Модель оптимального управления опреснением морской воды путем её охлаждения

Модель оптимального управления опреснением морской воды путем её охлаждения Lev З. Виленчик, Леонид М. Пустыльников Введение. Во многих странах остро ощущается нехватка пресной воды, а ее получение обходится очень дорого. Поиск новых технологий является очень востребованным, и одной из возможностей может быть опреснение морской воды путем ее охлаждения. Для этого может быть использован жидкий азот, который является сравнительно дешевым продуктом. Температура жидкого азота составляет приблизительно -196 °C, а цена за литр варьируется от 20 до 100 рублей в зависимости от объема заказа и поставщика. Процесс опреснения соленой воды может быть организован следующим образом. Морская вода закачивается стандартным образом в соответствующую трубу, которая имеет ответвление на некотором расстоянии от входа. Эта ответвленная часть трубы охлаждается жидким азотом, заполняющим трубу большего диаметра, окружающую ответвленную часть основной трубы. При охлаждении соль выпадает в осадок, а опресненная таким образом вода продолжает движение и возвращается в основную трубу, направляемую к потребителям. При этом важно не допустить замерзания воды. Задача настоящей статьи – представить вариант качественной модели оптимального управления охлаждением морской воды с целью её опреснения 1 1. Описание модели. Постановка задачи управления Как известно [1] , коэффициент температуропроводности морской воды с приемлемой точностью можно считать постоянной величиной. Это позволяет перейти к удобной безразмерной записи модели соответствующего управляемого процесса теплопереноса [2]. Одновременно, как следует из « -теоремы подобия», число независимых переменных π минимизируется [3]. Причем, для иллюстрации основных положений достаточно одномерного приближения: (1) ∂𝑄(𝑥,𝑡) ∂𝑡 =∂2𝑄(𝑥,𝑡) ∂𝑥2 (2) ∂𝑄(0,𝑡) ∂𝑥 =0, ∂𝑄(π,𝑡) ∂𝑥 =𝑢(𝑡) (3) 𝑄(𝑥,0) ≡𝑄+ (4) 𝑄(𝑥,𝑇)=𝑄− (5) 𝑄−≤𝑄(𝑥,𝑡)≤𝑄+ (6) −𝐿≤𝑈(𝑥,𝑡)≤𝐿 Заметим, что хотя в (1) – (6) использованы «привычные» размерные обозначения, на самом деле под ними здесь для компактности подразумеваются безразмерные комплексы. Так, в (1) – (6) Q – это плотность переносимой субстанции, t – число Фурье и т.д. [2]. Далее, точка замерзания пресной воды есть , а точка 0𝑜С замерзания морской воды есть -1.9 . Безразмерную 0𝑜С минимальную величину положим соответствующей чуть выше значения . Величине соответствует . 0𝑜С 𝑄+25𝑜С Задача оптимального управления объектом (1) – (2) ставится следующим образом: среди допустимых, т.е. удовлетворяющих ограничениям (6), управлений указать такое , под 𝑢(𝑡) 𝑢𝑜(𝑡) действием которого система (1) – (2), выйдя из начального 2 состояния (3), допустимым образом, т.е. не нарушая требования (5), перейдёт в заданное конечное состояние (4) за минимально возможное время . 𝑇𝑜 Такая задача оптимального управления называется ещё «задачей быстродействия» [4,5]. 2. Решение начально-краевой задачи (1) – (3). Применение прямого (7) <𝑄(𝑛,𝑡)>=0π ∫𝑄(ξ,𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑛,ξ)𝑑ξ , 𝑛=0, ±1, ±2, ... и обратного (8) 𝑄(𝑥,𝑡)=1π𝑛=−∞ ∞ ∑ 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 <𝑄(𝑛,𝑡)> конечных интегральных преобразований [6] совместно с преобразованием Лапласа [7] устанавливает решение задачи (1) – (3) в пространстве изображений (7): (9) <𝑄(𝑛,𝑡)>=π𝑄+δ𝑛0+𝑐𝑜𝑠 𝑛π0𝑡∫𝑢(τ)𝑒−𝑛2(𝑡−τ)𝑑τ где - символ Кронекера, и в оригиналах (8): δ𝑛0 (10) 𝑄(𝑥,𝑡)=𝑄++0𝑡∫𝑢(𝑡)𝐺(𝑥,π,𝑡−τ)𝑑τ где (11) 𝐺(𝑥,ξ,𝑡)=1π𝑛=−∞ ∞ ∑ 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛ξ𝑒−𝑛2𝑡 - функция Грина рассматриваемой задачи. Последняя является исчерпывающей функциональной характеристикой собственных (внутренних) свойств рассматриваемого объекта. Для упрощения будем далее в (9) и (11) учитывать конечное число пространственно-временных 𝑛=0,±1,±2, ... ±𝑁 мод, придавая различные значения. 𝑁 3 3. Решение задачи управления без учета запрета на замораживание (применение аппарата «L-проблемы моментов») Подчиняя (9) при t=T требованию (4), приходим с учетом (7) к следующей системе уравнений относительно U(t), стесненного неравенствами (6): π𝑄−δ𝑛0=π𝑄+δ𝑛0+𝑐𝑜𝑠 𝑛π 0𝑇 ∫𝑢(τ) 𝑒𝑛2(𝑇−τ)𝑑τ, 𝑛=0, 1, ... , 𝑁 (12) Эта система, как нетрудно видеть, преобразуется к виду µ𝑛=π (𝑄−−𝑄+) δ𝑛0=0𝑇 ∫𝑢(τ) 𝑒𝑛2τ𝑑τ, 𝑛=0, 1, ... , 𝑁 (13) Проблема отыскания из уравнений (13) при наличии ограничений (6) называется «L-проблемой моментов» [4,6]. Одним из эффективных методов её решения является, так называемый, «принцип двойственности» [5,6]. Напомним его содержание для нашего случая. Пусть рассматривается задача: среди функций , 𝑢(𝑡) удовлетворяющих проблеме моментов (13), указать такую 𝑢0(𝑡), на которой обращается в минимум величина (14) 𝐽=𝑚𝑎𝑥|𝑢(𝑡)|, 𝑡∈[0,𝑇] Соответствующий минимум обозначим как , т.е. 𝐽0 (15) 𝐽0=𝑚𝑖𝑛 𝐽 Одновременно введем в рассмотрение, так называемую, «двойственную» задачу: среди числовых векторов (ξ0,ξ1, ... ξ𝑁), удовлетворяющих равенству (16) 𝑛=0 𝑁 ∑ξ𝑛,µ𝑛=1 указать такой вектор на котором обращается в (ξ00,ξ10, ... ξ𝑁 0), минимум величина 4 (17) 𝐾=0𝑇 ∫|𝑛=0 𝑁 ∑ξ𝑛𝑒𝑛2𝑡|𝑑𝑡 Соответствующий минимум обозначим как , т.е. 𝐾0 (18) 𝐾0=𝑚𝑖𝑛 𝐾 Теорема, носящая название «принцип двойственности», утверждает что [4,6] (19) 𝐽0=1 𝐾0 причем (20) 𝑢0(𝑡)= 1 𝐾0𝑠𝑖𝑔𝑛𝑛=0 𝑁 ∑ξ𝑛0𝑒𝑛2𝑡 Формула (20) и есть решение проблемы моментов (13), (14). Таким образом, принцип двойственности сводит задачу отыскания функции к задаче отыскания числового вектора, что обычно значительно проще. Очевидно, ограничения (6), принимая во внимание (14), можно переписать так: , (21) 𝐽=𝑚𝑎𝑥|𝑢(𝑡)|≤𝐿 𝑡∈[0,𝑇] В соответствие с двойственной задачей очевидно также, что (22) 𝐾0=0𝑇 ∫|𝑛=0 𝑁 ∑ξ𝑛0𝑒𝑛2𝑡|𝑑𝑡 В силу (15), далее, решение должно оказываться таким, чтобы выполнялось неравенство (23) 𝐽0≤𝐿 Но решение , как нетрудно видеть, получается 𝑢0(𝑡) независимым от . Поэтому, если окажется, что 𝐿 , (24) 𝐽0>𝐿 то решение L-проблемы моментов не существует. 5 Это означает, что в принятой постановке объект неуправляем. Подинтегральная функция в (22), далее, положительна. Поэтому, уменьшая T , уменьшаем и , а, следовательно, как 𝐾0 показывает (19), увеличиваем . Но процесс уменьшения T 𝐽0 допустим лишь до тех пор, пока получающееся при этом значение не превратит (23) в строгое равенство. Соответственно, решение (20) окончательно принимает вид (25) 𝑢0(𝑡)=𝐿 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑛=0 𝑁 ∑ξ𝑛0𝑒𝑛2𝑡 А соотношение (22), которое превращается при этом в (26) 1𝐿=0𝑇 ∫|𝑛=0 𝑁 ∑ξ𝑛0𝑒𝑛2𝑡| 𝑑𝑡 принимает на себя роль уравнения относительно минимально возможного времени управляемого процесса. 𝑇=𝑇0 Наконец, обратим внимание, что, согласно (13) (27) µ0=π(𝑄−−𝑄+), а N (28) µ𝑛=0, 𝑛=1, 2, ... , Следовательно, в (16) (29) ξ𝑛=1 π(𝑄−−𝑄+) т.е. в рассматриваемом нами случае в задаче (17), (16) условие (16) отпадает, и данная задача на условный экстремум превращается в более простую задачу на безусловный экстремум. Соответственно упрощается и задача (17). Но система функций , (30) 1, 𝑒𝑡, ... ,𝑒𝑛2𝑡, ... 𝑒𝑁2𝑡, как показано в [8], является, так называемой, системой Чебышева, т.е. обладающая тем свойством, что многочлен (31) 𝑛=0 𝑁 ∑ξ𝑛𝑒𝑛2𝑡 6 подобно алгебраическому многочлены, аннулируется не более N раз. Но каждый «ноль», как следует из (25), - это не что иное как «точка переключения» управления . 𝑢0(𝑡) Сами же точки переключения, как показано в [4], сгущаются по мере увеличения времени t. Таким образом, перед нами проявляется качественная, кусочно постоянная, картина управления, показанная на рис.1. Сами же точки переключения отыскиваются численными методами [4]. 4. Решение задачи управления с учетом запрета на замораживание (применение «принципа максимального значения»). Критерий выбора управления В роли качественной иллюстрации предстоящего подхода ниже следующие проявляющиеся закономерности проще всего рассмотреть на примере N=1 (одна точка переключения). Напомним одновременно, что имеет место сгущение точек переключения [4]. Следовательно, существенный вклад от управления вносится на интервале (0, . 𝑡1) Управление (25) превращается в этом случае в: (32) 𝑢0(𝑡)=𝐿 𝑠𝑖𝑔𝑛 (ξ00+ξ10𝑒𝑡) (с привлечением (29)). Подстановка (11) в (10), очевидно, дает для такого случая следующее выражение: (33) 𝑄(𝑥, 𝑡)=𝑄++0𝑡∫𝑢(τ) {1π+2π 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 π 𝑒−(𝑡−τ)}𝑑τ Выражения (32) и (33) рассматриваются при (34) 0≤𝑡≤𝑡1 7 Подстановка (32) в (33) показывает, что на временном отрезке (34) имеем (35) 𝑄(𝑥, 𝑡)=𝑄+−𝐿 0𝑡∫𝑢(τ) {1π+2π 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 π 𝑒−(𝑡−τ)}𝑑τ Из физико-математических соображений и решения (35) вытекает, что при L, превосходящих некоторое, достаточно большое, значение температура опускается ниже точки замерзания. И, если L не находится в нашем распоряжении, то управление (32) надлежит отбросить. Каким будет альтернативное управление, не приводящее к замораживанию? Для ответа на этот вопрос обратимся к «принципу максимального значения». Данный принцип состоит в следующем. «Если функция 𝑄(𝑥, 𝑡) , определенная и непрерывная в замкнутой области 0≤𝑡≤𝑡1 и удовлетворяет в точках области 0≤𝑥≤π 0<𝑥<π и уравнению (1), то максимальное и минимальное 0<𝑡<𝑡1 значения функции достигаются или в начальный момент 𝑄(𝑥, 𝑡) времени, или в точках границы или [9]. 𝑥=0 𝑥=π Следуя этому принципу, примем в (33), что минимальное значение наблюдается в точке (как в точке, 𝑄(𝑥, 𝑡) 𝑥=π ближайшей к источнику охлаждения), т.е. – выполняется соотношение: (36) 𝑄(𝑥, 𝑡)=𝑄− Тогда, подставляя (36) в (33) и учитывая равенство , 𝑐𝑜𝑠2π=1 получим, что на (34) должно выполняться требование: (37) π(𝑄−−𝑄+)=0𝑡∫𝑢(𝑡) {1+2𝑒−(𝑡−τ)}𝑑τ Это – интегральное уравнение Вольтерра первого рода относительно альтернативного управления 𝑢10(𝑡) 8 управления, исчерпывающего ресурсы системы с запретом на замораживание. Преобразованием Лапласа получаем решение уравнения (37) в следующем виде: ( (38) 𝑢10(𝑡)=π𝑄−−𝑄+){13𝑒−13𝑡+130𝑡∫δ'(τ)𝑒−13(𝑡−τ)𝑑τ} Но известна формула [10]: (39) 0𝑡∫δ'(τ) 𝑓(τ)𝑑τ=−𝑓'(0) Используя (39) в (38), окончательно устанавливаем, что в интервале (34) управление (40) 𝑢10(𝑡)=29π (𝑄−−𝑄+)𝑒−13𝑡, 9