Asset Liability-Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds

Forschung am IVW Köln, 9/2015 Institut für Versicherungswesen Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Oskar Goecke Forschung am IVW Köln, 9 / 2015 Wählen Sie ein Element aus. Oskar Goecke Forschungsstelle FaRis Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Zusammenfassung Wir betrachten einen Pensionsfonds, der den Versorgungsberechtigten gegen Zahlung eines Einmalbeitrags eine Leibrente gewährt. Der Pensionsfonds verfügt über keinen externen Sponsor oder Garantiegeber (daher selbstfinanzierend), so dass alle Renten immer und ausschließlich aus dem vorhandenen Vermögen gezahlt werden müssen. In extremen Situationen (deutliche Verlängerung der Lebenserwartung, substanzielle Einbrüche bei den Kapitalanlagen) muss der Pensionsfonds daher die Renten nach unten anpassen. Wir entwickeln und untersuchen Regeln für das Asset Liability Management, bei denen die beiden widerstrebenden Ziele, nämlich hohe und zugleich stabile Renten, simultan berücksichtigt werden. Wir führen den Nachweis, dass der intergenerationale Risikoausgleich im Rentenkollektiv substanziell das Rendite-Risiko-Profil für die Versorgungsempfänger verbessert. Abstract We consider a pension fund which provides life annuities to the retirees who pay a single premium when entering the fund. The pension fund is self-financing in the sense that there is no external sponsor who guaranties the pension payments. As a consequence in extreme scenarios (due to longevity risk or capital market risks) the pension fund might be forced to reduce the amount of pensions. We develop asset liability management rules which simultaneously take into account the two conflicting objectives, namely high and stable pensions. We provide evidence that the intergenerational risk transfer within the collective of retirees substantially improves the risk return profile for the pensioners. Schlagwörter selbstfinanzierender Pensionsfonds, aktuarielle Tontine, Langlebigkeitsrisiko, Kapitalanlagerisiko, Asset Liability Management, Risiko-Rendite-Profile, intergenerationaler Risikotransfer Keywords self-financing pension fund, actuarial tontine, longevity risk, capital market risk, asset liability management, risk-returnprofiles, intergenerational risk transfer Inhalt 1 Einführung .............................................................................. 1 2 Modell eines offenen selbstfinanzierenden Pensionsfonds ..... 4 2.1 Grundelemente des Modells ............................................................ 4 2.2 Bezeichnungen ................................................................................ 5 2.3 Kapitalmarktmodell ......................................................................... 7 2.4 Modellierung der Sterblichkeit ........................................................ 9 2.4.1 Deterministisches CBD-Modell ................................................................... 9 2.4.2 Kalibrierung des CBD-Modells .................................................................. 12 2.4.3 Stochastisches CBD-Modell ....................................................................... 14 2.4.4 Simulation Bestandsentwicklung ............................................................... 18 2.5 Generationenrendite ...................................................................... 22 3 Asset Liability Management für den Pensionsfonds ............. 24 3.1 Fortschreibung der Aktiva und Passiva ......................................... 24 3.2 Strukturparameter des Rentenbestandes ........................................ 25 3.3 ALM Strategie ............................................................................... 26 3.3.1 Allgemeine Darstellung .............................................................................. 26 3.3.2 Konkretisierung der ALM-Regeln ............................................................. 31 4 Modellrechnungen ................................................................ 35 4.1 Kalibrierung des Referenzmodells, Simulationsszenarien ............ 35 4.2 Deterministisches ALM-Modell .................................................... 37 4.3 Stochastische Sterblichkeit bei sicherer Kapitalanlage ................. 43 4.4 Der allgemeine Fall ....................................................................... 47 4.4.1 Unterdeckungswahrscheinlichkeiten .......................................................... 47 4.4.2 Rendite-Risiko Profile ................................................................................ 53 I 5 Anhang .................................................................................. 60 5.1 Das Problem der doppelten Stochastizität ..................................... 60 5.2 Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung in CBD-Modell ...................... 66 5.3 Stochastik der Deckungsrückstellung im CBD-Modell ................ 68 5.4 Die aktuarielle Tontine .................................................................. 73 5.4.1 Definition .................................................................................................... 73 5.4.2 Generationenrendite bei einer Tontine ....................................................... 75 5.4.3 Rendite-Risiko-Profil einer Tontine ........................................................... 77 Literatur ...................................................................................... 82 Abbildungsund Tabellenverzeichnis ........................................ 84 II 1 Einführung Wir betrachten die Rentenphase (oder Entsparphase) einer kapitalgedeckten Altersversorgung: Aus einem gegebenen Kapitalstock soll für eine Gruppe von Rentenempfängern eine Leibrente finanziert werden. Trifft man Annahmen hinsichtlich der Überlebenswahrscheinlichkeiten und der Verzinsung des Kapitalstocks, so kann man mit aktuariellen Methoden berechnen, welche Renten sich aus dem Kapitalstock finanzieren lassen. Da die tatsächlichen Überlebenswahrscheinlichkeiten und die tatsächlichen Kapitalerträge von den angenommenen abweichen, stellt sich die Frage, ob die Renten oder der Kapitalstock an die geänderten Verhältnisse angepasst werden. Wir sprechen von einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds,1 wenn abgesehen vom anfänglichen Kapitalstock keine externe Finanzierungsquelle zur Verfügung steht. Es gibt also keinen externen Dritten (Aktionär, Arbeitgeber, öffentliche Stelle, o.ä.), der bei bei einer Finanzierungslücke von außen Kapital zuführt. Ist die Bereitschaft von außen Kapital zuzuführen Teil eines Geschäftsmodells (wie z.B. bei einer Lebensversicherungs-AG), so wird der Kapitalgeber eine Gegenleistung verlangen, etwa in Gestalt einer Beteiligung an Kapitalerträgen. In jedem Falle geht die Gegenleistung zu Lasten der Renten. Da es sich um ein Risikogeschäft handelt, wird der externe Kapitalgeber eine Risikoprämie, also eine Überrendite im Vergleich zu einer sicheren Kapitalanlage als Gegenleistung für die Bereitstellung von Sicherungskapital erwarten. Im Bereich der betrieblichen Altersversorgung (Pensionskasse, Pensionsfonds) ist regelmäßig der Arbeitgeber verpflichtet, bei Bedarf Kapital nachzuschießen. Aus Sicht der Rentenbezieher ist dies sicherlich eine günstige Situation. Doch aus Arbeitgebersicht ist die Einstandspflicht ein Kostenfaktor, der im Extremfall den Arbeitgeber veranlassen könnte, Versorgungsordnungen für neue Arbeitnehmer zu schließen. Zumindest wird er bei Versorgungszusage die Kosten bzw. die Risiken einkalkulieren. Ob in der privaten oder betrieblichen Altersversorgung – in jedem Falle geht jede von außen bereitgestellte Garantie zu Lasten der Renten, direkt oder indirekt. Dies gilt nicht nur in Bezug auf das Kapitalmarktrisiko, sondern auch für das Langlebigkeitsrisiko. Selbstfinanziernder Pensionsfonds bietet somit tendenziell höhere Leistungen. Selbstfinanzierende Pensionsfonds sind allerdings auf ein wirksames Asset-Liability Management (ALM) angewiesen: Der Kapitalstock muss bei vertretbarem Risiko möglichst renabel angelegt werden und die Renten müssen so angespasst werden, dass sie 1 Wir verwenden hier den Begriff Pensionsfonds im allgemeinen Sinne als eine Einrichtung, die einen Kapitalstock verwaltet bzw. am Kapitalmarkt anlegt und hieraus an eine Gruppe von Rentenbezieher Renten zahlt. 1 dauerhaft finanzierbar bleiben und zugleich eine faire Beteiligung am Kapitalstock ermöglichen. Des Weiteren müssen Veränderung der Lebenserwartung rechtzeitig erkannt und berücksichtigt werden. In der vorgelegten Arbeit werden wir ALM-Strategien für selbstfinanzierende Rentenbestände entwickeln. Es wird gezeigt, dass selbstfinanzierende Rentenbestände aufgrund des Risikoausgleichs zwischen den Rentnergenerationen • das systemtatische und das idiosynkratische Langlebigkeitsrisiko tragen können, indem die Renten moderat an veränderte Sterblichkeitsraten angepasst werden, • durch eine vergleichsweise hohe Aktienquote in der Kapitalanlage höhere Kapitalerträge und damit ein höheres Rentenniveau ermöglichen, • gegenüber anderen nicht-kollektiven Verrentungsverfahren (Tontinen) ein signifikant besseres Rendite-Risiko Profil aufweisen. In [Goecke 2011, 2013b] haben wir anhand eines einfachen Kapitalmarktmodells den Ansparprozess zum Aufbau eines Versorgungskapitals untersucht. Wir haben dabei gezeigt, dass kollektive Sparformen einem individuellen Sparprozess überlegen sind. Das in [Goecke 2011, 2013b] vorgestellte Modell des Kollektiven Sparens wird in der hier vorgelegten Arbeit auf den Rentenphase (Entsparphase) übertragen. Anders als in der Ansparphase können wir in der Entsparphase das Sterblichkeitsrisiko nicht ausblenden. Diese und vorangegangene Untersuchungen ([Goecke 2011, 2012, 2013a, 2013b]) unterstreichen den Nutzen, den kollektive Versorgungssysteme für die Beteiligten haben. Die Untersuchung ist wie folgt aufgebaut. Nach einer kurzen Einführung stellen wir in Kapital 2 ein stochastisches Modell für einen offenen selbstfinanzierenden Pensionsfonds vor. Dieses beinhaltet sowohl ein stochastisches Kapitalmarktmodell (Abschnitt 2.3) als auch ein stochastisches Sterblichkeitsmodell, eine einfache Variante des von Cairns, Blake und Dowd entwickelten Modells (CBD-Modell in Abschnitt 2.4). In Abschnitt 2.5 führen wir den Begriff der Generationenrendite ein, der einen Vergleich verschiedener ALM-Strategien ermöglicht. Hierauf aufbauend formulieren wir in Kapital 3 ALM-Strategien für selbstfinanzierende Pensionsfonds. Diese Strategien sind so konzipiert, dass nach einer externen Störung der Pensionsfonds stets wieder in den „Gleichgewichtszustand“ zurückgeführt wird. Die theoretischen Ergebnisse des 3. Kapitels werden im folgenden Kapitel 4 anhand von umfangreichen Modellrechnungen (Monte Carlo Simulationen) auf ihre Praktikabilität hin untersucht. Im Anhang (Abschnitt 5) werden einige spezielle Aspekte gesondert dargestellt • das Problem der doppelten Stochastizität bei kleinen Pensionsbeständen, 2 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds • die Ableitung von Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung im CBD-Modell, • die Stochastik der Deckungsrückstellung im CBD-Modell, • die aktuarielle Tontine. 3 2 Modell eines offenen selbstfinanzierenden Pensionsfonds 2.1 Grundelemente des Modells Wir betrachten einen reinen Rentenbestand, der mit einem Kapitalstock ausgestatt ist. Aus dem Kapitalstock werden für alle Personen des Rentenbestandes jährlich vorschüssig Renten gezahlt. Der Rentenbestand ändert sich laufend, zum einen versterben Rentner und zum anderen tritt jährlich eine Gruppe von Neurentnern dem Rentenkollektiv bei. Mit Eintritt in das Rentenkollektiv leisten die Neurentner einen einmaligen Finanzierungsbeitrag. Wir wollen der Einfachheit halber von einem Pensionsfonds sprechen.2 Wir ordnen dem Pensionsfonds eine Bilanz zu (vgl. Abbildung 1): Auf der Aktivseite verbuchen wir die Kapitalanlagen (das Portfolio) mit ihren Zeitwerten und auf der Passivseite die bewerteten Rentenverpflichtungen (Deckungsrückstellungen), die nach aktuariellen Methoden berechnet werden. Der Pensionsfonds soll kapitalgedeckt sein, d.h. in aller Regel soll der Zeitwert der Kapitalanlagen größer sein als die Deckungsrückstellungen. Der Teil der Kapitalanlagen, der nicht für die Bedeckung der Rückstellungen benötigt wird, wollen wir als kollektive Reserve bezeichnen – vgl. [Goecke 2011]. ABBILDUNG 1: Stilisierte Bilanz des Pensionsfonds Die Kapitalanlagen werden auf dem Kapitalmarkt angelegt, je nach Zusammensetzung des Portfolios ist die Wertentwicklung („Verzinsung“) mehr oder weniger stark schwankend. Auch die Dauer der Rentenzahlungen an die Pensionäre ist ungewiss; zum einen ist die Lebensdauer jedes einzelnen ungewiss (individuelles oder idiosynkratisches 2 Eine Verwechlung mit dem Pensionsfonds im Sinne Legaldefinition des § 112 VAG ist nicht zu befürchten. 4 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Sterblichkeitsrisiko), zum anderen ist die kollektive Lebenserwartung der Gesamtbevölkerung ungewiss (systematisches Sterblichkeitsrisiko). Der Pensionsfonds ist selbstfinanzierend, d.h. es gibt keinen externen Kapitalgeber (Aktionär, Arbeitgeber, öffentliche Stellen, etc.), der bei Bedarf Mittel zuschießen könnte bzw. Mittel entnehmen könnte. Wir wollen annehmen, dass ein Pensionsfondsmanager (m./w.) damit beauftragt ist, die Kapilanlagen zu steuern (Asset Management) und die Einmalbeiträge der Neurentner sowie die Rentenhöhe (Liability Management) festzulegen. Wir gehen davon aus, dass der Pensionsfondsmanager selbstlos und ausschließlich im Interesse des Kollektivs der Rentenempfänger handelt. 2.2 Bezeichnungen t: Zeitindex t = 0, 1, …, T z: festes Renteneintrittsalter, für alle Modellrechnungen wählen wir 65z= . ω : theoretisch erreichbares Höchstalter, für alle Modellrechnungen wählen wir 115 ω = . 1 { (0), (0), ..., (0)} zz LL L ω + : Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0, wird als gegeben angenommen. Wir gehen grundsätzlich von homogenen Personengruppen (Alterskohorten) aus; für alle Personen gleichen Alters gilt die gleiche Überlebenswahrscheinlichkeit. () z Lt : Anzahl der Neurentner, die zum Zeitpunkt t dem Rentenkollektiv beitreten; wir betrachten () z Lt als eine deterministische Größe. () x Lt : Anzahl der überlebenden x-jährigen Personen des Rentenbestandes zu Beginn des (t+1)-sten Jahres für 1, ...,xz ω = + . (): () x xz Lt L t ω = =∑ : Gesamtzahl der Rentner zu Beginn des (t+1)-sten Jahres. ()rt : Höhe der Rente, die zu Beginn des (t+1)-sten Jahres an jeden Rentner gezahlt wird. Die Rente wird jährlich vorschüssig gezahlt, alle Rentner erhalten die gleiche Rente. 5 2.4.2 Kalibrierung des CBD-Modells Wir setzen z = 65 und ω = 115 und kalibrieren unser Modell (Gl. 9, 10) auf der Grundlage der Richttafeln 2005G, wobei wir uns bei der Kalibrierung auf die Sterbewahrscheinlichkeiten des Rentnerbestandes für die Altersgruppe x = 65, 66, …, 100 beschränken. Bei den Richttafeln werden aufbauend auf der Basistafel (= Periodentafel für das Jahr 2005) die Periodentafeln für die Jahre nach 2005 durch einfache Projektion der Sterbewahrscheinlichkeiten bestimmt. Wir berücksichtigen die Projektionen der Periodentafeln für die Jahr 2005 bis 2055. Eine im Jahre 2005 65-jährige Person würde im Überlebensfalle im Jahre 2055 das Schlussalter ω = 115 erreichen. ABBILDUNG 3: Parameter 12 (), () tt κκ ′′ für {0,1, ..., 50}t∈ , t = 0 entspricht dabei dem Basisjahr 2005, t = 50 entspricht dem Projektionsjahr 2055. Wir interpretieren t = 0 als das Jahr 2005 und bestimmen für jedes {0,1, ..., 50}t∈ die Parameter ( ) 12 (), ()tt κκ ′′ , so dass ( ) ( ) 100 2 2005 1 2 65 logit ( , ) ( ) ( ) ( ) RT G x q xt t t x z κκ = ′′ −− − ∑ minimiert wird. Die sich so ergebenden Werte sind in Abb. 3 dargestellt. Abb. 3 zeigt, dass sich die Parameter 12 (), ()tt κκ ′′ nun ihrerseits recht gut als lineare Funktionen von t annähern lassen. Wir setzen daher 1 01 ()tt κ αα = + bzw. 2 01 ()tt κ ββ = + , wobei die Parameter 0101 ,,, ααββ wiederum mittels eines „kleinste Quadrate-Ansatzes“ bestimmt werden. Dabei ergeben sich folgende Werte: 12 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Männer Frauen hybrider Bestand 0 α - 4.0547 - 4.8885 - 4.4716 1 α - 0.023129 - 0.024149 - 0.023639 0 β 0.10737 0.13291 0.12014 1 β 0.00037387 0.00035482 0.00036435 Tabelle 1: Übersicht der Parameter für das CBD-Modell bei einer Kalibrierung auf der Grundlagen der Periodentafeln 20052055 der Richttafeln Heubeck 2005G. Die Parameter für den hybriden (gemischten) Bestand ergeben sich jeweils aus Mittelwerte der Größen für Männer und Frauen. Man beachte, dass ein anfänglicher Bestand, der je zur Hälfte aus Frauen und Männern besteht, aufgrund der unterschiedlichen Sterbewahrscheinlichkeiten für Frauen und Männern im Laufe der Jahre ein abweichendes Geschlechterverhältnis aufweisen wird. Simuliert man also den Rentenbestand getrennt nach Männer und Frauen, so ergibt sich ein anderer Verlauf als bei eine Simulation mit gemittelter Kalibrierung. Um nicht immer für Männer und Frauen separat rechnen zu müssen, werden wir im Folgenden in aller Regel auf die hybride Kalibrierung zurückgreifen und nur gelegentlich für Frauen und Männer getrennt rechnen. ABBILDUNG 4: Vergleich der Periodensterbetafeln Heubeck 2005G und CBD-Modell für das Basisjahr 2005 und für das Projektionsjahr 2055, jeweils für Männer und Frauen. 13 Um die Güte der Approximation zu illustrieren haben wir in Abb. 4 die Periodentafeln der Richttafeln und der Approximationen durch das vereinfachte CBD-Modelle für die Jahre 2005 (Basisjahr) und 2055 jeweils für Männer und Frauen verglichen. Dabei wurde die Kalibrierung der Tabelle 1 zugrunde gelegt. Der Vergleich zeigt, dass das vereinfachte CBD-Modell die Heubecktafeln hinlänglich gut approximiert. Es sei nochmals betont, dass es hier nicht darum geht, die Heubeck Rechnungsgrundlagen möglichst gut zu approximieren, sondern darum, die Sterblichkeitsentwicklung in einem stochastischen Modell plausibel zu simulieren. 2.4.3 Stochastisches CBD-Modell Das Risiko, dass die Kalkulationsannahmen für die Sterblichkeit falsch sind bzw. Änderungen der Sterblichkeitsentwicklung falsch eingeschätzt werden, konstituiert das Langlebigkeitsrisiko. In unserem Modell soll dieses Risiko vereinfacht abgebildet werden. In (Gl. 9) ersetzen wir dazu die deterministische Funktion 1 01 ()tt t κ αα = + durch einen Random Walk mit konstanter Drift: 01 11 1 () tt tW t W αα αα σ κ σ ++ ′′ ++ = + (Gl. 12) mit 0 α σ > und einem Standard Wienerprozess 0 () tt W≥ ′ mit 0 0 W′= . Wir unterstellen, dass die beiden Wiener Prozesse 0 () tt W≥ und 0 () tt W≥ ′ stochastisch unabhängig sind. Ob tatsächlich die Bevölkerungssterblichkeit und die Kapitalmärkte voneinander unabhängig sind, kann bezweifelt werden. In einer prosperierenden Volkwirtschaft werden sich tendenziell die Kapitalmärkte positiv entwickeln und zugleich aufgrund einer besseren medizinischen Versorgung die Lebenserwartungen steigen. Es wird auch die These vertreten (Asset Meltdown Hypothesis)11, dass in einer alternden Volkswirtschaft (u.a. hervorgerufen durch eine gestiegene Lebenserwartung der Rentenbezieher) die Wertpapierrenditen sinken. Da jedoch nicht erkennbar ist, wie man die Abhängigkeit zwischen Bevölkerungssterblichkeit und die Kapitalmärkte angemessen modellieren könnte, geschweige denn eine Kalibrierung der Abhängigkeiten vornehmen könnte, scheint die oben getroffene Annahme vertretbar. Somit erhalten wir die stochastischen Überlebenswahrscheinlichkeiten ( ) 1 1 ( , ) : 1 exp( ) ( , ) t pxt W gxt α σ − + ′ = +  für x ω < und ( ,) 0pt ω ≡  . (Gl. 13) 11 vgl. [Takáts 2010] 14 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Für die k-jährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten setzen wir 1 0 ( , ): ( , ) k k j pxt px jt j − = = ++ ∏  (Gl. 14) Bemerkungen: 1. Bei der Interpretation von (Gl. 13) ist zu beachten, dass wir zu den Zeitpunkten t = 0,1,2,… die 1-jährigen Sterbewahrscheinlichkeiten (, )qtx  bzw. die 1-jährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten (, )ptx  jeweils auf das Jahr [ , 1]tt+ beziehen. Die Zufallsgrößen (, ) qtx  bzw. (, )ptx  realisieren sich also erst zum Zeitpunkt t +1. Die vom Wienerprozess 0 () tt W≥ ′ erzeugte σ -Algebra t M interpretieren wir in gewohnter Weise als den Informationsstand zum Zeitpunkt 0t≥ .12 2. Für x ω < gilt stets 0 (,) 1pxt <<  ; dies ist ein Vorteil gegenüber dem Gompertzschen Sterbegesetz ( ) 1 ln ( , ) ( , ) x x p x t x u u du µ + =−+ ∫ , wenn man einen linearen Ansatz für der Sterbeintensität unterstellt. Ist etwa 12 ( ,) () ()( ) xt y t y t x z µ =+− und ersetzt man hier die Parameter 12 (), ()yt yt durch Gauss-Prozesse, so erhält man positiver Wahrscheinlichkeit Überlebenswahrscheinlichkeiten größer als 1.13 3. In [Cairns 2006] erhält auch 2() t κ eine stochastische Komponente: 01 1t tW β ββ σ + ′′ ++ 21 () t tW β κσ + ′′ = + mit korrelierten Prozessen (, ) tt WW ′ ′′ . Die Stochastik der Sterblichkeitsentwicklung erhält dadurch eine altersabhängige Komponente. Die Schwankungen der Sterblichkeit bei höheren Altern sind dann größer als bei jüngeren. Aus Gründen der Übersichtlichkeit der Darstellung verzichten wir auf diese zweite stochastische Komponente. Denn anders als in [Cairns 2006] wollen wir nicht das Langlebigkeitsrisiko bewerten, vielmehr wollen wir ALM-Regeln zu Steuerung eines selbstfinanzierenden Rentenbestandes untersuchen. Bei der Kalibrierung unseres vereinfachten Modells greifen wir jedoch Ergebnisse in [Cairns 2006] zurück. 12 Vgl. hierzu [Cairns e.a. 2009] S. 691. 13 [Schrager 2006] führt ein Modell mit affiner stochastischer Mortalität ein, das als Spezialfall den Gompertz-Ansatz umfasst. Die analytische Handhabbarkeit des Modells wird aber durch die Möglichkeit negativer Sterblichkeit erkauft - vgl. [Schrager 2006] S. 87. 15 4. Ist 012 ( , , , ... )www ′′′ eine Realisation des Prozesses ( ) : 0,1, 2, .... t Wt ′= , so gilt ( ) 11 1 0 ( , ) 1 exp( ) ( , ) k k tj j pxt w gx jt j α σ −− ++ = ′ = + ++ ∏  . Die tatsächliche k-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit realisiert sich also erst im Zeitpunkt t+k+1. 5. Für st≤ ist ( ) (., ) s ptE M die (zufällige) Periodensterbetafel für die Periode [ , 1] tt+ basierend auf dem Informationsstand bis zum Zeitpunkt s. Falls ss Ww ′′ = , so ist () ( ) () 1 1 1 ( , ) 1 exp ( ) exp( ) ( , ) 1 exp( 1 ) exp( ) ( , ) ( ) ss t s s ss s pxt W w W W w gxt W w t s z w g x t z dz αα αα σσ σσ ϕ − + +∞ − −∞ ′′ ′ ′ ′′  ==+− =   ′ = + −+  ∫ EE  (Gl. 15) der besten Schätzer der Überlebenswahrscheinlichkeit auf der Grundlage der bis zum Zeitpunkt s verfügbaren Informationen. Hierbei bezeichne (.) ϕ die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. Das Integral in (Gl. 15) muss numerisch ausgewertet werden, was bei Monte Carlo Simulationen sehr zeitaufwendig ist. Wir ersetzen daher den Ausdruck ( ) () 1 1 1 exp ( ) exp( ) ( , ) t s s ss W W w gxt W w αα σσ − + ′ ′ ′ ′′  +− =  E durch ( ) ( ) ( ) 11 1 1 exp ( ) exp( ) ( , ) 1 exp( ) ( , ) t ss s s s W W W w w gxt w gxt α αα σ σσ −− +  ′ ′′ ′ ′ ′ + −= =+  E . Bei einer realistischen Kalibrierung (s.u.) ist der Fehler vernachlässigbar. Wir setzen daher ( ) 1 () min( , 1) ( , ) : 1 exp( ) ( , ) e x st p ts w gxt α σ − + ′ = + (Gl. 16) und interpretieren () (, ) e x p ts als die Schätzung der 1-jährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten x-jähriger Personen für die Periode [ , 1]tt+ basierend auf den Beobachtungen bis zum Zeitpunkt s. Für 1st≥+ gilt ( ) 1 () 1 ( , ) 1 exp( ) ( , ) e xt p ts w gxt α σ − + ′ = + . 16 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds 6. Allgemeiner ist für 1k≥ und 1st≤+ ( ) ( ) 1 0 11 1 0 (,) 1 exp ( ) exp( ) ( , ) k ss j k tj s s s s j px jt j W w W W w gx jt j W w αα σσ − = −− ++ =  ′′ ++ =     ′ ′ ′ ′′ = + − ++ =    ∏ ∏ E E  der beste Schätzer der k-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung der Beobachtungen bis s. Dieser Wert kann berechnet werden; erfordert aber die numerische Auswertung eines k-fachen Integrals. Analog zu Ziffer 5 approximieren wir diesen Ausdruck durch () 11 0 1 exp( ) ( , ) k s j w gx jt j α σ −− = ′ + ++ ∏ . Allgemeiner definieren wir für alle 0s≥ : ( ) 11 () min( , 1) 0 ( , ) : 1 exp( ) ( , ) k e k x st j j p ts w gx jt j α σ −− ++ = ′ = + ++ ∏ (Gl. 17) und interpretieren () (, ) e kx p ts die Schätzung der k-jährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten x-jähriger Personen für die Periode [, ] tt k+ basierend auf den Beobachtungen bis zum Zeitpunkt s. Für stk≥+ ist () (, ) () e kx kx p ts p t= die tatsächlich realisierte k-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit. Kalibrierung des Parameters α σ Eine Kalibrierung der Volatilität α σ des t W′ -Prozesses ist auf der Grundlage der Richttafeln natürlich nicht möglich, da diesen ein deterministisches Modell der künftigen Mortalitätsentwicklung zugrunde liegt. Wir greifen daher zurück auf die Kalibrierung in [Cairns e.a. 2006]. Auf der Grundlage der Sterbetafeln für England und Wales 19822002 ergibt sich ein Wert von 4% α σ ≈ .14 Weiter unten werden wir zeigen, dass die Stochastik des t W′ -Prozesses das Asset Liability Management weniger stark beeinflusst als das Kapitalanlagerisiko oder strukurelle Verschiebungen im Bestand. 14 Da das Modell in [Cairns e.a. 2006] eine altersabhängige stochastische Komponenten umfasst, haben wir hier die Berechnung der Standardabweichung für ein „durchschnittliches“ Bestandsalter von x = 90 zugrunde gelegt. Da das tatsächliche Durchschnittsalter in der Regel niedriger ist, wird hierdurch die Standardabweichung etwas überschätzt. 17 Die folgenden Abbildung (Abb. 5) zeigt die mittlere fernere Lebenserwartung 65-jähriger Männer und Frauen in Abhängigkeit vom Geburtsjahr (1940 – 2000). Bei der Berechnung der Quantile des stochastischen CBD-Modells wurden jeweils 50 000 Simulationen ausgewertet. Zu Vergleichszwecken wurde die Entwicklung der Lebenserwartung nach den Richttafeln 2005G dargestellt. Abb. 5 macht deutlich, dass die Abweichung des vereinfachten CBD-Modells von den Richttafel-Werten im Verhältnis zu Unsicherheit der Sterblichkeitsentwicklung kaum ins Gewicht fällt. ABBILDUNG 5: Mittleren ferneren Lebenserwartung 65-jähriger Männer (links) bzw. Frauen (rechts) in Abhängigkeit vom Geburtsjahr, Vergleich CBD-Modell und Richttafeln 2005G, sowie die 1% und 99%-Quantile für das CBD-Modell ( 0.04 α σ = ). 2.4.4 Simulation Bestandsentwicklung Bei der Simulation des Rentenbestandes berücksichtigen wir die doppelte Stochastik in folgender Weise: 1. Wir simulieren den Prozesse t W′ für 0,1, ...,tT= und erhalten für jeden Simulationslauf eine Folge 1-jähriger Überlebenswahrscheinlichkeiten ( ) 00 0 ( , ) : , 1, ...,ptx t t t t T=++ . Wir interpretieren 0 0t= als das Jahr 2005 und simulieren die Bestandsentwicklung bis zum Jahre 2065; d.h. T = 60. 2. Für alle t {0,1, ..., 1} tT∈− und { , 1, ..., }x zz ω ∈+ simulieren wir die Größe 1 ( 1) t Lx + + als Realisation einer (, )Bn p -verteilten Zufallsvariablen mit () t n Lx= und (, )p pt x= . Auch im Hinblick auf die weiteren Modellrechnungen konstruieren wir einen großen Musterbestand („BestandXL“) mit folgenden Eigenschaften (vgl. Abb. 6): 18 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds  Anzahl der 65-jährigen (Neurentner) beträgt (0) 100000 z L= .  Für ,x zx ω ≥< gilt 1 (0) (0) ( ,0) xx L L px + = , ganzzahlig gerundet.  (,)pxt wird kalibriert nach Tabelle 1 für einen hybriden Bestand. Ohne Sterblichkeitstrend befände sich also dieser Bestand in einem steady state, d.h. die Anzahl der Gestorbenen würde durch einen Neuzugang von 100 000 genau ausgeglichen. Die Gesamtzahl der Personen dieses Bestandes beträgt 1 852 681. Aus dem BestandXL leiten wir zwei weitere, unter der Ganzzahligkeitbedingung strukturgleiche Bestände ab:  BestandL: Bestandsstruktur wie BestandXL, jedoch mit insgesamt 18 529 Personen, im Anfangsbestand, also rund 1/100 des Bestandes XL.  BestandS: Bestandsstruktur wie BestandXL, jedoch mit insgesamt nur 184 Personen im Anfangsbestand, also rund 1/100000 des Bestandes XL. ABBILDUNG 6: Struktur des Anfangsbestandes BestandXL Auf der Grundlage der obigen Kalibrierung führen wir für alle drei Bestände jeweils 20 Simulationsläufe durch und berechnen die Entwicklung der Gesamtzahl der Rentner für für einen Zeitraum von 60 Jahren (ab 2005 bis 2065). Die Berechnungen sind in Abb. 7 zusammengefasst. Für die drei Musterbestände werden jeweils drei Niveaus für die Volatilität der Sterblichkeitsentwicklung unterstellt: σα = 0 (linke Spalte in Abb. 7), σα 19 = 4% (mittlere Spalte) und σα = 8% (rechte Spalte). Zusätzlich ist in den Teildiagrammen jeweils durch eine gebrochene Linie der (deterministische) Bestandsverlauf, berechnet auf Grundlage der Rechnungsgrundlagen der Richttafeln 2005G, dargestellt.15 Zunächst fällt auf, dass bei nahezu allen Hochrechnungen die Gesamtzahl der Rentner im Zeitablauf ansteigt; dies ist dem Umstand geschuldet, dass der Ausgangsbestand die steady-state Struktur der Basistafel 2005 hat und dass aufgrund der sinkenden Sterbewahrscheinlichkeiten der Bestand immer langsamer abstirbt. Das Teildiagramm oben links (keine Stochastik) zeigt, dass das CBD-Modell eine sehr gute Approximation der projizierten Periodensterbetafeln der Richttafeln 2005G liefert. Die drei Grafiken der linken Spalte illustrieren die Stochastizität der individuellen Sterblichkeit. Nur bei dem kleinen Bestand (untere Zeile der Abb. 7) kommt es zu nennenswerten Abweichungen vom erwarteten Verlauf. Das systematische Sterblichkeitsrisiko dominiert das idiosynkratische Risiko also auch bei einem kleinen Bestand. 15 Aus den tabellierten Rechnungsgrundlagen der Richttafeln 2005G haben wir durch einfache Interpolation hybride Rechnungsgrundlagen für einen gemischten Bestand abgeleitet. 20 ABBILDUNG 7: Simulation der Bestandsentwicklung (einschl. Neuzugang) für 60 Jahre für einen großen, mittleren und kleinen Bestand bei verschiedenen σα -Niveaus. Die gebrochene Linie zeigt jeweils die deterministische Hochrechnung des Bestandes, wenn man die Rechnungsgrundlagen der Richttafeln 2005G zugrunde legt. BestandL σ α = 0 - 21 - BestandL σα = 4% BestandL σα = 8% BestandXL σ α = 0 BestandXL σα = 4% BestandXL σα = 8% BestandS σα = 0 BestandS σα = 4% BestandS σα = 8% 21 markieren. Wenn die aktuelle Reservequote ()t ρ der Zielreservequote Ziel ρ entspricht, so soll auch die gewählte (taktische) Risikoexposition ()t σ der strategischen Risikoexposition Ziel σ entsprechen. Bei der Festlegung des strategischen ALM-Gleichgewichts (, ) Ziel Ziel ρσ ist natürlich darauf zu achten, dass Ziel σ und Ziel ρ zueinander passen. Eine hohe strategische Risikoexposition verlangt angesichts der Solvenzbedingung (s.o.) ein passende Reservequote; auf dieses Problem wird weiter unten eingegangen. Wir wollen jedoch unterstellen, dass 0 Ziel ρ ≥ und 0 Ziel σ ≥ . Wenn das strategische ALM-Gleichgewicht (, ) Ziel Ziel ρσ feststeht, ist das Bestreben des Pensionsmanager darauf gerichtet, diesen Gleichgewichtszustand zu erreichen. Hierzu vergleicht der Pensionsmanager zu Beginn jeden Jahres die Ist-Reservequote ()t ρ mit der Zielreservequote. Ist dann () Ziel t ρρ < , so wird die Rentenanpassung so gewählt, dass sich im Folgejahr die Reservequote verbessert bzw. die Reservelücke () Ziel t ρρ − verringert wird. Ebenso wird der Pensionsmanager möglicherweise bestrebt sein, die Risikoexpostion nach unten hin anzupassen, um eine Gefährung der Solvabilitätsbedingung zu vermeiden. Beobachtet er einen Reserveüberhang, d.h. () Ziel t ρρ > , so besteht Spielraum für zusätzliche Rentenanpassung, was wiederum zu einem Abschmelzen des Überhangs führt. Entsprechend wird er bei einer Reserveüberdeckung Spielraum sehen, die Risikoexposition über Ziel σ hinaus zu erhöhen Zu Präzisierung der ALM-Regeln setzen wir (): () Ziel ut t ρρ = − und setzen ( ) () () Ziel t aut σσ = + mit Nebenbedingung 0 () M t σσ ≤≤ (AM-Regel - Gl. 23) ( ) () () () P t t ut ε µ µθ = −+ , (LM-Regel - Gl. 24) wobei 2 1 2 () () () PM t tr t µ µσ σ =+− für die erwartete Portfoliorendite bei Wahl der Risikoexposition ()t σ darstellt. () au und ()u θ sind Anpassungsfunktionen, die steuern, wie schnell die Risikoexposition und die Rentenhöhe bei einen Reserveüberschuss ( ( ) 0)ut > bzw. einer Reservelücke ( ( ) 0)ut < angepasst werden. Die Nebenbedingung in der AM-Regel ist erforderlich, da ohne diese im diskreten Modell eine negative Risikoexposition nicht ausgeschlossen werden kann. Darüber hinaus 28 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds soll sichergestellt werden, dass die Aktienquoten nicht über 100% liegen soll.16 Weitere Nebenbedingungen sind denkbar, z.B. eine untere oder obere Schranke für die Rentenanpassung bzw. für die Risikoexposition. Dies soll weiter unten untersucht werden. Man beachte, dass die LM-Regel den Fall () 0t ε < , also eine Rentenkürzung, nicht grundsätzlich ausschließt.17 Der Spezialfall () 0au ≡ verdient eine gesonderte Betrachtung. In den Modellrechnungen des Kapitels 4 werden wir uns auf diesen Fall beschränken. Ist () 0au ≡ , so können wir von einer reinen Liability-Strategie sprechen, denn die ALM-Steuerung nimmt nur noch Einfluss auf die Passivseite. Eine reine Liability-Strategie vermeidet insbesondere eine prozyklische Anlagestrategie. Kommt es nämlich infolge eines Börsencrashs dazu, dass die Reservequote unter den Zielwert sinkt ( 0)u< , so führt die LM-Regel für () 0au < dazu, dass in einer Baisse-Phase Aktien verkauft werden müssen. Verzichtet man jedoch auf die Anpassung der Asset-Allokation, so wird es entsprechend schwieriger, die Solvabilitätsbedingung sicherzustellen. Wenn zum Zeitpunkt t aufgrund der ALM-Regeln (Gl. 23 u. 24) die Steuerungsgrößen ()t σ und ()t ε festgelegt wurden, so kann man unter der Annahme eines rechnungsmäßigen Verlaufs die „erwartete“ Reservequote () () () ( 1) ( 1) : ln ( 1) e e e Pt tVt ρ  + += +  zum Zeitpunkt t+1 bestimmen. Proposition 1 Ist ()t σ die konstante Risikoexposition für das Zeitintervall [ , 1]tt+ und ()t ε die Rentenanpassung zum Zeitpunkt t+1, so gilt: ( ) ( ) ( ) () 1 ( 1) ln exp () () exp () 1 et tP t t v t fv t t t ρ µ µε ρ λ λ  − += + −− −  −  (Gl. 25) () 11 ( 1) ( 1) e tt t t XY ρρ ++ += ++ − (Gl. 26) 16 Ließe man ein kreditfinanziertes Aktieninvestment zu, so wären Aktienquoten von über 100% möglich. 17 Man beachte, dass nach deutschem Recht regulierte Pensionskassen regelmäßig als Notfallmaßnahme eine Rentenkürzung vorsehen. 29 mit den stochastischen Prozessen () () : ln () te Pt XPt  =  und () () v() () : ln ln v () () tee t Vt Yt Vt    = =       . Beweis Aus (Gl. 20 u. 21) folgt ( ) () () () () () ( 1) () () () ( 1) exp ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) e P e ee e P t Pt rtLt EPt t Vt Vt Vt Vt µ  ++ = −+  + ++ +  . Man rechnet nun leicht nach, dass ( ) ( ) () () 1 exp () () exp () () ( 1) 1 t t e t Pt tt tt Vt ν ρεξ ρεµ λ − = −−= −− +− , ( ) () () () 1 exp( ( )) exp( ) exp ( ) ( 1) 1 t tt t e t rt Lt tt Vt ν ε λ ξ ε µλ λ − = − −= − − +− und () ( 1) ( 1) t e EP t f Vt ν += + . Hieraus folgt (Gl. 25); (Gl. 26) ist offensichtlich. □ Bemerkungen 1. Die „erwartete“ Reservequote () ( 1) e t ρ + basiert auf den Beobachtungen bis zum Zeitpunkt t; 1t X + bzw. 1t Y+ sind die stochastische Komponenten der Kapitalmarktentwicklung bzw. der Sterblichkeitsentwicklung im Zeitraum [ , 1]tt+ und realisieren sich zum Zeitpunkt t+1. 2. Die Darstellungen in (Gl. 25 und 26) gelten unabhängig vom gewählten Kapitalmarktund Sterblichkeitsmodell. 3. Für 11 : t tt w WW ∆ ++ = − gilt: ( ) ( ) 1 ( 1) () () ()exp () () ( 1) Pt Pt Pt rtLt t t w EPt µσ ∆ + += − + + + und somit folgt ( ) ( ) ( ) 11 1 ln exp () 1 (1 ) () , t t t t tt X tw tw ζ σ ζ ζσ ∆∆ ++ + = + − ≈− (Gl. 27) wobei ( ) () () ( 1) : exp ( 1) ( 1) e tt e EP t t Pt ζ νρ + = = −+ + . Der stochastische Prozess hängt primär von der Kapitalmarktentwicklung ab. Der Prozess wird aber auch beeinflusst von ( 1)EP t + und somit von der Rentenhöhe 30 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds bzw. der ALM-Steuerung. Angesichts der Größenordnung des Strukturparameters t ν (vgl. Abb. 10 in Abschnitt 4.2) kann man bei 1-jähriger Betrachtungsweise 11 () tt X tw σ ∆ ++ ≈ annähern. 4. Man beachte, dass 1t Y+ ausschließlich von der Sterblichkeitsentwicklung abhängt. 1t Y + ist unabhängig von der Rentenhöhe und somit auch unabhängnig von der ALM-Steuerung. 5. Bei rechnungsmäßigem Verlauf gilt 0 tt XY= = . 3.3.2 Konkretisierung der ALM-Regeln Die Darstellung in (Gl. 25) zeigt, wie die Wahl von ()t ε die „erwartete“ Reservequote beeinflusst. Lösen wir diese Gleichung nach ()t ε auf, so erhalten wir unter Verwendung der Strukturparameter t λ und t ν : ( ) ( ) () exp ( ) 1 () () ln . 1exp ( 1) t t Pe tt t v tt tf ρλ εµ µ λρν  − −  = −+ −+−  (Gl. 28) Die Darstellung in (Gl. 28) ist wohldefiniert, wenn wir zum Zeitpunkt t unterstellen, dass () () ()Pt rt Lt> , also das Vermögen des Pensionsfonds zumindest ausreicht um die fälligen Leistungen auszuzahlen. Es gilt nämlich ( ) () () () () ( 1) ( 1) exp ( 1) 0 () () () ( 1) ( 1) e e tee P t EP t t f Pt rtLt Vt Vt ρν ++ + − >⇔ > ⇔ > ++ und ( ) exp () 0 () () () t t Pt rtLt ρλ − >⇔ > . (Gl. 28) gibt an, wie die Renten anzupassen sind, so dass sich bei rechnungsmäßigem Verlauf eine Reservequote von () ( 1) et ρ + einstellt. Die Rentenanpassung ()t ε besteht aus einem Zinsanteil () Pt µµ − („Überzins“) und einer Strukturkomponente, die von der Asset-Allokation unabhängig ist. Wir haben oben dargestellt, dass der Kern der ALM-Strategie darin besteht, die Reservequote auf dem Niveau der Zielreservequote Ziel ρ zu halten bzw. darin, eine Reservelücke () 0ut < bzw. einen Reserveüberhang () 0ut > aufzufüllen bzw. abzubauen. Aufgrund der Stochastik der Portfoliound der Sterblichkeitsentwicklung kann die Reservequote der Folgeperiode nicht festgelegt werden. Es besteht lediglich die Möglichkeit, 31 die ALM-Entscheidung so zu treffen, dass zumindest „im Durchschnitt“ eine bestimmte Annäherung an das Reserveziel erreicht werden kann. Unsere Beobachtungen fassen wir in folgender Proposition zusammen: Proposition 2 Setzen wir für [0, 1] α ∈ ( ) 1 exp( ) ( , ): ln 1 exp (1 ) t Ziel t t t Ziel t vu uuf ρλ θα λρ α ν  − +− =  − +− −  und ( ) (): () , () Pt t t ut ε µ µθα = −+ , (Gl. 29) dann gilt () ( 1) (1 ) ( ) e Ziel tt ρ αρ α ρ += +− und 11 ( 1) () ( () ) Ziel t t t t t XY ρ ρ αρ ρ ++ += − − + − (Gl. 30) 11 ( 1) (1 ) ( ) tt ut ut X Y α ++ +=− + − (Gl. 31) □ Dies bedeutet, dass bei dieser Wahl der Rentenanpassung nach (Gl. 29) die Reserveabweichung „im Durchschnitt“ um den Faktor 1 α − gemindert wird. Bemerkungen 1. (Gl. 30) zeigt, dass ( ) 0 () t t ρ ≥ ein Mean-Reversion Prozess (im weiteren Sinne) darstellt. Der Prozess ist allerdings nur für ganzzahlige t definiert, auch sind die Störgrößen 11tt XY ++ − nicht normalverteilt. 2. Es gilt: Für u = 0 ist 1 1 exp( ) : ( , 0) ln 1 1 exp( ) t t Ziel tt t t Ziel v f λρ θ θα λνρ  −− − = =  −− −  unabhängig von α und ( ) ( ) (,) 1 1 1 exp ( ) 1 exp ((1 ) ) t t Ziel Ziel t u u u uf θα α λ ρ αρ ν ∂− = − ∂ − −+ − −− + , 0 (,) 1 1 ( ): 1 exp( ) 1 exp( ) t t t Ziel Ziel t u u uf θα α θα λ ρ ρν = ∂− ′= = − ∂ − − −− Man kann sich davon überzeugen, dass lineare Approximation (,) () t tt uu θα θ θ α ′ ≈+ bei einer realistischen Kalibrierung sehr gut ist. 32 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Da () ( ) 0 exp( ) 1 exp( ) 1 ( 1) t t Ziel t fv θ µξ ρ > ⇔ − − − >− − , ist von extremen Konstellationen abgesehen stets 0 t θ > . 3. Im Gleichgewichtszustand () () 0 Ziel ut t ρρ =−= können wir () () Pt tt ε µ µθ = −+ als reserveneutrale Rentenanpassung interpretieren. Dies bedeutet, dass der Überzins () P t µµ − zuzüglich einer Reservebeteiligung t θ an die Rentner weitergegeben werden kann, ohne dass dabei die Reservequote leidet. Die Reservebeteiligung t θ im Gleichgewichtszustand ist unabhängig von der Anpassungsgeschwindigkeit α , jedoch strukturabhängig. 4. Setzen wir speziell exp( ) Ziel f ρ = , so gilt ( ) 1 exp( ) exp( ) ( , ) ln ln 1 exp (1 ) t t Ziel t tt u uu ν λρ θα λ αν   − −− = +    − −−   und ( ) 11 () 1 exp 1 t t Ziel t α θα λρ ν − ′= − −− − . In diesem Fall gilt 1 exp( ) ln 11 t Ziel t t Ziel tt λρ λ θρ λλ  −− = ≈  −−  - im Gleichgewichtszustand ist also die Reservebeteililgung ungefähr proportional zur Zielreservequote. 5. exp( ) Ziel f ρ = bedeutet, dass der Neuzugang unabhängig von der aktuellen Reservequote des Pensionsfonds immer denselben Sicherheitszuschlag zahlen muss. Können sich die Neurentner frei entscheiden, ob Sie dem Pensionsfonds beitreten oder nicht, fördert die Regel exp( ) Ziel f ρ = ein opportunistisches Verhalten. Ist nämlich die aktuelle Reservequote kleiner als die Zielreservequote, so ist der Beitritt zum Pensionsfonds möglicherweise nicht attraktiv, da die Neurentner damit rechnen, dass sie zum Aufbau der Reserve beitragen müssen. Ist umgekehrt die aktuelle Reserveposition höher als die Zielreservequote, so belastet der Neuzugang das Kollektiv und die Neurentner würden von einer künftigen Absenkung der Reservequote auf die Zielgröße durch tendenziell höhere Renten profitieren, ohne sich selbst an der Finanzierung beteiligt zu haben. 33 6. Ein opportunistisches Verhalten der Neurentner kann vermieden werden, wenn wir verlangen, dass ( ) ( ) () exp ( 1) exp (1 ) ( ) e Ziel f t ut ρ ρα = + = +− . In diesem Falle erhalten wir 1 exp( ) ( , ) ln 1 t Ziel t t u uu λρ θα α λ  − −− = +  −  und 1 exp( ( )) () () ln 1 t P t t tt u λρ εµ µ α λ  −− = −+ +  −  . (Gl. 32) Die Rentenanpassung umfasst neben dem Überzins eine Reservebeteiligung von 1 exp( ( )) ln 1 t t t λρ λ  −−  −  () 1 t t t λρ λ ≈− , die unabhängig von α ist, und eine „Solidarumlage“ u α , die proportional zur Abweichung zwischen Sollund Zielreserve ist. 7. Wir wollen die beiden Regeln exp( ) Ziel f ρ = und ( ) () exp ( 1) e ft ρ = + vergleichen und setzen ( ) (1) 1 exp( ) exp( ) ( , ) ln 1 exp (1 ) t t Ziel t tt u uu ν λρ θα λ αν  − −− =  − −−  für exp( ) Ziel f ρ = (2) 1 exp( ) ( , ) ln 1 t Ziel t t u uu λρ θα α λ  − −− = +  −  für () exp( ) e f ρ = . Dann gilt ( ) (2) (1) 1 exp (1 ) (,) (,) ln (1 ) 11 tt tt tt u uu u να ν θα θα α νν − −−  − = ≈−  −−  . Will man also ein opportunistisches Verhalten des Neuzugangs unterbinden und wählt () exp( ) e f ρ = statt exp( ) Ziel f ρ = , so fallen die Rentenanpassungen bei einem Reserveüberhang (u > 0) höher und bei einer Reservelücke (u < 0) niedriger aus. 34 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds 4 Modellrechnungen 4.1 Kalibrierung des Referenzmodells, Simulationsszenarien Für den Kapitalmarkt unterstellen wir (vgl. Abschnitt 2.3) 0.02 µ = sicherer Zins 0.2 M σ = Volatilität des Marktportfolios 0.25 M r= Sharpe-Ratio Dies ergibt für die erwartete Portfoliorendite in Abhängigkeit von der gewählten Risikoexposition 2 1 2 ( ) 0.02 0.25 ( ) ( ) Pt tt µ σσ =+− . Ferner setzen wir T = 60 Projektionszeitraum in Jahren. Bezogen auf die Kalbrierung in Abschnitt 2.4.2 entspricht dies dem Zeitraum 2005-2065. 0.02 µµ = = konstanter Rechnungszins = sicherer Zins () (0) (0) (0) ln Ziel P V ρρ = = : Wir unterstellen also im Referenzmodell, dass wir von einer Gleichgewichtssituation aus starten. () 0au ≡ Wir unterstellen im Referenzmodell eine reine LM-Strategie mit gleichbleibender Risikoexposition Ziel σ Ziel exp( )f ρ = Sicherheitsfaktor für die Kalkulation des Neuzugangs. Dies bedeutet, dass der Neuzugang (im Durchschnitt) reserveneutral erfolgt. 2 1 2 : P M Ziel Ziel r µµ σ σ =+− : erwartete Portfoliorendite für () Ziel t σσ ≡ . Wir setzen ferner ( ) 1 exp( ) exp( ) ( , ) ln 1 exp (1 ) t t Ziel t tt u uu ν λρ θα λ αν  − −− =  − −−  und für die Rentenanpassung gilt () ( , ) Pt tu ε µ µ θα = −+ - vgl. Proposition 2. Wie die strategischen ALM-Parameter ,, Ziel Ziel ρσα zu wählen sind, soll anhand von Monte Carlo-Simulationen bestimmt werden. Wir führen die Berechnungen für zwei Varianten der Sterblichkeitsentwicklung durch: Variante 0: Kalibrierung nach Tabelle 1 (Abschnitt 2.4.2) für einen hybriden Bestan, wobei wir allerdings 11 0 αβ = = setzen, also mit trendunabhängen Überlebenswahrlichkeiten rechnen. Variante 1: Kalibrierung nach Tabelle 1 für einen hybriden Bestand mit trendabhängen Überlebenswahrlichkeiten. 35 Um einschätzen zu können, welchen Einfluss der Neuzugang auf die Rentenentwicklung hat, untersuchen wir folgende Neuzugangsszenarien (vgl. Abb. 8): Szenario 0: gleichbleibender Neuzugang von 100 000 65-jährige Personen. Szenario 1: ein um 1% jährlich wachsender Neuzugang Szenario 2: ein um 1% jährlich schrumpfender Neuzugang Szenario 3: Wachstumsrate: 15 Jahre +1%, 30 Jahre -1%, 15 Jahre +1% Szenario 4: Wachstumsrate: 15 Jahre -1%, 30 Jahre +1%, 15 Jahre -1%. Schließlich wollen wir die Kombination Varinate 1 mit Neuzugang Szenario 0 als Basisszenario bezeichnen. Für alle Szenarien und Berechnungsvarianten legen wir als Anfangsbestand den BestandXL zugrunde (vgl. Abschnitt 2.4.4, Abb. 6), der bezogen auf die Periodensterbetafel im Zeitpunkt t = 0 invariant ist, d.h. (0) 100000 z L= ; 1(0) (0) ( ,0) xx L L px += für ,...,xz ω = . Die folgenden Abbildungen 8 und 9 illustrieren die verschiedenen Neuzugangsszenarien sowie die hieraus resultierende Entwicklung der Gesamtzahl der Rentner in den Varianten 0 und 1 bei deterministischer Sterblichkeitsentwicklung. ABBILDUNG 8: Entwickung des Neuzugangs für die Szenarien 0-4. 36 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds ABBILDUNG 9: Entwickung Gesamtzahl der Rentner für die Szenarien 0-4 und die Variante 0 und 1 bei deterministischer Sterblichkeitsentwicklung ( 0 α σ = ). 4.2 Deterministisches ALM-Modell Wir führen zunächst einige Modellrechnungen im deterministischen Fall durch, d.h. wir unterstellen für die gesamte Laufzeit einen rechnungsmäßigen Verlauf, mithin gilt 11 0 tt XY ++ = = (vgl. Proposition 1). Da wir (0) Ziel ρρ = und exp( ) Ziel f ρ = vorausgesetzt haben, gilt nach Proposition 1 () ( 1) ( 1) e Ziel tt ρρ ρ += += für alle t, falls die Renten gemäß () Pt t ε µ µθ = −+ mit 1 exp( ) ln 1 t Ziel t t λρ θλ  −− = −  angepasst werden. Die Rentenanpassung hängt dann nur von der Liquiditätsquote t λ und der Zielreservequote Ziel ρ ab. Zunächst stellen wir den Verlauf der Strukturparameter , tt νλ und t ξ den Hochrechnungszeitraum von T =60 Jahren dar – vgl. Abb. 10. Bei trendunabhängiger Sterblichkeit und konstantem Neuzugang (Variante 0, Szenario 0) sind , tt νλ und t ξ konstant, nämlich 0 0 t ξξ = = , 0 0.08218785 t νν = = und 00.10036175 t λλ = = und 0 0.02002027 t θθ = = .18 Beim Vergleich der Varianten 0 und 1 wird deutlich, dass der Sterblichkeitstrend deutlich stärker wirkt als die verschiedenen Neuzugangsszenarien. 18 Für die Strukturparameter ergeben sich minimale Unterschiede je nachdem, ob die Anzahl der Überlebenden jeder Altersgruppe als ganzzahlig angenommen wird oder ob mit echten Überlebenswahrscheinlichkeiten gemäß (Gl.11) gerechnet wird. Für die Zwecke unserer Untersuchungen sind die Unterschiede jedoch vernachlässigbar. Die hier genannten Werte für (Variante 0, Szenario 0) wurden mit ungerundeten Überlebenswahrscheinlichkeiten berechnet. 37 ABBILDUNG 13: Bestandentwicklung (Gesamtzahl der Rentner): Dargestellt sind die 1%, 5%, 10%, 50%, 90%, 95% und 99%-Quantile für 60 Jahre bei gleichbleibendem Neuzugang (Szenario 0) für trendunabhängige (Variante 0: links) und trendabhängige Überlebenswahrscheinlichkeiten (Variante 1: rechts) bezogen auf den Anfangsbestand Bestand XL. Die Berechnungen erfolgte auf Grundlage von 10 000 Simlationsläufen mit 0.04 α σ = . Rentenanpassung aufgrund der stochastischen Sterblichkeitsentwicklung Falls () 0t σ = , so gilt 0 t X≡ und 1 ( 1) (1 ) ( ) t ut ut Y α + +=− − - vgl. (Gl. 31). Der ()ut - Prozess ist also nur abhängig von der Anpassungsgeschwindigkeit α , der Sterblichkeitsentwicklung und dem Startwert (0) (0) 0 Ziel u ρρ = −= . Es gilt: () 0t ρ ≥ für alle 0,1, ...,tT = ( ) Min ( ) : 0,1, ..., Ziel ut t T ρ ⇔ = ≥− . Werten wir also jeweils das Minimum der ()ut -Pfade aus, so erhalten wir Auskunft darüber, welche Zielreserve bzw. Startreserve erforderlich ist, um eine bilanzielle Unterdeckung (d.h. () 0t ρ < ) zu vermeiden. Wir definieren die Wahrscheinlichkeit einer Unterdeckung in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit α und der Zielreservequote Ziel ρ und setzen ( ) ( ) ( , ) : Min ( ) : {0,..., } Ziel Ziel m ut t T αρ ρ = ∈ <−P . Die folgende Abbildung 14 bzw. die Tabelle 3 zeigt für die Varianten 0 und 1 die 1%- und 5%-Quantile der erforderlichen Zielreservequote in Abhängigkeit der Anpassungsgeschwindigkeit α . () Ziel ρα ist also der Wert, für den gilt ( , ( )) 1% Ziel m αρ α = bzw. ( , ( )) 5% Ziel m αρ α = . Wählt man beispielsweise eine Anpassungsrate von α = 0.15, so bedarf es in der Variante 1 einer Zielreservequote von (0) 9.35% Ziel ρρ = = , damit die 44 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Wahrscheinlichkeit einer Unterdeckung im Laufe der 60-jährigen Hochrechnung weniger als 1% beträgt. ABBILDUNG 14: Erforderliche Reservequote (0) Ziel ρρ = in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit α bei einem Sicherheitsniveau von 0.5%, 1% bzw. 5% im Basisszenario (Szenario 0/ Variante 1). Den Berechnungen erfolgen auf Grundlage von 50 000 Simlationsläufen. Variante 0: ohne Sterblichkeitstrend Variante 1: mit Sterblichkeitstrend α 0.5% - Quantil 1% - Quantil 5% - Quantil 0.5% - Quantil 1% - Quantil 5% - Quantil 0 32.96% 30.18% 23.50% 28.98% 26.70% 20.48% 0.05 16.94% 16.08% 13.29% 14.67% 13.84% 11.56% 0.10 13.02% 12.32% 10.53% 19.70% 18.45% 14.86% 0.15 11.39% 10.61% 9.13% 17.41% 16.39% 13.42% 0.20 10.21% 9.54% 8.25% 15.82% 14.93% 12.38% 0.25 9.36% 8.80% 7.62% 14.67% 13.84% 11.56% 0.30 8.74% 8.25% 7.16% 13.75% 12.98% 10.90% 0.35 8.28% 7.83% 6.79% 13.01% 12.27% 10.38% 0.40 7.88% 7.43% 6.50% 12.42% 11.66% 9.91% 0.45 7.57% 7.16% 6.26% 11.90% 11.19% 9.53% 0.50 7.31% 6.95% 6.05% 11.47% 10.77% 9.18% Tabelle 3: Erforderliche Reservequote (0) Ziel ρρ = in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit α bei einem Sicherheitsniveau von 0.5%, 1% bzw. 5% bei gleichbleibendem Neuzugang (Szenario 0) für die Varianten 0 und 1. 45 Auf den ersten Blick überraschend ist, dass der Reservebedarf bei der Variante 1 geringer ist als bei Variante 0. Allerdings ist zu beachten, dass bei Variante 1 der Rentnerbestand insgesamt altert und dass für hohe Alter die relativen Schwankungen der Rentenbarwerte geringer ausfallen. Der Anpassungsparameter α hat jedoch auch Rückwirkung auf die Rentenanpassung, denn je größer α desto volatiler sind die Rentenanpassungen. Wir beschränken uns auf die Variante 1, da sich die Schar der Graphen bei Variante 0 kaum von der von der Variante 1 unterscheidet. Die Abbildung 15 lässt erkennen, dass das Rentenrisiko gemessen als Volatilität der Rentenanpassung nahezu linear mit der Anpassungsgeschwindigkeit steigt. Interessant ist auch die Beoabachtung, dass die Zielreserve nur bei geringen α -Werten nennenswerten Einfluss auf die Volatilität der Renten hat. Hierbei ist allerdings zu beachten, dass wir bei der Simulation stets (0) Ziel ρρ = unterstellt haben. ABBILDUNG 15: Standardabweichung der Rentenanpassungen in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit α für verschiedene Reserveniveaus (0) Ziel ρρ = bei trendabhängigen Überlebenswahrscheinlichkeiten (Variante 1). Berechnung erfolgte auf Grundlage von 10 000 Simlationsläufen. 46 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds 4.4 Der allgemeine Fall Wir berücksichtigen in diesem Abschnitt zusätzlich das Kapitalanlagerisiko. Wir unterstellen eine gleichbleibende Risikoexposition, d.h. () 0 Ziel t σσ = > für alle t. Wir beschränken uns also auf eine reine LM-Strategie, wobei allerdings bei der Festlegung der Rentenanpassung zusätzlich das Kapitalmarktrisiko zu berücksichtigen ist. Es gilt 11 ( 1) (1 ) ( ) tt ut ut X Y α ++ +=− + − - vgl. (Gl. 31). Zu beachten ist, dass die stochastische Komponente 1 t X + im Unterschied zu 1 t Y+ nicht unabhängig von der Festlegung der Rentenanpassungen ist, insbesondere ist somit 1 t X + auch abhängig von Ziel ρ . 4.4.1 Unterdeckungswahrscheinlichkeiten Zunächst untersuchen wir die Unterdeckungswahrscheinlichkeiten, also die Wahrscheinlichkeit, dass während der Laufzeit der Wert der Kapitalanlagen geringer ist als die Summe der Deckungsrückstellungen. Aufgrund der Rentenanpassungsregel (Gl. 29) führt aber eine Unterdeckung zu einer Korrektur der Rentenapassung, so dass es ggf. zu einer Rentenkürzung kommt. Die Unterdeckung führt also nicht zu einer Insolvenz im Sinne einer Zahlungsunfähigkeit, wenn nämlich die Summe der fälligen Renten das Vermögen übersteigt.22 Da eine vorübergehende geringfügige Unterdeckung durchaus akzeptabel sein kann, untersuchen wir auch die Wahrscheinlichkeit, dass zu einer 5%- igen oder 10%-igen Unterdeckung kommt.23 Wir setzen () ( ) ( , , ) : Min ( ) : {0,..., } Ziel Ziel m tt T δ αρ σ ρ δ = ∈ <−P und bestimmen für 0, 5% δδ = = und 10% δ = die Paare (, ) Ziel αρ , für die gilt ( , , ) 1% Ziel Ziel m δ αρ σ = . Im Standardfall unterstellen wir eine gleichbleibende Risikoexposition von 0.05 Ziel σ = und setzen voraus, dass (0) Ziel ρρ = ist. Für 0 Ziel σ > ist der t X -Prozess abhängig von der Wahl von α und Ziel ρ . Wollte man also zu einem gegebenen α -Wert die Zielreservequote Ziel ρ so bestimmen, dass 22 Von Extremfällen (stark negative Startreserve oder α = 0 d.h. kein Rentenanpassung) abgesehen, beobachtet man bei den Simulationen keine Insolvenz. 23 Vgl. hierzu § 115 Abs. 2a und 2b VAG. 47 ( , , ) 1% Ziel Ziel m δ αρ σ = , so wäre hierzu eine ganze Serie von Simulationsläufen erforderlich, um ein passendes Ziel ρ näherungsweise zu bestimmen. Der Zeitaufwand für diese große Anzahl von Simulationsläufe wäre allerdings prohibitiv hoch. Wir können allerdings den Rechnenaufwand erheblich reduzieren, wenn wir berücksichtigen, dass der Einfluss der Parameter α und Ziel ρ auf den t X -Prozess vergleichsweise schwach ist. Es gilt nämlich (vgl. Gl. 27): ( ) () 1 11 1 (1 ) exp ( 1) e t t Ziel t Ziel t t Ziel t X ww t w ζσ σ ν ρ σ ∆∆ ∆ + ++ + ≈− = − + , wobei der Strukturparameter t ν nur vom Sterblichkeitsverlauf abhängt. Die standardnormalverteilte Zufallsvariable 1t w∆ + ist der stochastische Treiber der Kapitalmarktentwicklung im Zeitabschnitt [ , 1]tt+ . Da t ν in der Variante 1 eine Größenordnung von rund 0.06-0.08 hat (vgl. Abb. 10), ist der Einfluss der Parameter α und () ( 1) (1 ) ( ) e Ziel t ut ρ ρα += +− auf den t X - Prozess eher gering. Um dies zu verdeutlichen zeigen wir in der folgenden Tabelle 4 die Verteilungsparameter der t X -Pfade für verschiedene (, ) Ziel αρ -Kombinationen. Verteilungsparameter α Start ρ Mittelwert Standardabweichung Schiefe 0.20 0.20 0.000109 0.046320 0.011220 0.25 0.20 0.000048 0.046305 0.011253 0.20 0.25 0.000100 0.046310 0.009380 0.15 0.20 0.000059 0.046320 0.008264 0.20 0.15 0.000113 0.046316 0.010061 Tabelle 4: Parameter der Verteilung der Xt - Pfade für Variante 1, 0.05 Ziel σ = und verschiedende (, ) Ziel αρ -Kombinationen. Ausgewertet wurden jeweils 50 000 Simulationsläufe. Zur Bestimmung der Kombinationen (, ) Ziel αρ , für die gilt ( , , ) 1% Ziel Ziel m δαρ σ = , simulieren wir die u(t)-Pfade gemäß (Gl. 31) für 0, 0.01, 0.02, ..., 0.5 α = für jeweils den 48 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds gleichen Satz von (insg. 50 000) t X - Pfaden. Hierzu generieren wir in einem ersten Berechnungsschritt die t X - Pfaden für den Parametersatz ( , ) (0.2, 0.2) Ziel αρ = . Da die t X - Pfade nahezu identisch für alle (, ) Ziel αρ - Kombinatinen sind, gilt 0 (, , ) (, , ) Ziel Ziel Ziel Ziel mm δ αρ σ αρ δσ ≈− . 0.02 Ziel σ = 0.05 Ziel σ = 0.08 Ziel σ = α 0.5% 1% 5% 0.5% 1% 5% 0.5% 1% 5% 0 49.2% 44.7% 34.2% 104.0% 94.1% 70.8% 156.0% 143.0% 108.4% 0.05 24.6% 23.2% 19.2% 52.1% 48.9% 39.7% 79.6% 74.2% 61.3% 0.10 18.9% 17.8% 15.1% 39.7% 37.2% 31.1% 59.9% 56.5% 47.9% 0.15 16.0% 15.2% 13.0% 33.5% 31.7% 26.8% 50.6% 48.0% 41.2% 0.20 14.2% 13.5% 11.6% 29.7% 28.1% 24.0% 44.8% 42.8% 36.9% 0.25 13.1% 12.4% 10.7% 27.2% 25.6% 22.0% 41.1% 39.2% 33.9% 0.30 12.2% 11.6% 10.0% 25.2% 23.8% 20.6% 38.3% 36.7% 31.7% 0.35 11.5% 11.0% 9.5% 23.6% 22.4% 19.5% 36.2% 34.6% 29.9% 0.40 11.0% 10.5% 9.1% 22.6% 21.4% 18.6% 34.5% 32.9% 28.6% 0.45 10.6% 10.1% 8.7% 21.7% 20.5% 17.9% 33.2% 31.6% 27.5% 0.50 10.2% 9.7% 8.4% 20.9% 19.8% 17.3% 32.1% 30.6% 26.6% Tabelle 5: Schätzung der erforderliche Reservequote (0) Ziel ρρ = in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit α , so dass 0(, , ) Ziel Ziel m αρ σ = 0.5% bzw. 1% bzw. 5% für {0.02, 0.05,0.08} Ziel σ ∈ ; es wurde das Basisszenario (Variante1 / Szenario0) zugrunde gelegt. Siehe auch Abbildung 16. Die Tabelle 5 ist für den Fall 0.05 Ziel σ = wie folgt zu lesen: Bei einer Anpassungsrate von 0.20 α = und Zielreservequote von 29,7% 30% Ziel ρ = ≈ ist die Wahrscheinlichkeit einer temporären Unterdeckung ( () 0t ρ < ) kleiner als 0.5%.24 Da 0 (, , ) (, , ) Ziel Ziel Ziel Ziel mm δ αρ σ αρ δσ ≈− ist bei gleicher Anpassungsrate für eine Zielreservequote von 19,7% 20% Ziel ρ = ≈ die Wahrscheinlichkeit einer temporären Unterdeckung von mehr als 10% ebenfalls kleiner als 0.5%. In der Abbildung 16 sind die Berechnungsergebnisse grafisch aufbereitet. Für drei verschieden Aktienquoten 10%, 25% und 40% (entsprechend 2%, 5% .8% Ziel bzw σ = ) 24 Einzelne Werte wurden mit den „richtigen“ Xt-Pfaden simuliert; dabei zeigen sich keine erkennbaren systematischen Unterschiede zu den hier dargestellten Schätzwerten. 49 wird der Zusammenhang zwischen Rentenanpassungsgeschwindigkeit und erfolderlicher Zielreservequote dargestellt. Zunächst ist offensichtlich, dass eine höhere Aktienquote insgesamt ein größeres Reservepolster verlangt. Hat man sich auf eine strategische Aktienquote festgelegt (z.B. 25% bzw. 5% Ziel σ = , vgl. mittlere Grafik der Abb. 16), so gilt es eine Abwägung zwischen Rentensicherheit und Reservebedarf zu treffen. Je höher der Sicherheitsbedarf (niedriger α -Wert und geringe Unterdeckungswahrscheinlichkeit) desto höher ist der Reservebedarf. Toleriert man eine temporäre Unterdeckung von beispielsweise 10% (vgl. § 115 Abs. 2b VAG) so erfordert eine Aktienquote von 25% eine Zielreserve von rund 20%. Bei einer Anpassungsrate von α = 20% würde eine Unterdeckung von 10% mit 0.5% Wahrscheinlichkeit eintreten. Wenn sie dann eingetreten ist (dann ist ( ) ( ) 0.3 Ziel ut t ρρ =−=− ), so ist wegen Gl. 31 () ( 1) (1 ) ( ) 0.24 e u t ut α +=− =− ; d.h. die erwartete Unterdeckung beträgt dann nur noch 4%. Nach einem weiteren Jahr mit rechnungsmäßigem Verlauf wäre dann die Reservequote wieder positiv, nämlich () 2 ( 2) 0.8 ( 0.3) 0.8% e Ziel t ρρ += + − =+ .25 25 Vgl. hierzu die Regel, dass eine Unterdeckung bei einem Pensionsfonds nach 3 Jahren beseitigt sein soll - § 115 Abs. 2a Satz 3 Buchst a VAG. 50 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds ABBILDUNG 16: Erforderliche Reservequote (0) Ziel ρρ = in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit α bei einem Sicherheitsniveau von 0.5%, 1% bzw. 5% für {0.02, 0.05, 0.08} Ziel σ ∈ . Berechnung erfolgt auf Grundlage von jeweils 50 000 Simlationsläufen. Siehe auch Tabelle 6. 0.02 Ziel σ = 0.05 Ziel σ = 0.08 Ziel σ = 51 Die Berechnungen in Tabelle 6 zeigen, dass für 0.05 Ziel σ = eine Zielreservequote 20% Ziel ρ = mit einer Anpassungsgeschwindigkeit von 0.2 α = zu akzeptablen Unterdeckungswahrscheinlichkeiten führt. Wir wählen daher für die folgenden Berechnungen als Standardbelegung der ALM-Paramenter: 0.2, 0.2, 0.05 Ziel Ziel ρ ασ = = = . ( ) ( ) ( , , ) Min ( ) : {0,..., } Ziel Ziel m tt T δ αρ σ ρ δ = ∈ <−P α 0 δ = 5% δ = 10% δ = 15% δ = 20% δ = 20% Ziel ρ = 0.00 53.984% 45.456% 37.798% 30.858% 24.676% 0.05 50.918% 33.174% 19.144% 9.760% 4.378% 0.10 40.870% 18.492% 6.288% 1.646% 0.332% 0.15 28.372% 8.120% 1.552% 0.178% 0.008% 0.20 18.324% 3.362% 0.374% 0.018% 0.000% 0.25 10.994% 1.226% 0.068% 0.000% 0.000% 0.30 6.512% 0.514% 0.018% 0.002% 0.000% 0.35 4.064% 0.216% 0.008% 0.000% 0.000% 0.40 2.304% 0.068% 0.000% 0.000% 0.000% 0.45 1.398% 0.022% 0.000% 0.000% 0.000% 0.50 0.898% 0.024% 0.002% 0.000% 0.000% 30% Ziel ρ = 0.00 37.574% 30.688% 24.670% 19.346% 15.026% 0.05 19.128% 9.742% 4.330% 1.664% 0.592% 0.10 6.174% 1.676% 0.328% 0.048% 0.004% 0.15 1.580% 0.228% 0.022% 0.000% 0.000% 0.20 0.332% 0.026% 0.002% 0.000% 0.000% 0.25 0.070% 0.002% 0.000% 0.000% 0.000% 0.30 0.016% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% 0.35 0.008% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% 0.40 0.004% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% 0.45 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% 0.50 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% Tabelle 6: Wahrscheinlichkeit einer Unterdeckung in Abhängigkeit von der Anpassungsgeschwindigkeit α bei einer Zielreservequote von (0) 20% Ziel ρρ = = bzw. 30%. Es wurde das Basisszenario zugrunde gelegt, Berechnungen basieren auf 50 000 Simulationsläufen - 0.002% entspricht also 1 Beobachtung. 52 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds 4.4.2 Rendite-Risiko Profile Wir versetzen uns in die Lage einer Person, die gerade das Rentenalter erreicht hat und über einen Kapitalstock zur Finanzierung einer Leibrente verfügt. Bei der Wahl des Rentensystems wird diese Person eine Abwägung zwischen der Höhe der zur erwartenden Rentenzahlungen und der damit verbundenen Risiken treffen müssen. Wir wollen unterstellen, dass der angehende Pensionär (oder Pensionärin) in jedem Falle eine Leibrentenanwartschaft erwerben möchte und somit eine streng individuelle Kapitalanlage nicht in Betracht kommt. Wir beschränken uns daher auf zwei mögliche Rentensysteme, nämlich die aktuarielle Tontine einerseits und das oben vorgestellten kollektive Rentensystem (selbstfinanzierender Pensionsfonds). Bei der aktuariellen Tontiene (siehe Anhang 5.4) kommt es zum Risikoausgleich innerhalb des Kollektivs gleichaltriger Rentner, jedoch nicht zu einem Risikoausgleich zwischen Rentengenerationen. Beide hier betrachteten Rentensysteme bieten allerdings eine lebenslängliche Rentenzahlung, so dass das individuelle Langlebigkeitsrisiko, nämlich das Risiko den Zeitpunkt des Kapitalverzehrs zu überleben, ausgeschaltet ist. Für beide Systeme können wir für eine gegebene Rentnergeneration die erwartete Generationenrendite ermitteln. Die erwartete Generationenrendite hängt wesentlich von der Risikoexposition der Kapitalanlagen ab. Bei einer sicheren Kapitalanlage ( 0 σ = ) wird die Generationenrendite nur vom Verlauf der stochastischen Sterblichkeitsentwicklung beeinflusst. Mit zunehmender Risikoexposition am Kapitalmarkt steigt die erwartete Verzinsung der zugrunde liegenden Kapitalanlagen und somit auch die erwartete Generationenrendite. Es liegt also nahe, die Standardabweichung der Generationenrendite als Maßzahl für das Risiko des Leibrentenkontraktes zu wählen. Als weitere Risikokennzahl betrachten wir die Volatilität der Rentenanpassungen, also die Standardabweichung der laufenden Rentenanpassungen während der Rentenlaufzeit. Bei der Berechung der Rendite-Risiko Profile treffen wir folgende Annahmen:  Wir legen das Basisszenario (Szenario 0/ Variant 1 – vgl. Abschnitt 4.1) zugrunde und simulieren den Anfangsbestand XL (vgl. Abb. 6) für eine Laufzeit von T= 60 Jahren. Hierbei legen wir die Kalibrierung der Tabelle 1 für einen gemischten (hybriden) Bestand mit 0.04 α σ = zugrunde.  Wir analysieren die Rentnergeneration 0 ()G Gt= , die zum Zeitpunkt 010t= im Alter z = 65 in das Rentensystem (Pensionsfonds bzw. aktuarielle Tontine) eintritt. Diese Rentnergeneration hat dann zum Zeitpunkt T = 60 das Schlussalter 115 ω = 53 5 Anhang 5.1 Das Problem der doppelten Stochastizität Wir untersuchen die Entwicklung eines Rentnerbestandes, wobei wir einen Anfangsbestand und eine Folge von Zugängen (Neurentner) als gegeben (d.h. deterministisch) voraussetzen. Das stochastische Modell in (Gl. 12 und 13) liefert uns ein Modell für die Sterblichkeitsentwicklung einer Gesamtpopulation von Rentnern. Betrachtet man einen hinlänglich großen Bestand, so ist die künftige Bestandsentwicklung ein von ( ) t W′ getriebener stochastischer Prozess. Für einen kleinen Bestand wird die zukünftige Bestandsentwicklung zusätzlich durch die individuellen Überlebenswahrscheinlichkeiten bestimmt. Es überlagern sich dann zwei stochastische Einflussfaktoren, der der kollektiven und der der individuellen Sterblichkeit. Die kollektive und die individuelle Sterblichkeit sind jedoch nicht voneinander unabhängig. Betrachten wir beispielsweise zwei x-jährige Personen, die zum Zeitpunkt t leben, so sind die Ereignisse A1:„Person 1 überlebt das nächste Jahr“ und A2:„Person 2 überlebt das nächste Jahr“ bestimmt nicht stochastisch unabhängig, denn beide Ereignisse sind verbunden durch die zufällige 1-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit (,) 1 (,) pxt qxt= −  . Man wird jedoch die Ereignisse A1 und A2 als stochastisch unabhängig annehmen können, sofern die 1-jährige Überlebenswahrscheinlichkeiten als bekannt vorausgesetzt wird. Die Annahme, dass die individuellen Lebensläufe der Personen des Bestandes unabhängig voneinander sind, ist also nur sinnvoll im Sinne einer bedingten stochastischen Unabhängigkeit.27 Die folgende Proposition stellt eine Verbindung zwischen den beiden Stufen der Stochastik her. Proposition 3 Sei p  eine Zufallsvariable mit Werten im Intervall [0, 1] . Für jedes [0, 1]p∈ seien 12 ( ), ( ),..., ( ) N XpXp X p stochastisch unabhängige (1, )Bp verteilte Zufallsvariablen und 1 1 : () n k k U Xp N = =∑ , dann gilt: 27 Auf eine stringente Formalisierung der bedingten stochastischen Unabhängigkeit wird hier verzichtet; der interessierte Leser sei auf [Schrager 2006] und auf [Jamshidian 2004] verwiesen. 60 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds () ()Up=EE  und 2 11 Var( ) Var( ) ( ) Var( ) 4 U p pp p NN = + −≤ + E    . Beweis: 11 00 () ( ) () () ()U U p p dp p p dp p p= = = = ∫∫ EE E    . 2 11 22 1 00 1 ( ) ( ) () () () N k k U U p p dp p X p dp p N=   = = =      ∑ ∫∫ EE E   1 22 0 1 11 1 () 1 ( ) () p p dp p p p NN N N    =−+ =− +       ∫EE   . Daraus folgt: ( ) 2 2 2 1 1 () Var() 1 ( ) () () Var() pp U p pp p NN N −  =− +−=+   E E EE     . Da 21 4 0pp≤− ≤ für alle [0, 1]p∈ erhält man: 1 Var( ) Var( ) 4 Up N ≤+  . □ Wir können diese Proposition nutzen, um eine entsprechende Aussage für einen Personenbestand herzuleiten. Hierzu betrachten wir einen Rentenbestand () xxz L≥ von x L Personen des Alters { , 1, 2, ...}x zz z∈ ++ . Wir setzen : x xz LL ≥ = ∑ , : x x L lL = . Für alle { , 1, 2, ...}x zz z ∈ ++ und alle [0, 1]p∈ seien { } ,1 ,2 , ( ), ( ),..., ( ) x x x xL I pI p I p (1, )Bp - verteilte Zufallsvariablen, von denen wir annehmen wollen, dass für jedes [0,1]p∈ sämtliche { } ,( ) : ,1 xk x I pxz kL≥ ≤≤ stochastisch unabhängig sind. Wir setzen , 1 1 (): () x L x xk k x Up I p L = = ∑ ; dies ist Überlebenswahrscheinlichkeit der x-Kohorte als Zufallsvariable parametrisiert mit p. Schließlich seien für { , 1, 2, ...} x zz z∈ ++ x p  Zufallsvariablen mit Werten in [0,1]. Als direkte Anwendung von Proposition 3 erhalten wir 61 Proposition 4 Für die tatsächliche Bestandsüberlebenswahrscheinlichkeit ( ) :xx x xz U lU p ≥ =∑ gilt: () xx xz U lp ≥  =  ∑ EE  und () ( ) 22 (, ) , 1 Var( ) Var Cov , x x xx x x x x x xz xx xz xx z U l p ll p p l p p L ′′ ′ ≥≥ ′≥ = + +− ∑∑ ∑ E( )     2 11 Var ( ) Var 4 xx x x x xx xz xz xz lp l p p lp LL ≥≥ ≥   = + −≤ +     ∑∑ ∑ E    □ Bemerkungen: 1. Die Zufallsvariable xx xz lp ≥ ∑  beschreibt die Überlebenswahrscheinlichkeit (als Zufallsvariable) eines (unendlich) großen Personenbestandes mit der Altersstruktur () xxz l ≥ . Wir können Var xx xz lp ≥    ∑ als Maß für die Unsicherheit der (kollektiven) Sterblichkeitsentwicklung interpretieren. Die Unsicherheit eines konkreten (kleinen) Personenbestandes mit der gleichen Altersstruktur erwächst zusätzlich aus der Unsicherheit der individuellen Lebensläufe der Personen. Diese zweite Komponente der Unsicherheit trägt mit dem Betrag 2 1() x kx kx xz l pp L≥ − ∑E zur Gesamtvarianz bei. 2. Für 0 α σ → ist xx pp=  deterministisch und 2 1 Var( ) ( xx x xz U lp p L ≥ = − ∑ ) . Wir wollen die Proposition 4 nutzen, um im CBD-Modell (Abschnitt 2.4.) den Einfluss der Bestandsgröße auf die Volatiliät der Sterblichkeitsentwicklung abzuschätzen. Hierzu betrachten wir zum Zeitpunkt t den Rentenbestand ( ) ( ), ( 1), ..., ( ) tt t LzLz L ω + und setzen wie oben () () x xz Lt L t ω = =∑ . Vom Zeitpunkt t aus betrachtet ist die Gesamtzahl 62 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds der Überlebenden zum Zeitpunkt t+1 eine Zufallsgröße, die von der kollektiven (systemtatischen) Sterblichkeitsentwicklung und von der individuellen (idiosykratischen) Sterblichkeit der einzelnen Rentner abhängt. Beobachten wir zum Zeitpunkt t die Realisierung tt Ww ′′ = und setzen 1 : tt ZW W + ′′ = − , so können wir schreiben () 1 ( , ) 1 exp( ) exp( ) ( , ) t pxt Z w g xt α σ − ′ = +  , wobei Z eine standardnormalverteilte Zufallvariable ist. Mit den obigen Bezeichnungen können wir die (zufällige) 1-jährigen Bestandsüberlebenswahrscheinlichkeit darstellen als () (,) xx xz U l U pxt ≥ =∑ . Setzen wir () 1 ( ) 1 exp( ) exp( ) ( , ) xt f z z w gxt α σ − ′ = + und (0) xx pf= , so gilt ( ) (0) (0) (1 ) x x x x xx df f z f z p zp p dz α σ ≈+ =− − . Wir approximieren die Zufallsvariable () 1 ( , ) 1 exp( ) exp( ) ( , ) t pxt Z w g xt α σ − ′ = +  durch die normalverteilte Zufallsvariable : (1 ) xx x x p p Zp p α σ =−−  . Dies ergibt dann folgende approximative Darstellung der 1-jährigen Bestandsüberlebenswahrscheinlichkeit: ( ) : prox x x x xz U lU p ≥ =∑ . Setzen wir abkürzend 1 : (1 ) xx x xz g lp p ≥ = − ∑ und 22 2 : (1 ) xx x xz g lp p ≥ = − ∑ , so erhalten wir mittels Proposition 4 () ( ) prox x x xz U U lp ≥ ≈= ∑ EE und 2 22 12 1 Var( ) Var( ) 1 Var ( ) () () prox xx x x x xz xz t UU gg lp l p p g L Lt Lt α σ ≥≥ ≈   = + −= + −     ∑∑ E   (Gl. 35) (Gl. 35) stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen dem systematischen Risiko α σ und der Bestandsgröße ()Lt bzw. den Bestandsstrukturparametern 1 g und 2 g her. Für einen großen Bestand ( ()Lt →∞ ) ergibt sich 22 1 Var( ) Var( ) prox UU g α σ ≈= . 63 Um die Güte der Approximation zu illustrieren, simulieren wir die „wahre“ Überlebenswahrscheinlichkeit U für verschiedene Niveaus von α σ und verschieden Bestandsgrößen und vergleichen die Ergebnisse mit den Näherungswerten gemäß (Gl. 35). Ausgangspunkt ist der Musterbestand (BestandXL – vgl. Abschnitt 2.4.4). Aufgrund der Größe des Bestandes (Gesamtzahl der Rentner: 1 852 681) ist das individuelle Sterblichkeitsrisiko zu vernachlässigen. Für diesen Bestand ergibt sich 1 0.04805526g= und 20.004067667g= . Um zu berechnen, welchen Einfluss die Bestandsgröße auf das Gesamtrisiko hat, leiten wir unter Beibehaltung der Altersverteilung (jedoch unter Berücksichtgung der Ganzzahligkeitsbedingung) aus dem BestandXL kleine Bestände mit insgesamt 2k (für k = 7,…,20) Personen ab. Der kleinste betrachtete Bestand umfasst also nur insgesamt 27=128 Personen, der größte 1 048 576 Personen. Für 0, 4% αα σσ = = und 8% α σ = haben wir die Standardabweichung der Zufallvariable U (angenähert durch 10 000 Monte Carlo Simulationen) mit der Standardabweichung der approximierenden Zufallvariablen Uprox gemäß (Gl. 35) verglichen – siehe Abbildung 22. Dabei zeigt sich, dass der Unterschied zwischen Simulationsrechnungen und Näherungsformel so gering ist, dass er in der grafischen Darstellung kaum zu erkennen ist. ABBILDUNG 22: Standardabweichung der 1-jährigen Bestandsüberlebenswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Bestandgröße für 0, 4%, 8% αα α σσ σ = = = : Vergleich der Approximation nach (Gl. 35) und der Monte Carlo Simulation. 64 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Standardabweichung der 1-jährigen Bestandsüberlebenswahrscheinlichkeit 0 α σ = 4% α σ = 8% α σ = Bestandsgröße Simulation Approximation Simulation Approximation Simulation Approximation 128 1.9119% 1.9376% 1.9252% 1.9470% 1.9678% 1.9749% 256 1.3437% 1.3701% 1.3874% 1.3834% 1.4107% 1.4227% 512 0.9657% 0.9688% 0.9962% 0.9876% 1.0432% 1.0420% 1024 0.6941% 0.6850% 0.7056% 0.7115% 0.7811% 0.7854% 2048 0.4912% 0.4844% 0.5211% 0.5211% 0.6214% 0.6183% 4096 0.3409% 0.3425% 0.3885% 0.3928% 0.5157% 0.5148% 8192 0.2432% 0.2422% 0.3112% 0.3092% 0.4498% 0.4543% 16384 0.1724% 0.1713% 0.2577% 0.2574% 0.4205% 0.4208% 32768 0.1199% 0.1211% 0.2273% 0.2272% 0.4020% 0.4031% 65536 0.0857% 0.0856% 0.2101% 0.2104% 0.3926% 0.3939% 131072 0.0605% 0.0606% 0.2016% 0.2015% 0.3892% 0.3892% 262144 0.0430% 0.0428% 0.1970% 0.1969% 0.3861% 0.3868% 524288 0.0298% 0.0303% 0.1945% 0.1946% 0.3849% 0.3856% 1048576 0.0214% 0.0214% 0.1936% 0.1934% 0.3846% 0.3850% Tabelle 7: Standardabweichung der 1-jährigen Bestandsüberlebenswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Bestandgröße für σα = 0, 4% und 8%: Vergleich der Approximation nach (Gl. 35) und Schätzungen von Monte Carlo Simulationen. Die Ergebnisse der Proposition 4 und die obigen Modellrechnungen zeigen, dass in unserem Modell das idiosykratische Risiko nicht gesondert untersucht werden muss. Vielmehr können wir bei kleinen Beständen dieses Risiko durch eine entsprechende Anpassung des Risikoparameters α σ ausgleichen. Hierzu bestimmen wir für den zu unter-suchenden (kleinen) Bestand die Gesamtzahl L sowie die Strukturparameter g1 und g2 und berechnen den risikoadjustierte Parameter ˆ α σ gemäß 22 2 2 1 11 11 ˆ:1 g gL gL gL αα α σσ σ  = +− ≈ +   . (Gl. 36) 65 5.2 Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung in CBD-Modell Wenn die tatsächliche Sterbewahrscheinlichkeiten dem CBD-Modell nach (Gl. 9) und (Gl. 10) folgen bzw. durch diese Gleichungen gut angenähert werden können, so kann man sehr einfach auch Rechnungsgrundlagen mit Sicherheitszuschlägen ableiten. Betrachten wir den Ansatz ( ) 01 01 logit ( , ) ( ) ( )qxt t t x z αα ββ =+++ − , so können wir in nahe liegender Weise Sicherheitsabschläge einführen, indem wir 0 α durch 000 ˆ ααα ∆ = + und 1 α durch 111 ˆ ααα ∆ = + mit 01 0, 0 αα ∆∆ << ersetzen. Für ( ) 01 01 ˆˆ ˆ logit ( , ) ( ) ( )qxt t t x z αα ββ =+++ − betrachten nun das Verhältnis der Sterbewahrscheinlichkeiten 1. und 2. Ordnung ,01 ˆ(,) ( , ): (,) xt qxt fqxt αα ∆∆ = . Es gilt: ,, ,01 , 0 1 0 1 01 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) 1 ( ) ( , ) xt xt xt xt ff f f t pxt αα α α α α αα ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∂∂ ≈ + + =++ ∂∂ . Bemerkung: Für 00 : αβ ∆ = −∆ und 11 : αβ ∆ = −∆ ergibt sich ˆ(,) ( ,)qxt qx t= −∆ . Eine Altersverschiebung kann also im CBD-Modell durch eine Anpassung der Parameter exakt abgebildet werden. Das Instrument der Altersverschiebung wird auch angewendet, um aus einer Basistafel Projektionstafeln zu erstellen. Gilt für die Basistafel ( ) ( ) 1 12 ( ) 1 exp ( ) B px xz κκ − =+ +− und wählt man eine von t linear abhängige Altersverschiebung t t γ ∆= , so ergibt sich für die Projektionstafeln ( , ): ( ) Bt pxt p x= −∆ : ( ) ( ) 1 12 2 ( , ) 1 exp ( )pxt t x z κ κγ κ − =+ − +− . Kalibrierung des Sicherheitsabschlags 0 0 α ∆ < Wir kalibrieren die Parameter des Modells ( 0101 ,,, ααββ ) so, dass die hieraus abgeleiteten Überlebenswahrscheinlichkeiten als beste Schätzer der tatsächlichen Überlebenswahrscheinlichkeiten dienen können. Das Modell wird also ohne Sicherheitszuschläge auf die Überlebenswahrscheinlichkeiten (bzw. Sicherheitabschläge auf die Sterblichkeit) kalibriert. Wir bestimmen den Sicherheitsabschlag 0 α ∆ so, dass die (deterministischen) Überlebenswahrscheinlichkeiten 1. Ordnung ˆ(,)pxt „mit großer Wahrscheinlichkeit“ die 66 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds stochastischen Überlebenswahrscheinlichkeiten (,) pxt  nicht unterschreiten. Da ( ) 1 0 ˆ( , ) 1 exp( ) ( , )pxt g xt α − ∆ = + und ( ) 1 1 ( , ) 1 exp( ) ( , ) t pxt W gxt α σ + − ′ = +  gilt 10 ˆ (,) (,) / t pxt pxt W α ασ ∆ + ′ ≤ ⇔≥  . Daraus folgt: ( ) ( ) 0 ˆ ( , ) ( , ) für alle [0, 1] Min( , [0, ]) t pxt pxt t T W t T c α σ ′ ≤ ∈ −= ∈ ≥PP  . Für ein gegebenes Sicherheitsniveau von 1 δ − folgt somit 28 ( ) 11 00 2 Min( , [0, ]) 1 (1 ) t Wt T T αα ασ δ α σ δ ∆ ∆− ′∈ ≥ ≥ − ⇔ ≤− Φ −P , hierbei bezeichne 1− Φ die Inverse der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für 1 0.95 δ −= , T = 60 und 0.04 α σ = ergibt sich beispielsweise 00.6073 α ∆= − . Bemerkung: ( ) ( ) ( ) 1 ,0 1 0 ˆ 1 1 (,) ˆ(,) 1 ( ,0) (,) 1 exp( ) 1 ( , ) 1 1 (,) xt gxt qxt fqxt pxt gxt αα − ∆ −∆ −+ = = = + −− −+ ; der Sicherheitsabschlag ist also altersund trendabhängig. ABBILDUNG 23: Sicherheitabschläge auf die Sterbewahrscheinlichkeiten für die Alter x = 65 – 115 der Periodentafel für t = 0 und t = 10, hybrider Bestand, Sicherheitsniveau 1 95% δ −= bzw. 1 90% δ −= , T=60, 0.04 α σ = . 28 Für Verteilung von Min(Wt : 0 ≤ t ≤ T) bzw. Max(Wt : 0 ≤ t ≤ T) vgl. [Karatzas/ Shreve 1991] S. 96. 67 5.3 Stochastik der Deckungsrückstellung im CBD-Modell Wir betrachten die Zufallsvariable 1() () ( 1) v( 1) ln ln ( 1) v ( 1) tee Vt t YVt t +    ++ = =    ++    in Abhängigkeit von der Veränderung 1 :tt wW W ∆+ ′′ = − - vgl. Proposition 1, (Gl. 26). Proposition 5 Es gilt 1 1 0 v( 1) ( 1) ( , 1) ( , 1, 1) x t x xk k xz k dY t L t q t kt axt t dw ωω α σ − +−+ = = ∆  + =− + + + ++   ∑∑ . Beweis: () 1() () () ( , 1, 1) ( 1) ( , 1) ( , 1, ) ( 1) v( 1) exp( ) v ( 1) ( , 1, ) ( 1) ( , 1, ) ( 1) e xx xz xz teee xx xz xz axt t L t hxt axt t L t t Ytaxt t L t axt t L t ωω ωω = = + = = ++ + + + + + = = = +++ ++ ∑∑ ∑∑ mit () ( , 1, 1) ( 1) ( , 1) : ( , 1, ) ( 1) x e x axt t L t hxt axt t L t ++ + += ++ . Für xz = gilt () ( 1) ( 1) e zz Lt L t+= + und somit (,1,1) ( , 1) ( , 1, ) azt t hzt azt t ++ += + . Bemerkung: Für 1xz≥+ gilt: () ( , 1, 1) ( 1) ( 1, , 1) 1 ( , 1) ( , 1, ) ( 1) ( 1, , ) 1 x e x axt t L t ax tt hxt axt t L t ax tt + + + − +− += = + + −− . Für ,t tx z ′′ ≥≥ definieren wir ( , ): exp( ) ( , ) t gxt w gxt α σ ′′ ′ ′′ =  - vgl. (Gl. 3) - und wir setzen abkürzend 1 : exp( ( )) exp( ) tt X WW w αα σσ +∆ ′′ = −= . Dann gilt für xz> : 1 () 11 ( 1) ( , 1) 1 exp( ) ( 1, ) 1 ( 1, ) ( 1) (,) 1 exp( ) ( 1,) 1 ( 1,) xx t e xx t L t p tt w gx t gx t L t p tt w gx t Xgx t α α σ σ − −+ ′ + + + − +− = = = ′ + + − +−   , Für xz≥ gilt 00 00 ( 1, 1) ( , 1) ( 1, ) (,1,1) ( , 1, ) ( 1, ) ( 1, ) xx kk kx k kx kk xx kk kx kx kk e pt t fxt e pt t axt t axt t e pt t e pt t ωω µµ ωω µµ −− −− = = −− −− = = ++ + + ++ = = +++ ∑∑ ∑∑ 68 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds mit 1 0 (1,1) 1 ( ,1) ( , 1) : ( 1, ) 1 ( , 1 ) k kx k j kx p t t gx jt j f xt p t t Xgx jt j − =  + + + + ++ += =  + + + ++  ∏   , für k = 0 sei dabei 0 ( , 1) 1f xt+= . Setze für xz> : 11 11 ( , 1) ( 1, 1) ( , 1) ˆ( , 1) : ( , 1) (,) ( 1,) (,) x kx x kk x kx x p tt p t t p tt f xt f xt p tt p t t p tt −− −− + ++ + += = + + und für xz= : ˆ( , 1) : ( , 1) kk f zt f zt+= + . Dann erhält man für alle xz≥ die Darstellung: 00 0 ˆˆ ( , 1) ( 1, ) ( , 1) ( 1, ) ( , 1) ( , 1, ) ( 1, ) xx kk k kx k kx kk xk kx k f xt e p t t f xt e p t t hxt axt t e pt t ωω µµ ωµ −− −− = = −− = ++ ++ += = + + ∑∑ ∑ . Wir betrachten ( , 1) hxt+ als Funktion von w ∆ . Dann gilt für die Ableitung: 0 ˆ ( , 1) ( , 1) ( , 1, ) ( 1, ) xk k kx k dhxt d f xt axtt e ptt dw dw ωµ −− = ∆∆ ++ += + ∑ Für xz> gilt: ( ) ( ) 1 0 ˆ( , 1) ˆ( , 1) 1 1 ( 1 , ) k k k j df xt f xt Xgx jt j dw α σ − = ∆ +=− + − + −+ + ∑  und für xz= : ( ) ( ) 1 1 ˆ( , 1) ˆ( , 1) 1 1 ( 1 , ) k z z j df xt f xt Xgx jt j dw α σ − = ∆ +=− + − + −+ + ∑ . Begründung hierfür: ( ) ( ) ( ) ˆ ln ( , 1) ˆ( , 1) ˆˆ exp ln ( , 1) ( , 1) k k kk d f xt d f xt d f xt f xt dw dw dw ∆∆ ∆ + += += + 0 1(1, ) ˆ( , 1) ln 1 (1, ) k k j d gx jt j f xt dw X g x j t j = ∆   + −+ + = +   + −+ +   ∑   0 1(1, ) ˆ( , 1) ln 1 (1, ) k k j d gx jt j f xt dw X g x j t j =∆   + −+ + = +   + −+ +   ∑   ( ) 0 ˆ( , 1) ln 1 ( 1 , ) k k j d f xt Xgx jt j dw =∆  =− + + −+ +   ∑ 0 (1, ) ˆ( , 1) 1 (1, ) k k j Xgx jt j f xt Xgx jt j α σ =  −+ + =−+  + −+ +  ∑  ( ) ( ) 1 0 ˆ( , 1) 1 1 ( 1 , ) k k j f xt Xg x jt j α σ − = =− + − + −+ + ∑ . 69 Da ( ) 00 00 0 (,,) (,)exp ( ) x kz k aztt ptt k ω εµε − = = −− ∑ , 00 (, ) zk kz z Lptt k L += + und 1 0 0 0 () exp ( ) () k jj j rt k k rt µε µ δ − =  += − −+ −   ∑ ergibt sich schließlich ( ) 1 00 00 00 0 ( , ) exp ( ) ( , ) exp ( ) ( ) xz k kz kz k k G kk j ptt k ptt k k ωω µε µε µ δ µ −− − = = =  −−= + −−+ −−   ∑∑ ∑ (Gl. 37) Bei rechnungsmäßigem Verlauf der Sterblichkeit gilt 00 00 (,) (, ) kz kz ptt ptt k= + und 0 k δ = . Für die Bestimmungsgleichung von G µ gilt dann: () 1 00 00 0 00 ( , ) exp ( ) ( , ) exp ( ) ( ) x zk kz kz k G k kj ptt k ptt k ωω µε µε µ µ − −− = = =  −−= −−+ −   ∑ ∑∑ . G µ ist somit der gewogene Durchschnitt der Periodenrenditen. Bei einer gleichbleibenden Portfoliorendite kP µµ = gilt somit GP µµ = . Im allgemeinen Fall ist die Generationenrendite eine stochastische Größe, die von der Stochastik der Sterblichkeitsentwicklung und der Portfoliorendite abhängt. Bemerkung: 1. Die laufende Rentenanpassung beträgt 0 0 ( 1) : ln () k kk rt k rt k ε µ µεδ  ++ = = −+−  +  . Wählt man einen vergleichweise niedrigen Rechnungszins und/ oder vorsichtige biometrische Rechnungsgrundlagen (dann ist im Durchschnitt 0 k δ < ) zur Bestimmung der Tontinenrente, so führt das zu entsprechend niedrigeren anfänglichen Renten verbunden mit höheren Rentenanpassungen. Wählt man also bei der aktuariellen Tontine einen sehr niedrigen (im Extremfall sogar einen negativen) Rechnungszins und übervorsichtige biometrische Rechnungsgrundlagen, so bedeutet dies eine Umverteilung der Mittel auf die Überlebenden zu Lasten der früh Versterbenden. Im Extremfall wird dann die aktuarielle Tontine wie die konventionelle Tontine zu einer (Überlebens-) Lotterie. 2. Eine faire Verteilung zwischen den Generationen ist gegeben, wenn der Rechnungszins so festgesetzt wird, dass die erwartete Überrendite (Portfolioverzinsung abzüglich Rechnungszins) die Geldentwertung (Inflation) ausgleicht. Vorsichtige Annahmen 76 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds hinsichtlich der biometrischen Rechnungsgrundlagen sind jedenfalls bei der aktuariellen Tontine nicht erforderlich. 5.4.3 Rendite-Risiko-Profil einer Tontine Die Generationenrendite G µ ist eine stochastische Größe, die von der Sterblichkeitsentwickung und vom Kapitalmarktverlauf abhängt. Wie oben dargestellt, entspricht bei einem rechnungsmäßigen Verlauf die Generationenrendite genau der Portfoliorendite. Aufgrund der Schiefe der zugrundeliegenden Verteilungen bedeutet dies nicht, dass die erwartete Generationenrendite und die erwartete Portfoliorendite übereinstimmen. Wie die Simulationsrechnungen zeigen (s.u.) ist tatsächlich der Unterschied nicht vernachlässigbar. Wir betrachten zwei verschiedene Risikokonzepte für das Tontinengeschäft. Zum einen betrachten wir die Standardabweichung der Generationenrendite und zum anderen die Volatilität der Rentenzahlungen, genauer die Standardabweichung der Rentenanpassungen als Maßzahlen für das Rentenrisiko. Den Simulationsrechnungen liegt die Kalibrierung des Abschnitts 4.1 zugrunde, insbesondere unterstellen wir einen Rechnungszins von 0.02 µ = und eine von der Risikoexposition σ abhängige erwartete Portfoliorendite von 2 1 2 ( ) 0.02 0.25 P µσ σ σ =+− . Die tatsächlichen Portfoliorenditen k µ sind stochastisch und lassen sich in unserem Kapitalmarktmodell (Abschnitt 2.3) wie folgt darstellen: 2 1 1 2 () k M kk r ww µ µσ σ σ + =+−+ − für 0, ..., 1kz ω = −− , wobei 0 12 ( 0, , , ...)w ww= eine Realisation von ( ) 0,1, 2, ..... tt W= ist. Das CBD-Modell kalibrieren wir mit den Parametern für einen gemischten (hybriden) Bestand – vgl. Tabelle 1; insbesondere unterstellen wir einen Sterblichkeitstrend (Variante 1). Wir betrachten die Sparergeneration 0 () G Gt= , die zum Zeitpunkt 010t= im Alter 65 in den Rentenbezug eintritt. Da wir das CBD-Modell nach den Richttafeln 2005G kalibriert haben, entspricht dies einem Renteneintritt im Jahre 2015. Für eine Rente in Höhe von 1 beträgt die Einmalprämie 00 ( , , ) (65,10,10) 17.146404azt t a= = . Die folgenden Tabellen 8 und 9 fassen die Auswertungen der Simulationsläufe zusammen, Tabelle 8 enthält die Ergebnisse für eine determinstische Sterblichkeitsentwick77 lung, Tabelle 9 für den Fall 0.04 α σ = . Die Standardabweichung der Generationenrendite steigt proportional zur Risikoexposition, während die Volatilität der Rentenanpassung überproportional steigt - vgl. Abb. 24. Die Tabellen zeigen aber auch, dass sich Risiko lohnt, da die mittleren Generationenrendite ebenfalls proportional mit der Risikoexposition ansteigen, allerdings steigt auch die Wahrscheinlichkeit, dass die Generationenrendite niedriger ausfällt als der Rechnungszins. Risiko P σ Mittelw G µ Stabw G µ Wkeit G µµ < Quantile G µ Vola ε -Pfade 1% 5% 10% 50% 0.00 2.00% 0.00% 100.00% 2.00% 2.00% 2.00% 2.00% 0.00% 0.02 2.49% 0.46% 14.50% 1.42% 1.73% 1.90% 2.49% 1.99% 0.04 2.94% 0.93% 15.42% 0.79% 1.41% 1.75% 2.93% 3.98% 0.06 3.38% 1.39% 15.96% 0.21% 1.12% 1.61% 3.37% 5.97% 0.08 3.78% 1.85% 16.85% -0.41% 0.76% 1.42% 3.76% 7.96% 0.10 4.17% 2.32% 17.37% -1.11% 0.42% 1.24% 4.14% 9.95% 0.12 4.49% 2.80% 18.95% -1.81% -0.04% 0.92% 4.45% 11.94% 0.14 4.83% 3.25% 19.29% -2.46% -0.44% 0.70% 4.78% 13.92% 0.16 5.12% 3.70% 20.32% -3.22% -0.85% 0.42% 5.06% 15.92% 0.18 5.42% 4.20% 21.11% -3.86% -1.30% 0.12% 5.30% 17.90% 0.20 5.61% 4.66% 22.18% -4.74% -1.89% -0.31% 5.50% 19.88% Tabelle 8: Auswertung zum Risiko-Rendite-Profil der Generationenrendite ohne stochastischer Sterblichkeitsentwicklung ( 0 α σ = ); jeweils 50 000 Simulationen. 78 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Risiko P σ Mittelw G µ Stabw G µ Wkeit G µµ < Quantile G µ Vola ε -Pfade 1% 5% 10% 50% 0.00 2.00% 0.02% 48.03% 1.96% 1.97% 1.98% 2.00% 2.62% 0.02 2.49% 0.46% 14.45% 1.42% 1.73% 1.90% 2.49% 3.29% 0.04 2.95% 0.93% 15.17% 0.81% 1.44% 1.77% 2.95% 4.77% 0.06 3.38% 1.39% 15.93% 0.21% 1.10% 1.60% 3.37% 6.52% 0.08 3.80% 1.86% 16.79% -0.41% 0.79% 1.44% 3.77% 8.38% 0.10 4.16% 2.32% 17.59% -1.07% 0.40% 1.20% 4.13% 10.29% 0.12 4.49% 2.79% 18.80% -1.78% -0.01% 0.95% 4.45% 12.23% 0.14 4.82% 3.27% 19.57% -2.59% -0.41% 0.70% 4.77% 14.18% 0.16 5.13% 3.74% 20.00% -3.31% -0.88% 0.39% 5.04% 16.12% 0.18 5.42% 4.21% 21.00% -3.93% -1.33% 0.11% 5.31% 18.10% 0.20 5.64% 4.69% 22.03% -4.81% -1.88% -0.28% 5.53% 20.07% Tabelle 9: Auswertung zum Risiko-Rendite-Profil der Generationenrendite mit stochastischer Sterblichkeitsentwicklung ( 0.04 α σ = ); jeweils 50 000 Simulationen. ABBILDUNG 24: Die Standardabweichung der Generationenrendite und die Volatilität der Rentenanpassung in Abhängigkeit von der Risikoexposition der Kapitalanlagen; stochastischer Sterblichkeitsentwicklung ( 0.04 α σ = ); jeweils 10 000 Simulationen. 79 Zur Darstellung des Rendite-Risiko Profils wählen wir als Maßzahl zum einen die Standardabweichung der Generationenrenditen (Abb. 25) und zum anderen die Volatilität der Rentenanpassungen (Abb. 26). ABBILDUNG 25: Rendite-Risiko-Profil: Mittlere Generationenrendite in Abhängigkeit von der Standardabw. der Generationenrendite; mit und ohne stochastischer Sterblichkeitsentwicklung ( 0 . 0.04bzw αα σσ = = ); jeweils 10 000 Simulationen. ABBILDUNG 26: Rendite-Risiko-Profil: Mittlere Generationenrendite in Abhängigkeit von der Volatilität der Rentenanpassung; mit und ohne stochastischer Sterblichkeitsentwicklung ( 0 . 0.04bzw αα σσ = = ); jeweils 10 000 Simulationen. 80 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds Bemerkungen 1. Es fällt auf, dass die Mittelwerte der beobachteten Generationenrenditen systematisch größer sind als die erwarteten Portfoliorenditen. So beträgt die erwartete Portfoliorendite für eine Risikoexposition von 0.2 σ = 2 1 25.00% PM r µ µσ σ =+−= , während wir eine mittlere Generationenrendite von () 5.56% g µ = beobachten. Um dies zu verstehen betrachten wir das Modell ohne stochastische Sterblichkeit, also 0 α σ = . Setzen wir dann 00 : (,) k k kz A ptt e µ − = für 0,1, ..., kz ω = − , so ist die Generationenrendite die implizit definierte Zufallsvariable ()g µ , für die gilt: ( ) () 00 exp ( ) zz k k k gP kk A A Wk ωω σ µµ −− = = = −− ∑∑ . (Gl. 38) Das zeitstetige Analagon zu (Gl. 35) kann man wie folgt beschreiben: Für eine nichtnegative stetige Funktion :[0, ]fT + → sei (,)XX T σ = die (eindeutig bestimmte) Zufallsvariable, für die gilt: ( ) 00 () ()exp TT tT f t dt f t W X t dt σ = − ∫∫ . (Gl. 39) Selbst im einfachsten Fall () 1 ft≡ waren wir nicht in der Lage den Erwartungswert der Zufallsvariable X zu bestimmen. Da ( ) ( ) 2 1 20 exp tt Wt σσ ≥ − ein Martingal ist mit ( ) ( ) 2 1 2 exp 1 t Wt σσ −=E , liegt es nahe ( ) 2 (,)X T const σσ ≈⋅E zu schätzen. Monte Carlo-Simulationen zeigen, dass ( ) 2 ( ,1) 0.11X σσ ≈E . Aus der Skalierungseigenschaft des Wiener-Prozesses folgt ( ) ( ) 1 ( , ) ( ,1) XT X T T σσ =EE . Aus ( ) 2 ( ,1)Xc σσ =E für ein 0c> folgt somit ( ) ( ) (,) (,1)XT X σσ =EE (Zeitinvarianz); umgekehrt folgt aus der Zeitinvarianz dass ( ) 2 ( ,1)Xc σσ = E für ein 0c> . 2. Führend wir die Berechnungen ohne Sterblichkeitstrend (Variante 0), so ergeben sich keine erkennbaren Unterschiede zu den in den Tabellen 3 und 4 dargestellten Ergebnissen. Wenn ein Sterblichkeitstrend unterstellt wird, so ist zwar die anfängliche Einmalprämie der Rentnergeneration höher, allerdings erhält die entsprechende Generation aufgrund der höheren Lebenserwartung auch insgesamt höhere Leistungen. 81 Literatur [Borodin/ Salminen 2002] Borodin, Andrei N., Salminen, Paavo: Handbook of Brownian Motion – Facts an Formulae, 2. Auflage, Birkhäuser Verlag, Basel Bosten Berlin 2002. [Cairns e.a. 2006] Cairns, A. J. G., D. Blake and K. Dowd: A Two-Factor Model for Stochastic Mortality with Parameter Uncertainty: Theory and Calibration, The Journal of Risk and Insurance, 73, (2006), 687-718. [Cairns e.a. 2009] Cairns, A. J. G., D. Blake, K. Dowd, G. D. Coughlan, D. Epstein, A. Ong and I. Balevich: A Quantitative Comparison of Stochastic Mortality Models Using Data from England & Wales and the United States, North American Actuarial Journal, 13, (2009), 1-35. [Cairns e.a. 2011] Cairns, A.J.G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G.D., Epstein, D., & Khalaf-Allah, M. Mortality density forecasts: An analysis of six stochastic mortality models. Insurance: Mathematics and Economics 48(2011), 355-367. [Cairns 2013] Cairns, A.J.G., Modelling and Management of Longevity Risk, Pension Research Council Working Paper, PRC WP2013-19. DOI: http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2337154 (Download 04.02.2014) [Farniy 2011] Farny, Dieter: Versicherungsbetriebslehre, 5. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 2011. [Goecke 2011] Goecke. Oskar: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich; Institut für Versicherungswesen. Forschungsstelle FaRis. Working Paper 01/2011. DOI: http://opus.bsz-bw.de/fhk/volltexte/2012/3/. [Goecke 2012] Goecke. Oskar: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationsrechnungen; Institut für Versicherungswesen. Forschungsstelle FaRis. Working Paper 05/2012. DOI: http://opus.bsz-bw.de/fhk/volltexte/2012/12/. [Goecke 2013a] Goecke. Oskar: Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Backtesting; Institut für Versicherungswesen. Forschungsstelle FaRis. Working Paper 07/2013. DOI: http://opus.bsz-bw.de/fhk/volltexte/2013/42/. [Goecke 2013b] Goecke. Oskar: Pension saving schemes with return smoothing mechanism; Insurance: Mathematics and Economics 53 (2013), S. 678-689. [Heubeck e.a. 2006] Heubeck, Klaus; Herrmann, Richard; D’Souza, Gabriele: Die Richttafeln 2005 G – Modell, Herleitung, Formeln, Blätter der DGVFM, Band XXVII, Heft 3, April 2006, S. 473-517. [Human Mortality Database] Human Mortality Database. University of California, Berkeley (USA), and Max Planck Institute for Demographic Research (Germany). Available at www.mortality.org or www.humanmortality.de (Download 06.02.2014). [Jamshidian 2004] Jamshidian, F.: Valuation of credit default swaps and swations, Finance and Stochastics 8 (2004), pp. 343-371. [Karatzas/ Shreve 1991] Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E.:Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd edition, New YorkBerlinHeidelberg 1991. 82 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds [McKeever 2010] McKeever, Kent: A Short History of Tontines, Fordham Journal of Corporate & Financial Law, Vol XV (2010), pp. 491-521. [OECD 2013] OECD (Hrsg), Pension at a Glance 2013: OECD and G20 Indicators, OECD Publishing, Paris. DOI: http://dx.doi.org/10.1787/pension_glance-2013-en. [OECD 2014] OECD (Hrsg), OECD Pensions Outlook 2014, OECD Publishing, Paris. DOI: http://dx.doi.org/10.1787/9789264222687-en. [Plat 2009] Plat, Richard: On stochastic mortality modeling, Insurance: Mathematics and Economics 45 (2009), 393-404. [Schrager 2006] Schrager, David F.: Affine stochastic mortality, Insurance: Mathematics and Economics 38 (2006), pp. 81-97 () [Takáts 2010] Takáts, Elöd: Ageing and asset prices, Bank for International Settlement Working Paper No 318, August 2010, DOI: http://ssrn.com/abstract=1672638. 83 Abbildungsund Tabellenverzeichnis ABBILDUNG 1: STILISIERTE BILANZ DES PENSIONSFONDS 4 ABBILDUNG 2: CBD-MODELL, LOGIT(QX) FÜR DIE BASISTAFEL DER RICHTTAFEL HEUBECK 2005G UND DIE PROJIZIERTE PERIODENTAFEL 2055 (RENTENBESTAND, ALTER 65-114) FÜR MÄNNER (RECHTS) UND FRAUEN, SOWIE JEWEILS DIE LINEAREN APPROXIMATIONEN. 10 ABBILDUNG 3: PARAMETER 12 (), ()tt κκ ′′ FÜR {0,1, ..., 50}t∈ , T = 0 ENTSPRICHT DABEI DEM BASISJAHR 2005, T = 50 ENTSPRICHT DEM PROJEKTIONSJAHR 2055. 12 ABBILDUNG 4: VERGLEICH DER PERIODENSTERBETAFELN HEUBECK 2005G UND CBDMODELL FÜR DAS BASISJAHR 2005 UND FÜR DAS PROJEKTIONSJAHR 2055, JEWEILS FÜR MÄNNER UND FRAUEN. 13 ABBILDUNG 5: MITTLEREN FERNEREN LEBENSERWARTUNG 65-JÄHRIGER MÄNNER (LINKS) BZW. FRAUEN (RECHTS) IN ABHÄNGIGKEIT VOM GEBURTSJAHR, VERGLEICH CBD-MODELL UND RICHTTAFELN 2005G, SOWIE DIE 1% UND 99%-QUANTILE FÜR DAS CBD-MODELL ( 0.04 α σ = ). 18 ABBILDUNG 6: STRUKTUR DES ANFANGSBESTANDES BESTANDXL 19 ABBILDUNG 7: SIMULATION DER BESTANDSENTWICKLUNG (EINSCHL. NEUZUGANG) FÜR 60 JAHRE FÜR EINEN GROßEN, MITTLEREN UND KLEINEN BESTAND BEI VERSCHIEDENEN σα -NIVEAUS. DIE GEBROCHENE LINIE ZEIGT JEWEILS DIE DETERMINISTISCHE HOCHRECHNUNG DES BESTANDES, WENN MAN DIE RECHNUNGSGRUNDLAGEN DER RICHTTAFELN 2005G ZUGRUNDE LEGT. 21 ABBILDUNG 8: ENTWICKUNG DES NEUZUGANGS FÜR DIE SZENARIEN 0-4. 36 ABBILDUNG 9: ENTWICKUNG GESAMTZAHL DER RENTNER FÜR DIE SZENARIEN 0-4 UND DIE VARIANTE 0 UND 1 BEI DETERMINISTISCHER STERBLICHKEITSENTWICKLUNG ( 0 α σ = ). 37 ABBILDUNG 10: ENTWICKLUNG DER STRUKTURPARAMETER ,, ttt ν λξ FÜR T = 1,…,T FÜR TRENDUNABHÄNGIGE (VARIANTE 0: LINKS) UND TRENDABHÄNGIGE ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN (VARIANTE 1: RECHTS) FÜR DIE SZENARIEN 0-4 IM DETERMINISTISCHEN MODELL ( 0 α σ = ). 38 ABBILDUNG 11: ENTWICKLUNG VON t θ FÜR T = 0,…,T-1 FÜR DIE SZENARIEN 0-4 FÜR TRENDUNABHÄNGIGE (VARIANTE 0: OBEN) UND TRENDABHÄNGIGE ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN (VARIANTE 1: UNTEN); HIERBEI WURDE 0.2 Ziel ρ = UND exp( ) Ziel f ρ = UNTERSTELLT. 39 ABBILDUNG 12: ENTWICKLUNG DER GENERATIONENRENDITE IM PENSIONSFONDS (KOLLEKTIVES MODELL) IM DETERMINISTISCHEN FALL FÜR DIE SZENARIEN 0-4 FÜR TRENDUNABHÄNGIGE (VARIANTE 0: OBEN) UND TRENDABHÄNGIGE ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN (VARIANTE 1: UNTEN); HIERBEI WURDE 0.02, 0.2 P Ziel µµ ρ = = = UND exp( ) Ziel f ρ = UNTERSTELLT. 42 84 Goecke: Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds ABBILDUNG 13: BESTANDENTWICKLUNG (GESAMTZAHL DER RENTNER): DARGESTELLT SIND DIE 1%, 5%, 10%, 50%, 90%, 95% UND 99%-QUANTILE FÜR 60 JAHRE BEI GLEICHBLEIBENDEM NEUZUGANG (SZENARIO 0) FÜR TRENDUNABHÄNGIGE (VARIANTE 0: LINKS) UND TRENDABHÄNGIGE ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN (VARIANTE 1: RECHTS) BEZOGEN AUF DEN ANFANGSBESTAND BESTAND XL. DIE BERECHNUNGEN ERFOLGTE AUF GRUNDLAGE VON 10 000 SIMLATIONSLÄUFEN MIT 0.04 α σ = . 44 ABBILDUNG 14: ERFORDERLICHE RESERVEQUOTE (0) Ziel ρρ = IN ABHÄNGIGKEIT VON DER ANPASSUNGSGESCHWINDIGKEIT α BEI EINEM SICHERHEITSNIVEAU VON 0.5%, 1% BZW. 5% IM BASISSZENARIO (SZENARIO 0/ VARIANTE 1). DEN BERECHNUNGEN ERFOLGEN AUF GRUNDLAGE VON 50 000 SIMLATIONSLÄUFEN. 45 ABBILDUNG 15: STANDARDABWEICHUNG DER RENTENANPASSUNGEN IN ABHÄNGIGKEIT VON DER ANPASSUNGSGESCHWINDIGKEIT α FÜR VERSCHIEDENE RESERVENIVEAUS (0) Ziel ρρ = BEI TRENDABHÄNGIGEN ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN (VARIANTE 1). BERECHNUNG ERFOLGTE AUF GRUNDLAGE VON 10 000 SIMLATIONSLÄUFEN. 46 ABBILDUNG 16: ERFORDERLICHE RESERVEQUOTE (0) Ziel ρρ = IN ABHÄNGIGKEIT VON DER ANPASSUNGSGESCHWINDIGKEIT α BEI EINEM SICHERHEITSNIVEAU VON 0.5%, 1% BZW. 5% FÜR {0.02, 0.05, 0.08} Ziel σ ∈ . BERECHNUNG ERFOLGT AUF GRUNDLAGE VON JEWEILS 50 000 SIMLATIONSLÄUFEN. SIEHE AUCH TABELLE 6. 51 ABBILDUNG 17: VERGLEICH DER MITTLEREN GENERATIONENRENDITEN FÜR DAS TONTINEMODELL UND DEN PENSIONSFONDS IN ABHÄNGIGKEIT VON DER RISIKOEXPOSITION. FÜR DEN RENTENFONDS WURDE 0.2 Ziel ρ = UND 0.20 . 0.15bzw αα = = UNTERSTELLT. 55 ABBILDUNG 18: VERGLEICH DER VOLATILITÄT DER RENTENANPASSUNGEN FÜR DAS TONTINEMODELL UND DEM PENSIONSFONDS IN ABHÄNGIGKEIT VON DER RISIKOEXPOSITION. FÜR DEN RENTENFONDS WURDE 0.2 Ziel ρ = UND 0.20 . 0.15bzw αα = = UNTERSTELLT. 56 ABBILDUNG 19: WAHRSCHEINLICHKEIT EINER RENTENKÜRZUNG, EINER RENTENKÜRZUNG UM MEHR ALS 2% BZW. UM MEHR ALS 4% IN ABHÄNGIGKEIT VON DER RISIKOEXPOSITION. FÜR DEN PENSIONSFONDS WURDE 0.2 Ziel ρ = UND 0.20 α = BZW. 0.15 α = UNTERSTELLT. 57 ABBILDUNG 20: RENDITE-RISIKO PROFILE 1. DURCHSCHNITTLICHE GENERATIONENRENDITE IN RELATION ZUR STANDARDABWEICHUNG DER GENERATIONENRENDITE. 58 ABBILDUNG 21: RENDITE-RISIKO PROFILE 2. DURCHSCHNITTLICHE GENERATIONENRENDITE IN RELATION ZUR VOLATILITÄT DER RENTENANPASSUNGEN. 59 ABBILDUNG 22: STANDARDABWEICHUNG DER 1-JÄHRIGEN BESTANDSÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEIT IN ABHÄNGIGKEIT VON DER 85