Notas de Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Humberto Carrillo Calvet March 29, 2000 Capítulo 1 INTRODUCCION 1.1 ¿Qué es una ecuación diferencial? Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una solución aún cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes. En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables. Las primeras pueden definirse como expresiones del tipo F(x)=0 donde xrepresenta la variable en cuestión y Funa función real de variable real cuya regla de correspondencia está dada en términos de sumas, productos, o potencias de funciones familiares como la idéntica, el logaritmo, las funciones trigonométricas o las inversas de éstas. Si la ecuación tiene más de una variable, digamos x1,x 2, ..., xnentonces quedaría definida como una expresión del tipo F(x1,x 2, ..., xn)=0 siendo Funa función de Rnen Rm. Enestecasolaecuaciónesvectorial y constituye lo que conocemos como un sistema de ecuaciones. Si el sistema 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION 3 tienetantasecuacionescomoincógnitasesdelaformasiguiente:          F1(x1,x 2, ..., xn)=0 F2(x1,x 2, ..., xn)=0 ················ Fn(x1,x 2, ..., xn)=0          Aquí el problema consiste en resolver simultaneamente varias ecuaciones y conocemos métodos aplicables cuando Fes una función lineal: Fi(x1,x 2, ..., xn)=ai 1x1,a i 2x2, ..., ai nxn+bi. Ejemplos de los tipos de ecuaciones mencionadas anteriormente son: i) x+2=0 ii) x2+3x+2=0 iii) sen2x+cos2x−1=0 iv) 2x+y+3=0 v) (x+2y+3=0 3x+5y−2=0) Utilizando el lenguaje del cálculo diferencial podemos escribir ecuaciones donde aparezca una función f:R→R,suvariablex, y derivadas de diferentes órdenes de fcomo por ejemplo: i) f0(x)−5=0 ii) 8f00(x)+6f0(x)+3f(x)+2=0 iii) f(vi)(x)+f(x)=0 iv) (f00(x))3+2xf(x)+senx=0 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION 4 que son ecuaciones del tipo F(x, f(x),f0(x), ..., f(n)(x)) = 0 y son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias.Elórdendelamayor derivada que aparezca es entendido como el órden de la ecuación diferencial. Podemos también escribir sistemas de ecuaciones deferenciales donde aparezcan dos o más funciones de una misma variable como por ejemplo: (f0(x)−f(x)+q(x)=0 q0(x)−f(x)q(x)=0 ) Constituye un sistema de ecuaciones ordinarias, los cuales en general son de la forma:            F1(x, f1,f0 1, ..., f(n) 1, ..., fm,f0 m, ..., f(n) m)=0 F2(x, f1,f0 1, ..., f(n) 1, ..., fm,f0 m, ..., f(n) m)=0 ................................................... Fm(x, f1,f0 1, ..., f(n) 1,...,f m,f0 m, ..., f(n) m)=0            el órden de la mayor derivada que aparece se define como el órden del sistema de ecuaciones diferenciales. El sistema que se dió en el ejemplo anterior es entonces uno de primer órden. Hay otros tipos de ecuaciónes que pueden ser considerados como por ejemplo aquel donde aparece una función fde Rnen R, sus variables y derivadas parciales de diferentes órdenes: i) Si f:R3→R,f=f(x, y, z) ∂f ∂x+2x∂2f ∂y2+y∂2f ∂x∂y+∂f ∂z=0 ii) Si f:R2→R,f=f(x, y) ∂2f ∂x2+∂2f ∂y2+f=0 iii) Si f:R4→R,f=f(x, y, z, t) ∂2f ∂x2+∂2f ∂y2+∂2f ∂z2=k∂2f ∂t2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION 5 Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales parciales ytambién en este caso el órden de la ecuación se define como el órden de la mayor derivada que aparezca. Todas estas son ecuaciones funcionales pues las incógnitas no son números sino funciones. Existen otros tipos de ecuaciones funcionales como las ecuaciones integrales y las integro-diferenciales pero por el momento estamos interesados en las ecuaciones diferenciales y de estas especialmente en las ordinarias. 1.2 La Solución de una Ecuación Diferencial Hemos visto que es posible, utilizando el lenguaje del Cálculo, escribir un nuevo tipo de ecuaciones: Las ecuaciones diferenciales. Junto con ellas surge también un problema, el de resolverlas. Pero, ¿qué significa resolver una ecuación diferencial?. Antes de responder a esta pregunta regresemos a aquellas ecuaciones para las cuales estamos familiarizados con el problema de obtener soluciones. Consideremos el caso de una ecuación del tipo F(x)=0 por ejemplo x2−4x+3=0 (1) Cuando nos planteamos el problema de encontrar soluciones de esta ecuación estamos suponiendo que existe un conjunto Xdonde la variable xpuede tomar valores. En general la ecuación no es válida para toda x∈Xy el problema de resolver la ecuación consiste en encontrar S⊂Xtal que F(x)=0si y sólo si x∈S.Sconforma el conjunto de soluciones y los elementos de Sson llamados soluciones de la ecuación. Para la ecuación (1), sabemos que S={1,3} y por lo tanto decimos que 1,3son soluciones. CAPÍTULO 1. INTRODUCCION 6 Ejemplos: i) x+2=0,en Rtiene como solución al número −2. ii) x+2=0,en R+={x∈R|x>0}no tiene solución. iii) x2−3x+2=0,en [0,1] tiene una única solución, x=1. iv) x2−12x+35=0,en Rtiene a 7y5como únicas soluciones. v) x2+x+1=0,en Rno tiene solución alguna. vi) 1+ senx=0,en Rtiene una infinidad de soluciones. De forma análoga a los ejemplos anteriormente considerados, al escribir una ecuación del tipo F(x, f(x),f0(x),···,f(n)(x)) = 0 se está pensando que existe un cierto conjunto de funciones Xdonde la ecuación (1) está bien definida. En este caso Xnecesariamente tendrá que ser un subconjunto del conjunto de funciones que tienen derivadas hasta de orden nen algún subconjunto de R,que para simplificar vamos a considerar que es un intervalo I X=nf:I→R|∀i=1,···,n ∃f(i)(x)∀x∈Io. La ecuación no es válida para toda f∈Xy resolverla es encontrar el subconjunto S={f0∈X|F(x, f0(x),f0 0(x),···,f(n) 0(x)) = 0 ∀x∈I}. Los elementos de Sson llamados soluciones de la ecuación diferencial. Ejemplo: La función φ(x)=senkx ∀x∈Relemento de X={f:R→R|∃f0(x),f00(x)∀x∈R} es una solución de la ecuación diferencial: y00(x)+k2y(x)=0 ya que φ0(x)=kcoskx φ00(x)=−k2senkx =−k2φ(x) oloqueeslomismo φ00(x)+k2φ(x)=0∀x∈R. CAPÍTULO 1. INTRODUCCION 7 Ejemplo: f:(0,∞)→Rtal que f(x)=1 xes una solución de la ecuación y0(x)=−y(x) x en (0,∞)pues f0(x)=−1 x2=−1/x x=−f(x) x. 1.3 Existencia y Unicidad Una vez discutido lo que se entiende por una ecuación diferencial y por una solución de esta surgen las siguientes preguntas: 1) ?‘Toda ecuación diferencial tiene solución? 2) De tener solución ¿cuántas tiene?, ¿quienes son? Para responder a estas preguntas conviene analizar algunos ejemplos: a) (y0(x))2+(y(x))2+1=0Esta es una ecuación diferencial de primer orden, pues es de la forma F(x, y(x),y0(x)) = 0 sin embargo no tiene solución ya que (y0(x))2+(y(x))2≥0 paracualquierparejadevaloresrealesquelasfuncionesy(x),y0(x) tomen. El ejemplo anterior nos sugiere una ecuación que tiene sólo una solución. Asaber (y0(x))2+(y(x))2=0 la única solución de esta ecuación es y(x)=0∀x∈R. b) y0(x)=3x2En este caso rápidamente podemos ver que y(x)=x3+c,∀x∈R es solución para cualquier valor de la constante c. Lo que quiere decir que la ecuación tiene un número infinito de soluciones. CAPÍTULO 1. INTRODUCCION 8 c) y00(x)=0Cualquier función cuya gráfica sea una línea recta será solución de esta ecuación. Esto es, cualquier función del tipo y(x)=c1x+c2,∀x∈R con c1,c 2constantes. Otra vez la ecuación tiene un número infinito de soluciones. d) y0(x)=2Esta ecuación exige sólamente que la pendiente de la gráfica de ysea constante e igual a 2.Porlotanto y(x)=2x+c, ∀x∈R es solución para cualquier valor real de la constante c.Resulta también que asociadas a la ecuación diferencial aparece un número infinito de soluciones. En los ejemplos anteriores se ha podido notar que una ecuación diferencial puede no tener solución, tener un número finito de soluciones o una infinidad. A medida que avancemos en nuestro estudio nos iremos dando cuenta de que los dos primeros casos no son típicos y que locomún es que asociada a cada ecuación diferencial exista un número infinito de soluciones. El hecho de que asociadas a una ecuación diferencial exista un número infinito de soluciones es de esperarse, pues para resolverla, de un modo u otro, hay que hacer al menos una integración y en consecuencia aparece una constante de integración que, al tomar diferentes valores, define una gama infinita de soluciones de la ecuación diferencial. Típicamente también uno quiere seleccionar soluciones particulares dentro de este conjunto infinito S.Esto se hace imponiendo condiciones (compatibles con la propiedad de satisfacer la ecuación) que sean característica exclusiva de la solución deseada. En la siguiente sección veremos que una forma de distinguir soluciones es imponiendo lo que se conoce como condiciones iniciales. 1.4 La Ecuación y0=f(x) Con objeto de profundizar en las observaciones hechas en la sección anteriór analizaremos el problema que representa resolver la ecuación y0=f(x).Este problema no es más que el de encontrar una primitiva de la función f(x). CAPÍTULO 1. INTRODUCCION 9 Ejemplo:y0(x)=3x2. Sabemos que para cada valor real de c, la función y(x)=x3+crepresenta una primitiva de la funciónf(x)=3x2yenconsecuencia una solución. Aquí, el problema se redujo a hacer una integración y de ahí el orígen de la constante arbitraria que determina una infinidad de soluciones. Sabemos pues que cualquierintegrante de la familia de funciones x3+ces solución pero, ¿Serán todas las soluciones de esta forma?, es decir, ¿Cualquier solución de la ecuación se podrá obtener sumando una constante alafunciónx3?. La respuesta está dada en el teorema siguiente: Teorema: Si φes una solución de la ecuación y0=f(x)entonces φ+ctambién es solución, y toda solución difiere de φpor una constante. Obviamente si φes solución, esto es si φ0=Dxφ=fentonces Dx[φ+c]=Dxφ=f y, por lo tanto, φ+ctambién es solución para todo c∈R.Ademássi ψes otra solución entonces también Dxψ=fyDxψ=Dxφde donde, necesariamente, ψ=φ+c, siendo calgún número real. Nótese que el teorema no afirma que la ecuación tiene soluciones. Pero, si f(x)es contínua en un intervalo I, el teorema fundamental del cálculo garantiza que ftiene primitiva en I. De hecho para cualquier x0∈I la función y(x)=Rx x0f(s)ds es una primitiva. Escoger diferentes valores para x0significa tomar diferentes primitivas que difieren entre sí por una constante. Esto prueba el siguiente: Teorema: Si fes contínua en un intervalo I,laecuacióny0=f(x) en el intervalo Itiene infinidad de soluciones que difieren entre sí por una constante. Que las soluciones difieran entre sí por una constante quiere decir, geométricamente, que sus gráficas se obtienen una de otra haciendo una traslación en la dirección del eje de las ordenadas. Ejemplo: y0=2,∀x∈(0,1). Todas las soluciones son de la forma y(x)=2x+c. CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 16 vertical y para localizarlo basta considerar un punto de referencia en ella y entonces tomar como variable de estado a x(t): la distancia entre el punto de referenciayelpuntoquerepresentalaposicióndelcuerpo. Laotravariable de estado del modelo es ϑ(t), la velocidad con que el punto que representa al cuerpo se mueve en la recta vertical imaginaria. Así el estado del sistema queda totalmente especificado en cualquier tiempo por la pareja (x(t),ϑ(t)). De manera similar, si el cuerpo que nos interesa se moviera en un plano, una mesa de billar por ejemplo, entonces para localizarlo usariamos dos variables de estado x(t)yy(t)medidas respecto a un sistema de coordenadas fijo en el plano de la mesa; para la velocidad otras dos ϑx(t)yϑy(t):lascomponentes de la velocidad en cada una de las dos direcciones. Así, el estado del sistema en cada tiempo tqueda dado por (x(t),y(t),ϑx(t),ϑy(t)). Si se tratase de un sistema constituído por dos bolas de billar, la bola 1 y la bola 2 entonces el estado quedaría dado por (x1(t),y 1(t),x 2(t),y 2(t),ϑx1(t),ϑy1(t),ϑx2(t),ϑy2(t)). 2.3 Leyes del Comportamiento MOVIMIENTO: Para estudiar el movimiento de un cuerpo interesa conocer la posición y velocidad del cuerpo en cada instante. Vimos en la sección anterior (para el ejemplo del cuerpo que cae) que considerando en el modelo dos funciones, x(t)yϑ(t),podíamosespecificar tanto la posición como la velocidad del cuerpo en cada instante. El problema queda resuelto en el momento en que averiguemos la dependencia temporal de xyϑ.Paraestose requiere másinformación relativaalsistemaquenospermitadeterminar estas funciones x(t)yϑ(t). La única forma de obtener esta información es experimentando, esto es, observando, de una u otra forma, el comportamiento del sistema real. El objetivo de la experimentación es encontrar regularidades y principios de carácter general. Una vez encontradas algunas normas que rigen comportamiento del sistema real, la idea es traducirlas apropiadamente al modelo como expresiones matemáticas que permitan trabajar el problema en el papel como uno de naturaleza enteramente matemática. Para el tipo de problema que estamos considerando es conocida una ley de caracter muy general: la ley de Newton. Esta ley toma en cuenta la CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 17 influencia del ambiente sobre el sistema en términos de fuerzas y especifica el efecto de éstas sobre el movimiento del cuerpo. La Ley de Newton dice que: Si sobre un cuerpo de masas mactúa una fuerza F, entonces el cuerpo sufre un cambio en su velocidad que instantáneamente es igual en magnitud a F/m. Matemáticamente esto se escribe como dϑ dt =F m. Veamos ahora, para el ejemplo del cuerpo que cae, cómo esta ley nos permite determinar las funciones xyϑ. La velocidad, por definición, es una medida del cambio relativo de posición respecto al tiempo y esto matemáticamente queda expresado por la siguiente ecuación: dx dt =ϑ. En este problema la fuerza que actúa sobre el cuerpo es el peso del cuerpo debido a la fuerza de gravedad y está dado por mg. Tomando esto en cuenta tenemos como punto de partida para encontrar a x(t)yϑ(t)el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales:      dx dt =ϑ dϑ dt =g     .(1) La segunda ecuación es satisfecha por la familia de funciones: ϑ(t)=gt +c1 siendo c1una constante real cualquiera. Si sustituimos esta expresión en la primera ecuación tendremos que dx dt =gt +c1 yentonces x(t)=gt2 2+c1t+c2 siendo c2otra constante real cualquiera. CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 18 Así, hemos encontrado que las expresiones x(t)=gt2 2+c1t+c2 ϑ(t)=gt +c1 representan la familia Sde soluciones del sistema (1) de ecuaciones diferenciales. Cada pareja de constantes (c1,c 2)determina una pareja de funciones en el conjunto S. Notemos también que c2=x(0) yc1=ϑ(0). Entonces cada pareja (c1,c 2)representa un diferente estado inicial (x(0),ϑ(0)) del sistema. El resultado es que para cada estado inicial (x(0),ϑ(0)) tenemos un movimiento distinto dado por (x(t),ϑ(t)) = (gt2 2+ϑ(0)t+x(0),gt+ϑ(0)). Esto quiere decir que, a partir del conocimiento del estado inicial del sistema, podemos conocer el estado del sistema en cualquier otro tiempo. Estos modelos causaron gran revolución en el pensamiento filosófico de la época pues sugieren un comportamiento determinista de la naturaleza en el sentido de que el estado de cosas en un momento dado determina todo estado futuro. CRECIMIENTO DE POBLACIONES. Volvamos al problema de los conejos en una isla. En la sección anterior vimos que la aproximación más simple al problema nos lleva a considerar un modelo con una sola variable de estado, N(t). Igual que para el movimiento, en este problema, necesitamos más información para determinar teóricamente la dependencia temporal de la función N.Del conocimiento que tenemos acerca del comportamiento de los seres vivos sabemos que la población aumenta o disminuye debido a los fenómenos de natalidad y muerte respectivamente. En consecuencia el cambio global en el número de pobladores se deberá al balance que haya entre estos dos factores de cambio. Este constituye una ley en nuestro problema y la podemos formular matemáticamente de la manera siguiente: 1 N dN dt =n−m(2) CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 19 donde nymrepresentan las razones percapita de natalidad y muerte, esto es: n=número de nacimientos por unidad de tiempo y por poblador. m=número de muertes por unidad de tiempo y por poblador. Ahora tenemos una ley general formulada matemáticamente pero, ¿podremos a partir de la ecuación (1) determinar a N(t)?. Antes de responder a este pregunta recordemos que, para los problemas de movimiento, no basta conocer la Ley de Newton para poder encontrar la dependencia funcional de las variables de estado, sino que se requiere conocer además la expresión de la fuerza que interviene en el problema. Conocer la expresión de la fuerza, en este contexto, significa conocer la función F(x, ϑ,t)1.SiFno se conoce como función de estas variables entonces F en la ecuación no es más que una simple letra y el problema no está bien planteado matemáticamente. Para el caso de la ecuación (2) la situación es completamente análoga. Para que podamos atacar matemáticamente el problema de encontrar N(t), necesitamos conocer las funciones n(N,t)ym(N,t). En el estudio de poblaciones veremos que la ley (2) no es tán útil en la práctica como la ley de Newton en la mecánica. La razón es que, para las poblaciones, la forma en que las funciones nymdependen de Nytno es fácil de encontrar debido a la complejidad del sistema. En cambio las fuerzas para ciertas clases importantes de problemas se han podido encontrar experimentalmente. Este ha sido el caso, por ejemplo, de las fuerzas gravitacionales y las electromagnéticas. Hay que aclarar, sin embargo, que la situación no ha sido la misma para todos los tipos de fuerzas conocidas. Por ejemplo en el dominio nuclear esto no se ha podido lograr, esto es, así como se sabe que la fuerza entre dos masas gravitacionales m1ym2que se encuentran a una distancia resFq=ρm1m2/r2con ρ=cte. , para la fuerza entre dos partículas subatómicos no se ha podido encontrar una ecuación de este tipo. Así el problema que sepresentaen laFísica Núclear guarda cierta analogía con el de población es que estamos considerando; en el primero, podríamos decir que se conoce la ley y no se conoce la expresión de la fuerza que aparece en la ley; en el segundo también tenemos la ley pero no conocemos las expresiones de las razones de natalidad y muerte. Esta dificultad no limita del todo el estudio de poblaciones pues se puede 1En el ejemplo del cuerpo que cae F(x, ϑ,t)=mg, ∀(x, ϑ,t) CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 20 hacerlo quehanhecholosfísicosnucleares. Ellos, guiadosporel conocimiento cualitativo que tienen de estas fuerzas, proponen una expresión matemática para la fuerza, trabajan teóricamente con la expresión propuesta y posteriormente la confrontan los resultados teóricos con el experimento para ver, con qué exactitud y dentro de qué márgenes lo que se ha modela describe bien la realidad. De manera semejante, ante el problema de crecimiento de una población, se puede proponer una expresión para la función [n−m](N,t)que se apegue a las características cualitativas que se conocen del problema. Una vez hecho esto analizando las ecuaciones del modelo se puede obtener información teórica. A continuación discutiremos algunos ejemplos para ilustrar la forma de proceder que discutimos anteriormente. 2.4 Modelo de Población Joven Supongamos que estamos interesados en estudiar una población que se encuentra en las siguientes circunstancias hipotéticas: (1) La población está aislada. (2) La población habita un medio infinito. (3) El medio es homogéneo. Discutimos un poco estas suposiciones. Por (1) queremos decir que, con la población, no interactúan agentes externos. Esto obviamente no es el caso para ninguna población real, pero servirá como una aproximación para poblaciones donde la influencia de agentes externos no afecta sensiblemente el número de pobladores. Un ejemplo donde se satisface con buena aproximación esta suposición podría ser el de una población de truchas en un acuario donde los criadores la protegen de las inclemencias del clima, de enfermedades y depredadores. La condición (2) significa que la población puede expandirse sin límite en su territorio. Dicho de otra forma, la densidad 2de pobladores en el área ocupada puede mantenerse constante aún cuando el número de pobladores tienda a infinito. Esta suposición tampoco se cumple en la realidad, pero la podríamos aceptar como válida para una población, que en relación con su 2El número de pobladores por unidad de superficie CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 21 medio, es pequeña. Pequeña en el sentido de que ese mismo medio puede soportar una población considerablemente mayor y el espacio no constituye un factor limitante para su desarrollo. Lo más probable es que, con el tiempo, una población como esta crezca y la suposición deje de valer, por esto, en el encabezado de la sección, le hemos llamado población joven a nuestra población hipotética. Por último, lo que significa(3)esquelosrecursosdelmedio,quela población requiere para su sustento, se encuentran en todo el territorio, en igual cantidad y con la misma calidad. Para estudiar esta población, de acuerdo a la discusión de las secciones anteriores, nuestro problema consiste en proponer una expresión matemática para nymen términos de Nydet. O lo que es más sencillo, proponer globalmente una expresión para la función diferencia [n−m]. Para ver qué función [n−m](N,t)nos conviene para esta población analizemos que quiere decir que: (1) n−mdependa de N; (2) n−mdependa de t. (1) Quiere decir que, las razones de natalidad y mortalidad per cápita son mayores o menores dependiendo del número de pobladores. Esto sólo se puede concebir, cuando en la población se da un fenómeno de competencia odecooperación. (2) Quiere decir que, en diferentes momentos, las razones de natalidad y de muerte per cápita, son diferentes. O lo que es lo mismo, las condiciones de reproducción y de subsistencia cambian en el tiempo. Esto sólo puede ocurrir cuando algún factor externo afecta directamente a los pobladores o los afecta indirectamente a través de los recursos necesarios para su desarrollo. Lascondicionesenqueseencuentralapoblaciónqueestamosconsiderando, no permiten suponer, que en esta se vaya a dar un fenómeno importante de competencia. Por otra parte un fenómeno de cooperación no es de esperarse en una población de animales bajo los supuestos que hemos hecho. Por estas razones, es natural proponer que n−mno dependa de N.Como también hemos supuesto que la población no sufre efectos externos, por estar aislada, es natural suponer que n−mno dependa de t. Estas conclusiones sugieren que propongamos que [n−m](N,t)=k∀(N,t) donde kes una constante, cuyo valor depende del tipo de pobladores y de las CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 22 características particulares (homógeneas) del medio en que se encuentran. En consecuencia, la ley de crecimiento toma la forma particular: 1 N dN dt =k(3) como N(t)no puede ser negativo entonces, 1 N dN dt =d dt lnN siempre que N(t)6=0. Escribiendo la ecuación (2) como d dt lnN=k concluimos que lnN(t)=kt +c 24ptN(t)=e(kt+c) 24ptN(t)=ecekt siendo cuna constante real cualquiera. Además definiendo N0=N(0) = ec por lo tanto tenemos que N(t)=N0ekt.(4) El resultado que hemos obtenido nos dice que, para cada N0≥0tenemos una diferente solución de (2) o lo que es lo mismo un número diferente de pobladores en cada tiempo. Esto concuerda con lo esperarado: el número de pobladores que vaya haber en cada tiempo debe depender del número de pobladores que haya inicialmente. Conociendo N0, para conocer la dependencia temporal de N, solo falta conocer el valor de k. Este es un parámetro característico de este sistema dinámico que podemos calcular con la fórmula k=1 t1ln"N(t1) N0# a paratir del conocimiento del número de pobladores, N(t1), en cualquier instante t1>0. Dependiendo delvalordektenemostres tiposposiblesdecomportamiento para la función N(t): CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 23 a) k>0. La población crece sin límite. Figura 1 b) k=0. La población se mantiene constante. Figura 2 c) k<0. La población tiende a extinguirse. Figura 3 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 24 2.5 Modelo de Población con Saturación Consideremos ahora otra población que hipotéticamente se encuentra bajo las siguientes circunstancias. (1) La población está aislada. (2) El medio es homogéneo. (3) El medio es finito. Como en la sección anterior discutimos las suposiciones (1) y (2), ahora sólo analizaremos las modificaciones que tienen lugar cuando el medio es finito. Primero aclararemos que, por finito, entendemos un medio razonablemente grande como para que puedan ocuparlo un número considerable de individuos. Subrayemos también que por ser finito el medio no podrá, por rico que sea, sustentar una cantidad arbitraria de individuos. Obviamente el hecho de que el medio sea finito no tendrá consecuencias mientras la población sea suficientemente pequeña y el medio, efectivamente, no la limite3. Por esto es de esperarse que mientras esto ocurre su comportamiento esté gobernado por la ecuación (3). Esto quiere decir que para una población pequeña tendremos, dependiendo de las caracterísiticas del medio y de la población las tres posibilidades siguientes: (a) la población tiende a extinguirse. (b) la población se mantiene constante. (c) la población crece. También es importante notar que, si (a) es el caso, dado que inicialmente la población es pequeña y la tendencia es a disminuir, entonces la población siempre se podrá considerar como suficientemente pequeña y en consecuencia esta efectivamente se extinguirá. El caso (b) implica que la población se mantiene constante para cualquier valor inicial N0. Esto corresponde a una situación ideal que no se observará en un sistema ecológico:cualquier perturbación natural tendrá como consecuencia que el parámetro kse haga positivo o negativo. Si (c) es el caso, como la población aumenta exponencialmente, pronto la población dejará de ser “suficientemente pequeña” y empezará a sentir las limitaciones del medio. 3Recordemos que: población pequeña en comparación con el medio fué la aproximación que corresponde, en la realidad, a la suposición de un medio infinito. CAPÍTULO 2. SISTEMAS DINAMICOS 25 Aún cuando tengamosun mediofavorablealcrecimientodeunapoblación pequeña (k>0),sinúmerodepobladoreses“suficientemente grande” entonces la población disminuirá. En consecuencia, es natural esperar que exista un número crítico de pobladores que marque la frontera entre lo que estamos entendiendo por población “suficientemente pequeña” y “suficientemente grande”. Este número crítico η, de pobladores, sería algo así como la “capacidad de carga” del medio respecto a esos pobladores. Debe ocurrir que si se ubican inicialmente un número de pobladores N0>ηentonces la población disminuirá hasta tener un número de pobladores N(t)=η. Asimismo, si N0<ηentonces alpoblacióndeberácrecerhastaqueN(t)=η.Idealmente, si N0=ηentonces la población se debe mantener constante. Habiendo visto que el caso (c) es el interesante, por dar lugar a un comportamiento que no se daba en el modelo de población joven, propongamos una expresión [n−m](N,t)para este caso. Otra vez, como la población es aislada es de esperarse que n−mno dependa de t. Por otra parte, del análisis hecho en los párrafos anteriores se concluye que n−mdebe depender de Ny que la función [n−m](N)debe cumplir: [n−m](N)= 1 N dN dt >0si N<η [n−m](N)= 1 N dN dt <0si N>η [n−m](N)= 1 N dN dt =0si N=η. Existen muchas funciones con tal propiedad, conviene para modelar este comportamiento, proponer la expresión más simple: [n−m](N)=η−N. La ley de crecimiento será entonces: 1 N dN dt =ηN−N2.(5) CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN32 Figura 4 Para la ecuación que acabamos de considerares muy fácil encontrar una fórmula general de sus soluciones y comprobar la validez de los resultados geométricos. Esta no es la situación general, por el contrario,en la mayoría de los casos es imposible encontrar expresiones elementales para las soluciones lo cual hace conveniente, si no necesario, un análisis geométrico para obtener conocimiento referente a las soluciones. Ejemplo: y0=x2+y2 En el ejemplo anterior después de notar que el campo direccional era constantealolargoderectasparalelasalejexprocedimos a dibujar segmentos direccionales a lo largo de estas rectas y de esta manera pudimos obtener la forma de las gráficas de las soluciones. En el presente ejemplo el campo direccional depende tanto de xcomo de y.En consecuencia no es constante a lo largo de rectas paralelas aalguno de los ejes. A pesar de esto podemos utilizar el mismo método y encontrar las curvas que unen los puntos de igual dirección (estas son llamadas curvas isoclinas) que, para el presente ejemplo, son círculos con centro en el origen. Así por ejemplo en el círculo de radio 2 tenemos que x2+y2=y0=4lo que indica que,. para cualquier punto sobre éste, la correspondiente dirección será la de una recta de pendiente 4. Ver figura 5. CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN33 Figura 5 3.2 El Problema de Existencia de Soluciones Consideremos la ecuación diferencial y0=f(x, y)siendo ftal que: f(x, y)=(1si xes racional −1si xes irracional ) Lafunción fdeterminaenelplanoxy uncampodireccional. Estecampo no depende de y. Por lo tanto es constante a lo largo de cualquier recta paralela al eje y las direcciones cambian discontinuamente del valor 1 al valor -1 a medida que nos movemos en la dirección del eje x.Esenvano tratar de encontrar una familia de curvas que sean tangentes a un campo como éste. Tal familia no existe. Esto nos hace ver que si tenemos la ecuación y0=f(x, y)con f(x, y) definida en una región Rdel plano, entonces el problema de encontrar las soluciones de esta ecuación no siempre podrá resolverse. Esta observación sugiere la siguiente pregunta: ?‘Qué debe satisfacer f(x, y)en Rpara que talescurvasexistan? Claramente es la discontinuidad de flo que imposibilita el ejemplo anterior, la existencia decurvas tangentes al campo direccional. Por el contrario, si f(x, y)es continua en Rla situación cambia. En este caso, si dejamos que el segmento direccional correspondiente a un punto arbitrario (x0,y 0)∈R CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN34 se mueva en su propia dirección, adoptando después de cada movimiento la nueva dirección correspondiente al punto al que se ha trasladado, entonces este segmento se desplazará, en la región Rcambiando dirección de manera contínua y dibujando en esta región una curva lisa. Este razonamiento intuitivo sustenta la plausibilidad del siguiente teorema. 3.3 Teorema (de Peano) Sea f(x,y)continua en un abierto, R, del plano. Entonces dado cualquier punto (x0,y0)∈Rexiste una solución de la ecuación y0=f(x,y)tal que su gráfica pasa por el punto (x0,y0). 3.4 La Unicidad de las Soluciones En el capítulo I consideramos la ecuación y0=f(x)y vimos que el hecho de que fsea continua nos garantiza que, dado x0en el dominio de continuidad de fyy0un real arbitrario, existe una solución de la ecuación diferencial que pasa por el punto (x0,y 0)y esta es única. De acuerdo al teorema de Peano, la continuidad de f(x, y)en una región Rtambién garantiza que por cada punto (x0,y 0)de Rpasa una solución de la ecuación y0=f(x, y).¿Será cierto que la continuidad de f(x, y)garantiza también que por cada punto de Rpasa una única solución?. El análisis del siguiente ejemplo nos dará la respuesta. Ejemplo: y0=y2/3 y0y−2/3=1 d dx(3y1/3)=1 3y1/3=x+c y=(x 3+k)3,k=cte. Las funciones de esta familia definidas en todo Rson soluciones, pero la expresión y=(x 3+k)3no es la solución general de la ecuación pues y(x)=0, ∀x∈Res solución y no es elemento de la familia. Por otra parte cada una de las funciones de la familia se anula en el correspondiente valor x=−3k (ver figura 6). CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN35 Figura 6 Esto quiere decir que, para cualquier número k, por el punto (−3k,0) del plano pasan al menos dos soluciones: y=0yy=( x 3+k)3.Sianalizamos con más cuidado situación, notamos que realmente por cada punto del plano pasan infinitas soluciones, curvas como ABCE oABCDF también son soluciones que tienen muchos puntos en común. El análisis de este ejemplo nos ha mostrado una ecuación diferencial cuyo campo direccional es continuo y sin embargo no satisface la condición de unicidad. Esto quiere decir que para garantizar esta condición es necesario hacer hipótesis adicionales sobre la función f. Puede demostrarse que una condición suficiente (pero no necesaria) para que por un punto (x0,y 0)∈R pase una única solución, es que exista ∂f ∂yen Ry sea continua. 3.5 Campos con Direcciones Verticales Hemos visto que la ecuación diferencial y0=f(x, y)define un campo direccional en aquella región del plano donde la función f(x, y)esta definida. Este campo no puede tener direcciones verticales (paralelas al eje y) pues, a tales direcciones habrían de corresponder pendientes infinitas y f(x, y)en su dominio debe tomar valores reales. Por esta razón las curvas tangentes a él son gráficas de funciones. (Una curva lisa1en el plano xy, que no pueda entenderse como gráfica de una función de variable x, tiene necesariamente alguna tangente vertical). 1Una curva lisa es aquella que no tiene “picos" y es contínua. CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN36 Este análisis nos permite además concluir que no cualquier curva lisa en el plano xy que pueda entenderse como gráfica de una función de xpuede ser solución de alguna ecuación diferencial del tipo x0=f(x, y). Ejemplo: Claramente una función cuya gráficaseacomosemuestraenla figura7eslisaynopuede sersolucióndeunaecuacióndelaformay0=f(x, y) pues en el punto (x0,y 0)no está definida la derivada. Figura 7 Ejemplo: Considere la ecuación y0=1 y2 y2y0=1 d dx(y3 3)=1 y3 3=x+c y=3√3x+3c=3√3x+k kuna constante arbitraria. Las funciones de la familia están definidas en todo el plano y sus gráficas, como se pueden ver en la figura 8, no tienen derivada en el punto −k/3lo que indica, contrario a las primeras apariencias, que estas funciones, pensándolas definidas en todos los reales, no son soluciones de la ecuación diferencial. CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN37 Figura 8 De hecho, si sustituimos en la ecuación tenemos que 1 3q(3x+k)2=1 3q(3x+k)2 igualdad que se verifica solamente si x6=−k/3. Porlotantolaecuación diferencial y0=1 y2no tiene alguna solución definida en todos los reales y una función de la familia (A) es solución sólo si tomamos como dominio para ella un subconjunto de los reales que no contenga al correspondiente punto −k/3. Eliminando al punto −k/3del dominio de estas funciones estamos prohibiendo que las correspondientes gráficas crucen el eje xrestrición que, por otra parte, pudimos haber notado directamente de la ecuación diferencial, donde la función f(x, y)= 1 y2no está definida cuando y=0. En el ejemplo anterior pudimos notar que el campo direccional de la ecuación y0=1 y2está definido solamente en los dos semiplanos que no contienen al eje xy por lo tanto sólo podemos encontrar curvas tangentes a él que yazcan en solamente uno de ellos. Este campo direccional, sin embargo puede ser extendido a la región donde no está definido de tal manera que el campo total resultante sea continuo, esto es, existe una dirección, la vertical, quesisedefine para los puntos del eje xentonces resulta un campo continuo. Por esta razón la discontinuidad que este campo presenta no se debe a la conformación misma de éste sino a que el lenguaje que hemos utilizado para describir el campo tiene limitaciones que le impiden definir direcciones CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN38 paralelas al eje de la variable dependiente2. Comoladiscontinuidadnoes intrínseca a la naturaleza del campo entonces podríamos buscar otra forma de definirlo en la que no aparezcan discontinuidades. En el ejemplo anterior, como ya hemos indicado, el problema para definir un campo direccional en todo el plano usando la ecuación y0=1 y2, radicabaen que una función y(x)derivable, no puede tener tangentes verticales (paralelas al eje y) esto sugiere que si, para definir el campo direccional, consideramos a ycomo variable independiente y a xcomo dependiente, entonces será posible definir el campo donde las correspondientes direcciones son paralelas al eje y pues esta variable ya no juega el papel de dependiente sino de independiente. El cambiar los papeles de xpor los de ysignifica considerar las funciones inversas x(y)y escribir, para definir el campo, una ecuación x0=g(y,x)para que el campo de esta ecuación coincida con el de y0=1 y2donde este último está definido, hacemos x0=y2. El campo de esta ecuación no sólo está definida donde lo estaba el de la ecuación original sino que lo está en todo el plano; cuando y=0(en el eje x), las direcciones que define son paralelas al eje y. Las soluciones de dx dy =y2están dadas por la ecuación x(y)= y3 3+c∀y∈R ysusgráficas (figura 9) ahora si “pintan” en el eje x. 2Esta limitación tiene origen en el hecho de que para cuantificar las pendientes de rectas usamos números reales y este conjunto resulta “chico" para este propósito pues después de haber asignado direcciones de cada número real, resta una dirección y ningún real que asignarles. CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN39 Figura 9 NOTA 1. La extensión que hemos hecho para el campo direccional de la ecuación y0=1 y2la podremos hacer en general para una ecuación y0=f(x, y) siempre que el campo de ésta presente el problema de direcciones verticales y no tenga direcciones horizontales. Para esto basta considerar el campo de la ecuación dx/dy =1/f(x, y)en todos aquellos puntos (x, y)donde f(x, y) esté definida y naturalmente hacemos dx dy =0donde limf(x, y)=±∞. NOTA 2. Hemos visto un ejemplo de campo direccional discontinuo que puede ser extendido continuamente. Esto no quiere decir que siempre que el campo direccional definido por la ecuación y0=f(x, y)sea discontinuo, este puede extenderse continuamente. Por el contrario existen ejemplosf de ecuaciones, más adelante veremos alguno, cuyos campos direccionales presentan discontinuidades que son característica intrínseca del propio campo y no es posible salvarla de manera alguna. CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN40 3.6 Campos con Direcciones Verticales y Horizontales En la sección anterior vimos que existe una estrecha relación entre las ecuaciones dy dx =f(x, y)(1) dx dy =1 f(x, y)(2) La relación está básicamente en que: i) Si f(x, y)es continua y diferente de cero en Rentonces en este conjunto el teorema de Peano garantiza la existencia de soluciones tanto de (1) como de (2) y las soluciones de (2) son las inversas de las soluciones de (1). En este caso decimos que (1) y (2) son equivalentes en el sentido de que sus soluciones, entendidas como curvas en el plano, son las mismas. ii) Cuando f(x, y)es continua en Rpero f(x, y)=0en H⊂Rentonces por cada punto de Rpasa una solución de 1, pero como 1/f(x, y) no está definida en H, no hay soluciones de (2) que pasen por estos puntos. Obviamente en la región R−Hlas gráficas de las soluciones de (1) y (2) coinciden. Por lo que hemos visto ni la ecuación (1) ni la (2) sirve para definir un campo direccional arbitrario, la (1) sirva para definir campos direccionales que no contengan direcciones paralelas al eje yy la ecuación (2) para los que no tengan direcciones paralelas al eje x. Si queremos trabajar con un campo direccional con direcciones tanto verticales como horizontales entonces habremos de tomar en cuenta ambas ecuaciones, la(1)paralaregióndondenohayadireccionesverticales yla(2)donde esto ocurre. De este manera, “pegando” los campos direccionales definidos por ambas ecuaciones y haciendo lo mismo para las correspondientessoluciones podemos obtener el campo direccional total así como el conjunto de curvas tangentes a él. Este procedimiento, aunque no parezca muy elegante, nos permite tratar el problema de definir un campo direccional arbitrario y encontrar las curvas tangentes a él, que obviamente ya no tendrán porqué ser gráficas de funciones. Las curvas tangentes al campo direccional definido por las CAPÍTULO 3. ANALISISGEOMETRICODELAECUACIONDEPRIMERORDEN41 ecuaciones (1) y (2) son llamadas curvas integrales tantodelaecuación(1) como de la ecuación (2). Ejemplo: Encontraremos el campo direccional y las curvas tangentes a él definido por las ecuaciones: dy dx =−x y,dx dy =−y x El campo direccional de la ecuación dy dx =−x yno está definido en el eje x yeldedx dy =−y xno lo está en el eje y. De dy dx =−x ypodemos ver que para cada punto (x, y)del plano con y6=0, la dirección asociada es la perpendicular al segmento que va del origen al punto (x, y), y usando la ecuación dx dy =−y xpodemos ver que las direcciones en el eje xson perpendiculares a este como se muestra en la figura 10. Esto sugiere que las curvas integrales de estas ecuaciones sean círculos con centro en el origen. Figura 10 Observación: No hay que pasar por alto que ninguna de las ecuaciones, (1) o (2), define dirección en el orígen. En este punto está indefinido el campo y no sólo esto sino, que la discontinuidaddd que este presenta es esencial pues no es posible definir en él alguna dirección de tal manera que el campo resultante sea continuo. CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 48 Entre las propiedades más importantes de la ecuación (8) está la interesante relación que existe entre sus soluciones y las soluciones de la correspondiente ecuación homogénea, es decir la ecuación y00 +p(x)y0+q(x)y=0 (9) La relación es la siguiente: Si Y0es la solución general de (8), Y0es la solución general de (9) y ypes una solución cualquiera de (8) entonces Y(x)=yp(x)+Y0(x) Este resultado se apoya en el razonamiento siguiente: Si y0es una solución de (9) entonces yp+y0es solución de (8). Esto demuestra que Y⊃ yp+Y0. Además, si yes solución de (8) entonces existe (y−yp)solución de (9) tal que y=yp+(y−yp). Lo que demuestra que Y⊂yp+Y0. Habiendo hecho esta abstracción, el problema de resolver la ecuación (8) se convierte en el de resolver (9) y encontrar una solución cualquiera de (8). Antes de proceder al estudio de las soluciones de las ecuaciones lineales, conviene que veamos bajo que condiciones podemos garantizar que estas existen. Teorema: (de existencia y unicidad) Si: i) p(x),q(x)yb(x)son continuas en [a, b] ii) x0∈[a, b] iii) y0,y 1∈R entonces existe una y sólo una solución de y00 +p(x)y0+q(x)y=b(x), definida en todo el intervalo [a, b],con la propiedad de que y(x0)=y0,y0(x0)=y1. Así, bajo las hipótesis de este teorema, dado cualquier punto en la franja del plano entre los puntos aybexiste una solución que pasa por él. A diferencia de lo que ocurría con las ecuaciones de primer orden ahora no hay única solución con esta propiedad, pero sí hay una única que pase por el punto en cuestión con una pendiente dada. CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 49 4.5 La Ecuación Homogénea Es muy fácil verificar que si φ1yφ2son soluciones de la ecuación homogénea entonces, para cualquier pareja de constantes reales c1yc2,la función φ= c1φ1+c2φ2también es solución. En álgebra lineal la expresión c1φ1+c2φ2 se conoce como una combinación lineal de φ1yφ2. Proposición:Siφ1yφ2son soluciones de la ecuación y00 +p(x)y0+q(x)y=0 entonces cualquier combinación lineal de ellas también es solución. En vista de este resultado conociendo una pareja de soluciones φ1,φ2entonces podemos conocer también toda una familia de soluciones determinada por los dos parámetros c1yc2. Por otra parte, de acuerdo a nuestra experiencia con las ecuaciones diferenciales es de esperarse que la solución general, de la ecuación (si esta existe) involucre dos constantes por ser de segundo orden. Entonces surge la siguiente pregunta: ¿Es c1φ1+c2φ2la solución general de la ecuación? esto es, ¿será que dada φuna solución cualquiera se pueden encontrar constantes c1yc2tales que φ=c1φ1+c2φ2?. Apelemos al teorema de existencia y unicidad para dar respuesta a por esta pregunta. Por éste sabemos que toda solución de la ecuación lineal de segundo orden está determinada por el valor que ella y su derivada tomen en un punto dado. Así para que cualquier solución φdeterminada por las condiciones iniciales φ(x0)=y0,φ0(x0)=y1se pueda escribir como combinación lineal de φ1yφ2, se debe cumplir que: dada cualquier terna (x0,y 0,y 1),x 0∈[a, b],y 0,y 1∈R existan c1yc2tales que c1φ1(x0)+c2φ2(x0)=y0 (10) c1φ0 1(x0)+c2φ0 2(x0)=y1 Cumpliéndose esto, la solución c1φ1+c2φ2coincide con la función φen el punto x0y entonces, por la unicidad debe coincidir con ella en todo punto del intervalo [a, b]. Para que la condición (10) se cumpla tiene que ocurrir que el determinante del sistema ¯¯¯¯¯ φ1(x0)φ2(x0) φ0 1(x0)φ0 2(x0)¯¯¯¯¯=[φ1φ0 2−φ2φ0 1](x0) CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 50 sea diferente de cero para cada x0∈[a, b].La función w(x)=[φ1φ0 2−φ2φ0 1](x) es conocida como el Wronskiano de la funciones φ1yφ2.Para poder entender lo que significa el que el Wronskiano de dos soluciones φ1yφ2nunca se anule, en la próxima sección daremos algunas definiciones de álgebra lineal y discutiremos una propiedad fundamental de la función w(x). 4.6 El Wronskiano Observemos que si φ1yφ2son soluciones de la ecuación homogénea (9) entonces W(x)=0∀x∈[a, b]óW(x)6=0,∀x∈[a, b].Estosedebeaque bajo tales condiciones φ00 1+p(x)φ0 1+q(x)φ1=0 φ00 2+p(x)φ0 2+q(x)φ2=0 multiplicando la primera ecuación por φ2, la segunda por φ1,yrestandola primeraalasegundatenemosque φ1φ00 2−φ2φ00 1+p(x)(φ1φ0 2−φ2φ0 1)=0,∀x∈[a, b] ycomoW0=φ1φ00 2−φ2φ00 1entonces W(x)cumple la ecuación W0(x)+p(x)W(x)=0 de donde W(x)=ce−Rxp(s)ds y esta función se anula sólo cuando c=0ya que la exponencial siempre es mayor que cero. Así pues, tenemos que c1φ1+c2φ2será la solución general de la ecuación (9) si el Wronskiano de estas dos soluciones no se anula en todo punto del intervalo [a, b]. Obviamente W(x)es la constante cero si alguna φ1óφ2resulta ser la constante cero1. Por lo tanto en este caso c1φ1+c2φ2no será la solución 1Note que este caso es de interés pues la función constante cero es solución de (9) CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 51 general de (9), lo que era de esperarse pues en realidad c1φ1+c2φ2=cφ1es una familia dependiente de un sólo parámetro y no de dos. Supongamos que ni φ1ni φ2son la constante cero, en este caso podemos encontrar un punto en [a, b]donde φ1no se anula. Como φ1es continua en [a, b]existe un intervalo [c, d]⊂[a, b]tal que φ1(x)6=0,∀x∈[c, d].Eneste intervalo φ1φ0 2−φ2φ0 1 φ2 1=d dx Ãφ2 φ1!=0 dedondeφ2=kφ1en[c, d],conkenR. Lafuinciónkφ1,estambiénsolución de la ecuación (9) y como coincide con la solución φ2en el intervalo [c, d], entonces por unicidad debe coincidir con ella en todo punto del intervalo [a, b]. Recíprocamente, si φ2=kφ1,en [a, b]entonces W(x)=φ1φ0 2−φ2φ0 1=kφ1φ0 1−kφ1φ0 1=0,∀x∈[a, b]. Así pues queda demostrado que: Teorema: Si φ1yφ2son soluciones de la ecuación homogénea (9), entonces la familia de funciones φ(x)=c1φ1(x)+c2φ2(x) es la solución general de (9) si y sólo si no existe k∈Rtal que φ2(x)=kφ1(x),∀x∈[a, b]. Cuando no existe k∈Rtal que φ2=kφ1en [a, b]se dice que las funciones φ1yφ2son linealmente independientes. Este nombre viene del álgebra lineal donde, en un contexto más general, se define el concepto de la manera siguiente: Definición:Siφ1yφ2son elementos de un espacio vectorial2y cualquier combinación lineal de ellos igualada a cero c1φ1+c2φ2=0 implica que c1=c2=0,entoncessedicequeφ1yφ2son linealmente independientes. 2Se puede demostrar que {φ|φ:[a, b]→R}es un espacio vectorial sobre el campo de los reales. CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 52 Fácilmente se puede demostrar que la proposición c1φ1+c2φ2=0⇒c1=c2=0 es equivalente a la proposición 6∃k∈R·3·φ2=kφ1 utilizando este lenguaje el teorema anterior se escribe como: Teorema:Siφ1yφ2son soluciones de (9) entonces φ=c1φ1+c2φ2es la solución general de (9) si y sólo si φ1yφ2son soluciones linealmente independientes. 4.7 El Uso de una Solución para Encontrar Otra Hemos visto que a partir de dos soluciones linealmente independientes se puedenobtenertodaslassolucionesdelaecuación(9). Enalgunoscasos este par de soluciones puede encontrase por pura inspección, sin embargo esto no es siempre posible. En la próxima sección veremos un método general para resolver la ecuación (9), pero aplicable solamente cuando los coeficientes p(x) yq(x)sonfunciones constantes. Cuandoestos coeficientesnosonconstantes el problema es más difícil y no se he podido obtener una fórmula general para las soluciones de la ecuación diferencial. En esta sección veremos un método general para resolver la ecuación (9) a partir del conocimiento de una sola solución. La idea es producir a partir de la solución conocida otra linealmente independiente a ella. Para esto llamémosle φ1a la solución conocida y supongamos que existe una solución φ2que es linealmente independiente a φ1.Entonces la función ϑ(x)=φ2(x)/φ1(x) no es constante y, si la podemos encontrar, conoceremos también a φ2. Busquemos entonces unas función ϑ(x)tal que φ2=ϑ(x)φ1sea solución, es decir, que satisfaga φ200 +p(x)φ20+q(x)φ2= 0 (11) CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 53 tenemos que φ2=ϑφ1 φ0 2=ϑφ0 1+ϑ0φ1 φ00 2=ϑ00φ1+ϑφ00 1+2ϑ0φ0 1. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (11) tenemos que ϑ00φ1+ϑ0(2φ0 1+p(x)φ1)+ϑ(φ00 1+p(x)φ0 1+q(x)φ1)=0 ycomoφ1es solución de (9), la ecuación que determina a la función ϑes: ϑ00φ1+ϑ0(2φ0 1+p(x)φ1)=0 ϑ00 =−(2φ0 1+p(x)φ1) φ1ϑ0 ϑ=cen−Rx(2φ0 1+p(s)φ1) φ1dso=c φ2 1 e−Rxp(s)ds de donde tomando c=1 ϑ(x)=Zxe−Rzp(s)ds φ2 1(z)dz resultando en conclusión que la solución φ2buscada está dada por: φ2=φ1Zxe−Rzp(s)ds φ2 1(z)dz 4.8 La Ecuación Lineal con Coeficientes Constantes Ahora, consideremos la ecución y00 +py0+qy = 0 (12) donde pyqson constantes reales. La forma de la ecuación sugiere buscar soluciones que satisfagan las ecuaciones y0=k1y CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 54 y00 =k2y. En ese caso tendríamos que y(x)(k1+kp +q) = 0 (13) y, si las constantes k1yk2se escogen de tal manera que k1+kp +q=0, entonces la función que hemos propuesto será una solución de la ecuación diferencial.. El hecho de que y0=ky implica que y(x)=cekx. Sustituyendo esta expresión en la ecuación y00 =k1yobservamos que k1debe tomar el valor k2. Así concluimos que la función y(x)=cekx es solución si la constante kcumple la ecuación k2+pk +q= 0 (14) entonces la función y(x)=ekx es solución. La ecuación (14) es llamada la ecuación característica de la ecuación diferencial y el miembro izquierdo, el polinomio característico. (a) En el caso en que la ecuación característica tiene dossolucionesreales diferentes, digamos r1yr2tendremos que φ1(x)=er1xyφ2(x)=er2x son soluciones de la ecuación diferencial y como la razón φ1(x)/φ2(x)=e(r1−r2)x no es constante cuando r16=r2entonces la solución general de (12) será: φ=c1φ1+c2φ2=c1er1x+c2er2x. (b) En el caso en que el polinomio tenga raíces múltiples r1=r2=−p/2 CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 55 y por lo tanto obtendremos sólo una solución φ1(x)=e−px/2. Utilizando el método que ya obtendremos para encontrar una solución linealmente independiente a una conocida resulta que φ2(x)=ϑ(x)φ1(x)con ϑ(x)=x. La solución general estará dada por φ(x)=c1φ1(x)+c2φ2(x)=c1e−px 2+c2xe−px 2 también puede ocurrir que la ecuación característica tenga dos soluciones complejas. Si una de ellas es a+ib entonces la otra será su complejo conjugado a−ib. Las soluciones que surgen a partir de estas dos raíces son: y1(x)=e(a+bi)x,y2=e(a−bi)x. Estasfuncionessonformalmentesolucionesaunqueasumenvalorescomplejos. Esto de debe a que todos los razonamientos que hemos hecho hasta aquí servirían para encontrar las soluciones conplejas (y:R→C)de la ecuación (12) con coeficientes pyqen los complejos. Como hemos supuesto coeficientes p, q ∈R,queremos obtener soluciones reales. Para esto usamos la fórmula de Euler (eiθ=cosθ+isenθ) para escribir las soluciones como: y1(x)=eax(cosbx +isenbx) y2(x)=eax(cosbx −isenbx). Ahora, para encontrar dos soluciones reales, linealmente independientes entre sí, basta notar que φ1(x)=y1(x)+y2(x) 2=eax cosbx φ2(x)=y1(x)−y2(x) 2i=eaxsenbx sonsolucionespuessoncombinaciónlinealdesolucionesyademássonreales. Por lo tanto φ(x)=eax(c1senbx +c2cosbx) es la solución general de (12). CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 56 4.9 La Ecuación no Homogenea. Variación de Parámetros En la sección 4.4 vimos que la solución general de la ecuación no homogénea y00 +p(x)y0+q(x)=b(x)(8) está dada por la expresión Y(x)=yp(x)+Y0(x)cuando se conoce la solución general de la ecuación homogénea, para encontrar la solución general de la no homogénea sólo resta encontrar una solución cualquiera de esta última. A continuación veremos un método para encontrar una solución de la no homogénea a partir del conocimiento de dos soluciones linealmente independientes, φ1yφ2de la ecuación homogénea. La idea será encontrar ypde la forma: yp(x)=ϑ1(x)φ1(x)+ϑ2(x)φ2(x) (15) como queremos que ypsea solución de (8) tiene que ocurrir que y00 p+p(x)y0 p+q(x)y=b(x) (16) al sustituir (15) en (16) resultará una ecuación de segundo orden para ϑ1y ϑ2. Esta ecuación representa una sola condición sobre las dos incógnitas ϑ1yϑ2. Para poder determinar estas dos funciones necesitamos imponer una condición adicional. Como y0 p=(ϑ1φ0 1+ϑ2φ0 2)+(ϑ0 1φ1+ϑ0 2φ2), al obtener y00 paparecerán en el segundo paréntesis segundas derivadas de ϑ1yϑ2. Por lo tanto conviene imponer la condición adicional de que dicho paréntesis se anule y así y0 p=ϑ1φ0 1+ϑ2φ0 2(17) y00 p=ϑ0 1φ0 1+ϑ1φ00 1+ϑ0 2φ0 2+ϑ2φ00 2(18) sustituyendo (15), (17) y (18) en la ecuación (8), tenemos que ϑ1yϑ2quedan determinadas por el sistema (b(x)=ϑ1(φ00 1+p(x)φ0 1+q(x)φ1)+ϑ2(φ00 2+p(x)φ0 2+q(x)φ2)+ϑ0 2φ0 2+ϑ0 1φ0 1 0=ϑ0 1φ1+ϑ0 2φ2) CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 57 como φ1,φ2son soluciones de la ecuación homogénea, este sistema se reduce al sistema de ecuaciones lineales (ϑ0 1φ0 1+ϑ0 2φ0 2=b(x) ϑ0 1φ1+ϑ0 2φ2=0 ). Resolviéndolo para ϑ0 1yϑ0 2se obtiene que: ϑ0 1=b(x)φ2 −W(φ1,φ2) ϑ0 2=b(x)φ1 W(φ1,φ2). Estas ecuaciones están bien definidas pues W(φ1,φ2)6=0.Integrándolas, obtenemos la solución particular que buscamos: yp(x)=φ1(x)Zx −b(s)φ2(s)ds W(φ1(s),φ2(s)) +φ2(x)Zxb(s)φ1(s)ds W(φ1(s),φ2(s)). 4.10 Ecuación de Cauchy-Euler La ecuación de Cuchy-Euler es de la forma x2y00 +axy0+by =0,donde a, b ∈<.para encontrar su solución, usamos la siguinte sustitución: y=xm, y sus derivadas: y0=mxx−1 y00 =m(m−1)xm−2 x2m(m−1)xm−2+axmxm−1+bxm=0 m(m−1)xm+amxm xm[m(m−1)+am +b]=0 como xm6=0,por ser la solución propuesta, entonces m(m−1)+am +b=0 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 64 primer orden está representado por un par de ecuaciones del tipo (F1(t, x(t),x 0(t),y(t),y0(t)) = 0 F2(t, x(t),x 0(t),y(t),y0(t)) = 0 )(1) y el problema de resolver el sistema es el de encontrar las parejas de funciones x(t),y(t)que satisfacen las igualdades del sistema. En este capítulo nos restringiremos a considerar sistemas del tipo (dx dt =f(x, y, t) dy dt =g(x, y, t))(2) que constituyen un caso particular de los sistemas de la forma (1) que aparece frecuentemente en las aplicaciones. El caso particular del sistema (2) donde los miembros derechos no dependen explícitamente de t,(dx dt =f(x, y) dy dt =g(x, y))(3) se conoce con el nombre de sistema de ecuaciones diferenciales autónomo mientras que el sistema (2) es llamado no autónomo. La diferencia entre estossistemasesque,enelautónomo,taparece solamente como un parámetro mudo, mientras que en el no autónomo aparece también como variable. Sipensamosquelasfuncionesx(t),y(t)representanlasvariablesdeestado de algún sistema dinámico, podemos interpretar que la aparición del tiempo como variable en el sistema no-autónomo significa que el sistema que se está modelando interactúa con el exterior. Esto puede ilustrarse con los siguientes: Ejemplos: A). Oscilador armónico simple. Considérese una masa m que se desliza sobre una mesa sin fricción sujeta únicamente ala acción de un resorte. Ver figura 1. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 65 Figura 1 AsemejanzadeltratamientohechoenelcapítuloIIparalacaida de un cuerpo bajo la acción de la gravedad, aquí consideraremos dos variables de estado, la velocidad y la posición. La posición, como se muestra en la figura 1, la medimos desde la posición de equilibrio de la masa del resorte. Para un sistema de este tipo, de la relación física entre las variables y de la ley de Newton para un cuerpo sobre el que actúa una fuerza F(x, ϑ,t), tenemos que las ecuaciones que determinan sus comportamiento son las siguientes: (dx dt =ϑ dϑ dt =F(x,ϑ,t) m)(4) Experimentalmente se ha encontrado que la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo depende únicamente de la posición y que esta es en magnitud directamente proporcional a la elongación del resorte. De esto podemos concluir que la magnitud de F(x)es kx,siendokunacons-tantepositivadeproporcionalidad. Como el movimiento del cuerpo puede ser lo mismo a la derecha que a la izquierda del origen del eje de las x, y la fuerza es en la dirección positiva del eje xcuando xes negativa y viceversa, entonces para queelsignodelaxnos de el signo de lafuerza necesitamosescribir F(x)=−kx. De esta manera cuando x>0,F(x)<0, y cuando x<0,F(x)> 0, lo que indica que la fuerza actúa en la dirección negativa del eje xen el primer caso y en la dirección positiva en el segundo. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 66 Sustituyendo la expresión para F(x)en (4) obtenemos (dx dt =ϑ dϑ dt =−kx m). Este es un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo, lo que corresponde a la realidad física de que este sistema no interactua con el exterior y tiene una dinámica determinada únicamente por los elementos que lo constituyen. B). Oscilador armónico forzado. Si ahora hacemos que sobre este sistema actúe algún agente externo, por ejemplo, un niño que con su abanico le echa aire al cuerpo, entonces este aire ejercerá una fuerza adicional sobre el resorte y ya no tendremos el mismo comportamiento que cuando el sistema no interactuaba con el exterior. La fuerza que el niño ejerce por medio del abanico no está en función de la posición del cuerpo ni de su velocidad, ésta depende de que el niño abanique o no y su magnitud, de que abanique con más o menos fuerza. Aunque esta fuerza esté sujeta al capricho del niño y no se pueda expresar en términos de las variables de estado xyϑ, resulta, que en cada tiempo t, el niño ejercerá una fuerza de una magnitud que llamaremos f(t).Side antemano conocemos la función f(t),entonces podemos formular matemáticamente el problema. La fuerza que actúa ahora sobre el cuerpo será la del resorte más la que el niño ejerce con el abanico. Si llamamos FTala“fuerza total” que actúa sobre el cuerpo entonces FT(x, t)=−kx +f(t). sustituyendo FTen (4) tenemos (dx dt =ϑ dϑ dt =1 m(−kx +f(t)) ). Este es un sistema de ecuaciones no autónomo, pues la influencia del niño ha hecho aparecer en la ecuación un término que depende explícitamente del tiempo. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 67 Ahora el tiempo juega un papel distinto. Actúa como si fuera una variable de estado, pues la forma en que el sistema se comporta a partir de un momento dado no depende únicamente del valor de la pareja (x, ϑ),sino también de en que tiempo toma los valores xyϑ.Es decir, depende de la terna (x, ϑ,t). Enelsistemaautónomo,loqueocurraapartirdelmomentoen que las variables del sistema tomen los valores (x, ϑ)depende únicamente de estos valores. Esto permite manejar al tiempo únicamente como parámetro y establecer el origen del tiempo arbitrariamente, diciendo que t=0cuando el sistema se encuentre en cualquier estado (x, ϑ)que queramos. Para el sistema no autónomo no se puede fijarlaescaladetiempodemaneraarbitraria pues tenemos la restricción de sincronizarla con la que fue usadaparadarlafunciónf(t). 5.2 Equivalencia entre Sistemas de Primer Grado y Ecuaciones de Orden Superior Para los ejemplos mecánicos que se han considerado las leyes de comportamiento han tomado la forma de un sistema de ecuaciones de primer orden. También es común encontrar que tales leyes aparezcan enunciadas como una ecuación diferencial de segundo orden, por ejemplo podemos encontrar que para el cuerpo en caída libre su ley de movimiento se escriba como mx00 =mg y para el oscilador armónico simple como mx00 +kx =0 lo que ocurre es que esas ecuaciones diferenciales de segundo orden, y los sistemas de ecuaciones de primer orden que anteriormente escribimos para los mismos problemas, son equivalentes. En general, una ecuación de segundo orden, digamos y00 =f(x, y, y0)(5) CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 68 puede convertirse en un sistema de primer orden si definimos las variables y1,y 2como y1=y, y2=y0. Haciendo este cambio de variables resulta el sistema equivalente (dy1 dx =y2 dy2 dx =f(x, y1,y 2)).(6) si este sistema es resuelto de alguna manera, entonces y1(x)será solución de (5). Recíprocamente, si tenemos un sistema del tipo (6), sustituyendo y2por dy1/dx en la segunda ecuación obtendremos la ecuación de segundo orden y00 1=f(x, y1,y0 1) y si ésta es resuelta entonces la solución de (6) queda dada por la pareja (y1(x),d/dty 1(x)). Nota: Análogamente, se puede ver que la ecuación y(n) 1=f(x, y1,y0 1,···,y(n) 1) yelsistema            dy1 dx =y2 dy2 dx =y3 ······· dyn dx =f(x, y1,y 2,···,y n)            son equivalentes. 5.3 Espacio de Fases Consideremos un sistema del tipo: (x0=A(x, y, t) y0=B(x, y, t))(7) De acuerdo a lo que hemos convenido anteriormente, por una solución de (7) entendemos una pareja de funciones x(t),y(t)tal que al sustituirlas en (7) hacen valer sus ecuaciones. En consecuencia, podemos pensar que cada solución del sistema es una función F:R→R2con regla de correspondencia F(t)=(x(t),y(t)). CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 69 Ejemplo: Para el sistema (x0=−y y0=x) por inspección se encuentra que las soluciones son funciones de la forma F(t)=(rcos(t+c),r sen(t+c)) ∀t∈R donde rycson constantes arbitrarias. Paraestudiargeométricamente lassolucionespodemostomardoscaminos que señalaremos a continuación: A) Podemos considerar las gráficas de las soluciones que, entendiendo a las soluciones como funciones de Ren R2,resultancurvas en R3. Para el ejemplo anterior éstas curvas son como muestra la figura 2. Figura 2 B) En el ejemplo considerado es relativamente fácil graficar las soluciones,perocuandoestonoesasísepuedeobtenerunaimagen de las soluciones graficando, en el plano xy ,laimagendela función F(t)que representa la solución. El plano xy donde graficamos las imágenes de las soluciones de (7) es llamado espacio de fases de (7) y las curvas, en este espacio, que constituyen CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 70 las imágenes de las soluciones son llamadas curvas integrales o trayectorias en el espacio de fases del sistema (7). Desde el punto de vista de las aplicaciones es conveniente pensar en las trayectorias del sistema en el espacio de fases por que si el sistema (7) representa algún sistema físico caracterizado por las variables de estado xey, entonces cada punto (x, y)del espacio de fases, representa un estado del sistema y en cada tiempo tal correspondiente estado del sistema le corresponde un punto de este espacio. Así, si en cada tiempo nos fijamos en el punto del espacio fase que representa el estado del sistema en ese tiempo, tendremos que al evolucionar el sistema real de un estado a otro, lo que ocurre en el espacio fase, es que el punto que representa al sistema se moverá a lo largo de una curva; de la correspondiente trayectoria integral del sistema. Para el ejemplo que estamos considerando, las trayectorias en el espacio de fases resultan círculos con centro en el origen. Figura 3 Este resultado, pensando que el sistema del ejemplo se refiere a algún sistema dinámico1, nos dice que el sistema en estudio tiene un comportamiento periódico. Nota 1. Las trayectorias del sistema en el espacio fase son las proyecciones de las gráficas de las soluciones sobre el plano xy. 1Si xrepresenta la distancia de la posición de equilibrio a que se encuentra una masa unitaria en un oscilador sin fricción y constante del resorte K=1, entonces las ecuaciones del ejemplo describen el comportamiento del oscilador. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 71 Nota 2.Six=y(t)yy=ψ(t)es una solución de (7) entonces éstas son ecuaciones paramétricas de la correspondiente trayectoria en el espacio de fases y eliminando el parámetro ten estas ecuaciones, obtenemos la relación entre la variable xylavariableyy que debe obedecer la correspondiente trayectoria en el espacio de fases. Nota 3. Al obtener las trayectorias del sistema en el espacio de fases obtenemos un conjunto de puntos en el plano y, por descartar el parámetro t, perdemos información acerca de la forma en que estas curvas se van dibujando al transcurrir el tiempo. Si el sistema es autónomo2, una parte de la información perdida, la dirección en que se dibuja la curva al incrementar el parámetro, se puede recuperar si directamente de la ecuación analizamos el signo de x0odey0 en las diferentes regiones del plano. Hecho esto, podemos asignarle dirección a las trayectorias en el espacio de fases. Para ejemplificar consideremos el sistema (7). Sabemos que las trayectorias son círculos y de la ecuación y0=x,queycrece en aquellas regiones del plano donde x>0tomando esto en cuenta podemos afirmar que las trayectorias se recorren en el sentido de las manecillas del reloj como muestra la figura 4. Figura 4 2Si el sistema no es autónomo las flechas en el espacio fase pueden invertirse al incrementar el parámetro. Analice por ejemplo x0=−yt,y0=xt y considere el cambio de signo en t. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 72 5.4 Campos Vectoriales El problema de resolver el sistema autónomo (x0=A(x, y) y0=B(x, y))(8) tiene una interpretación geométrica simple en términos de campo direccionales. La idea es fijarse en la función F(x, y)=(A(x, y),B(x, y)) y notar queéstadefineun vectorencadapuntodelplanodondeAyBesténdefinidas. Así, la función Fdetermina un campo vectorial en el plano xy. Encontrar las parejas de funciones (x(t),y(t)) que satisfacen (8) es lo mismo que encontrar aquellas curvas lisas γ(t)=(x(t),y(t)) con la propiedad de que si (x(t),y(t)) es un punto cualquiera de γentonces F(x(t),y(t)) = (x0(t),y0(t)). Dicho de otra forma: resolver la ecuación diferencial (8) es encontrar la familia de curvas tangentes al campo vectorial determinado por dicha ecuación. Figura 5 Nota 1: La función Ftambién determina un campo de direcciones en aquella región del; plano donde sus funciones componentes, AyBno se anulan simultáneamente. Para esto basta considerar en cada punto del plano un segmento con pendiente B/A (o considerar el cociente A/B en aquellos puntos en los que Ase anule). Entonces, el problema de resolver el sistema (8) está relacionado con el problema de encontrar la familia de curvas tangentes al campo direccional definido por F, en el sentido en que fue planteado en el capítulo III. La relación es la siguiente: CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 73 1) Al resolver (8) estamos buscando curvas tangentes al campo direccional definido por Fpero que tengan además una parametrización tal que los vectores derivada coincidan en cada punto con los vectores del campo. 2) Al resolver la ecuación −Bdx+Ady =0, que nos da las curvas tangentes al campo direccional definido por F, obtendremos las trayectorias en el espacio de fases del sistema (8). Nota 2: Si la curva γparametrizada como γ(t)=(x(t),y(t)),∀t∈R, es tal que γ0(t)=F(γ(t)) ∀t, entonces ∀c∈R[γ(t+c)]0=F(γ(t+c)). Esto quiere decir que las traslaciones en la dirección del eje t, de las gráficas de las soluciones del sistema (8) también son gráficas de soluciones de (8). Nota 3: Para el sistema (8), si (x0,y0)es tal que A(x0,y0)=B(x0,y0)=0, entonces γ(t)=(x(t),y(t)) = (x0,y0) es solución. Estas soluciones son llamadas soluciones de equilibrio,susgráficas son rectas paralelas al eje y sus trayectorias en el espacio fase degeneran en puntos. Estos puntos son llamados puntos de equilibrio. 5.5 Teorema de Existencia y Unicidad En esta sección presentaremos un teorema de existencia y unicidad para el sistema (7) y discutiremos algunas interpretaciones geométricas de él. Teorema: Si A(x,y,t)yB(x,y,t), son continuas en una región R⊂R3 y(x0,y0,t0)es un punto cualquiera de Rentonces existe una solución (x(t),y(t)) del sistema (7) que cumple con (x(t0),y(t0)) = (x0,y0).(9) CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 80 Figura 9 Sistemas Interactuantes Si en el sistema (11) tenemos que b2+c26=0entonces por el método de eliminación de variable lo podemos reducir a una ecuación equivalente de orden dos. Suponiendo que b6=0y despejando x2de la primera ecuación de (11) tenemos x2=x0 1−ax1 b,x 0 2=x00 1−ax0 1 b.(14) Sustituyendo(14)enlasegundaecuacióndelsistemaobtenemoslaecuación x00 1−(a+b)x0 1+(ad −bc)x1=0. Esta es una ecuación lineal de 2o. orden con coeficientes constantes y podemos aplicar los métodos del capítulo IV para resolverla. Una vez encontrada x1(t)encontramos a x2(t)usando las ecuaciones (14). Así resulta que podemos tener tres casos dependiendo del tipo de raíces del polinomio característico: r2−(a−b)r+(ad −bc)=0. I) Raíces reales y distintas.Sir1yr2son estas raíces tenemos que la solución general de (11) resulta: (x1,x 2)=(Aer1t+Ber2t,A(r1−a)er1t b+B(r2−a)er2t b) II) Raíz múltiple.Sires la raíz la solución general es: (x1,x 2)=(A+Bt)ert,(A+Bt)ert (r−a) b+B bert) III) Raíces complejas.Silasraícessonα+iβyα−iβentonces (x1,x 2)=(eαt(A1cosβt+A2senβt),eαt b(A1cosβt+A2senβt)(α-1) +β(A2cosβt+A1senβt)) A continuación analizaremos por separado estos tres casos para encontrar la forma de las trayectorias en el espacio de fases. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 81 I) Reescribiendo la solución general como (x1,x 2)=A(1,(r1−a) b)er1t+B(1,(r2−a) b)er2t vemos que conviene considerar nuevos ejes de coordenadas determinados por los vectores5: v1=(1,(r1−a) b),v 2=(1,(r2−a) b) pues, en estos ejes la solución toma una forma muy sencilla. Si llamamos (ϑ1(t),ϑ2(t)) a la solución de (11) en estos ejes resulta que (ϑ1(t),ϑ2(t)) = (Aer1t,Be r2t) y usando los resultados de (II) y (III) de (A)tenemosquelastrayectoriasen el espacio fase son como muestran las figuras 8 y 9. Puede ocurrir que ϑ1yϑ2no sean ortogonales y en este caso, aunque cualitativamente las trayectorias siguen siendo las mismas, sufren alguna deformación. Ver figuras 9 y 10. Figura 10 II) Reescribiendo la solución general como (x1,x 2)=(A+Bt),(1,(r−a) bert +B(0,1 b)ert 5Note que v1yv2no son paralelos. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 82 tenemosquerespectoalosejesdeterminadosporlosvectores v1=(1,(r1−a) b),v 2=(0,1 b) la solución es (ϑ1(t),ϑ2(t)) = (A+Bt)ert,Be rt) Para analizar las trayectorias supondremos primero que v1yv2son ortogonales (esto ocurre cuando con a=dyc=0)yquer=−λ,λ>0,los casos restantes los consideraremos más adelante. En este caso tenemos también que ϑ1(0) = Ayϑ2(0) = B. Si la condición inicial está sobre el eje ϑ1(B=0)tenemos dos trayectorias que se acercan al origen a lo largo del semieje positivo de ϑ1o del negativo dependiendo respectivamente de que A>0óA<0. Si la condición inicial está sobre la parte positiva del eje ϑ2(A=0,B>0) tenemos ϑ1=Bte−λt, ϑ2=Bte−λtde donde podemos ver que: (1) ϑ2(t)>0∀t. (2) ϑ1(t)>0∀t, ϑ1(t)<0∀t<0. (3) A partir del punto (ϑ1(0),ϑ2(0)) = (0,B),amedidaque t→∞,ϑ2→0. (4) dϑ1 dt =Be−λt(1−λt)de donde dϑ1/dt > 0⇔λt<1 ydϑ1/dt < 0⇔λt>1 esto indica que, mientras taumenta de 0at=1/λ,ϑ1aumenta y, a partir de t=1/λ,ϑ1disminuye. (5) dϑ2 dϑ1=dϑ2/dt dϑ1/dt =−λ (1−λt),entonces lim t→∞ dϑ2 dϑ1=0 por valores positivos y lim t→−∞ dϑ2 dϑ1=0 por valores negativos. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 83 Estas ecuaciones nos llevan a la conclución de que las curvas en el semiplanosuperior soncomomuestra lafigura 11. En esta figurasehandibujado también las trayectorias en el semiplano inferior cuyas características resultan de un análisis semejante al hecho anteriormente. En la figura 12 aparecen lascurvascorrespondientesalcasoenquer>0. Figura 11 Figura 12 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 84 En la figura 13 aparecen estas curvas cuando ϑ1yϑ2no son ortogonales. Figura 13 III) Reescribiendo la solución general para este caso como (x1,x 2)=(A1cosβt+A2senβt)eαt(1,α−a b)+ (A2cosβt−Asenβt)eαt(0,β b) y considerando los ejes determinados por v1=(1,α−a b),v 2=(0,β b) tenemos que (ϑ1(t),ϑ2(t)) = ((A1cosβt+A2senβt)eαt,(A2cosβt−A1senβt)eαt) yque ϑ2 1+ϑ2 2=(A2 1+A2 2)e2αt.(15) Consideremos ahora dos casos: CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 85 a) Raíces Imaginarias (α=0). La ecuación (15) nos dice que la trayectoria con condiciones iniciales (ϑ1(0),ϑ2(0)) = (A1,A 2), se mueve sobre el círculo de radio qA2 1+A2 2concentroenel origen. En la figura 14 aparecen las figuras cuando los ejes ϑ1yϑ2son ortogonales y en la figura 15 cuando no lo son. Los sentidos en que se recorren las curvas en estas figuras fueron tomados arbitrariamente, pero estos se pueden encontrar en cada caso directamente del sistema de ecuaciones, analizando los signos de dx1/dt ode dx2/dt enlasdiferentesregionesdelplano. Figura 14 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 86 Figura 15 En la figura 15 hemos dibujado estas curvas para el caso en que los ejes ϑ1yϑ2no son ortogonales. b) Parte real distinta de cero. Naturalmenteenestecasotendremos espirales que entran o salen del origen dependiendo de que αsea negativo o positivo respectivamente. En la figura 16 mostramoscurvascorrespondientesalcasoenqueα<0yv1es ortogonal a v2.Enlafigura 17 aparecen curvas para un caso de no ortogonalidad con α<0. Figura 16 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 87 Figura 17 5.8 Clasificación de los Puntos Críticos Los resultadosde la sección anterior nos permiten ver quelos sistemasdel tipo (11) se pueden clasificar de acuerdo al tipo de raíces que tenga la ecuación6 r2−(a+d)r+(ad −bc)=0.(16) Esta clasificación nos da escencialmente seis tipos de comportamientos distintos (cualitativamente hablando) para las trayectorias del sistema (11) alrededor del punto de equilibrio en el origen. Decimos, alrededor del origen porque, “en lo pequeño”, si consideramos la vecindad de un punto del espacio fase que no sea de equilibrio, tenemos que las trayectorias son paralelas y es fundamentalmente la estructura de éstas alrededor de los puntos de equilibrio lo que determina el comportamiento global de las trayectorias. A continuación y a manera de resumen mencionaremos estos seis grupos y los nombres que reciben los puntos de equilibrio en cada caso. I) Raíces iguales a) Si b=c=0entonces tenemos la situación mostrada en la situación mostrada en la figura 18 y el origen se dice que es un punto estrella. b) Si b2+c26=0entonces se dice que el punto es un nodo impropio.Figura19. 6Como recurso nemotécnico note que si A=¡a cb d¢entonces la ecuación (16) se puede escribir como r2−traza(A)+det(A)=0. CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 88 II)Raíces de signo opuesto.Enestecasotenemosunpunto silla. Figura 20. III)Distintas del mismo signo. Es el caso de un punto tipo nodo. Figura 21. IV)Complejas con parte real distinta de cero. Tenemosunpunto tipo foco. Figura 22. V) Imaginarias.Eselcasodeuncentro. Figura 23. Figura 18 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 89 Figura 19 Figura 20 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 96 Para estudiar la dinámica del sistema (*3) es muy poco lo que se puede hacer analíticamente y su exploración tiene que hacerse fundamentalmente por medio de simulaciones numéricas. Cuando no hay fricción (β=0),el retrato de fases del sistema (*2) puede obtenerse sin tener que recurrir a cálculos numéricos. Esto es porque entonces es un sistema conservativo es decir, que la función energía dada por E(0,ω)=l2ω2 2+k(1−cosθ) se mantiene constante durante el movimiento del péndulo. En este caso, las órbitasdelsistemaenelespaciodefasesestándadasporlascurvasdenivel de esta función. En consecuencia las órbitas del sistema están dadas por la familia de curvas que se obtienen de la expresión ω=±1 lq2(E−k(1−cosθ) variando la constante E. Para dibujar estas curvas se puede recurrir a diversos métodos cualitativos, pero es un buen ejercicio verificar por integración numérica directa que éstas deben tener la forma que muestra la figura 25. Es también un buen ejercicio el identificarcadatipodeórbitaenelespacio de fases, con el movimiento correspondiente del péndulo. Figura 2. Orbitas del péndulo en el espacio de fases, obtenidas con el analizador INTEGRA, para el caso conservativo (β=0,k=@) Cuando estudiamos el oscilador armónico (sección 5.2 ), vimos que este sistematieneunafrecuenciacaracterísticadeoscilaciónalaqueestánsujetos todos sus movimientos. Generalmente se consideran estas oscilaciones CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 97 armónicas como una aproximación a las oscilaciones de amplitud pequeña del péndulo. Esta aproximación está motivada por el hecho de que, para ángulos pequeños la función ksenθestá bien aproximada por su parte lineal: kθ.Enlafigura 25 puede observarse que alrededor del punto de equilibrio (θeq,ωeq)=(0,0) aparece una familia de curvas cerradas que confirman la validez de la aproximación. Sin embargo, al hacer las simulaciones numéricas, se observa que estas órbitas cerradas del pédulo, a diferencia de las órbitas cerradas del oscilador armónico, corresponden todas ellas a movimientos de frecuencias distintas. A medida que las oscilaciones son de amplitud mayor su periodo es mayor y este tiende a infinito cuando la condición inicial θ0se acerca al valor θ=π. Esto quiere decir que para el péndulo, a diferencia del oscilador armónico, no existe una frecuencia que sea característica de todas las oscilaciones. Por otra parte, en el límite en el que θ0tiende al valor θ=0, el periodo de las oscilaciones del péndulo tiende al valor 2π/√kque es el período de las oscilaciones lineales correspondientes. También puede demostrarse usando métodos de la teoría de perturbaciones que la función T(θ0), que nos da el período de las oscilaciones del péndulo en función de la amplitud θ0de la oscilación, es una función que tiene una gráfica tangente alarectaT=2π/√k. Esto puede interpretarse como que las oscilaciones pequeñas del péndulo tienen una frecuencia característica en el límite θ0→0. Figura 26 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 98 5.9.2 La Ecuación de Van der Pol como Modelo de un Nervio Una característica distintiva de las células nerviosas es su actividad eléctrica. La capacidad que tiene estas células para producir y propagar impulsos eléctricos se debe a la ocurrencia de varios procesos no lineales, de orígen físico-químico, que tienen que ver con la forma en que la membrana celular manifiesta una permeabilidad selectiva a los diferentes iones del medio intra y extracelular. En esta sección nos ocuparemos de un modelo que sirve para ayudar a entender la dinámica de los procesos involucrados en la producción de impulsos nerviosos. El modelo, estudiado independientemente por R. FitzHugh y K. Nagumo, está dado por el sistema ˙v=−f(v)−ω+I(t) ˙ω=b(x−γω).(FHN) Aquí la variable de estado v(t)representa la diferencia de potencial eléctrico a través de la membrana celular, ω(t)es una variable de recuperación del sistema, I(t)representa una corriente externa proveniente de otra célula o aplicada por el experimentador y tanto bcomo γson constantes positivas. La función f(x)es la responsable de la no linealidad del sistema y se considera de tipo cúbico con una región de pendiente negativa. Aquí supondremos que f(x)=x(x−a)(x−1), siendo aotra constante positiva del sistema. Figura 27 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 99 El sistema de FitzHugh-Nagumo tiene una estructura similar al famoso sistema de van der Pol. Ambos sistemas son equivalentes a una ecuación de segundo orden del tipo ¨x+f(x, ˙x)+g(x)=h(t) queesconocidacomolaecuacióndeLienard. Al cambiar los valores de los parámetros del sistema FHN se pueden observar distintos comportamientos de interés biológico. En uno de ellos, como se muestra en la figura 28 Ay B, el sistema muestra un comportamiento excitable mientras que en la figura28Cy D,seobserva queelsistemaobedece a un régimen periódico caracterizado por la producción repetida de impulsos. Figura 28. A. Curvas ceroclinas y órbitas en el espacio de fases de la ecuación FHN. B. Curso temporal del voltaje. C. Gráfica hecha con INTEGRA usando el método de Runge-Kutta con h=0.5cuando I=0,Cy CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 100 D muestran la dinámica oscilatoria que se produce al aplicar una corriente constante I=1,a=0.2,b=.001 yγ=5.2. Estosimpulsossonconocidoscomopotenciales de acción entre los neurofisiólogos. La presencia de un potencial umbral para la excitación y la transición del régimen excitable al régimen oscilatorio que muestra el modelo FHN al aplicar una corriente constante I, coincide con las observaciones experimentales: (1) Cuando el voltaje de reposo de la membrana celular es perturbado, pero sin que vaya más allá de un voltaje umbral vµdespués de un breve lapso se relaja a su valor original; (2) Cuando la perturbación del voltaje a través de la membrana rebasa el valor de umbral vu, se produce un potencial de acción y después de un lapso del orden de milisegundos el voltaje de la membrana recupera a su valor de reposo; (3) Cuando, en lugar de una perturbación instantánea del voltaje atravésdelamembrana,seaplicaunacorrienteconstantepara sostener la perturbación, se observa que la membrana responde produciendo una serie periódica de potenciales de acción. Estos se producen con una frecuencia que crece con la intensidad de la corriente aplicada.