Triángulos numéricos T (n) generados por 2x + 1 y 3x + 2

Triángulos numéricos T(n)generados por 2x+ 1 y3x+ 2 Miguel Cerdá Bennassar 26 de octubre de 2025 1. Definición y construcción de la familia T(a) La idea es construir un triángulo numérico T(n)a partir de dos transformaciones lineales muy simples: f(x) = 2x+ 1 (generación dentro de una misma columna) g(x) = 3x+ 2 (salto entre filas/columnas) El triángulo se organiza en columnas Cky filas Fm: La columna C1comienza en la fila F1;C2en F2;C3en F3; etc. La primera columna arranca con un valor base (por ejemplo, 0en T(0)). Iterando 2x+ 1 se obtienen los siguientes términos de esa misma columna. El primer número de la siguiente columna (y de la siguiente fila) se calcula con 3x+ 2 a partir del último número de la fila anterior. Este mecanismo determina por completo el triángulo a partir del valor inicial de C1. No todos los valores iniciales producen triángulos distintos: si el primer valor de C1es 0,4,6,10,12,16,18,22,24,..., es decir, si n≡0,4 (m´od 6), se obtiene un triángulo no redundante; otros valores reproducen filas ya presentes en alguno de estos triángulos. Corolario 1.1 (Cobertura completa de N0).La unión de todos los triángulos no redundantes T(a)con a≡0,4 (m´od 6) contiene a todos los números enteros no negativos. Todo número impar Naparece de manera única como N=a(a) n,j = (a+ 1)2n−j3j−1−1 para una única terna (a, n, j)con a≡0,4 (m´od 6). Todo número par Eaparece de una de las siguientes formas: •si E≡0o4 (m´od 6), como valor inicial aen algún triángulo T(a); •si E≡2 (m´od 6), como último término L(a) nde una fila de algún triángulo. En consecuencia, [ a≡0,4 (m´od 6) T(a) = N0. 1 1.1. Ejemplo: el triángulo T(0) A continuación se muestran las primeras filas. En cada fila, a la izquierda indicamos la igualdad de arranque (de dónde sale el primer término), y a la derecha los términos que completan la fila. Fila 1: 00 Fila 2: 2·0 + 1 = 1 1 2 Fila 3: 2·1 + 1 = 3 3 5 8 Fila 4: 2·3 + 1 = 7 7 11 17 26 Fila 5: 2·7 + 1 = 15 15 23 35 53 80 Fila 6: 2·15 + 1 = 31 31 47 71 107 161 242 Fila 7: 2·31 + 1 = 63 63 95 143 215 323 485 728 Fila 8: 2·63 + 1 = 127 127 191 287 431 647 971 1457 2186 Fila 9: 2·127 + 1 = 255 255 383 575 863 1295 1943 2915 4373 6560 2. Propiedades fundamentales del triángulo T(0) En esta sección recogemos propiedades que ayudan a entender la estructura del triángulo T(0) sin recurrir a una formalidad pesada. Denotaremos por Lnel último término de la fila n. Proposición 2.1 (Recurrencia y fórmula cerrada del último término).A partir de la construcción se cumple Ln= 3Ln−1+ 2, L1= 0, y por tanto Ln= 3n−1−1 (n≥1) . Idea de prueba. El último de la fila nse obtiene cerrando la fila con 3(·) + 2 aplicado sobre el último impar previo; resolver la recurrencia afín xn= 3xn−1+ 2 con condición x1= 0 da xn+ 1 = 3n−1. Corolario 2.2 (Clase modular del último término).Para n≥2, Ln≡2 (m´od 6). Idea de prueba. Como Ln= 3n−1−1y3m≡3 (m´od 6) para m≥1, se obtiene Ln≡3−1=2 (m´od 6). Proposición 2.3 (Paridad y patrón m´od 4 en cada fila).En la fila n, todos los términos salvo el último son impares; el último es par. Además, el penúltimo es de la forma 4k+1 y los anteriores al penúltimo son de la forma 4k+ 3.Idea de prueba. 2x+ 1 mantiene la imparidad al iterar dentro de la fila; el cierre 3(·) + 2 sobre un impar produce el par final. El patrón 1/3 m´od 4 se verifica por inspección de congruencias al retroceder desde el último impar. Observación 2.4 (Longitud de las filas).La fila ncontiene exactamente ntérminos numéricos (contando el último Ln). Idea de prueba. Cada nueva fila añade una columna al frente activo del triángulo, incrementando en uno el número de términos listados. Proposición 2.5 (Inalcanzabilidad del extremo de fila por divisiones en potencias de 2).Sea Lnel último término de la fila nen T(0). Entonces, para todo k≥1, Ln 2k/∈Fn. 2 Idea de prueba. Los términos de la fila ntienen la forma {Hn, f(Hn), f[2](Hn), . . . , Ln},donde Hnes el primer impar y f(x)=2x+ 1. Por construcción, Lnes el único par de la fila y Ln= 2f[n−2](Hn)+1.Dividir Lnpor 2kcon k≥1solo puede dar: - un número impar menor que Hn, o - un número par no perteneciente a la secuencia interna generada por f. En ningún caso se obtiene alguno de los nelementos de Fn. Corolario 2.6 (Aislamiento multiplicativo del extremo de fila).El extremo Lnde cada fila es único en su clase multiplicativa por potencias de 2: no existe jtal que Ln/2k=an,j para algún k≥1. Observación 2.7 (Crecimiento y cota dominante).El máximo de la fila nes Ln= 3n−1−1; por tanto, cualquier suma o magnitud agregada de la fila está dominada asintóticamente por 3n. Observación 2.8 (Raíces digitales por columnas).Se observa el patrón: C1:raíces digitales en ciclo (1,3,7,6,4,9), C2:raíces digitales alternan (2,5), Ck(k≥3) : raíz digital constante 8. Idea de prueba. La raíz digital respeta combinaciones lineales simples: rd(2x+1) = rd(2rd(x)+1). Al iterar 2x+ 1 en cada columna aparecen ciclos estables: para k≥3, el estado estacionario es 8. Proposición 2.9 (Valores iniciales no redundantes).Los triángulos nuevos (no duplicados por filas de otros) aparecen cuando el primer valor de C1satisface n≡0,4 (m´od 6), lo que genera la sucesión 0,4,6,10,12,16,18,22,24, . . .. Observación 2.10 (Encadenamiento entre filas y columnas).Si Hnes el primer impar listado en la fila n, entonces dentro de la fila se itera por 2x+ 1, y el salto de cierre se consigue aplicando 3x+ 2 al último impar para obtener Lny preparar el arranque de la siguiente columna. Esta visión deja claro el papel complementario de 2x+1 (progresión interna) y 3x+2 (cierre y salto). 3. Ejemplos característicos: T(4) yT(6) En la sección anterior hemos analizado con detalle la estructura del triángulo T(0). Ahora consideraremos los siguientes dos triángulos no redundantes, T(4) yT(6), para observar qué propiedades se conservan y cuáles se modifican al variar el valor inicial de la primera columna. 3.1. Definición El procedimiento de construcción es exactamente el mismo: f(x) = 2x+1 (generación dentro de columna), g(x) = 3x+2 (salto entre filas/columnas). La única diferencia es que el primer valor de C1es ahora 4o6en lugar de 0. 3 3.2. Ejemplo: triángulo T(4) Fila 1: 44 Fila 2: 2·4 + 1 = 9 9 14 Fila 3: 2·9 + 1 = 19 19 29 44 Fila 4: 2·19 + 1 = 39 39 59 89 134 Fila 5: 2·39 + 1 = 79 79 119 179 269 404 Fila 6: 2·79 + 1 = 159 159 239 359 539 809 1214 Fila 7: 2·159 + 1 = 319 319 479 719 1079 1619 2429 3644 Fila 8: 2·319 + 1 = 639 639 959 1439 2159 3239 4859 7289 10934 3.3. Ejemplo: triángulo T(6) Fila 1: 66 Fila 2: 2·6 + 1 = 13 13 20 Fila 3: 2·13 + 1 = 27 27 41 62 Fila 4: 2·27 + 1 = 55 55 83 125 188 Fila 5: 2·55 + 1 = 111 111 167 251 377 566 Fila 6: 2·111 + 1 = 223 223 335 503 755 1133 1700 Fila 7: 2·223 + 1 = 447 447 671 1007 1511 2267 3401 5102 Fila 8: 2·447 + 1 = 895 895 1343 2015 3023 4547 6839 10259 15386 4. Comparación estructural Proposición 4.1 (Crecimiento relativo).Los tres triángulos crecen exponencialmente a razón de 3n−1, pero T(4) yT(6) están desplazados respecto a T(0) por un factor constante: L(4) n+1 L(0) n+1 = 5 yL(6) n+1 L(0) n+1 = 7. Este desplazamiento es exacto para todas las filas. Observación 4.2 (Raíces digitales).En T(0), las raíces digitales de C1forman un ciclo (1,3,7,6,4,9). En T(4), las raíces digitales de C1parten de 5y siguen el mismo ciclo desplazado. En T(6), las raíces digitales de C1parten de 7y siguen también el ciclo. A partir de C3la raíz digital vuelve a estabilizarse en 8en los tres casos. Observación 4.3 (Patrón m´od4 y paridad).En T(4) yT(6) se mantiene la misma estructura modular: todos los términos excepto el último son impares, con patrón 4k+ 3 en el interior y 4k+ 1 en el penúltimo; el último es siempre par. Observación 4.4 (Longitud de fila invariante).Para todo triángulo T(a)con a≡0,4 (m´od 6), la fila ncontiene ntérminos numéricos. Proposición 4.5 (Equivalencia estructural).Los triángulos T(0),T(4) yT(6) son estructuralmente equivalentes: sus trayectorias columna–fila se comportan de igual modo salvo por un factor de traslación en el dominio numérico. Comentario final. La familia de triángulos T(a)con a≡0,4 (m´od 6) puede verse como una misma estructura dinámica desplazada. Esta propiedad es útil para estudiar comportamientos generales (paridad, raíces digitales, tasas de crecimiento, patrones modulares) sin necesidad de repetir todas las demostraciones para cada caso inicial. 4 5. Estructura general de la familia T(a) En las secciones anteriores hemos analizado los triángulos T(0),T(4) yT(6), que representan los casos iniciales no redundantes de la familia. A continuación presentamos un resumen unificado de las propiedades generales de los triángulos T(a), que cubre a todos los valores iniciales congruentes con 0o4 (m´od 6). 5.1. Fórmula general de los extremos de fila Observación 5.1 (Últimos términos y fórmula cerrada).Sea L(a) nel último término de la fila n en el triángulo T(a). Se cumple la recurrencia L(a) n= 3L(a) n−1+ 2, L(a) 1=a, cuya solución cerrada es L(a) n= (a+ 1)3n−1−1 (n≥1) . Esta expresión muestra que todos los triángulos T(a)son estructuralmente equivalentes al modelo base T(0), salvo por un factor de desplazamiento a+ 1. Observación 5.2 (Normalización).La transformación Na:x7−→ x+ 1 a+ 1 envía los últimos términos de T(a)a los de T(0): NaL(a) n= 3n−1. Por tanto, los extremos de fila de toda la familia {T(a)}pueden verse como copias escaladas del caso base. 5.2. Clasificación modular de a Observación 5.3 (Valores no redundantes).Los triángulos nuevos (no duplicados por filas de otros) aparecen cuando el primer valor de C1satisface n≡0,4 (m´od 6), lo que genera la sucesión 0,4,6,10,12,16,18,22,24, . . .. Observación 5.4 (Red general y cadenas infinitas de triángulos).La unión de los triángulos T(a) con a≡0,4 (m´od 6) forma una red infinita en la que cada nodo representa un triángulo y cada arista corresponde a un número impar de clase 0o4 (m´od 6) que sirve como arranque de otro triángulo. Aunque el extremo par de cada fila no genera nuevas conexiones (salvo en la fila 1), los impares intermedios sí pueden hacerlo, de modo que es posible construir cadenas infinitas T(a0)−→ T(a1)−→ T(a2)−→ · · · eligiendo sucesivamente nuevos nodos. Comentario. La existencia de cadenas infinitas no implica unicidad: una misma trayectoria puede ramificarse en distintos puntos, y también pueden aparecer ciclos si se permiten números repetidos en distintas trayectorias. La red resultante es infinita y no acíclica. 5 Definición 5.5 (Encadenamiento de triángulos).Dada una fila nde T(a)con último término par L(a) n, definimos el encadenamiento determinista como M=L(a) n 2ν2(L(a) n), que es impar. Por el problema inverso, Mpertenece de forma única a otra fila (posiblemente en otro triángulo T(b)). Decimos que la fila nde T(a)se encadena con la fila que contiene Men T(b). Proposición 5.6 (Red de triángulos y conexión determinista).La unión de los triángulos T(a) con a≡0,4 (m´od 6) forma una red infinita en la que cada arista corresponde al encadenamiento entre filas: dada una fila de T(a)con extremo L(a) n, la división repetida por 2produce un impar Mque pertenece de forma única a otra fila, posiblemente en un triángulo distinto T(b). (a) (Red general). Es posible construir cadenas infinitas T(a0)→T(a1)→T(a2)→ · · · eligiendo libremente impares de clase 0o4 (m´od 6) que sirvan como arranques de nuevos triángulos; también pueden producirse ciclos si se reutiliza un arranque ya visitado. (b) (Conexión determinista por el extremo de fila). Si L(a) n= (a+ 1)3n−1−1yk= ν2(L(a) n), entonces M=L(a) n/2kes impar y pertenece de forma única a un triángulo no redundante T(b), determinado por M+ 1 = 2m3rqcon gcd(q, 6) = 1 yb=q−1. Esto define una aplicación determinista T(a)→T(b). Observación 5.7 (Estructura local de la dinámica determinista).La regla L(a) n7→ L(a) n 2ν2(L(a) n)presenta las siguientes propiedades elementales: No existen ciclos intrafila, salvo en T(0), fila 2. No existen ciclos entre triángulos distintos. El único ciclo posible es el bucle fijo en T(0), fila 2. Cada cadena determinista es infinita, salvo que aparezca un extremo de fila que sea potencia de 2. Observación 5.8 (Único ciclo intrafila).La única excepción a la imposibilidad de ciclos intrafila ocurre en T(0), fila 2:L(0) 2= 2 yν2(2) = 1, de modo que L(0) 2/2=1pertenece a la misma fila. La dinámica determinista T(0) 7→ T(0) forma así un bucle trivial. No existen otros casos con esta propiedad para n>2ni para otros T(a). Proposición 5.9 (Puertas de entrada a la trampa de T(0)).Si en la dinámica determinista aparece un extremo L=2 34n−1(n≥1), entonces el impar asociado es M=L 2=4n−1 3, que pertenece a la fila 2del triángulo Ta=22n−1+ 1 3−1. 6 El último de esa fila es L(a) 2= 22n−1, una potencia de 2, de modo que la trayectoria entra en el bucle único de T(0) (vía 1). En consecuencia, todo encadenamiento determinista de triángulos es infinito hasta la aparición de una puerta de entrada de este tipo, momento en que la trayectoria queda atrapada en T(0), fila 2. La dinámica determinista posee una estructura absorbente yunúnico ciclo global, como establecen los resultados que se presentan a continuación. Teorema 5.1 (Absorción determinista).Sea {T(ak)}k≥0la trayectoria generada por la dinámica determinista L(a) n7→ L(a) n 2ν2(L(a) n). Entonces, para todo punto de partida T(a0)y toda fila inicial, existe un entero N≥0tal que T(aN)=T(0) y la trayectoria queda atrapada en la fila 2de T(0). Demostración (idea). La trayectoria avanza indefinidamente mientras no aparezca un extremo de fila de la forma L=2 34n−1, pero por la estructura multiplicativa de los extremos L(a) n= (a+ 1)3n−1−1,toda trayectoria alcanza eventualmente alguno de esos valores, que actúan como puertas de entrada al ciclo de T(0). En ese paso, el impar asociado es M=4n−1 3, perteneciente a la fila 2de un triángulo T(b)con L(b) 2= 22n−1, una potencia de 2. La siguiente iteración conduce necesariamente a 1, cerrando el ciclo en T(0), fila 2. Teorema 5.2 (Unicidad del ciclo de T(0)).La fila 2del triángulo T(0) es el único ciclo de la dinámica determinista: T(0),fila 2: 27→ 17→ 27→ 17→ · · · y no existen otros ciclos en ninguna otra fila ni en ningún otro triángulo. Demostración (idea). 1. Por la Proposición de §2, salvo T(0) fila 2, el extremo de una fila no puede generar un impar de su propia fila, de modo que no existen ciclos intrafila adicionales. 2. Tampoco pueden existir ciclos entre triángulos distintos, ya que la regla determinista es unívoca y conduce, una vez alcanzada una potencia de 2, al impar 1y de ahí al extremo 2de T(0). 3. En consecuencia, el único ciclo es el bucle 2↔1en la fila 2de T(0). Corolario 5.10 (Atracción global del ciclo de T(0)).Bajo la dinámica determinista L(a) n7→ L(a) n 2ν2(L(a) n), toda trayectoria a partir de cualquier triángulo T(a0)y cualquier fila inicial es absorbida en un número finito de pasos por el ciclo único T(0),fila 2: 27→ 17→ 27→ 17→ · · · En particular: no existen ciclos alternativos ni trayectorias no absorbentes; toda trayectoria determinista tiene un único destino dinámico; la fila 2de T(0) actúa como atractor global de la red de triángulos. 7 6. Equivalencia y normalización Observación 6.1 (Equivalencia entre triángulos).Para todo a, b ≡0,4 (m´od 6), L(a) n+ 1 a+ 1 =L(b) n+ 1 b+ 1 = 3n−1. Esto implica que todos los triángulos no redundantes son equivalentes por normalización afín. Las diferencias son puramente numéricas, no estructurales. Comentario final. La familia T(a)constituye un sistema iterativo sencillo pero altamente regular: las transformaciones 2x+ 1 (interior de fila) y 3x+ 2 (cierre) generan una geometría discreta autosimilar. Con la normalización adecuada, todos los triángulos no redundantes pueden verse como copias del modelo base T(0), donde las clases modulares, las raíces digitales y la estructura de paridad se preservan exactamente. Apéndice A. Fórmulas internas de la tabla: entradas a(a) n,j en T(a) Denotaremos por a(a) n,j la entrada situada en la fila ny la columna jdel triángulo T(a) (1≤j≤n). Recordemos que: f(x) = 2x+ 1 (evolución dentro de la fila), g(x) = 3x+ 2 (cierre de fila). La fila nse obtiene aplicando fa cada elemento de la fila n−1, y cerrando con gsobre el último de la fila n−1. Observación .2 (Recurrencias por filas y cierre).Para 1≤j≤n−1, a(a) n,j =fa(a) n−1,j= 2a(a) n−1,j + 1, y para el extremo de fila, a(a) n,n =ga(a) n−1,n−1= 3a(a) n−1,n−1+ 2. La semilla es a(a) 1,1=a. Apéndice B. Problema inverso: localización de un número Proposición .3 (Localización única).Sea N∈N0. Si Npertenece a algún triángulo no redundante, entonces existe una única terna (a, n, j)con N=a(a) n,j = (a+ 1)2n−j3j−1−1, a ≡0,4 (m´od 6),1≤j≤n. Idea de prueba. Escriba N+ 1 = 2m3rqcon qcoprimo con 6(descomposición única). Defina a=q−1, j =r+1, n =m+j. Entonces a≡0,4 (m´od 6) yN= (a+1)2m3r−1. La unicidad proviene de la factorización única y de la disjunción entre triángulos ya establecida. Corolario .4 (Partición por factorización fuera de 2y3).La aplicación N7−→ a=parte de N+ 1 coprima con 6−1 induce una partición de los números que aparecen en la familia en clases T(a)con a≡0,4 (m´od 6). 8 Receta práctica. Dado N: 1. Factoriza N+ 1 = 2m3rqcon gcd(q, 6) = 1. 2. Define a=q−1.Sia≡0,4 (m´od 6), entonces N∈T(a). 3. Recupera j=r+ 1 yn=m+j. Apéndice C. Tabla de símbolos T(a)Triángulo con arranque a. FnFila n. CjColumna j. a(a) n,j Entrada fila n, posición jen T(a). L(a) nÚltimo de la fila nen T(a). f, g Reglas f(x) = 2x+ 1,g(x) = 3x+ 2. 9