BIR O'LCHAMLI NOCHIZIQLI KRISTALL PANJARALAR ZANJIRIDA FRENKEL-KONTOROVA MODELINI QO'LLASH

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 656 BIR O’LCHAMLI NOCHIZIQLI KRISTALL PANJARALAR ZANJIRIDA FRENKELKONTOROVA MODELINI QO’LLASH. Sanoyev Sunnatillo Xasanboy o’g’li Toshkent shahar Shayxontohur tuman Ixtisoslashtrilgan maktab fizika fani o’qituvchisi [email protected] Annotatsiya: Ushbu maqolada bir o‘lchamli nochiziqli kristall panjaralar zanjirida Frenkel– Kontorova modeli qo‘llanilishi o‘rganilgan. Model atomlar zanjirining periodik substrat potensiali ta’siridagi harakatini ifodalaydi. Avvalo, tizim uchun Lagrangian funksiyasi tuzilib, u orqali harakat tenglamasi hosil qilindi. Diskret panjaraning uzluksiz chegaraga o‘tish jarayoni ko‘rsatildi va natijada modelning uzluksiz shakli Sine–Gordon tenglamasi ko‘rinishida yozildi. Ushbu tenglamaning analitik yechimi sifatida kink tipidagi soliton yechim topildi hamda uning energiya va impuls zichliklari hisoblandi. Natijalar shuni ko‘rsatadiki, solitonning energiyasi va impulsi kristall panjara davri hamda solitonning tarqalish tezligiga bog‘liq. Tadqiqot Frenkel–Kontorova modelining nochiziqli to‘lqin hodisalarini, xususan, solitonlarning xususiyatlarini tahlil qilishda muhim nazariy asos yaratadi. Kalit so‘zlar: Bir o‘lchamli nochiziqli kristall panjaralar, Frenkel-Kontorova modeli, zanjir tizimi, solitonlar, fazoviy tuzilma, energiya minimumi, kristallografik modellashtirish Kirish. Ko’z oldimizga bir o’lchamli atomlari to’gri chiziq bo’ylab joylashgan kristall zanjirini tasavvur qilaylik, kristall ichidan bitta yunalish tanlab olinib faqat shu yunalishdagi atomlar tasiri o’rganilsa shunday model hosil bo’ladi. Zarralar (atomlar) zanjirini tasvirlovchi oddiy model, ya’ni eng yaqin qo‘shnilar bilan o‘zaro ta’sir qiluvchi va periodik substrat potensialiga duch keluvchi tizim. Biz shunday kristall zanjirida hosil bo’luvchi tebranishlarni tadqiq qilamiz bu tizimda hosil bo’ladigan energiya va impulsni tarqalishi o’rganamiz. 1-rasm : Frenkel-Kontorova modeli Bu model dinamik diskret model sifatida taklif qilingan. Tadqiqot metodi. Diskret nochiziqli panjaralarning dinamikasi quyidagi Lagrangian orqali tavsiflanadi: ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 657 L = n =−∞ +∞  mu  n 2 2− k 2 un +1− un 2− U 01−cos⁡ 2 πun a (1) Bu funksiya Frenkel-Kontorova[1-2] modeli yoki diskret nochiziqli panjaralar modeli uchun klassik Lagrangian shaklida berilgan. Lagrangian uch qismdan iborat: -Kinetik energiya: T = n  mu  n 2 2(2) -Elastik potensial energiya: U el= n  k 2 un +1− un 2(3) -Periodik potensial energiya: U per= n  U 01−cos⁡ 2 πun a (4) Lagrange tenglamasi: ddt ∂ L ∂ u  n −∂ L ∂ un =0 Kinetik energiya hosilasi: ∂ L ∂ u  n = mu  n ddtmu  n = mu  n potensial hosilasi: ∂ ∂ unk 2 un +1− un 2=− kun +1− un ∂ ∂ unk 2 un − un −1 2= kun −1− un (5) Yig'indini hisoblasak: ∂ L ∂ un = kun −1−2 un + un +1 (6) Periodik potensial hosilasi: ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 658 ∂ ∂ un − U 01−cos⁡2 πun / a =− U 02 πa sin⁡2 πun / a (7) Yuqoridagi hosilalarni hisobga olsak, harakat tenglamasi quyidagi ko'rinishga keladi: mu  n = kun −1−2 un + un +1 −2 πU 0 a sin⁡2 πun / a (8) Tahlil va natijalar. Bu tenglama nochiziqli diskret panjaraning dinamikasini ifodalaydi. Berilgan harakat tenglamasi diskret nochiziqli panjaralarda solitonlarning, dislokatsiyalarning va boshqa nochiziqli to'lqin hodisalarining harakatini tavsiflash uchun ishlatiladi. Bu tenglamaning maxsus yechimlarini o'rganish orqali nochiziqli to'lqin hodisalarining chuqur fizik talqinlarini topish mumkin. Uzluksiz chegaraga o'tish uchun biz un funksiyasini uzluksiz u ( x , t )funksiyaga yaqinlashtirishimiz kerak[8-10]. Diskret indeks n bilan bog'liq miqdorlarni uzluksiz x o'zgaruvchiga al-mashtirish uchun quyidagi almashtirishni qo'llaymiz: un ( t )→ u ( x , t ), x = na (9) Bu yerdagi a - panjaraning asosiy masofasi (lattice spacing). Diskret farqlarni uzluksiz limitda differensial ifodalar bilan almashtiramiz: un +1≈ u ( x + a , t ), un −1≈ u ( x − a , t )(10) Keyin, Taylor qatoriga yoyamiz: u ( x + a , t )= u ( x , t )+ aux + a 2 2 uxx + Oa 3 u ( x − a , t )= u ( x , t )− aux + a 2 2 uxx + Oa 3 Shunday qilib, diskret ikkinchi tartibli differensiya: un +1−2 un + un −1≈ u ( x + a , t )−2 u ( x , t )+ u ( x − a , t )= a 2 uxx + Oa 4(11) Endi diskret harakat tenglamamiz: mu  n = kun −1−2 un + un +1 −2 πaU 0sin⁡ 2 πun a uzluksiz limitda quyidagi ko'rinishga keladi: mutt = ka 2 uxx −2 πaU 0sin⁡ 2 πu a (12) Bu tenglama Frenkel-Kontorova[1-4] modelining uzluksiz versiyasiga mos keladi. O'lchamsiz shaklga o'tish: Vaqtni quyidagicha almashtiramiz: ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 659 t → Tk / m (13) Shuningdek, u funksiyasini quyidagicha almashtiramiz: u → Ua 2 π (14) Ushbu almashtirishlarni harakat tenglamasiga qo'llaymiz: md 2 dt 2 Ua 2 π = ka 2 d 2 dx 2 Ua 2 π −2 πaU 0sin⁡ U (15) Ikkinchi hosilalarni hisobga olib, quyidagicha yozamiz: m ( m / k ) d 2 U dT 2= a 2 kd 2 U dx 2−4 π 2 a 2 U 0sin⁡ U (16) Quyidagicha belgilash kiritib: α =2 π 2 a 2 kU 0(17) Oddiylashtirgandan so'ng o'lchamsiz shakldagi tenglamani hosil qilamiz: UTT − a 2 Uxx +2 α sin⁡ U =0 (18) Bu tenglama Frenkel-Kontorova modelining o'lchamsiz versiyasini ifodalaydi. Endi esa biz bu tenglamani yechish bosqichiga o'tamiz. [5-6]Sine-Gordon tenglamasining o'lchamsiz shakli quyidagicha beriladi: UTT − a 2 Uxx +2 α sin⁡ U =0, (19) bu yerda α =2 π 2 a 2 kU 0 Yechimni quyidagi ko'rinishda qabul qilamiz: U ( x , t )= f ( ξ ), ξ = x − vt .(20) Hosilalarni hisoblaymiz: UT =− vf '( ξ ), UTT = v 2 f ''( ξ ) Ux = f '( ξ ), Uxx = f ''( ξ )(21) Biz yuqorida asosiy funksiadan vaqt hamda koordinata bo’yicha hosila oldik bu yerda UT-hosilada tezlik oldidadi minus ishora ta’sir qilgani uchun hosila manfiy ishoraga ega bo’ldi Ammo koordinataning hosilasi bilan bunday emas u musbat ishorani hosil qiladi .Demak bu hosilalarni asosiy tenglamaga olib borib qo’yib soddalashtirsak quyidagicha bo’ladi ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 660 Tenglamaga qo'ysak: v 2− a 2 f ''+2 α sin⁡ f =0. (22) Birinchi integrallash natijasida: 1 2 a 2− v 2 f '2=2 α (1−cos⁡ f )+ C (23) Chegaraviy shartlardan C =0deb qabul qilamiz va quyidagi integralga kelamiz: 4 α v 2− a 2(1−cos⁡ f )= f '2.(24) Bu elliptik integral bo‘lib, standart tangens-giperbolik funksiya orqali yechimga ega Shundan keyin natijaviy kink soliton yechim quyidagicha yoziladi: U(x) x 2-rasm.Kink soliton Ux , t =4arctan exp x − vt λ , (25) Bu yerda soliton kengligi 6 4 -10 -5 5 10 -2 -4 -6 ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 661 λ =1 a 2− v 2.(26) Sine-Gordon tenglamasi uchun energiya va impuls Hisoblari Berilgan Sine-Gordon tenglamasi: UTT − a 2 Uxx +2 α sin⁡ U =0. (27) Soliton yechimi quyidagicha: U ( x , t )=4arctan⁡ exp⁡ x − vt λ ,(28) bu yerda λ =1 a 2− v 2.(29) Hosilalarni Hisoblash Birlamchi hosilalar: UT =−4 vλ exp⁡ x − vt λ 1+exp⁡ 2 x − vt λ . UX =4 λ exp⁡ x − vt λ 1+exp⁡ 2 x − vt λ .(30) Energiya va Impuls Zichliklari Energiya zichligi quyidagicha aniqlanadi: ℰ=1 2 UT 2+ a 2 2 UX 2+2 α (1−cos⁡ U ). (31) Impuls zichligi esa: P = UTUX (32) To'la Energiya va Impuls To'la energiya integral orqali hisoblanadi: E =−∞ ∞  ℰ dx (33) Natija: E =8 a 2− v 2.(34) To'la impuls: P =−∞ ∞  Pdx .(35) ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 662 Natija: P =8 v a 2− v 2.(36) Xulosa. Yuqorida hosil qilingan (35) hamda (36) munosabatlar juda muhum hulosaga olib keladi. Chunki bu munosabatlardan soliton energiasi va impulsi kristall panjara davri hamda solitonning tarqalish tezligiga bog’liq deyish mumkin. Bu esa nochiziqli kristall panjaralarda energiya va impulsning mahalliylashgan shaklda uzatilishi imkonini tasdiqlaydi. Shuningdek, Frenkel–Kontorova modeli[1] orqali solitonlarning kristall panjaralar ichida harakatini va ularning o‘zaro ta’sirini tahlil qilish mumkinligi isbotlandi.Olingan natijalar nochiziqli kristall tizimlarda soliton dinamikasini, dislokatsiyalar harakatini hamda energiya almashinuvi jarayonlarini chuqur o‘rganish uchun muhim nazariy asos yaratadi. ADABIYOTLAR 1. Frenkel, Y. I., & Kontorova, T. (1938). On the theory of plastic deformation and twinning. Zhurnal Eksperimental’noi i Teoreticheskoi Fiziki, 8, 1340–1349. 2. Kosevich, A. M. (2005). The Crystal Lattice: Phonons, Solitons, Dislocations, Superlattices. Wiley-VCH Verlag, Weinheim. 3. Braun, O. M., & Kivshar, Y. S. (1998). The Frenkel–Kontorova Model: Concepts, Methods, and Applications. Springer Series in Solid-State Sciences, Vol. 139. 4. Peyrard, M., & Dauxois, T. (2004). Physics of Solitons. Cambridge University Press. 5. Remoissenet, M. (1999). Waves Called Solitons: Concepts and Experiments. Springer, Berlin. 6. Scott, A. C. (2003). Nonlinear Science: Emergence and Dynamics of Coherent Structures. Oxford University Press. 7. Kivshar, Y. S., & Campbell, D. K. (1993). Peierls–Nabarro potential barrier for highly localized nonlinear modes. Physical Review E, 48(4), 3077–3081. 8. Mingaleev, S. F., & Kivshar, Y. S. (2001). Nonlinear lattice solitons in complex lattices. Physical Review Letters, 86(23), 5474–5477. 9. Pnevmatikos, S., Flytzanis, N., & Remoissenet, M. (1986). Soliton dynamics in nonlinear lattices. Physical Review B, 33, 2308–2319. 10. Dauxois, T., & Peyrard, M. (1993). Energy localization in nonlinear lattices. Physical Review Letters, 70(25), 3935–3938.