KASR TARTIBLI DIFFERENSIAL OPERATORLAR UCHUN EKSTREMUM PRINSIPI

Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 12 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 118 DOI: https://10.5281/zenodo.17372125 KASR TARTIBLI DIFFERENSIAL OPERATORLAR UCHUN EKSTREMUM PRINSIPI Turdiyev Xayrulla Xoliqulovich Termiz davlat universiteti E-mail: [email protected] ANNOTATSIYA Ushbu maqolada kasr tartibli differensial operatorlar uchun ekstremum prinsipining nazariy asoslari va qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi. Kasr tartibli differensial operatorlar zamonaviy differensial tenglamalar va matematik fizika tenglamalaridagi murakkab tizimlarni modellashtirishda muhim ahamiyatga ega. Ekstremum prinsipi yordamida bunday operatorlar bilan ifodalangan masalalarning yechimlari uchun optimal shartlar aniqlanadi. Ushbu ishda kasr tartibli differensil operatorlar uchun ekstrumum prinsipi uchun asosiy teorema va lemmalar isbotlangan. Kalit so‘zlar: Kasr tartibli differensial operatorlar, ekstremum prinsipi, Hopf prinsipi, differensial operatorlar, matematik modellashtirish, ekstremal masalalar. Ushbu tenglamani o‘rganamiz 0 ( ) 0, m xx yy y signy y u u u y  + + = (1) bu yеrda m va 0  o‘zgarmas sonlar bo‘lib, ular uchun 0,m 01 2 m  −   tengsizliklar o‘rinli. D soha z x iy=+ kompleks tekisligining chekli bir bog‘lamli sohasi bo‘lib, u 0y yarim tekisligida joylashgan va uchlari ( ) 1;0A− va ( ) 1;0B nuqtalarda bo‘lgan (1) tenglamaning normal chizig‘i ( ) 2 22 0: 4 2 1 m x m y  −+ + + = bilan , 0y yarim tekislikda esa (1) tenglamaning AC va BC xarakteristikalari bilan chegaralangan bo‘lsin. [1,2,3,4,5] Musbat, kamaymaydigan )(t  funksiya hamda )(tf funksiyalar   ba, kesmada uzluksiz bo‘lsin. Agar   ba, kesmada )(tf funksiya o‘zining musbat maksimumiga (manfiy minimumiga) xt = nuqtada erishsa, bxa  va bu nuqtaning ixtiyoriy kichik Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 12 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 119 atrofida )()( tft  ko‘paytma   ko‘rsatkich bilan Gyolder shartini [2] qanoatlantirsa, u holda 0)()( ,xfxD xa   ( ) 0)()( ,xfxD xa   . (2) Haqiqatdan ham, 1 , , (1 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ax ax x x x a a a a d Г D f Г D x f x dx d t f t x f x d t f t d x f x dt dt dt x t dx x t dx x t dx         −  − = − =  − = = + −− −    0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) xx a aa dd t f t x f x x f x dt dt x t x t dx dx       −− →  − = + =  −−   0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) lim () xx a x f x x f x x f x dt xt           − →  − − −  =− − −  1 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) () () xx x a x f x t f t x f x dt dt xt xt         −− + −+− − −  − 1 ( ) ( ) ( ) ( ) () . x a x f x x f x dt xt     − +  −+  −  Bu yerda 0→  da limitga o‘tib va ushbu  − +− −= −       x aax xfxxfx tx dtxfx )( )()()()( )( )()( 1 , 0 )()()()( lim 0= −−− →    xfxxfx , tengliklarni e’tiborga olib, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz: ,1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () . xa x x f x x f x t f t D x f x dt x a x t x f x t f t dt xt              + + −  − = + + −− − +−   (3) Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 12 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 120 (3) munosabatdan (2) tengsizlik kelib chiqadi. Agar )(t  -musbat o‘smaydigan funksiya bo‘lsa, yuqoridagiga o‘xshash natijani  bx D, operator uchun ham olish mumkin. Xopf prinsipi sohada (1) tenglamaning regulyaryechimi hech bir nuqtada o‘zining musbat maksimumiga va manfiy minimumiga erishmaydi [2,3]. Isboti. Ushbu (4) funksiyani qaraymiz, bu yerda bu soha diametri, . Bevosita hisoblashlar yordamida tenglikning to‘g‘riligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, bu yerda (5) . (6) (6) tengsizlikka asosan, (5) tenglama yechimi soha ichidagi hech bir nuqtada o‘zining musbat maksimumiga erishmaydi. Haqiqatdan ham, teskarisini faraz qilaylik, nuqtada funksiya o‘zining musbat maksimumiga erishsin, u holda bu nuqtada  ),( yxu ),( yx ( ) yAyxuyx /),(),( =  ,)( 0 1 0 1   − −−= y deeyA −d  10   )()()( 1  EyAuE = ( ) , 1 2 1 )( 0 01           +++++= yyyyyyyxx mAA yA yA y yE ( ) ,1 0 0 1 0    − − −−= yeA y y ( ) ( ) ,11 1 0 0 1 00 0 2 0 1 2 0−− − − −−+−−=     yeyeA yy yy ( ) 01 10 2 0 1 2 0 0−−=        +− −      ye A AA yA y yyy ),( yx  ),( 00 yx ),( 00 yx ),( yx  ( ) ( ) ,0 , ,0 ,0000 =   =   y yx x yx  ,0 ),( 200 2    x yx  0 ),( 200 2    y yx  Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 12 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 121 bo‘lgani uchun, (4) dan . Bu esa tenglikka ziddir. Aynan shu mulohazalarni takrorlab, funksiya sohaning hech bir ichki nuqtasida o‘zining manfiy minimumga erishmasligini ko‘rsatish mumkin. Shunday qilib, (4) ga asosan, (1) tenglamaning regulyar yechimi o‘zining musbat maksimumi va manfiy minimumini sohaning ichki nuqtalarida qabul qilmaydi. Agar sohada funksiya: 1) shartlarni qanoatlantirsa va sohada o‘zining eng katta musbat (eng kichik manfiy) qiymatini nuqtada qabul qilsa, 2) ning chiziqdagi qiymati qiymatdan kichik (katta) bo‘lsa, u holda 0 0 lim 0, ( 0), y u yy  →+   (7) tengsizlik, (bu limitni mavjud bo‘lishi sharti bilan) o‘rinlidir. Isboti. Musbat maksimum holini o‘rganib chiqamiz. Bevosita hosila ta’rifidan, tengsizlikning bajarilishi mumkin emas. Faraz qilaylik, (8) bo‘lsin. orqali sohaning diametrini belgilaymiz. Umumiylikni buzmasdan, deb olishimiz mumkin. Lemma shartiga ko‘ra, , bu yerda . Ushbu , funksiyani kiritamiz [33], bu yerda chiziqda 0)( 1  E 0)( 1=  E ),( yx   ),( yxu   ),( yxu )()(),( 2 CCyxu )0(0)( uE  Ixx  0 ,)0, 0 ( ),( yxu Г )0, 0 (xu ( ) 0 , lim 0 0 0   +→ y yxu y y  ( ) 0 , lim 0 0 0=   +→ y yxu y y  d  ( ) 10, 0=xu ( ) ( )  − 1,max ,yxu Гyx 10   ( ) ( ) ( ) yAyxuyx /,, =  ( ) . 0 1 0 1   − −−= y d eyA Г ( ) ( ) , 1 1 11 ,0 1 0 1 0 1 0 1       −  − −  − − −−− −ddy dee ee yx Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 12 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 122 kesmada esa , . Ushbu (9) tenglikning to‘g‘riligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, bu yerda (5) tenglik bilan aniqlanuvchi operator. Lemma shartiga ko‘ra, (9) tenglikdan tengsizlik kelib chiqadi. Bundan tashqari, (8) tenglikka ko‘ra, ( ) ( ) 00 02 1 00 ,1 lim 0 yd xy yye       − →+ − =  −   . Bundan esa nuqtaning shunday kichik atrofi borki , bu atrofda ya’ni funksiya bu atrofda chizig‘ida o‘suvchi bo‘ladi va o‘zining eng katta qiymatini soha ichida qabul qiladi, buning esa (6) tengsizlikka ko‘ra bo‘lishi mumkin emas. Yuqoridagi mulohazalarni takrorlab, manfiy minimum holini ham o‘rganish mumkin. 2.1-lemma isbot bo‘ldi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI: (REFERENCES) 1. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент 2005 "Университет" -224 с. 2. Мirsaburov М. Singulyar koeffitsiyentli Gellerstedt tenglamasi uchun Trikomi masalasi. Termiz. 2022 "Surxon-nashr". 239 с. 3. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М. 1985. 304 с. 4. Мирсабуров М. Задача с аналогом условия Франкля на характеристике и на отрезке вырождения для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом. // Дифференциальные уравнения. 2017, том 53 є6, С.778-788. 5. Мирсабурова У.М. Задача с аналогом условия Франкля на внутренней характеристике для уравнения смешанного типа. // Дифференциальные уравнения. 2021, том 57, С.735-751.   1,1− ( )   − −0 1 1 0, d e x ( )   − =−0 1 01 0, d e x ( ) ( ) ( ) , 1  EyAuE = )( 1  E 0)( 1  E )0,( 0 x )0( y 0   y  ),( yx  0 xx =