Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette

Forschung am IVW Köln, 6/2013 Institut für Versicherungswesen Konstruktion einer unterjährlichen Markov-Kette aus einer jährlichen Markov-Kette Ralf Knobloch Zusammenfassung In den Wirtschaftswissenschaften liegen die für Bewertungen benötigten Daten normalerweise als Jahreswerte vor, z.B. Zinssätze oder Sterblichkeiten in der Finanz - und Versicherungsmathematik. Darauf aufbauend lassen sich Markov - Ketten mit einem jährlichen Zeitraster konstruieren. Zu bewertende Zahlungen hingegen erfolgen meist unte rjährlich. Der vorliegende Artikel beschäftigt sich mit der Frage, wie aus einer Markov -Kette mit jährlichem Zeitraster, eine Markov-Kette mit unterjährlichem Zeitraster konstruiert werden kann. Dabei stehen Markov - Ketten, deren Übergangsmatrizen als ober e Dreiecks matrizen gegeben sind, im Mittelpunkt des Interesses. Es werden zwei Ansätze und deren Anwendung dargestellt. Der erste Ansatz basiert auf der T -ten Wurzel der Übergangsmatrizen, der zweite Ansatz auf einer Linearisierung der Übergangsmatrizen. Abstract In economics the used data for evaluation are normally given for a full year, e.g. interest rates or probabilities for death in finance and insurance. Based on this data, Markov chains with annual time periods can be designed. However, the payments are allocated during the year. The present paper engages with the question, how a Markov chain with periods less than a year can be designed from a given Markov chain with annual time periods. In the centre of attention are Markov chains whose ma trices of transition probabilities are given by upper triangle matrices. In this paper, two approaches and their applications will be presented. The first approach is based on the Tth root of the transition probability matrices, the second one on a lineari zation of the transition probability matrices. - 1 - Inhaltsverzeichnis 1.EINLEITUNG .............................................................................................................................................. 2 2.DAS JÄHRLICHE MODELL ........................................................................................................................ 3 3.STOCHASTISCHE MATRIZEN ................................................................................................................... 3 4.STOCHASTISCHE OBERE DREIECKSMATRIZEN ..................................................................................... 6 5.KONSTRUKTION EINES UNTERJÄHRLICHEN MODELLS ...................................................................... 14 6.ANWENDUNGSBEISPIEL: PERSONENVERSICHERUNGSMATHEMATIK ............................................. 18 7.ANWENDUNGSBEISPIEL: FORDERUNGSAUSFALL .............................................................................. 21 8.AUSBLICK ............................................................................................................................................... 22 9.ANHANG: KONSTRUKTION EINER MARKOV-KETTE AUS EINER ABZÄHLBAREN MENGE VON STOCHASTISCHEN MATRIZEN ........................................................................................................................ 24 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................ 27 - 2 - 1. Einleitung In den Wirtschaftswissenschaften basieren Berechnungen i.d.R. auf jährlichen Betrachtungen: Bilanzen von Unternehmen werden jährlich erstellt, volkswirtschaftliche Kennzahlen auf Jahresbasis ermittelt. Auch in der Finanzmathematik dominiert die jährliche Sichtweise. So ist die jährliche Verzinsung mit Zinseszins das wichtigste Zinsmodell. Alle anderen Modelle bauen darauf auf oder werden daran mithilfe des Effektivzinses gemessen. Im Bereich der Versicherungsmathematik ist es ähnlich. So werden in der Personenversicherungsmathematik zur Tarifkalkulation und zur Reserveberechnung neben einem Zinsmodell biometrische Rechnungsgrundlagen, z.B. Invalidisierungsund Sterbewahrscheinlichkeiten, benötigt. Diese biometrischen Rechnungsgrundlagen basieren ebenfalls auf jährlichen Beobachtungen. Im Unterschied dazu liegen in der Praxis bei finanzund versicherungsmathematischen Berechnungen oft unterjährliche Sachverhalte zugrunde. So werden z.B. Kredite unterjährlich bedient und Lebensversicherungen unterjährlich angespart bzw. bei Rentenzahlung unterjährlich ausgezahlt. Daher benötigt man sowohl bei den Zinsmodellen als auch bei den biometrischen Rechnungsgrundlagen unterjährliche Ansätze. Bei der Zinsrechnung führt dies zu dem relativen und zu dem konformen Zinssatz (vgl. [1] S.20ff). In der Personenversicherungsmathematik wird der unterjährlichen Zahlweise durch versicherungstechnische Approximationen, z.B. durch die Verwendung des Restglieds (vgl. [10], [11]) oder durch die Anwendung des Invarianzsatzes (vgl. [12]), Rechnung getragen. In [6] und [7] wird gezeigt wie bei risikobehafteten Zahlungsströme, z.B. in der Personenversicherungsmathematik, gedächtnislose Modelle bzw. Markov-Ketten zur Bewertung eingesetzt werden können. Aber auch hier ergibt sich das Problem, dass die Ausgangsmodelle auf jährlichen Beobachtungen beruhen, d.h. es handelt sich um MarkovKetten mit einem jährlichen Zeitraster, die zu bewertenden Zahlungsströme hingegen meist eine unterjährliche Zahlweise haben. In [8] wird untersucht, wie sich dies bei bestimmten Annahmen über die unterjährlichen Zinsen und die unterjährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten auf die Bewertungsformeln auswirkt. In diesem Zusammenhang (vgl. [8] S. 8) stellt sich die grundsätzliche Frage, wie aus einer gegebenen jährlichen Markov-Kette eine unterjährliche Markov-Kette konstruiert werden kann. Das in dieser Arbeit dargestellte Konstruktionsprinzip wird als eine Anwendung des Satzes von Kolmogorov aufgebaut (vgl. [3] S.257ff). Dabei stehen Markov-Ketten, deren Übergangsmatrizen obere Dreiecksmatrizen sind, im Mittelpunkt des Interesses. Durch die Modellierung mit oberen Dreiecksmatrizen ergibt sich eine strenge Hierarchie der Zustände, d.h. wenn die Möglichkeit des Übergangs von Zustand i nach Zustand j mit - 3 - positiver Wahrscheinlichkeit gegeben ist, so hat die umgekehrte Richtung (Übergang von Zustand j nach Zustand i) die Wahrscheinlichkeit 0. Solche Modelle werden insbesondere in der Personenversicherungsmathematik angewendet. 2. Das jährliche Modell Zunächst wird das jährliche Modell wie folgt definiert. Es sei   0 INk k X eine inhomogene Markov-Kette mit Zustandsraum   N,...,2,1,0S  . Die Übergangswahrscheinlichkeiten seien gegeben durch die stochastischen (N+1)x(N+1)-Matrizen bzw. die Übergangsmatrizen     ,...3,2,1k, kq)k(Q j,i   , d.h.  )k(qiXjXP j,i1kk   für alle   N,...,2,1,0j,i  . Ferner sei k P die Verteilung der Zufallsvariablen k X, ,...2,1,0k  . Mit der ChapmanKolmogorov-Gleichung für Markov-Ketten (vgl. [9] S.14, [13] S.185f) ergibt sich für ,...2,1,0k     k 1j 0k )j(QPP . (vgl. [6] S.3). D.h. die Verteilung k P ergibt sich durch Multiplikation der Anfangsverteilung 0 P mit dem Produkt der Übergangsmatrizen. 3. Stochastische Matrizen Bevor wir uns mit der Konstruktion der unterjährlichen Markov-Kette beschäftigen können, müssen einige Ergebnisse über stochastische Matrizen bereitgestellt werden. Eine quadratische nn-Matrix   ij aA  heißt stochastische Matrix, wenn 1. alle Einträge der Matrix größer oder gleich 0 sind, d.h. 0aij  für alle  n,,2,1j,i , und - 4 - 2. die Zeilensummen 1sind, d.h. 1a n 1j ij    für alle   n,,2,1i   . (vgl. [2] S.1 ) Es sei n M die Menge aller nn-Matrizen mit Zeilensummen gleich 1. Es sei n D die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen aus n M, d.h. die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen mit Zeilensumme gleich 1. Ferner sei n S die Menge aller stochastischen nn  - Matrizen. Satz 1: Es seien n MB,A . Es gilt: a) n MBA  b) n 1MA0)Adet(   c) n 1MBA0)Adet(   Beweis: a) Es sei BA:C  . Dann gilt für alle  n,,1i   :  11abababac n 1k ik n 1k n 1j kjik n 1k n 1j kjik n 1j n 1k kjik n 1j ij           (vgl. [2] S.2) b) Da die Determinante der Matrix A ungleich 0 ist, existiert deren Inverse 1 A. Es sei 1 A:C   und Edie Einheitsmatrix. Mit dieser Notation hat man EAC  . Dann gilt für alle  n,,1i :            n 1k ik n 1k ik n 1k n 1j kjik n 1k n 1j kjik n 1j n 1k kjik n 1j ij c1cacacace1 c) 0)Adet( , N 1 )a N 1 )b NMBAMB,AMB,A   □ - 5 - Da sowohl das Produkt zweier oberer Dreiecksmatrizen als auch die Inverse einer oberen Dreiecksmatrix mit Determinante ungleich 0wieder eine obere Dreieckmatrix ist und n D eine Teilmenge von n M ist, gelten für n Ddie gleichen Aussagen wie für n M . Satz 2: Es seien n DB,A . Es gilt: a) n DBA  b) n 1DA0)Adet(   c) n 1DBA0)Adet(   Wie das folgende Beispiel zeigt, gelten für n S nicht alle diese Aussagen. Beispiel 1: Es sei 2 SA gegeben durch         10 2 1 2 1 A. Dann gilt           10 12 A1 , d.h. 2 1SA  . Es sei ferner 2 SB gegeben durch         10 4 1 4 3 B. Als Produkt der inversen Matrix von A mit B ergibt sich: 2 1S 10 2 1 2 3 10 4 1 4 3 10 12 BA                             . Es gilt somit lediglich die folgende Aussage. Satz 3: nn SBASB,A  Beweis: Wegen nn MS  und der Aussage aus Satz 1a) reicht es zu zeigen, dass alle Einträge des Matrizenprodukts größer oder gleich 0sind. Es sei BA:C  . Für alle  n,,2,1j,i  gilt: 0bac n 1k kjikij    (vgl. [2] S.2). □ - 6 - 4. Stochastische obere Dreiecksmatrizen In der Praxis werden häufig jährliche Markov-Ketten verwendet, bei denen die Übergangsmatrizen als obere Dreiecksmatrizen geschrieben werden können. D.h. es handelt sich um Elemente der Schnittmenge nn SD . Durch die Verwendung von oberen Dreiecksmatrizen bei der Modellierung ergibt sich - wie in der Einleitung erwähnt - eine strenge Hierarchie der Zustände. Im Folgenden werden daher mit Blick auf das im nächsten Abschnitt verwendete Konstruktionsprinzip Beispiele behandelt, in denen sich ein gegebenes Elemente aus nn SD  als Produkt von mehreren Elementen aus nn SD  schreiben lässt. Wir betrachten die folgende Ausgangssituation: Gegeben sei eine stochastische obere Dreiecksmatrix Q, d.h. nn SDQ  . Es sei INT  . Ein triviales Produkt mit T Faktoren erhält man mittels der Einheitsmatrix E durch QEEEQ mal 1T      . Selbstverständlich ist auch jedes andere Produkt, in dem 1T  -mal der Faktor E und einmal der Faktor Q vorkommt, als triviale Zerlegung geeignet. Zur Konstruktion von nichttrivialen Zerlegungen versuchen wir als naheliegende Möglichkeit zunächst die T-te Wurzel aus Q zu ziehen, d.h. eine Matrix nnT SDQ   mit der Eigenschaft  mal T TTT QQQQ     zu finden. Das folgende Beispiel zeigt, dass dies für 2n  immer möglich ist. Beispiel 2: 22 SDQ  sei gegeben durch         10 aa1 Q. Die Matrix 22T SDQ  sei gegeben durch - 7 -         10 a11a1 QTT T. Zum Beweis der Gleichung  QQ T T benötigen wir das folgende Lemma. Lemma 1: Für INk  gilt:                  10 1 10 1kk k . Beweis: Der Beweis wird mit Induktion nach k geführt. 1k : Hier ist die Aussage trivialerweise erfüllt. 1kk  :                                                                   10 1 10 11 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1k1kkk1k kk k1k □ Setze Ta1 und Tk . Damit ergibt sich      Q 10 a11a1 10 a11a1 Q T T T T T TT T T                    . Für 3n  ist die Konstruktion der T-ten Wurzel nicht ganz so einfach, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 3: Es sei 2T . Die Matrix 33 SDQ  sei gegeben durch 100 cc10 baba1 Q                mit 0c)-(1b)-a-(1  . Es sei ferner - 14 -              12800 32960 33596 128 1 )T,1s(UT,sU 1 Als Fazit lässt sich festhalten, das bei 3x3-Matrizen für 1T,,1,0s    das Produkt  )T,1s(UT,sU 1 genau dann eine stochastische Matrix ist, wenn csT acs b   . 5. Konstruktion eines unterjährlichen Modells Das zentrale Ergebnis zur Konstruktion der unterjährlichen Markov-Kette ist der Satz von Kolmogorov ([3] S.257ff). Dieser Satz besagt, dass zu jedem vorgegebenen System von verträglichen endlich-dimensionalen Randverteilungen ein stochastischer Prozess existiert und das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig ist. Im Anhang wird dargestellt, wie mit diesem Ergebnis aus einer vorgegebenen abzählbaren Menge von stochastischen Matrizen eine Markov-Kette konstruiert werden kann. Daher reicht es zur Konstruktion des unterjährlichen Modells, ausgehend vom jährlichen Modell eine dem unterjährlichen Zeitraster entsprechende abzählbare Menge von stochastischen Matrizen zu definieren. Man erhält das folgende Ergebnis. Satz 4: Es sei INT. Für alle INk gebe es T stochastische Matrizen )k,T(R,),k,2(R),k,1(R  mit   T 1s )k,s(R)k(Q . Dann existiert eine unterjährliche Markov-Kette  ,Y,Y,Y,,Y,Y,Y,,Y,Y,Y T 1 2 2 T )1T( 1 T 1 1 1 T )1T( T 2 T 10      mit der Anfangsverteilung 0 P und den Übergangsmatrizen      ,3,2,1,0k,T,,1s, 1k,sr)1k,s(R j,i     , - 15 - d.h. )1k,s(riXjYP j,i T 1 T s k T s k          für alle   N,...,2,1,0j,i  . Beweis: Definiere eine abzählbare Menge von (N+1)x(N+1)-Matrizen durch  ,3,2,1,0k,T,,1s , )1k,s(R: T s k       und eine Anfangsverteilung auf dem Zustandsraum S durch 00 P:   . Da alle Matrizen T s k  stochastische Matrizen sind, folgt die Behauptung aus der Anwendung des Satzes von Kolmogorov (vgl. Anhang). □ Die folgenden Beispiele verdeutlichen die Anwendung von Satz 4 für den Fall, dass die Übergangsmatrizen der jährlichen Markov-Kette obere Dreiecksmatrizen sind. Beispiel 6: Es sei INT. Die Übergangsmatrizen seien stochastische obere Dreiecksmatrizen, d.h. 1N1N SD)k(Q   für alle ,2,1k . Es gebe stochastische obere Dreiecksmatrizen 1N1NT SD)k(Q    mit   T T)k(Q)k(Q . Nach Satz 4 gibt es dann eine unterjährliche Markov-Kette mit den entsprechenden Übergangsmatrizen. Gilt 21N  , so ist es immer möglich, die Übergangsmatrizen in dieser Form multiplikativ zu zerlegen (vgl. Beispiel 2). Für 31N   ist dies im Fall 2T  bei bestimmten Koeffizientenkonstellationen möglich (vgl. Beispiel 3). Beispiel 7: Es sei INT. Die Übergangsmatrizen seien wiederum stochastische obere Dreiecksmatrizen, d.h. 1N1N SD)k(Q    für alle ,2,1k  . Wir definieren die Matrizen  E T sT )1k(Q T s :k,T,sU    , 0 INk, 0 INs mit Ts0  . - 16 - Gemäß den Ergebnissen des letzten Abschnitts sind diese Matrizen für Ts0   invertierbar. Die Übergangsmatrizen haben für alle INk  die Produktdarstellung       1T 0s 1)1k,T,1s(U1k,T,sU)k(Q , d.h. mit der Notation aus Satz 4 gilt   )1k,T,s(U1k,T,1sU:)k,s(R 1 . Aus dem letzten Abschnitt ist bekannt, dass diese Matrizen obere Dreiecksmatrizen mit Zeilensumme 1 sind. Gilt 21N  , so sind es auch stochastische Matrizen (vgl. Beispiel 4) und Satz 4 ist anwendbar. Für 31N   ist dies dann der Fall, wenn )k(qsT )k(q)k(qs )k(q 3,2 2,13,2 3,1     für alle INk , 0 INs mit Ts0  . Bemerkungen: a) Gegeben sei der Fall 21N  mit der Anfangsverteilung )0 1(P0 , d.h. der Anfangszustand sei der Zustand 0. Ferner seien die Übergangsmatrizen obere Dreiecksmatrizen, d.h. 22 SD)k(Q   für alle INk  . Wir definieren mit uj SSZ   den zufälligen Zeitpunkt des Übergangs von Zustand 0 zu Zustand 1. Dabei steht j S für die vollen Jahre und u S für den Jahresbruchteil. Die Verteilung der Zufallsvariablen u S gegeben }kS{ j  sei gegeben durch die Verteilungsfunktion )kS(P )kS ,tS(P )kS|tS(P)t(F j ju juk     . Mit dieser Notation gilt:                                               T s S ,kSPkSP T 1s S T s ,kSP T s kZP T 1s kZ T s kP T s kZ| T 1s kZP0Y|1YP ujj uj T s k T 1 T s k - 17 -                                                                                                                                                    T s F)1k(q1 T s F T 1s F)1k(q T s F1)1k(q)1k(q T s F T 1s F)1k(q T s F1)j(q)1k(q)j(q T s F T 1s F)j(q)1k(q T s F1kSPkSP T s F T 1s FkSP k1,0 kk1,0 k1,00,0 kk1,0 k k 1j 0,01,0 1k 1j 0,0 kk k 1j 0,01,0 kjj kkj Wählt man als Verteilung für die Zufallsvariable u S gegeben }kS{ j die Gleichverteilung auf dem Intervall ]1,0[ , d.h. )t(1t)t(1)t(F ),1(]1,0[k     , so korrespondiert dies mit der Linearisierung der Übergangsmatrizen. Der Ansatz mit den T-ten Wurzeln der Übergangsmatrizen entspricht dem Fall, dass gegeben }kS{ j die Zufallsvariable u S die Verteilungsfunktion )t(1 )1k(q )1k(q1 )t(1)t(F ),1( 1,0 t 0,0 ]1,0[      besitzt. b) Wenn die unterjährliche Markov-Kette gemäß Beispiel 7 durch Linearisierung der Übergangsmatrizen aus der jährlichen Markov-Kette konstruiert werden kann, so ergibt sich als Übergangsmatrix vom Zeitpunkt 0 INk  zum Zeitpunkt T s kdie folgende Matrix:   E T sT )1k(Q T s k,T,sUEk,T,sUk,T,0U k,T,tUk,T,1tU)1k,t(R 1 s 1t 1 s 1t         Damit sind die Voraussetzungen von Satz 2 aus [8] erfüllt, d.h. bei konstanten Leistungsvektoren kann die Bewertung eines unterjährlichen Zahlungsstroms auf die Bewertung eines jährlichen Zahlungsstroms zurückgeführt werden. Verwendet man als unterjährliches Zinsmodell die relativ gemischte Verzinsung, so gelten die in [8], S.13ff, besprochenen Ergebnisse bezüglich Restglied und Invarianzsatz. - 18 - 6. Anwendungsbeispiel: Personenversicherungsmathematik In der Personenversicherungsmathematik wird i.d.R. zunächst von einem jährlichen Modell ausgegangen, z.B. in Form von Sterbetafeln auf jährlicher Basis. Zu bewerten sind allerdings oft unterjährliche Zahlungsströme. Mit dem im letzten Abschnitt dargestellten Prinzip kann unter den Voraussetzungen von Satz 4 aus einer jährlichen Markov-Kette eine unterjährliche Markov-Kette konstruiert werden. Anschließend kann die Bewertung mithilfe der unterjährlichen Markov-Kette erfolgen (vgl. [8]). Im Folgenden wird diese Vorgehensweise bei drei Beispielen aus der Personenversicherungsmathematik angewendet. Beispiel 8: Gegeben sei eine Person A vom Alter 0 INx  . Diese Person erhalte lebenslängliche Zahlungen aus einer Lebensversicherung oder einer betrieblichen Altersversorgung. Eine Hinterbliebenenversorgung ist nicht zugesagt. Die Sterbewahrscheinlichkeit im Alter 0 INkx  sei gegeben durch kx q  . Die Gesamtheit der Sterbewahrscheinlichkeiten wird als Sterbetafel bezeichnet und  sei dabei das letzte mögliche Alter d.h. insbesondere gilt 1q  . Für diese Person A kann mithilfe der Übergangsmatrizen ,1x,1,2,k , 10 qq1 :)k(Q 1kx1kx            (1xk , E:)k(Q   ) eine jährliche Markov-Kette definiert werden. Dabei hat der Zustandsraum S die beiden folgenden Elemente: Zustand 0: Die Person A lebt. Zustand 1: Die Person A ist tot. Es sei INT. Da es sich bei den jährlichen Übergangsmatrizen um 2x2-Matrizen bzw. obere Dreiecksmatrizen handelt, kann die unterjährliche Markov-Kette zum einen mithilfe der T-ten Wurzeln, d.h. ,1x,1,2,k, 10 q11q1 )k(Q T1kx T1kx T             konstruiert werden (vgl. Beispiel 2). Zum anderen gibt es die Möglichkeit die unterjährliche Markov-Kette mithilfe des Linearisierungsansatzes zu konstruieren, d.h.                      10 qsT q qsT q)1s(T )k,T,1s(Uk,T,sU kx kx kx kx 1 , x,1,2,,0k  , 0 INs  mit Ts0   (vgl. Beispiel 4). - 19 - Beispiel 9: Gegeben sei wiederum eine Person A vom Alter 0 INx  . Diese Person erhalte wie im letzten Beispiel lebenslängliche Zahlungen aus einer Lebensversicherung oder einer betrieblichen Altersversorgung. Diesmal ist zusätzlich eine Hinterbliebenenversorgung in Form einer lebenslänglichen Rente an eine Person B zugesagt. Die Sterbewahrscheinlichkeit der Person A im Alter 0 INkx   sei gegeben durch kx,A q. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Tod der Person A im Alter 0 INkx   eine Hinterbliebenenleistung an Person B auslöst, sei k x h. Keine Hinterbliebenenversorgung wird ausgelöst, wenn die Person B vor der Person A stirbt oder die Anspruchsberechtigung für die Hinterbliebenenleistung erlischt, z.B. aufgrund einer Scheidung bei Ehepaaren. Diese beiden und weitere denkbare Möglichkeiten sind in der Wahrscheinlichkeit k x h1   enthalten. Der Altersunterschied zwischen der Person A und der Person B sei gegeben durch die ganze Zahl . Die Sterbewahrscheinlichkeit von Person B im Alter 0 INy sei y,B q. Für die Person A sei A  das letzte mögliche Alter, d.h. insbesondere gilt 1q A ,A  . Für die Person B sei B  das letzte mögliche Alter, d.h. insbesondere gilt 1q B ,B  . Wir setzen ),max(: BA    , d.h. insbesondere gilt 1qq ,B,A    . Der Zustandsraum S besteht dann aus den folgenden drei Elementen: Zustand 0: Die Person A lebt. Zustand 1: Die Person A ist tot, aber die Person B lebt und hat Anspruch auf Hinterbliebenenleistung. Zustand 2: Die Person A ist tot und Person B ist tot oder hat keinen Anspruch auf Hinterbliebenenleistung. Für diese Situation kann mithilfe der Übergangsmatrizen   1,x-,1,2,k , 100 qq10 qh1qhq1 :)k(Q 1kx,B1kx,B 1kx,A1kx1kx,A1kx1kx,A                     (1xk , E:)k(Q   ) eine jährliche Markov-Kette definiert werden. Es sei INT. Da es sich bei den jährlichen Übergangsmatrizen um 3x3-Matrizen bzw. obere Dreiecksmatrizen handelt, kann mithilfe der Linearisierung eine unterjährliche Markov-Kette konstruiert werden, falls )k(qsT )k(q)k(qs )k(q 3,2 2,13,2 3,1    (vgl. Beispiel 5) bzw. - 20 -        1kx,B 1kx,A1kx1kx,B 1kx,A1kx qsT qhqs qh1 für alle 1x,,2,1k   , 0 INs mit Ts0   erfüllt ist. Beispiel 10: Gegeben sei wiederum eine Person A vom Alter 0 INx  . Diese Person erhält im Falle der Invalidität eine lebenslängliche Rente. Die Sterbewahrscheinlichkeit der Person A im Alter 0 INkx  ohne vorherige Invalidität sei gegeben durch kx,1 q. Die Sterbewahrscheinlichkeit der Person A im Alter 0 INkx   nach vorheriger Invalidität sei gegeben durch kx,2 q. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person A im Alter 0 INkx   invalide wird, sei gegeben durch kx i. Es sei wiederum  das letzte mögliche Alter, d.h. insbesondere gilt 1qq ,2,1   . Der Zustandsraum S besteht dann aus den folgenden drei Elementen: Zustand 0: Die Person A lebt und ist nicht invalide. Zustand 1: Die Person A lebt und ist invalide. Zustand 2: Die Person A ist tot. Für diese Situation kann mithilfe der Übergangsmatrizen 1,x-,1,2,k , 100 qq10 qiqi1 :)k(Q 1kx,21kx,2 1kx,11kx1kx,11kx                     (1xk , E:)k(Q   ) eine jährliche Markov-Kette definiert werden. Es sei INT. Da es sich bei den jährlichen Übergangsmatrizen um 3x3-Matrizen bzw. obere Dreiecksmatrizen handelt, kann mithilfe der Linearisierung eine unterjährliche MarkovKette konstruiert werden, falls )k(qsT )k(q)k(qs )k(q 3,2 2,13,2 3,1    (vgl. Beispiel 5) bzw. 1kx,2 1kx1kx,2 1kx,1 qsT iqs q      für alle 1x,,2,1k   , 0 INs mit Ts0   erfüllt ist. - 21 - Bemerkung: In der Pensionsversicherungsmathematik wird in den üblichen Modellen der Sachverhalt berücksichtigt, dass Hinterbliebene im Jahr des Auslösens der Hinterbliebenenleistung und Invalide im Jahr der Invalidität bis zum Jahresende versterben können und somit in dem auf den Leistungsfall folgenden Jahr keine Zahlungen zu leisten sind (vgl. [5] S.32ff). Diese zusätzliche Variation kann auch in den Übergangsmatrizen der Beispiele 9 und 10 berücksichtigt werden. Die Bedingung für die Linearisierung der Übergangsmatrizen durch stochastische Matrizen muss dann entsprechend angepasst werden. 7. Anwendungsbeispiel: Forderungsausfall Ein Unternehmen A habe eine Forderung gegenüber einem Unternehmen B. Diese soll in den nächsten n Perioden durch die Zahlungen 0Z,...,Z,Z n21  beglichen werden. Dabei steht k Z für die Zahlung im k-ten Jahr. Das Unternehmen A geht davon aus, dass es Wahrscheinlichkeiten 1q...qq0 n21    gibt, mit denen die Zahlungen zu einem bestimmten Zeitpunkt ausfallen, d.h. (Pq k keine Zahlung im Jahr ,...,n2,1k) , k  . Dabei wird vorausgesetzt, dass die Zahlungen nach einem Ausfall nicht wieder aufgenommen werden. Dieser Sachverhalt kann mit einer jährlichen Markov-Kette modelliert werden kann (vgl. [6] S.6ff). Der Zustandsraum wird dabei mit   1,0S  gewählt, wobei der Zustand 1 dafür steht, dass keine Zahlung erfolgt (Ausfall). Zustand 0 bedeutet, dass die Zahlung erfolgt (kein Ausfall). Die Übergangsmatrizen sind durch ,n,1,2,k , 10 q1 qq q1 qq 1 )k(Q 1k 1kk 1k 1kk                       (0:q0,nk , E:)k(Q  ) gegeben. Die Anfangsverteilung ist gegeben durch )0 1(P0. Es sei INT. Da es sich bei den jährlichen Übergangsmatrizen um 2x2-Matrizen bzw. obere Dreiecksmatrizen handelt, kann die unterjährliche Markov-Kette zum einen mithilfe der T-ten Wurzeln, d.h. ,n,1,2,k , 10 q1 qq 11 q1 qq 1 )k(Q T1k 1kk T1k 1kk T                         - 22 - konstruiert werden (vgl. Beispiel 2). Zum anderen gibt es die Möglichkeit die unterjährliche Markov-Kette mithilfe des Linearisierungsansatzes zu konstruieren, d.h.   , 10 q1 qq sT q1 qq q1 qq sT q1 qq )1s(T )k,T,1s(Uk,T,sU k k1k k k1k k k1k k k1k 1                                           1n,,2,1,0k   , 0 INs  mit Ts0   (vgl. Beispiel 4). Durch Anwendung der Ergebnisse aus [8] kann auch in diesem Fall eine Bewertung bei unterjährlicher Zahlweise mithilfe von Markov-Ketten durchgeführt werden. 8. Ausblick Bei der Bewertung von Zahlungsströmen werden in den Wirtschaftswissenschaftlichen Annahmen i.d.R. aufgrund jährlicher Beobachtungen getroffen. Oft aber haben die zu bewertenden Sachverhalten einen unterjährlichen Charakter. Dieses Problem führt bei der Anwendung von Markov-Ketten zu der Frage, wie aus einer jährlichen Markov-Kette eine unterjährliche Markov-Kette konstruiert werden kann. In der vorliegenden Arbeit wird hierzu als Anwendung des Satzes von Kolmogorov eine unterjährliche Markov-Kette konstruiert. Im Wesentlichen werden darauf aufbauend zwei Fälle behandelt, zum einen der Ansatz der unterjährlichen Übergangsmatrizen als T-te Wurzeln der jährlichen Übergangsmatrizen und zum anderen der Ansatz der Linearisierung der jährlichen Übergangsmatrizen. Es zeigt sich, dass bei zweielementigen Zustandsräumen beide Ansätze funktionieren. Hat der Zustandsraum aber mehr als zwei Elemente, so ist dies nicht immer gewährleistet. Wenn die Linearisierung aber zu stochastischen Matrizen bzw. zu unterjährlichen Übergangsmatrizen führt, so können insbesondere die in [8] hergeleiteten Bewertungsformeln für risikobehaftete Zahlungsströme bei unterjährlicher Zahlweise angewendet werden. Es stellt sich nun die Frage, welcher der beiden in dieser Arbeit dargestellten Ansätze sinnvoller ist. Für den Linearisierungsansatz spricht neben der Anwendbarkeit der Ergebnisse aus [8] die EDVtechnische Umsetzungsbarkeit. - 23 - Im zentralen Ergebnis dieser Arbeit (vgl. Satz 4) benötigt man zur Konstruktion der unterjährlichen Markov-Kette eine Produktzerlegung der jährlichen Übergangsmatrizen. Jede Produktzerlegung liefert somit einen anderen Ansatz für die unterjährliche MarkovKette. Da die beiden in dieser Arbeit vorgestellten Ansätze schon bei einem dreielementigen Zustandsraum nicht immer sinnvoll umsetzbar sind, sollten weitere Produktzerlegungen und damit weitere Ansätze in Betracht gezogen werden. Insbesondere sind solche Ansätze von Interesse, die bei allen endlichen Zustandsräumen zu sinnvollen unterjährlichen Markov-Ketten führen. 