Électricité- Magnétostatique

Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique Cours & Travaux Dirigés Pr. Najim MANSOUR Maître de conférence habilité Equipe de Physique Moderne, Rayonnement et Applications (PMRA) Laboratoire des Systèmes Intelligents Matériaux et Energie Durables (SIMED) Département des sciences de l’ingénieur Faculté des Sciences et Technique-Errachidia Université Moulay Ismail 2025, Najim MANSOUR Tous droits réservés. 5 octobre 2025 Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés Table des matières 1 Introduction 2 2 Forces magnétiques 2 2.1 Force magnétique agissante sur une charge en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Force magnétique agissante sur un conducteur : Loi de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Champ d’induction magnétique crée par les courants : Loi de Biot-Savart 3 4 Théorème d’Ampère 5 4.1 Calculs de champ B à partir de théorème d’Ampère (voir les exercices 4 et 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.1.1 Plans de symétrie et d’antisymétrie de la distribution de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.2 forme intégrale du théorème d’Ampère (voir l’exercice 4) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 Flux Magnétique et Induction 7 5.1 FluxMagnétique...................................................... 7 5.2 InductancePropre ..................................................... 7 5.3 InductanceMutuelle.................................................... 7 5.3.1 Définition...................................................... 7 6 Équations Locales de la Magnétostatique 8 6.1 Rappel sur les opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6.2 Équations Locales de la Magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.3 LoideGausspourlechampmagnétique......................................... 12 6.4 Loid’Ampère(locale) ................................................... 13 MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 1Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés 1 Introduction La magnétostatique étudie les champs magnétiques créés par des courants stationnaires. 2 Forces magnétiques 2.1 Force magnétique agissante sur une charge en mouvement Considérons un ensemble de particules de charge qiappelées charges agissantes, supposons que ces charges sont en mouvement. Plaçons en un point P une charge d’essai ponctuelle qau repos, cette charge est soumise à une force proportionnelle à qque nous appellerons force électrique et que nous écrivons sous la forme :  Fe=q E(1) — FeLa force électrique — E: Le champ électrique crée par des charges qui sont en mouvement et qui est une généralisation du champ électrostatique crée par les charges qui sont essentiellement immobiles. Le champ électrique est en général fonction du temps. Maintenant supposons que la charge d’essai ponctuelle placée en pest animée à l’instant td’une vitesse v . Cette charge est encore soumise à la force électrique  Fe=q E( Fene dépond pas du fait que qsoit en mouvement ou au repos). Lorsque la charge d’essai ponctuelle qest animée d’une vitesse v elle est sollicitée par une force supplémentaire appelée " force magnétique " que nous la noterons  Fm. Nous associons à cette force magnétique le champ d’induction magnétique  BDonc la relation entre  Fmet  Best :  Fm=qv ∧ B(2) Donc la force totale  Fqui s’exerce sur une charge qen mouvement est :  F=q( E+v ∧ B)C’est la formule de Lorentz. (3) —Remarques : — Si la charge d’essai ponctuelle qest au repos alors :  Fm= 0, car v = 0, donc  F= Fe=q E. — Si les charges agissantes sont au repos donc pas de création de champs d’induction magnétique  B= 0, d’où  Fm= 0, alors  F= Fe=q E. — Si v et  Bsont colinéaires donc nullité du produit vectoriel v ∧ Bd’où  F, alors  F= Fe=q E. — Si q= 0 ⇒ Fe= 0 et  Fm. Alors  Fm. La force magnétique n’agit que sur une charge en mouvement, ou un conducteur traversé par un courant — La direction de  Fmest perpendiculaire au plan formé par v et  BSon sens est tel que, dans le cas d’une charge positive, les vecteurs v,  Bet  Fmforment un trièdre direct (règle de la main droite). Lorsque la charge est négative la force change de sens. — On utilisera la règle du tire-bouchon où la règle de la main droite pour trouver la direction de  Fm — dans le cas des courants continus q Esera négligeable. — Dans le système des unités international l’unité du champ d’induction magnétique est le Tesla, symbole T. MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 2Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés 2.2 Force magnétique agissante sur un conducteur : Loi de Laplace Considérons un élément de longueur dl de section ds traversé par un courant d’intensité Iconstitué par des particules de charges qanimée d’une vitesse uniforme v . Soit  Bun champ d’induction magnétique extérieur supposé uniforme en tout point de l’élément dl . Chaque particule de l’élément dl est soumise à une force magnétique  Fm=q V∧ B (Car les particules de charge qsont en mouvement). Alors la force magnétique totale d Fqui s’exerce sur l’élément dl est : d F= Σ(q V∧ B) = (Σq)(  E∧ B) (Σq): La charge mobile totale qui se trouve dans l’élément considéré (dl). — Soit ρmla densité de charge mobile, donc on a Σq=ρmdsdl, alors : d F= (ρmdsdl)v ∧ B, avec  J=ρmv est la densité de courant — Soit le vecteur d lélément de courant est orienté dans le même sens du courant ( d let  Jétant parallèles). Donc on peut écrire : d F=dsJd l∧ B — Soit Il’intenisté de courant. On sait que I=Jds. Alors on peut écrire encore : d F=Id l∧ B. C’est la loi de Laplace Remarque : —d Fest perpendiculaire à la fois à d let  B. — Le module de d Fest dF =IdlB sin α — Le sens de d Fest donné par la règle de la main droite Résumé : Sur chaque élément de circuit filiforme agit une force élémentaire de Laplace définit par : d F=Id l∧ B. Loi de Laplace L’ensemble de ces forces équivaut à une force unique  F=Rd F. 3 Champ d’induction magnétique crée par les courants : Loi de Biot-Savart Soit un élément de courant d ld’origine Oet traversé par une intensité de courant I. MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 3Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés Le champ magnétique créé par un élément de courant est donné par : d B=µ0 4π Id l∧r r3=µ0 4π Id l∧u r2(4) La loi de Biot et Savart est une loi élémentaire qui permet de passer de l’élément de courant d lau champ élémentaire d B. L’élément de courant d ln’est pas une entité physique isolable, donc d Bn’est pas au sens strict une loi physique ⇒c’est un intermédiaire de calcul. Le module de d Best dB =µ0I 4πr2dl sin(α),α: l’angle de u avec d l L’expression du champ élémentaire d Bcréé par un élément de courant est : — Dans le cas d’une distribution linéique (filiforme) de courant Id l: d B=µ0 4π.Id l∧ PM  PM3 — Dans le cas d’une distribution surfacique de courant  Jds : d B=µ0 4π. Jds ∧ PM PM3 — Dans le cas d’une distribution volumique de courant  Jdτ : d B=µ0 4π  Jdτ ∧ PM PM3 Direction du champ magnétique Comment appliquer la loi de Biot-Savart pour calculer le champ dinduction magnétique? Voir les exercices 1 et 3 MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 4Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés 4 Théorème d’Ampère L’intégrale de ligne du champ magnétique autour d’un contour fermé est proportionnelle au courant traversant : IC(contour orienté)  B·d l=µ0ΣI(algébrique enlacé) (5) —HC(contour orienté): Le contour imaginaire choisi doit être fermé (il délimite une surface). — B:est le champ créé par tous les courants (enlacés ou non). —d l: définit le sens de parcours du contour (orientation arbitraire). — Le sens de parcours choisi définit un vecteur n normal à la surface délimitée par le contour (main droite). — Si le contour est une ligne de champ alors  Bet d lsont colinéaires. —I(algébrique enlacé) Représente la somme algébrique des courants enlacés par le contour. Si les courants enlacés sont orientés dans le même sens que n, on les compte positivement (et négativement dans le sens contraire). Exemples : MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 5Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés 4.1 Calculs de champ B à partir de théorème d’Ampère (voir les exercices 4 et 5) — Chercher les invariances et symétries de la distribution de courant. — On fixe un conteur fermé d’Ampère. — Théorème d’Ampère : IC(contour orienté)  B·d l=µ0ΣI(algébrique enlacé) (6) 4.1.1 Plans de symétrie et d’antisymétrie de la distribution de courant Définition des plans de symétries et d’antisymétries des courants : — En un point d’un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan. — En un point d’un plan d’antisymétrie des courants, le champ magnétique est contenu dans ce plan. — Un plan de symétrie des courants est un plan d’antisymétrie du champ magnétique — Un plan d’antisymétrie des courants est un plan de symétrie du champ magnétique — Les lignes de champ magnétique sont fermées. Elles tourbillonnent autour des sources (les courants). 4.2 forme intégrale du théorème d’Ampère (voir l’exercice 4) : S’il existe des courants volumiques enlacés par le contour, l’intensité "enlacée" correspondante s’écrit : Ialgébrique enlacé =Z Z  Jd S Donc La forme intégrale du théorème d’Ampère s’écrit : Ic(contour orienté)  B.d l=µ0Z Z0  Jd Sà parfaitement connaître S: surface s’appuyant sur c(contour orienté). MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 6Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés 5 Flux Magnétique et Induction 5.1 Flux Magnétique Le flux magnétique à travers une surface Sest donné par : ΦB=ZS  B·d S(7) Il représente la quantité de champ magnétique traversant une surface donnée. 5.2 Inductance Propre L’inductance est la propriété d’un circuit à s’opposer aux variations du courant qui le traverse. Elle est définie par : ΦB=LI (8) Le coefficient Lest appelé inductance propre et dépend de la géométrie du circuit. 5.3 Inductance Mutuelle 5.3.1 Définition L’induction mutuelle est un coefficient permettant de décrire l’influence d’un circuit magnétique sur un autre. Par exemple on considère deux circuits C1et C2parcourues par des courants I1et I2. Le courant I1produit dans tout l’espace un champ magnétique B1. Le flux généré par le champ magnétique B1à travers C2est noté ϕ12 . Φ12 =Z ZS2  B1. dS2=Z ZS2  rot  A1. dS2=IC2  A1. dl2(théorème de Stokes) (9) L’expression du potentiel vecteur généré par un circuit linéique C1parcouru par un courant I1s’écrit :  A1=µ0 4πIC1 I1  dl1 r12 (10) L’expression finale du flux est : Φ12 =I1. µ0 4πIC2IC1  dl1 dl2 r12 !=M12I1(11) que l’on note : ϕ12 =L12 ·I1avec M12 l’induction mutuelle entre le circuit C1et le circuit C2. M12 =µ0 4πIC2IC1  dl1 dl2 r12 (12) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 7Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés On remarque que M12 est inchangé par permutation des indices 1 et 2 dans les calculs d’où : Φ21 =M21I2=M12I2(13) D’après 12, Mest strictement positif si toutes les spires sont bobinées dans le même sens ( les lignes de champ  B1et  B2s’ajoutent.) 6 Équations Locales de la Magnétostatique 6.1 Rappel sur les opérateurs différentiels Gradient, divergence, rotationnel et laplacien Il existe 4 opérateurs différentiels principaux appelés rotationnel,divergence,gradient et laplacien qui généralisent la notion de dérivée, ces opérateurs peuvent s’exprimer avec l’opérateur nabla −→ ∇(ici défini en coordonnées cartésiennes) Opérateur gradient Je vais commencer cette séance par une discussion sur le formalisme mathématique qui concerne l’utilisation des opérateurs differentiels très utilisés en physique, qui sont le gradient, la divergence, le rotationel et le laplacien qui sont indispensable pour formuler les lois de l’électromagnétisme. C’est une séance un peu technique mais très utile et plus fondamental, apres je vais essayer de vous faire sentir intuitivement ce que sont ces opératreurs, car en physique tu sais qu’il faut faire parler les équations D’abord il faut que tu prennes conscience qu’il y a des champs scalaires et vectoriels. Les champs scalaires pratiquement par exemple : la température la pression etc.. et les champs vectoriels comme  Eet  Bsont des vecteurs, soit :  A=     Ax Ay Az      (14) ç’est pour ça il y a un flèche au dessus,en faite un champ vectoriel est la donnée de trois champs scalaire, en projetant ce vecteur dans un trièdre directe tu te retrouves avec la donnée de trois champs scalaires qu’eux meme dépondent des trois variables (x, y, z) Maintenant on cherche à retrouver ces opérateurs differentiels , gradient, divergence, rotationel et le laplacian, on va utiliser ce qu’on appel l’opérateur nabla noté avec un petit triangle  ∇avec un petit flèche au dessus. Cette outil mathématique va te servir à retrouver les expressions des autres opérateurs. Définition Soit la fonction f(p)(champ scalaire) qui a chaque point pde lespace associe une quantité. L’opérateur gradient −−→ grad (aussi appelé nabla : −→ ∇) transforme un champ scalaire fen un champ vectoriel : −−→ gradf ou −→ ∇f −−→ gradf =−→ ∇f=     ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z      =∂f ∂x i+∂f ∂y j+∂f ∂z  k(15) Que représente le gradient d’un champ f et quelle est son utilité ? L’opérateur gradient indique la direction vers laquelle le champ fest croissant, c-à-d : Le gradient indique à la fois le taux de variation de f(par sa norme), et la direction de " plus grande pente ". Il est dirigé localement vers les valeurs élevées de f, et orthogonal aux lignes f=cste. Il généralise la notion de dérivée. MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 8Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés ⋆⋆⋆ Correction de l’exercice 1 ⋆⋆⋆ https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AManoderecha.svg Définir un système de coordonnées d B? — Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques ou sphériques). ⇒Orienter l’espace. — Dans notre cas la distribution du courant présente des symétries cylindriques (le fil est un cylindre d’épaisseur fine), alors on va utiliser les coordonnées cylindriques. Appliquer la loi de BIOT-SAVART — B.S. :  dB =µ0I 4πr2 dl ∧u D’après la loit de Biot-Savart, on décompose le segment MN en tronçons (éléments de courant d l). Un élément d lcrée en un point M un champ élémentaire d Bperpendiculaire au plan formé par d let u. Alors daprès la loi de Biot et Savart : d B=µ0I 4π.d l∧u r2(28) (29) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 15 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés d B?Direction et sens de d B? — dl, u,  dB forme un trièdre directe. (tire-bouchon) ⇒ dB =dBeθ Module de d B? dB =µ0I 4π.dl.sin(α) r2(30)  dB =µ0I 4π.dl.sin(α) r2eθ(31)  B?Direction et sens de  B? — règle de la main droite. ⇒ B=Beθ — règle du tire-bouchon ⇒ B=Beθ —Plans de symétries de la distribution du courant : On peut trouver la direction du champ  Ben repérant les plans de symétrie (ou dantisymétrie) de la distribution du courant : — Pour un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan. — Pour un plan dantisymétrie des courants, le champ magnétique est contenu dans ce plan Dans notre cas : –Le plan (er, ez)est un plan de symétrie des courants, alors le champ  Best perpendiculaire à ce plan. Le champ  Best dirigé suivant eθ:  B=B eθ.(32) Module de  B? B=ZdB =µ0I 4π.Zdl.sin(α) r2(pour pouvoir intégrer vérifier si ldépond des variables ret αou non )(33) Dans le triangle rectangle OP M on a : cos(β) = a r,sin(β) = l r,tan(β) = l a, β +π 2+ (π−α) = π. ⇒α=π 2+β(34) En écrivant : r=a cos(β), l =a.tan(β)⇒dl =a cos2(β)dβ (35) On en déduit : dB =µ0I 4π.dl.sin(α) r2=µ0I 4π.a cos2(β).cos2(β) a2.cos(β).dβ =µ0I 4πa .cos(β).dβ B=Zβ2 β1 dB =µ0I 4πa .(sin(β2)−sin(β1)) (36)  B=µ0I 4πa [sin(β2)−sin(β1)]eθ(37) Ce résultat permet de calculer le champ magnétique créé par des circuits polygonaux. Pour un fil de longeur infini β1⇒ − π 2et β2⇒π 2.Btend vers une valeur limite B=Zβ2 β1 dB =Z−π 2 π 2 dB =µ0I 2πa (38) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 16 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés Doù le champ dinduction magnétique crée par un fil infini :  B=µ0I 2πaeθ(39) On peut noter que le champ magnétique tourne autour du fil dans un sens imposé par la règle du bouchon (ou la règle de la main droite). Par conséquent, les lignes de champ sont des cercles. Discussion sur la loi de Biot-Savart : Notons que cette loi donnant l’expression du champ infinitésimal créé par une portion de circuit n’est qu’un artifice de calcul : on ne peut pas isolé une portion de circuit parcouru par un courant (alors qu’on peut isoler des charges électriques dans le cas du champ électrostatique). — l’élément du courant I dl n’a pas de signification physique. — le champ magnétique élémentaire  dB n’a aucune signification physique. — dB =µ0I 4π dl∧u r2est un artifice de calcul. — B=R dB grandeur physique mesurable. Autrement : Integration directe sur l’éxpression vectorielle  dB =µ0I 4π  dl ∧ P M r3=µ0I 4π dlez∧( P O + OM) r3=µ0I 4πdl r3ez∧ P O +dlez∧ OM r3 =µ0I 4πhdlez∧(−zez) r3+dlez∧(aer) r3i=µ0I 4πh 0 + a.dl r3eθi=µ0I 4πha.dl r3eθi MO =a, r =a cos(β), OP =l=a.tan(β)⇒dl =a cos2(β)dβ  B=µ0I 4πZa2 cos2(β) cos3(β) a3eθ=µ0I 4πZcos(β) aeθ=µ0I 4πa [sin(β2)−sin(β1)]eθ MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 17 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés ⋆⋆⋆ Correction de l’exercice 2 ⋆⋆⋆ 1. Quelle est la force magnétique résultante sur le cadre métallique ? Pour calculer la force sur le cadre, on doit séparer ce cadre en 4 morceaux : le fil de droite, le fil du bas et le fil de gauche et le fil du haut. Comme le fil infini fait un champ sortant de la page, on a les directions suivantes pour chacune des forces. Les forces  F2et  F4s’annulent mutuellement, car les fils sont parcourus par des courants identiques et sont dans des champs magnétiques identiques puisqu’ils sont à la même distance du fil infini. Cependant, la force F3est plus grande que la force F1, car le fil (3) est dans un champ magnétique plus grand puisqu’il est plus près du fil infini (rappelez-vous, le champ diminue d’intensité à mesure qu’on s’éloigne du fil infini). On doit donc calculer ces deux forces. — Calcul de F3 B=µ0I 2πR =4π∗10−7∗10A 2π∗0.1m= 2 ∗10−5T La force sur le fil est donc : F=IlB sin(θ) = 2A∗0.26m∗2∗10−5T∗sin(90) = 1.04 ∗10−5N. — Calcule de F1 Le champ fait par le fil infini à cette distance est : B=µ0I 2πR =4π∗10−7∗10A 2π∗0.22m= 9.09 ∗10−6T La force sur le fil est donc F=IlB sin(θ) = 2A∗0.26m∗9.09 ∗10−6T∗sin(90) = 4.727 ∗10−6N. — Force résultante : La force résultante est donc la soustraction de ces deux forces. F= 1.04 ∗10−5N−4.727 ∗10−6N= 5.673 ∗10−6N. Cette force est vers la gauche. Le cadre est donc attiré par le fil infini. 2. Quelle est la force sur le fil du haut dans le cadre? Si on calcule la force F4, on doit décomposer le fil en petit morceau puisque le champ magnétique n’est pas constant, il est plus fort sur le côté gauche du fil que sur le côté droit. La force sur le petit morceau de fil est MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 18 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés dF =IBdx sin(90) = Iµ0Ifil inf. 2πx dx F=Z0.22m 0.10m Iµ0Ifil inf. 2πx dx =Iµ0Ifil inf. 2πZ0.22m 0.10m 1 xdx =Iµ0Ifil inf. 2π[ln x]0.22m 0.10m F= 2A∗4π∗10−7∗10A 2π∗ln 0.22m 0.10m= 3.152 ∗10−6N MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 19 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés ⋆⋆⋆ Correction de l’exercice 3 ⋆⋆⋆ Soit un courant circulaire de centre O et de rayon R Calculons le champ au centre O de la spire : Définir un système de coordonnées d B? — Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques ou sphériques). ⇒Orienter l’espace. — Dans notre cas la distribution du courant présente des symétries cylindriques, alors on va utiliser les coordonnées cylindriques. Appliquer la loi de BIOT-SAVART D’après la loi de Biot-Savart, on décompose la spire en tronçons (éléments de courant d l). Donc à un élément de courant d l correspond un champ élémentaire d Bperpendiculaire en O au plan de la spire pointé vers le haut. La loi de Biot et Savart donne : d B=µ0I 4π.d l∧Ru R3=µ0I 4π.d l∧u R2,(car r =Ru)(40) On voit que d lest perpendiculaire à u, donc |d l∧u|=dl sinπ 2=dl MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 20 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés d B?Direction et sens de d B? — dl, u,  dB forme un trièdre directe. ⇒ dB =dBez B?Module de  B? dB =µ0I 4π.dl R2=µ0I 4π.Rdθ R2=µ0I 4π dθ R.(car dl =Rdθ)(41)  B?Direction et sens de  B? — règle de la main droite. ⇒ B=Bez — règle du tire-bouchon ⇒ B=Bez —Plans de symétries de la distribution du courant : Dans notre cas : –Le plan Π = (er,eθ)est un plan de symétrie des courants, alors le champ  Best perpendiculaire à ce plan. Le champ  Best dirigé suivant ez:  B=Bez.(42) B?Module de  B? Tous les champs élémentaires ont même direction et même sens donc : B0=ZdB =µ0I 4πR Zdθ =µ0I 4πR.2π  B0=µ0I 2Rez(43) Calculons le champ en un point de l’axe (OZ)de la spire : Par raison de symétrie,  Best porté par cet axe. L’élément de courant d ld’origine M, crée en un point P un champ d B perpendiculaire à u et à d l. Posons MP =r MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 21 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés d B?Direction et sens de d B? — dl, u,  dB forme un trièdre directe. ⇒ dB =dBv dB ?Module de d B? On remarque que d lest perpendiculaire à u La loi de Biot et Savart donne : d B=µ0I 4π.d l∧u r2(44) dB =µ0I 4π.dl r2(45)  B?Direction et sens de  B? — règle de la main droite. ⇒ Bz=Bzez — règle du tire-bouchon ⇒ Bz=Bzez —Plans de symétries de la distribution du courant : Dans notre cas : –Le plan Π = (er,eθ)est un plan de symétrie des courants, alors le champ  Bzest perpendiculaire à ce plan. Le champ  Bzest dirigé suivant ez:  Bz=Bzez.(46) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 22 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés –Le plan (er,ez)est un plan d’antisymétrie des courants, alors le champ  Bzest contenu dans ce plan. –Le plan (eθ,ez)est un plan d’antisymétrie des courants, alors le champ  Bzest contenu dans ce plan. le champ  Bzest porté par lintersection de ces deux plans (er,ez)et (eθ,ez), donc par laxe (oz) ⇒ Bz=Bzez La contribution de d Bau champ total est : dBz dB =cos(β) = cos π 2−α=sin(α) (Car α+π 2+β=π⇒β=π 2−α) dBz=dBsin(α) Bz=ZdBz=µ0I 4πZsin(α) r2dl (pour pouvoir intégrer vérifier si ldépond des variables ret αou non )(47) Dans le triangle rectangle OPM on a : cos(α) = z r,(48) sin(α) = R r,(49) tan(α) = R z,(50) α+β+π 2=π, (51) dl =Rdθ . (52) dl dépond seulement de la variable θ Bz=µ0Isin(α) 4πr2Zdl =µ0Isin(α) 4πr22πR =µ0I 2r2sin(α).R (53) Comme r=R sin(α): En fonction de la variable α  Bz=µ0I 2Rsin3(α)ez,(54) (55) En fonction de la variable z  Bz=µ0I 2 R2 r3ez=µ0I 2 R2 (R2+z2)3 2 (56)  Bz=µ0I 2R1 + z2 R2−3 2(57) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 23 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés Autrement : Integration directe sur léxpression vectorielle  B=Ispire µ0I 4π d l∧ PM r3=µ0I 4πIspire d l∧ PM r3=µ0I 4πIspire d l∧ PO + OM r3 =µ0I 4πIspire d l∧ PO r3+µ0I 4πIspire d l∧ OM r3  OM et lsont indépendants ⇒Ispire d l∧ OM r3=Ispire d l∧ OM r3.Et : Ispire d l= 0 ne pas confondre Ispire d l= 0et Ispire dl = 2πR. Par ailleurs :Ispire d l∧ PO r3=Ispire R.dl.eθ∧(−er) r3=Ispire R.dl.ez r3=2πR2 r3ez Il vient alors :  B(z) = µ0IR2 2r3ez=µ0I 2Rsin3(α) Remarque importante : Le champ d’induction magnétique crée par un courant circulaire en un point de laxe (oz) est :  B(z) = µ0I 2Rsin3(α)ez Cette formule est très importante, car beaucoups de systèmes peuvent etre considérés comme une superposition de spire circulaires (solénoide etc...) Lorsque le point M de l’axe (oz) tend vers le centre O sin(α)⇒1On retrouve la relation (51) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 24 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés 2. Deuxième étape : Repérer toutes les invariances de la distribution de courant, afin de déterminer la dépendance du champ par rapport à certaines coordonnées du point M; -La distribution du courant est invariante par translation le long de l’axe (OZ). Le champ  Bs’écrit :  B= B(r, θ).(74) -La distribution du courant est invariante par rotation θautour de l’axe (OZ). Le champ  Bs’écrit  B= B(r)(75) On déduit que le champ magnétique dépend seulement de la variable r. 3. Troisième étape : Repérer les plans de symétrie (ou d’antisymétrie) de la distribution de courant, afin de déterminer la direction du champ magnétique au point M. –Le plan (P2) = (eθ,ez)est un plan d’antisymétrie des courants, alors le champ  Best contenu dans ce plan.  B=B(r)( eθ?Ou ez? ).(76) –Le plan (P1)=(er,eθ)est un plan de symétrie des courants, alors le champ  Best perpendiculaire à ce plan. Finalement on déduit que le champ magnétique est orienté selon ez, et qu’il ne dépend que de r(la distance à l’axe de révolution), de telle sorte que l’on a : :  B=B(r)ez.(77) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 31 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés 4. " Contour d’Ampère : ". Dans notre cas soit : –ABCD : un contour d’Ampère ayant un coté à l’intérieur et un à l’extérieur du solénoïde (r≤R). –A0B0C0D0: un contour d’Ampère situé entièrement à l’intérieur du solénoïde (r≥R). 5. Application du théorème d’Ampère. Dans notre cas le circuit enlace plusieurs circuits filiformes , alors le théorème d’Ampère aura la forme suivante : I B.d l=µ0XIenlacs (78) -Théorème d’Ampère sur ABCD : I B.d l=µ0XIenlacs =µ0.NAB.I (79) Pour Ienlacs par le contour ABCD. Nous avons : z7→ Nz(80) AB 7→ NAB ⇒z.NAB =AB.Nz⇒NAB =AB.Nz z=n.AB Donc Ienlacs =I.NAB =AB.Nz z=I.n.AB Ainsi : ZB A B(r)ez.(−dzez) + ZC B B(r)ez.(drer) + ZD C B(r)ez.(dzez) + ZA D B(r)ez.(−drer)(81) =−Bext.(r)ZB A dz +0+B0(r)ZD C dz + 0 = µ0XIenlacs =−Bext.(r).AB +B0(r).CD =µ0nIAB (82) Comme AB =CD Bext. =B0(r)−µ0nI (83) On a montré que B0(r) = µ0nI (sur l’axe du solénoide)(84) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 32 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés D’où le champ magnétique à l’extérieur du solénoïde  Bext. = 0(85) -Théorème d’Ampère sur A’B’C’D’ : I B.d l=µ0XIenlacs = 0,(aucun courant n’est encalcés par le contour A’B’C’D’)(86) ZB0 A0 B(r)ez.(−dzez) + ZC0 B0 B(r)ez.(drer) + ZD0 C0 B(r)ez.(dzez) + ZA0 D0 B(r)ez.(−drer) =−B0(r)ZB0 A0 dz +0+Bint.(r)ZD0 C0 dz + 0 = 0 =−B0(r).A0B0+Bint.(r).C0D0= 0 (87) Comme A0B0=C0D0. D’où le champ magnétique à l’intérieur du solénoïde  Bint. = B0=µ0nIez(88) Calcul du potentiel vecteur  A(r)en tout point M situé à la distance r de laxe du solénoïde. Puisque div  B= 0, le champ magnétique  Best de divergence nulle. Alors peut toujours s’exprimer sous la forme d’un rotationnel d’un champ de vecteurs, noté  A.  B= rot  A= ∇ ∧  A⇒ A=A(r)eθcar : B=B(r)ezet  ∇=∇rer(89) MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 33 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés On a : Z Z  B.dSn =I A.d λ, (Théorème de Stocks)(90) A l’extérieur du solénoïde r≥R: puisque  Bet n sont colinéaires et de même sens, et comme Best uniforme, on obtient : Z Z  B.dSn =Z Z B.dS =BZ Z .dS = (Bint..S1+Bext..S2) = µ0nIπR2(91) Avec :S1=S=surface de la base du solénoide et S2=la surface annulaire D’autre part, pour des raisons analogues, on a : I A.d λ= AI.d λ=A.2πr, (92)  Aext.(r) = µ0nIR2 2reθ.(93) A l’intérieur du solénoïde r≤R:Un calcul similaire donne dans ce cas : MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 34 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés Bint.πr2=Aint..2πr (94) µ0nIπr2=Aint.2πr (95)  Aint.(r) = µ0nIr 2eθ(96) Traçons les graphes de B(r)et A(r): MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 35 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés ⋆⋆⋆ Correction de l’exercice 6 ⋆⋆⋆ En presence d’un fil rectiligne infini,le choix des coordonnées cylindriques s’impose et le champ magnétique en un point M s’écrit :  B=µ0I 2πr .eθ Le rectangle est orthogonal au champ  Bet on oriente sa normale n dans le sens de  B. tout les points du cadre se trouvant à la meme distance rdu fil sont soumis au meme champ magnétique. On peut alors découper des éléments de surface ayant la forme de bandes de hauteur het d’épaisseur : ds =hdr Dans les quelles le champ magnétique est uniforme (rne varie pas). Le flux élémentaire dϕ à travers une telle bande s’écrit : dϕ = B.d S=µ0I 2πreθ.hdreθ=µ0Ih 2πr .dr r. Le flux total est la somme de tous ces flux élémentaires : ϕ=Zdϕ =µ0Ih 2πr Za+b a dr r=µ0Ih 2πr .[ln r]a+b a=µ0Ih 2πr ln1 + a b. Si l’on n’avait pas considéré une bandelette d’épaisseur dr, mais bien l’élément de surface en coordonnées cylindrique, alors on aurait écrit : dS =dr.dz, Car en parcourant le cadre, ret zvarient. Le flux aurait pris la forme d’une intégrale double : ϕ=Z Z  B.d S=Zz=h z=0 Zr=(a+b) r=a µ0I 2πreθ.drdz.eθ=µ0I 2πZr=(a+b) r=a dr r∗Zz=h z=0 dz =µ0Ih 2πr ln1 + a b. MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 36 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés ⋆⋆⋆ Correction de l’exercice 7 ⋆⋆⋆ — Calcule de l’inductance propre L du solénoïde ϕ1,propre =N∗B1∗S1=N∗µ0n1I1∗S1=µ0N2S1 lI1 L’inductance propore Ldu solénoide est alors : L=ϕ1,propre I1 =µ0N2S1 lI1 I1 =µ0N2S1 l — Calcule de l’inductance mutuelle M C1grand solenoide : I1crée l’induction B1qui est uniforme et portée par l’axe (Z)  B1=µ0n1I1ez(97) Seul Φ12 est praticable,car  B1est uniforme Φ12 = 1.Z Z  B1ez.dS2ν. = 1.Z Z B1dS2cos(θ) (1 : car une spire)(98) Φ12 =B1cos(θ)Z Z dS2 Φ12 =B1cos(θ)S2(99) Soit : Φ12 =µ0n1I1cos(θ)S2(100) M=Φ12 I1 ⇒M=µ0n1S2cos(θ)(101) Les lignes de champ de  B1et  B2s’ajoutent d’où M > 0 Les différentes orientations MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 37 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 38 Pr. Najim MANSOUR Pr. N. MANSOUR ÉlectricitéMagnétostatique :Cours & Travaux Dirigés MIPC -24 (GI-24, GC-24, GP-24 et MSD-24)/ A.U. : 24-25 39 Pr. Najim MANSOUR