frage nach der Existenz von Zahlungsströmen mit zinsunabhängigem Barwert (Wert 0  ) auf die Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems zurückführen lässt. Insbesondere gibt es genau dann nichttriviale Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert, wenn das homogene lineare Gleichungssystem neben dem Nullvektor weitere Lösungen besitzt. Ein Zahlungsstrom heißt dabei nichttrivial, wenn es mindestens eine Zahlung ungleich null ist. Es wird vorausgesetzt, dass es eine Transformation )i(h des Zinssatzes gibt, so dass sich die Abzinsungsfaktoren wie folgt als Reihe entwickeln lassen:      0l l l,j,k )i(hb)i,j,k(f       m1,j,n,,1k,,0i,      . Es sei A die Menge aller Zahlungsströme C j,k , m,,1j,n,,1k    mit    n 1k m 1j j,k 0C)i,j,k(f für alle 0i . Damit enthält A Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert. Es sei B die Menge aller Lösungen C j,k , m,,1j,n,,1k    des homogenen linearen Gleichungssystems    n 1k m 1j j,kl,j,k 0Cb , 0 INl  . . Satz 2: (Hauptsatz) Enthält der Wertebereich der Transformation h ein offenes Intervall   1,0b,a , so gilt BA . Beweis: Man kann den Barwert wie folgt umformen:                      0l n 1k m 1j j,kl,j,k l 0l n 1k j,k m 1j l l,j,k n 1k m 1j j,k 0l l l,j,k n 1k m 1j j,k0 Cb)i(hC)i(hb C)i(hbC)i,j,k(f)i(B Hat man eine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems - 15 -    n 1k m 1j j,kl,j,k 0Cb , 0 INl  , so gilt    n 1k m 1j j,k0 0C)i,j,k(f)i(B für alle 0i . Gilt umgekehrt    n 1k m 1j j,k 0C)i,j,k(f für alle 0i , so ist die Potenzreihe in der Variablen )i(h auf dem Intervall   b,a identisch null. Somit müssen alle Koeffizienten gleich null sein (vgl. [2] S.372f) und man erhält eine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems. □ Folgerung 2: A enthält genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn B neben dem Nullvektor mindestens eine weitere Lösung besitzt. Beweis: trivial Folgerung 3: A ist ein Vektorraum, insbesondere ist die Linearkombination zweier Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert wieder ein Zahlungsstrom mit zinsunabhängigem Barwert. Beweis: Die Aussage folgt direkt aus Satz 2, da die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ein Vektorraum ist. □ Bemerkung: Bisher findet bei dem vorgegebenen Zeitraster der Zeitpunkt 0 keine Berücksichtigung. Zu jedem Element aus A kann durch Hinzunahme des Zeitpunktes 0 mit der Zahlung IRbC0 ein Zahlungsstrom konstruiert werden, bei dem bei jedem Zinssatz der Barwert den Wert b annimmt. - 16 - 7. Anwendungen des Hauptsatzes (Teil 1) In diesem Abschnitt gezeigt wie der Hauptsatz auf die jährliche Verzinsung mit Zinseszins, auf die unterjährliche Verzinsung mit relativem Zins, auf die konforme Verzinsung und die einfache Verzinsung angewendet werden kann, um zu zeigen, dass es bei diesen vier Zinsmodellen keine nichttrivialen Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert gibt. Beispiel 5: (Jährliche Verzinsung mit Zinseszins) Variablentransformation: i1 1 )i(h   Ferner gilt 1m  und für  n,,1k  und 0i :  k k )i(h i1 1 )i,1,k(f   , d.h.         kl0 kl1 bl,1,k . Dies liefert das Gleichungssystem 1,l n 1k m 1j j,kl,j,k CCb0    , n,,1l   . Dieses Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung 0C 1,l  , n,,1l   . Somit gibt es keine nichttrivialen Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert. Beispiel 6: (Unterjährliche Verzinsung mit relativem Zins) Variablentransformation: m i 1 1 )i(h   Man erhält für  n,,1k ,  m,,1j  und 0i :  jm)1k( jm)1k( )i(h m i 1 1 )i,j,k(f          , - 17 - d.h.            jm1kl0 jm1kl1 bl,j,k . Dies liefert das Gleichungssystem   m1 m l al, m l a n 1k m 1j j,kl,j,k CCb0     , mn,,1l   . Dabei sei )x(a der aufgerundete Wert von x. Da das Indexpaar         m1 m l al, m l a für mn,,1l   die Indexpaare  j,k , m,,1j,n,,1k    , komplett durchläuft, erhält man das Gleichungssystem 0C j,k , m,,1j,n,,1k    . Somit erhält man als einzige Lösung des Gleichungssystems den Nullvektor und es gibt keine nichttrivialen Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert. Beispiel 7: (Konforme Verzinsung) Variablentransformation: m i1 1 )i(h   Man erhält für  n,,1k ,  m,,1j  und 0i :      jm)1k( jm1k m m j 1k )i(h i1 1 i1 1 )i,j,k(f        . d.h.            jm1kl0 jm1kl1 bl,j,k . Dies liefert dasselbe Gleichungssystem wie in Beispiel 6:   m1 m l al, m l a n 1k m 1j j,kl,j,k CCb0     , mn,,1l    Dabei sei )x(a wiederum der aufgerundete Wert von x. Die Argumentation ist identisch mit der Argumentation von Beispiel 6: Das Indexpaar         m1 m l al, m l a durchläuft für mn,,1l    die Indexpaare   j,k , m,,1j,n,,1k   , damit erhält man das Gleichungssystem 0C j,k , m,,1j,n,,1k    , - 18 - dies hat als einzige Lösung den Nullvektor und es gibt somit keine nichttrivialen Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert. Beispiel 8: (Einfache jährliche Verzinsung) Variablentransformation: i1 1 )i(h   Wegen der jährlichen Verzinsung gilt 1m  . Man erhält für   n,,1k   und 0i :              1l l l 1l )i(h k 1k k 1k )i(h1 1 k )i(h ik1 1 )i,1,k(f , d.h.             0l0 0l k 1k bl 1l l,1,k . Dies liefert das Gleichungssystem          n 1k 1,k l 1l n 1k m 1j j,kl,j,k C k 1k Cb0 , n,,1l   . Für 1n  ist die Determinante der zugehörigen Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems 1, für 2n  ergibt sich als Determinante 4 1 und für 3n  als Determinante 108 1. Diese drei Werte kann man auch wie folgt darstellen: 321 21 1 321 1 :3n 21 1 :2n 1 1 :1n       . Für 4n  erhält man als Determinante der Koeffizientenmatrix 4321 4321 1 648.27 1  . Dies lässt als allgemeine Formel für die Determinante n321 n321 1   vermuten. Mit EDV-technischen Mitteln lässt sich dies auch für alle handhabbaren INn  nachrechnen. Einen allgemein gültigen Beweis bleibt der Autor an dieser Stelle allerdings schuldig. Ist somit die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist, so hat das Gleichungssystem lediglich den Nullvektor als Lösung und es gibt keine nichttrivialen Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert. - 19 - 8. Anwendungen des Hauptsatzes (Teil 2): Relativ gemischte Verzinsung  Im Unterschied zu den im letzten Kapitel behandelten Zinsmodellen gibt es bei der relativ gemischten Verzinsung Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert. Wir betrachten zunächst nochmals das schon in Kapitel 1 behandelte Beispiel ( 2m,2n  ). Anschließend wird im allgemeinen Fall eine Menge von Zahlungsströmen mit zinsunabhängigem Barwert konstruiert. Als Variablentransformation hat man: m i 1 1 )i(h  . Damit erhält für  n,,1k ,  m,,1j  und 0i :                                           0l l l 1k 0l l l k 1k )i(h j 1j )i(h m 1m )i(h j 1 m 1 )i,j,k(f (Vgl. Bespiel 4 e) Beispiel 9: Es seien 2n und 2m  . Man erhält:                                                                                                             2l l l 0l l l 0l l l 2 2 2l l 1l 0l l l 0l l l 2 1l l l 0l l l 0l l l )i(h1l 2 1 )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i,2,2(f )i(h 2 1 )i(h 1 0 )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i,1,2(f )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i,2,1(f )i(h)i(h 1 0 )i(h)i,1,1(f Damit ergibt sich als Gleichungssystem im Sinne des Hauptsatzes: - 20 -  0C1l 2 1 C 2 1 C 2 1 :3l 0C 2 1 C 2 1 C 2 1 :2l 0C 2 1 C:1l 00:0l 2,2 l 1,2 1l 2,1 l 2,2 2 1,22,1 2 2,11,1                                         Multipliziert man die Gleichung für 2l  mit 2 1und subtrahiert das Ergebnis von der Gleichung für 3l , so ergibt sich: 0C 2 1 C2 2 1 2,2 3 2,2 3              . Dies ist äquivalent zu 0C 2,2 . Eingesetzt liefert dies für 2l  äquivalente Gleichungen und das Gleichungssystem lässt sich auf die beiden folgenden Gleichungen reduzieren: 0CC 2 1 0C 2 1 C 1,22,1 2,11,1   . Als Lösungsmenge erhält man:                                                           IRt 0 t t2 t C C C C L 2,2 1,2 2,1 1,1 . Diese Lösungsmenge ist damit in diesem einfachen Beispiel die Menge aller Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert. Wählt man 0t  , so erhält man einen nichttrivialen Zahlungsstrom, wählt man speziell 1t  , so erhält man den Zahlungsstrom aus Beispiel 1. Beispiel 10: Es seien INm,n  und 0i . Ferner seien   n,,1k0  und  1m,,1j0 . Wir definieren den folgenden Zahlungsstrom: - 21 -              sonst,0 jj,1kk,1 j m mj,kk, j m jj,kk,1 C 00 0 0 0 00 j,k . Als Barwert dieses Zahlungsstroms erhält man:      0 i m j 1i1 1 j m i m j 1 j m i1 i m j 1i1 1 j m i1 j m i m j 1i1 1 )i(B 0 k 0 0 0 0 k 0 k 0 0 1k 0 0 0 0 0                                   Somit handelt es sich bei diesem Zahlungsstrom um einen Zahlungsstrom mit zinsunabhängigem Barwert. Da der Barwert linear ist, haben alle Linearkombinationen von Zahlungsströmen dieser Struktur ebenfalls diese Eigenschaft. Alternativ kann man argumentieren, dass gemäß dem Hauptsatz der obige Zahlungsstrom eine Lösung des entsprechenden linearen Gleichungssystems ist und auch Linearkombinationen dieses Gleichungssystem lösen. - 22 - 9. Schlussbemerkung In den Anwendungen des Hauptsatzes zeigt sich, dass es bei den in der Praxis verwendeten Standardzinsmodellen einen Unterschied bezüglich der Fragestellung dieser Arbeit gibt. Bei der einfachen Verzinsung, bei der jährlichen Verzinsung mit Zinseszins, bei der unterjährlichen Verzinsung mit relativem Zins und bei der konformen Verzinsung gibt es keine nichttrivialen Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert. Bei der relativ gemischten Verzinsung hingegen sind solche Zahlungsströme möglich. Als Anwendung des Hauptsatzes erhält man bei allgemeiner Laufzeit und allgemeiner Anzahl unterjährlicher Zahlungen eine ganze Schar von Zahlungsströmen mit zinsunabhängigem Barwert. Da diese Zahlungsströme aber Einzahlung und Auszahlungen im Wechsel enthalten und somit insbesondere keine Normalinvestitionen sind (vgl. [6] S.220), haben sie m.E. keine praktische Bedeutung, z.B. im Sinne einer Arbitragemöglichkeit. Hat man aber als finanzmathematische Aufgabenstellung die Bewertung eines Zahlungsstroms, so kann solchen Beispielen doch eine gewisse Bedeutung zukommen. Zumindest macht es die Verwendung der relativ gemischten Verzinsung angreifbar. Deshalb ist es sinnvoll bei unterjährlichen Zahlungsströmen als Modell auf die unterjährliche Verzinsung mit relativem Zins oder die konforme Verzinsung zurückzugreifen. - 23 - Literaturverzeichnis  [1] A rrenberg, Jutta Finanzmathematik, Oldenbourg Verlag, München 2011. [2] Barmer, Martin und Flohr, Friedrich Analysis I, 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin New York 1983. [3] Heidorn, Thomas Finanzmathematik in der Bankpraxis, 5. Auflage, Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler, Wiesbaden 2006. [4] Heuser, Harro Lehrbuch der Analysis Teil 1, 7. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. [5] Neuburger, Edga r Unabhängigkeit von Rentenanwartschaftsbarwerten von der Zahlungsweise, Blätter der DGVFM, Bd. XIX, Heft 3, S.257 – S.267, 1990. [6] Tietze, Jürgen Einführung in die Finanzmathematik, 3. Auflage, Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig Wiesbaden 2000.